Prezentarea şi prelucrarea datelor experimentale

Transcription

1 Loretz JÄNTSCHI Prezetarea ş prelucrarea datelor epermetale Imprecs Precs ş Eact Ieact A s mol m K kg cd v v 3 v 5 v 4 v v 6 Repere î pla U.T.Press 3 ISBN

2 Prezetarea ş prelucrarea datelor epermetale Mărm ş măsurarea lor... Mărm Procesul de măsurare a ue mărm Valoarea a ue mărm. Utate de măsură Ssteme de mărm ş ssteme de utăţ de măsură...9 Cattatea de substaţă Aalza dmesoală Ssteme de utăţ de măsură; sstemul teraţoal Evaluarea umercă a epreslor matematce...5 Ecuaţ algebrce ş trascedetale Rezolvarea ecuaţlor polomale Rezolvarea umercă a ecuaţlor trascedetale Rezolvarea sstemelor de ecuaţ lare Metode teratve Ssteme de ecuaţ elare Itegrarea umercă Regula /3 a lu Smpso de tegrare umercă Elemete de teora probabltăţlor...4 Măsur statstce petru populaţ ş eşatoae Dstrbuţ statstce d măsurător repetate Leg de dstrbuţe ş statstc ale acestora Agremetul ître observaţe ş model: statstc Mmzarea eror de agremet Utlzarea mometelor Utlzarea mometelor cetrale Folosd statstcle refertoare la populaţe Estmare pe baza şase mame Statstca Beford Statstca Jarque-Bera Statstca Kolmogorov-Smrov Dstrbuţa Kolmogorov Testul Kolmogorov-Smrov Statstca Aderso-Darlg Statstca Pearso-Fsher Ch Square Testul χ depedeţă, omogetate ş asocere Probleme frecvete î aplcarea testulu χ Măsur ale tedţe cetrale Bary ad multomal varables aalyss: bomal cofdece tervals...38 (bomal desg ad model (bomal cofdece tervals (cotgecy of bomals (multomal dstrbuto Ordal varables aalyss: raks statstc...43 (order statstcs (Fsher-ates correlato coeffcet (geeralzed correlato coeffcet (Jackkfe method (Bootstrap method (ted values ad fractoal rakg (Spearma ρ (Kedall τ (Goodma ad Kruskal's γ (Hoeffdg D (other statstcs (ordered cotgeces (polychorc correlato Lear regresso aalyss: lear models...5 Aplcaţ...55 Referţe...66

3 Mărm ş măsurarea lor Mărm O mărme este rezultatul ue măsurător efectuate asupra ue observable cu scopul de a colecta valoarea ue propretăţ. Se poate maga spaţul de observare ca avâd o structură de arbore (a se vedea Structura spaţulu de observare care eprmă relaţle de aparteeţă dtre observable î care la bază se află Uversul (ca îtreg spaţul de observare ar la suprafaţă (aproape de o î caltate de observator se află compuş chmc - ca formă de reprezetare a matere cu compozţe (de atom ş relaţ (ître aceşta be defte. Structură Propretate - Uvers Îtreg spaţul de observare - Eerge Radată Vteza comparablă cu cea a lum + Radaţ ca β, γ Dfereţate pr termedul propretăţlor - Matere Îtreg spaţul de observare erelatvstc - Corp Vteza mult ma mcă decât a lum - Asamblu de materale Compozţe (chmcă varablă ş dscotuă - Materale Compozţe (chmcă varablă ş cotuă - Amestec de substaţe Compozţe (chmcă be deftă + Substaţa eterogeă Compozţe (chmcă varablă - Soluţe Stare de agregare be deftă + Ala Amestec de metale î stare lchdă sau soldă - Substaţa omogeă Compozţe (chmcă costată + Compus chmc Structură chmcă be deftă ş ucă Fg.. Structura spaţulu de observare Procesul de măsurare a ue mărm Procesul de observare este o actvtate de colectare a cuoştţelor cu autorul smţurlor sau strumetelor. Se presupue esteţa uu observator ş a ue observable. Procesul de observare trasferă o formă abstractă a cuoaşter de la observablă la observator (ca de eemplu, sub formă de umere sau mag. Măsurarea cuprde două operaţu seralzate: observarea ş îregstrarea rezultatelor observaţe. Măsurarea depde de atura obectulu observat (materal sau feomee (materale, de metoda de măsurare ş de modul de îregstrare a rezultatelor observăr. Măsurarea presupue detfcarea ateroară a elemetulu sau a elemetelor care fac obectul vestgaţe ş rezultatul măsurăr este o propretate a elemetulu observat. O sere de măsurător presupue esteţa ue colecţ de elemete dstcte - mulţme - î care ordea poate să u fe relevată. Mulţmea vdă ( este mulţmea cu c u elemet î ea. Propretatea (ca urmare a ue ser de observaţ îregstrată cu eact ua d eact două valor umte efavorabl (ş scrs ca F sau ş favorabl (ş scrse ca T sau, respectv, dă o valoare de adevăr. Mulţmea de valor de adevăr ({,} sau {T, F} este o mulţme î care elemetele sut ordoate î mod coveţoal ( <, F <T. Negaţa logcă (! este operaţuea (formaţoală ce schmbă valoarea de adevăr, î tmp ce dettatea logcă ( lasă valoarea de adevăr eschmbată ş se eprmă faptul că rezultatul ue operaţ de măsurare pe două elemete este acelaş. Folosd propretatea 'valoare de adevăr' pe elemetele ue mulţm coceptul de submulţme este raţoalzat. Aparteeţa este o propretate a uu elemet de a f ( sau a u f ( îtr-o mulţme. Asocerea totală scrsă ca S S ş deftă pr S S {(e, e E S, S e} este produsul carteza al mulţmlor S ş S, ar o submulţme a S S este umtă relaţe bară. Dacă SS relaţle sut umte edo-relaţ. Următorul tabel redă (edorelaţ (bare cu propretăţ specale (a se vedea Relaţ bare: propretăţ ş reprezetaţ.

4 Id Nume Defţe Reprezetaţ RE Refleve a: (a,a RE,,, CR Co-refleve a,b: (a,b CR the a b QR Cvas-refleve (a,b QR atuc (a,a, (b,b QR lm IR Irefleve a: (a,a IR,, < S Smetrce (a,b S atuc (b,a S, CD, CM NS At-smetrce (a,b, (b,a NS atuc a b AS Asmetrce (a,b AS atuc (b,a AS IH, < TS Traztve (a,b, (b,c TS atuc (a,c TS,, <,,,, IH TL Totale a,b: (a,b TL sau (b,a TL TC Tr-hotome eact ua dtre (a,b TL, (b,a TL, a b < ED Eucldee (a,b, (a,c ED atuc (b,c ED SE Serale b : (a,b SE UQ Uctate (a,b, (a,c UQ atuc b c f( EQ Echvaleţă atuc RE, S, TS, ~,, CM, CD, PO Orde parţală atuc RE, NS, TS TO Orde totală atuc PO, TL Alfabet, WO Be ordoate atuc TO, SE Co-prme cel ma mare dvzor comu este VT Adevărul vacuos `daca A atuc B` câd A Fals Egal atuc RE, CR, S, NS, TS, ED, EQ Ma mc sau egal atuc RE, NS, TS, TL, SE, PO, TO < Ma mc atuc IR, NS, AS, TS, TC, SE Submulţme RE, NS, TS, SE, PO Dfert IR, SI DI Dstaţă eucldaă RE, SI, TS, ED, SE, EQ IH Moştere AS, TS CM Cogrueţă modulo EQ CD Cogrueţă dv EQ lm Lmta ue ser RE, QR f( Fucţe matematcă SE, UQ Fucţe ectvă a b atuc f(a f(b sr Fucţe surectvă : bf(a b Fucţe bectvă INJ, SRJ Tab.. Relaţ bare: propretăţ ş reprezetaţ Smlartatea ître coceptul de fucţe matematcă ş fucţa de măsurare este evdetă câd aalzăm propretăţle relaţlor care se stablesc ître mulţmea observablelor ş mulţmea valorlor asocate d spaţul formaţoal. Ca ş î cazul fucţlor matematce, atuc câd sut efectuate măsurător epermetale sut asgurate două propretăţ ître elemete observate ş propretăţle lor îregstrate. Ş aume, petru toate elemetele observate avem îregstrăr ale propretăţlor lor atuc câd facem măsurător - fd asgurată seralzarea (SE, v. Relaţ bare: propretăţ ş reprezetaţ. O măsură e oferă (îtr-u aumt momet de tmp ş spaţu, o pesă formaţoală (o îregstrare ş uctatea (UQ, v. Relaţ bare: propretăţ ş reprezetaţ fd asgurată de asemeea. Nc o altă propretate cuoscută (matematcă a relaţlor u este, î geeral, valabl petru fucţ matematce ş c petru fucţa de măsurare, aşa îcât putem spue că ceea fucţa de măsurare face pr termedul formaţlor este epresa ue fucţ matematce (vez Colectarea datelor epermetale este o fucţe matematcă. 3

