SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE"

Transcription

1 SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1

2 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5.

3 Cuprins T Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete 5.4 Distribuţia binomială 5.5 Distribuţia binomială negativă 5.6 Distribuţia geometrică 5.7 Distribuţia hipergeometrică 5.8 Distribuţia Poisson

4 5.1 Variabile aleatoare discrete (1) T5.4 Atunci când efectuăm un experiment, ne interesează evenimente pe care le cuantificăm prin valori numerice, adică realizăm experimentul şi înregistrăm valorile numerice ale uneia sau mai multor variabile statistice Dacă repetăm experimentul aleator de n ori, şi numărăm evenimentele apărute pentru o anumită variabilă statistică, obţinem o mulţime de date cantitative discrete, iar variabila statistică va fi o variabilă aleatoare.

5 5.1 Variabile aleatoare discrete () Definiţia 5.1: O variabilă aleatoare este o funcţie cu valori numerice, definită pe un spaţiu de eşantionare T5.5 En: random variable Dacă valorile variabilei sunt din mulţimea numerelor naturale N = {0, 1,,, n, } sau altă mulţime numărabilă, atunci variabila aleatoare va fi discretă

6 5.1 Variabile aleatoare discrete (3) Definiţia 5.: O variabilă aleatoare discretă este o variabilă aleatoare care ia valori într-o mulţime numărabilă T5.6 En: discrete random variable Numărul x de produse defective într-un eşantion de n produse, extras dintr-un lot de m produse (n m), în care x = 0,1,,...,n este un exemplu de variabilă aleatoare discretă

7 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (1) Deoarece valorile pe care le poate lua o variabilă aleatoare x sunt numerice, vom putea să calculăm probabilităţile acestora Definiţia 5.3: Distribuţia de probabilitate pentru o variabilă aleatoare discretă x este un tabel, un grafic sau o formulă care ne furnizează probabilitatea p(x) asociată fiecărei valori a lui x. T5.7 En: probability distribution

8 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete () Exemplul 5.1 Se consideră experimentul aruncării a două monede, înregistrându-se numărul de coroane C. Să se determine distribuţia de probabilitate a acestei variabile aleatoare discrete. Rezolvare: Notăm cu x apariţia coroanei sau a C pe o faţă a monedei. Aruncarea celor două monede va conduce la apariţia unui rezultat de forma R 1 R, unde R R B, C 1, Descrierea experimentului este redată în tabelul următor. T5.8

9 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (3) Evenimentul Descriere Probabilitatea simplu E i P(E i ) Numărul de C E 1 C 1 C 1/4 E C 1 B 1/4 1 E 3 B 1 C 1/4 1 E 4 B 1 B 1/4 0 x T5.9 Probabilitatea ca x să ia valoarea 0 este: P x 0 p0 PE Evenimentul x = 1 conţine pe E şi E 3. Avem P x p1 PE PE

10 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (4) Probabilitatea ca x să ia valoarea este: P x p PE Distribuţia de probabilitate p(x) este redată într-o formă tabelară în tabelul următor şi într-o formă grafică, printr-o histogramă, în Figura 5.1 x p(x) 0 1/4 1 1/ 1/4 T5.10

11 p(x) 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (5) 3/4 1/ 1/ x Figura 5.1 Distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5.1 T5.11

12 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (6) T5.1 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x trebuie să satisfacă următoarele cerinţe: [1] Probabilitatea fiecărei valori a lui x trebuie să fie cuprinsă între 0 şi 1, adică 0 px1, x [] Suma probabilităţilor pentru toate valorile lui x trebuie să fie 1, adică: x p x 1

13 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (7) Exemplul 5. Se consideră experimentul aruncării unui zar, înregistrându-se valoarea numerică a feţei apărute. Să se determine distribuţia de probabilitate a acestei variabile aleatoare discrete. Rezolvare: Distribuţia de probabilitate p(x) este redată în tabelul următor şi în Figura 5. x p(x) x p(x) 1 1/6 4 1/6 1/6 5 1/6 3 1/6 6 1/6 T5.13 S x = 1

14 p(x) 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (8) 1/ x Figura 5. Distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5. T5.14

15 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (7) Fie distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x, x = 0,1,,...,m şi p(0), p(1),..., p(m) probabilităţile corespunzătoare. Atunci funcţia p(x) este: p x Prob x k, 0 k m şi se numeşte distribuţie de probabilitate sau funcţie de probabilitate de masă T5.15

