Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI"

Transcription

1 Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu 2005

2 2

3 Cuvânt înainte Teoria geometrică a funcţiilor univalente a început să se dezvolte ca ramură aparte a analizei complexe la începutul secolului al XX-lea când au apărut primele lucrări importante din acest domeniu datorate lui P. Koebe, T.H. Gromwall, I. W. Alexander, L. Bieberbach. În 1916 L. Bieberbach enunţa celebra conjectură care îi poartă numele şi care a putut fi demonstrată abia în 1984 de Louis de Branges. Conjectura lui Bieberbach a impulsionat timp de aproape un secol cercetările în domeniul funcţiilor univalente, una dintre direcţiile urmărite fiind cea a definiri unor subclase de funcţii univalente pentru care această conjectură să poată fi verificată. Totodată au apărut şi s-au luat dezvoltat noi metode de cercetare cum ar fi: metoda parametrică a lui L. Loewner, metoda variaţională iniţiată de M. Schiffer şi G.M. Goluzin, metoda reprezentărilor integrale introdusă de G. Herglotz, 3

4 metoda punctelor extremale a lui L. Brickman şi T.H. Mac- Gregor, etc. Noţiunea de funcţie de tip uniform este relativ recentă, ea apărând pentru prima dată într-un articol (vezi [15]) a lui A.W. Goodman în Studiul claselor de funcţii de tip uniform a luat amploare şi continuă şi în prezent, de aceea în această carte încercăm, ca un obiectiv secundar, să introducem cititorul în acest domeniu. O problemă centrală în teoria geometrică a funcţiilor de o variabilă complexă este studiul proprietăţilor operatorilor integrali definiţi pe anumite subclase ale lui A = {fanalitică în U; f(0) = f (0) 1 = 0}. Primul operator integral a fost introdus în 1915 de către J.V. Alexander în [6] astfel I : A A, I(f)(z) = z 0 f(t) dt. t În 1965, R.J. Libera în [19] a definit operatorul integral de forma L : A A, L(f)(z) = 2 z z 0 f(t)dt. Acest rezultat a fost extins de S.D. Bernardi [7] în anul 1969 astfel I c : A A, I c (f)(z) = 1 + c z f(t)t c 1 dt, c = 1, 2, 3,.... z c 0 4

5 Au fost studiate numeroase generalizări ale operatorilor precedenţi, dintre care cea mai generală formă care utilizează o singură funcţie sub semnul integralei este L a (f)(z) = 1 + a z a z 0 f(t)t a 1 dt cu a C, Re a 0. Acest operator a fost introdus în această formă generală (a C, Re a 0) de către N.N. Pascu în [44] şi a fost numit, de către D. Blezu în [10], operatorul integral Libera-Pascu. Studiul câtorva proprietăţi de conservare a unor clase de funcţii de tip uniform prin intermediul acestui operator constituie subiectul principal al acestei cărţi. Cartea se adresează în principal cercetătorilor în domeniul teoriei geometrice a funcţiilor univalente cât şi cercetătorilor în devenire (adică studenţii profilelor matematică), acestora din urmă le recomandăm pentru lămurirea acelor noţiuni de analiză complexă care apar în carte utilizarea lucrării [18]. Din motive de restrângere a mărimii prezentei monografii cât şi pentru facilitarea parcurgerii acesteia sunt prezentate demonstraţii doar ale rezultatelor care privesc direct obiectivul principal propus şi anume prezentarea câtorva proprietăţi ale operatorului integral Libera-Pascu cu privire la funcţiile de tip uniform. 5

6 Menţionăm că această carte se doreşte un omagiu adus regretatului matematician român N.N. Pascu ( ) care pe lângă rezultatele ştiinţifice deosebite are marele merit al dezvoltării unui puternic centru de cercetare în domeniul teoriei geometrice a funcţiilor analitice în cadrul Universităţii Transilvania din Braşov. 6

7 Cuprins Cuvânt înainte 3 1 Noţiuni şi rezultate preliminarii Funcţii univalente Funcţii stelate Funcţii convexe Funcţii α- convexe Funcţii aproape convexe Subordonări diferenţiale. Metoda funcţiilor admisibile Subordonări diferenţiale de tip Briot-Bouquet Funcţii uniform stelate Funcţii uniform convexe Funcţii uniform aproape convexe Funcţii α-uniform convexe

8 2 Proprietăţi ale operatorului integral Libera-Pascu relative la funcţiile de tip uniform Transformarea funcţiilor n-uniform stelate şi n-uniform aproape convexe prin operatorul integral Libera- Pascu Transformarea funcţiilor α-uniform convexe de către operatorul integral Libera-Pascu Bibliografie 87 Abstract 95 Table of contents 99 8

9 Capitolul 1 Noţiuni şi rezultate preliminarii 1.1 Funcţii univalente Definiţia O funcţie olomorfă (sau meromorfă) şi injectivă pe un domeniu D din C se numeşte univalentă pe D. Mulţimea funcţiilor univalente pe D o vom nota cu H u (D). Dacă D = U = {z C : z < 1}, atunci H u (U) este clasa funcţiilor olomorfe şi univalente pe U. Mulţimea funcţiilor olomorfe pe D o vom nota cu H(D). Exemple 1.1.1) Funcţiile omografice sunt univalente pe D = C\{z 0 }, 9

10 unde z 0 este polul funcţiei ) Dacă f H u (D), g H u (E) şi f(d) E atunci g f H u (D) ) f(z) = z 2 este univalentă în semiplanul superior ) Funcţia f(z) = z (1 z) 2, z U numită funcţia lui Koebe, este univalentă în U. Teorema [18] Dacă f H u (D), atunci f (z) 0 pentru orice z din D Reciproca acestei teoreme nu este adevărată, după cum este cazul funcţiei f(z) = e z, unde f (z) 0 în C, dar e z = e z+2πi. Din teorema rezultă că funcţiile univalente sunt reprezentări conforme. Notăm cu H [a, n] = {f H(U) : f(z) = a + a n z n +...}, (1.1) A = {f H(U); f(0) = f (0) 1 = 0} şi (1.2) S = {f A; funivalentă} Observăm că o funcţie f din A are o dezvoltare în serie Taylor în U de forma (1.3) f(z) = z + a 2 z a n z n +... = 10

11 = z + a j z j, z U, j=2 iar S = A H u (U) = {f H u (U); f de forma (1.3)}. Alegerea discului unitate şi a condiţiilor de normare f(0) = 0 şi f (0) = 1 nu restrânge în mod esenţial studiul general al funcţiilor olomorfe şi univalente într-un domeniu simplu conex oarecare D, ci este mai degrabă o simplificare datorită: Teorema (Teorema lui Riemann)[18] Fie D C, D C un domeniu simplu conex şi fie w 0 D şi α ( π, π). Atunci există o funcţie unică ϕ H u (D) astfel încât ϕ(u) = D, ϕ(0) = w 0 şi arg ϕ (0) = α. Conform Teoremei lui Riemann, domeniul D se poate reprezenta conform pe discul unitate U, iar unei funcţii olomorfe şi univalente în D i se asociază o funcţie g olomorfă şi univalentă în U. Funcţia g se poate scrie sub forma g(z) = g(0) + g (0)f(z), unde f S. Pentru a putea permite studiul funcţiilor meromorfe şi univalente, o dată cu clasa S, se consideră clasa a funcţiilor meromorfe cu unicul pol (simplu) şi univalente în exteriorul cercului unitate U care au dezvoltarea în serie Laurent 11

12 de forma ϕ(ζ) = ζ + α 0 + α 1 ζ + α 2 ζ α n +..., ζ > 1. 2 ζn Orice funcţie ϕ din verifică deci condiţiile de normare ϕ( ) = şi ϕ ( ) = 1. Complementara imaginii lui U prin ϕ o vom nota E(ϕ) = C\ϕ(U ). Aceasta este o mulţime compactă şi conexă (deci un continuu) din C, care conţine mai mult de un punct. Coeficientul α 0 din dezvoltarea funcţiei ϕ este dat de formula Vom nota α 0 = 1 2π 2π 0 ϕ(pe iθ )dθ, p > 1. 0 = {ϕ ; ϕ(ζ) 0, ζ U }. Observaţia Fie f S, f(z) = z + a 2 z Atunci funcţia g(z) = f ( ) 1 = z 1 z 1 + a 2 z = = z a 2 + a 3 z +... z 1 + a 2 z = şi g(z) 0 pentru orice z U, deoarece f fiind din S, nu are poli. 12

13 Reciproc, dacă g, g(z) = z + b 0 + b 1 z +... şi c C \g(u ), atunci funcţia f(z) = 1 g ( ) = 1 z c z 1 + (b 0 c)z +... = z+(c b 0)z S Deci se poate stabili o bijecţie între S şi 0. Teorema (Teorema ariei Gronwall - Bieberbach) [17], [8] Fie g o funcţie cu dezvoltarea în serie Laurent de forma (1.4) g(z) = z + Dacă g, atunci aria ( deci E(g) = π b n z n, z U. n=0 1 ) n b n 2 0, n=1 n b n 2 1. n=1 Egalitatea are loc pentru funcţia g θ (z) = z + eiθ z, θ R. Această teoremă constituie punctul de plecare în obţinerea rezultatelor cu privire la problema coeficienţilor şi la teoremele de deformare. 13