5 Observator Observaţe Observablă (elemet Spaţu de observare (mulţme Fucţa de măsurare Măsurare Îregstrare Observată (propretate Spaţu formaţoal (mulţ. posbl ordoată Domeu Codomeu Fg.. Colectarea datelor epermetale este o fucţe matematcă Petru o mulţme ftă S o fucţe de umerotare poate f deftă teratv după cum urmează: S S ; S S\{s };...; S S\{s };...; (etc.. Fucţa f(s este o fucţe de umerotare pe mulţmea S, ş arată că orce mulţme ftă este umărablă. Alegerea elemetelor s,..., s,... d mulţmea S este strumetul specfc de măsurare. Este mplctă observaţe, îregstrăr, ş are ca efect costrurea ue submulţm reud elemetele rămase. S-a arătat ma sus că coceptul de fucţe matematcă este legat de coceptul de măsurare. Ma departe, fucţa de umerotare este strumetul specfc, cu care se face ordoarea î spaţul formaţoal. Ma mult, î cazul î care mulţmea S coţe elemete (desgur, ar trebu umărate ma îtâ, atuc estă eact! posbltăţ de a eumera elemetele sale pr termedul fucţe de umerotare. Î afară de umerotarea mplctă, fucţa de măsurare aduce î spaţul formaţoal valoarea ue propretăţ observate. Petru două (presupus fte mulţm A (spaţul ostru de observare ş B (spaţul ostru formaţoal sut eact B A posbltăţ de a def (costru fucţ matematce f:a B (să e amtm, posbltăţ de măsurare care asocază elemetele d A cu elemete d B. Petru o observaţe cu ş ( B asupra ue mulţm cu elemete ( A avem u rezultat al umărăr ( A, u rezultat al posbltăţlor de eumerare ( A!! ş u rezultat al posbltăţlor de observare ( B A. Se poate verfca medat că <! Petru >3 ş ma mult, < <! petru >4. Char ma mult decât atât, petru << <<!, adcă lm (/ lm ( /!. Dacă o observaţe cu ş este 'cel ma smplu tp de observaţe' atuc o observaţe ce îregstrează î spaţul formaţoal umere reale este cel ma comple tp de observaţe. Presupuâd că rezultatul observaţe este u umăr real, putem folos o pereche formată dtru bt ( sau cosemâd semul ş u umăr real poztv petru a echvala coţutul d spaţul formaţoal (umărul real cu sem. Ma mult, se poate costru o fucţe matematcă bectvă (care aduce o corespodeţă : ître orce umăr real poztv [, ş u umăr real d tervalul [,: f:[, [,, f(+/(-. Verfcarea că este o fucţe bectvă petru domeul de defţe se poate face verfcâd că f'(/(- >. Rezultă dec că o codfcare formată dtr-u sem (u bt ş o succesue de ş (reprezetarea î baza a orcăru umăr real subutar reflectă î totaltate orce umăr real. Trecâd îsă d ou la lmtă dmesuea spaţulu observaţoal ( "puterea" reprezetăr pr umere reale (f:a R este de aceeaş cardaltate cu cea a reprezetăr cu umere îtreg (f:a sau bar א (f:a {,},, ude א este cardaltatea mulţm umerelor aturale. Acest smplu fapt e arată că char dacă se măreşte caltatea reprezetăr pr umere reale, rezoluţa!. א reprezetăr este î cotuare sufcetă petru a egala caltatea eumerăr Valoarea ue mărm. Valoarea umercă. Utate de măsură O prmă cosecţă medată a caltăţ reprezetăr d spaţul formaţoal este esteţa degeerăr. Degeerarea este reprezetarea pr termedul aceleaş valor a rezultatulu observaţe asupra a două elemete dstcte (dferte. Această degeerare este ueor u avata (câd se pu î evdeţă smltudle ître propretăţle a două elemete alteor u dezavata (câd măsurarea care a avut ca scop evdeţerea dfereţelor ître cele două elemete a eşuat î a-ş atge scopul. 4

6 O a doua cosecţă medată a caltăţ reprezetăr d spaţul formaţoal este că dacă degeerarea u poate f evtată pr fucţa de măsurare, îcă poate f dmuată pr scala de măsurare. Ar trebu remarcat faptul că u toate scalele de măsurare duc relaţ de orde î spaţul formaţoal. Eemple aturale sut grupa de sâge ş amoacz care costtue codul geetc, ş aume sut stuaţ câd codfcarea d spaţul formaţoal u eprmă o relaţe de orde (aturale ître valorle măsurate. Fe o mulţme cu două elemete (C{a,b} ş forţăm poteza că ordea u este relevată ître ele. Mulţmea submulţmlor lu C este S C {{},{a},{b},{a,b}}. U ordea aturală î mulţmea S C este deftă pr cardaltatea submulţm. Cardaltatea ca relaţe de orde u este strctă, petru că estă două submulţm cu acelaş umăr de elemete: {} < {a} {b} < {a,b}. S-ar putea îtreba: "Ce tp de scală de măsură defeşte cardaltatea?" - Petru a ofer u răspus utl trebue să e îtoarcem la măsurare ş o ar trebu să îtrebăm ma îtâ: "Ce caracterstc se doresc a f evaluate?". Î cazul î care răspusul la a doua îtrebare este umărul de elemete î subgrupul observat, atuc cardaltatea este be deftă a f cattatvă - fd dotată cu o relaţe de orde. Î cazul î care dfereţerea ître submulţmle lu C este scopul dort, atuc cardaltatea submulţm u este sufcetă. S-ar putea costru î cotuare u alt epermet met să dfereţeze submulţmle petru care apare degeerarea (î cazul de ma sus petru submulţmle cu u elemet ş o ouă fucţe de măsurare ar da răspusul la îtrebarea "Submulţmea coţe elemetul 'a'?" (complemetar cu răspusul la îtrebarea "Submulţmea coţe elemetul b?". Aceasta este o măsurătoare tpc caltatvă - căutăm potrvr. O altă cosecţă dervată d căutarea după submulţmle ue mulţm este că scala de măsură care se teţoează a se aplca ar trebu să fe de cel puţ verfcată d puct de vedere al cossteţe cu scopul propus. Ma mult, char ş atuc câd u estă relaţ de orde, pot esta alte relaţ (cum ar f complemetul logc {a}{a,b}\{b} î mulţmea submulţmlor mulţm {a,b}, care aduce î spaţul formaţoal faptul că u îtotdeaua rezultatele măsurătorlor sut depedete uul faţă de altul. Mergâd ma departe, tabelul de ma os clasfcă după completate (deftă de către operaţle permse ître valorle îregstrate scalele de măsură (a se vedea Scale de măsură. Scală Tp Operaţ Structură Statstc Eemple Bomală Logc "", "!" Algebră Booleaă Moda, [ ] Fsher Eact [ ] (mult Dscret "" Mulţme stadard Moda, Nom(ală Ch squared Ordală Dscret "", "<" Algebră comutatvă Medaa, Ragul Iterval Cotuu " ", "-" Spaţu af (u-dmesoal Raport Cotuu " ", "-", Spaţu vectoral "*" (u-dmesoal Meda, StDev, Corelaţa, Regresa, ANOVA GeoMea, HarMea, CV, Logartm Tab.. Scale de măsură Dead/Alve Feţele ue moez Sstemul de grupe de sâge ABO Clasfcarea orgasmelor v Numărul de atom î molecule Scala de temperatură Dulceaţa relatvă la sucroză ph Scala dstaţelor Tme scale Eergy scale O scală de măsurare este omală dacă ître valorle sale o relaţe de orde u poate f deftă. De obce scala omală de măsurare este destată să fe utlzată petru măsur caltatve. Scala bară (sau bomală este cu doar două valor posble (ître care estă o relaţe de orde, 5

