1 Generarea suprafeţelor

Transcription

1 Motto: Cu vesele glasuri de tinere firi, Cuprinşi de-amintirea străbunei măriri, Spre soare ni-e gândul şi mergem spre el, Lumina ni-e ţinta şi binele ţel - Traiască-ne ţara şi neamul! Coşbuc - Imnul studenţilor CAPITOLUL 7 MIŞCĂRI ALE UNEI CURBE In acest Capitol analizăm mişcarea unei curbe parametrizate, în spaţiu, adăugând la parametrul ce descrie curba un al doilea parametru de evoluţie. Acest studiu este similar cu a considera o suprafaţa şi a analiza curbele de coordonate după formule de tip Frenet. Atât cazul curbelor de torsiune constantă, cât şi cel al curbelor de curbură constantă, conduc la EDP sine-gordon de compatibilizare. Alte probleme tratate sunt: generarea suprafeţelor, curentul după vectorul tangent, curentul după vectorul normal (curentul descreşterii celei mai rapide a lungimii unei curbe) şi curentul dupa vectorul binormal. Asemenea probleme au aplicaţii directe în ştiinta şi inginerie, fiind legate de fenomene de evoluţie. Generarea suprafeţelor Pentru a înţelege ideea de mişcare a unei curbe, începem cu suprafeţele generate de drepte sau de cercuri. Intr-adevăr, cele mai simple moduri de a genera o suprafaţă sunt: mişcarea unei drepte sau rotaţia unei curbe în jurul unei axe. O suprafaţă generată se descrie de regulă în limbajul vectorilor liberi sau în limbajul cartezian implicit.. Suprafeţe riglate O suprafaţă descrisă prin funcţia vectorială (vector de poziţie) r(u, v) = α(u) + v β(u), u I, v R se numeşte suprafaţă riglată. O asemenea suprafaţa este generată prin mişcarea unei drepte. Dinamic ea apare ca soluţia problemei v r(u, v) = β(u), r(u, v) v= = α(u). Dreapta u = c se numeşte generatoare. Curba α se numeşte curbă directoare. 55

2 56 Mişcări ale unei curbe Dacă β(u) este un vector constant nenul (reprezintă o directie), atunci suprafaţa riglată se numeşte suprafaţă cilindrică. In acest caz dreapta u = c evoluează prin paralelism şi se sprijină pe curba directoare. Daca α(u) este un vector constant (reprezintă un punct), atunci suprafaţa riglată se numeste suprafaţă conică. In acest caz dreapta u = c evoluează trecând printr-un punct fix numit vârf şi se sprijină pe o altă curbă directoare..2 Suprafeţe de rotaţie O suprafaţă care poate fi generată prin rotaţia unei curbe C în jurul unei drepte fixe D se numeşte suprafaţă de rotaţie. Curba C se numeşte generatoare, iar dreapta D se numeşte axă de rotaţie. Un câmp vectorial pe R 3 de forma X(x) = Ax, unde A este o matrice antisimetrică, se numeşte câmp Killing. Dacă a = (a, a 2, a 3 ) şi r = (x, x 2, x 3 ), atunci a r este un câmp vectorial Killing. Reciproc, orice câmp Killing pe R 3 poate fi scris în forma a r. Teoremă O suprafaţă de rotaţie este o suprafaţă de câmp a unui camp vectorial Killing de forma X(x) = Ax. Demonstraţie Fie X(x) = (X (x), X 2 (x), X 3 (x)) un câmp vectorial de clasă C. Mulţimile de nivel constant ale unei funcţii f : R 3 R de clasă C 2, care satisface ecuaţia cu derivate parţiale (EDP ) X (x) f x (x) + X2 (x) f x 2 (x) + X3 (x) f (x) =, x3 se numesc suprafeţe de câmp. Sistemul caracteristic asociat acestei EDP este dx X (x) = dx2 X 2 (x) = dx3 X 3 (x). Daca g(x) si h(x) sunt două integrale prime ale acestui sistem, atunci soluţia generală a EDP este f = Φ(h, g), unde Φ este o funcţie de clasă C. Fie X(x) = Ax un câmp vectorial Killing pe R 3. Deoarece matricea A este antisimetrică, orbitele câmpului sunt descrise de ecuaţiile carteziene implicite x 2 = c, Ax 2 = c 2. Rezultă ca funcţia f(x) = Φ( x 2, Ax 2 ), unde Φ este o funcţie arbitrară de clasă C, este soluţia generală a EDP ( f(x), Ax) =. De aceea suprafeţele f(x) = c sunt suprafeţe de rotaţie. Reciproc, dacă avem o suprafaţă de rotaţie de axă fixată prin vectorul a, atunci a r este un câmp Killing tangent la suprafaţă.

