Cercet¼ari operaţionale

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Cercet¼ari operaţionale"

Transcription

1 Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9

2 Cursul 9

3 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a Forme de prezentare a modelului matematic Clasi carea soluţiilor unei probleme de programare liniar¼a. Propriet¼aţi Metode pentru obţinerea unui program de baz¼a şi a unei baze ortonormate Algoritmul simplex Metode pentru obţinerea unui program de baz¼a iniţial Dualitatea în programarea liniar¼a Index 14 3

4 Cursul 9 4

5 Capitolul Programare liniar¼a.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a. Forme de prezentare a modelului matematic.3 Clasi carea soluţiilor unei probleme de programare liniar¼a. Propriet¼aţi.4 Metode pentru obţinerea unui program de baz¼a şi a unei baze ortonormate.5 Algoritmul simplex.6 Metode pentru obţinerea unui program de baz¼a iniţial 5

6 Cursul 9. Dualitatea în programarea liniar¼a Fiec¼arei probleme de programare liniar¼a de nit¼a în paragraful precedent îi corespunde o nou¼a problem¼a de programare liniar¼a denumit¼a duala acesteia. Putem deci vorbi de existenţa unui cuplu, primal-dual de probleme de programare liniar¼a care se poate utiliza în modelarea matematic¼a a fenomenelor economice. Am v¼azut c¼a algoritmul simplex se poate aplica doar pe forma standard a unei probleme de programare liniar¼a. Deoarece orice form¼a canonic¼a poate adus¼a la forma standard, teoria dualit¼aţii o vom expune în continuare pentru forme canonice datorit¼a simetriei şi datorit¼a faptului ( c¼a de asemenea, orice egalitate A X B A X = B se poate scrie sub forma echivalent¼a A X B Duala unei probleme de programare liniar¼a se scrie în felul urm¼ator: 1. Fiec¼arei restricţii ale problemei primale i se ataşaz¼a o variabil¼a y i, deci în problema dual¼a variabilele vor y 1 ; y ; :::; y m ;. Coe cienţii funcţiei obiectiv din problema primal¼a devin termenii liberi ai sistemului de restricţii în problema dual¼a iar termenii liberi din problema primal¼a devin coe cienţii funcţiei obiectiv în problema dual¼a; 3. Duala unei probleme de maxim va o problem¼a de minim şi invers; 4. Coe cienţii unei variabile x j devin coe cienţi ai unei restricţii în problema dual¼a, ec¼arei variabile x j din problema primal¼a corespunzându-i o restricţie din problema dual¼a. Din acest motiv, problema dual¼a va avea n restricţii iar coe cienţii acestora formeaz¼a matricea A t ; 5. Variabilelor nenegative din problema primal¼a le corespund inegalit¼aţi concordante în problema dual¼a; 6. Domeniul de variaţie al variabilelor y i ; i = 1; m se stabileşte pe baza corespondenţei dintre restricţia R i din problema primal¼a şi variabila dual¼a y i ce i se ataşeaz¼a. Acest lucru înseamn¼a c¼a restricţiilor concordante la corespund variabile nenegative y i 0, celor neconcordante variabile negative y i 0 iar restricţiilor scrise sub form¼a de egalit¼aţi le corespund variabile duale ce nu sunt supuse restricţiilor de semn. Schematic, cele spuse mai sus se pot prezenta astfel: 6

7 Cercet¼ari Operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Problema primal¼a P max [f (X)] = n c j x j 8 np I. a hj x j b h ; h I 1 np >< II. a kj x j b k ; k I np 6 III. a lj x j = b l ; l I 3 4 >: x j 0; j = 1; n P min [f (X)] = n c j x j 8 np I 0. a hj x j b h ; h I 1 >< np II 0. a kj x j b k ; k I np 6 >: III 0. a lj x j = b l ; l I 3 4 x j 0; j = 1; n unde I 1 [ I [ I 3 = f1; ; :::; mg: Tabelul.1 Problema dual¼a P min [g (Y )] = m b i y i i=1 mp a ij y i c i ; j = 1; n i=1 y h 0; h I y k 0; k I y l R; l I 3 P max [g (Y )] = m b i y i i=1 mp a ij y i c i ; j = 1; n i=1 y h 0; h I y k 0; k I y l R; l I 3 Propoziţia..1 Dac¼a problema dual¼a admite un program atunci: f (X) g (Y ) Demonstraţie: S¼a consider¼am cuplul max [f (X)] = C t X 6 4 A X B X min [g (Y )] = B t Y A t Y C Y 0 (.1) care rezult¼a din forma canonic¼a a problemei 1 din tabelul.1. Înmulţim AX B cu Y t la stânga şi A t Y C cu X t la stânga. Obţinem: Y t A X Y t B (.) X t A t Y X t C

