Matematici speciale Variabile aleatoare discrete

Transcription

1 Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Aprilie 208

2 ii

3 Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 9 Variabile aleatoare discrete Texas Holdem Poker: In Texas Hold em Poker jucatorii incearca sa gaseasca cea mai buna combinatie de 5 carti folosind celelalte doua carti din mana si cele cinci care se vor afisa pe masa. Pachetul are 52 de carti si sunt cate 3 de patru feluri diferite: All-in= inseamna ca jucatorul si-a pus toate chips-urile in pariu

4 Fold= e actul prin care renunti la a juca mana; jucatorii pot da fold atunci cand e randul lor si nu doresc sa mai continue. Raise=maresti miza pariului Call= dupa ce jucatorii primesc cartile fiecare pe rand are optiunea sa decida daca aleg fold, call sau raise; spunand call accepti sa pariezi suma care se cere deja in tura respectiva Joci masa= daca cea mai buna combinatie de 5 carti este cea afisata pe masa si jucatorul termina mana fara sa dea fold, spunem ca a jucat masa; sa joci masa nu e considerat un lucru bun in poker pentru ca nu ai reusit sa imbunatatesti combinatia de 5 carti deja existenta pe masa cu niciuna din cele doua carti ale tale; cand joci masa tot ce poti spera este sa-i egalezi pe oponentii tai; daca acestia reusesc sa foloseasca o carte din mana pentru a imbunatati combinatia ai peirdut. Problema deschisa: Pana cand a castigat un turneu WSOP in 2008, Erick Lindgren era deseori supranumit ca fiind cel mai mare jucator care nu a castigat vreodata un turneu WSOP. Inaintea victoriei sale el a participat la multe turnee WSOP si a terminat in top 0 de opt ori. Sa presupunem ca joci intr-un turneu pe saptamana. Sa presupunem ca rezultatele inregistrate la un turneu sunt independente de cele de la oricare altul si ca ai aceeasi probabilitate p de a castiga oricare dintre aceste turnee. Daca p = 0.0, cat este cel mai probabil sa trebuiasca sa astepti inainte de castiga primul turneu? Problema deschisa: In timpul episodului 2 din sezonul 5 al High Stakes Poker, Doyle Brunson a primit K K de doua ori si J J o data, in aceeasi jumatate de ora. Presupunem ca pereche mare inseamna 0-0, J-J, Q-Q, K-K, sau A-A. Fie X numarul de maini pe care le joci pana cand primesti o pereche mare, pentru a treia oara. Care este acest numar preconizat de maini? Problema deschisa: Multe cazinouri ofera premii pentru evenimente rare numite jackpot hands. Aceste jackpot hands These jackpot hands sunt definite diferit de fiecare dintre cazinouri in parte. Sa presupunem ca intr-un astfel de cazinou sunt definite in asa fel incat ele apar o data la 50, 000 de maini, in medie. Daca in cazinou se joaca aproximativ 0, 000 de maini pe zi, care este valoarea asteptata si deviatia standard a numarului de jackpot hands care apar intr-o perioada de a 7 zile? Problema deschisa: La ultima mana din turneul 998 WSOP Main Event, cu o masa de , Scotty Nguyen a mers all-in. In timp ce oponentul sau, Kevin McBride, gandea, Scotty a spus, Daca dai call, s-a terminat, baby! McBride a spus, Dau call. joc masa! S-a intamplat ca Scotty sa aibe J 9 si a castigat mana. Presupunand ca nu dai niciodata fold in urmatoarele 00 de maini, care este valoarea asteptata a X = numarul de ori, in aceste 00 de maini, in care ai jucat masa, dupa ce toate cele cinci carti sunt afisate? 2

