APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE

Transcription

1 PREFATA Lucrarea de fata rerezta o cotuare a cart Statstca Alcata Farmace s Stud Clce aaruta Edtura Uverstara Carol Davla aul 7 s stetzeaza o arte d eereta a do autor, amado acelas tm s farmacst s matematce, alcarea metodelor statstce cadrul cercetarlor de dezvoltare de o medcamete, roducta s cotrolul de caltate a medcametulu, recum s evaluarea clca a medcametulu. Secfcul volumulu de fata este ca toate alcatle rezetate sut rezolvable cu harte s creo, ceea ce ermte o mult ma bua telegere a feomeulu matematc decat o reluare de-a gata a rezultatelor uor softur ma mult sau ma ut secalzate. Numa dua o astfel de ucece este recomadat, etru alcat care volumul de date este cu mult ma mare, a se trece la utlzarea softurlor (utlzare care va face subectul uu al dolea volum). I cele ma multe cazur, ca s «dagostcul cu calculatorul», rezultatele se obt rad s sut ertete. I cazurle foarte comlee sut sa osble eror foarte grave, care sut foarte be ascuse de softur, des vzble usor la o abordare ord de la regulle fudametale. Cartea se adreseaza studetlor de la farmace, masterazlor bostatstca s cursatlor de la cclul de vatamat de doctorat, secal ce ce regatesc doctorate farmace sau dsclele medcale reclce. Ea face arte dtr-o suta de lucrar de bofarmace, farmacocetca, statstca geerala s bostatstca, roectarea studlor clce etc, regatre gruul de cercetator d care fac arte autor, care v lus sa umle s golur doua dome o lteratura de secaltate cercetarea medcametulu, defte Platforma Idustrala Euroeaa Iovatve Medce Itatve : vtro vvo correlato s safet scece. I forma actuala ea a fost «eermetata» de autor e multe ser de studet, masteraz s doctoraz s cocluza este ca acesta ot telege, cu ceva efort, rcle de baza s alcarea lor. I fal, autor s erma credta ca, eoca calcululu dustral, cu autorul calculatorulu, arta, matematca s gadrea creatoare geeral, trec tot r varful creoulu. Ma dearte, acest mod de gadre ermte o ascesue sre ma alt clusv r uelte sofstcate create tot de om. Serad ca lucrul malor lor u va f trecut cu vederea Autor Bucurest, 8

2 Costat Mrcou Roaa Colette Sadulovc APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE Edtura Uverstara Carol Davla Bucurest, 8

3 Prof. dr. farm., mat. Costat Mrcou Farm., mat. Roaa Colette Sadulovc APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE etru cursul de bostatstca Facultatea de Farmace, Uverstatea de Medca s Farmace Carol Davla, Bucurest cursul de bostatstca doctoraz Uverstatea de Medca s Farmace Carol Davla, Bucurest cursul de bofarmace s farmacocetca Masteratul de Bostatstca Facultatea de Matematca, Uverstatea Bucurest Edtura Uverstara Carol Davla Bucurest, 8

4 CUPRINS. Elemete de teora robabltatlor. Varable aleatoare. Dstrbut de robabltate 4. Itervale de credere 7 5. Verfcarea otezelor statstce 5 6. Teste earametrce Regresa lara Metode statstce de aalza factorlor de varabltate 95 eermetul bologc (aova) 9. Testarea efectelor de formulare, secveta s eroada eermetul crucsat cu eroade s secvete. Aalza dsersoala cu teractu tre factor 7. Aalza dsersoala testarea corelate s regrese 7 lare. Testarea boechvalete a doua roduse. Comararea a doua drete de regrese 7 4. Tabele etru z 5. Tabele etru T 6. Tabele etru F, Tabele χ 7 8. Bblografe 9 9. Curs 4 4

5 4

6 Metrc de dzolvare Cosderam ca doua roduse sub forma de tablete cot aceeas substata actva, acceas cocetrate s ca am obtut urmatoarele rezultate ceea ce rveste cedarea: Tm (m.) Cattatea elberata % Testat T Referta R Cattatea de s.a. (%) Cattatea de s.a. (%) dzolvata tm Tm (m) Testat Referta dzolvare. Sa se calculeze dstatele f, f, ρ, Rezolvare: Calculam: w ρ, δ s δ s tre cele doua rofle de T R R T ( R ) T f R R T Dec f f Factorul 5*lg ( ) R T

7 f 5*lg 5 *lg 5*lg 5* Facem observata ca cazul factorulu f este stablta r recomadar ale autortatlor de reglemetare, o barera tre smlartate s o smlartate, tre curbe s aume valoarea de 5. U factor ma mare de 5 ustfca decza de smlartate. Se admte ca roflele de dzolvare sut smlare s cazul care f 5, cu codta ca amadoua rodusele sa elbereze este 85% d substata actva rmele 5 mute. T Dstatele δ s δ s sut: R δ R T 4 s δ s R T R T R T R T ( R ) R T T δ δ s * * * * 4* Dstatele ρ s ρ w (weghted, fecare uct fd oderat cu R T ) ( R T ) R T ( R ) R T T ma, w ρ ma, s T R ρ T R R T ( ) T R R T R T ma, T R / / /

8 ρ w ρ * 5 5 * 4*.6 6 *. 9 * (.6..6) * * * 5 * Petru ormele de tul δ s ρ u esta reglemetar care sa stableasca lmtele tre smlartate s o smlartate. Norma de sgurata d c roveta d orma cubca d c ( R, T ) ma( R, T ) va da acest caz: d c ( R, T ) 5 dec curbele u dfera c u uct cu ma mult de 5%

9 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE.. CÂMPURI DE PROBABILITATE I teora robabltăţlor fecăru rezultat osbl al uu eermet aleator, rezultat cosderat ca evemet, se asocază o masura umercă, umtă robabltatea evemetulu resectv. Această valoare este o caracterstcă obectvă a evemetulu î codţle eermetulu dat. Evemetele ot f smle, î sesul că u se ot descomue ma dearte alte evemete, sau comuse d alte evemete ce se etrec ma mult sau ma ut smulta. Î acest cotet utem cosdera două oeraţ ître evemete. Deoarece evemetele asocate uu eermet aleator sut art ale uu evemet total E este osbl sa cosderam ca oeratle cu evemete sut oerat cu multm. Screm A B (evemet tersecte) ş îţelegem r aceasta u evemet care costă î roducerea evemetelor A ş B, smulta. Screm A B (evemet reuue) etru cazul câd se roduce cel uţ uul d cele două evemete. Nerealzarea evemetulu A este u evemet ce se umeste evemet ous sau cotrar lu A s se oteaza A sau CA. Petru oeratle cu evemete fuctoeaza aceleas roretat ale lor d teora multmlor:. A B B A A B B A. A ( B C) ( A B) C A ( B C) ( A B) C. A Φ A A Φ Φ 4. A A A A A A 5. A E E A E A 6. A ( B C) ( A B) ( A C) A B C A B A C 7. A A E A A Φ 8. E Φ Φ E 9. A B A B A B A B. A B A B Daca avem o famle evda de evemete { A } I, ude I este o famle de dc cel mult umarabla, vom utea etde oeratle de reuue s de tersecte astfel:. U A I A I A U A. I ( ) ( ) ( ) I U AI B I U( A B) I I I I A I B I( A B) I

