COMPLEXUL GENERALIZAT DE RELAȚII MULTI-ARE ȘI ASPECTELE APLICATIVE ALE ACESTUIA

Transcription

1 UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Faculaea de Maeacă ș Iforacă Cu lu de auscrs CZU: CATARANCIUC SERIU COMPLEXUL ENERALIZAT DE RELAȚII MULTI-ARE ȘI ASPECTELE APLICATIVE ALE ACESTUIA 3 CIBERNETICĂ MATEMATICĂ ȘI CERCETĂRI OPERAȚIONALE Teză de docor habla î șțe aeace Cosula șțfc: Sola Peru acadeca docor habla î șțe aeace profesor uversar Auorul: CHIȘINĂU 5

2 Caaracuc Sergu 5

3 C U P R I N S ADNOTĂRI 5 LISTA ABREVIERILOR ȘI NOTAŢIILOR 8 INTRODUCERE STRUCTURI MATEMATICE DISCRETE ȘI ROLUL ACESTORA ÎN SOLUȚIONAREA PROBLEMELOR TEORETICO-APLICATIVE Evoluța srucurlor dscree Trasversale 4 3 Meode de sudu ale opologe algebrce 47 4 Cocluz la capolul 5 RELAȚII MULTI-ARE ȘI RUPURI DE OMOLOII ABSTRACTE 5 Copleul de relaţ ul-are 53 Arbor 59 3 Reprezearea copleulu de relaț ul-are pr quassplee absrace 74 4 Orearea quasspleelor ş arcele de cdeţă 77 5 Lațur ș cclur -desoale 8 6 Oologle -copleulu de relaţ ul-are 85 7 Nuărul ccloac al copleulu de relaț ul-are 9 8 Marcea ccloacă 97 9 Cocluz la capolul 3 3 CONVEXITATEA ÎN COMPLEXUL DE RELAŢII MULTI-ARE 5 3 Noţule de coveae ş îveloare coveă 5 3 Coveaea î grafurle eoreae 33 Coveaea î grafurle oreae 4 34 Cocluz la capolul COMPLEXE DE CUBURI ABSTRACTE 58 4 Cubul absrac -desoal 58 4 Coplee de cubur absrace Caracersca Euler Vareăţ absrace 84 3

4 45 Coplee oogee ş rasversale -desoale Cocluz la capolul APLICAŢII ALE COMPLEXELOR DE RELAŢII MULTI-ARE 9 5 Clasfcarea vareăţlor absrace 9 5 Medaa copleulu de cubur absrace 53 Algorul de calculare a edae peru u arbore cubc -desoal Fucţa rudy ş ocur cobaorale îr-u cople de relaţ ul-are 4 55 Cocluz la capolul 5 59 CONCLUZII ENERALE ŞI RECOMANDĂRI 6 BIBLIORAFIE 65 DECLARAȚIA PRIVIND ASUMAREA RĂSPUNDERII 83 CURRICULUM VITAE 84 4

5 ADNOTARE la eza Copleul geeralza de relaț ul-are ș aspecele aplcave ale acesua îaaă de căre Sergu Caaracuc peru obțerea lulu de docor habla î șțe aeace la specalaea 3 Cberecă Maeacă ș Cerceăr Operațoale Teza a fos elaboraă la Uversaea de Sa d Moldova Chşău î aul 5 Srucura eze Teza ese scrsă î lba roâă ş cuprde: roducere cc capole cocluz geerale ş recoadăr bblografe d 39 lur ş fgur Rezulaele obţue su publcae î 58 lucrăr şţfce Cuve chee Cople de relaţ ul-are opzare dscreă grupur de oolog opologe algebrcă cub absrac quassple caracersca Euler-Pocare spaţu erc coveae vareăţ absrace vareăţ cubce problea edae fucţa rudy Doeul de sudu Opzare dscreă Scopul ş obecvele lucrăr Elaborarea ue srucur aeace dscree ş a eodelor efcee peru odelarea ş soluţoarea probleelor de localzare cuoscue ca problea edae problea cerulu precu ş a dverselor varaţ ale acesora Obecve: elaborarea uu odel aeac dscre ou baza pe oţuea de relaţe ul-ară ca subulţe a produsulu careza a ue ulţ de eleee arbrare; eaarea opologe relaţlor ulare pr eredul srucur dscree ue cople de relaţ ul-are; eaarea copleulu de cubur absrace ca caz specal al copleulu de relaţ ul-are ş a vareăţlor absrace respecve; elaborarea algorulu efce peru soluţoarea problee edae pe copleul de cubur absrace; geeralzarea fucţe rudy ş soluţoarea uor ocur cobaorale pe coplee de relaţ ul-are Nouaea ş orgalaea şţfcă se epră pr fapul că: a fos propusă o drecţe ouă de cerceare deeraă de ecesaea suder propreăţlor copleulu de relaţ ulare ş aplcăr acesua la soluţoarea probleelor de opzare dscreă; a fos dedusă forula recureă de calculare a uărulu ccloac peru u cople de relaţ ul-are cu auorul ragurlor grupurlor de oolog; a fos geeralzaă oţuea de d-coveae peru spaţle erce deerae de relaţle -are ale copleulu R R R ) ; a fos elabora algorulu de calcul a edae îr-u cople de cubur absrace Rezulae prcpal o peru şţă ş praccă A fos elaboraă o srucură aeacă dscreă ouă - copleul de relaţ u-are Au fos folose eode de sudu caracersce opologe algebrce pr cosrurea grupurlor de oolog A fos elaboraă eoda de calcul a edae fără ulzarea erc spaţulu Drecţa ouă de cerceare propusă cosă î fudaearea eore copleelor de relaţ ul-are care geeralzează a ule srucur dscree clasce ceea ce a corbu la elaborarea odelelor ş eodelor efcee î vederea aplcăr acesora la soluţoarea probleelor de opzare dscreă Iporaţa eorecă a lucrăr ese deeraă de fudaearea ue drecţ o de cerceare geerae de suderea opologe algebrce a relaţlor ul-are Peru soluţoarea probleelor de opzare dscreă a fos propus u odel aeac ou u cople de relaţ ul-are care geeralzează a ule srucur aeace dscree clasce Valoarea aplcavă a lucrăr A fos elaboraă eoda de calcul a edae fără a ulza erca spaţulu peru u cople de cubur absrace Cu auorul fucţe rudy s-a propus eoda de soluţoare a ocurlor cobaorale Ipleearea rezulaelor şţfce Rezulaele obţue po serv drep supor peru ţerea uor cerceăr de docora peru elaborarea uor cursur opţoale uversare î cadrul sudlor de lceţă ş de asera precu ş peru soluţoarea probleelor pracce d secorul ecooc legae de aplasarea uor cere de deservre sau producere; 5

6 АННОТАЦИЯ диссертационной работы Обобщенный комплекс многомерных отношений и его прикладные аспекты представленной автором Катаранчук Сергей на соискание ученой степени доктора хабилитат математических наук по специальности 3 Математическая Кибернетика и Исследование Операций Диссертация выполнена в Молдавском Государственном Университете Кишинев 5 Структура работы: Диссертация написана на румынском языке и содержит введение пять глав заключение с рекомендациями список цитированной литературы из 39 названий и фигур Полученные результаты опубликованы в 58 научных работах Ключевые слова: Комплекс многомерных отношений дискретная оптимизация группы гомологий абстрактный куб квазисимплекс характеристика Эйлера-Пуанкаре метрическое пространство выпуклость абстрактные многообразия медиана функция Гранди Область исследования: Дискретная оптимизация Цель исследования: Разработка дискретной математической структуры и эффективных методов для моделирования и решения задач о размещении медианы центра а также различных их вариаций; построение новой математической модели основанной на многомерных отношениях определенных на декартовом произведении множества элементов; изучение топологии многомерных отношенияй с помощью дискретной структуры называемой комплексом многомерных отношений; изучение комплекса абстрактных кубов как частного случая комплекса многомерных отношений и соответствующего ему многообразия; разработка эффективного алгоритма для решения задачи о медиане на комплексе абстрактных кубов; обобщение функции Гранди с последующим ее применением для решения комбинаторных игр на комплексе многомерных отношений; Научная новизна и оригинальность выражается в том что: было предложено новое направление для исследования обусловленное необходимостью изучения свойств комплекса многомерных отношений и его использования для решения задач дискретной оптимизации; была выведена рекурентная формула для вычисления цикломатического числа для комплекса многомерных отношений используя ранги групп гомологий; было обобщено понятие d-выпуклости для метрических пространств заданных -мерными отношениями комплекса R R R ) ; был разработан алгоритм для вычисления медианы комплекса абстрактных кубов Принципиально новые результаты для науки и практики: Определена и изучена новая математическая структура - комплекс многомерных отношений Были использованы методы и структуры алгебраической топологии с привлечением групп гомологий Разработан метод нахождения медианы без использования метрики пространства Новое предлагаемое направление для исследования: Развитие теории комплекса многомерных отношений обобщающий ряд классических дискретных структур на основе которой разработаны новые модели и методы с последующим применением для решения задач дискретной оптимизации Теоретическая ценность работы определена новым направлением для исследования обусловленным изучением алгебраической топологией многомерных отношенийдля решения задач дискретной оптимизации разработана математическая структура обобщающая классические дискретные структуры Практическая ценность работы: Разработан метод вычисления медианы комплекса абстрактных кубов без использования метрики пространства Используя функцию Гради предложен метод решения комбинаторных игр Внедрение научных результатов: Полученные результаты могут лечь в основу выбора тем для обучения а докторантуре Также могут быть использованы в учебном процессе на факультете и для решения задач народного хозяйства 6

7 ANNOTATION of he hess The geeralzed cople of ul-ary relaos ad s applcave aspecs prezeed by Caaracuc Sergu for obag he Docor Habla degree Maheacs specaly 3 Maheacal Cyberecs ad Operaos Research The hess has bee elaboraed Chşău Moldova Sae Uversy 5 Thess srucure: The hess s wre Roaa ad coas a roduco fve chapers geeral coclusos ad recoedaos a bblography of 39 les ad fgures The resuls are publshed 58 scefc papers Keywords: Cople of ul-ary relaos dscree opzao hoology groups absrac cube quas sple Euler-Pocare characersc erc space covey absrac afolds a eda rudy fuco Feld of sudy of he hess: Dscree opzao The a of research: Develope of he dscree aheacal srucures ad effecve ehods for odelg ad solvg he probles of placg he eda he ceer as well as her dffere varaos; elaborao ad develope of he ew aheacal odel based o ul-ary relaos defed o he Caresa produc of a se of elees; he sudy of he opology of ul-ary relaos wh he help of dscree srucures aed a cople of ul-ary relaos; he sudyg he cople of absrac cubes as a parcular case of he cople of ul-ary relaos ad he correspodg afold; he develope of a effce algorh for solvg he eda proble o a cople of absrac cubes; he geeralzao of rudy fuco followed by s applcao o cobaoral gaes o a cople of ul-ary relaos; The scefc ovely ad orgaly s refleced he followg: was proposed a ew dreco for research codoed by he ecessy of sudy he properes of cople of ulary relaos ad s applcao for solvg dscree opzao probles; was derved recursvely forula for calculag cycloac uber for he cople of ul-ary relaos usg he ras of he hoology groups; was geeralzed he cocep of d-covey for erc spaces defed by -ary relaos of he cople R R R ) ; was developed a algorh for calculag he eda of he cople of absrac cubes Fudaeally ew resuls for scece ad pracce: I was defed ad eaed a ew aheacal srucure - he cople of ul-ary relaos The ehods ad srucures of algebrac opology volvg he hoology groups have bee used The ehod for deerg he eda whou he use of he space ercs has bee elaboraed New dreco proposed for research: The develope of he heory of cople of ulary relaos ha geeralzes a uber of classcal dscree srucures based o whch are developed ew odels ad ehods for her coued use o solve he dscree opzao probles The heorecal sgfcace of he wor s deered by he foudao of a ew dreco for research geeraed by he sudy of algebrac opology of ul-ary relaos To solve dscree opzao probles he ew aheacal srucure ha geeralzes he classcal ow dscree srucures have bee proposed The applcave value of he paper: The ehod of calculag he eda of he cople of absrac cubes whou he use of he space ercs has bee elaboraed Usg he geeralzed rady fuco he ehod for solvg cobaoral gaes has bee proposed The pleeao of scefc resuls: The resuls gh provde a bass for selecg he hees for docoral sudes Also hey ay be eployed he educaoal process a he faculy of Maheacs ad Copuer Scece as well as for solvg soe real ecooc probles 7

8 LISTA ABREVIERILOR ȘI NOTAŢIILOR : A B aplcaţe ulvocă a eleeelor ulţ A î ulţea B ; X; ) graf eorea deera de ulţea de vârfur X ş aplcaţa ulvocă : X X ; ) uărul ccloac al grafulu X; ) ; ) uărul coccloac al grafulu X; ) ; H X E ) hpergraf cu ulţle de vârfur X ş uch E ; * * * H X E ) hpergraf dual al hpergrafulu H X E ) ; c H ) uărul de copoee coee ale hpergrafulu H X E ) ; H ) uărul ccloac al hpergrafulu H X E ) ; F ) cardalul rasversale e a fale de ulţ F A A A }; { R R R } cople de relaţ ul-are; { p ) quassple absrac deera de coregul ordoa de eleee ); } fale de quassplee absrace -desoale; { vacuu al quasspleulu ; K ) cople geeralza de quassplee absrace -cople de relaţ ul-are); Z grup al -cclurlor -desoale ale uu cople de relaţ ul-are; Z grup al -cclurlor -desoale ale uu cople de relaţ ul-are -ooloage cu ; Z grup al -cclurlor -desoale ale uu cople de relaţ ul-are; Z grup al -cclurlor -desoale ale uu cople de relaţ ul-are -ooloage cu ; { I I I } cople -desoal de cubur absrace cople cubc); A cople ooge -desoal de cubur absrace; I I I I } fala de cubur absrace cu desuea a copleulu { cardi ; 8

9 V vareae absracă -desoală; V vareae absracă -desoală cu bordur; -froera quasspleulu z -cclu -desoal; ; Z ) grup al -cclurlor -desoale ale uu cople cubc absrac; Z ) grup al -cclurlor -desoale ale uu cople cubc absrac -ooloage cu ; Z grup al cocclurlor -cclurlor) -desoale ale uu cople cubc absrac; Z grup al cocclurlor -cclurlor) -desoale ale uu cople cubc absrac -ooloage cu ; p V c vareae cubcă -desoală deeraă de u cople de cubur absrace p V c { I I I } de geul p ; p s ) scheleul cu desuea al vareăţ cubce V ; V vareae deeraă de u cople de splee absrace { S S S } S sferă absracă -desoală; c K ; Z) grup al cooologlor cu desuea pese grupul uerelor îreg Z î copleul de cubur absrace { I I I } ; W ) C C C ) caracersca Euler-Pocare a uu cople celular W p C p ude C repreză uărul de celule d W cu desuea p ; C clasă de uch paralele îr-u cople de cubur absrace { I I I }; V ) vacuu al rasversale T T îr-u cople de cubur absrace { I I I }; I ) cople cubc -desoal deera de fala de faţee a cubulu ) sfera-corp î spațul euclda VD vareae absracă degeeraă cu desuea ; E cu cerul î pucul I ; E ș raza ; 9

10 INTRODUCERE Acualaea ş poraţa ee vesgae ese deeraă de rolul odelelor ş eodelor aeace folose la eaarea dferor procese de ord socal-ecooc ş u ua Îcercărle de a soluţoa dverse problee cu caracer eoreco-aplcav su îsoţe deseor de procedura de căuare a răspusulu la două îrebăr porae: Care dre srucurle aeace cuoscue poae f folosă î calae de odel peru descrerea adecvaă a procesulu suda? Care dre eodele de soluţoare a probleelor specfce odelulu aeac folos poae f ulzaă î cazul problee cocree eaae? Ese ecesar a eţoa că ueor e desul de dfcl a gas răspus aâ la pra câ ş la cea de-a doua îrebare chesue legaă aâ de copleaea problee eaae câ ş de posblăţle reduse pe care le oferă uele odele aeace la capolul elaborăr eodelor efcee de soluţoare D acese cosderee se recurge la uele varaţ ale odelelor cuoscue sau la folosrea uor eode care oferă o soluţe aproavă dar accepablă d puc de vedere al scopulu urăr Î suaţle câd velul ese de dezvolare a srucurlor aeace u pere agerea scopurlor eţoae a sus se cauă de o care po coduce la fodarea uor drec de cerceare cu dezvolarea uleroară a eodelor de rezolvare adecvae aşepărlor cerceăorulu Î fod după aceasă scheă a apăru ş s-a dezvola eora grafurlor a apo eora hpergrafurlor aroz ec chesu eaae î prul capol al lucrăr care ese u capol de seză al suaţe î doeul dezvolăr la vel eorec ş aplcav a srucurlor dscree Pra probleă apăruă pr a 7 a secolulu recu care u a puu f soluţoaă efce pr eodele dspoble ese legaă de căuarea edae îr-u cople de cubur -desoale Aceasa precu ş ale problee d caegora probleelor de opzare dscreă a codus la căuarea uor srucur o corespuzăoare ăzuţelor ş scopurlor cerceăorlor Î rezula a fos defă ş sudaă srucura aeacă uă cople de relaţ ul-are cu elaborărle eorece corespuzăoare care su epuse î capolele II-V a prezee lucrăr Scopul ș obecvele cerceăr Pr ţerea cerceărlor î cadrul eze de docor habla Copleul geeralza de relaţ ul-are ş aspecele aplcave ale acesua s-a urăr scopul elaborăr ue srucur aeace dscree ş a eodelor efcee peru odelarea ş soluţoarea probleelor de

