RECREAŢ II MATEMATICE

Size: px
Start display at page:

Download "RECREAŢ II MATEMATICE"

Transcription

1 Anul XIII, Nr. Ianuarie Iunie 0 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Asociaţ ia Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 0

2 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o formă concisă, formula e = leagă cele patru ramuri fundamentale ale matematicii: ARITMETICA reprezentată de GEOMETRIA reprezentată de π ALGEBRA reprezentată de i ANALIZA MATEMATICĂ reprezentată de e Redacţia revistei : Petru ASAFTEI, Dumitru BĂTINEŢU-GIURGIU (Bucureşti), Temistocle BÎRSAN, Dan BRÂNZEI, Alexandru CĂRĂUŞU, Constantin CHIRILĂ, Eugenia COHAL, Adrian CORDUNEANU, Mihai CRĂCIUN (Paşcani), Paraschiva GALIA, Paul GEORGESCU, Mihai HAIVAS, Gheorghe ILIE, Gheorghe IUREA, Lucian-Georges LĂDUNCĂ, Gabriel MÎRŞANU, Alexandru NEGRESCU (student, Iaşi), Gabriel POPA, Dan POPESCU (Suceava), Florin POPOVICI (Braşov), Maria RACU, Neculai ROMAN (Mirceşti), Ioan SĂCĂLEANU (Hârlău), Ioan ŞERDEAN (Orăştie), Dan TIBA (Bucureşti), Marian TETIVA (Bârlad), Lucian TUŢESCU (Craiova), Adrian ZANOSCHI, Titu ZVONARU (Comăneşti) COPYRIGHT 0, ASOCIAŢIA RECREAŢII MATEMATICE Toate drepturile aparţin Asociaţiei Recreaţii Matematice. Reproducerea integrală sau parţială a textului sau a ilustraţiilor din această revistă este posibilă numai cu acordul prealabil scris al acesteia. Se consideră că autorii materialelor trimise redacţiei revistei sunt, în mod implicit, de acord cu publicarea lor, îşi asumă responsabilitatea conţinutului lor şi cedează Asociaţiei Recreaţii Matematice dreptul de proprietate intelectuală asupra acestora. TIPĂRITĂ LA BLUE SIM&Co IAŞI Bd. Carol I, nr. 3-5 Tel , simonaslf@yahoo.com ISSN

3 Anul XIII, Nr. Ianuarie Iunie 0 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Revistă cu apariţie semestrială EDITURA RECREAŢII MATEMATICE IAŞI - 0

4 .

5 Un secol de excelent a a I nva t a ma ntului Superior Electrotehnic la Ias i Pot scruta orizontul viitorului doar cei care au privilegiul ascederii pe un piedestal edificat din munca s i realiza rile predecesorilor! La noiembrie 90, ı n cadrul Faculta t ii de S tiint e a Universita t ii din Ias i, se deschideau cursurile S colii de Electricitate Industriala. Programa analitica ambit ioasa s i condit iile severe de admitere o certifica indubitabil drept prima unitate de ı nva t a ma nt superior electrotehnic din Roma nia. Cel dinta i director al acestui nucleu generator de progres s i dezvoltare a fost Profesorul Dragomir Hurmuzescu, doctor ı n fizica la Sorbona, cel care a inventat dielectrina s i a realizat electroscopul ce-i poarta numele. Aceasta prioritate a revenit ı n mod firesc Ias ului, fiind consecint a a unor demersuri vizionare ı ntreprise, ı n cel de-al patrulea mandat al sa u, de primarul junimist Nicolae Gane, ales mai apoi, ca s i Dragomir Hurmuzescu, membru al Academiei Roma ne. I n anii , la Ias i, s-a inaugurat bijuteria numita Teatrul Nat ional (deservita de propriul generator de electricitate), Uzina Electrica Comunala s i s-au finalizat studiile pentru utilizarea tramvaiului electric ı n transportul public (prima linie, de la Gara la Hala centrala, inaugurata ı n 900). Realizarea acestor obiective, ambit ioase pentru

6 sfârşitul secolului XIX, a plasat oraşul Iaşi în sfera civilizaţiei europene, conferindu-i aura de citadelă a progresului tehnic. Putem spune acum, la ceas aniversar, că Iaşul şi-a asigurat statutul de important centru universitar, Alma Mater Iasiensis, racordat la cercetare şi nou, refuzând anatema sancta mediocritas la care părea că este condamnat de un plasament geopolitic mai puţin generos. Dezvoltarea învăţământului superior electrotehnic la Iaşi este legată, pe întreg parcursul ultimului secol, de vicisitudinile unei istorii mai puţin blânde cu oamenii acestor meleaguri: Înfiinţarea în 938, după mişcări greviste de amploare, a Şcolii Politehnice Gheorghe Asachi, Facultatea de Electrotehnică avându-l ca prim decan pe savantul Ştefan Procopiu, pe nedrept văduvit de Premiul Nobel pentru descoperirea magnetonului ce-i poartă numele; Mutarea în 94 la Cernăuţi, pentru a marca revenirea Bucovinei de Nord în graniţele naţionale; Refugiul dureros la Turnu-Severin; Reforma învăţământului din 948 şi înfiinţarea Institutului Politehnic Iaşi, primul rector fiind Cezar Parteni Antoni, fost decan al facultăţii; Marea industrializare din anii ; În 993 Institutul devine Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi, marcând racordarea fermă la standarde şi norme de excelenţă europeană. Plasată pe impresionantul piedestal al celor 00 de ani de existenţă, Facultatea de Electrotehnică, redenumită din anul 009 Facultatea de Inginerie Electrică, Energetică şi Informatică Aplicată, se prezintă acum cu un corp profesoral de mare valoare, cu programe de studii de înalt nivel, flexibil conectate la solicitările venite din mediul economic şi cu o bază materială modernă, care pot susţine atât procesul formativ cât şi demersul sine qua non al cercetării ştiinţifice. Puntea constituită între trecutul şi prezentul şcolii ieşene de inginerie electrică certifică o nobilă şi onorantă identitate care ne capacitează imaginaţia şi resursele întru proiectarea unui viitor faţă de care avem obligaţii responsabil asumate. Ne asumăm astăzi împreună, magiştri şi discipoli, mediu economic şi mediu academic, comunitate şi administraţie locală, provocările unui viitor pe care avem dreptul să-l visăm, viitor care aşteaptă răspunsuri bune, emergente din rigoarea şi inventivitatea ce au caracterizat dintotdeauna şcoala ieşeană de inginerie electrică. Prof. dr. ing. Alexandru SĂLCEANU Decan al Facultăţii de Inginerie Electrică, Energetică şi Informatică Aplicată

7 Restaurarea mormântului lui C. Climescu, fost rector al Universităţii din Iaşi Un gest de pios şi respectuos omagiu În seria evenimentelor Iaşului, care s-au succedat pe parcursul anului 00, marcăm doar trei ieşite din comun ca importanţă şi semnificaţie: Centenarul Seminarului Matematic Al. Myller - sărbătorit în cadrul unei conferinţe, -6 iunie -, 50 de ani de existenţă a Universităţii Alexandru Ioan Cuza - sărbătoriţi în cadrul Dies Academici, 0-30 octombrie - şi Centenarul Învăţământului Electrotehnic Superior la Iaşi octombrie. Programele acestor manifestări au cuprins: conferinţe, expoziţii, vernisajul Muzeului Universităţii, dezvelirea busturilor unor iluştri profesori, programe artistice etc. Iaşul a fost gazda unor personalităţi din domeniul ştiinţelor sau artelor sau tehnicii, din ţară sau din străinătate, cărora li s-a acordat titlul de Doctor Honoris Causa şi care au conferenţiat în aulele ieşene. Pe linie de matematică, acest titlu a fost acordat prof. univ. dr. Haïm Brézis, Universitatea Pierre et Marie Curie-Paris, Franţa. În ziua de 4 octombrie, o delegaţie a Senatului Universităţii din Iaşi, condusă de rectorul Vasile Işan, a depus coroane de flori pe mormintele din cimitirul Eternitatea ale unor foşti rectori ai Universităţii, printre care se numără şi următorii rectori-matematicieni: Nicolae Culianu (rector în perioada ), Costantin Climescu (90-907), Alexandru Myller ( ) şi Ion Creangă (955-97). Primii doi fac parte din generaţia de dascăli care a pus temeliile învăţământului românesc modern şi au deschis ştiinţei româneşti drumul către cercetarea originală. Sacrificând posibilităţile proprii de afirmare ştiinţifică, şi-au orientat activitatea în direcţia predării şi publicării de cursuri universitare sau alcătuirii de manuale destinate învăţământului secundar. Numele lor este legat de revista Recreaţii ştiinţifice ( ), prima revistă ştiinţifică din ţară ce se adresează tineretului, cu un conţinut predominant matematic şi care în dicţionarele de periodice româneşti este menţionată ca având o contribuţie importantă în pregătirea matematică a tineretului studios. Cu modestie şi clarviziune în nr. (888) al revistei se spune în cuvinte simple şi frumoase: Credem că noi am tras cea întăi brazdă care conduce cătră lucrări originale. Brazda i mică şi îngustă, dar există! Constantin Climescu (30 nov aug. 96) a fost nu numai membru fondator, ci şi principalul realizator al acestei reviste. A publicat în paginile ei articole din toate ramurile matematicii: aritmetică, geometrie elementară şi analitică, algebră, analiză matematică. S-a născut la Bacău, a urmat Facultatea de Ştiinţe a Universităţii din Iaşi şi apoi, în 870, obţine licenţa în matematici şi licenţa în ştiinţe fizice la Sorbona. (De menţionat faptul că el şi I. Vârgolici sunt primii români primiţi la Sorbona.) Revenit în ţară, este numit la Catedra de geometrie analitică şi trigonometrie sferică a Facultăţii de Ştiinţe din Iaşi, la data de sept. 87, şi deţine această funcţie până la pensionare, aprilie 909. A fost un excelent profesor. Mulţi ani a fost decan al Facultăţii de Ştiinţe, iar apoi a fost rector al Universităţii din Iaşi. Cursul său de Geometrie analitică. Secţiuni conice, publicat în 898, este a doua carte de acest fel apărută în ţară. A predat şi alte cursuri în cadrul facultăţii şi a funcţionat şi la alte instituţii de învăţământ din 3