8 Cursul 9 Dar Y t A X t = X t A t Y Y t B = Y t B t = B t Y X t C t = X t C t t = C X Avem deci: f (X) = C t X = X t C t X t A t Y t = Y t A X Y t B = B t Y = g (Y ) adic¼a f (X) g (Y ). Propoziţia.. Dac¼a problema primal¼a admite un program optim atunci şi problema dual¼a va avea un program Y 0 dat de relaţia: Y t 0 = C t b b 1 Demonstraţie: Fie cuplul din relaţia (.1). Consider¼am c¼a problema primal¼a este nedegenerat¼a şi are program nit, adic¼a are un program de baz¼a optim care cuprinde exact m componente nenule ale variabilelor. Presupunem, pentru exempli care, c¼a primele m variabile au valori diferite de zero în programul de baz¼a optim al problemei primale, deci ele vor satisface sistemul: A X 0 B; X 0 = x 0 1; x 0 ; :::; x 0 m; 0; :::; 0 t Acesta este echivalent cu sistemul: 8 a 11 x 0 1 >< + a 1x 0 + ::: + a 1mx 0 m b 1 a 1 x a x 0 + ::: + a mx 0 m b ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: >: a m1 x a mx 0 + ::: + a mmx 0 m b m (.3) Dac¼a not¼am cu b matricea format¼a din componentele vectorilor coloan¼a ai matricei A : a 1 ; a ; :::; a m, atunci sistemul (.3) este echivalent cu: b X 0 B 8

9 Cercet¼ari Operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Condiţia de program optim este dat¼a de relaţia: 0 1 c j z j 0, z j c j 0, z j c j z c :::::: C A 0, Ct b b 1 A C t 0 (.4) z m c m unde b 1 A reprezint¼a matricea coe cienţilor tabelului simplex nal iar Cb t vectorul linie al coe cienţilor variabilelor care formeaz¼a baza optim¼a. Vom demonstra c¼a şi problema dual¼a are un program corespunz¼ator bazei b. Presupunem în acest scop c¼a vectorul Y0 t = y0 1 ; y0 ; :::; m y0 se determin¼a din relaţia: Y0 t = Cb t b 1 (.5) Introducem (.5) în (.4) şi obţinem Y0 t A Ct 0 de unde rezult¼a c¼a Y0 t A C t, A t Y0 t C. Deoarece vectorul Y 0 satisface condiţiile problemei duale rezult¼a c¼a el reprezint¼a un program pentru aceasta. Teorema..3 (Teorema dualit¼aţii) Într-un cuplu de probeme primal¼a-dual¼a poate ap¼area una din urm¼atoarele situaţii: a. Una din probleme are program nit, atunci şi cealalt¼a problem¼a are program iar valorile extreme ale funcţiilor obiectiv sunt egale; b. Una din probleme are optim in nit şi cealalt¼a problem¼a nu are soluţie; c. Nici una dintre probleme nu are soluţie. Demonstraţie: Vom demonstra teorema pentru cuplul din relaţia (.1) a) Pentru a demonstra prima a rmaţie a teoremei dualit¼aţii, în cazul cuplului ales, trebuie s¼a ar¼at¼am c¼a: 1. Dac¼a probema primal¼a admite un program nit, probema dual¼a admite şi ea un program;. Maximul funcţiei obiectiv al probemei primale este egal cu minimul funcţiei obiectiv al probemei duale. Conform propriet¼aţii.. vectorul Y t 0 = C t b b 1 satisface condiţiile problemei duale, deci reprezint¼a o soluţie pentru aceasta. O baz¼a b a probemei primale se numeşte dual realizabil¼a dac¼a vectorul Yb t = Ct b b 1 este o soluţie a probemei duale, deci dac¼a A t Yb t C. 9

