Matematici speciale Variabile aleatoare discrete

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Matematici speciale Variabile aleatoare discrete"

Transcription

1 Matematici speciale Variabile aleatoare discrete Aprilie 208

2 ii

3 Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 9 Variabile aleatoare discrete Texas Holdem Poker: In Texas Hold em Poker jucatorii incearca sa gaseasca cea mai buna combinatie de 5 carti folosind celelalte doua carti din mana si cele cinci care se vor afisa pe masa. Pachetul are 52 de carti si sunt cate 3 de patru feluri diferite: All-in= inseamna ca jucatorul si-a pus toate chips-urile in pariu

4 Fold= e actul prin care renunti la a juca mana; jucatorii pot da fold atunci cand e randul lor si nu doresc sa mai continue. Raise=maresti miza pariului Call= dupa ce jucatorii primesc cartile fiecare pe rand are optiunea sa decida daca aleg fold, call sau raise; spunand call accepti sa pariezi suma care se cere deja in tura respectiva Joci masa= daca cea mai buna combinatie de 5 carti este cea afisata pe masa si jucatorul termina mana fara sa dea fold, spunem ca a jucat masa; sa joci masa nu e considerat un lucru bun in poker pentru ca nu ai reusit sa imbunatatesti combinatia de 5 carti deja existenta pe masa cu niciuna din cele doua carti ale tale; cand joci masa tot ce poti spera este sa-i egalezi pe oponentii tai; daca acestia reusesc sa foloseasca o carte din mana pentru a imbunatati combinatia ai peirdut. Problema deschisa: Pana cand a castigat un turneu WSOP in 2008, Erick Lindgren era deseori supranumit ca fiind cel mai mare jucator care nu a castigat vreodata un turneu WSOP. Inaintea victoriei sale el a participat la multe turnee WSOP si a terminat in top 0 de opt ori. Sa presupunem ca joci intr-un turneu pe saptamana. Sa presupunem ca rezultatele inregistrate la un turneu sunt independente de cele de la oricare altul si ca ai aceeasi probabilitate p de a castiga oricare dintre aceste turnee. Daca p = 0.0, cat este cel mai probabil sa trebuiasca sa astepti inainte de castiga primul turneu? Problema deschisa: In timpul episodului 2 din sezonul 5 al High Stakes Poker, Doyle Brunson a primit K K de doua ori si J J o data, in aceeasi jumatate de ora. Presupunem ca pereche mare inseamna 0-0, J-J, Q-Q, K-K, sau A-A. Fie X numarul de maini pe care le joci pana cand primesti o pereche mare, pentru a treia oara. Care este acest numar preconizat de maini? Problema deschisa: Multe cazinouri ofera premii pentru evenimente rare numite jackpot hands. Aceste jackpot hands These jackpot hands sunt definite diferit de fiecare dintre cazinouri in parte. Sa presupunem ca intr-un astfel de cazinou sunt definite in asa fel incat ele apar o data la 50, 000 de maini, in medie. Daca in cazinou se joaca aproximativ 0, 000 de maini pe zi, care este valoarea asteptata si deviatia standard a numarului de jackpot hands care apar intr-o perioada de a 7 zile? Problema deschisa: La ultima mana din turneul 998 WSOP Main Event, cu o masa de , Scotty Nguyen a mers all-in. In timp ce oponentul sau, Kevin McBride, gandea, Scotty a spus, Daca dai call, s-a terminat, baby! McBride a spus, Dau call. joc masa! S-a intamplat ca Scotty sa aibe J 9 si a castigat mana. Presupunand ca nu dai niciodata fold in urmatoarele 00 de maini, care este valoarea asteptata a X = numarul de ori, in aceste 00 de maini, in care ai jucat masa, dupa ce toate cele cinci carti sunt afisate? 2

