Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Transcription

1 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice B o numim rădăcină a lui A. Cazul matricilor reale de ordinul 3 este studiat în [4]. Exemplul euclidian Reamintim n-grupul ortogonal: O(n = {A M n (R : A t A = I n }; este grupul de invarianţă al produsului scalar euclidian <, > (prin urmare şi al normei euclidiene asociate. Dacă A O(n atunci (det A t (det A = deti n = 1 implică det A = ±1. Deci grupul ortogonal se descompune: O(n = SO(n O (n unde SO(n conţine matricile din O(n având deta = 1 iar O (n pe cele cu deta = 1; reprezintă reuniunea disjunctă a mulţimilor. SO(n este subgrup în O(n numit n-grupul ortogonal special. O (n nu este parte stabilă la înmulţirea matricilor: A 1, A O (n implică A 1 A SO(n. Alte detalii despre O(n aflaţi în [6]. Deoarece M 1 (R = R avem O(1 = {±1} cu SO(1 = {1} şi O (1 = { 1}; observăm că O(1 conţine rădăcinile unităţii! Ştim şi O(: ( ( cos t sin t cos t sin t R(t = SO(, S(t = O (. sin t cos t sin t cos t Avem imediat că: ( ( S(t cos t sin t cos t sin t = = I sin t cos t sin t cos t deci S(t este rădăcină a matricii unitate I. O rădăcină a matricii unitate o numim structură aproape produs; [7]. Semnificaţia geometrică: R(t este matricea rotaţiei de unghi t în sens trigonometric (i.e antiorar în jurul originii iar S(t este matricea simetriei axiale în raport cu dreapta d t/ =dreapta din plan ce trece prin origine şi face unghiul orientat t/ cu axa Ox; avem S(t S(t 1 = A(t t 1 S(t 1 S(t. Pentru detalii consultaţi [6, p. 18]. Revenim la cazul general al matricii A. Reamintim că A posedă doi invarianţi: T ra := a + d, det A := ad bc. Proprietăţi: i T r : M (R R este operator liniar: T r(αa 1 + βa = αt ra 1 + βt ra, ii det : M (R R este funcţie multiplicativă: det(a 1 A = det A 1 det A, iii Ecuaţia caracteristică a lui A: A T ra A + det A I = O.

2 Multiplicativitatea determinantului produce: CONDIŢIE NECESARĂ: B : B = A det A 0. Deci în continuare vom presupune det A 0. Exemplul euclidian revăzut 1: T rs(t = 0, dets(t = 1 ce spune că S(t nu admite, la rândul ei, rădăcină. O rădăcină de ordinul 4 a matricii unitate se numeşte structură de tip electromagnetică conform [8, p. 3807]. Avem şi relaţii de legătură între invarianţii lui A şi B: T ra = (T rb det B, det A = (det B (0 Demonstraţie E suficient de arătat prima identitate. Scriem Ecuaţia caracteristică a lui B: A T rb B + det B I = O (1 ce dă: Ridicăm această relaţie la pătrat: A = T rb B det B I. ( sau încă: Din (1 avem şi: ce o înlocuim în paranteza pătrată din (3: A = (T rb A T rb det B B + (det B I A (T rb A + det B[T rb B] (det B I = O. (3 T rb B = A + det B I (4 A (T rb A + det B[A + det B I ] (det B I = A [(T rb det B] A + (det B I = O şi comparând cu Ecuaţia caracteristică pentru A avem concluzia. Relaţia (4 este fundamentală pentru determinarea lui B şi avem: Cazul I: T rb = 0 implică: A = det B I. Cazul II T rb 0 implică: B = 1 T rb [A + det B I ]. (5 Din (0 1 avem: (T rb = T ra + det A (6 şi deci dacă A ai avem: II1 T ra + det A 0 implică: A nu are rădăcini, II T ra + det A > 0 dar T ra det A 0 implică: A are două rădăcini: 1 B ± = ± T ra + det A [A + det AI ] (7 II3 T ra det A > 0 (ceea ce implică T ra + det A > 0 implică: A are patru rădăcini: 1 B ± (ε = ± T ra + ε det A [A + ε det AI ], ε = ±1. (8 Exemplul euclidian revăzut Pentru A(t avem: T rr(t = cos t, det R(t = 1, T rr(t+ det R(t = 4 cos t, T rr(t det R(t = (cos t 1 0. (9

