1 Generarea suprafeţelor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "1 Generarea suprafeţelor"

Transcription

1 Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor CAPITOLUL 7 MIŞCĂRI ALE UNEI CURBE In acest Capitol analizăm mişcarea unei curbe parametrizate, în spaţiu, adăugând la parametrul ce descrie curba un al doilea parametru de evoluţie. Acest studiu este similar cu a considera o suprafaţa şi a analiza curbele de coordonate după formule de tip Frenet. Atât cazul curbelor de torsiune constantă, cât şi cel al curbelor de curbură constantă, conduc la EDP sine-gordon de compatibilizare. Alte probleme tratate sunt: generarea suprafeţelor, curentul după vectorul tangent, curentul după vectorul normal (curentul descreşterii celei mai rapide a lungimii unei curbe) şi curentul dupa vectorul binormal. Asemenea probleme au aplicaţii directe în ştiinta şi inginerie, fiind legate de fenomene de evoluţie. Generarea suprafeţelor Pentru a înţelege ideea de mişcare a unei curbe, începem cu suprafeţele generate de drepte sau de cercuri. Intr-adevăr, cele mai simple moduri de a genera o suprafaţă sunt: mişcarea unei drepte sau rotaţia unei curbe în jurul unei axe. O suprafaţă generată se descrie de regulă în limbajul vectorilor liberi sau în limbajul cartezian implicit.. Suprafeţe riglate O suprafaţă descrisă prin funcţia vectorială (vector de poziţie) r(u, v) = α(u) + v β(u), u I, v R se numeşte suprafaţă riglată. O asemenea suprafaţa este generată prin mişcarea unei drepte. Dinamic ea apare ca soluţia problemei v r(u, v) = β(u), r(u, v) v= = α(u). Dreapta u = c se numeşte generatoare. Curba α se numeşte curbă directoare. 55

2 56 Mişcări ale unei curbe Dacă β(u) este un vector constant nenul (reprezintă o directie), atunci suprafaţa riglată se numeşte suprafaţă cilindrică. In acest caz dreapta u = c evoluează prin paralelism şi se sprijină pe curba directoare. Daca α(u) este un vector constant (reprezintă un punct), atunci suprafaţa riglată se numeste suprafaţă conică. In acest caz dreapta u = c evoluează trecând printr-un punct fix numit vârf şi se sprijină pe o altă curbă directoare..2 Suprafeţe de rotaţie O suprafaţă care poate fi generată prin rotaţia unei curbe C în jurul unei drepte fixe D se numeşte suprafaţă de rotaţie. Curba C se numeşte generatoare, iar dreapta D se numeşte axă de rotaţie. Un câmp vectorial pe R 3 de forma X(x) = Ax, unde A este o matrice antisimetrică, se numeşte câmp Killing. Dacă a = (a, a 2, a 3 ) şi r = (x, x 2, x 3 ), atunci a r este un câmp vectorial Killing. Reciproc, orice câmp Killing pe R 3 poate fi scris în forma a r. Teoremă O suprafaţă de rotaţie este o suprafaţă de câmp a unui camp vectorial Killing de forma X(x) = Ax. Demonstraţie Fie X(x) = (X (x), X 2 (x), X 3 (x)) un câmp vectorial de clasă C. Mulţimile de nivel constant ale unei funcţii f : R 3 R de clasă C 2, care satisface ecuaţia cu derivate parţiale (EDP ) X (x) f x (x) + X2 (x) f x 2 (x) + X3 (x) f (x) =, x3 se numesc suprafeţe de câmp. Sistemul caracteristic asociat acestei EDP este dx X (x) = dx2 X 2 (x) = dx3 X 3 (x). Daca g(x) si h(x) sunt două integrale prime ale acestui sistem, atunci soluţia generală a EDP este f = Φ(h, g), unde Φ este o funcţie de clasă C. Fie X(x) = Ax un câmp vectorial Killing pe R 3. Deoarece matricea A este antisimetrică, orbitele câmpului sunt descrise de ecuaţiile carteziene implicite x 2 = c, Ax 2 = c 2. Rezultă ca funcţia f(x) = Φ( x 2, Ax 2 ), unde Φ este o funcţie arbitrară de clasă C, este soluţia generală a EDP ( f(x), Ax) =. De aceea suprafeţele f(x) = c sunt suprafeţe de rotaţie. Reciproc, dacă avem o suprafaţă de rotaţie de axă fixată prin vectorul a, atunci a r este un câmp Killing tangent la suprafaţă.