3 Sisteme Dinamice şi Geometrie Diferenţială via MAPLE 57 2 Evoluţia unei curbe în spaţiu Pornim de la o curbă reprezentată prin vectorul de poziţie β : J R 3, β = β(s), de clasă C 3. Presupunem că ea are viteză unitate β =, adică parametrul ce descrie curba este abscisa curbilinie s. Ataşăm curbura k >, torsiunea τ şi reperul mobil ortonormat { T, N, B}, numit reperul Frenet, unde este câmpul tangent unitar, N este câmpul normal unitar şi B este câmpul binormal unitar. De-a lungul acestei curbe au loc formulele Frenet, = k N, N = k T + τ B, B = τ N, unde simbolul înseamnă derivata în raport cu parametrul s. O evoluţie în timp a curbei parametrizate β se obţine introducând timpul t ca al doilea parametru. Mai precis, considerăm extensia (variaţia) r = r(s, t), r(s, ) = β(s), s J, t [, ε). Acum formulele Frenet ale curbei s r(s, t) se transcriu () s T = k N, s N = k T + τ B, s B = τ N. Analog, evoluţiei temporale t r(s, t) îi ataşăm reperul Frenet ortonormat { T, N, B} ce satisface sistemul de ecuaţii cu derivate parţiale (2) t T = a N + b B, t N = a T + c B, t B = b T c N. Sistemul de EDP () + (2) trebuie să fie complet integrabil, adică Rezultă condiţiile (CIC) 2 st = 2 ts. a s = k t + bτ, b s = kc τa, c s = τ t kb. Relaţiile (CIC) implică faptul că implicit am acceptat o curbă β inextensibilă (lungimea curbei iniţiale = lungimea curbei deformate). 2. Cazul curbelor inextensibile de torsiune constantă Relaţiile (CIC) implică (a 2 + b 2 + c 2 ) s = 2(ak t + cτ t ).

4 58 Mişcări ale unei curbe Presupunem τ = constant. In particular pentru a =, τ t =, găsim b 2 + c 2 = d 2 (t) sau b = d(t) sin σ, c = d(t) cos σ. Cu acestea relaţiile (CIC) se reduc la σ st = d(t)τ(s) sin σ, unde k = σ s. Punând τ = τ = ρ şi d = ρ, găsim ecuaţia sine-gordon (3) σ st = sin σ. ρ2 Cu acestea, EDP ()+(2) devin N = N = t s σ s σ s ρ ρ ρ sin σ ρ cos σ ρ sin σ ρ cos σ N Semnificaţia geometrică este următoarea: o curbă de torsiune constantă asociată ecuaţiei sine-gordon descrie o suprafaţă pseudo-sferică (de curbură K = < ) şi la fiecare moment t curba este o curbă asimptotică a acestei ρ 2 suprafeţe. Observaţie. Fie K curbura Gauss a unei suprafeţe. Prototipul suprafeţei după curbura lui Gauss: () pentru K = este sfera, (2) pentru K = este planul, (3) pentru K = este pseudosfera. N. 2.2 Cazul curbelor inextensibile de curbură constantă Presupunem k = constant. Adăugăm c =. Relaţiile (CIC) implică a = ρ cos σ, b = ρ sin σ, k = ρ, τ = σ s, unde σ este o soluţie a ecuaţiei sine-gordon (3). In acest caz, EDP ()+(2) se reduc la ρ N = ρ σ s N σ s N = t s ρ cos σ ρ sin σ ρ cos σ ρ sin σ O asemenea curbă nu mai generează o suprafaţa pseudo-sferică. N.

