Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Transcription

1 Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7

2 Cursul 7 2

3 Cupris 1 Legea umerelor mari Geeralit¼aţi Iegalitatea lui Cebîşev Teorema lui Cebîşev Teorema lui Beroulli Idex 10 3

4 Cursul 7 4

5 Capitolul 1 Legea umerelor mari 1.1 Geeralit¼aţi Dup¼a cum am v¼azut, u putem cuoaşte diaitea efectu¼arii uui experimet ce valori va lua variabila aleatoare pe care o cercet¼am. La prima vedere deci, cu atât mai puţi am putea spue cum se comport¼a media (ce fel de lege urmeaz¼a) uui um¼ar su ciet de mare de variabile aleatoare. Practic, î codiţii destul de puţi restrictive ea îşi pierde caracterul îtâmpl¼ator. Este deci foarte importat s¼a cuoaştem î ce codiţii rezultatul factorilor îtâmpl¼atori u mai coduce la ceva eprev¼azut. Diversele rezultate privid aceast¼a problem¼a sut cuoscute sub umele de variate ale legii umerelor mari. Vom prezeta î acest paragraf dou¼a teoreme privid legea slab¼a a umerelor mari : teoremele lui Cebîşev şi Beroulli. Îtrucât petru demostrarea acestora avem evoie de iegalitatea lui Cebîşev (aplicabilitatea practic¼a a iegalit¼aţii lui Cebîşev este limitat¼a deoarece d¼a o evaluare grosola¼a) vom îcepe cu prezetarea acesteia. 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev Ea este valabil¼a petru ambele tipuri de variabile aleatoare: discrete şi cotiue. Petru simpli care vom prezeta demostraţia iegalit¼aţii lui Cebîşev umai petru variabile aleatoare discrete. Propoziţia (Iegalitatea lui Cebîşev)Fie X o variabil¼a aleatoare discret¼a şi " u um¼ar pozitiv. Probabilitatea ca abaterea variabilei aleatoare X s¼a e î 5

6 Cursul 7 valoare absolut¼a mai mic¼a decât " este cel puţi egal¼a cu 1 D 2 (X) " 2, adic¼a: P (jx M(X)j < ") 1 D 2 (X) " 2 (1.1) Demostraţie: Cotrarul eveimetului ce veri c¼a iegalitatea jx M(X)j < " este jx M(X)j ". Dar suma a dou¼a eveimete cotrare este egal¼a cu 1 (vezi 0.1.7, Teorema ) De ude: P (jx M(X)j < ") + P (jx M(X)j ") = 1 (1.2) P (jx M(X)j < ") = 1 P (jx M(X)j ") (1.3) deci petru a demostra iegalitatea trebuie s¼a calcul¼am P (jx M(X)j ") :Petru acesta scriem expresia dispersiei variabilei aleatoare X cu repartiţia:! x 1 x 2 ::: x X : (1.4) p 1 p 2 ::: p D 2 (X) = [x 1 M(X)] 2 p 1 +[x 2 M(X)] 2 p 2 +:::+[x M(X)] 2 p 0: Îtrucât toţi termeii dispersiei sut umere pozitive putem elimia acei termei petru care jx i M(X)j < "; i = 1::k; cu scopul de a micşora D 2 (X): Am presupus (f¼ar¼a a micşora geeralitatea) c¼a aceştia sut primii k termei. Obţiem: [x k+1 M(X)] 2 p k+1 + [x k+2 M(X)] 2 p k+2 + ::: + [x M(X)] 2 p D 2 (X) (1.5) ude jx k+1 M(X)j "; jx k+2 M(X)j "; :::; jx M(X)j " (1.6) echivalet cu [x k+1 M(X)] 2 " 2 ; [x k+2 M(X)] 2 " 2 ; :::; [x M(X)] 2 " 2 (1.7) Îlocuid î iecuaţia (1.5) obţiem succesiv: " 2 p k+1 + " 2 p k+2 + ::: + " 2 p D 2 (X) (1.8) " 2 (p k+1 + p k+2 + ::: + p ) D 2 (X) (1.9) p k+1 + p k+2 + ::: + p D2 (X) " 2 (1.10) 6

