array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

Transcription

1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste liniare cautare binara aspectul dinamic arbori AVL

2 Problema sortarii Forma 1 Intrare: n, (R 0,..., R n-1 ) cu cheile k 0,..., k n-1 Iesire: (R 0,..., R n-1 )astfelincit (R 0,..., R n-1 )esteo permutarea (R 0,..., R n-1 ) si R 0.k 0... R n-1.k n-1 Forma 2 Intrare: n, (v 0,..., v n-1 ) Iesire: (w 0,..., w n-1 )astfelincit (w 0,..., w n-1 )esteo permutarea (v 0,..., v n-1 ), si w 0... w n-1 structura de date array a[0..n-1] a[0] = v 0,..., a[n-1] = v n-1

3 Bubble sort I idee: ( i) 0 i < n-1 a[i] a[i+1] algoritm procedure bubblesort (a, n) begin ultim n-1 while ultim > 0 do ntemp ultim 1 ultim 0 for i 0 to ntemp do if a[i] > a[i+1] then swap(a[i], a[i+1]) ultim i end

4 Bubble sort II exemplu analiza cazulcelmainefavorabil a[0] > a[1] >... > a[n-1] T bublesort (n) = O(n 2 )

5 Sortare prin insertie directa I idee presupunem a[0..i-1] sortat insereaza a[i] astfel incit a[0..i] devine sortat algoritm procedure insertsort(a, n) begin for i 1 to n-1 do j i 1 temp a[i] while ((j 0) and (a[j] > temp)) do a[j+1] a[j] j j 1 if (a[j+1] temp) then a[j+1] temp end

6 Sortare prin insertie directa II exemplu analiza cazulcelmainefavorabil a[0] > a[1] >... > a[n-1] T insertsort (n) = O(n 2 )

7 Sortare prin selectie ideea de baza pasul curent: selecteaza un element si-l duce pe pozitia sa finala din tabloul sortat repeta pasul curent pana cnd toate elementele ajung pe locurile finale

8 Sortare prin selectie naiva idee ( i ) 0 i < n a[i] = max{a[0],,a[i]} algoritm procedure naivsort(a, n) begin for i n-1 downto 0 do imax i for j i-1 downto 0 do if (a[j] > a[imax]) then imax j if (i imax) then swap(a[i], a[imax]) end complexitatea timp toate cazurile: T naivsort (n) = Θ(n 2 )

9 "Heap sort" (sortare prin selectie sistematica) etapa I organizeaza tabloul ca un max-heap initial tablou satisface proprietatea maxheap incepand cu n/2 introduce in max-heap elementele de pe pozitiile n/2-1, n/2-1,, 1, 0 etapa II selecteaza elementul maxim si-l duce la locul lui prin interschimbare cu ultimul micsoreaza cu 1 si apoi reface max-heapul repeta pasii de mai sus pana cand toate elementele ajung pe locul lor

10 Operatia de introducere in heap al t-lea procedure insereazaaltlea(a, n, t) begin j t heap false while ((2*j+1 < n) and not heap) do k 2*j+1 if ((k < n-1) and (a[k] < a[k+1])) then k k+1 if (a[j] < a[k]) then swap(a[j], a[k]) j k else heap true end

11 "Heap sort" (sortare prin selectie sistematica) procedure heapsort(a, n) begin // construieste maxheap-ul for t (n-1)/2 downto 0 do insereazaaltlea(a, n, t) // elimina r n-1 while (r > 0) do swap(a[0], a[r]) insereazaaltlea(a, r, 0) r r-1 end

12 "Heap sort" - complexitate formarea heap-ului (pp. n = 2 k 1 ) k 1 i= 0 2( k i 1)2 i = 2 k + 1 2( k + 1) eliminare din heap si refacere heap k 1 i= 0 2i 2 i = ( k 2)2 k complexitate algoritm de sortare T ( n) = 2nlogn 2n = heapsort O( nlogn)

13 Timpul de executie empiric Intel Pentium III 1.00 Ghz n bubblesort insertsort naivsort heapsort

14 Paradigma divide-et-impera P(n): problema de dimensiune n baza daca n n 0 atunci rezolva P prin metode elementare divide-et-impera divide P in a probleme P 1 (n 1 ),..., P a (n a ) cu n i n/b, b > 1 rezolva P 1 (n 1 ),..., P a (n a ) in aceeasi maniera si obtine solutiile S 1,..., S a asambleaza S 1,..., S a pentru a obtine solutia S a problemei P

15 Paradigma divide-et-impera: algoritm procedure DivideEtImpera(P, n, S) begin if (n <= n0) then determina S prin metode elementare else imparte P in P1,..., Pa DivideEtImpera(P1, n1, S1)... DivideEtImpera(Pa, na, Sa) Asambleaza(S1,..., Sa, S) end

16 Sortare prin interclasare (Merge sort) generalizare: a[p..q] baza: p q divide-et-impera divide: m = [(p + q)/2] subprobleme: a[p..m], a[m+1..q] asamblare: interclaseaza subsecventele sortate a[p..m] si a[m+1..q] initial memoreaza rezultatul interclasarii in temp copie din temp[0..p+q-1] in a[p..q] complexitate: timp : T(n) = O(n log n) (T(n) = 2T(n/2)+n) spatiu suplimentar: O(n)

