Câteva rezultate de algebră comutativă

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Câteva rezultate de algebră comutativă"

Transcription

1 Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului. Majoritatea rezultatelor sunt date fără demonstraţii, unele putând fi considerate ca exerciţii (acestea vor fi identificate cu simbolul ). Detalii pot fi găsite (de exemplu) în [2], [4], [8] sau [10]. 1 Inele 1.1 Inele, ideale Inelele vor fi întotdeauna comutative, cu unitate. Notăm S idealul inelului A generat de mulţimea S A: { } r S = f = a i f i / r N, f i S, a i A. i=1 Un ideal a al inelului A este de tip finit dacă admite un sistem finit de generatori: există x 1,..., x n a astfel încât orice x a se scrie n x = a i x i, a i A. i=1 Idealul a se numeşte principal dacă admite un sistem de generatori format dintr-un singur element. Notăm a sau aa idealul principal generat de elementul a A. Inelul A se numeşte inel principal dacă orice ideal propriu al său este principal Inele cât; o teoremă de izomorfism Fie A un inel şi a un ideal. Mulţimea cât A/a este înzestrată în mod canonic cu o structură de inel, care se numeşte inelul cât A/a. Morfismul de inele φ : A A/a, x x := x + a este surjectiv şi îl numim proiecţie canonică. 1

2 Propoziţia 1.1 ([2], Propoziţia 1.1). Există o corespondenţă bijectivă, ce păstrează ordinea dată de incluziune, între mulţimea idealelor b ale lui A ce conţin a şi cea a idealelor b ale lui A/a, corespondenţă dată de b = φ 1 (b). Teorema 1.2. (de izomorfism) Fie f : A B un morfism de inele, I = ker f, a un ideal al lui A inclus în I şi φ : A A/a proiecţia canonică. Atunci: 1) Există un unic morfism f : A/a B astfel încât f = f φ. 2) Morfismul f este injectiv dacă şi numai dacă a = I. 3) Morfismul f este surjectiv dacă şi numai dacă f este surjectiv. În particular, Imf A/ ker f. Fie A şi B două inele. Notăm A[X 1,..., X n ] inelul polinoamelor în n nedeterminate peste A (n N ). Un morfism f : A[X 1,..., X n ] B este determinat de restricţia sa la A şi de imaginile nedeterminatelor X i, i {1,..., n}. Fie A un inel. Numim A-algebră un inel B înzestrat cu un morfism (care, în acest volum, este în cele mai multe situaţii injectiv) f : A B. A-algebra B se numeşte de tip finit dacă este generată de un număr finit de elemente x 1,..., x n, în sensul următor: orice element al lui B se poate obţine ca un polinom în x i cu coeficienţi în A. Altfel spus, inelul B este izomorf cu un cât al inelului de polinoame A[X 1,..., X n ] Divizori ai lui zero; elemente nilpotente; unităţi Un element x A se numeşte divizor al lui zero dacă există y A\{0} astfel încât xy = 0. Un inel fără divizori ai lui zero nenuli se numeşte inel integru domeniu de integritate. Un element x A se numeşte nilpotent dacă există n N astfel încât x n = 0. Un element x A este inversabil (sau element unitate) dacă există y A astfel încât xy = 1. Elementul y este determinat în mod unic de x şi este notat x 1. Mulţimea elementelor inversabile ale lui A formează un grup 2

3 abelian 1 (multiplicativ), notat A. Un corp este un inel în care 1 0 şi orice element nenul este inversabil. Propoziţia 1.3 ([2], Propoziţia 1.2). Fie un inel A 0. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) A este un corp; ii) singurele ideale ale lui A sunt idealul nul 0 şi A; iii) orice morfism de inele A B, B 0 este injectiv ( ). Un element a A se numeşte ireductibil dacă a = b c = b A sau c A. Inelul A se numeşte factorial dacă orice element nenul a A se scrie ca un produs de elemente ireductibile, scrierea fiind unică până la înmulţirea cu un element inversabil. Factorii acestui produs se numesc divizorii elementului a Operaţii cu ideale Intersecţia unei familii de ideale este un ideal. De exemplu, în inelul numerelor întregi Z, intersecţia idealelor x şi y este idealul generat de cel mai mic multiplu comun al întregilor x şi y. Suma idealelor dintr-o familie {a i } i Υ (unde Υ este o mulţime de indici) este mulţimea { } ak := x i, x i a i, x i = 0 exceptând un nr. finit de indici. i Υ Această mulţime este un ideal ce conţine toate idealele a i. În particular, dacă a i = f i (f i A), obţinem idealul generat de elementele f i. În Z suma idealelor x şi y este idealul generat de cel mai mare divizor comun al întregilor x şi y. Produsul a două ideale a şi b este idealul notat ab şi generat de produsele xy, unde x a şi y b. Atunci ab a b ( ). În Z, produsul idealelor x şi y este idealul xy. 1 Niels Abel ( , Frindoe, Norvegia , Froland, Norvegia): matematician norvegian. Unul din cei mai mari matematicieni ai secolului XIX, face parte dintre fondatorii algebrei şi analizei matematice moderne. 3

