Metode clasice. Camelia Chira.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Metode clasice. Camelia Chira."

Transcription

1 Metode clasice Camelia Chira

2 Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate 3 concepte de baza in abordarea problemelor complexe: Reprezentare Functia de evaluare Vecinatate Algoritmi? Metode? Hill-climbing

3 Recap: De ce sunt unele probleme dificile? Numarul solutiilor posibile din spatiul de cautare este prea mare pentru a permite o cautare exhaustiva Problema este atat de complicata incat este necesara simplificarea ei pentru a obtine orice raspuns incat orice rezultat devine nefolositor Functia de evaluare a calitatii solutiilor gasite se schimba in timp (noisy) nevoie de o serie de solutii si nu una singura Solutiile posibile sunt atat de restrictionate incat chiar si construirea uneia valide este dificila, una optima? Metodele si algoritmii clasici nu pot fi aplicati?

4 Metode traditionale Metodele clasice de optimizare pot fi foarte eficiente in anumite situatii Nu sunt insa robuste 2 categorii: Algoritmi care evalueaza numai solutii complete Algoritmi care necesita evaluarea unor solutii partial construite sau aproximative Solutii complete Toate variabilele sunt complet specificate SAT: un sir de valori binare de lungime n TSP: o permutare de n orase NLP: un vector de n numere reale Solutii partiale (-> subset a lui S) 1. O solutie incompleta la problema initiala 2. O solutie completa la o problema redusa SAT: un sir binar unde primele 2 valori sunt 1 (TRUE) TSP: o permutare care contine secventa NLP: vectori ce contin x 3 =

5 Metode clasice Reprezentare Spatiul de cautare determinat de o anumita reprezentare poate fi considerat ca si multimea solutiilor complete => cautare in acest spatiu Spatiul de cautare poate fi divizat in subspatii si cautarea sa vizeze solutii partiale sau incomplete Spatiu de cautare Metode care lucreaza cu solutii complete Cautare exhaustiva Cautare locala Metoda simplex Metode care lucreaza cu solutii partiale/incomplete Algoritmi greedy Divide and conquer Programare dinamica Algoritmul A*

6 Cautare exhaustiva (Exhaustive search) Verifica fiecare solutie din spatiul de cautare pana cand solutia optima globala este gasita. Also called: enumerative algorithms Nu ai cum sa stii daca ai gasit solutia optima decat daca examinezi toate posibilitatile de solutie Costisitor! Ex. TSP cu 50 de orase are rute posibile de examinat! Totusi... Usor de implementat Exista metode de a reduce volumul de munca e.g. backtracking Unii algoritmi clasici de optimizare (ex. A*, branch and bound) se bazeaza pe cautare exhaustiva

7 SAT: cautare exhaustiva Trebuie sa generam toate sirurile posibile de n biti Cate sunt? 2 n De la la Fiecare corespunde unui numar intreg Cum enumeram fiecare solutie posibila? 1. Generam toate numerele intregi de la 0 la 2 n 1 2. Convertim fiecare numar intreg la sir de biti 3. Sirul de biti este evaluat folosind o functie de evaluare e.g. (1, daca sirul de biti satisface toate clauzele din F, 0 altfel) Obs: Putem opri cautarea mai repede ex. cand o solutie satisface functia de evaluare Am putea face o cautare mai eficienta pentru SAT?

8 SAT: cautare exhaustiva Cate solutii alternative trebuie sa examinam? Spatiul de cautare poate fi organizat ca si un arbore Depth-first search procedure depth-first(v) begin visit v for each child w of v do depth-first(w) end Daca F contine: x 1 x 3 x 4 x 1 =F x 2 =F x 2 =T x 2 =F x 1 =T x 2 =T x 3 =F x 3 =T... Putem deduce ca sub anumite noduri cautarea nu mai gaseste nimic! Dupa ce x 1 = FALSE, x 2 = TRUE, x 3 = TRUE, x 4 = FALSE nu mai conteaza ce valoare primeste x 5, F tot va fi evaluat la FALSE. Revenim la nodul parinte si continuam cu alta ramura

9 TSP: cautare exhaustiva Cum putem genera toate permutarile posibile de n? Cate sunt? n! permutari de n numere Probleme Daca nu fiecare oras este conectat cu toate celelalte? => Solutii nefezabile Problema generarii permutarilor Cum enumeram fiecare solutie posibila? Definirea unei functii care prioritizeaza permutarile de la 0 la n! -1 Recursivitate

10 TSP: cautare exhaustiva Heap s Algorithm procedure generate(n:int, P:array) begin if n=1 then print P else begin for i=0; i < n-1; i=i+1 do generate(n-1,p) if n is even then swap(p[i],p[n-1]) else swap(p[0],p[n-1]) end for generate(n-1,p) end end B. R. Heap, 1963 Initial P[i]=i Fiecare permutare este generata din precedenta prin interschimbarea a 2 elemente si nemodificarea celorlalte n-2 Metoda sistematica de a alege la fiecare pas cele 2 elemente care se interschimba