10 Cursul 9 R¼amâne s¼a demonstr¼am c¼a Y 0 este soluţia optim¼a a probemei duale. Pentru aceasta vom considera Y un vector oarecare din R m care satisface restricţiile A t Y t C şi Y 0 şi e X R n, oarecare, ce satisface condiţiile: A X B şi X 0 Înmulţim la dreapta cu X sistemul Y t A C t şi obţinem: Y t A X C t X = f(x) (.6) Sistemul (.6) este satisf¼acut şi de A X = B deoarece B este limita maxim¼a, deci: Y t B C t X Înlocuind vectorul X cu vectorul soluţiei optime X 0 al problemei iniţiale rezult¼a: Y t B C t b X0 = max [f (X)] (.) ceea ce înseamn¼a c¼a valoarea funcţiei obiectiv a problemei duale g (Y ) = Y t B, corespunz¼atoare oric¼arei soluţii a sistemului s¼au de inecuaţii este cel puţin egal¼a cu valoarea maxim¼a a funcţiei obiectiv a problemei primale. Dac¼a în relaţia (.) înlocuim vectorul Y t cu Y0 t ajungem la expresia: Y t 0 B C t b b 1 B C t b X0 = max [f (X)] de unde, ţinând cont c¼a b 1 B = X 0 rezult¼a: Y t 0 B = C t b X0 (.8) Prin urmare, Y0 t este soluţia optim¼a a problemei duale, iar valoarea funcţiei obiectiv corespunz¼atoare acestei soluţii este dat¼a de relaţia (.8), deci putem scrie: min g (Y ) = max [f (X)] b) Se poate demonstra cu uşurinţ¼a c¼a dac¼a funcţia obiectiv a problemei primale este in nit¼a, adic¼a: max [f (X)] = 1 atunci problema dual¼a nu are soluţie, în acest caz relaţia (.) devenind: Y t B C t b X0 = max [f (X)] = 1 (.9) Aceasta înseamn¼a c¼a orice soluţie Y a sistemului A t Y C trebuie s¼a corespund¼a unei valori a funcţiei obiectiv g (Y ) cel puţin egal¼a cu 1. Întrucât relaţia (.9) nu are sens rezult¼a c¼a problema dual¼a nu are soluţie. c) Este evident din a) şi b). 10

11 Cercet¼ari Operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Observaţia..4 Tabelul simplex nal corespunz¼ator problemei primale conţine atât soluţia optim¼a a problemei primale cât şi a problemei duale. Soluţia problemei primale X 0 se obţine pe coloana vectorului x E, iar soluţia problemei duale Y0 t = Ct b b 1 se obţine pe linia lui z j, la intersecţia cu coloanele vectorilor care au format baza iniţial¼a. Teorema..5 (Teorema ecarturilor complementare) Condiţia necesar¼a şi su cient¼a pentru ca un cuplu de soluţii admisibile de baz¼a X 0 şi Y 0 s¼a e optim este ca soluţiile s¼a veri ce simultan condiţiile: y 0 i " c j # np a ij x 0 j b i = 0; i = 1; m (.10) mp yi 0 a ij x 0j = 0; j = 1; n i=1 Aceste condiţii se scriu sub form¼a matriceal¼a astfel: Y t 0 A X 0 B = 0 (C t 0 Y t 0 A) X0 = 0 (.11) Din relaţiile (.10) se pot trage urm¼atoarele concluzii: 1. Dac¼a yi 0 > 0 atunci np a ij x 0 j = b i, adic¼a variabila dual¼a corespunz¼atoare unei resurse utilizate în întregime are o valoare pozitiv¼a; P. Dac¼a n a ij x 0 j < b i atunci yi 0 = 0, adic¼a dac¼a resursa i nu este utilizat¼a în întregime y 0 i = 0 ; 3. Dac¼a x 0 j > 0 atunci P m yi 0a ij = c j, adic¼a dac¼a costul unitar al activit¼aţii c j, i=1 obţinut prin evaluarea consumurilor speci ce a ij cu ajutorul componentelor soluţiei optime a problemei duale este egal cu coe cientul c j din funcţia obiectiv atunci componentele x 0 j > 0 ; P 4. Dac¼a m yi 0 a ij > c j atunci x 0 j = 0, adic¼a dac¼a costul unitar este mai mare i=1 decât c j atunci nu este e cient s¼a includem în programul optim activitatea j, ca urmare x 0 j = 0. 11