10 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE Suem ca doua evemete A s B sut comatble daca u se ot realza smulta: A B Φ s suem ca sut deedete daca realzarle lor u se flueteaza recroc. U eemlu de evemete comatble s deedete este cel al arucar cu baul deoarece u este osbl ca la aceeas arucare sa aara amadoua fetele s, de asemeea, aarta ue fete (stema) u flueteaza aarta celelate fete (baul). Eemlul clasc de câm de robabltate ft îl costtue evemetele ce ot aărea atuc câd, dtr-o ură î care se află ble albe ş egre se etrag ble. Dacă roorţa blelor albe î ură este, ş dec a celor egre este q -, robabltatea evemetulu A, ca d ble etrase, să fe albe, este: P( A) C q De eemlu, evemetul ca d tre ble etrase, două să fe albe - a - ş ua să fe eagră - - se oate descomue î felul următor : A (a a ) U (a a) U ( a a) ş P(A) P(a a ) P(a a) P( a a) q q q q C q - Defte: Fe E multmea fta a evemetelor osble la efectuarea uu eermet s ( E) multmea artlor lu E. Fe K ( E) o multme evda de art ale lu E. Ea se umeste cor de evemete, daca verfca urmatoarele aome:. A K avem A K. A, B K avem A B K Eerctu: Daca K ( E) este u cor de evemete, verfcat urmatoarele roretat: a. Φ K s E K b. A K,, A K s A K c. A, B K A B K U I

11 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE Solute: a. Deoarece K φ, esta cel ut o multme A K. Rezulta ca A K, dec A A K E K s E K ceea ce seama ca Φ K b. Daca A K,,, atuc r ducte comleta se obte ca U A K Deoarece Dar U A A K,,, avem A K,, s A K. U A K ceea ce mlca c. A, B K A, B K A B K A B K U A I U A K Defte: Fe E o mulţme ş K o famle evdă de ărţ ale lu E, K (E) cu roretăţle:. A K CA K A K U A K. ( ) N. E K Dec, este îchsă la oeraţle de comlemetare ş reuue. Se sue, î acest caz, că famla K, îmreuă cu oeraţle meţoate, formează u cor bolera. Defte: U elemet A K se umeste evemet comus daca esta doua evemete B, D K, B Φ, D Φ, B A, D Aastfel cat A B D. U evemet A Φ ce u este comus se umeste evemet elemetar. Defte: Fd dat u saţu măsurabl ( E, K ). O fucţe P: [,] roretăţle: a) P măsură ş b) P ( E ) se umeşte robabltate. Dec, robabltatea ar f o măsură ormată. K cu

12 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE Defte: Se umeşte măsură orce fucţe oztvă deftă e corul mulţmlor măsurable, µ : K R, adtvă e orce famle ( A) I umărablă de mulţm măsurable dsucte: 4 ( ) A ( A ) µu, m, A Φ Am µ Eerct: Fe A s B K. Verfcat urmatoarele roretat: a. A K avem P( CA) P( A) b. P ( Φ) c. Daca A B, atuc P( A) P( B) d. A K avem P( A) e. P( B A) P( B) P( A B) f. P( B A) P( B) P( A), daca A B P B A P A P B P A B daca A B Φ g. ( ) ( ) ( ) ( ) h. PI A P( CA ) (egaltatea lu Boole) Solute: a. A K avem A A E s A A Φ ( A A) P( A) P( A) P( E) P P( CA) P( A) b. Φ CE P( Φ) P( CE) P( E) c. A B B A ( B CA) dar A ( B CA) Φ, dec P( B) P( A) P( B CA) P( A) d. A K avem Φ A E P( Φ) P( A) P( E) q. e. d. e. B B E B ( A CA) ( B A) ( B CA) Dar ( B A) ( B CA) Φ, dec P( B) P( B A) P( B CA) P( B A) P( B A) q. e. d. f. A B A B A P B P B A P B P B A g. Deoarece A B Φ utem scre: A A E A ( B CB) ( A B) ( A CB) B B E B ( A CA) ( B A) ( B CA) A B A B A CB B CA Dec, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( B) P( A)

13 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE Cum evemetele A B, A CB, B CA sut comatble doua cate doua obtem: P( A B) P( A B) P( A CB) P( B CA) Dar P( A CB) P( A) P( B) s P( B CA) P( B) P( A) de ude obtem P B A P A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) h. Deoarece C I A UCA vom alca robabltatea obtadu-se P C P I I A P A U CA P P ( CA ) I A P U CA P ( CA ) Defte:Probabltatea codţoată Fe B u evemet a căre robabltate este dfertă de. Probabltatea uu evemet A, rereztă roorţa î care e aştetăm să se realzeze A î cadrul tuturor evemetelor câmulu de robabltate la care aarţe A Probabltatea lu A se ma oate aalza îsă ş î cotetul î care ştm că s-a rodus ateror evemetul B. Probabltatea evemetulu A codţoată de B se otează, î acest caz, cu: P(A/B) sau P B (A). Dacă s-a costatat eermetal o frecveţă de aarţe A ş, resectv B, etru A ş B, frecveţa relatvă de aarţe a lu A, câd dea a aărut B, va f: P( A B) AB I AB B B P( B ) Î acest cotet aare aturală defţa robabltăţ evemetulu A, codţoată de B, r formula: P ( ) ( AI B) P B A P B ( ) 5

14 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE Eerctu: Demostrat ca raortul de ma sus verfca aomele robabltatlor: a. P B ( A) b. P B ( E) c. PB PB D, daca A D Φ P ( A D B ) ( A) ( ) Demostrate: a. Deoarece P( A ) s P( A B) obtem egaltatea ceruta. b. Coform defte avem: P ( ) ( E B) P( B) P B E P( B) P( B) c. P ( ) [( A D) B] P[ ( B A) ( D B) ] P A D B P B P B P P ( ) ( B A) P( D B) P( B) ( A) P ( D) B B P ( B A) P( B) P ( ) ( D B) P( B) Teorema robabltăţ cauzelor Probabltatea roducer orcăru evemet, este egală cu suma robabltăţlor de roducere a lu, codţoate de evemetele comlete ale sstemulu ( A ), ş P ( ) ( A) PA( ) P A P A PA ( ) ( ) 6

15 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE Eerct:. Masa, rezsteta s altmea sut caracterstc deedete ale uu comrmat. Probabltatea ca u comrmat sa u coresuda d aceste ucte de vedere sut:,;,5 s,. Care este robabltatea ca tableta sa coresuda raort cu cele tre caracterstc? Solute: Fe E, E, E evemetele care se realzeaza cad rodusul coresude raort cu fecare dtre caracterstc. P ( E ) P( CE ). 97 P ( E ). 95 P ( E ). 98 Daca CE, CE, CE sut deedete s E, E, E sut deedete. Asadar: P E E E.97 *.95*.98. ( ) 9. Cu datele d roblema recedeta sa se calculeze robabltatea ca rodusul sa u coresuda. Solute: P ( CE ). P ( CE ). 5 P ( CE ). Se utlzeaza relata P A B D P A P B P D P A B P A D P B D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( A B D) s se obte P CE CE ( CE ).5*..*.5* *.5.*.. I 5% comrmate rezsteta este ecoresuzatoare d cauza eresectar formule de fabrcate, ar % d cauza reglaulu corect al mas de comrmat. Care este robabltatea ca rezsteta comrmatulu sa fe bua? Solute: Fe A(B) evemetul care se realzeaza cad rezsteta u coresude d cauza formule de fabrcate. P(A).5 s P(B). P CA CB P C A B P A B Se calculeaza ( ) [ ( )] ( ) 7

16 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE P A B P A P B P A B.5..5*.. P CA CB. Dar ( ) ( ) ( ) ( ) 45 Dec, ( ) O casula este cosderata coresuzatoare stadardulu daca deleste codtle A, A, A, A 4. Datele statstce arata ca 9% dtre casule delesc codta A, 8% delesc codta A, 85% delesc codta A s 95% delesc codta A 4. Care este robabltatea mma ca o casula sa coresuda stadardulu? Solute Se alca egaltatea lu Boole P A P CA P ( ) ( ) ( CA ) P( ) A Dec P( A ) P( A ) ( ) Obtem P ( A A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) Dec robabltatea ca o casula sa fe coresuzatoare este cursa tre.5 s. 5. O stalate este deservta de tre ome cu fuctoare deedeta a caror robabltate de defectare este. ;.5 s.5. Istalata trebue orta daca se defecteaza rma oma sau omele s smulta. Daca se defecteaza uma ua dtre omele sau stalata oate fuctoa. Care este robabltatea ca stalata sa fuctoeze? Solute Fe A, A, A evemetele care coresud fuctoar omelor, s resectv s fe A evemetul cere se realzeaza cad stalata fuctoeaza. A ( A A A ) ( A CA A ) ( A A CA ) P A P A A A P A CA A P A A CA ( ) ( ) ( ) ( ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( CA ) P( A ) P( A ) P( A ) P( CA ).9*.85*.75.9 *.5*.75.9*.85* U rodus este relucrat doua etae A s B. Dua etaa A esele sut cotrolate, ar cele ecoresuzatoare sut rerelucrate. Eeretele arata ca esele coresud dua etaa A roorte de 97%, ar dua etaa B roorte de 95%. Care este robabltatea ca o esa sa coresuda? 8

