Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Matematici speciale Integrarea functiilor complexe"

Transcription

1 Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18

2 ii

3 Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste in mod natural prin: Integrala Riemann: Fie f : [a, b] C o funtie ontinua. Definim integrala lui f pe [a, b] prin: b a f(t)dt := b a Re(f(t))dt + i b a Im(f(t))dt π Exemplu: os t + i sin tdt = π os tdt + i π sin tdt = sin t π ( π) + i os t = + i = i. Pentru a defini insa integrala unor funtii omplexe este nevoie de un studiu amanuntit al urbelor si al unor lase de multimi in planul omplex. 1

4 Curbe in planul omplex: Prin urba in planul omplex vom intelege o apliatie ontinua: : [a, b] C, a < b, intre un interval ompat si multimea numerelor omplexe. Orie urba va avea o reprezentare: (t) = x(t) + i y(t), t [a, b] O urba se numeste neteda daa este derivabila u derivata ontinua. Exemplu: Fie z 1 = x 1 + y 1 si z = x + y. Segmentul dintre puntele A(x 1, y 1 ) si B(x, y ) reprezinta de fapt o urba : [, 1] C : (t) = z 1 + t(z z 1 ) = x(t) + i y(t), t [, 1], unde x(t) = x 1 + t(x x 1 ) si y(t) = y 1 + t(y y 1 ). Un er de raza R si entru M(x, y ) poate fi interpretat a fiind o urba : [, π] C : (t) = (x + R os t) + i (y + R sin t), t [, π]. Curbe netede pe portiuni : O urba se numeste neteda pe portiuni daa exista o partitie: a = a < a 1 <... < a n = b astfel a sa fie neteda pe fieare interval (a k, a k+1 ), k < n 1. Domeniu: Multimea D C se numeste domeniu daa este deshisa si pentru orie z 1, z D exista o urba D are uneste z 1 u z.

5 Domeniu simplu onex: D este un domeniu si urba inhisa γ aflata in D poate fi ontratata pana devine un punt al multimii respetive. (nu are gauri) Domeniu multiplu onex: Un domeniu are nu este simplu onex se numeste multiplu onex.(are gauri) Integrala in planul omplex: Fie D C un domeniu, f : D C o funtie ontinua si : [a, b] D o urba neteda. Atuni definim integrala urbilinie omplexa a lui f pe urba prin: f(z)dz = b Cand este doar neteda pe portiuni definim: pentru partitia orespunzatoare. a n 1 f(z)dz = k= f((t)) (t)dt ak+1 a k f(z)dz. Exemplu: Calulam: 1 z dz, unde este erul unitate. Pentru ineput urba are reprezentarea parametria: (t) = os t + i sin t, t [, π]. 3

6 Conform definitiei: 1 π z dz = 1 os t + i sin t (os t + i sin t) dt = = π (os t i sin t)( sin t + i os t)dt = π π os t i sin t os t + sin ( sin t + i os t)dt t i dt = πi. Proprietati elementare aleintegralelor omplexe: i) αf(z) + βf(z)dz = α f(z)dz + β g(z)dz, α, β C. ii) f(z)dz = 1 f(z)dz + 1 f(z)dz, Remara: Integrala omplexa nu depinde de parametrizarea urbei. Integrala omplexa urbilinie depinde de orientarea urbei! Daa notam prin urba data u orientarea inversa, atuni: f(z)dz = f(z)dz. Reuperarea unui rezultat lasi: Fie D C deshisa si f : D C ontinua. O primitiva a lui f este o funtie olomorfa F : D C pentru are F = f. Atuni pentru orie urba neteda pe portiuni aflata in D are lo: f(z)dz = F ((b)) F ((a)). 4

7 Exemplu: Funtia f(z) = z are primitiva: F (z) = z. Fie aum semierul erului unitate (onsiderat u orientarea pozitiva) situat intre puntele A( 1, ) si B(1, ). Aest semier onsiderat a fiind o urba admite parametrizarea (t) = os t + i sin t pentru t [π, π], deoaree z A = 1 + i = os π + i sin π si z B = 1 + i = os π + i sin π. zdz = F ( (π)) F ((π)) = (1 + i ) ( 1 + i ) = 1 1 = Pe de alta parte: zdz = = = π π π π π π (os t + i sin t)(os t + i sin t) dt (os t + i sin t)( sin t + i os t)dt sin(t) + i sin(t)dt = os(t) π π i os(t) π π = Serii de puteri: 1 1 z = 1 + z + z +... z n +... = z n, z < 1 n= e z = 1 + z + z! +... zn n! +... = sin z = z z3 3! + z5 5!... = n= n= z n n! ( 1) n z n+1 (n + 1)! 5

