Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Save this PDF as:

Size: px
Start display at page:

Download "Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur"

Transcription

1 Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities ()-(9) that are consequences of Schur s inequality (S). Keywords: inequality, Schur s inequality. MSC 200: 97H0. În cadrul acestei Note vom prezenta un procedeu de demonstrare a unor inegalităţi, bazat pe inegalitatea lui Schur, care constă în utilizarea inegalităţilor ()-(9) de mai jos, relativ la primele trei polinoame simetrice fundamentale. Este de precizat că acest procedeu nu-i întotdeauna optim sau cel mai elegant, dar se poate dovedi util în situaţii în care alte metode sau procedee de rezolvare sunt mai greu de găsit. Începem prin a aminti următorul rezultat, de altfel punctul de plecare al Notei de faţă: Inegalitatea lui Schur. Dacă x, y, z sunt numere reale nenegative, atunci pentru orice t 0 avem: (S) x t (x y)(x z) + y t (y z)(y x) + z t (z x)(z y) 0, cu egalitate dacă şi numai dacă x y z sau dacă două dintre numerele x, y, z sunt egale şi al treilea este nul; dacă xyz 0, impunem restricţia t > 0. Propoziţie. Dacă x, y, z sunt numere reale pozitive şi notăm p x + y + z, q xy + yz + zx, r xyz, atunci au loc inegalităţile: () (2) () (4) (5) (6) (7) (8) (9) p 2 q, q 2 pr, pq 9r, p 27r, q 27r 2, p + 9r 4pq, 2p + 9r 7pq, q + 9r 2 4pqr, p 4 + 4q 2 + 6pr 5p 2 q, Elev, cl. a XI-a, Colegiul Naţional,,C. Carabella, Târgovişte; andi 5

2 Egalitatea are loc dacă şi numai dacă x y z. Demonstraţie. () Pentru t 0, (S) devine (x y)(x z) + (y x)(y z) + (z x)(z y) 0, adică x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx, de unde p 2 (x + y + z) 2 x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) (xy + yz + zx) q. (2) Ţinând cont de (), obţinem: q 2 (xy + yz + zx) 2 (xy yz + yz zx + zx xy) xyz(x + y + z) pr. () Se obţine înmulţind membru cu membru inegalităţile () şi (2). (4) Se înmulţesc inegalităţile () şi () membru cu membru. (5) Se înmulţesc membru cu membru inegalităţile (2) şi (). (6) Pentru t, (S) devine x(x y)(x z) + y(y x)(y z) + z(z x)(z y) 0, adică x + y + z + xyz xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x). Cum x + y + z xyz + (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 xy yz zx), obţinem: p + 9r (x + y + z) + 9xyz (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 xy yz zx) (7) Ţinând cont de () şi (6), obţinem: + xyz + +(x + y + z)(xy + yz + zx) + 6xyz x + y + z + xyz + (x + y + z)(xy + yz + zx)+ + xyz xy(x + y) + xyz + yz(y + z) + xyz + zx(z + x) + xyz + (x + y + z)(xy + yz + zx) xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + zx(x + y + z) + (x + y + z)(xy + yz + zx) 4pq. 2p + 9r p p 2 + (p + 9r) p q + 4pq pq + 4pq 7pq. (8) Aplicând (6) pentru numerele reale pozitive a xy, b yz, c zx, avem: q + 9r 2 (a + b + c) + 9abc 4(a + b + c)(ab + bc + ca) 4pqr. (9) Pentru t 2, (S) devine x 2 (x y)(x z)+y 2 (y x)(y z)+z 2 (z x)(z y) 0, adică x 4 + y 4 + z 4 + xyz(x + y + z) xy(x 2 + y 2 ) + yz(y 2 + z 2 ) + zx(z 2 + x 2 ). Cum x 4 +y 4 +z 4 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 2(x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 ) (p 2 2q) 2 2(q 2 2pr) p 4 + 2q 2 + 4pr 4p 2 q, obţinem: p 4 + 4q 2 + 6pr x 4 + y 4 + z 4 + xyz(x + y + z) + 4p 2 q + 2q 2 + pr 4p 2 q + 2q 2 + pr + +xy(x 2 + y 2 ) + yz(y 2 + z 2 ) + zx(z 2 + x 2 ) 4p 2 q + 2q 2 + pr + (xy + yz + zx)(x 2 + y 2 + z 2 ) x 2 yz xy 2 z xyz 2 4p 2 q + 2q 2 + pr pr + q(p 2 2q) 4p 2 q + q(p 2 2q + 2q) 5p 2 q. 6

