Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1
|
|
- Jerome Goodwin
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we will present some fundamental results concerning this notion Keywords: commutativity degree, solvable groups, supersolvable groups, nilpotent groups MSC 00: 0D60, 0F6, 0F8 Introducere Gradul de comutativitate al unui grup finit G se defineşte prin d(g) = G {(x,y) G xy = yx} şi măsoară probabilitatea ca două elemente alese aleatoriu din G să comute Principalele probleme abordate în studiul gradului de comutativitate sunt: Găsirea unor limite pentru d(g) Determinarea grupurilor finite G pentru care d(g) = (, )a, unde a (0,] este fixat Caracterizarea unor clase importante de grupuri finite utilizând gradul de comutativitate Calculul gradului de comutativitate Generalizări ale gradului de comutativitate Câteva proprietăţi imediate ale gradului de comutativitate: 0 < d(g), oricare ar fi grupul finit G d(g) = dacă şi numai dacă grupul G este abelian 3 d(h) d(g) d(h), oricare ar fi grupul finit G şi H G [G : H] 4 d(g) d(h)d(g/h), oricare ar fi grupul finit G şi H G 5 Funcţia d este total multiplicativă, adică d(g G ) = d(g )d(g ) oricare ar fi G şi G grupuri finite Lucrarea de tip survey este o parte a comunicării prezentate de autor la Conferinţa Naţională a SSMR, Iaşi, 4-6 octombrie 04 Confdr, Facultatea de Matematică, Univ,,AlI Cuza, Iaşi; tarnauc@uaicro 4
2 Limite pentru gradul de comutativitate Limita 5 8 Teorema Fie G un grup finit neabelian Atunci d(g) 5 şi avem d(g) = dacă şi numai dacă G/Z(G) = Z Z Observaţie Grupurile Q 8 şi D 8 satisfac proprietatea G/Z(G) = Z Z, deci au gradul de comutativitate 5 Alte grupuri cu această proprietate sunt grupurile 8 semidiedrale SD n= x,y x n = y =,y xy = x n +,n 4 Teorema Pentru orice n N există un grup finit G de ordin 8n cu d(g) = 5 8 Pentru orice k {,,,7} nu există un grup finit G de ordin k(mod8) cu d(g) = 5 8 p-limite p-limitele reprezintă limite ale lui d(g) scrise în funcţie de cel mai mic divizor prim p al lui G/Z(G) Teorema Cu notaţiile anterioare, avem Dacă, în plus, G/Z(G) = p k, atunci d(g) p +p p 3 d(g) pk +p k p k Corolarul Fie p un număr prim Dacă G este un grup neabelian de ordin p 3, atunci d(g) = p +p p 3 Exemplu Grupul Heisenberg peste inelul Z 3 are gradul de comutativitate 7 3 l-limite şi lp-limite l-limitele şi lp-limitele reprezintă limite ale lui d(g) scrise în funcţie de l = G/Z(G), respectiv în funcţie de l = G/Z(G) şi de cel mai mic divizor prim p al lui l Teorema 3 Cu notaţiile anterioare, avem lp+l p l d(g) l+p lp 5
3 Corolarul 3 Fie G un grup neabelian finit Dacă G/Z(G) = l, atunci Exemplu Fie n 3 Atunci 3l l d(g) l+ l 3 n! n! d(s n ) n!+ n! 4 Limita superioară centralizator Derivă din ecuaţia claselor şi reprezintă o limită superioară a lui d(g) scrisă în funcţie de indicele unui centralizator de ordin maxim Teorema 4 Fie G un grup finit neabelian Atunci există x G\Z(G) astfel încât 3 d(g) [G : C G (x)] Dacă, în plus, Z(G) = {e}, atunci există x G\{e} astfel încât d(g) [G : C G (x)] Corolarul 4 Au loc inegalităţile: d(d n ), oricare ar fi n 3 impar d(s n ), oricare ar fi n 4 n(n ) 5 Limite provenite din ecuaţia gradelor Teorema 5 Fie G un grup finit Atunci G d(g) G Corolarul 5 Nu există grupuri finite având gradul de comutativitate în intervalul 5 8, Generalizare Fie G un grup neabelian finit şi d gradul minim al unei reprezentări neliniare a lui G Atunci d(g) d + d G În plus, avem egalitate dacă toate reprezentările neliniare ale lui G sunt de grad d 6
