REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAłII LINIARE

Transcription

1 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAłII LINIARE. DETERMINANłI NUMERICI Fe dtă o mtrce pătrtcă rtrră de ord :,,2, 2, 2,2 2, A =.,,2, Fecăre d mtrcele de cest tp î este soctă o vlore umercă, umtă determt. Determtul pote f deft î mod ductv. NotŃ folostă petru determtul mtrce A este det(a ). I. Ordul mtrce A este. Mtrce este formtă dtr-u sgur elemet. Determtul mtrce A v f chr vlore elemetulu. Exemplu: A ( ) = 7 ; det( A) = 7. 2 II. Petru o mtrce de ordul 2, A = 2 determtul v f egl cu vlore 22 exprese (dfereń produselor elemetelor de pe dgol prcplă ş ce secudră). Exemplu: 2 5 A = ; det( A ) = III. Petru o mtrce de ordul 3, A = determtul pote f clcult folosd regul lu Srrus (regul dgolelor ş trughurlor). Terme cu semul (+) î sum ce corespude vlor determtulu se oń îmulńd elemetele de pe dgol prcplă ş cele d vârfurle trughurlor, cre u zele prlele cu dgol prcplă (deseul ). Terme cu semul ( ) se oń îmulńd umerele de pe dgol secudră ş cele d vârfurle trughurlor, cre u zele prlele cu dgol secudră (deseul ).,,2,3,,2,3 2, 2,2 2,3 2, 2,2 2,3 3, 3,2 3,3 3, 3,2 3,3 Deseul Schem ońer termelor poztv sume Deseul Schem ońer termelor egtv sume Astfel, petru o mtrce de ordul 3 determtul pote f clcult drect după formul:

2 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 2 det( A) = + +., 2,2 3,3,3 2, 3,2,2 2,3 3,,3 2,2 3, 2,,2 3,3, 2,3 3,2 Exemplu: 3 7 A= ; det( A) = ( ) ( ) = = 0. Petru defń determtulu ue mtrce de ord se v folos ońue de mor: Se umeşte mor de ord l elemetulu l mtrce A de rg ( > ) determtul mtrce de rg, ońută d mtrce A pr excludere râdulu ş coloe. Vom ot morul elemetulu pr A,, ude dcă râdul, r colo l tersecń căror se flă elemetulu. Vom cercet mtrce d exemplul precedet. Petru clcul morul A,2 elemetulu,2 se exclude d mtrce l ş colo 2: A = ; A,2 = det = 2. 2 IV. Se umeşte determt l mtrce A de rg vlore exprese + ( ) A,. = Coform defńe,,2, 2, 2,2 2, + = det( A) = = ( ) A,,2, =,, Fe dtă mtrce de ordul 4:,,2,3,4 2, 2,2 2,3 2,4 A =, det( A) =, A,,2 A,2 +,3 A,3,4 A,4. 3, 3,2 3,3 3,4 4, 4,2 4,3 4,4 Fecre dtre mor A,, =,..,4 este determtul ue mtrce de ordul 3 ş pote f clcult drect.

3 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 3 Algortmul de clcul l determńlor umerc Fe dtă mtrce A de ordul :,,2, 2, 2,2 2, A =.,,2, Algortmul de clcul l determtulu ue mtrce de ord se zeză drect pe defńe. Se v folos dezvoltre determtulu după prm le mtrce. Î cestă formulă elemetele ecuoscute sut mor elemetelor d prm le. Fe u mor rtrr A,. El este determtul ue mtrce de ordul -. Petru -l clcul urmeză să rezolvăm o prolemă echvletă cu prolem Ńlă, dr de dmesue m mcă. Deorece l u momet dt se uge l clculul uu determt de ord, 2, su 3, cre pot f clculń drect, se respectă regul de cossteńă ş pote f plct u lgortm recursv: ) Exstă u cz elemetr: mtrce, ce corespude morulu curet re ordul ) L velul k se fc k pelur petru clculul determńlor de ord k. Pr urmre procesul coverge spre u cz elemetr. Algortm (R): Fe mtrce A re ordul R Czul elemetr Dcă ordul mtrce A este, tuc determtul este egl cu vlore uculu elemet l mtrce. Î cz cotrr Czul de reducere ) Se dezvoltă determtul mtrce A după prm le. Vlore determtulu se Ńlzeză cu 0. 2) Petru de l l R. Se formeză mtrce M, pr excludere d mtrce curetă A le ş coloe. (Ordul M, este R-. E corespude morulu A, ). Se clculeză determtul det( M, ) l mtrce M, utlzâd lgortmul curet. c. Se ctulzeză vlore determtulu = + (-) + det( M ), + A =, A, = det( ) ( )

