APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

Transcription

1 DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae for symmetric polynomials. Using the fundamental symmetric polynomials, several problems met at high-school mathematical competitions may be solved in an elegant and unified manner. MSC C08, 97H20. Key words. Symmetric polynomials, Newton formulae, characteristic polynomial. 1. INTRODUCERE Această lucrare prezintă câteva aplicaţii ale formulelor lui Newton, cunoscute în algebra polinoamelor. Subiectul acestei lucrări este folositor elevilor de liceu, pregătiţi pentru concursuri şcolare, sau extra-şcolare. Primul capitol al acestei lucrări este o parte de Preliminarii, o mica introducere în polinoame simetrice, câteva noţiuni şi rezultate remarcabile. Cel de-al doilea capitol, intitulat Formulele lui Newton, introduce formulele lui Newton, prezintă exprimarea polinoamelor simetrice fundamentale în sume de puteri, şi invers, a sumelor de puteri în polinoame simetrice fundamentale. La finalul capitolului, am prezentat două aplicaţii în alte rezultate ale formulelor lui Newton, respectiv, aplicaţie in polinomul caracteristic al unei matrice, şi aplicaţie în rădăcinile unui polinom. Ultimul capitol, este un capitol de Aplicaţii, în care am prezentat folosirea formulelor lui Newton. Aceste exerciţii pot fi întâlnite şi la concursurile şcolare sau extra-şcolare, deci reprezintă modele de lucru, utile pentru pregătirea concursurilor şcolare şi extra-şcolare, sau examenelor. 2. PRELIMINARII Fie R un inel asociativ, comutativ cu unitate şi n N, iar S n grupul permutărilor mulţimii {1,..., n}. Pentru orice permutare σ S n există un singur endomorfism σ : R[X 1,..., X n ] R[X 1,..., X n ] care a R, σ(a) = a şi i {1,..., n}, σ(x i ) = X σ(i). Pentru orice polinom f = a i1,...i n X i Xin n

2 28 Cristina-Aida Coman 2 avem σ(f) = a i1,...i n X i 1 σ(1)...xin σ(n), adică acţiunea lui σ asupra lui f constă în permutarea nedeterminatelor X 1,..., X n prin σ. Definiţia 1. Un polinom f R[X 1,..., X n ] se numeşte polinom simetric dacă σ(f) = f, pentru σ S n, adică f nu se schimbă la nicio permutare a nedeterminatelor. Cu alte cuvinte, un polinom f este simetric dacă şi numai dacă f nu se schimbă la nicio transpoziţie a nedeterminatelor. Exemple Orice a R este polinom simetric. Polinoamele s 1 = X 1 + X X n, s 2 = X 1 X 2 + X 1 X X n 1 X n, s 3 = X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X X n 2 X n 1 X n,... s n = X 1 X 2...X n sunt simetrice. Polinoamele s 1, s 2,..., s n se numesc polinoame simetrice fundamentale. Numărul termenilor polinomului s k, 1 k n este C k n. Orice polinom f R[X 1,..., X n ], f 0 se scrie în mod unic ca o sumă de monoame de clase diferite din M/ρ ρ 1. Prin urmare, monoamele care intervin în exprimarea lui f se pot aranja într-un şir descrescător în raport cu relaţia, iar cel mai mare monom din acest şir se numeşte termenul principal al lui f. Teorema 1. Dacă f R[X 1,..., X n ] este un polinom simetric, iar α = ax i Xin n termenul său principal, atunci i 1 i 2... i n. Demonstraţie. Să presupunem că există k astfel încât i k < i k+1. Cum f este simetric, atunci monomul ax i Xk i+1 Xi+1...X k n in i este un termen al lui f, dar evident este mai mare că ax i Xin n, ceea ce este absurd, acesta fiind termenul principal. Teorema 2. (Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice) Fiecare polinom simetric f R[X 1,..., X n ] se poate exprima ca un polinom de polinoame simetrice fundamentale. Cu alte cuvinte, există un polinom g R[X 1,..., X n ] astfel încât f = g(s 1,...s n ).