7 cum ar f: {Da,Nu}, {Vu, Mort},{Vvo,Vtro}, {prezet, abset}, {alca saturat, alt tp de compus}, {umăr îtreg, umăr eîtreg}. Scala omală cu ma mult de două valor posble este umt multomală. Scara multomală de măsurare are u umăr ft de valor posble ş depedet de umărul lor, operează relaţa de complemetartate. Astfel, petru {,A,B,AB} grupe sague o valoare dfertă de orcare dtre cele tre, sgur este cea de a patra. O sere ftă de valor poate f cosderată o scală ordală dacă ître valorle lor posble se poate def o relaţe de orde (aturală. Dacă presupuem că "Abset"<"Prezet", "Fals"<"Adevărat", ""<"", "Negatv"<"Neegatv", "Nepoztv"<"Poztv", atuc toate aceste scale de măsură sut ordale. Ma mult, u eemplu de scală ordală cu tre valor este: "Negatv"<"Zero"<"Poztv". U alt lucru mportat cu prvre la scalele ordale este că u sut ecesare, cu o cardaltate ftă. Dar este ecesară esteţa ue relaţ de orde deftă pr "Succesorul uu elemet" (al ue valor ş complemetul acestea "Predecesorul uu elemet" (al ue valor. Î scala terval dstaţa (sau dfereţa ître valorle posble are u ses. De eemplu dfereţa ître 3 ş 4 pe scala de temperatură are aceeaş semfcaţe cu dfereţa ître 7 ş 8. Itervalul ître două valor este terpretabl (are u ses fzc. Acesta este motvul petru care are ses calcularea valor med a ue varable de tp terval, ceea ce îsă u are ses petru valorle ue scale ordale. Î acelaş tmp (vez Termometrul cu mercur ş scale de temperatură cum ar f 8 u este de două or ma ferbte decât 4 (aşa cum m sut de or ma mulţ decât m, petru scalele terval raportul dtre două valor u are c u ses R F Apa ferbe C K ~859 Rake ~74 Fahrehet ~73 Celsus ~848 Kelv R R 3 F C Apa îgheaţă -4 F -4 C 73.5 K 33.5 K R F C K Fg. 3. Termometrul cu mercur ş scale de temperatură Î cele d urmă, pe scalele de tp raport, valorle ş/sau au îtotdeaua o semfcaţe. Ipoteza este că cea ma mcă valoare observablă este. Rezultă pr urmare faptul că dacă două valor sut luate pe o scală raport, putem calcula raportul lor, ş, de asemeea, această măsură posedă o scală de măsurare de tp raport. Î cele d urmă, trebue să remarcăm că mărmle măsurate pe o scală raport sut adtve, î tmp ce mărmle măsurate pe celelalte scale sut eadtve. Trebue meţoat faptul că scala de măsurare u dă precza de măsurare, ş d acest puct de vedere este lustratv eemplul ţte (v. Precze ş eacttate. Imprecs Precs ş Eact Ieact Tab. 3. Precze ş eacttate De scala pe care a fost măsurată propretatea depde ş modul î care datele se pot prelucra ş terpreta. Aşa cum s-a lustrat (v. Precze ş eacttate precza ş eacttatea ue măsurător sut la fel de mportate ca ş valoarea măsurată îseş. Acesta este motvul petru care se obşueşte să se eprme valoarea ue măsurător împreuă cu precza sa de măsurare. Desgur că estă ma multe modaltăţ de a eprma precza ue măsurător. De eemplu, o măsurătoare cu u aparat de măsură u poate depăş precza petru care aparatul a fost costrut. 6

8 D puctul de vedere al scale de măsură, o varablă (d spaţul formaţoal care umără moleculele dtr-u spaţu (fzc dat este "la fel" de tp raport ca ş o varablă ce măsoară temperatura medulu (fzc î care aceste molecule sut localzate, char dacă rezultatul acestor două operaţ de măsurare u are aceeaş precze sau precze comparablă (sau u pare a avea. Este de dort î mod evdet ca scala de măsurare să îcorporeze cât ma multe caracterstc ale varable măsurate, precum ş să posede uma caracterstcle găste î varablă măsurată, petru că, î caz cotrar, scala de măsurare deve o sursă de eroare. Pe de cealaltă parte, estă lmte. Petru a arăta aceasta, este sufcet să facem apel la o sere de probleme erezolvate î fzcă[ 3 ]: Este 'spaţu-tmp-ul' fudametal cotuu sau dscret? Estă î atură ma mult de 4 dmesu 'spaţu-tmp'? Sut motve (fzce să e aşteptăm la esteţa altor uversur care să fe fudametal eobservable? Pr ce dferă spaţul de tmp? Estă partcule purtătoare de sarcă magetcă cum sut electro petru sarca electrcă? Care este cel ma greu posbl ucleu atomc stabl sau stabl? Smpla eumerare de ma sus e arată că o trebue să operăm cu certtud. Î acest ses, este etrem de utl să e amtm de esteţa prcpulu certtud [ 4 ]: Prcpul lu Heseberg al certtud stableşte pr egaltăţ (precse că aumte perech de propretăţ (fzce cum sut pozţa ş mometul u pot f smulta cuoscute (măsurate cu o precze mare arbtrară. Cu cât ma precs o propretate este măsurată, cu atât ma puţ precs cea de-a doua propretate poate f furzată de u epermet de măsură. Prcpul certtud stableşte că mmul petru produsul certtudlor celor două propretăţ este egal cu umătate d costata lu Plack redusă (ħ h/π. Î sesul celor de ma sus, este perfect ustfcat să se defească starea ue observable pr termedul ue fucţ de udă avâd ca domeu u spaţu-tmp real ar ca codomeu o coordoată compleă a căre ampltude să semfce probabltatea ue cofguraţ a sstemulu. Îtr-adevăr, î 96 Schrödger [ 5 ] formulează ecuaţa odulatore a mecac cuatce a căre soluţe este o fucţe de probabltate (Ecuaţa lu Schrödger: Ψ / t ĤΨ, ude Ψ este fucţa de udă ce dă ampltudea probabltăţ petru dferte cofguraţ ale sstemulu la dferte momete de tmp ( Ψ(,y,z,t este destatea de probabltate de a găs partcula la coordoata (,y,z ş mometul de tmp t; ħ / t este operatorul eerge; este utatea magară ( -; ħ este costata lu Plack redusă (ħ h/π; h J s; Ĥ: operatorul Hamlto (Ĥ -ħ /m; : operatorul Laplace ( / + / y + / z. Este dfcl de îţeles acest lucru petru o stare fzcă, ceea ce a făcut ca autorul să eplce plastc acest fapt îtr-o corespodeţă cu u coleg. Eemplul a devet famos ş a rămas sub umele de "psca lu Schrödger" (v. Psca lu Schrödger. Fg. 4. Psca lu Schrödger 7