4 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 4 Implemetre Fe dte declrńle: cost mx=0; type mt=rry[..mx,..mx] of rel; U d posltăńle de relzre î lmul Pscl fucńe recursve de clcul l determńlor este următore: fucto det(vr x:mt; t:teger) : rel; vr,, k, l : teger; s : rel; mor : mt; eg f t= the clcul:=x[,] {cz elemetr} else eg s:=0; for k:= to t do eg {Se exclude l s colo k petru form mtrce, cre corspude morulu elemetulu x[,k]} for := to t- do for := to k- do mor[,]:=x[+,]; for := to t- do for :=k to t- do mor[,]:=x[+,+]; {pelul recursv} f odd(k) the s:=s+x[,k]*det(mor, t-) else s:=s-x[,k]*det(mor, t-); ed; clcul:=s; ed; ed; Îtreăr ş exercń. ExplcŃ legătur dtre mtrce ş determtul e. 2. ElorŃ o fucńe petru clculul determńlor de ordul 3 utlzâd regul lu Srrus. 3. DescreŃ lgortmul de clcul l determńlor de ordul pr dezvoltre după elemetele ue l rtrre. 4. ElorŃ u progrm petru clculul determńlor de ordul ( 0), î cre veń folos fucń det, descrsă î prgrful curet. Ordul mtrce ş vlorle elemetelor sle se vor troduce de l tsttură 5. Î progrmul relzt î exercńul 4, trsformń prmetrul vrlă x l fucńe det î prmetru vlore. OservŃ, ce se v îtâmpl î czul clcululu celuş determt petru dferte tpur le prmetrulu x. ExplcŃ dfereń oservtă. 6. ÎcercŃ să plcń progrmul relzt petru clculul determńlor mtrcelor cu dmesu, >20, cu elemete de tp rel. Ce se v îtâmpl? ExplcŃ.

5 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 5 2. METODA KRAMER DE REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAłII LINIARE Mtrce pătrtcă A se umeşte esgulră, dcă determtul e este dfert de 0. Mtrce versă mtrce A mtrce, cre fd îmulńtă l A (fe l stâg, fe l drept) dă î rezultt mtrce utră E. Mtrce versă mtrce A v f ottă A. AA = A A = E Teoremă Petru orce mtrce esgulră exstă mtrce versă. (fără demostrńe) ude Petru determre elemetelor mtrce verse se utlzeză formul: A A, A2, A, A,2 A2,2 A,2 = A, A2, A, A este morul elemetulu l mtrce A, r = det(a). Formulele Krmer Fe dt sstemul d ecuń lre cu ecuoscute: x x + LLL 22 x + 2 x + L x + L+ x = x = 2 x = 2 x + L+ () 2 K 2 22 K 2 Vom ot pr A = mtrce coefceńlor sstemulu, pr L K K K 2 K x termelor ler sstemulu, r pr x2 x = - vectorul soluńlor. M x Î formă vectorlă sstemul () cpătă form Ax =. (2) 2 = - vectorul M Î czul câd determtul A este dfert de 0, exstă mtrce versă A -. ÎmulŃd mele părń le egltăń (2) l A -, ońem: Deducere formulelor Krmer este opńolă

6 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 6 cee ce este echvlet cu A Ax = A x A =. Acestă formulă permte clculul soluńlor sstemulu () î czul î cre mtrce A sstemulu este esgulră. Î coture vom detl formul petru determ formulele de clcul petru compoetele vectorulu soluńe. Coform formule de clcul mtrce verse A su, după compoete de ude A, A2, A, A,2 A2,2 A,2 =, pr urmre, A, A2, A, x = =,, x, 2,, A A A A,2 A2,2 A,2 x 2 2 =, M A, A2, A M, x, A, A2, A, A,2 A2,2 A,2 x = A, A2, A,, 2, 2, 2 2, + 2, = A = (3). = K, Formulele (3) permt clculul drect l soluńlor sstemulu de ecuń lre (), deorece coń dor mărm clculte pr utlzre mtrce coefceńlor sstemulu () ş vectorulu termelor ler cestu sstem. Ele sut umte formulele Krmer petru clculul soluńlor uu sstem de ecuń lre. Algortmzre metode Fe dt u sstem d ecuń lre cu ecuoscute. Petru relzre metode Krmer de rezolvre cestu sstem vor f ecesre umte structur de dte: ) U tlou dmesol ( ) cu elemete de tp rel su îtreg (î depedeńă de vlorle coefceńlor sstemulu) telul A l coefceńlor sstemulu. ) U tlou udmesol cu elemete de tp rel su îtreg (î depedeńă de vlorle termelor ler sstemulu) vectorul l termelor ler sstemulu. K K K,, +, + c) U tlou udmesol cu elemete de tp rel vectorul soluńlor x. Determre soluńlor uu sstem de ecuń lre utlzâd metod Krmer se zeză pe clculul determńlor. Pr urmre, este ecesr să se relzeze î progrm o fucńe, cre determă vlore determtulu ue mtrce. Petru cest pote f utlzt lgortmul propus î prgrful precedet. K K K,,