8 Ias i. Este autor al mai multor manuale de algebra s i geometrie pentru uzul elevilor din gimnazii, licee s i al candidat ilor la bacalaureat. Publica ı n vol. XXII s i XXIII ale Gazetei Matematice (iar ı n 9, separat, ı ntr-o bros ura ) un studiu asupra unui manuscris vechi, Curs ı ntreg de matematica curata, scris ı n chirilice. I n 89 este ales membru corespondent al Academiei Roma ne. A fost membru ı n colegiul de redact ie al Gazetei Matematice. Constantin Climescu a fost deputat de Baca u ı n 884 s i senator de Baca u de la 889 la 90. Statul roma n i-a conferit distinct iile: Ofit er al Ordinului Steaua Roma niei s i Comandor al Ordinului Coroana Roma niei. * * * Asociat ia Recreat ii Matematice publica ı ncepa nd cu anul 999 revista Recreat ii Matematice ca o continuare peste timp a vechii reviste Recreat ii S tiint ifice. Constantin Climescu, sust ina torul principal al Recreat iilor S tiint ifice, este venerat de membrii asociat iei ca stra bun spiritual al lor. Pentru cinstirea sa s i a stra bunei reviste, ı n anul 008, la ı mplinirea a 5 de ani de la aparit ia primului numa r de Recreat ii S tiint ifice, a fost realizata prin scanare reeditarea colect iei complete a acestei reviste (care se poate accesa liber la adresa I n toamna anului trecut, Asociat ia Recreat ii Matematice a avut init iativa restaura rii morma ntului lui Constantin Climescu omagiu s i semn de recunos tint a adus acestuia. Asociat ia a asigurat resursele ba nes ti necesare s i a supraveghiat executarea lucra rilor de restaurare ca o modesta contribut ie prilejuita de ı mplinirea a 50 de ani de existent a a Universita t ii din Ias i. La 6 oct. 00, a fost ı ncheiata restaurarea morma ntului lui C. Climescu. O delegat ie a Senatului Universita t ii a depus, pe data de 4 octombrie, o coroana de flori la morma ntul proaspa t restaurat. I n organizarea Asociat iei Recreat ii Matematice a avut loc pe data de 7 noiembrie sfint irea morma ntului restaurat, cu participarea acad. Radu Miron, prof. univ. O. Ca rja - decanul Faculta t ii de Matematica, prof. univ. V. Oproiu - directorul Seminarului Matematic Al. Myller, prof. univ. D. Bra nzei - pres edintele filialei Ias i a Societa t ii de S tiint e Matematice, altor personalita t i din ı nva t a ma ntul superior ies ean, precum s i a unor distins i profesori din ı nva t a ma ntul preuniversitar. Prof. univ. Temistocle BI RSAN Pres edintele Asociat iei Recreat ii Matematice 4

9 Condiţii suficiente pentru inele Boole Dorel MIHEŢ Abstract. The main result of this Note is Proposition which provides a set of sufficient conditions such that a ring is a Boolean ring. Keywords: ring, Boolean ring. MSC 000: 06E0. Un inel Boole este un inel (A, +, ) în care x = x pentru orice x A. În cartea Matematica pentru grupele de performanţă - Clasa a XII-a [3] sunt prezentate două condiţii suficiente pentru ca un inel A cu proprietatea x m + n = x x A (m, n N ) să fie inel Boole. Rezultatul principal al acestei note este Propoziţia, din care se pot obţine şi alte caracterizări ale acestor inele. În demonstraţia Propoziţiei folosim următoarele două leme: Lema. Fie (A, +, ) un inel, iar m, n N. Dacă x m + n = x x A, atunci x m+ = x x A şi x n+ = x x A. Demonstraţie. Din ( ) m + n = rezultă =. Fie x un element arbitrar al lui A. Ţinând seama de faptul că y = 0 y A, se demonstrează imediat prin inducţie că (x + ) k = x k + pentru orice k N. Aşadar au loc egalităţile: x + = (x + ) m + n = (x + ) m (x + ) n = (x m + )(x n + ) = x m + n + x n + x m + = x + x m + x n +, de unde deducem că x m = x n şi atunci (x m ) = (x n ) = x m + n, adică x m+ = x n+ = x. Lema. Fie (A, +, ) un inel, m, n N şi x A, astfel încât x m = x şi x n = x. Atunci x (m,n )+ = x. Demonstraţie. Se arată imediat prin inducţie că x k(m )+ = x şi x l(n )+ = x pentru orice k, l N. Dacă (m, n ) = d, atunci există k, l N astfel încât k(m ) l(n ) = d, deci x = x k(m )+ = x d+l(n )+ = x d x l(n )+ = x d x = x d+. Propoziţia. Fie (A, +, ) un inel, m, n N, iar d := (m +, n + ). Dacă x m + n = x x A, atunci x d = x x A. Demonstraţie. În conformitate cu Lema, pentru orice x A au loc egalităţile x m+ = x şi x n+ = x. Din Lema deducem că x (n+, m+ )+ = x x A Prof. dr., Departamentul de Matematică, Universitatea de Vest, Timişoara 5

10 şi acum concluzia rezultă dintr-un rezultat clasic de teoria numerelor: Cazuri particulare ( p, q ) = (p,q). ) Deoarece (n+, n+) =, din Propoziţia rezultă că un inel A cu proprietatea x n + n+ = x x A (n N ) este boolean. Mai general, dacă m şi q sunt două numere întregi pozitive fixate, iar atunci A este inel boolean ([4], Prop. 3). x q(m+) + m = x x A, În particular, orice inel A cu proprietatea x 4n + = x x A este boolean. ) ([, Theorem A], []) Fie m, n N, m > n astfel încât numărul p = m + n este prim impar. Dacă A este un inel cu proprietatea x m + n = x x A, atunci A este boolean. Demonstraţie. Remarcăm mai întâi că m şi n sunt pozitive. Fie d = (m +, n + ). Vom arăta că d =. Din p + = m + n rezultă că ( m+ ) + ( n+ ) = p, deci d este un divizor impar al lui p. Prin urmare d p şi cum d n+ < m + n = p, rezultă că d =, deci d =. 3) ([4], Prop. 4) Fie m, q N, iar r N, r < m +. Dacă A este un inel cu proprietatea x q(m+)+r + m = x x A, atunci x r+ = x x A. Demonstraţie. Fie d cel mai mare divizor comun al numerelor q(m+)+r + şi m +. Din Propoziţia, x d = x pentru orice x A şi se demonstrează imediat prin inducţie după l că x ld = x, pentru orice l N şi x A (pentru pasul de inducţie observăm că x ld = x (x ld ) d = x d = x, iar (x ld ) d = x ld d = x ld+d = x (l+)d ). Deoarece (q(m + ) + r +, m + ) = (r +, m + ), d divide numărul r +, iar dacă r + = kd, din cele de mai sus rezultă că x r+ = x kd = x x A, ceea ce trebuia demonstrat. Bibliografie. R. Ayoub, C. Ayoub - On the Commutativity of Rings, The American Mathematical Monthly, Vol. 7 (3) (964), D. Isac - Condiţii suficiente pentru inele Boole, GMB 3/995, V. Pop, V. Lupşor (coordonatori) - Matematica pentru grupele de performanţă Clasa a XII-a, Ed. Dacia Educaţional, J.-S. Shiue, W.-M Chao - On the boolean rings, Yokohama Math. J. 4 (976),