16 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (8) Graficul distribuţiei de probabilitate discrete sau funcţiei de probabilitate de masă se obţine din reprezentarea valorilor x şi p(x). Reprezentarea grafică a distribuţiei de probabilitate sau funcţiei de probabilitate de masă sub forma unei histograme este redată în Figura 5.3. T5.16

17 p (x ) 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (8) x T5.17 Figura 5.3 Graficul distribuţiei de probabilitate pentru o variabilă aleatoare discretă

18 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (9) Funcţia F x Probx k px, 0 k m se numeşte distribuţie de probabilitate cumulativă sau funcţie de repartiţie Conform relaţiei de complementaritate: Prob k x0 x k1 Probx k1 px k i0 T5.18

19 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (10) Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative discrete sau a funcţiei de repartiţie se obţine din reprezentarea valorilor x şi a valorilor cumulate ale p(x). Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative sau funcţiei de repartiţie, reprezentat sub forma unui grafic în scară (discontinuu), este redat în Figura 5.4. T5.19

20 pcum(x) 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (11) x T5.0 Figura 5.4 Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative pentru o variabilă aleatoare discretă

21 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (1) Exemplul 5.3 Pentru Exemplul 5., să se determine, cu ajutorul relaţiilor anterioare, probabilităţile: (a) Prob {x 3}; (b) Prob {x > 3}. Rezolvare: (a) Prob x 3 px 3 i1 p(1) p() p(3) T5.1 (b) Prob x 3 1 Probx

22 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (13) Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x furnizează un model pentru populaţia de valori a lui x şi pentru distribuţia frecvenţei relative a populaţiei descrisă de variabila aleatoare x Vom putea descrie atunci distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x prin măsuri numerice, cum sunt media, dispersia sau abaterea standard T5.

23 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (1) Definiţia 5.4: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x). Valoarea medie (sau valoarea aşteptată) a lui x este, prin definiţie, x M x p( x) x T5.3 En: (Population) Expected value, Mean o Valoarea medie este de fapt media ponderată a valorilor lui x, ponderile fiind probabilităţile corespunzătoare

24 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete () Definiţia 5.5: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x). Dispersia (sau varianţa) lui x este, prin definiţie, sau M x D x x x p( x) D x x x p( x) T5.4 En: (Population) Variance

25 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (3) Definiţia 5.6: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x). Abaterea standard a lui x este, prin definiţie, rădăcina pătrată a dispersiei, adică x p( x) x En: (Population) Standard deviation T5.5

26 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (4) Exemplul 5.4 Să se determine (a) valoarea medie, (b) dispersia şi (c) abaterea standard a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5. Rezolvare: (a) Valoarea medie este: M x ,5 6 6 i1 x p( i x i 3 ) T5.6

27 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (5) T5.7 (a) Dispersia este: D 6 x x i1 1 3,5 3,5 3 3,5 4 3,5 5 3,5 6 3,5, (c) Abaterea standard rezultă: p( i x i,9166 1,71 )

28 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (5) Propoziţia 5.1: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x) şi fie c o constantă reală. Au loc următoarele proprietăţi ale valorii medii: 1. M c c. 3. M x c M x c M x M cx c T5.8

29 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (7) Propoziţia 5.: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x) şi fie c o constantă reală. Au loc următoarele proprietăţi ale dispersiei: c Dx c Dx D c D x D cx T5.9

30 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (8) Exemplul 5.5 Relaţia de calcul a profitului este: Profit = (p cv) V cf unde: V = vânzările dintr-un anumit produs (buc.) p = preţ de vânzare / unitatea de produs cv = cheltuieli variabile / unitatea de produs cf = cheltuieli fixe / perioadă Considerând p, cv şi cf constante, să se determine: (a) Valoarea medie a profitului; (b) Dispersia profitului. T5.30

31 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (9) Rezolvare: (a) Pentru valoarea medie avem: M ( p cv) V cf M ( p cv) V M cf ( p cv) M V (b) Pentru dispersie obţinem succesiv: D ( p cv) V cf D( p cv) V Dcf ( p cv) DV 0 0 T5.31