9 Î eseţă, ceea ce epermetul deumt "psca lu Schrödger" eprmă este că odată supus u sstem ue protecţ de decoereţă cuatcă este mposbl să se evalueze starea sstemulu fără ca smulta cu evaluarea stăr acestua să se strce îseş starea de decoereţă î care se află. Structura spaţulu observabl aşa cum a fost ea prezetată (v. Structura spaţulu de observare desfăşoară structura materalelor pâă la velul de compus chmc, îsă acesta u este ultmul vel de structurare trsecă. La râdul său, compusul chmc posedă o structură ş este alcătut d atom. Nc atomul u este ultmul vel de structură, fd la râdul său alcătut d ucleo ş electro. Prvd problema d alt ugh, următorul vel de rafamet (celu lustrat de Structura spaţulu de observare sut compuş chmc (v. Nvele de rafamet ale coceptulu de compus chmc defţ î sesul ue structur chmce defte ş uce. Raţoalzarea structur chmce se face pr termedul formulelor chmce. Î acest ses, formele de reprezetare ale structur chmce se pot desfăşura î cotuare astfel: Structură Propretate - Compus chmc Structură moleculară deftă ş ucă - Formulă brută Numărul de atom d fecare elemet î raport cu uul dtre elemete - Formulă moleculară Numărul de atom a fecăru elemet cuprş îtr-o moleculă - Formulă raţoală Eprmă grupele structurale d moleculă - Formulă geometrcă Eprmă geometra molecule Tab. 4. Nvele de rafamet ale coceptulu de compus chmc Nc măcar ultmul vel de rafamet (formula geometrcă u este îtotdeaua sufcet petru a reda fdel structura moleculară. Î acest ses, u eemplu smplu î care cuoscâd dstaţele ître atom ş ughurle pe care legăturle ître aceşta le formează u este sufcet petru a accepta că referm o structură moleculară deftă ş ucă este butaul ş aume coformer acestua "Gauche g-" ş "Gauche g+" care au propretatea de a răsuc dfert luma polarzată (v. Coformer butaulu. Gauche g- Gauche g+ Fg. 5. Coformer butaulu 8

10 Ssteme de mărm ş ssteme de utăţ de măsură Cattatea de substaţă Idferet de velul de structură (moleculară, atomcă, subatomcă la care e referm umărul de partcule (compuş chmc, atom, electro la vel macroscopc (observabl cu ochul lber sau cu strumete de mărre cuprs îtr-u spaţu de volum deft este mes. D acest motv petru a face referre la macrocattăţ este evoe de o utate de măsură corespuzătoare. Aceasta este molul. Molul este cattatea de partcule (molecule, o, atom, electro, altele asemeea sau grupur ale acestora al căror tp trebue specfcat ş al căror umăr este egal cu umărul de atom de carbo esteţ î. kg (g d zotopul acestua C. Astfel, cattatea de partcule (mpropru spus "cattate de substaţă" se poate eprma pr termedul umărulu de partcule (N sau pr termedul umărulu de mol ( ar ître aceste două modaltăţ de eprmare estă relaţa: N N A î care N A este umărul lu Avogadro ş eprmă valoarea apromatvă a umărulu de atom de carbo esteţ î. kg (g d zotopul acestua C: N A mol -. Pr termedul cattăţ de substaţă o sere de propretăţ observate au caracter tesv ş etesv: X X m î care X omalzează orcare propretate etesvă (care depde de cattatea de substaţă ar X m omalzează propretatea tesvă corespodetă (care u ma depde de cattatea de substaţă. Eerga ca atrbut al ue substaţe ş cosecţă a structur sale atomce, moleculare sau agregate este o mărme tesvă î tmp ce eerga specfcă este corespodetul tesv al eerge. Smlar, eerga lberă - elberată sau absorbtă îtr-u proces este o mărme etesvă î tmp ce poteţalul chmc este mărmea tesvă asocată. Capactatea calorcă este cattatea de căldură ce produce schmbarea temperatur cu K ş este o mărme etesvă, ş capactatea calorcă specfcă este mărmea tesvă asocată. Masa este propretate etesvă (M, ar masa molară (M m este propretate tesvă. Volumul (V este o propretate etesvă î tmp ce volumul molar (V m este o propretate tesvă. Cocetraţa (molară, molală, procetuală este o mărme tesvă: M V md Vd, c M, c m, c %m, c %v Mm V m VS ms ms VS Se poate remarca că cocetraţa molară varază cu temperatura, deoarece volumul varază cu temperatura, î tmp ce molaltatea este o mărme depedetă de temperatură. Se umeşte o soluţe dluată, o soluţe ce coţe cel mult - mol l - de solut. Î soluţle dluate o de solut sut separaţ de cel puţ molecule de solvet. O altă mărme frecvet utlzată la amestecur este fracţa molară (a compoetulu d amestecul cu J ( J compoeţ: Σ Se poate demostra că fracţa molară este o mărme tesvă. Astfel, fe u amestec P cu compozţa eprmată pr raportul umărulu de molecule d fecare compoet î amestec α :α : :α J (cum ar f petru C O 4 H, α :α :α 3 :4: ::, ş umărul de mol. D cele N N A molecule ale amesteculu, petru a respecta proporţa, umărul de molecule d compoetul este N N α /Σ α. Fracţa molară a amesteculu este: N N N N α / Σ α N α α Σ Σ NA NA Σ N Σ N α / Σ α Σ N α Σ α Epresa rezultată u depde decât de compozţe ş u depde de umărul de mol sau molecule mplcate aşa că este o mărme tesvă. Destatea este o mărme tesvă. Î cazul uu amestec cu J compoeţ: 9

11 Σ m ρ Σ V Σ M Σ V Σ M Σ V Σ M Σ V Σ M Σ M Σ V / V Î formula de ma sus terv uma mărm tesve (, M ş V m ş astfel defeşte o mărme tesvă. Presuea, îtr-u sstem î echlbru, este o mărme tesvă atâta tmp cât valoarea acestea î sstem este egală cu valoarea acestea î orce parte a acestua. Temperatura, îtr-u sstem î echlbru, este o mărme tesvă atâta tmp cât valoarea acestea î sstem este egală cu valoarea acestea î orce parte a acestua. Î fal trebue făcută remarca că coceptul de mărme tesvă referă macrocattăţ ş îş perde sesul la vel mcroscopc. Luâd doar temperatura ca eemplu, î spaţu este de câteva grade Kelv, î tmp ce obectele care se deplasează (cum ar f o rachetă sau u meteort pot auge la temperatur de câteva m de grade Kelv, aşa cum rezultă d teora cetco-moleculară. Aalza dmesoală Î geometre, petru a detfca î mod uc pozţa uu puct î pla avem evoe de u reper. Faţă de acest reper, puctul de probă are două grade de lbertate, ceea ce e arată că pozţa sa este î mod uc determată de farea valorlor petru două propretăţ geometrce ale acestua. Alegerea reperulu u schmbă codţoarea ateroară. Î fgura de ma os (v. Repere î pla, reperul poate f de eemplu uul d colţurle dreptughulu. Cea ma evdetă modaltate este de a fa valorle proecţlor d puctul de probă pe laturle dreptughulu (fg. a îsă u este ecesar ca ambele valor să provă d acelaş tp de măsurătoare (î fg. b o măsurătoare este de dstaţă, alta este de ugh ş c u este ecesar să fe ortogoale (î fg. c orcare d laturle paralelogramulu are o proecţe eulă pe laturle îvecate. m v v 3 v 4 v 5 v a b c Fg.6. Repere î pla Eemplul Repere î pla e arată că modaltăţle de a eprma pr valor propretăţle observate pot f etrem de dferte. Î acelaş tmp e arată că ar putea esta, î fecare caz î parte, o soluţe de tpul cele lustrate î fg. a, î care varablele asocate celor două valor să fe ortogoale. Char îsă ş î acest caz, mc u e opreşte să cosderăm că ş cazul lustrat de fg. b este de asemeea ortogoal, dec putem avea char ma multe soluţ. Î toate cazurle îsă, am remarcat ecestatea mpuer a două valor fe, ceea ce e arată că dmesoaltatea sstemulu este. Problema poate f etsă la mărm ş relaţ altele decât geometrce. Î geeral î ştţe operăm cu mărm ş utăţ de măsură, ş o aalză dmesoală poate f codusă dacă se alege u set redus de mărm ş utăţ pe baza cărora să se poată eprma toate celelalte. Aşa cum s-a arătat ma sus, problema u are o sgură soluţe, îsă uele soluţ sut preferate. Aalza dmesoală asupra mărmlor ş relaţlor poate serv la verfcarea corecttud defr acestora. Î aalza dmesoală a mărmlor ş relaţlor fzce, se preferă ca mărm de bază lugmea, masa, tmpul ş sarca electrcă. Char ş ac îsă, o remarcă poate f făcută, ş aume că folosd costata vteze lum î vd, se poate eprma o relaţe de depedeţă ître lugme ş tmp, ar î ceea ce prveşte sarca electrcă, defţa sa utlzează lugmea, masa, ş tmpul. Aşa cum î Repere î pla se poate remarca, esteţa uor valor costate î propretăţle observate reduce dmesoaltatea sstemulu. Dacă î orcare dtre cele tre cazur se fează o valoare d cele două, dmesoaltatea sstemulu se reduce la, char dacă î fecare caz î parte mafestarea reducer dmesoaltăţ produce efecte observable dferte. Rezultă de ac că, dferet de modaltatea de eprmare a valor (dec a utăţ de măsură alese de mportaţă sut v 6