12 Cursul 9 Exemplul..6 O societate economic¼a ce fabric¼a produsele P 1 ; P ; P 3 utilizeaz¼a pentru producerea lor trei resurse: forţa de munc¼a, mijloacele de munc¼a şi materii prime. În tabelul de mai jos se dau consumurile speci ce şi cantit¼aţile disponibile de resurse precum şi preţurile de vânzare ale produselor. Tabelul. Disponibil ResursenUtiliz¼ari P 1 P P 3 (unit¼aţi zice) Forţa de munc¼a Mijloace de munc¼a Materii prime Preţ de vânzare (unit¼aţi monetare) Soluţie: Modelul matematic pe baza c¼aruia se stabileşte programul optim de producţie având drept criteriu de e cienţ¼a valoarea maxim¼a a producţiei va avea forma: max 8 [f (X)] = 9x 1 + 6x + 1x 3 >< 3x 1 + 9x + 1x x x + 3x 3 30 >: 1x 1 + 3x + 6x 3 5 x 1 ; x ; x 3 0 Problema dual¼a a acestei probleme de programare liniar¼a va : 30 5 min 8 [g (Y )] = 45y y + 5y 3 >< 3y 1 + 6y + 1y 3 9 9y y + 3y 3 6 >: 1y 1 + 3y + 6y 3 1 y 1 ; y ; y 3 0 Soluţia optim¼a a problemei primale este prezentat¼a în tabelul simplex nal.3. Dup¼a cum s-a ar¼atat, prin rezolvarea uneia dintre problemele cuplului primal¼adual¼a, se obţin soluţiile ambelor probleme. În cazul exemplului de mai înainte soluţia optim¼a a problemei duale se citeşte pe linia z j la intersecţia cu coloanele vectorilor e 1 ; e ; e 3 care au format baza iniţial¼a, deci: y 0 1 = 5 ; y0 = 8 ; y0 3 = 0: 1

13 Cercet¼ari Operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Este uşor de veri cat c¼a Y t 0 = Ct b b 1. Coord: bazei Baza E x E 9 x 1 # 6 1 # x x 3 Tabelul e 1 e e 3 0 e e e Z j c j z j x e e Z j c j z j x x e Z j c j z j Pe baza rezultatelor obţinute se veri c¼a imediat c¼a: max [f (X)] = min [g (Y )] max [f (X)] = = 465 min [g (Y )] = = 13

14 Exemplul.. Duala problemei: Cursul 9 max [f (X)] = x 1 + 3x + 4x 8 3 x 1 + x + x 3 6 >< x 1 + 3x + x 3 = 8 x 1 + x + 4x >: 4 x 3 1 x 1 0; x 0; x 3 oarecare va : min 8 [g (Y )] = 6y 1 + 8y + 10y 3 + y 4 >< y 1 + y + y 3 y 1 + 3y + y >: 4 y 1 + y + 4y 3 + y 4 4 y 1 0; y oarecare, y 3 0; y 4 0 Analizând modelul de mai sus se constat¼a c¼a variabila y 1 0 deoarece în problema primal¼a prima restricţie este concordant¼a, y oarecare deoarece în problema primal¼a a doua restricţie este o ecuaţie, y 3 0; y 4 0 deoarece în problema primal¼a restricţiile trei şi patru sunt neconcordante. 14

15 Index Baza dual realizabila, 9 Problema duala, 6 15

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Metode clasice. Camelia Chira.

Metode clasice. Camelia Chira. Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate

More information

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE STUDIES ON THE EXPONENTIAL MAPPING AND GEOMETRIC MECHANICS Ph.D. Thesis Summary Professor DORIN ANDRICA, Ph.D. Ph.D. Student:

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

TEZA DE DOCTORAT. probleme de optimizare infinit dimensionale

TEZA DE DOCTORAT. probleme de optimizare infinit dimensionale Academia Română Institutul de matematică Simion Stoilow TEZA DE DOCTORAT rezumat Aplicaţii ale dualităţii în unele probleme de optimizare infinit dimensionale Coordonator ştiinţific: CS I dr. Dan Tiba

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 Structura Ce este programarea dinamică? Aplicație: problema discretă a rucsacului Funcții de memorie (memoizare) Aplicație: înmulțirea optimală

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01 Modelare si control predictiv - proiect - Controlul predictiv bazat pe modele intrare-stare-iesire Asist. ing. Constantin Florin Caruntu 23:01 Cuprins Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire

More information

1 Generarea suprafeţelor

1 Generarea suprafeţelor Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Alocarea resurselor radio in cadrul retelelor GSM/GPRS este importanta intrucat acestea sunt proiectate sa transmita trafic mixt: oce ate:

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage)

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) Clustering 0. 1. Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) CMU, 2012 fall, Tom Mitchell, Ziv Bar-Joseph, HW4, pr. 2.a extended by Liviu

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Aprilie 208 ii Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 9 Variabile aleatoare discrete Texas Holdem Poker: In Texas Hold em Poker

More information

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea Babeş-Bolyai Erika Nagy Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale cu aplicaţii Rezumatul