3 Sisteme Dinamice şi Geometrie Diferenţială via MAPLE 57 2 Evoluţia unei curbe în spaţiu Pornim de la o curbă reprezentată prin vectorul de poziţie β : J R 3, β = β(s), de clasă C 3. Presupunem că ea are viteză unitate β =, adică parametrul ce descrie curba este abscisa curbilinie s. Ataşăm curbura k >, torsiunea τ şi reperul mobil ortonormat { T, N, B}, numit reperul Frenet, unde este câmpul tangent unitar, N este câmpul normal unitar şi B este câmpul binormal unitar. De-a lungul acestei curbe au loc formulele Frenet, = k N, N = k T + τ B, B = τ N, unde simbolul înseamnă derivata în raport cu parametrul s. O evoluţie în timp a curbei parametrizate β se obţine introducând timpul t ca al doilea parametru. Mai precis, considerăm extensia (variaţia) r = r(s, t), r(s, ) = β(s), s J, t [, ε). Acum formulele Frenet ale curbei s r(s, t) se transcriu () s T = k N, s N = k T + τ B, s B = τ N. Analog, evoluţiei temporale t r(s, t) îi ataşăm reperul Frenet ortonormat { T, N, B} ce satisface sistemul de ecuaţii cu derivate parţiale (2) t T = a N + b B, t N = a T + c B, t B = b T c N. Sistemul de EDP () + (2) trebuie să fie complet integrabil, adică Rezultă condiţiile (CIC) 2 st = 2 ts. a s = k t + bτ, b s = kc τa, c s = τ t kb. Relaţiile (CIC) implică faptul că implicit am acceptat o curbă β inextensibilă (lungimea curbei iniţiale = lungimea curbei deformate). 2. Cazul curbelor inextensibile de torsiune constantă Relaţiile (CIC) implică (a 2 + b 2 + c 2 ) s = 2(ak t + cτ t ).

4 58 Mişcări ale unei curbe Presupunem τ = constant. In particular pentru a =, τ t =, găsim b 2 + c 2 = d 2 (t) sau b = d(t) sin σ, c = d(t) cos σ. Cu acestea relaţiile (CIC) se reduc la σ st = d(t)τ(s) sin σ, unde k = σ s. Punând τ = τ = ρ şi d = ρ, găsim ecuaţia sine-gordon (3) σ st = sin σ. ρ2 Cu acestea, EDP ()+(2) devin N = N = t s σ s σ s ρ ρ ρ sin σ ρ cos σ ρ sin σ ρ cos σ N Semnificaţia geometrică este următoarea: o curbă de torsiune constantă asociată ecuaţiei sine-gordon descrie o suprafaţă pseudo-sferică (de curbură K = < ) şi la fiecare moment t curba este o curbă asimptotică a acestei ρ 2 suprafeţe. Observaţie. Fie K curbura Gauss a unei suprafeţe. Prototipul suprafeţei după curbura lui Gauss: () pentru K = este sfera, (2) pentru K = este planul, (3) pentru K = este pseudosfera. N. 2.2 Cazul curbelor inextensibile de curbură constantă Presupunem k = constant. Adăugăm c =. Relaţiile (CIC) implică a = ρ cos σ, b = ρ sin σ, k = ρ, τ = σ s, unde σ este o soluţie a ecuaţiei sine-gordon (3). In acest caz, EDP ()+(2) se reduc la ρ N = ρ σ s N σ s N = t s ρ cos σ ρ sin σ ρ cos σ ρ sin σ O asemenea curbă nu mai generează o suprafaţa pseudo-sferică. N.

