Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1"

Transcription

1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we will present some fundamental results concerning this notion Keywords: commutativity degree, solvable groups, supersolvable groups, nilpotent groups MSC 00: 0D60, 0F6, 0F8 Introducere Gradul de comutativitate al unui grup finit G se defineşte prin d(g) = G {(x,y) G xy = yx} şi măsoară probabilitatea ca două elemente alese aleatoriu din G să comute Principalele probleme abordate în studiul gradului de comutativitate sunt: Găsirea unor limite pentru d(g) Determinarea grupurilor finite G pentru care d(g) = (, )a, unde a (0,] este fixat Caracterizarea unor clase importante de grupuri finite utilizând gradul de comutativitate Calculul gradului de comutativitate Generalizări ale gradului de comutativitate Câteva proprietăţi imediate ale gradului de comutativitate: 0 < d(g), oricare ar fi grupul finit G d(g) = dacă şi numai dacă grupul G este abelian 3 d(h) d(g) d(h), oricare ar fi grupul finit G şi H G [G : H] 4 d(g) d(h)d(g/h), oricare ar fi grupul finit G şi H G 5 Funcţia d este total multiplicativă, adică d(g G ) = d(g )d(g ) oricare ar fi G şi G grupuri finite Lucrarea de tip survey este o parte a comunicării prezentate de autor la Conferinţa Naţională a SSMR, Iaşi, 4-6 octombrie 04 Confdr, Facultatea de Matematică, Univ,,AlI Cuza, Iaşi; 4

2 Limite pentru gradul de comutativitate Limita 5 8 Teorema Fie G un grup finit neabelian Atunci d(g) 5 şi avem d(g) = dacă şi numai dacă G/Z(G) = Z Z Observaţie Grupurile Q 8 şi D 8 satisfac proprietatea G/Z(G) = Z Z, deci au gradul de comutativitate 5 Alte grupuri cu această proprietate sunt grupurile 8 semidiedrale SD n= x,y x n = y =,y xy = x n +,n 4 Teorema Pentru orice n N există un grup finit G de ordin 8n cu d(g) = 5 8 Pentru orice k {,,,7} nu există un grup finit G de ordin k(mod8) cu d(g) = 5 8 p-limite p-limitele reprezintă limite ale lui d(g) scrise în funcţie de cel mai mic divizor prim p al lui G/Z(G) Teorema Cu notaţiile anterioare, avem Dacă, în plus, G/Z(G) = p k, atunci d(g) p +p p 3 d(g) pk +p k p k Corolarul Fie p un număr prim Dacă G este un grup neabelian de ordin p 3, atunci d(g) = p +p p 3 Exemplu Grupul Heisenberg peste inelul Z 3 are gradul de comutativitate 7 3 l-limite şi lp-limite l-limitele şi lp-limitele reprezintă limite ale lui d(g) scrise în funcţie de l = G/Z(G), respectiv în funcţie de l = G/Z(G) şi de cel mai mic divizor prim p al lui l Teorema 3 Cu notaţiile anterioare, avem lp+l p l d(g) l+p lp 5

3 Corolarul 3 Fie G un grup neabelian finit Dacă G/Z(G) = l, atunci Exemplu Fie n 3 Atunci 3l l d(g) l+ l 3 n! n! d(s n ) n!+ n! 4 Limita superioară centralizator Derivă din ecuaţia claselor şi reprezintă o limită superioară a lui d(g) scrisă în funcţie de indicele unui centralizator de ordin maxim Teorema 4 Fie G un grup finit neabelian Atunci există x G\Z(G) astfel încât 3 d(g) [G : C G (x)] Dacă, în plus, Z(G) = {e}, atunci există x G\{e} astfel încât d(g) [G : C G (x)] Corolarul 4 Au loc inegalităţile: d(d n ), oricare ar fi n 3 impar d(s n ), oricare ar fi n 4 n(n ) 5 Limite provenite din ecuaţia gradelor Teorema 5 Fie G un grup finit Atunci G d(g) G Corolarul 5 Nu există grupuri finite având gradul de comutativitate în intervalul 5 8, Generalizare Fie G un grup neabelian finit şi d gradul minim al unei reprezentări neliniare a lui G Atunci d(g) d + d G În plus, avem egalitate dacă toate reprezentările neliniare ale lui G sunt de grad d 6

