Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu"

Transcription

1 Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui A care sut umere prime Aflați cardialul mulțimii B (Recuoașterea umerelor prime mai mici decât 50 Memorarea lor pri repetare Folosirea oțiuilor de mulțime, submulțime și cardialul uei mulțimi) card B 5 Soluție Evidet, B,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47 și (Clasa a V-a) Stabiliți care ditre următoarele umere aturale este prim: 0, 0, 45, (Îvățarea uui algoritm petru recuoașterea umerelor prime mai mici, de exemplu, ca 0 5 ) Soluție Deorece 0 împărțit la dă câtul 5 și restul, 0 împărțit la dă câtul 4 și restul, 0 împărțit la 5 dă câtul 0 și restul, 0 împărțit la 7 dă câtul 4 și restul 5, 0 împărțit la dă câtul 9 și restul 4, iar la ultima împărțire câtul este mai mic decât împărțitorul, rezultă că umărul 0 este prim Aalog, avem 0 împărțit la dă câtul 0 și restul, 0 împărțit la dă câtul 67 și restul, 0 împărțit la 5 dă câtul 00 și restul, 0 împărțit la 7 dă câtul 9 și restul 0, deci umărul 0 u este prim Se observă ușor că 5 divide 45 și divide, ceea ce îseamă că 45 și u sut umere prime Observații O altă metodă petru a determia umerele prime (u prea mari) este ciurul lui Eratostee Se poate folosi și programul de pe iteret cu adresa

2 Cel mai mare umăr prim cuoscut pâă acum este, u umăr cu 8 68 cifre, care a fost găsit î iauarie 06 de către Great Iteret Mersee Prime Search (GIMPS) Se știe că mulțimea umerelor prime este ifită Cea mai veche demostrație cuoscută a acestui rezultat aparție lui Euclid (-8 îe) (Clasa a V-a) Determiați umerele prime, a, b, c, știid că a b 6c 590 (Sigurul divizor mai mare decât al uui umăr prim este umărul îsuși Proprietăți ale relației de divizibilitate ) Soluție Fie a, b, c trei umere prime care verifică relația dată Cum 590 este divizibil cu și suma b 6c este, de asemeea, divizibilă cu, rezultă că și a este divizibil cu, deci a Îlocuid pe a cu î egalitatea di euț, obțiem bc 94, de ude, avâd î vedere că 94 și c se divid cu, rezută că b este divizibil cu, deci b Drept urmare, c 97, care este umăr prim Observație Ipoteza ca c să fie umăr prim u este ecesară O putem lăsa, totuși, petru a atrage ateția elevilor că este de preferat ca ipoteza uei probleme să fie miimală 4 (Clasa a V-a) Determiați toate umerele aturale petru care umerele 4, 4 5 și sut prime 5 (Numere prime și paritate) , adică u Soluție Îtrucât suma celor trei umere este umăr par, rezultă că măcar uul ditre termei este (altfel toate cele trei umere prime ar fi impare și ar avea suma impară) Aalizâd toate cazurile posibile, obțiem soluția 5 (Clasa a V-a) Fie u umăr atural mai mare decât Arătați că cel puți uul ditre umerele, este umăr compus Există vreo valoare a lui petru care ambele umere sut compuse? (Numere compuse Divizibilitate) Soluție Deoarece umerele,, sut cosecutive, îseamă că uul ditre ele se divide cu Cum u se divide cu, rezultă că uul ditre umerele, se divide cu Dacă este mai mare decât, atuci umerele, sut mai mari decât, deci uul ditre ele este compus Petru 6, cele două umere sut 6 și 65, deci ambele sut compuse

3 6 (Clasa a VI-a) Stabiliți care ditre umerele 60, 59 are mai mulți divizori (Descompuerea umerelor î factori primi Numărul divizorilor uui umăr îtreg) a a a Soluție Numărul divizorilor îtregi pozitivi ai uui umăr îtreg p k p p k, ude p sut umere prime disticte, iar a sut umere îtregi pozitive, este Descompuâd umerele cosiderate î factori primi obțiem a a a și, deci 60 6 și Numărul 60 are mai mulți divizori decât 59 7 (Clasa a VI-a) Calculați suma divizorilor îtregi ai umărului (Divizorii îtregi ai uui umăr îtreg) a 06 0 Soluție Opusul oricărui divizor îtreg al umărului a este și el divizor al umărului a (divizorii îtregi ai lui a sut,, 4, 5, ) Suma cerută este egală cu 0 k 8 (Clasa a VI-a) Determiați umărul aaa, știid că este produs de umere prime cosecutive (Descompuerea uui umăr îtreg î factori primi Criterii de divizibilitate) Soluție Deoarece suma cifrelor umărului este a 6, deducem că se divide cu, deci este uul ditre factorii primi ai lui De aici, avâd î vedere că și este produs de umere prime cosecutive, rezultă că coție factorul 5, deci a 0 sau a 5 Dacă a 0, atuci , ceea ce arată că 000 este o soluție a problemei Dacă a 5, atuci , care u satisface codiția di euț 9 (Clasa a VI-a) Să umim u umăr atural straiu dacă este mai mare decât și, î descompuerea lui î factori primi, fiecare umăr prim are expoetul impar De exemplu,, și 4 formează u grup de trei umere straii cosecutive, deoarece Determiați lugimea celui mai mare grup de umere straii cosecutive 4 (Descompuerea uui umăr î facori primi),, 4 Soluție Observăm că lugimea celui mai mare grup u poate fi mai mare decât 7, deoarece pritre opt umere aturale cosecutive există u umăr care se divide cu 4, dar u se divide cu 8 și care, evidet, u este straiu Îtrucât există cel puți u grup de șapte umere îtregi cosecutive: 5 9 9, 0 5,,,, 4 7, 5 5 7, rezultă că lugimea celui mai mare grup de umere straii cosecutive este 7