14 Consecinţa Fie g de forma (1.4). Atunci b 1 1, egalitatea are loc dacă şi numai dacă g(z) = z + b 0 + e 2iθ /z, unde b 0 C şi θ R. Consecinţa Fie f S cu dezvoltarea (1.3). Atunci a 3 a În plus, dacă f este impară, atunci a 3 1, iar a 3 = 1 dacă şi numai dacă f(z) = z 1 + e 2iθ z 2, θ R. Teorema [9] Dacă f S şi f(z) = z + a 2 z , z U, atunci a 2 2 şi a 2 = 2 dacă şi numai dacă f = K θ ; unde K θ (z) = z (1 e iθ z) = z + ne (n 1)iθ z n, z U, θ R. 2 n=2 Se verifică uşor că domeniul imagine K θ (U) este planul tăiat de-a lungul unei raze care pleacă din punctul 1 4 e iθ. Ca o consecinţă a Teoremei se obţine: Teorema (Teorema de acoperire Koebe-Bieberbach)[9] Dacă f S şi w 0 f(u), atunci w 0 1/4 şi w 0 = 1/4 dacă şi numai dacă f = K θ, unde θ verifică egalitatea w 0 = e iθ /4. 14

15 Teorema (1.1.5) are următoarea interpretare geometrică: discul U(0; 1/4) este discul maxim cu centrul în origine care este acoperit de imaginea discului unitate prin orice func;tie din S. Mai precis U(0; 1/4) = f(u). f S U(0; 1/4) se numeşte discul lui Koebe al clasei S, iar 1/4 este constanta lui Koebe a clasei S. Teorema (Teorema de acoperire şi de deformare)[9] Dacă z este un punct fixat din U şi r = z, atunci pentru orice f S au loc delimitările exacte: (1.5) (1.6) (1.7) r (1 + r) f(z) r 2 (1 r) 2 1 r (1 + r) f (z) 1 + r 3 (1 r) 3 1 r 1 + r zf (z) f(z) 1 + r 1 r. Egalitatea în oricare din delimitările de mai sus are loc dacă şi numai dacă f = K θ, pentru o alegere convenabilă a lui θ. Observaţia Notând r 1 = r (1+r) 2 şi r 2 = r (1 r) 2, inegalităţile (1.5) au următoarea interpretare geometrică: U(0, r 1 ) = f S f(u(0, r)) 15

16 U(0, r 2 ) = f S f(u(0, r)) Pe baza delimitării superioare din (1.5) se poate deduce că S este o clasă compactă de funcţii analitice. Inegalităţile (1.6) dau delimitări ale deformării liniare în punctul z, prin funcţiile din clasa S. Teorema (Conjectura lui Bieberbach)[9] Dacă f S şi f(z) = z + a 2 z , z U atunci a n n, n 2 şi cei mai mari coeficienţi în modul sunt ai funcţiilor K θ, θ R. Această conjectură a impulsionat cercertările din domeniul teoriei geometrice a funcţiilor, ducând la obţinerea multor rezultate interesante şi la dezvoltarea unor noi metode. În 1984 Louis de Branges (vezi [14]) a demonstrat conjectura lui Bieberbach, utilizând metoda lui Loewner (pentru detalii privind această metodă se poate consulta [45]). 1.2 Funcţii stelate Fie f o funcţie olomorfă în U, care verifică condiţiile f(0) = 0 şi f(z) 0, pentru z 0. Vom nota cu C r imaginea cercului {z C : z = r}, 0 < r < 1, prin funcţia f. 16

17 Definiţia Vom spune că C r este o curbă stelată în raport cu originea (sau, mai simplu stelată) dacă unghiul ϕ = ϕ(r, θ) = arg f(re iθ ) pe care raza vectoare a punctului f(z), z = re iθ, îl face cu axa reală pozitivă, este o funcţie crescătoare de θ, când θ creşte de la 0 la 2π, adică (1.8) ϕ θ = θ arg f(z) > 0, z = reiθ, θ (0, 2π) Vom spune că f este stelată pe cercul { z = r} dacă C r este o curbă stelată. Deoarece f(z) 0, pentru z 0 putem scrie Logf(z) = log f(z) + i arg f(z), unde z = re iθ. Derivând în raport cu θ şi ţinând seama că se obţine z θ = reiθ θ = rie iθ = iz, izf (z) f(z) = θ log f(z) + i arg f(z) θ (1.9) Din această egalitate deducem că θ arg f(z) = Rezf (z) f(z), z = reiθ Deci condiţia (1.8) se poate scrie sub forma (1.10) Re zf (z) f(z) > 0, pentru z = r 17

18 care exprimă condiţia necesară şi suficientă pentru ca f să fie stelată pe cercul {z C : z = r}. Deoarece funcţia zf (z) f(z) este armonică, rezultă că dacă această inegalitate este verificată pentru z = r, ea va fi verificată şi pentru z r. De aici deducem că dacă f este stelată pe cercul {z C : z = r} ea va fi stelată pe orice cerc {z C : z = r }, unde 0 < r < r. Definiţia Se numeşte rază de stelaritate a funcţiei f, numărul r (f) definit de { r (f) = sup r; Re zf (z) (1.11) f(z) } > 0, z r. Dacă r (f) 1 vom spune că funcţia f este stelată în discul unitate U (stelată) Observaţia ) Egalitatea Re zf (z) = 0 pentru un f(z) punct z U nu poate avea loc deoarece, în acest caz, funcţia f s-ar reduce la o constantă, ceea ce ar fi în contradicţie cu condiţiile impuse asupra funcţiei f. 2) Dacă f verifică Re zf (z) > 0, z < 1, atunci în mod f(z) necesar f(z) 0, pentru 0 < z < 1. 3) Din definiţie rezultă că f este stelată (în U) dacă şi numai dacă este stelată pe orice cerc {z C : z = r}, 0 < r < 1. 18

19 4) Condiţia de stelaritate Re zf (z) > 0, z U, nu asigură f(z) univalenţa funcţiei f în discul unitate, deci se pune problema găsirii unei condiţii suplimentare care să asigure univalenţa funcţiei. Dacă presupunem, în plus, condiţia f (0) 0, atunci condiţia Re zf (z) > 0, implică univalenţa funcţiei f, precum şi faptul că f(u) este un f(z) domeniu stelat (în raport cu originea), adică segmentul care uneşte orice punct din f(u) cu originea este conţinut în f(u). Teorema [42] f(0) = 0. Fie f o funcţie olomorfă în U cu Atunci f este univalentă şi f(u) este un domeniu stelat în raport cu originea dacă şi numai dacă f (0) 0 şi (1.12) Re zf (z) f(z) > 0, pentru z U Definiţia Vom nota cu S clasa funcţiilor olomorfe în U, cu f(0) = 0, f (0) = 1 şi care sunt stelate în raport cu originea în U. Deci { S = f H(U); f(0) = f (0) 1 = 0, Re zf } (z) f(z) > 0, z U. Observaţia Folosind definiţia subordonării, clasa S se poate defini asrfel: dacă f(z) = z + a 2 z , z U, atunci f S dacă şi numai dacă zf (z) f(z) 1 + z 1 z, z U. 19

20 Deoarece funcţia lui Koebe K θ (z) = z, θ R pen- (1+e iθ z) 2 tru o alegere convenabilă a lui θ este stelată, rezultă că teorema de deformare relativă la clasa S este valabilă şi pentru clasa S. Teorema (Teorema de deformare)[42] Dacă f S au loc delimitările exacte: (1.13) r (1 + r) f(z) r 2 (1 r) 2 (1.14) (1.15) 1 r (1 + r) f (z) 1 + r 3 (1 r) 3 1 r 1 + r zf (z) f(z) 1 + r 1 r unde z U, z = r, iar funcţia extremală este funcţia lui Koebe f = K θ, pentru o alegere convenabilă a lui θ. De aici rezultă uşor că S este compactă. Fie (1.16) M[a, b] = {µ : [a, b] R +, µ funcţie crescătoare b pe [a, b], dµ(t) = µ(b) µ(a) = 1} a Teorema [42] Funcţia f(z) = z + a 2 z , z U aparţine clasei S dacă şi numai dacă există o funcţie 20

21 µ M[0, 2π] astfel încât f(z) = z exp 2 2π 0 log(1 ze it )dµ(t), z U. Dintre submulţimile clasei S amintim clasa funcţiilor stelate de ordin α(0 α < 1), notată cu S (α) şi cea a funcţiilor tare stelate de ordin α(0 < α 1), notată cu S [α]. Definiţia Funcţia f A se numeşte stelată de ordinul α, 0 α < 1, dacă verifică inegalitatea (1.17) Re zf (z) f(z) > α, z U. Notăm cu S (α) clasa acestor funcţii. Definiţia Funcţia f A se numeşte tare stelată de ordinul α, 0 < α 1 dacă verifică inegalitatea arg zf (1.18) (z) f(z) < απ 2, z U. Notăm cu S [α] clasa acestor funcţii. Se observă că S (0) = S şi S [1] = S. 1.3 Funcţii convexe Fie f o funcţie olomorfă în U, cu f (z) 0, pentru 0 < z < 1. Vom nota cu C r imaginea cercului {z C : z = r}, 0 < r < 1, prin funcţia f. 21