11 Asupra calculării unor integrale definite Mihai DICU Abstract. The aim of this paper is to calculate the integrals of type (), when the constants m, n, p, q satisfy certain conditions. Keywords: parallelogram identity, homographic function. MSC 000: 6A4. Scopul propus este calcularea unor integrale de forma () I =Zb a ln(mx + n) x + px + q dx folosind schimbarea de variabilă x = φ(t), unde φ este funcţia omografică () φ : [a, b] [a, b], φ(t) = αt + β γt + δ (αδ βγ 0 şi γt + δ 0, t [a, b]). Cazul particular p = 0 este tratat în []; preocupări asemănătoare găsim în []. Vor fi impuse anumite condiţii constantelor m, n, p, q şi coeficienţilor funcţiei φ, unele naturale şi altele menite să asigure derularea etapelor caculului. Considerăm m 0, n 0, p 0, δ 0 şi cerem funcţiei φ să îndeplinească condiţiile: φ(a) = b şi φ(b) = a. Urmează că αa + β = γab + δb şi αb + β = γab + δa, de unde, prin scădere, obţinem α + δ = 0. Notând u = β δ şi v = γ, găsim că φ are δ forma: (3) φ(t) = u t, t [a, b], + vt iar a, b, u, v sunt legate prin egalitatea (4) a + b + abv = u. Observăm că + vt 0 pentru t [a, b], + uv 0 şi că φ (t) = + uv ( + vt). Efectuând schimbarea de variabilă x = φ(t) cu φ dată de (3), vom avea (5) I = (+uv)za b ln[(nv m)t + (mu + n)] ln( + vt) ( pv + qv )t + ( p u + puv + qv)t + (q + pu + u ) dt. Pentru reducere la integrala iniţială impunem condiţiile: (6) nv m = 0 şi (7) pv + qv = p u + puv + qv p Profesor, Colegiul Naţional Fraţii Buzeşti, Craiova = q + pu + u q = k, 7

12 care asigură eliminarea unui termen la numărător şi coincidenţa numitorului (până la factorul k) cu numitorul din integrala (). Ţinând seama de (6) şi (7), relaţia (5) se scrie I = + uv k Zb a Zb ln(mu + n) t + pt + q dt ln( + vt) t + pt + q dt. Cum am presupus n 0, din (6), (4) şi (7) obţinem pentru u, v, k expresiile: a (8) v = m n, u = mab + n(a + b), k = n (qm pmn + n ). Înlocuind în a doua integrală din paranteza pătrată pe v cu expresia dată de prima relaţie din (8), obţinem succesiv: I = + uv k Zb a I ln(mu + n) + ln n t dt, + pt + q (9) I = + uv Zb + k + uv ln n(mu + n) dx x + px + q (se consideră n > 0 şi mu + n > 0). Calculul integralei din membrul doi fiind cunoscut, rezultă că formula (9) rezolvă problema pusă. Îndeplinirea condiţiilor (7) cu u, v, k daţi de (8) limitează eficienţa acestei formule. În continuare, vom urmări detaliat calculul integralei I, discutând după valorile lui q. I. Cazul q = 0. Condiţiile (7) revin la relaţiile: (7 ) u(p + u) = 0, p( pv uv) = u. Dacă u = 0, găsim v = şi din (4) rezultă că a + b + abv = 0; deci p = p ab a + b. Numitorul din integrală, g(x) = x + px, x [a, b], se anulează în interiorul intervalului: g(a)g(b) = (a + pa)(b + pb) = ab(p + a)(p + b) = a b (a + b) (a b) < 0. În acest caz integrala nu are sens. Dacă u = p, este verificată şi a doua relaţie din (7 ). Constatăm cu uşurinţă că avem k = + uv, iar din (9) obţinem în acest caz I = ln n(n mp) Zb a a dx x (n > 0, n mp > 0). + px 8

13 Exemplu. Z 3 ln(x + 6) x + 4x dx = ln Z 3 dx x + 4x sau direct cu schimbarea de variabilă x = 6 t + 4 t + 6 ). II. Cazul q 0. Condiţiile (7) conduc la sistemul etc. (cu formula precedentă (7 ) q( pv + qv ) = q + pu + u, p( pv + qv ) = p u + puv + qv. Înmulţind prima relaţie cu p şi pe a doua cu q şi apoi adunând, obţinem (pu + q)(p + u qv) = 0. II.. Dacă u = q p, înlocuind în prima relaţie din (7 ) obţinem ecuaţia în v: (pv )(pqv p + q) = 0 şi avem v = p sau v = p q. pq În cazul u = q p şi v = (6) = m, condiţia (4) se scrie p(a + b) + ab = q. p n Notând = p 4q (discriminantul trinomului x + px + q), prin calcule de rutină se obţin egalităţile: (a + pa + q)(b + pb + q) = 4 (a b), (ma + n)(mb + n) = m 4. Dacă > 0, atunci prima spune că trinomul se anulează în intervalul [a, b] de integrare; dacă < 0, a doua spune că binomul mx + n are aceeaşi proprietate. În ambele cazuri, integrala I nu are sens. Dacă însă = 0, I se calculează uşor prin părţi. În cazul u = q p şi v = p q = m pq n, prin calcul obţinem + uv = k = p şi n(mu + n) = n p. Integralele I pentru care = p 4q < 0 sunt date, conform formulei (9), de Exemplu. Z 0 I = ln n p Zb ln(x + ) x x + dx = Z ln 3 0 a dx x + px + q. dx x x + (cu formula precedentă în care luăm m = n = p = q =, v =, u = sau folosind schimbarea x = t + t ). II.. Dacă v = p + u (6) = m n, obţinem + uv = k = n (n mnp + m q) şi q n(mu + n) = n mnp + m q. Ca urmare, I = ln(n mnp + m q)zb 9 0 dx x + px + q.

14 ln(3 x) Exemplu.Z x x 4 dx = Z ln dx x (se utilizează formula precedentă sau schimbarea de variabilă x = 7 3t 3 t x 4 ). Observaţie. Dacă n = 0 (caz exclus mai sus), vom calcula integrala I = Zb ln x a x dx (0 < a < b) efectuând o schimbare de variabilă x = φ(t) cu o + px + q funcţie de forma φ(t) = α. Din φ(a) = b şi φ(b) = a găsim α = ab, iar din condiţiile t de proporţionalitate avem q = ab. Se obţine I = ln ab Zb a dx x + px + q. În concluzie, pentru a calcula integrale de tipul () putem proceda astfel: (i) căutăm schimbarea de variabilă x = φ(t) cu φ : [a, b] [a, b] şi φ(t) = αt + β mt + n ; (ii) impunem condiţiile φ(a) = b şi φ(b) = a şi determinăm α şi β; (iii) dacă α şi β găsiţi îndeplinesc şi celelalte condiţii puse în evidenţă mai sus în fiecare caz în parte, atunci schimbarea de variabilă este eficace şi calculul integralei este posibil în acest mod. Bibliografie. M. Dicu - O generalizare a unei integrale, G.M.-/000, T. Tămâian - O metodă pentru calculul unor integrale, G.M.--004, Reconstituiţi adunarea: * * * * * * * * * în care trebuie să folosiţi toate cifrele de la la 9 o singură dată, iar rezultatul să fie format din cifre consecutive. Câte posibilităţi există? Neculai Stanciu, Buzău (continuare la pag. ) 0

15 O identitate cu numere complexe şi consecinţele sale geometrice Nicolae BOURBĂCUŢ Abstract. In this paper one proves the relation (.), and one shows a few particular cases of this relation. Keywords: parallelogram identity, Leibniz relation, Euler inequality. MSC 000: 97D50.. Introducere. Deşi reprezintă o noţiune cu caracter algebric, numerele complexe au devenit un instrument extrem de util şi în studiul geometriei. Multe relaţii în care intervin numerele complexe au primit interpretări geometrice care au condus la rezultate foarte interesante. Una dintre cele mai cunoscute este următoarea: (.) z + w + z w = z + w, valabilă pentru orice z, w C. Relaţia, cunoscută sub numele identitatea paralelogramului, a primit ulterior o generalizare, cunoscută sub numele relaţia Leibniz- Lagrange, care se poate găsi în [4], [7] sau [8]. În acest articol vom demonstra că această generalizare are loc în condiţii mai slabe. Ca o consecinţă vom obţine demonstraţii nu foarte dificile pentru câteva identităţi sau inegalităţi geometrice mai mult sau mai puţin cunoscute.. Identităţi cu numere complexe. Acest paragraf este rezervat rezultatelor legate de numerele complexe. Propoziţia.. Fie n N, n şi numerele reale a, a,..., a n cu proprietatea a +a +...+a n =. Pentru orice numere complexe z, z,..., z n are loc identitatea: (.) a z + a z a n z n = a k z k a k a l z k z l. X k= k<l n Demonstraţie. Avem: a z + a z a n z n + a k a l z k z l = X nx k<l n = (a z + a z a n z n ) (a z + a z a n Xz n ) + + a k a l (z k z l ) (z k z l ) = a kz k z k + a k a l (z k z l + z l z k )+ + = nx k<l n nx k= l=,l k k= a k nx a l z k z k Ž X k<l n k= nx a k z k, ceea ce încheie demonstraţia. Sarmizegetusa, România X nx k<l n a k a k a l (z k z l + l z k ) + k= nx! a l z k = l=