4 1.1.4 Ideale prime, ideale maximale Un ideal p A se numeşte prim dacă xy p implică x p sau y p. Idealul p A este prim dacă şi numai dacă A/p este domeniu de integritate. Un ideal m A se numeşte maximal dacă nu există nici un ideal a astfel încât m a A. Idealul m A este maximal dacă şi numai dacă A/m este un corp. Dacă f : A B este un morfism de inele şi q este un ideal prim al lui B, atunci p = f 1 (q) este un ideal prim al lui A ( ). Folosind Lema lui Zorn, se poate demonstra imediat propoziţia următoare: Propoziţia 1.4. Orice inel A 0 are cel puţin un ideal maximal. În particular, orice ideal a A este conţinut într-un ideal maximal. De asemenea, orice element care nu este inversabil aparţine unui ideal maximal. Intersecţia N(A) a tuturor idealelor prime ale unui inel se numeşte nilradicalul inelului. Idealul N(A) coincide cu mulţimea elementelor nilpotente ( ). Inelul A este domeniu de integritate dacă şi numai dacă idealul 0 este prim (deci N(A) = 0). Exemplul 1.1. a) A = Z. Idealul p este prim dacă şi numai dacă p = 0 sau p este număr prim. În acest ultim caz, idealul p este maximal şi A/ p este corpul F p cu p elemente. b) A = K[X 1,... X n ] (K un corp comutativ). Fie f A un polinom ireductibil. Atunci idealul f este prim. Propoziţia 1.5 ([8], 1.B). (a) Fie {p 1,..., p n } o familie de ideale prime şi fie a un ideal astfel încât n a p i. i=1 Atunci există i {1,..., n} astfel încât a p i ( ). (b) Fie {a 1,..., a n } o familie de ideale şi fie p un ideal prim astfel încât n p a i. i=1 Atunci există i {1,..., n} astfel încât p a i. Dacă p = n a i, atunci 4 i=1

5 există i astfel încât p = a i ( ). Dacă a este un ideal al inelului A, radicalul lui a este idealul r(a) = {x A / n N, x n a }. Idealul r(a) este intersecţia idealelor prime ale lui A ce conţin a ( ). Un ideal a se numeşte radical dacă a =r(a). În acest caz inelul cât A/a nu are elemente nilpotente (spunem că este un inel redus). 1.2 Inel local; localizare Definiţia 1.1. Inelul A se numeşte local dacă are un singur ideal maximal m. Corpul A/m se numeşte corpul rezidual al inelului local A. Dacă A este un inel local, orice element u A \ m este inversabil ( ). O submulţime S A se numeşte multiplicativ închisă dacă 1 S şi x, y S, xy S. Fie A un inel şi S o submulţime multiplicativ închisă. Pe A S putem defini relaţia de echivalenţă (a, s) (a, s ) t S astfel încât t(as a s) = 0. În particular, dacă inelul A este integru, (a, s) (a, s ) dacă şi numai dacă as = a s. Mulţimea claselor de echivalenţă se notează A S şi este un inel numit localizatul lui A în raport cu S. Clasa de echivalenţă a perechii (a, s) se notează a. Cele două operaţii se definesc în mod analog cu adunarea şi s înmulţirea din Q. Există un morfism injectiv ι : A A S, a a 1. Imaginea unui element a este un element inversabil în inelul A S dacă şi numai dacă a este element inversabil în A sau a S. Inelul A S verifică proprietatea de universalitate următoare: dacă B este un inel iar ϕ : A B este un morfism de inele cu proprietatea că ϕ(s) este un element inversabil al lui B, oricare ar fi s S, atunci există un unic morfism de inele ϕ S : A S B astfel încât ϕ = ϕ S ι. 5