5 Variabile aleatoare discrete Distributia Bernoulli X Ber(p) cel mai simplu tip de variabila aleatoare discreta, variabila aleatoare Bernoulli modeleaza efectuarea unui experiment în care poate apare unul dintre cele doua rezultate posibile, numite succes, respectiv insucces. Exemplu: Aruncarea unei monede poate fi modelata printr-o variabila aleatoare Bernoulli (convenim spre exemplu ca obtinerea stemei este succes). Atribuind succesului valoarea cu probabilitatea p (0, ) si insuccesului valoarea 0 cu probabilitatea q = p reprezentam variabila aleatoare Bernoulli cu parametrul p (probabilitatea obtinerii succesului) sub forma: X : 0 p p Distributia uniforma X U(n) Variabila aleatoare uniforma reprezinta modelul matematic ce generalizeaza experimentul aruncarii unui zar (cazul n = 6) daca un experiment are n rezultate egal posibile notate {, 2,..., n}, atunci experimentul poate fi modelat printr-o variabila aleatoare uniforma pe multimea {, 2,..., n} si va fi de forma: X : 2... n n n... n Distributia binomiala X Bin(n, p) O variabila aleatoare cu distributie binomiala este modelul adecvat daca urmatoarele presupuneri sunt adevarate (avem un experiment binomial): fenomenul modelat este un sir de n repetari independente ale aceluiasi experiment exista doar doua posibile rezultate la fiecare repetare ( succes - insucces) probabilitatea p a unui succes success este aceeasi la fiecare repetare Daca aceste conditii sunt indeplinite atunci variabila aleatoare care contorizeaza numarul de succese in n incercari ale experimentului binomial se numeste variabila aleatoare binomiala: 0... k... n X : q n Cnpq n... Cnp k k q n k... p n 3

6 unde p and q = p sunt probabilitatile succesului, respectiv esecului la fiecare repetare. Distributia geometrica X Geo(p) o variabila aleatoare geometrica este modelul adecvat daca intr-un experiment binomial contorizam numarul de insuccese pana la primul succes. X : 0... k... p p( p)... p( p) k... Distributia hipergeometrica X Hip(N, M, n) consideram problema extragerii repetate dintr-o cutie ce contine N obiecte, din care M sunt defecte. daca extragerile se fac cu înlocuire (obiectul extras este pus înapoi în cutie inainte de extragerea urmatoare), atunci numarul de obiecte defecte extrase în n extrageri este o variabila aleatoare binomiala cu parametrii n si p = M N (probabilitatea extragerii unui obiect defect) daca extragerile se fac fara înlocuire, atunci probabilitatea extragerii unui obiect defect nu mai este aceeasi in cele n extrageri si deci în acest caz numarul de obiecte defecte extrase nu mai este o variabila aleatoare binomiala. = obtinem o variabila aleatoare având functia de probabilitate P (X = k) = { C k M Cn k N M CN n, daca k {0,, 2,..., n} 0, in rest se numeste distributie hipergeometrica cu parametrii M, N si n. Legea lui Poisson: P (X = k) = C k np k q n k λk k! e λ, for λ = np poate aproxima distributia binomiala in cazul in care probabilitatea p a succesului in fiecare repetare este mica si numarul de repetari n este mare. In practica de obicei p < 0, 05 si n 00 Distributia Poisson X P o(λ) este utilizata pentru a exprima probabilitatea unui numar dat de evenimente care apar intr-un interval fix de timp/spatiu, daca evenimentele apar cu o rata medie λ si sunt independente de timp. Distributia Poisson poate fi folosita si pentru evenimente din alte tipuri intervale: distanta, arie, volum. 4

7 deoarece repartitia Poisson se intalneste in cazul evenimentelor care se intampla rar (n mare, np = λ= constant, p mic), ea mai poarta denumirea de legea evenimentelor rare. X : 0... k... e λ λ! e λ λ... k k! e λ... Distributia negativ binomiala X N B(r, p) este adecvata atunci cand avem un experiment binomial in care obervam sirul repetarilor pana cand un numar fixat anterior de esecuri/sau succese r apar. atunci numarul de succese X (p este probabilitatea unui succes ) va avea distributia negativ binomiala (sau Pascal): X : 0... k... ( p) r C+r p( p) r... Ck+r k pk ( p) r... in unele cazuri dorim sa contorizam numarul de incercari necesare pentru a produce al r-lea succes. Notam acest numar cu X. P (X = k) = C r k pr ( p) k r, k = r, r +, r = 2,... Relatia de mai sus se citeste: al r-lea succes este... probabilitatea ca la a k-a incercare sa obtinem Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare pentru o variabila aleatoare discreta: X : x i valoarea asteptata sau valoarea medie, E(X) sau M(X) e definita ca: p i i I x = E(X) = M(X) = p i x i i I momeneles M k si momentele centrate m k de ordin k sunt definite ca: M k (X) = M(X k ) = p i x k i, i I m k (X) = M((X x) k ) = p i (x i x) k i I varianta sau dispersia e definita ca fiind: var(x) = D 2 (X) = p i (x i x) 2 i I 5