16 Corolarul.. Fie n N, n şi numerele reale a, a,..., a n cu proprietatea a + a a n =. Atunci pentru orice numere complexe z, z, z,..., z n are loc identitatea: (.) z a z a z... a n z n = nx k= a k z z k X k<l n a k a l z k z l. Demonstraţie. Se aplică. pentru numerele complexe z z, z z,..., z z n. Corolarul.3. Fie n N, n. Atunci pentru orice numere complexe z, z, z,..., z n nx are loc identitatea: X (.3) z z + z z n = z z k n n n z k z l. k= k<l n Demonstraţie. Se aplică. pentru numerele a = a =... = a n = n. Corolarul.4. Fie n N, n şi numerele reale b, b,..., b n. Atunci pentru orice numere complexe z, z,..., z n are loc identitatea: (.4) b z + b z b n z n = (b + b b n ) Demonstraţie. Fie S = nx k= X k<l n nx k= b k b l z k z l. b k z k b k. Dacă S 0 atunci rezultatul este consecinţa directă a aplicării Propoziţiei. pentru numerele a = b S, a = b S,..., a n = b n S. Dacă S = 0 se verifică printr-un calcul direct. Din Corolarul.4 obţinem fără dificultate următoarele rezultate: Corolarul.5. Fie n N, n şi numerele reale pozitive b, b,..., b n. Atunci pentru orice numere complexe z, z,..., z n are loc inegalitatea: (.5) b z + b z b n z n (b + b b n ) nx k= b k z k. Corolarul.6. Fie n N, n şi numerele reale pozitive b, b,..., b n. Atunci pentru orice numere X complexe z, z,..., z n nx are loc inegalitatea: (.6) b k b l z k z l (b + b b n ) b k z k. k<l n Dacă în (.3) alegem n = şi z = 0 obţinem chiar identitatea paralelogramului. Dacă alegem n = 3 obţinem 9 z + z + z 3 = 3 z + z + z 3 Š 9 k= z z + z z 3 + z z 3 Š,

17 care combinată cu (.) conduce la (.7) z + z + z 3 + z + z + z 3 = z + z + z + z 3 + z + z 3, cunoscută sub numele de identitatea lui Hlawka. 3. Identităţi geometrice. Relaţiile din paragraful anterior au consecinţe geometrice deosebite. Pe tot parcursul acestui paragraf vom nota cu z A afixul punctului A şi analoagele, iar pentru elementele unui triunghi vom folosi notaţiile uzuale. Fie punctele A, B, C necoliniare. Se cunoaşte că pentru orice punct P din planul triunghiului ABC există şi sunt unice numerele reale α, β, γ cu α + β + γ =, astfel încât z P = αz A + βz B + γz C (vezi []). Pentru orice alt punct M din acelaşi plan avem (3.) MP = αma + βmb + γmc αβab αγac βγbc, ca o consecinţă a relaţiei (.). Relaţia (3.) admite diferite particularizări: Pentru α = β = γ =, obţinem P = G şi 3 MG = 3 Š Š MA + MB + MC a + b + c, adică relaţia lui Leibniz. Dacă în plus alegem M = O obţinem OG = R 9 9 a + b + c Š, care conduce apoi la inegalitatea a + b + c 9R. a Pentru α = a + b + c, β = b a + b + c, γ = c a + b + c MI = ama + bmb + MC abc. a + b + c Pentru M = O şi folosind abc = 4RS şi S = pr obţinem OI = R Rr, obţinem P = I şi care apoi conduce la R r, adică inegalitatea lui Euler. a Pentru α = a + b + c, β = b a + b + c, γ = c a + b + c, obţinem P = I A, adică centrul cercului exînscris corespunzător laturii BC şi Pentru M = O obţinem MIA = ama + bmb + cmc + abc. a + b + c OI A = R + 3 abc a + b + c.

18 Pentru un punct P (BC), cu β = BP BC, γ = CP BC, α = 0 şi M = A obţinem AB P C AP BC + AC P B = P B P C BC, adică relaţia lui Stewart. Fie acum patrulaterul ABCD şi E, F mijloacele diagonalelor AC respectiv BD. În (.4) alegem n = 4, b = b =, b 3 = b 4 =, z = z A, z = z C, z 3 = z B, z 4 = z D şi obţinem EF = 4 AB + BC + CD + DA AC BD Š, adică relaţia lui Euler în patrulater. În partea a doua a acestui paragraf vom prezenta câteva rezultate general valabile în orice poligon cu n laturi. Propoziţia 3.. Dacă M este un punct oarecare în planul poligonului A A... A n, iar G este centrul său de greutate, atunci are loc relaţia: MG = n nx k= MA k n X i<j n A i A j. Demonstraţie. Este interpretarea geometrică a relaţiei (.3). Corolarul 3.. Dacă A A.. X. A n este un patrulater înscris într-un cerc de rază R, atunci are loc inegalitatea: A i A j n R. i<j n Demonstraţie. Din 3.. obţinem nx k= MA k n A i A j 0 şi apoi concluzia prin alegerea lui M ca fiind centrul cercului. X i<j n Propoziţia 3.3. Dacă M, N sunt două puncte din planul poligonului A A... A n şi a, a,, a n, respectiv b, b,, b n numere reale astfel încât a +a + +a n =, b + b + + b n =, z M = MN = nx X k= a k z k şi z N = i<j n nx k= b k z k, atunci are loc relaţia (b j a j ) (b i a i ) z i z j, unde z k reprezintă afixul vârfului A k al poligonului. Demonstraţie. Avem nx nx MN = z M z N = z M b k z k = b k z M z k k= 4 k= X i<j n b i b j z i z j.

19 Dar z M z k = obţinem MN = Dar nx b k nx k= k= nx nx a i z i z k = nx i= nx X a i z k z i X i= b k =, deci MN = echivalent cu concluzia. k= i<j n i= b k a i z k z i i<j n X i<j n a i a j z i z j a i a j z i z j. Atunci X i<j n b i b j z i z j. (a i b j + a j b i a i a j b i b j ) z i z j, ceea ce este 4. Inegalităţi geometrice. Identităţile anterioare conduc la câteva inegalităţi remarcabile, dintre care o parte sunt menţionate în continuare. Propoziţia 4.. Într-un plan considerăm punctele distincte A, A,, A n şi numerele reale β, β,, β n. Pentru orice punct M din plan are loc inegalitatea: (4.) nx k! nx β k= k= β k MA k! X k<l n β k β l A k A j. Demonstraţie. Se aplică (.6) pentru numerele complexe z z, z z,, z z n unde z,z, z,, z n, reprezintă afixele punctelor M, A,, A n. În cazul particular al unui triunghi ABC şi al numerelor reale α, β, γ, (4.) devine (4.) (α + β + γ) αma + βmb + γmc Š αβab + αγac + βγbc. Corolarul 4.. Pentru orice punct M din planul triunghiului ABC are loc inegalitatea ama + bmb + cmc abc. Demonstraţie. găseşte în []. Se aplică (4.) pentru numerele reale a, b, c. O altă soluţie se Corolarul 4.3. Pentru orice punct M din planul triunghiului ABC are loc relaţia amb MC + bma MC + cma MB abc. Demonstraţie. Se aplică (4.) pentru numerele reale α = a MA, β = b MB, γ = c a MC şi obţinem MA + b MB MC + c abc (ama + bmb + cmc) MA MB + ab c MA MC + a bc a MB MC, adică MA + b MB MC + c (ama + bmb + cmc) abc (ama + bmb + cmc), ceea ce conduce la concluzie. O altă soluţie MA MB MC se găseşte în []. 5

20 Corolarul 4.4(Weitzenböck). În orice triunghi are loc relaţia a + b + c 4S 3. a a + b + c, β = b Demonstraţie. În (4.) alegem α = a + b + c, γ = c a + b + c şi M = O, obţinem 3a b c R (a + b + c ), adică a + b + c abc 3 R şi concluzia. Bibliografie. T. Andreescu, D. Andrica - Complex Numbers from A to Z, Birkhäuser, Boston, T. Andreescu, D. Andrica - Proving Some Geometric Inequalities by Using Complex Numbers, Educaţia Matematică, vol., nr. (005), V. Băndilă - O generalizare a unei relaţii a lui Leibniz şi aplicarea ei la calcularea distanţelor dintre unele puncte remarcabile ale unui triunghi, Gazeta Matematică, 90 (985), nr.. 4. O. Bottema, R.R. Janic, D.S. Mitrinovic - Geometric Inequalities, Wolters- Noordhoe Publishing, Groningen D. Marinescu - O identitate cu numere complexe, Gazeta Matematică, seria B, nr. (995). 6. D. Marinescu, I. Şerdean - Inegalităţi geometrice. Aplicaţii, Recreaţii Matematice 00, nr.. 7. C.P. Niculescu - Interferenţe între mecanică şi geometrie, Gazeta Matematică, seria A, Vol XIX, nr.. 8. O. Pop - About Bergstrom s inequality, Journal of Mathematical Inequalities, Vol.3, nr. (009). 9. R. Weitzenböck - Uber eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie, Mathematische Zeitschrift, 5(99), no. -, Vizitaţi pagina web a revistei Recreaţii Matematice: 6