7 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 7 Fd relztă fucń de clcul l determtulu ue mtrce, se v trece l lgortmul de rezolvre sstemulu, folosd metod Krmer: Ps. Ps 2. Ps 3. Ps 4. Se clculeză = det(a) (A - mtrce coefceńlor sstemulu). Dcă 0, se trece l ps 2, î cz cotrr se fşeză mesul de mposltte de utlzre metode, po SFÂRŞIT. Se cosderă :=; ) Î mtrce coefceńlor sstemulu colo cu umărul de orde este îlocută cu vectorul termelor ler. ) Se clculeză determtul l mtrce modfcte, po compoet soluńe: x = Dcă < :=+ după cre se revee l ps 3, î cz cotrr este fşt vectorul x. SFÂRŞIT. Îtreăr ş exercń. Petru rezolvre căror proleme pote f folostă metod Krmer? Cre sut codńle câd metod u pote f plctă? 2. ExplcŃ sesul elemetelor ş d formulele Krmer. 3. Cum pote f evttă crere ş utlzre tloulu dmesol suplmetr î cre o coloă coefceńlor sstemulu este îlocută pr vectorul termelor ler sstemulu? 4. ElorŃ u progrm petru clculul soluńe uu sstem d ecuń lre cu ecuoscute, utlzâd metod Krmer. ( 0 ) 5. RezolvŃ următorele ssteme de ecuń, utlzâd progrmul relzt î exercńul 4. Numărul de ecuń, vlorle coefceńlor ecuńlor sstemulu ş termelor ler se troduc de l tsttură. x + x2 + x3 + x4 = 0 x x2 + x3 x4 = 2 2x 3x2 + 4x3 + x4 = 2 3x + 4x2 3x3 + 9x4 = 38 4x + 9x2 4x3 + 6x4 5x5 = 8 x + 7x + 2 5x + 3 5x + 4 8x = x 6x2 + 8x3 6x4 + 2x5 = 52 2x + 5x2 + 2x3 + 3x4 + 9x5 = 98 x + 3x2 + x3 + 5x4 2x5 = 33

8 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 8 6x + 5x2 + 3x3 2x4 7x5 + x6 = 48 x + 4x2 x3 + 8x4 6x5 5x6 = 06 4x 3x2 + x3 + 0x4 + 9x5 3x6 = 70 6x + 4x2 6x3 + 7x4 + 7x5 + 9x6 = 64 8x + 6x2 + 4x3 x4 5x5 + 6x6 = 25 x + 4x2 5x3 + 6x4 6x5 + 3x6 = 82 x x2 + 3x3 + 2x4 = x x + 6x + 5x = x x2 x3 x4 = x x2 + 2x3 x4 = 3 x 2x2 8x3 + 3x4 4x5 2x6 + 2x7 = 04 5x + 8x2 + x3 5x4 + 2x5 x6 8x7 = 94 2x 4x2 + 7x3 + 3x4 + 7x5 + 0x6 + 9x7 = 59 4x + 2x2 x4 + 3x5 + 6x6 8x7 = 80 x x2 + 8x3 + 7x4 + 2x5 6x6 + 2x7 = 204 7x + x2 + 9x3 9x4 + 6x5 6x6 = 209 5x + 9x2 6x3 5x4 + 0x5 x6 9x7 = 29

