COMPLEXUL GENERALIZAT DE RELAȚII MULTI-ARE ȘI ASPECTELE APLICATIVE ALE ACESTUIA

Transcription

1 UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Facultatea de Mateatcă ș Iforatcă Cu ttlu de auscrs C.Z.U.: CATARANCIUC SERGIU COMPLEXUL GENERALIZAT DE RELAȚII MULTI-ARE ȘI ASPECTELE APLICATIVE ALE ACESTUIA 2.3 CIBERNETICĂ MATEMATICĂ ȘI CERCETĂRI OPERAȚIONALE Autoreferatul teze de doctor habltat î ștțe ateatce CHIȘINĂU, 25

2 Teza a fost elaborată î cadrul Departaetulu Mateatc Aplcate a Uverstăț de Stat d Moldova, Chșău Cosultat ştţfc: SOLTAN Petru, doctor habltat î ștțe ateatce, profesor uverstar, acadeca Refereţ ofcal: CIOBANU Mtrofa, doctor habltat î ateatcă, profesor uverstar, ebru ttular al Acadee de Ştţe a Moldove; MIRON Radu, doctor docet î ateatcă, profesor uverstar, Iaș, ebru ttular al Acadee Roâe; TOMESCU Ioa, doctor docet î ateatcă, profesor uverstar, Bucureșt, ebru corespodet al Acadee Roâe. Copoeţa Coslulu ştţfc specalzat: MIȘCOI Gheorghe, doctor habltat î ateatcă, profesor uverstar, ebru ttular al Acadee de Ştţe a Moldove președte CȘS; HÂNCU Bors, doctor î ateatcă, coferețar uverstar secretar CȘS; LOZOVANU Dutru, doctor habltat î ateatcă, profesor uverstar; VOLOSHIN Vtaly, doctor î ateatcă, profesor uverstar, uverstatea Troy, USA SOLOMON Durtu, doctor habltat î tehcă, coferețar cercetător; CALMUȚCHI Laurețu, doctor habltat î ateatcă, profesor uverstar; CHIRIAC Lubor, doctor habltat î ateatcă, profesor uverstar; GUȚULEAC Ela, doctor habltat î tehcă, profesor uverstar. Susţerea va avea loc la 2 ule 25, ora 2:, î şedţa Coslulu ştţfc specalzat DH d cadrul Uverstăț de Stat d Moldova (str. A. Mateevc 6, Chșău, MD-29, Republca Moldova, bloc IV, sala 222/4). Teza de doctor habltat ş autoreferatul pot f cosultate la bbloteca Uverstăț de Stat d Moldova ș pe paga web a CNAA ( Autoreferatul a fost expedat la 2 ue 25 Secretar ştţfc al Coslulu ştţfc specalzat, dr. Hâcu Bors Cosultat ștțfc, dr. hab., prof. uv., acadeca Solta Petru Autor Cataracuc Sergu Cataracuc Sergu, 25 2

3 REPERE CONCEPTUALE ALE CERCETĂRII Actualtatea tee. Odată cu dezvoltarea socetăţ creşte tot a ult rolul ştţelor exacte, î specal a ateatc, petru soluţoarea probleelor practce, coplextatea cărora avasează î od cotuu. Îcercărle de a soluţoa dverse problee de optzare cu caracter teoretco-aplcatv sut îsoţte, deseor, de procedura de căutare a răspusulu la două îtrebăr portate:. Care dtre structurle ateatce cuoscute poate f folostă î caltate de odel petru descrerea adecvată a procesulu studat? 2. Care dtre etodele de soluţoare a probleelor, specfce odelulu ateatc folost, poate f utlzată î cazul problee cocrete exaate? Este ecesar a eţoa că ueor e destul de dfcl a gas răspus atât la pra cât ş la cea de-a doua îtrebare, chestue legată atât de coplextatea problee exaate cât ş de posbltăţle reduse pe care le oferă uele odele ateatce la captolul elaborăr etodelor efcete de soluţoare. D aceste cosderete, se recurge la uele varaţ ale odelelor cuoscute sau la folosrea uor etode care oferă o soluţe aproxatvă, dar acceptablă d puct de vedere al scopulu urărt. Î stuaţle câd velul exstet de dezvoltare a structurlor ateatce u perte atgerea scopurlor eţoate a sus, se caută de o, care pot coduce la fodarea uor drect de cercetare, cu dezvoltarea ulteroară a etodelor de rezolvare adecvate aşteptărlor cercetătorulu. Î fod, după această scheă a apărut ş s-a dezvoltat teora grafurlor, a apo teora hpergrafurlor, atroz etc., chestu exaate î prul captol al lucrăr, care este u captol de steză al stuaţe î doeul dezvoltăr la vel teoretc ş aplcatv a structurlor dscrete. Pra probleă, apărută pr a 7 a secolulu trecut, care u a putut f soluţoată efcet pr etodele dspoble, este legată de căutarea edae îtr-u coplex de cubur -desoale. Aceasta, precu ş alte problee d categora probleelor de optzare dscretă, a codus la căutarea uor structur o, corespuzătoare ăzuţelor ş scopurlor cercetătorlor. Î rezultat, a fost deftă ş studată structura ateatcă, ută coplex de relaţ ult-are, cu elaborărle teoretce corespuzătoare, care sut expuse î captolele II-V a lucrăr Coplexul geeralzat de relaţ ult-are ş aspectele aplcatve ale acestua. Descrerea stuațe î doeul de cercetare ș detfcarea probleelor de cercetare. De regulă, soluţoarea probleelor de optzare de geul problee edae, a cetrulu, a fluxulu de cost etc. este îsoţtă de costrurea uu odel ateatc adecvat, 3

4 reprezetat pr ua dtre structurle ateatce dscrete cuoscute, cu ar f grafurle sau hpergrafurle, cu aplcarea ulteroară a etodelor corespuzătoare petru obţerea soluţe căutate. Deseor e coc de stuaţa câd odelele reprezetate pr aceste structur ateatce u corespud stuţe exaate sau etodele cuoscute coduc spre elaborarea uor algort de soluţoare de o coplextate prea are. Î abele cazur sute puş î stuaţa de a căuta de o petru soluţoarea problee exaate. O stuaţe slară este legată de calcularea edae uu coplex de cubur, de care a fost preocupat, pr a '7 a secolulu trecut, u grup de ateatce î frute cu dl acadeca Petru Solta. Problea a parvet dtr-o probleă practcă cocretă, pr care se cerea de gast locul optal de aplasare a găr auto î oraşul Chşău, î baza uor codţ prescrse. Folosd grafurle î caltate de odel ateatc, a fost propusă o etodă efcetă de calcul a edae coplexulu de cubur 2-desoale, ceea ce corespudea scopulu urărt la oet. Î baza etode propuse a fost ulteror elaborat u algort de coplextate poloală. Îcercărle ulteroare de a calcula edaa petru coplexe cu desu a ar u s-au îcuuat cu succes. Folosrea î caltate de odel a structurlor ateatce clasce, cuoscute sub fora de grafur, hpergrafur, coplexe splcale etc., u au codus la soluţoarea copletă a problee eţoate a sus. Grafurle au apărut datortă îcercărlor ateatcelor de a rezolva a ulte problee practce, sau char ocur cu caracter dstractv. Petru pra dată oţuea de graf a fost trodusă de către Leoard Euler î legătură cu îcercarea de a soluţoa cuoscuta probleă a celor şapte podur d Kögsberg []. Părte al teore odere a grafurlor este cosderat C. Berge, datortă expuer ssteatzate a aceste drecţ de cercetare î oografa [2] ş dezvoltăr ulteroare a teore î lucrărle [3], [4]. Rezultate sefcatve ce ţ de fudaetarea teore grafurlor, ar a apo ş a hpergrafurlor, se regăsesc î ulttudea de publcaţ apărute pe parcursul ultlor 4-5 a. Prootor fdel a aceste drecţ de cercetare sut cosderaţ F.Harary [5], V.Eelcev [6], I.Toescu [7], T.Toadere [8], N.Crstofdes [9], A.Zyov [], P.Solta [], [2], pr ultple aplcaţ ale rezultatelor obţute la soluţoare probleelor practce. Odată cu creşterea coplextăţ probleelor exaate, s-a sţt ecestatea geeralzăr grafurlor. Î rezultat a fost deft u obect ou, ut hpergraf. Se cosderă că prele rezultate care au costtut fudaetele teore hpergrafurlor aparț ateatcaulu Ray Chaudhur [3] ș se referă la geeralzarea etode lațurlor alterate petru hpergrafur. De aseeea, la dezvoltarea aceste teor au cotrbut ș alț ateatce pr rezultatele obțute 4

