Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Transcription

1 Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu 2005

2 2

3 Cuvânt înainte Teoria geometrică a funcţiilor univalente a început să se dezvolte ca ramură aparte a analizei complexe la începutul secolului al XX-lea când au apărut primele lucrări importante din acest domeniu datorate lui P. Koebe, T.H. Gromwall, I. W. Alexander, L. Bieberbach. În 1916 L. Bieberbach enunţa celebra conjectură care îi poartă numele şi care a putut fi demonstrată abia în 1984 de Louis de Branges. Conjectura lui Bieberbach a impulsionat timp de aproape un secol cercetările în domeniul funcţiilor univalente, una dintre direcţiile urmărite fiind cea a definiri unor subclase de funcţii univalente pentru care această conjectură să poată fi verificată. Totodată au apărut şi s-au luat dezvoltat noi metode de cercetare cum ar fi: metoda parametrică a lui L. Loewner, metoda variaţională iniţiată de M. Schiffer şi G.M. Goluzin, metoda reprezentărilor integrale introdusă de G. Herglotz, 3

4 metoda punctelor extremale a lui L. Brickman şi T.H. Mac- Gregor, etc. Noţiunea de funcţie de tip uniform este relativ recentă, ea apărând pentru prima dată într-un articol (vezi [15]) a lui A.W. Goodman în Studiul claselor de funcţii de tip uniform a luat amploare şi continuă şi în prezent, de aceea în această carte încercăm, ca un obiectiv secundar, să introducem cititorul în acest domeniu. O problemă centrală în teoria geometrică a funcţiilor de o variabilă complexă este studiul proprietăţilor operatorilor integrali definiţi pe anumite subclase ale lui A = {fanalitică în U; f(0) = f (0) 1 = 0}. Primul operator integral a fost introdus în 1915 de către J.V. Alexander în [6] astfel I : A A, I(f)(z) = z 0 f(t) dt. t În 1965, R.J. Libera în [19] a definit operatorul integral de forma L : A A, L(f)(z) = 2 z z 0 f(t)dt. Acest rezultat a fost extins de S.D. Bernardi [7] în anul 1969 astfel I c : A A, I c (f)(z) = 1 + c z f(t)t c 1 dt, c = 1, 2, 3,.... z c 0 4

5 Au fost studiate numeroase generalizări ale operatorilor precedenţi, dintre care cea mai generală formă care utilizează o singură funcţie sub semnul integralei este L a (f)(z) = 1 + a z a z 0 f(t)t a 1 dt cu a C, Re a 0. Acest operator a fost introdus în această formă generală (a C, Re a 0) de către N.N. Pascu în [44] şi a fost numit, de către D. Blezu în [10], operatorul integral Libera-Pascu. Studiul câtorva proprietăţi de conservare a unor clase de funcţii de tip uniform prin intermediul acestui operator constituie subiectul principal al acestei cărţi. Cartea se adresează în principal cercetătorilor în domeniul teoriei geometrice a funcţiilor univalente cât şi cercetătorilor în devenire (adică studenţii profilelor matematică), acestora din urmă le recomandăm pentru lămurirea acelor noţiuni de analiză complexă care apar în carte utilizarea lucrării [18]. Din motive de restrângere a mărimii prezentei monografii cât şi pentru facilitarea parcurgerii acesteia sunt prezentate demonstraţii doar ale rezultatelor care privesc direct obiectivul principal propus şi anume prezentarea câtorva proprietăţi ale operatorului integral Libera-Pascu cu privire la funcţiile de tip uniform. 5

6 Menţionăm că această carte se doreşte un omagiu adus regretatului matematician român N.N. Pascu ( ) care pe lângă rezultatele ştiinţifice deosebite are marele merit al dezvoltării unui puternic centru de cercetare în domeniul teoriei geometrice a funcţiilor analitice în cadrul Universităţii Transilvania din Braşov. 6

7 Cuprins Cuvânt înainte 3 1 Noţiuni şi rezultate preliminarii Funcţii univalente Funcţii stelate Funcţii convexe Funcţii α- convexe Funcţii aproape convexe Subordonări diferenţiale. Metoda funcţiilor admisibile Subordonări diferenţiale de tip Briot-Bouquet Funcţii uniform stelate Funcţii uniform convexe Funcţii uniform aproape convexe Funcţii α-uniform convexe

8 2 Proprietăţi ale operatorului integral Libera-Pascu relative la funcţiile de tip uniform Transformarea funcţiilor n-uniform stelate şi n-uniform aproape convexe prin operatorul integral Libera- Pascu Transformarea funcţiilor α-uniform convexe de către operatorul integral Libera-Pascu Bibliografie 87 Abstract 95 Table of contents 99 8

9 Capitolul 1 Noţiuni şi rezultate preliminarii 1.1 Funcţii univalente Definiţia O funcţie olomorfă (sau meromorfă) şi injectivă pe un domeniu D din C se numeşte univalentă pe D. Mulţimea funcţiilor univalente pe D o vom nota cu H u (D). Dacă D = U = {z C : z < 1}, atunci H u (U) este clasa funcţiilor olomorfe şi univalente pe U. Mulţimea funcţiilor olomorfe pe D o vom nota cu H(D). Exemple 1.1.1) Funcţiile omografice sunt univalente pe D = C\{z 0 }, 9

10 unde z 0 este polul funcţiei ) Dacă f H u (D), g H u (E) şi f(d) E atunci g f H u (D) ) f(z) = z 2 este univalentă în semiplanul superior ) Funcţia f(z) = z (1 z) 2, z U numită funcţia lui Koebe, este univalentă în U. Teorema [18] Dacă f H u (D), atunci f (z) 0 pentru orice z din D Reciproca acestei teoreme nu este adevărată, după cum este cazul funcţiei f(z) = e z, unde f (z) 0 în C, dar e z = e z+2πi. Din teorema rezultă că funcţiile univalente sunt reprezentări conforme. Notăm cu H [a, n] = {f H(U) : f(z) = a + a n z n +...}, (1.1) A = {f H(U); f(0) = f (0) 1 = 0} şi (1.2) S = {f A; funivalentă} Observăm că o funcţie f din A are o dezvoltare în serie Taylor în U de forma (1.3) f(z) = z + a 2 z a n z n +... = 10

11 = z + a j z j, z U, j=2 iar S = A H u (U) = {f H u (U); f de forma (1.3)}. Alegerea discului unitate şi a condiţiilor de normare f(0) = 0 şi f (0) = 1 nu restrânge în mod esenţial studiul general al funcţiilor olomorfe şi univalente într-un domeniu simplu conex oarecare D, ci este mai degrabă o simplificare datorită: Teorema (Teorema lui Riemann)[18] Fie D C, D C un domeniu simplu conex şi fie w 0 D şi α ( π, π). Atunci există o funcţie unică ϕ H u (D) astfel încât ϕ(u) = D, ϕ(0) = w 0 şi arg ϕ (0) = α. Conform Teoremei lui Riemann, domeniul D se poate reprezenta conform pe discul unitate U, iar unei funcţii olomorfe şi univalente în D i se asociază o funcţie g olomorfă şi univalentă în U. Funcţia g se poate scrie sub forma g(z) = g(0) + g (0)f(z), unde f S. Pentru a putea permite studiul funcţiilor meromorfe şi univalente, o dată cu clasa S, se consideră clasa a funcţiilor meromorfe cu unicul pol (simplu) şi univalente în exteriorul cercului unitate U care au dezvoltarea în serie Laurent 11

12 de forma ϕ(ζ) = ζ + α 0 + α 1 ζ + α 2 ζ α n +..., ζ > 1. 2 ζn Orice funcţie ϕ din verifică deci condiţiile de normare ϕ( ) = şi ϕ ( ) = 1. Complementara imaginii lui U prin ϕ o vom nota E(ϕ) = C\ϕ(U ). Aceasta este o mulţime compactă şi conexă (deci un continuu) din C, care conţine mai mult de un punct. Coeficientul α 0 din dezvoltarea funcţiei ϕ este dat de formula Vom nota α 0 = 1 2π 2π 0 ϕ(pe iθ )dθ, p > 1. 0 = {ϕ ; ϕ(ζ) 0, ζ U }. Observaţia Fie f S, f(z) = z + a 2 z Atunci funcţia g(z) = f ( ) 1 = z 1 z 1 + a 2 z = = z a 2 + a 3 z +... z 1 + a 2 z = şi g(z) 0 pentru orice z U, deoarece f fiind din S, nu are poli. 12