8 iar deviatia standard este: σ(x) = D 2 (X) pentru X Bin(n, p) = M(X) = np and D 2 (X) = np( p) pentru X Ber(p) = M(X) = p and D 2 (X) = p( p) pentru X Geo(p) = M(X) = p p and D62(X) = p 2 pentru X P o(λ) = M(X) = λ and D 2 (X) = λ pentru X NB(r, p) = M(X) = r p and D2 (X) = r( p) p 2 au loc proprietatile: M(X + ay ) = M(X) + am(y ) D 2 (ax + c) = a 2 D 2 (X) unde c este o variabila aleatoare constanta. daca X si Y sunt independente: M(XY ) = M(X)M(Y ) D 2 (X + ay ) = D 2 (X) + a 2 D 2 (Y ). Functii de variabile aleatoare densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Y = g(x) este: P Y (y) = P X (x) valoarea medie este: M[Y ] = x:g(x)=y x S X g(x)p X (x) unde S X este multimea valorilor (starilor) variabilei aleatoare X. Variabile aleatoare conditionate de un eveniment pentru un eveniment B, cu P (B) > 0, densitatea de probabilitate conditionata de B a lui X este: P X B (x) = { PX (x) P (B) 0, altfel, daca x B aici prin x B se intelege: x este o valoare a variabilei aleatoare X pentru care evenimentul B are loc. valoarea medie conditionata de B este: M[X B] = x B xp X B (x) 6

9 Probleme rezolvate Problema. La ultima mana din turneul 998 WSOP Main Event, cu o masa de , Scotty Nguyen a mers all-in. In timp ce oponentul sau, Kevin McBride, gandea, Scotty a spus, Daca dai call, s-a terminat, baby! McBride a spus, Dau call. joc masa! S-a intamplat ca Scotty sa aibe J 9 si a castigat mana. Presupunand ca nu dai niciodata fold in urmatoarele 00 de maini, care este valoarea asteptata a X = numarul de ori, in aceste 00 de maini, in care ai jucat masa, dupa ce toate cele cinci carti sunt afisate? Solutie: Problema 2. Trei tragatori trag la o tinta. Variabila aleatoare X care numara de cate ori este atinsa tinta are tabloul de distributie: X = p 2 4 p 24 a) Dupa ce aflati valoare lui p, calculati probabilitatea ca X sa ia o valoare mai mica sau egala cu 2. b) Aflati probabilitatea cu care fiecare tragator loveste tinta. Solutie: a) Suma tuturor probabilitatilor din tabloul de distributie trebuie sa fie, deci: p p = 6p2 + p 7 = 0 p = si apoi avem de calculat probabilitatea: P (X 2) = P (X > 2) = P (X = 3) = 24 = b) Fie p, p 2, p 3 probabilitatea cu care fiecare atinge tinta. Astfel, pentru p = : X = Dar: 4 4 = P (X = 0) = ( p ) ( p 2 ) ( p 3 ) (deoarece X = 0 inseamna: toti tragatorii au ratat tinta) = (p + p 2 + p 3 ) + p p 2 + p p 3 + p 2 p 3 p p 2 p 3 24 = P (X = ) = p ( p 2 ) ( p 3 ) + p 2 ( p ) ( p 3 ) + p 3 ( p ) ( p 2 ) (deoarece X = inseamna: un tragator a atins tinta si ceilalti au ratat) = p + p 2 + p 3 2 (p p 2 + p p 3 + p 2 p 3 ) + 3p p 2 p 3 7