3 În continuare, vom prezenta câteva inegalităţi preluate din diferite surse, care vor fi demonstrate utilizând inegalităţile din propoziţia precedentă. Problema. Fie x, y, z (0, ) astfel încât x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx). Arătaţi că 9xyz x + y + z. Marius Stănean, forumul MathTime Demonstraţie. Folosind (6) şi condiţia din enunţ, obţinem că: 9xyz 9r 4pq p p 4(xy + yz + zx) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2(xy + yz + zx) p 2(xy + yz + zx) (x 2 + y 2 + z 2 ) p x + y + z. Problema 2. Fie x, y, z 0 astfel încât xy + yz + zx. Arătaţi că 4xyz(x + y + z) xyz 9. Marius Stănean, forumul MathTime Demonstraţie. Dacă xyz 0, inegalitatea este evidentă. Dacă x, y, z > 0, atunci din (5) şi condiţia din enunţ rezultă că 27r 2 q 27 r 2 r r 2 r. Conform cu (8), avem: 4xyz(x + y + z) xyz 4pr r 2 (4pqr 9r2 ) q că Problema. Fie x, y, z trei numere reale pozitive cu x + y + z. Să se arate 2(x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 +. Romeo Raicu, G.M.B /20 Demonstraţie. Avem p x + y + z, deci 2(x + y + z ) x 2 y 2 z 2 2[r + p(p 2 q)] (p 2 2q) 6r + 2p 6pq p(p2 2q) 9 p 4 9 p +6r 6 pq 8 9 p(p2 q)+ 2 (p + 9r 4pq) 0, conform cu cu () şi (6), deci inegalitatea este demonstrată. Problema 4. Fie x, y, z numere reale pozitive cu proprietatea că xy+yz+zx. Să se arate că xyz(x + y + z) 2xyz 7. Marian Cucoaneş, G.M. 4/20 Demonstraţie. Trebuie să demonstrăm că pr 7 +. Conform (5) şi (8), rezultă pr 4 4pqr 4 (q + 9r 2 ) 4 (27 + r2 + 8r 2 ) r 4 ( q + 8r 27 q ) (28 + 8r) 7 +, ceea ce încheie demonstraţia. 4 Problema 5. Fie a, b, c 0, π 2 tan b tan c. a) Arătaţi că cos 2 a + cos 2 b + cos 2 c. astfel încât 2(tan a + tan b + tan c) tan a 7

4 b) Aflaţi valoarea minimă a expresiei sin 2 a + sin 2 b + sin 2 c. Shortlist 20 Demonstraţie. Notăm x tan a, y tan b, z tan c. Cum a, b, c avem că x, y, z > 0. Rezultă că cos 2 a + x 2, cos2 b + y 2, cos2 c + z 2. a) cos 2 a + cos 2 b + cos 2 c + x y z 2 0, π 2 + 2(x 2 + y 2 + z 2 ) + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 + y 2 + z 2 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 y 2 z x2 + y 2 + z 2 x 2 y 2 z 2 ( + x 2 )( + y 2 )( + z 2 ). Dar 2 + x 2 + y 2 + z 2 x 2 y 2 z p 2 2q r 2 p 2 2q + r p 4 9 p2 9p (5p + 27r 8pq) 2 9 (p2 q) + p (p + 9r 4pq) 0, conform () şi (6), de unde cos 2 a + cos 2 b + cos 2 c, cu egalitate pentru x y z 2. b) Demonstrăm că sin 2 a + sin 2 b + sin 2 c 9 2 : sin 2 a + sin 2 b + sin 2 c x2 x y2 y z2 z x 2 + y 2 + z 2 2 x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 x 2 y 2 z 2 2 q2 2pr r q2 pr 2 2 q2 pr 0, pr conform cu (2), deci valoarea minimă este 9 2 şi se atinge pentru x y z 2. Problema 6. Numerele pozitive a, b, c verifică abc. Demonstraţi inegalitatea X X X a + b 2( a + c a ) Gabriel Dospinescu, Shortlist 2004 Demonstraţie. Facem decondiţionarea a x y, b y z, c z x. Avem: X x y + yz z x X x +X y 2( y P x P (xy) P x P P x 2 xyz + x 2 y 2 z x xyz x ) X x 2 +X xy 2X yz z x 2 + y 2 xy r + p pq + r2 + q pqr r r p(p2 2q) r 8r 2 + p r+q 2pqr 2p r 4pqr (q + 9r 2 4pqr) + r(p + 9r 4pq) 0,, 8