21 Proprietăţi caracteristice ale triunghiului echilateral Florina TOMA Abstract. It is well-known that in a equilateral triangle the point O, H, G, I do coincide. One obtains several characterizations of the equilateral triangle as converse properties of this sentence. Keywords: circumcenter, orthocenter, centroid, incenter. MSC 000: 5M04. Scopul notei de faţă este găsirea unor proprietăţi caracteristice triunghiului echilateral. Se ştie că într-un triunghi ABC echilateral punctele importante: O, G, H, I, Γ (Gergonne), N (Nagel), K (Lemoine) etc. coincid. Ca urmare coincid şi triunghiurile pedale corespunzătoare (adică triunghiurile determinate de picioarele cevienelor concurente în fiecare dintre aceste puncte importante în parte). În notarea acestora vom folosi indici; astfel, punctului H (ortocentru) îi corespunde A H B H C H (triunghiul ortic) având punctele importante, cu semnificaţii evidente, O H, G H, H H, I H etc. Reciproc, dacă două puncte importante, luate din ABC sau din diferite triunghiuri pedale, coincid, putem afirma că ABC este echilateral? Din mulţimea cazurilor ce apar în această formulare generală a problemei, avem în vedere doar pe acelea în care un punct X {O, G, H, I} coincide cu unul dintre punctele importate ale A I B I C I, A H B H C H, A G B G C G sau A O B O C O. Chiar şi aşa, teoretic găsim = 64 cazuri posibile, motiv pentru care vom rezolva numai o parte dintre ele. Vom avea în vedere numai triunghiuri ascuţitunghice. Mai întâi, enunţăm fără demonstraţie un rezultat simplu şi util: Lemă. Fie punctele M (BC), N (CA) şi P (AB). Dacă MNP este echilateral şi ANP, BP M, CMN sunt isoscele, cu vârfurile A, B şi C, atunci ABC este echilateral.. Cazul I şi A I B I C I. Vom vedea că ABC este echilateral, dacă I coincide cu unul dintre punctele O I, I I, G I, H I. Propoziţia.. Dacă I O I, atunci ABC este echilateral. Demonstraţie. Fie D = pr BC I, E = pr CA I şi F = pr AB I. Avem: IDA I IEB I IF C I (IC). Deci Ö IAI D Õ IBI E Õ ICI F, relaţie care revine laò C + b A Ò C + Ò B b A + Ò C. Rezultă că b A Ò B Ò C, adică ABC este echilateral. Propoziţia.. Dacă I I I, atunci ABC este echilateral. Elevă, cl. a X-a, Colegiul Naţional, Iaşi C I B F A I D A I E B I C 7

22 b Ø Demonstraţie. AA I este bisectoare pentru A şi BI A I C I. Ca urmare, AA I C I AA I B I (ULU) şi avem: AB I = AC I, adică AB I C I este isoscel, şi A I B I = A I C I. La fel obţinem că BC I A I şi CA I B I sunt isoscele şi B I C I = B I A I, C I A I = C I B I. Conform Lemei, ABC este echilateral. Propoziţia.3. Dacă I G I, atunci ABC este echilateral. Demonstraţie. I fiind centru de greutate în A I B I C I, rezultă că bisectoarea AA I trece prin mijlocul laturii B I C I ; deci AB I C I este isoscel cu vârful în A. Analog, BC I A I este isoscel cu vârful în B şi CA I B I este isoscel cu vârful în C. În acelaşi timp, AA I B I C I, BB I C I A I şi CC I A I B I, adică în A I B I C I medianele sunt şi înălţimi; deci, A I B I C I este echilateral. Conform Lemei, obţinem că ABC este echilateral. Propoziţia.4. Dacă I H I, atunci ABC este echilateral. Demonstraţie. Avem AI B I C I şi AI bisectoare în AB I C I. Acest triunghi va fi isoscel de vârf A. Afirmaţii analoage relativ la BC I A I şi CA I B I. Din cele deja văzute, AA I, BB I, CC I sunt mediane în A I B I C I. Cum, din ipoteză, ele sunt şi înălţimi, rezultă că A I B I C I este echilateral. Utilizând Lema, deducem că ABC este echilateral.. Cazul G şi A G B G C G (triunghiul median). Observăm că punctul G este centru de greutate atât pentru ABC cât şi pentru A G B G C G, adică G G G. Altfel spus, coincidenţă G G G nu impune triunghiului dat vreo restricţie. Dar coincidenţele G O G, G H G, G I G revin la G G O G, G G H G, G G I G ; ca urmare, triunghiul median va fi echilateral dacă una dintre aceste ultime relaţii are loc. În final ABC, care este asemenea cu cel median, va fi echilateral dacă are loc una dintre coincidenţele G O G (O G este centrul cercului lui Euler), G = H G, G I G. 3. Cazul H şi A H B H C H (triunghiul ortic). Observăm acum că ortocentrul H este centrul cercului înscris (punctul I H ) al A H B H C H, adică H I H. Ca şi în cazul precedent, coincidenţa H I H nu impune triunghiului ABC nicio restricţie, dar oricare dintre condiţiile: H O H (O H este centrul cercului lui Euler), H G H, H H H conduce la faptul că ABC este echilateral (se utilizează Lema!). 4. Cazul O şi A O B O C O. Vom utiliza mai jos faptul că înălţimea din A şi diametrul prin A fac unghiuri egale cu laturile AB şi respectiv AC. Propoziţia 4.. Dacă O O O, atunci ABC este echilateral. Õ Õ Demonstraţie. Avem OAO B OBO A (LUL). Ca urmare, OAOB OBOA. Dar m(õ OAOB ) = m(õ BAHA ) = π B (s-a consi- A derat, ca în figură, m(ò B) m( Ò C). Deci, m( Õ OBOA ) = π B. Dar, în triunghiul OBC avem m(õ BOC) = m( b A) şi, ca urmare, m(õ OBOA ) = π A. Va rezulta că A = B şi în final ABC va fi echilateral. 8 B O C H A O O A O B C

23 Propoziţia 4.. Dacă O H O, atunci ABC este echilateral. Demonstraţie. Rezultă că AO B O C O. Aşadar, m(ø ABO C O ) = π m(õ OABO ) = π π B = B, adică B O C O este antiparalelă cu BC şi m(õ OBOA ) = m(ö OAOB ) = π B (patrulaterul ABO AO B este inscriptibil). Se continuă ca în propoziţia precedentă şi se deduce că ABC este echilateral. Propoziţia 4.3. Dacă O G O, atunci ABC este echilateral. Demonstraţie. Cu teorema sinusurilor, aplicată în ABA O şi ACA O obţinem: A O B A O C = c sin[a ( π C)] b sin( π B) = c cos C sin C = b cos B sin B ; analog, B OC sin A = B O A sin C şi C OA C O B = sin B sin A. De aici, obţinem relaţiile: B b sin C OA = sin A + sin C, C c sin B OA = sin A + sin B. Acum, să observăm că, în conformitate cu ipoteza, AO trece prin mijlocul M al segmentului B O C O. Cu teorema sinusurilor, relativ la AMB O şi AMC O, vom obţine: = MB O sin( π = B)AB O MC O sin[a ( π B)]AC = cos B AB O. Deci, cos B O cos C AC O AB O = cos C AC O şi, ţinând seama de expresiile găsite pentru AB O şi AC O, b cos B sin C sin A + sin C = c cos C sin B. Număratorii fiind egali, obţinem sin C = sin B sin A + sin B şi apoi B = C. La fel obţinem C = A, ceea ce încheie demonstraţia. Observaţii. ) În cazul O I O calculele se complică şi mai mult; propunem cititorilor să se ocupe de această situaţie. ) Dacă vom,,încrucişa cazurile să cerem coincidenţa unor puncte importante din triunghiuri pedale diferite (de exemplu, I G = H O etc.) vor apărea dificultăţi mari, imposibil de abordat cu mijloace elementare. Bibliografie. C. Cocea 00 de probleme din geometria triunghiului echilateral, Editura,,Gh. Asachi Iaşi, 99.. V. Nicula Geometrie plană (sintetică, vectorială, analitică). Culegere de probleme, Editura Gil, Zalău, Gh. Ţiţeica Probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 96. 9

24 A Group-Permutation Algorithm to Solve the Generalized SUDOKU Florentin SMARANDACHE Abstract. Sudoku can be generalized to squares whose dimensions are n n, where n, using various symbols (numbers, letters, mathematical symbols, etc.), written just one time on each row and on each column; and the large square is divided into n small squares with the side n n and each will contain all n symbols written only once. In this paper we present an elementary solution for the generalized sudoku based on a group-permutation algorithm. Keywords: permoutation, group, sudoku. MSC 000: 00A08, 97A0. Sudoku is a game with numbers, formed by a square with the side of 9, and on each row and column are placed the digits,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, written only one time; the square is subdivided in 9 smaller squares with the side of 3 3, which, also, must satisfy the same condition, i.e. each square to contain all digits from to 9 written only once. The Japanese company Nikoli has popularized this game in 986 under the name of sudoku, meaning single number. Sudoku can be generalized to squares whose dimensions are n n, where n, using various symbols (numbers, letters, mathematical symbols, etc.), written just one time on each row and on each column; and the large square is divided into n small squares with the side n n and each will contain all n symbols written only once. An elementary solution of one of these generalized Sudokus, with elements (symbols) from the set S = {s, s,..., s n, s n+,..., s n,..., s n } (supposing that their placement represents the relation of total order on the set of elements S), is: Row : all elements in ascending order s, s,..., s n, s n+,..., s n,..., s n On the next rows we will use circular permutations, considering groups of n elements from the first row as follows: Row : s n+, s n+,..., s n ; s n+,..., s 3n ;..., s n ; s, s,..., s n Articolul a fost publicat de autor în cartea sa Frate cu meridianele şi paralelele, vol. IV, pp. 0-0, Offsetcolor, Rm. Vâlcea, 008. Autorul are acordul editurii de republicare a articolului în revista Recreaţii Matematice. University of New Mexico, Gallup Campus, USA 0