5 Sisteme Dinamice şi Geometrie Diferenţială via MAPLE 59 3 Mişcarea curbei după vectorul tangent Pornim cu o curbă spaţială β : I R 3 de clasă C 3, cu câmpul tangent unitar T, câmpul normal unitar N, câmpul binormal unitar N, reperul mobil ortonormat Frenet { T, N, B}, curbura k > şi torsiunea τ. Pe de alta parte reamintim că dacă s este abscisa curbilinie a curbei β(s) = r(s, ), atunci k(s) N(s) = β (s) = ss r(s, ). Evoluţia curbei în timp se descrie cu extensia r = r(s, t), r(s, ) = β(s), s I, t [, ε). Acceptăm că această evoluţie satisface EDP t r(s, t) = T (s), r(s, ) = β(s) (mişcare dupa vectorul tangent al curbei). Rezultă suprafaţa riglată r(s, t) = β(s) + t T (s), t >, care se numeşte suprafaţa tangentă a curbei β. Definiţia generală a curentului tangent este (EDP ) t r(s, t) = T (s, t), r(s, ) = β(s). 4 Mişcarea curbei după vectorul normal Pentru simplificare, pornim cu o curbă plană reprezentată de vectorul de poziţie α : I R 2 de clasă C 2, cu câmpul tangent unitar T, câmpul normal unitar N, reperul mobil ortonormat Frenet { T, N} şi curbura k. Evoluţia ei în timp se descrie cu extensia r = r(u, t), r(u, ) = α(u), u I, t [, ε). Acceptăm ca această evoluţie satisface (EDP ) t r(u, t) = k(u, t) N(u, t), r(u, ) = α(u) (mişcare pe direcţia normalei). Pe de altă parte reamintim că dacă s este abscisa curbilinie a curbei α(u) = r(u, ), atunci (s) = (x (s), y (s)), N(s) = ( y (s), x (s)), k(s) N(s) = α (s) = ss r(s, ). Să arătăm că evoluţia precedentă este de fapt un curent care scurtează curbele.

6 6 Mişcări ale unei curbe Lemă Fie funcţionala lungime l(t) = variaţie arbitrară a curbei α(u) = r(u, ) care satisface cu V normalizat prin condiţia r t (u, t) = V (u, t), V (, t) =, V (L, t) =, L r u (u, t) du, unde r(u, t) este o V 2 ds =, unde L = l(). Atunci rata de descreştere dl dt a lungimii este maximală dacă V este coliniar cu k N. Demonstraţie Mai întâi, calculăm derivata t r u = t < r u, r u > 2 = r u < r u, t r u >= r u < r u, u t r > Rezultă =< r u, u V r u >=< r u, s V >. dl dt = t r u du = L < r u, s V > r u ds = L < s r, s V > ds =< s r, V L > L < ss r, V L > ds = < kn, V > ds ( ) ( L k 2 2 L ds V 2 ds cu egalitate dacă şi numai dacă vectorii sunt coliniari. Exemplu (cercul care se strânge) Fie cercul α(u) = (cos u, sin u) scufundat în suprafaţa r(u, t) = R(t)(cos u, sin u). In acest caz N = R r, k = R şi ecuaţia de evoluţie se reduce la dr dt = R. Rezultă R = (r2 2t) 2 şi r(u, t) = (r 2 2t) 2 (cos u, sin u). Cercul tinde la un punct când t 2 r2. 4. Existenţa soluţiei EDP ce descrie mişcarea pe normală Mişcarea pe normală se reduce la o ecuaţie cu derivate parţiale. Folosim teorema de existenţa şi unicitate a ecuaţiilor parabolice, ca să arătăm că ecuaţia (EDP) are soluţii pentru t suficient de mic. Pornim cu α(u) = (x(u), y(u)) de clasă C 2, trecem la extensia ) 2 r(u, t) = (x(u, t), y(u, t)) r(u, ) = α(u), u I, t [, ε),