5 adevărat conform cu (6) şi (8). Problema 7. Demonstraţi că în orice triunghi 4R + r 2 + 9r p 4R + r 4. Cosmin Pohoaţă, Shortlist 2007 Demonstraţie. Fie r a, r b, r c lungimile razelor cercurilor exînscrise corespunzătoare vârfurilor triunghiului ABC. Dacă p 0 r a +r b +r c, q 0 r a r b +r b r c +r c r a, r 0 r a r b r c, cu notaţiile cunoscute obţinem: p 0 4R + r, q 0 p 2, r 0 p 2 r (se folosesc S p a, r b S p b, r c Inegalitatea este echivalentă cu p 0 2 formulele r a conform cu (6). S p c ). q r 0 p 0 q 0 4 p 0 + 9r 0 4p 0 q 0, adevărat Problema 8. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel încât a + b + c. Arătaţi că 2 abc + ab + bc + ca 5. forumul ArtofProblemSolving Demonstraţie. Dacă p a + b + c, q ab + bc + ca, r abc, atunci abc + 2 a + b + c 5 r + 2 q 5 27r p + 4p2 q 5 4p5 + 8qr 5p q p 0, q deoarece 4p 5 + 8qr 5p q 9q(p + 9r 4pq) + 4(p 5 6p q + 9pq 2 ) 4p(p 2 q) 2 + 9q(p + 9r 4pq) 0, conform cu (6). Problema 9. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi ABC. Să se arate că a b + c a + b c + a b + c a + b c a2 + b 2 + c 2 Nicolae Papacu, IMAC 2009 Demonstraţie. Decondiţionăm: a y + z, b z + x, c x + y. Avem: X a X (y + z) b + c a 2x P yz[y + z + yz(p x)] P x P xy xyz P x 2 + p P y 2 z 2 r P yz p 2 r + 2qr + pq 2 6p 2 r qr p q 7p 2 r + 2qr, qr + p q pq 2 X deci inegalitatea este succesiv echivalentă cu p q 7p 2 r + 2qr (y + z) 2 p q 7p 2 r + 2qr 4r(p 2 q) p q + 6qr p 2 r q(p + 9r 4pq) + p (q2 pr) + q (pq 9r) 0, adevărat conform cu (2), () şi (6). 9

6 Problema 0. Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive cu suma, atunci (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) 8(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) 2 Demonstraţie. inegalitatea se scrie: Titu Andreescu şi Gabriel Dospinescu Dacă p a + b + c, q ab + bc + ca, r abc, atunci X a 2X X a Š 2 2 b 2 a 2 b 2 c 2 8 a 2 b 2 X a 2 b h X 2 a Š 2 X X a i X 2 8 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 a Š 2 (q 2 2pr)(p 4 2p 2 q 8q 2 + 6pr) p 2 r 2 Dar, conform cu (2) şi (9), avem (q 2 2pr)(p 4 2p 2 q 8q 2 + 6pr) pr(5p 2 q 4q 2 2p 2 q 8q 2 +0pr) pr[pr+(p 2 q+pr 4q 2 )] p 2 r 2, deoarece p 2 q+pr 4q 2 (x 2 +y 2 +z 2 )(xy +yz +zx)+xyz(x+y +z) 2(xy +yz +zx) 2 (x y +y x 2x 2 y 2 )+ (y z + z y 2y 2 z 2 ) + (z x + x z 2x 2 z 2 ) xy(x y) 2 + yz(y z) 2 + zx(z x) 2 0. Aşadar, inegalitatea este demonstrată. Problema. Fie a, b, c > 0. Arătaţi că a + b + b + c + (a + b + c) c + a 2(ab + bc + ca). Demonstraţie. Dacă p a + b + c, q ab + bc + ca, r abc, atunci Andi Gabriel Brojbeanu (a + b + c) 2(ab + bc + ca) X a + b p 2q P (a 2 + ab + bc + ca) (a + b)(b + c)(c + a) p 2q p2 + q pq r p2 q pr 2p 2 q 2q 2 2p(pq r) adevărat conform cu () şi (). 2q (p2 q) + p (pq 9r) 0, 2(pq r) Propunem cititorilor interesaţi să procedeze în acelaşi fel cu inegalităţile:. Fie a, b, c numere reale pozitive. Arătaţi că b + c + c + a + a + b a b c 4 a b + c + b c + a + c. (Mircea Lascu) a + b 2. Să se arate că 5(a 2 + b 2 + c 2 ) 6(a + b + c ) +, pentru orice numere reale nenegative care satisfac relaţia a + b + c. (M ihai Piticari şi Dan Popescu, Shortlist 2002 ) 20