5 Variabile aleatoare discrete Distributia Bernoulli X Ber(p) cel mai simplu tip de variabila aleatoare discreta, variabila aleatoare Bernoulli modeleaza efectuarea unui experiment în care poate apare unul dintre cele doua rezultate posibile, numite succes, respectiv insucces. Exemplu: Aruncarea unei monede poate fi modelata printr-o variabila aleatoare Bernoulli (convenim spre exemplu ca obtinerea stemei este succes). Atribuind succesului valoarea cu probabilitatea p (0, ) si insuccesului valoarea 0 cu probabilitatea q = p reprezentam variabila aleatoare Bernoulli cu parametrul p (probabilitatea obtinerii succesului) sub forma: X : 0 p p Distributia uniforma X U(n) Variabila aleatoare uniforma reprezinta modelul matematic ce generalizeaza experimentul aruncarii unui zar (cazul n = 6) daca un experiment are n rezultate egal posibile notate {, 2,..., n}, atunci experimentul poate fi modelat printr-o variabila aleatoare uniforma pe multimea {, 2,..., n} si va fi de forma: X : 2... n n n... n Distributia binomiala X Bin(n, p) O variabila aleatoare cu distributie binomiala este modelul adecvat daca urmatoarele presupuneri sunt adevarate (avem un experiment binomial): fenomenul modelat este un sir de n repetari independente ale aceluiasi experiment exista doar doua posibile rezultate la fiecare repetare ( succes - insucces) probabilitatea p a unui succes success este aceeasi la fiecare repetare Daca aceste conditii sunt indeplinite atunci variabila aleatoare care contorizeaza numarul de succese in n incercari ale experimentului binomial se numeste variabila aleatoare binomiala: 0... k... n X : q n Cnpq n... Cnp k k q n k... p n 3

6 unde p and q = p sunt probabilitatile succesului, respectiv esecului la fiecare repetare. Distributia geometrica X Geo(p) o variabila aleatoare geometrica este modelul adecvat daca intr-un experiment binomial contorizam numarul de insuccese pana la primul succes. X : 0... k... p p( p)... p( p) k... Distributia hipergeometrica X Hip(N, M, n) consideram problema extragerii repetate dintr-o cutie ce contine N obiecte, din care M sunt defecte. daca extragerile se fac cu înlocuire (obiectul extras este pus înapoi în cutie inainte de extragerea urmatoare), atunci numarul de obiecte defecte extrase în n extrageri este o variabila aleatoare binomiala cu parametrii n si p = M N (probabilitatea extragerii unui obiect defect) daca extragerile se fac fara înlocuire, atunci probabilitatea extragerii unui obiect defect nu mai este aceeasi in cele n extrageri si deci în acest caz numarul de obiecte defecte extrase nu mai este o variabila aleatoare binomiala. = obtinem o variabila aleatoare având functia de probabilitate P (X = k) = { C k M Cn k N M CN n, daca k {0,, 2,..., n} 0, in rest se numeste distributie hipergeometrica cu parametrii M, N si n. Legea lui Poisson: P (X = k) = C k np k q n k λk k! e λ, for λ = np poate aproxima distributia binomiala in cazul in care probabilitatea p a succesului in fiecare repetare este mica si numarul de repetari n este mare. In practica de obicei p < 0, 05 si n 00 Distributia Poisson X P o(λ) este utilizata pentru a exprima probabilitatea unui numar dat de evenimente care apar intr-un interval fix de timp/spatiu, daca evenimentele apar cu o rata medie λ si sunt independente de timp. Distributia Poisson poate fi folosita si pentru evenimente din alte tipuri intervale: distanta, arie, volum. 4

7 deoarece repartitia Poisson se intalneste in cazul evenimentelor care se intampla rar (n mare, np = λ= constant, p mic), ea mai poarta denumirea de legea evenimentelor rare. X : 0... k... e λ λ! e λ λ... k k! e λ... Distributia negativ binomiala X N B(r, p) este adecvata atunci cand avem un experiment binomial in care obervam sirul repetarilor pana cand un numar fixat anterior de esecuri/sau succese r apar. atunci numarul de succese X (p este probabilitatea unui succes ) va avea distributia negativ binomiala (sau Pascal): X : 0... k... ( p) r C+r p( p) r... Ck+r k pk ( p) r... in unele cazuri dorim sa contorizam numarul de incercari necesare pentru a produce al r-lea succes. Notam acest numar cu X. P (X = k) = C r k pr ( p) k r, k = r, r +, r = 2,... Relatia de mai sus se citeste: al r-lea succes este... probabilitatea ca la a k-a incercare sa obtinem Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare pentru o variabila aleatoare discreta: X : x i valoarea asteptata sau valoarea medie, E(X) sau M(X) e definita ca: p i i I x = E(X) = M(X) = p i x i i I momeneles M k si momentele centrate m k de ordin k sunt definite ca: M k (X) = M(X k ) = p i x k i, i I m k (X) = M((X x) k ) = p i (x i x) k i I varianta sau dispersia e definita ca fiind: var(x) = D 2 (X) = p i (x i x) 2 i I 5