3 3 Polinoame simetrice 29 Mai mult, g este unic determinat prin această proprietate. Demonstraţie. Fie f A[X 1,.., X n ] de grad n, astfel încât σ S n, avem σ(f) = f. ştim că f se poate scrie în mod unic ca f = f f n, unde f i sunt polinoame omogene, astfel încât grad(f i ) = i. Cu σ este omomorfism, rezultă că σ(f) = σ(f 0 ) σ(f n ). Dar cum σ(f) = f, din unicitatea scrierii lui f ca sumă de polinoame omogene, rezultă că σ(f i ) = f i, pentru orice i, adică f i sunt polinoame simetrice omogene cu gradul egal cu i. Aşadar, putem presupune fără a restrânge generalitatea că f este un polinom simetric omogen. Să presupunem de asemenea că grad(f) = m, iar ax k Xkn n (a 0) este termenul său principal. Rezultă că k 1... k n. Să considerăm produsul s d sdn n (d i 0). Cum termenul principal al lui s i este X 1...X i urmează că termenul principal din s d sdn n este X d d n 1 X d d n 2...Xn dn. Aşadar, termenul principal al lui s k 1 k 2 1 s k 2 k s kn n este X k Xkn n, adică este acelaşi cu al lui f şi deci termenul principal al polinomului simetric f 1 = f as k 1 k 2 1 s k 2 k s kn n este mai mic decât al lui f. Să continuăm procedeul pentru f 1. Deoarece există doar un număr finit de monoame de grad m, după un număr finit de paşi procedeul se opreşte. Astfel se ajunge la o expresie a lui f ca polinom de s 1,..., s n. Să demonstrăm unicitatea. Pentru aceasta, observăm mai întâi că este suficient să demonstrăm că dacă h A[X 1,..., X n ] şi h(s 1,..., s n ) = 0, rezultă că h = 0, deoarece atunci dacă, g(s 1,..., s n ) = g 1 (s 1,..., s n ), rezultă, punând h = g g 1, ca h(s 1,..., s n ) = 0, şi deci h = 0, adică g = g 1. Presupunem deci că h = a i1...i n X i Xin n şi a i1...i n s i s in n = 0 şi să arătăm că toţi coeficienţii sunt nuli. Presupunem prin absurd că există coeficienţi nenuli şi fie a d1...d n 0 unul dintre aceştia. Atunci, luăm polinomul s i s in n care are termenul principal X i Xin n, unde k i = d i + d i d n, al cărui grad este

4 30 Cristina-Aida Coman 4 m = n k i = i=1 n id i. Mai mult, dacă s d sd n n s d sdn n, atunci termenii principali respectivi, X k Xk n n şi X k Xkn n sunt diferiţi. Într-adevăr, dacă k i = k i, pentru i = 1, 2,..., n atunci i=1 d i d n = d i d n pentru i = 1, 2,..., n. De asemenea rezultă că d 1 = d 1, d 2 = d 2,..., d n = d n. Deci termenii principali în X 1,..., X n ai diferitelor monoame distincte în s 1,..., s n care apar în expresia lui h nu se reduc. Fie X m Xn mn cel mai mare termen principal. Atunci în expresia polinomului h în funcţie de X 1,..., X n apare termenul nenul a m1...m n X m Xn mn, ceea ce contrazice faptul că h este polinomul nul. 3. FORMULELE LUI NEWTON Printre polinoamele simetrice vom considera pe cele de forma t k = X k 1 + X k X k n, k = 1, 2,... Aceste polinoame, numite sume de puteri, trebuie să se exprime, conform teoremei fundamentale, prin polinoamele simetrice fundamentale s 1, s 2,..., s n. Vom stabili relaţiile dintre polinoamele t 1, t 2,... şi polinoamele s 1, s 2,..., s n. Notăm polinomul S(X k 1 1 Xk Xkn n ) = X k1 σ(1) Xk 2 σ(2)...xkn σ(n). σ S n adică suma termenilor care se obţin făcând toate permutările nedeterminatelor. Cazul I Pentru k n următoarele relaţii sunt imediate: ( 1) t k 1 s 1 = t k + S(X1 k 1 X 2 ), ( 1) 2 t k 2 s 2 = S(X1 k 1 X 2 ) + S(X1 k 2 X 2 X 3 ), ( 1) 3 t k 3 s 3 = S(X1 k 2 X 2 X 3 ) + S(X1 k 3 X 2 X 3 X 4 ),... ( 1) k 2 t 2 s k 2 = S(X1 3X 2...X k 2 ) + S(X1 2...X k 1), ( 1) k 1 t 1 s k 1 = S(X1 2X 2...X k 1 ) + ks k, adunând aceste relaţii obţinem: (1) t k t k 1 s 1 + t k 2 s ( 1) k ks k = 0.

