Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Save this PDF as:

Size: px
Start display at page:

Download "Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea"

Transcription

1 Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul al doilea (ecuatia patrata). Numerele a, b si c din (1) se numesc coeficienti ai ecuatiei de gradul al doilea, iar numarul = b 4ac se numeste discriminant al ecuatiei de gradul al doilea. Eemplul 1. Ecuatiile ce urmeaza sunt ecuatii de gradul al doilea: a) = 0, cu a = 6, b = 5, c = 1 si = = 1; b) = 0, cu a = 9, b = 1, c = 4 si = ( 1) = 0; c) = 0, cu a = 1, b = 1, c = si = ( 1) 4 1 ( ) = 9; d) = 0, cu a = 1, b = 3, c = 4 si = ( ( 3) 4 1 ) ( 4) = 5. Ecuatiile de gradul al doilea pot fi rezolvate conform urmatoarei afirmatii: Afirmatia 1. Daca a) discriminantul ecuatiei (1) este pozitiv, atunci ecuatia (1) are doua radacini distincte: 1 = b a si = b + ; () a b) discriminantul ecuatiei (1) este egal cu zero, atunci ecuatia (1) are doua radacini egale (o radacina de multiplicitatea doi): 1 = = b a ; (3) c) discriminantul ecuatiei (1) este negativ, atunci ecuatia (1) nu are radacini reale. Asadar, (a se vedea eemplul 1): 1. ecuatia a) are doua radacini distincte 1 = 1 si = 1 3 ;. ecuatia b) are doua radacini egale 1 = = 3 ; 3. ecuatia c) are doua radacini distincte 1 = 1 si = ; 4. ecuatia d) nu are radacini reale. 1

2 Ecuatia de gradul al doilea cu a = 1 se numeste ecuatie patrata redusa si se noteaza de regula + p + q = 0 (4) si formulele () si (3) de calcul ale radacinilor devin 1, = p ± (p ) q, ( > 0) (5) Ecuatiile de forma 1 = = p, ( = 0). (6) a + b = 0, (7) a + c = 0. (8) se numesc ecuatii de gradul al doilea incomplete. Ecuatiile (7), (8) pot fi rezolvate cu ajutorul afirmatiei 1 altfel, mai simplu: a + b = 0 (a + b) = 0 a + c = 0 = c a Eemplul. Sa se rezolve ecuatiile 1 = 0; = b a. 1, = ± c a, ac 0, {, ac > 0. a) 7 = 0; b) 9 5 = 0; c) + 3 = 0. Rezolvare. a) 7 = 0 ( 7) = 0 1 = 0, = 7 ; b) 9 5 = 0 9 = 5 = 5 9 1, = ± 5 3 ; c) + 3 = 0 = 3, de unde rezulta ca ecuatia nu are radacini (membrul din stanga egalitatii este nenegativ, iar cel din dreapta - negativ). In continuare vom analiza cateva eemple de ecuatii ce se reduc la rezolvarea ecuatiilor de gradul al doilea.

3 Ecuatii bipatrate. Ecuatia de forma a 4 + b + c = 0 (9) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie bipatrata. Prin substitutia = t (atunci 4 = t ) ecuatia bipatrata se reduce la o ecuatie de gradul al doilea. Eemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile a) = 0; b) = 0; c) = 0. Rezolvare. a) Se noteaza = t, atunci 4 = t si se obtine o ecuatie de gradul al doilea in t: t 9t = 0 cu solutiile t 1 = 4 si t = 5. Astfel se obtine totalitatea de ecuatii [ = 4, = 5, de unde rezulta solutiile = ± si = ±5. b) Se procedeaza similar eemplului precedent si se obtine ecuatia patrata t + t 6 = 0 cu solutiile t = 3 si t =. Cum t = 0, ramane t = =, de unde = ±. c) Se utilizeaza substitutia t =, si se obtine ecuatia de gradul al doilea in t, t 3t+4 = 0 care nu are solutii reale. Prin urmare, si ecuatia enuntata nu are solutii reale. Ecuatii simetrice de gradul patru. Ecuatiile de forma a 4 + b 3 + c + b + a = 0 (10) unde a, b, c R, a 0 se numesc ecuatii simetrice de gradul patru. Prin intermediul substitutiei t = + 1 acest tip de ecuatii se reduce la ecuatii de gradul al doilea. In adevar, cum = 0 nu este solutie a ecuatiei (10) (a 0), multiplicand cu 1 ambii membri ai ecuatiei, se obtine ecuatia echivalenta a + b + c + b + a = 0 a ( + 1 ) ( + b + 1 ) + c = 0. Se noteaza + 1 = t atunci t si cum + 1 ( = + 1 = t ), ecuatia devine a(t ) + bt + c = 0, 3