6 Idealele prime ale lui A S corespund de manieră biunivocă, via ι 1, idealelor prime ale lui A ce nu au elemente comune cu S ( ). Exemplul ) Fie A un inel întegru şi S = A \ {0}. Atunci A S se numeşte corpul de fracţii al lui A şi se notează F r A. De exemplu, F r Z = Q; F r K[X 1,..., X n ] = K(X 1,..., X n ) se numeşte corpul funcţiilor raţionale cu coeficienţi în corpul K. 2) Fie f A şi S = {f n / n N}. În acest caz A S este notat A f şi este izomorf cu inelul cât A[T ]/(ft 1) ( ). Inelul A f se numeşte localizatul inelului A în raport cu elementul f. 3) Fie p un ideal prim al inelului A şi S = A \ p. În acest caz notăm A S = A p. Acesta este un inel local cu idealul maximal pa p. Idealele prime ale lui A p corespund de manieră biunivocă, via ι 1, idealelor prime ale lui A incluse în p ( ). Inelul A f se numeşte localizatul inelului A în raport cu idealul prim p. 1.3 Inele noetheriene Un inel A se numeşte noetherian 2 dacă verifică una din următoarele condiţii echivalente ([2], Propoziţiile 6.1, 6.2; [8], 2.A): 1. orice şir crescător de ideale ale lui A este staţionar; 2. orice mulţime nevidă de ideale ale lui A are un element maximal în raport cu incluziunea; 3. orice ideal al lui A este de tip finit. Exemplul 1.3. Un corp K, inelul numerelor întregi Z, un inel principal sunt inele noetheriene. Un cât al unui inel noetherian este noetherian. Dacă A este inel noetherian, atunci: 2 Emmy Amalie Noether ( , Erlangen, Germania , Bryn Mawr, SUA): matematician german. Contribuţii importante în teoria inelelor şi fizica teoretică. 6

7 - dacă f : A B este un morfism surjectiv de inele, atunci B este inel noetherian ( ). - inelul de polinoame A[X] este noetherian (Teorema bazei a lui Hilbert, [2], Teorema 7.5). - dacă S A este o submulţime multiplicativ închisă, atunci A S este inel noetherian ([2], Teorema 7.3). Un inel noetherian are un număr finit de ideale prime minimale ( ). Propoziţia 1.6 ([2], Propoziţia 7.8). Fie inelele A B C. Dacă A este noetherian, C este o A-algebră finit generată iar C este un B-modul de tip finit, atunci B este o A-algebră finit generată. 1.4 Elemente întregi Fie B un inel şi A B un subinel. Fie x B. Definiţia 1.2. Spunem că punctul x este întreg peste A dacă x verifică o ecuaţie polinomială unitară: cu a i A, i {0,..., n 1}. x n + a n 1 x n a 0 = 0 Exemplul 1.4. Elementele i, 3 C sunt întregi peste inelul numerelor întregi Z, însă elementele 1 5, 1 2, π nu sunt întregi peste Z( ). Inelul B se numeşte întreg peste inelul A dacă toate elementele sale sunt întregi peste A. Este suficient să verificăm această proprietate pentru un sistem de generatori. În general, mulţimea elementelor lui B care sunt întregi peste A este un inel şi se numeşte închiderea întreagă a lui A în B. Propoziţia 1.7 ([2], Corolarul 5.2). Fie A un inel. Dacă B este o A- algebră de tip finit, atunci B este întreg peste A dacă şi numai dacă există un sistem finit de elemente ale lui B astfel încât orice element al lui B se scrie ca o combinaţie liniară de elemente ale acestui sistem, cu coeficienţi în A (spunem că B este o A-algebră finită). 7

8 Definiţia 1.3. Un inel integru A se numeşte întreg închis dacă închiderea sa întreagă în corpul său de fracţii coincide cu A. Propoziţia 1.8 ([2], Propoziţia 5.6). Fie B o A-algebră şi S o submulţime multiplicativ închisă a lui A. Dacă B este întreg peste A, atunci inelul B S este întreg peste A S. Propoziţia 1.9 ([2], Propoziţia 5.13). Fie A une domeniu de integritate. Proprietăţile următoare sunt echivalente: (a) inelul A este întreg închis; (b) inelul local A p este întreg închis, oricare ar fi idealul prim p A; (c) inelul local A m este întreg închis, oricare ar fi idealul maximal m A. Propoziţia Orice inel factorial este întreg închis. 1.5 Dimensiunea unui inel Definiţia 1.4. Fie A un inel şi p A un ideal prim. Numim inălţime a idealului p numărul (eventual ) { } p h(p) = sup n N / 0 p 1... p n = p. lanţ de ideale prime distincte Definiţia 1.5. Se numeşte dimensiune a inelului A numărul (eventual ) dim A = sup {h(p) / p A ideal prim}. Dacă A este un inel noetherian, atunci dimensiunea lui A este finită. Teorema Fie K un corp şi A un domeniu de integritate care este o K-algebră finit generată. Atunci: (a) dimensiunea lui A este egală cu gradul de transcendenţă al corpului de fracţii F r(a) al lui A peste K (vezi Secţiunea A.3.2). (b) oricare ar fi p A un ideal prim, h(p) + dim B/p = dim B. 8