8 Serii de puteri: os z = 1 z! + z4 4!... = n= ( 1) n z n (n)! In general pentru funtii olomorfe are lo formula de dezvoltare in serie Taylor: f(z) = n= f (n) (z ) n! (z z ) n Dezvoltarea in serie Laurent: Fie f o funtie olomorfa in oroana irulara r < z z < R. Atuni ea poate fi dezvoltata in serie Laurent in puntele aestei multimi: f(z) = n= n= a n (z z ) n. Coefiientii dezvoltarii sunt dati prin: a k = 1 f(w) dw, k =, ±1, ±,..., πi (w z ) k+1 unde este o urba inhisa simpla, positiv orientata, are este situata in totalitate in r < z z < R si ontine puntul z in interiorul sau. Exemplu: Consideram funtia f(z) = sin z z pe are dorim sa o dezvoltam in serie Laurent in jurul lui z = si putem onsidera z a faand parte din oroana irulara < z <. Cu ajutorul dezvoltarii in serie Taylor: sin z = z z3 3! + z5 5! z7 7! +... obtinem dezvoltarea in serie Laurent in jurul lui z = : f(z) = sin z z = 1 z z 3! + z3 5! z5 7!

9 dei a n = pentru n < 1, a 1 = 1, a =, a 1 = 1 3!, a =, a 3 = 1 5! si asa mai departe. Singularitati izolate: Fie D C, z D si F : D {z } C olomorfa. Atuni numim z izolata a lui f. singularitate In ele e urmeaza vom dori sa lasifiam singularitatile izolate ale unei funtii. Caraterizarea singularitatilor izolate prin intermediul seriilor Laurent: Funtia f poseda in z C o singularitate izolata. Atuni numim z : i) o singularitate aparenta a lui f, daa in dezvoltarea in serie Laurent in jurul lui z toti a n u n < sunt nuli: f(z) = a + a 1 (z z ) + a (z z ) +... ii) un pol de ordinul m al lui f, daa in dezvoltarea in serie Laurent a n = pentru n < m : f(z) = a m (z z ) m + a (m 1) (z z ) m a + a 1 (z z ) + a (z z ) +... iii) o singularitate esentiala, and dezvoltarea Laurent admite o infinitate de termeni u exponent negativ: f(z) =... + a (z z ) + a 1 + a + a 1 (z z ) + a (z z ) +... z z Teorema de araterizare a polilor: Funtia f are in z un pol de ordin m daa si numai daa exista o funtie g olomorfa in z astfel a g(z ) iar intr-o veinatate a lui z avem: f(z) = g(z) (z z ) m 7

10 Conseinta Daa funtia f are in z un pol, atuni: lim f(z) = z z Exemplu: os z f(z) = (z i) are in z = i un pol de ordin, verifiam usor a os(i) iar os z este olomorfa in orie punt din C. Teorema de araterizare a singularitatilor aparente: Singularitatea z este o singularitate aparenta daa si numai daa limita lim z z f(z) exista in C. Exemplu: sin z Funtia f(z) = are o singularitate aparenta in z =. Daa ineram z sa apliam teorema de araterizare a polilor observam a sin = dei nu se poate aplia. In shimb fie dezvoltam in serie Laurent in jurul lui z si folosind deja mentionata dezvoltare: sin z = z z3 3! + z5 5!... vedem a: sin z = 1 z z 3! + z4 5!... si prin urmare nu avem termeni u exponent negativ dei z este singularitate aparenta onform definitiei. In aelasi timp putem observa a sin z lim = 1 z z dei apliand teorema de araterizare ajungem la aelasi rezultat. Teorema de araterizare a singularitatilor esentiale: Singularitatea z este o singularitate esentiala daa si numai daa limita lim f(z) nu exista iar lim f(z). z z z z 8