5 5 Polinoame simetrice 31 Cazul II Prima metoda : Pentru k n următoarele relaţii sunt imediate: ( 1) t k 1 s 1 = t k + S(X1 k 1 X 2 ), ( 1) 2 t k 2 s 2 = S(X1 k 1 X 2 ) + S(X1 k 2 X 2 X 3 ),... ( 1) n 1 t k n+1 s n 1 = S(X1 k n+2 X 2...X n 1 )+S(X1 k n+1 X 2...X n ), ( 1) n t k n s n = S(X1 k n+1 X 2...X n ), adunând aceste relaţii obţinem: (2) t k t k 1 s 1 + t k 2 s ( 1) n t k n s n = 0. A doua metoda : Fie polinomul P = (Y X 1 )...(Y X n ) Q(X 1,..., X n )[Y ] Folosind relaţiile lui Viete, obţinem: P = Y n s 1 Y n 1 + s 2 Y n ( 1) n 1 s n 1 Y + ( 1) n s n. Din P (X 1 ) = P (X 2 ) =... = P (X n ) = 0 obţinem: X1 n s 1X1 n 1 + s 2 X1 n ( 1) n 1 s n 1 X 1 + ( 1) n s n = 0 X1 k n... Xn n s 1 Xn n 1 + s 2 Xn n ( 1) n 1 s n 1 X n + ( 1) n s n = 0 Xn k n adunând aceste relaţii, obţinem ecuaţia (1.2) (3) t k t k 1 s 1 + t k 2 s ( 1) n t k n s n = 0. Formulele obţinute sunt cunoscute ca formulele lui Newton. 4. EXPRIMAREA SUMELOR DE PUTERI CU AJUTORUL POLINOAMELOR SIMETRICE FUNDAMENTALE Formulele lui Newton ne permit să găsim succesiv expresiile polinoamelor t 1, t 2,... în funcţie de s 1, s 2,..., s n. Astfel t 1 = s 1. Pentru k = 2 n avem t 2 = s 2 1 2s 2 Pentru k = 3 n avem t 3 = s 3 1 3s 1s 2 + 3s 3. Pentru k = 4 n avem t 4 = s 4 1 4s2 1 s 2 + 4s 3 s 1 + 2s 2 2 4s 4. Formula generală pentru k, n N t k = ( 1) k k(r nr n 1 )! = 1 n ( s i ) r i r 1!...r n! r 1 +2r br n=k 5. EXPRIMAREA POLINOAMELOR SIMETRICE FUNDAMENTALE CU AJUTORUL SUMELOR DE PUTERI Folosind prima formulă a lui Newton, dacă în inelul R se poate efectua împărţirea la orice număr natural n, putem exprima polinoamele simetrice fundamentale s 1, s 2,...s n prin primele n sume de puteri t 1, t 2,..., t n. i