9 Teorema 1.12 ([2], Corolarul 11.17). (Hauptidealsatz, Krull) Fie A un inel noetherian şi f A un element neinversabil ce nu este divizor al lui zero. Atunci orice ideal prim minimal ce conţine f are înălţimea 1. Propoziţia Un domeniu de integritate noetherian A este inel factorial dacă şi numai dacă orice ideal prim de înălţime 1 este principal. 1.6 Inele de valuare discretă Definiţia 1.6. Fie K un corp. O valuare discretă a lui K este o funcţie v : K Z cu proprietăţile Mulţimea v(xy) = v(x) + v(y) v(x + y) min(v(x), v(y)). A := {x K / v(x) 0} este un inel, numit inelul de valuare al lui v. Valuarea v se extinde la întreg corpul K luând v(0) =. Exemplul ) K = Q. Fie p Q un număr prim. Orice număr raţional nenul x Q se scrie în mod unic x = p a y, cu a Z, iar numitorul şi numărătorul lui y Q nu sunt divizibili cu p. Funcţia v p : Q Z, v p (x) = a este o valuare discretă. Inelul său de valuare este inelul local Z p, localizatul lui Z în raport cu idealul prim p. 2) K = k(x), corpul funcţiilor raţionale peste un corp k. Fie f k[x] un polinom ireductibil. Putem defini v f în mod analog cu exemplul de mai sus: dacă g k(x), g = f a h (a Z, h = h 1 h 2 k(x) astfel încât f nu divide polinoamele h 1 şi h 2 ), definim v f : k(x) Z, v f (g) = a. Această funcţie este o valuare discretă, al cărui inel de valuare este localizatul inelului de polinoame k[x] în idealul prim f. 9

10 Definiţia 1.7. Un domeniu de integritate A se numeşte inel de valuare discretă dacă există o valuare discretă v a corpului său de fracţii astfel încât A este inelul său de valuare. În acest caz A este un inel local, iar idealul său maximal este m = {x K / v(x) > 0. Propoziţia 1.14 ([2], Propoziţia 9.2). Fie A un domeniu de integritate noetherian 1-dimensional, m idealul său maximal, k = A/m corpul său rezidual. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1. A este un inel de valuare discretă; 2. A este întreg închis; 3. m este ideal principal; 4. orice ideal nenul al lui A este o putere a lui m. 1.7 Inele graduate Definiţia 1.8. Inelul R se numeşte inel graduat dacă R se poate scrie ca o sumă directă R = n N R n unde, pentru orice n N, R n este subgrup al grupului aditiv (R, +) şi R p R q R p+q. Elementele lui R p se numesc omogene de grad p. În particular, R 0 este un subinel al lui R, deci R este o R 0 -algebră. Observăm că m = R + = n>0 R n este un ideal al lui R şi R/R + R 0. Dacă R şi R sunt două inele graduate, un morfism de inele ϕ : R R se numeşte omogen dacă, pentru orice a R, deg a = deg ϕ(a). 10

11 Exemplul 1.6. Inelul polinoamelor peste un corp K, R = K[X 1,..., X m ] este un inel graduat, cu gradul uzual. În acest caz R 0 K-spaţiu vectorial, oricare ar fi n N. = K, iar R n este Propoziţia 1.15 ([2], Propoziţia 10.7). Fie R un inel graduat. Atunci R este un inel noetherian dacă şi numai dacă R 0 este un inel noetherian şi R este o R 0 -algebră de tip finit. Propoziţia 1.16 ([8], A.10). Fie k un corp, R o k-algebră graduată şi fie I un ideal al lui R. Următoarele condiţii sunt echivalente: (i) I este generat de elemente omogene; (ii) dacă f I, f = r i=0 atunci f i I pentru orice i {0,..., r}. Un astfel de ideal se numeşte ideal omogen. f i unde f i sunt polinoame omogene de grad i, Propoziţia Fie R o k-algebră graduată şi fie I un ideal omogen al lui R. Fie k-algebra cât S := R/I şi φ : R R/I proiecţia canonică. Atunci S este înzestrată cu o graduare naturală dată de S i = φ(r i ). Demonstraţie. Este suficient să arătăm că S este suma directă a subspaţiilor S i, ceea ce rezultă imediat din propoziţia precedentă, (ii). 2 Module, produse tensoriale 2.1 Module Definiţia 2.1. Fie A un inel. Un grup abelian (M, +) se numeşte A-modul dacă M este înzestrat cu o lege de compoziţie externă : A M M 11