17 Solute I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE P Coform defte robabltatlor codtoate avem: ( ) ( BI A) P A B P( A) ( A B) P( A) * P ( B).97 * P A 7. Se cosdera doua recete de reactv B s B. I recetul B se afla astle de KOH, ar recetul B astle de KOH s de NaOH umar egal. O astla scoasa la tamlare d uul d recet se dovedeste a f KOH. Care este robabltatea ca aceasta astla sa rova d B? Solute Fe A evemetul ca astla sa fe de KOH. Se alca relata lu Baes: P( B ) PB ( A) PA ( B ) P B P A P B P A P ( ) ( ) ( ) ( ) ( B ) P( B ) ( A) P B P B ( A) Dec ( ) P A B B B 8. Se cosdera cc lotur de comrmate cu structurle: a. Doua lotur cu 6% comrmate coresuzatoare; b. Doua lotur cu 55% comrmate coresuzatoare; c. U lot cu 7% comrmate coresuzatoare. Loturle costau d acelas umar de ese. Se face cotrolul uu comrmat luat la tamlare. a) Care este robabltatea ca acest comrmat sa fe ecoresuzator? b) Daca se resuue ca acest comrmat este ecoresuzator care este robabltatea ca acesta sa rova dtr-u lot de tul? Solute a) Se oteaza cu B evemetul de a cotrola u comrmat ecoresuzator s cu A, A, A evemetele care costau d efectuarea cotrolulu uu comrmat d loturle, sau resectv. 9

18 P I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR CAMPURI DE PROBABILITATE P A P B ( B) ( ) ( ) 5 A 5 A 5 P ( A ), ( B) 4 P A A. P ( ), ( B) 45 P A. P ( ), ( B) Dec, P ( B) P A b) P ( ) B..4 *.45*.* P( A ) ( ).45* PA B A 5 P( B) Zece lotur dtre care tre de tul A, cc de tul A s doua de tul A trec verfcarle la care sut suuse roorte de 9%, 75% s resrectv 85%. a) Care este robabltatea ca u lot ales la tamlare sa fe coresuzator. b) Care este robabltatea ca u lot coresuzator sa fe de tul A. Solute P ( A )., P ( A ). 5, P ( A ). Se oteaza cu B evemetul care costata fatul ca lotul ales trece verfcarle. P B / A., P ( B / A ). 75, P ( B / A ). 85 P P ( ) 9 ( B) P( A ) P( B / A ). 85 ( A / B) P ( A ) P( B / A ) P( B).

19 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE.. VARIABILE ALEATOARE Defţ: a) Se umeşte varablă aleatoare (îtâmlătoare sau statstcă) o fucţe reală f deftă e mulţmea K a evemetelor, cu roretatea că, orcare ar f umărul real a, mulţmea K etru care f() a este u evemet d K. Î terme de teora măsur, o varablă aleatoare este o fucţe f : (E, K, P) (R, B), măsurablă. Practc vorbd avem deftă robabltatea ca varabla să abă valor ma mc decât orce umăr dat a. b) O varablă aleatoare se umeşte varablă aleatoare smlă dacă a u umăr ft de valor: f : E R, f (E) ftă ş P( f () ) P( f - ( ) ) c) Doua varable aleatoare sut deedete, daca au valor deedete ua de cealaltă: P ( f ( ) ) ( g( ) ) P( f ( ) )* P( g( ) ),, Eemlu: Fe o varabla aleatoare dscreta (v.a.) avad tabelul de dstrbute:...,, : ude... atuc fucta de reartte coresuzatoare va f: F ( ),,,,, daca daca daca. daca. daca

20 Defte: I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE Fe ( ) tegrabla f ( ) astfel cat F F fucta de reartte a ue v.a.. Daca esta o fucte ( ) f ( u) du f se umeste destatea de robabltate sau destatea de reartte a lu atuc se umeste varabla aleatoare cotua, ar ( ) Caracterstc ale varablelor aleatoare Meda: Se umeşte valoare mede (sau seraţă matematcă) a ue valor aleatoare f, umărul M(f), atuc câd ξ este o varablă aleatoare smlă ş, resectv M(f) ρ ( )d, atuc câd ξ este o varablă aleatoare cotuă, cu destatea de robabltate ρ. Mometul de ord al ue varable aleatoare rerezta geeralzarea otu de mede: M ( f ), atuc câd ξ este o varablă aleatoare smlă ş resectv, M (f) cotuă. ρ()d, atuc câd ξ este o varablă aleatoare Mometul cetrat de ord al ue varable aleatoare f este mometul de ordul al abater sale faţă de mede. c M ( f ) ( µ f ) c ş resectv, [ M ( f )] ρ( )d cotue. µ,î cazul ue varable aleatoare

21 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE Dsersa varable aleatoare de otează D() sau ş este, î artcular, mometul cetrat de ordul do. D() M[(-M()) ] ( M ( )) ρ( )d ş resectv M[(-M()) ] ( ) µ, atuc câd varabla aleatoare este dscretă. Rădăca ătrată a dserse,, se umeşte abaterea mede ătratcă a varable, ar s abaterea stadard. Eerctu: Verfcat urmatoarele roretat ale mede: dacă f ş g sut deedete, atuc avem: a) M(af) am(f) b) M(fg) M(f) M(g) c) M(fg) M(f)M(g) Solute: Fe varablele deedete: f f : g g : q f g q f g q m m ude ude q,, s, m q, m a) M ( af ) af a f am ( f ) [ ] b) M ( f g) ( f g ) ( f f ) ( g g ),

22 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE 4 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) g M f M q g f q g q f q g q f q g q f q g q f q g f g g f f g f,,,,, * c) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] g g f f g f g f M, * * ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) q g f g g f f g f,, * * * ( ) ( ) ( ) ( ) f M g M f g M g M f q g f q g f q g f, Eerctu: Verfcat urmatoarele roretat ale dserse: a) Petru orce varablă aleatoare ş orce costate a ş b D(ab) a D() b) Dacă, Y sut două varable aleatoare deedete D(Y) D() D(Y) c) Ître dserse, valoarea mede ş mometul de ordul do estă relaţa: D() M( ) (M()) Solute: a) ( ) ( ) D µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D a a a a a a b a b a b a b a b D a µ µ µ µ µ µ

23 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE 5 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Y Y Y Y Y Y q q q q q q q q Y D µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ,,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y q q q µ µ µ µ ( ) ( ) ( ) ( ) D Y D q Y * µ µ c) D() ( ) µ - µ µ ( ) ( ) ( ) * * M M µ µ µ µ µ µ Dec, M( ) - µ µ M( ) (M()) Eerct:. Fe urmatoarea varabla aleatoare:,4, 4,, : Sa se determe fucta sa de reartte. Solute: ( ) 4,. 4,6,,,.,,,,, daca daca daca daca daca F

