Graduări pe algebre de matrice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Graduări pe algebre de matrice"

Transcription

1 UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu Doctorand: Mădălina Alexandra Bărăscu Bucureşti 2013

2 Motivaţia studiului Motivaţia studiului graduărilor pe algebre de matrice vine atât din matematică cât şi din fizică. În matematică, algebrele de matrice joacă un rol fundamental în teoria inelelor şi în teoria reprezentărilor, iar algebrele graduate sunt importante în teoria identităţilor polinomiale. Un exemplu ilustrativ în acest sens este celebra Specht problem rezolvată de Kemer în anii 1980, problemă care a necesitat studiul anumitor graduări. Definiţie: Fie A o K-algebră (K corp comutativ) şi G un grup (multiplicativ). O G-graduare pe A este o descompunere A = g G A g a lui A ca sumă directă de K-subspaţii vectoriale astfel încât A g A h A gh pentru orice g, h G. În acest caz spunem că A este o algebră G-graduată. Dacă în plus avem A g A h = A gh pentru orice g, h G, atunci A se numeşte algebră tare graduată. K-subspaţiile vectoriale A g din descompunerea de mai sus se numesc componente omogene, elementele unei componente omogene se numesc elemente omogene, iar g se numeşte gradul componentei omogene A g. Conceptul de graduare îşi are originea în algebra comutativă, unde o algebră de polinoame este în mod natural o algebră Z-graduată. De asemenea, oricărei filtrări a unei algebre i se asociază în mod natural o Z-algebră graduată. O altă sursă de exemple pentru teoria algebrelor graduate este teoria reprezentărilor de grupuri, unde algebra grupală K[G] (a cărei categorie de module este izomorfă cu categoria K-reprezentărilor grupului G) este o algebră G-graduată. Ideea de a descompune o structură în părţi omogene este fundamentală, conceptul apărând şi în geometria algebrică, fizica teoretică, teoria Galois, teoria alegebrelor Lie şi a algebrelor Hopf. De asemenea, teoria algebrelor graduate a permis prezentarea unui punct de vedere general asupra teoriei Clifford clasice care studiază legătura dintre reprezentările unui grup G şi cele ale unui subgrup normal al său H (vezi [31])). În lucrarea sa din 1937, în contextul în care K este corp, G grup şi H subgrup normal în G, Clifford tratează următoarele două probleme: Problema 1: Dacă M este un K[G]-modul simplu cu dim K M <, care este structura lui M H = M privit ca un K[H]-modul? Răspuns: M H este K[H]-modul semisimplu şi există o anumită relaţie între componentele izotipice ale lui K[H] M. Problema 2: Dacă N este un K[H]-modul simplu, să se caracterizeze K[G]-modulele simple M astfel încât N M ca K[H]-modul. Răspuns: Există o corespondenţă bijectivă între tipurile de izomorfism ale unor astfel de obiecte şi tipurile de izomorfism ale modulelor simple peste un anumit inel. Ţinând cont de izomorfismul dintre categoria K[G]-modulelor stângi şi categoria K-reprezentărilor grupului G, problemele de mai sus se pot formula în limbaj de reprezentări. Întrucât, pentru un subgrup normal H al grupului G şi e elementul neutru din G, obţinem o graduare pe A = K[G] după G în care componenta omogenă de grad ê este K[H] şi în plus A H este tare graduat, constatăm că teoria Clifford poate fi abordată şi în contextul inelelor graduate.

3 Astfel, fiind dat A = g G A g inel tare graduat, se studiază care este legătura dintre A e -modulele simple şi A-modulele simple, tratându-se practic următoarele două probleme: Problema 1: Pentru A inel tare graduat şi M un A-modul simplu, care este structura lui M ca A e -modul? Problema 2: Pentru A = g G A g inel tare graduat şi N un A e -modul simplu, să se caracterizeze A-modulele simple care conţin un A e -submodul izomorf cu N. În fizică, reprezentări matriceale ale operatorilor sunt folosite în teoria cuantică a câmpului, teoria relativităţii şi statistica cuantică. Un rezultat important în domeniul fizicii este elaborarea teoriei statistice a spinului în care formalismul statisticii cuantice este corelat cu proprietăţile spaţio-temporale ale particulelor elementare (spinul). Cele două tipuri de statistici cuantice (Bose- Einstein, respectiv Fermi-Dirac) pot să apară în mod natural într-o schemă algebrică largă ce include noţiunea de graduare pentru a compatibiliza diferiţi factori în relaţiile de definiţie. Conceptul de supersimetrie, introdus iniţial în fizica particulelor în anii 1970, pentru care au fost făcute verificări experimentale în fizica nucleară, a atras atenţia şi în alte ramuri ale fizicii precum fizica atomică şi fizica materiei condensate. Cadrul matematic folosit pentru a descrie supersimetria este cel al superalgebrelor: algebre Z 2 -graduate constând dintr- o parte 0 şi o parte 1 (conceptul mai general fiind cel de color algebras : algebre graduate după grupuri abeliene finite), fiecare având o anumită semnificaţie fizică. Practic graduările pe algebre de matrice sunt folosite, printre altele, pentru a deosebi tipurile de particule (bozoni-elementele pare-şi fermioni-elementele impare-: bozonii comută, fermionii anticomută). Pe de altă parte, clasificarea graduărilor pe o algebră dată reprezintă un subiect de interes în sine. Un exemplu în acest sens este problema propusă de E. Zelmanov privind clasificarea tuturor graduărilor posibile pe algebra de matrice M n (K) după un grup G (vezi [28]). În această problemă, o clasă specială de graduări este reprezentată de graduările bune. Definiţie: O graduare pe M n (K) se numeşte graduare bună dacă toate unităţile matriceale e i,j sunt elemente omogene, unde e i,j M n (K) are 1 pe poziţia (i, j) şi 0 în rest. Definiţie: O graduare pe M n (K) se numeşte graduare fină dacă dimensiunea oricărei componente omogene este cel mult 1. Până în prezent nu s-a dat un răspuns complet problemei lui E. Zelmanov, cunoscându-se doar rezultate parţiale: S-a dat un răspuns complet pentru problema lui Zelmanov pentru n {2, 3}, clasificându-se toate G-graduările pe M 2 (K) respectiv M 3 (K) pentru G grup arbitrar şi K corp arbitrar. S-a stabilit că pentru n = 2 orice astfel de graduare este fie izomorfă cu o graduare bună, fie se reduce la o graduare după C 2 sau C 2 C 2 (vezi [29]), iar pentru n = 3 orice astfel de graduare este fie izomorfă cu o graduare bună, fie se reduce la o C 3 -graduare sau la o C 3 C 3 -graduare (vezi [11]). S-a realizat o clasificare a G-graduărilor bune pe M n (K) (vezi [13]). S-au dat caracterizări pentru graduări care sunt izomorfe cu graduări bune: de exemplu, o graduare pe M n (K) este izomorfă cu o graduare bună dacă unul dintre e i,j -uri este element omogen 3

4 (vezi [16]); reciproca nu este valabilă întrucât există graduări izomorfe cu o graduare bună fără ca vreun element e i,j să fie omogen. S-au determinat graduările bune care au o structură de algebră tare-graduată, respectiv de produs încrucişat (vezi [16]). S-a determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe M n (K) pentru G = Z n p cu p prim şi n natural (vezi [10]) şi pentru G = Z t cu t arbitrar (vezi [13]). S-a stabilit că dacă G = C m este un grup ciclic de ordin m şi K este un corp algebric închis, orice G-graduare pe M n (K) este izomorfă cu o graduare bună (vezi [13]). Acest rezultat, combinat cu clasificarea graduărilor bune pe algebra de matrice după grupuri ciclice, completează clasificarea tuturor C m -graduărilor pe M n (K) pentru K corp algebric închis. Au fost studiate graduările pe M n (K) după grupuri ciclice C m cu ipoteza suplimentară în care K conţine o rădăcină primitivă de ordin m a unităţii (i.e. char(k) m) (vezi [16] şi [12]), precum şi graduările după grupuri ciclice pe M n (K) pentru K corp arbitrar, folosind teoria coborârii (vezi [13]). S-au descris C 2 -graduările pe M 2 (K) folosindu-se metode diferite pentru cazurile char(k) = 2, respectiv char(k) 2 şi s-au caracterizat toate C 2 -graduările pe M 2 (K) izomorfe cu o graduare bună (vezi [16]). Un rezultat puternic în direcţia descrierii graduărilor pe algebre de matrice după grupuri nonciclice este dat de descrierea graduărilor pe M n (K) după un grup abelian în cazul în care K este corp algebric închis, o astfel de graduare descompunându-se ca produs tensorial între o graduare bună şi o graduare fină. (vezi [1]). Mai mult, dacă G este grup abelian finit şi K corp algebric închis de caracteristică zero, au fost descrise G-graduările pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale peste corpul K ca produs tensorial dintre o graduare bună şi o graduare fină (vezi [38]). S-au descris graduările pe algebre de matrice superior triunghiulare peste un corp comutativ, după un grup arbitrar (vezi [37]). S-au descris graduările după grupuri arbitrare pe algebra diagonală K n cu K corp comutativ arbitrar (vezi [19]). Problema propusă de E. Zelmanov poate fi reformulată pentru semigrupuri: să se descrie şi să se clasifice graduările pe M n (K) după un semigrup S. În această direcţie, până în prezent au fost obţinute câteva rezultate: S-au descris toate graduările pe M 2 (K) după semigrupuri cu două elemente şi s-au determinat tipurile de izomorfism de astfel de graduări. S-au descris graduările pe algebra de matrice superior triunghiulare 2 2, după semigrupuri cu două elemente şi s-a determinat numărul tipurilor de izomorfism de astfel de graduări (vezi [17]). S-a dat o descriere completă a tuturor graduărilor bune pe M n (K) după un semigrup finit (vezi [18]). S-au obţinut rezultate cu privire la graduări pe inele după semigrupuri cu simplificare ([3]). 4

