Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu
|
|
- Erica Brown
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui A care sut umere prime Aflați cardialul mulțimii B (Recuoașterea umerelor prime mai mici decât 50 Memorarea lor pri repetare Folosirea oțiuilor de mulțime, submulțime și cardialul uei mulțimi) card B 5 Soluție Evidet, B,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47 și (Clasa a V-a) Stabiliți care ditre următoarele umere aturale este prim: 0, 0, 45, (Îvățarea uui algoritm petru recuoașterea umerelor prime mai mici, de exemplu, ca 0 5 ) Soluție Deorece 0 împărțit la dă câtul 5 și restul, 0 împărțit la dă câtul 4 și restul, 0 împărțit la 5 dă câtul 0 și restul, 0 împărțit la 7 dă câtul 4 și restul 5, 0 împărțit la dă câtul 9 și restul 4, iar la ultima împărțire câtul este mai mic decât împărțitorul, rezultă că umărul 0 este prim Aalog, avem 0 împărțit la dă câtul 0 și restul, 0 împărțit la dă câtul 67 și restul, 0 împărțit la 5 dă câtul 00 și restul, 0 împărțit la 7 dă câtul 9 și restul 0, deci umărul 0 u este prim Se observă ușor că 5 divide 45 și divide, ceea ce îseamă că 45 și u sut umere prime Observații O altă metodă petru a determia umerele prime (u prea mari) este ciurul lui Eratostee Se poate folosi și programul de pe iteret cu adresa
2 Cel mai mare umăr prim cuoscut pâă acum este, u umăr cu 8 68 cifre, care a fost găsit î iauarie 06 de către Great Iteret Mersee Prime Search (GIMPS) Se știe că mulțimea umerelor prime este ifită Cea mai veche demostrație cuoscută a acestui rezultat aparție lui Euclid (-8 îe) (Clasa a V-a) Determiați umerele prime, a, b, c, știid că a b 6c 590 (Sigurul divizor mai mare decât al uui umăr prim este umărul îsuși Proprietăți ale relației de divizibilitate ) Soluție Fie a, b, c trei umere prime care verifică relația dată Cum 590 este divizibil cu și suma b 6c este, de asemeea, divizibilă cu, rezultă că și a este divizibil cu, deci a Îlocuid pe a cu î egalitatea di euț, obțiem bc 94, de ude, avâd î vedere că 94 și c se divid cu, rezută că b este divizibil cu, deci b Drept urmare, c 97, care este umăr prim Observație Ipoteza ca c să fie umăr prim u este ecesară O putem lăsa, totuși, petru a atrage ateția elevilor că este de preferat ca ipoteza uei probleme să fie miimală 4 (Clasa a V-a) Determiați toate umerele aturale petru care umerele 4, 4 5 și sut prime 5 (Numere prime și paritate) , adică u Soluție Îtrucât suma celor trei umere este umăr par, rezultă că măcar uul ditre termei este (altfel toate cele trei umere prime ar fi impare și ar avea suma impară) Aalizâd toate cazurile posibile, obțiem soluția 5 (Clasa a V-a) Fie u umăr atural mai mare decât Arătați că cel puți uul ditre umerele, este umăr compus Există vreo valoare a lui petru care ambele umere sut compuse? (Numere compuse Divizibilitate) Soluție Deoarece umerele,, sut cosecutive, îseamă că uul ditre ele se divide cu Cum u se divide cu, rezultă că uul ditre umerele, se divide cu Dacă este mai mare decât, atuci umerele, sut mai mari decât, deci uul ditre ele este compus Petru 6, cele două umere sut 6 și 65, deci ambele sut compuse
3 6 (Clasa a VI-a) Stabiliți care ditre umerele 60, 59 are mai mulți divizori (Descompuerea umerelor î factori primi Numărul divizorilor uui umăr îtreg) a a a Soluție Numărul divizorilor îtregi pozitivi ai uui umăr îtreg p k p p k, ude p sut umere prime disticte, iar a sut umere îtregi pozitive, este Descompuâd umerele cosiderate î factori primi obțiem a a a și, deci 60 6 și Numărul 60 are mai mulți divizori decât 59 7 (Clasa a VI-a) Calculați suma divizorilor îtregi ai umărului (Divizorii îtregi ai uui umăr îtreg) a 06 0 Soluție Opusul oricărui divizor îtreg al umărului a este și el divizor al umărului a (divizorii îtregi ai lui a sut,, 4, 