4 adica o ecuatie de gradul al doilea, rezolvarea careia nu prezinta greutati. Nota. Ecuatia a 4 b 3 ± c ± b + a = 0 se reduce la o ecuatie utilizand substitutia t = 1. Eemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile a) = 0, b) = 0. Rezolvare. a) Ecuatia data este o ecuatie simetrica de gradul patru. Cum = 0 nu e solutie, ecuatia este echivalenta cu ecuatia (se divide la 0 si se grupeaza convenabil) + 1 ( ) + = 0. Se noteaza t = + 1, t, atunci + 1 = t si ecuatia devine t + 5t + = 0 t + 5t = 0, cu solutiile t 1 = 5, t = 0 (nu se verifica conditia t ). Prin urmare, + 1 = 5, de unde rezulta ecuatia patrata = 0 cu solutiile 1 = 5 1 si = b) Cum = 0 nu este solutie a ecuatiei date, se divide cu si se obtine ecuatia ( + 1 ) ( ) 4 = 0. Se noteaza t = 1, atunci + 1 = ( 1 ) + = t + si se obtine ecuatia patrata (t + ) + 3t 4 = 0 t + 3t = 0, cu solutiile t 1 = 0 si t = 3. Prin urmare 1 = 0, 1 = 3. Din prima ecuatie a sistemului se obtine 1 = 1 si = 1, iar din a doua 3 = si 4 = 1. Ecuatii reversibile 4

5 Ecuatia a 4 + b 3 + c + d + e = 0, (11) unde {a, b, c, d} R, a 0, b 0 si e a = ( d b ) se numeste ecuatie reversibila de gradul patru. Acest tip de ecuatii se reduc la ecuatii de gradul al doilea utilizand substitutia t = + d b. Eemplul 5. Sa se rezolve ecuatia = 0. ( ( ) 4 Rezolvare. Se observa ca = si prin urmare ecuatia este o ecuatie reversibila 1) 1 de gradul patru. Cum = 0 nu este soltuie, se divide la (si nu se pierd solutii), si se obtine ecuatia = 0. Se noteaza t =, atunci t = + 4 4, de unde + 4 = t + 4 si se obtine ecuatia de gradul al doilea t t 6 = 0 t + t = 0 cu solutiile t 1 = si t = 1. Astfel se obtine totalitatea =, = 1,, echivalent ( 0) [ + = 0, = 0, de unde se obtin solutiile = 1 ± 3, = 1 si =. Ecuatii de forma Se utilizeaza substitutia t = + a + b Eemplul 6. Sa se rezolve ecuatia ( + a) 4 + ( + b) 4 = c. (1) si se reduce la o ecuatie bipatrata in raport cu t. ( + 3) 4 + ( 1) 4 = 8. Rezolvare. Se utileaza substitutia t = ( 1) = +1 si se obtine ecuatia echivalenta in t: (t + ) 4 + (t ) 4 = 8 5

