FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

Size: px
Start display at page:

Download "FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII"

Transcription

1 DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss formulae and are given some their applications. MSC. 6A4 Key words. Stirling s formula, Wallis s formula, infinite product. FORMULA LUI WALLIS Formula lui Wallis este prima reprezentare a numărului iraţional π ca limită a unui şir de numere raţionale. Pentru a o obţine, calculăm integralele S n şi K n, unde S n : sin n xdx şi K n : şi n este un număr întreg. Pentru n şi n avem respectiv S dx π şi S Pentru n integrăm prin părţi; obţinem cos n xdx, sin xdx. S n sin n x sin xdx sin n x cos x) dx sin n x cos x π/ + n ) sin n x cos xdx n ) de unde rezultă formula de recurenţă sin n x sin x ) dx n ) S n S n ), ns n n ) S n, oricare ar fi n N, n. Această formulă de recurenţă, mai exact formula S n n n S n, oricare ar fi n N, n,

2 54 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca unde S π/ şi S, ne permite să reducem, succesiv, calculul lui S n la S sau S după cum n este par, respectiv impar. Într-adevăr, dacă n m este par atunci S m m ) m 3) 3 m) m ) 4 π, iar dacă n m + este impar, atunci S m+ m) m ) 4 m + ) m ) 3. Acelaşi rezultat obţinem şi pentru K n. Prin urmare S n : n )!! n!! sin n xdx K n : π, dacă n este par n )!!, dacă n este impar. n!! cos n xdx Pe de altă parte, pentru fiecare n N şi x [, π/], avem sin n+ x sin n x sin n x. Întegrând aceste inegalităţi obţinem că sau de unde deducem că n)!! n + )!! n )!! π n)!! n )!! n )!!, [ ] n)!! n )!! n + π [ ] n)!! n )!! n, π [ n)!! ] n )!! n + [ ] n)!! [ ] n)!! n )!! n n )!! n + oricare ar fi n N. Deoarece [ ] n)!! n )!! n n + ),

3 3 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 55 urmează că sau lim lim lim [ ] n)!! n )!! n n + ), [ ] n)!! n )!! n + ) π, 4 4 n) n) 3 3 n ) n ) n + π, relaţie cunoscută în matematică sub numele de formula lui Wallis. Formula lui Wallis, celebră din punct de vedere istoric, se foloseşte şi azi în cercetările teoretice. Comentariu. John Wallis 3 noiembrie 66, Ashford Kent 8 octombrie 73, Oxford) - matematician şi teolog englez - a studiat la Cambridge, după care a îmbrăţişat cariera eclesiastică. La 33 de ani a devenit profesor de geometrie la Oxford. A fost un admirator al matematicii greceşti, editând o parte din operele lui Eutokios sec. 4 î.h.), Arhimede sec. 3 î.h.), Aristarh sec. 3 î.h.) şi Ptolomeu sec. d.h). Lui i se datorează crearea învăţământului pentru surdomuţi.. FORMULA LUI STIRLING Formula lui Stirling este una din formulele celebre ale analizei matematice, obţinută din formula lui Wallis. Să considerăm funcţiile f, g : [, + [ R definite prin f x) ln x + ) ln x, oricare ar fi x [, + [, x + g x) ln x ln x + ) + x +, oricare ar fi x [, + [. x x + ) Evident funcţiile f şi g sunt derivabile pe [, + [ şi f x) 4x x + ) x + ), g x) x x + ), oricare ar fi x [, + [. Aşadar ambele funcţii au derivatele negative pe mulţimea de definiţie f x) <, g x) <, oricare ar fi x [, + [. Urmează că atât f cât şi g sunt strict descrescătoare pe [, + [, deci avem f x) f ) ln 3 < lim g x) < g x), x