7 . Fie a, b, c numere reale pozitive astfel încât a + b + c. Arătaţi că ( + a)( + b)( + c) 8. (forumul ArtofProblemSolving) ( a)( b)( c) 4. Demonstraţi că în orice triunghi are loc inegalitatea (r a + r b + r c ) + r b + r c r c + r a r a + r b + 2p 2 6.(Andi Gabriel Brojbeanu, Recreaţii Matematice /204 ) 5R + 5. Fie a, b, c > 0 cu a + b + c. Să se arate că a + b + b + c + c + a + (ab + bc + ca). (Gh. Ghiţă, G.M.B /2009 ) 2 P 6. Se consideră a, b, c trei numere reale strict pozitive. Să se arate că b + c a + (a2 + b 2 + c 2 )(ab + bc + ca). (C ezar Lupu, Shortlist 2006 ) abc(a + b + c) 7. Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale pozitive cu proprietatea că abc, atunci ( + a )( + b )( + c ) 2 + b a + c b + a. (Dan Nedeianu, Shortlist 200 ) c 8. Arătaţi că pentru orice a, b, c > 0 avem a2 + b 2 + b2 + c 2 b + c + c2 + a 2 c + a a + b (a 2 + b 2 + c 2 ). (Ngueyen le Dung) a + b + c 9. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive astfel încât a + b + c a + b + c. Să se arate că a + b + c a + b + c + 2 abc. (Cezar Lupu şi Valentin Vornicu, Shortlist 2006 ) 0. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel încât abc. Arătaţi că 5+ a b + b c + c a (a + )(b + )(c + ). (forumul ArtofProblemSolving). Dacă x, y, z sunt numere reale pozitive, atunci x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 9. (Vasile Cîrtoaje, G.M.B.) (x + y + z) 2 Bibliografie. T. Ceauşu, A.C. Muntean, I. Stana Echivalenţa unor inegalităţi clasice, Editura Mirton, Timişoara, T. Andreescu, V. Cârtoaje, G. Dospinescu, M. Lascu Old & new inequalities, Editura Gil, Zalău, B. Ioniţă, T. Zvonaru Aplicaţii ale inegalităţii lui Schur, Pregătirea concursului Internaţional de Matematică,,Arhimede - IMAC, Clasele III-XII, Editura Nomina, Colecţia Shortlist

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

About a nice inequality

About a nice inequality About a nice inequality Cezar Lupu, Cosmin Pohoaţa In [1.](page 75), Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu and Marian Tetiva gave two solutions to the following inequality: Let a, b, c be three nonnegative

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

On a class of three-variable inequalities. Vo Quoc Ba Can

On a class of three-variable inequalities. Vo Quoc Ba Can On a class of three-variable inequalities Vo Quoc Ba Can 1 Theem Let a, b, c be real numbers satisfying a + b + c = 1 By the AM - GM inequality, we have ab + bc + ca 1, therefe setting ab + bc + ca = 1

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

DISCRETE INEQUALITIES

DISCRETE INEQUALITIES Vasile Cîrtoaje DISCRETE INEQUALITIES VOLUME 1 SYMMETRIC POLYNOMIAL INEQUALITIES ART OF PROBLEM SOLVING 2015 About the author Vasile Cîrtoaje is a Professor at the Department of Automatic Control and

More information

A METHOD FOR SOLVING SYMMETRIC INEQUALITIES.