8 iar deviatia standard este: σ(x) = D 2 (X) pentru X Bin(n, p) = M(X) = np and D 2 (X) = np( p) pentru X Ber(p) = M(X) = p and D 2 (X) = p( p) pentru X Geo(p) = M(X) = p p and D62(X) = p 2 pentru X P o(λ) = M(X) = λ and D 2 (X) = λ pentru X NB(r, p) = M(X) = r p and D2 (X) = r( p) p 2 au loc proprietatile: M(X + ay ) = M(X) + am(y ) D 2 (ax + c) = a 2 D 2 (X) unde c este o variabila aleatoare constanta. daca X si Y sunt independente: M(XY ) = M(X)M(Y ) D 2 (X + ay ) = D 2 (X) + a 2 D 2 (Y ). Functii de variabile aleatoare densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Y = g(x) este: P Y (y) = P X (x) valoarea medie este: M[Y ] = x:g(x)=y x S X g(x)p X (x) unde S X este multimea valorilor (starilor) variabilei aleatoare X. Variabile aleatoare conditionate de un eveniment pentru un eveniment B, cu P (B) > 0, densitatea de probabilitate conditionata de B a lui X este: P X B (x) = { PX (x) P (B) 0, altfel, daca x B aici prin x B se intelege: x este o valoare a variabilei aleatoare X pentru care evenimentul B are loc. valoarea medie conditionata de B este: M[X B] = x B xp X B (x) 6

9 Probleme rezolvate Problema. La ultima mana din turneul 998 WSOP Main Event, cu o masa de , Scotty Nguyen a mers all-in. In timp ce oponentul sau, Kevin McBride, gandea, Scotty a spus, Daca dai call, s-a terminat, baby! McBride a spus, Dau call. joc masa! S-a intamplat ca Scotty sa aibe J 9 si a castigat mana. Presupunand ca nu dai niciodata fold in urmatoarele 00 de maini, care este valoarea asteptata a X = numarul de ori, in aceste 00 de maini, in care ai jucat masa, dupa ce toate cele cinci carti sunt afisate? Solutie: Problema 2. Trei tragatori trag la o tinta. Variabila aleatoare X care numara de cate ori este atinsa tinta are tabloul de distributie: X = p 2 4 p 24 a) Dupa ce aflati valoare lui p, calculati probabilitatea ca X sa ia o valoare mai mica sau egala cu 2. b) Aflati probabilitatea cu care fiecare tragator loveste tinta. Solutie: a) Suma tuturor probabilitatilor din tabloul de distributie trebuie sa fie, deci: p p = 6p2 + p 7 = 0 p = si apoi avem de calculat probabilitatea: P (X 2) = P (X > 2) = P (X = 3) = 24 = b) Fie p, p 2, p 3 probabilitatea cu care fiecare atinge tinta. Astfel, pentru p = : X = Dar: 4 4 = P (X = 0) = ( p ) ( p 2 ) ( p 3 ) (deoarece X = 0 inseamna: toti tragatorii au ratat tinta) = (p + p 2 + p 3 ) + p p 2 + p p 3 + p 2 p 3 p p 2 p 3 24 = P (X = ) = p ( p 2 ) ( p 3 ) + p 2 ( p ) ( p 3 ) + p 3 ( p ) ( p 2 ) (deoarece X = inseamna: un tragator a atins tinta si ceilalti au ratat) = p + p 2 + p 3 2 (p p 2 + p p 3 + p 2 p 3 ) + 3p p 2 p 3 7