11 localzare cuoscue ca problea edae problea cerulu precu ş a dverselor varaţ ale acesora Î coforae cu scopul euţa au fos sable obecvele cerceăr: - elaborarea uu odel aeac dscre ou baza pe oţuea de relaţe ul-ară ca subulţe a produsulu careza a ue ulţ de eleee arbrare; - eaarea opologe relaţlor ul-are pr cosrurea grupurlor de oolog ş cooolog a copleulu de relaţ ul-are; - eaarea copleulu de cubur absrace drep u caz specal al copleulu de relaţ ul-are ş a vareăţlor absrace respecve; - elaborarea algorulu efce peru soluţoarea problee edae pe copleul de cubur absrace; - geeralzarea fucţe rudy ş soluţoarea uor ocur cobaorale pe coplee de relaţ ul-are Nouaea şţfcă a rezulaelor obţue Rezulaele şţfce prezeae î lucrare su rodul cerceărlor efecuae î ul 5 a î legăură cu îcercarea de a obţe eode efcee de soluţoare a uor problee cuoscue cu caracer aplcav peru care eodele ş odelele radţoale folose aeror s-au doved a f efcee Aceasă suaţe a deera drecţa cerceărlor îdrepae spre căuarea uor odele aeace o care ar descre î od adecva probleele eaae ş ar ofer posblăţ o de elaborare a uor eode o de soluţoare Î rezula s-a propus o srucură dscreă ouă defă pe produsul careza al ue ulţ de eleee uă cople de relaţ ul-are Fudaearea eorecă a drecţe de cerceare deerae de aces cople a ofer sruearul ecesar peru elaborarea uor eode o ce po f aplcae la soluţoarea probleelor de opzare dscreă Asfel ouaea şţfcă cosă î Fudaearea eorecă a drecţe de cerceare deeraă de o srucură dscreă ouă uă cople de relaţ ul-are cu elaborarea eodelor efcee de soluţoare a probleelor aplcave Copleul de relaţ propreăţle cărua su sudae î lucrare geeralzează srucur dscree clasce precu ar f grafurle hpergrafurle ec Toae rezulaele şţfce obţue su o acoperă a ule rezulae porae cuoscue peru ale srucur dscree ş au fos publcae î revse de specalae Nouaea ş orgalaea şţfcă se epră pr fapul că: - a fos propusă o drecţe ouă de cerceare deeraă de ecesaea suder propreăţlor copleulu de relaţ ul-are ş aplcăr acesua la soluţoarea probleelor de opzare dscreă; - a fos dedusă forula recureă de calculare a uărulu ccloac peru u cople de relaţ ul-are cu auorul ragurlor grupurlor de oolog;

12 - a fos geeralzaă oţuea de d-coveae peru spaţle erce deerae de relaţle -are ale copleulu R R R ) ; - au fos sudae vareăţle absrace deerae de u cople cubc absrac; - a fos elabora algorul de calcul al edae îr-u cople de cubur absrace fără ulzarea erc spaţulu respecv Problea șțfcă poraă soluțoaă cosă î elaborarea ue srucur aeace deerae de o fale de relaţ ul-are ş folose la odelarea proceselor cu acţue dscreă care a codus la obţerea eodelor efcee peru ulzarea uleroară a acesora la soluţoarea problee de calculare a edae poderae fără a folos erca spaţulu a problee de coporae al ucăorlor îr-u oc cobaoral ec Î baza rezulaelor obţue se propue o drecţe ouă de cerceare ce cosă î fudaearea eore copleelor de relaţ ul-are pr care se geeralzează a ule srucur dscree clasce cuoscue ca grafur hpergrafur aroz coplee de splee ceea ce a corbu la elaborarea odelelor ş eodelor efcee î vederea aplcăr acesora la soluţoarea probleelor de opzare dscreă Rezulae prcpal o peru şţă ş praccă Su obţue rezulae porae î legăură cu suderea ue srucur aeace dscree o copleul de relaţ ul-are La elaborarea uor eode de eaare a probleelor cu caracer eoreco-aplcav se folosesc propreăţle copleulu de cubur absrace sudae î baza copleulu de relaţ ul-are Rezulae prcpal o epuse î eză su: a) de ord eorec - a fos elabora odelul aeac dscre baza pe oţuea de relaţe ul-ară ca subulţe a produsulu careza a ue ulţ de eleee arbrare; - a fos sudaă opologa relaţlor ul-are pr cosrurea grupurlor de oolog ş cooolog a copleulu de relaţ ul-are; - a fos dedusă forula recureă de calculare a uărulu ccloac peru u cople de relaţ ul-are cu auorul ragurlor grupurlor de oolog; - a fos deosra aalogul eoree Pocare-Veble-Aleader peru coplee de relaţ ul-are eorea 8); - au fos sudae propreăţle coveăț ș a îveloare covee î spațul erc R d ) deera de relața -ară a copleulu R R R ) precu ş problea resablr fale de subulț d R ce repreză o coveae cuoscâd îveloarea coveă respecvă ș vers eorea 3 cosecța 3 eorea 33);

13 - au fos caracerzae clasele de grafur d-cove sple dece după srucură cu deerarea relațe dre rază ș daeru î asfel de grafur; - au fos cosrue grupurle de oolog ale copleulu de cubur absrace; - au fos sudae propreăţle vareăţlor deerae de u cople cubc absrac; - a fos dedusă forula Euler-Pocare peru copleul de cubur absrace; - au fos deerae codțle de eseță a courulu Euler -)-desoal îr-o vareae absracă oreablă ș coeă fore; b) de ord aplcav - î baza rezulaelor eorece ce ţ de suderea opologe algebrce a relaţlor ul-are a fos efecuaă clasfcarea vareățlor absrace deerae de copleul R R R ) ; - a fos elabora algorul de calcul al edae îr-u cople de cubur absrace fără ulzarea erc spaţulu respecv; - cu auorul fucțe rudy defe pe copleul de relaț R R R ) au fos sable sraegle de coporare ale parcpaţlor la u oc cobaoral Iporaţa eorecă ş valoarea aplcavă a eze Iporaţa eorecă a eze ese deeraă de fudaearea ue drecţ o de cerceare geerae de suderea opologe algebrce a relaţlor ul-are Peru soluţoarea probleelor de opzare dscreă a fos propus u odel aeac ou u cople de relaţ ul-are care geeralzează a ule srucur aeace dscree clasce Valoarea aplcavă a lucrăr ese deeraă de rezulaele obţue î legăură cu dezvolarea eore absrace a relaţlor ul-are ş folosrea acesora la elaborarea eodelor efcee de soluţoare a probleelor de opzare dscreă reprezeae î eză pr calcularea edae uu cople de cubur absrace ş a soluţoăr ocurlor cobaorale cu auorul fucţe rudy pe coplee de relaţ Ipleearea rezulaelor șțfce Rezulaele şţfce obţue î legăură cu dezvolarea eore absrace a relaţlor ul-are preză eres eoreco-aplcav afesa pr fapul că: - po serv drep supor peru ţerea uor cerceăr pr forularea eelor de docora î doeul elaborăr odelelor ş eodelor de soluţoare a probleelor d doeul opzăr dscree; - po serv drep supor peru elaborarea uor cursur opţoale uversare î cadrul sudlor de lceţă ş de asera; 3

14 - copleul de relaţ ul-are eaa î eză poae serv drep odel peru soluţoarea probleelor pracce d secorul ecooc legae de aplasarea uor cere de deservre sau producere; - po coduce la elaborarea uor eode o efcee de soluţoare a probleelor de opzare dscreă Aprobarea rezulaelor șțfce Rezulaele șțfce de bază obțue de căre auor ș reflecae î prezea lucrare au fos publcae î 58 de lucrăr a se vedea referţele [7]-[3] [9] [3] [4]-[7] [74]-[8] [84] [63] [67] [95] ) apărue după susțerea eze de docor î şţe aeace ş îal aprecae de căre specalş [36] dre care: 8 eze ale coucărlor la coferţe şţfce ațoale ș erațoale; 37 arcole publcae î revse șțfce d țară ș pese hoare sau Aale ale coferțelor șțfce recezae 7 dre care - î ale ţăr; arcole de u sgur auor - 4); 3 oograf Rezulaele vesgațlor au fos prezeae ș dscuae la u șr de coferțe șțfce: ) Ieraoal Coferece Treds he Develope of he Iforao ad Coucao Techology Educao ad Maageeˮ Chșău March - 3 ) Secod Coferece of he Maheacal Socey of he Republc of Moldova Chșău Augus ) Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approao ad Covey Clu-Napoca ) The 3-h Aual Cogres of he Aerca Roaa Acadey of Ars ad Sceces ARA) Chşău July 5-5 5) The XIV Coferece o Appled ad Idusral Maheacs Dedcaed o he 6 h aversary of he foudao of he Faculy of Maheacs ad Copuer Scece of Moldova Sae Uversy CAIM 6 Chşău Augus ) Ieraoal coferece KEPT-7 Kowledge egeerg: Prcples ad echques Clu-Napoca Babeş-Bolya Uversy Jue ) Seveh Worshop o Maheacal Modelg of Evroeal ad Lfe Sceces Probles Cosaza Ocober ) Coferță șțfcă Ierferețe uversare egrare pr cerceare ș ovare MITRE 8 Chșău Ocober -4 8; Augus -5 ; Augus 8-3) 9) Coferță șțfcă Ierferețe uversare egrare pr cerceare ș ovare MITRE 9 Chșău Ocober

15 ) The 33-h Aual Cogres of he Aerca Roaa Acadey of Ars ad Sceces ARA) Sbu July -7 9 ) Ieraoal Scefc Coferece «Dscree aheacs algebra ad her applcaos» Ms Ocober 9-9 ) Scefc Coferece dedcaed o he 8-h aversary of he foudao of he Traspol Sae Uversy Chşău Sepeber 4-5 3) The 8 h Coferece o Appled ad Idusral Maheacs CAIM Iaş Ocober 4-7 4) Ieraoal Cogress o Copuer Scece: Iforao Syses ad echologes Ms 3 ocober 3 oveber 5) Coferţa Ieraţoală Modelare aeacă opzare ş eholog foraţoale Edţa III Chșău 9-3 are 6) The h Coferece o Appled ad Idusral Maheacs Dedcaed o Acadeca Mrofa M Coba CAIM Chşău Augus 5 7) The 3h Ieraoal Coferece o Maheacs ad s Applcaos - ICMA Tşoara Noveber -3 8) The 4-h Ieraoal Coferece of Scefc Papers Scefc Researgh ad Educao he Ar Force Braşov May 4-6 9) Coferţă șţfcă cu parcpare eraţoală Ierferețe uversare egrare pr cerceare ș ovare Chșău 5-6 sepebre ) The s Coferece o Appled ad Idusral Maheacs CAIM 3 Buchares Sepeber 9 3 ) Ieraoal Coferece"Dscree aheacs graph heory ad her applcaos" DIMA-3) Ms Noveber -4 3 ) The s Coferece o Appled ad Idusral Maheacs CAIM 4 Bacău Sepeber 8 4 3) Thrd Coferece of he Maheacal Socey of he Republc of Moldova Chșău Augus ) Coferţa Ieraţoală Modelare aeacă opzare ş eholog foraţoale Edţa IV Chșău 5-8 are 4 Arcolele șțfce au fos publcae î revse de specalae d țară ș pese hoare precu ș î Aale Proceedgs) ale cofrerțelor: 5

16 ) Aalele şţfce ale USM Sera Şţe fzco-aeaceˮ vol 3 r) ; vol5 3; 6) ) Buleul Acadee de Şţe a Republc Moldova Sera Maeaca 6 r 5); r 63); 8 r 57)) 3) Copuer Scece Joural of Moldova vol9 o55) ; vol3 o38) 5; vol6 o348) 8; vol 3 o6)) 4) Maheacal odellg of vroeal ad lfe sceces probles Bucureș: Edura Acadee Roâe 5) KEPT-7 Kowledge egeerg: Prcples ad echques vol I Clu-Napoca: Babeş-Bolya Uversy 7 6) Aals of Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approao ad Covey Clu-Napoca Roâa vol 4; vol 3 5; vol4 6; vol 5 7; vol 6 8; vol 7 9) 7) Aalele şţfce ale Uversăţ de Sa d Moldova Sera Şţe reale Lucrăr de seză Chşău 6 8) Suda Uversas Sera: Şţe eace ş ecooce r4) ; r757); 3 r6)) 9) Lucrărle coferțe pregăoare peru Cogresul aeacelor roâ Bucureş 99 ) Proceedgs of he Ieraoal Coferece Treds he Develope of he Iforao ad Coucao Techology Educao ad Maageeˮ March - 3 ) Proceedgs of he 3-h Aual Cogres of he Aerca Roaa Acadey of Ars ad Sceces July 5-5; July -7 9) ) Proceedgs of he XIV Coferece o Appled ad Idusral Maheacs dedcaed o he 6 h aversary of he foudao of he Faculy of Maheacs ad Copuer Scece of Moldova Sae Uversy Chşău 6 3) Proceedgs of he Secod Coferece of he Maheacal Socey of he Republc of Moldova Augus ) Proceedgs of he Ieraoal Cogress o Copuer Scece: Iforao Syses ad Techologes Ms Oc 3 Nov 3 5) Proceedgs of he Ieraoal Coferece Maheacal odelg opzao ad forao echology 4) 6

17 6) Proceedgs of he 4-h Ieraoal Coferece of Scefc Papers Scefc Research ad Educao he Ar Force Braşov Roâa May 4-6 Moograf publcae: ) Caaracuc S Sur N rafur d-cove sple ş quassple Moografe Chşău: CEP USM 9 p [64] ) Bula M Caaracuc S Zgureau A Mulț de relaț ul-are ș crparea forațe Moografe Chşău: CEP USM 3 p [8] 3) Caaracuc S Topologa algebrcă a relațlor ul-are Moografe Chşău: CEP USM 5 8p [95] Referor la rezulaele cerceărlor şţfce au fos ţue coucăr î ple la re coferţe o coferţă de rag aţoal ş două de rag eraţoal): ) The h coferece o appled ad dusral aheacs dedcaed o acadeca M Cobau) hșău Augus -5 Plear coucao: Algebrac opology of he ul-ary relaos ad s applcaos ) ) Ierferețe uversare egrare pr cerceare ș ovare Coferță șțfcă cu parcpare erațoală) Chșău 5-6 sepebre Coucare ple: Srucur aeace ș rolul acesora î soluțoarea probleelor pracce ) 3) Ieraoal Coferece"Dscree aheacs graph heory ad her applcaos" DIMA-3) Ms Belorusa -4 oveber 3 Plear coucao: Algebrac opology of he ul-ary relaos ) Suarul copareelor eze Teza ese srucuraă î cc capole î care su descrse aspecele opologco-algebrce ale relaţlor ul-are eaae pr prsa ue srucur aeace o uă cople de relaţ ul-are precu ş uele dervae ale acese srucur ce coduc la soluţoarea a a ulor problee cu caracer aplcav Pe lâgă cele ccc capole ețoae lucrarea coțe cocluz geerale ș recoadăr adoărle î lble roâă rusă ș egleză precu ș o lsă bblografcă ce cuprde 39 lur Î oal voluul eze cosue 9 pag dre care 65 pag de e de bază Î Iroducere su forulae scopul ș obecvele eze ese argueaă acualaea ee de cerceare Se forulează problea șțfcă abordaă cu ețoarea porațe eorece ș a valor pracce a lucrăr Ese daă o aalză succă a publcaţlor la ea eze Se îchee aces copare cu o seză a coțuulu lucrăr Prul capol al eze poară u caracer roducv ș are drep scop eaarea î od evoluv a prcpalelor srucur aeace dscree folose î calae de odele la soluțoarea probleelor pracce Se eaează o sere de propreăț porae ale acesor 7