13 Reciproc, dacă g, g(z) = z + b 0 + b 1 z +... şi c C \g(u ), atunci funcţia f(z) = 1 g ( ) = 1 z c z 1 + (b 0 c)z +... = z+(c b 0)z S Deci se poate stabili o bijecţie între S şi 0. Teorema (Teorema ariei Gronwall - Bieberbach) [17], [8] Fie g o funcţie cu dezvoltarea în serie Laurent de forma (1.4) g(z) = z + Dacă g, atunci aria ( deci E(g) = π b n z n, z U. n=0 1 ) n b n 2 0, n=1 n b n 2 1. n=1 Egalitatea are loc pentru funcţia g θ (z) = z + eiθ z, θ R. Această teoremă constituie punctul de plecare în obţinerea rezultatelor cu privire la problema coeficienţilor şi la teoremele de deformare. 13

14 Consecinţa Fie g de forma (1.4). Atunci b 1 1, egalitatea are loc dacă şi numai dacă g(z) = z + b 0 + e 2iθ /z, unde b 0 C şi θ R. Consecinţa Fie f S cu dezvoltarea (1.3). Atunci a 3 a În plus, dacă f este impară, atunci a 3 1, iar a 3 = 1 dacă şi numai dacă f(z) = z 1 + e 2iθ z 2, θ R. Teorema [9] Dacă f S şi f(z) = z + a 2 z , z U, atunci a 2 2 şi a 2 = 2 dacă şi numai dacă f = K θ ; unde K θ (z) = z (1 e iθ z) = z + ne (n 1)iθ z n, z U, θ R. 2 n=2 Se verifică uşor că domeniul imagine K θ (U) este planul tăiat de-a lungul unei raze care pleacă din punctul 1 4 e iθ. Ca o consecinţă a Teoremei se obţine: Teorema (Teorema de acoperire Koebe-Bieberbach)[9] Dacă f S şi w 0 f(u), atunci w 0 1/4 şi w 0 = 1/4 dacă şi numai dacă f = K θ, unde θ verifică egalitatea w 0 = e iθ /4. 14

15 Teorema (1.1.5) are următoarea interpretare geometrică: discul U(0; 1/4) este discul maxim cu centrul în origine care este acoperit de imaginea discului unitate prin orice func;tie din S. Mai precis U(0; 1/4) = f(u). f S U(0; 1/4) se numeşte discul lui Koebe al clasei S, iar 1/4 este constanta lui Koebe a clasei S. Teorema (Teorema de acoperire şi de deformare)[9] Dacă z este un punct fixat din U şi r = z, atunci pentru orice f S au loc delimitările exacte: (1.5) (1.6) (1.7) r (1 + r) f(z) r 2 (1 r) 2 1 r (1 + r) f (z) 1 + r 3 (1 r) 3 1 r 1 + r zf (z) f(z) 1 + r 1 r. Egalitatea în oricare din delimitările de mai sus are loc dacă şi numai dacă f = K θ, pentru o alegere convenabilă a lui θ. Observaţia Notând r 1 = r (1+r) 2 şi r 2 = r (1 r) 2, inegalităţile (1.5) au următoarea interpretare geometrică: U(0, r 1 ) = f S f(u(0, r)) 15

16 U(0, r 2 ) = f S f(u(0, r)) Pe baza delimitării superioare din (1.5) se poate deduce că S este o clasă compactă de funcţii analitice. Inegalităţile (1.6) dau delimitări ale deformării liniare în punctul z, prin funcţiile din clasa S. Teorema (Conjectura lui Bieberbach)[9] Dacă f S şi f(z) = z + a 2 z , z U atunci a n n, n 2 şi cei mai mari coeficienţi în modul sunt ai funcţiilor K θ, θ R. Această conjectură a impulsionat cercertările din domeniul teoriei geometrice a funcţiilor, ducând la obţinerea multor rezultate interesante şi la dezvoltarea unor noi metode. În 1984 Louis de Branges (vezi [14]) a demonstrat conjectura lui Bieberbach, utilizând metoda lui Loewner (pentru detalii privind această metodă se poate consulta [45]). 1.2 Funcţii stelate Fie f o funcţie olomorfă în U, care verifică condiţiile f(0) = 0 şi f(z) 0, pentru z 0. Vom nota cu C r imaginea cercului {z C : z = r}, 0 < r < 1, prin funcţia f. 16

17 Definiţia Vom spune că C r este o curbă stelată în raport cu originea (sau, mai simplu stelată) dacă unghiul ϕ = ϕ(r, θ) = arg f(re iθ ) pe care raza vectoare a punctului f(z), z = re iθ, îl face cu axa reală pozitivă, este o funcţie crescătoare de θ, când θ creşte de la 0 la 2π, adică (1.8) ϕ θ = θ arg f(z) > 0, z = reiθ, θ (0, 2π) Vom spune că f este stelată pe cercul { z = r} dacă C r este o curbă stelată. Deoarece f(z) 0, pentru z 0 putem scrie Logf(z) = log f(z) + i arg f(z), unde z = re iθ. Derivând în raport cu θ şi ţinând seama că se obţine z θ = reiθ θ = rie iθ = iz, izf (z) f(z) = θ log f(z) + i arg f(z) θ (1.9) Din această egalitate deducem că θ arg f(z) = Rezf (z) f(z), z = reiθ Deci condiţia (1.8) se poate scrie sub forma (1.10) Re zf (z) f(z) > 0, pentru z = r 17

18 care exprimă condiţia necesară şi suficientă pentru ca f să fie stelată pe cercul {z C : z = r}. Deoarece funcţia zf (z) f(z) este armonică, rezultă că dacă această inegalitate este verificată pentru z = r, ea va fi verificată şi pentru z r. De aici deducem că dacă f este stelată pe cercul {z C : z = r} ea va fi stelată pe orice cerc {z C : z = r }, unde 0 < r < r. Definiţia Se numeşte rază de stelaritate a funcţiei f, numărul r (f) definit de { r (f) = sup r; Re zf (z) (1.11) f(z) } > 0, z r. Dacă r (f) 1 vom spune că funcţia f este stelată în discul unitate U (stelată) Observaţia ) Egalitatea Re zf (z) = 0 pentru un f(z) punct z U nu poate avea loc deoarece, în acest caz, funcţia f s-ar reduce la o constantă, ceea ce ar fi în contradicţie cu condiţiile impuse asupra funcţiei f. 2) Dacă f verifică Re zf (z) > 0, z < 1, atunci în mod f(z) necesar f(z) 0, pentru 0 < z < 1. 3) Din definiţie rezultă că f este stelată (în U) dacă şi numai dacă este stelată pe orice cerc {z C : z = r}, 0 < r < 1. 18

19 4) Condiţia de stelaritate Re zf (z) > 0, z U, nu asigură f(z) univalenţa funcţiei f în discul unitate, deci se pune problema găsirii unei condiţii suplimentare care să asigure univalenţa funcţiei. Dacă presupunem, în plus, condiţia f (0) 0, atunci condiţia Re zf (z) > 0, implică univalenţa funcţiei f, precum şi faptul că f(u) este un f(z) domeniu stelat (în raport cu originea), adică segmentul care uneşte orice punct din f(u) cu originea este conţinut în f(u). Teorema [42] f(0) = 0. Fie f o funcţie olomorfă în U cu Atunci f este univalentă şi f(u) este un domeniu stelat în raport cu originea dacă şi numai dacă f (0) 0 şi (1.12) Re zf (z) f(z) > 0, pentru z U Definiţia Vom nota cu S clasa funcţiilor olomorfe în U, cu f(0) = 0, f (0) = 1 şi care sunt stelate în raport cu originea în U. Deci { S = f H(U); f(0) = f (0) 1 = 0, Re zf } (z) f(z) > 0, z U. Observaţia Folosind definiţia subordonării, clasa S se poate defini asrfel: dacă f(z) = z + a 2 z , z U, atunci f S dacă şi numai dacă zf (z) f(z) 1 + z 1 z, z U. 19