4 6 Limite superioare în funcţie de lungimea derivată Teorema 6 Fie G un grup rezolubil finit de lungimea derivată d 4 Atunci d(g) 4d 7 d+ Teorema 6 Fie G un p-grup finit de lungime derivată d Atunci d(g) pd +p d p d Exemplu Fie G un p-grup finit de ordin p n, unde n > Atunci G are lungime derivată cel mult d = [ n ], deci inegalitatea dată de Teorema 6 devine d(g) p + [n ] p [n ] p [n ] 7 Limite inferioare adiţionale Teorema 7 Dacă G este un grup nilpotent finit de clasă de nilpotenţă n, atunci d(g) n G n n+ G Corolarul 7 Dacă G este un grup nilpotent finit, atunci k(g) > log G şi astfel d(g) > log G G Teorema 73 Dacă G este un grup rezolubil finit de lungime derivată d, atunci d(g) d+ G Teorema 74 Dacă G este un grup rezolubil finit de lungime derivată d, atunci k(g) G d şi astfel d(g) 3 Rezultate structurale 3 Grupuri nilpotente G d d > G Teorema 3 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > Atunci G este nilpotent 7
5 Corolarul 3 Fie G un grup finit nenilpotent astfel încât d(g) = Au loc: G/Z(G) = S 3 Dacă Z(G) este impar, atunci G are un subgrup H = S 3 astfel încât G = H Z(G) Teorema 33 Fie G un grup neabelian finit cu d(g) > Atunci G = G 0 G G G k, unde G 0 este un -grup cu G 0 = şi G i este un p i -grup abelian cu p i, i =,,,k 3 Grupuri rezolubile Teorema 3 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > rezolubil Atunci G este Lema 3 Singurul grup finit simplu neabelian cu gradul de comutativitate este A 5 Teorema 33 Fie G un grup finit nerezolubil cu d(g) = Atunci există un grup abelian A astfel încât G = A 5 A Corolarul 34 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > 3 Atunci fie G este 40 rezolubil, fie G = A 5 A unde A este un grup abelian şi d(g) = 33 Grupuri superrezolubile Definiţia 33 Fie G şi G două grupuri Spunem că o pereche (f,g) este un izoclinism de la G la G dacă sunt satisfăcute următoarele condiţii: f este un izomorfism de la G Z(G ) la G Z(G ) g este un izomorfism de la G la G 3 Diagrama G Z(G ) G Z(G ) f f G Z(G G ) Z(G ) α G g G α este comutativă, adică α (f f) = g α, unde α i (ˆx,ŷ) = [x,y], x,y G i, i =, 8
6 Observaţie Dacă G şi G sunt două grupuri finite izoclinice, atunci d(g ) = d(g ) Teorema 33 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > 5 Atunci are loc una 6 şi numai una din următoarele trei situaţii: G este superrezolubil; G este izoclinic cu A 4 ; 3 G/Z(G) este izoclinic cu A 4 Corolarul 333 Fie G un grup finit astfel încât d(g) Atunci G este fie 3 superrezolubil, fie izoclinic cu A 4 Corolarul 334 Fie G un grup finit de ordin impar astfel încât d(g) > 75 Atunci G este superrezolubil 4 Calculul gradului de comutativitate 4 R pn -grupuri R pn = x,y x p = y n =,yxy = x r, unde p este prim, n p şi r are gradul n modulo p Teorema 4 d(r pn ) = n +p n p Corolarul 4 Pentru orice număr prim p există un grup finit G cu d(g) = p, anume G = R p(p ) 4 D pq -grupuri Teorema 4 d(d pq ) = q +p q p D pq = R pq, q prim Corolarul 4 Pentru orice număr prim q există un şir de grupuri finite G i cu lim i d(g i ) = q, anume G i = D piq, unde p i = +iq, i Z 43 T pqnθ -grupuri T pqnθ = x,y x p = y qn =,yxy = x λθ, unde n N, p şi q sunt prime, q p, λ are ordin q modulo p şi θ {,,,q } Teorema 43 d(t pqnθ ) = q + pq Corolarul 43 Pentru oricare n N, q prim şi θ {,,,q } există un şir de grupuri finite G i cu lim i d(g i ) = 0, anume G i = T piqnθ, unde p i = +iq, i Z 9