11 NLP: cautare exhaustiva n variabile - domenii continue => o infinitate de valori posibile Cum putem enumera toate solutiile posibile? Domeniul fiecarei variabile continue poate fi impartit intr-un numar finit de intervale Se considera produsul cartezian al acestor intervale max. f x 1, x 2, unde x 1 1, 3 si x 2 [0, 12] Impartim domeniul [-1,3] in 400 intervale de lungime 0.01 fiecare Impartim domeniul [0,12] in 600 intervale de lungime 0.02 fiecare 400 x 600 = 240,000 celule de verificat Fiecare celula poate fi evaluata considerand un anumit punct din celula e.g. coltul celulei, mijlocul celulei Cautarea este exhaustiva in sensul ca incercam sa acoperim toate solutiile posibile; totusi, fiecare solutie este acoperita de o celula! (cu cat mai mica cu atat mai bine) 11

12 NLP: cautare exhaustiva Dezavantaje Daca folosim celule mai mici (granularitate fina), numarul total de celule creste semnificativ. Ex. Daca domeniul x 1 este impartit in 4000 intervale si cel a lui x 2 in 6000, atunci numarul de celule creste de la 240,000 la 24,000,000 Cu o granularitate mica creste probabilitatea de a nu gasi cea mai buna solutie (celula care o contine nu este neaparat evaluata foarte pozitiv) Cand numarul de variabile este mare, aceasta cautare exhaustiva nu mai este practica pentru ca numarul de celule este mult prea mare. Ex. O problema cu 50 variabile, fiecare cu 100 intervale, ar insemna celule Concluzie: cautarea exhaustiva poate fi ok pentru probleme mici (garanteaza gasirea celei mai bune solutii) dar este nepractica pentru probleme mari unde nu este posibila enumerarea tuturor solutiilor posibile

13 Cautare locala (Local search) Cautarea este focusata in vecinatatea unei anumite solutii Algoritmul de cautare locala 1. Se alege o solutie din spatiul de cautare si se evalueaza. Aceasta este solutia curenta. 2. Se aplica o transformare solutiei curente pentru a genera o noua solutie care este evaluata. 3. Daca solutia noua este mai buna decat solutia curenta atunci se salveaza noua solutie curenta. Altfel, solutia noua se sterge. 4. Se repeta pasii 2 si 3 pana cand nici o transformare nu mai imbunatateste solutia curenta. Important: Ce transformare se aplica solutiei curente? O alta solutie aleatoare! (cautarea devine enumerativa) Aceeasi solutie curenta! Trebuie gasita calea de mijloc: cautarea sa se axeze pe o vecinatate a solutiei curente Vecinatate mica => cautare rapida, dar optim local Vecinatate mare => sansa de a bloca cautarea in optim local este mai mica dar cautarea este eficienta?

14 SAT: cautare locala GSAT este un algoritm de cautare locala foarte cunoscut pentru SAT Parametri: MAX-TRIES = numarul de incercari MAX-FLIPS = numarul maxim de mutari la fiecare incercare make a flip Schimba pe rand fiecare variabila din T (de la TRUE la FALSE si invers) in ordine si salveaza cu cat scade numarul de clauze care nu sunt satisfacute Salveaza in T solutia care a condus la cea mai mare scadere a clauzelor nesatisfacute Obs: E posibil ca cea mai buna solutie returnata de make a flip sa duca la o crestere a numarului de clauze nesatisfacute (fata de solutia curenta). Good or bad? 14

15 TSP: cautare locala Exista multi algoritmi de cautare locala pentru TSP Cea mai simpla metoda: 2-opt 2-opt T o permutare aleatoare de orase Vecinatatea lui T multimea rutelor obtinute prin interschimbarea a doua muchii neadiacente din T (2-interchange) T inlocuieste pe T daca este o ruta mai buna Daca nici un T din vecinatatea lui T nu este mai bun decat T atunci algoritmul se termina Algoritmul ar trebui restartat din mai multe permutari de start T

16 TSP: cautare locala Algoritmul 2-opt poate fi generalizat la k-opt, unde k sau cel mult k muchii sunt selectate pentru a fi sterse si inlocuite k mic => vecinatate mica => cautarea poate fi rapida dar cu sanse mari de a gasi solutii suboptimale k mare => numarul de solutii din vecinatate creste semnificativ (numarul de submultimi creste exponential cu k) k-opt este folosit rar pentru k>3 Algoritmul Lin-Kernighan Cea mai buna cautare locala pentru TSP O generalizare k-opt in care k este variabil Nu alege prima imbunatatire gasita ci cea mai mare

17 Modele matematice clasice Linear Programs (LP) Un singur obiectiv (gasirea max/min unei combinatii liniare de variabile) Atat obiectivul cat si restrictiile sunt liniare Metoda simplex Integer Programs (IP) Probleme in care variabilele trebuie sa fie numere integers (pentru ca reprezinta cantitate / decizii) LP unde una sau mai multe variabile sunt restrictionate la valori intregi NP-hard Euristici

18 Linear Programming: Exemplu Gasiti numerele x 1 si x 2 care maximizeaza suma x 1 + x 2 cu restrictiile x 1 0, x 2 0 nonnegativity constraints x 1 + 2x 2 4 4x 1 + 2x 2 12 x 1 + x 2 1 main constraints functia obiectiv x x 1 + 2x 2 = 12 x 1 + 2x 2 = 4 x 1 + x 2 = 1 Punct optim x 1, x 2 =(8/3, 2/3) x 1

19 Linear Programming A linear programming problem may be defined as the problem of maximizing or minimizing a linear function subject to linear constraints. The constraints may be equalities or inequalities. eval = a 01 x a 0n x n subject to primary constraints x 1 0,, x n 0 and M = m 1 + m 2 + m 3 additional constraints a i1 x a in x n b i, b i 0, i = 1,, m 1 a j1 x a jn x n b j, b i 0, j = m 1 + 1,, m 2 a k1 x a kn x n = b k, b k 0, k = m 1 + m 2 + 1,, M