5 O extindere naturală a clasei algebrelor de matrice este dată de matricele superior triunghiulare cu blocuri diagonale care apar în studiul invarianţilor numerici ai aşa numitelor PI algebras. Astfel apare în mod firesc ideea de a generaliza anumite rezultate obţinute în cazul în care se lucrează cu o algebră de matrice. Contribuţii originale Problema de cercetare abordată în această lucrare are în vedere studiul graduărilor pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale, cu intrări dintr-un corp comutativ K, după un grup G, astfel încât toate unităţile matriceale care apar să fie elemente omogene. Am obţinut descrierea acestor graduări ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate, clasificarea lor ca orbite ale unei anumite biacţiuni pe mulţimea G n (unde n este dimensiunea algebrei de matrice) şi determinarea numărului tipurilor de izomorfism de G-graduări bune pe o algebră A de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale pentru anumite grupuri abeliene finite particulare. Anumiţi paşi făcuţi în aceste cazuri particulare pot fi făcuţi în principiu şi în cazul general al unui grup abelian finit arbitrar, însă în cazul general nu avem suficiente informaţii pentru a determina structura laticei subgrupurilor grupului de lucru şi nici chiar pentru a-i determina numărul total de subgrupuri în cazul în care rangul grupului este mai mare decât 3 (menţionăm faptul că a fost determinat numărul total de subgrupuri ale unui grup abelian finit de rang 2 respectiv 3; în acest sens a se vedea [36], [14], [23], respectiv [24] ), fapte ce au constituit un impediment în obţinerea unei descrieri combinatoriale a graduărilor bune pe A (şi în particular pe M n (K)) după un grup abelian finit arbitrar folosind această abordare. Am obţinut însă numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A (şi în particular pe M n (K)) în cazul p-grupurilor abeliene finite de ordin p 4 cu p prim, a grupurilor abeliene finite de indice prim şi a grupurilor ciclice finite, prin generalizarea tehnicilor din [10] respectiv [13], în contextul în care s-a lucrat cu matrice superior triunghiulare cu r > 1 blocuri diagonale. În plus am ilustrat o metodă pe baza căreia suntem în măsură să determinăm numărul tipurilor de izomorfism de Z p α Z p β-graduări bune pe A (pentru p prim şi α β numere naturale). Structura tezei Lucrarea cuprinde nouă capitole: Capitolul 1: Introducere Capitolul 2: Graduări pe algebre A de matrice superior triunghiulare cu r blocuri diagonale Capitolul 3: Tipurile de izomorfism de Z p 2 Z p 2-graduări bune pe A (p prim) Capitolul 4: Tipurile de izomorfism de Z p Z p 2, respectiv Z p Z p 3-graduări bune pe A (p prim) Capitolul 5: Tipurile de izomorfism de Z p 2 Z p Z p -graduări bune pe A (p prim) 5

6 Capitolul 6: Tipurile de izomorfism de Z l p-graduări bune pe A (p prim, l 2) Capitolul 7: Tipurile de izomorfism de Z t graduări bune pe A (t arbitrar) Capitolul 8: Clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre structurale de matrice cu blocuri complete Capitolul 9: Asupra tipurilor de izomorfism de Z p α Z p β-graduări bune pe A (p prim, α β numere naturale). În continuare dăm o scurtă prezentare a conţinutului fiecărui capitol. În Capitolul 1 am prezentat motivaţia care stă la baza studiului graduărilor pe algebre de matrice în general şi a graduărilor bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale în particular. De asemenea, am descris rezultatele parţiale cunoscute până în prezent pentru problema formulată de E. Zelmanov şi am reformulat această problemă pentru semigrupuri, enumerând câteva rezultate cunoscute în acest caz. În Capitolul 2 amintim prezentarea graduărilor bune pe o algebră de matrice atât dintr-un punct de vedere interior cât şi dintr-un punct de vedere exterior, în cel de-al doilea caz acestea fiind descrise ca graduări izomorfe cu algebre de endomorfisme ale unor spaţii vectoriale graduate şi apoi clasificate ca orbite ale unei anumite acţiuni. Am generalizat apoi aceste puncte de vedere la cazul algebrelor de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale de forma: A = M m1 (K) M m1,m 2 (K)... M m1,m r (K) 0 M m2 (K)... M m2,m r (K) M mr (K) M n(k) unde K este corp comutativ, r 1, m 1,..., m r 1, n = m m r şi m = (m 1,..., m r ). Definiţii şi rezultate preliminare: Fie G grup multiplicativ arbitrar. blocuri diagonale, ca mai sus. Fie A o K-algebră de matrice superior triunghiulare cu O G-graduare pe A este o descompunere A = g G A g ca sumă directă de K-subspaţii vectoriale astfel încât A g A h A gh pentru orice g, h G. K-spaţiile A g din descompunerea precedentă se numesc componente omogene, elementele unei componente omogene se numesc elemente omogene, iar g se numeşte gradul componentei omogene A g. O G-graduare bună pe A este o G-graduare pe A astfel încât toate unităţile matriceale e i,j (i.e. matricele care au 1 pe poziţia (i, j) şi 0 în rest) care apar în A sunt elemente omogene. Observăm că unităţile matriceale e i,j care apar în A sunt unităţi matriceale e i,j cu i I p, j I q 6

7 şi 1 p q r unde I 1 = {1,..., m 1 } I 2 = {m 1 + 1,..., m 1 + m 2 }... I r = {m m r 1 + 1,..., m m r = n} Punctul de vedere interior: Lema L: Considerăm o G-graduare bună pe A. Atunci: deg(e i,i ) = 1 oricare ar fi 1 i n, deg(e i,j ) = deg(e i,i+1 )deg(e i+1,i+2 )...deg(e j 1,j ) pentru 1 i < j n şi deg(e i,j ) = deg(e i 1,i ) 1 deg(e i 2,i 1 ) 1...deg(e j,j+1 ) 1 pentru elementele e i,j cu i > j care apar în A (unde prin deg(e i,j ) am notat gradul lui e i,j ). Observaţie: Importanţa lemei precedente este dată de faptul că ea ne spune că pentru a defini o G-graduare bună pe A este suficient să asociem nişte grade arbitrare elementelor e 1,2, e 2,3,..., e n 1,n, gradele celorlalte unităţi matriceale putând fi uşor calculate odată ce sunt cunoscute cele n 1 grade ale matricelor menţionate. Punctul de vedere exterior: Un şir de subspaţii vectoriale F : V 1 V 2... V r = V cu dim K (V i ) = m m i pentru orice 1 i r se numeşte m steag. Fie F şi F două m-steaguri cu F : V 1 V 2... V r = V şi F : W 1 W 2... W r = W. Aplicaţia f : F F se numeşte morfism de m-steaguri dacă şi numai dacă f : V W este morfism de spaţii vectoriale şi f(v i ) W i pentru orice 1 i r. Un şir de subspaţii G-graduate F : V 1 V 2... V r = V cu dim K (V i ) = m m i, oricare ar fi 1 i r şi V = V g, V i = i ) g spaţii vectoriale graduate se numeşte g G g G(V m-steag G-graduat. f : F F se numeşte morfism de m-steaguri graduate dacă şi numai dacă f este morfism de m-steaguri şi f este compatibil cu gradele componentelor omogene (i.e. f((v i ) g ) (W i ) g, oricare ar fi 1 i r). Observaţie: Steagurile graduate F şi F sunt izomorfe dacă şi numai dacă V i W i, i 1, r. Fie F : V 1 V 2... V r = V un m-steag şi End(V ) algebra endomorfismelor lui V cu multiplicarea dată de compunerea funcţiilor. Definim algebra endomorfismelor lui F prin End(F) = { f End(V ) : f(v i ) V i, i 1, r } multiplicarea fiind dată de compunerea funcţiilor. Observaţie: Algebrele End(F) şi A sunt izomorfe. 7

8 Fie σ G şi m-steagul G-graduat F : V 1 V 2... V r = V. Definim mulţimea END(F) σ = { f End(V ) : f((v i ) g ) (V i ) σg, g G, i 1, r } Obţinem că suma σ G END(F) σ este directă în interiorul lui End(F). Notăm END(F) = σ G END(F) σ (algebră G-graduată). Rezultate obţinute: ( ) Am descris graduările bune pe A ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate. ( ) Am clasificat graduările bune pe A ca orbite { ( 1 ) ale unei anumite biacţiuni ( 2 ) respectiv ca orbite ale unei anumite acţiuni β. ( ) Pe baza acestei clasificări am determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după anumite grupuri alese în aşa fel încât acest lucru să fie posibil prin calcule directe. În continuare vom da o descriere succintă a rezultatelor precizate la primele două puncte. ( ) Descrierea graduărilor bune pe A ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate: Propoziţia P: Tipurile de izomorfism de G-graduări bune pe A coincid cu tipurile de izomorfism de algebre G-graduate de forma EN D(F), pentru F un m-steag G-graduat. Teorema A: Fie F şi F două m-steaguri G-graduate cu F : V 1 V 2... V r = V şi F : W 1 W 2... W r = W. Atunci END(F) END(F ) ca algebre G-graduate dacă şi numai dacă există σ G astfel încât F F(σ) ca steaguri G-graduate (i.e. σ G astfel încât W i V i (σ) ca spaţii vectoriale G graduate, 1 i r - unde V i (σ) este σ-suspensia la dreapta a lui V i ). Rezultatul furnizat de Teorema A a fost obţinut astfel: Se constată că END(F) = END(F(σ)) întrucât END(V ) = END(V (σ)). Se demonstrează (adaptându-se rezultatul similar obţinut în cazul r = 1) următoarea Lemă (LA): Dacă END(F) END(F ) ca algebre graduate, atunci există σ G astfel încât W V (σ) ca spaţii vectoriale G-graduate. Se constată că practic adevărata problemă constă în obţinerea unui izomorfism de steaguri prin găsirea unui unificator σ G astfel încât W i V i (σ), pentru orice 1 i r. Acest lucru a fost făcut în prima dintre următoarele două propoziţii care stau la baza demonstraţiei Teoremei A. Propoziţia A1: Dacă φ : END(F) END(F ) izomorfism de algebre G-graduate atunci există σ G astfel încât END(F)-modulul graduat V (σ) este φ-izomorf cu END(F )-modulul graduat W. i.e. există γ : V (σ) W izomorfism de spaţii vectoriale graduate astfel încât γ(fv) = φ(f)γ(v) 8