5 ș publcate îtr-u șr de lucrăr: Erdos & Haal [4], Erdos & Galla [5], I.Toescu [6], A.Zyov [], C.Berge [3, 4]. Ulteror, reeşd d ecestăţle cercetărlor teoretco-aplcatve, au fost defte ş studate ş alte structur, prtre care se evdeţază atroz ş coplexele splcale. O fgură proeetă î dezvoltarea teore atrozlor este cosderat W.T. Tutte, afestâdu-se pr obţerea uor rezultate portate d puct de vedere aplcatv: caracterzarea atrozlor bar, regular ș a celor grafc; teorea cu prvre la reprezetarea uu atrod regulat; dezvoltarea teore grupurlor lațurlor î structur dscrete ș a atrozlor respectv; teorea de ootope, pr care se geeralzează oțuea de dru îtr-u graf cu autorul atrozlor ș se arată că druurle îchse pot f reprezetate ca copozțe de druur eleetare, astfel îcât ootetc ele sut echvalete uu dru îchs trval [7], [8]. La dezvoltarea teore atrozlor, de aseeea, au cotrbut: Hery Crapo [9] (a geeralzat ș a studat poloul Tutte, cuoscut î lteratura de specaltate ca poloul Crapo); Thoas Brylawsy [2] (a obțut rezultate fudaetale la studerea atrozlor Tutte); Paul Seyour [2] (a deostrat teorea cu prvre la descopuerea atrozlor regulaț). Î prezeta teză de doctor habltat se propue o structură ouă - coplexul de relaţ ultare, deftă pe produsul carteza al eleetelor ue ulţ arbtrare, care geeralzează structurle clasce eţoate a sus ş oferă posbltăţ o petru soluţoarea probleelor practce. Fd o structură cobatorală abstractă, petru efectuarea cercetărlor teoretce se folosesc a ult etodele caracterstce topologe algebrce. Î topologa algebrcă, coplexele repreztă spaţ topologce cu o structură specfcă. Ițal, topologa algebrcă era cooscută sub deurea de topologe cobatore, ceea ce îseaă că cercetărle se efectuau î baza uu spațu X de o structură a splă. Î peroada alor 92-94, s-a pus a ult accetul pe exaarea spațlor topologce pr căutarea ue corespodețe dtre acestea ș grupurle algebrce. Această stuațe ș a deterat îtr-u fal deurea actuală de topologe algebrcă. Astăz, topologa algebrcă repreztă o raură a ateatc ce se ocupă de studerea spaţlor topologce, pr teredul obectelor clasce ş etodelor caracterstce algebre abstracte [22], [ 23]. Cercetărle ulteroare au codus la obţerea uor geeralzăr o î topologa algebrcă abstractă, care copletează substațal doeul grafurlor, hpergrafurlor, coplexelor splcale etc. Prele rezultate î această drecțe, obţute de către S. Cataracuc, P. Solta, M. Buac, au fost îregstrate la îceputul alor 2 ș au fost descrse î lucrărle [95], [4], [87], [76], [2], [22], care ș-au găst ulteror cotutatea î dverse geeralzăr ș aplcaț exprate pr lucrărle [83], [72], [96], [69], [93], [8], [4], [2]. 5

6 Scopul ș obectvele cercetăr. Pr ţerea cercetărlor î cadrul teze de doctor habltat Coplexul geeralzat de relaţ ult-are ş aspectele aplcatve ale acestua s-a urărt scopul elaborăr structurlor ateatce dscrete ş a etodelor efcete petru odelarea ş soluţoarea probleelor de localzare, cuoscute ca problea edae, problea cetrulu, precu ş a dverselor varaţ ale acestora. Î cofortate cu scopul euţat au fost stablte obectvele cercetăr: - elaborarea uu odel ateatc dscret, bazat pe oţuea de relaţe ult-ară, ca subulţe a produsulu carteza a ue ulţ de eleete arbtrare; - exaarea topologe relaţlor ult-are, pr costrurea grupurlor de oolog ş cooolog a coplexulu de relaţ ult-are; - exaarea coplexulu de cubur abstracte, ca caz specal al coplexulu de relaţ ultare, ş a varetăţlor abstracte respectve; - elaborarea algortulu efcet petru soluţoarea problee edae pe coplexul de cubur abstracte; - defrea fucţe Grudy ş soluţoarea uor ocur cobatorale pe coplexe de relaţ ult-are. Metodologa cercetăr ștțfce. Petru realzarea scopulu ş obectvelor cercetăr au fost foloste etode de studu, caracterstce topologe algebrce, costrud grupurle de oolog ş cooolog ale coplexulu de relaţ ult-are ş ale coplexulu de cubur abstracte. La studerea covextăţ geeralzate î coplexul de relaţ ut-are au fost foloste etode de studu d doeul teore covextăţ ş teore grafurlor. La soluţoarea problee edae pe coplexul de cubur abstrate ş a ocurlor cobatorale pe coplexe de relaţ au fost foloste etode ale optzăr dscrete, bazate pe propretăţle ulţlor ter stable, exter stable, a fucţe Grudy, geeralzăr ale caracterstc Euler. Noutatea ș orgaltatea ștțfcă. - a fost propusă o drecţe ouă de cercetare, deterată de ecestatea studer propretăţlor coplexulu de relaţ ult-are ş aplcăr acestua la soluţoarea probleelor de optzare dscretă; - a fost dedusă forula recuretă de calculare a uărulu ccloatc petru u coplex de relaţ ult-are cu autorul ragurlor grupurlor de oolog; - a fost geeralzată oţuea de d-covextate petru spaţle etrce, deterate de 2 relaţle -are,, ale coplexulu ( R, R,..., R ) ; - au fost studate varetăţle abstracte deterate de u coplex de cubur abstracte, ute varetăț cubce; 6

7 - a fost elaborat algortul de calcul al edae îtr-u coplex de cubur abstracte, fără utlzarea etrc spaţulu respectv. Problea ștțfcă portată soluțoată costă î elaborarea ue structur ateatce deterate de o fale de relaţ ult-are ş foloste la odelarea proceselor cu acţue dscretă, care a codus la obţerea etodelor efcete petru utlzarea ulteroară a acestora la soluţoarea problee de calculare a edae poderate, fără a folos etrca spaţulu, a problee de coportaet a ucătorlor îtr-u oc cobatoral etc. Î baza rezultatelor obţute se propue o drecţe ouă de cercetare ce costă î fudaetarea teore coplexelor de relaţ ult-are, pr care se geeralzează a ulte structur dscrete clasce cuoscute ca grafur, hpergrafur, atroz, coplexe de splexe, ceea ce a cotrbut la elaborarea odelelor ş etodelor efcete î vederea aplcăr acestora la soluţoarea probleelor de optzare dscretă. Sefcața teoretcă ș valoarea aplcatvă a lucrăr. Iportaţa teoretcă a teze este deterată de fudaetarea ue drecţ o de cercetare, geerate de studerea topologe algebrce a relaţlor ult-are. Petru soluţoarea probleelor de optzare dscretă a fost propus u odel ateatc ou, ut coplex de relaţ ult-are care geeralzează a ulte structur ateatce dscrete clasce. Valoarea aplcatvă a lucrăr este deterată de rezultatele obţute î legătură cu dezvoltarea teore abstracte a relaţlor ult-are ş folosrea acestora la elaborarea etodelor efcete de soluţoare a probleelor de optzare dscretă, reprezetate î teză pr calcularea edae uu coplex de cubur abstracte ş a soluţoăr ocurlor cobatorale cu autorul fucţe Grudy pe coplexe de relaţ. Rezultate ștțfce prcpale îatate spre susţere: Rezultate de ord teoretc. a fost elaborat odelul ateatc dscret, bazat pe oţuea de relaţe ult-ară, ca subulţe a produsulu carteza a ue ulţ de eleete arbtrare; a fost studată topologa relaţlor ult-are, pr costrurea grupurlor de oolog ş cooolog a coplexulu de relaţ ult-are; a fost dedusă forula recuretă de calculare a uărulu ccloatc petru u coplex de relaţ ult-are cu autorul ragurlor grupurlor de oolog; a fost deostrat aalogul teoree Pocare-Veble-Alexader petru coplexe de relaţ ult-are (teorea 2.8.); au fost studate propretăţle covextăț ș a îveltoare covexe î spațul etrc ( 2 R, d ), deterat de relața -ară a coplexulu ( R, R,..., R ),, precu ş 7