20 Metoda simplex Construieste cel mai bun vector x printr-o serie de operatii care tin cont de caracteristicile liniare ale problemei Se transforma inegalitatile in egalitati Se interschimba variabile din partea dreapta a unei constrangeri cu cele din stanga de cate ori se poate imbunatati functia de evaluare

21 Exemplu de aplicare Problema: O fabrica produce 2 piese de baza: scaune si mese de birou. Profitul pentru un scaun este 20 si profitul pentru o masa este 30. Fiecare scaun necesita 1 unitate de lemn si 3 ore de munca. Fiecare masa necesita 6 unitati de lemn si 1 ora de munca. Procesul de productie are urmatoarele restrictii: pentru o anumita perioada de timp, exista 288 unitati de lemn si 99 ore de munca disponibile. Scopul este de a maximiza profitul companiei. max. eval = 20x x 2 astfel incat x 1 0, x 2 0 x 1 + 6x x 1 + x 2 99 reformulat max. eval = 20x x 2 astfel incat x 3 = x 1 6x x 4 = 3x 1 x x 1 0, x 2 0, x 3 0, x

22 Exemplu de aplicare max. eval = 20x x 2 astfel incat x 3 = x 1 6x x 4 = 3x 1 x x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 simplex tableau x 1 x 2 x 3 x 4 x x eval Punctul initial fezabil se obtine astfel: setam variabilele din partea dreapta a restrictiilor la 0 (x 1 si x 2 ) si calculam celelalte variabile x 1, x 2, x 3, x 4 = (0,0,288,99) Examinam variabilele din dreapta (x 1 si x 2 ) pentru a decide daca cresterea uneia duce la o valoare mai mare a functiei eval : Cresterea maxima a lui x 1 este 33 deoarece x 4 0 (-3*33+99) => eval creste cu 660 Cresterea maxima a lui x 2 este 48 deoarece x 3 0 (-6*48+288) => eval creste cu 1440 x 2 x

23 Exemplu de aplicare max. eval = 20x x 2 astfel incat x 3 = x 1 6x x 4 = 3x 1 x x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x x eval x 2 x x 3 = x 1 6 x = x 1 6x 2 rescriem problema pentru a pastra variabilele zero in partea dreapta (x 1 si x 3 ) max. eval = 15x 1 5x astfel incat x 2 = 1 6 x x x 4 = 17 6 x x x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 simplex tableau x 1 x 2 x 3 x 4 x 2-1/6 0-1/ x 4-17/6 0 1/ eval

24 Exemplu de aplicare max. eval = 15x 1 5x astfel incat x 2 = 1 6 x x x 4 = 17 6 x x x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 2-1/6 0-1/ x 4-17/6 0 1/ eval Examinam variabilele din dreapta (x 1 si x 3 ) pentru a decide daca cresterea uneia duce la o valoare mai mare a functiei eval : Cresterea maxima a lui x 1 este 18 deoarece x 4 0 (-17/6*18+51) => eval creste cu 270 Cresterea lui x 3 nu este posibila (avem in eval 5x 3 ) x 1 x

25 Exemplu de aplicare max. eval = 15x 1 5x astfel incat x 2 = 1 6 x x x 4 = 17 x x x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 2-1/6 0-1/ x 4-17/6 0 1/ eval x 1 x x 4 = 17 6 (x 1+18) x rescriem problema pentru a pastra variabilele zero in partea dreapta (x 3 si x 4 ) max. eval = x x astfel incat x 1 = 1 17 x x simplex x 2 = 3 x x tableau x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x /17-6/17 18 x /17 1/17 45 eval /17-90/

26 Exemplu de aplicare max. eval = x x astfel incat x 1 = 1 17 x x x 2 = 3 17 x x x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x /17-6/17 18 x /17 1/17 45 eval /17-90/ Examinam variabilele din dreapta (x 3 si x 4 ): O crestere a lui x 3 sau x 4 ar insemna o scadere a valorii functiei eval => Solutia problemei este x 1 = 18 si x 2 = 45 pentru care eval=1710 si reprezinta profitul maxim pentru fabrica. 26

27 Remarci Metode care lucreaza cu solutii complete Cautare exhaustiva Cautare locala Metoda simplex Am examinat cateva metode si algoritmi traditionali de cautare si optimizare care lucreaza cu solutii complete Aceste proceduri pot fi intrerupte la orice iteratie si vor furniza o solutie potentiala a carei calitate nu se cunoaste Problema este ca in aplicatii reale nu se pot enumera toate solutiile posibile pentru a fi verificate Cand metodele care lucreaza cu solutii complete sunt de neaplicat pot fi incercate metode care lucreaza cu solutii partial construite sau aproximative Metode care lucreaza cu solutii partiale/incomplete Algoritmi greedy Divide and conquer Programare dinamica Algoritmul A*

28 Algoritmi greedy (Greedy algorithms) Construiesc solutia completa intr-o serie de pasi La fiecare pas, se alege cea mai buna decizie disponibila (ne trebuie o euristica pentru asta) Alegerea de la fiecare pas este cea optima la nivel local, in speranta ca vom ajunge la optimul global La fiecare pas se alege cel mai mare profit Greedy In multe probleme, o strategie greedy nu produce in general solutia optima dar poate conduce la solutii optime locale care aproximeaza solutia optima globala intr-un timp rezonabil

