Barem de notare clasa a V-a

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Barem de notare clasa a V-a"

Transcription

1 Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor mulțimii A B este 8. Din a),5,6 A și,5,6 B. Din b) 0,7 B și 0,7 A. Din c) A B x, x, x și utilizând d) obținem x1 x x Cum elementele x1, x, x 3 sunt diferite între ele și diferite de 0,, 5, 6, 7, obținem p { x1; x; x3} {1;3;4} A 1; ;3; 4;5;6 B 0;1;3; 4;7. p

2 017 Problema. Să se arate că nu există n astfel încât n n 1 n 1 1 n n ( n1) n n n p Suma se poate calcula și aplicând formula progresiei aritmetice. Obținem membrul stâng pătrat perfect. U U Dacă ultima cifră a unui număr natural este, 3, 7 sau 8, atunci numărul nu este pătrat perfect. Deci, membrul drept nu este pătrat perfect. p Cum membrul stâng este pătrat perfect și membrul drept nu este pătrat perfect, atunci nu există n astfel încât să aibă loc egalitatea.

3 Problema 3. Fie numărul A cifre a) Arătați că numărul A este divizibil cu 10; b) Aflați câtul și restul împărțirii numărului A la 111. A cifre A a) 017 cifre A A de 1 017de 0 p Cum U A 0 Aeste divizibil cu 10. Sau a) U U cifre U cifre Obținem că numărul A se termină în 0, deci este divizibil cu 10. 3p

4 b) A:111 C rest R, 0 R 111 A 111 C R, 0 R 111 Din punctul a) avem p A cifre Obținem C și R 10

5 Problema 4. Determinați numerele abcd știind că abcd abd abcd. Gazeta matematică abcd abd abcd, ac, 0 abcd 10ab d 100 ab cd abcd d 90ab 10c d abcd 90ab 10 c abcd 90ab 10 c ab( cd 90) 10 c cd 90 > 0 c 9 ab(9d 90) 90 abd 90 Cum d este cifră și divizor al lui 90, obținem d 1,,3,5, 6,9 1,5p Numerele sunt: abcd 9091, 459,3093,1895,1596,1099.

6 Barem de notare clasa a VII-a Problema 1. Calculaţi numerele: Soluţie și barem: a b Notăm: S1..., sumă ce are 1089:11 99 termeni Notăm: S 1..., sumă ce are 99 termeni Regrupând termenii, obţinem S1 S S1 S termeni Aşadar, a b b 1 b 3 3 Avem 3 > 0 și 3 < 0 b b b

7 Problema. Utilizând formula a b a ab b numerelor întregi nenegative, are ecuaţia x y 1960., aflaţi câte soluţii, în mulţimea Soluţie și barem: x 1960 y (1) şi cum x 0 obţinem că 1960 y 0 y Ridicând relaţia (1) la pătrat, obţinem 1960 yx 1,5p x y y 10y Q. 8 Se aplică proprietatea: dacă n N şi n Q atunci n N. Aşadar, din 10y Q şi 10y N 10y N. Altfel spus, k N astfel încât / 10 / y k y k k k. Rezultă că an astfel încât k 10a. Din 10y k şi k 10a, obţinem că 10y 10 a y 10 a, a N. Analog, obţinem şi că x 10 b, b N. Ecuaţia din enunţ devine: 10a 10b a b 14. Cum a, b N ( a, b) {(0,14),(1,13),(,1),...,(13,1),(14,0)}. În concluzie, ecuaţia dată are 15 soluţii în N N.

8 Problema 3 Considerăm dreptunghiul ABCD în care bisectoarea unghiului BAD intersectează BD în E şi BC în F. Paralela prin E la AB intersectează AC în punctul G. Arătaţi că FG BD. Fie EG BC { M} şi FG BD { N}. Din EM AB şi AB BF EM BF. Deoarece trebuie demonstrat că FG BD și cum EG BF, este suficient de demonstrat că punctul G este ortocentrul triunghiului EBF. Aşadar, trebuie demonstrat că BG EF. În triunghiul ABF avem că m( B) 90 o şi m( A) 45 o, de unde rezultă că ABF este dreptunghic isoscel în B (1) ABGE trapez isoscel deoarece EG AB şi AO=OB. Se obţine că m( GBA) m( EAB) 45 o o o o, de unde m( FBG) Deci obținem că [BG este bisectoarea ABF () Din (1) şi () obţinem că BG EF q.e.d.