10 4 = P (X = 2) = p p 2 ( p 3 ) + p p 3 ( p 2 ) + p 2 p 3 ( p ) = p p 2 + p p 3 + p 2 p 3 3p p 2 p 3 24 = P (X = 3) = p p 2 p 3. Se obtine astfel sistemul liniar p + p 2 + p 3 = 3 2 p p 2 + p p 3 + p 2 p 3 = 3 8 p p 2 p 3 = 24 care duce la ecuatia: cu radacinile 24x 3 26x 2 + 9x = 0 p = 2 ; p 2 = 3 ; p 3 = 4. Problema 3. Variabilele aleatoare independente X si Y au tabloul de distributie: X = 2 3, Y = , 0, 2 0, 7 0, 4 0, 5 0, Calculati: a) Tabloul de distributie a variabilei X + Y, b) Tabloul de distributie a variabilei X Y, c) Tabloul de distributie a variabilei X 2. Solutie: a) Tabloul de repartitie a lui X + Y este: X + Y : , 0, 04 0, 3 0, 39 0, 37 0, 07 Spre exemplu, cand X + Y = 6 gandim in felul urmator: P (X + Y = 6) = P (X = si Y = 5) + P (X = 2 si Y = 4) = P (X = ) P (Y = 5) + P (X = 2) P (Y = 4) (caci variabilele aleatoare sunt independente) = 0, 0, 5 + 0, 2 0, 4 = 0, , 08 = 0, 3 b) Tabloul de repartitie a lui X Y este: X Y : , 04 0, 05 0, 0 0, 08 0, 0, 3 0, 35 0, 07 8,

11 Spre exemplu cand X Y = 4: P (X Y = 4) = P (X = si Y = 4) = P (X = ) P (Y = 4) = 0, 0, 4 = 0, 04 din nou folosind independenta X si Y am putut calcula direct P (X = si Y = 4) = P (X = ) P (Y = 4). c) Pentru variabila aleatoare X 2 tabloul de repartitie este: X 2 = , 0, 2 0, 7 In general pentru o functie g tabloul de repartitie a lui Y := g(x) poate fi alcatuit folosind formula: P (Y = y) = P (X = x) x: g(x)=y adunand asadar toate probabilitatile P (X = x) pentru acele valori x cu proprietatea g(x) = y. In exemplul de mai sus functia g(x) = x 2 este injectiva pentru argumente pozitive si astfel suma din formula va contine exact un termen de fiecare data. De exemplu: P (Y = 4) = x: x 2 =4 P (X = x) = P (X = 2) = 0, 2 Problema 4. There are 3 traffic barriers along a street. The probability that a car which drives along that street finds any of these three barriers open is p = 0, 8. We suppose that any of these barriers work independently. Compute: a) The distribution series of the random variable which counts the number of barriers passed until the first closed barrier met. b) Find its cummulative distributionn function. c) Which is the expected number of barriers found open before the car has to stop in front of a closed one? Solution: a) Notam cu X variabila aleatoare cautat, care va avea tabloul de repartitie: X = 0 2 3, p 0 p p 2 p 3 unde p k = P (X = k), k = 0,, 2, 3. Prin modul in care am definit variabila aleatoare se obtine: p 0 = P (X = 0) = 0, 2 p = P (X = ) = 0, 8 0, 2 = 0, 6 9