11 Exemplu: Funtia f(z) = e 1 z are in z = o singularitate esentiala. Metoda 1: Limita lim z e 1 z nu exista si lim z e 1 z. Pentru prima limita alegem z n = 1 n si w n = 1 n. Atuni f(z n ) = e n si f(w n ) = e n dar: lim f(z n) = = = lim f(w n) n n Pentru a argumenta relatia lim z f(z) putem onsidera aeleasi siruri. Atuni e z = e x, pentru z = x + iy C si prin urmare: lim f(z n) = = = lim f(w n). n n Metoda : Pe de alta parte putem sa dezvoltam in serie Laurent funtia f(z) = e 1 z in jurul puntului z =. Pornim din nou de la dezvoltarea in serie Taylor, de data aeasta a lui e z in z = : De unde rezulta: e z = 1 + z + z! + z3 3! +... e 1 z = z + 1!z + 1 3!z Aeasta ultima identitate arata a dezvoltarea Laurent a lui f in jurul lui z = are o infinitate de termeni u exponent negativ. Reziduul unei funtii: Fie D C deshisa, z D, f : D {z } C olomorfa si ε >, astfel a D(z, ε) D. Atuni numim: Res(f, z ) = 1 f(z)dz πi reziduul lui f in z. z z =ε Remara: Reziduul nu depinde de alegerea razei ε. z nu trebuie sa fie in mod obligatoriu o singularitate dar and nu este singularitate reziduul va fi. 9

12 Curba inhisa simpla: O urba inhisa : [a, b] C se numeste simpla, atuni and pe intervalul [a, b) este injetiva. Din punt de vedere geometri asta inseaman a nu are punte de auto-intersetie. Teorema reziduurilor: Fie D C un domeniu, z 1, z,..., z n punte distinte in D si f : D {z 1, z,..., z n } C olomorfa. Atuni pentru orie urba neteda pe portiuni, inhisa simpla si pozitiv orientata, are se afla in totalitate in D si ontine in interior puntele z 1, z,..., z n avem relatia: n f(z)dz = πi Res(f, z k ). k=1 Remara: Pentru o urba orientata negativ se obtine: n f(z)dz = πi Res(f, z k ). k=1 1

13 Exemplu: Vom evalua urmatoarea integrala: z 3 z(z i) dz unde este urba din desenul alaturat: Se observa usor a = 1 si este orientata pozitiv iar 1 este orientata negativ. Funtia f(z) = z3 are o singularitate izolata in z(z i) 1 in puntul z 1 = si alta in in puntul z = i. Pentru ineput avem: z 3 1 z(z i) dz = z 3 1 z(z i) dz + z 3 z(z i) dz Apoi onform teoremei reziduurilor: ( ) z 3 dz = πi Res 1 z(z i) ( z 3 ) z(z i), si ( ) z 3 ( z 3 ) dz = πi Res z(z i) z(z i), i. Din moment e reziduurile devin instrumente importante in alulul integralelor avem nevoie de metode mai rapide de evaluare a aestora. Calulul reziduurilor: i) Daa funtia olomorfa f are in puntul z un pol de ordin m, m 1, atuni: 1 d m 1 Res(f, z ) = lim (m 1)! z z dz m 1 ((z z ) m f(z)) Pentru un pol simplu (m = 1) avem: Res(f, z ) = lim z z (z z )f(z). 11

14 Calulul reziduurilor: ii) In general: unde a 1 este oefiientul lui puntului z. Res(f, z ) = a 1, 1 z z dezvoltarea Laurent a lui f in jurul Formulele integrale ale lui Cauhy = Fie G un domeniu simplu onex si f : D C olomorfa. Atuni pentru orie urba inhisa neteda pe portiuni din D are lo: f(z)dz =, deoaree Res(f, z ) = a 1 = pentru o funtie olomorfa in z. = Fie G un domeniu si f : D C olomorfa. Atuni pentru o multime D(z, ε) D : z z =ε f(z) (n) (z z ) n+1 dz = πif (z ), n! deoaree z este un pol pentru funtia din interiorul integralei si: ( ) f(z) Res (z z ) n+1, z = 1 d n ( ) lim n! z z dz n (z z ) n+1 f(z) (z z ) n+1 = f (n) (z ) n! pentru orie funtie olomorfa f. Exemplu: In ultimul exemplu ambele singularitati sunt poli, deoaree: si notand g(z) = z3 +3 (z i) f(z) = z3 z(z i) = z 3 +3 (z i) z avem srierea f(z) = g(z) z, iar g este olomorfa in z 1 = si g(). Din teorema de arterizare a polilor rezulta a f are in z 1 = un pol simplu. Din aeasta auza: Res ( z 3 ) z(z i), = lim z (z ) z3 z(z i) = lim z z 3 (z i) = 3 1 = 3 1