4 4 0 (Clasa a VI-a) Fie u umăr atural petru care divizori aturali are umărul 4 8 (Numărul divizorilor aturali ai uui umăr îtreg) 0 are 0 divizori aturali Aflați câți a a ak Soluție Fie 0 p p p k, ude p sut umere prime disticte, iar îtregi pozitive Numărul divizorilor aturali ai umărului k 0 este egal cu 0 a a a 0 De aici, avâd î vedere că 0 5, obțiem a sut umere k și p, p, p,, 5 presupue, fără a restrâge geeralitatea, că a, a 4 și a 0 Astfel, avem Putem 4 0 p p p 9 p p, deci p p Pri urmare, 8 p p și, deoarece, p și p sut umere prime disticte, rezultă că (Clasa a VII-a) Determiați toate umerele aturale petru care umărul umăr prim (Numere prime Descompuerea polioamelor î factori) 4 este Soluție Deoarece 4 și 0, rezultă că umărul Așadar, 4 este prim dacă și umai dacă și este prim (Clasa a VII-a) Fie p u umăr atural Arătați că, dacă p și și p este umăr prim 8 (Numere prime Pătratul ui biom) Soluție Dacă p, atuci de forma sau k, 8p 7 k 4k 6k 8 9k 6 8p sut simulta prime, atuci, care este umăr prim Orice umăr prim, diferit de, este 8p 8 k cu k umar atural eul Î primul caz,, care este umăr compus, iar î al doilea caz, k 89k k 4 4k k 8p 8 Așadar, p și care este umăr prim, care este umăr compus 8p sut simulta prime dacă și umai dacă p Petru p, 8p 7, 4

5 5 (Clasa a VII-a) Determiați toate umerele îtregi petru care există umerele prime p și q astfel îcât p p q q A Dragomir, L Dragomir, ONM 0, lista scurta (Numere prime Relația de divizibilitate î Descompuerea polioamelor î factori ) Soluție Fie u umăr cu proprietatea di euț Cum p p și rezultă că divide umărul qq, deci q p p p p (căci q este prim) Astfel, avem: p sut umere pare, 9 p 4 p 4p 4 p p de ude obțiem 4,,, 6, 4 (Clasa a VII-a) Fie u umăr îtreg mai mare decât Demostrați că există umere compuse cosecutive (Numere compuse Factorial) Soluție Numerele a!, a!,,a! cerute îdepliesc codițiile 5 (Clasa a VII-a) Opt persoae au vârstele exprimate pri umere prime cu media 5 Persoaele care au 9 ai sut cele mai multe ditre cele opt, iar media vârstelor celor două persoae situate la miloc, î ordiea vârstelor, este Determiați vârsta maximă a celei mai bătrâe persoae (Numere prime Media aritmetică Logică) Soluție Suma vârstelor celor opt persoae este 0, iar suma vârstelor oameilor di miloc este Numărul se poate scrie doar î trei moduri ca o sumă de umere prime: 7 9 Cazul I Deoarece 9 apare mai des ca, trebuie ca cele mai î vârstă trei persoae să aibă 9 ai și iciua di cele mai tiere trei u poate avea ai Suma vârstelor celor mai tiere trei persoae este, î acest caz, 0 9 4, dar suma umerelor prime mai mici decât este cel mult Acest caz este imposibil Cazul al II-lea 5 7 Vârstele celor patru oamei mai tieri pot fi,, 5 (ai) Coform pricipiului cutiei, doi ditre aceștia trebuie să aibă aceeași vârstă, deci cele mai î vârstă trei persoae au câte 9 ai fiecare Vom avea aceeași cotradicție ca la cazul I Cazul al III-lea 9 Cele mai î vârstă trei persoae u pot avea 9 ai fiecare, deci sut cel mult trei persoae de 9 ai Vârstele celor mai tiere patru persoae pot fi sau (ai), deci sut două de ai și două 5

6 6 de ai Astfel, cea mai î vârstă persoaa are 0 9 5, care este umăr prim 6 (Clasa a VIII-a) Determiați umerele prime p și q, știid că ecuația îtregi pozitive și disticte (Numere prime Relațiile lui Viète) x px q 0 are rădăcii Soluție Dacă otăm cu x și x, x < x, rădăciile aturale ale ecuației cosiderate, atuci x x p și xx că p și q q Cum q este umăr prim, rezultă că x și x q, deci p q, de ude deducem 7 (Clasa a VIII-a) Fie x, y, z trei umere prime disticte Arătați că (Numere prime Iegalități) 0 xy yz zx xyz Soluție Deoarece iegalitatea de demostrat este simetrică î x, y, z putem presupue, fără a restrâge gearilitatea, că x y z Astfel, țiâd cot că x, y, z sut umere prime, deducem că x,y, z 5 Avem 0 xy yz zx xyz x y z 0 Ultima iegalitate este adevărată, deoarece x y z (Clasa a VIII-a) Fie a, b, c trei umere aturale eule, a c, astfel îcât Demostrați că a b c este umăr compus (Numere prime Calcul algebric Iegalități) a a b c c b a a b Soluție Avem ac ab a c b c a c b ac 0 b ac, deci c c b a b c a ac c b a c b a c b Este clar că 0 a c b a c b Dacă a c b, atuci b a c b a b c b a b c a c a b c, imposibil î codițiile problemei Așadar, a c b, ceea ce îseamă că umărul a b c este compus 6