8 problea restablr fale de subulț d R, ce repreztă o covextate, cuoscâd îveltoarea covexă respectvă, ș vers (teorea 3..2, cosecța 3.., teorea 3..3); au fost caracterzate clasele de grafur d-covex sple, detce după structură, cu deterarea relațe dtre rază ș daetru î grafurle de tpul L G, G ), ude G repreztă atoul grafulu G ; ( au fost costrute grupurle de oolog ale coplexulu de cubur abstracte; au fost studate propretăţle varetăţlor, deterate de u coplex cubc abstract; a fost dedusă forula Euler-Pocare petru coplexul de cubur abstracte; au fost deterate codțle de exsteță a coturulu Euler (-)-desoal îtr-o varetate abstractă, oretablă ș coexă forte; Rezultate de ord aplcatv. î baza rezultatelor teoretce, ce ţ de studerea topologe algebrce a relaţlor ult-are, 2 a fost efectuată clasfcarea varetățlor abstracte deterate de coplexul ( R, R,..., R ) ; a fost elaborat algortul de calcul al edae îtr-u coplex de cubur abstracte, fără utlzarea etrc spaţulu respectv; 2 cu autorul fucțe Grudy, defte pe coplexul de relaț ( R, R,..., R ), au fost stablte strategle de coportare ale partcpaţlor la u oc cobatoral. Ipleetarea rezultatelor ștțfce. Rezultatele ştţfce, obţute î legătură cu dezvoltarea teore abstracte a relaţlor ult-are, preztă teres teoretco-aplcatv afestat pr faptul că: - pot serv drept suport petru ţerea uor cercetăr pr forularea teelor de doctorat î doeul elaborăr odelelor ş etodelor de soluţoare a probleelor d doeul optzăr dscrete; - pot serv drept suport petru elaborarea uor cursur opţoale uverstare î cadrul studlor de lceţă ş de asterat; - coplexul de relaţ ult-are exaat î teză poate serv drept odel petru soluţoarea probleelor practce d sectorul ecooc, legate de aplasarea uor cetre de deservre sau producere; - pot coduce la elaborarea uor etode efcete o de soluţoare a probleelor de optzare dscretă. Aprobarea rezultatelor ștțfce. Rezultatele ștțfce prezetate î teză au fost exaate ș aprobate la dverse seare ștțfce, prtre care: searul "Structur dscrete ș problee de optzare" d cadrul Uverstăţ de Stat d Moldova, 2-25; searul 8

9 d cadrul Isttutulu de Mateatcă a Acadee Naţoale d Belorusa, 23; searul d cadrul facultăţ de ateatcă a uverstăţ Babeş-Bolya (Clu-Napoca), 25, 28, 2; searul d cadrul facultăţ de ateatcă a uverstăţ Ovdus (Costaţa), 28. Rezultatele ștțfce au fost prezetate pr coucăr î ple ș î secț la a ulte coferțe, prtre care: Iteratoal Coferece Treds the Developet of the Iforato ad Coucato Techology Educato ad Maageetˮ. Chșău, March 2-2, 23; Secod Coferece of the Matheatcal Socety of the Republc of Moldova. Chșău, August 7-9, 24; Tberu Popovcu Sear of Fuctoal Equatos, Approxato ad Covexty. Clu-Napoca, 25; The 3-th Aual Cogres of the Aerca Roaa Acadey of Arts ad Sceces (ARA). Chşău, July 5-, 25; The XIV Coferece o Appled ad Idustral Matheatcs, dedcated to the 6 th aversary of the foudato of the Faculty of Matheatcs ad Coputer Scece of Moldova State Uversty. Chşău, August 25-27, 26; Tberu Popovcu Sear of Fuctoal Equatos, Approxato ad Covexty. Clu- Napoca, 26; Iteratoal coferece KEPT-27. Kowledge egeerg: Prcples ad techques. Clu-Napoca, Babeş-Bolya Uversty, Jue ; Tberu Popovcu Sear of Fuctoal Equatos, Approxato ad Covexty. Clu-Napoca, 27; Seveth Worshop o Matheatcal Modelg of Evroetal ad Lfe Sceces Probles. Costatza, October 22-25, 28; Coferță ștțfcă Iterferețe uverstare tegrare pr cercetare ș ovare. MITRE 28. Chșău, October -4, 28; Tberu Popovcu Sear of Fuctoal Equatos, Approxato ad Covexty. Clu-Napoca, 28; Coferță ștțfcă Iterferețe uverstare tegrare pr cercetare ș ovare. MITRE 29. Chșău, October 8-9, 29; Tberu Popovcu Sear of Fuctoal Equatos, Approxato ad Covexty. Clu-Napoca, 29; The 33-th Aual Cogres of the Aerca Roaa Acadey of Arts ad Sceces (ARA). Sbu, July 2-7, 29; Iteratoal Scetfc Coferece «Dscrete atheatcs, algebra ad ther applcatos». Ms, October 9-22, 29; Scetfc Coferece dedcated to the 8-th aversary of the foudato of the Traspol State Uversty, Chşău, Septeber 24-25, 2; The 8 th Coferece o Appled ad Idustral Matheatcs. CAIM 2. Iaş, October 4-7, 2; Coferță ștțfcă Iterferețe uverstare tegrare pr cercetare ș ovare. MITRE 2. Chșău, August 22-25, 2; Iteratoal Cogress o Coputer Scece: Iforato Systes ad techologes, Ms, 3 october 3 oveber, 2; Coferţa Iteraţoală Modelare ateatcă, optzare ş teholog foraţoale. Edţa III. Chșău, 9-23 arte, 22; The 2th Coferece o Appled ad Idustral Matheatcs. Dedcated to Acadeca Mtrofa M. Coba. CAIM 22. Chşău, August 22 25, 22 (Raport plear); The 3th Iteratoal Coferece o Matheatcs ad ts 9