7 Sisteme Dinamice şi Geometrie Diferenţială via MAPLE 6 şi transcriem (EDP) în forma ( ) ( x = y (x 2 t u + yu) 2 2 y 2 u x u y u x u y u Acest sistem ar putea fi parabolic dacă matricea ( ) ( yu ( ) yu y x u x u = 2 u x u y u x 2 u ) ( ) xuu. y uu x u y u x 2 u ) ar fi pozitiv definită. Evident ea nu este aşa deoarece este degenerată. De fapt caracterul parabolic al acestui sistem de EDP-uri este ascuns de parametrizarea săracă a soluţiei. Presupunem că ştim o soluţie r(u, t) = (x(u, t), y(u, t)) şi notăm cu φ : I [, ε) I o familie de difeomorfisme de la curba α la ea însăşi, indexate după t. Introducem compunerea q(u, t) = r(φ(u, t), t) = ( x(u, t), ȳ(u, t)), care este de fapt o reparametrizare. Atunci Definiţia = q t (u, t) = t r(φ(u, t), t) + r u t φ(u, t) = kn + r u V ( ) yu ( ) ( ) ( x (x 2 u + yu) 2 2 y x u x uu xu u + u y uu y u împreună cu alegerea V = t φ(u, t) = V (φ(u, t), t), ( (x 2 u + yu) 2 2 x u y u ) ( x uu y uu ) ) V. ne conduc la un sistem tare parabolic. Pentru a dovedi acest lucru, prima dată calculăm ( ) x ȳ t {( ) ( ) yu ( ) xu ( ) } ( ) x = (x 2 u + yu) 2 2 y x u x u + x u y u y uu u u y uu ( ) ( ) xuu = x 2 u + yu 2. y uu Apoi exprimăm derivatele x u, x uu, y u, y uu în funcţie de x u, x uu, ȳ u, ȳ uu, utilizând derivarea funcţiilor compuse. Obţinem un sistem de EDP tare parabolic deoarece matricea care înmulţeşte vectorul ( x uu, ȳ uu ) este pozitiv definită.

8 62 Mişcări ale unei curbe Prin teorema de existenţa şi unicitate de la un sistem de difuzie (ecuaţia căldurii), exista o soluţie ( x, ȳ) pe intervalul temporal [, ε) şi această soluţie este unică. Cu ajutorul lui ( x, ȳ) construim pe V şi apoi avem soluţia φ(u, t). Introducem r(u, t) = q(φ (u, t), t) şi arătăm că acest vector satisface ecuaţia (EDP). In acest mod, deşi sistemul (EDP) nu este tare parabolic, prin reparametrizarea precedentă el are o soluţie pe intervalul [, ε). Marginea ε se poate estima ca ε = sup{τ r(u, t) exista si este neteda pentru t [, τ)}. Concluzionăm prin Teoremă Dacă imersia α(u) este netedă pentru u I, atunci problema (EDP) are o soluţie netedă r(u, t). 5 Mişcarea curbei după vectorul binormal Considerăm o curba spaţială inextensibilă β : I R 3 de clasă C 3 având curbura k > şi torsiunea τ, constante. Câmpul tangent unitar T, câmpul normal unitar N şi câmpul binormal unitar N determină reperul mobil ortonormat Frenet { T, N, B}. O evoluţie a curbei în timp se descrie cu extensia r = r(s, t), r(s, ) = β(s), s I, t [, ε). Ecuaţia curentului binormal poate fi concepută ca t r = s r ss r. Condiţia de parametrizare prin lungimea arcului s r 2 = este compatibilă cu ecuaţia precedentă deoarece t s r 2 = 2( s r, st r)) = 2( s r, s r sss r) =. In particular, curbele închise care evoluează după această regulă au toate aceeaşi lungime. In termeni geometrici, se foloseşte şi ecuaţia echivalentă (EDP ) t r(s, t) = k(s, t) B(s, t), r(s, ) = β(s) (mişcare dupa vectorul binormal). Se poate arăta ca această evoluţie conduce la o EDP solitonică ce incorporează EDP-urile de tip Dim şi Camassa-Holm.