4 56 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca 4 oricare ar fi x [, + [. Prin urmare, pentru orice x [, + [ au loc inegalităţile ) x + < ln x + ) ln x < x + x x + ). Dacă în ) punem x n N, obţinem că ) n + < ln n + ) ln n <, oricare ar fi n N. n + n n + ) Fie acum u ], + [ şi h :], + [ R funcţia definită prin h x) : x + u ) ln + u ) u, oricare ar fi x ], + [. x Evident funcţia h este derivabilă de două ori pe ], + [ şi pentru orice x ], + [ avem h x) ln x + u x ux + u) x x + u), h p) u 3 x x + u). Întrucât h x) >, oricare ar fi x ], + [, deducem că derivata h este strict crescătoare pe ], + [. Urmează că h x) < lim t h t), oricare ar fi x ], + [, şi deci funcţia h este strict descrescătoare pe ], + [. Aşadar avem h x) > lim t h t), oricare ar fi x ], + [. Ţinând seama de expresia funcţiei h şi de faptul că u > a fost ales oarecare, obţinem că sau echivalent 3) exp u < x + u ) ln + u ) > u, oricare ar fi x, u ], + [, x + u ) x+ u, oricare ar fi x, u ], + [. x Cu aceste pregătiri, putem demonstra formula lui Stirling.

5 5 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 57 Teorema. formula lui Stirling) Şirul x n ) n N cu termenul general este convergent şi 4) lim x n : n! n n, n N) n exp n n! n n n exp n π. formula lui Stirling) Demonstraţie. Evident x n >, oricare ar fi n N. Pe de altă parte, din 3) avem că 5) x n+ x n + n e ) n+/ <, oricare ar fi n N. Prin urmare şirul x n ) este strict descrescător şi mărginit inferior, aşadar convergent. Fie x lim x n. Evident x [, x [. Vom arăta, pentru început, că x. Din 5), obţinem că < ln x n ln x n+ n + ) [ln n + ) ln n], oricare ar fi n N. Cum, din ), avem ln n + ) ln n < n + n n + ), oricare ar fi n N, obţinem că ln x n ln x n+ < n + ) n + n n + ) 4 n ), n + oricare ar fi n N. Aşadar 6) < ln x n ln x n+ < 4 Din 6), deducem că pentru orice n N, avem < ln x ln x 3 < 4 3) < ln x 3 ln x 4 < 4 3 4) n ), oricare ar fi n N. n + < ln x n ln x n < 4 n n )

6 58 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca 6 de unde, prin adunare membru cu membru, obţinem sau sau 7) exp < ln x ln x n < 4 ) n < x < exp x n 4 )) n 4 n )) < x n <. x Dacă acum, în 7), facem n obţinem exp şi deci x. Cum, pentru fiecare n N, avem ) x 8 x x n 4n n!) x n n)! n 4 n) 3 n ) n în baza formulei lui Wallis, deducem că 4 n) n + ) 3 n ), n + n x π. Comentariu. James Stirling mai 69, Garden, Stirlingshire 5 decembrie 77, Edinburgh) - matematician scoţian - a studiat la Oxford, Padova şi Veneţia. A fost membru al Academiei Regale din Berlin. Formula, care azi îi poartă numele, se găseşte în tratatul Methodus Differentialis, publicat în Funcţiile beta şi gama ale lui Euler. Funcţiile beta şi gama au fost introduse şi studiate de către Euler în 73.

7 7 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 59.. Funcţia beta a lui Euler. Dacă x şi y sunt numere reale astfel încât x >, y >, atunci funcţia f :], [ R definită prin f t) : t x t) y, oricare ar fi t ], [, este integrabilă impropriu pe ], [ vezi, de exemplu, []). Funcţia B :], + [ ], + [ R definită prin B x, y) : t x t) y dt, oricare ar fi x, y ], + [, se numeşte funcţia beta a lui Euler sau integrala lui Euler de prima speţă). Câteva proprietăţi ale funcţiei beta a lui Euler sunt date în teorema următoare. Teorema. Următoarele afirmaţii sunt adevărate: B x, y) B y, x), oricare ar fi x, y >. B x +, y) x B x, y), oricare ar fi x, y >. x + y 3 B x, y + ) y B x, y), oricare ar fi x, y >. 4 B x, y) x+y + t α x+y dt, oricare ar fi x, y >. t + ) 5 B x, ) x, oricare ar fi x >. 6 n )! B x, n), oricare ar fi x > şi n N. x x + ) x + n ) 7 B m, n) 8 B, ) π. m )! n )!, oricare ar fi n, m N. m + n )! Demonstraţie. Facem schimbarea de variabilă t : u. Integrăm prin părţi; obţinem B x +, y) y tx t) y + x t x t) y dt y x y x y [ ] t x t) y t) y t dt t x t) y dt x y x y B x, y) x B x +, y), y t x t) y dt