20 Deoarece funcţia lui Koebe K θ (z) = z, θ R pen- (1+e iθ z) 2 tru o alegere convenabilă a lui θ este stelată, rezultă că teorema de deformare relativă la clasa S este valabilă şi pentru clasa S. Teorema (Teorema de deformare)[42] Dacă f S au loc delimitările exacte: (1.13) r (1 + r) f(z) r 2 (1 r) 2 (1.14) (1.15) 1 r (1 + r) f (z) 1 + r 3 (1 r) 3 1 r 1 + r zf (z) f(z) 1 + r 1 r unde z U, z = r, iar funcţia extremală este funcţia lui Koebe f = K θ, pentru o alegere convenabilă a lui θ. De aici rezultă uşor că S este compactă. Fie (1.16) M[a, b] = {µ : [a, b] R +, µ funcţie crescătoare b pe [a, b], dµ(t) = µ(b) µ(a) = 1} a Teorema [42] Funcţia f(z) = z + a 2 z , z U aparţine clasei S dacă şi numai dacă există o funcţie 20

21 µ M[0, 2π] astfel încât f(z) = z exp 2 2π 0 log(1 ze it )dµ(t), z U. Dintre submulţimile clasei S amintim clasa funcţiilor stelate de ordin α(0 α < 1), notată cu S (α) şi cea a funcţiilor tare stelate de ordin α(0 < α 1), notată cu S [α]. Definiţia Funcţia f A se numeşte stelată de ordinul α, 0 α < 1, dacă verifică inegalitatea (1.17) Re zf (z) f(z) > α, z U. Notăm cu S (α) clasa acestor funcţii. Definiţia Funcţia f A se numeşte tare stelată de ordinul α, 0 < α 1 dacă verifică inegalitatea arg zf (1.18) (z) f(z) < απ 2, z U. Notăm cu S [α] clasa acestor funcţii. Se observă că S (0) = S şi S [1] = S. 1.3 Funcţii convexe Fie f o funcţie olomorfă în U, cu f (z) 0, pentru 0 < z < 1. Vom nota cu C r imaginea cercului {z C : z = r}, 0 < r < 1, prin funcţia f. 21

22 Definiţia Curba C r se numeşte convexă dacă unghiul ψ(r, θ) = π 2 + arg zf (z), z = re iθ făcut de tangenta la curba C r în punctul f(z) cu semiaxa reală pozitivă este o funcţie crescătoare de θ pe [0, 2π] Definiţia Funcţia f z = r dacă C r este o curbă convexă. se numeşte convexă pe cercul Se arată că f este convexă pe cercul {z C : z = r} dacă şi numai dacă { Re 1 + zf } (z) (1.19) > 0, z = r. f (z) De aici deducem că dacă f este convexă pe cercul {z C : z = r}, atunci ea va fi convexă pe orice cerc {z C : z = r }, unde 0 < r < r. Definiţia Prin raza de convexitate a funcţiei f înţelegem numărul { { } } zf r c (z) (1.20) (f) = sup r; Re f (z) + 1 > 0, z r. Dacă r c (f) 1, vom spune că funcţia f este convexă în discul unitate U (sau, mai simplu convexă). Aceasta înseamnă că f verifică condiţia { Re 1 + zf } (z) (1.21) > 0, z < 1. f (z) Relaţia (1.21) implică f (z) 0, pentru orice 0 < z < 1. 22

23 { Observaţia Condiţia Re 1 + zf } (z) > 0, z U nu f (z) asi-gură univalenţa funcţiei f în discul unitate după cum arată exemplul f(z) = z 2 Avem însă următoarea condiţie suficientă de univalenţă. Teorema [42] O funcţie f olomorfă în U este univalentă şi f(u) este un domeniu convex dacă şi numai dacă f (0) 0 şi (1.22) { Re 1 + zf } (z) > 0, pentru z U f (z) Definiţia Vom nota cu S c (sau K) clasa funcţiilor olomorfe în U, cu U. f(0) = 0, f (0) = 1 şi care sunt convexe în Deci { S c = {f H(U); f(0) = f (0) 1 = 0, Re 1 + zf } (z) > 0, f (z) z U} şi S c S. Legătura dintre clasele S şi S c este dată de: Teorema (Teorema de dualitate a lui Alexander) [6] Fie f A şi g(z) = zf (z). Atunci f S c dacă şi numai dacă g S. 23

24 unde (1.23) Fie operatorul integral I A : A A, f = I A (g), g A, f(z) = z 0 g(t) dt, z U. t Operatorul I A este numit operatorul lui Alexander. ajutorul acestuia, Teorema (1.3.2) se poate reformula astfel: S c = I A (S ) şi I A stabileşte o bijecţie între S şi S c. Cu Între S şi S c se pot stabili şi alte relaţii, cum este cea din: Teorema (Teorema lui Marx şi Strohhäcker)[35], [55] Dacă f A, atunci { Re 1 + zf } (z) (1.24) > 0, z U f (z) Deci S c S (1/2). Re zf (z) f(z) > 1 2, z U În ceea ce priveşte coeficienţii funcţiilor din clasa S c are loc următoarea teoremă: Teorema [42] Dacă f(z) = z+a 2 z 2 +a 3 z aparţine clasei S c, atunci a n 1, pentru orice n 2. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă funcţia f are forma f(z) = z 1 + e iτ z, τ R, z U. Are loc următoarea teoremă de deformare. 24

25 Teorema [42] Dacă f S c au loc delimitările exacte: (1.25) (1.26) r 1 + r f(z) r 1 r 1 (1 + r) f 1 (z) 2 (1 r) 2 unde z U, z = r, egalităţile având loc pentru funcţia z f(z) =, τ R, z U, pentru o alegere convenabilă a 1 + e iτ z lui τ. Din relaţia (1.25) rezultă că clasa S c este compactă. Observaţia Făcând r 1 în (1.25) deducem constanta lui Koebe a clasei S c care este 1/2. Definiţia Spunem că funcţia f A este convexă de ordinul α, 0 α, < 1, dacă verifică inegalitatea { Re 1 + zf } (z) (1.27) > α, z U f (z) Notăm cu S c (α) clasa acestor funcţii. 1.4 Funcţii α- convexe Fie f o funcţie olomorfă în U cu f(0) = 0, α un număr real dat. f(z)f (z) z Notăm cu χ(r, θ) = (1 α)ϕ(r, θ) + αψ(r, θ). 0 şi fie 25

26 Definiţia Curba C r se numeşte α-convexă dacă funcţia χ(r, θ) este o funcţie crescătoare de θ, pentru θ [0, 2π], adică (1.28) χ(r, θ) θ ϕ(r, θ) ψ(r, θ) = (1 α) + α θ θ unde θ [0, 2π]. > 0 Funcţia f se numeşte α-convexă pe cercul {z C; z = r} dacă C r este o curbă α-convexă. Se arată că funcţia f este α-convexă pe cercul {z C; z = r} dacă şi numai dacă (1.29) ReJ(α, f; z) > 0, z = r, unde (1.30) J(α, f; z) = (1 α) zf ( (z) f(z) + α 1 + zf ) (z). f (z) Având în vedere proprietăţile funcţiilor armonice deducem că dacă f este α-convexă pe cercul {z C; z = r}, ea va fi α-convexă pe orice cerc {z C; z = r }, unde 0 < r < r. Definiţia Prin raza de α-convexitate a funcţiei f înţelegem numărul r α (f) = sup{r; ReJ(α, f; z) > 0, z r}. Dacă r α (f) 1 vom spune că funcţia f este α-convexă în discul unitate U. Aceasta înseamnă că f verifică condiţia (1.31) ReJ(α, f; z) > 0, z U. 26