24 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE. La o farmace a fost regstrat umarul de atbotce cerut zlc e o eroada de 5 de zle, obtadu-se urmatoarele valor: Cererea zlca Numarul de zle a. Sa se rerezte tabelul de dstrbute a varable aleatoare rerezetad cererea zlca de atbotce; b. Sa se determe fucta de reartte coresuzatoare c. Care este robabltatea ca umarul cererlor sa fe curs tre 4 s 7, utad lua valoarea 4 sau 7; d. Care este robabltatea ca cererea de atbotce sa fe ma mare de 6; Solute: 8 a : 4 dec :,6,4,4,8,,8 F P, dec: b. D defta fucte de reartte avem ( ) ( ) F ( ), daca,6 daca 4,6,4, daca 4 5,6,4,4,44 daca 5 6,6,4,4,8,7 daca 6 7,6,4,4,8,,9 daca 7 8 daca 8 c. P ( 4 7 ) P ( 4 7 ) P ( 7 ) F ( 7 ) F ( 4 ) P ( 7 ),7,6,,86 d. P ( 6 ) P ( 6 ) [ P ( 6 ) P ( 6 )] F ( 6 ) P ( 6 ),44,8,8 6

25 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE 7. Sa se determe R astfel cat varabla aleatoare sa aba reartta: 8 4 : b a Solute: Codtle muse sut: [ ] [ ] 8 4, 8 4, 4. Sa se calculeze meda s dsersa etru urmatoarea varabla aleatoare : Solute: ( ) * * M ( ) 9 * * D 5. Sa se calculeze suma urmatoarelor varable aleatoare: : s : Y Solute: : Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 * * Y P P Y P Y P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 6 * * * * P Y P P Y P Y Y P Y P

26 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE P Y P Y P * P Y * Dec, ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) 6 Y : 6 6. Cuoscadu-se urmatoarea varabla aleatoare se calculeze D ( ) Solute: Vom calcula ( ) 5 µ * * ( ) ( ) 9* ( ) 9* ( µ ) D D D 5 5 9* * * 4 6 9* * * 9 9 : sa 7. Sa se calculeze meda s dsersa etru suma urmatoarelor varable aleatoare: : s Y : 4 4 Solute: Vom calcula meda s dsersa etru cele doua varable aleatoare: M ( ) * * s D ( ) ( µ ) * * * * M Y q 5 * * * s Aalog, ( ) 8

27 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE D ( Y ) ( µ ) q * * * * * * M ( Y ) M ( ) M ( Y ) D ( Y ) D( ) D ( Y ) U trasort de receţ cu matere rmă sut cotrolaţ astfel: se aalzează coţutul uu recet ales la îtâmlare ş se stableşte dacă oate f accetat sau u. Se cercetează 6 receţ. Dacă recetul cotrolat la etracţa de rag,,,4,5 u coresude îtregul trasort este ress ş se oreşte aalza. a) Care este reartţa varable aleatoare care dă umărul de receţ aalzaţ? Se şte că robabltatea ca u aumt recet să coresudă este de /. b) Să se calculeze meda aceste varable. Rezolvare: Varabla aleatoare a valorle: dacă rmul recet este ress P()P(rmul recet este ress) dacă rmul recet coresude, dar al dolea recet este ress P()P(rmul recet coresude ş al dolea recet este ress)p(rmul recet coresude)*p(al dolea recet este ress) * dacă rmele două recete coresud, dar al trelea recet este ress P()P(rmul recet coresude, al dolea recet coresude ş al trelea recet este ress)p(rmul recet coresude)*p(al dolea recet coresude)*p(al trelea recet este ress) * *... 9

28 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE 6 dacă toate recetele coresud P(6)P(rmele 5 recetele coresud) Dec, reartţa de robabltatea este: : Meda aceste varable este: 4 M * * * 4* 5* 6* 4 5 ( ) 5 9. Fe q robabltatea ca o reacţe de olcodesare să se roducă ş q robabltatea ca reacţa să se îtreruă. Să se calculeze reartţa, meda ş dsersa varable aleatoare care dă gradul de olcodesare. Solute: Probabltatea formăr uu olmer cu gradul de codesare, care să coţă - legătur formate r olcodesare este q, îmulţtă cu robabltatea de îtreruere q. Dec reartţa varable aleatoare este:... :.. q q q. Se observă că q q E ( ) q q... q... ( q q... q...) q q E Deoarece d E ( )... q q q ( q)... q ( q) q... q rezulta ca 5 5 r dervare se obte D( ) E( ) E ( ) ( ) q q... q... ( q q... q...)

29 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE q Dar q q q... q ( q) Pr dervare rezulta: ( ) ( ) ( q) E q q... q... q ( E ( )) Rezulta ( ) ( q) q ( q) D Abaterea mede atratca este ( ) q ( ). U lot de comrmate este suus cotrolulu e flu ceea ce rveste greutatea, rezsteta s altmea. Probabltatea ca u comrmat sa coresuda la fecare cercare este de,9. Eereta este treruta daca tableta u coresude la o aumta cercare. Sa se scre reartta varable aleatoare care rerezta umarul de comrmate testate. Solute: Se oteaza cu q, 9 robabltatea ca tableta sa rezste s cu q, robabltatea ca ea sa u rezste. Probabltatea ca tableta sa fe suusa la cercar este q deoarece ea trebue sa rezste la - cercar s sa rezste la cercarea. Asadar: ( ) ( ) :,,....9 *.. Sa se calculeze meda s dsersa varable cu reartta q :... q C q C q... Solute: E ( ) C q

30 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR VARIABILE ALEATOARE Se oreste de la relata: ( ) q t C q t. Pr dervare dua t rezulta ( ) q t C q t Se cosdera t s se obte: ( ) ( ) E q C q Dervad d ou dua t obtem: ( ) ( ) ( ) q t C q t t q t Se cosdera t s se obte: ( ) ( ) E q C ( ) ( ) ( ) ( ) q E E D. Sa se calculeze meda s dsersa varable cu reartta :...!...! e e e Solute: ( ) ( ) e e e e E!! ( ) ( ) ( ) ( )!!!!! e e e e e e e E ( ) ( ) ( ) ( ) E E D

31 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE.. DISTRIBUTII DE PROBABILITATE Dstrbuta bomala Dstrbuţa bomală aare la descrerea evemetelor asocate etracţlor dtr-o ură cu ble albe ş ble egre. Dstrbuţa varable aleatoare umărul de ble albe d ble etrase se oate rerezeta ş sub formă matrcală: C q C q C q C q Probabltatea evemetulu este C q Proretat: Meda ş dsersa ue varable aleatoare reartzate bomal sut M s D q Reartţa bomală aare îtotdeaua atuc câd u eermet cu uma două răsusur osble se reetă de or. Dstrbuta Posso U caz artcular al dstrbute bomale îl reztă eermetele care se reetă de u umăr foarte mare de or, ar evemetul î a căru aarţe sutem teresaţ are o robabltate foarte mcă, categorst uzual ca evemet rar. Dstrbuţa Posso se obţe la lmtă, câd,, dar rămâe costat,. Dec, dstrbuţa Posso este dată de matrcea e e e e! Solute: Cosderăm dec că lm C q!! ş trecem la lmtă duă lm ( )...( ) ( )...( )! *lm lm!

32 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE 4 dar ( ) ( )... lm ş ( ) e lm lm ş dec, e q C! lm Ceea ce arata ca: e e e e!...!...! Proretat: Meda ş dsersa ue varable aleatoare dstrbute Posso sut ( ) M s ( ) D Solute: Vom calcula, duă defţe, meda ş dsersa ue varable aleatoare dstrbute Posso ş vom te cot că e!, e!, ( ) e!, e! obtadu-se astfel: ( ) ( ) ( )!!! e e e e e M ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )!!!!!!! e e e e e e e e D

33 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE Dstrbuta ormala Suem că o varablă aleatoare este ormal reartzată N ( m, ), atuc câd destatea sa de robabltate este data de formula: ( m) ρ(, m, ) e π Eerct: Sa se verfce urmatoarele roretat ale destat de robabltatea ρ ( ) : a) ρ ( ) d P( f ( t) ) b) M [ ] m c) D [ ] Alcate: Daca este o varablă aleatoare ormal reartzată N ( m, ), m atuc varabla aleatoare Z este ormal reartzată N (,). Solute: Tad cot de roretatle mede obtem: m M [ ] [ m] M [ ] m m m M Z M Tad cot de roretatle dserse obtem: m D [ ] [ m] D[ ] D Z D Varabla Z se umeste varabla aleatoare ormal stadardzata. Dstrbuta χ Helmert - Pearso Se cosderă observaţ deedete,,, (varable aleatoare deedete) ormal dstrbute N ( m, ). m Varablele stadard u,, sut de asemeea deedete, ar suma ătratelor lor va avea o dstrbute ce oate f determată. Se defeşte u. 5