10 Applcatos - ICMA 22. Tşoara, Noveber -3, 22; The 4-th Iteratoal Coferece of Scetfc Papers Scetfc Researgh ad Educato the Ar Force. Braşov, May 24-26, 22; Coferţă ștţfcă cu partcpare teraţoală Iterferețe uverstare tegrare pr cercetare ș ovare. Chșău, septebre, 22 (Raport plear); The 2 st Coferece o Appled ad Idustral Matheatcs. CAIM 23. Bucharest, Septeber 9 22, 23; Iteratoal Coferece"Dscrete atheatcs, graph theory ad ther applcatos" (DIMA-23). Ms, Noveber -4, 23 (Raport plear); Coferță ștțfcă Iterferețe uverstare tegrare pr cercetare ș ovare. MITRE 23. Chșău, August 8-22, 23; The 22 st Coferece o Appled ad Idustral Matheatcs. CAIM 24. Bacău, Septeber 8 2, 24 ; Thrd Coferece of the Matheatcal Socety of the Republc of Moldova. Chșău, August 9-23, 24; Coferţa Iteraţoală Modelare ateatcă, optzare ş teholog foraţoale. Edţa IV. Chșău, arte, 24. Publcaț la tea teze. Rezultatele de baza ale teze au fost publcate î 58 lucrăr, lsta cărora se aexează la sfârștul autoreferatulu ș cuprde: 3 oograf; 27 artcole ştţfce recezate ș publcate î 3 țăr (Republca Moldova 6 artcole, Roâa artcole, Belorusa artcol); 2 coucăr ș rezuate publcate sub foră de teze ale coferțelor ștțfce terațoale; 2 rapoarte î ședțe pleare ale coferțelor terațoale. Publcaț fără coautor - 3 (oograf ; artcole - 7, dtre care recezate - ; teze ale coucărlor la coferțe ștțfce - 4). Cuvte-chee: Coplex de relaţ ult-are, optzare dscretă, grupur de oolog, topologe algebrcă, cub abstract, quassplex, caracterstca Euler-Pocare, spaţu etrc, covextate, varetăţ abstracte, varetăţ cubce, problea edae, fucţa Grudy. Teza este dedcată cercetărlor î urătoarele doe ștțfce: Optzare dscretă, Topologe algebrcă. Voluul ș structura teze. Teza de doctor habltat este scrsă î lba roâă ş costă d Itroducere, 5 captole, Cocluz ş Recoadăr, Bblografa ce uără 39 ttlur. Voluul total al teze este de 289 pag, dtre care 265 pag de text de bază. CONȚINUTUL TEZEI Î Itroducere este prezetat statutul actual al rezultatelor ce ţ de elaborarea odelelor ateatce ş a etodelor de soluţoare a probleelor de optzare dscretă, otvaţa cercetărlor îtreprse, drecţa ouă propusă petru studu, scopul ş obectvele teze, portaţa ş avataele vestgăr, outatea ş orgaltatea ştţfcă, probleele ştţfce soluţoate, rezultatele îatate spre susţere, precu ş aprobarea lor.

11 Captolul I, Modele ateatce ş etode de soluţoare a probleelor de optzare dscretă, coţe o aalză aplă a celor a portate rezultate ce ţ de drecţa de cercetare, de scopul ş obectvele teze. Acest captol poartă u caracter troductv ș are drept scop exaarea, î od evolutv, a prcpalelor structur ateatce dscrete foloste î caltate de odele la soluțoarea probleelor practce. Se exaează o sere de propretăț portate ale acestor structur, geeralzate î captolele urătoare petru cazul coplexelor de relaț ultare. Ua dtre cele a sple structur ateatce dscrete, dar cu u potețal eor de aplcaț la exaarea probleelor teoretco-aplcatve, este graful. Pord de la îcercărle ateatcelor de a soluțoa a ulte problee cu caracter dstractv, îtr-o peroadă relatv scurtă a fost costtută o drecțe ouă de cercetare, cuoscută astăz ca teora grafurlor. Rezultatele teoretce obțute au pers efcetzarea cercetărlor î dverse doe: ecooe, fzcă, foratcă, che etc. Tot î captolul I sut descrse câteva rezultate ce ț de propretățle arborlor, ale uărulu ccloatc, ale atrce ccloatce ș coccloatce care ulteror sut geeralzate petru coplexele de relaț ult-are ș îș găsesc utlzare la soluțoarea probleelor aplcatve, cu ar f problea edae, a ocurlor cobatorale pe structur dscrete etc. La dezvoltarea teore grafurlor au cotrbut î od esețal, îcepâd cu aparța prelor lucrăr î sec. XVII XVIII, a ulț ateatce: Leoard Euler (77-783), Wlla Halto ( ), Jaes Joseph Sylvester (84-897), Arthur Cayley (82-895), Claude Berge (926-22), George Davd Brhoff ( ). Îcercărle de a folos grafurle î caltate de odele ateatce petru descrerea proceselor fzce, ș u ua, au geerat, î tp, ecestatea extder ș detfcăr altor structur ateatce, cluse î prezetul studu care, îtr-u od fresc, geeralzează grafurle ș, la râdul lor, servesc drept pretext petru o sere de geeralzăr abstracte, urate de fudaetarea teore abstracte a relațlor ult-are. Î studerea tuturor structurlor dscrete, u rol aparte reve spaţlor cclurlor ş cocclurlor, care se regăsesc ş î cazul coplexulu de relaţ ult-are. Nuărul ccloatc ( G) p ș cel coccloatc ( G) p al uu graf G cu vârfur, uch ş p copoete coexe posedă u şr de propretăţ portate d puct de vedere teoretcoaplcatv [2], [5], [8]: P. Dacă x ș y sut două vârfur oadacete ale uu graf coex G, ar G este graful ce se obțe d G la adăugarea uche (x,y), atuc: ( G ) ( G), ( G) ( G).

12 P2. Dacă x ș y aparț copoetelor coexe dferte ale grafulu G, ar G este graful ce se obțe d G la adăugarea uche (x,y), atuc relața d P este adevărată. P3. Nuărul ccloatc al uu graf G ( X; U) este egal cu uărul ax de cclur depedete d G. P4. U graf G u coțe cclur dacă ș ua dacă ( G). P5. U graf G coțe u sgur cclu dacă ș ua dacă ( G). Teorea..2 [5]. Dacă B, C ș * C sut, respectv, atrcea de cdeță, atrcea ccloatcă ș atrcea coccloatcă ale uu graf cu vârfur, uch ș p copoete coexe, atuc ragurle acestor atrce sut deterate de egaltăţle: r( C) p, r( B) r( C * ) p. Nuărul ccloatc al hpergrafulu H ( X; E ) se defește ca uărul ccloatc al reprezetăr Kög K (H ) [4], []. Notă pr (H ) uărul ccloatc al hpergrafulu H, ar pr ( K( H )) uărul ccloatc al reprezetăr Kög K (H ). Cofor [4]: ( H ) ( K( H )) E ) ( carde ) cardx c( H ). Dacă hpergraful H ( X; E ) coțe vârfur ș uch, atuc ( H ) carde c( H ). E D această defțe a uărulu ccloatc, precu ș d faptul că copoetelor coexe ș cclurlor sple ale hpergrafulu H le corespud î od uvoc copoete coexe ș cclur sple ale grafulu Kög K (H ), rezultă Teorea..7 []. U hpergraf H u coțe cclur sple sau coțe u sgur cclu splu dacă ș ua dacă ( H ) sau, respectv, ( H). Luâd î cosderațe defța hpergrafulu dual E * ( H ) ( H ); carde * E * * H splu, se deduc relațle: carde Teorea..8 []. Hpergraful H ( X; E ) u coțe cclur dacă ș ua dacă petru orce subulțe ovdă E card E ( carde ' ' E E E E E '. *. ), O structură cobatorală portată î optzare repreztă atrodul. Teora atrozlor utlzează îtr-u od extesv terologa algebre lare ș teore grafurlor datortă faptulu că ea repreztă o abstracțe a oțulor prcpale d aceste doe ale ateatc. Petru 2

13 pra dată, oțuea de atrod a fost trodusă î 935 de către Whtey î lucrarea [24]. Aproape sulta, î aul 936, a apărut artcolul lu Sauders MacLae cu prvre la oțuea de atroz î geoetra proectvă. U a a târzu, B.L. va der Waerde a exaat legătura dtre depedeța algebrcă ș cea lară [25]. Î 94, Rchard Rado a pus bazele teore ssteelor depedete î cotextul dezvoltăr teore trasversalelor. Defța..9 [26]. Perechea ( X ; E) ce posedă propretățle:. E ; 2. dacă A E ș B A, atuc B E ; 3. dacă A, BE ș carda cardb, atuc exstă u eleet x A \ B B {x}e, se uește atrod ș se otează pr M ( X; E)., îcât Iportața atrozlor î optzarea dscretă este deterată ș de faptul că pe astfel de structur pute rezolva î od efcet u șr de problee portate, aplcâd algortul Greedy, cu autorul cărua găs soluța optă, dacă odelul ateatc respectv este u atrod. Forulă urătoarea probleă de optzare dscretă: Fe X x, x,..., x } o ulțe ftă de eleete pe care este deftă fucța : X R. { 2 Nuărul (x) se uește podere a eleetulu x X. Foră o fale de subulț d X, otată pr E. Să se detere ulțea A E, petru care ( A) ax ( Y), YE ude (Y ) repreztă poderea ulț Y E : (Y) ( y). Fără a perde d geeraltate, petru eleetele ulț X x ) ( x ) ( x ). ( 2 yy, vo cosdera La soluțoarea aceste problee poate f folost u algort efcet algortul Greedy. Cosderâd țal care E A, teratv, la ulțea A se adaugă prul eleet x d X, petru A x }. Evdet, coplextatea algortulu Greedy este lară O () (fără a lua { î calcul procedura de sortare a eleetelor d X î raport cu poderle acestora O ( log ), ș verfcarea codțe E A x } [26], [27]). { Soluța obțută pr aplcarea algortulu Greedy u totdeaua poate f cea optală. Aceasta depde de faptul dacă perechea X ;E repreztă u atrod sau u. Teorea..2 [26]. Dacă M X;E este u atrod, atuc petru orce fucțe a poderlor : X R algortul Greedy deteră ulțea E A de podere axă. 3