9 pentru orice f END(F) şi orice v V. Observaţie: W este un END(F )-modul stâng cu operaţia dată de: fw = f(w), oricare ar fi f END(F ) şi oricare ar fi w W. Mai mult: W este END(F )-modul graduat. Similar: V este EN D(F)-modul graduat şi V (σ) este EN D(F)-modul graduat. Propoziţia A2: Fie F : V 1 V 2... V r = V un m-steag. Atunci submodulele lui V privit ca END(F)-modul sunt: 0, V 1,..., V r. Rezultatul furnizat de Teorema A conduce în continuare la clasificarea graduărilor bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale. ( ) Clasificarea graduărilor bune pe A ca orbite { ( 1 ) ale unei anumite biacţiuni ( 2 ) respectiv ca orbite ale unei anumite acţiuni β ( 1 ) Descrierea biacţiunii şi a rezultatului de clasificare asociat: Dacă S m este grupul de simetrie al mulţimii {1,..., m}, atunci: Grupul S m1... S mr acţionează la stânga pe mulţimea G n prin: (f 1, f 2,..., f r ) (g 1,..., g n ) = (g f1 (1),..., g f1 (m 1 ), g m1 +f 2 (1),..., g m1 +f 2 (m 2 ),......, g m m r 1 +f r(1),..., g m m r 1 +f r(m r)), oricare ar fi f 1 S m1,..., f r S mr şi oricare ar fi (g 1,..., g n ) G n. G acţionează prin translaţii la dreapta pe mulţimea G n : (g 1,..., g n ) σ = (g 1 σ,..., g n σ), pentru orice (g 1,..., g n ) G n şi orice σ G. Întrucât cele două acţiuni comută, vom obţine o biacţiune S m1... S mr stângă, G dreaptă pe mulţimea G n. Teorema B: Tipurile de izomorfism de G-graduări bune pe A sunt în bijecţie cu orbitele (S m1... S mr, G)-biacţiunii pe mulţimea G n. În consecinţă, numărul tipurilor de izomorfism de G-graduări bune pe A coincide cu numărul orbitelor biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n. ( 2 ) Descrierea acţiunii β şi a rezultatului de clasificare obţinut: Fie G un grup aditiv şi un număr natural nenul m. Definim mulţimea: Y(m, G) = {(a g,m ) g G : a g,m Z, a g,m 0 şi g G a g,m = m} 9

10 Obţinem acţiunea la dreapta definită prin β : (Y(m 1, G)... Y(m r, G)) G Y(m 1, G)... Y(m r, G) ((a g,m1 ) g G,..., (a g,mr ) g G ) h = ((a g+h,m1 ),..., (a g+h,mr )) Mai mult, se obţine o bijecţie între orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n şi orbitele acţiunii β, bijecţie indusă de aplicaţia ϕ : G n Y(m 1, G)... Y(m r, G), ϕ g 1,..., g m1 ;... ; g }{{} m m r 1 +1,..., g m m r }{{} = z m1 G m 1 z mr G }{{ mr } z G n ) = ((a g (z m1 )) g G,..., (a g (z mr )) g G = (a g (z)) g G unde a g (z mi ) = numărul apariţiilor lui g în z mi, pentru orice 1 i r. Propoziţia C: G-graduările bune pe A se clasifică după orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe G n care sunt în bijecţie cu orbitele acţiunii la dreapta a lui G pe Y(m 1, G)... Y(m r, G). ( ) Exemple: 1. Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 2, S m1 S m2 = S 2 S 2 şi G = Z 2. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 2, Z 2 ) pe mulţimea Z 4 2 este 5, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 2 este Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 3, S m1 S m2 = S 2 S 3 şi G = Z 2. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 3, Z 2 ) pe mulţimea Z 5 2 este 6, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 2 este Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 2, S m1 S m2 = S 2 S 2 şi G = Z 3. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 2, Z 3 ) pe mulţimea Z 4 3 este 12, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 3 este 12. În următoarele capitole am numărat tipurile de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după anumite grupuri abeliene finite particulare. Ţinând cont de grupurile considerate în capitolele 3, 4, 5, 6 şi 7, se constată în final că, pe lângă numărarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după grupuri abeliene de indice prim, respectiv după grupuri ciclice finite arbitrare rezultate prezentate în capitolele 6, respectiv 7 prin generalizarea tehnicilor folosite în cazul în care se lucrează cu o algebră de matrice, am determinat de asemenea numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după un p-grup abelian finit de ordin mai mic sau egal cu p 4, unde p este un număr prim arbitrar. 10

11 Astfel, în Capitolul 3 am numărat tipurile de izomorfism de graduări bune pe algebra matricelor superior triunghiulare cu blocuri diagonale, după grupul G = Z p 2 Z p 2, determinând mai întâi numărul subgrupurilor cu p t elemente ale grupului dat, apoi laticea subgrupurilor acestuia şi, ţinând cont de această latice, obţinând în final numărul de orbite ale acţiunii β şi prin urmare numărul tipurilor de izomorfism. Mai exact, folosind teorema factorilor invarianţi, am constatat că problema numărării subgrupurilor cu p t elemente (0 t 4) ale grupului Z p 2 Z p 2 revine la a număra pentru câte baze ale lui Z Z obţinem un acelaşi subgrup al lui Z Z care să conţină subgrupul p 2 Z p 2 Z, problemă care se reduce la a preciza (pentru fiecare pereche (d 1, d 2 ) de factori invarianţi satisfăcând proprietatea 1 d 1 d 2 p 2 ) un sistem complet şi independent de reprezentanţi (notat cu M) pentru o anumită relaţie d (mod K) (unde K este un subgrup precizat al lui GL 2 (Z)), sistem al cărui p 4 cardinal reprezintă (în fiecare caz în parte) numărul subgrupurilor de ordin ale lui Z d 1 d p 2 Z p 2. 2 Identificând apoi toate subgrupurile grupului de lucru şi incluziunile dintre acestea am obţinut laticea subgrupurilor lui Z p 2 Z p 2 pe baza căreia am fost în măsură să determinăm numărul orbitelor acţiunii β, calculând practic suma 1 p t ( Numărul elementelor având orbita de lungime pt ) pornind de la următoarele observaţii: t 0,4 1. pentru orice 0 t 4 am considerat că γ t reprezintă numărul elementelor care au ca stabilizator (relativ la acţiunea β) un subgrup H de ordin p 4 t al lui G, iar s 4,4 t reprezintă numărul de subgrupuri de ordin p 4 t ale lui G. 2. pornind de la laticea subgrupurilor lui G am constatat că: a) oricare ar fi t {0, 1, 3, 4}, modul în care a fost definit γ t nu depinde de alegerea subgrupului H, iar pentru t = 2 vom avea γ t = γ t + γ t, unde fiecare termen al sumei este bine definit. b) pentru t = 2 avem s 4,4 t = s 4,4 t + s 4,4 t unde s 4,4 t este numărul subgrupurilor H de ordin p 4 t din mulţimea subgrupurilor care îl defineşte pe γ t, iar s 4,4 t este numărul subgrupurilor H de ordin p 4 t din mulţimea subgrupurilor care îl defineşte pe γ t. 3. pentru t {0, 1, 3, 4} numărul elementelor cu orbita de lungime p t este dat de produsul γ t s 4,4 t, iar pentru t = 2 numărul elementelor cu orbita de lungime p t este dat de suma de produse γ t s 4,4 t + γ t s 4,4 t. Concret: I. Folosind următoarele notaţii: G k α =< (1, k + αp) >, unde 0 k, α p 1 L =< (0, 1) > K i =< (p, i) > cu 1 i p 1 şi P 0 0 =< (p, 0), (0, p) >, laticea subgrupurilor lui G este descrisă în următoarea diagramă: 11

12 Diagrama 1: Z p 2 Z p 2 ( p, 0),(0,1) (1,0),(0, p) (1,1),(0, p)... (1, p 1),(0, p) G 0 G G 2 G p 1 G 1 0 G 1 1 L K 1 1 G 2 G p 1 G p 1 0 G p 1 1 G p 1 p 1 1 K 2 K 0 p 1 2 G p 1 P ( p,0) ( p, p) ( p, 2p)... ( p,( p 1) p) (0, p)... {0} {0} II. Descrierea combinatorială a G-graduărilor bune pe A: Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de Z p 2 Z p 2-graduări bune pe A este: t {0,1,3,4} 1 p t i 1,r γ t,i unde: γ t = γ t,i, γ 2 = i 1,r i 1,r s 4,4 t + 1 p 2 γ 2,i şi γ 2 = i 1,r γ 2,i, i 1,r γ 2,i (s 4,2 1) + s 4,4 0 = 1, s 4,4 1 = p + 1, s 4,4 2 = p 2 + p + 1, s 4,4 3 = p + 1, s 4,4 4 = 1 şi i 1,r γ 2,i { 1, dacă p γ 0,i = 4 m i 0, altfel ( mi ) + p 1 p 3, p γ 1,i = 3 m i p 1 0, altfel γ 0,i 12