18 srucur geeralzae î capolele urăoare peru cazul copleelor de relaț ul-are Ua dre cele a sple srucur aeace dscree dar cu u poețal eor de aplcaț la eaarea probleelor eoreco-aplcave ese graful Pord de la îcercărle aeacelor de a soluțoa a ule problee cu caracer dsracv îr-o peroadă relav scură a fos cosuă o drecțe ouă de cerceare cuoscuă asăz ca eora grafurlor Rezulaele eorece obțue au pers efcezarea cerceărlor î dverse doe: ecooe fzcă foracă che ec To î capolul su descrse câeva rezulae ce ț de propreățle arborlor ale uărulu ccloac ale arce ccloace ș coccloace care uleror su geeralzae peru copleele de relaț ul-are ș îș găsesc ulzare la soluțoarea probleelor aplcave cu ar f problea edae a ocurlor cobaorale pe srucur dscree ec La dezvolarea eore grafurlor au corbu î od esețal îcepâd cu aparța prelor lucrăr î sec XVII XVIII a ulț aeace: Leoard Euler ) Wlla Halo ) Jaes Joseph Sylveser ) Arhur Cayley 8-895) Claude Berge 96-) eorge Davd Brhoff ) Îcercărle de a folos grafurle î calae de odele aeace peru descrerea proceselor fzce ș u ua [] [7] au geera î p ecesaea eder ș defcăr alor srucur aeace [3] [6] cluse î prezeul sudu care îr-u od fresc geeralzează grafurle ș la râdul lor servesc drep pree peru geeralzăr absrace urae de fudaearea eore relațlor ul-are Nucleul eze îl cosue Capolul î care su epuse rezulaele de bază ce ț de eaarea opologe relațlor ul-are ș care îș găsesc couare î capolele ce urează pr defrea ș suderea uu cople specal u cople de cubur absrace pora peru soluțoarea uor problee cu caracer eoreco-aplcav Obecul de sudu al capolulu ese așa-uul cople de relaț ul-are peru care au fos defe oțule de bază ș sudae propreățle acesora î a ule lucrăr [7] [45] [46] [49] [63] [8] Pord de la u cople splu de relaț [58] [46] [49] ș urărd î od fresc scopul de a soluțoa î caz geeral o sere de problee pracce se defeșe oțuea de cople geeralza de relaț ul-are pe produsul careza de ord ulț de eleee X } { 8 al ue Peru copleul de relaț { R R R } se defeșe oțuea de -coeae îcâ coeaea splă cuoscuă d eora grafurlor deve u caz parcular al acesea Prre copleele -coee u loc apare le reve copleelor-arbor î care orce subcople coțe cel puț u coregu suspeda Î cazul copleelor-arbor su obțue

19 a ule rezulae porae ce se referă la problea acoperr e ș la problea cosrur ulț er sable ae erpreae pr eoreele 3-5 Pord de la fapul că lațurle ș cclurle -desoale îr-u cople de relaț ulare forează grupur couave se defesc grupurle de oolog drece ș grupurle de cooolog Su deosrae câeva propreăț porae ce ț de grupurle de oolog ș cooolog precu ș corelațle dre ele a se vedea eorea 64-67) care su ule peru eaărle uleroare Aces capol se îchee cu suderea uărulu ccloac al copleulu geeralza de relaț ul-are ș a propreățlor arce ccloace A fos obțu u rezula fudaeal care repreză aalogul eoree Pocare-Vebler-Aleader [5] [68] eorea 8) Caplul III ţe de efecuarea uor vesgaţ legae de ederea oţu de coveae asupra copleelor de relaţ ul-are cu suderea propreăţlor respecve Apăruă țal î spațul euclda coveaea a geera u șr de rezulae eorece de valoare care au cosu bazele ue drecț porae de cerceare î aeacă cuoscuă asăz ca opzare coveă [35] [37] Fudaearea eore ulțlor covee a corbu la elaborarea eodelor efcee de soluțoare a probleelor de opzare coveă descrse î ulple auale ș oograf de specalae [33] [34] [36] Î cazul srucurlor dscree pe parcursul ullor 3 a au fos obțue rezulae ce ț de propreățle ulțlor covee Î specal acesea se referă la srucurle reprezeae pr grafur [38] [4] [4] [64] Suderea grafurlor cu o fale redusă de ulț covee ue grafur d -cove sple a codus la deosrarea uor eoree porae prvd srucura acesor grafur î caz geeral precu ș eoree de caracerzăr efcee ale dferelor clase de grafur d -cove sple [3]-[37] [39] [47] [57] [74] Î prul paragraf al capolulu 3 se defeşe oţuea de coveaea ş îveloare coveă pe ulţea eleeelor relaţe -are R a copleulu R R R ) Cu auorul fucţe dsaţe d : R R N rodusă pr lea 3 se defeşe oţuea de coveae î R ş se deosrează că aceasa deeră î od uvoc o îveloare coveă ş vers a se vedea eoreele 3 ş 33) Defd u operaor P care pere cosrurea eravă a îveloare covee a ue ulţ A R pr eoreele se sablesc propreăţ porae ale acesu operaor ş ale ulţlor covee d spațul erc R d ) Î paragrafele 3 ș 33 su sudae grafurle eoreae ș respecv cele oreae î care îveloarea coveă a orcăror două vârfur eadacee prvă ca o procedură eravă de 9

20 aplcare a operaorulu de cosrure a aceseea cocde cu ulțea uuror vârfurlor grafulu rafurle respecve se uesc d-cove sple ș au fos sudae î a ule lucrăr [33] [34] [36]-[39] [47] [57] [64] [63 ] Î Capolul 4 se sudază copleele de cubur absrace ca u caz specal al copleelor de relaţ ul-are Folosd spleele absrace î calae de cărăz se defeşe a îâ cubul absrac -desoal precu ş u şr de propreăţ cu caracer cobaoral al acesua folose î cerceărle uleroare Peru acese cubur se defesc u şr de oţu cu propreăţ porae folose la eaarea copleelor respecve Ivesgaţle d capolul 4 su porae d a ule cosderee E de eţoa fapul că copleele de cubur servesc drep srue efce î dezvolarea uor coparee ale opologe cobaorce fd folose la cosrurea varaţlor opologc pr aplcarea eodelor cobaorce de sudu Srucurle cobaorce cosrue cu auorul cuburlor absrace -desoale se îâlesc î eora oderă a opologe algebrce Toodaă acesea se regăsesc ș îr-u şr de aplcaţ daoră fapulu că o sere de srucur îâle î dverse raur ale aeac coduc la suderea uor spaţ specale cu o dvzare specfcă î cubur Aplcâd o ehcă slară cele folose î cazul copleelor de relaţ ul-are peru u cople cubc absrac se cosruesc grupurle de oolog ş cele de cooolog Î cazul copleulu de cubur absrace u rol apare î reve suder caracersc Euler îâlă î leraura de specalae ş sub deurea de caracerscă Euler-Pocare Aceasa ese folosă frecve î opologa algebrcă ş cobaorca poledrelor reprezeâd u vara opologc ce descre fora ş srucura spaţulu Peru o vareae uldesoală prvă ca u spațu opologc caracersca Euler-Pocare se calculează cu auorul ragurlor grupurlor de oolog Î cazul copleulu de cubur absrace prv ş ca o vareae absracă se sableşe legăura dre sua aleraă a cardalelor ulţlor de cubur absrace -desoale ş sua aleraă a ragurlor grupurlor de oolog O aeţe specală se acordă suder vareăţlor absrace deerae de copleele de relaţ ul-are reprezeae la râdul lor pr coplee de quassplee sau coplee de cubur absrace Chesue poraă aâ pr fapul că vareaea ese cosderaă drep ua dre oţule fudaeale ale aeac cu auorul cărea se cocrezează ş se geeralzează oţuea de suprafaţă peru desu orcâ de ar câ ş pr aceea că vareaea absracă apare îr-u od surprzăor î soluţoarea uor problee pracce pe srucur dscree eaae uleror

21 Î Capolul 5 su eaae uele aplcaţ ale copleulu de relaţ ul-are la soluţoarea dferor problee Su descrse eode efcee de rezolvare a probleelor cu caracer aplcav Copleele de relaț ul-are precu ș uele varaț ale acesora de eeplu copleele cubce servesc drep odele aeace efcee peru soluțoarea a a ulor problee cu caracer eoreco-aplcav precu ar f: deerarea uărulu croac al uu cople de relaț [75] deerarea ulțlor er sable [43] [54] ș a sraeglor de coporare a ucăorlor îr-u oc cobaoral [76] clasfcarea vareățlor absrace [77] calcularea edae î cazul copleelor de cubur absrace [69] [84] ș uele geeralzăr ale acesora reprezeae pr coplee specale de poloape -desoale [65] [78] elaborarea eodelor de crpare a forațe [67] [8] ec Propreăţle copleulu de relaţ ul-are sudae pr eredul copleulu de quassplee ş cel de cubur absrace î capolele precedee oferă posblaea geeralzăr rezulaelor ce ţ de clasfcarea vareăţlor descrse î lucrărle [5] [9] [3] [53] 56] [77] Aparţa buclelor a se vedea defţa 53) îr-u cople absrac deeraă de repeărle eleeelor î coregle ce corespud quasspleelor coduce la ecesaea suder vareăţ sferce degeerae de geul p Problea calculăr edae ereu a rez u eres spor al cerceăorlor daoră ulplelor aplcaţ pracce ale acesea Deoarece î caz geeral calcularea edae pr eode clasce deve o probleă dfclă ar peru dfere varaţ ale acesea obţe char problee d clasa celor NP-coplee [86] [6] deseor se recurge la elaborarea uor eode aproave [83] sau la cosrurea eodelor efcee ș eace de calcul aplcable î cazul srucurlor aeace specale [5] [65] [69] [7] ce po serv la râdul lor drep odel la eaarea probleelor pracce Î paragrafele 5 ş 53 se deosrează eseţa uu algor efce de calculare a edae fără a ulza erca Î paragraful 54 se eaează u oc cobaoral cu do parcpaţ care ese o geeralzare a cuoscuulu oc N Peru deerarea odulu de coporae al ucăorlor pe copleul de relaţ se cosrueşe o fucţe specală fucţa rudy Se araă că ucăorul ce reuşeşe să cosruască aceasă fucţe ş să aleagă spleul peru care g u va perde î ocul respecv Teza de docor habla coțe o lsă de surse bblografce prezeaă la sfârșul lucrăr care are arbuțe drecă la eaca abordaă Aceasa u ese araaă î orde alfabecă fd copleaă repa pe ăsura acuulăr aeralulu clus î lucrare ceea ce speră cdecu u fluețează î asablu valoarea șțfcă a eze

22 STRUCTURI MATEMATICE DISCRETE ȘI ROLUL ACESTORA ÎN SOLUȚIONAREA PROBLEMELOR TEORETICO-APLICATIVE Prul capol coţe descrerea î orde croologcă a eapelor de dezvolare a srucurlor dscree ş folosrea acesora î calae de odel aeac la soluţoarea dverselor problee cu caracer aplcav ş repreză u capuol de seză î doeul ee de cerceare a eze Su descrse rezulaele care au corbu eseţal la dezvolarea eorlor respecve precu ş ercoeuea dre acesea pr abordărle eorece ale probleelor pracce Se aalzează aporul a a ulţ aeace la sudrea prelor srucur aeace dscree ş folosr acesora la soluţoarea dverselor problee pracce Î od specal se eţoează rolul î dezvolarea eorlor respecve pe care l-au avu Leoard Euler Wlla Halo Jaes Joseph Sylveser Arhur Cayley Claude Berge eorge Davd Brhoff Îcercărle de a folos srucurle dscree î calae de odele aeace peru descrerea proceselor fzce ș u ua au geera î p ecesaea defcăr alor srucur aeace cluse î prezeul sudu care îr-u od fresc le geeralzează pe cele clasce ş servesc drep pree peru o sere de geeralzăr absrace urae de fudaearea eore relațlor ul-are eaae î capolele de bază ale prezee lucrăr Evoluța srucurlor dscree Î cele ce urează vo aalza eapele de dezvolare a srucurlor dscree apărue odaă cu ecesaea soluțoăr dverselor problee de ord eoreco-aplcav Acese srucur precu s-a adever u po f aplcae asupra uor problee pracce Uele dre acesea se eaează î ulul capol al eze Probleele respecve au ș cosu acel bold care e-a pus să e gâd asupra elaborăr ș geeralzăr srucurlor dscree cuoscue peru odelarea ș soluțoarea cu susces a acesora Îr-u fal a fos defă o srucură aeacă uă cople de relaț ul-are ar pr cosrurea grupurlor de oolog ș suderea propreățlor respecve s-au pus bazele eore respecve care ș cosue coțuul de bază al prezee lucrăr Orce srucură dscreă folosă drep odel aeac la soluțoarea probleelor de opzare se defeșe î baza ue oarecare ulț oțue be cuoscuă ș care se regăseșe î dfere erpreăr î ulple lucrăr la dezvolarea eore ulțlor ș dverselor aplcaț ale aceseea au corbu lucrărle clasce ale aeacelor eorg Caor [7] ș Berrad Russell [73] [74] dar ș lucrărle a o ale lu P Aleadrov [3] î legăură cu

23 îcercarea reușă a acesua de a fudaee eora geerală a desulor ș suder spațlor opologce Prele sud ce se referă la eora ulțlor au fos efecuae de căre Berard Bolzao ș publcae î 85 roducâd asfel oțuea de ulțe ș corespodeță buvocă Ceva a ârzu î peroada alor eorg Caor a publca a ule lucrăr î care au fos de acu epuse î od sseac rezulaele de bază ale eore ulțlor Aue daoră acesor sseazăr dâsul ș ese cosdera fodaor al eore ulțlor rafur La fel ca ș ule ale doe ale aeac grafurle au apăru daoră îcercărlor aeacelor de a rezolva a ule problee pracce sau char ocur cu caracer dsracv Peru pra daă oţuea de graf a fos rodusă de căre Leoard Euler î legăură cu îcercarea de a soluţoa cuoscua probleă a celor şape podur d Kögsberg [9] Păre al eore odere a grafurlor ese cosdera C Berge daoră epuer sseazae a acese drecţ de cerceare î oografa [3] ş dezvolăr uleroare a eore î lucrărle [5] [6] Rezulae sefcave ce ţ de fudaearea eore grafurlor ar a apo ş a hpergrafurlor se regăsesc î uludea de publcaţ apărue pe parcursul ullor 4-5 a Prooor fdel a acese drecţ de cerceare su cosderaţ FHarary [8] VEelcev [45] IToescu [65] TToadere [8] NCrsofdes [6] AZâov [87] PSola [59] [6] Îcercarea de a soluţoa problee pracce pr ulzarea grafurlor î calae de odel aeac a corbu la râdul său la dezvolarea ş a alor doe de cerceare precu ş vce-versa Î suderea grafurlor u rol apare l-au uca arcele uodulare îâle desgur ş î ale doe ale aeac Cofor [46] o arce se ueșe oal uodulară dacă deeraul orcăru or al acesea ese egal cu + sau - Aceasa îseaă că îr-o arce oal uodulară fecare elee ese egal cu + sau - deoarece fecare elee poae f cosdera drep or de ordul uu Î lucrarea [77] ese deosra u rezula pora ce ţe de caracerzarea acesor arc: Dacă A ese o arce foraă d eleeele + - ar fecare coloaă a acesea coțe cel ul două eleee dfere de zero auc A ese o arce oal uodulară dacă ș ua dacă ulțea llor d A poae f dvzaă î două subulț S ș S cu respecarea codțlor: ) dacă două eleee dfere de zero ale ue coloae su de acelaș se auc u elee aparțe le d S ar celălal le d S 3

24 ) dacă două eleee dfere de zero ale ue coloae su de see opuse auc abele aparț llor d S sau abele aparț llor d S D rezulaul respecv rezulă două cosecțe porae cu referre la arcele de cdeţă a grafurlor oreae ș cele eoreae A Marcea de cdeță a uu graf orea ese oal uodulară B Marcea de cdeță a uu graf eorea ese oal uodulară dacă ș ua dacă graful ese bpar [78] E de rearca fapul că arcele oal uodulare oacă u rol pora î dverse doe ale aeac ş îș găsesc aplcaț la soluțoarea a a ulor problee de ord eoreco-aplcav: a) Prograarea î uere îreg Dacă A ese o arce oal uodulară ar b ese u vecor cu coordoae îreg auc ecuața AX b ade soluț de bază î uere îreg Aceasa la râdul său îseaă că sseul de ecuaț lare reprezea î fora arceală AX b poae f rezolva pr aplcarea drecă a eode sple; b) Crearea plaurlor de îvățăâ pr ulzarea rețelelor seace Orgazarea efceă a procesulu de sud depde de corelața dre dscplele predae Ua dre probleele plaurlor de sud la dfere specalăț cosă deseor î eglarea couăț coțuurlor dscplelor predae precu ș corelața aoră îre dscplele îrude Peru soluțoarea rapdă ș efceă a problee ețoae adesea se recurge la cosrurea rețelelor seace sseelor eper ec [79] Rețelele se odelează cu auorul uu graf orea arcea de cdeță a cărua A ese oal uodulară Peru acese rețele se rezolvă ecuața arceală A C T ude C c c c ) ese u vecor ce repreză u cour sau o suă de courur ale grafulu O odel avâd coordoaele uere îreg ar T C raspusul acesua D sseul T fudaeal de soluț al ecuațe A C se cosrueșe soluța problee forulae țal î lucrarea[79] c) Aplasarea opă a pucelor de deservre Deseor peru deservrea uor cere ue îr-o rețea rețea de druur rețea forațoală ec) ese ecesar de a deera locul op de aplasare a uor servc spale depoze saț elefoce ec) Asfel de problee su cuoscue ca problee de aplasare Peru soluțoarea lor se recurge la odelul aeac reprezea prr-u graf de regulă orea Soluța căuaă ese u alceva decâ o edaă sau ceru al acesu graf care la râdul său se deeră pr rezolvarea sseulu de ecuaț 4