29 SAT: Algoritmi greedy Luam fiecare variabila pe rand si o setam la TRUE sau la FALSE in functie de o anumita euristica Ce euristica ar putea ghida decizia in SAT? Pentru fiecare variabila de la 1 la n, in orice ordine, setam valoarea de adevar care rezulta in satisfacerea celui mai mare numar de clauze care acum nu sunt satisfacute. Daca acest numar este acelasi, se alege aleator valoarea. Greedy Performanta slaba chiar si pentru probleme simple x 1 (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) (x 1 x 4 ) Pentru x 1 am alege TRUE cu 3 clauze satisfacute. Dar asa prima clauza nu este si nu va fi niciodata satisfacuta indiferent de valorile lui x 2, x 3 si x 4! Too greedy

30 SAT: Algoritmi greedy Abordarea precedenta este prea greedy ordinea in care sunt considerate variabilele nu conteaza Am putea incepe cu acele variabile care apar in mai putine clauze si lasa la sfarsit acele variabile des intalnite (e.g. x 1 ) Sortam variabilele in ordinea frecventei cu care apar in clauze (de la cele mai rare la cele mai frecvente) Pentru fiecare variabila, in ordinea de mai sus, setam valoarea de adevar care rezulta in satisfacerea celui mai mare numar de clauze care acum nu sunt satisfacute. Daca acest numar este acelasi, se alege aleator valoarea. x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 4 x 2 x 5 x 2 x 6 x 1 este prezent in 3 clauze x 2 este prezent in 4 clauze Toate celelelalte variabile apar de mai multe ori Aici nu mai apar x 1 si x 2 dar apar restul de multe ori x 1 = TRUE (2 clauze OK) x 2 = TRUE (+ inca 2 clauze OK) Dar a treia si a patra clauza nu vor putea niciodata fi satisfacute in acelasi timp: x 1 x 4 x 2 x

31 SAT: Algoritmi greedy Euristica poate fi modificata astfel incat sa adreseze problemele identificate De exemplu: O regula ar putea interzice asignarea unei valori unei variabile daca oricare clauza ar deveni FALSE Am putea considera cat de des apar variabile in clauzele ramase (inca nesatisfacute) Sortarea variabilelor sa nu se bazeze numai pe numarul de aparitii in clauze ci si pe lungimea clauzelor in care apar (o variabila care apare intr-o clauza scurta are o alta semnificatie decat una ce apare intr-o clauza lunga cu multe alte variabile) Nici o alternativa nu ar insemna un algoritm care sa mearga pentru toate problemele SAT Nu exista un astfel de algoritm greedy pentru SAT!

32 TSP: Algoritmi greedy Cel mai intuitiv algoritm greedy pentru TSP se bazeaza pe euristica nearest-neighbor (cel mai apropiat vecin) Incepand de la un oras oarecare, se alege cel mai apropiat oras nevizitat inca si se continua procesul pana cand toate orasele au fost vizitate (de la ultimul oras ne intoarcem in primul pentru o ruta completa). A Greedy, dar ruta poate fi departe de una buna/perfecta De multe ori, pretul de platit este mare pentru alegeri greedy la inceput B 2 3 Start in A => ruta greedy: A-B-C-D-A 4 C cost (A-B-C-D-A)= = DAR D cost (A-C-B-D-A)= =

33 TSP: Algoritmi greedy Alte posibilitati? Alegem urmatorul oras cel mai apropiat dar evitam situatia in care in care un oras este in mai mult de doua conexiuni (muchii pe graf). Incepem cu perechea de orase care are cel mai mic cost asociat. Continuam cu urmatoarea pereche de orase in ordinea data de cost. Daca am selectat (B,E) si (A,B) inseamna ca nu mai sunt permise perechi in care sa apara B. Consideram posibilitatea de a merge inapoi la un oras deja vizitat => pentru fiecare pereche (i,j) de orase se alege cea mai buna optiune (e.g. sa se mearga direct de la i la j sau sa se treaca prin orasul vizitat). For every common sense heuristic you can invent, you can find a pathological case that will make it look very silly. (Michalewicz, Fogel, 2004)

34 NLP: Algoritmi greedy Nu exista abordari greedy eficiente pentru NLP Un algoritm cu unele caracteristici greedy ar fi (Line search): Sa presupunem ca functia de optimizat are 2 variabile x 1 si x 2 Pastram x 1 constanta si variem x 2 pana cand ajungem la un optim Facem apoi noua valoare x 2 gasita constanta si variem x 1 pana cand un nou optim este gasit Abordarea nu este chiar greedy pentru ca sunt evaluate solutii complete Alegerea celei mai bune valori pentru o dimensiune este insa o caracteristica greedy Probleme: performanta slabe pentru ca nu sunt considerate interactiunile dintre variabile

35 Divide et Impera Divide and conquer (D&C) Impartim problema data in mai multe subprobleme mai simple care pot fi rezolvate; solutia problemei initiale trebuie apoi asamblata Metoda este recomandata numai daca timpul si efortul necesar divizarii problemei, rezolvarii fiecarei subprobleme si asamblarii solutiei finale nu este mai mare decat costul asociat cu rezolvarea problemei initiale oricat de complexa ar fi Asamblarea solutiei finale este dificila Procedura recursive Divide and Conquer (D&C) pentru rezolvarea problemei P D&C este folosit de multi algoritmi de sortare e.g. quicksort, mergesort