More information

Prelegerea 7. Sistemul de criptare AES. 7.1 Istoric

Prelegerea 7. Sistemul de criptare AES. 7.1 Istoric Prelegerea 7 Sistemul de criptare AES 7.1 Istoric La sfârşitul anilor 90 se decide înlocuirea sistemului de criptare DES. Motivele sunt multiple, dar menţionăm numai două: În iulie 1998 sistemul DES pe

More information

THE METROLOGY OF OPTICAL FIBRE LOSSES

THE METROLOGY OF OPTICAL FIBRE LOSSES U. P. B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss. 3, 009 ISSN 3-707 THE METROLOGY OF OPTICAL FIBRE LOSSES Sorin GHINOIU, Niculae N. PUŞCAŞ În aceastǎ lucrare sunt prezentate şi analizate din punct de vedere

More information

Arhivele Electronice Los Alamos ELEMENTE DE MECANICĂ HARET C. ROSU

Arhivele Electronice Los Alamos   ELEMENTE DE MECANICĂ HARET C. ROSU Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106 ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ HARET C. ROSU e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx fax: 0052-47187611 phone: 0052-47183089 h/2π 1 Pentru toţi cei

More information

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

Perturbări stochastice ale unor structuri sub-riemanniene

Perturbări stochastice ale unor structuri sub-riemanniene UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE ŞTIINŢE APLICATE DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ - INFORMATICĂ Rezumat Teză de Doctorat Perturbări stochastice ale unor structuri sub-riemanniene Autor:

More information

COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS

COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS COMPARATIVE STUDY OF STRUCTURAL ANALYSIS APPLIED TO AGRICULTURAL MACHINES BODIES AND ACCOMPLISHED WITH SOLID WORKS AND AUTODESK INVENTOR PROGRAMS / STUDIU COMPARATIV DE ANALIZA STRUCTURALA APLICATA LA

More information

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un

More information

Arhivele Electronice Los Alamos arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000

Arhivele Electronice Los Alamos  arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 arxiv:physics/0003106v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106 ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ HARET C. ROSU e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx fax: 0052-47187611

More information

Counties of Romania List

Counties of Romania List O P A Romanian PSK Award eria de diplome Romanian PSK Award a fost conceputa de clubul European de PSK (EPC) la data de 22 mai 009. Scopul fiind de a stimula activitatea PSK cu statii de radioamatori din

More information

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.

More information

Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances

Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances Authors: Daniela SCHOPPMEYER- PhD Student, ASE Bucharest Dan CECHIN-CRISTEA, PhD, Allianz- Tiriac Asigurari Abstract In this paper we will

More information

FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ

FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELENA-IULIA STOICA FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC PROF.

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXI(CX) Nr. / 03 ANIVERSĂRI Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare La 5 noiembrie 0 domnul profesor universitar Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române,

More information

ON THE ANALYSIS OF RECURRENCE CHARACTERISTICS OF VARIABLE ACTIONS

ON THE ANALYSIS OF RECURRENCE CHARACTERISTICS OF VARIABLE ACTIONS ON THE ANALYSIS O RECURRENCE CHARACTERISTICS O VARIABLE ACTIONS Horea SANDI *) ABSTRACT The paper is devoted to some methodological problems raised by the analysis of hazards due to variable actions having

More information

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 70, No. 3, 008 ISSN 454-34 ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS Mihaela Florentina MATEI Analiza dispersiei, ANOVA, reprezintă una din metodele statistice, dintre cele mai

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES

AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN 1454-2358 AN APPROACH TO THE NONLINEAR LOCAL PROBLEMS IN MECHANICAL STRUCTURES Marius-Alexandru GROZEA 1, Anton HADĂR 2 Acest articol prezintă o

More information

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

Decision Trees Some exercises

Decision Trees Some exercises Decision Trees Some exercises 0. . Exemplifying how to compute information gains and how to work with decision stumps CMU, 03 fall, W. Cohen E. Xing, Sample questions, pr. 4 . Timmy wants to know how to

More information

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune

More information

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz First Day January 13, 015) Problems Problem 1. Each point with

More information

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste

More information

Raport stiintific sintetic. privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013

Raport stiintific sintetic. privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013 Raport stiintific sintetic privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013 Titlul proiectului: Algebre Hopf si teme inrudite, contract 88/05.10.2011. Director: prof. dr. Gigel

More information

TEZĂ DE DOCTORAT. Metode numerice în studiul comportamentului ireversibil al materialelor elasto-plastice

TEZĂ DE DOCTORAT. Metode numerice în studiul comportamentului ireversibil al materialelor elasto-plastice MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ TEZĂ DE DOCTORAT Metode numerice în studiul comportamentului ireversibil al materialelor elasto-plastice

More information