5 Sisteme Dinamice şi Geometrie Diferenţială via MAPLE 59 3 Mişcarea curbei după vectorul tangent Pornim cu o curbă spaţială β : I R 3 de clasă C 3, cu câmpul tangent unitar T, câmpul normal unitar N, câmpul binormal unitar N, reperul mobil ortonormat Frenet { T, N, B}, curbura k > şi torsiunea τ. Pe de alta parte reamintim că dacă s este abscisa curbilinie a curbei β(s) = r(s, ), atunci k(s) N(s) = β (s) = ss r(s, ). Evoluţia curbei în timp se descrie cu extensia r = r(s, t), r(s, ) = β(s), s I, t [, ε). Acceptăm că această evoluţie satisface EDP t r(s, t) = T (s), r(s, ) = β(s) (mişcare dupa vectorul tangent al curbei). Rezultă suprafaţa riglată r(s, t) = β(s) + t T (s), t >, care se numeşte suprafaţa tangentă a curbei β. Definiţia generală a curentului tangent este (EDP ) t r(s, t) = T (s, t), r(s, ) = β(s). 4 Mişcarea curbei după vectorul normal Pentru simplificare, pornim cu o curbă plană reprezentată de vectorul de poziţie α : I R 2 de clasă C 2, cu câmpul tangent unitar T, câmpul normal unitar N, reperul mobil ortonormat Frenet { T, N} şi curbura k. Evoluţia ei în timp se descrie cu extensia r = r(u, t), r(u, ) = α(u), u I, t [, ε). Acceptăm ca această evoluţie satisface (EDP ) t r(u, t) = k(u, t) N(u, t), r(u, ) = α(u) (mişcare pe direcţia normalei). Pe de altă parte reamintim că dacă s este abscisa curbilinie a curbei α(u) = r(u, ), atunci (s) = (x (s), y (s)), N(s) = ( y (s), x (s)), k(s) N(s) = α (s) = ss r(s, ). Să arătăm că evoluţia precedentă este de fapt un curent care scurtează curbele.

6 6 Mişcări ale unei curbe Lemă Fie funcţionala lungime l(t) = variaţie arbitrară a curbei α(u) = r(u, ) care satisface cu V normalizat prin condiţia r t (u, t) = V (u, t), V (, t) =, V (L, t) =, L r u (u, t) du, unde r(u, t) este o V 2 ds =, unde L = l(). Atunci rata de descreştere dl dt a lungimii este maximală dacă V este coliniar cu k N. Demonstraţie Mai întâi, calculăm derivata t r u = t < r u, r u > 2 = r u < r u, t r u >= r u < r u, u t r > Rezultă =< r u, u V r u >=< r u, s V >. dl dt = t r u du = L < r u, s V > r u ds = L < s r, s V > ds =< s r, V L > L < ss r, V L > ds = < kn, V > ds ( ) ( L k 2 2 L ds V 2 ds cu egalitate dacă şi numai dacă vectorii sunt coliniari. Exemplu (cercul care se strânge) Fie cercul α(u) = (cos u, sin u) scufundat în suprafaţa r(u, t) = R(t)(cos u, sin u). In acest caz N = R r, k = R şi ecuaţia de evoluţie se reduce la dr dt = R. Rezultă R = (r2 2t) 2 şi r(u, t) = (r 2 2t) 2 (cos u, sin u). Cercul tinde la un punct când t 2 r2. 4. Existenţa soluţiei EDP ce descrie mişcarea pe normală Mişcarea pe normală se reduce la o ecuaţie cu derivate parţiale. Folosim teorema de existenţa şi unicitate a ecuaţiilor parabolice, ca să arătăm că ecuaţia (EDP) are soluţii pentru t suficient de mic. Pornim cu α(u) = (x(u), y(u)) de clasă C 2, trecem la extensia ) 2 r(u, t) = (x(u, t), y(u, t)) r(u, ) = α(u), u I, t [, ε),