9 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 9 3. METODA GAUSS DE REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAłII LINIARE Mtrce extsă uu sstem de ecuń lre cu ecuoscute se v um mtrce d l ş + coloe, formtă d coefceń sstemulu ş vectorul termelor ler, mplsń după cum urmeză:,,2, 2, 2,2 2, 2,,2, Două ssteme de ecuń lre se umesc echvlete, dcă sut echvlete mulńmle soluńlor cestor ssteme. Trsformre elemetră ue mtrce se umeşte: ) îmulńre ue l mtrce cu u umăr k, k 0. ) dure ue l mtrce l ltă le c) schmul cu locul două l mtrce d) o comńe lră trsformărlor )-c). U d metodele efcete de determre soluńe uu sstem de ecuń lre este metod excluder cosecutve ecuoscutelor. Acestă metodă este cuoscută ş su umele metode Guss. E pote f utlztă î czul câd sstemul cercett re o soluńe ucă. (Mtrce coefceńlor sstemulu este esgulră) Fe dt sstemul () d ecuń lre cu ecuoscute:, x +,2 x2 + L+, x + +, x = 2,x + 2,2x2 + L+ 2, x + + 2, x = 2 L,x +,2x2 + L+, x + + 2, x = L x + x + L+ x + + x =,x +,2x2 + L+, x + +, x =,,2 2,, cu mtrce extsă () Metod presupue: (),,2,, 2, 2,2 2, 2, 2,,2,,,,2,,,,2,3, excludere vrle x d tote ecuńle sstemulu, îcepâd cu dou; excludere vrle x 2 d tote ecuńle sstemulu, îcepâd cu tre;.. excludere vrle x d tote ecuńle sstemulu, îcepâd cu ecuń +;. excludere vrle x - d ecuń cu umărul. Î terme mtemtc, treue să se costruscă u sstem de ecuń, echvlet cu sstemul (), de form: ()

10 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 0 x + x + + x + + x = x + + x + + x = * * * * *,,2 2,, * * * * 2,2 2 2, 2, 2 x + + x = x + x = x = cu mtrce extsă (2) * * *,, * * *,, * *, (2) * * * * *,,2,, * * * * 0 2,2 2, 2, 2 * * *,, * * *,, * *, (2) SoluŃ uu sstem de tpul (2) pote f determtă după compoete, îcepâd cu x, cre se determă drect d ultm ecuńe sstemulu. Î geerl, vâd clculte compoetele x +, x +2 x, d ecuń sstemulu (2) se determă compoet x. Astfel, procesul de clcul l soluńe uu sstem de ecuń pr metod Guss se dvde î două etpe: Etp (drectă) trsformre sstemulu () î sstemul echvlet (2) pr trsformăr elemetre mtrce () Etp 2 (versă) clculul compoetelor soluńe sstemulu (2). Algortmul ETAPA Descrere mtemtcă Excludere x d ecuńle +,,. Î mtrce supusă trsformăr, elemetele +,, +2,,, urmeză să devă 0. Se cosderă că, 0 (dcă, =0, ecuń se schmă cu locul cu o ltă ecuńe, ( > ) î cre, 0) Petru ecuń ( = +,) se clculeză coefcetul de multplcre k, =. CoefceŃ ecuńe se îmulńesc cu k po se duă l coefceń ecuńe (trsformre se extde ş supr termelor ler). Se oń cosecutv sstemele:, x + x + + x + + x = x + + x + + x = x + + x + + x = x + + x + + x = (0) (0) (0) (0) (0),,2 2,, () () () () 2,2 2 2, 2, 2 () () () () 3,2 2 3, 3, 3 () () () (),2 2,, x + x + + x + + x = x + + x + + x = x + + x = x + + x = (0) (0) (0) (0) (0),,2 2,, () () () () 2,2 2 2, 2, 2 (2) (2) (2) 3,3 3 3, (2) (2) (2),3 3,

11 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre ETAPA 2 x + x + + x + + x = x + + x + + x = x + x = x + x = (0) (0) (0) (0) (0),,2 2,, () () () () 2,2 2 2, 2, 2 ( ) ( ) ( ),, ( ) ( ) ( ),, D ultm ecuńe sstemulu (2) se determă x : Îlocud î ecuń -: Î cz geerl: x + x + + x + + x = x + + x + + x = x + x = x = (0) (0) (0) (0) (0),,2 2,, () () () () 2,2 2 2, 2, 2 x = ( ) ( ) ( ),, * *, ( ) ( ), * * * * x, x = + x = * x = *, Coform formule ońute compoetele vectorulu soluńe x se clculeză recuret, îcepâd cu x Pseudocodul Ps 0 Numărul ecuńe () 0 Ps + ) Dcă = 0 l este schmtă cu locul cu o le l ( l > ) petru cre l 0 Dcă o semee le u exstă, se fşeză mesul de exsteńă ue ftăń de soluń, po SFÂRŞIT. ) petru fecre d lle de l + l se repetă procedur (P): (P) l se, îmulńeşte cu k = ş se dăugă l l (clusv ş terme ler) Ps 2 Dcă, < se reve l ps, î cz cotrr se trece l ps 3 {trecere l psul 3 mrcheză sfârştul etpe drecte î îceputul etpe verse metode}. Ps 3 Petru de l l se clculeză: = + x = * Pâă l relzre metode Guss se vor cercet codńle de posltte plcăr e. Petru plcre metode este sufcet c determtul mtrce coefceńlor sstemulu () să fe dfert de 0. Verfcre pote f relztă cu utorul ue fucń, cre v clcul vlore cestu determt, su emloct î procesul relzăr etpe drecte metode: (psul )). dte: Resurse de memore: * * x Petru relzre prctcă metode Guss vor f ecesre următorele structur de