6 t 4 + 8t 3 + 4t + 3t t 4 8t 3 + 4t 3t = 0 de unde rezulta ecuatia bipatrata t 4 + 4t 5 = 0 cu solutia t = 1, de unde t = ±1 si + 1 = ±1 conduce la solutiile = si = 0. Ecuatia de forma ( + a)( + b)( + c)( + d) = m (13) unde a + b = c + d. Acest tip de ecuatii se reduce la ecuatii de gradul doi utilizand esential conditia a+b = c+d. In adevar, ( + a)( + b) = + (a + b) + ab ( + c)( + d) = + (c + d) + cd = + (a + b) + cd si notand +(a+b) = t ( +(a+b)+ab = t) se obtine ecuatia patrata (t+ab)(t+cd) = m (respectiv t(t + cd ab) = m). Eemplul 7. Sa se rezolve ecuatia ( )( + 1)( + 4)( + 7) = 19. Rezolvare. Se observa ca + 7 = 1 + 4, se grupeaza convenabil si se deschid parantezele rotunde [( )( + 7)] [( + 1)( + 4)] = 19 [ ][ ] = 19. Se noteaza t = , atunci = t + 18 si ecuatia devine t(t + 18) = 19 t + 18t 19 = 0 cu solutiile t = 19 si t = 1. Asadar, se obtine totalitatea de ecuatii = 19, = 1, cu solutiile 1, = 5 ± 5 si 3,4 = 5 ± 85. Ecuatii fractionar-rationale 6

7 Eemplul 8. Sa se rezolve ecuatiile: a) = 0; b) c) 1 ( )( 3) = 0; = 0; d) = { Rezolvare. a) DVA al ecuatiei este R \ 3; 4 }. In DVA ecuatia este echivalenta cu 5 ecuatia (se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu (5 4)( + 3)): (3 + 4)( + 3) ( 1)(5 4) = 0 de unde, deschizand parantezele, se obtine ecuatia patrata = 0 cu solutiile 1 = 7 si = 4. Ambele solutii verifica DVA. b) DVA al ecuatiei este R \ {; 3}. Se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu ( )( 3) (in DVA acest produs este diferit de zero) si se obtine ecuatia 1 + ( )( 3) + 3 = = 0 cu solutiile 1 = 1 si =. Cum ultima radacina nu verifica DVA ramane = 1. c) DVA al ecuatiei este R \ {3; 4; 5; 6}. Se grupeaza convenabil ( ) ( ) = 0 5 si se aduce la numitor comun in fiecare paranteza 9 ( 6)( 3) + 9 ( 4)( 5) = 0. Se multiplica cu ( 6)( 3)( 4)( 5) ( 0 pe DVA) si se obtine ecuatia ( 9)( 4)( 5) + ( 9)( 6)( 3) = 0 ( 9)[( 4)( 5) + ( 6)( 3)] = 0, 7

8 de unde rezulta totalitatea de ecuatii 9 = 0, = 0 cu solutiile = 9, = 9 ± 5. d) DVA al ecuatiei este R \ {1; 3; 4; 5}. Se evidentiaza partea intreaga a fiecarui termen al ecuatiei: = = de unde = = Se aduce in fiecare membru la numitor comun si se obtine de unde rezulta totalitatea de ecuatii ( 1)( 3) = ( 4)( 5) ( 4)( 5) ( 1)( 3) = 0, = 0, = 0, cu solutiile 1 = 0 si,3 = 7 ± 3 (toate solutiile sunt din DVA). Ecuatii de forma p a + b + c + q a + d + c = r, (r 0). (14) Acest tip de ecuatii se reduc la ecuatii patrate utilizand substitutia t = a + c. Eemplul 9. Sa se rezolve ecuatia Rezolvare. DVA al ecuatiei este R \ ecuatia se scrie { 1; = 6. }. Cum = 0 nu este solutie a acestei ecuatii, = 6 8