25 lare A X b ude A ese arcea de cdeță a grafulu Necuoscuele ce forează vecorul X su uere îreg Luâd î cosderațe afraţa A forulaă a sus rezulă că peru rezolvarea sseulu respecv de ecuaț se recurge la eoda sple [4] Necesaea soluțoăr uor problee de opzare cuoscue î leraura de specalae ca problee de parcurgere au codus la roducerea oțulor de laț cclu precu ș a dverselor geeralzăr ale acesora care au pulsoa dezvolarea aspeculu aplcav al eore grafurlor [57] [8] [8] Î cazul uu graf eorea X; U) pue def două spaț vecorale legae de cele epuse î couare ușor po f reprezeae ș peru cazul grafulu orea X; ) ) Ese vorba de spațul cclurlor ș spațul cocclurlor Abele spaț se defesc pese câpul a două uere ș oa pr F { } Cosderă varablele ce presc doar valor d F Cobața lară a vârfurlor grafulu X; U ) se ueșe -laț laț cu 5 desuea zero [3]) ar cobața uchlor u se ueșe -laț laț cu desuea uu) Mețoă că asfel erpreaă oțuea de -laț ș -laț geeralzează oțuea de laț îâlă la Claude Berge [57] Fra Harary [8] ș alț aeace folos la elaborarea a algorlor de soluţoare a probleelor de parcurgere Def fucța care pue î corespodeță fecăru -laț u laț cu desuea zero ș sasface codțle: ) ese lară; ) dacă u y) ese o uche a grafulu auc u) y Toodaă def ș cofucța care pue î corespodeță fecăru -laț u laț cu desuea uu -laț) ș sasface codțle: ) ese lară; ) ude dacă ș ua dacă ucha u U ese cdeă vârfulu u U laț -desoal l peru care l) se ueșe vecor cclc al grafulu Se poae observa că orce laț splu lațul ce u coțe uch ale grafulu a ul decâ o sgură daă [8] [3]) ese vecor cclc al grafulu Mulțea uuror asfel de vecor forează u spațu vecoral pese câpul F u spațu al cclurlor grafulu [3] Asfel de spaţ apar la suderea ş a alor srucur dscree Baza spațulu cclurlor grafulu foraă doar d cclurle sple d se ueșe bază de cclur a grafulu respecv

26 Fe { l l l } o ulțe de cclur sple ale grafulu Orce vecor cclc L se preză asfel: L Pr urare baza de cclur a uu graf X; U ) ese ulțea aală de cclur sple depedee d l 6 Noțuea de cclu îr-u graf pere a def oțuea de cocclu legaă cu o oțue fudaeală î eora grafurlor oțuea de ăeură [8] [3] cuoscuă ș cu ocaza soluțoăr a ulor problee de opzare Asfel cofor [3] se ueșe ăeură orce subulțe de uch a grafulu X; U) la elarea cărora se obțe u graf ocoe ar ăeura ală se ueșe cocclu al grafulu Prre probleele la soluţoarea cărora oţule respecve au uca u rol decsv se uără problea fluulu a îr-o reţea precu ș dverse geeralzăr ale acesea O corbuțe esețală la soluțoarea problee ețoae au avu-o aeace LRFord & DRFulerso [87] [88] Fe u graf î care copoee coee d ș p repreză uărul de vârfur de uc ș respecv de Def uărul ccloac ) p ș uărul coccloac ) p al acesu graf [8] [8] [3] Acese uere repreză desule spațlor vecorale defe a sus Prre cele a porae propreăț d puc de vedere eoreco-aplcav ale lu ) ș ) se evdețază: P Dacă ș y su două vârfur oadacee ale uu graf coe ar ese graful ce se obțe d la adăugarea uche y) auc ) ) ) ) P Dacă ș y aparț copoeelor coee dfere ale grafulu ar ese graful ce se obțe d la adăugarea uche y) auc relața d P ese adevăraă P3 Nuărul ccloac al uu graf X; U) ese egal cu uărul a de cclur depedee d P4 U graf u coțe cclur dacă ș ua dacă ) P5 U graf coțe u sgur cclu dacă ș ua dacă ) Fe u cclu splu al grafulu oorea cu ulțea de uch U u u u } { Acesu cclu î pue î corespodeță u coregu d eleee î care eleeul cu uărul ese egal cu dacă ș ua dacă u Avâd Z z z z } ca fale a uuror cclurlor sple d pue cosru o arce C cu desuea c dacă î u caz z corar { r r ș eleeele:

27 Marcea C se ueșe arce ccloacă Pord de la defța arce de cdeță B ș a arce ccloace C a grafulu splu se deosrează egalaea [5]: C B T 7 od ) * Slar arce ccloace se defeșe ș arcea coccloacă C î care lle corespud cocclurlor grafulu ar eleeele acesea su c * dacă î u caz corar Precu s-a cosaa a se vedea lucrarea [8]) ragurle arcelor dcae a sus se calculează î depedeţă de paraer ş p chesue poraă la suderea spaţlor cclurlor ş cocclurlor Cofor celor deosrae î [8] dacă B C ș * C su respecv arcea de cdeță arcea ccloacă ș arcea coccloacă ale uu graf cu vârfur uch ș p copoee coee auc ragurle acesor arce su deerae de egalăţle: r C) p r B) r C * ) p U rol apare î eora grafurlor reve arborlor porața cărora la soluțoarea probleelor pracce ese coesablă Aue î baza propreățlor acesor srucur aeace a fos posblă eaarea efceă a reuelor problee clasce: calcularea arborelu Seer [9 9] deerarea crcuelor Krchhoff îr-o scheă elecrcă [9] reprezearea srucurlor de dae î foracă cu auorul arborlor de căuare [89] E ecesar de eţoa că cerceărle lu Krchhoff cu prvre la cosrurea arborlor parţal a uu graf au corbu eseţal la dezvolarea ue drecţ porae de cerceare î eora grafurlor Arbore se ueșe u graf coe ce u coțe cclur sple [45] [8] [8] Evde dacă ave u graf coe ce u ese arbore auc elâd câe o uche asfel îcâ aceasa să aparță uu cclu splu pue obțe u arbore care se ueșe arbore parțal al lu Fe T uul dre arbor parțal a grafulu Vo sabl o legăură îre arborele T ș baza spațulu cclurlor grafulu Orce uche d ce u aparțe lu T se va u coardă a arborelu parțal T Orce subgraf d fora d T ș o coardă arbrară coțe u sgur cclu splu Mulțea uuror asfel de cclur ese lar depedeă deoarece fecare d acese cclur coțe o uche coarda respecvă) ce u aparțe celorlale cclur U rezula pora d puc de vedere eorec afră: Nuărul ccloac al uu graf coe ese egal cu uărul de coarde al arborelu parțal d Rezulaul respecv apare ş î legăură

28 cu soluţoarea uor problee de ord pracc De eeplu acesa ese ul la deerarea arborlor parţal a uu graf eorea Țâd co de fapul că uărul de uch al orcăru arbore parțal al grafulu X; U) cardx cardu ese - rezulă că uărul de coarde va f --) Pr urare peru uărul ccloac al grafulu obţe: ) Î acese codţ rezulaul descrs a sus poae f reforula î odul urăor: uărul coccloac al uu graf coe eorea X; U) ese egal cu uărul de uch al orcăru arbore parțal Corecudea afraţe eda rezulă d fapul că orce cocclu coțe eac o sgură uche a uu arbore parțal d Hpergrafur Precu a arăa pracca grafurle au deve u srue efce peru odelarea ș soluțoarea probleelor de opzare ș u ua) Touș foare repede s-a observa că peru uele problee folosrea aparaulu eore grafurlor geerează aue dfculăț ceea ce a codus la defrea ue o srucur aeace hpergraful cosdera drep o geeralzare a grafulu eorea î care uchle su reprezeae pr subulț ale ulț de vârfur d X Necesaea ue srucur o a geerale decâ grafurle a fos ulplu argueaă î a ule lucrăr Ua dre ulele arcole î favoarea acese de ese [6] Dezvolarea eore hpergrafurlor a por de la îcercărle de a geeralza a ule rezulae d leraura de specalae ce ț de soluțoarea probleelor aplcave ale eore grafurlor precu ar f: - deerarea subulț e de uch ce coțe vârfurle d X; - deerarea subulț ae de uch duce două câe două î rapor cu ulțea de vârfur X; - deerarea subulț e de vârfur ce forează o acoperre a ulț de hperuch Se cosderă că prele rezulae care au cosu fudaeele eore hpergrafurlor aparț aeacaulu Ray Chaudhur [83] ș se referă la geeralzarea eode lațurlor alerae peru hpergrafur folose a apo ş peru dverse problee eaae pe grafur De aseeea la dezvolarea acese eor au corbu ș alț aeace pr rezulaele obțue ș publcae îr-u șr de lucrăr: Erdos & Haal [85] Erdos & alla [84] IToescu [97] AZyow [87] CBerge [5] [6] 8

29 Î coforae cu cele epuse de căre CBerge î lucrarea [6] se cosderă hpergraf deera de o ulțe fă de eleee X } fala E E E E ) de subulț d X ce posedă propreățle: a) E b) E X { Cosaă că aue aceasă defţe a hpergrafulu poae f îâlă î ulple lucrăr şţfce Ca ș î cazul grafurlor eleeele ulț X se uesc vârfur ar subulțle E E E X se uesc uch hperuch) ale hpergrafulu Hpergraful cu ulțea de vârfur X ș fala de subulț E se oează H X E ) E E 3 5 E 3 E E 5 a) * ) * ) * E 5 ) 5 * ) * ) * 3 ) 3 * 3 3 ) * ) 4 4 * 5 ) b) * 4 4 ) 5 * 6 4 ) * 7 7 ) Fg Hpergraful H ş dualul acesua H * 9

30 Urâd prcpul dualăţ deseor folos î aeacă de râd cu oţuea de hpergraf * * * se operează ş cu dualul acesua [6]: Hpergraful H X E ) se ueșe dualul hpergrafulu H X E ) dacă: * a) X E ; * b) E X; c) dacă * ese o uche d ese u vârf d ) * * ) * H ce corespude vârfulu al hpergrafulu H ar * H ce corespude uche E a hpergrafulu H auc Dacă eaî ae defţle hpergrafulu H X E ) ş a dualulu acesua * * * * * H X E ) auc observă că are loc egalaea H ) H Î fgura 3 ese reprezea hpergraful H cu ulțea de vârfur X } ș ulțea de { * uch E } ș hpergraful dual { * * * * * * * H cu ulțle X { 3 4 5} E * { * * * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 } peru care ave urăoarea corespodeță: * 5 * 7 * * Noațle ) 5 ș ) 7 folose î fgura b îseaă că ucha * d hpergraful dual * H corespude uche d H * H corespude vârfulu d H ar vârful 3 * d hpergraful Nuărul de uch cdee uu vârf al hpergrafulu H se ueșe grad al vârfulu ar uărul de vârfur cdee uche u se ueșe grad al uche u Dacă A H ) ese arcea de cdeță a uu hpergraf H [6] auc ese adevăraă egalaea: A T H ) A H ) T ude A H ) ese arcea raspusă a arce A H ) Î eora hpergrafurlor la fel ca ș î cazul grafurlor ese poraă problea esețe ș cosrur uu hpergraf cuoscâd doar uele propreăț ale acesua Î aces coe u rol apare î reve problee resablr hpergrafulu î baza gradelor vârfurlor uchlor E Să oă pr d ) gradul vârfulu * X ș a

31 D puc de vedere eorec preză eres u rezula ce ţe de eseţa hpergrafurlor [88] [89]: Peru șrurle de uere îreg r r r ș 3 d d d esă u hpergraf H cu ulțea de vârfur X } ș cu ulțea de uch E } { îcâ dh ) d ș card r dacă ș ua dacă ) { r } d d d ) ) r d d d { Î cazul hpergrafurlor oțule de laț ș cclu dferă puț de oțule respecve î grafur da fd specfcul acese srucur aeace ș deseor u cerceăor folosesc dverse varaț ale acesora î cerceărle sale [93] Rolul laţurlor ş cclurlor î cazul hpergrafurlor ese u a preos decâ î cazul grafurlor Asfel cofor [6] [45] succesuea ce coțe doar vârfur ș uch ale hpergrafulu H X; E ) ș posedă propreățle: a) orcare două eleee vece d u aparț aceleaș ulț X sau E ; b) orcare două eleee vece d su cdee se ueșe laț al hpergrafulu H Prul ș ulul elee d se uesc ereăț ale lațulu Lațul ce u coțe repeăr ale eleeelor hpergrafulu se ueșe laț splu Cofor acese defț ereăț ale uu laț po f aâ vârfurle câ ș uchle hpergrafulu U hpergraf se cosderă coe dacă ș ua dacă orcare două vârfur ale sale po f ue prr-u laț splu Relața două eleee ale hpergrafulu su legae cel puț prr-u laț ese o relațe de echvaleță Clasele de echvaleță deerae de aceasă relațe forează o dvzare a ulț eleeelor hpergrafulu H care la râdul său geerează subhpergrafur coee ue copoee coee ale lu H Nuărul copoeelor coee d H se oează pr c H ) Dacă ţe co de odul î care se cosrueşe hpergrafulu dual obțe: * c H ) c H ) Î cazul hpergrafurlor are loc aalogul eoree Meger cuoscuă peru grafurle eoreae [8] [3] chesue poraă peru aoraea probleelor aâ de ord eorec câ ş de ord pracc Asfel [6] u hpergraf H coțe lațur sple dsuce ce uesc două eleee ocdee a b d H dacă ș ua dacă după elarea d H a orcăror q eleee dsce de a ș b se obțe u hpergraf î care esă laț splu ce ueșe eleeele a ș b

32 Mețoă că elarea uchlor se face pr păsrarea î H a vârfurlor cdee lor Acelaș lucru are loc ș î cazul elăr vârfurlor Doar la elarea uuror vârfurlor ce forează o uche E se lchdează ș ucha respecvă cofor defțe hpergraful u coțe uch vde adcă fără vârfur) Ca ş î cazul grafurlor peru u hpergraf se roduce oţuea de cclu ş cclu splu [6]: lațul ereățle cărua cocd se ueșe cclu Cclul ce u coțe repeăr ale eleeelor hpergrafulu cu ecepța ereățlor sale se ueșe cclu splu Peru orce hpergraf H X; E ) poae f cosru u graf eorea graful Kög oa pr K H ) Vârfurle grafulu K H ) corespud ulț X E ar ulțea de uch ese U { ) : X E s E) î H} raful K H ) se a ueșe reprezeare Kög a hpergrafulu H Observă că K H ) ese u graf bpar Reprezearea Kög a hpergrafulu H X; E ) cu cardx card E 7 d fgura a ese daă î fgura b E E 3 E E E 8 E 6 E 5 a) E E E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 b) Fg a) Hpergraful H ș b) reprezearea Kög K H ) a acesua 3

33 Nuărul ccloac al hpergrafulu H X; E ) se defeșe ca uărul ccloac al reprezeăr Kög K H ) [6] [87] Noă pr H ) uărul ccloac al hpergrafulu H ar pr K H )) uărul ccloac al reprezeăr Kög K H ) a acesu hpergraf Cofor [6]: H ) K H )) E ) carde ) cardx c H ) Dacă hpergraful H X; E ) coțe vârfur ș uch auc H ) carde c H ) E Luâd î cosderaţe aceasă forulă de calcul a uărulu ccloac precu ș fapul că copoeelor coee ș cclurlor sple ale hpergrafulu H le corespud î od uvoc copoee coee ș cclur sple ale grafulu Kög K H ) uşor deduce codţle î care u hpergraf u coţe cclur sple: u hpergraf H u coțe cclur sple sau coțe u sgur cclu splu dacă ș ua dacă H ) sau respecv H) Dacă apelă acu la hpergraful dual E * H obţe relațle: * H ) H ); carde 33 * E carde Prre aeace care au corbu î od eseţal la suderea spaţulu cclurlor uu hpergraf se evdeţază AZzov ş LLovasz Î lucrarea [87] se deosrează că u hpergraf H X; E ) u coțe cclur dacă ș ua dacă peru orce subulțe ovdă E card E carde ' ' E E E E E ' Aplcâd aces rezula peru hpergraful dual * * ) * H obțe afrața duală: Hpergraful H X; E ) u coțe cclur dacă ș ua dacă peru orce subulțe ovdă X X are loc egalaea card E ) carde ) ) X X ude E ) ese ulțea uchlor hpergrafulu cdee vârfulu U al rezula ce ţe de eseţa cclurlor îr-u hpergraf a fos obţu de căre LLovasz î legăură cu îcercarea de a clasfca hpergrafurle arborescee Asfel î lucrarea [9] se araă că dacă hpergraful H X; E ) u coțe cclur cu lugea l 3 ș su sasfăcue codțle