15 Prin urmare: ( ) z 3 dz = πi ( 3) = 6πi. 1 z(z i) Pe de alta parte: f(z) = z3 z 3 +3 z(z i) = z (z i) si h(z) = z3 +3 z este olomorfa si are proprietatea h(i). Asadar f are in z = i un pol de ordinul doi. Dei: ( z 3 ) ( Res z(z i), i d = lim (z i) z3 z i dz z(z i) ( z 3 ) = ( ) = lim z i d dz = i 3 1 z = i. ) 3z z (z 3 ) = lim z i z z 3 dz = πi (i ) = 4π + 6πi z(z i) si in onluzie: z 3 dz = 6πi + 4π + 6πi = 4π + 1πi. z(z i) Teorema semireziduurilor: Fie D D un domeniu simplu onex si o urba simpla inhisa, neteda pe portiuni in domeniul D. Consideram o funtie f are admite in interiorul urbei un numar finit de singularitati izolate z 1, z,..., z n si un numar finit de poli simpli w 1, w,..., w p situati pe urba astfel a: f : D {z 1, z,..., z n, w 1, w,..., w p } C este olomorfa. Atuni: i) daa admite o tangenta unia in w 1, w,... w p atuni: fdz = πi n Rez(f, z k ) + πi k=1 p Rez(f, w j ) j=1 ii) daa α j este unghiul dintre semitangentele in w j la : fdz = πi n Rez(f, z k ) + i k=1 p (π α j )Rez(f, w j ) j=1 13

16 Exemplu: Vom alula integrala: e z z(z ) dz, unde este urba alaturata. Se observa usor a ele doua singularitati ale integrandului sunt z 1 = si z = ambele fiind poli simpli iar ultima fiind siituata pe urba. In puntul z urba nu admite o tangenta unia iar unghiul format de semitangente va fi α = π. Conform teoremei semireziduurilor avem: e z z(z ) dz = πirez(f, ) + i(π π )Rez(f, ) Pentru poli simpli avem formulele: Rez(f, ) = lim(z ) z z(z ) = 1, e z In onluzie: e z Rez(f, ) = lim(z ) z z(z ) = e. e z z(z ) dz = πi + iπ e 14

17 Bibliografie [1] D. G. Zill, P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis with Appliations, Jones and Bartlett Publishers, In., 3. [] K. Fritzshe. Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademisher Verlag Heidelberg, 9. 15

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

. Then g is holomorphic and bounded in U. So z 0 is a removable singularity of g. Since f(z) = w 0 + 1

. Then g is holomorphic and bounded in U. So z 0 is a removable singularity of g. Since f(z) = w 0 + 1 Now we describe the behavior of f near an isolated singularity of each kind. We will always assume that z 0 is a singularity of f, and f is holomorphic on D(z 0, r) \ {z 0 }. Theorem 4.2.. z 0 is a removable

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Part IB Complex Analysis

Part IB Complex Analysis Part IB Complex Analysis Theorems Based on lectures by I. Smith Notes taken by Dexter Chua Lent 2016 These notes are not endorsed by the lecturers, and I have modified them (often significantly) after

More information

13 Maximum Modulus Principle

13 Maximum Modulus Principle 3 Maximum Modulus Principle Theorem 3. (maximum modulus principle). If f is non-constant and analytic on an open connected set Ω, then there is no point z 0 Ω such that f(z) f(z 0 ) for all z Ω. Remark

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

Green s Theorem, Cauchy s Theorem, Cauchy s Formula

Green s Theorem, Cauchy s Theorem, Cauchy s Formula Math 425 Spring 2003 Green s Theorem, Cauchy s Theorem, Cauchy s Formula These notes supplement the discussion of real line integrals and Green s Theorem presented in.6 of our text, and they discuss applications

More information

The Residue Theorem. Integration Methods over Closed Curves for Functions with Singularities

The Residue Theorem. Integration Methods over Closed Curves for Functions with Singularities The Residue Theorem Integration Methods over losed urves for Functions with Singularities We have shown that if f(z) is analytic inside and on a closed curve, then f(z)dz = 0. We have also seen examples

More information

1. The COMPLEX PLANE AND ELEMENTARY FUNCTIONS: Complex numbers; stereographic projection; simple and multiple connectivity, elementary functions.