27 Definiţia Fie M α clasa funcţiilor olomorfe în U, cu f(0) = 0, f (0) = 1 şi care sunt α-convexe în U. Deci M α = {f H(U), f(0) = f (0) 1 = 0, ReJ(α, f; z) > 0, z U} şi se observă că M 0 = S şi M 1 = S c. Observaţia Punând p(z) = zf (z) f(z) J(α, f; z) = p(z) + α zp (z) p(z), deci inegalitatea (1.31) se scrie [ ] Re p(z) + α zp (z) (1.32) > 0, z U p(z) sau, echivalent, folosind subordonarea (1.33) p(z) + α zp (z) p(z) 1 + z 1 z. obţinem că 2. Dacă are loc (1.32) atunci în mod necesar p(z) = zf (z) f(z) este olomorfă în U şi p(z) 0, z U. Aceasta înseamnă că condiţia f(z)f (z) 0, z U este în mod necesar z verificată. Teorema [42] Pentru orice α, β R cu 0 β/α 1 are loc M α M β. 27

28 Corolarul Pentru orice α [0, 1] are loc S c M α S. Teorema (Teorema de dualitate)[42] Dacă α > 0 atunci f M α dacă şi numai dacă F S, unde F (z) = f(z) = [ ] zf α (z). f(z) Ca o consecinţă a acestei teoreme de dualitate obţinem următoa-rea reprezentare integrală a funcţiilor α-convexe, pentru α > 0. Teorema [42] Dacă α > 0, atunci f M α dacă şi numai dacă există o funcţie F S astfel încât f(z) = 1 z α F 1/α (ζ) (1.34) dζ, z U. α ζ 0 Definiţia O funcţie f din M α se numeşte α-convexă de ordin γ, 0 γ < 1, dacă (1.35) ReJ(α, f; z) > γ, z U. Notăm cu M α (γ) clasa tuturor aceste funcţii. Legat de raza de α-convexitate a clasei S în 1972 V.V. Cernikov în [13] arată următorul rezultat: 28

29 Teorema [13] Dacă coth 1 1 = α 1, atunci r α (S) = 1 + α α(α + 2). Apoi în 1974 S.S. Miller, P.T. Mocanu, M.O. Reade în [40] arată că rezultatul precedent are loc şi pentru α > 1. Teorema (Teorema asupra razei de α-convexitate a clasei S )[40] Raza de α-convexitate a clasei S este dată de r α (S ) = 1 + α α(α + 2), α 0 2 α 2 + α, 3 < α < 0 (1 + α) α(α + 2), α Funcţii aproape convexe Definiţia Funcţia f H(U) se numeşte aproape convexă dacă există o funcţie ϕ convexă în U, astfel încât (1.36) Re f (z) ϕ (z) > 0, z U. Spunem că funcţia f este aproape convexă în raport cu funcţia ϕ. În particular, dacă Re f (z) > 0, z U, funcţia f este aproape convexă în raport cu fumcţia identică ϕ(z) = z, z U. 29

30 Teorema [25],[43](Criteriul de univalenţă a lui Ozaki şi Kaplan) Fie D C un domeniu simplu conex şi fie funcţia f H(D). Să presupunem că există o funcţie ϕ H u (D) astfel încât ϕ(d) = este un domeniu convex. Atunci Re f (z) > 0, z D (adică f este aproape convexă în raport ϕ (z) cu ϕ) implică f este univalentă în D. Definiţia Vom nota cu C sau CC clasa funcţiilor aproape convexe şi normate în U: CC = { f A : ϕ K, Re f } (z) ϕ (z) > 0, z U Observaţia Pe baza teoremei de dualitate a lui Alexander avem ϕ K dacă şi numai dacă g(z) = zϕ (z) S, de unde rezultă imediat că funcţia f A aparţine clasei CC dacă şi numai dacă există g S astfel încât. (1.37) Re zf (z) g(z) > 0, z U. Observaţia Dacă f S, condiţia (1.37) este verificată pentru g = f, ceea ce înseamnă că S CC. Dacă punem p(z) = zf (z) condiţia (1.37) înseamnă g(z) p P,de unde se deduce următorul rezultat: 30

31 Propoziţia Funcţia f CC dacă şi numai dacă se poate reprezenta sub forma f(z) = z 0 g(t) p(t)dt, unde p P, g S, t adică CC = B(1) = B(1, P, S ). M.O. Reade demonstrează conjectura lui Bieberbach pentru clasa CC: Teorema [46],[47] Dacă f(z) = z + clasei CC, atunci a n n, n = 2, 3,.... a n z n aparţine n=2 Următoarea teoremă, datorată lui W. Kaplan, dă o caracterizare intrinsecă a funcţiilor aproape convexe (independentă de funcţia ϕ): Teorema [25] O condiţie necesară şi suficientă pentru ca funcţia f A, cu f (z) 0, z U să fie aproape convexă este ca (1.38) θ2 θ 1 [ Re 1 + zf ] (z) dθ > π, z = re iθ, f (z) pentru orice θ 1, θ 2 cu 0 θ 1 < θ 2 2π şi orice r (0, 1). Observaţia Interpretare geometrică: Condiţia (1.38) este echivalentă cu arg z 2 f (z 2 ) arg z 1 f (z 1 ) > π, unde 31

32 z k = re iθ k, k = 1, 2, r < 1. Notând cu T k tangenta la curba C r = f( U r ) în punctul f(z k ), atunci condiţia precedentă se poate scrie arg T 2 arg T 1 > π, pentru 0 θ 1 < θ 2 2π şi orice r (0, 1). Adică, atunci când curba C r este parcursă în sens direct, variaţia argumentului tangentei la C r pe orice arc al lui C r este mai mare decât π, această proprietate având loc pentru orice r (0, 1). Observaţia Z. Lewandrowski în [26],[27] dă o altă interpretare geometrică a noţiunii de aproape convexitate şi anume: funcţia f H u (U) este aproape convexă dacă şi numai dacă domeniul f(u) este liniar accesibil, adică C\f(U) este reuniunea unor semidrepte închise astfel încât semidreptele deschise corespunzătoare să fie disjuncte două câte două. Domeniu convex în direcţia axei imaginare: dacă în relaţia (1.37) luăm g(z) = z 1 z 2 S obţinem (1.39) Re [( 1 z 2) f (z) ] > 0, z U. Această relaţie defineşte o subclasă remarcabilă a clasei CC. Condiţia (1.39) are următoarea interpretare geometrică: dacă considerăm familia de arce care trec prin punctele 1 şi 1 fiind situate în discul unitate (ecuaţia unui astfel de arc γ α, care face unghiul α cu axa reală pozitivă în punctul 1, 32

33 este z = z(t) = et+iα 1 e t+iα + 1, π 2 < α < π 2 ), din d Re f(z(t)) = dt = 2 Re [( 1 z 2) f (z) ] şi (1.39) deducem că funcţia Re f(z(t)) este crescătoare, adică orice arc γ α este transformat prin funcţia w = f(z) într-un arc analitic care se poate reprezenta ca graficul unei funcţii v = v(u), deoarece orice paralelă la axa reală intersectează acest arc într-un singur punct. De aici rezultă că domeniul f(u) are proprieatea că orice paralelă la axa imaginară sau nu intersectează pe f(u) sau intersecţia sa cu f(u) este un interval. Spunem că f(u) este un domeniu convex în direcţia axei imaginare. S.S. Miller, P.T. Mocanu şi M.O. Reade stabilesc următoarea legătură dintre noţiunile de α-convexitate şi aproape convexitate: Teorema [41] Fie funcţia f M α0 cu 0 α 0 2 şi fie numărul λ C astfel încât arg λ (1 1 α ) π 2, iar 0 α α 0. Atunci [ funcţia ] g α (z) = f(z) + λf α (z), unde zf α (z) F α (z) = = f(z) este aproape convexă (deci univalentă). f(z) Definiţia Funcţia f H(U) se numeşte aproape convexă de ordin α, α 0, dacă există o funcţie ϕ convexă în U, astfel încât (1.40) Re f (z) ϕ (z) > α, z U. 33

34 Notăm această clasă cu CC(α). Evident avem şi: f CC(α) dacă şi numai dacă ( )g S astfel încât (1.41) Re zf (z) g(z) > α, z U. 1.6 Subordonări diferenţiale. Metoda funcţiilor admisibile Definiţia Fie f şi g două funcţii analitice în U. Spunem că funcţia f este subordonată funcţiei g, dacă există o funcţie w analitică în U, w(0) = 0, w(z) < 1, z U, astfel încât f(z) = g(w(z)), ( )z U. Notăm prin relaţia de subordonare şi deci vom scrie f g sau f(z) g(z). Teorema [42] Fie f şi g două funcţii olomorfe în U, g univalentă. Atunci f g dacă şi numai dacă f(0) = g(0) şi f(u) g(u). Principiul (al subordonării) Fie o funcţie univalentă în U. Atunci f(0) = g(0) şi f(u) g(u) implică 34