34 auc a) card peru E ; b) card ) peru E E card ) cardx c H ) H ) ude H ) repreză uărul de blocur ale lu H care u su vârfur zolae Ese ecesar de ețoa că î eora hpergrafurlor uărul ccloac H ) oacă u rol u a puț pora decâ î eora grafurlor Î cazul uu hpergraf elarea uu elee al său fluețează uărul ccloac la fel ca ș elarea vârfurlor î cazul uu graf D acese cosderee ese a dfcl de sabl șe propreăț ale lu H ) slare celor cuoscue peru grafur Maroz Î cobaorcă arodul ese o srucură aeacă ce geeralzează oțuea de depedeță lară d spațle vecorale Teora arozlor ulzează îr-u od eesv erologa algebre lare ș eore grafurlor daoră fapulu că ea repreză o absracțe a oțulor prcpale d acese doe ale aeac Peru pra daă oțuea de arod a fos rodusă î 935 de căre Whey î lucrarea [94] Aproape sula î aul 936 a apăru arcolul lu Sauders MacLae [95] cu prvre la oțuea de aroz î geoera proecvă U a a ârzu BL va der Waerde a eaa legăura dre depedeța algebrcă ș cea lară [96] Î 94 Rchard Rado a pus bazele eore sseelor depedee î coeul dezvolăr eore rasversalelor O fgură proeeă î doeul eore arozlor ese cosdera WT Tue care a publca î a 5 a secolulu recu u șr de lucrăr fudaeale [97] [98] [99] Prre rezulaele porae obțue de Tue care au avu o flueță cosderablă asupra dezvolăr uor coparee porae ale aeac odere ețoă: caracerzarea arozlor bar regular ș a celor grafc; eorea cu prvre la reprezearea uu arod regula; dezvolarea eore grupurlor lațurlor î srucur dscree ș a arozlor respecv; eorea de ooope pr care se geeralzează oțuea de dru îr-u graf cu auorul arozlor ș se araă că druurle îchse po f reprezeae ca copozțe de druur eleeare asfel îcâ ooec ele su echvalee uu dru îchs rval [] [] La dezvolarea eore arozlor de aseeea au corbu: Hery Crapo [] a geeralza ș a suda poloul Tue cuoscu î leraura de specalae ca poloul Crapo); Thoas Brylawsy [3] a 34

35 obțu rezulae fudaeale la suderea arozlor Tue dcroae )); Paul Seyour [4] a deosra eorea cu prvre la descopuerea arozlor regulaț) Pra lucrare fudaeală î care au fos clasfcae ș sseazae oae rezulaele ce ț de dezvolarea eore arozlor ese cea a lu Doc Welsh [5] Moografa lu Welsh a fos copleaă cu rezulae o ș reedaă de a ule or ula edțe fd d aul [6] Î preze su folose a ule defț echvalee ale oțu de arod Ma des se îâlesc defțle forulae î ere ulțlor depedee a ulțlor îchse a bazelor crcuelor ec Î coforae cu [9] oțuea de arod se defeşe ca o fale specală E de subulț a ue ulț fe de eleee X cosderae depedee: Perechea X ; E) ce posedă propreățle: E ; dacă A E ș B A auc B E ; 3 dacă A BE ș carda cardb auc esă u elee A \ B îcâ B {}E se ueșe arod ș se oează pr M X; E) Fala E se ueșe fale de ulț depedee Î a ule surse bblografce defța arodulu poae f îâlă ș î ere cclurlor [9] [97] [8] eţoă că acese erpreăr ale arodulu su echvalee): Perechea X ; C ) ude X ese o ulțe arbrară de eleee ar C o fale evdă a subulțlor d X ue cclur care posedă propreățle: orce cclu u ese subulțe a alu cclu; dacă C C C ș C C auc C C \{ } coțe cclu se ueşe arod Î lucrărle [9] [97] [99] [5]-[8] su descrse propreăţle de bază ale arozlor porae d puc de vedere al fudaeăr eorece a uor eode de soluţoare a probleelor de ord eoreco-aplcav Se roduc oţu o peru suderea acese srucur aeace prre care oţuea de bază ş rag a arodulu [9] [6]: ulțea de eleee A X dacă B X a uu arod M X; E) se ueșe subulțe depedeă a ulț ) B A; ) B E ; 3) peru C E ude C A rezulă C B 35

36 Cofor celor sable dea î leraura de specalae fala uuror subulțlor depedee aale ale ue ulț A X se va oa pr  D puc de veder eorec su porae cerceărle asupra orozlor î care aceşea su eaaţ î coeul uor propreăţ ale fale subulţlor depedee aale Cofor [6] codța: dacă îcâ A BE ș carda cardb auc esă u elee A \ B B {}E d defța de a sus a arodulu ese echvaleă cu urăoarea: dacă A X ș B C Aˆ auc cardb cardc D cele epuse rezulă că arodul ese perechea de ulț X ; E) ce respecă codțle: E ; dacă A E ș B A auc B E ; 3 dacă A X ș B C Aˆ auc cardb cardc Î calae de ulţe A eţoaă î defţa ulţ depedee poae fgura îsuş ulţea X Peru X odeaua esă ulţe depedeă aală B X O asfel de ulţe se ueşe bază a arodulu M X; E) Î legăură cuaceasa ese pora urăorul rezula: peru orce arod M X; E) ese adevăraă egalaea: Xˆ [9] Vo prezea î couare o deosraţe a acese afraţ dferă de cea d lucrarea eţoaă dar a accesblă peru aplcaţle pracce uleroare Pord de la o ulțe B vo cosru erav o bază a arodulu M X; E) : a) cosderă u elee X \ B peru care se respecă codța B {}E Dacă asfel de elee u esă auc ulțea obțuă B ese bază a arodulu M X; E) ; b) ede ulțea B cluzâd î ea eleeul Peru ulțea foraă B repeă pucul a) Ca rezula al aplcăr pașlor a) ș b) obțe o ulțe B care forează o bază peru M Îr-adevăr să oă pr B B B K B șrul de ulț cosrue erav precu s-a dca a sus evde B ș B E ) Să presupue că î rezula a obțu ulțea B care u ese aal depedeă B Xˆ ) Auc esă B X B B ce respecă codțle: B B ; B E Alege î couare o subulțe B B îcâ card B cardb B B ș B E Fe B \ B Cofor celor eaae a sus pucul a) ș b)) rezulă că la o erațe a avu: B 36 E B { } Îsă d B ș B rezulă B { } E Coradcța obţuă deosrează afraţa Xˆ

37 D eorea deosraă rezulă că oae bazele uu arod au acelaș cardal Fe A X o ulțe de eleee a arodulu M X; E) Cardalul subulț depedee aale a ulț A se ueșe rag al acese ulț ş se oează pr r A) Asfel r A) a { cardy} Y A YE Nuărul r r M) r X ) se ueșe rag al arodulu M X; E) Î lucrarea [7] su euerae a ule relaţ ce ţ de esarea uercă a ragulu uu arod: Peru orcare două eleee su verfcae relațle: y X ș orcare două ulț A B X ale arodulu M X; E) a) r A) carda ș r A) carda AE ; b) dacă carda cardb auc r A) r B) ; c) r A B) r A B) r A) r B) ; d) r A) r A { }) r A) ; e) dacă r A { }) r A{ y}) r A) auc r A { y}) r A) Iporața arozlor î opzarea dscreă pe lâgă cele ețoae aeror a ese deeraă ș de fapul că pe asfel de srucur pue rezolva î od efce u șr de problee porae aplcâd algorul reedy cu auorul cărua găs soluța opă dacă odelul aeac respecv ese u arod Î cazul câd acesa u ese arod deerarea soluţe eaăr specale Forulă urăoarea probleă de opzare dscreă: Fe X } o ulțe fă de eleee pe care ese defă fucța : X R { Nuărul ) se ueșe podere a eleeulu X Foră o fale de subulț d X oaă pr E Să se deere ulțea A E 37 peru care A) a Y) YE ude Y ) repreză poderea ulț Y E : Y) y) Fără a perde d geeralae peru eleeele ulț X ) ) ) yy vo cosdera La soluțoarea acese problee poae f folos u algor efce algorul reedy Cosderâd țal care E A erav la ulțea A se adaugă câe u elee d X peru A } Evde copleaea algorulu reedy ese lară O ) fără a lua { î calcul procedura de sorare a eleeelor d X î rapor cu poderle acesora O log ) ș verfcarea codțe A } [9] [7]) { E

38 Soluța obțuă pr aplcarea algorulu reedy u odeaua poae f cea opală Aceasa depde de fapul dacă perechea X ;E repreză u arod sau u Î legăură cu problea forulaă a sus e ecesar de eţoa u rezula deosraţa cărua se regăseşe egral î lucrarea [9]: dacă M X;E ese u arod auc peru orce fucțe a poderlor : X R algorul reedy deeră ulțea E A de podere aă Dacă M X;E u ese arod auc odeaua poae f găsă o fucțe : X R peru care ulțea găsă pr aplcarea algorulu reedy u ese de podere aă Dualaea î aeacă repreză u srue puerc peru aalzarea ș soluțoarea probleelor de opzare Ac ar f sufce să e a de dualaea î prograarea lară) Deseor obțerea soluțe opale poae f prvă ca u proces elega recâd la suderea odelulu dual al problee respecve Posblăț supleare î aces ses oferă aroz dual Fe M X;E u arod Peru subulțea A X a arodulu X;E M vo oa pr A copleeara acesea adcă A X \ A Dacă B s ese fala uuror bazelor arodulu M ar B Bs ua dre baze auc ulțea B se va u cobază a lu M Fala uuror cobazelor le vo oa pr B * Aceasă fale posedă propreățle [8]: s B ; s * dacă B B B * ș B B auc B B ș B B ; s 3 dacă B B B * auc peru orcare elee b B esă u elee b B s B \ b ) b Bs îcâ * Luâd î cosderaţe cele eţoae a sus cosaă că fala cobazelor B * defeșe s pe ulțea X u arod î care cobazele arodulu țal M oacă rolul bazelor Aces arod se ueșe arod dual al arodulu M ș se oează pr arodulu dual cocde cu arodul ţal adcă M * ) * M * M Evde dualul Mulțle depedee ș cele depedee ale arodulu M se uesc ulț codepedee ș respecv codepedee î arodul dual * M Dacă M ) r ș r * M * ) su ragurle arozlor M ș * M auc * * r M) r M ) cardx Fe A o afrațe referoare la arodul M Dacă î aceasă afrațe îlocu fecare oțue referoare la arod pr cooțuea respecvă auc obțe o afrațe duală cele țale Pr urare ese adevăraă afrața: 38

39 Prcpul dualăț Dacă o afrațe ese adevăraă peru orce arod auc ș afrața duală ese adevăraă peru orce arod Pord de la defța arodulu î lucrărle [7] [8] se deosrează u șr de propreăț porae care ușor po f ese î baza prcpulu dualăț Prre acese propreăț ețoă: a) o subulțe de eleee ale uu arod ese depedeă dacă ș ua dacă ersecța acesea cu fecare cobază u ese vdă; b) o subulțe de eleee ale uu arod ese codepedeă dacă ș ua dacă ersecța acesea cu fecare bază u ese vdă; c) peru orce ulțe depedeă evdă X Y a arodulu X;E M esă cocclu * * C îcâ Y C ) card ; d) peru orce cclu C ș orce cocclu e) subulțea de eleee X * C ese adevăraă relața: * card C C ) ; Y a uu arod X;E M ese cclu dacă ș ua dacă Y ese ulțea ală dre oae subulțle evde d X ce posedă propreaea: peru orce cocclu * C * card Y C ) Dacă î calae de bază ucă a arodulu X;E M X se alege îsăș ulțea X auc obțe u arod u arod lber sau î uele surse arod dscre) pe ulțea X Marodul dual al acesua se ueșe arod rval [7] Maroz repreză srucur aeace efcee la suderea dferelor propreăț ale grafurlor ș hpergrafurlor Orcăru graf se poae asoca u arod De eeplu dacă ese u graf coe cu vârfur ș uch auc cosru u arod ) X;E M î care ulțea X repreză ulțea de uch ale grafulu Baze ale acesu arod vor f oae subulțle d X care repreză î u arbore parțal Ragul acesu arod ese * r M) ș cocde cu ragul grafulu Coragul arodulu r M) cocde cu uărul ccloac al grafulu Fe B o bază a arodulu M ) Cobaza respecvă B se a ueșe coarbore parțal Aceasa repreză ulțea de uch ce rebue elaă d peru a obțe u arbore parțal O subulțe de eleee d M ) ese codepedeă dacă ș ua dacă elarea uchlor respecve acese ulț d ăreșe uărul de copoee coee ale grafulu 39

40 a se vedea propreaea ețoaă aeror) Asfel ulțle codepedee ale arodulu M ) repreză o ăeură î graful cocclu) ceea ce îseaă că cclurle ș ăeurle uu graf su oțu recproc duale Marodul dual M * ) al arodulu M ) se ueșe arod al ăeurlor grafulu Ușor se verfcă afrața: peru u arbore T arodul M T ) ese lber ar arodul M * T ) ese rval Coplee de splee Vo def a îâ oţuea de sple î spaţul vecoral vo u puce Alege î R pucele a R Eleeele spaţulu le a ar îcâ vecor a a a a a r a să fe lar depedeţ Î coforae cu rezulaele cuoscue î doeu [8] [35] drep sple r -desoal î S r [ a a ar ] R R ese cosderaă ulţea de puce r : a a rar r Vo cove ulţea vdă să se uească sple cu desuea -) [] Pucele a a a S ar r r r se uesc vârfur ale spleulu [ a a ar ] coordoae barcerce ale puculu r S Cofor celor eţoae a sus rezulă că u sple r -desoal ese o ulţe îchsă ş coveă d R Pucul r c S coordoaele barcerce ale cărua su r se ueşe ceru al spleulu r r S Cofor defţe spleulu [] la schbarea cu locurle a pucelor a a obţe acelaş sple a Î spaţul vecoral r S ) R u sple r-desoal poae f erprea ca o îveloare coveă [] a r puce ce u aparţ uu subspaţu cu desuea r ceea ce ar îsea că acesa ese u poledru î subspaţul defeşe oţuea de faţeă: Dacă sple de fora a a ] [ a R Slar poledrelor peru u sple se a ar su vârfurle uu sple a peru care r Faţeele -desoale ale uu sple su vârfur ale acesua Țâd co de aceasă defțe deeră: r a) F S q r S auc orce se ueşe faţeă a lu r S q r )! Cr uărul de faţee cu desuea q a uu sple r- q )! r q)! desoal S r q r ; 4

41 F S r F r r r b) q q S ) uărul uuror faţeelor spleulu r S Vo oa pr T o fale de splee arbrare cu desuea r d spaţul r T S : I r r R r : ude I r ese ulţea dclor spleelor r -desoale d T O asfel de fale T deeră u cople splcal dacă se respecă propreăţle: ) ersecţa orcăror două splee d T ese vdă sau repreză u sple d T; ) dacă S r T auc oae faţeele spleulu r S su eleee ale fale T Desuea aă a spleelor d T se ueşe desue a copleulu ş se oează pr dt Î calae de cel a splu cople splcal cu desuea r r poae serv orce sple r S îpreuă cu oae feţele sale Fe a a ar vârfurle uu sple r S Dacă fă o orde oarecare ale celor r vârfur d r S auc se spue că r S ese u sple orea Nuărul de oreăr posble ale lu r S ese )! r ş cocde cu uărul de peruăr ale prelor r uere aurale Se cosderă că două splee r r r desoale S a a a ] ş S [ a a a ] [ r r su oreae la fel dacă peruarea P r r ese pară [8] [35] Dacă peruarea ese pară auc spleele de oreăr dfere Î aces caz scre r P r S S ude r S ş r S su cosderae P repreză paraea peruăr P Pe ulţea uuror spleelor r -desoale ş oreae ale uu cople splcal K def o fucţe r cu valor îreg ce posedă propreaea: r r r S S r 5) Aceasă fucţe se ueşe laţ r -desoal al copleulu K [35] Foral u laţ r -desoal d K poae f def ca o cobaţe lară de pul r r g A 6) ude r A su spleele r -desoale ale copleulu K ar coefceţ g eleeele uu grup oarecare Se cosderă că doar u uăr f de coefceţ su dferţ de eleeul euru al grupulu ețoa [8] 4

42 Drep laţ -desoal poae f cosderaă orce fucţe cu valor îreg defă pe ulţea de vârfur a copleulu K Sua uuror valorlor fucţe lu K se ueşe dce al laţulu ş se oează pr I calculaă î vâfurle Fără a depue u efor specal cosaă că fala uuror laţurlor r -desoale ale uu cople splcal K forează u grup abela î rapor cu operaţa de aduare defd sua a două laţur ca suă obşuă a fucţlor respecve Fe S r r r S S spleele r -desoale oreae ale copleulu splcal K Laţul r ce preşe valoarea zero peru oae spleele cu ecepţa uu sple r r S se va oa pr îsuș spleul respecv reprezea pr cobaţa lară: r r r r S S S r S Asfel orce laţ Reprezeărle laţulu r -desoal î fora 5) ş 6) su echvalee r S peru care r poae f Î capolul vo vedea că u cople de relaț ul-are poae f erprea ș ca u cople splcal absrac la suderea cărua po f folose uele eode de sudu peru copleele splcale clasce eaae î [8] [35] îsă dferă de ulele după srucură Trasversale Trasversala ese o oțue luaă d eora ulțlor care se regăseșe pracc î oae drecțle de cerceare ale aeac dscree Se foloseșe de aseeea î logcă ș algebra lară Î cazul ue fal F de ulț rasversala T ese o ulțe ouă ce coțe câe u elee d fecare ulțe a fale î cauză Dacă ulțle fale F su dsuce auc fecare elee al rasversale aparțe eac ue ulț d F Î caz corar eleeele d T u uadecâ su dfere [9] [94] Trasversala ue fal fe F forează o bază a așa-uulu arod rasversal ar ulțle depedee ale acesu arod forează o rasversală parțală [34] Defţa rasversale Fe W o fale arbrară de eleee u eapăra fă ar F A A A } o fale de subulț d W O subulțe su sasfăcue urăoarele codț: a) B ; A F A 4 { p B W se ueșe rasversală a fale F dacă