4 6 Limite superioare în funcţie de lungimea derivată Teorema 6 Fie G un grup rezolubil finit de lungimea derivată d 4 Atunci d(g) 4d 7 d+ Teorema 6 Fie G un p-grup finit de lungime derivată d Atunci d(g) pd +p d p d Exemplu Fie G un p-grup finit de ordin p n, unde n > Atunci G are lungime derivată cel mult d = [ n ], deci inegalitatea dată de Teorema 6 devine d(g) p + [n ] p [n ] p [n ] 7 Limite inferioare adiţionale Teorema 7 Dacă G este un grup nilpotent finit de clasă de nilpotenţă n, atunci d(g) n G n n+ G Corolarul 7 Dacă G este un grup nilpotent finit, atunci k(g) > log G şi astfel d(g) > log G G Teorema 73 Dacă G este un grup rezolubil finit de lungime derivată d, atunci d(g) d+ G Teorema 74 Dacă G este un grup rezolubil finit de lungime derivată d, atunci k(g) G d şi astfel d(g) 3 Rezultate structurale 3 Grupuri nilpotente G d d > G Teorema 3 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > Atunci G este nilpotent 7

5 Corolarul 3 Fie G un grup finit nenilpotent astfel încât d(g) = Au loc: G/Z(G) = S 3 Dacă Z(G) este impar, atunci G are un subgrup H = S 3 astfel încât G = H Z(G) Teorema 33 Fie G un grup neabelian finit cu d(g) > Atunci G = G 0 G G G k, unde G 0 este un -grup cu G 0 = şi G i este un p i -grup abelian cu p i, i =,,,k 3 Grupuri rezolubile Teorema 3 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > rezolubil Atunci G este Lema 3 Singurul grup finit simplu neabelian cu gradul de comutativitate este A 5 Teorema 33 Fie G un grup finit nerezolubil cu d(g) = Atunci există un grup abelian A astfel încât G = A 5 A Corolarul 34 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > 3 Atunci fie G este 40 rezolubil, fie G = A 5 A unde A este un grup abelian şi d(g) = 33 Grupuri superrezolubile Definiţia 33 Fie G şi G două grupuri Spunem că o pereche (f,g) este un izoclinism de la G la G dacă sunt satisfăcute următoarele condiţii: f este un izomorfism de la G Z(G ) la G Z(G ) g este un izomorfism de la G la G 3 Diagrama G Z(G ) G Z(G ) f f G Z(G G ) Z(G ) α G g G α este comutativă, adică α (f f) = g α, unde α i (ˆx,ŷ) = [x,y], x,y G i, i =, 8

6 Observaţie Dacă G şi G sunt două grupuri finite izoclinice, atunci d(g ) = d(g ) Teorema 33 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > 5 Atunci are loc una 6 şi numai una din următoarele trei situaţii: G este superrezolubil; G este izoclinic cu A 4 ; 3 G/Z(G) este izoclinic cu A 4 Corolarul 333 Fie G un grup finit astfel încât d(g) Atunci G este fie 3 superrezolubil, fie izoclinic cu A 4 Corolarul 334 Fie G un grup finit de ordin impar astfel încât d(g) > 75 Atunci G este superrezolubil 4 Calculul gradului de comutativitate 4 R pn -grupuri R pn = x,y x p = y n =,yxy = x r, unde p este prim, n p şi r are gradul n modulo p Teorema 4 d(r pn ) = n +p n p Corolarul 4 Pentru orice număr prim p există un grup finit G cu d(g) = p, anume G = R p(p ) 4 D pq -grupuri Teorema 4 d(d pq ) = q +p q p D pq = R pq, q prim Corolarul 4 Pentru orice număr prim q există un şir de grupuri finite G i cu lim i d(g i ) = q, anume G i = D piq, unde p i = +iq, i Z 43 T pqnθ -grupuri T pqnθ = x,y x p = y qn =,yxy = x λθ, unde n N, p şi q sunt prime, q p, λ are ordin q modulo p şi θ {,,,q } Teorema 43 d(t pqnθ ) = q + pq Corolarul 43 Pentru oricare n N, q prim şi θ {,,,q } există un şir de grupuri finite G i cu lim i d(g i ) = 0, anume G i = T piqnθ, unde p i = +iq, i Z 9