25 Row 3: s n+,..., s 3n ;..., s n ; s, s,..., s n ; s n+, s n+,..., s n,... Row n: s n n+,..., s n ; s,..., s n ; s n+, s n+,..., s n ;..., s 3n ;..., s n n. Now we start permutations of the elements of row n + considering again groups of n elements. Row n + : Row n + : s,..., s n, s n+ ; s n+,..., s n, s n+ ;... ; s n n+,..., s n, s s n+,..., s n, s n+ ;... ; s n n+,..., s n, s ; s,..., s n, s n+... Row n: Row n + : s n n+,..., s n, s ; s,..., s n, s n+ ; s n+,..., s n, s n+ ;... s 3,..., s n+ ; s n+3,..., s n+ ;... ; s n +3,..., s n, s, s and so on. Replacing the set S by any permutation of its symbols, which we ll note by S, and applying the same procedure as above, we will obtain a new solution. The classical Sudoku is obtained for n = 3. Below is an example of this group-permutation algorithm for the classical case: For a 4 4 square we use the following 6 symbols: {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P } and use the same group-permutation algorithm to solve this Sudoku.

26 From one solution to the generalized Sudoku we can get more solutions by simply doing permutations of columns or/and of rows of the first solution. A B C D E F G H I J K L M N O P E F G H I J K L M N O P A B C D I J K L M N O P A B C D E F G H M N O P A B C D E F G H I J K L B C D E F G H I J K L M N O P A F G H I J K L M N O P A B C D E J K L M N O P A B C D E F G H I N O P A B C D E F G H I J K L M C D E F G H I J K L M N O P A B G H I J K L M N O P A B C D E F K L M N O P A B C D E F G H I J O P A B C D E F G H I J K L M N D E F G H I J K L M N O P A B C H I J K L M N O P A B C D E F G L M N O P A B C D E F G H I J K P A B C D E F G H I J K L M N O Bibliografie. Z. Pitkow Sudoku: Medium to Hard, Chronicle Books, F. Longo Absolutely Nasty Sudoku Level 4 (Mensa), Puzzlewright, P. Gordon, F. Longo Mensa Guide to Solving Sudoku: Hundreds of Puzzles Plus Technique to Help You Crack Them All, Sterling, 006. (continuare de la pag. 0) Soluţie. Avem adunarea abc + a b c = ABC. Prima condiţie din ipoteză este: a + b + c + a + b + c + A + B + C = = 45 şi se scrie: A + B + C = 45 (a + b + c + a + b + c ) (). Avem patru cazuri: I. a + a = A, b + b = B, c + c = C () A + B + C = 45, contradicţie; II. a + a + = A, b + b + = 0 + B, c + c = 0 + C () A + B + C = 7, contradicţie; III. a + a = A, b + b + = B, c + c = 0 + C () A + B + C = 8. IV. a + a + = A, b + b = 0 + B, c + c = C () A + B + C = 8. (continuare la pag. 7)

27 Graphes et matrices de Moore Adrien REISNER Abstract. Let G be any graph with maximum degree d and diameter D =. A Moore graph is defined as a graph for which n = d +, where n is the order of G. Some elementary properties of these graphs are presented. It is proved the Hoffman-Singleton theorem, which asserts that d {, 3, 7, 57}. A particular attention is given to the Moore graphs with degree and 3. Keywords: Moore graph, Moore matrix, Petersen graph, Hoffman-Singleton graph. MSC 000: 05C50. I. Quelques définitions de la théorie des graphes. Un graphe non orienté G = (S, A) est défini par un ensemble fini quelconque S dont les éléments sont appelés les sommets et par un sous - ensemble A de S S dont les éléments sont appelés les arêtes. Le cardinal de S est l ordre du graphe. Les sommets a et b sont adjacents si (a, b) A. Le nombre de sommets adjacents au sommet a est appelé le degré de a, noté d(a). Le degré maximal de G est d = Max s S d(s). Un chemin de longueur n entre les sommets a et b est une suite (a = x 0, x,..., x n = b) de sommets adjacents. Pour toute paire de sommets a, b de G la distance de a à b est la longueur du plus court chemin entre a et b. Le diamètre D du graphe G est la distance maximale entre deux sommets distincts de G. Ayant numéroté les sommets d un graphe G d ordre n : S = {x i i :,..., n} la matrice d adjacence du graphe G est la matrice Adj(G) = (a ij ) i,j n M n (R) définie par: a ij = si x i, x j sont adjacents et a ij = 0 sinon. Exemple. A= est la matrice d adjacence du graphe Soit un graphe G d ordre n de diamètre D = (deux sommets quelconques sont donc à une distance ou ) et de degré maximal d. Proposition. On a : n d +. En effet, fixons un sommet s S. Ce sommet s possède au plus d voisins et chacun de ceux-ci possède au plus d voisins autres que s. Donc le graphe possède au plus d + + d(d ) = d + sommets. II. Graphes et matrices de Moore. On appelle d-graphe de Moore un graphe non orienté de diamètre D = et vérifiant: n = d +. La matrice d adjacence d un tel graphe est une matrice de Moore. Le raisonnement de la proposition montre que dans un d-graphe de Moore chaque sommet est de degré d et est relié à tout sommet distinct par exactement un chemin (d ordre ou ) (*). J n étant la matrice carrée d ordre n dont tous les coefficients valent, on a le théorème: Théorème. Une matrice de Moore A est une matrice binaire telle que: i) A est symétrique, ii) tra = 0, iii) il existe d vérifiant: A + A (d )I n = J n. Centre de Calcul E.N.S.T., Paris; Adrien.Reisner@telecom-paristech.fr 4 3

28 Etant donné A = (a ij ) une matrice de Moore, démontrons d abord le lemme suivant où A = (α ij ): Lemme. α ij est le nombre de chemins de longueur du sommet i au sommet j. En effet, α ij = np k= a ik a kj = a ik a jk la matrice A étant symétrique. α ij est le nombre de communs à la ligne i et à la ligne j: c est aussi le nombre de chemins de longueur du sommet i au sommet j compte tenu de la définition même de la matrice d adjacence A du graphe de Moore. Un d-graphe de Moore G étant non orienté, sa matrice d adjacence est symétrique. D après (*) a ii = 0 pour tout i :,..., n et par suite tra = 0. Si j = i, on a a ii = 0 et α ii = nx k= a ik = d nombre de sommets voisins du i-ème sommet; donc a ii + α ii = d. Si i j, soit a ij = 0 et alors les sommets i et j sont reliés par un chemin de longueur et α ij =, soit a ij = et les sommets i et j ne sont pas reliés par un chemin d ordre, donc α ij = 0. Dans tous les cas on a: a ij + α ij =. Finalement: a ij + α ij = + (d )δ ij soit A + A (d )I n = J n. On se propose d étudier le spectre de la matrice A, i.e. l ensemble des valeurs propres de cette matrice, et de montrer que le degré maximal d d un d-graphe de Moore appartient obligatoirement à l ensemble {, 3, 7, 57}. Soit une matrice de Moore A = (a ij ). U étant le vecteur colonne dont tous les coefficients sont égaux à, on a: Théorème 3. d est valeur propre de la matrice A associé au vecteur propre U : AU = du. Avec les notations précédentes α ii est le nombre de dans la ligne i et d autre part - voir démonstration du théorème α ii = d, d où le théorème 3. Soit E d le sous-espace propre associé à d. b et c étant les racines du polynôme X + X (d ) : b = 4d 3 < 0 et c = + 4d 3 > 0, on a le théorème suivant: Théorème 4. Le spectre Sp(A) de la matrice A est tel que Sp(A) {b, c, d}. Soit λ Sp(A) et X un vecteur propre associé, i.e. AX = λx. On a alors: J n X = (λ + λ (d ))X. Par suite X est aussi vecteur propre de la matrice J n pour la valeur propre λ + λ (d ). Or cette matrice J n est de rang et diagonalisable: Sp(J n ) = {0, n}. Il en résulte alors soit que les vecteurs X et U sont liés et dans ce cas λ = d compte tenu du théorème 3, soit X = KerJ n et dans ce cas λ {b, c}. La matrice A étant symétrique réelle, elle est diagonalisable dans une base B orthonormée. Le sous-espace propre associé à la valeur propre d est la droite vectorielle RU. Théorème 5 (Hoffman et Singleton, 960). On a d {, 3, 7, 57} (voir [] pour une démonstration utilisant des outils de la théorie des graphes). 4