12 astfel încât a(x + y) = ax + ay (a + b)x = ax + bx (ab)x = a(bx) 1x = x, a, b A, x, y M Exemplul 2.1. Orice ideal al inelului A este un A-modul. Dacă A este un corp, atunci un A-modul nu este altceva decât un A-spaţiu vectorial. Orice grup abelian este un Z-modul. Un modul se numeşte de tip finit dacă are număr finit de generatori, în sensul următor: există x 1,..., x n M astfel încât orice x M se scrie x = n a i x i, unde a i A. În particular, un ideal al inelului A este de tip finit i=1 (în sensul definit în Secţiunea A.1.1) dacă şi numai dacă este un A-modul de tip finit. Rezultă atunci că inelul A este noetherian dacă şi numai dacă orice ideal al său este un A-modul de tip finit. În mod natural se definesc noţiunile de submodul şi modul cât. Dacă S A este o submulţime multiplicativ închisă, putem defini, ca în Secţiunea A.1.2, A S -modulul M S (localizatul lui M în S). Un şir de A-module şi A-morfisme f i f i+1... M i 1 Mi Mi+1... se numeşte exact în M i dacă Im (f i ) = ker(f i+1 ). În particular ( ): 0 M f M 2.2 Proprietăţi locale 0 M f M este exact f este injectiv M g M 0 este exact g este surjectiv g M 0 este exact f este injectiv, g surjectiv, şi M cokerf := M/f(M ). Fie P o proprietate ce poate fi atribuită unui A-modul M. Spunem că P este o proprietate locală atunci când: M are proprietatea P dacă şi numai dacă M p are proprietatea P, oricare ar fi idealul prim p A. 12

13 Propoziţia 2.1. (i) Fie M un A-modul. Următoarele proprietăţi sunt echivalente ( ): 1. M = 0; 2. M p = 0, p A ideal prim; 3. M m = 0, m A ideal maximal. (ii) Fie φ : M N un morfism de A-module. Următoarele proprietăţi sunt echivalente ( ): 1. φ este injectiv; 2. φ p : M p N p este injectiv, p A ideal prim; 3. φ m : M m N m este injectiv, m A ideal maximal. Am văzut că proprietatea unui inel de a fi întreg închis este o proprietate locală (Propoziţia 1.9). 2.3 Produse tensoriale Fie A un inel şi M, N două A-module. Produsul tensorial al modulelor M şi N peste A este un A-modul, notat M A N, generat de simbolurile x y, cu x M, y N (un element al lui M A N este aşadar o combinaţie liniară finită a i (x i y i ) cu a i A) astfel încât (x + x ) y = x y + x y x (y + y ) = x y + x y (ax) y = x (ay) = a(x y), a A, x M, y N. Următoarea proprietate de universalitate este satisfăcută: dată o aplicaţie A-biliniară de A-module f : M N P, există o unică aplicaţie A-liniară f : M A N P astfel încât f(x y) = f(x, y), x M, y N. Dat fiind un morfism de A-module f : M M şi un A-modul N, prin tensorizare cu N obţinem f Id : M A N M A N, x y f(x) y. 13

14 Produsul tensorial este exact la dreapta: dat fiind un şir exact scurt 0 M M M 0 (1) prin tensorizare cu un A-modul N obţinem şirul exact M A N M A N M A N 0 ([2], Propoziţia 2.18). Un A-modul N se numeşte plat dacă, dat fiind şirul exact (1), şirul este exact. 0 M A N M A N M A N 0 Propoziţia 2.2. Dacă A este un inel şi f A, atunci A-modulul A f plat. este Demonstraţie. Exerciţiu ( ) Extinderea scalarilor Fie A un inel şi f : A B un morfism de inele. Dacă N este un B-modul, putem defini, pentru a A şi y N, a y := f(a)y. Obţinem astfel o structură de A-modul pe mulţimea N. Spunem că această structură este obţinută prin restricţia scalarilor de la B la A. Dacă M este un A-modul, produsul tensorial M A B este înzestrat în mod canonic cu o structură de B-modul, indusă de legea de compo-ziţie externă: b (x c) := x bc. Spunem că această structură este obţinută prin extinderea scalarilor de la A la B. Exemplul ) Fie a un ideal al inelului A şi B = A/a. Atunci M A/a = M/aM este un B-modul. 2) Fie S o submulţime multiplicativ închisă a inelului A şi fie B = A S. Atunci M A S = M S este un B-modul. 14

15 2.3.2 Lema lui Nakayama Fie A un inel local cu idealul maximal m şi k = A/m. Fie M un A-modul de tip finit astfel încât M A k = 0. Atunci M = 0 ( ). 3 Extinderi de corpuri 3.1 Extinderi algebrice Fie K L o extindere de corpuri. Spunem că aceasta este o extindere algebrică dacă orice element x L este soluţia unei ecuaţii algebrice cu coeficienţi în K: a n x n a 0 = 0, a i K, i {0,..., n}. În general, L este un spaţiu vectorial peste K. Dacă acesta este de dimensiune finită, numim această dimensiune gradul extinderii K L şi o notăm [L : K]. Dacă x L, există un unic polinom unitar, ireductibil în K[X], ce admite x ca rădăcină, numit polinomul minimal al lui x. Propoziţia 3.1. Dată o extindere algebrică finită K L de corpuri de caracteristică 0, există un element x L astfel încât L = K(x). Altfel spus, orice element al lui L se scrie ca un polinom în x având coeficienţi în K. Elementul x se numeşte element primitiv al lui L peste K. Fie K L o extindere de corpuri. Mulţimea tuturor elementelor lui L care sunt algebrice peste K se numeşte închiderea algebrică a lui K în L. Fie K un corp fixat. Să considerăm extinderile K L care satisfac următoarea proprietate: oricare ar fi f K[X] un polinom cu coeficienţi în K, f are cel puţin o rădăcină în L. Fie K un element minimal (în raport cu incluziunea) în mulţimea extinderilor L ale lui K având această proprietate. Există astfel de corpuri minimale şi orice două asemenea corpuri sunt izomorfe. Atunci extinderea K K este algebrică, iar K se numeşte închi-derea algebrică a corpului K. Aşa cum am menţionat, aceasta este bine definită până la un unic izomorfism de corpuri. 15