34 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE Dstrbuţa varable rezultate se otează χ () ş este dfertă etru fecare valoare a lu, ar arametru se defeşte ca umărul de gradelor de lbertate. Parametr (meda ş dsersa) ue varable dstrbute χ sut: M [ χ ( ) ] s D[ χ ( ) ] Destatea de robabltate este dată de fucţa χ e χ f(χ ) ( ), Γ ude Γ este fucţa Euler de seţa I-a studată la cursul de matematcă ş Γ e t dt. t aume : ( ) Reartta χ se foloseşte foarte mult î statstca matematcă î verfcarea otezelor asura egaltăţ dserslor. Dstrbuta STUDENT Aalog cu dstrbuţa χ, reartţa t a fost rousă de Studet (seudomul lu W.S.Gosset, chmst statstca eglez), etru statstca selecţlor mc ş ermă devaţle medlor de selecţe, faţă de meda îtreg oulaţ µ, măsurate î s (abaterea stadard a medlor de selecţe). Dacă sut date două varable aleatoare Z N(,) s V χ ( ) deedete, se sue că varabla t Z V t( ) este reartzată Studet cu grade de lbertate. Mărmea t u dede decât de umărul gradelor de lbertate. Dstrbuţa de robabltate a ue varable aleatoare reartzate Studet tde etru, la dstrbuţa ormală ρ ( t) e π Destatea de robabltate este dată de fucţa: t 6

35 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE Γ f ( ) * * π ude R ş N. Γ Dstrbuta F (Behres - Fsher Sedecor) a raortulu a două dsers Se cosderă frecvet î statstcă raortul a două dsers care estmează aceeaş dserse geerală a ue colectvtăţ. Dtr-o colectvtate geerală se etrag două selecţ U χ ( ), V χ ( ). Raortul lor este o varablă aleatoare reartzată F U F F(, ) V Eamâd acest raort se observă că el u coţe dsersa colectvtăţ geerale, de ude rezultă că dstrbuţa acestu raort u dede decât de umărul gradelor de lbertate s ale celor două dsers. Destatea de robabltate este dată de fucţa: ( ) Γ * * * * f Γ * Γ,câd. Observate: Cuoaşterea mede ş dserse ue varable aleatoare dă o dcaţe asura tervalulu î care se află valorle varable, cu cea ma mare robabltate. Ma eact cu cât e îdeărtăm ma mult de valoarea mede, cu atât valorle resectve sut ma uţ robable ca valor ale varable date. 7

36 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE Alcat:. Probabltatea ca u comrmat sa se sfarame este de.. Presuuad ca u lot curde comrmate sa se calculeze umarul medu de comrmate care se sfarama s abaterea mede atratca. Solute: Deoarece. este costat se utlzeaza reartta bomala E.* ( ) ( ) q *.*.9 8 D. Se ste ca muctor d fac alerge la medcamete. Care este robabltatea ca tr-o fabrca cu de muctor sa este muctor alergc? Solute: Se oate utlza reartta bomala cu /.5 s. P C q P C.555 Folosd reartta Posso se obte: (.5).5 e P.5 ude. 5!. Se ste ca robabltatea ca u lot sa fe coresuzator este de.9. a. Care este robabltatea ca d lotur sa fe rebutat uul sgur? b. Care este robabltatea ca d de lotur sa fe rebutat ma mult de lotur? Solute: a) Fe umarul de lotur rebutate. Se a. s. 9! 9 9 P( ) C q C *,*,9 *,*,9,9,87! ( )! b) P ( ) P( ) P( ) P ( ) P( ) 9 8 C *, *,9 C *,*,9 C *, *, ( ) ( ),9,9, 45*,9,9 *,9,9, 45 8

37 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE 8, ,8,9 *,9,9,9 *,9,9 *,87*, 4,99, 7 4. Se ste ca % dtre aumte roduse sut defecte. Se aleg la tamlare 8 roduse. a. Care este robabltatea ca. sau roduse sa fe defecte? b. Care este robabltatea ca cel ut doua roduse sa fe defecte? c. Care este robabltatea ca cel mult doua roduse sa fe defecte? Solute: Fe umarul de roduse defecte. Se a. s 8. a) P (. sau ) P( ) P( ) P( ) 8 7 C *, *,8 C *, *,8 C 8,8,8 8 6! 8! 8 *,*,8 8! *,! ( 8 )!! ( 8 ) 7 8 *, *,8 *,8 7 7 (,8,6*,8 8*,4),8 (,8,6,4 ),8*, b) P ( ) P( ) P( ) P( ) P( ) 8 7 [ C *, *,8 *, *,8 ] 8! ( 8 )! 8 (,8,6 ),8 *,7*,5, [ ] 8 8! 8 C,8 *,*, 8,8 7 c) P ( ) P( ) P( ) P( ), % d recetele cu matere rma sut rebutate. Care este robabltatea ca d de recete sa fe rebutate. Solute: Folosd reartta bomala etru.8 s se obte! 8 P (.8) (.9). 7! 8! Folosd reartta Posso etru. 6 se obte P e.6 (.6)!.58 Se observa ca rezultatele sut aroate. 7 9

38 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE 6. Se ste ca % d roducta ue fabrc este alcatuta d roduse cu defectu. Sa se calculeze robabltatea ca d roduse alese la tamlare ( cu uerea ao a rodusulu) sa fe defecte,,,,...,7. Solute: Se oate alca fe reartta bomala, fe reartta Posso. e P C q, P ude ;.; q.9 s! P P Probabltatea de a avea u cosum zlc ormal de eerge este de.75. Fe umarul de zle lucratoare e satamaa, care cosumul este ormal. Sa se determe : a. Reartta varable aleatoare b. Probabltatea uu cosum ormal cel ma ut 4 zle c. Meda, dsersa s abaterea mede atratca a lu. Solute: Se alca reartta bomala cu 6, /4 s q/4 a) : C q 4 5 Dec 79 6 : b) P ( 4 ) P( 4) P( 5) P( 6). 8 c) E ( ) 4. 5 D q. ( ) 5 ( ) D( ) Norma revede etru carolactama uctul de soldfcare 67. C. Eeretele efectuate asura uu lot arata ca uctul de soldfcare este reartzat ormal cu meda µ 67.7 C s dsersa.9. Sa se determe rocetul de sare care u coresud caltat. Solute:

39 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE D oteza avem ca varabla aleatoare (uctul de soldfcare) este ormal reartzata cu meda µ 67.7 C s dsersa. 9 dec, E( ) 67, 67,7,5 5 Z N(,), 66 D,, ( ) Se observa ca: 67,7 67, 67,7 67. P P,66,5,,9,9 P Z Dec, P ( 67.). 485 ( ) ( ) U echamet etru roducerea ae etru solut ectable este alcatut d atru ssteme deedete. Probabltatea ca u sstem sa se defecteze tmul fuctoar este de.. Care este reartta varable aleatoare care da umarul de ssteme ce se ot defecta tmul fuctoar? Solute: este robabltatea bomala care 4,. s q. 9 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C.9. C.9. C U oerator oate cotrola vzual doua fole de vacc e mut. Pe durata uu schmb (48 mute) se costata ca 4 de fole de vacc rezta defecte de chdere. Cosderad ca umarul de fole defecte este reartzat Posso sa se determde robabltatea ca d 5 fole cel ut doua sa fe defecte. Solute: 4 4