35 f(u r ) g(u r ), r (0, 1]. Egalitatea f(u r ) = g(u r ) pentru r < 1 are loc dacă şi numai dacă f(u) = g(u), deci dacă f(z) = g(e iθ z), z U, θ R. Metoda subordonării diferenţiale (cunoscută şi sub numele de metoda funcţiilor admisibile) a fost introdusă în [36] şi [37] de P.T. Mocanu şi S.S. Miller. Utilizarea acestei metode a permis obţinerea unor rezultate noi în teoria geometrică a funcţiilor, precum şi generalizări şi extinderi ale unor rezultate anterioare. În cele ce urmează vom prezenta pe scurt această metodă. Fie Ω şi mulţimi oarecare în C, fie p o funcţie analitică în U, cu p(0) = a şi fie ψ(r, s, t; z) : C 3 U C. Punctul de pornire al acestei teorii constă în considerarea următoarei implicaţii: (1.42) {ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) z U} Ω p(u). Legat de această implicaţie se pot formula trei probleme: Problema 1. Fiind date Ω şi, să se găsească condiţii asupra lui ψ astfel încât (1.42) să aibă loc. O astfel de funcţie ψ se numeşte funcţie admisibilă. Problema 2. Fiind date Ω şi ψ, să se găsească astfel 35

36 încât (1.42) să aibă loc. Dacă este posibil să se găsească cel mai mic. Problema 3. Fiind date şi ψ, să se găsească Ω astfel încât (1.42) să aibă loc. Dacă este posibil să se găsească cel mai mare Ω. Dacă, sau Ω sau în (1.42) este un domeniu simplu conex, atunci (1.42) poate fi rescrisă în termenii subordonării. Dacă este un domeniu simplu conex conţinînd punctul a şi C, atunci există o reprezentare conformă q a lui U pe astfel încât q(0) = a. În acest caz (1.42) poate fi rescrisă astfel: (1.43) {ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) z U} Ω p(z) q(z). Dacă şi Ω este un domeniu simplu conex şi Ω C atunci există o reprezentare conformă h a lui U pe Ω astfel încât h(0) = ψ(a, 0, 0; 0). Dacă, în plus, ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) este analitică în U, atunci (1.42) se rescrie astfel: (1.44) ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) h(z) p(z) q(z). 36

37 Acest ultim rezultat conduce la formularea următoarelor defini-ţii. Definiţia Fie ψ : C 3 U C şi fie h o funcţie univalentă în U. Dacă p este o funcţie analitică în U şi satisface subordonarea diferenţială: (1.45) ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) h(z), atunci p se numeşte soluţie a subordonării diferenţiale. Definiţia Funcţia univalentă q se numeşte o dominantă a subordonării diferenţiale (1.45) dacă p q, pentru orice p care satisface (1.45). Definiţia O dominantă q care satisface q q pentru toate dominantele q ale lui (1.45) se numeşte cea mai bună dominantă a lui (1.45). (Se observă că cea mai bună dominantă este unică abstracţie făcând de o rotaţie a lui U). În cazul în care Ω şi sunt domenii simple convexe, cele trei probleme pot fi reformulate astfel: Problema 1. Fiind date funcţiile univalente h şi q, să se găsească clasa funcţiilor admisibile ψ[h, q] pentru care (1.44) să aibă loc. 37

38 Problema 2. Fiind dată subordonarea diferenţială (1.44) să se găsească q. Dacă este posibil să se găsească cea mai bună dominantă. Problema 3. Fiind date ψ şi dominanta q, să se găsească cea mai mare clasă de funcţii h astfel încât (1.44) să aibă loc. În continuare vom prezenta lemele fundamentale. Pentru z 0 = r 0 e iθ 0, 0 < r 0 < 1, vom nota U r0 = {z C; z < r 0 } discul cu centrul în origine şi de rază r 0, U r0 = {z C; z r 0 }. Lema Fie z 0 U şi r 0 = z 0 şi f(z) = a n z n + +a n+1 z n continuă în U r0 şi analitică pe U r0 {z 0 } cu f(z) 0 şi n 1. Dacă (1.46) f(z 0 ) = max{ f(z) ; z U r0 } atunci există m n 1 astfel încât (i) z 0f (z 0 ) = m, şi f(z { 0 ) (ii) Re 1 + z } 0f (z 0 ) m. f (z 0 ) O versiune particulară a punctului (i) din lemă, în condiţiile z 0 = f(z 0 ) = 1 a apărut în 1925 ca o problemă a lui K. Loewner. Versiunea din lemă a punctului (i) a apărut în această formă într-un articol a lui Jack în

39 Pentru a putea extinde ideile din lemă vom defini următoarea clasă de funcţii. Definiţia Vom nota prin Q clasa funcţiilor q analitice şi injective, definite pe U\E(q), unde { } E(q) = ζ U; lim q(z) =, z ζ unde q (ζ) 0 pentru orice ζ U\E(q). Lema Fie q Q cu q(0) = a şi p(z) = a + p n z n +... analitică în U, cu p(z) a şi n 1. Dacă există puncte z 0 U şi ζ 0 U\E(q) astfel încât p(z 0 ) = q(ζ 0 ) şi p(u r0 ) q(u), unde r 0 = z 0, atunci există un m n astfel încât: (i) z 0 p (z { 0 ) = mζ 0 q (ζ 0 } ) şi { z0 p (z 0 ) ζ0 q (ζ 0 ) (ii) Re + 1 mre p (z 0 ) q (ζ 0 ) } + 1. Lema Fie q Q, cu q(0) = a şi fie p(z) = a+p n z n +... analitică în U cu p(z) a şi n 1. Dacă p q atunci există puncte z 0 = r 0 e iθ 0 U şi ζ 0 U\E(q) şi un m m 1 pentru care (i) p(u r0 ) q(u), (ii) p(z 0 ) = q(ζ 0 ), (iii) z 0 p { (z 0 ) = mζ 0 q (ζ } 0 ) şi { z0 p (z 0 ) ζ0 q (ζ 0 ) (iv) Re + 1 Re p (z 0 ) q (ζ 0 ) 39 } + 1.

40 Definiţia Fie Ω o mulţime din C, q Q şi n N. Clasa funcţiilor admisibile ψ n [Ω, q] este formată din funcţiile ψ : C 3 U C care satisfac următoarea condiţie de admisibilitate (1.47) ψ(r, s, t; z) Ω pentru r = q(ζ), s = mζq (ζ), Re [ [ ] t + 1] mre ζq (ζ) + 1, s q (ζ) z U, ζ U\E(q) şi m n. Vom nota ψ 1 [Ω, q] = ψ[ω, q]. În cazul în care Ω este un domeniu simplu conex, Ω C şi h o transformare conformă a lui U în Ω, vom nota această clasă cu ψ n [h, q]. Dacă ψ : C 2 U C, atunci condiţia admisibilităţii (1.47) se reduce la ψ(q(ζ), mζq (ζ); z) Ω, unde z U, ζ U\E(q) şi m n. Dacă Ω Ω, atunci ψ n ( Ω, q) ψ n (Ω, q) şi de asemenea ψ n [Ω, q] ψ n+1 [Ω, q]. Teorema [42] Fie ψ ψ n [Ω, q], cu q(0) = a. Dacă p(z) = a + p n z n +... este analitică în U şi satisface (1.48) ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) Ω, z U atunci p q. 40