9 (numaratorul si numitorul fractiilor din membrul stang al ecuatiei se divid cu ). Se noteaza t = + 3 si ecuatia devine t t + 1 = 6 (t + 1) + 13(t 5) = 6(t 5)(t + 1), de unde rezulta ecuatia patrata 6t 39t + 33 = 0 t 13t + 11 = 0 cu solutiile t 1 = 1 si t = 11 (ambele solutii verifica restrictiile t 5 si t 1). Prin urmare, se obtine totalitatea de ecuatii + 3 = 1, + 3 = = 0,, = 0 cu solutiile 1 = 3 4 si =. Ecuatiile de forma Ecuatii ce contin epresii reciproc inverse a f() g() + b g() + c = 0 (ab 0), (15) f() se reduc la ecuatii patrate prin substitutia t = f() g(), atunci g() f() = 1 t at + ct + b = 0. Eemplul 10. Sa se rezolve ecuatiile a) ( + 1 = 5, b) { 1 } ; 0 Rezolvare. a) DVA al ecuatiei este R \ ) 5 si ecuatia (15) se scrie ( ) = 0.. Se noteaza t = + 1, atunci = 4 1 t si ecuatia devine t + 4 t = 5 de unde rezulta ecuatia t 5t + 4 = 0 cu solutiile t 1 = 1 si t = 4. Astfel se obtine totalitatea de ecuatii de gradul intai = 1, = 4,

10 cu solutiile = 1 si = 1 (ambele solutii verifica DVA). b) DVA al ecuatiei este R \ {±1}. Se observa, ca = ± nu verifica ecuatia data si prin urmare multiplicand ecuatia cu 1 se obtine ecuatia echivalenta 4 Se noteaza t = ( )( 1) ( + 1)( + ) ( )( 1) + )( + 1) 0 5( + 48 = 0. ( + 1)( + ) ( 1)( ) si ecuatia devine 0t 5 t + 48 = 0 0t + 48t 5 = 0 cu solutiile t 1 = 1 10 si t = 5. Astfel se obtine totalitatea de ecuatii ( )( 1) ( + 1)( + ) = 1 10, ( )( 1) ( + 1)( + ) = 5, cu solutiile 1 = 3, = (ambele solutii sunt din DVA). 3 In unele cazuri este comod de separat un patrat complet. Eemplul 11. Sa se rezolve ecuatiile = 0, = 0, a) = 0; b) + Rezolvare. a) Se separa un patrat complet ( ) = = 0, ( ) ( ) + 1 = 0. Se noteaza t = si se obtine ecuatia patrata t t + 1 = 0 de unde t = 1, 1 = 0, cu solutiile = 1 ± 5. { 1 b) DVA al ecuatiei este R \. Se aduna in ambii membri ai ecuatiei epresia } 1 10

11 si se obtine ( + de unde rezulta ecuatia ( Se noteaza t = 1 ( ) = si ecuatia devine ) = ) 1 = 0. t t = 0. Solutiile acestei ecuatii sunt t = 1 si t =, prin urmare se obtine totalitatea de ecuatii 1 = 1, 1 =, + 1 = 0, + 1 = 0, cu solutiile 1, = 1 ± 3 si 3 = 1. Inecuatii de gradul doi si inecuatii reductibile la cele se gradul doi Prin inecuatie de gradul al doilea se intelege una din urmatoarele inecuatii a + b + c > 0, (16) unde a, b, c R, a 0. a + b + c 0, (17) a + b + c < 0, (18) a + b + c 0, (19) Inecuatiile de gradul al doilea se rezolva utilizand urmatoarele afirmatii. 11