22 Definiţia Curba C r se numeşte convexă dacă unghiul ψ(r, θ) = π 2 + arg zf (z), z = re iθ făcut de tangenta la curba C r în punctul f(z) cu semiaxa reală pozitivă este o funcţie crescătoare de θ pe [0, 2π] Definiţia Funcţia f z = r dacă C r este o curbă convexă. se numeşte convexă pe cercul Se arată că f este convexă pe cercul {z C : z = r} dacă şi numai dacă { Re 1 + zf } (z) (1.19) > 0, z = r. f (z) De aici deducem că dacă f este convexă pe cercul {z C : z = r}, atunci ea va fi convexă pe orice cerc {z C : z = r }, unde 0 < r < r. Definiţia Prin raza de convexitate a funcţiei f înţelegem numărul { { } } zf r c (z) (1.20) (f) = sup r; Re f (z) + 1 > 0, z r. Dacă r c (f) 1, vom spune că funcţia f este convexă în discul unitate U (sau, mai simplu convexă). Aceasta înseamnă că f verifică condiţia { Re 1 + zf } (z) (1.21) > 0, z < 1. f (z) Relaţia (1.21) implică f (z) 0, pentru orice 0 < z < 1. 22

23 { Observaţia Condiţia Re 1 + zf } (z) > 0, z U nu f (z) asi-gură univalenţa funcţiei f în discul unitate după cum arată exemplul f(z) = z 2 Avem însă următoarea condiţie suficientă de univalenţă. Teorema [42] O funcţie f olomorfă în U este univalentă şi f(u) este un domeniu convex dacă şi numai dacă f (0) 0 şi (1.22) { Re 1 + zf } (z) > 0, pentru z U f (z) Definiţia Vom nota cu S c (sau K) clasa funcţiilor olomorfe în U, cu U. f(0) = 0, f (0) = 1 şi care sunt convexe în Deci { S c = {f H(U); f(0) = f (0) 1 = 0, Re 1 + zf } (z) > 0, f (z) z U} şi S c S. Legătura dintre clasele S şi S c este dată de: Teorema (Teorema de dualitate a lui Alexander) [6] Fie f A şi g(z) = zf (z). Atunci f S c dacă şi numai dacă g S. 23

24 unde (1.23) Fie operatorul integral I A : A A, f = I A (g), g A, f(z) = z 0 g(t) dt, z U. t Operatorul I A este numit operatorul lui Alexander. ajutorul acestuia, Teorema (1.3.2) se poate reformula astfel: S c = I A (S ) şi I A stabileşte o bijecţie între S şi S c. Cu Între S şi S c se pot stabili şi alte relaţii, cum este cea din: Teorema (Teorema lui Marx şi Strohhäcker)[35], [55] Dacă f A, atunci { Re 1 + zf } (z) (1.24) > 0, z U f (z) Deci S c S (1/2). Re zf (z) f(z) > 1 2, z U În ceea ce priveşte coeficienţii funcţiilor din clasa S c are loc următoarea teoremă: Teorema [42] Dacă f(z) = z+a 2 z 2 +a 3 z aparţine clasei S c, atunci a n 1, pentru orice n 2. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă funcţia f are forma f(z) = z 1 + e iτ z, τ R, z U. Are loc următoarea teoremă de deformare. 24

25 Teorema [42] Dacă f S c au loc delimitările exacte: (1.25) (1.26) r 1 + r f(z) r 1 r 1 (1 + r) f 1 (z) 2 (1 r) 2 unde z U, z = r, egalităţile având loc pentru funcţia z f(z) =, τ R, z U, pentru o alegere convenabilă a 1 + e iτ z lui τ. Din relaţia (1.25) rezultă că clasa S c este compactă. Observaţia Făcând r 1 în (1.25) deducem constanta lui Koebe a clasei S c care este 1/2. Definiţia Spunem că funcţia f A este convexă de ordinul α, 0 α, < 1, dacă verifică inegalitatea { Re 1 + zf } (z) (1.27) > α, z U f (z) Notăm cu S c (α) clasa acestor funcţii. 1.4 Funcţii α- convexe Fie f o funcţie olomorfă în U cu f(0) = 0, α un număr real dat. f(z)f (z) z Notăm cu χ(r, θ) = (1 α)ϕ(r, θ) + αψ(r, θ). 0 şi fie 25

26 Definiţia Curba C r se numeşte α-convexă dacă funcţia χ(r, θ) este o funcţie crescătoare de θ, pentru θ [0, 2π], adică (1.28) χ(r, θ) θ ϕ(r, θ) ψ(r, θ) = (1 α) + α θ θ unde θ [0, 2π]. > 0 Funcţia f se numeşte α-convexă pe cercul {z C; z = r} dacă C r este o curbă α-convexă. Se arată că funcţia f este α-convexă pe cercul {z C; z = r} dacă şi numai dacă (1.29) ReJ(α, f; z) > 0, z = r, unde (1.30) J(α, f; z) = (1 α) zf ( (z) f(z) + α 1 + zf ) (z). f (z) Având în vedere proprietăţile funcţiilor armonice deducem că dacă f este α-convexă pe cercul {z C; z = r}, ea va fi α-convexă pe orice cerc {z C; z = r }, unde 0 < r < r. Definiţia Prin raza de α-convexitate a funcţiei f înţelegem numărul r α (f) = sup{r; ReJ(α, f; z) > 0, z r}. Dacă r α (f) 1 vom spune că funcţia f este α-convexă în discul unitate U. Aceasta înseamnă că f verifică condiţia (1.31) ReJ(α, f; z) > 0, z U. 26

27 Definiţia Fie M α clasa funcţiilor olomorfe în U, cu f(0) = 0, f (0) = 1 şi care sunt α-convexe în U. Deci M α = {f H(U), f(0) = f (0) 1 = 0, ReJ(α, f; z) > 0, z U} şi se observă că M 0 = S şi M 1 = S c. Observaţia Punând p(z) = zf (z) f(z) J(α, f; z) = p(z) + α zp (z) p(z), deci inegalitatea (1.31) se scrie [ ] Re p(z) + α zp (z) (1.32) > 0, z U p(z) sau, echivalent, folosind subordonarea (1.33) p(z) + α zp (z) p(z) 1 + z 1 z. obţinem că 2. Dacă are loc (1.32) atunci în mod necesar p(z) = zf (z) f(z) este olomorfă în U şi p(z) 0, z U. Aceasta înseamnă că condiţia f(z)f (z) 0, z U este în mod necesar z verificată. Teorema [42] Pentru orice α, β R cu 0 β/α 1 are loc M α M β. 27

28 Corolarul Pentru orice α [0, 1] are loc S c M α S. Teorema (Teorema de dualitate)[42] Dacă α > 0 atunci f M α dacă şi numai dacă F S, unde F (z) = f(z) = [ ] zf α (z). f(z) Ca o consecinţă a acestei teoreme de dualitate obţinem următoa-rea reprezentare integrală a funcţiilor α-convexe, pentru α > 0. Teorema [42] Dacă α > 0, atunci f M α dacă şi numai dacă există o funcţie F S astfel încât f(z) = 1 z α F 1/α (ζ) (1.34) dζ, z U. α ζ 0 Definiţia O funcţie f din M α se numeşte α-convexă de ordin γ, 0 γ < 1, dacă (1.35) ReJ(α, f; z) > γ, z U. Notăm cu M α (γ) clasa tuturor aceste funcţii. Legat de raza de α-convexitate a clasei S în 1972 V.V. Cernikov în [13] arată următorul rezultat: 28

29 Teorema [13] Dacă coth 1 1 = α 1, atunci r α (S) = 1 + α α(α + 2). Apoi în 1974 S.S. Miller, P.T. Mocanu, M.O. Reade în [40] arată că rezultatul precedent are loc şi pentru α > 1. Teorema (Teorema asupra razei de α-convexitate a clasei S )[40] Raza de α-convexitate a clasei S este dată de r α (S ) = 1 + α α(α + 2), α 0 2 α 2 + α, 3 < α < 0 (1 + α) α(α + 2), α Funcţii aproape convexe Definiţia Funcţia f H(U) se numeşte aproape convexă dacă există o funcţie ϕ convexă în U, astfel încât (1.36) Re f (z) ϕ (z) > 0, z U. Spunem că funcţia f este aproape convexă în raport cu funcţia ϕ. În particular, dacă Re f (z) > 0, z U, funcţia f este aproape convexă în raport cu fumcţia identică ϕ(z) = z, z U. 29