3 Prin urmare avem cazul II şi deci R(t are două rădăcini: B ± (t = ± 1 ( cos t + 1 sin t cos t sin t cos t + 1 = ±R ( t. (10 Relaţia (10 poate fi considerată analogul matriceal al bine-cunoscutei relaţii Moivre din algebra lui C: (cos t + i sin t = cos(t + i sin(t. (11 Legea de grup a lui SO( este: R(t 1 R(t = R(t 1 + t = R(t R(t 1 ceea ce dă: R(t = R(t şi faptul că SO( este grup izomorf cu grupul multiplicativ (S 1, al numerelor complexe unitare. Inspiraţi de ecuaţia caracterististică a lui A introducem polinomul caracteristic al lui A, anume p A R[X]: p A (X = X T ra X + det A. (1 Ştim că eventualele rădăcini reale ale lui p A se numesc valori proprii ale lui A, utile în studiul posibilei diagonalizări a lui A. Astfel, dacă valorile proprii există şi sunt distincte, să le notăm λ 1 < λ, atunci A admite forma diagonală: A = S 1 diag(λ 1, λ S (13 cu S GL(, R=-grupul liniar general=grupul matricilor reale de ordinul, inevrsabile. Evident, condiţia de existenţă şi inegalitate pentru λ 1, se realizează atunci când discriminantul (p A este strict pozitiv: (p A := (T ra 4 det A. (14 Relaţia de legătură între (p A şi (p B este dată de: Propoziţie Fie B rădăcină pătrată a lui A. Atunci: (p A = (T rb (p B. (15 Prin urmare, dacă T rb 0 atunci A are valori proprii distincte dacă şi numai dacă B are valori proprii distincte. Demonstraţie Relaţia (15 este consecinţă imediată a relaţiilor (0. Corolar Fie matricea A având det A > 0 şi admiţând rădăcina B cu T rb 0. Presupunem că A este diagonalizabilă cu S GL(, R şi valori proprii distincte λ 1 < λ. Atunci 0 < λ 1 < λ şi B este diagonalizabilă cu aceeaşi matrice S având valorile proprii { λ 1, λ } sau { λ 1, λ } sau { λ 1, λ } sau { λ 1, λ }. Echivalent, suntem în cazul II3 cu: 1 B ± (ε = ± λ + ε [A + ε λ 1 λ I ] = S diag(± λ 1, ± λ S 1. (16 λ 1 Demonstraţie Deoarece det A > 0 avem că λ 1 şi λ au acelaşi semn. Să presupunem λ 1 < λ < 0. Din (6 avem: (T rb = λ 1 + λ ± λ 1 λ > 0. Deci se poate doar cazul cu + i.e. λ 1 λ + λ 1 λ > 0 imposibil datorită inegalităţii mediilor. Exemplul de aur Se ştie că proporţia (sau numărul de aur este soluţia pozitivă φ = ecuaţiei, [7]: x x 1 = 0. ( a Soluţia negativă este φ 1 = 1 5. Fie matricea: ( 3 A =, T ra = 6, det A = 5. (18 3 A este diagonalizabilă (fiind simetrică cu 0 < λ 1 = 1 < λ = 5. Avem: T ra + ε det A = 6 + ε 5 = ( 5 + ε (19

4 Suntem în cazul II3 şi spre exemplu: B ± (1 = ± ( = ± 1 ( φ φ φ ( φ φ 1 = ± φ 1 φ. (0 Prin analogie cu problema studiată aici, putem numi matricile A ce satisfac A A I n = O n ca fiind structuri aproape aur. În [7] am pus stabilit o corespondenţă între structurile aproape aur şi cele aproape produs. Revenind la cazul I dat de A = ai şi prezentăm soluţia din [3, p. 491]. Avem, indiferent de semnul lui a o infinitate de rădăcini: ( c s B ± (c, s := ±, c R, s R. (1 c a c s Dacă a = 0 se mai adaugă familia infinită de structuri aproape tangente: ( 0 0 B ± (u := ±, u R. ( u 0 Dacă a > 0 adaugăm familia infinită: ( ± a 0 B ± (u := u a ( ± a 0, B ± := 0 ± a. (3 Exemplul euclidian revăzut 3 Pentru a = 1 familia B + (c, s devine: ( c s B(c, s = c 1 c s (4 ceea ce dă: B(cos t, sin t = S(t. (5 Am reobţinut deci matricile din O (. Considerăm un triunghi dreptunghic cu catetele x, y şi ipotenuza z; rezultă: S(t = 1 ( x y. (6 z y x În cazul în care (x, y, z (N 3 spunem că (x, y, z este un triplet pitagoreic; acest exemplu al structurilor aproape produs date de triplete pitagoreice apare pe pagina Web [1]. În [5] am dat o metodă de a obţine matrici A M 3 (R ce transformă un triplet pitagoreic tot într-un triplet pitagoreic. Problemă deschisă Matricile A ce păstrează tripletele pitagoreice admit rădăcini? Revenim la Corolarul dat: o matrice simetrică A cu valori proprii distince şi strict pozitive este pozitiv definită, a se vedea []. Prin urmare, A defineşte un nou produs scalar pe R n : Dacă A admite rădăcina B avem: < x, ȳ > A :=< x, Aȳ >. (7 < x, ȳ > A :=< x, B ȳ >=< B t x, Bȳ >. (8 Dacă şi B este simetrică, fapt ce se întâmplă pentru n =, atunci avem: < x, ȳ > A :=< B x, Bȳ > (9