7 44 G n -grupuri G n = T 3n,λ = Teorema 44 d(g n ) = 45 Grupuri diciclice Dic n = x,y x n = y 4 =,y xy = x,x n = y,n Teorema 45 d(dic n ) = n+3 4n Corolarul 45 lim n d(dic n ) = 4 46 Grupuri cuaternionice generalizate Teorema 46 d(q n) = n +3 n+ Q n = Dic n,n 3 Corolarul 46 lim n d(q n) = 4 47 Grupuri diedrale Teorema 47 d(d n ) = D n = x,y x n = y =,yxy = x n,n n+3 4n, n impar n+6 4n, n par Corolarul 47 lim n d(d n ) = 4 48 Grupuri cvasidiedrale QD n = x,y x n = y =, y xy = x n,n 4 Teorema 48 d(qd n) = n +3 n+ Corolarul 48 lim n d(qd n) = 4 0

8 49 Grupuri simetrice şi grupuri alterne Teorema 49 Numărul claselor de conjugare din grupul simetric S n este egal cu numărul p(n) al partiţiilor lui n În plus, p(n) 4n 3 e π n 3 p(n) Corolarul 49 d(s n ) 4n 3n! e π n 3 şi lim n d(s n ) = 0 3r +r 4 8n 3 e π n 3 Teorema 493 Numărul claselor de conjugare din grupul altern A n este k(a n ) = + 3 ( )n ( ) p n r r < n Corolarul 494 d(a n ) Corolarul 495 k(a n ) p(n) 4n 3n! e π n 3 şi lim n d(a n ) = 0 şi lim n d(s n ) d(a n ) = 5 Valori posibile ale gradului de comutativitate 5 Valori posibile în intervalul å, è Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât d(g) > Atunci există n N astfel încât d(g) = + n În plus, are loc una din următoarele două situaţii: G este abelian G = G 0 A, unde G 0 este un -grup, A este un grup abelian şi G = Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât d(g) = Atunci G = G n A, unde G n = x,y x n = y 3 =,xyx = y, n şi A este un grup abelian 5 Valori posibile pentru grupuri G cu G/Z(G) < Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât G/Z(G) < şi G/Z(G) este abelian Are loc una din următoarele situaţii: Dacă G/Z(G) este ciclic, atunci G este abelian şi astfel d(g) = Dacă G/Z(G) = Z Z, atunci d(g) = Dacă G/Z(G) = Z 3 Z 3, atunci d(g) = 7 4 Dacă G/Z(G) = Z Z Z, atunci d(g) nu poate fi precizat

9 Observaţie Nu există grupuri finite G pentru care G/Z(G) = Z Z 4 Exemplu Fie G şi G următoarele grupuri de ordin 64: G = x,y,z x = y = z 4 =,(xz ) = (yz ),(xz ) 4 = (yz ) 4, (yxz ) 3 = zx y,(yxy) = xz,(zyzx) = z yzx, G = x,y,z x 4 = y 4 = z 4 =,xy = y x,yx = x y,xz = z x, zx = x z,yz = zy,xyz = yxz,xzy = zxy Atunci G i /Z(G i ) = Z Z Z, i =,, şi d(g ) = = d(g ) Teorema 5 Fie G un grup finit astfel încât G/Z(G) < şi G/Z(G) este neabelian Are loc una din următoarele situaţii: Dacă G/Z(G) = S 3, atunci G = G n A, unde n, A este un grup abelian şi d(g) = Dacă G/Z(G) = D 8, atunci d(g) = Dacă G/Z(G) = D 0, atunci d(g) = 5 Observaţie Nu există grupuri finite G pentru care G/Z(G) = Q 8 53 Valori posibile de tipul p cu p prim Teorema 53 Pentru orice număr prim p există un grup finit G cu d(g) = p În plus, G este produs direct de grupuri rezolubile Corolarul 53 Pentru orice n N există un grup finit rezolubil G cu d(g)= n Corolarul 533 Pentru orice număr prim p de forma k (număr prim Marsenne) există un grup finit indecompozabil G cu d(g) = p Teorema 534 Fie p un număr prim Atunci d(g) p nilpotent G pentru orice grup finit 6 Probleme deschise Problema 6 Pentru ce numere naturale m şi n cu m < n există un grup finit G astfel încât d(g) = m n? Problema 6 Dat un număr iraţional a [0,], există un şir de grupuri finite G n, n N, astfel încât lim n d(g n ) = a?