30 Teorema [25],[43](Criteriul de univalenţă a lui Ozaki şi Kaplan) Fie D C un domeniu simplu conex şi fie funcţia f H(D). Să presupunem că există o funcţie ϕ H u (D) astfel încât ϕ(d) = este un domeniu convex. Atunci Re f (z) > 0, z D (adică f este aproape convexă în raport ϕ (z) cu ϕ) implică f este univalentă în D. Definiţia Vom nota cu C sau CC clasa funcţiilor aproape convexe şi normate în U: CC = { f A : ϕ K, Re f } (z) ϕ (z) > 0, z U Observaţia Pe baza teoremei de dualitate a lui Alexander avem ϕ K dacă şi numai dacă g(z) = zϕ (z) S, de unde rezultă imediat că funcţia f A aparţine clasei CC dacă şi numai dacă există g S astfel încât. (1.37) Re zf (z) g(z) > 0, z U. Observaţia Dacă f S, condiţia (1.37) este verificată pentru g = f, ceea ce înseamnă că S CC. Dacă punem p(z) = zf (z) condiţia (1.37) înseamnă g(z) p P,de unde se deduce următorul rezultat: 30

31 Propoziţia Funcţia f CC dacă şi numai dacă se poate reprezenta sub forma f(z) = z 0 g(t) p(t)dt, unde p P, g S, t adică CC = B(1) = B(1, P, S ). M.O. Reade demonstrează conjectura lui Bieberbach pentru clasa CC: Teorema [46],[47] Dacă f(z) = z + clasei CC, atunci a n n, n = 2, 3,.... a n z n aparţine n=2 Următoarea teoremă, datorată lui W. Kaplan, dă o caracterizare intrinsecă a funcţiilor aproape convexe (independentă de funcţia ϕ): Teorema [25] O condiţie necesară şi suficientă pentru ca funcţia f A, cu f (z) 0, z U să fie aproape convexă este ca (1.38) θ2 θ 1 [ Re 1 + zf ] (z) dθ > π, z = re iθ, f (z) pentru orice θ 1, θ 2 cu 0 θ 1 < θ 2 2π şi orice r (0, 1). Observaţia Interpretare geometrică: Condiţia (1.38) este echivalentă cu arg z 2 f (z 2 ) arg z 1 f (z 1 ) > π, unde 31

32 z k = re iθ k, k = 1, 2, r < 1. Notând cu T k tangenta la curba C r = f( U r ) în punctul f(z k ), atunci condiţia precedentă se poate scrie arg T 2 arg T 1 > π, pentru 0 θ 1 < θ 2 2π şi orice r (0, 1). Adică, atunci când curba C r este parcursă în sens direct, variaţia argumentului tangentei la C r pe orice arc al lui C r este mai mare decât π, această proprietate având loc pentru orice r (0, 1). Observaţia Z. Lewandrowski în [26],[27] dă o altă interpretare geometrică a noţiunii de aproape convexitate şi anume: funcţia f H u (U) este aproape convexă dacă şi numai dacă domeniul f(u) este liniar accesibil, adică C\f(U) este reuniunea unor semidrepte închise astfel încât semidreptele deschise corespunzătoare să fie disjuncte două câte două. Domeniu convex în direcţia axei imaginare: dacă în relaţia (1.37) luăm g(z) = z 1 z 2 S obţinem (1.39) Re [( 1 z 2) f (z) ] > 0, z U. Această relaţie defineşte o subclasă remarcabilă a clasei CC. Condiţia (1.39) are următoarea interpretare geometrică: dacă considerăm familia de arce care trec prin punctele 1 şi 1 fiind situate în discul unitate (ecuaţia unui astfel de arc γ α, care face unghiul α cu axa reală pozitivă în punctul 1, 32

33 este z = z(t) = et+iα 1 e t+iα + 1, π 2 < α < π 2 ), din d Re f(z(t)) = dt = 2 Re [( 1 z 2) f (z) ] şi (1.39) deducem că funcţia Re f(z(t)) este crescătoare, adică orice arc γ α este transformat prin funcţia w = f(z) într-un arc analitic care se poate reprezenta ca graficul unei funcţii v = v(u), deoarece orice paralelă la axa reală intersectează acest arc într-un singur punct. De aici rezultă că domeniul f(u) are proprieatea că orice paralelă la axa imaginară sau nu intersectează pe f(u) sau intersecţia sa cu f(u) este un interval. Spunem că f(u) este un domeniu convex în direcţia axei imaginare. S.S. Miller, P.T. Mocanu şi M.O. Reade stabilesc următoarea legătură dintre noţiunile de α-convexitate şi aproape convexitate: Teorema [41] Fie funcţia f M α0 cu 0 α 0 2 şi fie numărul λ C astfel încât arg λ (1 1 α ) π 2, iar 0 α α 0. Atunci [ funcţia ] g α (z) = f(z) + λf α (z), unde zf α (z) F α (z) = = f(z) este aproape convexă (deci univalentă). f(z) Definiţia Funcţia f H(U) se numeşte aproape convexă de ordin α, α 0, dacă există o funcţie ϕ convexă în U, astfel încât (1.40) Re f (z) ϕ (z) > α, z U. 33

34 Notăm această clasă cu CC(α). Evident avem şi: f CC(α) dacă şi numai dacă ( )g S astfel încât (1.41) Re zf (z) g(z) > α, z U. 1.6 Subordonări diferenţiale. Metoda funcţiilor admisibile Definiţia Fie f şi g două funcţii analitice în U. Spunem că funcţia f este subordonată funcţiei g, dacă există o funcţie w analitică în U, w(0) = 0, w(z) < 1, z U, astfel încât f(z) = g(w(z)), ( )z U. Notăm prin relaţia de subordonare şi deci vom scrie f g sau f(z) g(z). Teorema [42] Fie f şi g două funcţii olomorfe în U, g univalentă. Atunci f g dacă şi numai dacă f(0) = g(0) şi f(u) g(u). Principiul (al subordonării) Fie o funcţie univalentă în U. Atunci f(0) = g(0) şi f(u) g(u) implică 34

35 f(u r ) g(u r ), r (0, 1]. Egalitatea f(u r ) = g(u r ) pentru r < 1 are loc dacă şi numai dacă f(u) = g(u), deci dacă f(z) = g(e iθ z), z U, θ R. Metoda subordonării diferenţiale (cunoscută şi sub numele de metoda funcţiilor admisibile) a fost introdusă în [36] şi [37] de P.T. Mocanu şi S.S. Miller. Utilizarea acestei metode a permis obţinerea unor rezultate noi în teoria geometrică a funcţiilor, precum şi generalizări şi extinderi ale unor rezultate anterioare. În cele ce urmează vom prezenta pe scurt această metodă. Fie Ω şi mulţimi oarecare în C, fie p o funcţie analitică în U, cu p(0) = a şi fie ψ(r, s, t; z) : C 3 U C. Punctul de pornire al acestei teorii constă în considerarea următoarei implicaţii: (1.42) {ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) z U} Ω p(u). Legat de această implicaţie se pot formula trei probleme: Problema 1. Fiind date Ω şi, să se găsească condiţii asupra lui ψ astfel încât (1.42) să aibă loc. O astfel de funcţie ψ se numeşte funcţie admisibilă. Problema 2. Fiind date Ω şi ψ, să se găsească astfel 35

36 încât (1.42) să aibă loc. Dacă este posibil să se găsească cel mai mic. Problema 3. Fiind date şi ψ, să se găsească Ω astfel încât (1.42) să aibă loc. Dacă este posibil să se găsească cel mai mare Ω. Dacă, sau Ω sau în (1.42) este un domeniu simplu conex, atunci (1.42) poate fi rescrisă în termenii subordonării. Dacă este un domeniu simplu conex conţinînd punctul a şi C, atunci există o reprezentare conformă q a lui U pe astfel încât q(0) = a. În acest caz (1.42) poate fi rescrisă astfel: (1.43) {ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) z U} Ω p(z) q(z). Dacă şi Ω este un domeniu simplu conex şi Ω C atunci există o reprezentare conformă h a lui U pe Ω astfel încât h(0) = ψ(a, 0, 0; 0). Dacă, în plus, ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) este analitică în U, atunci (1.42) se rescrie astfel: (1.44) ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) h(z) p(z) q(z). 36

37 Acest ultim rezultat conduce la formularea următoarelor defini-ţii. Definiţia Fie ψ : C 3 U C şi fie h o funcţie univalentă în U. Dacă p este o funcţie analitică în U şi satisface subordonarea diferenţială: (1.45) ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) h(z), atunci p se numeşte soluţie a subordonării diferenţiale. Definiţia Funcţia univalentă q se numeşte o dominantă a subordonării diferenţiale (1.45) dacă p q, pentru orice p care satisface (1.45). Definiţia O dominantă q care satisface q q pentru toate dominantele q ale lui (1.45) se numeşte cea mai bună dominantă a lui (1.45). (Se observă că cea mai bună dominantă este unică abstracţie făcând de o rotaţie a lui U). În cazul în care Ω şi sunt domenii simple convexe, cele trei probleme pot fi reformulate astfel: Problema 1. Fiind date funcţiile univalente h şi q, să se găsească clasa funcţiilor admisibile ψ[h, q] pentru care (1.44) să aibă loc. 37