13 ( mi + p 2 ) 1 γ 2,i = p 2, p 2 m p 2 i 1 0, altfel ( mi + p 2 ) 1 γ 2,i = p 2, p 2 m p 2 i 1 0, altfel ( mi p + ) p3 1, p m γ 3,i = p 3 i 1 0, altfel ( mi + p 4 1 γ 4,i = p 4 1 γ 1,i γ 0,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i p γ 2,i γ 2,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i ) (p + 1) γ 3,i (p 2 + p) γ 2,i γ 2,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i. În Capitolele 4 şi 5 am prezentat descrierea combinatorială a tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după grupurile abeliene finite Z p Z p 2, Z p Z p 3, respectiv Z p 2 Z p Z p pe baza unui procedeu similar, în trei paşi, pe care-l vom prezenta succint in continuare lucrând cu un p-grup generic G. Pasul 1: Determinăm numărul subgrupurilor cu p t elemente ale lui G. Pentru G { Z p Z p 2, Z p Z p 3} am folosit următoarea Teoremă: (M. Tărnăuceanu) Fie α 1 α 2. Fie 0 α α 1 + α 2. Atunci numărul de subgrupuri de ordin p α 1+α 2 α ale grupului Z p α 1 Z p α 2 a) b) p α+1 1 p 1, dacă 0 α α 1; p α1+1 1, dacă α 1 α α 2 ; p 1 c) pα 1+α 2 α+1 1, dacă α 2 α α 1 + α 2. p 1 Pentru G = Z p 2 Z p Z p, pornind de la rezultatul obţinut în [24] conform căruia numărul total de subgrupuri ale acestui grup este 4p 2 + 3p + 5, am determinat efectiv care sunt toate aceste subgrupuri, obţinând în particular numărul subgrupurilor cu p t elemente pentru t {0, 1, 2, 3, 4}. Pasul 2: Descriem laticea subgrupurilor grupului G. Pasul 3: Determinăm numărul tipurilor de izomorfism de G graduări bune pe A calculând numărul de orbite ale acţiunii β. Astfel, dacă G este un p-grup abelian cu G = p k, considerând ) z = ((a g,m1 ) g G,..., (a g,mr ) g G Y(m 1, G)... Y(m r, G) obţinem p k = Stab G (z) Orb β (z). Prin urmare: este: 13

14 numărul orbitelor acţiunii β este dat de expresia 0 t k h t = 0 t k orbitelor de lungime p t şi e t = numărul elementelor având orbita de lungime p t. 1 p t e t, unde h t = numărul orbita elementului z (relativ la acţiunea β) este de lungime p t dacă şi numai dacă Stab G (z) este un subgrup al lui G de ordin p k t. Remarcăm faptul că Stab G (z) este stabilizatorul oricărui alt element din orbita lui z (deoarece pentru acţiuni de grupurilor abeliene elementele unei orbite au acelaşi stabilizator). Pentru orice H G şi orice 1 i r, definim mulţimea Obţinem Y(m i, G) H = {z i Y(m i, G) : Stab G (z i ) = H} [Y(m 1, G)... Y(m r, G)] H not = {z = (z 1,..., z r ) Y(m 1, G)... Y(m r, G) : Stab G (z) = H} de unde deducem că: unde oricare ar fi 1 i r avem: = Y(m 1, G) H... Y(m r, G) H γ t not = [Y(m 1, G)... Y(m r, G)] H = 1 i r Y(m i, G) H γ t,i not = Y(m i, G) H = {z i Y(m i, G) : z i h = z i, h H} H<K G Y(m i, G) K Mai mult, oricare ar fi 0 t k şi oricare ar fi H G cu H = p k t avem: ( m + p t ) 1 p k t, p {z Y(m, G) : z h = z, for any h H} = k t m p t 1 0, altfel În concluzie, pentru un grup abelian dat G cu G = p k putem calcula γ t = 1 i r γ t,i = numărul elementelor z Y(m 1, G)... Y(m r, G) care au ca stabilizator un subgrup H al lui G de ordin p k t dacă ştim: laticea subgrupurilor lui G, γ t,i nu depinde de alegerea subgrupului H. Pentru acei 0 t k pentru care oricare ar fi 1 i r avem că γ t,i nu depinde de alegerea lui H cu H = p k t, dacă s k,k t = numărul subgrupurilor de ordin p k t ale lui G, obţinem γ t s k,k t elemente având orbita de lungime p t, de unde reiese că numărul orbitelor având lungimea p t ale acţiunii β este 1 p t γ t s k,k t. 14

15 În cazul în care pentru anumiţi t {1, 2,..., k 1}, γ t,i depinde de alegerea subgrupului H, 1 i r, laticea subgrupurilor lui G ne va indica cum îl putem scrie pe γ t,i ca sumă de forma γ t,i = γ t,i;j cu l 2 astfel încât fiecare γ t,i;j să fie bine definit. Mai mult, pentru orice 1 j l 1 j l, lui γ t,i;j în va corespunde un s k,k t;j reprezentând numărul subgrupurilor de ordin p k t ale lui G din mulţimea care îl determină pe γ t,i;j astfel încât s k,k t;j = s k,k t. Prin urmare 1 j l numărul elementelor cu orbita de lungime p t va fi dat se suma 1 j l γ t,i;j s k,k t;j. În Capitolul 6 lucrăm cu un grup abelian de indice prim G = Z p... Z p (vezi [10] pentru }{{} l ori cazul r = 1). Ţinându-se cont de faptul că G este un Z p -spaţiu vectorial de dimensiune l, se constată că, pentru orice 0 t l, s l,t = numărul subgrupurilor cu p t elemente ale lui G este dat de numărul de baze cu t elemente formate cu elemente din G care determină subgrupuri distincte două câte două, adică de raportul dintre numărul de submulţimi liniar independente cu t elemente ale lui G şi numărul de baze ale unui Z p -spaţiu vectorial de dimensiune t. Prin urmare avem: s l,t = (pl 1)(p l p)... (p l p t 1 ) (p t 1)(p t p)... (p t p t 1 ) oricare ar fi 1 t l Întrucât orice două subgrupuri H şi K de acelaşi ordin ale grupului G sunt Z p -spaţii vectoriale de aceeaşi dimensiune, ducând o bază a lui H într-o bază a lui K obţinem faptul că există φ Aut Zp (G) cu φ(h) = K. De aici, aplicând următoarea Propoziţie: Fie m un întreg pozitiv, G un R-modul liber şi H, K două R submodule libere ale lui G cu H = K. Atunci Y(m, G) H = Y(m, G) K. rezultă (fără a avea nevoie de laticea subgrupurilor lui G) că, pentru orice 0 t l, γ t este bine definit. Mai departe următoarea Lemă: a) γ 0,i = { 1, dacă p l m i 0, altfel, oricare ar fi 1 i r. b) γ t,i = 0 dacă p l t m i, pentru orice 1 t l şi orice 1 i r. c) Pentru orice 1 i r şi orice 1 t l avem: ( mi + p t ) 1 p γ t,i = l t s p t t,1 γ t 1,i s t,2 γ t 2,i... s t,t γ 0,i dacă p l t m i. 1 ne oferă o formulă recursivă pe baza căreia poate fi calculat efectiv γ t,i. Cunoscând valoare numerică a fiecărui γ t,i, pentru 1 i r, obţinem un număr de γ t = γ t,i elemente z Y(m 1, G)... Y(m r, G) care au ca stabilizator un subgrup H al lui G cu 1 i r 15

16 H = p l t şi ştiind că avem s l,l t subgrupuri de ordin p l t ale lui G, deducem imediat că γ t s l,l t este numărul de elemente având orbita de lungime p t, pentru orice 0 t l, ceea ce înseamnă că numărul orbitelor de lungime p t ale acţiunii β este dat de expresia 1 p t γ ts l,l t. Prin urmare obţinem următorul rezultat: Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de Z p... Z p -graduări bune pe A este 0 t l 1 p t 1 i r γ t,i s l,l t. În Capitolul 7 am determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după un grup ciclic arbitrar, generalizând procedeul deja cunoscut pentru cazul r = 1 (vezi [13]), aşa cum se va vedea în continuare în descrierea schematică a metodei folosite. Fie G = C t =< c > grup ciclic de ordin t. Ştim că G-graduările bune pe A se clasifică după orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n. Fiecărui n-uplu (g 1,..., g n ) = (g 1,..., g m1 ; g m1 +1,..., g m1 +m 2 ;... ; g m m r 1 +1,..., g m1 +...,m r ) G n îi asociem un t-uplu de întregi nenegativi (k 0,..., k t 1 ) astfel încât k j = numărul apariţiilor lui c j în (g 1,..., g n ), j 0, t 1. Oricare ar fi 1 i r, fiecărui m i -uplu (g m m i 1 +1,..., g m m i 1 +m i ) G m i (m 0 = 0) îi asociem un t-uplu (k i,0,..., k i,t 1 ) astfel încât k i,j = numărul apariţiilor lui c j în m i -uplul dat, j 0, t 1. Obţinem: k 0 + k k t 1 = n k i, k i,t 1 = m i, i 1, r k 1,j + k 2,j k r,j = k j, j 0, t 1 Fie s un întreg pozitiv şi F t, s mulţimea t-uplurilor de întregi nenegativi (k 0, k 1,..., k t 1 ) cu proprietatea că k 0 + k k t 1 = s. Fie τ permutarea ciclică ( t) şi H =< τ > S t. H F t, s F t, s este o acţiune la stânga dată de (σ, (k 0, k 1,..., k t 1 )) (k }{{} σ(0), k σ(1),..., k σ(t 1) ) = z σ z Fie β acţiunea la stânga a lui H pe mulţimea F t, m1... F t, mr definită prin β(σ, α) = σ α = (σ α 1,..., σ α r ) σ H, α = (α 1,..., α r ) F t, m1... F t, mr. ϕ : O((S m1... S mr, G) pe G n ) O(H pe F t, m1... F t, mr ), (g 1,..., g m1 ; g m1 +1,..., g m1 +m 2 ;... ; g m m r 1 +1,..., g m1 +...,m r ) (k 1,0,..., k 1,t 1 ; k 2,0,..., k 2,t 1 ;... ; k r,0,..., k r,t 1 ) este o bijecţie. 16