32 5.4 Distribuţia binomială (1) Multe experimente reale sunt analoge experimentului aruncării monedelor Sondajele opiniei publice sau ale preferinţelor consumatorilor, atunci când acestea sunt de tipul DA / NU, sunt similare experimentului aruncării unei monede Acest tip de experimente sunt particularizări ale variabilelor aleatoare binomiale T5.3

33 5.4 Distribuţia binomială () Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare binomială [1] Experimentul constă în n încercări identice [] Sunt posibile numai două rezultate ale fiecărei încercări: S succes F - insucces [3] Probabilitatea lui S este p şi rămâne aceeaşi la fiecare încercare. Probabilitatea lui F este q şi avem p + q = 1. T5.33

34 5.4 Distribuţia binomială (3) Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare binomială (continuare) [4] Încercările sunt independente [5] Variabila aleatoare binomială x este numărul de succese (S) în n încercări. Vom defini în continuare distribuţia de probabilitate binomială, precum şi media şi dispersia variabilei aleatoare binomiale T5.34

35 5.4 Distribuţia binomială (4) T5.35 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare binomiale Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare binomială x este unde: p x x x nx C p q, x 0,1,,..., n n p = probabilitatea de succes într-o singură încercare q = 1 p n = numărul de încercări x = numărul de succese S în n încercări

36 5.4 Distribuţia binomială (5) Media şi dispersia unei variabile aleatoare binomiale Media pentru o variabilă aleatoare binomială x este n Dispersia pentru o variabilă aleatoare binomială x este n p pq T5.36

37 5.4 Distribuţia binomială (6) T5.37 Exemplul 5.5 Testele pentru calitatea apei potabile într-un anumit judeţ, au pus în evidenţă faptul că 30% din sursele individuale conţin o anumită substanţă A, care nu este bună pentru consum. Dacă este ales în mod aleator de 5 surse din judeţul respectiv, care este probabilitatea ca: (a) Exact 3 surse să conţină substanţa A; (b) Cel puţin 3 surse să conţină substanţa A; (c) Mai puţin de 3 surse să conţină substanţa A. Rezolvare: Să confirmăm mai întâi că avem un experiment binomial. Experimentul constă în n = 5 încercări, fiecare corespunzătoare unei surse alese în mod aleator.

38 5.4 Distribuţia binomială (7) T5.38 Rezultatele fiecărei încercări (en: trial) constau dintrun succes S (sursa conţine substanţa A) sau dintrun insucces F (sursa nu conţine A). Deoarece numărul de surse de apă individuale este relativ mare, probabilitatea alegerii unei surse care conţine substanţa A o considerăm egală cu 0,3 pentru toate cele 5 surse selectate aleator. Eşantionarea fiind aleatoare, încercările sunt independente. Ne interesează numărul x de surse care conţin substanţa A, dintr-un eşantion de n = 5. Suntem deci în condiţiile unui experiment binomial, cu n = 5 şi p = 0,3, q = 1 0,3 = 0,7.

39 5.4 Distribuţia binomială (8) (a) Probabilitatea ca exact 3 surse să conţină substanţa A este: Prob 5! 3!! x 3 p3 C p q 0,3 0,7 0, (b) Probabilitatea ca cel puţin 3 surse să conţină substanţa A este: Prob C 3 5 x 3 p3 p4 p5 p 3 q 53 C 4 5 p 4 54 C ,1330 0,0835 0,0043 q p q 0,16308 T5.39

40 5.4 Distribuţia binomială (9) (c) Probabilitatea ca mai puţin de 3 surse să conţină substanţa A este: Prob C 0 5 Vom calcula această însă această probabilitate mai uşor cu ajutorul relaţiei de complementaritate: Prob x 3 Probx p0 p1 p p 0 q 50 C 1 5 p 1 q 51 C 5 p 5 x 3 1 Prob x 3 10, , 8369 q T5.40

41 5.4 Distribuţia binomială (10) Pentru calculul valorilor distribuţiei binomiale se poate folosi funcţia statistică din Excel BINOMDIST(x 0 ; n; p; 0/1) unde 0 sau FALSE se utilizează pentru calculul Prob{x = x 0 }, iar 1 sau TRUE pentru calculul sumei Prob{x x 0 }. Avem, pentru Exemplul 5.5: BINOMDIST(3; 5; 0,3; 0) = 0,133 BINOMDIST(; 5; 0,3; 1) = 0,8369 T5.41