1. The COMPLEX PLANE AND ELEMENTARY FUNCTIONS: Complex numbers; stereographic projection; simple and multiple connectivity, elementary functions. Complex Analysis Qualifying Examination 1 The COMPLEX PLANE AND ELEMENTARY FUNCTIONS: Complex numbers; stereographic projection; simple and multiple connectivity, elementary functions 2 ANALYTIC FUNCTIONS:

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI DAN LASCU MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI TEORIE CUPRINS PREFAÞÃ 4 FUNCÞII COMPLEXE 5 Numere complee 5 Itroducere Forma algebricã Forma trigoometricã a umerelor complee 5 7 Elemete de topologie î corpul

More information

Math 185 Fall 2015, Sample Final Exam Solutions

Math 185 Fall 2015, Sample Final Exam Solutions Math 185 Fall 2015, Sample Final Exam Solutions Nikhil Srivastava December 12, 2015 1. True or false: (a) If f is analytic in the annulus A = {z : 1 < z < 2} then there exist functions g and h such that

More information

Complex variables lecture 5: Complex integration

Complex variables lecture 5: Complex integration omplex vribles lecture 5: omplex integrtion Hyo-Sung Ahn School of Mechtronics Gwngju Institute of Science nd Technology (GIST) 1 Oryong-dong, Buk-gu, Gwngju, Kore Advnced Engineering Mthemtics omplex

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Complex Inversion Formula for Stieltjes and Widder Transforms with Applications

Complex Inversion Formula for Stieltjes and Widder Transforms with Applications Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 3, 8, no. 16, 761-77 Complex Inversion Formula for Stieltjes and Widder Transforms with Applications A. Aghili and A. Ansari Department of Mathematics, Faculty of

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

Math 411, Complex Analysis Definitions, Formulas and Theorems Winter y = sinα

Math 411, Complex Analysis Definitions, Formulas and Theorems Winter y = sinα Math 411, Complex Analysis Definitions, Formulas and Theorems Winter 014 Trigonometric Functions of Special Angles α, degrees α, radians sin α cos α tan α 0 0 0 1 0 30 π 6 45 π 4 1 3 1 3 1 y = sinα π 90,

More information

INTRODUCTION TO COMPLEX ANALYSIS W W L CHEN

INTRODUCTION TO COMPLEX ANALYSIS W W L CHEN INTRODUTION TO OMPLEX ANALYSIS W W L HEN c W W L hen, 986, 2008. This chapter originates from material used by the author at Imperial ollege, University of London, between 98 and 990. It is available free

More information

Analysis Comprehensive Exam, January 2011 Instructions: Do as many problems as you can. You should attempt to answer completely some questions in both

Analysis Comprehensive Exam, January 2011 Instructions: Do as many problems as you can. You should attempt to answer completely some questions in both Analysis Comprehensive Exam, January 2011 Instructions: Do as many problems as you can. You should attempt to answer completely some questions in both real and complex analysis. You have 3 hours. Real

More information

SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma.

SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma. SOI prin smart-cut. Caracterizarea TEM-HRTEM a defectelor structuale induse in Si prin hidrogenare in plasma. Dr. Corneliu GHICA, Dr. Leona NISTOR Proiect IDEI, Contract Nr. 233/2007 1. C. Ghica, L. C.