17 Interclasarea a doua secvente sortate problema: date a[0] a[1] a[m-1], b[0] b[1] b[n-1], sa se construiasca c[0] c[1] c[m+n-1] a.i. ( k)(( i)c[k]=a[i]) ( j)c[k]=b[j]) solutia initial: i 0, j 0, k 0 pasul curent: daca a[i] b[j] atunci c[k] a[i], i i+1 daca a[i] > b[j] atunci c[k] b[j], j j+1 k k+1 conditia de terminare: i > m-1 sau j > n-1 daca e cazul, copie elementele din tabloul neterminat

18 Sortare rapida (Quick sort) generalizare: a[p..q] baza: p q divide-et-impera divide: determina k intre p si q prin interschimbari a.i. dupa determinarea lui k avem: p i k a[i] a[k] k < j q a[k] a[j] x x x p k q subprobleme: a[p..k-1], a[k+1..q] asamblare: nu exista

19 Quick sort: partitionare initial: x a[p] (se poate alege x arbitrar din a[p..q]) i p+1 ; j q pasul curent: daca a[i] x atunci i i+1 daca a[j] x atunci j j-1 daca a[i] > x > a[j] si i < j atunci swap(a[i], a[j]) i i+1 j j-1 terminare: conditia i > j operatii k i-1 swap(a[p], a[k])

20 Cautare in liste liniare cautare binara aspectul dinamic arbori AVL

21 Problema cautarii aspectul static U multime univers S U operatia de cautare: Instanta: a U Intrebare: a S? aspectul dinamic operatia de inserare Intrare: x U, S Iesire: S {x} operatia de stergere Intrare: x U, S Iesire: S {x}

22 Cautare in liste liniare - complexitate Tip de date Implementare Cautare Inserare Stergere Lista liniara Tablouri O(n) O(1) O(n) Liste inlantuite O(n) O(1) O(1) Lista liniara ordonata Tablouri Liste inlantuite O(log n) O(n) O(n) O(n) O(n) O(1)

23 Cautare binara aspect static - context multimea univers este total ordonata: (U, ) structura de data utilizata: array s[0..n-1] s[0]<... < s[n-1]

24 Cautare binara aspect static - algoritm function Poz(s, n, a) begin p 0; q n-1 m [(p+q)/2] while (s[m]!= a && p < q) do if (a < s[m]) then q m-1 else p m+1 m [(p+q)/2] if (s[m] = a) then return m else return -1; end

25 Arborele binar asociat cautarii binare T(p,q) m T(p,m-1) T(m+1,q) T = T(0,n-1) n =

26 Cautare binara: aspect dinamic arbore binar de cautare arbore binar cu proprietatea ca pentru orice nod v, valorile memorate in subarborele la stinga lui v < valoarea din v < valorile memorate in subarborele la dreapta lui v.

27 Cautare binara: aspect dinamic - cautare function Poz(t, a) begin p t while (p!= NULL && p->val!= a) do if (a < p->val) then p p->stg else p p->drp return p end

28 Cautare binara: aspect dinamic - inserare procedure insarbbincautare(t, x) begin if (t = NULL) then t (x) /*(x) e arborele cu 1 nod */ else p t while (p!= NULL) do predp p if (x < p->val) then p p->stg else if (x > p->val)then p p->drp else p NULL if (predp->val!= x) then if (x < predp->val) then adauga x ca fiu stinga a lui predp else adauga x ca fiu dreapta a lui predp end

29 Cautare binara: aspect dinamic - eliminare se cauta pentru x in arborele t; daca-l gaseste se disting cazurile: cazul 1: nodul p care memoreaza x nu are fii cazul 2: nodul p care memoreaza x are un singur fiu cazul 3: nodul p care memoreaza x are ambii fii determinanodulq care memoreaza cea mai mare valoare y mai mica decit x (coboara din p la stinga si apoi coboara la dreapta cit se poate) interschimba valorile din p si q sterge q ca in cazul 1 sau 2

30 Cautare binara: aspect dinamic - eliminare cazul 1 sau 2 procedure elimcaz1sau2(t, predp, p) begin if (p = t) then t devine vid sau unicul fiu al lui t devine radacina else if (p->stg = NULL) then inlocuieste in predp pe p cu p->drp else inlocuieste in predp pe p cu p->stg end

31 Cautare binara: aspect dinamic - eliminare procedure elimarbbincautare(t, x) begin if (t!= NULL) then p t while (p!= NULL && p->val!= x) do predp p if (x < p->val) then p p->stg else p p->drp if (p!= NULL) if (p->stg = NULL p->drp = NULL) then elimcaz1sau2(t, predp, p) else q p->stg; predq p while (q->drp!= NULL) predq q; q q->drp p->val q->val elimcaz1sau2(t, predq, q) end

32 Degenerarea cautarii binare in cautare liniara 20 elimina(10) 20 elimina(0) 20 elimina(50) insereaza(35) 20 insereaza(32)

33 Arbori AVL un arbore binar de cautare t este un arbore AVL-echilibrat daca pentru orice virf v, h(v stg) h(v drp) 1 Lema t AVL-echilibrat h(t) = Θ(log n).

34 Arbori AVL Teorema Clasa arborilor AVL-echilibrati este O(log n) stabila. algoritmul de inserare nodurile au memorate si factorii de echilibrare ( { 1, 0, 1}) se memoreaza drumul de la radacina la nodul adaugat intr-o stiva (O(log n)) se parcurge drumul memorat in stiva in sens invers si se reechilibeaza nodurile dezichilibrate cu una dintre operatiile: rotatie stinga/dreapta simpla/dubla (O(log n)).

35 Rotatii y Rotatie dreapta simpla x x C A y A B B C A x y z Rotatie dreapta dubla D x y z B C A B C D