7 Sisteme Dinamice şi Geometrie Diferenţială via MAPLE 6 şi transcriem (EDP) în forma ( ) ( x = y (x 2 t u + yu) 2 2 y 2 u x u y u x u y u Acest sistem ar putea fi parabolic dacă matricea ( ) ( yu ( ) yu y x u x u = 2 u x u y u x 2 u ) ( ) xuu. y uu x u y u x 2 u ) ar fi pozitiv definită. Evident ea nu este aşa deoarece este degenerată. De fapt caracterul parabolic al acestui sistem de EDP-uri este ascuns de parametrizarea săracă a soluţiei. Presupunem că ştim o soluţie r(u, t) = (x(u, t), y(u, t)) şi notăm cu φ : I [, ε) I o familie de difeomorfisme de la curba α la ea însăşi, indexate după t. Introducem compunerea q(u, t) = r(φ(u, t), t) = ( x(u, t), ȳ(u, t)), care este de fapt o reparametrizare. Atunci Definiţia = q t (u, t) = t r(φ(u, t), t) + r u t φ(u, t) = kn + r u V ( ) yu ( ) ( ) ( x (x 2 u + yu) 2 2 y x u x uu xu u + u y uu y u împreună cu alegerea V = t φ(u, t) = V (φ(u, t), t), ( (x 2 u + yu) 2 2 x u y u ) ( x uu y uu ) ) V. ne conduc la un sistem tare parabolic. Pentru a dovedi acest lucru, prima dată calculăm ( ) x ȳ t {( ) ( ) yu ( ) xu ( ) } ( ) x = (x 2 u + yu) 2 2 y x u x u + x u y u y uu u u y uu ( ) ( ) xuu = x 2 u + yu 2. y uu Apoi exprimăm derivatele x u, x uu, y u, y uu în funcţie de x u, x uu, ȳ u, ȳ uu, utilizând derivarea funcţiilor compuse. Obţinem un sistem de EDP tare parabolic deoarece matricea care înmulţeşte vectorul ( x uu, ȳ uu ) este pozitiv definită.

8 62 Mişcări ale unei curbe Prin teorema de existenţa şi unicitate de la un sistem de difuzie (ecuaţia căldurii), exista o soluţie ( x, ȳ) pe intervalul temporal [, ε) şi această soluţie este unică. Cu ajutorul lui ( x, ȳ) construim pe V şi apoi avem soluţia φ(u, t). Introducem r(u, t) = q(φ (u, t), t) şi arătăm că acest vector satisface ecuaţia (EDP). In acest mod, deşi sistemul (EDP) nu este tare parabolic, prin reparametrizarea precedentă el are o soluţie pe intervalul [, ε). Marginea ε se poate estima ca ε = sup{τ r(u, t) exista si este neteda pentru t [, τ)}. Concluzionăm prin Teoremă Dacă imersia α(u) este netedă pentru u I, atunci problema (EDP) are o soluţie netedă r(u, t). 5 Mişcarea curbei după vectorul binormal Considerăm o curba spaţială inextensibilă β : I R 3 de clasă C 3 având curbura k > şi torsiunea τ, constante. Câmpul tangent unitar T, câmpul normal unitar N şi câmpul binormal unitar N determină reperul mobil ortonormat Frenet { T, N, B}. O evoluţie a curbei în timp se descrie cu extensia r = r(s, t), r(s, ) = β(s), s I, t [, ε). Ecuaţia curentului binormal poate fi concepută ca t r = s r ss r. Condiţia de parametrizare prin lungimea arcului s r 2 = este compatibilă cu ecuaţia precedentă deoarece t s r 2 = 2( s r, st r)) = 2( s r, s r sss r) =. In particular, curbele închise care evoluează după această regulă au toate aceeaşi lungime. In termeni geometrici, se foloseşte şi ecuaţia echivalentă (EDP ) t r(s, t) = k(s, t) B(s, t), r(s, ) = β(s) (mişcare dupa vectorul binormal). Se poate arăta ca această evoluţie conduce la o EDP solitonică ce incorporează EDP-urile de tip Dim şi Camassa-Holm.