7 7 9 (Clasa a VIII-a) Rezolvați ecuația (Numere prime Relația de cogrueță) Soluție Dacă q, atuci q p, ude p și q sut umere prime 999 p 8 999, imposibil Deci qk, ude k este umar atural eul Dacă qk, atuci q p mod 7, ceea ce este fals, iar dacă q k q p mod 7, de ude rezultă că 7 q și atuci qk sau, atuci p, deci q (Clasa a VIII-a) Fie umerele prime astfel îcât 0, ude este u umăr atural Arătați că pritre cele de umere prime cosiderate există trei umere prime cosecutivebara OBMJ 00, V Berghea (Numere prime Relația de cogrueță) Soluție Fie atuci mod S Dacă S, deci S 0 Dacă 5, atuci mod, atuci mod 5 S, deci S 0 Dacă, S, deci S 0 Pri urmare,,, 5, ceea ce îseamă că pritre cele de umere prime cosiderate există trei umere prime cosecutive (clasa a IX-a sau a X-a) Determiați umerele prime p și q, știid că GM 9/04, B G Niculescu (Numere prime Relația de cogrueță Teorema lui Fermat Iducție) q p p q p q Soluție Fie p și q două umere prime care verifică ecuația dată Evidet p q și q 0mod Coform teoremei lui Fermat, avem p q qmod p p p q q p p p q 0 mod p Pri urmare,, deci, de ude, avâd î vedere că p și q sut umere prime diferite, deducem că q q q Deoarece q 5, Soluția este p,q 5, petru orice q 7, rezultă că q q q Temă Compueți câte o problemă folosid ca model următoarele probleme:,,, 6, 7,, Bibliografie America Mathematics Competitios T Adreescu, D Adrica, Z Feg, 04 Number Theory Problems, Birkhauser, Bosto, Basel, Berli T Cohal, Vă place matematica?, Editura Moldova, Iași 4 A Lyu, Upper Elemetary School Mathematics, Chiu Chag Math Books & Puzzles Co Press 04, Taiwa 7

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXI(CX) Nr. / 03 ANIVERSĂRI Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare La 5 noiembrie 0 domnul profesor universitar Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române,

More information

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz First Day January 13, 015) Problems Problem 1. Each point with

More information

ARGUMENT. Colectivul de redacție

ARGUMENT. Colectivul de redacție ARGUMENT Revist de mtemtică Colegiului Nțiol de Iformtică îsumeză eeriețe multile ce u vut loc î ultimii i și î secil î ul școlr 8-9, cre s-u șterut e hârtie di doriț de rămâe dret fudmet etru ctivitățile

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial

More information

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan.

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan. LUCRARE DE LICENTA Aplicatie grafica petru cotrolul uui pedul dublu eliiar Absolvet Alexadru Stefa Coordoator Asist.Ig. Dr. Valeti Taasa Bucuresti, 2013 Cupris: 1 Capitolul 1: Itroducere... 4 Capitolul

More information

GDPR (Doar) cateva idei. Adriana Radu Partener Schoenherr si Asociatii 21 Noiembrie 2017

GDPR (Doar) cateva idei. Adriana Radu Partener Schoenherr si Asociatii 21 Noiembrie 2017 GDPR (Dar) cateva idei Adriana Radu Partener Schenherr si Asciatii 21 Niembrie 2017 Agenda GDPR 1. Cnsimtamant relatii cu clientii 2. Cnsimtamant relatii cu angajati 3. Cduri de cnduita la nivel de industrie

More information

In perspectiva aderarii Romaniei la Uniunea Europeana se impune alinierea standardelor nationale la cele europene. In acest scop, tara noastra

In perspectiva aderarii Romaniei la Uniunea Europeana se impune alinierea standardelor nationale la cele europene. In acest scop, tara noastra n perspectiva aderarii Romaniei la Uniunea Europeana se impune alinierea standardelor nationale la cele europene. n acest scop, tara noastra trebuie sa respecte, pentru a putea exporta produse electrice

More information

APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode manuale. Editia a II a Revizuita

APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode manuale. Editia a II a Revizuita Costat Mrcou Roxaa Colette Sadulovc APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode mauale Edta a II a Revzuta EDITURA UNIVERSITARA CAROL DAVILA BUCURESTI, 00 Prof. dr.

More information

EFICIENTA DISPOZITIVELOR PASIVE DE CONTROL LA REABILITAREA SEISMICA A UNEI CLADIRI DIN BUCURESTI

EFICIENTA DISPOZITIVELOR PASIVE DE CONTROL LA REABILITAREA SEISMICA A UNEI CLADIRI DIN BUCURESTI EFICIENTA DISPOZITIVELOR PASIVE DE CONTROL LA REABILITAREA SEISMICA A UNEI CLADIRI DIN BUCURESTI D. Cretu 1, E. Tulei 1, C. Ghindea 1 si R. Cruciat 1 ABSTRACT Lucrarea analizeaza eficienta dispozitivelor

More information

Regulamentul IFIN-HH pentru ocuparea functiei si acordarea gradului profesional de Cercetator Stiintific

Regulamentul IFIN-HH pentru ocuparea functiei si acordarea gradului profesional de Cercetator Stiintific Regulamentul IFIN-HH pentru ocuparea functiei si acordarea gradului profesional de Cercetator Stiintific 1. Criterii eliminatorii Candidatii trebuie sa indeplineasca un numar de cerinte minime obligatorii

More information

cse547, math547 DISCRETE MATHEMATICS Short Review for Final

cse547, math547 DISCRETE MATHEMATICS Short Review for Final cse547, math547 DISCRETE MATHEMATICS Short Review for Final Professor Anita Wasilewska Spring 2017 CHAPTER 2 PART 5: INFINITE SUMS (SERIES) Infinite Series D Must Know STATEMENTS- do not need Theorems

More information

Binary logic consists of binary variables and logical operations. The variables are

Binary logic consists of binary variables and logical operations. The variables are 1) Define binary logic? Binary logic consists of binary variables and logical operations. The variables are designated by the alphabets such as A, B, C, x, y, z, etc., with each variable having only two

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

cse547,mat547 DISCRETE MATHEMATICS Lectures Content For Midterm 2 and Final Infinite Series, Chapter 3 and Chapter 4

cse547,mat547 DISCRETE MATHEMATICS Lectures Content For Midterm 2 and Final Infinite Series, Chapter 3 and Chapter 4 cse547,mat547 DISCRETE MATHEMATICS Lectures Content For Midterm 2 and Final Infinite Series, Chapter 3 and Chapter 4 Professor Anita Wasilewska Spring 2013 CHAPTER 2 PART 5: INFINITE SUMS (SERIES) Here

More information

A GENERALIZATION OF EULER S THEOREM ON CONGRUENCIES

A GENERALIZATION OF EULER S THEOREM ON CONGRUENCIES A GENERALIZATION OF EULER S THEOREM ON CONGRUENCIES Florentin Smarandache University of New Mexico 00 College Road Gallup, NM 8730, USA E-mail: smarand@unmedu In the paragraphs which follow we will prove

More information

ICS141: Discrete Mathematics for Computer Science I

ICS141: Discrete Mathematics for Computer Science I ICS141: Discrete Mathematics for Computer Science I Dept. Information & Computer Sci., Jan Stelovsky based on slides by Dr. Baek and Dr. Still Originals by Dr. M. P. Frank and Dr. J.L. Gross Provided by

More information

FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR DOMENIUL MATEMATICĂ

FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR DOMENIUL MATEMATICĂ Pag.1 din13 FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR Conform ORDINULUI Nr. 6560 din 20 decembrie 2012 privind aprobarea

More information

Matrices. Chapter What is a Matrix? We review the basic matrix operations. An array of numbers a a 1n A = a m1...