6 32 Cristina-Aida Coman 6 Astfel, s 1 = t 1, s 2 = 1 2 (t2 1 t 2), s 3 = 1 6 (t3 1 3t 1t 2 + 3t 3 ),... s 4 = 1 24 (t4 1 6t2 1 t 2 + 3t t 1t 3 6t 4 ) Formula generală este: s k = r nr n=k ( 1) k n i=1 ( t i ) r i r i!i k i 6. APLICAŢIE ÎN POLINOAMELE CARACTERISTICE ALE UNEI MATRICI Când polinomul este un polinom caracteristic de matrice A, rădăcinile x i, sunt valorile proprii ale matricii, numărând şi multiplicitatea lor algebrică. Pentru orice k natural, A k are valorile proprii x k i, orice valoare proprie x i A contribuie cu multiplicitatea lui la valoarea proprie x k i a lui A k. Atunci coeficienţii polinomului caracteristic al lui A k sunt daţi de polinoamele simetrice fundamentale în acele puteri x k i. În particular, suma x k i este cea de-a k suma de puteri t k ale rădăcinilor polinomului caracteristic al lui A, care este dat de t k = T r(a k ) Formulele lui Newton identifică urmele puterilor A k cu coeficienţii polinomului caracteristic al lui A. Invers, folosindu-le pentru a exprima polinoamele simetrice fundamentale în sume de puteri, pot fi folosite pentru a determina polinomul caracteristic, determinând puterile A k şi urmele lor. Această determinare implică determinarea urmelor matricilor A k şi rezolvarea unui sistem triunghiular de ecuaţii. Conform teoremei Cayley-Hamilton, orice matrice satisface polinomul său caracteristic, şi o simplă transformare permite determinarea matricii inverse. 7. APLICAŢIE ÎN RĂDĂCINILE UNUI POLINOM Un polinom cu rădăcinile x i poate fi scris astfel: n (x xi ) = ( 1) n+k s n k x k unde s n k reprezintă polinomul simetric fundamental de rang n k. Fiind date sumele de puteri n t k = x k i, k=0 i=1 coeficienţii polinomului cu rădăcinile x 1,..., x n pot fi exprimaţi recursiv în termeni cu ajutorul sumelor de puteri:

7 7 Polinoame simetrice 33 s 1 = t 1, s 2 = 1 2 (t2 1 t 2), s 3 = 1 6 (t3 1 3t 1t 2 + 3t 3 ),... s 4 = 1 24 (t4 1 6t2 1 t 2 + 3t t 1t 3 6t 4 ). Formulând polinomul astfel este folositor folosind metoda lui Delves şi Lyness pentru a găsi rădăcinile unei funcţii analitice. 8. APLICAŢII Aplicaţia 1. Fie f = (X1 2 + X2 2 )(X2 2 + X2 3 )(X2 3 + X2 4 ). Să se exprime f în funcţie de polinoamele simetrice fundamentale. Observăm că f este polinom simetric în Q[X 1, X 2, X 3 ]. f este polinom omogen de grad 6. Termenul principal este tp(f) = X1 4X2 2. Fie f 1 = f s 2 1 s2 2. Ştim că f 1 este de asemenea simetric, omogen de grad 6 şi tp(f 1 ) < tp(f). Deci tp(f 1 ) = ax1 4X 2X 3, unde a Q, coeficient nedeterminat. Fie f 2 = f 1 as 3 1 s 3. Atunci f 2 este polinom simetric, omogen de grad 6 şi tp(f 2 ) < tp(f 1 ). Deci tp(f 2 ) = bx1 3X3 2. Fie f 3 = f 2 bs 3 2. Atunci f 3 este polinom simetric, omogen de grad 6 şi tp(f 3 ) < tp(f 2 ). Deci tp(f 3 ) = cx1 3X2 2 X 3. Fie f 4 = f 3 cs 1 s 2 s 3. Atunci f 4 este polinom simetric, omogen de grad 6 şi tp(f 4 ) < tp(f 3 ). Deci tp(f 4 ) = dx1 2X2 2 X2 3. Fie f 5 = f 4 ds 2 3. Atunci f 5 este polinom simetric omogen de grad 6 şi tp(f 5 ) < tp(f 4 ), tp(f 5 ) nu se mai poate construi, deci f 5 = 0. Adunând expresiile membru cu membru, obţinem f = s 2 1s as 3 1s 3 + bs cs 1 s 2 s 3 + ds 2 3, unde a, b, c, d Q sunt coeficienţi nedeterminaţi. Construim următorul tabel cu datele obţinute, şi dăm valori necunoscutelor, pentru a afla coeficienţii a, b, c, d. X 1 X 2 X 3 E(s 1 ) E(s 2 ) E(s 3 ) E(f) 1 E(f) b b+4d a+16d a-b+c+d