A METHOD FOR SOLVING SYMMETRIC INEQUALITIES. METHOD FOR SOLVING SYMMETRIC INEQULITIES. Prof. Chiriță Marcel,Bucharest,Romania The method is applicable to certain broad categories of symmetric inecuații. We have chosen as an example a few inecuații

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

Happy New Year 2008 Chuc Mung Nam Moi 2008

Happy New Year 2008 Chuc Mung Nam Moi 2008 www.batdangthuc.net Happy New Year 008 Chuc Mung Nam Moi 008 Vietnam Inequality Forum - VIF - www.batdangthuc.net Ebook Written by: VIF Community User Group: All This product is created for educational

More information

IOAN ŞERDEAN, DANIEL SITARU

IOAN ŞERDEAN, DANIEL SITARU Romanian Mathematical Magazine Web: http://www.ssmrmh.ro The Author: This article is published with open access. TRIGONOMETRIC SUBSTITUTIONS IN PROBLEM SOLVING PART IOAN ŞERDEAN, DANIEL SITARU Abstract.

More information

review To find the coefficient of all the terms in 15ab + 60bc 17ca: Coefficient of ab = 15 Coefficient of bc = 60 Coefficient of ca = -17

review To find the coefficient of all the terms in 15ab + 60bc 17ca: Coefficient of ab = 15 Coefficient of bc = 60 Coefficient of ca = -17 1. Revision Recall basic terms of algebraic expressions like Variable, Constant, Term, Coefficient, Polynomial etc. The coefficients of the terms in 4x 2 5xy + 6y 2 are Coefficient of 4x 2 is 4 Coefficient

More information

A New Method About Using Polynomial Roots and Arithmetic-Geometric Mean Inequality to Solve Olympiad Problems

A New Method About Using Polynomial Roots and Arithmetic-Geometric Mean Inequality to Solve Olympiad Problems Polynomial Roots and Arithmetic-Geometric Mean Inequality 1 A New Method About Using Polynomial Roots and Arithmetic-Geometric Mean Inequality to Solve Olympiad Problems The purpose of this article is

More information

NOTE ON HADWIGER FINSLER S INEQUALITIES. 1. Introduction

NOTE ON HADWIGER FINSLER S INEQUALITIES. 1. Introduction Journal of Mathematical Inequalities Volume 6, Number 1 (01), 57 64 NOTE ON HADWIGER FINSLER S INEQUALITIES D.Ş. MARINESCU, M.MONEA, M.OPINCARIU AND M. STROE (Communicated by S. Segura Gomis) Abstract.

More information

Algebraic Expressions

Algebraic Expressions Algebraic Expressions 1. Expressions are formed from variables and constants. 2. Terms are added to form expressions. Terms themselves are formed as product of factors. 3. Expressions that contain exactly

More information

Factorisation. Learn and Remember. Sol. Let the duration of each period be x. Period 8 9. Duration of period 45 x (min.)

Factorisation. Learn and Remember. Sol. Let the duration of each period be x. Period 8 9. Duration of period 45 x (min.) 246 MATHEMATICS-I Sol. Let the duration of each period be x. Period 8 9 Duration of period 45 x (min.) If the period increases then the duration of period decreases. So, it is a case of inverse proportion...

More information

A DARK GREY P O N T, with a Switch Tail, and a small Star on the Forehead. Any

A DARK GREY P O N T, with a Switch Tail, and a small Star on the Forehead. Any Y Y Y X X «/ YY Y Y ««Y x ) & \ & & } # Y \#$& / Y Y X» \\ / X X X x & Y Y X «q «z \x» = q Y # % \ & [ & Z \ & { + % ) / / «q zy» / & / / / & x x X / % % ) Y x X Y $ Z % Y Y x x } / % «] «] # z» & Y X»

More information

SCTT The pqr-method august 2016

SCTT The pqr-method august 2016 SCTT The pqr-method august 2016 A. Doledenok, M. Fadin, À. Menshchikov, A. Semchankau Almost all inequalities considered in our project are symmetric. Hence if plugging (a 0, b 0, c 0 ) into our inequality

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul XIII, Nr. Ianuarie Iunie 0 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Asociaţ ia Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 0 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o formă