17 Observaţie: Numărul orbitelor biacţiunii (S m1... S mr, G) pe G n coincide cu numărul orbitelor H-acţiunii β la stânga (prin permutări) pe F t, m1... F t, mr. Considerăm laticea: D(t; m 1,..., m r ) = {d : d t, d pozitiv şi t d m l l 1, r} cu ordinea dată de divizibilitate; d 1, d 2 D(t; m 1,..., m r ) gcd(d 1, d 2 ), lcm(d 1, d 2 ) D(t; m 1,..., m r ). Fie D(t; m 1,..., m r ; d) = {d D(t; m 1,..., m r ) : d d}. Fie D 0 (t; m 1,..., m r ; d) mulţimea elementelor maximale din D(t; m 1,..., m r ; d) relativ la relaţia de divizibilitate. Cum H = Stab H (α) Orb β (α), pentru α = (α 1, α 2,..., α r ) cu α i = (k i,0, k i,1,..., k i,t 1 ) F t, mi, i 1, r obţinem: Orb β (α) = d Stab H (α) H cu Stab H (α) = t d Stab H(α) =< τ d >. Dacă τ d α l = α l l 1, r atunci primele d poziţii din α l se repetă de t d ori, deci t d (k l, k l,d 1 ) = m l l 1, r, de unde rezultă că t d m l l 1, r. Consecinţă: Propoziţie: Dacă orbita unui element α F t, m1... F t, mr are lungimea d, atunci d D(t; m 1,..., m r ). Prin urmare: numărul orbitelor acţiunii β este h d, unde h d = numărul orbitelor de lungime d. d D(t;m 1,...,m r) Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de C t -graduări bune pe A este N = unde B d = {α F t, m1... F t, mr Rămâne de calculat B d. d D(t;m 1,...,m r) 1 d B d : Orb β (α) = d}. Considerând A d = {α F t, m1... F t, mr : τ d α l = α l l 1, r}, datorită incluziunii de mulţimi A d A d, pentru orice d D(t; m 1,..., m r ; d), obţinem: B d = A d \ A d = A d \ A d. d D(t;m 1,...,m r;d) d D 0 (t;m 1,...,m r;d) Fie d D(t; m 1,..., m r ) şi fie p 1,..., p s toţi divizorii primi distincţi ai lui d cu proprietatea că d p 1,, d p s D(t; m 1,..., m r ). Rezultă că D 0 (t; m 1,..., m r ; d) = { d p 1,..., d p s }, de unde reiese că B d = A d {A d A d... A d } B d = A d A d A d... A d = p 1 p 2 ps p 1 p 2 ps 17

18 = A d 1 t s 1 i 1 <...<i t s ( 1) t+1 A d p i1 A d p i2... A d p it. Cum A d1 A d2 = A gcd(d1, d 2 ) oricare ar fi d 1, d 2 D(t; m 1,..., m r ) şi cum gcd( d p i, d p j ) = d vom obţine inductiv că: A d A d... A d = A d. Prin urmare: p i1 p i2 p it p i1...p it. B d = A d + 1 t s 1 i 1 <...<i t s ( 1) t A d p i1...p it Pentru orice l 1, r definim: A d,l = {α l F t, ml : τ d α l = α l }. Cum A d = {α = (α 1,..., α r ) : α l A d,l l 1, r} obţinem A d = Observaţie: B d = ( ml d ) A d,l = F m d, l d = t + d 1 l 1, r t d 1 1 l r (m l d ) + d 1 t + d 1 1 t s 1 i 1 <...<i t s 1 l r ( 1) t A A d,l, unde d p i1...p it În Capitolul 8, am pus în evidenţă legătura cu algebrele structurale de matrice, constatând că dacă algebra structurală de matrice M n (R, K) asociată relaţiei R poate fi adusă, via permutări de linii şi coloane, la forma unei algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri complete, atunci clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe M n (R, K) se reduce la clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A. În Capitolul 9 am propus o metodă de descriere a laticei subgrupurilor lui Z p α Z p β (unde p este număr prim, iar α β sunt numere naturale) pe baza căreia se poate determina numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul menţionat. p i p j, Direcţii viitoare de cercetare: Numărarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după un grup abelian finit arbitrar. Clasificarea graduărilor bune pe o algebră structurală de matrice. Descrierea graduărilor bune pe algebre de matrice după semigrupuri speciale (cu puţine elemente, ciclice, cu proprietăţi de simplificare etc). Clasificarea graduărilor pe algebre mici de matrice (M 2 (K), M 3 (K), K n ), după semigrupuri. 18

19 Bibliografie [1] Yu. A. Bahturin, S. K. Sehgal, M. V. Zaicev, Group gradings on associative algebras, J.Algebra, 241, , [2] Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev, Group gradings on matrix algebras, Canad. Math. Bull. 45, , [3] Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev, Semigroup gradings on associative rings, Adv. in Appl. Math., 37, , [4] Yu. A. Bahturin, S. K. Sehgal, M. V. Zaicev, Finite dimensional graded simple algebras, Sbornik: Mathematics, 199:7, , [5] I. N. Balaba, Isomorphisms of graded endomorphism rings of progenerators, J. of Math. Sci., 152, , [6] I. N. Balaba, A. V. Mikhalev, Isomorphisms and anti-isomorphisms of endomorphism rings of graded modules close to free ones, Doklady Math., 79, , [7] M. Bărăscu, S. Dăscălescu, Good gradings on upper block triangular matrix algebras, Comm. Algebra, 41: , [8] M. Bărăscu, Counting good gradings on upper block triangular matrix algebras, trimis spre publicare. [9] M. Bărăscu, Good Z p 2 Z p Z p -gradings on matrix algebras, acceptat pentru publicare în Annals pf the University of Bucharest (Mathematical Series), no. 2/2013. [10] C. Boboc, S. Dăscălescu, Good gradings of matrix algebras by finite abelian groups of prime index, Bull. Math. Soc. Sc. Math. Roumanie, 49(97) No.1,5-11, [11] C. Boboc, S. Dăscălescu, Group gradings on M 3 (K), Comm. Algebra 35: , [12] C. Boboc, S. Dăscălescu, Gradings of matrix algebras by cyclic groups, Comm. Algebra 29, , [13] S. Caenepeel, S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, On gradings of matrix algebras and descent theory, Comm. Algebra, 30, No. 12, , [14] G. Călugăreanu, The total number of subgroups of a finite abelian group, Sci. Math. Jpn., 60, , [15] C. W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience Publishers, NY, [16] S. Dăscălescu, B. Ion, C. Năstăsescu, J. Rios Montes, Group gradings on full matrix rings, J. Algebra, 220, , [17] S. Dăscălescu, P.D. Jarvis, A.V. Kelarev, C. Năstăsescu, On associative superalgebras of matrices, Rocky Mountain J. Math., 34, No 2, ,

20 [18] S. Dăscălescu, A. V. Kelarev, L. van Wyk, Semigroup gradings of full matrix rings, Comm. Algebra, 29(11), , [19] S. Dăscălescu, Group gradings on diagonal algebras, Arch. Math. 91, , [20] S. Dăscălescu, L. van Wyk, Do isomorphic structural matrix rings have isomorphic graphs?, Proceedings of the AMS, Vol. 124, No. 5, [21] O. M. Di Vincenzo, P. Koshlukov and A. Valenti, Gradings on the algebra of upper triangular matrices and their graded identities, J. Algebra 275, , [22] A. Giambruno, M. Zaicev, Polynomial identities and asymptotic methods, Mathematical Surveys and Monographs 122, AMS, Providence, RI, [23] M. Hampejs, N. Holighaus, L. Tóth, C. Wiesmeyr, On the subgroups of the group Z m Z n, arxiv: v1. [24] M. Hampejs, L. Tóth, On the subgroups of finite abelian groups of rank three, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp., 39, , [25] R. Hazrath, The graded structure of Leavitt path algebras, Israel J. of Math., 195, , [26] F. Iachello, Graded Lie algebras and applications, AIP Conference Proceedings, 12/2004; 744(1). [27] I. D. Ion, R. Nicolae, Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică, ediţia a III-a, Bucureşti, [28] A. V. Kelarev, Applications of epigroups to graded ring theory, Semigroup Forum, 50, , [29] R. Khazal, C. Boboc, S. Dăscălescu, Group gradings of M 2 (K), Bull. Austral. Math. Soc. Vol. 68, , [30] M. A. Knus, Algebras graded by a group, Category Theory, Homology Theory Appl, Proc. Conf. Seattle, Res. Center Baltelle Mem. Inst., 2, , [31] C. Năstăsescu, F. Van Oystaeyen, Methods of Graded Rings, vol. 1836, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, [32] C. Năstăsescu, Inele. Module. Categorii., Editura Academiei Române, [33] D. Popescu, C. Vraciu, Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, [34] M. Suzuki, On the lattice of subgroups of finite groups, Transactions of the AMS, 70, , [35] M. Tărnăuceanu, A new method of proving some classical theorems of abelian groups, Southeast Asian Bull. Math., 31, ,