42 5.4 Distribuţia binomială (11) Pentru calculul valorilor distribuţiei binomiale se pot folosi tabelele din manualele de statistică, care conţin valorile Prob x k px x0 Cu ajutorul lor putem calcula şi valorile: Prob x k1 Prob x k k T5.4 Prob x k Prob x k Prob x k 1

43 5.4 Distribuţia binomială (1) Exemplul 5.6 Să se determine probabilităţile din Exemplul 5.5, utilizând tabelul distribuţiei binomiale pentru n = 5 de mai jos. x 0,01 0,10 0,0 0,30 0,40 0, , , , p T5.43

44 5.4 Distribuţia binomială (13) T5.44 (a) Probabilitatea ca exact 3 surse să conţină substanţa A este: Prob x 3 Prob x 3 Prob x 0,969 0,8369 0,133 (b) Probabilitatea ca cel puţin 3 surse să conţină substanţa A este: Prob x 3 1 Prob x 3 1 Prob x 1 0,8369 0,1631 (b) Probabilitatea ca mai puţin 3 surse să conţină substanţa A este : Prob x 3 Prob x 0, 8369

45 5.4 Distribuţia binomială (14) Exemplul 5.7 (a) Să se determine media, dispersia şi abaterea standard pentru o variabilă aleatoare binomială cu n = 1 şi p = 0,6; (b) Să se construiască intervalul şi să se calculeze probabilitatea Prob x utilizând tabelul distribuţiei binomiale; (c) Să se reprezinte grafic distribuţia şi distribuţia cumulativă. ; T5.45

46 5.4 Distribuţia binomială (15) Rezolvare: Avem n = 1, p = 0,6 şi q = 1 0,6 = 0,4 (a) Media, dispersia şi abaterea standard sunt: n p 10,6 7, n pq 10,6 0,4,88 n pq,88 1,6971 T5.46 (b) Intervalul este: ; 7, 1,6971;7, 1,6971 3,806;10,594

47 5.4 Distribuţia binomială (16) Rezolvare: Probabilitatea este: Prob x Prob3,806 x 10,594 T5.47 Pentru a determina probabilitatea, utilizăm tabelul distribuţiei binomiale cumulate cu n = 1 şi p = 0,6 redat în continuare. Obţinem: Prob Prob Prob x 10,594 x 10,594 Probx 3,806 x 10 Probx 3 0,9804 0,0153 0, ,806

48 5.4 Distribuţia binomială (17) T5.48 p x

49 5.4 Distribuţia binomială (18) Pentru a reprezenta grafic distribuţia binomială, utilizăm tabelul alăturat, obţinut din tabelul anterior, în care p(x) = F(x+1) F(x) Graficele rezultate sunt redate în Figura 5.5 şi Figura 5.6 x p(x) F(x) T

50 5.4 Distribuţia binomială (19) Distribuţia binomială (n= 1; p=0,6) T5.50 Figura 5.5 Graficul distribuţiei de probabilitate binomiale (Exemplul 5.7)

51 5.4 Distribuţia binomială (0) Distribuţia binomială cumulativă (n= 1; p=0,6) T5.51 Figura 5.6 Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative binomiale (Exemplul 5.7)

52 5.5 Distribuţia binomială negativă (1) Să considerăm o serie de încercări identice cu cele din experimentele binomiale şi fie x numărul de insuccese observate până la al r-lea succes. Distribuţia de probabilitate a acestei variabile aleatoare se numeşte distribuţie binomială negativă T5.5

53 5.5 Distribuţia binomială negativă () T5.53 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare binomiale negative Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare binomială negativă x este x r x p x C p q, x 0,1, 1 unde:,... xr p = probabilitatea de succes într-o singură încercare q = 1 p x = numărul de insuccese observate până la cel de-al r-lea succes

54 5.5 Distribuţia binomială negativă (3) Media şi dispersia unei variabile aleatoare binomiale negative Media pentru o variabilă aleatoare binomială negativă x este r q Dispersia pentru o variabilă aleatoare binomială negativă x este r q p p T5.54

55 5.5 Distribuţia binomială negativă (4) T5.55 O formă modificată a distribuţiei binomiale negative poate fi utilizată ca model pentru durata de apariţie a unui anumit eveniment (de exemplu, durata de aşteptare pentru efectuarea unui serviciu) Fiecare unitate de timp reprezintă o încercare în care apare un succes S sau insucces F. Dacă notăm cu w numărul de încercări până la observarea celui de-al r- lea succes, avem x de F, r de S şi w = x + r