9 Sisteme Dinamice şi Geometrie Diferenţială via MAPLE 63 6 Evoluţia curbelor plane implicite Fie C = f () o curbă implicită, unde f : R 2 R este o funcţie netedă şi este valoare regulată a funcţiei f, adică câmpul vectorial normal f nu se anulează pe curbă. Curba implicită C = M face parte dintre mulţimile de nivel constant ale funcţiei f, adică M c : f(x, y) = c. Curbura lui C are expresia k(x, y) = f xxfy 2 2f xy f x f y + f yy fx 2. (fx 2 + fy 2 ) 3 2 Să presupunem că x = x(s), y = y(s), s I R este o parametrizare a curbei C, adica f(x(s), y(s)) =, s I. Evoluţia ei în timp C(t) (omotopie) este descrisă prin ecuaţia C(t) : F (x(s, t), y(s, t), t) =, C() = C, adica F (x, y, ) = f(x, y), (x, y) D R 2. Notând r = (x(s, t), y(s, t)), prin derivare în raport cu t obţinem relaţia sau explicit F r t + F t = F x x t + F y y t + F t =. Dacă acceptăm evoluţia după direcţia câmpului vectorial X, adică t r = α X, atunci găsim EDP F t = α( F, X), cu necunoscuta F, fixată prin condiţia iniţială. Fie n = F F versorul normal la curba C. Dacă acceptăm evoluţia după vectorul normal, t r = β n, atunci găsim F t = β F. Pentru cea mai rapidă deformare se ia β = k şi deci ajungem la EDP sau F t = F xxf 2 y 2F xy F x F y + F yy F 2 x F 2 x + F 2 y ( ) F F t = F div, F cu necunoscuta F. O altă problemă este deformarea curbei plane C : f(x) =, x = (x, x 2 ) printr-o transformare infinitesimală. Fie sistemul diferenţial ẋ(t) = X(x(t)) pe

10 64 Mişcări ale unei curbe U R 2. O soluţie α = α(t), α() = x, t ( ϵ, ϵ) generează un difeomorfism local T t : U R 2 R 2, T t (x) = Φ(t, x), t I. Acest difeomorfism este soluţie a ecuaţiei diferenţiale operatoriale dt t dt = X T t, T = id, şi se numeşte curent local pe R 2 generat de câmpul vectorial X (grup local cu un parametru de difeomorfisme). Aproximarea liniară x = x + t X(x) a lui T t (x) se numeşte transformare infinitesimală generată de X. Aceasta este local o funcţie inversabilă de tipul φ t : R 2 R 2 indexată după t. Rezultă F = f φ t. Bibliografie [] QU Chang-Zheng, LI Yan-Yan, Higher-Dimensional Integrable Systems Arising from Motions of Curves on S 2 (R) and S 3 (R), Commun. Theor. Phys., Beijing, China, 5, 4 (28), [2] R. L. Jerrard, D. Smets, On the motion of a curve by its binormal curvature, arxiv: v[math.DG], 26 Sep. 2. [3] P. J. Olver, G. Sapiro, A. Tannenbaum, Invariant geometric evolutions of surfaces and volumetric smoothing, Manuscript, April 5, 994. [4] C. Rogers, W. K. Schief, Backlund and Darboux Transformations, Geometry and Modern Applications in Soliton Theory, Cambridge University Press, 22. [5] Nicholas Sheridan, Hamiltons Ricci Flow, Honours Thesis, The University of Melbourne, Department of Mathematics and Statistics, November 26. [6] C. Udrişte, Geometric Dynamics, Mathematics and Its Applications, 53, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2. [7] C. Udrişte, L. Matei, Lagrange-Hamilton Theories (in Romanian), Monographs and Textbooks 8, Geometry Balkan Press, Bucharest, 28. [8] E. T. Whittaker, A Treatise on The Analytical Dynamics of Particles & Rigid Bodies, Cambridge University Press, 989.

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay

Curs de Geometrie. Andrei-Dan Halanay Curs de Geometrie Andrei-Dan Halanay Cuprins 1 Introducere. Curbe în plan şi spaţiu 3 1.1 Introducere.................................... 3 1.2 Curbe. Noţiuni propedeutice şi exemple....................

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON

ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE

INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific

More information

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE

PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load

Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial

More information

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams

Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Iacob Borş 1, Tudor Milchiş

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

TEZĂ DE ABILITARE. Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene

TEZĂ DE ABILITARE. Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene ACADEMIA ROMÂNĂ SCOSAAR TEZĂ DE ABILITARE Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene Dorel Fetcu Domeniul fundamental Matematică și științe ale naturii Domeniul

More information

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA. Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN PROBLEME DE OPTIMIZARE OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea)

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Matematici speciale Integrarea functiilor complexe Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste

More information

2. Finite Impulse Response Filters (FIR)

2. Finite Impulse Response Filters (FIR) ..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.

Definiţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b. Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i

More information

TEORIA RELATIVITĂŢII. Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan

TEORIA RELATIVITĂŢII. Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan Lecţii de TEORIA RELATIVITĂŢII Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan 2000 2 Cuprins PREFAŢĂ 7 I Elemente de teoria relativităţii restrânse 9 1 Universul spaţio-temporal Minkowski 11 1.1 Introducere............................