41 Corolarul Fie Ω C şi q o funcţie univalentă în U cu q(0) = a. Fie ψ ψ n [Ω, q ρ ], ρ (0, 1), unde q ρ (z) = q(ρz). Dacă p(z) = a + p n z n +... este analitică în U şi satisface ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) Ω, z U atunci p q. În continuare vom considera cazul special când Ω C este un domeniu simplu conex. Teorema [42] Fie ψ ψ n [h, q], cu q(0) = a şi ψ(a, 0, 0; 0) = = h(0). Dacă p(z) = a + p n z n +... şi ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) este analitică în U, şi satisface (1.49) ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) h(z) atunci p q. Corolarul Fie h şi q două funcţii univalente în U cu q(0) = a. Fie ψ : C 3 U C cu ψ(a, 0, 0; 0) = h(0) care satisface una din următoarele condiţii: (i) ψ ψ n [h, q ρ ], pentru un ρ (0, 1) (ii) există ρ 0 (0, 1) astfel încât ψ ψ n [h ρ, q ρ ] pentru orice ρ (ρ 0, 1), unde q ρ (z) = q(ρz) şi h ρ (z) = h(ρz) 41

42 Dacă p(z) = a + p n z n +... şi ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) este analitică în U şi ψ(p(z), zp (z), z 2 p (z); z) h(z), atunci p q. Teoremele următoare ne dau cele mai bune dominante ale subordonării diferenţiale (1.49). Teorema [42] Fie h o funcţie univalentă în U şi ψ : C 3 U C. Presupunem că ecuaţia diferenţială (1.50) ψ(p(z), zp, z 2 p (z); z) = h(z) are o soluţie q care satisface una din următoarele condiţii: (i) q Q şi ψ ψ[h, q] (ii) q este univalentă în U şi ψ ψ[h, q ρ ], pentru un ρ (0, 1) sau (iii) q este univalentă în U şi există ρ 0 (0, 1) astfel încât ψ ψ n [h ρ, q ρ ] pentru orice ρ (ρ 0, 1). Dacă p(z) = q(0) + p 1 z +... şi ψ(p(z), zp, z 2 p (z); z) este analitică în U, şi dacă p satisface (1.49), atunci p q şi q este cea mai bună dominantă. Din teorema anterioară se observă că problema găsirii celei mai bune dominante se reduce la găsirea soluţiilor univalente ale ecuaţiilor diferenţiale. 42

43 Teorema [42] Fie ψ ψ n [Ω, q] şi f o funcţie analitică în U satisfăcând f(u) Ω. Dacă ecuaţia diferenţială ψ(p(z), zp, z 2 p (z); z) = f(z) are o soluţie p(z) analitică în U, cu p(0) = q(0), atunci p q. Conform celor prezentate mai sus observăm că folosind Teoremele (1.6.2) şi (1.6.3) se pot obţine dominante ale subordonărilor diferenţiale de forma (1.49). Cea mai bună dominantă se găseşte determinând o soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1.50) care trebuie să îndeplinească anumite condiţii. 1.7 Subordonări diferenţiale de tip Briot-Bouquet Definiţia Fie β şi γ numere complexe, h o funcţie univalentă în U şi fie p(z) = h(0) + p 1 z +... o funcţie analitică în U care satisface subordonarea: (1.51) p(z) + zp (z) βp(z) + γ h(z). Această subordonare diferenţială de ordinul întâi se numeşte subordonare diferenţială de tip Briot-Bouquet. 43

44 Folosind metoda subordonărilor diferenţiale s-au obţinut în [38] şi [39] multe rezultate interesante privind subordonările Briot-Bouquet sau generalizări ale lor. Teorema [38], [39] Fie h convexă în U astfel încât Re[βh(z) + γ] > 0, z U. Dacă p este analitică în U, cu p(0) = h(0) şi p satisface (1.51), atunci p h. Teorema [38], [39] Fie h convexă în U şi presupunem că ecuaţia diferenţială (1.52) q(z) + zq (z) βq(z) + γ = h(z), q(0) = h(0) are o soluţie univalentă q, care satisface q h. Dacă p este analitică în U şi satisface (1.51), atunci p q h şi q este cea mai bună dominantă. Observaţia Pe baza acestui rezultat, Teorema (1.3.3) a lui Marx şi Strohäcker se obţine ca o simplă verificare, luând h(z) = (1 + z)/(1 z), q(z) = 1/(1 z), β = 1 şi γ = 0. Teorema [38], [39] Fie h convexă în U astfel încât Re[βh(z)+γ] > 0, z U şi presupunem că ecuaţia diferenţiala q(z) + zq (z) βq(z) + γ = h(z), q(0) = h(0) are o soluţie univalentă q. Dacă p este analitică în U şi satisface (1.51), atunci p q h şi q este cea mai bună dominantă. 44

45 Teorema [38], [39] Fie q convexă în U şi j : U C cu Re[j(z)] > 0. Dacă p H(U) şi satisface p(z) + j(z) zp (z) q(z), atunci p q. 1.8 Funcţii uniform stelate Noţiunea de funcţie uniform stelată este relativ recentă, ea apă-rând pentru prima dată într-un articol (vezi [15]) a lui A.W. Goodman în Ideea introducerii acestei noţiuni apare ca urmare a unei probleme care îi este adresată de către Pinchuk şi pe care o vom prezenta în cele ce urmează. Chestiunea Pinchuk. Fie f S şi γ un cerc conţinut în U cu centrul ζ de asemenea în U. Este adevărat că f(γ) este o curbă închisă stelată în raport cu f(ζ)? Răspunsul la această întrebare este negativ după cum a demnostrat Goodman dar J.E. Brown a demonstrat anterior lui acelaşi lucru (vezi [12]). Răspunsul negativ la chestiunea Pinchuk îl determină pe Goodman să înlocuiască condiţia ca γ şa fie cerc, cu una mai tare, aceea ca γ să fie un arc de cerc conţinut în U cu centrul ζ de asemenea în U. El a formulat deci următoarea: Definiţia O funcţie f se numeşte uniform stelată în U, dacă f S şi are proprietatea că pentru orice arc de cerc 45

46 γ din U, cu centrul ζ în U, arcul f(γ) este stelat în raport cu f(ζ). Vom nota prin US clasa tuturor acestor funcţii. Un arc f(γ) este stelat în raport cu punctul ω 0 = f(ζ) dacă arg(f(z) ω 0 ) este nedescrescător când z parcurge arcul de cerc γ în direcţia pozitivă. Se observă că pentru γ = C r = {z C; z = r} şi ω 0 = 0 se regăseşte Definiţia S-a demonstrat în [15] că dacă arcul γ este dat de z(t), atunci f(γ) este stelat în raport cu ω 0 dacă şi numai dacă (1.53) [ f (z) Im dz ] f(z) ω 0 dt 0, pentru z pe γ. Pentru γ = C r = {z C; z = r} şi ω 0 = 0 se regăseşte condiţia (1.10). Pentru un arc de cerc γ luăm z = ζ + re it. z (t) = i(z ζ) şi obţinem: Atunci Teorema [15] Fie f S. numai dacă (1.54) f(z) f(ζ) Re (z ζ)f (z) > 0, pentru orice pereche (z, ζ) din polidiscul U U. Atunci f US dacă şi 46

47 Teorema [15] Funcţia (1.55) f 1 (z) = z 1 Az = z + A n 1 z n, z U n=2 este în US dacă şi numai dacă A 1 2 0, Teorema [15] Dacă (1.56) f 2 (z) = z + Az n, n 1, z U şi A 2/(2n) atunci f 2 este este în US. Observaţia Dacă f US, atunci luând ζ = z se obţine că (1.57) 2zf (z) Re 0, z U. f(z) f( z) O funcţie f A care îndeplineşte (1.57) se numeşte funcţie stelată în raport cu puncte simetrice. Această noţiune a fost introdusă de Sakaguci în [52]. Teorema [15] Dacă f US şi z = r < 1, atunci: (1.58) r 1 + 2r f(z) r + 2 ln 1 1 r. Teorema [15] Fie f S, f(z) = z + a n z n. Dacă (1.59) atunci f US. n a n 2/2, n=2 47 n=2

48 Definiţia O funcţie f S se spune că este uniform stelată de ordinul α, α [0, 1) dacă (1.60) f(z) f(ζ) Re (z ζ)f (z) α, pentru orice pereche (z, ζ) din polidiscul U U. Notăm prin US (α) clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US (0) = US. O altă observaţie este aceea că uniform stelaritatea de ordin α nu asigură stelaritatea de ordinul α. Întradevăr, considerând ζ = 0 în condiţia de uniform stelaritate de ordinul α, pentru α (0, 1], urmează că Re f(z) zf (z) echivalent, zf (z) f(z) ia valori în discul de centru 1 2α de unde nu rezultă că Re zf (z) f(z) α, z U. Teorema [30] Fie f 1 (z) = z U şi α [0, 1). (1.61) Dacă A z 1 Az 1 α 2(α2 + 1), α, z U, sau şi de rază 1 2α, = z + A n 1 z n, n=2 atunci f 1 US (α). Teorema [30] Fie f S, f(z) = z + a n z n α [0, 1). Dacă 2(α2 + 1) (1.62) n a n 1, 1 α n=2 atunci f US (α). n=2 şi 48