29 Soient E b et E c les sous espaces propres associés aux valeurs propre b et c respectivement. Désignons par β = dim E b N. Il vient alors, la matrice A étant diagonalisable et avec dim E d = : dim E c = n β = d β. Exprimons que tr A = 0 : d + βb + (d β)c = 0, avec β N. On obtient: d + β 4d 3 + (d β) + 4d 3 = 0, d où () (d β) 4d 3 = d d soit β = d( d) + d 4d 3 N 4d 3 β étant un entier non nul, on a d = et donc β =, sinon p = 4d 3 N. La relation () montre alors que p divise d d = p d d = p + 3 p 5. Cela impose que p divise 5 soit que p {, 3, 5, 5}. Les p + 5, donc que 6p divise seules valeurs possibles pour d sont donc finalement: d {, 3, 7, 57} (Le cas p =, d = doit être écarté car alors n = et le diamètre est ). Exemple. On se propose de trouver tous les -graphes de Moore (donc n = 5). Soit B = {e, e,..., e 5 } la base canonique de R 5. Pour i, j, k, l, m {,..., 5}, tous distincts deux à deux, soit f un endomorphisme tel que Mat(f, B) = A M 5 (R) soit une matrice de Moore. Alors f est tel que: f(e i ) = e j + e k, f(e j ) = e i + e l, f(e k ) = e i + e m, f(e l ) = e j + e m, f(e m ) = e k + e l. Un simple raisonnement combinatoire montre alors que le nombre N des -graphes de Moore est: N = (3 + + ) =. Les douze -graphes de Moore (n = 5) sont les suivants: III. Applications. A. Graphe de Cayley d un groupe fini. On considère un groupe fini Γ = {g j } d élément neutre et K une partie génératrice de Γ vérifiant: K = K et / K. On appelle graphe de Cayley du groupe associé à K le graphe... ẓ.... z z z 0= z. z 0=. z 3 z 4 z 3 z

30 Cay(Γ, K) = (S, A) ainsi défini: S = {g j }, (g i, g j ) A g i g j K. Soit le groupe cyclique U 5 = {z j = e iπj 5 } j:0,...,4 et K = {z, z 4 }, K = {z, z 3 }. Les graphes de Cayley Cay(U 5, K ) et Cay(U 5, K ) sont les deux -graphes de Moore ci-dessus. B. Matrice de Gram. Soit l espace vectoriel euclidien R 5 rapporté à la base orthonormée B = {e, e,..., e 5 }. On note < u, v > le produit scalaire de deux vecteurs u et v de R 5. On considère tous les vecteurs u j obtenus en ajoutant deux vecteurs distincts de la base B: u j = e α + e β où α β. On obtient ainsi 0 vecteurs distincts deux à deux (en effet, en utilisant le fait que la famille (e k ) k:,...,5 est libre on a = 0 choix possibles). La matrice de Gram de la famille des vecteurs (u j ) j:,...,0 est définie par: M = Gram(u j ) = (m ij ) M 0 (R) avec m ij =< u i, u j >. Calculons les produits scalaires < u i, u j > en distinguant trois cas: ) < u i, u i >=< e α, e α > + < e α, e β > + < e β, e β >= si u i = e α + e β ; ) < u i, u j >=< e α, e α > + < e α, e γ > + < e β, e α > + < e α, e γ >= si u i = e α + e β et u j = e α + e γ, β γ; 3) < u i, u j >= 0 si u i = e α + e β et u j = e δ + e γ α, β, δ, γ distincts. On vérifie alors immédiatement la proposition suivante: Proposition 6. La matrice A = J 0 M + I 0 est une matrice de Moore. SpA Z. En particulier, i étant fixé, soit u i = e α + e β où α β. Si u j = e δ + e γ on a m ij = si et seulement si les quatre indices α, β, δ, γ sont distincts. Pour i donné il y a donc 3 = 3 tels coefficients: dans ce cas d = 3 (donc on a bien n = 0). Le 3-graphe de Moore ainsi obtenu est un graphe de Petersen - voir ce graphe ci-dessous (la figure de droite). C. Configuration de Desargues. Soient ABC et A B C deux triangles sans sommets communs. Si AA, BB et CC sont concourantes en I, alors les points C A L I. C A B B J K B.... L B... A K. A C. C J. I J = AB A B, K = BC B C et L = CA C A sont alignés: c est le théorème 6

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss

More information

Soluţii juniori., unde 1, 2

Soluţii juniori., unde 1, 2 Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2

ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2 ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,

More information

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number

O V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.

More information

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1

Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1 Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we

More information

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations

More information

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1

Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass

More information

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015

PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015 PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei

More information

Sisteme cu logica fuzzy

Sisteme cu logica fuzzy Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R

More information

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS

COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS 74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical

More information

THE OLYMPIAD CORNER No. 305

THE OLYMPIAD CORNER No. 305 THE OLYMPIAD CORNER / 67 THE OLYMPIAD CORNER No. 305 Nicolae Strungaru The solutions to the problems are due to the editor by 1 January 014. Each problem is given in English and French, the official languages

More information

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)

Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina

More information

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI

Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu

More information

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE

MATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4

More information

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π

A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se

More information

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS

FINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH

More information

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations

Habilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE

APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Editura Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 006 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY

TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare

More information

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE S. Rădulescu, M. Drăgan, I. V. Maftei, On W. J. Blundon s inequality 3 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE SOME CONSEQUENCES OF W.J.BLUNDON S INEQUALITY Sorin Rădulescu 1), Marius Drăgan 2), I.V.Maftei 3) Abstract.

More information

Outils de Recherche Opérationnelle en Génie MTH Astuce de modélisation en Programmation Linéaire

Outils de Recherche Opérationnelle en Génie MTH Astuce de modélisation en Programmation Linéaire Outils de Recherche Opérationnelle en Génie MTH 8414 Astuce de modélisation en Programmation Linéaire Résumé Les problèmes ne se présentent pas toujours sous une forme qui soit naturellement linéaire.

More information

Some Equivalent Characterizations of Inner Product Spaces and Their Consequences

Some Equivalent Characterizations of Inner Product Spaces and Their Consequences Filomat 9:7 (05), 587 599 DOI 0.98/FIL507587M Published by Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.rs/filomat Some Equivalent Characterizations

More information

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile

More information

Probleme pentru pregătirea concursurilor

Probleme pentru pregătirea concursurilor Probleme pentru pregătirea concursurilor A. Nivel gimnazial G326. Pentru a-şi face provizii pentru iarnă, spiriduşii trebuie să culeagă ciuperci din pădure. Ciupercile cresc în 2017 poieniţe, însă în una

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Autor: Instituţia: Coordonator

Autor: Instituţia: Coordonator Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way George Polya Autor: Instituţia: Coordonator ştiinţific:

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul X, Nr. 1 Ianuarie Iunie 008 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 15 de ani de la apariţia revistei Recreaţii Ştiinţifice (1883 1888) e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii

More information

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR

PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi

More information

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS

2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE

More information

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY

ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE R.M.M. Nr.20-2018 1 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE NR. 20 ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY Mehedinți Branch DANIEL SITARU-ROMANIA

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

STRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM MECHANICS WITH APPLICABILITY IN SOIL MECHANICS

STRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM MECHANICS WITH APPLICABILITY IN SOIL MECHANICS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Volumul 63 (67), Numărul 3, 2017 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ STRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM

More information

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 70, No. 3, 008 ISSN 454-34 ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS Mihaela Florentina MATEI Analiza dispersiei, ANOVA, reprezintă una din metodele statistice, dintre cele mai

More information

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2

Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2 Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice

More information

New aspects of Ionescu Weitzenböck s inequality

New aspects of Ionescu Weitzenböck s inequality New aspects of Ionescu Weitzenböck s inequality Emil Stoica, Nicuşor Minculete, Cătălin Barbu Abstract. The focus of this article is Ionescu-Weitzenböck s inequality using the circumcircle mid-arc triangle.