5, ) Suma cerută este egală cu 0 k 8 (Clasa a VI-a) Determiați umărul aaa, știid că este produs de umere prime cosecutive (Descompuerea uui umăr îtreg î factori primi Criterii de divizibilitate) Soluție Deoarece suma cifrelor umărului este a 6, deducem că se divide cu, deci este uul ditre factorii primi ai lui De aici, avâd î vedere că și este produs de umere prime cosecutive, rezultă că coție factorul 5, deci a 0 sau a 5 Dacă a 0, atuci , ceea ce arată că 000 este o soluție a problemei Dacă a 5, atuci , care u satisface codiția di euț 9 (Clasa a VI-a) Să umim u umăr atural straiu dacă este mai mare decât și, î descompuerea lui î factori primi, fiecare umăr prim are expoetul impar De exemplu,, și 4 formează u grup de trei umere straii cosecutive, deoarece Determiați lugimea celui mai mare grup de umere straii cosecutive 4 (Descompuerea uui umăr î facori primi),, 4 Soluție Observăm că lugimea celui mai mare grup u poate fi mai mare decât 7, deoarece pritre opt umere aturale cosecutive există u umăr care se divide cu 4, dar u se divide cu 8 și care, evidet, u este straiu Îtrucât există cel puți u grup de șapte umere îtregi cosecutive: 5 9 9, 0 5,,,, 4 7, 5 5 7, rezultă că lugimea celui mai mare grup de umere straii cosecutive este 7
4 4 0 (Clasa a VI-a) Fie u umăr atural petru care divizori aturali are umărul 4 8 (Numărul divizorilor aturali ai uui umăr îtreg) 0 are 0 divizori aturali Aflați câți a a ak Soluție Fie 0 p p p k, ude p sut umere prime disticte, iar îtregi pozitive Numărul divizorilor aturali ai umărului k 0 este egal cu 0 a a a 0 De aici, avâd î vedere că 0 5, obțiem a sut umere k și p, p, p,, 5 presupue, fără a restrâge geeralitatea, că a, a 4 și a 0 Astfel, avem Putem 4 0 p p p 9 p p, deci p p Pri urmare, 8 p p și, deoarece, p și p sut umere prime disticte, rezultă că (Clasa a VII-a) Determiați toate umerele aturale petru care umărul umăr prim (Numere prime Descompuerea polioamelor î factori) 4 este Soluție Deoarece 4 și 0, rezultă că umărul Așadar, 4 este prim dacă și umai dacă și este prim (Clasa a VII-a) Fie p u umăr atural Arătați că, dacă p și și p este umăr prim 8 (Numere prime Pătratul ui biom) Soluție Dacă p, atuci de forma sau k, 8p 7 k 4k 6k 8 9k 6 8p sut simulta prime, atuci, care este umăr prim Orice umăr prim, diferit de, este 8p 8 k cu k umar atural eul Î primul caz,, care este umăr compus, iar î al doilea caz, k 89k k 4 4k k 8p 8 Așadar, p și care este umăr prim, care este umăr compus 8p sut simulta prime dacă și umai dacă p Petru p, 8p 7, 4
5 5 (Clasa a VII-a) Determiați toate umerele îtregi petru care există umerele prime p și q astfel îcât p p q q A Dragomir, L Dragomir, ONM 0, lista scurta (Numere prime Relația de divizibilitate î Descompuerea polioamelor î factori ) Soluție Fie u umăr cu proprietatea di euț Cum p p și rezultă că divide umărul qq, deci q p p p p (căci q este prim) Astfel, avem: p sut umere pare, 9 p 4 p 4p 4 p p de ude obțiem 4,,, 6, 4 (Clasa a VII-a) Fie u umăr îtreg mai mare decât Demostrați că există umere compuse cosecutive (Numere compuse Factorial) Soluție Numerele a!, a!,,a! cerute îdepliesc codițiile 5 (Clasa a VII-a) Opt persoae au vârstele exprimate pri umere prime cu media 5 Persoaele care au 9 ai sut cele mai multe ditre cele opt, iar media vârstelor celor două persoae situate la miloc, î ordiea vârstelor, este Determiați vârsta maximă a celei mai bătrâe persoae (Numere prime Media aritmetică Logică) Soluție Suma vârstelor celor opt persoae este 0, iar suma vârstelor oameilor di miloc este Numărul se poate scrie doar î trei moduri ca o sumă de umere prime: 7 9 Cazul I Deoarece 9 apare mai des ca, trebuie ca cele mai î vârstă trei persoae să aibă 9 ai și iciua di cele mai tiere trei u poate avea ai Suma vârstelor celor mai tiere trei persoae este, î acest caz, 0 9 4, dar suma umerelor prime mai mici decât este cel mult Acest caz este imposibil Cazul al II-lea 5 7 Vârstele celor patru oamei mai tieri pot fi,, 5 (ai) Coform pricipiului cutiei, doi ditre aceștia trebuie să aibă aceeași vârstă, deci cele mai î vârstă trei persoae au câte 9 ai fiecare Vom avea aceeași cotradicție ca la cazul I Cazul al III-lea 9 Cele mai î vârstă trei persoae u pot avea 9 ai fiecare, deci sut cel mult trei persoae de 9 ai Vârstele celor mai tiere patru persoae pot fi sau (ai), deci sut două de ai și două 5