7 44 G n -grupuri G n = T 3n,λ = Teorema 44 d(g n ) = 45 Grupuri diciclice Dic n = x,y x n = y 4 =,y xy = x,x n = y,n Teorema 45 d(dic n ) = n+3 4n Corolarul 45 lim n d(dic n ) = 4 46 Grupuri cuaternionice generalizate Teorema 46 d(q n) = n +3 n+ Q n = Dic n,n 3 Corolarul 46 lim n d(q n) = 4 47 Grupuri diedrale Teorema 47 d(d n ) = D n = x,y x n = y =,yxy = x n,n n+3 4n, n impar n+6 4n, n par Corolarul 47 lim n d(d n ) = 4 48 Grupuri cvasidiedrale QD n = x,y x n = y =, y xy = x n,n 4 Teorema 48 d(qd n) = n +3 n+ Corolarul 48 lim n d(qd n) = 4 0
8 49 Grupuri simetrice şi grupuri alterne Teorema 49 Numărul claselor de conjugare din grupul simetric S n este egal cu numărul p(n) al partiţiilor lui n În plus, p(n) 4n 3 e π n 3 p(n) Corolarul 49 d(s n ) 4n 3n! e π n 3 şi lim n d(s n ) = 0 3r +r 4 8n 3 e π n 3 Teorema 493 Numărul claselor de conjugare din grupul altern A n este k(a n ) = + 3 ( )n ( ) p n r r < n Corolarul 494 d(a n ) Corolarul 495 k(a n ) p(n) 4n 3n! e π n 3 şi lim n d(a n ) = 0 şi lim n d(s n ) d(a n ) = 5 Valori posibile ale gradului de comutativitate 5 Valori posibile în intervalul å, è Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > Atunci există n N astfel încât d(g) = + n În plus, are loc una din următoarele două situaţii: G este abelian G = G 0 A, unde G 0 este un -grup, A este un grup abelian şi G = Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât d(g) = Atunci G = G n A, unde G n = x,y x n = y 3 =,xyx = y, n şi A este un grup abelian 5 Valori posibile pentru grupuri G cu G/Z(G) < Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât G/Z(G) < şi G/Z(G) este abelian Are loc una din următoarele situaţii: Dacă G/Z(G) este ciclic, atunci G este abelian şi astfel d(g) = Dacă G/Z(G) = Z Z, atunci d(g) = Dacă G/Z(G) = Z 3 Z 3, atunci d(g) = 7 4 Dacă G/Z(G) = Z Z Z, atunci d(g) nu poate fi precizat
9 Observaţie Nu există grupuri finite G pentru care G/Z(G) = Z Z 4 Exemplu Fie G şi G următoarele grupuri de ordin 64: G = x,y,z x = y = z 4 =,(xz ) = (yz ),(xz ) 4 = (yz ) 4, (yxz ) 3 = zx y,(yxy) = xz,(zyzx) = z yzx, G = x,y,z x 4 = y 4 = z 4 =,xy = y x,yx = x y,xz = z x, zx = x z,yz = zy,xyz = yxz,xzy = zxy Atunci G i /Z(G i ) = Z Z Z, i =,, şi d(g ) = = d(g ) Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât G/Z(G) < şi G/Z(G) este neabelian Are loc una din următoarele situaţii: Dacă G/Z(G) = S 3, atunci G = G n A, unde n, A este un grup abelian şi d(g) = Dacă G/Z(G) = D 8, atunci d(g) = Dacă G/Z(G) = D 0, atunci d(g) = 5 Observaţie Nu există grupuri finite G pentru care G/Z(G) = Q 8 53 Valori posibile de tipul p cu p prim Teorema 53 Pentru orice număr prim p există un grup finit G cu d(g) = p În plus, G este produs direct de grupuri rezolubile Corolarul 53 Pentru orice n N există un grup finit rezolubil G cu d(g)= n Corolarul 533 Pentru orice număr prim p de forma k (număr prim Marsenne) există un grup finit indecompozabil G cu d(g) = p Teorema 534 Fie p un număr prim Atunci d(g) p nilpotent G pentru orice grup finit 6 Probleme deschise Problema 6 Pentru ce numere naturale m şi n cu m < n există un grup finit G astfel încât d(g) = m n? Problema 6 Dat un număr iraţional a [0,], există un şir de grupuri finite G n, n N, astfel încât lim n d(g n ) = a?