9 Sisteme Dinamice şi Geometrie Diferenţială via MAPLE 63 6 Evoluţia curbelor plane implicite Fie C = f () o curbă implicită, unde f : R 2 R este o funcţie netedă şi este valoare regulată a funcţiei f, adică câmpul vectorial normal f nu se anulează pe curbă. Curba implicită C = M face parte dintre mulţimile de nivel constant ale funcţiei f, adică M c : f(x, y) = c. Curbura lui C are expresia k(x, y) = f xxfy 2 2f xy f x f y + f yy fx 2. (fx 2 + fy 2 ) 3 2 Să presupunem că x = x(s), y = y(s), s I R este o parametrizare a curbei C, adica f(x(s), y(s)) =, s I. Evoluţia ei în timp C(t) (omotopie) este descrisă prin ecuaţia C(t) : F (x(s, t), y(s, t), t) =, C() = C, adica F (x, y, ) = f(x, y), (x, y) D R 2. Notând r = (x(s, t), y(s, t)), prin derivare în raport cu t obţinem relaţia sau explicit F r t + F t = F x x t + F y y t + F t =. Dacă acceptăm evoluţia după direcţia câmpului vectorial X, adică t r = α X, atunci găsim EDP F t = α( F, X), cu necunoscuta F, fixată prin condiţia iniţială. Fie n = F F versorul normal la curba C. Dacă acceptăm evoluţia după vectorul normal, t r = β n, atunci găsim F t = β F. Pentru cea mai rapidă deformare se ia β = k şi deci ajungem la EDP sau F t = F xxf 2 y 2F xy F x F y + F yy F 2 x F 2 x + F 2 y ( ) F F t = F div, F cu necunoscuta F. O altă problemă este deformarea curbei plane C : f(x) =, x = (x, x 2 ) printr-o transformare infinitesimală. Fie sistemul diferenţial ẋ(t) = X(x(t)) pe

10 64 Mişcări ale unei curbe U R 2. O soluţie α = α(t), α() = x, t ( ϵ, ϵ) generează un difeomorfism local T t : U R 2 R 2, T t (x) = Φ(t, x), t I. Acest difeomorfism este soluţie a ecuaţiei diferenţiale operatoriale dt t dt = X T t, T = id, şi se numeşte curent local pe R 2 generat de câmpul vectorial X (grup local cu un parametru de difeomorfisme). Aproximarea liniară x = x + t X(x) a lui T t (x) se numeşte transformare infinitesimală generată de X. Aceasta este local o funcţie inversabilă de tipul φ t : R 2 R 2 indexată după t. Rezultă F = f φ t. Bibliografie [] QU Chang-Zheng, LI Yan-Yan, Higher-Dimensional Integrable Systems Arising from Motions of Curves on S 2 (R) and S 3 (R), Commun. Theor. Phys., Beijing, China, 5, 4 (28), [2] R. L. Jerrard, D. Smets, On the motion of a curve by its binormal curvature, arxiv: v[math.DG], 26 Sep. 2. [3] P. J. Olver, G. Sapiro, A. Tannenbaum, Invariant geometric evolutions of surfaces and volumetric smoothing, Manuscript, April 5, 994. [4] C. Rogers, W. K. Schief, Backlund and Darboux Transformations, Geometry and Modern Applications in Soliton Theory, Cambridge University Press, 22. [5] Nicholas Sheridan, Hamiltons Ricci Flow, Honours Thesis, The University of Melbourne, Department of Mathematics and Statistics, November 26. [6] C. Udrişte, Geometric Dynamics, Mathematics and Its Applications, 53, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2. [7] C. Udrişte, L. Matei, Lagrange-Hamilton Theories (in Romanian), Monographs and Textbooks 8, Geometry Balkan Press, Bucharest, 28. [8] E. T. Whittaker, A Treatise on The Analytical Dynamics of Particles & Rigid Bodies, Cambridge University Press, 989.