9 Problema 4. Fie ABCD un paralelogram. Pe segmentele (AB) și (BC), se iau punctele M, respectiv N, astfel încât AB BC. BM CN Dacă T DM AC și U BD AN, demonstrați că AB TU. Gazeta matematică În ADU, BN DA T... DU UA DA BC DUA BUN (1) BU UN BN BN,5p În DTC, DC AM T... DT TC DC AB DTC MTA () MT TA MA MA,5p AB BC AB BC AB BC Din BM CN AB BM BC CN AM BN (3).Re. Din relaţiile (1), (), (3) DU DT T c Th BU MT TU MB Cum M ( AB) obţinem că TU AB.

10 Barem de notare clasa a VIII-a Problema 1. Să se arate că pentru orice numere reale x, y, z > 0, cu z x + y, este adevărată relaţia: x + y z + xy x + y z x + y + z Gazeta matematică Rezolvare 1. Relaţia din enunţ este echivalentă cu: Punctaj x + y z x + y z x + y + z + 3. x+ y z x+ y+ z x+ z z x+y+z+3 3. x + y + z x+y+z+3 4. x + y + z x + y + z x x y y z z + 1 p 6. 0 x 1 + y 1 + z 1. Cum ultima relaţie este adevărată, deoarece este o sumă de numere nenegative, înseamnă că şi relaţia din enunţ, care este echivalentă cu ea, este adevărată.

11 Problema. În tetraedrul ABCD, cu lungimile muchiilor AB, BC şi CA proporţionale cu numerele 3,4 respectiv 5, se construieşte M simetricul lui M faţă de B, unde M (CD). Arătaţi că AM = AM dacă şi numai dacă AB (BCD). 1. AM = AM AB (BCD) Rezolvare Punctaj Din AM = AM ΔAMM este isoscel M simetricul lui M faţă de B M B = MB [AB] este mediană [AB] este înălţime AB MM (1) Din (AB, BC, CA) direct proporţionale cu (3,4,5) AB = 3k,

12 BC = 4k, CA = 5k conform teoremei reciproce a lui Pitagora ΔABC dreptunghic în B AB BC () Din (1) şi () AB (BCD). AB (BCD) AM = AM Din M simetricul lui M faţă de B M B = MB [AB] este mediană Din AB (BCD) [AB] este înălţime ΔAMM este isoscel AM = AM.

13 Problema 3. Într-o urnă se află o bilă cu cfra 1 înscrisă pe ea, două bile cu cifra înscrisă pe fiecare dintre ele şi aşa mai departe, n bile cu numărul n înscris pe fiecare dintre ele. Se extrag 1 două bile și probabilitatea ca suma numerelor de pe cele două bile extrase să fie n-1 este. 9 Calculaţi n. 1. În urnă se află Rezolvare n( n 1) n bile. Punctaj 1 p. Numărul total de cazuri este: 3p n( n 1) n( n 1)( n 8 n ) n( n 1) n( n 1) 1 n( n 1)( n 1)( n ) Pentru a calcula numărul cazurilor favorabile trebuie să ţinem cont că suma n-1 se poate obţine doar dacă pe una din bile este scris n-1 şi pe cealaltă n, deci sunt n(n-1) cazuri favorabile. 1 p 4. nr. cazuri favorabile P nr. total de cazuri 8 ( n 1)( n ) 1 9 n( n 1) n( n 1)( n 1)( n ) 8 ( n 1)( n ) 89 n p

14 Problema 4. Fie A, B, C, D puncte necoplanare, G centrul de greutate al triunghiului BCD şi punctul M (AG). Fie {P}=AB (CDM), {Q}=AC (BDM) şi {R}=AD (BCM). a) Arătaţi că AM = 3 AR ; b) Demonstraţi că (PQR) (BCD). GM DR Rezolvare 1. G centrul de greutate al triunghiului BCD D G= 1 3 DD Punctaj p DD D G = 3. În ABB B M AB = {P}PAB, P B M B CD, CD (CDM) B (CDM) B M (CDM) M(CDM) {P}=AB (CDM). Analog, D M AD = {R}{R}=AD (BCM), C M AC = {Q}{Q}=AC (BDM).. În ADG, cu transversala RD conform teoremei lui Menelaus p AR RD DD D G MG AM = 1 AM MG = 3 AR DR. (1) 3. În ABG, cu transversala PB conform teoremei lui Menelaus