10 Problema 63 Este mulţimea å gradelor è de comutativitate ale grupurilor neabeliene finite densă în intervalul 0, 5? 8 Problema 64 Ce se poate spune despre două grupuri finite G şi G pentru care d(g ) = d(g )? Problema 65 Dat a Bibliografie å 0, 5 8 è, determinaţi grupurile finite G pentru care d(g)=a A Castelaz Commutativity degree of finite groups, Master Degree Thesis, Wake Forest University, USA, 00 F Barry, D MacHale, AN Shé Some supersolvability conditions for finite groups, Math Proc R Ir Acad, 06 (006), P Erdös, P Turan On some problems of a statistical group theory, IV, Acta Math Acad Sci Hung, 9 (968), A Erfanian, P Lescot, R Rezaei On the relative commutativity degree of a subgroup of a finite group, Comm Algebra, 35 (007), RM Guralnick, GR Robinson On the commuting probability in finite groups, J Algebra, 300 (006), WH Gustafson What is the probability that two group elements commute?, Amer Math Monthly, 80 (973), P Hall A contribution to the theory of groups of prime-power order, Proc London Math Soc, 36 (933), KS Joseph Commutativity in non-abelian groups, PhD Thesis, University of California, LA, P Lescot Sur certains groupes finis, Rev Math Spéciales, 8 (987), P Lescot Degré de commutativité et structure d un groupe fini (), Rev Math Spéciales, 8 (988), P Lescot Degré de commutativité et structure d un groupe fini (), Rev Math Spéciales, 4 (989), 00-0 P Lescot Isoclinism classes and commutativity degrees of finite groups, J Algebra, 77 (995), P Lescot Central extensions and commutativity degree, Comm Algebra, 9 (00), P Lescot, HN Nguyen, Y Yang On the commuting probability and supersolvability of finite groups, Monatsh Math, 74 (04), DJ Rusin What is the probability that two elements of a finite group commute?, Pacific J Math, 8 (979), G Sherman What is the probablity an automorphism fixes a group element?, Amer Math Monthly, 8 (975), G Sherman A lower bound for the number of conjugacy classes in a finite nilpotent group, Pacific J Math, 80 (979),

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

A SURVEY ON THE ESTIMATION OF COMMUTATIVITY IN FINITE GROUPS

A SURVEY ON THE ESTIMATION OF COMMUTATIVITY IN FINITE GROUPS A SURVEY ON THE ESTIMATION OF COMMUTATIVITY IN FINITE GROUPS A K DAS, R K NATH, AND M R POURNAKI Abstract Let G be a finite group and let C = {(x, y G G xy = yx} Then Pr(G = C / G 2 is the probability

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

A Survey on the Estimation of Commutativity in Finite Groups

A Survey on the Estimation of Commutativity in Finite Groups Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2013) 37: 161 180 Southeast Asian Bulletin of Mathematics c SEAMS. 2013 A Survey on the Estimation of Commutativity in Finite Groups A.K. Das and R.K. Nath Department

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

COMMUTATIVITY DEGREE OF FINITE GROUPS. Anna Castelaz

COMMUTATIVITY DEGREE OF FINITE GROUPS. Anna Castelaz COMMUTATIVITY DEGREE OF FINITE GROUPS By Anna Castelaz A Thesis Submitted to the Graduate Faculty of WAKE FOREST UNIVERSITY in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of MASTER OF ARTS in

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Self-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract)

Self-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract) UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Self-Small Abelian Groups and Related Problems (Abstract) Author: Simion BREAZ 2013 Abstract Let R be

More information

Finite groups determined by an inequality of the orders of their elements

Finite groups determined by an inequality of the orders of their elements Publ. Math. Debrecen 80/3-4 (2012), 457 463 DOI: 10.5486/PMD.2012.5168 Finite groups determined by an inequality of the orders of their elements By MARIUS TĂRNĂUCEANU (Iaşi) Abstract. In this note we introduce

More information

RELATIVE N-TH NON-COMMUTING GRAPHS OF FINITE GROUPS. Communicated by Ali Reza Ashrafi. 1. Introduction