36 Divide and conquer: Example Avem o tabla de sah de dimensiune 2 m (cu 2 m X 2 m celule) care contine o gaura (o celula oarecare este stearsa) Avem la dispozitie piese de forma L Scopul este sa acoperim toata tabla cu aceste piese (nu conteaza orientarea lor) m=4 => tabla de 16 X 16 Spatiul de cautare este format din multe aranjari posibile ale piesei in forma de L pe tabla D&C este o metoda ideala in aceasta problema

37 Divide and conquer: Example Putem diviza tabla in 4 zone egale Numai una va contine gaura Putem aseza atunci prima piesa L astfel incat sa acopere 3 zone (nu si zona in care se afla celula lipsa)

38 Divide and conquer: Example Fiecare patrat are o singura celula neagra Solutia finala

39 TSP: Divide and conquer

40 Programare dinamica (Dynamic programming) Gaseste o solutie globala prin operatii asupra unui punct intermediar care se afla intre solutia curenta si solutia la care vrem sa ajungem Metoda este recursiva: fiecare punct intermediar este in functie de punctele deja vizitate De ce dinamica? Acest termen a fost ales pentru a identifica metoda ca fiind folositoare pentru probleme in care timpul joaca un rol important si ordinea operatiilor poate sa fie foarte importanta Ce probleme pot fi abordate? Problema poate fi descompusa intr-o secventa de decizii luate in etape diferite Fiecare etapa are asociata mai multe stari posibile Cea mai buna secventa de decizii (policy) in orice etapa nu depinde de deciziile luate in etape precedente Se poate defini un cost de a trece dintr-o stare in alta. Exista o relatie recursiva de alegere a celor mai bune decizii

41 Programare dinamica Metoda poate fi aplicata incepand de la obiectiv -> status curent Mai intai determinam cea mai buna decizie de luat in ultima etapa Apoi cea mai buna decizie in penultima, etc. Exemplu: Stagecoach problem (TSP with less roads due to hostile territory) Costul trecererii de la o stare la alta in fiecare etapa este: Etapa 1: Etapa 2: Etapa 3: 2 posibilitati 3 posibilitati 3 posibilitati Etapa 4: 1 posibilitate

42 TSP: Programare dinamica TSP cu 5 orase L = matricea dist. Distanta (costul) de la orasul 1 la orasul 3 este L(1,3)=12 TSP asimetric: L(i, j) L(j, i) Ruta solutie trebuie sa viziteze fiecare oras o singura data Sa presupunem ca incepem la orasul 1 (starting city). V = 1,2,3,4,5 g(i, S) = lungimea celui mai scurt drum de la orasul i la orasul 1 care trece prin fiecare oras din S o singura data TSP: g 1, V 1 =? (cel mai scurt drum care incepe in 1 si trece prin toate orasele din V {1} si se intoarce in 1)

43 TSP: Programare dinamica exemplu Reformulare programare dinamica TSP: g i, S = min{l i, j + g j, S j } j S Solutii la probleme mai mici (unde S contine mai putine orase) la care se adauga inca o conexiune Pentru exemplul dat, trebuie sa gasim g(1,{2,3,4,5}) 1) Incepem de la S = g 2, = L 2,1 = 3 g 3, = L 3,1 = 4 g 4, = L 4,1 = 6 g 5, = L 5,1 = 7 2) Solutii pentru problemele unde S contine 1 oras 3)

44 2) Solutii pentru problemele unde S contine 1 oras (12 subprobleme) Putem incepe in orasul 2, 3, 4 sau 5. Daca incepem in orasul 2: g 2, {3} = L 2,3 + g 3, = = 14 g 2, {4} = L 2,4 + g 4, = = 13 g 2, {5} = L 2,5 + g 5, = = 20 g 2, {3} =14 inseamna ca lungimea celui mai scurt drum de la 2 la 1 care trece prin 3 este 14 Daca incepem in orasul 3: g 3, {2} = L 3,2 + g 2, = = 11 g 3, {4} = L 3,4 + g 4, = = 15 g 3, {5} = L 3,5 + g 5, = = 19 Daca incepem in orasul 4: g 4, {2} = L 4,2 + g 2, = = 9 g 4, {3} = L 4,3 + g 3, = = 13 g 4, {5} = L 4,5 + g 5, = = 17 Daca incepem in orasul 5: g 5, {2} = L 5,2 + g 2, = = 10 g , {3} = L 5,3 + g 3, = = g 5, {4} = L 5,4 + g 4, = = 16

45 3) Solutii pentru problemele unde S contine 2 orase (12 subprobleme) g 2, 3,4 = 20 inseamna ca lungimea celui mai scurt drum de la 2 la 1 care trece prin 3 si 4 este

46 4) Solutii pentru problemele unde S contine 3 orase (4 subprobleme) g 2, 3,4,5 = 32 inseamna ca lungimea celui mai scurt drum de la 2 la 1 care trece prin 3, 4 si 5 este

47 5) Iteratia finala: S contine 4 orase g 1, 2, 3, 4, 5 =? Cea mai scurta ruta are lungimea 38 Care este ruta insa? Trebuie sa mai salvam niste date in timpul calculelor W returneaza urmatorul oras ce ar trebui ales pentru un drum minim W(1,{2,3,4,5}=5 (cel mai scurt drum de la 1 la 1 care trece prin orasele 2,3,4 si 5 trebuie sa treaca mai intai prin 5) W(5,{2,3,4})=2 (cel mai scurt drum de la 5 la 1 care trece prin orasele 2,3 si 4 trebuie sa treaca mai intai prin 2) etc => Ruta este de lungime =38 47