38 Problema 2. Fiind dată subordonarea diferenţială (1.44) să se găsească q. Dacă este posibil să se găsească cea mai bună dominantă. Problema 3. Fiind date ψ şi dominanta q, să se găsească cea mai mare clasă de funcţii h astfel încât (1.44) să aibă loc. În continuare vom prezenta lemele fundamentale. Pentru z 0 = r 0 e iθ 0, 0 < r 0 < 1, vom nota U r0 = {z C; z < r 0 } discul cu centrul în origine şi de rază r 0, U r0 = {z C; z r 0 }. Lema Fie z 0 U şi r 0 = z 0 şi f(z) = a n z n + +a n+1 z n continuă în U r0 şi analitică pe U r0 {z 0 } cu f(z) 0 şi n 1. Dacă (1.46) f(z 0 ) = max{ f(z) ; z U r0 } atunci există m n 1 astfel încât (i) z 0f (z 0 ) = m, şi f(z { 0 ) (ii) Re 1 + z } 0f (z 0 ) m. f (z 0 ) O versiune particulară a punctului (i) din lemă, în condiţiile z 0 = f(z 0 ) = 1 a apărut în 1925 ca o problemă a lui K. Loewner. Versiunea din lemă a punctului (i) a apărut în această formă într-un articol a lui Jack în

39 Pentru a putea extinde ideile din lemă vom defini următoarea clasă de funcţii. Definiţia Vom nota prin Q clasa funcţiilor q analitice şi injective, definite pe U\E(q), unde { } E(q) = ζ U; lim q(z) =, z ζ unde q (ζ) 0 pentru orice ζ U\E(q). Lema Fie q Q cu q(0) = a şi p(z) = a + p n z n +... analitică în U, cu p(z) a şi n 1. Dacă există puncte z 0 U şi ζ 0 U\E(q) astfel încât p(z 0 ) = q(ζ 0 ) şi p(u r0 ) q(u), unde r 0 = z 0, atunci există un m n astfel încât: (i) z 0 p (z { 0 ) = mζ 0 q (ζ 0 } ) şi { z0 p (z 0 ) ζ0 q (ζ 0 ) (ii) Re + 1 mre p (z 0 ) q (ζ 0 ) } + 1. Lema Fie q Q, cu q(0) = a şi fie p(z) = a+p n z n +... analitică în U cu p(z) a şi n 1. Dacă p q atunci există puncte z 0 = r 0 e iθ 0 U şi ζ 0 U\E(q) şi un m m 1 pentru care (i) p(u r0 ) q(u), (ii) p(z 0 ) = q(ζ 0 ), (iii) z 0 p { (z 0 ) = mζ 0 q (ζ } 0 ) şi { z0 p (z 0 ) ζ0 q (ζ 0 ) (iv) Re + 1 Re p (z 0 ) q (ζ 0 ) 39 } + 1.

40 Definiţia Fie Ω o mulţime din C, q Q şi n N. Clasa funcţiilor admisibile ψ n [Ω, q] este formată din funcţiile ψ : C 3 U C care satisfac următoarea condiţie de admisibilitate (1.47) ψ(r, s, t; z) Ω pentru r = q(ζ), s = mζq (ζ), Re [ [ ] t + 1] mre ζq (ζ) + 1, s q (ζ) z U, ζ U\E(q) şi m n. Vom nota ψ 1 [Ω, q] = ψ[ω, q]. În cazul în care Ω este un domeniu simplu conex, Ω C şi h o transformare conformă a lui U în Ω, vom nota această clasă cu ψ n [h, q]. Dacă ψ : C 2 U C, atunci condiţia admisibilităţii (1.47) se reduce la ψ(q(ζ), mζq (ζ); z) Ω, unde z U, ζ U\E(q) şi m n. Dacă Ω Ω, atunci ψ n ( Ω, q) ψ n (Ω, q) şi de asemenea ψ n [Ω, q] ψ n+1 [Ω, q]. Teorema [42] Fie ψ ψ n [Ω, q], cu q(0) = a. Dacă p(z) = a + p n z n +... este analitică în U şi satisface (1.48) ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) Ω, z U atunci p q. 40

41 Corolarul Fie Ω C şi q o funcţie univalentă în U cu q(0) = a. Fie ψ ψ n [Ω, q ρ ], ρ (0, 1), unde q ρ (z) = q(ρz). Dacă p(z) = a + p n z n +... este analitică în U şi satisface ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) Ω, z U atunci p q. În continuare vom considera cazul special când Ω C este un domeniu simplu conex. Teorema [42] Fie ψ ψ n [h, q], cu q(0) = a şi ψ(a, 0, 0; 0) = = h(0). Dacă p(z) = a + p n z n +... şi ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) este analitică în U, şi satisface (1.49) ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) h(z) atunci p q. Corolarul Fie h şi q două funcţii univalente în U cu q(0) = a. Fie ψ : C 3 U C cu ψ(a, 0, 0; 0) = h(0) care satisface una din următoarele condiţii: (i) ψ ψ n [h, q ρ ], pentru un ρ (0, 1) (ii) există ρ 0 (0, 1) astfel încât ψ ψ n [h ρ, q ρ ] pentru orice ρ (ρ 0, 1), unde q ρ (z) = q(ρz) şi h ρ (z) = h(ρz) 41

42 Dacă p(z) = a + p n z n +... şi ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) este analitică în U şi ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) h(z), atunci p q. Teoremele următoare ne dau cele mai bune dominante ale subordonării diferenţiale (1.49). Teorema [42] Fie h o funcţie univalentă în U şi ψ : C 3 U C. Presupunem că ecuaţia diferenţială (1.50) ψ(p(z), zp, z 2 p (z); z) = h(z) are o soluţie q care satisface una din următoarele condiţii: (i) q Q şi ψ ψ[h, q] (ii) q este univalentă în U şi ψ ψ[h, q ρ ], pentru un ρ (0, 1) sau (iii) q este univalentă în U şi există ρ 0 (0, 1) astfel încât ψ ψ n [h ρ, q ρ ] pentru orice ρ (ρ 0, 1). Dacă p(z) = q(0) + p 1 z +... şi ψ(p(z), zp, z 2 p (z); z) este analitică în U, şi dacă p satisface (1.49), atunci p q şi q este cea mai bună dominantă. Din teorema anterioară se observă că problema găsirii celei mai bune dominante se reduce la găsirea soluţiilor univalente ale ecuaţiilor diferenţiale. 42

43 Teorema [42] Fie ψ ψ n [Ω, q] şi f o funcţie analitică în U satisfăcând f(u) Ω. Dacă ecuaţia diferenţială ψ(p(z), zp, z 2 p (z); z) = f(z) are o soluţie p(z) analitică în U, cu p(0) = q(0), atunci p q. Conform celor prezentate mai sus observăm că folosind Teoremele (1.6.2) şi (1.6.3) se pot obţine dominante ale subordonărilor diferenţiale de forma (1.49). Cea mai bună dominantă se găseşte determinând o soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1.50) care trebuie să îndeplinească anumite condiţii. 1.7 Subordonări diferenţiale de tip Briot-Bouquet Definiţia Fie β şi γ numere complexe, h o funcţie univalentă în U şi fie p(z) = h(0) + p 1 z +... o funcţie analitică în U care satisface subordonarea: (1.51) p(z) + zp (z) βp(z) + γ h(z). Această subordonare diferenţială de ordinul întâi se numeşte subordonare diferenţială de tip Briot-Bouquet. 43

44 Folosind metoda subordonărilor diferenţiale s-au obţinut în [38] şi [39] multe rezultate interesante privind subordonările Briot-Bouquet sau generalizări ale lor. Teorema [38], [39] Fie h convexă în U astfel încât Re[βh(z) + γ] > 0, z U. Dacă p este analitică în U, cu p(0) = h(0) şi p satisface (1.51), atunci p h. Teorema [38], [39] Fie h convexă în U şi presupunem că ecuaţia diferenţială (1.52) q(z) + zq (z) βq(z) + γ = h(z), q(0) = h(0) are o soluţie univalentă q, care satisface q h. Dacă p este analitică în U şi satisface (1.51), atunci p q h şi q este cea mai bună dominantă. Observaţia Pe baza acestui rezultat, Teorema (1.3.3) a lui Marx şi Strohäcker se obţine ca o simplă verificare, luând h(z) = (1 + z)/(1 z), q(z) = 1/(1 z), β = 1 şi γ = 0. Teorema [38], [39] Fie h convexă în U astfel încât Re[βh(z)+γ] > 0, z U şi presupunem că ecuaţia diferenţiala q(z) + zq (z) βq(z) + γ = h(z), q(0) = h(0) are o soluţie univalentă q. Dacă p este analitică în U şi satisface (1.51), atunci p q h şi q este cea mai bună dominantă. 44

45 Teorema [38], [39] Fie q convexă în U şi j : U C cu Re[j(z)] > 0. Dacă p H(U) şi satisface p(z) + j(z) zp (z) q(z), atunci p q. 1.8 Funcţii uniform stelate Noţiunea de funcţie uniform stelată este relativ recentă, ea apă-rând pentru prima dată într-un articol (vezi [15]) a lui A.W. Goodman în Ideea introducerii acestei noţiuni apare ca urmare a unei probleme care îi este adresată de către Pinchuk şi pe care o vom prezenta în cele ce urmează. Chestiunea Pinchuk. Fie f S şi γ un cerc conţinut în U cu centrul ζ de asemenea în U. Este adevărat că f(γ) este o curbă închisă stelată în raport cu f(ζ)? Răspunsul la această întrebare este negativ după cum a demnostrat Goodman dar J.E. Brown a demonstrat anterior lui acelaşi lucru (vezi [12]). Răspunsul negativ la chestiunea Pinchuk îl determină pe Goodman să înlocuiască condiţia ca γ şa fie cerc, cu una mai tare, aceea ca γ să fie un arc de cerc conţinut în U cu centrul ζ de asemenea în U. El a formulat deci următoarea: Definiţia O funcţie f se numeşte uniform stelată în U, dacă f S şi are proprietatea că pentru orice arc de cerc 45