15 AP PB BB B G MG AM = 1AM MG = 3 AP PB. () Din (1) AR = 1 AM DR 3 MG Din (1) AP = 1 AM PB 3 MG AP PB = AR RD conform teoremei reciproce a lui Thales PR BD. Analog PQ BC (PQR) (BCD)

16 Barem de notare clasa a VI-a Problema 1. Numărul aaa8 împărțit la un număr de două cifre dă restul 98. Aflați numărul. Gazeta matematică Deoarece împărțitorul are două cifre și este mai mare decât restul, deducem că acesta este 99. (1,5p) Atunci aaa8 99c 98 aaa9 99( c 1) (p) Obținem 11 aaa9 și aaa9 1100a a9. (p) Cum rezultă 11 a9 a 9. () Numărul căutat este ()

17 Problema. a) Fie șirul 1,,4,7,11, de numere naturale. i) Scrieți următorii doi termeni ai șirului; ii)să se determine termenul de pe locul 100. b) Arătați că numărul: x ( )(... ) este pătrat perfect. a) i) a1 1, a, a3 4, a4 7, a5 11 a a1 1, a3 a, a4 a3 3, a5 a4 4 () Obținem a6 a5 5 16, a7 a6 6 () ii) a a1 a3 a a4 a3 a100 a99 1,, 3,..., 99 () Adunând relațiile obținem: a100 a (1,5p) Obținem a () b) () x 101 x 100 Deci x este pătrat perfect. (1,5p) () ()

18 Problema 3.. Fie A 3n1 n n și B 4n n n 3 4 5, unde n. Să se arate că fracția A B se simplifică prin 17. Trebuie să demonstrăm că A și B sunt multipli de 17. () A (17 7) 15 7 ( M 7 ) 15 7 M M 17 7 M (3 p) n n n n n n n n n B (136 8) 100 (17 8) 36 ( M 8 ) 100 ( M 8 ) n n n n n n n n n M M M (3 p). n n n Problema 4. Fie triunghiul ABC, isoscel, cu AB AC, M un punct pe latura un punct pe latura AC astfel încât AM MB AN NC. Arătaţi că: a) BN CM ; b) AD este bisectoarea unghiului BAC, unde BN CM D. AB şi N a) Din ipoteză avem că AM MB AN NC. AB AC AM MB AN NC. Adunând membru cu membru relaţiile, se obţine că AM AN AM AN. Avem ABN ACM ( LUL), de unde rezultă că BN CM şi ABN ACM,5p,5p b) ABD ACD ( LLU ), de unde rezultă că 1,5p BAD CAD AD este bisectoarea unghiului BAC.

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.

More information

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE R.M.M. Nr.20-2018 1 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE NR. 20 ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch DANIEL SITARU-ROMANIA

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Autor: Instituţia: Coordonator

Autor: Instituţia: Coordonator Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way George Polya Autor: Instituţia: Coordonator ştiinţific:

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Geometry Problem Solving Drill 08: Congruent Triangles

Geometry Problem Solving Drill 08: Congruent Triangles Geometry Problem Solving Drill 08: Congruent Triangles Question No. 1 of 10 Question 1. The following triangles are congruent. What is the value of x? Question #01 (A) 13.33 (B) 10 (C) 31 (D) 18 You set

More information

Probleme pentru pregătirea concursurilor

Probleme pentru pregătirea concursurilor Probleme pentru pregătirea concursurilor A. Nivel gimnazial G326. Pentru a-şi face provizii pentru iarnă, spiriduşii trebuie să culeagă ciuperci din pădure. Ciupercile cresc în 2017 poieniţe, însă în una

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Geometry 3 SIMILARITY & CONGRUENCY Congruency: When two figures have same shape and size, then they are said to be congruent figure. The phenomena between these two figures is said to be congruency. CONDITIONS

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un

More information

Triangles. 3.In the following fig. AB = AC and BD = DC, then ADC = (A) 60 (B) 120 (C) 90 (D) none 4.In the Fig. given below, find Z.