More information

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1

array a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1 Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste

More information

GAUGE THEORY OF GRAVITATION ON A SPACE-TIME WITH TORSION

GAUGE THEORY OF GRAVITATION ON A SPACE-TIME WITH TORSION GAUGE THEORY OF GRAVITATION ON A SPACE-TIME WITH TORSION GHEORGHE ZET, CRISTIAN-DAN OPRISAN, and SIMONA BABETI Abstract. A solution of the gravitational field equations within the teleparallel gravity

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

Perturbări stochastice ale unor structuri sub-riemanniene

Perturbări stochastice ale unor structuri sub-riemanniene UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE ŞTIINŢE APLICATE DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ - INFORMATICĂ Rezumat Teză de Doctorat Perturbări stochastice ale unor structuri sub-riemanniene Autor:

More information

STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT

STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT THE STUDY OF GEOMETRY

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 U.P.B. ci. Bull., eries A, Vol. 74, Iss. 3, 212 IN 1223-727 A CALAR OPERATOR Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 În această lucrare studiem o clasă nouă de operatori numiţi -scalari. Aceştia apar în mod natural,

More information

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa

Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social

More information

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune

More information

Laborator 3. Backtracking iterativ

Laborator 3. Backtracking iterativ Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza

More information

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)

Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF

More information

Marian Ioan Munteanu. Recent developments on magnetic curves in (pseudo-) Riemannian manifolds. Habilitation thesis

Marian Ioan Munteanu. Recent developments on magnetic curves in (pseudo-) Riemannian manifolds. Habilitation thesis Marian Ioan Munteanu Recent developments on magnetic curves in (pseudo-) Riemannian manifolds Habilitation thesis Iaşi, 2014 Contents Rezumat 3 Résumé 7 1 Magnetic trajectories in (pseudo)-riemannian manifolds

More information

SOME INVARIANTS CONNECTED WITH EULER-LAGRANGE EQUATIONS

SOME INVARIANTS CONNECTED WITH EULER-LAGRANGE EQUATIONS U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 71, Iss.2, 29 ISSN: 1223-727 SOME INVARIANTS CONNECTED WITH EULER-LAGRANGE EQUATIONS Irena ČOMIĆ Lucrarea descrie mai multe tipuri de omogenitate definite în spaţiul Osc

More information

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal

METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Metode clasice. Camelia Chira.

Metode clasice. Camelia Chira. Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

The first order quasi-linear PDEs

The first order quasi-linear PDEs Chapter 2 The first order quasi-linear PDEs The first order quasi-linear PDEs have the following general form: F (x, u, Du) = 0, (2.1) where x = (x 1, x 2,, x 3 ) R n, u = u(x), Du is the gradient of u.

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

HABILITATION THESIS. Qualitative analysis of some differential equations

HABILITATION THESIS. Qualitative analysis of some differential equations Institute of Mathematics,,Simion Stoilow of the Romanian Academy HABILITATION THESIS Qualitative analysis of some differential equations Ioan Liviu Ignat Specialization: Mathematics Bucharest, 212 To

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

Contents. 1. Introduction

Contents. 1. Introduction FUNDAMENTAL THEOREM OF THE LOCAL THEORY OF CURVES KAIXIN WANG Abstract. In this expository paper, we present the fundamental theorem of the local theory of curves along with a detailed proof. We first

More information

Arhivele Electronice Los Alamos arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000

Arhivele Electronice Los Alamos  arxiv:physics/ v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 arxiv:physics/0003106v2 [physics.ed-ph] 30 Apr 2000 Arhivele Electronice Los Alamos http://xxx.lanl.gov/physics/0003106 ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ HARET C. ROSU e-mail: rosu@ifug3.ugto.mx fax: 0052-47187611

More information

Boundary value problems with ϕ-laplacians. CRISTIAN BEREANU Institute of Mathematics Simion Stoilow of the Romanian Academy