56 5.5 Distribuţia binomială negativă (5) T5.56 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare binomiale negative modificate Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare binomială negativă modificată w este unde: p wr r wr x C p q, w r, r 1,... w1 p = probabilitatea de succes într-o singură încercare q = 1 p w = numărul de încercări observate până la cel de-al r-lea succes

57 5.5 Distribuţia binomială negativă (6) Media şi dispersia unei variabile aleatoare binomiale negative modificate Media pentru o variabilă aleatoare binomială negativă modificată w este Dispersia pentru o variabilă aleatoare binomială negativă modificată w este r p r q p T5.57

58 5.6 Distribuţia geometrică (1) Distribuţia de probabilitate negativă şi distribuţia lui w = x + r sunt funcţii de doi parametri, p şi r Pentru cazul r = 1 distribuţia de probabilitate a lui w se numeşte distribuţie de probabilitate geometrică T5.58

59 5.6 Distribuţia geometrică () T5.59 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare geometrice Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare geometrice w este unde: p = probabilitatea de succes într-o singură încercare q = 1 p p w x pq 1, w 1,,... w = numărul de încercări observate până la primul succes

60 5.6 Distribuţia geometrică (3) Media şi dispersia unei variabile aleatoare geometrice Media pentru o variabilă aleatoare geometrică w este 1 Dispersia pentru o variabilă aleatoare geometrică w este q p p T5.60

61 5.7 Distribuţia hipergeometrică (1) T5.61 Atunci când extragem un eşantion dintr-o populaţie finită, condiţiile unui experiment binomial sunt satisfăcute numai dacă rezultatul fiecărei încercări (succes S sau insucces F) este înregistrat şi apoi eşantionul reintrodus în populaţia respectivă, înainte de efectuarea următoarei încercări Această metodă de eşantionare se numeşte eşantionare cu reintroducere

62 5.7 Distribuţia hipergeometrică () Totuşi, în practică se utilizează adeseori şi metoda de eşantionare fără reintroducere, care constă în alegerea aleatoare a n elemente din cele N elemente ale populaţiei, fără a le reintroduce între elementele populaţiei respective. Distribuţia discretă care modelează acest tip de experiment se numeşte distribuţie de probabilitate hipergeometrică T5.6

63 5.7 Distribuţia hipergeometrică (3) Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare hipergeometrică [1] Experimentul constă în extragerea aleatoare a n elemente fără reintroducere dintr-o populaţie cu N elemente, din care r sunt succese (S) şi n r sunt insuccese (F) [] Variabila aleatoare hipergeometrică x este numărul de succese din cele n elemente extrase T5.63

64 5.7 Distribuţia hipergeometrică (4) Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare hipergeometrice Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare hipergeometrică x este unde: p x C x r C nx Nr N = numărul total de elemente al populaţiei r = numărul de succese (S) în N elemente n = numărul de elemente extrase x = numărul de succese (S) în n elemente C n N T5.64

65 5.7 Distribuţia hipergeometrică (5) Media şi dispersia unei variabile aleatoare hipergeometrice Media pentru o variabilă aleatoare hipergeometrică x este nr Dispersia pentru o variabilă aleatoare hipergeometrică x este N r 1 N r n N n N N T5.65

66 5.8 Distribuţia Poisson (1) T5.66 Distribuţia Poisson (după numele matematicianului francez S. D. Poisson) oferă un model pentru frecvenţa relativă a numărului de evenimente rare care apar într-o unitate de timp, arie, volum etc. Distribuţia Poisson se utilizează mai ales în modelarea fenomenelor de aşteptare, denumite cozi sau şiruri de aşteptare ( aşteptarea la case de marcat, la un service auto, la urgenţă, la semafor etc.)