10 Problema 63 Este mulţimea å gradelor è de comutativitate ale grupurilor neabeliene finite densă în intervalul 0, 5? 8 Problema 64 Ce se poate spune despre două grupuri finite G şi G pentru care d(g ) = d(g )? Problema 65 Dat a Bibliografie å 0, 5 8 è, determinaţi grupurile finite G pentru care d(g)=a A Castelaz Commutativity degree of finite groups, Master Degree Thesis, Wake Forest University, USA, 00 F Barry, D MacHale, AN Shé Some supersolvability conditions for finite groups, Math Proc R Ir Acad, 06 (006), P Erdös, P Turan On some problems of a statistical group theory, IV, Acta Math Acad Sci Hung, 9 (968), A Erfanian, P Lescot, R Rezaei On the relative commutativity degree of a subgroup of a finite group, Comm Algebra, 35 (007), RM Guralnick, GR Robinson On the commuting probability in finite groups, J Algebra, 300 (006), WH Gustafson What is the probability that two group elements commute?, Amer Math Monthly, 80 (973), P Hall A contribution to the theory of groups of prime-power order, Proc London Math Soc, 36 (933), KS Joseph Commutativity in non-abelian groups, PhD Thesis, University of California, LA, P Lescot Sur certains groupes finis, Rev Math Spéciales, 8 (987), P Lescot Degré de commutativité et structure d un groupe fini (), Rev Math Spéciales, 8 (988), P Lescot Degré de commutativité et structure d un groupe fini (), Rev Math Spéciales, 4 (989), 00-0 P Lescot Isoclinism classes and commutativity degrees of finite groups, J Algebra, 77 (995), P Lescot Central extensions and commutativity degree, Comm Algebra, 9 (00), P Lescot, HN Nguyen, Y Yang On the commuting probability and supersolvability of finite groups, Monatsh Math, 74 (04), DJ Rusin What is the probability that two elements of a finite group commute?, Pacific J Math, 8 (979), G Sherman What is the probablity an automorphism fixes a group element?, Amer Math Monthly, 8 (975), G Sherman A lower bound for the number of conjugacy classes in a finite nilpotent group, Pacific J Math, 80 (979),
Soluţii juniori., unde 1, 2
Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr
More informationDivizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi
Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic
More informationA SURVEY ON THE ESTIMATION OF COMMUTATIVITY IN FINITE GROUPS
A SURVEY ON THE ESTIMATION OF COMMUTATIVITY IN FINITE GROUPS A K DAS, R K NATH, AND M R POURNAKI Abstract Let G be a finite group and let C = {(x, y G G xy = yx} Then Pr(G = C / G 2 is the probability
More informationDespre AGC cuasigrupuri V. Izbaș
Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri
More informationProcedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur
Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities
More informationON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2
ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,
More informationTeorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu
Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea
More informationA Survey on the Estimation of Commutativity in Finite Groups
Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2013) 37: 161 180 Southeast Asian Bulletin of Mathematics c SEAMS. 2013 A Survey on the Estimation of Commutativity in Finite Groups A.K. Das and R.K. Nath Department
More informationSisteme cu logica fuzzy
Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R
More informationFORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss
More informationO V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number
MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.
More informationCOMMUTATIVITY DEGREE OF FINITE GROUPS. Anna Castelaz
COMMUTATIVITY DEGREE OF FINITE GROUPS By Anna Castelaz A Thesis Submitted to the Graduate Faculty of WAKE FOREST UNIVERSITY in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of MASTER OF ARTS in
More informationBarem de notare clasa a V-a
Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor
More informationCâteva rezultate de algebră comutativă
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.