More information

n } is convergent, lim n in+1

n } is convergent, lim n in+1 hapter 3 Series y residuos redit: This notes are 00% from chapter 6 of the book entitled A First ourse in omplex Analysis with Applications of Dennis G. Zill and Patrick D. Shanahan (2003) [2]. auchy s

More information

Theorem [Mean Value Theorem for Harmonic Functions] Let u be harmonic on D(z 0, R). Then for any r (0, R), u(z 0 ) = 1 z z 0 r

Theorem [Mean Value Theorem for Harmonic Functions] Let u be harmonic on D(z 0, R). Then for any r (0, R), u(z 0 ) = 1 z z 0 r 2. A harmonic conjugate always exists locally: if u is a harmonic function in an open set U, then for any disk D(z 0, r) U, there is f, which is analytic in D(z 0, r) and satisfies that Re f u. Since such

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

TMA4120, Matematikk 4K, Fall Date Section Topic HW Textbook problems Suppl. Answers. Sept 12 Aug 31/

TMA4120, Matematikk 4K, Fall Date Section Topic HW Textbook problems Suppl. Answers. Sept 12 Aug 31/ TMA420, Matematikk 4K, Fall 206 LECTURE SCHEDULE AND ASSIGNMENTS Date Section Topic HW Textbook problems Suppl Answers Aug 22 6 Laplace transform 6:,7,2,2,22,23,25,26,4 A Sept 5 Aug 24/25 62-3 ODE, Heaviside

More information

Decision Trees Some exercises

Decision Trees Some exercises Decision Trees Some exercises 0. . Exemplifying how to compute information gains and how to work with decision stumps CMU, 03 fall, W. Cohen E. Xing, Sample questions, pr. 4 . Timmy wants to know how to

More information

III. Consequences of Cauchy s Theorem

III. Consequences of Cauchy s Theorem MTH6 Complex Analysis 2009-0 Lecture Notes c Shaun Bullett 2009 III. Consequences of Cauchy s Theorem. Cauchy s formulae. Cauchy s Integral Formula Let f be holomorphic on and everywhere inside a simple

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

ECM3703: Complex Analysis

ECM3703: Complex Analysis ECM373: Complex Analysis April 5, 23 Module Convener: Dr. Robin Chapman Transcriber: Oliver Bond Contents Review of Complex Numbers 3. Basics................................................... 3.2 Argand

More information

MATH 452. SAMPLE 3 SOLUTIONS May 3, (10 pts) Let f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) be an analytic function. Show that u(x, y) is harmonic.

MATH 452. SAMPLE 3 SOLUTIONS May 3, (10 pts) Let f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) be an analytic function. Show that u(x, y) is harmonic. MATH 45 SAMPLE 3 SOLUTIONS May 3, 06. (0 pts) Let f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) be an analytic function. Show that u(x, y) is harmonic. Because f is holomorphic, u and v satisfy the Cauchy-Riemann equations:

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

Complex Series (3A) Young Won Lim 8/17/13

Complex Series (3A) Young Won Lim 8/17/13 Complex Series (3A) 8/7/3 Copyright (c) 202, 203 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version.2 or

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Evaluation of integrals

Evaluation of integrals Evaluation of certain contour integrals: Type I Type I: Integrals of the form 2π F (cos θ, sin θ) dθ If we take z = e iθ, then cos θ = 1 (z + 1 ), sin θ = 1 (z 1 dz ) and dθ = 2 z 2i z iz. Substituting

More information

Complex Analysis Qualifying Exam Solutions

Complex Analysis Qualifying Exam Solutions Complex Analysis Qualifying Exam Solutions May, 04 Part.. Let log z be the principal branch of the logarithm defined on G = {z C z (, 0]}. Show that if t > 0, then the equation log z = t has exactly one

More information

MATH8811: COMPLEX ANALYSIS

MATH8811: COMPLEX ANALYSIS MATH8811: COMPLEX ANALYSIS DAWEI CHEN Contents 1. Classical Topics 2 1.1. Complex numbers 2 1.2. Differentiability 2 1.3. Cauchy-Riemann Equations 3 1.4. The Riemann Sphere 4 1.5. Möbius transformations

More information

18.04 Practice problems exam 2, Spring 2018 Solutions

18.04 Practice problems exam 2, Spring 2018 Solutions 8.04 Practice problems exam, Spring 08 Solutions Problem. Harmonic functions (a) Show u(x, y) = x 3 3xy + 3x 3y is harmonic and find a harmonic conjugate. It s easy to compute: u x = 3x 3y + 6x, u xx =

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

Functions of a Complex Variable and Integral Transforms

Functions of a Complex Variable and Integral Transforms Functions of a Complex Variable and Integral Transforms Department of Mathematics Zhou Lingjun Textbook Functions of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science, 3rd Edition. A. D. Snider

More information

MATH COMPLEX ANALYSIS. Contents

MATH COMPLEX ANALYSIS. Contents MATH 3964 - OMPLEX ANALYSIS ANDREW TULLOH AND GILES GARDAM ontents 1. ontour Integration and auchy s Theorem 2 1.1. Analytic functions 2 1.2. ontour integration 3 1.3. auchy s theorem and extensions 3

More information

Math Final Exam.