67 5.8 Distribuţia Poisson () T5.67 Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare Poisson [1] Experimentul constă în înregistrarea numărului x de apariţii ale unui eveniment într-o unitate dată de timp (de volum, de arie, de greutate, de distanţă sau orice altă unitate de măsură) [] Probabilitatea ca evenimentul să apară într-o unitate dată de timp (de volum, de arie etc.) este aceeaşi pentru toate unităţile

68 5.8 Distribuţia Poisson (3) Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare Poisson (continuare) [3] Numărul de evenimente care apar într-o unitate dată de timp (de volum, de arie etc.) este independent de numărul de evenimente care apar în celelalte unităţi T5.68

69 5.8 Distribuţia Poisson (4) Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare Poisson Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare Poisson x este unde: p l = media numărului de evenimente într-o anumită perioadă de timp e =, x l x l e x!, x 0,1,,... T5.69

70 5.8 Distribuţia Poisson (5) Media şi dispersia unei variabile aleatoare Poisson Media pentru o variabilă aleatoare Poisson x este l Dispersia pentru o variabilă aleatoare Poisson x este l T5.70

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Aprilie 208 ii Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 9 Variabile aleatoare discrete Texas Holdem Poker: In Texas Hold em Poker

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Siguranţa structurilor la acţiuni seismice şi climatice

Siguranţa structurilor la acţiuni seismice şi climatice Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti Facultatea de Construcţii Civile, Industriale şi Agricole Catedra de Constructii de Beton Armat Grinda b.a., 5 ani expunere, VQ,an =,6 6. Indice de fiabilitate,

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Curs 6. Discrete Event Simulation

Curs 6. Discrete Event Simulation Curs 6 Discrete Event Simulation C6 ~ 12.04.2017 1/43 In discrete-event simulation, the operation of a system is represented as a chronological sequence of events. Each event occurs at an instant in time

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................

More information

INCERTITUDINEA DE MĂSURARE ÎN METROLOGIA LEGALĂ MEASUREMENT UNCERTAINTY IN LEGAL METROLOGY

INCERTITUDINEA DE MĂSURARE ÎN METROLOGIA LEGALĂ MEASUREMENT UNCERTAINTY IN LEGAL METROLOGY INCERTITUDINEA DE MĂSURARE ÎN METROLOGIA LEGALĂ MEASUREMENT UNCERTAINTY IN LEGAL METROLOGY Dumitru DINU*, Cosmin DINU** * BIROUL ROMÂN DE METROLOGIE LEGALǍ/ROMANIAN BUREAU OF LEGAL METROLOGY ** INSTITUTUL

More information

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU)

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU) PRELUCRRI PE IMGINI BINRE (LB/NEGRU) Imagine binara? 2 nuante: alb ( 0 ) pixelii de fond ( I(x,y)= 255 pt. imagini indexate cu 8 biti/pixel ) negru ( 1 ) pixelii apartinand obiectelor ( I(x,y)= 0 pt. imagini

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

ARTIFICIAL INTELLIGENCE

ARTIFICIAL INTELLIGENCE BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY Faculty of Computer Science and Mathematics ARTIFICIAL INTELLIGENCE Intelligent systems Rule-based systems uncertainty 2 Topics A. Short introduction in Artificial Intelligence

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Metode clasice. Camelia Chira.

Metode clasice. Camelia Chira. Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Agricultural Engineering

Agricultural Engineering THE DETERMINATION OF QUALITY CHARACTERISTICS FOR THE WORKING PROCESS OF INDENTED CYLINDER SEPARATORS AS FUNCTIONS OF PROCESS PARAMETERS OF THESE EQUIPMENTS / DETERMINAREA CARACTERISTICILOR CALITATIVE ALE

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

Arhivele Electronice Los Alamos arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000

Arhivele Electronice Los Alamos  arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 arxiv:physics/0003106v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106 ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ HARET C. ROSU e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx fax: 0052-47187611

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM.

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM. / Mini-comutatoare cu came Prezentare generalã a sistemului Întreruptoare Pornit-Oprit Comutatoare de comandã HA ND AU TO HPL-de-DE O Mini-comutatoare cu came / Montaj pe ușã (.../E) Frontal IP Montaj

More information

Testarea ipotezelor statistice

Testarea ipotezelor statistice Testarea ipotezelor statistice Formularea de ipoteze statistice este una din cele mai importante aspecte ale cercetarii stiintifice. O ipoteza noua trebuie verificata! Pentru verificarea unor ipoteze statistice

More information

LIGHTNING MVP System

LIGHTNING MVP System LIGHTNING MVP System Lightning MVP System Control (HACCP+SSOP) Swab-uri pentru lichide si pentru Suprafete Accesorii ph Temperatura Condutivitate Monitorizare ATP Prin Bioluminescenta Cel mai complet si

More information

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut

More information

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Alocarea resurselor radio in cadrul retelelor GSM/GPRS este importanta intrucat acestea sunt proiectate sa transmita trafic mixt: oce ate:

More information

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Conţinut Tipurile abstracte LLin, LLinOrd, Stiva, Coada Liste liniare Implementarea cu tablouri Implementarea cu liste simplu înlănțuite Liste liniare ordonate Stive Cozi

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information

A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA

A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 71, Iss. 4, 2009 ISSN 1223-7027 A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA Pier Paolo DELSANTO 1, Antonio S. GLIOZZI 2, Dan A.