12 valorle costatelor uversale (v. Costate uversale. Costată Eplcaţe Valoare Vteza lum Dstaţa parcursă de lumă, î vd, î tmp de secudă; î fapt c m s - î vd metrul este deft pe baza aceste valor Impedaţa Este raportul ître magtudea câmpulu electrc ş magetc al Z vdulu radaţlor electromagetce ce traversează vdul Ω Costata Este permtvtatea magetcă a vdulu 7 μ 4π N A - magetcă Costata Este permtvtatea electrcă a vdulu electrcă ε μc Costata gravtaţoală Costata care terve î legea atracţe uversale G m 3 kg - s Costata lu Este cuata de acţue î mecaca cuatcă eprmâd raportul h Plack ître eerga ş frecveţa ue radaţ electromagetce J s Lugmea Plak Este apromatv - ma mcă decât dametrul uu proto ş e G cosderată cea ma mcă dmesue posblă; u estă îsă lp 3 c semfcaţe fzcă dovedtă a acestea Masa Plack Este masa ue găur egre potetce a căre rază este egală cu c lugmea Plack; raza găur egre potetce este astfel îcât m P G vteza ecesară petru a evada de pe suprafaţă este egală cu vteza lum Tmpul Plack Este tmpul ecesar lum să traverseze î vd o dstaţă egală G cu l P t P 5 Temperatura Plack Este temperatura de la care teora fzcă actuală îcetează să ma opereze, deoarece u avem cuoştţe despre gravtaţa cuatcă; puctul î care se formează o 'gaură eagră' de eerge Tab. 5. Costate uversale c mpc T P k Costată Eplcaţe Valoare Sarca electrcă elemetară Sarca electrcă trasportată de u sgur electro sau proto e C Eerga Eerga electrcă poteţală a uu atom de hdroge î starea sa E h Hartree fudametală ş apromatv dublul eerge sale de ozare 8 J Numărul lu Numărul de partcule dtr-u mol de substaţă N A 6.4X 3 Avogadro mol - Costata A -a parte d masa uu atom de carbo m u 3 atomcă de NA masă Costata gazelor Costata de proporţoaltate d legea gazulu deal (pvrt R J mol - - K Costata Stableşte proporţoaltatea ître eerge ş temperatură î teora R Boltzma cetco-moleculară (ε/jk B T/, ε fd eerga ue partcule, ar J k B NA umărul de compoete ale eerge Tab. 6. Alte costate frecvet utlzate Pe lâgă costatele uversale o sere de alte costate sut cuoscute ş frecvet utlzate (v. Alte costate frecvet utlzate. Î tabelele 6 ş 7 se observă că sut relatv puţe costate uversale depedete, celelalte, mult ma multe fd obţute d cele 'de bază'. B

13 U elemet mportat al aalze dmesoale îl repreztă alegerea setulu de mărm de bază. De eemplu î cematcă u set de mărm de bază este (masa, dstaţa, tmpul sau (M, L, T. Pe baza acestua se poate eprma dmesoaltatea vteze (L T -, acceleraţe (L T -, mpulsulu (M L T - ş a forţe (M L T -. Setul de mărm (dstaţa, vteza, tmpul u este u set de bază petru cematcă petru că masa u se poate eprma pe baza acestua ş de asemeea cele tre u sut depedete (VL T -. Cu autorul aalze dmesoale se poate stabl corecttudea ue ecuaţ d puctul de vedere al omogetăţ dmesoale ş î cazul î care sut mplcate o sere de mărm dferte îtr-o eprese smplă se poate char stabl forma ecuaţe d aalza dmesoală. Ssteme de utăţ de măsură; sstemul teraţoal U sstem de utăţ de măsură este u set de utăţ care poate f folost petru a specfca orce care poate f măsurat. Sstemele actuale de utăţ de măsură, MKS (metru, klogram, secudă, CGS (cetmetru, gram, secudă, FPS (pcor, lvră, secudă dferă uul de celălalt doar pr alegerea utăţlor de măsură, mărmle măsurate fd aceleaş (dstaţă, masă, tmp. La acestea tre se adaugă ş temperatura (măsurată î Kelv, grade Celsus sau Fahrehet, îsă cum defţa actuală a dstaţe este făcută pr termedul costate vteze lum î vd (d c t, c - costata vteze lum î vd, v. Costate uversale practc tot pr termedul a tre utăţ fudametale (temperatura, tmpul, masa sut costrute ş defţle celorlalte de bază (v. Relaţ ître defţle mărmlor sstemulu fudametal de utăţ de măsură. A s mol m K kg Fg. 7. Relaţ ître defţle mărmlor sstemulu fudametal de utăţ de măsură Reved asupra mărmlor de bază, sstemul teraţoal de utăţ recuoaşte u umăr de 7 ca fd mărm de bază [ 6 ]. Mărme Utate Nume Dmesue Smbol Nume Smbol masa M m klogram kg cattatea de substaţă N mol mol temperatura termodamcă Θ T kelv K tmpul T t secudă s lugmea L l,, r metru m curetul electrc I I, amper A testatea lumoasă J I V cadela cd Tab. 7. Mărm ş utăţ de bază ale sstemulu teraţoal Următoarele sut defţle mărmlor de bază d sstemul teraţoal de utăţ: Klogramul este masa prototpulu teraţoal petru klogram (materalul folost fd u ala de Plată cu ±.% Irdu; Molul este cattatea de substaţă a uu sstem ce coţe tot atâtea ettăţ elemetare câţ atom sut î. kg de Carbo cu masa atomcă (câd molul este utlzat, ettăţle elemetare cd