14 Dacă M X;E u este atrod, atuc totdeaua poate f găstă o fucțe : X R, petru care ulțea găstă pr aplcarea algortulu Greedy u este de podere axă. Dualtatea î ateatcă repreztă u struet puterc petru aalzarea ș soluțoarea probleelor de optzare. Deseor, obțerea soluțe optale poate f prvtă ca u proces elegat, trecâd la studerea odelulu dual al problee respectve. Posbltăț supletare î acest ses oferă atroz dual. Fe A o afrațe refertoare la atrodul M. Dacă î această afrațe îlocu fecare oțue refertoare la atrod pr cooțuea respectvă, atuc obțe o afrațe duală cele țale. Pr urare, este adevărată afrața: Prcpul dualtăț. Dacă o afrațe este adevărată petru orce atrod, atuc ș afrața duală este adevărată petru orce atrod. Pord de la defța atrodulu, î lucrărle [27], [28] se deostrează u șr de propretăț portate care ușor pot f extse î baza prcpulu dualtăț. Prtre aceste propretăț ețoă: a) o subulțe de eleete ale uu atrod este depedetă dacă ș ua dacă tersecța acestea cu fecare cobază u este vdă; b) o subulțe de eleete ale uu atrod este codepedetă dacă ș ua dacă tersecța acestea cu fecare bază u este vdă; c) petru orce ulțe depedetă evdă X Y a atrodulu X;E M exstă cocclu * * C îcât ( Y C ) card ; d) petru orce cclu C ș orce cocclu e) subulțea de eleete X * C este adevărată relața: * card ( C C ) ; Y a uu atrod X;E M este cclu dacă ș ua dacă Y este ulțea ală dtre toate subulțle evde d X ce posedă * propretatea card ( Y C ), petru orce cocclu Metode efcete petru studerea coplexelor de relaţ ult-are oferă topologa algebrcă. Aceasta d ură repreztă o raură a ateatc ce se ocupă de studerea spaţlor topologce, pr teredul obectelor clasce ş a etodelor caracterstce algebre abstracte [22], [23]. Ea oferă posbltatea de a folos odele, reprezetate pr structur ateatce uşor perceptble, petru exaarea propretăţlor topologce ale spaţlor cotu. Obectul de studu al topologe algebrce îl costtue structurle algebrce ş propretăţle lor, ar scopul prcpal se reduce la deterarea varaţlor algebrc, folosţ petru clasfcarea spaţlor topologce, cu * C. 4

15 o exacttate de oeoorfs. Î această drecţe au fost efectuate cercetăr puătoare, care se regăsesc î oograf recet apărute [29], [3]. Rezultate aore ce ţ de fudaetarea teoretcă a topologe algebrce au fost deterate de troducerea uor structur algebrce, care au codus la dezvoltarea drecţlor portate de cercetare, ce se afestă pr: Costrurea grupurlor de ootope, care se folosesc, î od specal, petru clasfcarea spaţlor topologce. Itutv, grupurle de ootope oferă foraţe cu prvre la fora de bază, sau găurle spaţulu respectv. Cel a splu grup de ootope ar f grupul fudaetal, care oferă foraţe refertoare la buclele spaţulu topologc. Costrurea oologlor, care repreztă o procedură geerală de asocere a uu şr de grupur abelee, ute varaţ algebrc, cu u obect ateatc, pr teredul cărua se face studul spaţulu topologc. Costrurea cooologlor, care repreztă u studu abstract al colaţurlor, cocclurlor ş cofroterelor. Costrurea cooologlor poate f cosderată drept o procedură duală cele de costrure a oologlor, ş repreztă o etodă de atrbure uu spaţu topologc a varaţlor algebrc de o structură a fă decât varaţ obţuţ pr costrurea oologlor. Costrurea varetăţlor. Varetatea repreztă u spaţu topologc cood petru exaare, d aute cosderete, care posedă propretatea: petru orce puct exstă o vecătate, oeoorfă cu spaţul euclda -desoal. Costrurea coplexelor. Î topologa algebrcă, coplexele repreztă spaţ topologce cu o structură specfcă. D acest puct de vedere, u rol prordal î reve coplexulu splcal [22], pe care u-l vo cofuda cu coplexul splcal abstract, exaat î cotuare î captolul II. Captolul II, Relaţ ult-are ş grupur de oolog abstracte, coţe rezultate ce costtue fudaetarea teoretcă a drecţe de cercetare, deterate de coplexul de relaţ ult-are. Noţuea de coplex geeralzat de relaţ ult-are asupra ue ulţ arbtrare de eleete a fost petru pra dată prezetată î lucrarea [83], costrud ulteror grupurle de oolog peste grupul uerelor îtreg. Rezultatele de bază sut publcate î lucrărle [65], [67], [76], [5], [8], [22]. Fe date o ulţe ftă de eleete X x, x,..., x }, care este o subulţe dtr-o { 2 r ulţe M, cardm, ude M u este clasă, ş şrul 2 + X = X, X,..., X,, de produse cartezee [3], [32] a ulţ X. Orce subulţe evdă R X, se ueşte relaţe -ară a eleetelor d X (ulţea R X repreztă o subulţe de 5

16 eleete d X ) [33]. Luâd î cosderaţe cele spuse, o relaţe -ară R este o fale de succesu ordoate, ute corteg, forate d a câte eleete d X. Cortegul ( 2 x, x,..., x ) R poate să coţă ş repetăr ale uor eleete d X. Petru u astfel de cortegu, orce subcortegu x, x,..., x ), ( 2 l ( x x..., x ) se ueşte subcortegu eredtar., 2, l, ce păstrează ordea eleetelor d 2 Defţa 2... Fala ftă de relaţ { R, R,..., R }, care satsface codţle: I. R X X, II. R, III. orce subşr eredtar ( x, x,..., x ), l,, d 2 l (, x 2 x,..., x ) R aparţe relaţe l -are l R, se ueşte coplex geeralzat (G-coplex) de relaţ ult-are ş se otează: 2 ( R, R,..., R ). Coplexul geeralzat de relaţ poate f prvt ş ca u coplex de quassplexe abstracte. Defţa U cortegu ( x,,..., ) x x R al G-coplexulu de relaţ ult-are 2 K ( R, R,..., R ) se va u quassplex abstract cu desuea ş se va ota pr Q x, x,..., x ), ar fala de quassplexe cu desuea pr. ( Q, 2 Petru coplexul ( R, R,..., R ), echvalet cu coplexul de quassplexe K ( Q, Q,..., Q ) def caracterstca Euler ( K ) ( ), ude card Q,. Costrud laţurle ş cclurle -desoale ale uu G-coplex de relaţ ult-are K se forează ulţle: L () - grup al Δ-laţurlor -desoale d K ; Z () - grup al Δ-cclurlor -desoale d K, subgrup al grupulu () L ; Z ( ) - grup al Δ-cclurlor -desoale ş Δ-ooloage cu î raport cu operaţa adtvă, care este subgrup al lu Z (). Defţa Grupul factor Z / Z al uu G-coplex de relaţ ult-are se ueşte grup al -oologlor (al oologlor drecte) cu desuea peste grupul Z ş se 6