RELATIVE N-TH NON-COMMUTING GRAPHS OF FINITE GROUPS. Communicated by Ali Reza Ashrafi. 1. Introduction Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol. 39 No. 4 (2013), pp 663-674. RELATIVE N-TH NON-COMMUTING GRAPHS OF FINITE GROUPS A. ERFANIAN AND B. TOLUE Communicated by Ali Reza Ashrafi Abstract. Suppose

More information

LIMIT POINTS IN THE RANGE OF THE COMMUTING PROBABILITY FUNCTION ON FINITE GROUPS

LIMIT POINTS IN THE RANGE OF THE COMMUTING PROBABILITY FUNCTION ON FINITE GROUPS LIMIT POINTS IN THE RANGE OF THE COMMUTING PROBABILITY FUNCTION ON FINITE GROUPS PETER HEGARTY ABSTRACT. If G is a finite group, then Pr(G) denotes the fraction of ordered pairs of elements of G which

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN ALTERNATING -GROUPS. Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN ALTERNATING -GROUPS. Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2 U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN 1223-7027 ALTERNATING -GROUPS Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2 In acest articol studiem structura grupurilor alternate finite şi demonstrăm că dintre

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE STUDIES ON THE EXPONENTIAL MAPPING AND GEOMETRIC MECHANICS Ph.D. Thesis Summary Professor DORIN ANDRICA, Ph.D. Ph.D. Student:

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

On Laplacian energy of non-commuting graphs of finite groups

On Laplacian energy of non-commuting graphs of finite groups Journal of Linear and Topological Algebra Vol 07, No 0, 018, 11-13 On Laplacian energy of non-commuting graphs of finite groups P Dutta a, R K Nath a, a Department of Mathematical Sciences, Tezpur University,

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

NON-NILPOTENT GROUPS WITH THREE CONJUGACY CLASSES OF NON-NORMAL SUBGROUPS. Communicated by Alireza Abdollahi. 1. Introduction

NON-NILPOTENT GROUPS WITH THREE CONJUGACY CLASSES OF NON-NORMAL SUBGROUPS. Communicated by Alireza Abdollahi. 1. Introduction International Journal of Group Theory ISSN (print): 2251-7650, ISSN (on-line): 2251-7669 Vol. 3 No. 2 (2014), pp. 1-7. c 2014 University of Isfahan www.theoryofgroups.ir www.ui.ac.ir NON-NILPOTENT GROUPS

More information

On the Mutually Commuting n-tuples. in Compact Groups

On the Mutually Commuting n-tuples. in Compact Groups International Journal of Algebra, Vol. 1, 2007, no. 6, 251-262 On the Mutually Commuting n-tuples in Compact roups A. Erfanian and R. Kamyabi-ol Centre of Excellency in Analysis on Algebraic Structures

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

FINITE GROUPS WITH THREE RELATIVE COMMUTATIVITY DEGREES. Communicated by Ali Reza Ashrafi. 1. Introduction

FINITE GROUPS WITH THREE RELATIVE COMMUTATIVITY DEGREES. Communicated by Ali Reza Ashrafi. 1. Introduction Bulleti of the Iraia Mathematical Society Vol. 39 No. 2 203), pp 27-280. FINITE GROUPS WITH THREE RELATIVE COMMUTATIVITY DEGREES R. BARZGAR, A. ERFANIAN AND M. FARROKHI D. G. Commuicated by Ali Reza Ashrafi

More information

arxiv: v1 [math.gr] 18 Dec 2017

arxiv: v1 [math.gr] 18 Dec 2017 Probabilistic aspects of ZM-groups arxiv:7206692v [athgr] 8 Dec 207 Mihai-Silviu Lazorec Deceber 7, 207 Abstract In this paper we study probabilistic aspects such as (cyclic) subgroup coutativity degree

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

On the solvability of groups with four class sizes.