16 În cazul în care corpul K coincide cu K, spunem că el este algebric închis. O extindere algebrică K L se numeşte separabilă dacă orice polinom P K[X], ireductibil peste K, are cel mult rădăcini simple în L. O extindere algebrică K L se numeşte normală dacă orice polinom P K[X], de grad n, o dată cu o rădăcină în L, are n rădăcini în L. O extindere algebrică finită K L, separabilă şi normală, se numeşte extindere Galois 3. Grupul automorfismelor lui L ce lasă fixe elementele lui K, Gal(L/K), acţionează în mod tranzitiv pe mulţimea rădăcinilor în L ale unui polinom P K[X]. Grupul Gal(L/K) este finit, are cardinalul [L : K] şi se numeşte grupul Galois al extinderii K L. 3.2 Baze de transcendenţă Fie K L o extindere de corpuri. O submulţime B L se numeşte algebric independentă peste K dacă pentru orice elemente {x 1,..., x n } B şi orice P K[X 1,..., X n ], P (x 1,..., x n ) = 0 P = 0. Fie K L o extindere de corpuri. O submulţime B L se numeşte sistem algebric de generatori peste K dacă L este o extindere algebrică peste corpul K(B) generat de B peste K. Fie K L o extindere de corpuri. O submulţime B L se numeşte bază de transcendenţă a lui L peste K dacă este simultan algebric independentă şi sistem algebric de generatori. (A se observa paralelismul cu noţiunile de independenţă liniară şi bază pentru spaţii vectoriale.) Pentru orice extindere de corpuri K L există baze de transcen-denţă. Toate acestea au acelaşi cardinal, numit gradul de transcen-denţă al lui L peste K şi notat trdeg K (L). Exemplul ) Dacă L este algebric peste K, trdeg K (L) = 0. 2) Dacă L = K(X 1,..., X n ) este corpul funcţiilor raţionale în n nedeterminate peste K, atunci B = {X 1,..., X n } este o bază de transcendenţă şi trdeg K (L) = n. 3 Evariste Galois ( , Bourg La Reine, Franţa , Paris, Franţa): matematician francez. Iniţiatorul teoriei ecuaţiilor algebrice, cunoscută în prezent sub numele teoria Galois. A murit într-un duel. 16

17 3) Fie A = K[X, Y ]/ F, unde F K[X, Y ] este un polinom care nu este constant în Y, şi fie L = F r A. Atunci trdeg K (L) = 1 (o bază de transcendenţă este formată din imaginea x a nedeterminatei X în A, prin proiecţia canonică) ( ). Bibliografie [1] Artin, E.; Tate, J. : A Note in Finite Ring Extensions, J. Math. Soc. Japan 3, 1951, [2] Atiyah, M.F. : Macdonald, I.G. : Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1969 [3] Bogomolov, F; Petrov, T. : Algebraic Curves and One-Dimensional Fields, Courant Lecture Notes in Mathematics, AMS, Providence, 2002 [4] Eisenbud, D. : Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, GTM150, Springer, 1995 [5] Hartshorne, R. : Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, 1977 [6] Kunz, E. : Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, Boston, Basel, Stuttgart, 1985 [7] Liţcanu, R. : Introducere în geometria algebrică, Ed. Demiurg, 2004 [8] Matsumura, H. : Commutative Algebra, W. A. Benjamin, New York, 1970 [9] Perrin, D. : Géométrie algébrique, une introduction, InterEditions & CNRS Editions, Paris, 1995 [10] Zariski, O.; Samuel, P. : Commutative Algebra, D. Van Nostrand Comp. Inc., Princeton, NJ, 1958,

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE STUDIES ON THE EXPONENTIAL MAPPING AND GEOMETRIC MECHANICS Ph.D. Thesis Summary Professor DORIN ANDRICA, Ph.D. Ph.D. Student:

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Self-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract)

Self-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract) UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Self-Small Abelian Groups and Related Problems (Abstract) Author: Simion BREAZ 2013 Abstract Let R be