10 4 = P (X = 2) = p p 2 ( p 3 ) + p p 3 ( p 2 ) + p 2 p 3 ( p ) = p p 2 + p p 3 + p 2 p 3 3p p 2 p 3 24 = P (X = 3) = p p 2 p 3. Se obtine astfel sistemul liniar p + p 2 + p 3 = 3 2 p p 2 + p p 3 + p 2 p 3 = 3 8 p p 2 p 3 = 24 care duce la ecuatia: cu radacinile 24x 3 26x 2 + 9x = 0 p = 2 ; p 2 = 3 ; p 3 = 4. Problema 3. Variabilele aleatoare independente X si Y au tabloul de distributie: X = 2 3, Y = , 0, 2 0, 7 0, 4 0, 5 0, Calculati: a) Tabloul de distributie a variabilei X + Y, b) Tabloul de distributie a variabilei X Y, c) Tabloul de distributie a variabilei X 2. Solutie: a) Tabloul de repartitie a lui X + Y este: X + Y : , 0, 04 0, 3 0, 39 0, 37 0, 07 Spre exemplu, cand X + Y = 6 gandim in felul urmator: P (X + Y = 6) = P (X = si Y = 5) + P (X = 2 si Y = 4) = P (X = ) P (Y = 5) + P (X = 2) P (Y = 4) (caci variabilele aleatoare sunt independente) = 0, 0, 5 + 0, 2 0, 4 = 0, , 08 = 0, 3 b) Tabloul de repartitie a lui X Y este: X Y : , 04 0, 05 0, 0 0, 08 0, 0, 3 0, 35 0, 07 8,

11 Spre exemplu cand X Y = 4: P (X Y = 4) = P (X = si Y = 4) = P (X = ) P (Y = 4) = 0, 0, 4 = 0, 04 din nou folosind independenta X si Y am putut calcula direct P (X = si Y = 4) = P (X = ) P (Y = 4). c) Pentru variabila aleatoare X 2 tabloul de repartitie este: X 2 = , 0, 2 0, 7 In general pentru o functie g tabloul de repartitie a lui Y := g(x) poate fi alcatuit folosind formula: P (Y = y) = P (X = x) x: g(x)=y adunand asadar toate probabilitatile P (X = x) pentru acele valori x cu proprietatea g(x) = y. In exemplul de mai sus functia g(x) = x 2 este injectiva pentru argumente pozitive si astfel suma din formula va contine exact un termen de fiecare data. De exemplu: P (Y = 4) = x: x 2 =4 P (X = x) = P (X = 2) = 0, 2 Problema 4. There are 3 traffic barriers along a street. The probability that a car which drives along that street finds any of these three barriers open is p = 0, 8. We suppose that any of these barriers work independently. Compute: a) The distribution series of the random variable which counts the number of barriers passed until the first closed barrier met. b) Find its cummulative distributionn function. c) Which is the expected number of barriers found open before the car has to stop in front of a closed one? Solution: a) Notam cu X variabila aleatoare cautat, care va avea tabloul de repartitie: X = 0 2 3, p 0 p p 2 p 3 unde p k = P (X = k), k = 0,, 2, 3. Prin modul in care am definit variabila aleatoare se obtine: p 0 = P (X = 0) = 0, 2 p = P (X = ) = 0, 8 0, 2 = 0, 6 9

12 Prin urmare: p 2 = P (X = 2) = 0, 8 0, 8 0, 2 = 0, 28 p 3 = P (X = 3) = 0, 8 0, 8 0, 8 = 0, 52 X = , 2 0, 6 0, 28 0, 52. b) Pentru x < 0 obtinem F (x) := P (X x) = 0 pentru ca in intervalul (, 0) nu exista valori ale lui X. Cand 0 x < se obtine: Cand < x 2 se obtine: Cand 2 < x 3 se obtine: F (x) = P (X x) = P (X = 0) = 0, 2. F (x) = P (X x) = P (X = 0) + P (X = ) = 0, 2 + 0, 6 = 0, 36. F (x) = P (X x) = P (X = 0) + P (X = ) + P (X = 2) = 0, 2 + 0, 6 + 0, 28 = 0, 488. In final, pentru x > 3 avem F (x) =. Functia de distributie a lui X este: 0, x < 0 0, 2, 0 x < F (x) = 0, 36, x < 2 0, 488, 2 x < 3, 3 x. Remarca: Uneori functia de distributie este definita ca F (x) := P (X < x), atunci rezultatul de mai sus arata putin diferit pentru ca va trebui sa analizam cazurile: k < x k +. c) Soferul se asteapta sa gaseasca 2 bariere deschise deoarece valoare asteptata (media) lui X este M(X) = 0 0, 2 + 0, , , Problema 5. Pe internet datele sunt transmise in pachete. Intr-un model simplist pentru traficul World Wide Web, numarul de pachete N necesare pentru a transmite o pagina web depinde de faptul ca pagina poate sa contina sau nu imagini. Daca pagina contine imagini (evenimentul I), atunci N este uniform distribuit intre si 50 pachete. Daca pagina nu are decat text (evenimentul T ), atunci N este uniform distribuit intre si 5 pachete. Presupunand ca o pagina are imagini cu o probabilitate 4, aflati: a) densitatea de probabilitate conditionata P N I (n) b) densitatea de probabilitate conditionata P N T (n) c) densitatea de probabilitate P N (n) d) densitatea de probabilitate conditionata P N N 0 (n) e) valoarea medie conditionata M[N N 0] 0