49 1.9 Funcţii uniform convexe Noţiunea de funcţie uniform convexă a apărut pentru prima dată într-un articol al lui A.W. Goodman în 1991 (vezi [16]). Ideea introducerii acestei noţiuni apare prin analogie cu conceptul de funcţie uniform stelată. Definiţia O funcţie f se numeşte uniform convexă în U dacă f S c şi are proprietatea că pentru orice arc de cerc γ din U, cu centrul ζ în U, arcul f(γ) este convex. Vom nota prin UCV sau US c clasa tuturor acestor funcţii. Un arc Γ(t), a < t < b se spune că este convex dacă argumentul tangentei la Γ(t) este o funcţie nedescrescătoare de t. În cazul nostru Γ(t) = f(γ) şi dacă arcul γ este dat de z(t), atunci f(γ) este convex dacă şi numai dacă [ z (t) Im z (t) + f ] (z) (1.63) f (z) z (t) 0, pentru orice z pe Γ. (1.19). Pentru γ = C r = {z C; z = r} se regăseşte condiţia Pentru un arc de cerc γ cu centrul ζ luăm z = ζ + re it. Atunci z (t) = i(z ζ), z (t) = (z ζ) şi înlocuind în (1.63) obţinem 49

50 Teorema [16] Fie f S, Atunci f US c numai dacă (1.64) [ ] f (z) 1 + Re (z ζ) 0, f (z) pentru orice pereche (z, ζ) din polidiscul U U. dacă şi Teorema [16] Funcţia f 1 (z) = z 1 Az = z + A n 1 z n, z U n=2 este în US c dacă şi numai dacă A 1/3. Teorema [16] Funcţia f 2 (z) = z Az 2, z U este în US c dacă şi numai dacă A 1/6. Teorema [16] Fie f S, f(z) = z + a n z n. Dacă (1.65) n(n 1) a n 1 3, n=2 n=2 atunci f US c şi constanta 1/3 nu poate fi înlocuită cu un număr mai mare. Teorema [16] Dacă f US c, f(z) = z + atunci a n 1 n, n 2. a n z n, n=2 50

51 F. Ronning introduce în [48] clasa SP a cărei utilitate constă în posibilitatea translatării rezultatelor determinate pentru aceas-tă clasă direct asupra clasei US c. Definiţia SP = {F S F (z) = zf (z), f US c }. Ma şi Minda (vezi [28]),şi independent, Ronning (vezi [48]) dau o caracterizare printr-o variabilă a funcţiilor uniform convexe: Teorema [28], [48] Fie f S. Atunci f US c dacă şi numai dacă: (1.66) Re { 1 + zf } (z) > f (z) Luând g(z) = zf (z) obţinem: zf (z) f (z), z U Corolarul [48] O funcţie g S este în SP dacă şi numai dacă (1.67) Re zg (z) g(z) > zg (z) g(z) 1, z U. Interpretând geometric relaţia (1.67) observăm că SP este clasa funcţilor g S pentru care zg (z)/g(z), z U ia valori în regiunea parabolică (1.68) Ω = {ω : ω 1 < Reω} = = {ω = u + iv; v 2 < 2u 1}. 51

52 Teorema [48] g(z) = z+a n z n este în SP dacă şi numai dacă (1.69) a n 1 2n 1. Corolarul f(z) = z + b n z n este în US c dacă şi numai dacă (1.70) b n 1 n(2n 1). Definiţia [49] Vom nota prin SP (α, β); α > 0, β [0, 1) clasa tuturor funcţiilor f S cu proprietatea că: zf (z) (α + β) (1.71) f(z) Rezf (z) + α β, z U. f(z) Interpretarea geometrică este aceea că f SP (α, β) dacă şi numai dacă zf (z)/f(z), z U, ia valori în regiunea parabolică (1.72) Ω α,β = {ω : ω (α + β) Reω + α β} = = {ω = u + iv : v 2 4α(u β)}. Stankiewicz şi Wisniowska introduc în [54], relativ la o regiune hiberbolică, o nouă clasă de funcţii astfel: Definiţia O funcţie f S spunem că este în clasa SH(α) dacă zf (z) ( ) { } 2 f(z) 2α zf (z) ( ) 2 1 < Re + 2α 2 1 f(z), z U, α > 0. 52

53 Observaţia Pentru f SH(α) domeniul imaginilor lui zf (z) este interiorul ramurii pozitive a hiberbolei v 2 = f(z) 4αu + u 2, u > 0, iar funcţia H α, cu H α (0) = 1 şi H α(0) > 0, analitică şi univalentă care transformă pe U în acest domeniu este dată prin 1 + bz H α (z) = (1 + 2α) 1 bz 2α unde b = b(α) = 1 + 4α 4α2 (1 + 2α) 2. Definiţia O funcţie f S se numeşte uniform convexă de tip α, α 0 dacă: { Re 1 + zf } (z) α zf (1.73) (z) f (z) f (z), z U. Notăm prin US c (α) clasa tuturor acestor funcţii. Observaţia Clasa US c (α) a fost introdusă de Kanas şi Wisniowska în [21] astfel: Fie 0 k <. O funcţie f S spunem că este k- uniform convexă în U dacă imaginea oricărui arc de cerc γ conţinut în U, de centrul ζ cu ζ k, este convexă. Notăm cu k U CV clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US c (1) = US c şi US c (0) = S c şi astfel se realizează o trecere continuă de la convexitate la uniform convexitate. 53

54 Interpretarea geometrică a relaţiei este aceea că f US c (α) dacă şi numai dacă 1 + zf (z)/f (z) ia valori în D α, unde D α este: i) regiunea eliptică: ( u ( α α 2 1 ) 2 α2 α 2 1 ) 2 + ( v 2 1 α 2 1 ) 2 < 1, pentru α > 1 ii) regiunea parabolică: v 2 < 2u 1, pentru α = 1 iii) regiunea hiperbolică: ( u + ) 2 α2 1 α 2 ( α 1 α 2 ) 2 ( v α 2 ) 2 > 1, şi u > 0, pentru 0 < α < 1 iv) semiplanul u > 0, pentru α = 0. 54

55 În concluzie US c (α) S c ( α α+1). Kanas şi Wisniowska dau câteva rezultate importante privind clasa US c (α) dintre care amintim condiţia suficientă de apartenenţă şi estimarea coeficienţilor pentru această clasă: Teorema [21] Fie f S, f(z) = z + a j z j şi α 0. Dacă (1.74) j=2 j(j 1) a j 1 j + 2 j=2 atunci f US c (α). Numărul 1/(j + 2) nu poate fi mărit. Teorema [22] Fie α 0 şi f US c (α) cu f(z) = z + a n z n. Atunci a n (P 1) n 1, n = 2, 3,..., unde (1) n=2 n (λ) n este simbolul lui Pochhammer, definit prin (λ) 0 = 1, 55

56 (λ) n = λ(λ + 1)...(λ + n 1), n N, 8(arccos α) 2 π 2 (1 α 2 ), 0 α < 1, 8 P 1 (α) = π, α = 1, 2 π 2 4 k(α 2 1)K 2 (k)(1 + k), α > 1. şi K(k) este integrala eliptică a lui Legendre K(k) = 1 0 dt, k (0, 1) 1 t 2 1 k 2 t2 astfel încât α = cosh[πk (k)]/[4k(k)] unde K (k) = K( 1 k 2 ) este integrala complementară a lui K(k). Observaţia În legătură de clasa USc (α) Kanas şi Wisniowska introduc în [23] clasa α ST prin α ST := {f S : f(z) = zg (z), g US c (α)}, α 0, pentru care dau o serie de rezultate (caracterizarea într-o variabilă, o condiţie suficientă de apartanenţă, estimarea coeficienţilor, etc.). În [57] autorii introduc şi studiază funcţiile uniform convexe de ordin γ astfel: Definiţia O funcţie f S se numeşte uniform convexă de ordin γ [ 1, 1) dacă { Re 1 + zf } (z) zf (1.75) (z) f (z) f (z) + γ, z U. 56