Boundary value problems with ϕ-laplacians. CRISTIAN BEREANU Institute of Mathematics Simion Stoilow of the Romanian Academy Boundary value problems with ϕ-laplacians CRISTIAN BEREANU Institute of Mathematics Simion Stoilow of the Romanian Academy 2 Contents 1 Rezumat (Abstract) 5 2 Introduction 9 3 Dirichlet problems with ϕ-laplacians

More information

TEZA DE DOCTORAT. probleme de optimizare infinit dimensionale

TEZA DE DOCTORAT. probleme de optimizare infinit dimensionale Academia Română Institutul de matematică Simion Stoilow TEZA DE DOCTORAT rezumat Aplicaţii ale dualităţii în unele probleme de optimizare infinit dimensionale Coordonator ştiinţific: CS I dr. Dan Tiba

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01

Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :01 Modelare si control predictiv - proiect - Controlul predictiv bazat pe modele intrare-stare-iesire Asist. ing. Constantin Florin Caruntu 23:01 Cuprins Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire

More information

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach

Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu

More information

Surfaces of Arbitrary Constant Negative Gaussian Curvature and Related Sine-Gordon Equations

Surfaces of Arbitrary Constant Negative Gaussian Curvature and Related Sine-Gordon Equations Mathematica Aeterna, Vol.1, 011, no. 01, 1-11 Surfaces of Arbitrary Constant Negative Gaussian Curvature and Related Sine-Gordon Equations Paul Bracken Department of Mathematics, University of Texas, Edinburg,

More information

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor

FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor FLORENTIN SMARANDACHE Asupra unor conjecturi si probleme nerezolvate referitoare la o functie in Teoria Numerelor In Florentin Smarandache: Collected Papers, vol. II. Chisinau (Moldova): Universitatea

More information

LIGHTNING MVP System

LIGHTNING MVP System LIGHTNING MVP System Lightning MVP System Control (HACCP+SSOP) Swab-uri pentru lichide si pentru Suprafete Accesorii ph Temperatura Condutivitate Monitorizare ATP Prin Bioluminescenta Cel mai complet si

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)

ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un

More information

Dierential Geometry Curves and surfaces Local properties Geometric foundations (critical for visual modeling and computing) Quantitative analysis Algo

Dierential Geometry Curves and surfaces Local properties Geometric foundations (critical for visual modeling and computing) Quantitative analysis Algo Dierential Geometry Curves and surfaces Local properties Geometric foundations (critical for visual modeling and computing) Quantitative analysis Algorithm development Shape control and interrogation Curves

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Lucrare de cercetare postdoctorală

Lucrare de cercetare postdoctorală ACADEMIA ROMÂNĂ Institutul Naţional de Cercetări Economice "Costin C. Kiriţescu" Lucrare de cercetare postdoctorală Expert îndrumător: Prof. Dr. Lucian BEZNEA Cercetător postdoctorand: Anca-Iuliana BONCIOCAT

More information

Autor: Instituţia: Coordonator

Autor: Instituţia: Coordonator Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way George Polya Autor: Instituţia: Coordonator ştiinţific:

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

EFFECTS OF AVERAGING ON SODE MODELS OF DYNAMIC CELL PROCESSES

EFFECTS OF AVERAGING ON SODE MODELS OF DYNAMIC CELL PROCESSES U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No. 3, 006 EFFECTS OF AVERAGING ON SODE MODELS OF DYNAMIC CELL PROCESSES V. BALAN, Simona-Mihaela BIBIC Lucrarea studiază efectele medierii directe şi ciclice asupra

More information

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018

Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Conţinut Tipurile abstracte LLin, LLinOrd, Stiva, Coada Liste liniare Implementarea cu tablouri Implementarea cu liste simplu înlănțuite Liste liniare ordonate Stive Cozi

More information

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii

Metode numerice de aproximare. a zerourilor unor operatori. şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale. cu aplicaţii Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea Babeş-Bolyai Erika Nagy Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori şi de rezolvare a inegalităţilor variaţionale cu aplicaţii Rezumatul

More information

Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine

Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine Sisteme de Recunoastere a Formelor Lab 12 Clasificare cu Support Vector Machine 1. Obiective In aceasta lucrare se va implementa clasificatorul SVM liniar si se va studia mecanismele de clasificare bazate

More information