12 Prin urmare: p 2 = P (X = 2) = 0, 8 0, 8 0, 2 = 0, 28 p 3 = P (X = 3) = 0, 8 0, 8 0, 8 = 0, 52 X = , 2 0, 6 0, 28 0, 52. b) Pentru x < 0 obtinem F (x) := P (X x) = 0 pentru ca in intervalul (, 0) nu exista valori ale lui X. Cand 0 x < se obtine: Cand < x 2 se obtine: Cand 2 < x 3 se obtine: F (x) = P (X x) = P (X = 0) = 0, 2. F (x) = P (X x) = P (X = 0) + P (X = ) = 0, 2 + 0, 6 = 0, 36. F (x) = P (X x) = P (X = 0) + P (X = ) + P (X = 2) = 0, 2 + 0, 6 + 0, 28 = 0, 488. In final, pentru x > 3 avem F (x) =. Functia de distributie a lui X este: 0, x < 0 0, 2, 0 x < F (x) = 0, 36, x < 2 0, 488, 2 x < 3, 3 x. Remarca: Uneori functia de distributie este definita ca F (x) := P (X < x), atunci rezultatul de mai sus arata putin diferit pentru ca va trebui sa analizam cazurile: k < x k +. c) Soferul se asteapta sa gaseasca 2 bariere deschise deoarece valoare asteptata (media) lui X este M(X) = 0 0, 2 + 0, , , Problema 5. Pe internet datele sunt transmise in pachete. Intr-un model simplist pentru traficul World Wide Web, numarul de pachete N necesare pentru a transmite o pagina web depinde de faptul ca pagina poate sa contina sau nu imagini. Daca pagina contine imagini (evenimentul I), atunci N este uniform distribuit intre si 50 pachete. Daca pagina nu are decat text (evenimentul T ), atunci N este uniform distribuit intre si 5 pachete. Presupunand ca o pagina are imagini cu o probabilitate 4, aflati: a) densitatea de probabilitate conditionata P N I (n) b) densitatea de probabilitate conditionata P N T (n) c) densitatea de probabilitate P N (n) d) densitatea de probabilitate conditionata P N N 0 (n) e) valoarea medie conditionata M[N N 0] 0

13 Solutie: a) Evenimentul I are o probabilitate de aparitie de 4 iar variabila aleatoare N este in acest caz uniform distribuita intre si 5 = P N I : b) Analog cazului anterior acum P N T este uniform distribuita intre si 50 deci: P N T : c) pentru a determina densitatea de probabilitate a lui N folosim formula probabilitatilor totale caci daca vom considera evenimentul N = n (adica sunt transmise n pachete pentru a transmite intreaga pagina) atunci acesta se poate realiza cand ambele ipoteze I, T au loc, deci P (N = n) = P N (n) = P (I) P N I (n) + P (T ) P N T (n) obtinem astfel: daca n 5 P N (n) = 200 daca 6 n 50 0, in rest caci P (I) = 4, P (T ) = 3 4 si P N T (n) = 0 pentru n 6. d) Intai determinam probabilitatea evenimentului N 0 (adica e nevoie de mai putin de 0 pachete pentru a transmite pagina): P (N 0) = P (N = ) + P (N = 2) +... P (N = 0) = = 4 5 Acum putem sa determinam tabloul de repartitie al variabilei aleatoare N N 0 (adica acea variabila care numara cate pachete sunt necesare pentru a transmite pagina daca e nevoie de cel mult 0 pachete). Pentru a determina acest tablou putem folosi formula: P X E (x) = { PX (x) P (E) 0, altfel, daca x E In aceasta formula prin x E intelegem valoarea x a variabilei aleatoare X este o valoare pentru care evenimentul are loc! Asadar in cazul nostru x {, 2,... 0} P N N 0 (n) = { PN (n) P (N 0), cand n 0 0, altfel caci daca stim ca e nevoie de cel mult 0 pachete variabila N N 0 va avea doar valorile, 2,..., 0.

14 Prin urmare: 3 60, cand n 5 P N N 0 (n) = 60, cand 6 n 0 0, altfel e) Valoarea medie ceruta este: M[N N 0] =

15 Probleme propuse Problema. Dintr-un lot de 00 de piese, dintre care o 0 sunt defecte, se alege la intamplare un esantion de 5 piese pentru un control de calitate. Construiti tabloul de repartitie a variabilei aleatoare X care contorizeaza piesele defecte continute in esantion. Problema 2. O masina intalneste 4 semafoare inteligente in calea sa. Fiecare va avea culoarea rosie sau verde cu probabilitatea 0.5. Afisati tabloul de repartitie a variabilei aleatoare care numara semafoarele depasite de aceasta masina inainte de prima sa oprire. Aflati functia de repartitie a acestei variabile aleatoare. Problema 3. Intr-un spital nasterile apar aleator cu o rata medie de.8 nasteri pe ora. Care este probabilitatea de a observa 4 nasteri intr-o anumita ora la acel spital? Care este probabilitatea de a observa intre 4 si 7 nasteri intr-o anumita ora? Care este probabilitatea de a observa cel putin o nastere intr-un interval de o ora fixat? Problema 4. It is known that 3% of the circuit boards from a production line are defective. If a random sample of 20 circuit boards is taken from this production line estimate the probability that the sample contains: i) Exactly 2 defective boards. ii) At least 2 defective boards. Problema 5. The Sixers and the Celtics play a best out of five playoff series. The series ends as soon as one of the teams has won three games. Assume that either team is equally likely to win any game independently of any other game played. Find (a) ThePMF PN (n) for the total number N of games played in the series; (b) The PMF PW(w) for the number W of Celtic wins in the series; (c) ThePMF PL (l) for the number L of Celtic losses in the series. Problema 6. An automatic line in a state of normal adjustment can produce a defective item with probability p. The readjustment of the line is made immediately after the first defective item has been produced. Find the average number of items produced between two readjustments of the line. Problema 7. Pentru doua variabile independente: X : si:

16 Y : calculati X + Y, 2X, M(X) si apoi aratati ca M(XY ) = M(X)M(Y ). Calculati D 2 (X + 2Y ) si P (2 < X + 2Y 5). Problema 8. Un student trebuie sa completeze un test grila consistand din doua probleme, cu raspunsuri unice. Prima problema are 3 raspunsuri posibile si a doua are 5. Studentul alege la intamplare cate un raspuns pentru fiecare problema. Gasiti numarul asteptat M(X) de raspunsuri corecte X ale studentului. Evaluati dispersia D 2 (X). Generalizati problema. Problema 9. Numarul de apeluri care sosesc intr-un interval de un minut la receptia unui hotel este o variabila Poisson de parametru λ = 3. (a) Aflati probabilitatea ca niciun apel sa soseasca intr-o anumita perioada de minut. (b) Gasiti probabilitatea ca receptia sa primeasca cel putin 3 apeluri intr-un interval anume de doua minute. (c) Care este numarul asteptat de apeluri intr-o perioada de minut? Problema 0. In urma testarii a doua dispozitive, A si B, se estimeaza probabilitatea ca acestea sa emita un zgomot nedorit, a carui intensitate este evaluata pe trei nivele: Nivel zgomot 2 3 Dispozitiv A Dispozitiv B Folosind acest tabel selectati dispozitivul mai bun. Justificati! 4 4 Problema. Notam prin X, timpul exprimat in minute intregi, pe care trebuie sa-l astepti dupa un autobuz care sosesete din 20 in 20 de minute. Presupunem ca autobuzul nu a sosit in primele 0 minute. Care este acum densitatea de probabilitate a timpului tau de asteptare? In cat timp este de asteptat ca autobuzul sa soseasca? Indicatie: pentru v.a X avem: { P X (x) = 20, x =, 2..., 20, 0, altfel si cautam o variabila aleatoare conditionata de evenimentul specificat in problema. Problema 2. Variabila aleatoare X reprezinta numarul de pagini transmise prin fax. Din experienta avem un model de probabilitate P X (x) pentru numarul de pagini transmise in fiecare fax. Compania de telefonie mobila iti ofera un nou plan tarifar pentru faxuri: 0.0 $ pentru prima pagina, 0.09 $ pentru a doua, etc., pana la 0.06 $ pentru a cincea. Pentru faxuri cu lungime cuprinsa intre 6 si 0 pagini, compania taxeaza cu 0.50 $ per fax. (Nu accepta faxuri mai lungi zece pagini.) Gasiti o functie Y = g(x) pentru tariful, exprimat in centi, perceput pentru transmiterea unui fax. 4

17 Problema 3. In the previous problem you would like a probability model P Y (y) for your phone bill under the new charging plan. Suppose the probability model for the number of pages X of a fax is: 0.5, if x =, 2, 3, 4 P X (x) = 0.0, if x = 5, 6, 7, 8 0, otherwise For the pricing plan given in problema 2, what is P Y (y) and expected value of Y, the cost of a fax? Problema 4. Select integrated circuits, test them in sequence until you find the first failure, and then stop. Let N be the number of tests. All tests are independent with probability of failure p = 0.. Consider the condition B = N 20. (a) Find the PMF P N (n). (b) Find P N B (n), the conditional PMF of N given that there have been 20 consecutive tests without a failure. (c) What is E[N B], the expected number of tests given that there have been 20 consecutive tests without a failure? Problema 5. Every day you consider going jogging. Before each mile, including the first, you will quit with probability q, independent of the number of miles you have already run. However, you are sufficiently decisive that you never run a fraction of a mile. Also, we say you have run a marathon whenever you run at least 26 miles. (a) Let M equal the number of miles that you run on an arbitrary day. What is P [M > 0]? Find the PMF P M (m). (b) Let r be the probability that you run a marathon on an arbitrary day. Find r. (c) Let J be the number of days in one year (not a leap year) in which you run a marathon. Find the PMF P J (j). This answer may be expressed in terms of r found in part (b). (d) Define K = M 26. Let A be the event that you have run a marathon. Find P K A (k). 5