8 34 Cristina-Aida Coman 8 În urma acestui tabel găsim a = 2, b = 2, c = 4, d = 1. În concluzie, polinomul căutat, f este f = s 2 1s s 3 1s 3 2s s 1 s 2 s 3 s 2 3. Aplicaţia 2. Fie f = X 3 1 X X 3 1 X n +X 3 2 X 1 +X 3 2 X 3...+X 3 2 X n X 3 nx X 3 nx n 1. Să se exprime f în funcţie de polinoamele simetrice fundamentale. Scriem f sub forma f = X X 3 1X X 3 1X n + X 3 2X 1 + X X 3 2X n X 3 nx X 3 nx n 1 + X 4 n (X X 4 n) = = (X X n )(X X3 n) (X X 4 n). Observăm că f este polinom simetric în Q[X 1,..., X n ]. f este polinom omogen de grad 4. Termenul principal este tp(f) = X1 3X 2. Fie f 1 = f s 2 1 s 2. Ştim că f 1 este de asemenea simetric, omogen de grad 4 şi tp(f 1 ) < tp(f). Deci tp(f 1 ) = ax1 2X2 2, unde a Q, coeficient nedeterminat. Fie f 2 = f 1 as 2 2. Atunci f 2 este polinom simetric, omogen de grad 4 şi tp(f 2 ) < tp(f 1 ). Deci tp(f 2 ) = bx1 2X 2X 3. Fie f 3 = f 2 bs 1 s 3. Atunci f 3 este polinom simetric, omogen de grad 4 şi tp(f 3 ) < tp(f 2 ). Deci tp(f 3 ) = cx 1 X 2 X 3 X 4. Fie f 4 = f 3 cs 4. Atunci f 4 este polinom simetric omogen de grad 4 şi tp(f 4 ) < tp(f 3 ), tp(f 4 ) nu se mai poate construi, deci f 4 = 0. Adunând expresiile membru cu membru, obţinem f = s 2 1s 2 + as bs 1 s 3 + cs 4, unde a, b, c Q sunt coeficienţi nedeterminaţi. Construim următorul tabel cu datele obţinute, şi dăm valori necunoscutei, pentru a afla coeficienţii a, b, c. X 1 X 2 X 3 X 4...X n E(s 1 ) E(s 2 ) E(s 3 ) E(s 4 ) E(f) 1 E(f) a+3b a c În urma acestui tabel găsim a = 2, b = 1, c = 4. În concluzie, polinomul căutat, f este f = s 2 1s 2 2s 2 2 s 1 s 3 + 4s 4.

9 9 Polinoame simetrice 35 Aplicaţia 3. Fie f = (X1 2 + X3 1 + X4 1 ) + (X2 2 + X3 2 + X4 2 ) + (X2 3 + X3 3 + X3 4) + (X2 4 + X3 4 + X4 4 ). Să se exprime f în funcţie de polinoamele simetrice fundamentale. Scriem f sub forma f = f 1 + f 2 + f 3, unde f 1 = X X2 2 + X2 3 + X2 4 ; f 2 = X X3 2 + X3 3 + X3 4 ; f 3 = X X4 2 + X4 3 + X4 4, polinoame simetrice omogene de grad 2, 3 respectiv 4 în Q[X 1,..., X 4 ]. f 1 = X X2 2 + X2 3 + X2 4. Termenul principal este tp(f 1 ) = X 2 1. Fie f 11 = f 1 s 2 1. Polinomul f 11 este polinom simetric, omogen de grad 2 şi tp(f 11 ) < tp(f 1 ). Fie f 12 = f 11 as 2, polinom simetric, omogen de grad 2. Termenul principal tp(f 12 ) nu se poate construi, deci f 12 = 0. Adunând expresiile obţinem f 1 = s as 2, unde a Q. Construim următorul tabel, de unde obţinem a = 2, deci f 1 = s 2 1 2s 2. X 1 X 2 X 3 X 4 E(s 1 ) E(s 2 ) E(f) 1 E(f) a f 2 = X X3 2 + X3 3 + X3 4. Termenul principal este tp(f 2 ) = X 3 1. Fie f 21 = f 2 s 3 1. Polinomul f 21 este polinom simetric, omogen de grad 3 şi tp(f 21 ) < tp(f 2 ), tp(f 21 ) = ax 2 1 X 2, a Q. Fie f 22 = f 21 as 1 s 2, polinom simetric, omogen de grad 3. Deci tp(f 2 2) = bx 1 X 2 X 3, b Q. Fie f 23 = f 22 bs 3, polinom simetric, omogen de grad 3. Termenul principal tp(f 23 ) nu se poate construi, deci f 23 = 0. Adunând expresiile obţinem f 2 = s as 1 s 2 + bs 3, unde a, b Q. Construim următorul tabel, de unde obţinem a = 9, b = 3, deci f 2 = s 3 1 9s 1s 2 + 3s 3. X 1 X 2 X 3 X 4 E(s 1 ) E(s 2 ) E(s 3 ) E(f) 1 E(f) a+b b