6 6 de ai Astfel, cea mai î vârstă persoaa are 0 9 5, care este umăr prim 6 (Clasa a VIII-a) Determiați umerele prime p și q, știid că ecuația îtregi pozitive și disticte (Numere prime Relațiile lui Viète) x px q 0 are rădăcii Soluție Dacă otăm cu x și x, x < x, rădăciile aturale ale ecuației cosiderate, atuci x x p și xx că p și q q Cum q este umăr prim, rezultă că x și x q, deci p q, de ude deducem 7 (Clasa a VIII-a) Fie x, y, z trei umere prime disticte Arătați că (Numere prime Iegalități) 0 xy yz zx xyz Soluție Deoarece iegalitatea de demostrat este simetrică î x, y, z putem presupue, fără a restrâge gearilitatea, că x y z Astfel, țiâd cot că x, y, z sut umere prime, deducem că x,y, z 5 Avem 0 xy yz zx xyz x y z 0 Ultima iegalitate este adevărată, deoarece x y z (Clasa a VIII-a) Fie a, b, c trei umere aturale eule, a c, astfel îcât Demostrați că a b c este umăr compus (Numere prime Calcul algebric Iegalități) a a b c c b a a b Soluție Avem ac ab a c b c a c b ac 0 b ac, deci c c b a b c a ac c b a c b a c b Este clar că 0 a c b a c b Dacă a c b, atuci b a c b a b c b a b c a c a b c, imposibil î codițiile problemei Așadar, a c b, ceea ce îseamă că umărul a b c este compus 6
7 7 9 (Clasa a VIII-a) Rezolvați ecuația (Numere prime Relația de cogrueță) Soluție Dacă q, atuci q p, ude p și q sut umere prime 999 p 8 999, imposibil Deci qk, ude k este umar atural eul Dacă qk, atuci q p mod 7, ceea ce este fals, iar dacă q k q p mod 7, de ude rezultă că 7 q și atuci qk sau, atuci p, deci q (Clasa a VIII-a) Fie umerele prime astfel îcât 0, ude este u umăr atural Arătați că pritre cele de umere prime cosiderate există trei umere prime cosecutivebara OBMJ 00, V Berghea (Numere prime Relația de cogrueță) Soluție Fie atuci mod S Dacă S, deci S 0 Dacă 5, atuci mod, atuci mod 5 S, deci S 0 Dacă, S, deci S 0 Pri urmare,,, 5, ceea ce îseamă că pritre cele de umere prime cosiderate există trei umere prime cosecutive (clasa a IX-a sau a X-a) Determiați umerele prime p și q, știid că GM 9/04, B G Niculescu (Numere prime Relația de cogrueță Teorema lui Fermat Iducție) q p p q p q Soluție Fie p și q două umere prime care verifică ecuația dată Evidet p q și q 0mod Coform teoremei lui Fermat, avem p q qmod p p p q q p p p q 0 mod p Pri urmare,, deci, de ude, avâd î vedere că p și q sut umere prime diferite, deducem că q q q Deoarece q 5, Soluția este p,q 5, petru orice q 7, rezultă că q q q Temă Compueți câte o problemă folosid ca model următoarele probleme:,,, 6, 7,, Bibliografie America Mathematics Competitios T Adreescu, D Adrica, Z Feg, 04 Number Theory Problems, Birkhauser, Bosto, Basel, Berli T Cohal, Vă place matematica?, Editura Moldova, Iași 4 A Lyu, Upper Elemetary School Mathematics, Chiu Chag Math Books & Puzzles Co Press 04, Taiwa 7
Soluţii juniori., unde 1, 2
Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr
More informationDivizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi
Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic
More informationBarem de notare clasa a V-a
Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor
More informationTest de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii
Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0
More informationIMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează
IMAR 017 Problema 1 Fie P u puct situat î iteriorul uui triughi ABC Dreapta AP itersectează latura BC î puctul D ; dreapta BP itersectează latura CA î puctul E ; iar dreapta CP itersectează latura AB î
More informationLaborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab
Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.
More informationTeoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a
Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................
More information1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE
1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru
More informationSolution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania
Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let
More informationTeorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu
Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea
More informationON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2
ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,
More informationProcedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur
Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities
More informationO V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number
MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.
More informationEcuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea
Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul
More informationFORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss
More informationGradul de comutativitate al grupurilor finite 1
Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we
More informationDE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM
Doctorad Bogda-Coreliu BIOLAN Uiversitatea di Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Abstract. We show that i a abstract covex space (E, D;
More informationTeoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1
Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass
More informationUNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile
More informationS.S.M.ROMÂNIA - Filiala Mehedinți 2016 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA. Filiala Mehedinți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M.
SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala Mehediți REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ R.M.M. Nr.6-06 REVISTA DE MATEMATICĂ MEHEDINȚEANĂ NR. 6 SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA Filiala
More informationCurs Teorema Limită Centrală Enunţ
Curs 9 Teorema Limiă Cerală 9 Teorema Limiă Cerală 9 Euţ Teorema Limiă Cerală TLC) ese ua dire cele mai imporae eoreme di eoria probabiliăţilor Iuiiv, orema afirmă că suma uui umăr mare de v a idepedee,
More informationSisteme cu logica fuzzy
Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R
More informationPROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015
PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei
More informationProf univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR
UNIVERSITATEA HYPERION Facultatea de Stiițe Exacte și Igierești Prof uiv dr. Sever Spâulescu CALCUL NUMERIC - LUCRARI DE LABORATOR Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode
More informationMATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI
DAN LASCU MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI TEORIE CUPRINS PREFAÞÃ 4 FUNCÞII COMPLEXE 5 Numere complee 5 Itroducere Forma algebricã Forma trigoometricã a umerelor complee 5 7 Elemete de topologie î corpul
More informationProbleme rezolvate. Lăcrimioara GRAMA, Corneliu RUSU, Prelucrarea numerică a semnalelor aplicații și probleme, Ed. U.T.PRESS, Cluj-Napoca, 2008.