8 6 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca 8 de unde deducem formula din afirmaţia. 3 Se aplică şi. 4 Facem schimbarea de variabilă t : u u + ; obţinem B x, y) + ) u x ) y u + u + u + du 5 Avem B x, ) + + u x u + ) x+y du. t x dt x tα x. 6 În baza afirmaţiilor anterioare, avem B x, n) n n B x, n ) x + n x + n n B x, n ) x + n n n x + n x + n n n ) B x, ) x + n n ) 7 Se aplică 6 şi. 8 Facem schimbarea de variabilă n )! x x + ) x + n ). t : cos u, u ], π/[; obţinem B, ) + π/ cos u sin u dt t t) + cos u cos u) du du π.

9 9 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 6.3. Funcţia gama a lui Euler. Funcţia f :], + [ R definită prin f t) : exp t) t x dt, oricare ar fi t ], + [, este integrabilă impropriu pe ], + [ vezi, de exemplu, []). Funcţia Γ :], + [ R definită prin Γ x) : exp t) t x dt, oricare ar fi x ], + [, se numeşte funcţia gama a lui Euler sau integrala lui Euler de speţa a doua). Câteva proprietăţi ale funcţiei gama a lui Euler sunt date în teorema următoare. Teorema 3. Următoarele afirmaţii sunt adevărate: Γ ). Γ x + ) xγ x), oricare ar fi x >. 3 Γ n + ) n!, oricare ar fi n N. 4 Γ x) lim Gauss). 5 B x, y) n!n x, oricare ar fi x > formula lui x x + ) x + n) Γ x) Γ y), oricare ar fi x, y >. Γ x + y) 6 Γ x) Γ x) B x, x), oricare ar fi x ], [. 7 Γ x) Γ x) ), oricare ar fi x ], [. x x n n 8 Γ x) Γ x) π, oricare ar fi x ], [ formula lui Euler). sin πx 9 Γ /) π. Demonstraţie. Avem Γ ) : exp t) t dt Integrând prin părţi obţinem Γ x + ) xγ x). exp t) dt exp t) + exp t) t x dt exp t) t x + x 3 În baza afirmaţiilor şi, pentru orice n N, avem +. exp t) t x dt

10 6 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Γ ) Γ ) Γ ) Γ 3) Γ ) Γ n) n ) Γ n ) Γ n + ) nγ n) Înmulţind aceste egalităţi membru cu membru obţinem egalitatea din afirmaţia 3. 4 Fie x ], + [. Pentru n N, considerăm integrala n I n : n) t n t x dt. Integrând prin părţi, obţinem I n t ) n t x n n x + n x n n x n x + t x+ n x n n) t n n n ) x x + ) n n n + n n t n) n t x dt n n ) x x + ) n! x x + ) x + n ) t n) n t x dt n n t n) n t x+ dt t n) n t x+ dt n n n n!n x x x + ) x + n). t x+n dt Întrucât lim t n exp t), oricare ar fi t ], + [, n) deducem că Γ x) exp t) t x dt lim de unde rezultă concluzia. 5 Fie x, y, s >. Cu schimbarea de variabilă n t n) n t x dt,