Matrices. Chapter What is a Matrix? We review the basic matrix operations. An array of numbers a a 1n A = a m1... Chapter Matrices We review the basic matrix operations What is a Matrix? An array of numbers a a n A = a m a mn with m rows and n columns is a m n matrix Element a ij in located in position (i, j The elements

More information

Geometry 3 SIMILARITY & CONGRUENCY Congruency: When two figures have same shape and size, then they are said to be congruent figure. The phenomena between these two figures is said to be congruency. CONDITIONS

More information

MATHEMATICS 9 CHAPTER 7 MILLER HIGH SCHOOL MATHEMATICS DEPARTMENT NAME: DATE: BLOCK: TEACHER: Miller High School Mathematics Page 1

MATHEMATICS 9 CHAPTER 7 MILLER HIGH SCHOOL MATHEMATICS DEPARTMENT NAME: DATE: BLOCK: TEACHER: Miller High School Mathematics Page 1 MATHEMATICS 9 CHAPTER 7 NAME: DATE: BLOCK: TEACHER: MILLER HIGH SCHOOL MATHEMATICS DEPARTMENT Miller High School Mathematics Page 1 Day 1: Creating expressions with algebra tiles 1. Determine the multiplication

More information

2010 Shortlist JBMO - Problems

2010 Shortlist JBMO - Problems Chapter 1 2010 Shortlist JBMO - Problems 1.1 Algebra A1 The real numbers a, b, c, d satisfy simultaneously the equations abc d = 1, bcd a = 2, cda b = 3, dab c = 6. Prove that a + b + c + d 0. A2 Determine

More information

3.0 INTRODUCTION 3.1 OBJECTIVES 3.2 SOLUTION OF QUADRATIC EQUATIONS. Structure

3.0 INTRODUCTION 3.1 OBJECTIVES 3.2 SOLUTION OF QUADRATIC EQUATIONS. Structure UNIT 3 EQUATIONS Equations Structure 3.0 Introduction 3.1 Objectives 3.2 Solution of Quadratic Equations 3.3 Quadratic Formula 3.4 Cubic and Bioquadratic Equations 3.5 Answers to Check Your Progress 3.6

More information

Expanding brackets and factorising

Expanding brackets and factorising Chapter 7 Expanding brackets and factorising This chapter will show you how to expand and simplify expressions with brackets solve equations and inequalities involving brackets factorise by removing a

More information

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate CASA NATIONALA DE ASIGURARI DE SANATATE Ordin pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate Având în vedere: Act publicat in Monitorul Oficial al

More information

Solutions for November. f(x + f(y)) = f(x) + y

Solutions for November. f(x + f(y)) = f(x) + y Solutions for November 647. Find all continuous functions f : R R such that for every x, y R. f(x + f(y)) = f(x) + y Solution 1. Setting (x, y) = (t, 0) yields f(t + f(0)) = f(t) for all real t. Setting

More information

SUMMER MATH PACKET ADVANCED ALGEBRA A COURSE 215

SUMMER MATH PACKET ADVANCED ALGEBRA A COURSE 215 SUMMER MATH PACKET ADVANCED ALGEBRA A COURSE 5 Updated May 0 MATH SUMMER PACKET INSTRUCTIONS Attached you will find a packet of exciting math problems for your enjoyment over the summer. The purpose of

More information

CHAPTER X. SIMULTANEOUS EQUATIONS.

CHAPTER X. SIMULTANEOUS EQUATIONS. CHAPTER X. SIMULTANEOUS EQUATIONS. 140. A SINGLE equation which contains two or more unknown quantities can be satisfied by an indefinite number of values of the unknown quantities. For we can give any

More information

CBSE MATHS 2010 YEAR PAPER

CBSE MATHS 2010 YEAR PAPER CBSE MATHS YEAR PAPER Important Instructions: (i) The question papers consists of three sections A B and C. (ii) All questions are compulsory. (iii) Internal choices have been provided in some questions.

More information

Proiectarea Algoritmilor

Proiectarea Algoritmilor Proiectarea Algoritmilor Ștefan Trăușan-Matu stefan.trausan@cs.pub.ro Obiectivele cursului Discutarea relaţiei dintre caracteristicile problemelor, modul de rezolvare şi calitatea soluţiilor. Obiectivele

More information

METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algoritmi şi Studii Numerice

METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algoritmi şi Studii Numerice METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algotm ş Stud Numece Necula Ade Reseac Isttute fo Ifomatcs Cete fo Advaced Modelg ad Optmzato 8- Aveescu Aveue Bucaest Romaa. Academy of Romaa Scetsts 54 Splaul Idepedete Bucaest

More information

ON THE DENSITY OF SOME SEQUENCES OF INTEGERS P. ERDOS

ON THE DENSITY OF SOME SEQUENCES OF INTEGERS P. ERDOS ON THE DENSITY OF SOME SEQUENCES OF INTEGERS P. ERDOS Let ai

More information

The uvw method - Tejs. The uvw method. by Mathias Bæk Tejs Knudsen

The uvw method - Tejs. The uvw method. by Mathias Bæk Tejs Knudsen The uvw method - Tejs The uvw method by Mathias Bæk Tejs Knudsen The uvw method - Tejs BASIC CONCEPTS Basic Concepts The basic concept of the method is this: With an inequality in the numbers a, b, c R,

More information

Written Homework # 4 Solution

Written Homework # 4 Solution Math 516 Fall 2006 Radford Written Homework # 4 Solution 12/10/06 You may use results form the book in Chapters 1 6 of the text, from notes found on our course web page, and results of the previous homework.