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

Raport stiintific sintetic. privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013

Raport stiintific sintetic. privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013 Raport stiintific sintetic privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013 Titlul proiectului: Algebre Hopf si teme inrudite, contract 88/05.10.2011. Director: prof. dr. Gigel

More information

MOTIVAŢIA PROGRAMULUI DE MASTER ALGEBRĂ (Context general, misiune şi obiective strategice)

MOTIVAŢIA PROGRAMULUI DE MASTER ALGEBRĂ (Context general, misiune şi obiective strategice) MOTIVAŢIA PROGRAMULUI DE MASTER ALGEBRĂ (Context general, misiune şi obiective strategice) Algebra, domeniu fundamental al matematicii, are o îndelungată tradiţie în facultatea noastră. Profesorii din

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT

STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT THE STUDY OF GEOMETRY

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

Hilbert function, Betti numbers. Daniel Gromada

Hilbert function, Betti numbers. Daniel Gromada Hilbert function, Betti numbers 1 Daniel Gromada References 2 David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry 19, 110 David Eisenbud: The Geometry of Syzygies 1A, 1B My own notes

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016

Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016 Ce este logica? Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http:unibuc.ro/~lleustean/ În această prezentare sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean din Semestrul

More information

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Tensor Product of modules. MA499 Project II

Tensor Product of modules. MA499 Project II Tensor Product of modules A Project Report Submitted for the Course MA499 Project II by Subhash Atal (Roll No. 07012321) to the DEPARTMENT OF MATHEMATICS INDIAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY GUWAHATI GUWAHATI

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA MAT6608. References

INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA MAT6608. References INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA MAT6608 ABRAHAM BROER References [1] Atiyah, M. F.; Macdonald, I. G. Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills,

More information

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU)

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU) PRELUCRRI PE IMGINI BINRE (LB/NEGRU) Imagine binara? 2 nuante: alb ( 0 ) pixelii de fond ( I(x,y)= 255 pt. imagini indexate cu 8 biti/pixel ) negru ( 1 ) pixelii apartinand obiectelor ( I(x,y)= 0 pt. imagini

More information

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.

More information

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

HABILITATION THESIS. Semisimple Hopf algebras and fusion categories

HABILITATION THESIS. Semisimple Hopf algebras and fusion categories Institute of Mathematics,,Simion Stoilow of the Romanian Academy HABILITATION THESIS Semisimple Hopf algebras and fusion categories Sebastian Marius Burciu Specialization: Mathematics Bucharest, 2013 To

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

PRIMARY DECOMPOSITION OF MODULES

PRIMARY DECOMPOSITION OF MODULES PRIMARY DECOMPOSITION OF MODULES SUDHIR R. GHORPADE AND JUGAL K. VERMA Department of Mathematics, Indian Institute of Technology, Mumbai 400 076, India E-Mail: {srg, jkv}@math.iitb.ac.in Abstract. Basics

More information

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut

More information

Dimension Theory. Mathematics 683, Fall 2013

Dimension Theory. Mathematics 683, Fall 2013 Dimension Theory Mathematics 683, Fall 2013 In this note we prove some of the standard results of commutative ring theory that lead up to proofs of the main theorem of dimension theory and of the Nullstellensatz.

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

A note on Derivations of Commutative Rings

A note on Derivations of Commutative Rings A note on Derivations of Commutative Rings MICHAEL GR. VOSKOGLOU School of Technological Applications Graduate Technological Educational Institute (T. E. I.) Meg. Alexandrou 1, 26334 Patras GREECE e-mail:

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

TWO IDEAS FROM INTERSECTION THEORY

TWO IDEAS FROM INTERSECTION THEORY TWO IDEAS FROM INTERSECTION THEORY ALEX PETROV This is an expository paper based on Serre s Local Algebra (denoted throughout by [Ser]). The goal is to describe simple cases of two powerful ideas in intersection

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul X, Nr. 1 Ianuarie Iunie 008 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 15 de ani de la apariţia revistei Recreaţii Ştiinţifice (1883 1888) e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii

More information

Homological Dimension

Homological Dimension Homological Dimension David E V Rose April 17, 29 1 Introduction In this note, we explore the notion of homological dimension After introducing the basic concepts, our two main goals are to give a proof

More information

ADVANCED COMMUTATIVE ALGEBRA: PROBLEM SETS

ADVANCED COMMUTATIVE ALGEBRA: PROBLEM SETS ADVANCED COMMUTATIVE ALGEBRA: PROBLEM SETS UZI VISHNE The 11 problem sets below were composed by Michael Schein, according to his course. Take into account that we are covering slightly different material.