21 [36] M. Tărnăuceanu, An arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 53(101), , [37] A. Valenti, M. V. Zaicev, Group gradings on upper triangular matrices, Arch. Math. 89, 33-40,2007. [38] A. Valenti, M. Zaicev, Abelian gradings on upper block triangular matrices, Canad. Math. Bull. 55, No. 1, , [39] V. S. Varadarajan, Supersymmetry for Mathematicians: An introduction, Courant Lecture Notes, AMS, [40] L. van Wyk, Maximal left ideals in structural matrix rings, Comm. Algebra 16: 2, ,

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE STUDIES ON THE EXPONENTIAL MAPPING AND GEOMETRIC MECHANICS Ph.D. Thesis Summary Professor DORIN ANDRICA, Ph.D. Ph.D. Student:

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES

ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 69, No. 3, 007 ISSN 15-358 ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES Ioan MAGHEŢI 1, Mariana SAVU Lucrarea prezintă calculul atenuării acustice a unui ecran

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

TEZĂ DE ABILITARE. Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene

TEZĂ DE ABILITARE. Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene ACADEMIA ROMÂNĂ SCOSAAR TEZĂ DE ABILITARE Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene Dorel Fetcu Domeniul fundamental Matematică și științe ale naturii Domeniul

More information

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste

More information

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 70, No. 3, 008 ISSN 454-34 ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS Mihaela Florentina MATEI Analiza dispersiei, ANOVA, reprezintă una din metodele statistice, dintre cele mai

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial

More information

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 Structura Ce este programarea dinamică? Aplicație: problema discretă a rucsacului Funcții de memorie (memoizare) Aplicație: înmulțirea optimală

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

Prelegerea 7. Sistemul de criptare AES. 7.1 Istoric

Prelegerea 7. Sistemul de criptare AES. 7.1 Istoric Prelegerea 7 Sistemul de criptare AES 7.1 Istoric La sfârşitul anilor 90 se decide înlocuirea sistemului de criptare DES. Motivele sunt multiple, dar menţionăm numai două: În iulie 1998 sistemul DES pe

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Editura Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 006 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA

A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 71, Iss. 4, 2009 ISSN 1223-7027 A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA Pier Paolo DELSANTO 1, Antonio S. GLIOZZI 2, Dan A.

More information

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP , GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate

More information

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune

More information

STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR

STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR Vol.48, No. / 06 STRUCTURAL INTENSITY METHOD APPLIED TO STUDY OF VIBRATIONS DAMPING / METODA INTENSIMETRIEI STUCTURALE APLICATĂ LA STUDIUL AMORTIZĂRII VIBRAŢIILOR Assoc. Prof. Ph.D. Eng. Carp-Ciocârdia

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information

METODOLOGIE PRIVIND PROGRAMUL DE URMARIRE I in TIMP A COMPORTARII CONSTRUCTIILOR DIN PUNCT DE VEDERE AL CERINTELOR FUNCTIONALE

METODOLOGIE PRIVIND PROGRAMUL DE URMARIRE I in TIMP A COMPORTARII CONSTRUCTIILOR DIN PUNCT DE VEDERE AL CERINTELOR FUNCTIONALE METODOLOGIE PRIVIND PROGRAMUL DE URMARIRE I in TIMP A COMPORTARII CONSTRUCTIILOR DIN PUNCT DE VEDERE AL CERINTELOR FUNCTIONALE INDICATIV MP 031-03 i! 14 215 ROJ1:rou n21,100,rojirutrqq2r,1aflt JUR3T21HIM

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul VII, Nr. Iulie Decembrie 005 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 00 de ani de la introducerea distanţei între mulţimi de către Dimitrie Pompeiu e iπ = Editura Crenguţa

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXI(CX) Nr. / 03 ANIVERSĂRI Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare La 5 noiembrie 0 domnul profesor universitar Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române,

More information

CURRICULUM VITAE. Prof.dr. Bucur Gheorghe. Teza de doctorat: ''Structuri simpliciale in spatii topologice'', 1970.

CURRICULUM VITAE. Prof.dr. Bucur Gheorghe. Teza de doctorat: ''Structuri simpliciale in spatii topologice'', 1970. CURRICULUM VITAE Prof.dr. Bucur Gheorghe Data nasterii: 26 ianuarie 1939 Studii: Facultatea de Matematica din Bucuresti, 1961 Teza de doctorat: ''Structuri simpliciale in spatii topologice'', 1970. Pozitii

More information

Structura matematicii (II)

Structura matematicii (II) Structura matematicii (II) Oana Constantinescu Contents 1 Notiuni - denitii 1 2 Propozitii adevarate: axiome si teoreme 5 2.1 Elemente de logica.......................... 5 2.2 Teoreme................................

More information

Metode şi Algoritmi de Planificare (MAP) Curs 2 Introducere în problematica planificării

Metode şi Algoritmi de Planificare (MAP) Curs 2 Introducere în problematica planificării Metode şi Algoritmi de Planificare (MAP) 2009-2010 Curs 2 Introducere în problematica planificării 20.10.2009 Metode si Algoritmi de Planificare Curs 2 1 Introduction to scheduling Scheduling problem definition

More information

Completare - Raport de Activitate

Completare - Raport de Activitate Completare - Raport de Activitate - 2010 Colectivul IMAR December 7, 2010 Buruiana Nicolae - Activitate de cercetare: Am incercat sa vad daca este posibil ca, folosind unele rezoltate mai vechi ale mele

More information

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate CASA NATIONALA DE ASIGURARI DE SANATATE Ordin pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate Având în vedere: Act publicat in Monitorul Oficial al

More information

TEORIA RELATIVITĂŢII. Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan

TEORIA RELATIVITĂŢII. Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan Lecţii de TEORIA RELATIVITĂŢII Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan 2000 2 Cuprins PREFAŢĂ 7 I Elemente de teoria relativităţii restrânse 9 1 Universul spaţio-temporal Minkowski 11 1.1 Introducere............................

More information

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor In Florentin Smarandache: Collected Papers, vol. II. Chisinau (Moldova): Universitatea

More information

COMPARATIVE ANALYSIS OF THE BENDING THEORIES FOR ISOTROPIC PLATES. CASE STUDY

COMPARATIVE ANALYSIS OF THE BENDING THEORIES FOR ISOTROPIC PLATES. CASE STUDY BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIX (LXIII), Fasc. 3, 2013 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ COPARATIVE ANALYSIS OF THE BENDING

More information

1 Generarea suprafeţelor

1 Generarea suprafeţelor Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor

More information

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz First Day January 13, 015) Problems Problem 1. Each point with

More information

Qualitative Analysis of Distributed Delay Systems: Methodology and Algorithms Constantin-Irinel Morărescu

Qualitative Analysis of Distributed Delay Systems: Methodology and Algorithms Constantin-Irinel Morărescu Université de Technologie de Compiègne (France) and Universitatea din Bucureşti (România) Qualitative Analysis of Distributed Delay Systems: Methodology and Algorithms Constantin-Irinel Morărescu Ph.D.

More information

P-Q THEORY AND APPARENT T POWER CALCULATION FOR ACTIVE FILTERING

P-Q THEORY AND APPARENT T POWER CALCULATION FOR ACTIVE FILTERING P-Q THEORY AND APPARENT T POWER CALCULATION FOR ACTIVE FILTERING Alexandru BITOLEANU University of Craiova Mihaela POPESCU University of Craiova Vlad SURU University of Craiova REZUMAT. Lucrarea sugereaza

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Noetherian property of infinite EI categories

Noetherian property of infinite EI categories Noetherian property of infinite EI categories Wee Liang Gan and Liping Li Abstract. It is known that finitely generated FI-modules over a field of characteristic 0 are Noetherian. We generalize this result

More information

EVOLUTIA ORBITALA A CORPURILOR TRANSNEPTUNIENE

EVOLUTIA ORBITALA A CORPURILOR TRANSNEPTUNIENE UNIVERSITATEA BABES-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA EVOLUTIA ORBITALA A CORPURILOR TRANSNEPTUNIENE Teza de Doctorat - rezumat CANDIDAT: OVIDIU C. FURDUI CONDUCATOR STIINTIFIC:

More information

Curs 6. Discrete Event Simulation

Curs 6. Discrete Event Simulation Curs 6 Discrete Event Simulation C6 ~ 12.04.2017 1/43 In discrete-event simulation, the operation of a system is represented as a chronological sequence of events. Each event occurs at an instant in time

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

Manual Limba Germana

Manual Limba Germana Manual Limba Germana If you are searched for the book Manual limba germana in pdf format, in that case you come on to loyal site. We furnish utter variation of this ebook in txt, doc, epub, DjVu, PDF formats.