More informationSelf-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract)
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Self-Small Abelian Groups and Related Problems (Abstract) Author: Simion BREAZ 2013 Abstract Let R be
More informationFinite groups determined by an inequality of the orders of their elements
Publ. Math. Debrecen 80/3-4 (2012), 457 463 DOI: 10.5486/PMD.2012.5168 Finite groups determined by an inequality of the orders of their elements By MARIUS TĂRNĂUCEANU (Iaşi) Abstract. In this note we introduce
More informationRELATIVE N-TH NON-COMMUTING GRAPHS OF FINITE GROUPS. Communicated by Ali Reza Ashrafi. 1. Introduction
Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol. 39 No. 4 (2013), pp 663-674. RELATIVE N-TH NON-COMMUTING GRAPHS OF FINITE GROUPS A. ERFANIAN AND B. TOLUE Communicated by Ali Reza Ashrafi Abstract. Suppose
More informationLIMIT POINTS IN THE RANGE OF THE COMMUTING PROBABILITY FUNCTION ON FINITE GROUPS
LIMIT POINTS IN THE RANGE OF THE COMMUTING PROBABILITY FUNCTION ON FINITE GROUPS PETER HEGARTY ABSTRACT. If G is a finite group, then Pr(G) denotes the fraction of ordered pairs of elements of G which
More informationRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina
More informationGraduări pe algebre de matrice
UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu
More informationTeoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1
Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass
More informationLegi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan
Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.
More informationINEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:
More informationUNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile
More informationU.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN ALTERNATING -GROUPS. Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN 1223-7027 ALTERNATING -GROUPS Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2 In acest articol studiem structura grupurilor alternate finite şi demonstrăm că dintre
More informationPentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II
Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi
More informationBABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE
BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE STUDIES ON THE EXPONENTIAL MAPPING AND GEOMETRIC MECHANICS Ph.D. Thesis Summary Professor DORIN ANDRICA, Ph.D. Ph.D. Student:
More informationMugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI
Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu
More informationEcuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea
Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul
More informationAPLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae
More informationOn Laplacian energy of non-commuting graphs of finite groups
Journal of Linear and Topological Algebra Vol 07, No 0, 018, 11-13 On Laplacian energy of non-commuting graphs of finite groups P Dutta a, R K Nath a, a Department of Mathematical Sciences, Tezpur University,
More informationREZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:
More informationMATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE
Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4
More informationNON-NILPOTENT GROUPS WITH THREE CONJUGACY CLASSES OF NON-NORMAL SUBGROUPS. Communicated by Alireza Abdollahi. 1. Introduction
International Journal of Group Theory ISSN (print): 2251-7650, ISSN (on-line): 2251-7669 Vol. 3 No. 2 (2014), pp. 1-7. c 2014 University of Isfahan www.theoryofgroups.ir www.ui.ac.ir NON-NILPOTENT GROUPS
More informationOn the Mutually Commuting n-tuples. in Compact Groups
International Journal of Algebra, Vol. 1, 2007, no. 6, 251-262 On the Mutually Commuting n-tuples in Compact roups A. Erfanian and R. Kamyabi-ol Centre of Excellency in Analysis on Algebraic Structures
More informationPROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015
PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei
More informationarxiv: v1 [math.gr] 18 Dec 2017
Probabilistic aspects of ZM-groups arxiv:7206692v [athgr] 8 Dec 207 Mihai-Silviu Lazorec Deceber 7, 207 Abstract In this paper we study probabilistic aspects such as (cyclic) subgroup coutativity degree
More informationFINITE GROUPS WITH THREE RELATIVE COMMUTATIVITY DEGREES. Communicated by Ali Reza Ashrafi. 1. Introduction
Bulleti of the Iraia Mathematical Society Vol. 39 No. 2 203), pp 27-280. FINITE GROUPS WITH THREE RELATIVE COMMUTATIVITY DEGREES R. BARZGAR, A. ERFANIAN AND M. FARROKHI D. G. Commuicated by Ali Reza Ashrafi
More informationTeoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)
Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale
More informationOn the solvability of groups with four class sizes.