Triangles. 3.In the following fig. AB = AC and BD = DC, then ADC = (A) 60 (B) 120 (C) 90 (D) none 4.In the Fig. given below, find Z. Triangles 1.Two sides of a triangle are 7 cm and 10 cm. Which of the following length can be the length of the third side? (A) 19 cm. (B) 17 cm. (C) 23 cm. of these. 2.Can 80, 75 and 20 form a triangle?

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Chapter 7. Geometric Inequalities

Chapter 7. Geometric Inequalities 4. Let m S, then 3 2 m R. Since the angles are supplementary: 3 2580 4568 542 Therefore, m S 42 and m R 38. Part IV 5. Statements Reasons. ABC is not scalene.. Assumption. 2. ABC has at least 2. Definition

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Nozha Directorate of Education Form : 2 nd Prep. Nozha Language Schools Ismailia Road Branch

Nozha Directorate of Education Form : 2 nd Prep. Nozha Language Schools Ismailia Road Branch Cairo Governorate Department : Maths Nozha Directorate of Education Form : 2 nd Prep. Nozha Language Schools Sheet Ismailia Road Branch Sheet ( 1) 1-Complete 1. in the parallelogram, each two opposite

More information

SMT 2018 Geometry Test Solutions February 17, 2018

SMT 2018 Geometry Test Solutions February 17, 2018 SMT 018 Geometry Test Solutions February 17, 018 1. Consider a semi-circle with diameter AB. Let points C and D be on diameter AB such that CD forms the base of a square inscribed in the semicircle. Given

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Nozha Directorate of Education Form : 2 nd Prep

Nozha Directorate of Education Form : 2 nd Prep Cairo Governorate Department : Maths Nozha Directorate of Education Form : 2 nd Prep Nozha Language Schools Geometry Revision Sheet Ismailia Road Branch Sheet ( 1) 1-Complete 1. In the parallelogram, each

More information

Visit: ImperialStudy.com For More Study Materials Class IX Chapter 12 Heron s Formula Maths

Visit: ImperialStudy.com For More Study Materials Class IX Chapter 12 Heron s Formula Maths Exercise 1.1 1. Find the area of a triangle whose sides are respectively 150 cm, 10 cm and 00 cm. The triangle whose sides are a = 150 cm b = 10 cm c = 00 cm The area of a triangle = s(s a)(s b)(s c) Here

More information

Identities and inequalities in a quadrilateral

Identities and inequalities in a quadrilateral OCTOGON MATHEMATICAL MAGAZINE Vol. 17, No., October 009, pp 754-763 ISSN 1-5657, ISBN 978-973-8855-5-0, www.hetfalu.ro/octogon 754 Identities inequalities in a quadrilateral Ovidiu T. Pop 3 ABSTRACT. In

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

Collinearity/Concurrence

Collinearity/Concurrence Collinearity/Concurrence Ray Li (rayyli@stanford.edu) June 29, 2017 1 Introduction/Facts you should know 1. (Cevian Triangle) Let ABC be a triangle and P be a point. Let lines AP, BP, CP meet lines BC,

More information

Postulates and Theorems in Proofs

Postulates and Theorems in Proofs Postulates and Theorems in Proofs A Postulate is a statement whose truth is accepted without proof A Theorem is a statement that is proved by deductive reasoning. The Reflexive Property of Equality: a

More information

8. Quadrilaterals. If AC = 21 cm, BC = 29 cm and AB = 30 cm, find the perimeter of the quadrilateral ARPQ.

8. Quadrilaterals. If AC = 21 cm, BC = 29 cm and AB = 30 cm, find the perimeter of the quadrilateral ARPQ. 8. Quadrilaterals Q 1 Name a quadrilateral whose each pair of opposite sides is equal. Mark (1) Q 2 What is the sum of two consecutive angles in a parallelogram? Mark (1) Q 3 The angles of quadrilateral

More information

CCE PR Revised & Un-Revised

CCE PR Revised & Un-Revised D CCE PR Revised & Un-Revised 560 00 KARNATAKA SECONDARY EDUCATION EXAMINATION BOARD, MALLESWARAM, BANGALORE 560 00 08 S.S.L.C. EXAMINATION, JUNE, 08 :. 06. 08 ] MODEL ANSWERS : 8-K Date :. 06. 08 ] CODE