48 Branch and bound Euristica ce se bazeaza pe o partitionare succesiva a spatiului de cautare Printr-o enumerare sistematica a solutiilor candidat, anumite submultimi de solutii nepromitatoare se elimina Daca am evaluat o solutie de cost c si stim ca urmatoarea solutie de evaluat va avea un cost mai slab (minimizare/maximizare) decat c atunci nu are rost sa ii mai calculam costul Spatiul de cautare se organizeaza ca si un arbore (radacina multimea tuturor solutiilor posibile) Este nevoie de o modalitate de a partitiona spatiul de cautare!

49 Branch and bound Branching Splitting procedure: data fiind o multime de solutii candidat S, returneaza doua sau mai multe multimi mai mici a caror reuniune este S Procedura este aplicata recursiv => un arbore (the search tree) ale carui noduri sunt submultimi ale lui S Bounding Este nevoie de o procedura care sa calculeze limitele valorii solutiei cautate (pentru o anumita submultime S) upper and lower bounds Ex: Lower bound TSP pentru un anumit nod = cea mai mica solutie posibila daca am genera un sub-tree de rute valide sub nodul dat Pruning Pentru un nod A, lower bound este mai mare sau egala decat cea mai buna solutie cunoscuta atunci A poate fi eliminat din cautare (deoarece orice solutie obtinuta pe ramura A poate sa fie numai mai slaba) Efect: salvare resurse de calcul care ar fi necesare pentru a genera noduri sub un anumit nod

50 TSP: Branch and bound TSP simetric cu 5 orase Cum partitionam spatiul? S poate fi impartit in subspatii dupa apartenenta unei muchii (i j) la ruta Astfel: Radacina e S Pe primul nivel avem subspatiul ce contine muchia (1 2) si subspatiul ce nu contine muchia (1 2) La urmatorul nivel consideram muchia (2 3) Etc Frunzele arborelui reprezinta solutiile potentiale Cate? (5-1)!/2=

51 Pe aceasta ramura toate solutiile vor contine muchia (1 2) Pe aceasta ramura toate solutiile vor contine muchia (1 2) SI (2 3) Pe aceasta ramura toate solutiile vor contine muchia (1 2) dar nu vor contine muchia (2 3) Pe aceasta ramura nici o ruta nu contine muchia (1 2)

52 TSP: Branch and bound Avem costul (distanta) intre orase Cum estimam o limita inferioara (lower bound) a costului solutiei finale? A B D C Sa consideram ruta A-C-B-D-A cost(a-c-b-d-a)= =19 Costul de a intra si iesi din fiecare nod este: A: 5+4=9 C: 4+3=7 B: 3+7=10 D: 7+5=12 cost(a-c-b-d-a)=( )/2=38/2=19 Cost ruta = (suma tuturor muchiilor care intra si ies din fiecare oras)/2 Aceasta suma a muchiilor nu poate fi mai mica decat acele 2 muchii care au cel mai mic cost (adiacente printr-un anume nod). A: 2+4=6 B: 2+3=5 C: 3+4=7 D: 5+7=12 => LB=( )/2=30/2=15 Nici o ruta nu va costa mai putin de 15!

53 TSP: Branch and bound Limita inferioara (lower bound LB ) a costului solutiei finale? Daca aceasta limita pentru o solutie noua este mai mare decat costul celei mai bune solutii, putem sa eliminam noua solutie fara sa ii mai calculam costul exact. Intr-o ruta, orice oras este legat de celelalte prin doua muchii adiacente Luam cele mai scurte 2 muchii adiacente legate de orice oras si le calculam suma dist. Lower bound = suma / 2 Lower bound peste toate rutele posibile in exemplul nostru este: [(7+8)+(7+7)+(9+10)+(7+8)+(10+11)]/2=84/2=42 (7+8) cele mai scurte muchii ce pleaca din orasul 1 (7+7) cele mai scurte muchii ce pleaca din orasul etc 53

54 TSP: Branch and bound Pe masura ce anumite muchii sunt incluse in solutie putem calcula LB pentru acea solutie partiala LB(S) = [(7+8)+(7+7)+(9+10)+(7+8)+(10+11)]/2= 84/2=42 LB(A) = [(7+8)+(7+7)+(9+10)+(7+8)+(10+11)]/2= 84/2=42 LB(B) = [(8+11)+(7+10)+(9+10)+(7+8)+(10+11)]/2= 91/2=45.5 (1 2) A S (1 2) B LB(C) = [(7+8)+(7+10)+(9+10)+(7+8)+(10+11)]/2= 87/2=43.5 LB(D) = [(7+8)+(7+7)+(9+12)+(7+8)+(10+11)]/2= 86/2=43 C (1 2) (2 3) D (1 2) (2 3)

55 Algoritmul A* Algoritmii greedy nu au intotdeauna o performanta buna: ceea ce arata cel mai bine acum nu este intotdeauna ceea ce e nevoie mai tarziu Best-first search -> Algoritmul A* Daca spatiul de cautare este organizat ca un arbore: Putem porni de la radacina pana la un anumit nivel inainte de a evalua si apoi reconstrui solutia Putem ordona nodurile disponibile folosind o euristica care sa corespunda cu asteparile pe care le avem de la o solutie Ideea e ca vrem sa cautam mai intai in acele noduri care au cea mai buna sanse sa ofere ceva bun