43 b) card A B) peru A F Asfel ese erpreaă oţuea de rasversală î lucrărle [9] [9] Mețoă că rasversala B u ese eapăra elee al fale F Î cazul câd ulțle fale F su dsuce două câe două auc fecăru elee al rasversale î corespude eac o ulțe d F Î caz geeral ulțle A F u su dsuce Aceasa e pue să geeralză oțuea de rasversală [9] îlocud codța b) pr urăoarea: card A B) peru orce ulțe A F Cardalul rasversale e a fale F se oează pr F ) Î cazul câd fala F ș ulțle A su fe pue folos o eodă splă ș efceă de deerare a rasversale lu F elaboraă de căre X Mary care ese bazaă pe ulzarea uor rezulae d algebra booleaă [93] Ba a ul pr aceasă eodă se calculează oae rasversalele fale F ) Fecăru elee d ulțea A F valorle sau ; Cofor eode procedă î odul urăor: A se arbue o varablă ce poae pr ua d ) Peru fecare ulțe A a fale F cosru dsucța varablelor ce repreză eleeele d A ; 3) Foră coucța uuror dsucțlor obțue; 4) Folosd legea dsrbuvă a coucțe î rapor cu dsucța precu ș legle de absorbțe obțe fora orală dsucvă ă Aceasă foră dsucvă ese ucă ar coucțle eleeare respecve repreză rasversalele fale F Eeplu Fe peru ulțea W {3456 } foră fala de subulţ F { A A A3 A4} ude: A 35 A A A Eleeelor ulț-reuue A 3456 W A F 4 4 le pue î corespodeță varablele cosderă că varabla corespude eleeulu d reuuea dcaă 6 După aplcarea pasulu ș 3 al eode descrse a sus obțe: ) & ) & ) & ) 43

44 Procedâd î coforae cu cele descrse î pucul 4 obțe fora oral dsucvă ă: & 3 & 5 & 4 & 5 & & Pr urare peru fala de ulţ F A A A } esă cc rasversale: B 3 B 5 B 4 3 B 5 4 B 6 5 { 3 A4 6 Î coforae cu cele d [93] o fala F A A } { A se ueșe depedeă dacă esă o peruare A A A a ulțlor d F îcâ: A \ A Se cosderă A ) Fala vdă se cosderă depedeă Dacă F ese o fale depedeă auc ș orce subfale d F ese depedeă Evde dacă F u ese depede auc ea coțe cel puț o subulțe depedeă Nuărul a de ulț d F ce forează o subfale depedeă se ueșe rag al fale ș se oează pr F ) Fe F F F p oae subfalle ale care u su depedee ale fale F Vo prv F p drep ulț eleee ale cărora su A A A Foră fala { F F F p} Î aces caz esă o legăură îre oțule de rasversală ș depedeță sudaă î [87]: Subfala ' ese depedeă dacă ș ua dacă copleeara \ repreză o rasversală peru D aceasă afraţe rezulă relața F ) ) Trasversala î hpergrafur Deoarece u hpergraf poae f prv ca o fale de subulț ale ue ulț dae X oțule defe a sus su aplcable ș î cazul hpergrafurlor Asfel rag H ) al uu hpergraf f H X; E ) se ueșe ragul fale uuror uchlor prve drep subulț de vârfur cdee uchlor respecve Cu ale cuve: 44

45 H ) { X E) : E E }) ceea ce îseaă că d uchle ulț E pue cosru o succesue d uch E E E îcâ: X E ) \ X E ) Peru Î [87] se ețoează că o asfel de succesue cu a ul decâ uch u poae f cosruă Fâd câe u vârf î fecare ulțe X E ) \ X E ) foră arcea de cdeță A H ) a hpergrafulu î care prele l corespud vârfurlor alese ar prele coloae uchlor E E E Marcea AH ) va avea urăoarea foră: A H ) a a a a a a 3 3 a 3 45 a a a a 3 a a a a a a 3 a a a a a a 3 Marcea A H ) se ueșe arce -rughulară Deerarea ulț sable ae a uu hpergraf a * H peru care ese cuoscuă arcea de cdeță A precu ș calcularea ragulu ρ H ) se face pr reducerea arce A la arcea A H ) cu auorul uu șr de peruăr ale llor ș coloaelor d A Problea î cauză îș găseșe a ule aplcaț pracce de eeplu la soluțoarea sseelor ar de ecuaț lare Vorbd despre hpergraful H ș dualul acesua acesora Peru ragurle hpergrafulu H ş * [5] ş aue: H) H ) * H pue sabl relața dre ragurle * H are loc o relaţe poraă deosraă î Corecudea afraț poae f ușor deosraă pr aplcarea urăoarelor operaț: a) cosru arcea - rughulară A H ) a hpergrafulu H ; b) î arcea A H ) face peruarea c) î arcea obțuă face peruarea prelor coloae; a prelor l;

46 d) face raspuerea arce obțue Aceasa dură va reprezea arcea - rughulară a hpergrafulu dual * H * Cofor a)-d) rezulă egalaea: H ) H ) Deoarece H H obțe * H) H ) D ulele două egalăţ rezulă egalaea eţoaă a sus * ) * Maroz rasversal Peru a eaa oțuea de arod rasversal vo por de la u graf bpar [5] X X ; U) î care X ș X repreză cele două parț ale ulț de vârfur Peru o subulțe arbrară de vârfur A X def vecăaea acesora b X : a b U A) ) Se cuoașe că fucța : P aa 46 f N ude X P ese fala uuror subulțlor ulț X ar f A) card A)) ese o fucțe oooă seodulară [9] ș f ) Î baza eoree lu Edods cu prvre la fucțle oooe seodulare eaae î lucrarea [8] rezulă că fucța dcaă : P X f ulțea X cu fala uuror ulțlor depedee X N defeșe u arod M f pe P X cosderâd că subulțea A X ese depedeă dacă ș ua dacă cardy f Y ) peru Y A Î arodul cosru ragul subulț A X se calculează: r A) f Y) card A \ Y)) Y A Noă aces arod pr T X / X ; ) Marodul zoorf lu T X / X ; ) se ueşe arod rasversal [9] Slar cu arodul X T X / X ; ) M f def arodul M g X T X / X ; ) folosd fucţa g : PX N ude gb X B P X peru Fe P u cupla î graful bpar X X ; U [76] Noă pr X P ş P subulţle de vârfur d X ş respecv X care su ereăţ ale cuplaulu P O subulţe de vârfur A X se ueşe rasversală parţală î X dacă î graful bpar X X ; U esă u cupla U P îcâ X P A X Trasversala parţală î graful bpar depde de cosrurea ue fucţ specale: subulţea de vârfur A X a uu graf ese rasversală parţală î X dacă ş ua dacă esă o aplcaţe bpar X X ; U ecvă : X A îcâ a a) U peru orce elee a A [9]

47 Prre rezulaele prcpale ce ţ de eseţa rasversalelor parţale îr-u graf bpar u loc apare î reve eoree Holl [] deosraă î aul 935 cofor cărea o subulţe de vârfur X X dacă ş ua dacă peru orce A a uu graf bpar X X ; U ese rasversală parţală î Y A se respecă egalaea: cardy card Y)) D aceasă afraţe rezulă u şr de propreăţ porae ale arozlor rasversal: ) fala rasversalelor parţale î X cocde cu fala ulţlor depedee ale arodulu T X / X ; ) precu ş ale arodulu T X / X ; ) ; ) ragurle arozlor T X / X ; ) ş T X / X ; ) cocd ş su egale cu cardalul cuplaulu a d graful bpar X X ; U ; 3) oae rasferurle aale î X ş î X au acelaş cardal Î acelaş p eţoă că cuplaurle aale ale uu graf bpar u posedă î od oblgaoru o asfel de propreae; 4) îr-u graf bpar X X ; U cardx esă rasversală parţală î X de cardalul dacă ş ua dacă peru orce X cardb cardx card ) ; B 5) peru graful bpar X X ; U B are loc egalaea: esă rasversală î X dacă ş ua dacă peru orce subulţe B X are loc egalaea cardb card B)) rasversala parţală A î X se ueşe rasversală î dacă carda cardx []) Meţoă că X a grafulu X X ; U 3 Meode de sudu ale opologe algebrce Topologa algebrcă TA) repreză o raură a aeac ce se ocupă de suderea spaţlor opologce pr eredul obecelor clasce ş a eodelor caracersce algebre absrace [9] [] ceea ce asgură o ercoeue srâsă îre aeaca couă ş cea dscreă Ea oferă posblaea de a folos odele reprezeae pr srucur aeace uşor percepble peru eaarea propreăţlor opologce ale spaţlor cou Obecul de sudu al TA îl cosue srucurle algebrce ş propreăţle lor ar scopul prcpal se reduce la deerarea varaţlor algebrc folosţ peru clasfcarea spaţlor opologce cu o eacae de oeoorfs Î aceasă drecţe au fos efecuae cerceăr puăoare care se regăsesc î oograf rece apărue [] [] Rezulae aore ce ţ de fudaearea eorecă a TA au fos deerae de roducerea uor srucur algebrce care au codus la dezvolarea drecţlor porae de cerceare ce se afesă pr: 47

48 Cosrurea grupurlor de ooope care se folosesc î od specal peru clasfcarea spaţlor opologce Iuv grupurle de ooope oferă foraţe cu prvre la fora de bază sau găurle spaţulu respecv Cel a splu grup de ooope ar f grupul fudaeal care oferă foraţe referoare la buclele spaţulu opologc Cosrurea oologlor care repreză o procedură geerală de asocere a uu şr de grupur abelee ue varaţ algebrc cu u obec aeac pr eredul cărua se face sudul spaţulu opologc Cosrurea cooologlor care repreză u sudu absrac al colaţurlor cocclurlor ş cofroerelor Cosrurea cooologlor poae f cosderaă drep o procedură duală cele de cosrure a oologlor ş repreză o eodă de arbure uu spaţu opologc a varaţlor algebrc de o srucură a fă decâ varaţ obţuţ pr cosrurea oologlor Cosrurea vareăţlor Vareaea repreză u spaţu opologc cood peru eaare d aue cosderee care posedă propreaea: peru orce puc esă o vecăae oeoorfă cu spaţul euclda -desoal Cosrurea copleelor Î opologa algebrcă copleele repreză spaţ opologce cu o srucură specfcă D aces puc de vedere u rol prordal î reve copleulu splcal [9] pe care u-l vo cofuda cu copleul splcal absrac eaa î couare a se vedea capolul ) Rezulaele cerceărlor ce ț de suderea srucurlor ețoae au fos epuse îr-u șr de lucrăr șțfce porae ar prre cele apărue î ul a po f ețoae lucrărle [] [3] [4] [37] Ițal TA era cooscuă sub deurea de opologe cobaore ceea ce îseaă că cerceărle se efecuau î baza uu spațu X de o srucură a splă Î peroada alor 9-94 s-a pus a ul acceul pe eaarea spațlor opologce pr căuarea ue corespodețe dre acesea ș grupurle algebrce Aceasă suațe ș a deera îr-u fal deurea acuală de opologe algebrcă Touş deurea de opologe cobaore se a îrebuțează ueor peru a acceua caracerul algorc î cerceare baza pe deea de descopuere a spațulu Pr aspecul algebrc al cerceărlor d doeul TA se sableșe o corespodeță dre spaț ș grupur respecâd relața de oeoorfs al spațlor Suața respecvă pere forularea rezulaelor cu prvre la propreățle spațlor opologce î ere grupurlor ceea ce faclează ehca deosrațlor Î aceasă orde de de se evdețază două că posble de dezvolare a TA: folosrea eore ooope sau cosrurea grupurlor de oolog ș 48

49 cooolog rupurle de oolog ș cooolog su grupur abelee ș precu s-a adever repreză u srue efce de cerceare Asfel grupur vor f cosrue ş peru copleul de relaţ ul-are î capolul Î prezea lucrare su descrse rezulaele fudaeale ce ț de dezvolarea eorecă a opologe algebrce a relațlor ul-are pord de la defrea ș suderea ue srucur dscree o uă cople de relaț ul-are Isrueul de lucru folos su grupurle de oolog ș cooolog aâ î cazul copleulu de relaț câ ș î cazul dervaelor acesua Rezulaele eorece obțue au fos pulsoae î are ăsură de îcercărle a a ulor aeace d auraul școl doulu Acadeca Peru Sola de a soluțoa u șr de problee porae d puc de vedere pracc sau de a geeralza uele eode elaborae de e peru problee î spaț cu desu c Suderea acesor problee poreșe de la locul alor 6 a secolulu recu ar obțerea uor rezulae fudaeale î ce prveșe geeralzarea eodelor de soluțoare a acesora era îgreuaă de eodologa de cerceare folosă î peroada respecvă Cerceărle uleroare au codus la dobâdrea uor geeralzăr o î opologa algebrcă absracă care copleează subsațal doeul grafurlor hpergrafurlor copleelor splcale ec Prele rezulae î aceasă drecțe au fos îregsrae la îcepuul alor ș au fos descrse î lucrărle [8] [58] [4] [44]-[46] care ș-au găs uleror couae î dverse geeralzăr ș aplcaț [7] [9] [] [9] [54] [58] [59] [8] Rezulaele prcpale d eză au fos publcae î oografa Topologa algebrcă a relațlor ul-are [95] care ese o lucrare egră ce țe de fudaearea eorecă a drecț de cerceare deeraă de copleul de relaț ul-are Pord de la cosrurea grupurlor de oolog drece ș cooolog pese grupul adv al uerelor îreg Z se sudază propreăţle opologce ale copleulu se geeralzează u șr de eoree forulae ş deosrae î cazul uor srucur dscree clasce cu ar f grafurle hpergrafurle aroz ec E de eţoa fapul că acese cerceăr au codus la obțerea uor rezulae eașepae cu perspecve proțăoare î elaborarea eodelor orgale de soluțoare a probleelor pracce Asfel a deve posblă rezolvarea uor problee a vech prre care î od specal pue ețoa problea calculăr edae uu cople absrac de cubur absrace D cele descrse î capolul I rezulă că la baza srucurlor aeace dscree se află o eore be fudaeaă oreaă spre ulzarea uor eode avasae de cerceare Aceasa crează prezele folosr srucurlor respecve î calae de odele peru soluţoarea dverselor problee cu caracer eoreco-aplcav Luâd î cosderaţe elaborărle eorece d doeul eore grafurlor a hpergrafurlor a arozlor copleelor splceale precu 49

50 ş eodele accesble de soluţoare a probleelor aplcave pr eredul eze de docor habla se propue eaarea urăoare problee şţfce: Elaborarea ue srucur aeace deerae de o fale de relaţ ul-are ş folose la odelarea proceselor cu acţue dscreă care a codus la obţerea eodelor efcee peru ulzarea uleroară a acesora la soluţoarea problee de calculare a edae poderae fără a folos erca spaţulu a problee de coporae a ucăorlor îr-u oc cobaoral ec Î legăură cu problea forulaă se urăreşe scopul elaborăr ue srucur aeace dscree care ar serv drep odel efce peru soluţoarea probleelor de localzare precu ş ale alor problee porae d puc de vedere eoreco-aplcav care se cadrează î sseul de sudu propus Î coforae cu scopul euţa au fos sable obecvele cerceăr: - elaborarea uu odel aeac dscre ou baza pe oţuea de relaţe ul-ară ca subulţe a produsulu careza a ue ulţ de eleee arbrare; - eaarea opologe relaţlor ul-are pr cosrurea grupurlor de oolog ş cooolog a copleulu de relaţ ul-are; - eaarea copleulu de cubur absrace î calae de caz specal al copleulu de relaţ ul-are ş a vareăţlor absrace respecve; - elaborarea algorulu efce peru soluţoarea problee edae pe copleul de cubur absrace; - geeralzarea fucţe rudy ş soluţoarea uor ocur cobaorale pe coplee de relaţ ul-are 4 Cocluz la capolul Î capolul I a fos realzaă o aalză succă a suaţe acuale î doeul dezvolăr srucurlor aeace dscree ş folosr acesora peru soluţoarea probleelor de ord eoreco-aplcav A fos forulaă problea şţfcă care se propue a f eaaă î eză Reeşd d problea forulaă au fos deerae scopul ş obecvele de cerceare Î aces capol su descrse rezulaele prcpale cu referre la srucurle dscree clasce reprezeae pr grafur hpergrafur aroz coplee splceale su eaează eode de soluţoare a probleelor caracersce doelor î cauză Ese eţoa aporul a a ulor aeace la dezvolarea cerceărlor legae de suderea srucurlor aeace dscree Î od specal se eţoează rolul î dezvolarea eorlor respecve pe care l-au avu Leoard Euler Wlla Halo Jaes Joseph Sylveser Arhur Cayley Claude Berge 5