46 γ din U, cu centrul ζ în U, arcul f(γ) este stelat în raport cu f(ζ). Vom nota prin US clasa tuturor acestor funcţii. Un arc f(γ) este stelat în raport cu punctul ω 0 = f(ζ) dacă arg(f(z) ω 0 ) este nedescrescător când z parcurge arcul de cerc γ în direcţia pozitivă. Se observă că pentru γ = C r = {z C; z = r} şi ω 0 = 0 se regăseşte Definiţia S-a demonstrat în [15] că dacă arcul γ este dat de z(t), atunci f(γ) este stelat în raport cu ω 0 dacă şi numai dacă (1.53) [ f (z) Im dz ] f(z) ω 0 dt 0, pentru z pe γ. Pentru γ = C r = {z C; z = r} şi ω 0 = 0 se regăseşte condiţia (1.10). Pentru un arc de cerc γ luăm z = ζ + re it. z (t) = i(z ζ) şi obţinem: Atunci Teorema [15] Fie f S. numai dacă (1.54) f(z) f(ζ) Re (z ζ)f (z) > 0, pentru orice pereche (z, ζ) din polidiscul U U. Atunci f US dacă şi 46

47 Teorema [15] Funcţia (1.55) f 1 (z) = z 1 Az = z + A n 1 z n, z U n=2 este în US dacă şi numai dacă A 1 2 0, Teorema [15] Dacă (1.56) f 2 (z) = z + Az n, n 1, z U şi A 2/(2n) atunci f 2 este este în US. Observaţia Dacă f US, atunci luând ζ = z se obţine că (1.57) 2zf (z) Re 0, z U. f(z) f( z) O funcţie f A care îndeplineşte (1.57) se numeşte funcţie stelată în raport cu puncte simetrice. Această noţiune a fost introdusă de Sakaguci în [52]. Teorema [15] Dacă f US şi z = r < 1, atunci: (1.58) r 1 + 2r f(z) r + 2 ln 1 1 r. Teorema [15] Fie f S, f(z) = z + a n z n. Dacă (1.59) atunci f US. n a n 2/2, n=2 47 n=2

48 Definiţia O funcţie f S se spune că este uniform stelată de ordinul α, α [0, 1) dacă (1.60) f(z) f(ζ) Re (z ζ)f (z) α, pentru orice pereche (z, ζ) din polidiscul U U. Notăm prin US (α) clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US (0) = US. O altă observaţie este aceea că uniform stelaritatea de ordin α nu asigură stelaritatea de ordinul α. Întradevăr, considerând ζ = 0 în condiţia de uniform stelaritate de ordinul α, pentru α (0, 1], urmează că Re f(z) zf (z) echivalent, zf (z) f(z) ia valori în discul de centru 1 2α de unde nu rezultă că Re zf (z) f(z) α, z U. Teorema [30] Fie f 1 (z) = z U şi α [0, 1). (1.61) Dacă A z 1 Az 1 α 2(α2 + 1), α, z U, sau şi de rază 1 2α, = z + A n 1 z n, n=2 atunci f 1 US (α). Teorema [30] Fie f S, f(z) = z + a n z n α [0, 1). Dacă 2(α2 + 1) (1.62) n a n 1, 1 α n=2 atunci f US (α). n=2 şi 48

49 1.9 Funcţii uniform convexe Noţiunea de funcţie uniform convexă a apărut pentru prima dată într-un articol al lui A.W. Goodman în 1991 (vezi [16]). Ideea introducerii acestei noţiuni apare prin analogie cu conceptul de funcţie uniform stelată. Definiţia O funcţie f se numeşte uniform convexă în U dacă f S c şi are proprietatea că pentru orice arc de cerc γ din U, cu centrul ζ în U, arcul f(γ) este convex. Vom nota prin UCV sau US c clasa tuturor acestor funcţii. Un arc Γ(t), a < t < b se spune că este convex dacă argumentul tangentei la Γ(t) este o funcţie nedescrescătoare de t. În cazul nostru Γ(t) = f(γ) şi dacă arcul γ este dat de z(t), atunci f(γ) este convex dacă şi numai dacă [ z (t) Im z (t) + f ] (z) (1.63) f (z) z (t) 0, pentru orice z pe Γ. (1.19). Pentru γ = C r = {z C; z = r} se regăseşte condiţia Pentru un arc de cerc γ cu centrul ζ luăm z = ζ + re it. Atunci z (t) = i(z ζ), z (t) = (z ζ) şi înlocuind în (1.63) obţinem 49

50 Teorema [16] Fie f S, Atunci f US c numai dacă (1.64) [ ] f (z) 1 + Re (z ζ) 0, f (z) pentru orice pereche (z, ζ) din polidiscul U U. dacă şi Teorema [16] Funcţia f 1 (z) = z 1 Az = z + A n 1 z n, z U n=2 este în US c dacă şi numai dacă A 1/3. Teorema [16] Funcţia f 2 (z) = z Az 2, z U este în US c dacă şi numai dacă A 1/6. Teorema [16] Fie f S, f(z) = z + a n z n. Dacă (1.65) n(n 1) a n 1 3, n=2 n=2 atunci f US c şi constanta 1/3 nu poate fi înlocuită cu un număr mai mare. Teorema [16] Dacă f US c, f(z) = z + atunci a n 1 n, n 2. a n z n, n=2 50

51 F. Ronning introduce în [48] clasa SP a cărei utilitate constă în posibilitatea translatării rezultatelor determinate pentru aceas-tă clasă direct asupra clasei US c. Definiţia SP = {F S F (z) = zf (z), f US c }. Ma şi Minda (vezi [28]),şi independent, Ronning (vezi [48]) dau o caracterizare printr-o variabilă a funcţiilor uniform convexe: Teorema [28], [48] Fie f S. Atunci f US c dacă şi numai dacă: (1.66) Re { 1 + zf } (z) > f (z) Luând g(z) = zf (z) obţinem: zf (z) f (z), z U Corolarul [48] O funcţie g S este în SP dacă şi numai dacă (1.67) Re zg (z) g(z) > zg (z) g(z) 1, z U. Interpretând geometric relaţia (1.67) observăm că SP este clasa funcţilor g S pentru care zg (z)/g(z), z U ia valori în regiunea parabolică (1.68) Ω = {ω : ω 1 < Reω} = = {ω = u + iv; v 2 < 2u 1}. 51

52 Teorema [48] g(z) = z+a n z n este în SP dacă şi numai dacă (1.69) a n 1 2n 1. Corolarul f(z) = z + b n z n este în US c dacă şi numai dacă (1.70) b n 1 n(2n 1). Definiţia [49] Vom nota prin SP (α, β); α > 0, β [0, 1) clasa tuturor funcţiilor f S cu proprietatea că: zf (z) (α + β) (1.71) f(z) Rezf (z) + α β, z U. f(z) Interpretarea geometrică este aceea că f SP (α, β) dacă şi numai dacă zf (z)/f(z), z U, ia valori în regiunea parabolică (1.72) Ω α,β = {ω : ω (α + β) Reω + α β} = = {ω = u + iv : v 2 4α(u β)}. Stankiewicz şi Wisniowska introduc în [54], relativ la o regiune hiberbolică, o nouă clasă de funcţii astfel: Definiţia O funcţie f S spunem că este în clasa SH(α) dacă zf (z) ( ) { } 2 f(z) 2α zf (z) ( ) 2 1 < Re + 2α 2 1 f(z), z U, α > 0. 52

53 Observaţia Pentru f SH(α) domeniul imaginilor lui zf (z) este interiorul ramurii pozitive a hiberbolei v 2 = f(z) 4αu + u 2, u > 0, iar funcţia H α, cu H α (0) = 1 şi H α(0) > 0, analitică şi univalentă care transformă pe U în acest domeniu este dată prin 1 + bz H α (z) = (1 + 2α) 1 bz 2α unde b = b(α) = 1 + 4α 4α2 (1 + 2α) 2. Definiţia O funcţie f S se numeşte uniform convexă de tip α, α 0 dacă: { Re 1 + zf } (z) α zf (1.73) (z) f (z) f (z), z U. Notăm prin US c (α) clasa tuturor acestor funcţii. Observaţia Clasa US c (α) a fost introdusă de Kanas şi Wisniowska în [21] astfel: Fie 0 k <. O funcţie f S spunem că este k- uniform convexă în U dacă imaginea oricărui arc de cerc γ conţinut în U, de centrul ζ cu ζ k, este convexă. Notăm cu k U CV clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US c (1) = US c şi US c (0) = S c şi astfel se realizează o trecere continuă de la convexitate la uniform convexitate. 53