Probleme reolvate Lăcrimioara GRAMA, Coreliu RUSU, Prelucrarea umerică a semalelor aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Clu-Napoca, 008 Capitolul Semale și secvețe Problema Geerarea uei expoețiale complexe:
More informationLucrarea de laborator nr. 8
Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda
More informationAPLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae
More informationMugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI
Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu
More informationRECREAŢ II MATEMATICE
Aul IX, Nr. 1 Iauarie Iuie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 007 Semificaţia formulei de pe copertă: iπ Îtr-o
More informationRădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2
Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice
More informationAvem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:
Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,
More informationCâteva rezultate de algebră comutativă
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.
More informationUtilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete
72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,
More informationAlte rezultate din teoria codurilor
Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie
More informationProbleme de numărare: combinări, aranjamente, permutări de Manuela Prajea 1)
Probleme de umărare: combăr, arajamete, permutăr de Mauela Prajea 1) Lecța se adresează î prmul râd elevlor de gmazu care focuseaza cocursurle de matematcă hgh-level ș d acest motv se îcepe expuerea de
More informationMatematici speciale Variabile aleatoare discrete
Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Aprilie 208 ii Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 9 Variabile aleatoare discrete Texas Holdem Poker: In Texas Hold em Poker
More informationInteligenta Artificiala
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe
More informationCOMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS
74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical
More informationSubiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani
Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu
More informationPentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II
Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi
More informationGAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)
GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for
More informationStatistică Aplicată. Iulian Stoleriu
32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3
More information2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE
MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU REZOLVRE SISEMELOR LGEBRICE LINIRE Neculai drei Research Istitute for Iformatics Ceter for dvaced Modelig ad Optimizatio 8- verescu veue Bucharest Romaia E-mail: adrei@iciro
More informationINEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:
More informationLucrarea de laborator nr. 11
Metode Nuerce - Lucrarea de laborator 11 Lucrarea de laborator r. 11 I. Scopul lucrăr Aproxarea î ede pr etoda celor a c pătrate II. Coţutul lucrăr 1. Metoda celor a c pătrate. Procedur MAPLE ş exeple
More informationUNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A.
UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT CONDUCÃTOR ªTIINÞIFIC PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. LECA CONSTANÞA 9 UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA
More informationDespre AGC cuasigrupuri V. Izbaș
Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri
More informationȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)
Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un
More informationMatematici speciale Seminar 12
Matematici speciale Semiar 1 Mai 017 ii Statistica este arta de a miti pri itermediul cifrelor. Wilhelm Stekel 1 Notiui de statistica Datele di dreapta arata temperaturile de racire ale uei cesti de cafea,
More informationRezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii
Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE
More informationINSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ RAREŞ VODĂ PLOIEŞTI
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ RAREŞ VODĂ PLOIEŞTI Publicaţie periodică a lucrărilor prezetate de elevi la CONCURSUL NAŢIONAL Matematică ştiiţă şi limbă uiversală Ediţia a VIII-a
More information2. Finite Impulse Response Filters (FIR)
..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed
More informationRECREAŢ II MATEMATICE
Anul X, Nr. 1 Ianuarie Iunie 008 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 15 de ani de la apariţia revistei Recreaţii Ştiinţifice (1883 1888) e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii
More informationMATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE
Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4
More informationCercet¼ari operaţionale
Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare
More informationMatematici speciale Integrarea functiilor complexe
Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste
More informationRECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI
Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o
More informationCristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;
Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic
More informationDerivarea integralei şi integrarea derivatei
Derivre iegrlei şi iegrre erivei Dorim să evieţiem ici fpul că iegrre şi erivre fucţiilor rele su operţii iverse, îr-u ses cre urmeză fi preciz. Icepem pri remii formul Leibiz-Newo peru fucţii f : I R
More informationProgramarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu
Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)
More informationLaborator 3. Backtracking iterativ
Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie
More informationSelf-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract)
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Self-Small Abelian Groups and Related Problems (Abstract) Author: Simion BREAZ 2013 Abstract Let R be
More informationCe este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament
Ce este logica? Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile
More informationAnul I, Semestrul I 2017/2018
Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean
More informationROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY
ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE R.M.M. Nr.20-2018 1 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE NR. 20 ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch DANIEL SITARU-ROMANIA
More informationarray a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1
Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste
More informationECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ
Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific
More informationFLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor
FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor In Florentin Smarandache: Collected Papers, vol. II. Chisinau (Moldova): Universitatea
More informationLogică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017
Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides
More informationCURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1
CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 Structura Ce este programarea dinamică? Aplicație: problema discretă a rucsacului Funcții de memorie (memoizare) Aplicație: înmulțirea optimală
More informationLegi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan
Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.
More informationGAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare
GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXI(CX) Nr. / 03 ANIVERSĂRI Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare La 5 noiembrie 0 domnul profesor universitar Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române,
More informationREZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:
More informationRECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI
Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Editura Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 006 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o
More informationAlgebraic Expressions
Algebraic Expressions 1. Expressions are formed from variables and constants. 2. Terms are added to form expressions. Terms themselves are formed as product of factors. 3. Expressions that contain exactly
More informationFINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS
BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH
More informationUtilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015
Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,
More informationDanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45
DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian
More informationHabilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations
UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability
More informationTEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI
Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator
More informationANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS
U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 70, No. 3, 008 ISSN 454-34 ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS Mihaela Florentina MATEI Analiza dispersiei, ANOVA, reprezintă una din metodele statistice, dintre cele mai
More informationUniversitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor
Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare
More informationProbleme extremale pentru grafuri si retele de transport
Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut
More informationUNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR
UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii DORINA ISAR ÎMUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL PE ZGOMOT ÎN SISTEMELE DE TELECOMUNICAŢII Teză de doctorat Coducător ştiiţific
More informationSIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE
SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare
More informationGENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE
Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la
More informationStructura matematicii (II)
Structura matematicii (II) Oana Constantinescu Contents 1 Notiuni - denitii 1 2 Propozitii adevarate: axiome si teoreme 5 2.1 Elemente de logica.......................... 5 2.2 Teoreme................................
More informationGraduări pe algebre de matrice
UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu
More informationLogică avansată pentru informatică Master Anul I, Semestrul I
Logică avansată pentru informatică Master Anul I, Semestrul I 2017-2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http:unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean
More informationMetode clasice. Camelia Chira.
Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate
More informationPENTRU CERCURILE DE ELEVI
M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations
More informationInegalităţi de tip Chebyshev-Grüss pentru operatorii Bernstein-Euler-Jacobi
Iegalităţi de tip Chebyshev-Grüss petru operatorii Berstei-Euler-Jacobi arxiv:1506.08166v1 [math.ca] 26 Ju 2015 Heier Goska, Maria-Daiela Rusu, Elea-Doria Stăilă Abstract The classical form of Grüss iequality
More informationINCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific
More informationSiguranţa structurilor la acţiuni seismice şi climatice
Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti Facultatea de Construcţii Civile, Industriale şi Agricole Catedra de Constructii de Beton Armat Grinda b.a., 5 ani expunere, VQ,an =,6 6. Indice de fiabilitate,
More informationTeoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)
Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale
More informationPLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR
PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi
More informationLUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare
Semale și iteme eoria itemelor LUCRAREA NR. 3. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp. Răpuul itemelor la emale de itrare. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp U item cotiuu, diamic,
More informationXI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz
XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz First Day January 13, 015) Problems Problem 1. Each point with
More information