51 eorge Davd Brhoff Î baza aalze suaţe î doeul dezvolăr eoreco-aplcave a srucurlor aerace dscree pue face urăoarele cocluz: Î doeul srucurlor aeace dscree a fos elaboraă o puercă bază eorecă ecesară peru couarea cerceărlor î legăură cu ecesaea soluţoăr peobleelor eoreco-aplcave; Srucurle dscree eaae po f prve ca fal de relaţ cu propreăţ specale defe pe eleeele ue ulţ Aceasă suaţe crează prezele elaborăr ue srucur aeace dscree o care ar îsua î se propreăţle srucurlor cuoscue ş care ar ofer posblăţ o peru soluţoarea probleelor; 3 Peru srucurle aeace reprezeae sub fora de grafur sau hpergrafur se cuoaşe aspecul aplcav al eore care se reduce la u se are de algor de soluţoare a probleelor pracce bazaţ pe eode efcee Toodaă ulzarea acesor srucur î uele cazur deve dfclă daoră copleăţ probleelor eaae e vorba de probleele NP-coplee); 4 La soluţoarea uor problee pe srucurle dscree eaae po f folose eode ale opologe algebrce ceea ce oferă posblăţ supleare î vederea deerăr uor eode efcee î cazul probleelor porae char dacă acesea su d caegora probleelor dfcle; 5 Apare ecesaea elaborăr ş suder uor o cocepe de srucur dscree capable să rezolve î od efce problee aplcave ce ţ de aplasarea uor cere de deservre rasere ş recepţoare a uor volue ar de foraţe suderea coporăr ucăorlor î ocur aagose ec 5

52 RELAȚII MULTI-ARE ȘI RUPURI DE OMOLOII ABSTRACTE Topologa relaţlor ul-are desgur ţe de cea algebrcă [3] [56] [6] [6] îsă repreză o raură a acesea care ese a accesblă decâ eaărle odere îal absraczae ş pur eorece Rezulaele epuse î couare repreză rodul vesgaţle efecuae pe parcursul a crca zece a căuâd u ua aspece de ord pracc dar ș aplcaţ orvale ş doar obţâdu-le s-a reuş fudaearea eorecă a drecţe de cerceare legaă de suderea ue srucur aeace dscree o Îcepuul a por de la copleul de relaţ ul-are peru care coregul de eleee al ue asfel de relaţ u perea repearea eleeelor [8] [58] Acel cople ese u cople celular absrac îsă cel suda î couare ese a operabl Defrea relaţlor ul-are pe produsul careza al ue ulţ de eleee X pere geeralzarea uor rezulae aeroare [58] ş ese a frească d puc de vedere eorecoaplcav Noţuea de cople geeralza de relaţ ul-are asupra ue ulţ arbrare de eleee a fos peru pra daă prezeaă î lucrarea [7] cosrud uleror grupurle de oolog pese grupul uerelor îreg Aces cople geeralzează a ule oţu clasce prre care ş oţuea de graf orea ş f def cu auorul relaţlor bare [5] îsă lps de bucle chesue care precu deosrează aplcaţle cdecu u poae f eglaă [3] Copleul def î lucrarea [58] ese o srucură dscreă fă ş fără bucle care ecesă eaăr supleare la suderea ş soluţoarea uor problee aâ eorece câ ş pracce Respecva srucură aeacă posedă u şr de propreăţ ce ţ de obecul de sudu al geoere cobaorce dscree [37] D acese cosderee ar f fresc pe de o pare de suda pacul opologe relaţlor ul-are asupra acelor obece de cerceare ude suaţa eţoaă poae f erpreaă buăoară cu auorul urăoarelor fal de obece: a) sseul de quasgrupur cu operaţ algebrce; b) sseul de grupur cu eleee depedee ş cu o sgură operaţe algebrcă [64] c) sseul de ulţ uaţae [47] ec Ma eac ar f curos de suda ce ar prezea o vareae absracă uldesoală oreablă ş fără bordur [5] deeraă de obecele eţoae Pe de ală pare pr eredul relaţlor ul-are ar puea f odelae ş sudae ulple procese dr-u şr de doe aplcave De eeplu forula ape O H poae f erpreaă ca u elee dr-o relaţe erară { H H O)} care u se îcadrează î copleul obșu de relaţ ul-are: î rpleul { H H O)} se repeă eleeul H a se vedea [58]) Toae cele spuse a sus coduc la 5

53 ecesaea eder oţu de cople de relaţ ul-are eaa țal î lucrărle [8] [58] [45] pr roducerea oţu de cople de relaţ ul-are a geeral Î aces caz orce forulă d che poae f erpreaă ca u cople geeralza de relaţ ul-are [5] Su ş ale chesu la care se referă aces cople Acpâd epuerea eaărlor repeă că aces obec î fora lu absracă coduce la aplcăr orvale î procesul de rasere ş recepare a foraţe [9] [53] î forarea ue baze de dae fe orcâ de are [3] [56] î crpografe [5] [67] [8] ş la dcarea ue clase de grafur eleeele cărea po f scufudae î scheleul -desoal al cubulu uldesoal d R spaţul vecoral -desoal cu ora ) pe câd aceasa d ură chesue pere a prezea u algor de calculare a edae pucul lu Torcell) grafurlor arcae ş poderae fără a ulza erca spaţulu respecv [59] [6] Copleul de relaţ ul-are Fe dae o ulţe fă de eleee X } care ese o subulţe dr-o { r ulţe M cardm ude M u ese clasă ş şrul + X = X X X de produse carezee [4] [4] a ulţ X Orce subulţe evdă R X se ueşe relaţe -ară a eleeelor d X ulţea R X repreză o subulţe de eleee d X ) [39] Luâd î cosderaţe cele spuse o relaţe -ară R ese o fale de succesu ordoae ue coreg forae d a câe eleee d X Coregul ) R poae să coţă ş repeăr ale uor eleee d X Peru u asfel de coregu orce subcoregu ) l ) se ueşe subcoregu eredar l ce păsrează ordea eleeelor d Defţa Fala fă de relaţ { R R R } care sasface codţle: I R X X II R III orce subşr eredar ) l d l ) R aparţe relaţe l -are l R se ueşe cople geeralza -cople) de relaţ ul-are ş se oează: R R R ) 53

54 D defţa rezulă că ulţea vdă peru orce + Eleeele relațe cele ale relațe R uch R a copleulu geeralza de relaţ u ese R vo obșu să le a u vârfur ar pe Suderea copleulu geeralza de relaţ ul-are preză eres pr fapul că acesa acoperă u şr de oţu clasce precu ar f grafurle [5] [] [3] hpergrafurle [5] [6] [7] aroz [9] [] [66] copleele splceale [5] [35] ec char dacă acesa poae f erprea ca u caz parcular al copleulu celular [3] absrac CW) Acese srucur aeace servesc drep odele efcee peru soluţoarea uu şr de problee eorece ş aplcave [8] [9] [43] [46] [5] [53] Se cere de eţoa că aces obec prorae faţă de cele eţoae Asfel faţă de copleul celular CW) acesa ese fora d cărăz eleeare poae cu deforăr ozoorfe precu su quaspleele absrace aşauele bucle f desoale; a se vedea a os) Să cosderă copleul geeralza de relaţ R ; R ) Ese evde că u asfel de cople repreză u graf orea [] [] [3] a se vedea defţa ) Aceasă suaţe pere să cosderă copleul geeralza de relaţ drep u hpergraf orea ş eredar cofor lu CBerge [6]) oţue îâlă a rar î leraura de specalae ş care repreză o srucură dscă de oţuea cuoscuă de hpergraf [5] [6] [45] [7] Vo descre î couare o procedură care pere să obţe oţuea de hpergraf î foră de cople geeralza ş aşa-zsele cclur ale hpergrafulu îr-o foră a frească decâ cea cuoscuă pord de la oţuea de hpergraf orea [65] rasfora îr-u cople de splee absrace Defţa Dacă ave două -coplee de relaţ ul-are R R R ) are ş R R R ) l l îcâ au loc relaţle R R peru orce l l auc se ueşe -subcople al lu Î cazul câd R R R R R ) auc subcopleul R ş se oează pr s ) se ueşe schele al lu Observă că scheleul -desoal s ) al orcăru -cople de relaţ ul-are ese u graf orea [6] Aces cople poae f reprezea pr perechea X; R ) deeraă de ulţea de vârfur X ş relaţa bară 54 R care poae coţe ş eleee de pul ) ue bucle [5] [45] [3]chesue cu care î relaţ de ord a are decâ do e vo cofrua uleror Acesea oacă u rol pora la clasfcarea vareățlor eaae î paragraful 4 al eze

55 Fe î copleul R R R ) su fae două eleee dsce R Defţa 3 Şrul ordoa posedă propreăţle: ) r ; r s r r rs al eleeelor dsce d R ce ) r r R s se ueşe laţ lar cu desuea ce leagă eleeele R fd oa pr l ) Copleul de relaţ ul-are se ueşe -coe dacă peru orcare două eleee R esă laţ lar -desoal ) l Î cazul copleul se va u cople slab coe sau splu cople coe Î cazul copleul se va u cople coe fore Teorea Dacă ese u cople -coe auc acesa ese ş -coe Deosraţe Peru a deosra afraţa e sufce de arăa că dacă î copleul peru eleeele dsce p R esă laţ -desoal p ) l auc pue cosru ş u laţ ) -desoal l ) p Fe l ) r r r ) u asfel de p s laţ ce respecă codţle: r r r r r r q peru s eleeele r ş r esă cofor defțe 3) Î baza defţe q copleulu geeralza de relaţ ul-are a se vedea defţa ) î eleee esă şrul de r r r ce aparţ lu r cu propreaea r r R q Î cazul esă şrul q a) r p r r cu propreăţle: r q b) r r r r q ar î cazul s esă şrul r r r cu propreăţle: s s s q a) r r r r s s s b) r s s q 55

56 Asfel cosru şrul r r r r r r q q s rs rs q care ese laţ cu desuea ) ce leagă eleeele p R Dec ese -coe Defţa 4 -copleul de relaţ ul-are R R R ) se ueşe coe dacă peru orcare două eleee R esă şrul s de eleee d R îcâ cel puţ ua dre perechle ) ş ) r r r r aparţe relaţe peru orce valoare a lu r s Şrul de perech ) ) ) se 3 s s R ueşe laţ lar cu desuea uu ce leagă eleeele uesc ereăţ ale acesu laţ ş ar îşş se Noă laţul -desoal ce leagă eleeele ş recurge ş la reprezearea algebrcă a acesua pr L ) Î vor vo Defţa 5 Dacă su dae două -coplee de relaţ ul-are R R R ) ş R R R ) auc se ueşe reuue ar R R R R R R se ueşe ersecţe a acesor -coplee R R R R Cofor [4] [4] lese se verfcă că aâ reuuea câ ş ersecţa a două -coplee de relaţ ul-are su de aseeea -coplee de relaţ ul-are Dacă î cazul uu -cople de relaţ ul-are R R R ) are loc egalaea R ş pr urare R R auc ) ) se ueşe cople vd Două -coplee de relaţ ul-are ersecţa cărora ese vdă se uesc dsuce Teorea -copleul de relaţ ul-are coţe două -subcoplee ovde de relaţ ul-are sasfac egalaea: ese coe dacă ş ua dacă u ş care su dsuce ş Deosraţe Necesaea Fe R R R ) u -cople coe de relaţ ul-are ş u elee arbrar R X Vo oa pr R ulţea uuror eleeelor d X peru care esă cel puţ u laţ L ) ce leagă fecare dre eleeele dcae 56

57 cu R X Cosaă că dacă u elee de eeplu al şrulu ordoa ) R ese d ulţea R auc ş orce al elee al acesu şr ese d R Î aşa od foră -subcopleul de relaţ ul-are R R R ) îcâ orce succesue de eleee ) d R coţe u elee peru care esă laţul cu desuea uu L ) ce leagă eleeele ș Cosru al dolea -subcople de relaţ R R R ) d peru care R R \ R R Su evdee egalăţle: R R deoarece î caz corar obţe coradcţe cu coeaea copleulu Pr urare ese vd Îrucâ eleeul X a fos ales î od arbrar rezulă că î -subcoplee ovde ş dsuce precu ese dca î eoreă u esă două Sufceţa Fe u coţe două -subcoplee de relaţ ul-are ovde ş dsuce ş care sasfac codţa d eoreă ş ouş u ese coe Î od slar celor descrse î pra pare a deosraţe eoree cosru -subcopleele ovde ş dsuce eoree ş îcâ Rearca Să fă acu u elee arbrar uuror eleeelor Aceasa d ură corazce codţa X Vo oa pr X subulţea X clusv peru care esă cel puţ u laţ L ) î R Peru X cosru şrul de produse carezee: X X X X ude X X X ş foră ulţle: R X R Fe valoarea aă a dcelu peru care ese sasfăcuă relaţa R Uşor e pue covge că ulţle de relaţ 57 R R R sasfac codţle I-III d defţa ş pr urare aceasă fale repreză u cople geeralza de relaţ ulare Defţa 6 -copleul de relaţ ul-are R R R ) se ueşe copoeă coeă a copleulu

58 De fap orce elee R deeră î aceeaş copoeă coeă Pr urare dcele d oaţa poae f os ş auc copoea coeă o vo oa splu pr Evde adcă ese u -subcople al lu q Teorea 3 Dacă { } repreză fala uuror copoeelor coee ş dsce două câe două ale -copleulu ude auc se verfcă relaţle: q R R R R ) R R peru orce ; = q Deosraţe Ţâd co de odul de cosrure a copoee coee ce coţe u elee da X rezulă că are loc cluderea: Toodaă deoarece copoeele coee su la râdul lor şe -subcoplee de relaţ ul-are ale lu obțe: q q D acese două relaţ rezulă egalaea ) Să presupue acu că esă două copoee coee adevăraă relaţa ş îcâ ese Î aces caz cosaă că peru orce elee R ş orce elee y R î esă u laţ L y) Pr urare ş vers Dec Obţe coradcţe cu codţle eoree Aceasa îseaă că presupuerea falsă ese Defţa 7 Copleul geeralza de relaţ ul-are R R R ) se ueşe local cople dacă peru orce ş orce coregu ) R relaţa R coţe ş oae coregle ce corespud celor! peruăr ale eleeelor Drep eeplu de cople geeralza -cople) de relaţ ul-are local cople serveşe orce graf orea ş serc [4] [45] U asfel de graf prv ca -cople de relaţ îl vo oa pr R R ) ude R ese o relaţe bară ş sercă defă pe ulţea de eleee d R rafurle oreae de pul R R ) au fos eaae de căre aeacaul fracez C Ber î lucrărle [5] [3]) De aseeea u -cople de relaţ 58

59 ul-are local cople poae f cosdera -cople cosru pe fala produselor carezee a ulţ X adcă: X X X X Urărd scopul declara î lul lucrăr pr aaloge cu cele cuoscue d leraura clască î doeul opologe cobaorce ş algebre opologce [] [8] [7] [39] [5] [5] [56] [63] [7] [3] [3] [33] [35] vo folos î couare ş ale oaţ ş oţu echvalee celor eţoae î cazul copleulu de relaţ ul-are ş propreăţle acesua care preză eres sub aspec aplcav ) Arbor Noţuea de arbore cuoscuă î eora grafurlor ca graf coe ce u coţe cclur u poae f esă ş asupra copleulu de relaţ ul-are d cauza srucur acesua Î aces paragraf vo geeralza oţuea de arbore pord de la urăoarea caracerscă: u graf eorea ese arbore dacă ş ua dacă orce subgraf al său coţe cel puţ u vârf de grad uu U cople geeralza -desoal de relaţ ul-are { R R R } poae f prv ca o fale de coreg cu lugea l l cu propreăţle caracersce uu cople ețoae î defţa Def î od radțoal pe fala de coreg percepue oodaă ș ca ulț de eleee operaţle de reuue ersecţe cluzue ş dfereţă oae respecv pr ş \ Asfel peru coregle c ) c ) c ) prve ca eleee ale copleulu de relaț ul-re î rezulaul aplcăr operațlor ețoae obțe: c c ) c c ) c3 c c \ c Vo spue că u coregu îcâ c c Defţa Coregul c ese aal dacă î ˆ c ce posedă propreăţle: u esă u al coregu c ) cˆ ese coregu aal î ; ) î cˆ esă u subcoregu c îcâ peru orce coregu aal c d are loc relaţa c cˆ c ; 59