40 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE Itr-u mut se costata 4. 8 fole defecte s sut 48 sectate vzual fole. Dec, 5 fole de vacc vor f sectate 5.5 mute. I acest tm se costata.8*.5. fole defecte. La o reartte Posso este meda, dec (.) P( ). e! Probabltatea ceruta coresude lu,, 4, 5 P P P P 4 P 5.75 ( ) ( ) ( ) ( ). Sa se calculeze robabltatea ca o varabla aleatoare ormala sa a valor tr-u terval de lugme de-o arte s de alta a valor med. Se a,,. Solute: Se calculeaza P µ P µ µ P µ ( ) ( ) ( ) P µ P ( Z ) Φ( ) Φ( ) * P( Z ) * z µ ude Z N(,) s z P( Z z ) a) Petru avem P µ P Z * z *,4, ( ) ( ) 686

41 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE b) Petru avem P µ P Z * z *,477, ( ) ( ) 9544 c) Petru avem P µ P Z * z *,4987, ( ) ( ) 9974 Se observa ca robabltatea ca o varabla aleatoare ormala sa a valor afara tervalulu (, ) de-o arte s de alta a valor med este fma.. O varabla aleatoare este reartzata ormal cu meda s dsersa. Care este robabltatea ca varabla aleatoare sa a valor ma mar decat 5 ( ma mc decat -5)? Solute: a)

42 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE µ 5 µ P( 5) P P,5 Φ(.5),5,498.6 b) µ 5 µ P,5,4998. ( 5) P P,5 Φ(.5). O varabla aleatoare are meda µ s dsersa 4 se calculeze ( ) P s ( ) P. Solute: a) P ( ) P P (, 5 Z ). Sa 4

43 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE Φ Φ,95, 4,58 b) P Φ Φ,4,95.47 ( ) P( ) P P(,5 Z,5) 4. Fe o varabla aleatoare reartzata ormal cu arametr E µ µ s. Sa se calculeze ( ) Solute: ( µ ) ( µ ) ( ) ( µ ) ( µ ) E f d e d π 5

44 I. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR DISTRIBUTII DE PROBABILITATE ( µ ) ( µ ) ( µ ) e d ( µ ) e d π π e d e d e d π π π e π µ π µ 5. Destatea de reartte a durate de fuctoare a uu sstem de τ τ cetrfugare este f ( τ ) e ude τ este a. Sa se determe τ robabltatea ca tr-o stalate formata d tre ssteme de cetrfugare sa u se defecteze c o cetrfuga rm 6 a de fuctoare. Solute: Probabltatea ca durata de fuctoare a ue sgure cetrfug sa fe ma mare de 6 a este τ 6 τ τ e dτ e e 6 τ Deoarece duratele de fuctoare ale evaoratoarelor sut varable 6 deedete, robabltatea cautata va f ( e ) e 6. Itr-u strat fludzat se afla M g de graula. Debtul de materal r strat este de G m 4 g / h. Sa se determe ce fractue de artcule se afla strat u tm ma mc (ma mare) decat tmul medu de statoare. Solute: M τ τ *6 5 m s f ( τ ) e G m 4 τ P τ ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ f τ dτ e dτ e e τ P τ τ ( τ τ ) f ( τ ) dτ e τ τ τ 6

45 TEOREMA LIMITA CENTRALA INTERVALE DE INCREDERE Problema estmăr tervalelor etru u arametru θ se reduce la găsrea uu terval de îcredere ( θ L, θ U ) cu u coefcet de îcredere astfel îcât P ( θ L θ θu ). Î stablrea tervalelor se utlzează caracterstcle umerce cuatle. Se umesc cuatle de ord β valoarea a varable aleatoare etru care ( ) P( ) β F adcă valoarea varable aleatoare β β care are la stâga e ara β sub curba destăţ de robabltate. Petru a estma u terval se alege, se ctesc d tabelele cuatlele, de eemlu ş ş se stableste tervalul ord de la formula dstrbute de robabltate. Estmarea tervalelor de îcredere etru med a) Cazul câd se cuoaste dsersa. N µ, Se cosderă o oulaţe reartzată ormal ( ) dsersa se foloseste fatul că otează cu Z µ β. Dacă se cuoaşte este reartzată N (,) z cuatla de ordul etru reartţa N (, ) µ P z z z P z z P z * µ z * P z * µ z *. Evdet. Se 7

46 TEOREMA LIMITA CENTRALA 8 * * * * P z z P z z µ µ Aşadar tervalul căutat este ( ) z z U L θ θ,, Mărmea z E oartă umele de eroare. b) Cazul câd dsersa este ecuoscută Dacă u se cuoaste dsersa î estmarea tervalelor se utlzează dsersa de selecţe care este u estmator edelasat al dserse deoarece ( ) s E Se cosderă,...,, o selecţe dtr-o oulaţe de tul ( ) µ, N. Mărmea s T µ este reartzată ( ) T ş, ca urmare µ µ µ µ µ * * * * * * * *,,,,,,,,,,,, s t s t P s t s t P s t s t P s t s t P t s t P t T t P

47 TEOREMA LIMITA CENTRALA Deoarece reartta Studet este smetrcă faţă de orge t t,, Ca urmare tervalul căutat este ( ) s s θ L, θu t, t,, s Î acest caz eroarea este E t, Dacă umărul de eereţe este, se oate folos aromaţa t z, Estmarea tervalulu de îcredere med etru dfereţa a două Se cosderă două selecţ d oulaţ ormal reartzate ( µ, ) N ( ). µ, a) Cazul dserslor, cuoscute. Fe o selecţe aleatoare,,..., selecţe,,..., N µ, N ş d oulaţa ( µ, ) dtr-o oulaţe ( ) a medlor µ ş µ sut: s Cosderâd varabla aleatoare N ş o. Estmator edelasaţ, ea este ormal reartzata avad meda M ( ) µ µ ş dsersa D( ) ţad cot că ş sut deedete. ( ) ( µ µ ) Varabla aleatoare z D( ) reartzată N(,). Dec, alcad ratoametul ateror obtem: ( ) ( µ µ ) este 9

48 TEOREMA LIMITA CENTRALA ( ) µ µ ( ) z z Aşadar, tervalul de estmaţe etru dfereţa medlor este Θ, Θ z, z ( ) ( ) ( ) Î acest caz, eroarea este E z b) Dsers ecuoscute dar resuuse egale Î cazul î care u cuoaştem dsersle dar ştm că sut egale utlzăm dsersa oderată de selecţe s ( ) s ( ) s ( ) ( ). ca u estmator edelasat etru, varabla aleatoare ( ) ( µ µ ) T s fd reartzată T ( ) Deoarece reartţa Studet este smetrcă t s µ µ, t t rezultă că,, t s, Dec, tervalul de credere este: ( ) Θ, Θ t s, cu eroarea E t s,, t,. s 4

49 TEOREMA LIMITA CENTRALA Estmarea tervalelor de îcredere etru dserse Cosderăm o selecţe de volum dtr-o oulaţe ormală ( µ, ) Varabla aleatoare v χ, ( ) s este reartzată ( ) s ( ) χ s ( ) s ( ), χ, χ ş ca urmare χ s,. N. Estmarea tervalulu de îcredere etru raortul a două dsers Se cosderă selecţa aleatoare,,..., dtr-o oulaţe N ( µ,, ) ş o selecţe,,..., dtr-o oulaţe N ( µ, ). Raortul s s F este reartzat (, ) estmaţe etru raortul dserslor este: Θ Θ s s L U f, f,,, s s F ş dec tervalul de (, ), 4

50 TEOREMA LIMITA CENTRALA Alcat:. Sa se calculeze u terval de credere etru meda determarlor colormetrce ermate molartat -4 :.;.;.8;.9, daca se cuoaste dsersa etru o observate dvduala 6* M. Se alege. 95 Solute µ Se utlzeaza fatul ca Z este reartzat N (,) z µ z z z µ z z µ z z * µ z * * * (,,,8,9) * µ z * 4 * 4 Dar avem:.* M ; 4 z z.96; Dec tervalul de credere etru meda µ este: *,*,96* µ,* 4 4,88* M µ,6 * M *,96 * 5