Math Final Exam. Math 106 - Final Exam. This is a closed book exam. No calculators are allowed. The exam consists of 8 questions worth 100 points. Good luck! Name: Acknowledgment and acceptance of honor code: Signature:

More information

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU)

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU) PRELUCRRI PE IMGINI BINRE (LB/NEGRU) Imagine binara? 2 nuante: alb ( 0 ) pixelii de fond ( I(x,y)= 255 pt. imagini indexate cu 8 biti/pixel ) negru ( 1 ) pixelii apartinand obiectelor ( I(x,y)= 0 pt. imagini

More information

Math Spring 2014 Solutions to Assignment # 8 Completion Date: Friday May 30, 2014

Math Spring 2014 Solutions to Assignment # 8 Completion Date: Friday May 30, 2014 Math 3 - Spring 4 Solutions to Assignment # 8 ompletion Date: Friday May 3, 4 Question. [p 49, #] By finding an antiderivative, evaluate each of these integrals, where the path is any contour between the

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Chapter 6: Residue Theory. Introduction. The Residue Theorem. 6.1 The Residue Theorem. 6.2 Trigonometric Integrals Over (0, 2π) Li, Yongzhao

Chapter 6: Residue Theory. Introduction. The Residue Theorem. 6.1 The Residue Theorem. 6.2 Trigonometric Integrals Over (0, 2π) Li, Yongzhao Outline Chapter 6: Residue Theory Li, Yongzhao State Key Laboratory of Integrated Services Networks, Xidian University June 7, 2009 Introduction The Residue Theorem In the previous chapters, we have seen

More information

Fourier series. (sine and cosine)( ) ... : w h ere 2 (1 1)

Fourier series. (sine and cosine)( ) ... : w h ere 2 (1 1) Fourier series... 3. 4. 5. 6 ( (sie ad osie( ( (... u A si t A si t u A o s t A o s t w h ere (. (.(frequey ( (omplex( i t e os t i si t ( A z A e i t ( ( ( 3 z (Argad.(Argad diagram ( z x iy A (os t i

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

1 Generarea suprafeţelor

1 Generarea suprafeţelor Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor

More information

Complex Variables Notes for Math 703. Updated Fall Anton R. Schep

Complex Variables Notes for Math 703. Updated Fall Anton R. Schep Complex Variables Notes for Math 703. Updated Fall 20 Anton R. Schep CHAPTER Holomorphic (or Analytic) Functions. Definitions and elementary properties In complex analysis we study functions f : S C,

More information

Solutions to practice problems for the final

Solutions to practice problems for the final Solutions to practice problems for the final Holomorphicity, Cauchy-Riemann equations, and Cauchy-Goursat theorem 1. (a) Show that there is a holomorphic function on Ω = {z z > 2} whose derivative is z

More information

Complex Analysis. sin(z) = eiz e iz 2i

Complex Analysis. sin(z) = eiz e iz 2i Complex Analysis. Preliminaries and Notation For a complex number z = x + iy, we set x = Re z and y = Im z, its real and imaginary components. Any nonzero complex number z = x + iy can be written uniquely

More information

Mathematics of Physics and Engineering II: Homework problems

Mathematics of Physics and Engineering II: Homework problems Mathematics of Physics and Engineering II: Homework problems Homework. Problem. Consider four points in R 3 : P (,, ), Q(,, 2), R(,, ), S( + a,, 2a), where a is a real number. () Compute the coordinates

More information

Math 421 Midterm 2 review questions

Math 421 Midterm 2 review questions Math 42 Midterm 2 review questions Paul Hacking November 7, 205 () Let U be an open set and f : U a continuous function. Let be a smooth curve contained in U, with endpoints α and β, oriented from α to

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXI(CX) Nr. / 03 ANIVERSĂRI Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare La 5 noiembrie 0 domnul profesor universitar Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române,