12 Afirmatia. Daca a > 0 si discriminantul trinomului a + b + este pozitiv, atunci: 1. inecuatia (16) are solutiile ( ; 1 ) ( ; + );. inecuatia (17) are solutiile ( ; 1 ] [ ; + ); 3. inecuatia (18) are solutiile ( 1, ); 4. inecuatia (19) are solutiile [ 1, ] unde 1 si ( 1 < ) sunt radacinile trinomului a + b + c. Afirmatia 3. Daca a > 0 si discriminantul trinomului a + b + c este egal cu zero, atunci 1. inecuatia (16) are solutiile R \ { 1 };. inecuatia (17) are solutiile R; 3. inecuatia (18) nu are solutii; 4. inecuatia (18) are o solutie unica: = 1, unde 1 este radacina dubla a trinomului a + b + c. Afirmatia 4. Daca a > 0 si dscriminantul trinomului a + b + c este negativ, atunci 1. inecuatiile (16) si (17) au solutiile R;. inecuatiile (18) si (19) nu au solutii. Daca a < 0 inecuatile (16)-(19) se multiplica prin (-1) si schimband semnul inecuatiei in opusul lui se obtine o inecuatie cu a > 0 si se aplica afirmatiile -4. Eemplul 1. Sa se rezolve inecuatiile a) 90 > 0; d) + > 0; b) ; e) ; c) 6 < 0; f) Rezolvare. a) Cum radacinile trinomului 90 sunt 1 = 9 si = 10, a = 1 > 0, solutiile inecuatiei 90 > 0 sunt ( ; 9) (10; + ). b) Cum discriminatul trinomului este egal cu zero, a = 4 > 0, unica solutie a inecuatiei este = 3. c) Radacinile trinomului 6 sunt 1 = 0 si = 6. Cum a = 1 > 0, solutiile inecuatiei 6 < 0 sunt (0; 6). d) Discriminantul trinomului + este negativ, a = 1 > 0, prin urmare, orice numar real este solutie a inecuatiei + > 0. 1

13 e) Se multiplica ambii membri ai inecuatiei cu 1 si se obtine inecuatia cu solutiile ( ; 1 3 ] [ 1 ; + ). f) Inecuatia data nu are solutii. Metodele de reducere ale ecuatiilor de grad superior la ecuatii de gradul al doilea raman valabile si in cazul inecuatiilor. In unele cazuri se utilizeaza in plus metoda intervalelor (a se vedea [1]-[4]). Eemplul 13. Sa se rezolve inecuatiile a) ; b) ( )( 4)( 6) 9; c) < 0; d) < 0; e) ; f) > 1; g) ( + 5) 4 + ( + 3) 4 < 7. Rezolvare. a) Se rezolva ecuatia (a se vedea (10)) = 0 si se determina zerourile membrului din stanga inecuatiei: = 0 6 ( + 1 ) ( ) 38 = 0 [ ( ) ( ] ) 6t + 5t 50 = 0, 38 = 0 t = + 1, t 1 = 10 3, t = 5, t = + 1, + 1 = 10 3, + 1 = 5, = 0, 5 + = 0, 1 = 3, = 1 3, 3 = 1, 4 =. Prin urmare ( + 3) 13 ( + 1 ) ( 1 ) ( ) 0 3

14 de unde, utilizand metoda intervalelor, se obtine multime solutiilor inecuatiei initiale [ 3; 1 3] [ 1 ; ]. b) Se tine seama de metoda de rezolvare a ecuatiilor de tip (13) si se obtine ( )( 4)( 6) 9 ( 6)( )( 4) 9 0 { t(t + 8) 9 0, ( 6)( 6 + 8) 9 0 t = 6, [ { t + 8t 9 0, t 9, [ 6 9, t 1 t = 6, 6 1, t = 6, [ [ , = 3, 6 1 0, ( ; 3 10] [3 + 10; + ), c) Se separa un patrat complet, ( ; 3 10] {3} [3 + 10; + ) < 0 ( ) < 0 { t { 4t + 3 < 0, 1 < t < 3, ( ) 4( ) + 3 < 0 t =, t =, { { 1 < < 3, < 3, 3 < 0, [ > 1 +, > 1, 1 > 0, < 1, d) Se utilizeaza metoda intervalelor ( 1; 1 ) (1 + ; 3). ( )( 1) ( 3) 8 ( 3)( 1) < 0 < 0 5 ( 3)( 1) (0; 1) (3; 5). < 0 ( 5) ( 3)( 1) < 0 e) Se rezolva ecuatia (a se vedea (11)) = 0 si se determina zerourile membrului din stanga inecuatiei (se tine seama ca = 0 este solutie 14