On the solvability of groups with four class sizes. On the solvability of groups with four class sizes. Antonio Beltrán Departamento de Matemáticas, Universidad Jaume I, 12071 Castellón, Spain e-mail: abeltran@mat.uji.es and María José Felipe Instituto

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

On the nilpotent conjugacy class graph of groups

On the nilpotent conjugacy class graph of groups Note di Matematica ISSN 1123-2536, e-issn 1590-0932 Note Mat. 37 (2017) no. 2, 77 89. doi:10.1285/i15900932v37n2p77 On the nilpotent conjugacy class graph of groups A. Mohammadian Department of Pure Mathematics,

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

A NOTE ON PRIMITIVE SUBGROUPS OF FINITE SOLVABLE GROUPS

A NOTE ON PRIMITIVE SUBGROUPS OF FINITE SOLVABLE GROUPS Commun. Korean Math. Soc. 28 (2013), No. 1, pp. 55 62 http://dx.doi.org/10.4134/ckms.2013.28.1.055 A NOTE ON PRIMITIVE SUBGROUPS OF FINITE SOLVABLE GROUPS Xuanli He, Shouhong Qiao, and Yanming Wang Abstract.

More information

On W -S-permutable Subgroups of Finite Groups

On W -S-permutable Subgroups of Finite Groups Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 1xx (201x) Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova c European Mathematical Society On W -S-permutable Subgroups of Finite Groups Jinxin Gao Xiuyun Guo

More information

Trying to Do Group Theory with Undergraduates and Computers

Trying to Do Group Theory with Undergraduates and Computers . J. Symbolic Computation (1997) 23, 577 587 Trying to Do Group Theory with Undergraduates and Computers GARY J. SHERMAN Department of Mathematics, Rose-Hulman Institute of Technology, U.S.A. (Received

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

A Note on Subgroup Coverings of Finite Groups

A Note on Subgroup Coverings of Finite Groups Analele Universităţii de Vest, Timişoara Seria Matematică Informatică XLIX, 2, (2011), 129 135 A Note on Subgroup Coverings of Finite Groups Marius Tărnăuceanu Abstract. In this note we determine the finite

More information

GROUPS OF ORDER AT MOST 24

GROUPS OF ORDER AT MOST 24 THE nth COMMUTATIVITY DEGREE OF N ONABELIAN MET ABELIAN GROUPS OF ORDER AT MOST 24 ZULEZZAH BINTI ABD HALIM UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA THE nth COMMUTATIVITY DEGREE OF NONABELIAN MET ABELIAN GROUPS OF

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

1. Group Theory Permutations.

1. Group Theory Permutations. 1.1. Permutations. 1. Group Theory Problem 1.1. Let G be a subgroup of S n of index 2. Show that G = A n. Problem 1.2. Find two elements of S 7 that have the same order but are not conjugate. Let π S 7

More information

An arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group

An arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group arxiv:180512158v1 [mathgr] 21 May 2018 An arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group Marius Tărnăuceanu October 1, 2010 Abstract The main goal of this paper is to apply the arithmetic

More information

φ(xy) = (xy) n = x n y n = φ(x)φ(y)

φ(xy) = (xy) n = x n y n = φ(x)φ(y) Groups 1. (Algebra Comp S03) Let A, B and C be normal subgroups of a group G with A B. If A C = B C and AC = BC then prove that A = B. Let b B. Since b = b1 BC = AC, there are a A and c C such that b =

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

On Finite Groups in which Every Solvable Non-cyclic Proper Subgroup is either Self-normalizing or Normal 1

On Finite Groups in which Every Solvable Non-cyclic Proper Subgroup is either Self-normalizing or Normal 1 International Journal of Algebra, Vol. 6, 2012, no. 23, 1111-1115 On Finite Groups in which Every Solvable Non-cyclic Proper Subgroup is either Self-normalizing or Normal 1 Shuxia Zhang School of Mathematics

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

z-classes in finite groups of conjugate type (n, 1)

z-classes in finite groups of conjugate type (n, 1) Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) (2018) 128:31 https://doi.org/10.1007/s12044-018-0412-5 z-classes in finite groups of conjugate type (n, 1) SHIVAM ARORA 1 and KRISHNENDU GONGOPADHYAY 2, 1 Department

More information

On The Number Of Distinct Cyclic Subgroups Of A Given Finite Group

On The Number Of Distinct Cyclic Subgroups Of A Given Finite Group BearWorks Institutional Repository MSU Graduate Theses Spring 2016 On The Number Of Distinct Cyclic Subgroups Of A Given Finite Group Joseph Dillstrom As with any intellectual project, the content and