On the solvability of groups with four class sizes. Antonio Beltrán Departamento de Matemáticas, Universidad Jaume I, 12071 Castellón, Spain e-mail: abeltran@mat.uji.es and María José Felipe Instituto
More informationPROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat
More informationELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.
More informationINCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific
More informationRezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii
Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE
More informationOn the nilpotent conjugacy class graph of groups
Note di Matematica ISSN 1123-2536, e-issn 1590-0932 Note Mat. 37 (2017) no. 2, 77 89. doi:10.1285/i15900932v37n2p77 On the nilpotent conjugacy class graph of groups A. Mohammadian Department of Pure Mathematics,
More informationGENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE
Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la
More informationDefiniţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.
Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i
More informationSubiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani
Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu
More informationSIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE
SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare
More informationA NOTE ON PRIMITIVE SUBGROUPS OF FINITE SOLVABLE GROUPS
Commun. Korean Math. Soc. 28 (2013), No. 1, pp. 55 62 http://dx.doi.org/10.4134/ckms.2013.28.1.055 A NOTE ON PRIMITIVE SUBGROUPS OF FINITE SOLVABLE GROUPS Xuanli He, Shouhong Qiao, and Yanming Wang Abstract.
More informationOn W -S-permutable Subgroups of Finite Groups
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 1xx (201x) Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova c European Mathematical Society On W -S-permutable Subgroups of Finite Groups Jinxin Gao Xiuyun Guo
More informationCristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;
Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic
More informationTrying to Do Group Theory with Undergraduates and Computers
. J. Symbolic Computation (1997) 23, 577 587 Trying to Do Group Theory with Undergraduates and Computers GARY J. SHERMAN Department of Mathematics, Rose-Hulman Institute of Technology, U.S.A. (Received
More informationA Note on Subgroup Coverings of Finite Groups
Analele Universităţii de Vest, Timişoara Seria Matematică Informatică XLIX, 2, (2011), 129 135 A Note on Subgroup Coverings of Finite Groups Marius Tărnăuceanu Abstract. In this note we determine the finite
More informationGROUPS OF ORDER AT MOST 24
THE nth COMMUTATIVITY DEGREE OF N ONABELIAN MET ABELIAN GROUPS OF ORDER AT MOST 24 ZULEZZAH BINTI ABD HALIM UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA THE nth COMMUTATIVITY DEGREE OF NONABELIAN MET ABELIAN GROUPS OF
More informationCOMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS
74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical
More information1. Group Theory Permutations.
1.1. Permutations. 1. Group Theory Problem 1.1. Let G be a subgroup of S n of index 2. Show that G = A n. Problem 1.2. Find two elements of S 7 that have the same order but are not conjugate. Let π S 7
More informationAn arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group
arxiv:180512158v1 [mathgr] 21 May 2018 An arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group Marius Tărnăuceanu October 1, 2010 Abstract The main goal of this paper is to apply the arithmetic
More informationφ(xy) = (xy) n = x n y n = φ(x)φ(y)
Groups 1. (Algebra Comp S03) Let A, B and C be normal subgroups of a group G with A B. If A C = B C and AC = BC then prove that A = B. Let b B. Since b = b1 BC = AC, there are a A and c C such that b =
More informationARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE
S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.
More informationProgramarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu
Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)
More informationOn Finite Groups in which Every Solvable Non-cyclic Proper Subgroup is either Self-normalizing or Normal 1
International Journal of Algebra, Vol. 6, 2012, no. 23, 1111-1115 On Finite Groups in which Every Solvable Non-cyclic Proper Subgroup is either Self-normalizing or Normal 1 Shuxia Zhang School of Mathematics
More informationALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN
ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)
More informationAlte rezultate din teoria codurilor
Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie
More informationz-classes in finite groups of conjugate type (n, 1)
Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) (2018) 128:31 https://doi.org/10.1007/s12044-018-0412-5 z-classes in finite groups of conjugate type (n, 1) SHIVAM ARORA 1 and KRISHNENDU GONGOPADHYAY 2, 1 Department
More informationOn The Number Of Distinct Cyclic Subgroups Of A Given Finite Group
BearWorks Institutional Repository MSU Graduate Theses Spring 2016 On The Number Of Distinct Cyclic Subgroups Of A Given Finite Group Joseph Dillstrom As with any intellectual project, the content and
More informationCHAPTER III NORMAL SERIES
CHAPTER III NORMAL SERIES 1. Normal Series A group is called simple if it has no nontrivial, proper, normal subgroups. The only abelian simple groups are cyclic groups of prime order, but some authors
More informationUtilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete
72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,
More informationReactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)
Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum
More informationMinimal order semigroups with specified commuting probability
Minimal order semigroups with specified commuting probability STEPHEN M. BUCKLEY Abstract. We determine the minimal order of a semigroup whose commuting probability equals any specified rational value
More informationUtilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015
Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,
More informationCourse 311: Abstract Algebra Academic year
Course 311: Abstract Algebra Academic year 2007-08 D. R. Wilkins Copyright c David R. Wilkins 1997 2007 Contents 1 Topics in Group Theory 1 1.1 Groups............................... 1 1.2 Examples of Groups.......................
More informationTEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI
Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator
More informationFINITE GROUPS WHOSE SUBNORMAL SUBGROUPS PERMUTE WITH ALL SYLOW SUBGROUPS
PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 47, Number 1, January 1975 FINITE GROUPS WHOSE SUBNORMAL SUBGROUPS PERMUTE WITH ALL SYLOW SUBGROUPS RAM K. AGRAWAL1 ABSTRACT. As a generalization
More informationQUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE
INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE
More informationOn dimension of the Schur multiplier of nilpotent Lie algebras
Cent. Eur. J. Math. 9() 0 57-64 DOI: 0.478/s533-00-0079-3 Central European Journal of Mathematics On dimension of the Schur multiplier of nilpotent Lie algebras Research Article Peyman Niroomand School
More informationProceedings Mathematical Sciences z-classes in finite groups of conjugate type (n,1)
Proceedings Mathematical Sciences z-classes in finite groups of conjugate type (n,1) --Manuscript Draft-- Manuscript Number: Full Title: Article Type: Keywords: Corresponding Author: PMSC-D--00R1 z-classes
More informationGeneral Linear Groups as Automorphism Groups
International Journal of Algebra, Vol. 5, 2011, no. 27, 1327-1335 General Linear Groups as Automorphism Groups S. Fouladi Department of Mathematics, Arak University, Arak, Iran s-fouladi@araku.ac.ir R.
More informationECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ
Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific
More informationGroups with many subnormal subgroups. *
Groups with many subnormal subgroups. * Eloisa Detomi Dipartimento di Matematica, Facoltà di Ingegneria, Università degli Studi di Brescia, via Valotti 9, 25133 Brescia, Italy. E-mail: detomi@ing.unibs.it
More informationTRIPLE FACTORIZATION OF NON-ABELIAN GROUPS BY TWO MAXIMAL SUBGROUPS
Journal of Algebra and Related Topics Vol. 2, No 2, (2014), pp 1-9 TRIPLE FACTORIZATION OF NON-ABELIAN GROUPS BY TWO MAXIMAL SUBGROUPS A. GHARIBKHAJEH AND H. DOOSTIE Abstract. The triple factorization
More informationON THE SUBGROUP LATTICE OF AN ABELIAN FINITE GROUP
ON THE SUBGROUP LATTICE OF AN ABELIAN FINITE GROUP Marius Tărnăuceanu Faculty of Mathematics Al.I. Cuza University of Iaşi, Romania e-mail: mtarnauceanu@yahoo.com The aim of this paper is to give some
More informationRădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2
Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice
More informationELEMENTARY GROUPS BY HOMER BECHTELL
ELEMENTARY GROUPS BY HOMER BECHTELL 1. Introduction. The purpose of this paper is to investigate two classes of finite groups, elementary groups and E-groups. The elementary groups have the property that
More informationInternational Journal of Pure and Applied Mathematics Volume 13 No , M-GROUP AND SEMI-DIRECT PRODUCT
International Journal of Pure and Applied Mathematics Volume 13 No. 3 2004, 381-389 M-GROUP AND SEMI-DIRECT PRODUCT Liguo He Department of Mathematics Shenyang University of Technology Shenyang, 110023,
More informationRecognising nilpotent groups
Recognising nilpotent groups A. R. Camina and R. D. Camina School of Mathematics, University of East Anglia, Norwich, NR4 7TJ, UK; a.camina@uea.ac.uk Fitzwilliam College, Cambridge, CB3 0DG, UK; R.D.Camina@dpmms.cam.ac.uk
More informationGroup Theory. 1. Show that Φ maps a conjugacy class of G into a conjugacy class of G.