More information

6 CHAPTER. Triangles. A plane figure bounded by three line segments is called a triangle.

6 CHAPTER. Triangles. A plane figure bounded by three line segments is called a triangle. 6 CHAPTER We are Starting from a Point but want to Make it a Circle of Infinite Radius A plane figure bounded by three line segments is called a triangle We denote a triangle by the symbol In fig ABC has

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

TRIANGLES CHAPTER 7. (A) Main Concepts and Results. (B) Multiple Choice Questions

TRIANGLES CHAPTER 7. (A) Main Concepts and Results. (B) Multiple Choice Questions CHAPTER 7 TRIANGLES (A) Main Concepts and Results Triangles and their parts, Congruence of triangles, Congruence and correspondence of vertices, Criteria for Congruence of triangles: (i) SAS (ii) ASA (iii)

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Mathematics. Exercise 6.4. (Chapter 6) (Triangles) (Class X) Question 1: Let and their areas be, respectively, 64 cm 2 and 121 cm 2.

Mathematics. Exercise 6.4. (Chapter 6) (Triangles) (Class X) Question 1: Let and their areas be, respectively, 64 cm 2 and 121 cm 2. () Exercise 6.4 Question 1: Let and their areas be, respectively, 64 cm 2 and 121 cm 2. If EF = 15.4 cm, find BC. Answer 1: 1 () Question 2: Diagonals of a trapezium ABCD with AB DC intersect each other

More information

SHW 1-01 Total: 30 marks

SHW 1-01 Total: 30 marks SHW -0 Total: 30 marks 5. 5 PQR 80 (adj. s on st. line) PQR 55 x 55 40 x 85 6. In XYZ, a 90 40 80 a 50 In PXY, b 50 34 84 M+ 7. AB = AD and BC CD AC BD (prop. of isos. ) y 90 BD = ( + ) = AB BD DA x 60

More information

LLT Education Services

LLT Education Services 8. The length of a tangent from a point A at distance 5 cm from the centre of the circle is 4 cm. Find the radius of the circle. (a) 4 cm (b) 3 cm (c) 6 cm (d) 5 cm 9. From a point P, 10 cm away from the

More information

Topic 2 [312 marks] The rectangle ABCD is inscribed in a circle. Sides [AD] and [AB] have lengths

Topic 2 [312 marks] The rectangle ABCD is inscribed in a circle. Sides [AD] and [AB] have lengths Topic 2 [312 marks] 1 The rectangle ABCD is inscribed in a circle Sides [AD] and [AB] have lengths [12 marks] 3 cm and (\9\) cm respectively E is a point on side [AB] such that AE is 3 cm Side [DE] is

More information

Day 6: Triangle Congruence, Correspondence and Styles of Proof

Day 6: Triangle Congruence, Correspondence and Styles of Proof Name: Day 6: Triangle Congruence, Correspondence and Styles of Proof Date: Geometry CC (M1D) Opening Exercise Given: CE bisects BD Statements 1. bisects 1.Given CE BD Reasons 2. 2. Define congruence in

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

9 th CBSE Mega Test - II

9 th CBSE Mega Test - II 9 th CBSE Mega Test - II Time: 3 hours Max. Marks: 90 General Instructions All questions are compulsory. The question paper consists of 34 questions divided into four sections A, B, C and D. Section A

More information

Class IX Chapter 7 Triangles Maths. Exercise 7.1 Question 1: In quadrilateral ACBD, AC = AD and AB bisects A (See the given figure).

Class IX Chapter 7 Triangles Maths. Exercise 7.1 Question 1: In quadrilateral ACBD, AC = AD and AB bisects A (See the given figure). Exercise 7.1 Question 1: In quadrilateral ACBD, AC = AD and AB bisects A (See the given figure). Show that ABC ABD. What can you say about BC and BD? In ABC and ABD, AC = AD (Given) CAB = DAB (AB bisects

More information

Algebraic Expressions

Algebraic Expressions Algebraic Expressions 1. Expressions are formed from variables and constants. 2. Terms are added to form expressions. Terms themselves are formed as product of factors. 3. Expressions that contain exactly

More information

Q1. The sum of the lengths of any two sides of a triangle is always (greater/lesser) than the length of the third side. askiitians