7 Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Pe de alt¼a parte p k+1 + p k+2 + ::: + p = P (jx M(X)j ") ; deoarece p k+1 + p k+2 + ::: + p este probabilitatea eveimetului ce cost¼a î faptul c¼a X ia ua di valorile x k+1 ; x k+2 ; :::; x, valori ce satisfac iegalit¼aţile (1.6). Îlocuid î iecuaţia (1.10) obţiem: P (jx Îlocuid (1.11) î (1.3) obţiem: M(X)j ") D2 (X) " 2 (1.11) P (jx M(X)j < ") = 1 P (jx M(X)j ") 1 adic¼a ceea ce trebuia s¼a demostr¼am. D 2 (X) " 2 (1.12) Observaţia Dac¼a, spre exemplu D 2 (X) " 2 D 2 (X) ; atuci 1 " 2 0 a rmaţie care u e este cu imic de folos. De aceea iegalitatea lui Cebîşev u are o prea mare importaţ¼a practic¼a. Ne este îs¼a folositoare petru demostrarea urm¼atoarelor teoreme: 1.3 Teorema lui Cebîşev Aceast¼a teorem¼a expus¼a mai jos e spue c¼a media aritmetic¼a a uui um¼ar su ciet de mare de variabile aleatoare idepedete ce au dispersiile m¼argiite, ia, cu o probabilitate destul de mare, valori apropiate de u um¼ar costat M(X 1 ) + M(X 2 ) + ::: + M(X ) deşi variabilele aleatoare pot lua valori dep¼artate de mediile lor. Teorema (Teorema lui Cebîşev) Fie X 1 ; X 2 ; :::; X variabile aleatoare (discrete sau cotiue) idepedete cu dispersiile mai mici decât o costat¼a k. Petru orice " > 0 are loc: lim P!1 X 1 + X 2 + ::: + X M(X 1 ) + M(X 2 ) + ::: + M(X ) < " = 1 (1.13) Demostraţie: Aplicâd propriet¼aţile mediei expresiei X 1 + X 2 + ::: + X şi ţiâd cot de faptul c¼a X 1 ; X 2 ; :::; X sut idepedete, avem: X1 + X 2 + ::: + X M = 1 M (X 1 + X 2 + ::: + X ) = M(X 1) + M(X 2 ) + ::: + M(X ) (1.14) 7

8 Cursul 7 Not¼am X 1 + X 2 + ::: + X = X: Coform iegalitat¼aţii lui Cebîşev (vezi 1.1) avem: P X M( X) < " 1 D 2 ( X) " 2 (1.15) Dar D 2 ( X) = D 2 ( X 1 + X 2 + ::: + X ) (1) = 1 2 D2 (X 1 + X 2 + ::: + X ) (2) = D 2 (X 1 ) + D 2 (X 2 ) + ::: + D 2 (X ) (3) 2 k + k + ::: + k 2 = k 2 = k : Îlocuid î (1.15) avem: P X M( X) < " 1 k " 2 (1.16) Trecem la limit¼a, petru! 1 şi obţiem: lim P X M( X) < " lim 1!1!1 k " 2 = 1 (1.17) adic¼a: lim P X M( X) < " 1 (1.18)!1 Pe de alt¼a parte o probabilitate u poate mai mare ca 1. R¼amâe deci c¼a lim P X M( X) < " = 1: Îlocuid X cu expresia sa obţiem ceea ce!1 trebuia s¼a demostr¼am. Observaţia De foarte multe ori î practic¼a variabile aleatoare idepedete X 1 ; X 2 ; :::; X au aceeaşi medie, s¼a presupuem m. Î acest caz particular (1.13) devie: lim!1 P X m < " = 1 (1.19) ude X = X 1 + X 2 + ::: + X şi D 2 (X 1 ) k; D 2 (X 2 ) k; :::; D 2 (X ) k: Observaţia Media aritmetic¼a a uui um¼ar su ciet de mare de variabile aleatoare idepedete ce au dispersiile m¼argiite X 1 + X 2 + ::: + X îşi pierde caracterul de variabil¼a aleatoare. Acest lucru se datoreaz¼a faptului c¼a abaterile variabilelor aleatoare de la mediile lor sut uele pozitive, altele egative şi astfel ele se compeseaz¼a. (1) Am ţiut cot de propriet¼aţile dispersiei. (2) Variabile aleatoare X 1; X 2; :::; X sut idepedete (3) Pri ipotez¼a D 2 (X 1) k; D 2 (X 2) k; :::; D 2 (X ) k 8