11 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 63 t s + ) u, u ], + [, obţinem de unde, rezultă că Γ x + y) exp t) t x+y dt exp s + ) u) s + ) x+y u x+y du s + ) x+y exp s + ) u) u x+y du, Γ x + y) s x s + ) x+y s x exp s + ) u) u x+y du. De aici, prin integrare de la la +, obţinem s x ) Γ x + y) x+y ds s x exp s + ) u) u x+y du ds, s + ) prin urmare Γ x + y) B x, y) ) exp s + ) u) u x+y s x ds du x+y Γ x) exp u) u du Γ x) u y Γ x) Γ y). u x exp u) du 6 Fie x ], [. Atunci punând y : x > în relaţia din 5, obţinem Γ x) Γ x) B x, x) Γ ) B x, x). 7 Din 6 şi 4 deducem că pentru orice x ], [, lim lim Γ x) Γ x) B x, x) n!n x x x + ) x + n) lim n!n x x) x) n + x) n n!) x x ) n x ) n + x ) ) ) x x x ) x n+ n n x ). n

12 64 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca lim ) ) x x x x n ) ). x x n n 8 Întrucât sin x x n ) x n π, oricare ar fi x R, şi deci sin πx πx n ) x n, oricare ar fi x R, din egalitatea stabilită la 7, obţinem că, oricare ar fi x ], [, avem Γ x) Γ x) πx n π x n ) π sin πx. 9 Punem x / în egalitatea din afirmaţia 5 ; obţinem Γ )) Γ ) Γ ) B, ) π. Rezultă Γ /) π. 3. APLICAŢII În baza teoremei 3, pentru orice x, y ], [, avem

13 3 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 65 şi deci 8) Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) sin πy sin πx ) y y n n ) x x y x n n n ) y n ) y x x n n y n x n Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) y n y) n + y) x n x) n + x). n Dacă în 8) luăm x /6 şi y /4 membrul întâi devine n Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) iar membrul al doilea y n y) n + y) x n x) n + x) 6 4 Aşadar 9) Γ /6) Γ 5/6) sin π/4) Γ /4) Γ 3/4) sin π/6), 4n )4n+) 4 6n )6n+) n n 3) n + 3) n ) n + ) n n + 3) n + 9) n + ) n + ) n + 3) n + 9) n + ) n + ). n n + 3) n + 9) n + ) n + ) Formula 9) a fost obţinută de Catalan în anul 873 vezi [3]). Dacă în 8) luăm x 3/8 şi y /4 membrul întâi devine Cum Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) sin 3 π 8 sin π π 8 ) Γ 3/8) Γ 5/8) sin π/4) Γ /4) Γ 3/4) sin 3π/8). cos π 8 + cos π/4) +,

14 66 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca 4 obţinem că π Γ x) Γ x) sin Γ y) Γ y) 4 sin 3 π. 8 Pe de altă parte, membrul al doilea al relaţiei 8), este y n y) n + y) 4n )4n+) x n x) n + x) n ) 8n + ) 8n 3)8n+3) 3 8n 3) 8n + 3) n 8 n 4 n 6 4 8n + ) 8n + 6) n + 3) 8n + 5) 8n + ) 8n + 6) 8n + 3) 8n + 5). Aşadar n 6 4 8n + ) 8n + 6) n + 3) 8n + 5). 3 În 8) să luăm x /6 şi y 5/. Atunci membrul întâi devine Întrucât obţinem că Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) sin 5 π sin π π π Γ x) Γ x) sin 5 Γ y) Γ y) sin π 6 Γ /6) Γ 5/6) sin 5π/) Γ 5/) Γ 7/) sin π/6). ) cos π + cos π/6) , + 3. Pe de altă parte, membrul al doilea al relaţiei 8), devine y 5 n y) n + y) n 5)n+5) x n x) n + x) 5 n 5) n + 5) 6n )6n+) n ) n + ) n 6 n 6 n n + 5) n + 7) n + ) n + ) n + 5) n + 7) n + ) n + ). Aşadar n n + 5) n + 7) n + ) n + )