Q1. The sum of the lengths of any two sides of a triangle is always (greater/lesser) than the length of the third side. askiitians Class: VII Subject: Math s Topic: Properties of triangle No. of Questions: 20 Q1. The sum of the lengths of any two sides of a triangle is always (greater/lesser) than the length of the third side. Greater

More information

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează IMAR 017 Problema 1 Fie P u puct situat î iteriorul uui triughi ABC Dreapta AP itersectează latura BC î puctul D ; dreapta BP itersectează latura CA î puctul E ; iar dreapta CP itersectează latura AB î

More information

Question 1: In quadrilateral ACBD, AC = AD and AB bisects A (See the given figure). Show that ABC ABD. What can you say about BC and BD?

Question 1: In quadrilateral ACBD, AC = AD and AB bisects A (See the given figure). Show that ABC ABD. What can you say about BC and BD? Class IX - NCERT Maths Exercise (7.1) Question 1: In quadrilateral ACBD, AC = AD and AB bisects A (See the given figure). Show that ABC ABD. What can you say about BC and BD? Solution 1: In ABC and ABD,

More information

Class IX Chapter 7 Triangles Maths

Class IX Chapter 7 Triangles Maths Class IX Chapter 7 Triangles Maths 1: Exercise 7.1 Question In quadrilateral ACBD, AC = AD and AB bisects A (See the given figure). Show that ABC ABD. What can you say about BC and BD? In ABC and ABD,

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

CHAPTER 3 BOOLEAN ALGEBRA

CHAPTER 3 BOOLEAN ALGEBRA CHAPTER 3 BOOLEAN ALGEBRA (continued) This chapter in the book includes: Objectives Study Guide 3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions 3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations 3.3 The Consensus

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Chapter 10 Exercise 10.1

Chapter 10 Exercise 10.1 Chapter 0 Exercise 0. Q.. A(, ), B(,), C(, ), D(, ), E(0,), F(,), G(,0), H(, ) Q.. (i) nd (vi) st (ii) th (iii) nd (iv) rd (v) st (vii) th (viii) rd (ix) st (viii) rd Q.. (i) Y (v) X (ii) Y (vi) X (iii)

More information

Mathematics 2260H Geometry I: Euclidean geometry Trent University, Fall 2016 Solutions to the Quizzes

Mathematics 2260H Geometry I: Euclidean geometry Trent University, Fall 2016 Solutions to the Quizzes Mathematics 2260H Geometry I: Euclidean geometry Trent University, Fall 2016 Solutions to the Quizzes Quiz #1. Wednesday, 13 September. [10 minutes] 1. Suppose you are given a line (segment) AB. Using

More information

1 / 23

1 / 23 CBSE-XII-017 EXAMINATION CBSE-X-008 EXAMINATION MATHEMATICS Series: RLH/ Paper & Solution Code: 30//1 Time: 3 Hrs. Max. Marks: 80 General Instuctions : (i) All questions are compulsory. (ii) The question

More information

2007 Shortlist JBMO - Problems

2007 Shortlist JBMO - Problems Chapter 1 007 Shortlist JBMO - Problems 1.1 Algebra A1 Let a be a real positive number such that a 3 = 6(a + 1). Prove that the equation x + ax + a 6 = 0 has no solution in the set of the real number.

More information

RMT 2013 Geometry Test Solutions February 2, = 51.

RMT 2013 Geometry Test Solutions February 2, = 51. RMT 0 Geometry Test Solutions February, 0. Answer: 5 Solution: Let m A = x and m B = y. Note that we have two pairs of isosceles triangles, so m A = m ACD and m B = m BCD. Since m ACD + m BCD = m ACB,

More information

CHAPTER 7 TRIANGLES. 7.1 Introduction. 7.2 Congruence of Triangles

CHAPTER 7 TRIANGLES. 7.1 Introduction. 7.2 Congruence of Triangles CHAPTER 7 TRIANGLES 7.1 Introduction You have studied about triangles and their various properties in your earlier classes. You know that a closed figure formed by three intersecting lines is called a

More information

UNIT 3 BOOLEAN ALGEBRA (CONT D)