17 otează pr ( K ),. Ragurle acestor grupur se uesc uere Bett. Î lucrărle [34] [37], aceste grupur se otează pr H ( K ),. Î od slar se costruesc ş grupurle de -oolog ( ),. Î tere K grupurlor de -oolog ş -oolog se forulează u şr de rezultate ce ţ de propretăţle coplexulu studat: Teorea Petru orce -laţ are loc urătoarea egaltate: L L L al G-coplexulu de relaţ ult-are,. Teorea Dacă G-coplexul de relaţ ult-are K ( Q, Q,..., Q ) este coex, atuc ( K ) este zoorf cu grupul uerelor îtreg Z. Rearca Dacă K, K2,..., Kq petru u G-coplex de relaţ ult-are K are loc egaltatea (2.), atuc: ude, ş dacă =, atuc: ( K ) ( K ) ( K2 )... ( K ) Z Z... Z. q or ( K Dacă otă pr ( ( K )) ragurle grupurlor de oolog ale coplexulu K,, atuc are loc Teorea Petru orce G-coplex de relaţ ult-are K ( Q, Q,..., Q ) are loc egaltatea: ( K ) ( ) ( ). Defţa Fe dat G -coplexul K ( Q, Q,..., Q ). Să exaă coplexul q ), K K d ( Q, Q,..., Q ), ude fecare quassplex abstract Q, cu desuea, e d d d cosderat u coplex celular [35] cu desuea -, otat pr Q, d pe câd totaltatea acestor coplexe cu desuea - pr Q,, desgur, respectâd cdeţele. Coplexul abstract d, K d se ueşte dualul coplexulu K. De exeplu, u splex -desoal cdet la fațete (splexe) (-)-desoale ale uu splex -desoal repreztă u CW cu desuea î fora uu splex -desoal, avâd ca celule ulţea tuturor faţetelor acestua, clusv cea propre. 7

18 Meţoă că coplexul dual Fe H d ( K K d al lu K este u coplex celular (CW) coex. d, Z), H şrul grupurlor de oolog drecte ale lu Teorea Petru coplexul d ( K K d. d, Z),..., H d ( K d, Z) K sut adevărate relaţle: ( K, Z) H d ( Kd, Z), ( K, Z) H d ( Kd, Z), ( K, Z) H ( K, Z) Î baza aceste teoree obţe că teorea Kologorov-Alexader [35], [38] cu prvre la dualtatea grupurlor de oolog ş cooolog petru spaţ topologce răâe valablă ş î cazul coplexulu geeralzat de relaţ ult-are Î paragraful 2.5 se defeşte -cclul -desoal al uu G -coplex de relaț ultare Teorea Petru coplexul ( K d d K. Astfel, obţe K sut adevărate urătoarele egaltăţ:, Z) ( K ( K, Z) ( K, Z),, Z), ( K, Z) ( K, Z). K, terpretat ca u subcoplex coex d K î care orce quassplex Q Q este fațetă couă petru exact două quassplexe -desoale ale -cclulu, oretate respectv. U astfel de -cclu ar a putea f ut -cclu sferc eleetar cu desuea. Î caz geeral, câd u -cclu -desoal coex ș oretat este forat d a ulte -cclur sferce eleetare, fecare quassplex Q Q al acestu cclu este fațetă couă petru u uăr par de quassplexe abstracte -desoale. Mulțea acestor ~ ~ cclur o vo ota pr ( ). Îpreuă cu grupurle de cclur Z () ș Z ( ), studate î paragraful 2.5 ş paragraful 2.6, obțe relața ~ Z Z ( ) ~. Î lucrare se deduce ~ forula de calcul a -cclurlor -desoale d K. Pe ulțea ( ) def fucța uvocă: f ~ : R, ~ ce posedă propretatea: petru orce cclu ~ () ( ) are loc egaltatea 8

19 ude f ~ ( 2 2 p dcă de câte or quassplexul ( )) ( p t, p t,..., p t,..., p t ), Q apare î cclul ~ cu se poztv, ar t cu se egatv. Vo ota dfereța f ~ p t pr ( 2 c ~. Obțe vectorul: ( ~, ~ ( )),..., ~ c c c ),. ~ Defța Vectorul f ( ( )) se uește vector -cclc cu desuea a ~ ~ coplexulu de relaț ult-are K ș se va ota pr C ( ) ( ( )) R. Defţa Petru coplexul -desoal de relaţ Q X,,..., uărul ax de -cclur -desoale, adcă -desoal al lu K, care se otează pr K v. Exaă coplexul -desoal Q,Q uărul de vârfur egal cu f K, card Q, se ueşte uăr ccloatc K care poate f cosderat u graf cu card Q ş uărul de arce egal cu otă: card ; card ; Q p. Dacă K Q K este coex, atuc se cosderă card Q. Petru acest coplex - ragul grupulu de oolog K, fe p ; - ragul grupulu de oolog ş repreztă uărul de -cclur depedete -desoale d egaltatea p, sau,. Dacă otă Nuărul cazul câd ş dsucte: p v K. pr v K K, atuc:. Are loc K 2 v se ueşte uăr ccloatc al grafulu K Q, Q X, R K u e coex ş este reprezetat ca o reuue de coplexe -desoale coexe K K K 2... ude K X X, K X, K K,,,, 2,..., t, obţe egaltatea: v K t K K t K t. Exaă uerele ccloatce î cazul G-coplexelor de relaţ ult-are cu desuea. Acestea sut o geeralzare a uărulu ccloatc cuoscut d teora grafurlor. Fe K u coplex de relaţ ult-are, reprezetat ca o reuue de coplexe dsucte: 2 K K K... K r, ax, 2,..., r. D teorea 2.6., ca rezultat al uor trasforăr, obţe: ude 2.,. Î 9

20 Defţa Petru u G-coplex de relaţ ult-are K, uărul d partea stâgă a relaţe de a sus se ueşte uăr ccloatc -desoal al coplexulu se otează pr v K. K ş Forula recuretă petru calcularea uerelor ccloatce ale uu G-coplex de relaţ ult-are K este: v K v K K. La falul captolulu II, se costrueşte atrcea ccloatcă a coplexulu de relaţ ultare, se studază aute propretăţ ş se deostreză teorea 2.8., care repreztă o geeralzare a teoree Pocare-Veble-Alexader forulată î lucrărle [36], [39]. Pr rezultatele d Captolul III, Covextatea î coplexul de relaţ ult-are, se cotuă cclul de vestgaţ, efectuate de către dscpol acadecaulu P. Solta, î legătură cu troducerea la oetul respectv a oţu de d-covextate. Rezultatele obţute au fost publcate î lucrărle [66], [73], [75], [9], [9], [97], [4]. Geeralzâd oţuea de laţ - desoal î coplexul, se geeralzează oţuea de ulţe d -covexă, cuoscută d teora grafurlor [2], [6], se studază a ulte propretăţ ale acestea, exprate pr teoreele Grafurle, fd u caz partcular al coplexulu de relaț ult-are ș o structură relatv splă petru studu, servesc drept suport petru studerea dverselor aspecte legate de propretățle ulțlor covexe î spaț etrce dscrete. Folos oţuea de covextate ş îveltoare covexă, forrulate de către F.Lev [47]. Fe P (X ) fala tuturor subulţlor ue ulț arbtrare X. Alege o subfale Ф P (X ). Defţa 3... Fala de ulţ Ф P (X ) ce posedă propretăţle: a) X Ф ; b) dacă A, A 2 Ф, atuc A A 2 Ф, se ueşte covextate î X. Perechea ( X, Ф) se ueşte spaţu covex, ar eleetele d Ф ulţ covexe. Defţa Aplcaţa : P ( X ) P ( X ), care satsface relaţle: a) A (A), petru orce subulţe A X ; b) ( ( A)) ( A), petru orce subulţe A X ; c) ( A) ( B), petru orcare două subulţ A, B P ( X ) îcât A B, 2