13 Solutie: a) Evenimentul I are o probabilitate de aparitie de 4 iar variabila aleatoare N este in acest caz uniform distribuita intre si 5 = P N I : b) Analog cazului anterior acum P N T este uniform distribuita intre si 50 deci: P N T : c) pentru a determina densitatea de probabilitate a lui N folosim formula probabilitatilor totale caci daca vom considera evenimentul N = n (adica sunt transmise n pachete pentru a transmite intreaga pagina) atunci acesta se poate realiza cand ambele ipoteze I, T au loc, deci P (N = n) = P N (n) = P (I) P N I (n) + P (T ) P N T (n) obtinem astfel: daca n 5 P N (n) = 200 daca 6 n 50 0, in rest caci P (I) = 4, P (T ) = 3 4 si P N T (n) = 0 pentru n 6. d) Intai determinam probabilitatea evenimentului N 0 (adica e nevoie de mai putin de 0 pachete pentru a transmite pagina): P (N 0) = P (N = ) + P (N = 2) +... P (N = 0) = = 4 5 Acum putem sa determinam tabloul de repartitie al variabilei aleatoare N N 0 (adica acea variabila care numara cate pachete sunt necesare pentru a transmite pagina daca e nevoie de cel mult 0 pachete). Pentru a determina acest tablou putem folosi formula: P X E (x) = { PX (x) P (E) 0, altfel, daca x E In aceasta formula prin x E intelegem valoarea x a variabilei aleatoare X este o valoare pentru care evenimentul are loc! Asadar in cazul nostru x {, 2,... 0} P N N 0 (n) = { PN (n) P (N 0), cand n 0 0, altfel caci daca stim ca e nevoie de cel mult 0 pachete variabila N N 0 va avea doar valorile, 2,..., 0.

14 Prin urmare: 3 60, cand n 5 P N N 0 (n) = 60, cand 6 n 0 0, altfel e) Valoarea medie ceruta este: M[N N 0] =

15 Probleme propuse Problema. Dintr-un lot de 00 de piese, dintre care o 0 sunt defecte, se alege la intamplare un esantion de 5 piese pentru un control de calitate. Construiti tabloul de repartitie a variabilei aleatoare X care contorizeaza piesele defecte continute in esantion. Problema 2. O masina intalneste 4 semafoare inteligente in calea sa. Fiecare va avea culoarea rosie sau verde cu probabilitatea 0.5. Afisati tabloul de repartitie a variabilei aleatoare care numara semafoarele depasite de aceasta masina inainte de prima sa oprire. Aflati functia de repartitie a acestei variabile aleatoare. Problema 3. Intr-un spital nasterile apar aleator cu o rata medie de.8 nasteri pe ora. Care este probabilitatea de a observa 4 nasteri intr-o anumita ora la acel spital? Care este probabilitatea de a observa intre 4 si 7 nasteri intr-o anumita ora? Care este probabilitatea de a observa cel putin o nastere intr-un interval de o ora fixat? Problema 4. It is known that 3% of the circuit boards from a production line are defective. If a random sample of 20 circuit boards is taken from this production line estimate the probability that the sample contains: i) Exactly 2 defective boards. ii) At least 2 defective boards. Problema 5. The Sixers and the Celtics play a best out of five playoff series. The series ends as soon as one of the teams has won three games. Assume that either team is equally likely to win any game independently of any other game played. Find (a) ThePMF PN (n) for the total number N of games played in the series; (b) The PMF PW(w) for the number W of Celtic wins in the series; (c) ThePMF PL (l) for the number L of Celtic losses in the series. Problema 6. An automatic line in a state of normal adjustment can produce a defective item with probability p. The readjustment of the line is made immediately after the first defective item has been produced. Find the average number of items produced between two readjustments of the line. Problema 7. Pentru doua variabile independente: X : si:

16 Y : calculati X + Y, 2X, M(X) si apoi aratati ca M(XY ) = M(X)M(Y ). Calculati D 2 (X + 2Y ) si P (2 < X + 2Y 5). Problema 8. Un student trebuie sa completeze un test grila consistand din doua probleme, cu raspunsuri unice. Prima problema are 3 raspunsuri posibile si a doua are 5. Studentul alege la intamplare cate un raspuns pentru fiecare problema. Gasiti numarul asteptat M(X) de raspunsuri corecte X ale studentului. Evaluati dispersia D 2 (X). Generalizati problema. Problema 9. Numarul de apeluri care sosesc intr-un interval de un minut la receptia unui hotel este o variabila Poisson de parametru λ = 3. (a) Aflati probabilitatea ca niciun apel sa soseasca intr-o anumita perioada de minut. (b) Gasiti probabilitatea ca receptia sa primeasca cel putin 3 apeluri intr-un interval anume de doua minute. (c) Care este numarul asteptat de apeluri intr-o perioada de minut? Problema 0. In urma testarii a doua dispozitive, A si B, se estimeaza probabilitatea ca acestea sa emita un zgomot nedorit, a carui intensitate este evaluata pe trei nivele: Nivel zgomot 2 3 Dispozitiv A Dispozitiv B Folosind acest tabel selectati dispozitivul mai bun. Justificati! 4 4 Problema. Notam prin X, timpul exprimat in minute intregi, pe care trebuie sa-l astepti dupa un autobuz care sosesete din 20 in 20 de minute. Presupunem ca autobuzul nu a sosit in primele 0 minute. Care este acum densitatea de probabilitate a timpului tau de asteptare? In cat timp este de asteptat ca autobuzul sa soseasca? Indicatie: pentru v.a X avem: { P X (x) = 20, x =, 2..., 20, 0, altfel si cautam o variabila aleatoare conditionata de evenimentul specificat in problema. Problema 2. Variabila aleatoare X reprezinta numarul de pagini transmise prin fax. Din experienta avem un model de probabilitate P X (x) pentru numarul de pagini transmise in fiecare fax. Compania de telefonie mobila iti ofera un nou plan tarifar pentru faxuri: 0.0 $ pentru prima pagina, 0.09 $ pentru a doua, etc., pana la 0.06 $ pentru a cincea. Pentru faxuri cu lungime cuprinsa intre 6 si 0 pagini, compania taxeaza cu 0.50 $ per fax. (Nu accepta faxuri mai lungi zece pagini.) Gasiti o functie Y = g(x) pentru tariful, exprimat in centi, perceput pentru transmiterea unui fax. 4

17 Problema 3. In the previous problem you would like a probability model P Y (y) for your phone bill under the new charging plan. Suppose the probability model for the number of pages X of a fax is: 0.5, if x =, 2, 3, 4 P X (x) = 0.0, if x = 5, 6, 7, 8 0, otherwise For the pricing plan given in problema 2, what is P Y (y) and expected value of Y, the cost of a fax? Problema 4. Select integrated circuits, test them in sequence until you find the first failure, and then stop. Let N be the number of tests. All tests are independent with probability of failure p = 0.. Consider the condition B = N 20. (a) Find the PMF P N (n). (b) Find P N B (n), the conditional PMF of N given that there have been 20 consecutive tests without a failure. (c) What is E[N B], the expected number of tests given that there have been 20 consecutive tests without a failure? Problema 5. Every day you consider going jogging. Before each mile, including the first, you will quit with probability q, independent of the number of miles you have already run. However, you are sufficiently decisive that you never run a fraction of a mile. Also, we say you have run a marathon whenever you run at least 26 miles. (a) Let M equal the number of miles that you run on an arbitrary day. What is P [M > 0]? Find the PMF P M (m). (b) Let r be the probability that you run a marathon on an arbitrary day. Find r. (c) Let J be the number of days in one year (not a leap year) in which you run a marathon. Find the PMF P J (j). This answer may be expressed in terms of r found in part (b). (d) Define K = M 26. Let A be the event that you have run a marathon. Find P K A (k). 5