UNIT 3 BOOLEAN ALGEBRA (CONT D) UNIT 3 BOOLEAN ALGEBRA (CONT D) Spring 2011 Boolean Algebra (cont d) 2 Contents Multiplying out and factoring expressions Exclusive-OR and Exclusive-NOR operations The consensus theorem Summary of algebraic

More information

UNIT-8 SIMILAR TRIANGLES Geometry is the right foundation of all painting, I have decided to teach its rudiments and principles to all youngsters eager for art. 1. ABC is a right-angled triangle, right-angled

More information

2 13b + 37 = 54, 13b 37 = 16, no solution

2 13b + 37 = 54, 13b 37 = 16, no solution Answers: (999-00 HKMO Final Events) Created by: Mr. Francis Hung Last updated: 6 February 07 Individual Events SI P 6 I P 5 I P 6 I P I P I5 P Q 7 Q 8 Q 8 Q Q Q R R 7 R R 996 R R S 990 S 6 S S 666 S S

More information

CHAPTER TWO. 2.1 Vectors as ordered pairs and triples. The most common set of basic vectors in 3-space is i,j,k. where

CHAPTER TWO. 2.1 Vectors as ordered pairs and triples. The most common set of basic vectors in 3-space is i,j,k. where 40 CHAPTER TWO.1 Vectors as ordered pairs and triples. The most common set of basic vectors in 3-space is i,j,k where i represents a vector of magnitude 1 in the x direction j represents a vector of magnitude

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

arxiv: v1 [math.gm] 29 Sep 2012

arxiv: v1 [math.gm] 29 Sep 2012 Some Remarkable Concurrences in the Quadrilateral arxiv:1210.0078v1 [math.gm] 29 Sep 2012 Andrei S. Cozma Abstract. We study some properties of quadrilaterals concerning concurrence of lines under few

More information

INSTRUCTIONS. F.3 2 nd Maths Examination (1011) P1/14

INSTRUCTIONS. F.3 2 nd Maths Examination (1011) P1/14 INSTRUCTIONS 1. The total mark of this paper is 100. 2. This paper consists of THREE sections, A, B and C. 3. Attempt ALL questions in this paper. Write your answers in the spaces provided in this Question-Answer

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Parts Manual. EPIC II Critical Care Bed REF 2031

Parts Manual. EPIC II Critical Care Bed REF 2031 EPIC II Critical Care Bed REF 2031 Parts Manual For parts or technical assistance call: USA: 1-800-327-0770 2013/05 B.0 2031-109-006 REV B www.stryker.com Table of Contents English Product Labels... 4

More information

Answers. Chapter 9 A92. Angles Theorem (Thm. 5.6) then XZY. Base Angles Theorem (Thm. 5.6) 5, 2. then WV WZ;

Answers. Chapter 9 A92. Angles Theorem (Thm. 5.6) then XZY. Base Angles Theorem (Thm. 5.6) 5, 2. then WV WZ; 9 9. M, 0. M ( 9, 4) 7. If WZ XZ, then ZWX ZXW ; Base Angles Theorem (Thm..6). M 9,. M ( 4, ) 74. If XZ XY, then XZY Y; Base Angles Theorem (Thm..6). M, 4. M ( 9, ) 7. If V WZV, then WV WZ; Converse of

More information

SOLUTION. Taken together, the preceding equations imply that ABC DEF by the SSS criterion for triangle congruence.

SOLUTION. Taken together, the preceding equations imply that ABC DEF by the SSS criterion for triangle congruence. 1. [20 points] Suppose that we have ABC and DEF in the Euclidean plane and points G and H on (BC) and (EF) respectively such that ABG DEH and AGC DHF. Prove that ABC DEF. The first congruence assumption

More information

CONGRUENCE OF TRIANGLES

CONGRUENCE OF TRIANGLES Congruence of Triangles 11 CONGRUENCE OF TRIANGLES You might have observed that leaves of different trees have different shapes, but leaves of the same tree have almost the same shape. Although they may

More information

RD Sharma Solutions for Class 10 th

RD Sharma Solutions for Class 10 th RD Sharma Solutions for Class 10 th Contents (Click on the Chapter Name to download the solutions for the desired Chapter) Chapter 1 : Real Numbers Chapter 2 : Polynomials Chapter 3 : Pair of Linear Equations