56 Best-first search Se folosesc 2 liste de noduri: Open nodurile disponibile Closed nodurile explorate deja Best-first search incepe de la un nod oarecare (cu care se initializeaza lista Closed) -> toti copiii nodului se pun in lista Open si sunt evaluate de o euristica h h evalueaza costul minim din nodul curent pana la starea finala Nodul cu cea mai buna valoare a h este explorat mai departe Daca nodul este o solutie a problemei atunci este intoarsa ca rezultat calea de la starea initiala pana la nod (mergand recursiv din parinte in parinte)

57 Best-first search: exemplu Drumul cel mai scurt de la Arad la Bucuresti Pentru orice nod n, h(n) =? Distanta in linie dreapta de la n la Bucuresti

58 Pentru acest exemplu, best-first nu gaseste cel mai scurt drum. De ce?

59 Algoritmul A* Extinde best-first search: se considera costul pana la nodul curent + costul ramas estimat Functia de evaluare: f(n)=g(n)+h(n), pentru orice nod n g(n) reprezinta evaluarea deciziilor deja luate h(n) reprezinta potentialul deciziilor ramase de luat f(n) reprezinta costul estimat al celei mai bune solutii care trece prin n g este destul de clara si usor de definit ex. TSP h =? Strategia este completa si optimala daca euristica h(n) este admisibila: h n h (n), n unde h*(n) este este distanta exacta de la nodul n la cea mai apropiata solutie

60

61 solutia optima

62 Concluzii Cautare exhaustiva Cautare locala Metodele traditionale sunt construite pentru tipuri particulare de probleme Pot fi eficiente in anumite cazuri pe tipul particular de problema pentru care au fost dezvoltate Metoda simplex Algoritmi greedy Divide and conquer Programare dinamica Algoritmul A* Daca putem descompune o problema in mai multe subprobleme sau daca putem organiza spatiul de cautare ca un arbore unele metode traditionale pot fi eficiente pe probleme de dimensiuni mici Dar daca asamblarea solutiilor subproblemelor este imposibila? Ex. TSP cu 100 orase descompus in 20 TSP cu 5 orase Pentru probleme reale care sunt complexe, intractabile, cu multe optime locale avem nevoie de metode care sa mearga dincolo de ce pot face algoritmii clasici!

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Proiectarea Algoritmilor

Proiectarea Algoritmilor Proiectarea Algoritmilor Ștefan Trăușan-Matu stefan.trausan@cs.pub.ro Obiectivele cursului Discutarea relaţiei dintre caracteristicile problemelor, modul de rezolvare şi calitatea soluţiilor. Obiectivele

More information

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 Structura Ce este programarea dinamică? Aplicație: problema discretă a rucsacului Funcții de memorie (memoizare) Aplicație: înmulțirea optimală

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine

Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine 1. Obiective In aceasta lucrare se va implementa clasificatorul SVM liniar si se va studia mecanismele de clasificare bazate

More information

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01 Modelare si control predictiv - proiect - Controlul predictiv bazat pe modele intrare-stare-iesire Asist. ing. Constantin Florin Caruntu 23:01 Cuprins Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire

More information

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Conţinut Tipurile abstracte LLin, LLinOrd, Stiva, Coada Liste liniare Implementarea cu tablouri Implementarea cu liste simplu înlănțuite Liste liniare ordonate Stive Cozi

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Aprilie 208 ii Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 9 Variabile aleatoare discrete Texas Holdem Poker: In Texas Hold em Poker

More information

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU)

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU) PRELUCRRI PE IMGINI BINRE (LB/NEGRU) Imagine binara? 2 nuante: alb ( 0 ) pixelii de fond ( I(x,y)= 255 pt. imagini indexate cu 8 biti/pixel ) negru ( 1 ) pixelii apartinand obiectelor ( I(x,y)= 0 pt. imagini

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea Babeş-Bolyai Erika Nagy Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale cu aplicaţii Rezumatul

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Alocarea resurselor radio in cadrul retelelor GSM/GPRS este importanta intrucat acestea sunt proiectate sa transmita trafic mixt: oce ate:

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Agricultural Engineering

Agricultural Engineering THE DETERMINATION OF QUALITY CHARACTERISTICS FOR THE WORKING PROCESS OF INDENTED CYLINDER SEPARATORS AS FUNCTIONS OF PROCESS PARAMETERS OF THESE EQUIPMENTS / DETERMINAREA CARACTERISTICILOR CALITATIVE ALE

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut

More information

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP , GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate

More information

Curs II Dinamica spaţiului disponibil al sedimentării -noţiuni de stratigrafie secvenţială- modele diferite

Curs II Dinamica spaţiului disponibil al sedimentării -noţiuni de stratigrafie secvenţială- modele diferite Curs II Dinamica spaţiului disponibil al sedimentării -noţiuni de stratigrafie secvenţială- modele diferite Lect. Dr. R. D. Roban STRATIGRAFIA SECVENŢIALĂ, o derivată a stratigrafiei seismice, (Vail et

More information

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit De la mare la mic 2 Universul ca o prajitura Tava: spatiu-timp Ingrediente:

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

CALITATEA VIEŢII ÎN ORAŞELE ROMÂNEŞTI ÎN CONTEXTUL REFORMEI STATULUI

CALITATEA VIEŢII ÎN ORAŞELE ROMÂNEŞTI ÎN CONTEXTUL REFORMEI STATULUI QUALITY OF LIFE IN ROMANIAN CITIES IN THE CONTEXT OF STATE REFORM CALITATEA VIEŢII ÎN ORAŞELE ROMÂNEŞTI ÎN CONTEXTUL REFORMEI STATULUI Cristina ALPOPI Associate Professor Ph.D., Administration and Public

More information

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage)

Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) Clustering 0. 1. Exemplifying the application of hierarchical agglomerative clustering (single-, complete- and average-linkage) CMU, 2012 fall, Tom Mitchell, Ziv Bar-Joseph, HW4, pr. 2.a extended by Liviu

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

Prelegerea 7. Sistemul de criptare AES. 7.1 Istoric

Prelegerea 7. Sistemul de criptare AES. 7.1 Istoric Prelegerea 7 Sistemul de criptare AES 7.1 Istoric La sfârşitul anilor 90 se decide înlocuirea sistemului de criptare DES. Motivele sunt multiple, dar menţionăm numai două: În iulie 1998 sistemul DES pe

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor

Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor Aprilie 2018 ii Regula 50 50 90: de fiecare data cand ai o sansa de 50 50 sa intelegi ceva corect exista o probabilitate de 90% sa intelegi

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Counties of Romania List

Counties of Romania List O P A Romanian PSK Award eria de diplome Romanian PSK Award a fost conceputa de clubul European de PSK (EPC) la data de 22 mai 009. Scopul fiind de a stimula activitatea PSK cu statii de radioamatori din

More information

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM.

4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM. / Mini-comutatoare cu came Prezentare generalã a sistemului Întreruptoare Pornit-Oprit Comutatoare de comandã HA ND AU TO HPL-de-DE O Mini-comutatoare cu came / Montaj pe ușã (.../E) Frontal IP Montaj

More information

"IIITO-TEC 'NIKI" & EQUIPME

IIITO-TEC 'NIKI & EQUIPME LIGHTING "IIITO-TEC 'NIKI" & EQUIPME T FOR CITIES 6 MAKEDONOMAHON STR.,ZIPCaDE:67009,KALO ORI,THESSALONIKI, GREECE TEL / FAX: 0030 2310761824/751626,8 mall: hito@otenet.qi' Webslte:www.hlto..techkl.gr

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

Lucrare de cercetare postdoctorală

Lucrare de cercetare postdoctorală ACADEMIA ROMÂNĂ Institutul Naţional de Cercetări Economice "Costin C. Kiriţescu" Lucrare de cercetare postdoctorală Expert îndrumător: Prof. Dr. Lucian BEZNEA Cercetător postdoctorand: Anca-Iuliana BONCIOCAT

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances

Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances Authors: Daniela SCHOPPMEYER- PhD Student, ASE Bucharest Dan CECHIN-CRISTEA, PhD, Allianz- Tiriac Asigurari Abstract In this paper we will

More information

LIGHTNING MVP System

LIGHTNING MVP System LIGHTNING MVP System Lightning MVP System Control (HACCP+SSOP) Swab-uri pentru lichide si pentru Suprafete Accesorii ph Temperatura Condutivitate Monitorizare ATP Prin Bioluminescenta Cel mai complet si

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

SOLUŢII ŞI COMENTARII OIM 2012 MAR DEL PLATA ARGENTINA

SOLUŢII ŞI COMENTARII OIM 2012 MAR DEL PLATA ARGENTINA SOLUŢII ŞI COMENTARII OIM 202 MAR DEL PLATA ARGENTINA Abstract. Comments and solutions for IMO 202. Data: 5 iulie 202. Autor: Dan Schwarz, Bucureşti.. Introducere Prezentarea soluţiilor problemelor propuse

More information

Procesarea Imaginilor

Procesarea Imaginilor Procesarea Imaginilor Curs 12 Modele de culoare. Procesarea si segmentarea imaginilor color. Senzori color Achizitia imaginilor color http://www.siliconimaging.com/rgb%20bayer.htm white balance, decodificare

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

Decision Trees Some exercises

Decision Trees Some exercises Decision Trees Some exercises 0. . Exemplifying how to compute information gains and how to work with decision stumps CMU, 03 fall, W. Cohen E. Xing, Sample questions, pr. 4 . Timmy wants to know how to

More information

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz First Day January 13, 015) Problems Problem 1. Each point with

More information

Clasa a 10-a. Review of preview

Clasa a 10-a. Review of preview 1 of 12 2/1/2016 11:10 AM PHI 2016 You are logged in as Admin User (Logout) edesc PHI2016 Quizzes Clasa a 10-a Review of preview Info Results Preview Edit Clasa a 10-a Review of preview Started on Monday,

More information

Invatare supervizata. Modele liniare. Ruxandra Stoean

Invatare supervizata. Modele liniare. Ruxandra Stoean Invatare supervizata. Modele liniare Ruxandra Stoean rstoean@inf.ucv.ro http://inf.ucv.ro/~rstoean Invatare supervizata Concept Date de intrare cu iesiri puse la dispozitie De invatat modul de asociere

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate CASA NATIONALA DE ASIGURARI DE SANATATE Ordin pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate Având în vedere: Act publicat in Monitorul Oficial al

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information