More information

FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR DOMENIUL MATEMATICĂ

FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR DOMENIUL MATEMATICĂ Pag.1 din13 FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR Conform ORDINULUI Nr. 6560 din 20 decembrie 2012 privind aprobarea

More information

COARSENINGS, INJECTIVES AND HOM FUNCTORS

COARSENINGS, INJECTIVES AND HOM FUNCTORS COARSENINGS, INJECTIVES AND HOM FUNCTORS FRED ROHRER It is characterized when coarsening functors between categories of graded modules preserve injectivity of objects, and when they commute with graded

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

G-IDENTITIES ON ASSOCIATIVE ALGEBRAS

G-IDENTITIES ON ASSOCIATIVE ALGEBRAS PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 127, Number 1, January 1999, Pages 63 69 S 0002-9939(99)04530-X G-IDENTITIES ON ASSOCIATIVE ALGEBRAS Y. BAHTURIN, A. GIAMBRUNO, AND M. ZAICEV (Communicated

More information

Linear Algebra and its Applications

Linear Algebra and its Applications Linear Algebra and its Applications 432 (2010) 3141 3148 Contents lists available at ScienceDirect Linear Algebra and its Applications journal homepage: www.elsevier.com/locate/laa Identities and isomorphisms

More information

USE OF COMBINED SCALING OF REAL SEISMIC RECORDS TO OBTAIN CODE-COMPLIANT SETS OF ACCELEROGRAMS: APPLICATION FOR THE CITY OF BUCHAREST

USE OF COMBINED SCALING OF REAL SEISMIC RECORDS TO OBTAIN CODE-COMPLIANT SETS OF ACCELEROGRAMS: APPLICATION FOR THE CITY OF BUCHAREST USE OF COMBINED SCALING OF REAL SEISMIC RECORDS TO OBTAIN CODE-COMPLIANT SETS OF ACCELEROGRAMS: APPLICATION FOR THE CITY OF BUCHAREST Iolanda-Gabriela CRAIFALEANU,, Ioan Sorin BORCIA NIRD URBAN-INCERC,

More information

TUNING OF MARKOV CHAIN MONTE CARLO ALGORITHMS USING COPULAS

TUNING OF MARKOV CHAIN MONTE CARLO ALGORITHMS USING COPULAS U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 73, Iss. 1, 2011 ISSN 1223-7027 TUNING OF MARKOV CHAIN MONTE CARLO ALGORITHMS USING COPULAS Radu V. Craiu 1 Algoritmii de tipul Metropolis-Hastings se constituie într-una

More information

On a Representation of Mean Residual Life

On a Representation of Mean Residual Life BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LX No. 2/2008 27-34 Seria Matematică - Informatică - Fizică On a Representation of Mean Residual Life Dan Isbăşoiu, Ilie Ristea Universitatea Petrol-Gaze

More information

REGARDING THE OPTICAL TRAPPING FORCES ON MICROPARTICLES

REGARDING THE OPTICAL TRAPPING FORCES ON MICROPARTICLES U.P.B. Sci. Bull., Series B, Vol. 68, No. 2, 2006 REGARDING THE OPTICAL TRAPPING FORCES ON MICROPARTICLES Monica NĂDĂŞAN, T. VIŞAN Cu un fascicul laser bine focalizat se pot capta şi manipula particule

More information

LISTA DE LUCRĂRI. 1. Cele mai relevante 10 articole pentru realizările profesionale obţinute ulterior conferirii titlului de doctor în 2002

LISTA DE LUCRĂRI. 1. Cele mai relevante 10 articole pentru realizările profesionale obţinute ulterior conferirii titlului de doctor în 2002 Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematică şi Informatică Departamentul de Mathematică Conferenţiar Dr. BOGDAN SASU LISTA DE LUCRĂRI 1. Cele mai relevante 10 articole pentru realizările

More information

Curriculum vitae. 1 Studii efectuate. 2 Experienta profesionala. Cristian Bereanu

Curriculum vitae. 1 Studii efectuate. 2 Experienta profesionala. Cristian Bereanu Curriculum vitae Cristian Bereanu 1 Studii efectuate - Mai 2013 - Abilitare, Institutul de Matematica Simion Stoilow al Academiei Romane. Titlul tezei: Boundary value problems with φ-laplacians. Comisia:

More information

MARKETING - CURS 6. Metode si tehnici de culegere si analiza a informatiilor in cercetarile de marketing

MARKETING - CURS 6. Metode si tehnici de culegere si analiza a informatiilor in cercetarile de marketing MARKETING - CURS 6 Metode si tehnici de culegere si analiza a informatiilor in cercetarile de marketing Orice cercetare de marketing presupune rezolvarea problemelor referitoare la masurarea fenomenelor

More information

RJBS. Masurari experimentale de timp de reverberatie intr-o sala de conferinte. Romanian Journal of Building Services Revista Românǎ de Instalații

RJBS. Masurari experimentale de timp de reverberatie intr-o sala de conferinte. Romanian Journal of Building Services Revista Românǎ de Instalații Masurari experimentale de timp de reverberatie intr-o sala de conferinte Daniel PAVEL Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti Email : danielpavel22@gmail.com Catalin BAILESCU Universitatea Tehnica

More information

FG. MECANICA CUANTICA

FG. MECANICA CUANTICA FG. MECANICA CUANTICA II 55 CUPRINS I Introducere 5 Capitolul FG.0. Baele eperimentale ale mecanicii cuantice 6 FG.0.. Radiatia termica. Ipotea cuantelor 6 FG.0.. Efectul fotoelectric. Ipotea fotonilor

More information

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage)

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) Clustering 0. 1. Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) CMU, 2012 fall, Tom Mitchell, Ziv Bar-Joseph, HW4, pr. 2.a extended by Liviu

More information

MONTE CARLO SIMULATION FOR ESTIMATING GEOLOGIC OIL RESERVES. A CASE STUDY FROM KUÇOVA OILFIELD IN ALBANIA

MONTE CARLO SIMULATION FOR ESTIMATING GEOLOGIC OIL RESERVES. A CASE STUDY FROM KUÇOVA OILFIELD IN ALBANIA Muzeul Olteniei Craiova. Oltenia. Studii şi comunicări. Ştiinţele Naturii. Tom. 31, No. 2/15 ISSN 1454-6914 MONTE CARLO SIMULATION FOR ESTIMATING GEOLOGIC OIL RESERVES. A CASE STUDY FROM KUÇOVA OILFIELD

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

CURRICULUM VITAE SERGIU SIMA STUDII ȘI DIPLOME

CURRICULUM VITAE SERGIU SIMA STUDII ȘI DIPLOME CURRICULUM VITAE SERGIU SIMA Adresa: Str. REVOLUŢIEI, Nr. 22 A, CÂMPULUNG, Jud. ARGEŞ; E-mail: sergiu_s21@yahoo.co.uk Tel.: 0740139745 STUDII ȘI DIPLOME 10.01.2013 Diploma de doctor 01.10.2009 30.09.2012

More information

p = pasul filetului α (alfa) = unghiul filetului

p = pasul filetului α (alfa) = unghiul filetului Filetul Teorie si Practica Filetul este o nervura elicoidala dispusa pe o suprafata cilindrica sau conica. In cazul suruburilor aceasta suprafata este exterioara, iar in cazul piulitelor ea este interioara.

More information

MINERALOGIE NOTE DE CURS

MINERALOGIE NOTE DE CURS MINERALOGIE NOTE DE CURS 1 CUPRINS I MINERALOGIE GENERALA 5 1. INTRODUCERE 5 2. PRINCIPII DE FORMARE A STRUCTURII MINERALE 6 2.1. Stabilitatea structurii minerale 2.2. Legaturi chimice. Dimensiunile efective

More information

SURFACE RESISTIVITY MEASUREMENTS OF ELECTROSTATIC DISCHARGE PROTECTIVE MATERIALS FOR DIFFERENT RELATIVE HUMIDITY LEVELS

SURFACE RESISTIVITY MEASUREMENTS OF ELECTROSTATIC DISCHARGE PROTECTIVE MATERIALS FOR DIFFERENT RELATIVE HUMIDITY LEVELS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 Secţia ELECTROTEHNICĂ. ENERGETICĂ. ELECTRONICĂ SURFACE RESISTIVITY

More information

Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances

Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances Authors: Daniela SCHOPPMEYER- PhD Student, ASE Bucharest Dan CECHIN-CRISTEA, PhD, Allianz- Tiriac Asigurari Abstract In this paper we will

More information

Representations of algebraic groups and their Lie algebras Jens Carsten Jantzen Lecture III

Representations of algebraic groups and their Lie algebras Jens Carsten Jantzen Lecture III Representations of algebraic groups and their Lie algebras Jens Carsten Jantzen Lecture III Lie algebras. Let K be again an algebraically closed field. For the moment let G be an arbitrary algebraic group

More information

INCERTITUDINEA DE MĂSURARE ÎN METROLOGIA LEGALĂ MEASUREMENT UNCERTAINTY IN LEGAL METROLOGY

INCERTITUDINEA DE MĂSURARE ÎN METROLOGIA LEGALĂ MEASUREMENT UNCERTAINTY IN LEGAL METROLOGY INCERTITUDINEA DE MĂSURARE ÎN METROLOGIA LEGALĂ MEASUREMENT UNCERTAINTY IN LEGAL METROLOGY Dumitru DINU*, Cosmin DINU** * BIROUL ROMÂN DE METROLOGIE LEGALǍ/ROMANIAN BUREAU OF LEGAL METROLOGY ** INSTITUTUL

More information

The analysis of some PDE s and related problems

The analysis of some PDE s and related problems HABILITATION THESIS Specialization: Mathematics Mihai Mihăilescu The analysis of some PDE s and related problems i Abstract The main goal of the present thesis is to investigate the existence, non-existence,

More information

arxiv: v1 [math.rt] 11 Sep 2009

arxiv: v1 [math.rt] 11 Sep 2009 FACTORING TILTING MODULES FOR ALGEBRAIC GROUPS arxiv:0909.2239v1 [math.rt] 11 Sep 2009 S.R. DOTY Abstract. Let G be a semisimple, simply-connected algebraic group over an algebraically closed field of