More information

AP Calculus AB Summer Review Packet

AP Calculus AB Summer Review Packet AP Calculus AB Summer Review Packet 016-017 Mr. Le jtle1@gmail.com Leuzinger High School Rm. G-0 The following packet is designed to help you review topics that are important to your SUCCESS in AP Calculus.

More information

Product of integers in an interval, modulo squares

Product of integers in an interval, modulo squares Product of integers in an interval, modulo squares Andrew Granville Department of Mathematics, University of Georgia Athens, GA 30602-7403 and J.L. Selfridge Department of Mathematics,

More information

2 ODEs Integrating Factors and Homogeneous Equations

2 ODEs Integrating Factors and Homogeneous Equations 2 ODEs Integrating Factors an Homogeneous Equations We begin with a slightly ifferent type of equation: 2.1 Exact Equations These are ODEs whose general solution can be obtaine by simply integrating both

More information

On the Representations of xy + yz + zx

On the Representations of xy + yz + zx On the Representations of xy + yz + zx Jonathan Borwein and Kwok-Kwong Stephen Choi March 13, 2012 1 Introduction Recently, Crandall in [3] used Andrews identity for the cube of the Jacobian theta function

More information

of the contestants play as Falco, and 1 6

of the contestants play as Falco, and 1 6 JHMT 05 Algeba Test Solutions 4 Febuay 05. In a Supe Smash Bothes tounament, of the contestants play as Fox, 3 of the contestants play as Falco, and 6 of the contestants play as Peach. Given that thee

More information

1 First Theme: Sums of Squares

1 First Theme: Sums of Squares I will try to organize the work of this semester around several classical questions. The first is, When is a prime p the sum of two squares? The question was raised by Fermat who gave the correct answer

More information

Pre-AP Geometry 4-9 Study Guide: Isosceles and Equilateral triangles (pp ) Page! 1 of! 10

Pre-AP Geometry 4-9 Study Guide: Isosceles and Equilateral triangles (pp ) Page! 1 of! 10 Page! 1 of! 10 Attendance Problems. 1. Find each angle measure. True or False. Explain your choice. 2. Every equilateral triangle is isosceles. 3. Every isosceles triangle is equilateral. I can prove theorems

More information

On a Generalization of the Coin Exchange Problem for Three Variables

On a Generalization of the Coin Exchange Problem for Three Variables 1 3 47 6 3 11 Journal of Integer Sequences, Vol. 9 (006), Article 06.4.6 On a Generalization of the Coin Exchange Problem for Three Variables Amitabha Tripathi Department of Mathematics Indian Institute

More information

ISSUED BY KENDRIYA VIDYALAYA - DOWNLOADED FROM TRIANGLES KEY POINTS

ISSUED BY KENDRIYA VIDYALAYA - DOWNLOADED FROM  TRIANGLES KEY POINTS TRIANGLES KEY POINTS 1. Similar Triangles: Two triangles are said to be similar, if (a) their corresponding angles are equal and (b) their corresponding sides are in proportion (or are in the same ration).

More information

Appendix C Vector and matrix algebra

Appendix C Vector and matrix algebra Appendix C Vector and matrix algebra Concepts Scalars Vectors, rows and columns, matrices Adding and subtracting vectors and matrices Multiplying them by scalars Products of vectors and matrices, scalar

More information

A CURIOUS PROPERTY OF UNIT FRACTIONS OF THE FORM 1/d WHERE (d, 10) = 1 INTRODUCTION

A CURIOUS PROPERTY OF UNIT FRACTIONS OF THE FORM 1/d WHERE (d, 10) = 1 INTRODUCTION A CURIOUS PROPERTY OF UNIT FRACTIONS OF THE FORM 1/d WHERE (d, 10) = 1 BROTHER ALFRED BROUSSEAU l St. Mary's College, California HAROLD ANDERSEN 2 and JEROME POVSE 3 San Carlos High School, San Carlos,

More information

PRE-CALCULUS By: Salah Abed, Sonia Farag, Stephen Lane, Tyler Wallace, and Barbara Whitney

PRE-CALCULUS By: Salah Abed, Sonia Farag, Stephen Lane, Tyler Wallace, and Barbara Whitney PRE-CALCULUS By: Salah Abed, Sonia Farag, Stephen Lane, Tyler Wallace, and Barbara Whitney MATH 141/14 1 Pre-Calculus by Abed, Farag, Lane, Wallace, and Whitney is licensed under the creative commons attribution,

More information

Elasticité de surface. P. Muller and A. Saul Surf. Sci Rep. 54, 157 (2004).

Elasticité de surface. P. Muller and A. Saul Surf. Sci Rep. 54, 157 (2004). Elasticité de surface P. Muller and A. Saul Surf. Sci Rep. 54, 157 (2004). The concept I Physical origin Definition Applications Surface stress and crystallographic parameter of small crystals Surface

More information

Introduction to Algebra

Introduction to Algebra Worksheet 1.9 Introduction to Algebra Section 1 Algebraic Expressions Algebra is a way of writing arithmetic in a general form. You have already come across some algebraic expressions in previous worksheets.