5 şi deci: x A = B x. (30 Prin urmare, pentru vectorii nenuli x, ȳ R n unghiul ϕ( x, ȳ dintre ei este în raport cu <, > A dat de: cos A ϕ( x, ȳ = cos ϕ(b x, Bȳ. (31 Exemplul de aur generalizat Matricea A M (R o numim bi-simetrică dacă are expresis: ( a b A =. (3 b a Avem det A = a b şi pentru a exista rădăcini presupunem a > b. Suntem în cazul II3 şi rezultă: B ± (ε = ± 1 ( a + b + ε a b a + b ε a b (33 a + b ε a b a + b + ε a b ceea ce spune că şi orice rădăcină a sa este de asemenea bi-simetrică. Reciproca are loc: dacă B este bi-simetrică atunci şi B este bi-simetrică; se verifică imediat prin calcul. Exemplul hiperbolic Considerăm: ( cosh t sinh t A(t := sinh t cosh t. (34 Este o matrice bi-simetrică cu a > b şi cu formula (33 obţinem: ( cosh t B ± (1 = ± sinh t sinh t cosh t ( sinh t, B ± ( 1 = ± cosh t cosh t sinh t Exemplul Fibonacci În [9, p. 4] este introdusă Q-matricea Fibonacci: ( 1 1 Q = 1 0. (35 (36 ce are ca puteri naturale: Q n = Datorită exemplului de aur considerăm matricea: Cu expresia (33 avem rădăcinile: Q ± (n, ε = ± 1 Q(n = ( Fn+1 F n. (37 F n F n 1 ( Fn+1 F n. (38 F n F n+1 ( Fn+ + ε F n Fn+ ε Fn+ F n ε F n Fn+ + ε. (39 F n Exemplul aproape complex O rădăcină a matricii I se numeşte structură aproape complexă. Conform (1 avem expresia lor: ( s c B ± (s, c := ±, s R, c R. (40 s Avem cazul particular: 1 s c ( sinh t cosh t B ± (sinh t, cosh t := B(t = ± cosh t sinh t. (41

6 References [1] root of a matrix [] pozitiv definit%c4%83 [3] N. Anghel, Square roots of real matrices, Gaz. Mat. Ser. B, 118(013, no. 11, [4] N. Anghel, Square roots of real 3x3 matrices vs. quartic polynomials with real zeros, An. Ştiinţ. Univ. Ovidius Constanţa, Ser. Mat., 5(017, no., in press. [5] M. Crasmareanu, A new method to obtain Pythagorean triple preserving matrices, Missouri J. Math. Sci., 14(00, No. 3, MR (003h:15041, Zbl [6] M. Crasmareanu, Grupul ortogonal, 007, Material pentru perfecţionarea profesorilor, mcrasm/depozit/perfect Desen.pdf. [7] M. Crasmareanu; Cristina-Elena Hreţcanu, Golden differential geometry, Chaos, Solitons & Fractals, 38(008, No. 5, MR 45653(009k:53059 [8] E. Reyes; V. Cruceanu; P. M. Gadea, Structures of electromagnetic type on vector bundles, J. Phys. A, Math. Gen., 3(1999, No. 0, Zbl [9] A. Stakhov; S. Aranson, The golden non-euclidean geometry. Hilberts fourth problem, golden dynamical systems, and the fine-structure constant, With the assistance of Scott Olsen, Series on Analysis, Applications and Computation 7. Hackensack, NJ: World Scientific, 017. Zbl