More information

PROFESSOR SILVIU-FLORIN SBURLAN AT HIS 60 S ANNIVERSARY

PROFESSOR SILVIU-FLORIN SBURLAN AT HIS 60 S ANNIVERSARY PROFESSOR SILVIU-FLORIN SBURLAN AT HIS 60 S ANNIVERSARY The Dean of the Faculty of Mathematics and Computer Science in the Ovidius University of Constantza, professor Silviu Sburlan, has had these days

More information

de Corrado Malanga Aceasta traducere a fost facuta de Gabriela Dobrescu. Paginatie si corectura de Andrada Fogaras Tocut.

de Corrado Malanga Aceasta traducere a fost facuta de Gabriela Dobrescu. Paginatie si corectura de Andrada Fogaras Tocut. ` de Corrado Malanga Aceasta traducere a fost facuta de Gabriela Dobrescu. Paginatie si corectura de Andrada Fogaras Tocut. 1 Cuprins INTRODUCERE...3 IDEEA OGLINZII...5 TRIADE COLOR TEST SI MODELUL VIRTUAL...8

More information

New Negative Latin Square Type Partial Difference Sets in Nonelementary Abelian 2-groups and 3-groups

New Negative Latin Square Type Partial Difference Sets in Nonelementary Abelian 2-groups and 3-groups New Negative Latin Square Type Partial Difference Sets in Nonelementary Abelian 2-groups and 3-groups John Polhill Department of Mathematics, Computer Science, and Statistics Bloomsburg University Bloomsburg,

More information

A REMARK ON SIMPLICITY OF VERTEX ALGEBRAS AND LIE CONFORMAL ALGEBRAS

A REMARK ON SIMPLICITY OF VERTEX ALGEBRAS AND LIE CONFORMAL ALGEBRAS A REMARK ON SIMPLICITY OF VERTEX ALGEBRAS AND LIE CONFORMAL ALGEBRAS ALESSANDRO D ANDREA Ad Olivia, che mi ha insegnato a salutare il Sole ABSTRACT. I give a short proof of the following algebraic statement:

More information

MAGNETIC FIELD IN ENCAPSULATED BUS-BARS

MAGNETIC FIELD IN ENCAPSULATED BUS-BARS U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 73, Iss. 1, 2011 ISSN 1454-234x MAGNETIC FIELD IN ENCAPSULATED BUS-BARS Monica CUCU 1, Mihai Octavian POPESCU 2 Lucrarea prezintă spectrul câmpului magnetic în sisteme

More information

LIQUID-LIQUID EXTRACTION BY CONTINUOUS SOLVENT RECYCLING FOR ACETIC ACID SEPARATION

LIQUID-LIQUID EXTRACTION BY CONTINUOUS SOLVENT RECYCLING FOR ACETIC ACID SEPARATION U.P.B. Sci. Bull., Series B, Vol. 68, No., 6 LIQUID-LIQUID EXTRACTION BY CONTINUOUS SOLVENT RECYCLING FOR ACETIC ACID SEPARATION T. DOBRE, Tatiana OFITERU, Aurelia STURZOIU Lucrarea abordează cercetarea

More information

18.312: Algebraic Combinatorics Lionel Levine. Lecture 22. Smith normal form of an integer matrix (linear algebra over Z).

18.312: Algebraic Combinatorics Lionel Levine. Lecture 22. Smith normal form of an integer matrix (linear algebra over Z). 18.312: Algebraic Combinatorics Lionel Levine Lecture date: May 3, 2011 Lecture 22 Notes by: Lou Odette This lecture: Smith normal form of an integer matrix (linear algebra over Z). 1 Review of Abelian

More information

Modular representations of symmetric groups: An Overview

Modular representations of symmetric groups: An Overview Modular representations of symmetric groups: An Overview Bhama Srinivasan University of Illinois at Chicago Regina, May 2012 Bhama Srinivasan (University of Illinois at Chicago) Modular Representations

More information

ETAPA 1: Initierea implementarii proiectului. Crearea suportului tehnic si stiintific pentru atingerea obiectivelor proiectului.

ETAPA 1: Initierea implementarii proiectului. Crearea suportului tehnic si stiintific pentru atingerea obiectivelor proiectului. RAPORTARE STIINTIFICA RST - Raport stiintific si tehnic in extenso ETAPA 1: Initierea implementarii proiectului. Crearea suportului tehnic si stiintific pentru atingerea obiectivelor proiectului. Perioada

More information

A note on Nil and Jacobson radicals in graded rings

A note on Nil and Jacobson radicals in graded rings A note on Nil and Jacobson radicals in graded rings arxiv:1301.2835v2 [math.ra] 24 Jan 2013 Agata Smoktunowicz Abstract It was shown by Bergman that the Jacobson radical of a Z-graded ring is homogeneous.

More information

These notes are incomplete they will be updated regularly.

These notes are incomplete they will be updated regularly. These notes are incomplete they will be updated regularly. LIE GROUPS, LIE ALGEBRAS, AND REPRESENTATIONS SPRING SEMESTER 2008 RICHARD A. WENTWORTH Contents 1. Lie groups and Lie algebras 2 1.1. Definition

More information

COMPARATIVE ANATOMICAL INVESTIGATIONS ON SOME SPECIES OF THE GENUS ANGELICA L.

COMPARATIVE ANATOMICAL INVESTIGATIONS ON SOME SPECIES OF THE GENUS ANGELICA L. Contribuţii Botanice 2012, XLVII: 67-72 Grădina Botanică Alexandru Borza Cluj-Napoca COMPARATIVE ANATOMICAL INVESTIGATIONS ON SOME SPECIES OF THE GENUS ANGELICA L. Andrei LOBIUC, Maria-Magdalena ZAMFIRACHE,

More information

arxiv: v1 [math.ac] 10 Oct 2014

arxiv: v1 [math.ac] 10 Oct 2014 A BAER-KAPLANSKY THEOREM FOR MODULES OVER PRINCIPAL IDEAL DOMAINS arxiv:1410.2667v1 [math.ac] 10 Oct 2014 SIMION BREAZ Abstract. We will prove that if G H are modules over a principal ideal domain R such

More information

SUBRINGS OF NOETHERIAN RINGS

SUBRINGS OF NOETHERIAN RINGS PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 46, Number 2, November 1974 SUBRINGS OF NOETHERIAN RINGS EDWARD FORMANEK AND ARUN VINAYAK JATEGAONKAR ABSTRACT. Let S be a subring of a ring R such

More information

Proiectarea Algoritmilor

Proiectarea Algoritmilor Proiectarea Algoritmilor Ștefan Trăușan-Matu stefan.trausan@cs.pub.ro Obiectivele cursului Discutarea relaţiei dintre caracteristicile problemelor, modul de rezolvare şi calitatea soluţiilor. Obiectivele

More information

Dieudonné modules, part I: a study of primitively generated Hopf algebras

Dieudonné modules, part I: a study of primitively generated Hopf algebras Dieudonné modules, part I: a study of primitively generated Hopf algebras Alan Koch Agnes Scott College May 23, 2016 Alan Koch (Agnes Scott College) 1 / 58 Outline 1 Overview 2 Primitive Elements 3 A Dieudonné

More information

EURO3. Without EGR. NOx reduction. particulate filter. Trade-off. Euro V (2008) denox system B US2007 US

EURO3. Without EGR. NOx reduction. particulate filter. Trade-off. Euro V (2008) denox system B US2007 US Procesele catalitice heterogene pentru probleme de mediu sunt probabil cele mai bune solutii la ora actuala datorita activitatii si selectivitatii crescute in indepartarea produsilor secundari nedoriti,

More information

arxiv: v1 [math.ra] 25 Oct 2017

arxiv: v1 [math.ra] 25 Oct 2017 SYMMETRIC, SEPARABLE EQUIVALENCE OF RINGS arxiv:1710.09251v1 [math.ra] 25 Oct 2017 LARS KADISON ADDENDUM TO HOKKAIDO MATHEMATICAL J. 24 (1995), 527-549 Abstract. We continue a study of separable equivalence

More information

Cuprinsul cursului. 7. Scrierea de lucrari tehnice (incl. disertatie) 1. Ce este cercetarea? 2. Alegerea unui subiect de cercetare

Cuprinsul cursului. 7. Scrierea de lucrari tehnice (incl. disertatie) 1. Ce este cercetarea? 2. Alegerea unui subiect de cercetare Cuprinsul cursului 1. Ce este cercetarea? 2. Alegerea unui subiect de cercetare 3. Cum citim un articol 4. Formularea problemelor 5. Evaluare si validare 6. Publicatii la conferinte si reviste 7. Scrierea

More information

C.A.D. OF LINEAR TRANSVERSE FLUX MOTORS

C.A.D. OF LINEAR TRANSVERSE FLUX MOTORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC IAŞI TOMUL L (LIV), FASC. 5, 2005 ELECTROTEHNICĂ, ENERGETICĂ, ELECTRONICĂ C.A.D. OF LINEAR TRANSVERSE FLUX MOTORS BY *D.C. POPA, *V. IANCU, *I.A. VIOREL and *L. SZABÓ

More information

PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MACHINES WITH HALBACH ARRAY CONFIGURATIONS A F.E.M. APPROACH

PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MACHINES WITH HALBACH ARRAY CONFIGURATIONS A F.E.M. APPROACH PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MACHINES WITH HALBACH ARRAY CONFIGURATIONS A F.E.M. APPROACH Leonard LIVADARU Florin LAZĂR Alecsandru SIMION Adrian MUNTEANU Adrian MALANCIUC Sorin VLĂSCEANU REZUMAT. Utilizarea

More information