57 Notăm prin US c [γ] clasa tuturor acestor funcţii. La introducerea următoarelor subclase de funcţii se utilizează operatorul diferenţial Sălăgean, definit astfel: D n : A A, n N and D 0 f(z) = f(z) D 1 f(z) = Df(z) = zf (z), D n f(z) = D ( D n 1 f(z) ) În 1999 I. Magdaş (vezi [31]), şi independent, S. Kanas şi T. Yaguchi (vezi [24]) introduc aşa numitele funcţii n-uniform stelate de tip α: Definiţia O funcţie f A spunem că este n-uniform stelată de tip α, α 0 şi n N dacă: { } D n+1 f(z) Re α D n+1 (1.76) f(z) D n f(z) D n f(z) pentru orice z U. 1, Notăm prin US n (α) clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US 0 (1) = SP, US 1 (1) = US c, US 1 (α) = US c (α), unde US c (α) este clasa definită prin (1.73). Interpretarea geometrică a relaţiei (1.76) este aceea că f US n (α) dacă şi numai dacă D n+1 f(z)/d n f(z) ia valori în D α, unde D α este o regiune eliptică pentru α > 1, parabolică pentru α = 1, hiperbolică pentru 0 < α < 1, respectiv semiplanul u > 0 pentru α = 0 (vezi şi Definiţia (1.9.5)). 57

58 În toate aceste situaţii Re Dn+1 f(z) D n f(z) > α α+1. În concluzie US n (α) S n ( α α+1, 1) S, de unde rezultă că funcţiile din US n (α) sunt univalente. Observaţia În [24] S. Kanas şi T. Yaguchi numesc aceste funcţii (k, n)-uniform convexe şi notează prin (k, n) UCV mulţimea acestor funcţii. Pentru funcţiile (k, n)-uniform convexe sunt determinate funcţiile extremale şi sunt gasite exstimări ale coeficienţilor. Amintim aici acest ultim rezultat: Dacă α 0, n N şi f(z) = z + a 2 z aparţine clasei US n (α), atunci a j P 1(P 1 + 1)...(P 1 + j 2) (j 1)! j n, j 2. unde P 1 are semnificaţia din teorema astfel: Tot în acest articol autorii introduc si clasa (k, n) ST Pentru f S, k [0, ) şi n N, spunem că f este în clasa (k, n) ST dacă Şi pentru această clasa sunt determinate rezultate asemănătoare. ( ) D n f(z) Re > k D n f(z) f(z) f(z) 1, z U. 58

59 Continuând această linie I. Magdaş introduce în [32] funcţiile uniform convexe de tip α şi ordin γ şi apoi ca o generalizare a acestora funcţiile n-uniform stelate de ordin γ şi tip α: Definiţia O funcţie f A spunem că este uniform convexă de tip α şi ordin γ, α 0, γ [ 1, 1), α + γ 0 dacă: (1.77) pentru orice z U. { Re 1 + zf } (z) f (z) α zf (z) f (z) + γ, Notăm prin US c (α, γ) clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US c (α, 0) = US c (α) şi US c (1, γ) = US c [γ]. Interpretarea geometrică a relaţiei (1.77) este aceea că f US c (α, γ) dacă şi numai dacă 1+ zf (z) f (z) D α,γ este: ia valori în D α,γ, unde i) regiune eliptică: ( u α2 γ α 2 1 [ α(1 γ) α 2 1 ) 2 ] 2 + ( v 2 1 γ α 2 1 ) 2 < 1, pentru α > 1; ii) regiunea parabolică: v 2 < 2(1 γ)u (1 γ 2 ), pentru α = 1; 59

60 iii) regiunea hiperbolică: ( ) 2 u γ α2 1 α [ 2 v 2 ( ) 2 > 1 şi u > 0, pentru 0 < α < 1; α(1 γ) 1 α 2 ] γ 1 α 2 iv) semiplanul u > γ, pentru α = 0 { } În toate aceste cazuri Re 1 + zf (z) f (z) În concluzie US c (α, γ) S c ( α+γ α+1 ). > α+γ α+1. Definiţia O funcţie f A spunem că este n-uniform stelată de ordin γ şi tip α, unde α 0, γ [ 1, 1), α+γ 0 şi n N dacă (1.78) Re Dn+1 f(z) D n f(z) pentru orice z U. α D n+1 f(z) D n f(z) γ,

61 Notăm prin US n (α, γ) clasa tuturor acestor funcţii. Observăm că US 1 (α, γ) = US c (α, γ), US 0 (α, γ) = S (γ), ( 1 γ US 0 (1, γ) = SP, 2 ) 1 + γ 2 şi US n (α, 0) = US n (α). Interpretarea geometrică a relaţiei (1.78) este aceea că f US n (α, γ) dacă şi numai dacă D n+1 f(z)/d n f(z) ia valori în D α,γ, unde D α,γ a fost definit la interpretarea geometrică a definiţiei clasei US c (α, γ). Întrucât pentru f US n (α, γ) avem Re { D n+1 f(z)/d n f(z) } > (α + γ)/(α + 1), urmează ( ) α + γ US n (α, γ) S n S, 1 + α de unde rezultă că funcţiile din US n (α, γ) sunt univalente. Definiţia Fie f, g A; f(z) = z + a j z j, z U şi g(z) = z + b j z j, z U. Vom nota prin f g convoluţia j=2 j=2 (sau produsul Hadamard) al celor două funcţii, dat prin (1.79) (f g)(z) = z + a j b j z j, z U. j=2 61

62 Definiţia Definim operatorul Ruscheweyh R n : A A, n N, z U, prin: (1.80) R n f(z) = z (1 z) f(z) = z(zn 1 f(z)) (n). n+1 n! Observaţia U, atunci 1. Dacă f A, f(z) = z+ a j z j, z j=2 (1.81) R n f(z) = z + Cn+j 1a n j z j, z U. j=2 2. Se observă că inegalitatea (1.82) Re Rn+1 f(z) R n f(z) > 1 2, z U este pentru n = 1 chiar condiţia de convexitate. Vom nota prin K n clasa funcţiilor f A care satisfac (1.82). Folosind operatorul Ruscheweyh, I. Magdaş introduce în [33] o nouă subclasă de funcţii uniform convexe astfel: Definiţia Fie n N. Vom spune că o funcţie f A este în clasa UK n (δ), δ [ 1, 1) dacă f satisface condiţia: Re Rn+1 f(z) R n+1 (1.83) f(z) R n f(z) 1 R n f(z) + δ, pentru orice z U. 62

63 Interpretarea geometrică a inegalităţii (1.83) este aceea că f UK n (δ), dacă şi numai dacă R n+1 f(z)/r n f(z) ia valori în domeniul Ω 1 δ 2, 1+δ 2 not = Ω δ mărginit de parabola: (1.84) v 2 = 2(1 δ)u (1 δ 2 ). Funcţia Carathéodory asociată este (1.85) Q δ (z) = 1 + 2(1 δ) π 2 ( log 1 + ) 2 z 1, z U. z Observăm că funcţia Q δ este convexă şi satisface Re Q δ (z) > 1 + δ. Deci, f UK n (δ) dacă şi numai dacă 2 R n+1 f(z) Q R n f(z) δ (z). Se observă că pentru n = 0 obţinem UK 0 (δ) = SP ( 1 δ, ) 1+δ 2 2, iar pentru n = 1 şi δ = 1/2, UK 1 (1/2) = US c. Legat de clasa UK n (δ) I. Magdaş arată, printre alte rezultate, că operatorul integral Bernardi I c (f)(z) = F c (z) = 1 + c z c z 0 f(t)t c 1 dt, c = 1, 2, 3,... conservă această clasă în anumite condiţii impuse parametrului c, iar în [5] autorii arată că operatorul integral al lui Alexander definit prin (1.23), conservă şi el, în anumite condiţii impuse lui δ, această clasă. 63