14 trebue specfcate ş pot f atom, molecule, o, electro, alte partcule sau grupur specfcate de astfel de partcule; Kelvul este /73.6 d temperatura termodamcă a puctulu trplu al ape (defţa referă apa cu următoarea compozţe î zotop: H: H.5576, 7 O: 6 O.3799, 8 O: 6 O.5; Secuda este durata corespuzătoare uu umăr de peroade ale radaţe corespuzătoare trazţe ître cele două vele hperfe ale stăr fudametale a atomulu de Cesu cu masa atomcă 33 (defţa referă atomul de cesu la temperatura de repaus de K; Hetzul ([Hz], petru frecveţă este deft mplct î defţa secude, frecveţa radaţe corespuzătoare trazţe ître cele două vele hperfe ale stăr fudametale a atomulu de Cesu cu masa atomcă 33 fd de Hz; Metrul este lugmea drumulu parcurs de lumă î vd îtr-u terval de tmp de / secude (rezultă că vteza lum î vd este eact c m s - ; Amperul este curetul electrc costat care, dacă este meţut ître do coductor paralel de lugme ftă, de grosme eglablă, plasaţ la m uul de celălalt î vd vor produce ître aceşt coductor o forţă egală cu -7 N (kg m s - petru fecare metru de lugme; Cadela este testatea lumoasă, îtr-o drecţe dată, a ue surse care emte radaţe moocromatcă cu frecveţa de 54 Hz (s - ş care are o testate radată î acea drecţe de /683 W/sr (sr este smbolul petru sterada, utatea SI de măsură a ughulu sold; sfera are 4π sr; sr este ara ue calote sferce cu ara pe o sferă cu raza ; Lumeul ([lm], petru flu lumos este deft mplct î defţa cadele, fd fluul lumos produs de sursa care emte radaţe moocromatcă cu frecveţa de 54 Hz (s - î ughul sold de sr; Pe baza utăţlor de bază sut costrute utăţle dervate: Radaul ([rad], petru ugh este ughul la cetru dat de o deschdere de m pe u cerc cu o rază de m; Steradaul ([sr], petru ugh sold este ughul sold la cetru dat de o calotă sfercă cu ara de m pe o sferă cu o rază de m; Newtoul ([N], petru forţă este forţa ecesară să accelereze kg de masă cu ms -. Pascalul ([Pa], petru presue este presuea eerctată de o forţă de N pe o suprafaţă de m ; Jouleul ([J], petru eerge este eerga cheltută î aplcarea ue forţe de N î deplasarea pe dstaţa a m, sau î traversarea curetulu electrc de A prtr-o rezsteţă de Ω petru s; Wattul ([W], petru putere este puterea ecesară petru a produce o eerge de J pe durata a s; Voltul ([V], petru poteţal electrc este dfereţa î poteţalul electrc pe lugmea uu fr câd u curet electrc de A dspă W; Ohmul ([Ω], petru rezsteţa electrcă este rezsteţa ître pucte ale uu coductor câd o dfereţă de poteţal costată de V aplcată ître aceste pucte produce î coductor u curet de A; coductaţa electrcă este versul rezsteţe electrce; Semesul ([S], petru coductaţa electrcă este coductaţa ître pucte ale uu coductor câd o dfereţă de poteţal costată de V aplcată ître aceste pucte produce î coductor u curet de A; Coulombul ([C], petru sarca electrcă este sarca electrcă trasportată de u curet costat de A pe durata a s; Faradul ([F], petru capactatea electrcă este valoarea care produce o dfereţă de V câd este îcărcată cu C; Luul ([l], petru lumare este lumarea corespuzătoare uu flu lumos de lm care traversează o suprafaţă de m ; Becquerelul ([Bq], petru radoactvtate este actvtatea uu materal radoactv î care are loc deztegrarea a ucleu atomc pe durata a s; Grayul ([Gy], petru doza absorbtă de radaţe ozată este doza absorbtă câd se trasferă o eerge de J ue cattăţ de matere de kg; Severtul ([Sv], petru doza echvaletă de radaţe ozată este doza absorbtă câd se observă aparţa cacerulu î 5.5% d cazur; 3

15 Katalul ([kat], petru actvtatea cataltcă este valoarea cataltcă ce coverteşte mol de reactat pe durata a s; Multpl ş submultpl utăţlor de măsură sut stadardzate (v. Multpl ş submultpl a utăţlor de măsură. Dvzor Smbol - d c m μ p f a z y Pref - dec cet ml mcro ao pco femto atto zepto yocto Multplcator Smbol - da h k M G T P E Z Pref - deca hecto klo mega gga tera peta ea zetta yotta Tab. 8. Multpl ş submultpl a utăţlor de măsură 4

16 Evaluarea umercă a epreslor matematce Ecuaţ algebrce ş trascedetale O fucţe trascedetală este o fucţe care u satsface o ecuaţe polomală a căre coefceţ sut e îşş poloame, î cotrast cu o fucţe algebrcă, care satsface o asemeea ecuaţe. Cu alte cuvte, o fucţe trascedetală este o fucţe care "trascede" algebra, î sesul că aceasta u poate f eprmată î terme ue secveţe fte de operaţ algebrce de aduare, îmulţre ş etragerea rădăc. Eemple de fucţ trascedetale sut fucţa epoeţală, logartmul ş fucţle trgoometrce. O ecuaţe trascedetală este o ecuaţe care coţe o fucţe trascedetală. U umăr algebrc este u umăr o rădăcă a uu polom (eul îtr-o varablă cu coefceţ raţoal. Numerele care u sut algebrce sut umere trascedetale. Eemplele clud pe π ş e. Iversa fucţe f(ww e w se umeşte fucţa W a lu Lambert. Dervata fucţe f, f'(w e w (+w e arată că w- este u puct de etrem petru fucţa f (de mm, f(--e - aşa îcât faţă de acest puct de etrem de o parte ş de alta a acestua estă eact două soluţ (w ş w petru ecuaţa yw e w. D acest motv versa fucţe f, fucţa W este fe multvalorcă (redâd petru u y două valor, w ş w fe se restrâge domeul de defţe al fucţe astfel îcât să devă (atât f cât ş W fucţe bectvă. Fucţa Lambert este o sursă de umere trascedetale, ceea ce îseamă că soluţle w asocate ecuaţe yw e w ude y este u umăr algebrc eceptâd pe y sut toate trascedetale. Fucţa W a lu Lambert este de mportaţă teoretcă, îtrucât multe ecuaţ mplcâd epoeţale se 'rezolvă' oferd soluţle (drecte ca epres mplcâd soluţle fucţe W. Eemplul. Petru a, b > să se rezolve ecuaţa: a t b t. Rezolvare. a t b t b t/a t b t e -t l(a /b t e -t l(a -l(a/b -t l(a e -t l(a Dacă se obţe w ca o soluţe a ecuaţe -l(a/b w e w atuc t -w/l(a, care se eprmă formal astfel: t -W(-l(a/b/l(a. Eemplul. Ma geeral, petru a ş q>, să se rezolve ecuaţa: q a +b c +d. Idcaţe. Se substtue -t a + a d/c ş R t q t -(a/c q b-a d/c. Eemplul 3. Să se rezolve ecuaţa a. Rezolvare. a l( l(a e l( l( l(a Dacă se obţe w ca o soluţe a ecuaţe l(a w e w atuc e w, care se eprmă formal astfel: e W(l(a. Remarcă. Dacă yw e w, sau scrs parametrzat yw(y e w(y petru yl(z atuc ş l(zw(l(z e w(l(z are loc, ş e w(l(z l(z/w(l(z astfel îcât soluţa ecuaţe a se ma poate scre ca: e W(l(a l(a/w(l(a. Alte eemple de utlzare a fucţe W a lu Lambert petru a obţe soluţle ecuaţlor trascedetale clud ecuaţle î forma log b (a (cu soluţa e W(a l(b, valorle eplcte ale curetulu îtr-u crcut î care sut î sere o dodă ş o rezsteţă (relaţa ître curet ş tesue î cazul dode este dat de o lege epoeţală [ 7 ] î tmp ce la rezstor este o depedeţă lară, îcettorul atomc Zeema [ 8 ], curgerle ş depuerle graulelor ş suspeslor, curgerea fludelor vâscoase [ 9 ], ş magstca creerulu [ ]. Î toate aceste cazur, ca ş î altele de aseme, câd este posblă obţerea ue soluţ aaltce sau, î cazul soluţlor oferte pr termedul fucţe W a lu Lambert, obţerea uor soluţ pseudo-aaltce, aceste soluţ aaltce sut de preferat î favoarea celor obţute pr evaluare umercă. Rezolvarea ecuaţlor polomale U caz aparte de ecuaţ sut cele î forma y a +...+a +a, umte ecuaţ polomale. D fercre, astăz estă u algortm care găseşte toate rădăcle orcăru polom de orce grad [ ], algortm dspobl ole [ ] ş care este mplemetat î maortatea programelor profesoale care ecestă rezolvarea de astfel de ecuaţ. Precza î care acest algortm rezolvă ecuaţle polomale este lmtată uma de precza de calcul a mplemetăr. De eemplu o mplemetare C/C++ poate da o precze de -4, o mplemetare î FreePascal o precze de -9 î tmp ce o mplemetare î Fortra poate da o precze de -3. 5