21 se ueşte îveltoare covexă î spaţul X. Mulţea (A), covexă a lu A ş se otează pr d -cov (A). A R, se ueşte îveltoare 2 Exaă spaţul, eleetele cărua sut toate cortegle coplexulu ( R, R,..., R ). Se defeşte oțuea de laț care dferă de cea a lațulu lar, forulată î defța 2..4, îsă pare a f a frească î cotextul celor exaate î cotuare. Fe r, r două eleete arbtrare ale relaţe -are R. Defţa Şrul de corteg t t r, r,..., r 2 t s ale relaţe -are R ce posedă propretăţle: ) t r r, t r r, ; s 2) r l t rt R, l p p, petru orce p s, se ueşte -laţ -desoal cu extretăţle î r, r ş se otează pr L ( r, r ),. Nuărul s se ueşte luge a acestu laţ. 2 Î cazul coplexulu de relaţ ult-are ( R, R,..., R ) vo cosdera că fecare relaţe -ară R,, deteră u spaţu, eleete ale cărua sut cortegle d R. Pe fecare astfel de spaţu vo def covextatea î cofortate cu defţa 3.., folosd -laţurle -desoale, troduse pr defța 3..3,. Def urătoarele două oţu:. -Laţ -desoal ce ueşte două eleete cu aceeaş desue. Astfel se va u (, ) -laţul r,r r,r R, L cu cea a că luge, ce leagă cortegle r,r R. 2. Fucţa dstaţe d : R R N. Astfel se va u fucţa ce pue î corespodeţă orcăror două corteg r, r cu aceeaş desue d u uăr egal cu lugea - laţulu -desoal,. Lea Fucţa d : R R N, îcât d ( r, r ) repreztă u uăr, egal cu lugea (, ) -laţulu cu extretăţle î r,r R, posedă propretăţle: a) d ( r, r ), petru orcare două eleete r,r R ş ( r, r ) d dacă ş ua dacă r r ; b) d ( r, r ) d ( r, r ), petru orcare două eleete r,r R ; 2

22 c) d ( r, r ) d ( r, r ) d ( r, r ), petru orcare tre eleete t t r,r,rt R. Petru cortegle r,r R, vo u -seget etrc -desoal ulţea: ude. Notă pr două corteg -desoale Teorea 3... Fala Eleetele fale r, r { r R : d ( r, r ) d ( r, r ) d ( r, r )}, l D fala tuturor ulţlor l l A R ce posedă propretatea: petru orcare r,r R este respectată cluzuea r r A D repreztă o covextate î D le vo u ulţ (, ) R.,. -coexe. Î baza covextăţ D, pe ulţea tuturor subulţlor P ( R ) a spaţulu R, def o aplcaţe : P ( R ) P ( R ). Teorea Aplcaţa : P ( R ) P ( R ) care pue î corespodeţă fecăru eleet A P ( R ) o ulţe (, ) -covexă ă d repreztă o îveltoare covexă. D, ce coţe ulţea A, 2 Cosecţa 3... Î cazul uu coplex de relaț ult-are ( R, R,..., R ), covextatea D { B P ( R ) : r, r B, petru r, r B} deteră î od uvoc îveltoarea covexă : P ( R ) P ( R ), îcât ( A) B, ude B este o ulţe (, ) - covexă ă d D, ce coţe ulţea A,. Î studerea ulţlor covexe u rol decsv reve puctelor extreale. Defta Eleetul r A se uește puct extreal al ulț A R, dacă r d cov( A \{ r}). Mulțea tuturor eleetelor extreale d A se oteaza pr exta. Puctele extreale oacă u rol portat î studerea propretăţlor ulţlor covexe, fapt cofrrat pr urătoarele teoree: Teorea Dacă este deftă covextatea sut adevărate afraţle: D, ar A este o subulțe d. r exta, dacă ș ua dacă exstă u r-suport A r, al puctulu A \{ z} ; A r r R R atc, îcât 2. A d cov(exta ), dacă ș ua dacă petru orce eleet r A ș orce r-suport A r are loc relața ( R \ A ) exta. r Teorea Petru orce subulțe A R are loc egaltatea: exta { B A: d covb d cova} 22

23 Teorea Petru orce ulte ude PA A ( r, r ). r, r A R A are loc egaltatea dap( A) 2daA., Teorea Petru orce subulţe. da( d cova) daa; 2. dap(a)=daa. A R sut echvalete afraţle: Î paragrafele 3.2 ş 3.3 ale captolulu III se exaează covextatea î cazul grafurlor, caz partcular al coplexulu de relaţ ult-are. Sut cotuate cercetărle ce ţ de studerea grafurlor d-covex sple, realzate de către autor î a 8 a secolulu trecut ş care îş găsesc aplcaţ la soluţoarea uor problee aplcatve î doeul ltar, î telecoucaţ, ecooe etc. Astfel se uesc grafurle ce u coţ ulţ d-covexe A, petru care 3 carda, ude este uărul de vârfur d graf. Preztă teres grafurle d-covex sple ce aparţ urătoarelor clase:. A - grafurle ce u coţ cclur de lugea tre ş fecare vârf al acestora este doat de u alt vârf; 2. F - grafurle ce u coţ cclur de lugea tre ş subgrafur F (a se vedea fgura 3.); 3. P - grafurle plaare; 4. H - grafurle odular eredtare [6]. Astfel se uesc grafurle î care orce cclu zoetrc este de lugea patru; 5. H 2 - grafurle cordale. Acestea sut grafurle bpartte, î care orce cclu geerat este de lugea patru [62]; 6. H 3 - grafurle eredtare după dstaţă. Astfel sut ute grafurle G î care orce subgraf coex, geerat de o subulţe de vârfur A X G, este zoetrc î G [63], [64]. x 3 x 2 x x 7 4 x x 6 x 5 Fgura 3.. Graful F Grafurle d-covex sple d clasele respectve posedă aceeaş structură. Asupra lor se defesc câteva operaţ care se coportă ca operaţ algebrce pe ulţle respectve, chestu deostrate pr teoreele

24 Î ultul paragraf al captolulu III se studază covextatea î grafurle oretate. La geeral vorbd, î aceste grafur dstaţă u posedă propretatea coutatvă, adcă fucţa dstaţe este o pseudo-etrcă. Se exaează grafur oretate tare coexe, î care se cosderă ulţea x, y { z X : d( x, z) d( z, y) d( x, y)} ută d-seget, oretat de la x spre y. Mulțea A X se uește d-covexă î graful G ( X, U ), dacă petru orcare două vârfur x, y A, luate î ordea dcată, are loc relața x, y A. Graful oretat ș coex forte G ( X, U ) se uește d-covex splu dacă u coțe ulț d-covexe A X, îcât carda cardx. Teorea Urătoarele afraț sut echvalete:. G ( X, U ) este u graf d-covex splu oretat; 2. d cov({ x, y}) X, petru orcare două vârfur dstcte x, y X ; 3. d cov({ x, y}) X, petru orcare două vârfur adacete x, y X. Î cotuare se costrueşte o clasă specală D de grafur oretate d-covex sple ş se deostrează urătoarea Teorea U graf oretat ș tare coex G ( X, U), cardx 3, este d-covex splu, dacă ș ua dacă G D. La fele acestu captol, slar cazulu grafurlor eoretate, se exaează şte operaţ algebrce, î clasa grafurlor oretate d-covex sple, pr teoreele Captolul IV, Coplexe de cubur abstracte, este dedcat studer uor propretăţ specale ale coplexulu de cubur abstracte, foloste ulteror î captolul V petru soluţoarea uor problee de ord teoretco-aplcatv. Folosd splexele abstracte, prtr-o procedură teratvă se defește cubul abstract p -desoal, p (a se vedea defța 4..2), cu autorul cărua se costruește coplexul de cubur abstracte. Cercetărle ce ț de studerea cubulu ș a coplexulu respectv sut reflectate î a ulte lucrăr publcate pe parcursul ultlor a [45], [72], [69], [9], [79], [98]. Coplexele de cubur servesc drept struet efcet î dezvoltarea uor copartete ale topologe cobatorce. Rezultate portate au fost obțute atât la vel teoretc, legate de costrurea oologlor cubce, a caracterstc Euler, de studerea propretățlor varetățlor deterate de coplexul cubc abstract [7], [85], [8], [], precu ș la vel aplcatv, pr soluțoarea uor problee practce, prtre care u rol aparte reve probleelor de aplasare [8], [99], [6], [7]. 24