Special Mathematics Discrete random variables

Special Mathematics Discrete random variables Special Mathematics Discrete random variables April 208 ii Expose yourself to as much randomness as possible. Ben Casnocha 6 Discrete random variables Texas Holdem Poker: In Hold em Poker players make

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Curs 6. Discrete Event Simulation

Curs 6. Discrete Event Simulation Curs 6 Discrete Event Simulation C6 ~ 12.04.2017 1/43 In discrete-event simulation, the operation of a system is represented as a chronological sequence of events. Each event occurs at an instant in time

More information

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila

Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Modelarea traficului in cadrul retelelor de radiotelefonie mobila Alocarea resurselor radio in cadrul retelelor GSM/GPRS este importanta intrucat acestea sunt proiectate sa transmita trafic mixt: oce ate:

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Siguranţa structurilor la acţiuni seismice şi climatice

Siguranţa structurilor la acţiuni seismice şi climatice Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti Facultatea de Construcţii Civile, Industriale şi Agricole Catedra de Constructii de Beton Armat Grinda b.a., 5 ani expunere, VQ,an =,6 6. Indice de fiabilitate,

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor

Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor Matematici speciale Probleme clasice in teoria probabilitatilor Aprilie 2018 ii Regula 50 50 90: de fiecare data cand ai o sansa de 50 50 sa intelegi ceva corect exista o probabilitate de 90% sa intelegi

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a

Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

"IIITO-TEC 'NIKI" & EQUIPME

IIITO-TEC 'NIKI & EQUIPME LIGHTING "IIITO-TEC 'NIKI" & EQUIPME T FOR CITIES 6 MAKEDONOMAHON STR.,ZIPCaDE:67009,KALO ORI,THESSALONIKI, GREECE TEL / FAX: 0030 2310761824/751626,8 mall: hito@otenet.qi' Webslte:www.hlto..techkl.gr

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit

Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit De la mare la mic 2 Universul ca o prajitura Tava: spatiu-timp Ingrediente:

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Metode clasice. Camelia Chira.

Metode clasice. Camelia Chira. Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea Babeş-Bolyai Erika Nagy Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale cu aplicaţii Rezumatul

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Conţinut Tipurile abstracte LLin, LLinOrd, Stiva, Coada Liste liniare Implementarea cu tablouri Implementarea cu liste simplu înlănțuite Liste liniare ordonate Stive Cozi

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Agricultural Engineering

Agricultural Engineering THE DETERMINATION OF QUALITY CHARACTERISTICS FOR THE WORKING PROCESS OF INDENTED CYLINDER SEPARATORS AS FUNCTIONS OF PROCESS PARAMETERS OF THESE EQUIPMENTS / DETERMINAREA CARACTERISTICILOR CALITATIVE ALE

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

ARTIFICIAL INTELLIGENCE

ARTIFICIAL INTELLIGENCE BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY Faculty of Computer Science and Mathematics ARTIFICIAL INTELLIGENCE Intelligent systems Rule-based systems uncertainty 2 Topics A. Short introduction in Artificial Intelligence

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1

CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 CURS 11: Programare dinamică - II - Algoritmica - Curs 12 1 Structura Ce este programarea dinamică? Aplicație: problema discretă a rucsacului Funcții de memorie (memoizare) Aplicație: înmulțirea optimală

More information

Decision Trees Some exercises

Decision Trees Some exercises Decision Trees Some exercises 0. . Exemplifying how to compute information gains and how to work with decision stumps CMU, 03 fall, W. Cohen E. Xing, Sample questions, pr. 4 . Timmy wants to know how to