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

1. A polynomial p(x) in one variable x is an algebraic expression in x of the form

1. A polynomial p(x) in one variable x is an algebraic expression in x of the form POLYNOMIALS Important Points 1. A polynomial p(x) in one variable x is an algebraic expression in x of the form p(x) = a nx n +a n-1x n-1 + a 2x 2 +a 1x 1 +a 0x 0 where a 0, a 1, a 2 a n are constants

More information

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE R.M.M. Nr.20-2018 1 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE NR. 20 ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch DANIEL SITARU-ROMANIA

More information

An Useful Technique in Proving Inequalities

An Useful Technique in Proving Inequalities An Useful Technique in Proving Inequalities HSGS, Hanoi University of Science, Vietnam Abstract There are a lot of distinct ways to prove inequalities. This paper mentions a simple and useful technique

More information

Question: 1. Use suitable identities to find the following products:

Question: 1. Use suitable identities to find the following products: CH-2 Polynomial Question: 1. Use suitable identities to find the following products: (i) (x + 4) (x + 10) Solution:- (x+4)(x+10) = x 2 +10x+4x+4 x 10 = x 2 +14x+40 (ii) (x + 8) (x 10) Solution: x 2-10x+8x-80

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Probleme pentru pregătirea concursurilor

Probleme pentru pregătirea concursurilor Probleme pentru pregătirea concursurilor A. Nivel gimnazial G326. Pentru a-şi face provizii pentru iarnă, spiriduşii trebuie să culeagă ciuperci din pădure. Ciupercile cresc în 2017 poieniţe, însă în una

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

Demonstration of the Coupled Evolution Rules 163 APPENDIX F: DEMONSTRATION OF THE COUPLED EVOLUTION RULES

Demonstration of the Coupled Evolution Rules 163 APPENDIX F: DEMONSTRATION OF THE COUPLED EVOLUTION RULES Demonstration of the Coupled Evolution Rules 163 APPENDIX F: DEMONSTRATION OF THE COUPLED EVOLUTION RULES Before going into the demonstration we need to point out two limitations: a. It assumes I=1/2 for

More information

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH

More information

(Chapter 10) (Practical Geometry) (Class VII) Question 1: Exercise 10.1 Draw a line, say AB, take a point C outside it. Through C, draw a line parallel to AB using ruler and compasses only. Answer 1: To

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

Two useful substitutions...

Two useful substitutions... Two useful substitutions... We know that in most inequalities with a constraint such as abc = 1 the substitution a = x y, b = y z, c = z simplifies the solution (don t kid yourself, not x all problems

More information

GCSE Mathematics (Calculator Paper)

GCSE Mathematics (Calculator Paper) Centre Number Surname Other Names Candidate Number For Examiner s Use Examiner s Initials Candidate Signature GCSE Mathematics (Calculator Paper) Practice Paper Style Questions Topic: Trigonometry (Higher

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul VII, Nr. Iulie Decembrie 005 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 00 de ani de la introducerea distanţei între mulţimi de către Dimitrie Pompeiu e iπ = Editura Crenguţa

More information

First selection test

First selection test First selection test Problem 1. Let ABC be a triangle right at C and consider points D, E on the sides BC, CA, respectively such that BD = AE = k. Lines BE and AC CD AD intersect at point O. Show that

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Homework 1/Solutions. Graded Exercises

Homework 1/Solutions. Graded Exercises MTH 310-3 Abstract Algebra I and Number Theory S18 Homework 1/Solutions Graded Exercises Exercise 1. Below are parts of the addition table and parts of the multiplication table of a ring. Complete both

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Editura Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 006 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

LOWELL WEEKLY JOURNAL

LOWELL WEEKLY JOURNAL Y G y G Y 87 y Y 8 Y - $ X ; ; y y q 8 y $8 $ $ $ G 8 q < 8 6 4 y 8 7 4 8 8 < < y 6 $ q - - y G y G - Y y y 8 y y y Y Y 7-7- G - y y y ) y - y y y y - - y - y 87 7-7- G G < G y G y y 6 X y G y y y 87 G

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

TWO USEFUL SUBSTITUTIONS

TWO USEFUL SUBSTITUTIONS Contents TWO USEFUL SUBSTITUTIONS 2 ALWAYS CAUCHY-SCHWARZ 11 EQUATIONS AND BEYOND 25 LOOK AT THE EXPONENT! 38 PRIMES AND SQUARES 53 T 2 S LEMMA 65 ONLY GRAPHS, NO SUBGRAPHS! 81 COMPLEX COMBINATORICS 90