51 TEOREMA LIMITA CENTRALA. La recetoarea ue substate recet care trebue sa aba 4 g se efectueaza u cotrol catard r soda 4 recete. Se obt greutatle: 9.75; 4.5; 9.5; 9.5. Sa se determe u terval de credere etru greutatea mede cu u coefcet de credere. 95 daca se resuue ca greutatle sut dstrbute ormal. Solute Deoarece u se cuoaste dsersa se utlzeaza fatul ca µ T este reartzat T ( ) ude: s s ( 9,75 4,5 9,5 9,5) ( ) 4 9,75 ( 9,75 9,75) ( 4,5 9,75) ( 9,5 9,75) ( 9,5 9,75) (,5) (,5) (,5) * s ; t, 8 ; Itervalul de credere este: 4

52 TEOREMA LIMITA CENTRALA 9,75,8* µ 9,75,8* * * Eroarea este E,8*, 56, dec 9,9 µ 4, *. 7 cotaere au greutatle 9.8;.;.4; 9.8;.;.; 9.6. Sa se gaseasca u terval de credere cu. 95 etru meda greutat resuuad ca greutatea este dstrbuta ormal. Solute µ Vom utlza varabla aleatoaret reartzata T ( ) s s 9,8,,4 9,8, 9,6. ; 7 ( ) ( 9,8 ) (, ) (,4 ) ( 9,8 ) (, ) ( 9,6 ) t 6 6 ; ,9.. Itervalul de credere:.447 * µ.447 * 7 7 Θ, Θ 9.74 ;.6 Dec ( ) ( ) 44 L U

53 TEOREMA LIMITA CENTRALA 4. La determarea cotutulu de ecla a uu umar de 5 fole s-a gast greutatea mede 6. 8 mg, s 4. 5 mg. Sa se calculeze u terval de credere etru mede. Se alege. 99 Solute: Deoarece 5, se oate folos aromaţa t z s se va lua z , Avem * µ *, dec tervalul 5 5 de credere este 5,97 µ 6, 9 5. Se efectueaza 8 ttrar volumetrce s se obt rezultatele: 76.48; 76.4; 77.; 76.45; 76.5; 76.48; 76.48; 76.6 cm. Sa se calculeze u terval de credere etru meda masuratorlor. Se a. 95 Solute 76,48 76,48 77, 76,45 76,5 76,48 76,48 76, s t ( ) t ; Avem t ; 7; µ s s µ ; t ;, dec, t * t * s adca 76. µ ; 6. Determarle succesve efectuate doua vase deschse care cot HCl au dat ormaltatle: N N Se ste ca dsersa cocetratlor este, 6. 45

54 TEOREMA LIMITA CENTRALA Sa se costruasca u terval de credere cu coefcetul.95 etru dfereta µ µ ude µ s µ sut valorle teoretce ale cocetratlor med. Solute ( µ µ ) Se utlzeaza varabla z z 46 5,75 5,64 5,9 5,58 5,49 5, Avem, z Z z,dec 5,77 5,6 ( µ µ ) seama ca: err µ µ err ude eroarea este: err z *,96 * z z ceea ce,6,6,96 *,, Obtem astfel: 5,77 5,6, µ µ 5,77 5,6,, µ µ 6,57 7. Au fost eamate 75 esatoae de substata de tul cu rocetul de substata actva 8. s abaterea mede atratca.8 s 5 esatoae de substata de tul cu rocetul de substata actva 7.6 s abaterea mede atratca.6. Sa se gaseasca u terval cu coefcetul de credere.96 etru dfereta µ µ a cotuturlor med de substata actva. Solute: z µ µ z ; z. 54 z.98

55 TEOREMA LIMITA CENTRALA µ µ µ µ Petru a studa flueta cocetrate de comoet cataltc asura reacte de NO se fac doua grue de eerete deate r s etru cocetratle.5 s resectv %. Se obt datele (coversle) Sa se costruasca u terval de credere cu coefcetul.95 etru dfereta µ µ. Se cosdera ca dsersle sut ecuoscute dar egale s, 95 Solute: µ µ Se utlzeaza varabla T dstrbuta Studet cu S grade de lbertate. Avem 5.7 ; ; s. 845 ; s. 75 s s S.7875 ; t 4 ;

56 TEOREMA LIMITA CENTRALA Dec *.7875 * µ µ * Rezulta.96 µ µ * µ µ 9. Greutatle uor cotaere sut ( g): 6.4; 6.; 5.8; 7.; 6.; 5.9; 5.8; 6.9; 5.; 6.. Sa se gaseasca u terval de credere cu.95 etru dsersa acestora. Solute ( ) s Se utlzeaza varabla aleatoare V ude s. 86 ( ) s ( ) s χ χ,, 48

57 TEOREMA LIMITA CENTRALA χ 9. ; χ. 7 9 ; ;.5 9 *.86 9*.86 Rezulta Cc masurator smlare asura debtulu ae rec la u schmbator de caldura au dat rezultatele (g / s): 5.76; 6.; 5.84; 5.9; Sa se gaseasca u terval de credere. 95 etru dsersa debtelor. Solute: 5.88 ; s. 975; χ.; χ ; ;.5 4 *.975 4*.975 Rezulta Se efectueaza 8 ttrar volumetrce s se obt rezultatele: 76.48; 76.4; 77.; 76.45; 76.5; 76.48; 76.48; 76.6 cm. Sa se calculeze u terval de credere etru dsersa masuratorlor. Se alege. 95. Solute: ( ) s ( ) s χ χ, s.79 ;, 49

58 TEOREMA LIMITA CENTRALA χ 6.; χ ; ;.5 7 *.79 7 *.79 Rezulta S-au facut de aalze ale ue mater rme s s-au gast o dserse a cocetrate de substata actva s.. Sa se calculeze u terval de credere etru dsersa masuratorlor. Se alege. 95. Solute: χ.9 ; χ ; ;.5 9*. 9 * Rezulta

59 TEOREMA LIMITA CENTRALA. S-a efectuat o aalza asura cotutulu de substata actva a doua lotur de matere rma. S-au aalzat 5 de robe d rmul lot s 6 robe d cel de al dolea lot de matere. S-a obtut o cocetrata mede 8 cu dsersa 64 etru rmul lot s cocetrata mede 78 cu dsersa 49 etru al dolea lot. Sa se gaseasca u terval de credere cu coefcetul.98 etru raortul dserslor. Solute: 5 ; 6 ; s 64 ; s 49 f.4 ; f ;. 5.4;.99 s * f, ; s * s * f *.89, ; s Rezulta sau Se ste ca 9% d rodusele ue trerder sut coresuzatoare. Sa se gaseasca u terval de estmate etru roorta de roduse coresuzatoare. Se alege. 95 s se face o selecte de roduse. Solute ˆ Se utlzeaza Z ˆ * qˆ 5

60 TEOREMA LIMITA CENTRALA ˆ.9 ; q ˆ. 9 ; z z * *.9.96 * *. 5

61 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Ioteze statstce Iotezele statstce sut oteze asura reartţe uor varable aleatoare. Ele se referă fe la arametr reartţe, fe la legea roru zsa de reartţe. I cele ce urmeaza e vom refer uma la otezele rvd arametr. Notaţ covetoale Ioteza testată, resuusă adevarată, se umeşte oteza ulă ş se otează H. Testarea ecestă ş formularea ue oteze comlemetare, umtă oteză alteratvă ş otată H A. Dacă se accetă H, î mod ormal se resge H A ş vers. Dacă testul rveşte valoarea uu arametru θ, de eemlu H : θ θ ş H A : θ θ se oate îtâmla ca toţ celalţ arametr ce caracterzează dstrbuţle să fe cuoscuţ ş, duă accetarea uea d cele două oteze, dstrbuţle ρ(,θ ) ş ρ(,θ ) dev comlet defte. Î acest caz, otezele sut umte smle. Dacă îsă celalţ arametrc u sut cuoscuţ comlet, otezele se umesc oteze comuse. De eemlu, dacă dstrbuţa este ormală ş arametrul cautat este µ, ar dsersa este ecuoscută, sutem î cazul ue oteze comuse. Probabltatea ue decz greste La verfcarea otezelor se ot comte două felur de eror:. Erorle de tul costau î resgerea oteze H atuc câd aceasta este adevărată.. Erorle de tul costau î accetarea oteze H atuc câd aceasta este falsă. Notat uzuale: P (resge H / H adevărată) rscul de a resge î mod greşt H se umeşte vel de semfcaţe β P (accetă H / H falsă) P (resge H A / H A adevărată) rscul de a resge î mod greşt H A π β P resge H H falsa se umeşte uterea testulu. ( ) 5