More information

Class IX Chapter 2 Polynomials Maths

Class IX Chapter 2 Polynomials Maths NCRTSOLUTIONS.BLOGSPOT.COM Class IX Chapter 2 Polynomials Maths Exercise 2.1 Question 1: Which of the following expressions are polynomials in one variable and which are No. It can be observed that the

More information

1 Solution of Final. Dr. Franz Rothe December 25, Figure 1: Dissection proof of the Pythagorean theorem in a special case

1 Solution of Final. Dr. Franz Rothe December 25, Figure 1: Dissection proof of the Pythagorean theorem in a special case Math 3181 Dr. Franz Rothe December 25, 2012 Name: 1 Solution of Final Figure 1: Dissection proof of the Pythagorean theorem in a special case 10 Problem 1. Given is a right triangle ABC with angle α =

More information

Analele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2011

Analele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 2/2011 nalele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu eria Inginerie Nr / EZOLVE UNUI LNŢ DE DIMENIUNI COMPLEX PIN METOD TTITICĂ OLVING COMPLEX CHIN OF DIMENION BY TTITICL CLCULTION Liviu Marius CÎŢÎNĂ

More information

SOME EXAMPLES OF ALGEBRAIC DEGENERACY AND HYPERBOLIC MANIFOLDS

SOME EXAMPLES OF ALGEBRAIC DEGENERACY AND HYPERBOLIC MANIFOLDS ROCKY MOUNTAIN JOURNAL OF MATHEMATICS Volume 10, Number 3, Summer 1980 SOME EXAMPLES OF ALGEBRAIC DEGENERACY AND HYPERBOLIC MANIFOLDS KAZUO AZUKAWA AND MASAAKI SUZUKI 1. Introduction. Let D be an algebraic

More information

An identity of Andrews and the Askey-Wilson integral

An identity of Andrews and the Askey-Wilson integral Ramanujan J DOI 0.007/s39-008-922-4 An identity of Andrews and the Askey-Wilson integral Zhi-Guo Liu Received: 6 July 2007 / Accepted: 7 January 2008 Springer Science+Business Media, LLC 2008 Abstract

More information

Sobre la estructura de los números primos. About the Structure of Prime Numbers

Sobre la estructura de los números primos. About the Structure of Prime Numbers Sobre la estructura de los números primos. About the Structure of Prime Numbers Rafael A. Valls Hidalgo-Gato Instituto de Cibernética, Matemática y Física (ICIMAF), Cuba, valls@icimaf.cu Resumen: Después

More information

Answers: ( HKMO Final Events) Created by Mr. Francis Hung Last updated: 13 December Group Events

Answers: ( HKMO Final Events) Created by Mr. Francis Hung Last updated: 13 December Group Events Individual Events SI a 900 I1 P 100 I k 4 I3 h 3 I4 a 18 I5 a 495 b 7 Q 8 m 58 k 6 r 3 b p R 50 a m 4 M 9 4 x 99 q 9 S 3 b 3 p Group Events 15 16 w 1 Y 109 SG p 75 G6 x 15 G7 M 5 G8 S 7 G9 p 60 G10 n 18

More information

PX-CBMSO Course (2) of Symmetry

PX-CBMSO Course (2) of Symmetry PX-CBMSO Course (2) The mathematical description of Symmetry y PX-CBMSO-June 2011 Cele Abad-Zapatero University of Illinois at Chicago Center for Pharmaceutical Biotechnology. Lecture no. 2 This material

More information

Prime Numbers Classification and Composite Numbers Factorization

Prime Numbers Classification and Composite Numbers Factorization Universal Journal of Applied Mathematics 5(3): 53-59, 017 DOI: 10.13189/ujam.017.05030 http://www.hrpub.org Prime Numbers Classification and Composite Numbers Factorization V. A. Meshkoff Evpatoria, Republic

More information

RAPORT STIINTIFIC SI TEHNIC

RAPORT STIINTIFIC SI TEHNIC RAPORT STIINTIFIC SI TEHNIC CUPRINS pagina 1. OBIECTIVE GENERALE URMARITE IN PROIECT...2 2. OBIECTIVELE FAZEI DE EXECUTIE...2 3. REZUMATUL FAZEI...2 4. DESCRIEREA STIINTIFICA SI TEHNICA CU PUNEREA IN EVIDENTA

More information

ALGEBRAIC EXPRESSIONS AND POLYNOMIALS

ALGEBRAIC EXPRESSIONS AND POLYNOMIALS MODULE - ic Epressions and Polynomials ALGEBRAIC EXPRESSIONS AND POLYNOMIALS So far, you had been using arithmetical numbers, which included natural numbers, whole numbers, fractional numbers, etc. and

More information

MATH 423 Linear Algebra II Lecture 12: Review for Test 1.

MATH 423 Linear Algebra II Lecture 12: Review for Test 1. MATH 423 Linear Algebra II Lecture 12: Review for Test 1. Topics for Test 1 Vector spaces (F/I/S 1.1 1.7, 2.2, 2.4) Vector spaces: axioms and basic properties. Basic examples of vector spaces (coordinate

More information

LIQUID-LIQUID EXTRACTION BY CONTINUOUS SOLVENT RECYCLING FOR ACETIC ACID SEPARATION

LIQUID-LIQUID EXTRACTION BY CONTINUOUS SOLVENT RECYCLING FOR ACETIC ACID SEPARATION U.P.B. Sci. Bull., Series B, Vol. 68, No., 6 LIQUID-LIQUID EXTRACTION BY CONTINUOUS SOLVENT RECYCLING FOR ACETIC ACID SEPARATION T. DOBRE, Tatiana OFITERU, Aurelia STURZOIU Lucrarea abordează cercetarea

More information

A new attack on RSA with a composed decryption exponent

A new attack on RSA with a composed decryption exponent A new attack on RSA with a composed decryption exponent Abderrahmane Nitaj and Mohamed Ould Douh,2 Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme Université de Caen, Basse Normandie, France abderrahmane.nitaj@unicaen.fr

More information

The group law on elliptic curves

The group law on elliptic curves Mathematisch Instituut Universiteit Leiden Elliptic curves The theory of elliptic curves is a showpiece of modern mathematics. Elliptic curves play a key role both in the proof of Fermat s Last Theorem

More information

Exponents, Polynomials, and Polynomial Functions

Exponents, Polynomials, and Polynomial Functions CHAPTER Exponents, Polynomials, and Polynomial Functions. Exponents and Scientific Notation. More Work with Exponents and Scientific Notation. Polynomials and Polynomial Functions. Multiplying Polynomials.