More information

CHAPTER III NORMAL SERIES

CHAPTER III NORMAL SERIES CHAPTER III NORMAL SERIES 1. Normal Series A group is called simple if it has no nontrivial, proper, normal subgroups. The only abelian simple groups are cyclic groups of prime order, but some authors

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Minimal order semigroups with specified commuting probability

Minimal order semigroups with specified commuting probability Minimal order semigroups with specified commuting probability STEPHEN M. BUCKLEY Abstract. We determine the minimal order of a semigroup whose commuting probability equals any specified rational value

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

Course 311: Abstract Algebra Academic year

Course 311: Abstract Algebra Academic year Course 311: Abstract Algebra Academic year 2007-08 D. R. Wilkins Copyright c David R. Wilkins 1997 2007 Contents 1 Topics in Group Theory 1 1.1 Groups............................... 1 1.2 Examples of Groups.......................

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

FINITE GROUPS WHOSE SUBNORMAL SUBGROUPS PERMUTE WITH ALL SYLOW SUBGROUPS

FINITE GROUPS WHOSE SUBNORMAL SUBGROUPS PERMUTE WITH ALL SYLOW SUBGROUPS PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 47, Number 1, January 1975 FINITE GROUPS WHOSE SUBNORMAL SUBGROUPS PERMUTE WITH ALL SYLOW SUBGROUPS RAM K. AGRAWAL1 ABSTRACT. As a generalization

More information

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

More information

On dimension of the Schur multiplier of nilpotent Lie algebras

On dimension of the Schur multiplier of nilpotent Lie algebras Cent. Eur. J. Math. 9() 0 57-64 DOI: 0.478/s533-00-0079-3 Central European Journal of Mathematics On dimension of the Schur multiplier of nilpotent Lie algebras Research Article Peyman Niroomand School

More information

Proceedings Mathematical Sciences z-classes in finite groups of conjugate type (n,1)

Proceedings Mathematical Sciences z-classes in finite groups of conjugate type (n,1) Proceedings Mathematical Sciences z-classes in finite groups of conjugate type (n,1) --Manuscript Draft-- Manuscript Number: Full Title: Article Type: Keywords: Corresponding Author: PMSC-D--00R1 z-classes

More information

General Linear Groups as Automorphism Groups

General Linear Groups as Automorphism Groups International Journal of Algebra, Vol. 5, 2011, no. 27, 1327-1335 General Linear Groups as Automorphism Groups S. Fouladi Department of Mathematics, Arak University, Arak, Iran s-fouladi@araku.ac.ir R.

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

Groups with many subnormal subgroups. *

Groups with many subnormal subgroups. * Groups with many subnormal subgroups. * Eloisa Detomi Dipartimento di Matematica, Facoltà di Ingegneria, Università degli Studi di Brescia, via Valotti 9, 25133 Brescia, Italy. E-mail: detomi@ing.unibs.it

More information

TRIPLE FACTORIZATION OF NON-ABELIAN GROUPS BY TWO MAXIMAL SUBGROUPS

TRIPLE FACTORIZATION OF NON-ABELIAN GROUPS BY TWO MAXIMAL SUBGROUPS Journal of Algebra and Related Topics Vol. 2, No 2, (2014), pp 1-9 TRIPLE FACTORIZATION OF NON-ABELIAN GROUPS BY TWO MAXIMAL SUBGROUPS A. GHARIBKHAJEH AND H. DOOSTIE Abstract. The triple factorization

More information

ON THE SUBGROUP LATTICE OF AN ABELIAN FINITE GROUP

ON THE SUBGROUP LATTICE OF AN ABELIAN FINITE GROUP ON THE SUBGROUP LATTICE OF AN ABELIAN FINITE GROUP Marius Tărnăuceanu Faculty of Mathematics Al.I. Cuza University of Iaşi, Romania e-mail: mtarnauceanu@yahoo.com The aim of this paper is to give some

More information

ELEMENTARY GROUPS BY HOMER BECHTELL

ELEMENTARY GROUPS BY HOMER BECHTELL ELEMENTARY GROUPS BY HOMER BECHTELL 1. Introduction. The purpose of this paper is to investigate two classes of finite groups, elementary groups and E-groups. The elementary groups have the property that

More information

International Journal of Pure and Applied Mathematics Volume 13 No , M-GROUP AND SEMI-DIRECT PRODUCT