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

Probability Theory and Statistics (EE/TE 3341) Homework 3 Solutions

Probability Theory and Statistics (EE/TE 3341) Homework 3 Solutions Probability Theory and Statistics (EE/TE 3341) Homework 3 Solutions Yates and Goodman 3e Solution Set: 3.2.1, 3.2.3, 3.2.10, 3.2.11, 3.3.1, 3.3.3, 3.3.10, 3.3.18, 3.4.3, and 3.4.4 Problem 3.2.1 Solution

More information

VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK

VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK DOWNLOAD EBOOK : VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE Click link bellow and free register to download ebook: VINDECAREA BOLILOR

More information

Testarea ipotezelor statistice

Testarea ipotezelor statistice Testarea ipotezelor statistice Formularea de ipoteze statistice este una din cele mai importante aspecte ale cercetarii stiintifice. O ipoteza noua trebuie verificata! Pentru verificarea unor ipoteze statistice

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport

Probleme extremale pentru grafuri si retele de transport Revista Inormatica Economica nr 4 (4)/00 9 Proleme extremale pentru grauri si retele de transport Drd Rodica MIRONENCO A variety o prolems can e constructed using Ford-Fulkerson s maximum-low minimumcut

More information

Manual Limba Germana

Manual Limba Germana Manual Limba Germana If you are searched for the book Manual limba germana in pdf format, in that case you come on to loyal site. We furnish utter variation of this ebook in txt, doc, epub, DjVu, PDF formats.

More information

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01 Modelare si control predictiv - proiect - Controlul predictiv bazat pe modele intrare-stare-iesire Asist. ing. Constantin Florin Caruntu 23:01 Cuprins Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste

More information

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil

More information

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu 32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3

More information

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste

More information

Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine

Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine 1. Obiective In aceasta lucrare se va implementa clasificatorul SVM liniar si se va studia mecanismele de clasificare bazate

More information

Arhitectura sistemelor de calcul

Arhitectura sistemelor de calcul Arhitectura sistemelor de calcul - Prelegerea 1 - Evoluția sistemelor de calcul Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Istoricul evolutiei calculatoarelor

More information

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune

More information

Invatare supervizata. Modele liniare. Ruxandra Stoean

Invatare supervizata. Modele liniare. Ruxandra Stoean Invatare supervizata. Modele liniare Ruxandra Stoean rstoean@inf.ucv.ro http://inf.ucv.ro/~rstoean Invatare supervizata Concept Date de intrare cu iesiri puse la dispozitie De invatat modul de asociere

More information

LIGHTNING MVP System

LIGHTNING MVP System LIGHTNING MVP System Lightning MVP System Control (HACCP+SSOP) Swab-uri pentru lichide si pentru Suprafete Accesorii ph Temperatura Condutivitate Monitorizare ATP Prin Bioluminescenta Cel mai complet si

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES

STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES STRUCTURAL PARASITIC CAPACITANCE REDUCTION TECHNIQUES IN PLANAR MAGNETIC INTEGRATED STRUCTURES Lecturer Eng.

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

THE OPERATIONAL FIABILITY IN THERMAL SYSTEMS THE WEIBULL DISTRIBUTION MODEL

THE OPERATIONAL FIABILITY IN THERMAL SYSTEMS THE WEIBULL DISTRIBUTION MODEL BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIX (LXIII), Fasc. 5, 2013 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ THE OPERATIONAL FIABILITY IN THERMAL

More information

FIŞA DISCIPLINEI seminar/laborator 2 curs 5 din care: Total ore din planul de învăţământ

FIŞA DISCIPLINEI seminar/laborator 2 curs 5 din care: Total ore din planul de învăţământ FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul

More information

Prelegerea 7. Sistemul de criptare AES. 7.1 Istoric

Prelegerea 7. Sistemul de criptare AES. 7.1 Istoric Prelegerea 7 Sistemul de criptare AES 7.1 Istoric La sfârşitul anilor 90 se decide înlocuirea sistemului de criptare DES. Motivele sunt multiple, dar menţionăm numai două: În iulie 1998 sistemul DES pe

More information