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

Factorisation CHAPTER Introduction

Factorisation CHAPTER Introduction FACTORISATION 217 Factorisation CHAPTER 14 14.1 Introduction 14.1.1 Factors of natural numbers You will remember what you learnt about factors in Class VI. Let us take a natural number, say 30, and write

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

VANA VANI MAT.HR. SEC.SCHOOL Std VIII MATHEMATICS

VANA VANI MAT.HR. SEC.SCHOOL Std VIII MATHEMATICS VANA VANI MAT.HR. SEC.SCHOOL Std VIII MATHEMATICS Holiday assignment 1.Find the common factors of the terms (i) 12x, 36 (ii) 2y, 22xy (iii) 14pq, 28p 2 q 2 (iv) 2x, 3x 2, 4 (v) 6abc, 24ab 2, 12a 2 b (vi)

More information

LOWELL WEEKLY JOURNAL

LOWELL WEEKLY JOURNAL Y -» $ 5 Y 7 Y Y -Y- Q x Q» 75»»/ q } # ]»\ - - $ { Q» / X x»»- 3 q $ 9 ) Y q - 5 5 3 3 3 7 Q q - - Q _»»/Q Y - 9 - - - )- [ X 7» -» - )»? / /? Q Y»» # X Q» - -?» Q ) Q \ Q - - - 3? 7» -? #»»» 7 - / Q

More information

Some Basic Logic. Henry Liu, 25 October 2010

Some Basic Logic. Henry Liu, 25 October 2010 Some Basic Logic Henry Liu, 25 October 2010 In the solution to almost every olympiad style mathematical problem, a very important part is existence of accurate proofs. Therefore, the student should be

More information

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.

More information

MATH 19520/51 Class 5

MATH 19520/51 Class 5 MATH 19520/51 Class 5 Minh-Tam Trinh University of Chicago 2017-10-04 1 Definition of partial derivatives. 2 Geometry of partial derivatives. 3 Higher derivatives. 4 Definition of a partial differential

More information

Grade 8 Factorisation

Grade 8 Factorisation ID : ae-8-factorisation [1] Grade 8 Factorisation For more such worksheets visit www.edugain.com Answer the questions (1) Find factors of following polynomial A) y 2-2xy + 3y - 6x B) 3y 2-12xy - 2y + 8x

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

( ) R kj. = y k y j. y A ( ) z A. y a. z a. Derivatives of the second order electrostatic tensor with respect to the translation of ( ) δ yβ.

( ) R kj. = y k y j. y A ( ) z A. y a. z a. Derivatives of the second order electrostatic tensor with respect to the translation of ( ) δ yβ. Supporting information Derivatives of R with respect to the translation of fragment along the y and z axis: y = y k y j (S1) z ( = z z k j) (S2) Derivatives of S with respect to the translation of fragment

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Autor: Instituţia: Coordonator

Autor: Instituţia: Coordonator Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way George Polya Autor: Instituţia: Coordonator ştiinţific:

More information

14.7: Maxima and Minima

14.7: Maxima and Minima 14.7: Maxima and Minima Marius Ionescu October 29, 2012 Marius Ionescu () 14.7: Maxima and Minima October 29, 2012 1 / 13 Local Maximum and Local Minimum Denition Marius Ionescu () 14.7: Maxima and Minima

More information

Multivariable Calculus and Matrix Algebra-Summer 2017

Multivariable Calculus and Matrix Algebra-Summer 2017 Multivariable Calculus and Matrix Algebra-Summer 017 Homework 4 Solutions Note that the solutions below are for the latest version of the problems posted. For those of you who worked on an earlier version

More information

CHAPTER 2 BOOLEAN ALGEBRA

CHAPTER 2 BOOLEAN ALGEBRA CHAPTER 2 BOOLEAN ALGEBRA This chapter in the book includes: Objectives Study Guide 2.1 Introduction 2.2 Basic Operations 2.3 Boolean Expressions and Truth Tables 2.4 Basic Theorems 2.5 Commutative, Associative,

More information

Neatest and Promptest Manner. E d i t u r ami rul)lihher. FOIt THE CIIILDIIES'. Trifles.