25 Defţa Fala ovdă ş ftă de cubur abstracte { I, }, ce verfcă propretăţle: s t. petru orcare două cubur abstracte I, I, s, t, are loc relața s t I I sau I s t I ; 2. orce faţetă I a cubulu desoal I,, este eleet al 3. î fale ; exstă cel puţ u cub desoal se ueşte coplex cubc abstract cu desuea. Folosd o tehcă slară cele foloste î cazul coplexulu de relaţ ult-are, petru I, coplexul de cubur abstracte se costruesc grupurle de -oolog ş grupurle de -ooloag fd studate propretăţ ale coplexulu (, Z), (, Z),, (, Z), (, Z), (, Z),..., (, Z), pr teredul teoreelor ş Coplexele de cubur servesc drept suport petru studerea vartăţlor specale, propretăţle căroră se folosesc la soluţoarea problee edae, studate î captolul V. Îsă, a îtâ sut studate varetăţle, deterate de coplexul geeralzat de relaţ ult-are. Fe K ( Q, Q,..., Q ) quassplexe Q Q,..., Q,., 2 Q Defţa G -coplexul de relaţ ult-are u G -coplex de relaţ ult-are cu falle de K ce posedă propretăţle: a) orce quassplex cu desuea este o faţetă couă exact petru două quassplexe abstracte cu desuea d K ; b) petru orcare două quassplexe -desoale dstcte succesue de quassplexe -desoale Q Q Q, q ; c) petru orce quassplex -desoal -desoal d) dacă Q ş Q, îcât Q este o faţetă a lu Q sut două quassplexe dstcte d Q ş Q d K Q, Q,..., Q Q 2, 2 Q q exstă o, îcât Q d coplexul K exstă u quassplex Q, ; K, cu tersecţa Q Q Q, atuc exstă u şr de quassplexe Q Q, Q2,..., Q Q cu propretatea d b), ce respectă relaţa: 25

26 Q Q Q...,, 2 Q q se ueşte varetate abstractă degeerată cu desuea. Varetatea abstractă deterată de G -coplexul de relaţ ult-are K o vo ota pr VD. D pra codţe a defţe rezultă că orce quassplex -desoal d K partcpă doar o sgură dată la costrurea varetăţ VD,, deterată de subcoplexul VD, folosd otaţa VD VD. Mulţea tuturor faţetelor uu quassplex -desoal VD. Varetatea -desoală K K, se uește subvaretate a lu Q forează u coplex de relaţ ult-are. Subcoplexul deterat de toate faţetele d Q cu desuea ( ) îl vo u froteră-coplex a lu Q ş îl vo ota pr [ Q ] K. Teorea Coplexul de relaţ K [ Q ] este o varetate abstractă ( ) - desoală degeerată fără bordur. Defţa Varetatea VD se ueşte oretablă dacă coţe u -cclu - desoal. Î caz cotrar, VD se ueşte varetate ooretablă. Teorea Dacă Q este u quassplex abstract cu toate faţetele oretate poztv, atuc frotera-coplex a acestua repreztă o varetate abstractă ( ) -desoală degeerată ş oretablă. Fe VD o varetate abstractă, oretablă ş fără bordur, deterată de G -coplexul K ( Q, Q,..., Q ), ar VD caracterstca Euler a lu VD (caracterstca Euler a coplexulu K se ueşte caracterstcă Euler ş a varetăţ respectve VD ). Defţa Dacă caracterstca Euler a ue varetăţ abstracte degeerate, oretable ş fără bordur VD satsface relaţa: VD, î cazul câd este par, 2, î cazul câd este par, atuc VD se ueşte varetate sfercă abstractă degeerată -desoală, otată pr. Petru coplexul de relaţ se geeralzează oţuea de cotur Euler, cuoscută d teora grafurlor. Fe Q fala tuturor quassplexelor -desoale ale G-coplexulu K ( Q, Q,..., Q ), cardq,. Defţa Succesuea de quassplexe -desoale d coplexul posedă propretăţle: K ce 26

27 a) fecare quassplex al fale dată; Q se îtâleşte î această succesue exact o sgură b) orcare două quassplexe vece ale succesu repreztă î tersecţe u eleet d Q ; c) tersecţa prulu ş ultulu eleet al succesu repreztă u quassplex ( ) -desoal, se ueşte cclu Euler -desoal al varetăţ VD K. Dacă splexele d succesue sut coerete, atuc această succesue se ueşte cotur Euler -desoal. Ţâd cot de faptul că splexele abstracte servesc drept cărăz petru costrurea cubulu abstract -desoal, î cele ce urează vo def oţuea de varetate cubcă ş vo efectua uele cercetăr ce ţ de exsteţa coturulu Euler al acestea. Chestuea respectvă e portată, î specal, la soluţoarea uor problee cu caracter aplcatv. Astfel, î lucrărle [72], [2] se exaează u dspoztv abstract, fucţoarea cărua parve d exsteţa coturulu Euler a ue varetăţ cubce, ce serveşte drept geeralzare a aş Turg clasce. Fe u coplex de cubur abstracte deft î paragraful 4.2, ar abstracte -desoale a acestua,. Defţa Coplexul -desoal de cubur abstracte a) orce cub ( ) desoale d -desoal ; I b) petru orcare două cubur -desoale cubur -desoale r q ; c) petru orce cub p -desoal I, îcât I fala de cubur ce verfcă propretăţle: I este faţetă exact petru două cubur - I I I,..., I I q, 2 I p I p I, I I, î, cu propretatea:, î coplexul p I este ua dtre faţetele propr ale lu d) petru orcare două cubur -desoale dstcte I p I I, p desoale, î exstă succesuea de I I, I r r exstă cub -desoal I, p ; I, I J, cu tersecţa J exstă o succesue de cubur abstracte - q I s s I I, I,..., Iq I 2 ce posedă propretatea: I p, se ueşte varetate cubcă abstractă -desoală, otată pr L Fe acu V c. V c o varetate cubcă oretablă, adcă î V c exstă u laţ cubc -desoal L îcât L. Vo spue că o varetate cubcă toate cuburle -desoale ale acestea au aceeaş oretare. V c este totalete coeretă dacă 27

28 Teorea Orce varetate cubcă Teorea Dacă V c este totalete coeretă. V c este o varetate cubcă abstractă cu desuea pară, atuc aceasta adte u -cotur Euler cu desuea ( ). Î baza rezultatelor obţute î legătură cu studerea varetăţlor cubce abstracte se deostrează u rezultat portat (teoree 4.5.3) ce ţe de coplexele cubce oogee, folost î captolul V la soluţoarea problee edae. Defța U coplex de cubur abstract-covexe a) dacă p I, este u eleet d p, este u eleet al lu ;, ce satsface codțle:, atuc ș orce fațetă p I I, < p, b) petru fecare două cubur I p p 2 ș I d repreztă u eleet d p, p, 2 ; p p 2 tersecța I I este vdă sau c) orce cub abstract I d, d) orcare două subcoplexe ale = 2, aparțe cel puț uu cub ş, posedă propretatea: tersecța cu desuea p = ; 2 d 2 I d ;, care verfcă codțle a)-c) ș repreztă u subcoplex e) grupul de oolog de ragul zero este zoorf cu grupul Z, (, Z) Z; f) grupurle de oolog de ragul,2,3,..., sut zoorfe cu zero, se uește coplex absract ooge -desoal ș se otează pr Defța Varetatea cubcă oretablă p V, c A. p,, deterată de coplexul de cubur abstracte { I, I,..., I }, se ueşte sferă abstractă -desoală, dacă satsface ua d egaltățle: ( V, p c ) = 2, petru par,, p c ( V ) =, petru par, (4.3) p ș se otează pr S = V,, Teorea Dacă c A este u coplex cubc -desoal abstract ș ooge, atuc frotera acestua bd repreztă o sferă abstractă ( ) -desoală A S. Teorea Dacă coplex ooge S este o sferă abstractă deterată de frotera bd A a uu A de cubur abstract-covexe, atuc aceasta dspue de cel puț u cub (vârf) I I, ce aparțe exact la cubur -desoale (uch). 28