17 Rezolvarea umercă a ecuaţlor trascedetale Petru ecuaţle la care lteratura de specaltate u e pue la dspozţe metode determste care să e coducă spre soluţe, sgura modaltate de abordare rămasă este de a căuta soluţle. Avataul pe care îl are utlzarea calculatorulu este mes: stocarea eprese ecuaţe de rezolvat î calculator oferă practc posbltatea evaluăr rezultatulu fucţe asocate î orce momet. Fe astfel ecuaţa de rezolvat yf(, î care y este o valoare care trebue preczată de fecare dată câd facem apel la o rezolvare umercă. Se costrueşte fucţa asocată g( f( - y. Se poate evalua fucţa g( î orce valoare a domeulu său de defţe pr smpla sa mplemetare îtr-o rută de calcul. Rezolvarea umercă totdeaua presupue cuoaşterea domeulu î care se află soluţa (sau soluţle ecuaţe. Dacă u avem c o dcaţe asupra domeulu, o buă dee este să se îcerce reprezetarea grafcă a depedeţe îtr-u program specalzat (cum este MathCad. Odată detfcat domeul (fe acesta [a,b] î care se află soluţa sau soluţle, următorul pas ecesar este separarea soluţlor, ş aume găsrea uu subdomeu (fe acesta [c,d], a c, d b î care estă o sgură soluţe. Practc u estă metode stadard care să e ducă la acest subdomeu, îsă d ou o reprezetare grafcă e poate auta. Codţa ca îtr-u subdomeu să este cel puţ o soluţe este ca g(c g(d<. Codţa g(c g(d< este sufcetă, î sesul î care dacă g(c g(d< atuc estă cel puţ o soluţe g(z î tervalul [c,d] îsă u este ş ecesară, esteţa uu umăr par de soluţ î domeul [c,d] făcâd ca g(c g(d> ş totuş să este soluţ î acest terval. Odată detfcat u domeu [c,d] petru care g(c g(d<, căutarea soluţe ecuaţe g(z se poate face pr căutăr succesve, ş totdeaua u astfel de algortm va produce cel puţ o soluţe. Cea smplă metodă de căutare succesvă este pr îumătăţrea tervalulu (v. Căutarea soluţe g(z câd g(c g(d<. Let ac; bd; Repeat If(a-b<epsthe stop;//soluto s ay of a ad b If(b-a<epsthe stop; //soluto s ay of a ad b c(a+b/; f(g(c<epsthe stop;//soluto s c If(g(a*g(c<the bc; else ac; Utl(false; Fg.8. Căutarea soluţe g(z câd g(c g(d< Aşa cum se observă î fgura de ma sus (v. Căutarea soluţe g(z câd g(c g(d< căutarea succesvă a soluţe g(z mpue defrea ue toleraţe (eps a căre valoare mmă este stabltă î fucţe de cerţele probleme de rezolvat (o precze de 4 cfre semfcatve este foarte rar depăştă de strumetaţa de aalză fzcă ş chmcă ş de capactatea procesorulu matematc al platforme de calcul (s-a arătat ma sus că lmta de precze poate merge pâă la 3 de cfre semfcatve fără a face apel la calculul matematc î precze arbtrară. Rezolvarea sstemelor de ecuaţ lare D fercre, ş petru acest caz sut elaborate metode, uele dtre ele foarte efcete, de rezolvare eactă. Dfereţele ître o metodă ş o altă metodă î acest caz o repreztă precza cu care este ofertă soluţa. Petru a putea rezolva u sstem de ecuaţ lare, sut ecesare u umăr mare de operaţ de îmulţre, împărţre, aduare ş scădere, ar cea ma efcetă rezolvare are ordul de completate polomal, fd de ordul puter a 3-a a umărulu de ecuaţ, O( 3. Astfel, petru u umăr foarte mare de ecuaţ, sut mplcate ş u umăr mare de operaţ (petru, 3 9, ceea ce face ca precza mamă posblă să scadă ş ea (folosd o mplemetare C/C++, d precza de 4 cfre semfcatve, scăzâd cele 9 datorate operaţlor artmetce, augem la pragul de 5 cfre semfcatve ca precze mamă a evaluăr. Morala este că petru cazurle î care se operează cu ssteme de ecuaţ foarte mar, utlzarea celor ma precse metode de rezolvare este oblgatore. Î fgura următoare (v. Procedura Gauss-Jorda petru regres lare multple este redată 6

18 procedura Gauss-Jorda petru rezolvarea sstemelor de ecuaţ lare, aplcată petru modele de regrese lară, câd soluţa este furzată smulta cu calculul de varaţă [ 3 ]. df m+ y ~ ŷ a + a + + a m m petru (y,,,, m, (l\(coloae - m m+ m+ m+ Σy Σ, Σ m, Σy, Σ, Σ, Σ, m, m Σy m, Σ m, Σ, m, Σ m, m, Iţal S B S A I m+ Operaţ elemetare pe l Fal A S - A S B I m+ - S A a (S A -, a (S A -, m a m (S A - m,m df m y ~ ŷ a + + a m m petru (y,,,, m, (l\(coloae - m m+ m+ m+ Σy, Σ,, Σ, m, m Σy m, Σ, m, Σ m, m, Iţal S B S A I m Operaţ elemetare pe l Fal A S - A S B I m - S A a (S A -, m a m (S A - m,m Coefceţ ş varaţe ε ŷ - y a +a, + +a m m, -y s (a (S A -, Σ ε /(-df Semfcaţa coefceţlor t t(a a s(a p p(t CDF (t, df Semfcaţa modelulu r Σ y Σ y ŷ Σ y Σ ŷ Σ y Σ y Σ ŷ Σ ŷ Σ ŷ r df F(r, p r CDFF (F(r,m, df r m Fg.9. Procedura Gauss-Jorda petru regres lare multple Metode teratve Petru ecuaţ elare cu epres complcate, ş cu atât ma mult petru ecuaţ trascedetale, cel puţ o soluţe poate rezulta pr apromaţ succesve. Fe ecuaţa f( petru care căutăm o rădăcă. O metodă teratvă totdeaua poreşte de la o valoare ţală pe care căutăm să o îmbuătăţm astfel îcât la fal să obţem o buă apromaţe f( <ε ude ε este o valoare arbtrară mpusă de cerţele probleme de rezolvat. Ecuaţa f( se poate trasforma astfel îcât să se obţă o ecuaţe echvaletă cu aceasta î forma g(. Succesul metode teratve depde de modaltatea de eprmare a ecuaţe echvalete. Eemplu. Fe f( --3. Î tabelul următor (v. Aplcarea metodelor teratve sut lustrate ma multe modaltăţ de eprmare a ecuaţe echvalete. t 7