15 5 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 67 4 În 8) să luăm x /3 şi y /6. Atunci membrul întâi devine Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) Γ /3) Γ /3) sin π/3) Γ /6) Γ 5/6) sin π/6) 3 3. Pe de altă parte, membrul al doilea al relaţiei 8), devine y n y) n + y) 3n )3n+) x n x) n + x) 3 3 6n ) 6n + ) 6n )6n+) 6n ) 6n + ) n 6 n 6 n n + ) 6n + 4) 7 6n + ) 6n + 5) 6n + ) 6n + 4) 6n + ) 6n + 5). Aşadar n n + ) 6n + 4) 7 6n + ) 6n + 5) BIBLIOGRAFIE [] Duca D.I.: Analiză matematică vol. ), Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 3 [] Duca D.I.: Analiză matematică vol. ), Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 4 [3] Catalan E.: Sur la constant d Euler et la function de Binet, C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. Math., ), 98 [4] Melzak Z.A.: Infinite products for πe and π/e, American Mathematical Monthly, 68 96), no., 39 4 [5] Osler T.J.: The union of Vieta s and Wallis s products for pi, Amer. Math. Monthly, 6 999), [6] Stirling J.: Methodus Differentialis, London, 73 [7] Wallis J.: Arithmetica Infinitorum, Oxford, 656 Universitatea Tehnică Cluj-Napoca Departamentul de Matematică str. Gh. Bariţiu, nr. Cluj-Napoca, Romania Colegiul Tehnic Ana Aslan str. Decebal, nr. 4, Cluj-Napoca, Romania Universitatea Babeş-Bolyai Faculatea de Matematică şi Informatică str. Kogălnceanu, nr., Cluj-Napoca, Romania Primit la redacţie: Decembrie 4

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ

FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELENA-IULIA STOICA FUNCŢII SPECIALE CU APLICAŢII ÎN ANALIZA NUMERICĂ REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC PROF.

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Editura Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 006 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor In Florentin Smarandache: Collected Papers, vol. II. Chisinau (Moldova): Universitatea

More information

Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 54 No.1 (2011)

Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 54 No.1 (2011) 1 Technical University of Cluj-Napoca, Faculty of Civil Engineering. 15 C Daicoviciu Str., 400020, Cluj-Napoca, Romania Received 25 July 2011; Accepted 1 September 2011 The Generalised Beam Theory (GBT)

More information

UNIQUENESS ALGEBRAIC CONDITIONS IN THE STUDY OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL SYSTEMS. Let us consider the following second order differential system:

UNIQUENESS ALGEBRAIC CONDITIONS IN THE STUDY OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL SYSTEMS. Let us consider the following second order differential system: STUDIA UNIV. BABEŞ BOLYAI, MATHEMATICA, Volume XLIX, Number 4, December 004 UNIQUENESS ALGEBRAIC CONDITIONS IN THE STUDY OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL SYSTEMS CRISTIAN CHIFU-OROS Abstract. The purpose of

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul VII, Nr. Iulie Decembrie 005 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 00 de ani de la introducerea distanţei între mulţimi de către Dimitrie Pompeiu e iπ = Editura Crenguţa

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul XIII, Nr. Ianuarie Iunie 0 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Asociaţ ia Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 0 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o formă

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

A Structural Theorem of the Generalized Spline Functions 1

A Structural Theorem of the Generalized Spline Functions 1 General Mathematics Vol. 17, No. 2 (2009), 135 143 A Structural Theorem of the Generalized Spline Functions 1 Adrian Branga Abstract In the introduction of this paper is presented the definition of the

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

(g, h, M) convex sets. The problem of the best approximation

(g, h, M) convex sets. The problem of the best approximation (g, h, M) convex sets. The problem of the best approximation Dorel I. Duca and Liana Lupşa Abstract. In this paper the problem of the best approximation of an element of the space R n by elements of a

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

A best approximation property of the generalized spline functions

A best approximation property of the generalized spline functions General Mathematics Vol. 16, No. 4 (2008), 25 33 A best approximation property of the generalized spline functions Adrian Branga Abstract In the introduction of this paper is presented the definition of