54 Interpretarea geometrică a relaţiei este aceea că f US c (α) dacă şi numai dacă 1 + zf (z)/f (z) ia valori în D α, unde D α este: i) regiunea eliptică: ( u ( α α 2 1 ) 2 α2 α 2 1 ) 2 + ( v 2 1 α 2 1 ) 2 < 1, pentru α > 1 ii) regiunea parabolică: v 2 < 2u 1, pentru α = 1 iii) regiunea hiperbolică: ( u + ) 2 α2 1 α 2 ( α 1 α 2 ) 2 ( v α 2 ) 2 > 1, şi u > 0, pentru 0 < α < 1 iv) semiplanul u > 0, pentru α = 0. 54

55 În concluzie US c (α) S c ( α α+1). Kanas şi Wisniowska dau câteva rezultate importante privind clasa US c (α) dintre care amintim condiţia suficientă de apartenenţă şi estimarea coeficienţilor pentru această clasă: Teorema [21] Fie f S, f(z) = z + a j z j şi α 0. Dacă (1.74) j=2 j(j 1) a j 1 j + 2 j=2 atunci f US c (α). Numărul 1/(j + 2) nu poate fi mărit. Teorema [22] Fie α 0 şi f US c (α) cu f(z) = z + a n z n. Atunci a n (P 1) n 1, n = 2, 3,..., unde (1) n=2 n (λ) n este simbolul lui Pochhammer, definit prin (λ) 0 = 1, 55

56 (λ) n = λ(λ + 1)...(λ + n 1), n N, 8(arccos α) 2 π 2 (1 α 2 ), 0 α < 1, 8 P 1 (α) = π, α = 1, 2 π 2 4 k(α 2 1)K 2 (k)(1 + k), α > 1. şi K(k) este integrala eliptică a lui Legendre K(k) = 1 0 dt, k (0, 1) 1 t 2 1 k 2 t2 astfel încât α = cosh[πk (k)]/[4k(k)] unde K (k) = K( 1 k 2 ) este integrala complementară a lui K(k). Observaţia În legătură de clasa USc (α) Kanas şi Wisniowska introduc în [23] clasa α ST prin α ST := {f S : f(z) = zg (z), g US c (α)}, α 0, pentru care dau o serie de rezultate (caracterizarea într-o variabilă, o condiţie suficientă de apartanenţă, estimarea coeficienţilor, etc.). În [57] autorii introduc şi studiază funcţiile uniform convexe de ordin γ astfel: Definiţia O funcţie f S se numeşte uniform convexă de ordin γ [ 1, 1) dacă { Re 1 + zf } (z) zf (1.75) (z) f (z) f (z) + γ, z U. 56

57 Notăm prin US c [γ] clasa tuturor acestor funcţii. La introducerea următoarelor subclase de funcţii se utilizează operatorul diferenţial Sălăgean, definit astfel: D n : A A, n N and D 0 f(z) = f(z) D 1 f(z) = Df(z) = zf (z), D n f(z) = D ( D n 1 f(z) ) În 1999 I. Magdaş (vezi [31]), şi independent, S. Kanas şi T. Yaguchi (vezi [24]) introduc aşa numitele funcţii n-uniform stelate de tip α: Definiţia O funcţie f A spunem că este n-uniform stelată de tip α, α 0 şi n N dacă: { } D n+1 f(z) Re α D n+1 (1.76) f(z) D n f(z) D n f(z) pentru orice z U. 1, Notăm prin US n (α) clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US 0 (1) = SP, US 1 (1) = US c, US 1 (α) = US c (α), unde US c (α) este clasa definită prin (1.73). Interpretarea geometrică a relaţiei (1.76) este aceea că f US n (α) dacă şi numai dacă D n+1 f(z)/d n f(z) ia valori în D α, unde D α este o regiune eliptică pentru α > 1, parabolică pentru α = 1, hiperbolică pentru 0 < α < 1, respectiv semiplanul u > 0 pentru α = 0 (vezi şi Definiţia (1.9.5)). 57

58 În toate aceste situaţii Re Dn+1 f(z) D n f(z) > α α+1. În concluzie US n (α) S n ( α α+1, 1) S, de unde rezultă că funcţiile din US n (α) sunt univalente. Observaţia În [24] S. Kanas şi T. Yaguchi numesc aceste funcţii (k, n)-uniform convexe şi notează prin (k, n) UCV mulţimea acestor funcţii. Pentru funcţiile (k, n)-uniform convexe sunt determinate funcţiile extremale şi sunt gasite exstimări ale coeficienţilor. Amintim aici acest ultim rezultat: Dacă α 0, n N şi f(z) = z + a 2 z aparţine clasei US n (α), atunci a j P 1(P 1 + 1)...(P 1 + j 2) (j 1)! j n, j 2. unde P 1 are semnificaţia din teorema astfel: Tot în acest articol autorii introduc si clasa (k, n) ST Pentru f S, k [0, ) şi n N, spunem că f este în clasa (k, n) ST dacă Şi pentru această clasa sunt determinate rezultate asemănătoare. ( ) D n f(z) Re > k D n f(z) f(z) f(z) 1, z U. 58

59 Continuând această linie I. Magdaş introduce în [32] funcţiile uniform convexe de tip α şi ordin γ şi apoi ca o generalizare a acestora funcţiile n-uniform stelate de ordin γ şi tip α: Definiţia O funcţie f A spunem că este uniform convexă de tip α şi ordin γ, α 0, γ [ 1, 1), α + γ 0 dacă: (1.77) pentru orice z U. { Re 1 + zf } (z) f (z) α zf (z) f (z) + γ, Notăm prin US c (α, γ) clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US c (α, 0) = US c (α) şi US c (1, γ) = US c [γ]. Interpretarea geometrică a relaţiei (1.77) este aceea că f US c (α, γ) dacă şi numai dacă 1+ zf (z) f (z) D α,γ este: ia valori în D α,γ, unde i) regiune eliptică: ( u α2 γ α 2 1 [ α(1 γ) α 2 1 ) 2 ] 2 + ( v 2 1 γ α 2 1 ) 2 < 1, pentru α > 1; ii) regiunea parabolică: v 2 < 2(1 γ)u (1 γ 2 ), pentru α = 1; 59

60 iii) regiunea hiperbolică: ( ) 2 u γ α2 1 α [ 2 v 2 ( ) 2 > 1 şi u > 0, pentru 0 < α < 1; α(1 γ) 1 α 2 ] γ 1 α 2 iv) semiplanul u > γ, pentru α = 0 { } În toate aceste cazuri Re 1 + zf (z) f (z) În concluzie US c (α, γ) S c ( α+γ α+1 ). > α+γ α+1. Definiţia O funcţie f A spunem că este n-uniform stelată de ordin γ şi tip α, unde α 0, γ [ 1, 1), α+γ 0 şi n N dacă (1.78) Re Dn+1 f(z) D n f(z) pentru orice z U. α D n+1 f(z) D n f(z) γ,

61 Notăm prin US n (α, γ) clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US 1 (α, γ) = US c (α, γ), US 0 (α, γ) = S (γ), ( 1 γ US 0 (1, γ) = SP, 2 ) 1 + γ 2 şi US n (α, 0) = US n (α). Interpretarea geometrică a relaţiei (1.78) este aceea că f US n (α, γ) dacă şi numai dacă D n+1 f(z)/d n f(z) ia valori în D α,γ, unde D α,γ a fost definit la interpretarea geometrică a definiţiei clasei US c (α, γ). Întrucât pentru f US n (α, γ) avem Re { D n+1 f(z)/d n f(z) } > (α + γ)/(α + 1), urmează ( ) α + γ US n (α, γ) S n S, 1 + α de unde rezultă că funcţiile din US n (α, γ) sunt univalente. Definiţia Fie f, g A; f(z) = z + a j z j, z U şi g(z) = z + b j z j, z U. Vom nota prin f g convoluţia j=2 j=2 (sau produsul Hadamard) al celor două funcţii, dat prin (1.79) (f g)(z) = z + a j b j z j, z U. j=2 61

62 Definiţia Definim operatorul Ruscheweyh R n : A A, n N, z U, prin: (1.80) R n f(z) = z (1 z) f(z) = z(zn 1 f(z)) (n). n+1 n! Observaţia U, atunci 1. Dacă f A, f(z) = z+ a j z j, z j=2 (1.81) R n f(z) = z + Cn+j 1a n j z j, z U. j=2 2. Se observă că inegalitatea (1.82) Re Rn+1 f(z) R n f(z) > 1 2, z U este pentru n = 1 chiar condiţia de convexitate. Vom nota prin K n clasa funcţiilor f A care satisfac (1.82). Folosind operatorul Ruscheweyh, I. Magdaş introduce în [33] o nouă subclasă de funcţii uniform convexe astfel: Definiţia Fie n N. Vom spune că o funcţie f A este în clasa UK n (δ), δ [ 1, 1) dacă f satisface condiţia: Re Rn+1 f(z) R n+1 (1.83) f(z) R n f(z) 1 R n f(z) + δ, pentru orice z U. 62