More information

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)

Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete

Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete 72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,

More information

Apprentissage automatique Méthodes à noyaux - motivation

Apprentissage automatique Méthodes à noyaux - motivation Apprentissage automatique Méthodes à noyaux - motivation MODÉLISATION NON-LINÉAIRE prédicteur non-linéaire On a vu plusieurs algorithmes qui produisent des modèles linéaires (régression ou classification)

More information

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)

GAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C) GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for

More information

Cercet¼ari operaţionale

Cercet¼ari operaţionale Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare

More information

CURRICULUM VITAE SERGIU SIMA STUDII ȘI DIPLOME

CURRICULUM VITAE SERGIU SIMA STUDII ȘI DIPLOME CURRICULUM VITAE SERGIU SIMA Adresa: Str. REVOLUŢIEI, Nr. 22 A, CÂMPULUNG, Jud. ARGEŞ; E-mail: sergiu_s21@yahoo.co.uk Tel.: 0740139745 STUDII ȘI DIPLOME 10.01.2013 Diploma de doctor 01.10.2009 30.09.2012

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

Geometry Problem booklet

Geometry Problem booklet Geometry Problem booklet Assoc. Prof. Cornel Pintea E-mail: cpintea math.ubbcluj.ro Contents 1 Week 1: Vector algebra 1 1.1 Brief theoretical background. Free vectors..................... 1 1.1.1 Operations

More information

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE

GENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la

More information

Counties of Romania List

Counties of Romania List O P A Romanian PSK Award eria de diplome Romanian PSK Award a fost conceputa de clubul European de PSK (EPC) la data de 22 mai 009. Scopul fiind de a stimula activitatea PSK cu statii de radioamatori din

More information

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP , GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

LISTA DE LUCRĂRI. 1. Cele mai relevante 10 articole pentru realizările profesionale obţinute ulterior conferirii titlului de doctor în 2002

LISTA DE LUCRĂRI. 1. Cele mai relevante 10 articole pentru realizările profesionale obţinute ulterior conferirii titlului de doctor în 2002 Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematică şi Informatică Departamentul de Mathematică Conferenţiar Dr. BOGDAN SASU LISTA DE LUCRĂRI 1. Cele mai relevante 10 articole pentru realizările

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information

Anexa 1. CURRICULUM VITAE*)

Anexa 1. CURRICULUM VITAE*) UNlVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI SELECTAREA SI PROMOVAREA PERSONALULUI DIDACTIC Anexa 1. CURRICULUM VITAE*) Liviu Gabriel Marcoci, Facultatea de Instalatii 1. DATA ŞI LOCUL NAŞTERII. STUDII,

More information

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul VII, Nr. Iulie Decembrie 005 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 00 de ani de la introducerea distanţei între mulţimi de către Dimitrie Pompeiu e iπ = Editura Crenguţa

More information

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.

More information

Manual Limba Germana

Manual Limba Germana Manual Limba Germana If you are searched for the book Manual limba germana in pdf format, in that case you come on to loyal site. We furnish utter variation of this ebook in txt, doc, epub, DjVu, PDF formats.

More information

Apprentissage automatique Machine à vecteurs de support - motivation

Apprentissage automatique Machine à vecteurs de support - motivation Apprentissage automatique Machine à vecteurs de support - motivation RÉGRESSION À NOYAU régression à noyau Algorithme de régression à noyau entraînement : prédiction : a = (K + λi N ) 1 t. y(x) =k(x) T

More information

CURRICULUM VITAE. Prof.dr. Bucur Gheorghe. Teza de doctorat: ''Structuri simpliciale in spatii topologice'', 1970.

CURRICULUM VITAE. Prof.dr. Bucur Gheorghe. Teza de doctorat: ''Structuri simpliciale in spatii topologice'', 1970. CURRICULUM VITAE Prof.dr. Bucur Gheorghe Data nasterii: 26 ianuarie 1939 Studii: Facultatea de Matematica din Bucuresti, 1961 Teza de doctorat: ''Structuri simpliciale in spatii topologice'', 1970. Pozitii

More information

LISTA DE LUCRARI. Prof.univ.dr. Emil C. Popa

LISTA DE LUCRARI. Prof.univ.dr. Emil C. Popa LISTA DE LUCRARI Prof.univ.dr. Emil C. Popa 1 Teza de doctorat T1. Contributii la calculul operatorial finit, Universitatea Babes- Bolyai din Cluj - Napoca, p.103., 1998. 2 Carti publicate Ca1. Emil C.

More information

Kato s inequality when u is a measure. L inégalité de Kato lorsque u est une mesure

Kato s inequality when u is a measure. L inégalité de Kato lorsque u est une mesure Kato s inequality when u is a measure L inégalité de Kato lorsque u est une mesure Haïm Brezis a,b, Augusto C. Ponce a,b, a Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, BC 187, 4

More information

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II

Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi

More information

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii

Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE

More information

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI

TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator

More information

ANALYTICAL AND GRAPHICAL SOLUTIONS TO PROBLEMS IN DESCRIPTIVE GEOMETRY INVOLVING PLANES AND LINES

ANALYTICAL AND GRAPHICAL SOLUTIONS TO PROBLEMS IN DESCRIPTIVE GEOMETRY INVOLVING PLANES AND LINES ULETINUL INSTITUTULUI POLITENI DIN IŞI Publicat de Uniersitatea Tenică George saci din Iaşi Tomul LVII (LXI) Fasc 3 0 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI NLYTIL ND GRPIL SOLUTIONS TO PROLEMS IN DESRIPTIVE GEOMETRY

More information

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Exercise sheet n Compute the eigenvalues and the eigenvectors of the following matrices. C =

Exercise sheet n Compute the eigenvalues and the eigenvectors of the following matrices. C = L2 - UE MAT334 Exercise sheet n 7 Eigenvalues and eigenvectors 1. Compute the eigenvalues and the eigenvectors of the following matrices. 1 1 1 2 3 4 4 1 4 B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C = Which of the previous

More information

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015

Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015 Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,

More information

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2

U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 3, 2012 ISSN SCALAR OPERATORS. Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 U.P.B. ci. Bull., eries A, Vol. 74, Iss. 3, 212 IN 1223-727 A CALAR OPERATOR Mariana ZAMFIR 1, Ioan BACALU 2 În această lucrare studiem o clasă nouă de operatori numiţi -scalari. Aceştia apar în mod natural,

More information

A Sequence of Triangles and Geometric Inequalities

A Sequence of Triangles and Geometric Inequalities Forum Geometricorum Volume 9 (009) 91 95. FORUM GEOM ISSN 1534-1178 A Sequence of Triangles and Geometric Inequalities Dan Marinescu, Mihai Monea, Mihai Opincariu, and Marian Stroe Abstract. We construct

More information

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate

Ordin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate CASA NATIONALA DE ASIGURARI DE SANATATE Ordin pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate Având în vedere: Act publicat in Monitorul Oficial al

More information

VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK

VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE NATURALE BY MIKHAIL TOMBAK DOWNLOAD EBOOK : VINDECAREA BOLILOR INCURABILE PRIN METODE Click link bellow and free register to download ebook: VINDECAREA BOLILOR

More information

FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR DOMENIUL MATEMATICĂ

FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR DOMENIUL MATEMATICĂ Pag.1 din13 FISA DE VERIFICARE A INDEPLINIRII STANDARDELOR MINIMALE NECESARE ŞI OBLIGATORII PENTRU GRADUL DE CONFERENŢIAR UNIVERSITAR Conform ORDINULUI Nr. 6560 din 20 decembrie 2012 privind aprobarea

More information

Graduări pe algebre de matrice

Graduări pe algebre de matrice UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu

More information

ERRORS IN CONCRETE SHEAR WALL ELASTIC STRUCTURAL MODELING

ERRORS IN CONCRETE SHEAR WALL ELASTIC STRUCTURAL MODELING BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 2, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ĂRHITECTURĂ ERRORS IN CONCRETE SHEAR WALL ELASTIC

More information

THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS UNDER LOAD COMBINATIONS

THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS UNDER LOAD COMBINATIONS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LX (LXIV), Fasc. 3, 2014 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ THE BEHAVIOUR OF ELASTOMERIC BEARINGS

More information

COMPARATIVE STUDY ON DETERMINING THE INTERNAL FRICTION ANGLE FOR SAND

COMPARATIVE STUDY ON DETERMINING THE INTERNAL FRICTION ANGLE FOR SAND BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LX (LXIV), Fasc. 2, 214 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ COMPARATIVE STUDY ON DETERMINING THE

More information

Alte rezultate din teoria codurilor

Alte rezultate din teoria codurilor Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)

Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum

More information

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD

QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială

More information

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

Bounds for Elements of a Triangle Expressed by R, r, and s

Bounds for Elements of a Triangle Expressed by R, r, and s Forum Geometricorum Volume 5 05) 99 03. FOUM GEOM ISSN 534-78 Bounds for Elements of a Triangle Expressed by, r, and s Temistocle Bîrsan Abstract. Assume that a triangle is defined by the triple, r, s)

More information

NOTE ON HADWIGER FINSLER S INEQUALITIES. 1. Introduction

NOTE ON HADWIGER FINSLER S INEQUALITIES. 1. Introduction Journal of Mathematical Inequalities Volume 6, Number 1 (01), 57 64 NOTE ON HADWIGER FINSLER S INEQUALITIES D.Ş. MARINESCU, M.MONEA, M.OPINCARIU AND M. STROE (Communicated by S. Segura Gomis) Abstract.

More information

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE

More information

Logică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017

Logică și structuri discrete. Marius Minea   25 septembrie 2017 Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides

More information

About the Japanese theorem

About the Japanese theorem 188/ ABOUT THE JAPANESE THEOREM About the Japanese theorem Nicuşor Minculete, Cătălin Barbu and Gheorghe Szöllősy Dedicated to the memory of the great professor, Laurenţiu Panaitopol Abstract The aim of

More information

Identities and inequalities in a quadrilateral

Identities and inequalities in a quadrilateral OCTOGON MATHEMATICAL MAGAZINE Vol. 17, No., October 009, pp 754-763 ISSN 1-5657, ISBN 978-973-8855-5-0, www.hetfalu.ro/octogon 754 Identities inequalities in a quadrilateral Ovidiu T. Pop 3 ABSTRACT. In

More information

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific

More information