Neatest and Promptest Manner. E d i t u r ami rul)lihher. FOIt THE CIIILDIIES'. Trifles. » ~ $ ) 7 x X ) / ( 8 2 X 39 ««x» ««! «! / x? \» «({? «» q «(? (?? x! «? 8? ( z x x q? ) «q q q ) x z x 69 7( X X ( 3»«! ( ~«x ««x ) (» «8 4 X «4 «4 «8 X «x «(» X) ()»» «X «97 X X X 4 ( 86) x) ( ) z z

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

CHAPTER 10 TRIGONOMETRY

CHAPTER 10 TRIGONOMETRY CHAPTER 10 TRIGONOMETRY EXERCISE 39, Page 87 1. Find the length of side x in the diagram below. By Pythagoras, from which, 2 25 x 7 2 x 25 7 and x = 25 7 = 24 m 2. Find the length of side x in the diagram

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

Sem. I, Ioana Leustean FMI, UB

Sem. I, Ioana Leustean FMI, UB LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Ce este logica? logike tekhne = ştiinţa raţionamentelor logos = cuvînt, raţionament A deduction is speech (logos) in which,

More information

Expanding brackets and factorising

Expanding brackets and factorising CHAPTER 8 Epanding brackets and factorising 8 CHAPTER Epanding brackets and factorising 8.1 Epanding brackets There are three rows. Each row has n students. The number of students is 3 n 3n. Two students

More information

Chapter y. 8. n cd (x y) 14. (2a b) 15. (a) 3(x 2y) = 3x 3(2y) = 3x 6y. 16. (a)

Chapter y. 8. n cd (x y) 14. (2a b) 15. (a) 3(x 2y) = 3x 3(2y) = 3x 6y. 16. (a) Chapter 6 Chapter 6 opener A. B. C. D. 6 E. 5 F. 8 G. H. I. J.. 7. 8 5. 6 6. 7. y 8. n 9. w z. 5cd.. xy z 5r s t. (x y). (a b) 5. (a) (x y) = x (y) = x 6y x 6y = x (y) = (x y) 6. (a) a (5 a+ b) = a (5

More information

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Math 10 - Unit 5 Final Review - Polynomials

Math 10 - Unit 5 Final Review - Polynomials Class: Date: Math 10 - Unit 5 Final Review - Polynomials Multiple Choice Identify the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Factor the binomial 44a + 99a 2. a. a(44 + 99a)

More information

LOWELL JOURNAL. MUST APOLOGIZE. such communication with the shore as Is m i Boimhle, noewwary and proper for the comfort

LOWELL JOURNAL. MUST APOLOGIZE. such communication with the shore as Is m i Boimhle, noewwary and proper for the comfort - 7 7 Z 8 q ) V x - X > q - < Y Y X V - z - - - - V - V - q \ - q q < -- V - - - x - - V q > x - x q - x q - x - - - 7 -» - - - - 6 q x - > - - x - - - x- - - q q - V - x - - ( Y q Y7 - >»> - x Y - ] [

More information

Boolean Algebra. Examples: (B=set of all propositions, or, and, not, T, F) (B=2 A, U,, c, Φ,A)

Boolean Algebra. Examples: (B=set of all propositions, or, and, not, T, F) (B=2 A, U,, c, Φ,A) Boolean Algebra Definition: A Boolean Algebra is a math construct (B,+,.,, 0,1) where B is a non-empty set, + and. are binary operations in B, is a unary operation in B, 0 and 1 are special elements of

More information

Junior problems AB DE 2 + DF 2.

Junior problems AB DE 2 + DF 2. Junior problems J457. Let ABC be a triangle and let D be a point on segment BC. Denote by E and F the orthogonal projections of D onto AB and AC, respectively. Prove that sin 2 EDF DE 2 + DF 2 AB 2 + AC

More information

Algebraic Expressions and Identities

Algebraic Expressions and Identities ALGEBRAIC EXPRESSIONS AND IDENTITIES 137 Algebraic Expressions and Identities CHAPTER 9 9.1 What are Expressions? In earlier classes, we have already become familiar with what algebraic expressions (or

More information

BOOLEAN ALGEBRA TRUTH TABLE

BOOLEAN ALGEBRA TRUTH TABLE BOOLEAN ALGEBRA TRUTH TABLE Truth table is a table which represents all the possible values of logical variables / statements along with all the possible results of the given combinations of values. Eg:

More information