10 36 Cristina-Aida Coman 10 f 3 = X1 4 + X4 2 + X4 3 + X4 4. Termenul principal este tp(f 3 ) = X1 4. Fie f 31 = f 3 s 4 1. Polinomul f 31 este polinom simetric, omogen de grad 4 şi tp(f 31 ) < tp(f 3 ), tp(f 31 ) = ax1 3X 2, a Q. Fie f 32 = f 31 as 2 1 s 2, polinom simetric, omogen de grad 4. Deci tp(f 32 ) = bx1 2X2 2, b Q. Fie f 33 = f 32 bs 2 2, polinom simetric, omogen de grad 4. Deci tp(f 33 ) = cx1 2X 2X 3, c Q. Fie f 34 = f 34 cs 1 s 3, polinom simetric, omogen de grad 4. Deci tp(f 34 ) = dx 1 X 2 X 3 X 4, d Q. Fie f 35 = f 34 ds 4, polinom simetric, omogen de grad 4. Termenul principal tp(f 35 ) nu se poate construi, deci f 35 = 0. Adunând expresiile obţinem f 3 = s as 2 1s 2 + bs cs 1 s 3 + ds 4, unde a, b, c, d Q. Construim următorul tabel, de unde obţinem a = 7 2, b = 0, c = 11 2, d = 4, deci f 3 = s s2 1 s s 1s 3 4s 4. X 1 X 2 X 3 X 4 E(s 1 ) E(s 2 ) E(s 3 ) E(s 4 ) E(f) 1 E(f) a+9b+3c b a+16c+d a În concluzie polinomul căutat f este f = f 1 + f 2 + f 3 = s s s s2 1s 2 9s 1 s s 1s 3 2s 2 + 3s 3 4s 4. Aplicaţia 4. Fie f = X 1 + X 2 + X 2 + X 3 + X 3 + X 1. Să se exprime f X 2 X 1 X 3 X 2 X 1 X 3 în funcţie de polinoamele simetrice fundamentale. Observăm că, dacă aducem la acelaşi numitor, obţinem Notăm f = g h, unde f = X2 1 X 3 + X 2 2 X 3 + X 1 X X 1X X 2X X2 1 X 2 X 1 X 2 X 3., si g = X 2 1X 3 + X 2 2X 3 + X 1 X X 1 X X 2 X X 2 1X 2 h = X 1 X 2 X 3.

11 11 Polinoame simetrice 37 Pe g îl putem scrie astfel g = X 2 1X 3 +X 2 2X 3 +X 1 X 2 2 +X 1 X 2 3 +X 2 X 2 3 +X 2 1X 2 +3X 1 X 2 X 3 2X 1 X 2 X 3 = = X 1 X 2 (X 1 +X 2 +X 3 )+X 1 X 3 (X 1 +X 2 +X 3 )+X 2 X 3 (X 1 +X 2 +X 3 ) 3X 1 X 2 X 3 = = (X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 2 X 3 )(X 1 + X 2 + X 3 ) 3X 1 X 2 X 3 Folosind polinoamele simetrice fundamentale obţinem Observăm că h = s 3, deci g = s 2 s 1 3s 3 f = s 1s 2 3s 3 s 3 = s 1s 2 s 3 3. BIBLIOGRAFIE [1] Năstăsescu, C., Niţă, C., Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnica, Bucureşti, 1979 [2] Pelea, C., Purdea I., Probleme de algebră, Editura Eikon, 2008 [3] Pop, I., Purdea, I., Algebră, Editura Gil, Zalău, 2003 Faculty of Mathematics and Computer Science Babeş-Bolyai University Str. Kogălniceanu, no Cluj-Napoca, Romania coman cristina aida@yahoo.com Primit la redacţie: 25 Mai 2015