More information

COMPARATIVE ANALYSIS OF THE BENDING THEORIES FOR ISOTROPIC PLATES. CASE STUDY

COMPARATIVE ANALYSIS OF THE BENDING THEORIES FOR ISOTROPIC PLATES. CASE STUDY BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIX (LXIII), Fasc. 3, 2013 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ COPARATIVE ANALYSIS OF THE BENDING

More information

A SURVEY OF PRIMALITY TESTS

A SURVEY OF PRIMALITY TESTS A SURVEY OF PRIMALITY TESTS STEFAN LANCE Abstract. In this paper, we show how modular arithmetic and Euler s totient function are applied to elementary number theory. In particular, we use only arithmetic

More information

IC 1. Bilanţul bancar şi contul de profit şi pierdere 1.1 Bilanţul bancar

IC 1. Bilanţul bancar şi contul de profit şi pierdere 1.1 Bilanţul bancar IC 1. Bilanţul bancar şi contul de profit şi pierdere 1.1 Bilanţul bancar ACTIV I. Operaţiuni de trezorerie şi interbancare Casa şi alte valori (lei şi valute) Conturi de corespondent şi depozite la bănci

More information

SYMBOL NAME DESCRIPTION EXAMPLES. called positive integers) negatives, and 0. represented as a b, where

SYMBOL NAME DESCRIPTION EXAMPLES. called positive integers) negatives, and 0. represented as a b, where EXERCISE A-1 Things to remember: 1. THE SET OF REAL NUMBERS SYMBOL NAME DESCRIPTION EXAMPLES N Natural numbers Counting numbers (also 1, 2, 3,... called positive integers) Z Integers Natural numbers, their

More information

On generalized Flett s mean value theorem 1

On generalized Flett s mean value theorem 1 On generalized Flett s mean value theorem 1 Jana MOLNÁROVÁ Institute of Mathematics, Faculty of Science, Pavol Jozef Šafárik University in Košice, Jesenná 5, 040 01 Košice, Slovakia, E-mail address: jana.molnarova88@gmail.com

More information

WORKBOOK. Try Yourself Questions. Electrical Engineering Digital Electronics. Detailed Explanations of

WORKBOOK. Try Yourself Questions. Electrical Engineering Digital Electronics. Detailed Explanations of 27 WORKBOOK Detailed Eplanations of Try Yourself Questions Electrical Engineering Digital Electronics Number Systems and Codes T : Solution Converting into decimal number system 2 + 3 + 5 + 8 2 + 4 8 +

More information

Lecture 14. Time Harmonic Fields

Lecture 14. Time Harmonic Fields Lcu 4 Tim amic Filds I his lcu u will la: Cmpl mahmaics f im-hamic filds Mawll s quais f im-hamic filds Cmpl Pig vc C 303 Fall 007 Faha aa Cll Uivsi Tim-amic Filds ad -filds f a pla wav a (fm las lcu:

More information

MATHS 267 Answers to Stokes Practice Dr. Jones

MATHS 267 Answers to Stokes Practice Dr. Jones MATH 267 Answers to tokes Practice Dr. Jones 1. Calculate the flux F d where is the hemisphere x2 + y 2 + z 2 1, z > and F (xz + e y2, yz, z 2 + 1). Note: the surface is open (doesn t include any of the

More information

STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR

STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR Vol.48, No. / 06 STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR Assoc. Prof. Ph.D. Eng. Carp-Ciocârdia

More information

LOGICAL DATABASE DESIGN Part #1/2

LOGICAL DATABASE DESIGN Part #1/2 LOGICAL DATABASE DESIGN Part #1/2 Functional Dependencies Informally, a FD appears when the values of a set of attributes uniquely determines the values of another set of attributes. Example: schedule

More information

The Divergence Theorem Stokes Theorem Applications of Vector Calculus. Calculus. Vector Calculus (III)

The Divergence Theorem Stokes Theorem Applications of Vector Calculus. Calculus. Vector Calculus (III) Calculus Vector Calculus (III) Outline 1 The Divergence Theorem 2 Stokes Theorem 3 Applications of Vector Calculus The Divergence Theorem (I) Recall that at the end of section 12.5, we had rewritten Green

More information

KENDRIYA VIDYALAYA SANGATHAN, HYDERABAD REGION

KENDRIYA VIDYALAYA SANGATHAN, HYDERABAD REGION KENDRIYA VIDYALAYA SANGATHAN, HYDERABAD REGION SAMPLE PAPER 01 FOR HALF YEARLY EXAM (017-18) SUBJECT: MATHEMATICS(041) BLUE PRINT FOR HALF YEARLY EXAM: CLASS IX Chapter VSA (1 mark) SA I ( marks) SA II

More information

Chapter II Introduction to Witt Rings

Chapter II Introduction to Witt Rings Chapter II Introduction to Witt Rings Satya Mandal University of Kansas, Lawrence KS 66045 USA May 11 2013 1 Definition of Ŵ(F) and W(F) From now on, by a quadratic form, we mean a nonsingular quadratic

More information

2007 Mathematical Olympiad Summer Program Tests

2007 Mathematical Olympiad Summer Program Tests 2007 Mathematical Olympiad Summer Program Tests Edited by Zuming Feng Mathematics Olympiad Summer Program 2007 Tests 1 Practice Test 1 1.1. In triangle ABC three distinct triangles are inscribed, similar

More information

So, eqn. to the bisector containing (-1, 4) is = x + 27y = 0

So, eqn. to the bisector containing (-1, 4) is = x + 27y = 0 Q.No. The bisector of the acute angle between the lines x - 4y + 7 = 0 and x + 5y - = 0, is: Option x + y - 9 = 0 Option x + 77y - 0 = 0 Option x - y + 9 = 0 Correct Answer L : x - 4y + 7 = 0 L :-x- 5y

More information

A Formalisation of Lehmer s Primality Criterion

A Formalisation of Lehmer s Primality Criterion A Formalisation of Lehmer s Primality Criterion By Simon Wimmer and Lars Noschinski April 17, 2016 Abstract In 1927, Lehmer presented criterions for primality, based on the converse of Fermat s litte theorem

More information

0116ge. Geometry Regents Exam RT and SU intersect at O.