63 Interpretarea geometrică a inegalităţii (1.83) este aceea că f UK n (δ), dacă şi numai dacă R n+1 f(z)/r n f(z) ia valori în domeniul Ω 1 δ 2, 1+δ 2 not = Ω δ mărginit de parabola: (1.84) v 2 = 2(1 δ)u (1 δ 2 ). Funcţia Carathéodory asociată este (1.85) Q δ (z) = 1 + 2(1 δ) π 2 ( log 1 + ) 2 z 1, z U. z Observăm că funcţia Q δ este convexă şi satisface Re Q δ (z) > 1 + δ. Deci, f UK n (δ) dacă şi numai dacă 2 R n+1 f(z) Q R n f(z) δ (z). Se observă că pentru n = 0 obţinem UK 0 (δ) = SP ( 1 δ, ) 1+δ 2 2, iar pentru n = 1 şi δ = 1/2, UK 1 (1/2) = US c. Legat de clasa UK n (δ) I. Magdaş arată, printre alte rezultate, că operatorul integral Bernardi I c (f)(z) = F c (z) = 1 + c z c z 0 f(t)t c 1 dt, c = 1, 2, 3,... conservă această clasă în anumite condiţii impuse parametrului c, iar în [5] autorii arată că operatorul integral al lui Alexander definit prin (1.23), conservă şi el, în anumite condiţii impuse lui δ, această clasă. 63

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

On a subclass of n-close to convex functions associated with some hyperbola

On a subclass of n-close to convex functions associated with some hyperbola General Mathematics Vol. 13, No. 3 (2005), 23 30 On a subclass of n-close to convex functions associated with some hyperbola Mugur Acu Dedicated to Professor Dumitru Acu on his 60th anniversary Abstract

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Subclasses of starlike functions associated with some hyperbola 1

Subclasses of starlike functions associated with some hyperbola 1 General Mathematics Vol. 14, No. 2 2006, 31 42 Subclasses of starlike functions associated with some hyperbola 1 Mugur Acu Abstract In this paper we define some subclasses of starlike functions associated

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

GEOMETRICAL AND ANALYTICAL PROPERTIES OF SOME CLASSES OF UNIVALENT FUNCTIONS

GEOMETRICAL AND ANALYTICAL PROPERTIES OF SOME CLASSES OF UNIVALENT FUNCTIONS BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY, CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU GEOMETRICAL AND ANALYTICAL PROPERTIES OF SOME CLASSES OF UNIVALENT FUNCTIONS Ph.D. Thesis Summary

More information

PROFESSOR PETRU T. MOCANU ON HIS 70 th BIRTHDAY

PROFESSOR PETRU T. MOCANU ON HIS 70 th BIRTHDAY STUDIA UNIV. BABEŞ BOLYAI, MATHEMATICA, Volume XLVI, Number 2, June 2001 PROFESSOR PETRU T. MOCANU ON HIS 70 th BIRTHDAY Professor Petru T. Mocanu was born on June 1, 2001 in Brăila, Romania. He attended

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT

STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT THE STUDY OF GEOMETRY

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.

More information

Self-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract)

Self-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract) UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Self-Small Abelian Groups and Related Problems (Abstract) Author: Simion BREAZ 2013 Abstract Let R be

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul VII, Nr. Iulie Decembrie 005 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 00 de ani de la introducerea distanţei între mulţimi de către Dimitrie Pompeiu e iπ = Editura Crenguţa

More information

Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016

Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016 Ce este logica? Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http:unibuc.ro/~lleustean/ În această prezentare sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean din Semestrul

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

Lucrare de cercetare postdoctorală

Lucrare de cercetare postdoctorală ACADEMIA ROMÂNĂ Institutul Naţional de Cercetări Economice "Costin C. Kiriţescu" Lucrare de cercetare postdoctorală Expert îndrumător: Prof. Dr. Lucian BEZNEA Cercetător postdoctorand: Anca-Iuliana BONCIOCAT

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

On Some α-convex Functions

On Some α-convex Functions Int. J. Open Problems Comput. Sci. Math., Vol. 1, No. 1, June 2008 On Some α-convex Functions Mugur Acu 1, Fatima Al-Oboudi 2, Maslina Darus 3, Shigeyoshi Owa 4 Yaşar Polato glu 5 and Emel Yavuz 5 1 Department

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 U.P.B. ci. Bull., eries A, Vol. 74, Iss. 3, 212 IN 1223-727 A CALAR OPERATOR Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 În această lucrare studiem o clasă nouă de operatori numiţi -scalari. Aceştia apar în mod natural,

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea Babeş-Bolyai Erika Nagy Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale cu aplicaţii Rezumatul

More information

FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ

FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELENA-IULIA STOICA FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC PROF.

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

LABORATORY 4 INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS

LABORATORY 4 INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTERS LABORATORY 4 IFIITE IMPULSE RESPOSE FILTERS 4.. Introduction (For more theoretical details, please see the lecture notes) Filtrele cu răspuns infinit la impuls (RII) se dovedesc în anumite aplicaţii mai

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor In Florentin Smarandache: Collected Papers, vol. II. Chisinau (Moldova): Universitatea

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

STRONG DIFFERENTIAL SUBORDINATION AND SUPERORDINATION OF NEW GENERALIZED DERIVATIVE OPERATOR. Anessa Oshah and Maslina Darus

STRONG DIFFERENTIAL SUBORDINATION AND SUPERORDINATION OF NEW GENERALIZED DERIVATIVE OPERATOR. Anessa Oshah and Maslina Darus Korean J. Math. 23 2015, No. 4, pp. 503 519 http://dx.doi.org/10.11568/jm.2015.23.4.503 STRONG DIFFERENTIAL SUBORDINATION AND SUPERORDINATION OF NEW GENERALIZED DERIVATIVE OPERATOR Anessa Oshah and Maslina

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

Counties of Romania List

Counties of Romania List O P A Romanian PSK Award eria de diplome Romanian PSK Award a fost conceputa de clubul European de PSK (EPC) la data de 22 mai 009. Scopul fiind de a stimula activitatea PSK cu statii de radioamatori din

More information

Qualitative Analysis of Distributed Delay Systems: Methodology and Algorithms Constantin-Irinel Morărescu

Qualitative Analysis of Distributed Delay Systems: Methodology and Algorithms Constantin-Irinel Morărescu Université de Technologie de Compiègne (France) and Universitatea din Bucureşti (România) Qualitative Analysis of Distributed Delay Systems: Methodology and Algorithms Constantin-Irinel Morărescu Ph.D.

More information

Anul I, Semestrul I 2017/2018

Anul I, Semestrul I 2017/2018 Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean

More information

Anul I, Semestrul I 2017/2018

Anul I, Semestrul I 2017/2018 Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean

More information

Ce este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament

Ce este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament Ce este logica? Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile

More information

Arhivele Electronice Los Alamos arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000

Arhivele Electronice Los Alamos  arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 arxiv:physics/0003106v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106 ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ HARET C. ROSU e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx fax: 0052-47187611

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Editura Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 006 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

SOME SUBCLASSES OF ANALYTIC FUNCTIONS DEFINED BY GENERALIZED DIFFERENTIAL OPERATOR. Maslina Darus and Imran Faisal

SOME SUBCLASSES OF ANALYTIC FUNCTIONS DEFINED BY GENERALIZED DIFFERENTIAL OPERATOR. Maslina Darus and Imran Faisal Acta Universitatis Apulensis ISSN: 1582-5329 No. 29/212 pp. 197-215 SOME SUBCLASSES OF ANALYTIC FUNCTIONS DEFINED BY GENERALIZED DIFFERENTIAL OPERATOR Maslina Darus and Imran Faisal Abstract. Let A denote

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune

More information

TEZĂ DE ABILITARE. Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene

TEZĂ DE ABILITARE. Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene ACADEMIA ROMÂNĂ SCOSAAR TEZĂ DE ABILITARE Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene Dorel Fetcu Domeniul fundamental Matematică și științe ale naturii Domeniul

More information

Structura matematicii (II)

Structura matematicii (II) Structura matematicii (II) Oana Constantinescu Contents 1 Notiuni - denitii 1 2 Propozitii adevarate: axiome si teoreme 5 2.1 Elemente de logica.......................... 5 2.2 Teoreme................................

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

1 Generarea suprafeţelor

1 Generarea suprafeţelor Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor

More information

Autor: Instituţia: Coordonator

Autor: Instituţia: Coordonator Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way George Polya Autor: Instituţia: Coordonator ştiinţific:

More information

Raport stiintific sintetic. privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013

Raport stiintific sintetic. privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013 Raport stiintific sintetic privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013 Titlul proiectului: Algebre Hopf si teme inrudite, contract 88/05.10.2011. Director: prof. dr. Gigel

More information

A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA

A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 71, Iss. 4, 2009 ISSN 1223-7027 A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA Pier Paolo DELSANTO 1, Antonio S. GLIOZZI 2, Dan A.

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU)

PRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU) PRELUCRRI PE IMGINI BINRE (LB/NEGRU) Imagine binara? 2 nuante: alb ( 0 ) pixelii de fond ( I(x,y)= 255 pt. imagini indexate cu 8 biti/pixel ) negru ( 1 ) pixelii apartinand obiectelor ( I(x,y)= 0 pt. imagini

More information