International Journal of Pure and Applied Mathematics Volume 13 No , M-GROUP AND SEMI-DIRECT PRODUCT International Journal of Pure and Applied Mathematics Volume 13 No. 3 2004, 381-389 M-GROUP AND SEMI-DIRECT PRODUCT Liguo He Department of Mathematics Shenyang University of Technology Shenyang, 110023,

More information

Recognising nilpotent groups

Recognising nilpotent groups Recognising nilpotent groups A. R. Camina and R. D. Camina School of Mathematics, University of East Anglia, Norwich, NR4 7TJ, UK; a.camina@uea.ac.uk Fitzwilliam College, Cambridge, CB3 0DG, UK; R.D.Camina@dpmms.cam.ac.uk

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Group Theory. 1. Show that Φ maps a conjugacy class of G into a conjugacy class of G.

Group Theory. 1. Show that Φ maps a conjugacy class of G into a conjugacy class of G. Group Theory Jan 2012 #6 Prove that if G is a nonabelian group, then G/Z(G) is not cyclic. Aug 2011 #9 (Jan 2010 #5) Prove that any group of order p 2 is an abelian group. Jan 2012 #7 G is nonabelian nite

More information

Solution of Brauer s k(b)-conjecture for π-blocks of π-separable groups

Solution of Brauer s k(b)-conjecture for π-blocks of π-separable groups Solution of Brauer s k(b)-conjecture for π-blocks of π-separable groups Benjamin Sambale October 9, 2018 Abstract Answering a question of Pálfy and Pyber, we first prove the following extension of the

More information

The Structure of Minimal Non-ST-Groups

The Structure of Minimal Non-ST-Groups 2012 2nd International Conference on Industrial Technology and Management (ICITM 2012) IPCSIT vol. 49 (2012) (2012) IACSIT Press, Singapore DOI: 10.7763/IPCSIT.2012.V49.41 The Structure of Minimal Non-ST-Groups

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

ON STRUCTURE AND COMMUTATIVITY OF NEAR - RINGS

ON STRUCTURE AND COMMUTATIVITY OF NEAR - RINGS Proyecciones Vol. 19, N o 2, pp. 113-124, August 2000 Universidad Católica del Norte Antofagasta - Chile ON STRUCTURE AND COMMUTATIVITY OF NEAR - RINGS H. A. S. ABUJABAL, M. A. OBAID and M. A. KHAN King

More information

Algebra Ph.D. Entrance Exam Fall 2009 September 3, 2009

Algebra Ph.D. Entrance Exam Fall 2009 September 3, 2009 Algebra Ph.D. Entrance Exam Fall 2009 September 3, 2009 Directions: Solve 10 of the following problems. Mark which of the problems are to be graded. Without clear indication which problems are to be graded

More information

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.

More information

BOUNDEDLY GENERATED SUBGROUPS OF FINITE GROUPS

BOUNDEDLY GENERATED SUBGROUPS OF FINITE GROUPS BOUNDEDLY GENERATED SUBGROUPS OF FINITE GROUPS Andrea Lucchini Università di Padova, Italy 2nd Biennial International Group Theory Conference Istanbul, February 4-8, 2013 AN (EASY?) QUESTION Assume that

More information

NILPOTENT NUMBERS JONATHAN PAKIANATHAN AND KRISHNAN SHANKAR

NILPOTENT NUMBERS JONATHAN PAKIANATHAN AND KRISHNAN SHANKAR NILPOTENT NUMBERS JONATHAN PAKIANATHAN AND KRISHNAN SHANKAR Introduction. One of the first things we learn in abstract algebra is the notion of a cyclic group. For every positive integer n, we have Z n,

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 U.P.B. ci. Bull., eries A, Vol. 74, Iss. 3, 212 IN 1223-727 A CALAR OPERATOR Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 În această lucrare studiem o clasă nouă de operatori numiţi -scalari. Aceştia apar în mod natural,

More information

arxiv: v1 [math.gr] 3 Jan 2019

arxiv: v1 [math.gr] 3 Jan 2019 WORD MAPS IN FINITE SIMPLE GROUPS arxiv:1901.00836v1 [math.gr] 3 Jan 2019 WILLIAM COCKE AND MENG-CHE TURBO HO Abstract. Elements of the free group define interesting maps, known as word maps, on groups.

More information