62 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Petru a verfca o oteză se folosesc datele de selecţe etru calcularea uu test statstc. Domeul de valor ale testulu care coresude resger oteze H cu robabltatea se umeşte regue crtcă. Metodologa de verfcare curde î rcu următoarele etae:. se resuue, e baza uor teste ateroare sau e baza structur feomeulu studat, o reartţe etru oulaţa statstcă d care se face selecta;. se formulează oteza;. se calculează valoarea testulu ales ş se comară cu lmtele de accetare, resectv resgere; 4. se accetă sau se resge, î fucţe de rezultat, oteza H. Ioteze asura mede. Dsersa cuoscută Se cosderă o selecţe dtr-o oulaţe ormală N ( µ, ) urmare a teoreme lmtă cetrală, varabla aleatoare ( ) ( ). Ca E µ Z este reartzata N (,). D Petru u vel de semfcate, otezele ş crterle de accetare sau resgere sut rezetate ma os: H H A Reguea crtcă µ µ µ µ z z z z µ µ µ µ z z µ µ µ µ z z. Dsersa ecuoscută Î acest caz se îlocueşte î formula ateroară cu estmaţa sa µ S ş se ţe cot că varabla aleatoare T este reartzată Studet S cu - grade de lbertate. 54

63 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Dsersa de selecte S este de forma S urmatoare: ( ) Ioteze asura dfereţelor a două med. Cazul câd se cuosc dsersle Se cosderă două oulaţ ormale N ( µ, ) ş ( µ, ),,..., d oulaţa ( µ, ) d oulaţa N ( ). aleatoare d,,..., Varabla aleatoare z ( ) ( µ µ ) D( ) µ, ( ) ( µ µ ) N, o selecţe N ş o selecţe aleatoare este reartzată N(,).. Cazul dserslor ecuoscute, dar resuuse egale Î cazul î care u cuoaştem dsersle dar ştm că sut egale utlzăm dsersa oderată de selecţe s ( ) s ( ) s ( ) ( ) ca u estmator edelasat etru. ( ) ( µ µ ) Duă cum s-a arătat ateror, mărmea T reartzată T ( ) s.cazul observaţlor erech I cazul câd observaţle formează î mod atural erech cosderăm varabla aleatoare d. U eemlu de observat erech este masurarea cocetraţlor î robe, fecare d ele cu două metode dferte sau cazul câd două medcamete se admstrează uu aceluaş lot de volutar, î două eroade dferte. este 55

64 56 II. STATISTICA MATEMATICA SI BIOSTATISTICA VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Î cazul î care selecţle aarţ la aceaş oulaţe, meda lu d va f E d. zero: ( ) d ş varabla d aleatoare este reartzată N (, ). d Câd u se cuosc dsersle se folosesc dsersle de selecţe ş se ţe d cot că varabla aleatoare duă cum se oate arăta uşor, este s Câd se cuosc dsersle avem D( d ) reartzată Studet cu - grade de lbertate. d Comararea roorţlor Dacă vom cosdera u eermet î care răsusul este de t da sau u, de eemlu vdecare sau evdecare, suraveţure sau moarte, etc., umărul de rezultate de u aumt t î reetăr ale eermetulu este o varablă aleatoare reartzată bomal. E( ) Varabla aleatoare stadardzată z se D( ) q q aromează ca fd ormal reartzată. Fe două oulaţ de t ura Posso cu ble albe ş ble egre, cu arametr (robabltatea ble albe) ş resectv. Î două selecţ d cele două oulaţ, de volum ş resectv resuuem că s-a obţut răsus oztv de ş resectv or. Estmarea dserse Cosderăm o selecţe de volum dtr-o oulaţe ormală ( µ, ) Varabla aleatoare Solute: v ( ) s este reartzată ( ) χ. ( ) s ( ) [( µ ) ( µ )] v N.

65 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE ( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) ( ) ( ) µ µ µ µ µ Dar ( ) este reartzat N(,) căc µ M M µ µ ş D Dec v este o sumă de - ătrate de varable de t N(,). Estmarea raortulu a două dsers Se cosderă selecţa aleatoare,,..., dtr-o oulaţe N ( µ, ) ş o selecţe aleatoare,,..., dtr-o oulaţe ( ) N µ,. Raortul Alcat: s s F este reartzat (, ) F.. Se resuue că efectuarea a 4 măsurator de ormaltate coduc la valoarea mede.* M. Se şte ca dsersa coresuzătoare ue 8 măsurator este 49* M. Să se verfce oteza otrvt cărea valoarea mede a ormaltăţ este µ M. Se alege. 5. Soluţe: µ Se utlzează testul Z Iotezele statstce sut: 57

66 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE H : µ M vs. Reguea crtca este z z ; µ H A : z z Calculad varabla aleatoare Z se obte:,*, * * Z * 7 * z z z,5,975 D tabelul dstrbute ormale se obte z,975,96 Dec, reguea crtcă este z. 96 sau z M 4,6 7 Cum,96,6,96 z u aarte regu crtce, dec se accetă oteza H. O îtrerdere trebue să lvreze recete cu materal recuerat cu greutatea de 5 g ş abaterea mede ătratcă.5 g. U cotrol efectuat asura a 49 de ese duce la o valoare mede 4. 8 g. Să se verfce oteza otrvt cărea masa mede este de 5 g. Se alege,. Soluţe: H : µ 5 H A : µ 5 58

67 z II. STATISTICA MATEMATICA SI BIOSTATISTICA VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE µ 4.8 5, *7,4 Z,8 ;.5,5,5 49 z Deoarece,8, 58, rezulta ca z este reguea crtca, dec oteza H se resge.. Eeretele ateroare arata ca greutatea uu comrmat este o varabla aleatoare cu abaterea mede atratca de 5 mg. O selecte de volum 9 e da o greutate mede 4 mg. Sa se verfce la u rag de semfcate. oteza otrvt carea greutatea mede este de 4 mg. Soluţe: H : µ 4 vs. H : µ 4 µ 4 4 Z 4 5 z.58 z.995 A 59

68 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Reguea crtcă este Z. 58 sau Z. 58. Deoarece rezulta ca Z este reguea crtca, dec se resge H 4. O selecte de 6 lotur de corolactoma crstalzata are cotutul de baze volatle. mlechvalet / g. Presuuad ca acest cotut este o varabla aleatoare cu abaterea mede atratca.7 sa se verfce oteza : H : µ. H A : µ. Se alege. 99. Soluţe : µ..,* 4 Z.7,7 6 Reguea crtcă este Z. z,,7.7 ; z..99 6

69 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Deoarece,7,, Z u este reguea crtca, dec se acceta oteza H 5. Durata de fuctoare a uu electrod este o varabla aleatoare cu h. O selecte de 5 astfel de electroz da o durata de fuctoare de 8 h. Cu. sa se verfce oteza: H : µ 5 h H A : µ 5 h Soluţe: Varabla aleatoare este s *5 Dec, Z 5 µ Z ude 8 h, h µ 5 Reguea crtcă este Z z ude z z.. Deoarece, rezulta ca Z se afla reguea crtca, dec se resge oteza H : µ 5 h 6. Rezultatele uor catarr de etaloae sut urmatoarele: 6,7 ; 6,8 ; 5,8 ; 5,7. Se oate afrma ca meda greutatlor este ma mca decat 6.5 g? Se alege. 5. 6