15 a inecuatiei) = 0 (5 + 1 ) [ ( ) ( 10] ) + 74 = 0 Prin urmare t = 6, t = 9, t = 5 + 1, = 6, = 9, ( ) + 74 = 0 t = 0, t = 5 + 1, [ = 0, = 0, = 1 5, = 1, = 1, = 5. ( 1 ) ( ( 1) 1 ) ( ) Se utilizeaza metoda intervalelor si se obtine ( ; 1] [ ; 1 ] [1; + ). 5 5 f) Cum = 0 nu este solutie a inecuatiei (0 > 1) inecuatia enuntata este echivalenta cu inecuatia > 1. Se noteaza t = , atunci + ( = + 7 ) = t si inecuatia devine t t 10 > 1. Se rezolva cu ajutorul metodei intervalelor si se obtine (t 10) + 3(t 4) (t 10)(t 4) > 0 t 5t + 7 (t 4)(t 10) (t )(t 10) < 0 ( t 9 ) (t 8) (t 4)(t 10) < 0 t (4; 9 ) (5; 8). Prin urmare 4 < + 7 < 9, 5 < + 7 de unde < 8, > 0, < 0, > 0, < 0, 15

16 { > 0, < 0, > 0, [ < 0, 1 < < 7, [, (1; 7), (1; 7). g) Se grupeaza t = , t = + 4 (a se vedea (1)) si inecuatia devine de unde rezulta (t + 1) 4 + (t 1) 4 < 7 t 4 + 6t 135 < 0 (t 9)(t + 15) < 0 t < 3. Prin urmare + 4 < 3. Se utilizeaza proprietatile modulului si se obtine I. Sa se rezolve ecuatiile 1. ( + 1)( + )( + 3) = 4.. (1 )( )( + 3)( + 3) = ( + ) = < 3 3 < + 4 < 3 7 < < 1. Eercitii pentru autoevaluare 4. ( + 5 4) 5 ( + 5 4) = ( ) ( ) + = = = 13 5 ( + 3 ) ( = ) = = ( 1)( + 3) = 0. 16

17 1. 3 ( + )( 1) = 1 ( 1) + 3 ( 3). 13. ( + + 1)( + + ) = = = 0. II. Sa se rezolve inecuatiile < > < < < < ( 1)( )( + 3)( + 4) ( 1) 4 + ( + 1) ( ) ( ) + 1. Bibliografie 1. P.Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, P.Cojuhari, A.Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Chisinau, Editura ASRM, F.Iavemciuk, P.Rudenko. Alghebra i elementarnii funktii. Kiev, Naukova Dumka, 1987 (ucr.). 4. Gh.Andrei si altii. Eercitii si probleme de algebra pentru concursuri si olimpiade scolare. Partea I, Constanta,

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Iacob Borş 1, Tudor Milchiş

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 54 No.1 (2011)

Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 54 No.1 (2011) 1 Technical University of Cluj-Napoca, Faculty of Civil Engineering. 15 C Daicoviciu Str., 400020, Cluj-Napoca, Romania Received 25 July 2011; Accepted 1 September 2011 The Generalised Beam Theory (GBT)

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil

More information

HABILITATION THESIS. Qualitative analysis of some differential equations

HABILITATION THESIS. Qualitative analysis of some differential equations Institute of Mathematics,,Simion Stoilow of the Romanian Academy HABILITATION THESIS Qualitative analysis of some differential equations Ioan Liviu Ignat Specialization: Mathematics Bucharest, 212 To

More information

Autor: Instituţia: Coordonator

Autor: Instituţia: Coordonator Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way George Polya Autor: Instituţia: Coordonator ştiinţific:

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

TEZA DE DOCTORAT. probleme de optimizare infinit dimensionale

TEZA DE DOCTORAT. probleme de optimizare infinit dimensionale Academia Română Institutul de matematică Simion Stoilow TEZA DE DOCTORAT rezumat Aplicaţii ale dualităţii în unele probleme de optimizare infinit dimensionale Coordonator ştiinţific: CS I dr. Dan Tiba

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXI(CX) Nr. / 03 ANIVERSĂRI Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare La 5 noiembrie 0 domnul profesor universitar Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române,

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut

More information

Lucrarea de laborator nr. 8

Lucrarea de laborator nr. 8 Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda

More information

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste

More information

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH

More information

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS UNDER LOAD COMBINATIONS

THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS UNDER LOAD COMBINATIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LX (LXIV), Fasc. 3, 2014 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Arhivele Electronice Los Alamos arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000

Arhivele Electronice Los Alamos  arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 arxiv:physics/0003106v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106 ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ HARET C. ROSU e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx fax: 0052-47187611

More information

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR

Prof univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR UNIVERSITATEA HYPERION Facultatea de Stiițe Exacte și Igierești Prof uiv dr. Sever Spâulescu CALCUL NUMERIC - LUCRARI DE LABORATOR Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

3-D FINITE ELEMENT ANALYSIS OF A SINGLE-PHASE SINGLE-POLE AXIAL FLUX VARIABLE RELUCTANCE MOTOR

3-D FINITE ELEMENT ANALYSIS OF A SINGLE-PHASE SINGLE-POLE AXIAL FLUX VARIABLE RELUCTANCE MOTOR BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIX (LXIII), Fasc. 1, 2013 Secţia ELECTROTEHNICĂ. ENERGETICĂ. ELECTRONICĂ 3-D FINITE ELEMENT

More information

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea Babeş-Bolyai Erika Nagy Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale cu aplicaţii Rezumatul

More information

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM.

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM. / Mini-comutatoare cu came Prezentare generalã a sistemului Întreruptoare Pornit-Oprit Comutatoare de comandã HA ND AU TO HPL-de-DE O Mini-comutatoare cu came / Montaj pe ușã (.../E) Frontal IP Montaj

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

Metode clasice. Camelia Chira.

Metode clasice. Camelia Chira. Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE R.M.M. Nr.20-2018 1 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE NR. 20 ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch DANIEL SITARU-ROMANIA

More information

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor In Florentin Smarandache: Collected Papers, vol. II. Chisinau (Moldova): Universitatea

More information

7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE

7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE 7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE 7 Separarea rădăcnlor Ecuaţe algebrcă dacă ( este polnom Ecuaţa transcendentă în caz contrar ( = Rădăcnă apromatvă valoare ξ apropată de valoarea eactă ξ Denţ neechvalente:

More information

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Aprilie 208 ii Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 9 Variabile aleatoare discrete Texas Holdem Poker: In Texas Hold em Poker

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES

AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN 1454-2358 AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES Marius-Alexandru GROZEA 1, Anton HADĂR 2 Acest articol prezintă o

More information

KINEMATIC ANALYSIS OF BEVEL PLANETARY GEARS BY USING THE INSTANTANEOUS AXIS OF ROTATION

KINEMATIC ANALYSIS OF BEVEL PLANETARY GEARS BY USING THE INSTANTANEOUS AXIS OF ROTATION U.P.B. Sci. Bull. Series D Vol. 70 No. 008 ISSN 454-58 KINEMATIC ANALYSIS OF BEVEL PLANETARY GEARS BY USING THE INSTANTANEOUS AXIS OF ROTATION Victor MOISE Iulian Alexandru TABĂRĂ În lucrare se preintă

More information

Counties of Romania List

Counties of Romania List O P A Romanian PSK Award eria de diplome Romanian PSK Award a fost conceputa de clubul European de PSK (EPC) la data de 22 mai 009. Scopul fiind de a stimula activitatea PSK cu statii de radioamatori din

More information

ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES

ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 72, Iss. 3, 2010 ISSN 1454-234x ASPECTS REGARDING NUMERICAL MODELING OF INDUCTIVE HEATING PROCESS FOR LOW VOLTAGE ELECTRICAL CABLES Costel PĂUN 1 În această lucrare se

More information

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

Decision Trees Some exercises

Decision Trees Some exercises Decision Trees Some exercises 0. . Exemplifying how to compute information gains and how to work with decision stumps CMU, 03 fall, W. Cohen E. Xing, Sample questions, pr. 4 . Timmy wants to know how to

More information

1 Generarea suprafeţelor

1 Generarea suprafeţelor Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information