0116ge. Geometry Regents Exam RT and SU intersect at O. Geometry Regents Exam 06 06ge What is the equation of a circle with its center at (5, ) and a radius of 3? ) (x 5) + (y + ) = 3 ) (x 5) + (y + ) = 9 3) (x + 5) + (y ) = 3 4) (x + 5) + (y ) = 9 In the diagram

More information

Gaussian integers. 1 = a 2 + b 2 = c 2 + d 2.

Gaussian integers. 1 = a 2 + b 2 = c 2 + d 2. Gaussian integers 1 Units in Z[i] An element x = a + bi Z[i], a, b Z is a unit if there exists y = c + di Z[i] such that xy = 1. This implies 1 = x 2 y 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) But a 2, b 2, c 2, d

More information

A note on the basic Morita equivalences

A note on the basic Morita equivalences SCIENCE CHINA Mathematics. ARTICLES. March 204 Vol.57 No.3: 483 490 doi: 0.007/s425-03-4763- A note on the basic Morita equivalences HU XueQin School of Mathematical Sciences, Capital Normal University,

More information

2.25 Advanced Fluid Mechanics

2.25 Advanced Fluid Mechanics MIT Department of Mechanical Engineering.5 Advanced Fluid Mechanics Problem 6.0a This problem is from Advanced Fluid Mechanics Problems by A.H. Shapiro and A.A. Sonin Consider a steady, fully developed

More information

14 Mr. J. E. Campbell on a [Nov. 11, On a Law of Combination of Operators. (Second Paper.*) By J. E. CAMPBELL. Read and Received November 11th, 1897.

14 Mr. J. E. Campbell on a [Nov. 11, On a Law of Combination of Operators. (Second Paper.*) By J. E. CAMPBELL. Read and Received November 11th, 1897. 14 Mr. J. E. Campbell on a [Nov. 11, On a Law of Combination of Operators. (Second Paper.*) By J. E. CAMPBELL. Read and Received November 11th, 1897. 1. If as and y are operators which obey the ordinary

More information

Finite Automata Theory and Formal Languages TMV027/DIT321 LP4 2017

Finite Automata Theory and Formal Languages TMV027/DIT321 LP4 2017 Finite Automata Theory and Formal Languages TMV027/DIT321 LP4 2017 Lecture 4 Ana Bove March 24th 2017 Structural induction; Concepts of automata theory. Overview of today s lecture: Recap: Formal Proofs

More information

Fall Inverse of a matrix. Institute: UC San Diego. Authors: Alexander Knop

Fall Inverse of a matrix. Institute: UC San Diego. Authors: Alexander Knop Fall 2017 Inverse of a matrix Authors: Alexander Knop Institute: UC San Diego Row-Column Rule If the product AB is defined, then the entry in row i and column j of AB is the sum of the products of corresponding

More information

SOME PROPERTIES OF THIRD-ORDER RECURRENCE RELATIONS

SOME PROPERTIES OF THIRD-ORDER RECURRENCE RELATIONS SOME PROPERTIES OF THIRD-ORDER RECURRENCE RELATIONS A. G. SHANNON* University of Papua New Guinea, Boroko, T. P. N. G. A. F. HORADAIVS University of New Engl, Armidale, Australia. INTRODUCTION In this

More information

9-1 Skills Practice Factors and Greatest Common Factors Find the factors of each number. Then classify each number as prime or composite

9-1 Skills Practice Factors and Greatest Common Factors Find the factors of each number. Then classify each number as prime or composite 9-1 Skills Practice Factors and Greatest Common Factors Find the factors of each number. Then classify each number as prime or composite. 1. 10 2. 31 3. 16 4. 52 5. 38 6. 105 Find the prime factorization

More information

GOVERNMENT OF KARNATAKA KARNATAKA STATE PRE-UNIVERSITY EDUCATION EXAMINATION BOARD SCHEME OF VALUATION. Subject : MATHEMATICS Subject Code : 35

GOVERNMENT OF KARNATAKA KARNATAKA STATE PRE-UNIVERSITY EDUCATION EXAMINATION BOARD SCHEME OF VALUATION. Subject : MATHEMATICS Subject Code : 35 GOVERNMENT OF KARNATAKA KARNATAKA STATE PRE-UNIVERSITY EDUCATION EXAMINATION BOARD II YEAR PUC EXAMINATION MARCH APRIL 0 SCHEME OF VALUATION Subject : MATHEMATICS Subject Code : 5 PART A Write the prime

More information

MASINI ELECTRICE SPECIALE. Clasificare. Elemente constructive.

MASINI ELECTRICE SPECIALE. Clasificare. Elemente constructive. MASINI ELECTRICE SPECIALE Clasificare. Elemente constructive. Definiţii O maşină electrică este un convertor electromecanic ce transformă energia electrică în energie mecanică când funcţionează în regim

More information

The set of points at which a polynomial map is not proper

The set of points at which a polynomial map is not proper ANNALES POLONICI MATHEMATICI LVIII3 (1993) The set of points at which a polynomial map is not proper by Zbigniew Jelonek (Kraków) Abstract We describe the set of points over which a dominant polynomial

More information

Math 3435 Homework Set 11 Solutions 10 Points. x= 1,, is in the disk of radius 1 centered at origin

Math 3435 Homework Set 11 Solutions 10 Points. x= 1,, is in the disk of radius 1 centered at origin Math 45 Homework et olutions Points. ( pts) The integral is, x + z y d = x + + z da 8 6 6 where is = x + z 8 x + z = 4 o, is the disk of radius centered on the origin. onverting to polar coordinates then

More information

A Brief Introduction to Inequalities

A Brief Introduction to Inequalities A Brief Introduction to Inequalities Anthony Erb Lugo Department of Mathematical Sciences University of Puerto Rico Mayaguez Campus Este Material Educativo es para ser distribuido de forma gratuita exclusivamente.

More information