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXI(CX) Nr. 1 2/ 2013 ANIVERSĂRI. Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXI(CX) Nr. / 03 ANIVERSĂRI Profesorul Ioan Tomescu la a 70-a aniversare La 5 noiembrie 0 domnul profesor universitar Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Române,

More information

Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016

Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016 Ce este logica? Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http:unibuc.ro/~lleustean/ În această prezentare sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean din Semestrul

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

Calculus II Practice Test Problems for Chapter 7 Page 1 of 6

Calculus II Practice Test Problems for Chapter 7 Page 1 of 6 Calculus II Practice Test Problems for Chapter 7 Page of 6 This is a set of practice test problems for Chapter 7. This is in no way an inclusive set of problems there can be other types of problems on

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

1968 1, , B.

1968 1, , B. CURRICULUM VITAE Name: Viorica Mariela Ungureanu Date of Birth: the 4th February 1968 Place of Birth: Tirgu-Jiu, Romania Nationality: Romanian Professional Address: University Constantin Brancusi, Bulevardul

More information

GBS operators of Schurer-Stancu type

GBS operators of Schurer-Stancu type Annals of University of Craiova, Math. Comp. Sci. Ser. Volume 30, 003, Pages 34 39 ISSN: 13-6934 GBS operators of Schurer-Stancu type Dan Bărbosu In the memory of Professor E. Dobrescu Abstract. If p 0,q

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 U.P.B. ci. Bull., eries A, Vol. 74, Iss. 3, 212 IN 1223-727 A CALAR OPERATOR Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 În această lucrare studiem o clasă nouă de operatori numiţi -scalari. Aceştia apar în mod natural,

More information

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH

More information

STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES

STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES Lecturer Eng.

More information

Anul I, Semestrul I 2017/2018

Anul I, Semestrul I 2017/2018 Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean

More information

Ce este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament

Ce este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament Ce este logica? Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile

More information

Logică avansată pentru informatică Master Anul I, Semestrul I

Logică avansată pentru informatică Master Anul I, Semestrul I Logică avansată pentru informatică Master Anul I, Semestrul I 2017-2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http:unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean

More information

ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES

ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 69, No. 3, 007 ISSN 15-358 ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES Ioan MAGHEŢI 1, Mariana SAVU Lucrarea prezintă calculul atenuării acustice a unui ecran

More information

1994, Phd. in mathematics, Faculty of mathematics and informatics, University of Bucharest.

1994, Phd. in mathematics, Faculty of mathematics and informatics, University of Bucharest. DUMITRU POPA Date of birth: 21. 07. 1956, com. Cosimbesti, jud. Ialomita. Studies: 1976-1981, Faculty of mathematics and informatics, University of Bucharest. 1994, Phd. in mathematics, Faculty of mathematics

More information

MATH115. Infinite Series. Paolo Lorenzo Bautista. July 17, De La Salle University. PLBautista (DLSU) MATH115 July 17, / 43

MATH115. Infinite Series. Paolo Lorenzo Bautista. July 17, De La Salle University. PLBautista (DLSU) MATH115 July 17, / 43 MATH115 Infinite Series Paolo Lorenzo Bautista De La Salle University July 17, 2014 PLBautista (DLSU) MATH115 July 17, 2014 1 / 43 Infinite Series Definition If {u n } is a sequence and s n = u 1 + u 2

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul X, Nr. 1 Ianuarie Iunie 008 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 15 de ani de la apariţia revistei Recreaţii Ştiinţifice (1883 1888) e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii

More information

"IIITO-TEC 'NIKI" & EQUIPME

IIITO-TEC 'NIKI & EQUIPME LIGHTING "IIITO-TEC 'NIKI" & EQUIPME T FOR CITIES 6 MAKEDONOMAHON STR.,ZIPCaDE:67009,KALO ORI,THESSALONIKI, GREECE TEL / FAX: 0030 2310761824/751626,8 mall: hito@otenet.qi' Webslte:www.hlto..techkl.gr