More information

MATH FINAL SOLUTION

MATH FINAL SOLUTION MATH 185-4 FINAL SOLUTION 1. (8 points) Determine whether the following statements are true of false, no justification is required. (1) (1 point) Let D be a domain and let u,v : D R be two harmonic functions,

More information

A PROOF OF THE POWER SERIES EXPANSION WITHOUT DIFFERENTIATION THEORY

A PROOF OF THE POWER SERIES EXPANSION WITHOUT DIFFERENTIATION THEORY A PROOF OF THE POWER SERIES EXPANSION WITHOUT DIFFERENTIATION THEORY a. j. macintyre and w. John wilbur 1. Introduction. Morera's theorem [8], [9] raised the suggestion that complex function theory might

More information

MA3111S COMPLEX ANALYSIS I

MA3111S COMPLEX ANALYSIS I MA3111S COMPLEX ANALYSIS I 1. The Algebra of Complex Numbers A complex number is an expression of the form a + ib, where a and b are real numbers. a is called the real part of a + ib and b the imaginary

More information

luca frn Guardip$AroEsf

luca frn Guardip$AroEsf Semida David e Ra luca"'' *q F.E, fngerut P&xrfe js:,t,a Ro luca frn Guardip$AroEsf ',i :: i *-t *''i 1 :a'-}.."1-i i: ] 1,..,j i ':i "-.\\ : 1: t'a.,"-"a:\ 1.. ' \o\*1;j: : '. "=**..t i-=.-- i.::r:: ".1*'..-.-..'

More information

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM.

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM. / Mini-comutatoare cu came Prezentare generalã a sistemului Întreruptoare Pornit-Oprit Comutatoare de comandã HA ND AU TO HPL-de-DE O Mini-comutatoare cu came / Montaj pe ușã (.../E) Frontal IP Montaj

More information

Complex Analysis. Travis Dirle. December 4, 2016

Complex Analysis. Travis Dirle. December 4, 2016 Complex Analysis 2 Complex Analysis Travis Dirle December 4, 2016 2 Contents 1 Complex Numbers and Functions 1 2 Power Series 3 3 Analytic Functions 7 4 Logarithms and Branches 13 5 Complex Integration

More information

Complex variables lecture 6: Taylor and Laurent series

Complex variables lecture 6: Taylor and Laurent series Complex variables lecture 6: Taylor and Laurent series Hyo-Sung Ahn School of Mechatronics Gwangju Institute of Science and Technology (GIST) 1 Oryong-dong, Buk-gu, Gwangju, Korea Advanced Engineering

More information

Complex Series. Chapter 20

Complex Series. Chapter 20 hapter 20 omplex Series As in the real case, representation of functions by infinite series of simpler functions is an endeavor worthy of our serious consideration. We start with an examination of the

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

III.2. Analytic Functions

III.2. Analytic Functions III.2. Analytic Functions 1 III.2. Analytic Functions Recall. When you hear analytic function, think power series representation! Definition. If G is an open set in C and f : G C, then f is differentiable

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

Definite integrals. We shall study line integrals of f (z). In order to do this we shall need some preliminary definitions.

Definite integrals. We shall study line integrals of f (z). In order to do this we shall need some preliminary definitions. 5. OMPLEX INTEGRATION (A) Definite integrals Integrals are extremely important in the study of functions of a complex variable. The theory is elegant, and the proofs generally simple. The theory is put

More information

MATH GRE PREP: WEEK 2. (2) Which of the following is closest to the value of this integral:

MATH GRE PREP: WEEK 2. (2) Which of the following is closest to the value of this integral: MATH GRE PREP: WEEK 2 UCHICAGO REU 218 (1) What is the coefficient of y 3 x 6 in (1 + x + y) 5 (1 + x) 7? (A) 7 (B) 84 (C) 35 (D) 42 (E) 27 (2) Which of the following is closest to the value of this integral:

More information

Florentin Smarandache, Mircea Eugen Șelariu 1. INTRODUCTION

Florentin Smarandache, Mircea Eugen Șelariu 1. INTRODUCTION TRILOBIC VIBRANT SYSTEMS Florentin Smarandache, Mircea Eugen Șelariu. INTRODUCTION The trilobes are ex-centric circular supermathematics functions (EC-SMF) of angular excentricity ε = π, with notations

More information