12 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 2. Tlou dmesol cu l ş + coloe petru stocre mtrce extse sstemulu Ńl. elemetele tloulu vor f de tp rel. 2. Tlou udmesol d elemete rele petru păstrre soluńe ońute. Exemplu. Fe dt sstemul de ( < 20) ecuń lre cu coefceń rel, ( 0) de form:, x +,2 x2 +,3 x3 + +, x +, x = 2,2x2 + 2,3x , x + 2, x = 2 x + x =, x =,, ElorŃ u progrm î cre petru determă soluńlor cestu sstem se utlzeză u d etpele metode Guss. CoefceŃ sstemulu ş terme ler se ctesc d fşerul text IN.TXT cu următore structură:, 2,, Rezolvre: D structur sstemulu se oservă că trsformre mtrce coefceńlor u este ecesră. Pr urmre u este ecesră plcre etpe drecte (etp ) metode. Este sufcet să se mplemeteze etp versă (etp 2). Progrm: progrm c02; cost mx=2; type mt=rry[..mx,..mx] of rel; vect=rry[..mx] of rel; vr :mt; s:vect;,:teger; procedure cteste(vr x:mt; vr t:teger); vr, :teger; f:text; eg {cteste} ssg (f, '.txt'); reset(f); redl(f, t); for := to t do eg for := to t+ do red(f,x[,]); redl(f); ed; close(f); ed; {cteste} procedure vers (vr q:vect);, 2,, 2

13 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 3 eg ed. vr,: teger; s:rel; eg for := dowto do eg s:=0; for :=+ to do s:=s+[,]*q[]; q[]:=([,+] -s)/[,]; ed; ed; cteste(,); drect(,); vers(s); for := to do wrtel('x[',,']=',s[]:0:6); redl; Îtreăr ş exercń ) DescreŃ etpele lgortmulu de clcul soluńe uu sstem d ecuń lre cu ecuoscute, utlzâd metod Guss. 2) IdcŃ, cre sut resursele de memore ecesre petru clculul soluńe uu sstem d ecuń lre cu ecuoscute pr metod Guss. 3) ElorŃ u progrm petru clculul soluńe uu sstem d ecuń lre cu ( 0) ecuoscute, pr metod Guss. 4) RezolvŃ sstemele de ecuń d exercńul 5, prgrful 3.2, utlzâd progrmul relzt î exercńul 3. Petru fecre sstem umărul de ecuń, vlorle coefceńlor ecuńlor sstemulu ş termelor ler se ctesc dtr-u fşer text cu următore structură: prm le fşerulu cońe u umăr îtreg umărul de ecuń. Fecre d următorele l cońe câte + umere rele, seprte pr spńu: mtrce extsă sstemulu de ecuń. ExplcŃ motvul prńe dfereńe ître vlorle soluńle clculte pr metode Krmer ş cele clculte pr metod Guss. 5) RelzŃ o modfcre progrmulu c02, cre r permte determre soluńlor, x +,2 x2 +,3 x3 + +, x +, x = 2,2x2 + 2,3x , x + 2, x = 2 sstemelor de form dferet de, x +, x =, x = vlorle coefceńlor, 6) Etp drectă metode Guss pote f plctă petru clculul determńlor. Sut foloste următorele propretăń le mtrcelor umerce: : Dcă de o prte dgole prcple mtrce petru cre se clculeză determtul sît um zerour, tuc vlore determtulu este produsul elemetelor de pe dgol prcplă. 2: L schmre cu locul două l (coloe) le mtrce, semul determtulu trece î opus.

14 CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre 4 3: L dăugre l o le mtrce lte l îmulńte cu u umăr, vlore determtulu u se schmă. ElorŃ o fucńe tertvă de clcul determńlor, cre utlzeză ceste propretăń. ComprŃ tmpul de lucru l fucńe tertve ş fucńe recursve d prgrful 4. ExplcŃ motvul prńe dfereńelor î tmpul de clcul.