More information

Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor

Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor Aprilie 2018 ii Regula 50 50 90: de fiecare data cand ai o sansa de 50 50 sa intelegi ceva corect exista o probabilitate de 90% sa intelegi

More information

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage)

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) Clustering 0. 1. Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) CMU, 2012 fall, Tom Mitchell, Ziv Bar-Joseph, HW4, pr. 2.a extended by Liviu

More information

THE OPERATIONAL FIABILITY IN THERMAL SYSTEMS THE WEIBULL DISTRIBUTION MODEL

THE OPERATIONAL FIABILITY IN THERMAL SYSTEMS THE WEIBULL DISTRIBUTION MODEL BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIX (LXIII), Fasc. 5, 2013 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ THE OPERATIONAL FIABILITY IN THERMAL

More information

C5 / Teoria Deciziilor. Metode bazate pe valoarea medie. (expected value) Metode multicriteriale de analiză a deciziilor.

C5 / Teoria Deciziilor. Metode bazate pe valoarea medie. (expected value) Metode multicriteriale de analiză a deciziilor. C5 / 2.11.2017 Teoria Deciziilor Metode bazate pe valoarea medie (expected value) Metode multicriteriale de analiză a deciziilor C6 Electre 1/44 Metode bazate pe valoarea medie (expected value) Aceste

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS UNDER LOAD COMBINATIONS

THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS UNDER LOAD COMBINATIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LX (LXIV), Fasc. 3, 2014 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS

More information

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu 32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

STUDIU PRIVIND VARIABILITATEA PROPRIETĂŢILOR CHIMICE ALE SOLULUI ÎN ROMÂNIA STUDY ON VARIABILITY OF SOIL CHEMICAL PROPERTIES IN ROMANIA

STUDIU PRIVIND VARIABILITATEA PROPRIETĂŢILOR CHIMICE ALE SOLULUI ÎN ROMÂNIA STUDY ON VARIABILITY OF SOIL CHEMICAL PROPERTIES IN ROMANIA Revista Română de Materiale / Romanian Journal of Materials 2014, 44 (4), 375 381 375 STUDIU PRIVIND VARIABILITATEA PROPRIETĂŢILOR CHIMICE ALE SOLULUI ÎN ROMÂNIA STUDY ON VARIABILITY OF SOIL CHEMICAL PROPERTIES

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune

More information

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit De la mare la mic 2 Universul ca o prajitura Tava: spatiu-timp Ingrediente:

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 Structura Ce este programarea dinamică? Aplicație: problema discretă a rucsacului Funcții de memorie (memoizare) Aplicație: înmulțirea optimală

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

$IfNot ParametricTable= P_ratio_gas. P ratio,gas = 14; Raport comprimare compresor aer - Pressure ratio for gas compressor (2) $EndIf

$IfNot ParametricTable= P_ratio_gas. P ratio,gas = 14; Raport comprimare compresor aer - Pressure ratio for gas compressor (2) $EndIf P10-078 Equations Thermodynamics - An Engineering Approach (5th Ed) - Cengel, Boles - Mcgraw-Hill (2006) - pg. 598 Centrala cu cicluri combinate Se considera o centrala electrica cu ciclu combinat gaze-abur

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

Equations P $UnitSystem K kpa. F luid$ = Air (1) Input data for fluid. $If Fluid$= Air. C P = [kj/kg K] ; k = 1.

Equations P $UnitSystem K kpa. F luid$ = Air (1) Input data for fluid. $If Fluid$= Air. C P = [kj/kg K] ; k = 1. P09-169 Equations Thermodynamics - An Engineering Approach (5th Ed) - Cengel, Boles - Mcgraw-Hill (2006) - pg. 549 Ciclul Brayton cu regenerare (aer, heliu) cu comprimare si destindere in trepte, c p =ct.

More information

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP , GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor In Florentin Smarandache: Collected Papers, vol. II. Chisinau (Moldova): Universitatea

More information