More information

Properties of Isosceles and Equilateral Triangles

Properties of Isosceles and Equilateral Triangles Properties of Isosceles and Equilateral Triangles In an isosceles triangle, the sides and the angles of the triangle are classified by their position in relation to the triangle s congruent sides. Leg

More information

1) Exercise 1 In the diagram, ABC = AED, AD = 3, DB = 2 and AE = 2. Determine the length of EC. Solution:

1) Exercise 1 In the diagram, ABC = AED, AD = 3, DB = 2 and AE = 2. Determine the length of EC. Solution: 1) Exercise 1 In the diagram, ABC = AED, AD = 3, DB = 2 and AE = 2. Determine the length of EC. Solution: First, we show that AED and ABC are similar. Since DAE = BAC and ABC = AED, we have that AED is

More information

MUNSANG COLLEGE F.3 MATHEMATICS Revision Exercise 2 (M.C.) 1. 8x 3 (x + 2y) 8y 3 (y + 2x) = A. 8(x 2 + y 2 )(x 2 + 2xy y 2 ). B. 8(x 2 + y 2 )(x + y)( x y). C. 8(x + y) 2 (x y) 2. D. 8(x + y) 3 (x y).

More information

Basic Quadrilateral Proofs

Basic Quadrilateral Proofs Basic Quadrilateral Proofs For each of the following, draw a diagram with labels, create the givens and proof statement to go with your diagram, then write a two-column proof. Make sure your work is neat

More information

CBSE CLASS X MATH -SOLUTION Therefore, 0.6, 0.25 and 0.3 are greater than or equal to 0 and less than or equal to 1.

CBSE CLASS X MATH -SOLUTION Therefore, 0.6, 0.25 and 0.3 are greater than or equal to 0 and less than or equal to 1. CBSE CLASS X MATH -SOLUTION 011 Q1 The probability of an event is always greater than or equal to zero and less than or equal to one. Here, 3 5 = 0.6 5% = 5 100 = 0.5 Therefore, 0.6, 0.5 and 0.3 are greater

More information

Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths

Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths 1 Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths Exercise 8.1 Question 1: The angles of quadrilateral are in the ratio 3: 5: 9: 13. Find all the angles of the quadrilateral. Let the common ratio between the angles

More information

Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths

Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths Exercise 8.1 Question 1: The angles of quadrilateral are in the ratio 3: 5: 9: 13. Find all the angles of the quadrilateral. Answer: Let the common ratio between

More information

Vermont Talent Search April 12, 2011 School Year Test 4 Solutions

Vermont Talent Search April 12, 2011 School Year Test 4 Solutions Vermont Talent Search April, 0 School Year 00-0 Test 4 Solutions Problem. Find the area of a triangle whose medians have lengths of 39, 4 and 45. Let M be the center of gravity or centroid of the triangle.

More information

Triangles. Chapter Flowchart. The Chapter Flowcharts give you the gist of the chapter flow in a single glance.

Triangles. Chapter Flowchart. The Chapter Flowcharts give you the gist of the chapter flow in a single glance. Triangles Chapter Flowchart The Chapter Flowcharts give you the gist of the chapter flow in a single glance. Triangle A plane figure bounded by three line segments is called a triangle. Types of Triangles

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXI(CX) Nr. / 03 ANIVERSĂRI Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare La 5 noiembrie 0 domnul profesor universitar Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române,

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Editura Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 006 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

PI = { a.b.c, ac d, b cd, ab d, bd} cd

PI = { a.b.c, ac d, b cd, ab d, bd} cd Digital Logic Design: Principles and Practices ELG5195 (EACJ5705 ), Carleton CRN: 18371 Assignment #1 Question 1: a) Using iterated consensus find all the prime implicants of the following function: F(

More information

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut

More information

1. In a triangle ABC altitude from C to AB is CF= 8 units and AB has length 6 units. If M and P are midpoints of AF and BC. Find the length of PM.

1. In a triangle ABC altitude from C to AB is CF= 8 units and AB has length 6 units. If M and P are midpoints of AF and BC. Find the length of PM. 1. In a triangle ABC altitude from C to AB is CF= 8 units and AB has length 6 units. If M and P are midpoints of AF and BC. Find the length of PM. 2. Let ABCD be a cyclic quadrilateral inscribed in a circle

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information