More information

FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR DOMENIUL MATEMATICĂ

FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR DOMENIUL MATEMATICĂ Pag.1 din13 FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR Conform ORDINULUI Nr. 6560 din 20 decembrie 2012 privind aprobarea

More information

3-D FINITE ELEMENT ANALYSIS OF A SINGLE-PHASE SINGLE-POLE AXIAL FLUX VARIABLE RELUCTANCE MOTOR

3-D FINITE ELEMENT ANALYSIS OF A SINGLE-PHASE SINGLE-POLE AXIAL FLUX VARIABLE RELUCTANCE MOTOR BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIX (LXIII), Fasc. 1, 2013 Secţia ELECTROTEHNICĂ. ENERGETICĂ. ELECTRONICĂ 3-D FINITE ELEMENT

More information

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Iacob Borş 1, Tudor Milchiş

More information

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE

BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE STUDIES ON THE EXPONENTIAL MAPPING AND GEOMETRIC MECHANICS Ph.D. Thesis Summary Professor DORIN ANDRICA, Ph.D. Ph.D. Student:

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

Integrals evaluated in terms of Catalan s constant. Graham Jameson and Nick Lord (Math. Gazette, March 2017)

Integrals evaluated in terms of Catalan s constant. Graham Jameson and Nick Lord (Math. Gazette, March 2017) Integrals evaluated in terms of Catalan s constant Graham Jameson and Nick Lord (Math. Gazette, March 7) Catalan s constant, named after E. C. Catalan (84 894) and usually denoted by G, is defined by G

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

STRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM MECHANICS WITH APPLICABILITY IN SOIL MECHANICS

STRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM MECHANICS WITH APPLICABILITY IN SOIL MECHANICS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Volumul 63 (67), Numărul 3, 2017 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ STRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM

More information

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete

Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Aprilie 208 ii Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 9 Variabile aleatoare discrete Texas Holdem Poker: In Texas Hold em Poker

More information

A COMPARATIVE ANALYSIS OF WEB BUCKLING RESISTANCE: STEEL PLATE GIRDERS GIRDERS WITH CORRUGATED WEBS

A COMPARATIVE ANALYSIS OF WEB BUCKLING RESISTANCE: STEEL PLATE GIRDERS GIRDERS WITH CORRUGATED WEBS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIX (LXIII), Fasc. 1, 013 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ A COMPARATIVE ANALYSIS OF WEB BUCKLING

More information

GAZETA MATEMATICĂ ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE. SERIA B PUBLICAŢIE LUNARĂ PENTRU TINERET Fondată în anul Anul CXXI nr.

GAZETA MATEMATICĂ ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE. SERIA B PUBLICAŢIE LUNARĂ PENTRU TINERET Fondată în anul Anul CXXI nr. GAZETA MATEMATICĂ SERIA B PUBLICAŢIE LUNARĂ PENTRU TINERET Fondată în anul 895 Anul CXXI nr 9 septembrie 06 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE A RATIONAL REFINEMENT OF YUN S INEQUALITY IN BICENTRIC QUADRILATERALS

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

a) Articole publicate în reviste din fluxul ştiinţific internaţional principal:

a) Articole publicate în reviste din fluxul ştiinţific internaţional principal: LISTĂ LUCRĂRI dr. George Ciprian Modoi a) Articole publicate în reviste din fluxul ştiinţific internaţional principal: a1. C. Modoi, Equivalences induced by adjoint functors, Communications in Algebra,

More information

PROFESSOR PETRU BLAGA AT HIS 60 TH ANNIVERSARY

PROFESSOR PETRU BLAGA AT HIS 60 TH ANNIVERSARY STUDIA UNIV. BABEŞ BOLYAI, MATHEMATICA, Volume LII, Number 3, September 2007 PROFESSOR PETRU BLAGA AT HIS 60 TH ANNIVERSARY OCTAVIAN AGRATINI AND GHEORGHE COMAN Petru Blaga was born on 7 th September 1947

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information