19 Ecuaţe echvaletă 3 ( + 3 / ± + 3 ± + 3 Ecuaţe teratvă 3 + ( + 3 / #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! Tab.9. Aplcarea metodelor teratve Aşa cum se observă d tabelul ateror (v. Aplcarea metodelor teratve u orce alegere a metode teratve coduce la covergeţa către soluţe (f(. Ssteme de ecuaţ elare Metoda apromaţlor succesve poate f o soluţe comodă î aumte cazur câd se cere rezolvarea de ssteme de ecuaţ elare. U eemplu tpc de aplcare este petru mamzarea agremetulu ître observaţe ş model. Fe eemplul lustrat ma os (v. Observaţ la cotgeţa de do factor multplcatv. Factor "B" Nvel b Nvel b Nvel b 3 Nvel b 4 Factor "A" Nvel a Obs Obs Obs 3 Obs 4 Nvel a Obs Obs Obs 3 Obs 4 Nvel a 3 Obs 3 Obs 3 Obs 33 Obs 34 Nvel a 4 Obs 4 Obs 4 Obs 43 Obs 44 Tab.. Observaţ la cotgeţa de do factor multplcatv Î cazul observaţlor la cotgeţa de do factor multplcatv (v. Observaţ la cotgeţa de do factor multplcatv poteza este că Obs ~ a b ş valoarea aşteptată î urma observaţe este Ep, a b. Datortă uor factor aleator ecuoscuţ, observaţa e afectată de eror, astfel îcât aproape codată Ep, Obs,. Dfcultatea îsă costă î faptul că u se cuosc valorle velelor factorlor (a,...,a 4 ; b,...,b 4 ş c tpul eror (eroare proporţoală cu valoarea observată, eroare î magtude uformă, etc.. Orce tetatvă de a rezolva aaltc sstemul (pr detfcarea valorlor velelor e sorttă eşeculu, deoarece sstemul are cel puţ o edetermare (putâd f astfel rezolvat doar cel mult parametrc. Avem îsă posbltatea să obţem u set de valor ţale petru valorle aşteptate cu formula: Ep k, r r Obs c,k k c Î acelaş cadru al presupuer aturale al efectulu multplcatv al celor do factor asupra observable Obs d puct de vedere matematc se pot formula tre presupuer cu prvre la eroarea pătratcă (Obs, -Ep, produsă de observaţe: măsurătoarea este afectată de eror absolute îtâmplătoare; măsurătoarea este afectată de eror relatve îtâmplătoare; măsurătoarea este afectată de eror îtâmplătoare pe o scară termedară ître eror absolute ş eror relatve; Prma dtre poteze (eror absolute îtâmplătoare coduce d puct de vedere matematc la mmzarea varaţe ître model ş observaţe (S, a doua dtre poteze coduce la mmzarea pătratulu coefcetulu de varaţe (CV ar o soluţe (ua d ma multe soluţ posble la cea de-a Obs Obs, k, 8

20 trea dtre poteze (X o repreztă mmzarea statstc X (v. Mmzarea dfertelor tpur de eror petru agremetul ître observaţe ş model. S CV X r c (Obs, a b m. r c (Obs a b, (a b m. r c (Obs, a b a b m. Tab.. Mmzarea dfertelor tpur de eror petru agremetul ître observaţe ş model Î relaţle de ma sus (v. Mmzarea dfertelor tpur de eror petru agremetul ître observaţe ş model apar eprmaţ ce do factor ("A" ş "B" a căror depedeţă se verfcă pr termedul efectulu multplcatv (a, r repreztă cotrbuţa prmulu factor la valoarea aşteptată E, ar b, c repreztă cotrbuţa celu de-al dolea factor la valoarea aşteptată E, ş epresa valor aşteptate E, este dată, aşa cum presupuerea aturală a fost făcută de produsul celor două cotrbuţ: E, a b. Mmzarea cattăţlor date de relaţle de ma sus î scopul determăr cotrbuţlor factorlor A (A(a r ş B (B(b c se face pe aceeaş cale, dată geerc de relaţa: (a,b (a,b ; a b r c ude epresa de dervat (a,b este ua d epresle date de S, CV ş X. Î urma calcululu (dervare se poate obţe că codţle de mmzare a dfertelor tpur de eror petru agremetul ître observaţe sut echvalete cu ecuaţle următoare (v. Ecuaţ î mmzarea dfertelor tpur de eror petru agremetul ître observaţe ş model. S CV X Domeu c c c O c, O a b O, b a b b, a c O, b c b..r r r r O r, O r r, O, b a O, a b b a.. c a a a Tab.. Ecuaţ î mmzarea dfertelor tpur de eror petru agremetul ître observaţe ş model Se poate de asemeea arăta matematc că relaţle de ma sus (v. Ecuaţ î mmzarea dfertelor tpur de eror petru agremetul ître observaţe ş model admt o ftate de soluţ ş că famlle de soluţ ale relaţlor se află î vecătatea famle de soluţ date valorle ţale ale valorlor aşteptate (Ep, a b : a b r k O c,k k O k, r c Calea drectă de rezolvare a ecuaţlor de mmzare fără a face apel la ecuaţa de apromare este efcetă. De eemplu petru r, c3 substtuţle î relaţa petru S duc la: a (Obs, + Obs, + Obs,3 (Obs, + Obs, + Obs,3 a a + (Obs,Obs, Obs,Obs, Obs,3Obs,3 a + + care este rezolvablă î (a /a care dovedeşte că estă o ftate de soluţ (petru orce valoare eulă a lu a estă o valoare a care să verfce ecuaţa ş gradul ecuaţe este dat de m(r,c. Ecuaţle ce se obţ pe calea substtuţe drecte dev d ce î ce ma complcate cu creşterea lu `r` ş `c` ş cu coborârea dspre relaţa (S către relaţa (X. Calea drectă de rezolvare a ecuaţlor de mmzare este pr apromaţ succesve făcâd apel la soluţa apromatvă ofertă de estmarea ţală. Astfel, se foloseşte relaţa de estmare ţală petru a obţe prma apromaţe (apromaţa ţală a soluţe după care î fecare succesue de apromaţ se îlocuesc vechle valor ale apromaţe î partea dreaptă a relaţlor petru a obţe O, 9

21 ole apromaţ. Î acest caz metoda apromaţlor succesve coverge rapd către soluţa optmală. Astfel petru relaţa (S tre teraţ sut sufcete petru a obţe (vez Tabelul 3 o valoare rezduală de ş de la această teraţe îcolo valoarea rezduală îş schmbă cfrele dcolo de a 5-a zecmală, î tmp ce petru relaţa ( aceeaş caltate a reprezetăr soluţe optmale este obţută după 4 teraţ. Folosd datele d [ 4 ] redate î Tabelul 3, valorle sugerate de ecuaţle de estmare ţală petru produsele (a b 6; sut redate î Tabelul 4, valorle ce rezultă după rezolvarea teratvă a relaţlor (8-( sut redate î Tabelele 5-7. TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D Suma DS DC DB US UC UB Suma Legedă: TV: Tratamet vs. Varetate UD, KK, KP, TP, ID, GS, AJ, BQ, ND, EP, AC, D: varetăţ de cartof (UD: Up to Date; KK: K of K; KP: Kerr's Pk; TP: Twald Perfecto; ID: Iro Duke; GS: Great Scott; AJ: Aa; BQ: Brtsh Quee; ND: Nthsdale; EP: Epcure; AC: Arra Comrade; D: Duke of ork DS, DC, DB, US, UC, UB: tratamete (D* - cu fertlzat atural; U* - fără; S - sol fertlzat cu sulfat; C - sol fertlzat cu clorur; B - sol fertlzat cu baze Tab.3. Valor epermetale î tratametul cartoflor TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D DS DC DB US UC UB Tab.4. Valorle produselor (a b 6; TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D DS DC DB US UC UB Tab.5 Valorle optmzate ale produselor (a b 6; folosd relaţle (S TV UD KK KP TP ID GS AJ BQ ND EP AC D DS DC DB US UC UB Tab.6. Valorle optmzate ale produselor (a b 6; folosd relaţle (CV