More information

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 U.P.B. ci. Bull., eries A, Vol. 74, Iss. 3, 212 IN 1223-727 A CALAR OPERATOR Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 În această lucrare studiem o clasă nouă de operatori numiţi -scalari. Aceştia apar în mod natural,

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

WORKSHOP FOR YOUNG RESEARCHERS IN MATHEMATICS May 9-10, 2013, Constanta ABSTRACTS

WORKSHOP FOR YOUNG RESEARCHERS IN MATHEMATICS May 9-10, 2013, Constanta ABSTRACTS WORKSHOP FOR YOUNG RESEARCHERS IN MATHEMATICS May 9-10, 2013, Constanta ABSTRACTS About the minimizer of the Ginzburg-Landau energy on the exterior of a 3D ball Ramona ANTON Universit Pierre et Marie Curie,

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

ALGEBRA EXERCISES, PhD EXAMINATION LEVEL

ALGEBRA EXERCISES, PhD EXAMINATION LEVEL ALGEBRA EXERCISES, PhD EXAMINATION LEVEL 1. Suppose that G is a finite group. (a) Prove that if G is nilpotent, and H is any proper subgroup, then H is a proper subgroup of its normalizer. (b) Use (a)

More information

TEZA DE DOCTORAT. probleme de optimizare infinit dimensionale

TEZA DE DOCTORAT. probleme de optimizare infinit dimensionale Academia Română Institutul de matematică Simion Stoilow TEZA DE DOCTORAT rezumat Aplicaţii ale dualităţii în unele probleme de optimizare infinit dimensionale Coordonator ştiinţific: CS I dr. Dan Tiba

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN ALTERNATING -GROUPS. Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN ALTERNATING -GROUPS. Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2 U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN 1223-7027 ALTERNATING -GROUPS Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2 In acest articol studiem structura grupurilor alternate finite şi demonstrăm că dintre

More information

(1) A frac = b : a, b A, b 0. We can define addition and multiplication of fractions as we normally would. a b + c d

(1) A frac = b : a, b A, b 0. We can define addition and multiplication of fractions as we normally would. a b + c d The Algebraic Method 0.1. Integral Domains. Emmy Noether and others quickly realized that the classical algebraic number theory of Dedekind could be abstracted completely. In particular, rings of integers

More information

MA 252 notes: Commutative algebra

MA 252 notes: Commutative algebra MA 252 notes: Commutative algebra (Distilled from [Atiyah-MacDonald]) Dan Abramovich Brown University April 1, 2017 Abramovich MA 252 notes: Commutative algebra 1 / 21 The Poincaré series of a graded module

More information

Anul I, Semestrul I 2017/2018

Anul I, Semestrul I 2017/2018 Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean

More information

Anul I, Semestrul I 2017/2018

Anul I, Semestrul I 2017/2018 Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean

More information

Ce este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament

Ce este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament Ce este logica? Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile

More information

The most important result in this section is undoubtedly the following theorem.

The most important result in this section is undoubtedly the following theorem. 28 COMMUTATIVE ALGEBRA 6.4. Examples of Noetherian rings. So far the only rings we can easily prove are Noetherian are principal ideal domains, like Z and k[x], or finite. Our goal now is to develop theorems

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

Lecture 8. Throughout this lecture, A will be a ring and M, N etc will be A-modules.

Lecture 8. Throughout this lecture, A will be a ring and M, N etc will be A-modules. Lecture 8 1. Associated Primes and Primary decomposition for Modules We would like to describe in more detail the structure of submodules of a finitely generated module M over a Noetherian ring A. We will

More information

A QUICK REVIEW OF COMMUTATIVE ALGEBRA. Contents 1. Basic Constructions 2 2. Noetherian Rings 4 3. Modules 7 4. Integral Extensions 8 References 13

A QUICK REVIEW OF COMMUTATIVE ALGEBRA. Contents 1. Basic Constructions 2 2. Noetherian Rings 4 3. Modules 7 4. Integral Extensions 8 References 13 A QUICK REVIEW OF COMMUTATIVE ALGEBRA SUDHIR R. GHORPADE Department of Mathematics, Indian Institute of Technology, Mumbai 400076, India E-Mail : srg@math.iitb.ac.in Abstract. These notes attempt to give

More information

Reid 5.2. Describe the irreducible components of V (J) for J = (y 2 x 4, x 2 2x 3 x 2 y + 2xy + y 2 y) in k[x, y, z]. Here k is algebraically closed.

Reid 5.2. Describe the irreducible components of V (J) for J = (y 2 x 4, x 2 2x 3 x 2 y + 2xy + y 2 y) in k[x, y, z]. Here k is algebraically closed. Reid 5.2. Describe the irreducible components of V (J) for J = (y 2 x 4, x 2 2x 3 x 2 y + 2xy + y 2 y) in k[x, y, z]. Here k is algebraically closed. Answer: Note that the first generator factors as (y

More information