Group Theory Jan 2012 #6 Prove that if G is a nonabelian group, then G/Z(G) is not cyclic. Aug 2011 #9 (Jan 2010 #5) Prove that any group of order p 2 is an abelian group. Jan 2012 #7 G is nonabelian nite
More information1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE
1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru
More informationSolution of Brauer s k(b)-conjecture for π-blocks of π-separable groups
Solution of Brauer s k(b)-conjecture for π-blocks of π-separable groups Benjamin Sambale October 9, 2018 Abstract Answering a question of Pálfy and Pyber, we first prove the following extension of the
More informationThe Structure of Minimal Non-ST-Groups
2012 2nd International Conference on Industrial Technology and Management (ICITM 2012) IPCSIT vol. 49 (2012) (2012) IACSIT Press, Singapore DOI: 10.7763/IPCSIT.2012.V49.41 The Structure of Minimal Non-ST-Groups
More informationA GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se
More informationON STRUCTURE AND COMMUTATIVITY OF NEAR - RINGS
Proyecciones Vol. 19, N o 2, pp. 113-124, August 2000 Universidad Católica del Norte Antofagasta - Chile ON STRUCTURE AND COMMUTATIVITY OF NEAR - RINGS H. A. S. ABUJABAL, M. A. OBAID and M. A. KHAN King
More informationAlgebra Ph.D. Entrance Exam Fall 2009 September 3, 2009
Algebra Ph.D. Entrance Exam Fall 2009 September 3, 2009 Directions: Solve 10 of the following problems. Mark which of the problems are to be graded. Without clear indication which problems are to be graded
More informationThe 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care
The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.
More informationBOUNDEDLY GENERATED SUBGROUPS OF FINITE GROUPS
BOUNDEDLY GENERATED SUBGROUPS OF FINITE GROUPS Andrea Lucchini Università di Padova, Italy 2nd Biennial International Group Theory Conference Istanbul, February 4-8, 2013 AN (EASY?) QUESTION Assume that
More informationNILPOTENT NUMBERS JONATHAN PAKIANATHAN AND KRISHNAN SHANKAR
NILPOTENT NUMBERS JONATHAN PAKIANATHAN AND KRISHNAN SHANKAR Introduction. One of the first things we learn in abstract algebra is the notion of a cyclic group. For every positive integer n, we have Z n,
More informationHabilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations
UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability
More informationU.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2
U.P.B. ci. Bull., eries A, Vol. 74, Iss. 3, 212 IN 1223-727 A CALAR OPERATOR Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 În această lucrare studiem o clasă nouă de operatori numiţi -scalari. Aceştia apar în mod natural,
More informationarxiv: v1 [math.gr] 3 Jan 2019
WORD MAPS IN FINITE SIMPLE GROUPS arxiv:1901.00836v1 [math.gr] 3 Jan 2019 WILLIAM COCKE AND MENG-CHE TURBO HO Abstract. Elements of the free group define interesting maps, known as word maps, on groups.
More informationQuestion: 1. Use suitable identities to find the following products:
CH-2 Polynomial Question: 1. Use suitable identities to find the following products: (i) (x + 4) (x + 10) Solution:- (x+4)(x+10) = x 2 +10x+4x+4 x 10 = x 2 +14x+40 (ii) (x + 8) (x 10) Solution: x 2-10x+8x-80
More information