9 Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teorema lui Cebîşev are î practic¼a o mare importaţ¼a îtrucât explic¼a de ce e putem prouţa asupra uei aumite calit¼aţi ale uui material omoge aalizâd o prob¼a mic¼a î comparaţie cu îtrega catitate. Explicaţia cost¼a î aceea c¼a proba comport¼a u um¼ar su ciet de mare de m¼asur¼atori pri el îsuşi. Pe acest¼a teorem¼a se bazeaz¼a metoda selectiv¼a a statisticii. 1.4 Teorema lui Beroulli S¼a presupuem c¼a e itereseaz¼a apariţia uui aumit eveimet A. Petru aceasta efectu¼am experimete idepedete. Î ecare di aceste experimete probabilitatea s¼a aib¼a loc A o ot¼am cu p. Ne puem îtrebarea dac¼a putem prevedea frecveţa relativ¼a (4) cu care are loc eveimetul A î aceste experimete. U r¼aspus a rmativ la aceast¼a îtrebare i-l d¼a teorema lui Beroulli, care a primit umele de legea umerelor mari şi a pus bazele teoriei probabilit¼aţilor ca ştiiţ¼a. Teorema (Teorema lui Beroulli) Dac¼a se fac experimete idepedete, î ecare experimet probabilitatea eveimetului A id p, cu ot¼am um¼arul de apariţii al eveimetului A î cele experimete iar " > 0 este u um¼ar arbitrar de mic, atuci: lim P!1 p < " = 1 (1.20) adic¼a dac¼a u experimet se repet¼a de u um¼ar su ciet de mare de ori, î codiţii idetice, atuci frecveţa relativ¼a este stabil¼a, adic¼a variaz¼a î jurul probabilit¼aţii. Demostraţie: Vom ar¼ata c¼a teorema lui Beroulli este u caz particular al teoremei lui Cebîşev (1.3.1). S¼a presupuem c¼a facem primul experimet. Eveimetul A poate s¼a apar¼a sau u, adic¼a avem repartiţia:! 1 0 X 1 : (1.21) p q (4) Frecveţa relativ¼a a eveimetului A este o alt¼a oţiue fudametal¼a î teoria probabilit¼aţilor. Ea este egal¼a cu raportul ditre um¼arul probelor î care eveimetul A s- a produs şi um¼arul total de probe:. 9

10 Cursul 7 cu q = 1 p: Facem cel de-al doilea experimet, ş.a.m.d pâ¼a la experimetul, obţiâd repartiţiile: X 1 :!!! ; X 2 : ; :::; X : p q p q p q (1.22) Am v¼azut la repartiţia Beroulli c¼a M(X 1 ) = M(X 2 ) = ::: = M(X ) = p (1.23) şi Cum D 2 (X 1 ) = D 2 (X 2 ) = ::: = D 2 (X ) = p q: (1.24) p q 1 4 (1.25) (Produsul a doi factori de sum¼a costat¼a este maxim atuci câd factorii sut egali. Î cazul ostru p + q = 1 şi maximul produsului p q se obţie petru p = q = 1 2 :) Putem deci aplica teorema lui Cebîşev (cazul paricular 1.3.2) variabilelor aleatoare X 1 ; X 2 ; :::; X : lim P X 1 + X 2 + ::: + X p!1 < " = 1 (1.26) deci lim P!1 îtrucât X 1 + X 2 + ::: + X = : p < " = 1 (1.27) 10

11 Idex Frecveta relativã, 9 Iegalitatea lui Cebîsev, 6 Teorema lui Beroulli, 9 lui Cebîsev, 7 11