60 3) î esă coregu aal ~c c ~ cˆ cu propreaea c ~ cˆ c se ueşe coregu suspeda al copleulu peru ĉ ş se oează pr c ~ ˆ c ) Coregul c ~ se ueşe coregu supor D defţe rezulă că u coregu suspeda ĉ coţe cel puţ două eleee d X Eleeul X vârf suspeda care aparţe doar uu coregu aal al copleulu se ueşe Cosecța Orce coregu suspeda d coţe cel puţ u vârf suspeda U coregu suspeda ˆ c poae avea a ule suporur chesue ce rezulă d fapul că coregul respecv coțe cel puț două eleee El va avea doar u sgur supor dacă e fora eac d două eleee Noă pr S cˆ ) ulțea uuror suporurlor coregulu ˆc Teorea Dacă ĉ ese u coregu suspeda d auc î cˆ esă u elee d X ce u aparţe alor coreg aale d copleul Deosraţe Fe cˆ ) u coregu suspeda d ş orce elee d ĉ a aparţe îcă cel puţ uu coregu aal c ĉ Cofor codţe d defţa are loc relaţa c ş peru orce coregu supor c ~ ˆ) c Sˆ) c ave: c ~ ˆ) c cˆ c Aceasa d ură coduce la coradcţe cu fapul că cˆ ) ese coregu aal î a se vedea codţa d defţa ) Defţa Copleul de relaţ ul-are { R R R } se ueşe arbore dacă orce subcople al său coţe cel puţ u coregu suspeda Teorea Dacă copleul de relaț { R R R } ese arbore cu cel puţ două coreg aale dsce auc coţe cel puţ două coreg suspedae Deosraţe Noă pr fala uuror coreglor aale d R ş def pe aceasă fale fucţa : N ude c ese egal cu uărul de eleee d ce forează şrul c c c c c c 6 c q q cu propreaea c Uşor se verfcă că fucţa posedă propreăţle erc: c q a) c c ) card ş ) dacă ş ua dacă c c ; b) c c ) c c ) peru orcare două eleee c ; c) c c ) c c ) c c ) peru orcare re eleee c c cs d s s c

61 Asfel pr fucţa : N se defeşe dsaţa dre coregle aale ale copleulu Nuărul q repreză dsaţa dre eleeele c c Alege î două coreg c ş c ce se află la dsaţă aă Eaă şrul c c c c c ) ) ) ude ) repreză cardalul acoperr e cu vârfur peru ar 6 c q Cofor celor eţoae obţe egalaea: q c c peru orce q q Să presupue că cel puţ uul dre coregle c c de eeplu c u ese coregu suspeda î Auc î esă cel puţ îcă u coregu c dfer de cele dcae aeror Deoarece c c su coreg la dsaţă aă rezulă că dsaţa îre c ş c ese deeraă de u al şr de coreg c c c c s s s r cs c 3) r Î acese codţ reuuea şrurrlor ) ş 3) coţe o subulţe care forează u cclu ş fecare coregu î aces cclu u ese coregu suspeda Ba a ul subcopleul de relaţ deera de u coţe coreg suspedae Aceasa ve î coradcţe cu fapul că ese arbore cea ce deosrează afrața eoree Peru copleele de relaţ ul-are are loc o geeralzare a eoree Kög care a a fos sudaă ş peru ale srucur dscree [8]-[] Iporaţa acesu rezula ese deeraă î prul râd de aplcaţle la soluţoarea ulplelor problee cu ar f problea cuplaulu ș acoperr cu vârfur peru grafurle bpare [38] [39] Defţa 3 Subulţea dacă orce coregu aal A R forează o acoperre cu vârfur a copleulu c coţe cel puţ u elee d A Acoperrea se ueşe ală dacă aceasa u coţe o ală acoperre cu vârfur a copleulu ă dacă coţe cel a c uăr de vârfur prre oae acoperrle d acoperr e a copleulu se va oa pr ) ş se ueşe Cardalul Defţa 4 Subulţea ce posedă propreaea c c peru orcare două coreg aale c c se ueşe er sablă Mulţea er sablă se ueşe aală dacă aceasa u se coţe îr-o auă ulţe er sablă ş se ueşe ulţe er sablă aă dacă ea coţe u uăr a de coreg d Cardalul ulţ er sable ae a copleulu se va oa pr ) Î cele ce urează ulțea er sablă o vo u ș ulțe de coreg depedee Cofor eoree lu Kög dacă ese u graf bpar auc are loc egalaea:

62 ) ese uărul a de uch depedee ulţea respecvă de uch se a ueşe cupla a al grafulu bpar [45] [3] [3]) Teorea lu Kög poae f forulaă ș î cazul copleelor de relaţ ul-are câd acessea su arbor cu o propreăț specale Vo def a îâ oțuea de sablae Defţa 5 Copleul de relaţ ul-are acoperle ale d Fe c u coregu aal d coț acelaș uăr de eleee Vo oa pr \ c se ueşe -sabl dacă oae subcopleul ce se obţe d la elarea coregulu c ş a uuror coreglor eredare ale acesua Meţoă că î caz geeral copleul \ c ar puea să u a fe cople de relaţ de aceeaş desue cu copleul Desgur pord de la defța copleulu de relaț ul-are a se vedea defța ) vo țe co de fapul că acele eleee ale coregulu c care su ș eleee ale alor coreg aale d se păsrează î copleul \ c Celelale eleee d c se elă odaă cu elarea coregulu propru-zs Lea Dacă c ~ ˆ c ) ese coregul supor al uu coregu suspeda ĉ al copleulu -sabl de relaț ul-are auc su adevărae urăoarele afraț: \ cˆ) ) dacă î esă acoperre coţe vârf suspeda d cˆ ) î caz corar ă ce \ ~ ˆ)) c c ) Deosrațe Cofor defțe 3 î orce cople de relaț ul-are esă acoperre cu vârfur Pr urare esă aâ acoperr ale câ ş e Deoarece ese cople -sabl orce acoperre ală ese ș ă Fe ) ar A o acoperre ă cu vârfur î ) Uşor se verfcă afraţa: peru orce coregu aal ĉ d are loc egalaea: 6 \ cˆ) ) 4) Corecudea afrațe rezulă d fapul că dacă îr-u cople de relaț ul-are cuoașe o acoperre de vârfur B ș u coregu aal ĉ auc la elarea d B a vârfurlor suspedae d ĉ dacă acesea d ură esă obțe o ulțe ouă ce forează acoperre de vârfur peru \ cˆ Observă că dacă B ese acoperre ă ș coțe vârf suspeda d ĉ auc ea u a coțe ș ale vărfur d ĉ Să rece la deosrarea celor două afraț ale lee

63 ) Evde peru copleul \ cˆ are loc egalaea: \ cˆ) 5) Îr-adevăr dacă ade corarul auc î \ cˆ esă o acoperre cu vârfur de cardal cel ul - Adăugâd la aceasă ulțe u vârf suspeda d ĉ eseța cărua ese garaaă de eorea obțe acoperre cu vârfur peru care coțe cel ul eleee Aceasa corazce fapul că ) Pr urare țâd co de relațle 4) ș 5) peru \ cˆ se respecă ua dre relațle: a) \ cˆ) ) b) \ cˆ) ) a) Să ade că A ese acoperrea ă cu vârfur î suspeda rezulă că ulțea Aceasa plcă relața: 63 cˆ Deoarece u acoperă ale coreg aale d fapul că card A \ \ cˆ care coțe u vârf decâ coregul ĉ A \ ese o acoperre cu vârfur peru \ cˆ Auc țâd co de ș î baza relațe 5) obțe egalaea b) Să presupue ouș că î orce acoperre ă A u coțe vârfur suspedae d ĉ Dacă A răâe acoperre ă ș peru \ cˆ \ cˆ auc egalaea ese deosraă Dacă A ese o acoperre cu vârfur peru \ cˆ îsă u ș ă auc î \ cˆ esă o acoperre B cardalul cărea ese țe co de relața 5)) Alege u vârf suspeda cˆ Evde ulțea B forează o acoperre peru ș card B ă cu vârfur peru Deoarece ve î coradcțe cu presupuerea oasră rezulă că B ese acoperre chesue evdeă î vruea defțlor respecve Aceasa D cele două cazur eaae a) ş b) rezulă afrața lee cu prvre la valoarea lu \ cˆ) pra afraţe a lee ) Fe A acoperrea ă a copleulu foreazîă acoperre ală de vârfur Î cˆ Î rolul lu A poae f orce ulțe ce cˆ carda \ c~ Î baza relațe 4) are loc egalaea: \ c~ esă acoperre ă A Dec carda carda Acoperrea cu vârfur A coțe cel puț u vârf y d ĉ Dacă forează acoperre cu vârfur ș peru y cˆ c ~ cˆ auc A

64 carda carda Dacă y ese vârf suspeda al coregulu ĉ î copleul vârf z cˆ c ~ cˆ auc îlocu aces vârf cu u eseța cărua rezulă d defțle coregulu suspeda ĉ ș a coregulusupor c ~ cˆ Ca rezula peru \ c~ cˆ obțe o acoperre cu vârfur B A y z care ese acoperre cu vârfur ș peru a sus obțe: \ D aceleaș cosderee ca ș î cazul eaa carda cardb carda ~ ese adevăraă egalaea: Pr urare î cazul uu coregu supor c cˆ ~ \ ccˆ Vo sabl î couare o relațe poraă ce leagă cele două uere defe aeror peru u cople -sabl Teorea 3 Dacă copleul de relaț ul-are adevăraă egalaea: Deosrațe Fe uuror coreglor aale d ese arbore ș ducțe aeace î rapor cu cardalul lu ese arbore -sabl auc ese Noă pr c c fala c r Vo deosra afrața eoree folosd eoda Ușor se verfcă că î cazul r afrața eoree ese adevăraă Fe card r 3 Deoarece ese arbore cofor eoree acesa coțe u coregu suspeda ĉ Cofor defțe peru ĉ esă coregul supor c ~ cˆ Î baza lee are loc egalaea: Cofor ducțe peru \ c~ cˆ \ c~ are loc egalaea: cˆ \ c~ cˆ \ c~ cˆ cˆ ceea ce îseaă că î \ c~ esă coreg aale depedee Evde acese coreg forează o ulțe er sablă ș î Să deosră că î Pr urare: 6) are loc ș egalaea versă Fe A acoperrea ă cu vârfur a arborelu Î esă o subulțe care ese ulțe aă er sablă peru adcă: card 64 '

65 Deoarece fecare dre coregle fale coțe cel puț u elee d A rezulă egalaea: D relațle 3) ș 7) obțe afrața d eoreă: 7) Teorea 4 Peru u cople de relaț ul-are sabl * aă er sablă c c ) dacă d ulţea ) dacă * ; c su adevărae afrațle: cu ulțea auc orce vârf al copleulu aparțe eac uu coregu ese arbore auc orce ulțe aală er sablă B cu propreaea cardb coțe oae coregle suspedae d 3) dacă ; ese arbore auc orce ulțe aală er sablă B cu propreaea cardb u coțe c u coregu supor d 4) dacă d ese arbore -sabl ș c cˆ auc copleul \ ccˆ ; ~ ese coregu supor al coregulu suspeda ĉ ~ ese de aseeea sabl * Deosrațe Ma îâ ețoă că deoarece c c aă er sablă are loc egalaea: card * c ese o ulțe Î baza codțe obţe egalaea card * ar daoră fapulu că ese u cople -sabl rezulă că orce acoperre ală cu vârfur î coțe eleee Peru a deosra pra afrațe a eoree 4 vo presupue corarul Alege u vârf arbrar al copleulu ș ade că c u coregu d * u-l coțe pe Pra afrațe ar a îsea că fala respecvă de coreg coțe oae vârfurle) Î acese codț deosră a îâ că î esă acoperre ală cu vârfur care coțe vârful Fe fala uuror coreglor aale d defța copleul Țâd co de ese deera î od uvoc de Noă pr c coregul aal d ce-l coțe pe ar pr c c c c c c p acele coreg d care au ersecțe evdă cu c p card Cosru o fale ouă de coreg aale care se 65

66 obțe d pr elarea coregulu c ș îlocurea coreglor c pr coregle c ' c c c \ c c p ' Evde c c o aale Dec card card Noă pr relaț deera de 66 p îsă u oae vor f coreg fala uuror coreglor aale d ar pr Fe A ulțea ală de vârfur d copleul de care forează o acoperre a uuror coreglor d Asfel vor f acopere oae coregle aale dar ș acele coreg d care u su aale îsă au fos obțue d c operața ețoaă a sus Î copleul țal aale cu ecepța lu acoperre Forâd ulțea copleulu c p pr ulțea A acoperă oae coregle c Aceasa rezulă d cele eaae ș defța oțu de A A obțe o acoperre ală cu vârfur a Fe A acoperrea ală ce coțe vârful Aceasă ulțe coțe cel puț câe u vârf d fecare coregu d aparțe coreglor d * Deoarece * card * obțe egalaea: ceea ce ve î coradcțe cu fapul că carda card * urare afrața d eoreă ese deosraă Fe ar cofor presupuer vârful u ese cople sabl ș u arbore Alege o ulțe aală er sablă B cu Î coforae cu afrața fecare vârf d Pr eleee rebue să aparță eac uu coregu d B Să ade că u au coregu suspeda ĉ u aparțe ulț B Auc vârful suspeda cˆ u aparțe c uu coregu d B Coradcța obțuă deosrează afrața d eoreă 3 Cofor afrațe o ulțe aală er sablă B coțe oae coregle suspedae ale copleulu Să ade că coregul supor al uu coregu suspeda aparțe ulț B Auc î B vor f două coreg aale cu ersecțe evdă Coradcțe cu defța ulț er sable 4 Fe ˆ c c elarea d ulțea uuror coreglor aale d c A că la a uu coregu suspeda se obțe u cople ou cu u uăr a c de vârfur Vo deosra afrața 4 a eoree folosd eoda ducțe aeace î rapor cu uărul de vârfur ale arborelu Evde î cazul afrața d eoreă ese

67 adevăraă Ade că afrața e adevăraă peru orce arbore sabl cu s vârfur ș vo eaa u arbore sabl cu s vârfur ude s Cofor defțe 3 î sabl esă acoperre ală A Deoarece arborele ese oae acoperrle ale coț acelaș uăr de vârfur a se vedea defța 5) Aceasa d ură pere să cosderă adevăraă egalaea: carda arborele alege coregul suspeda ĉ ș eaă copleul \ c~ cˆ afrațe d lea are loc egalaea: carda ) \ c~ ˆ)) c Alege î od arbrar o ulțe ală de vârfur A a copleulu că 67 \ c~ cˆ Î Cofor Vo arăa carda ceea ce ar îsea că \ c~ cˆ ese arbore sabl Mulțea A poae să ~ coță sau să u coță vârfur d coregul-supor c cˆ Dacă A coțe cel puț u vârf d coregul vârfur ș peru ș auc carda c ~ ˆ auc A forează acoperre cu Fe ulțea A u coțe eleee ce aparț coregulu-supor c cˆ deosra egalaea c ~ Peru a carda vo presupue corarul Fe carda Mețoă că deoarece \ c~ cˆ egalaea carda u e posblă) Vo deosra a îâ că î acese codț î propreățle: a) A; cˆ \ c~ esă cel puț u vârf cu b) u se află prre vârfurle coregulu c ~ cˆ ce se păsrează î copleul \ c~ cˆ Dacă oă pr V ) ulțea uuror vârfurlor copleulu a) ș b) sefcă: ) \ A c~ cˆ V Presupue corarul ceea ce îseaă că V orce vârf y A î copleul \ c~ cˆ ) A c~ cˆ esă u coregu aal y auc codțle Mețoă că peru c care u a coțe ale eleee d A Îr-adevăr dacă u asfel de coregu c y u esă auc A \ y aseeea forează acoperrea cu vârfur peru codța că A ese acoperre ă Deoarece \ c~ cˆ de ceea ce ve î coradcțe cu ese arbore cofor eoree 3 are loc egalaea D afrața 3 a eoree rezulă că * * esă cel puț u coregu c peru care se respecă relața: c ~ cˆ ar d presupuerea carda rezulă că

68 ceea ce plcă egalaea: A c card c \ c~ c A cˆ Fe c A z z z h h Cofor celor deosrae a sus esă h coreg aale c z cz c z h îcâ: z c~ cˆ z c h \ Eaă î couare subcopleul d cˆ cz c c z h geera de coregle aale c ~ Cofor eoree copleul obțu coțe cel puț două coreg aale suspedae ș pr urare cel puț două vârfur suspedae Țâd co de odul î care s-a cosru aces cople rezulă că doar coregul c ~ cˆ coțe vârf suspeda Coradcța obțuă deosrează eseța î copleul propreățle a) ș b) dcae a sus Vo deosra acu că presupuerea corecudea afrațe eoree Elă vârful d arborele cˆ \ c~ a uu vârf ce posedă carda ese greșă ceea ce va îsea Ca rezula uele coreg aale d să dspară Noă copleul obțu pr ar pr c c coreglor aale d c s ar puea ulțea uuror card s card ˆ Copleul posedă propreățle: I Orce copoeă coeă d ese arbore Îr-adevăr alege î u subcople arbrar cu ulțea de coreg aale dsce c c c r r Deoarece ese arbore rezulă că subcopleul acesua deera de coregle aale ce corespud coreglor c c c r coțe u coregu suspeda ĉ Țâd co de odul de alegere a vârfulu rezulă că î acesu coregu î corespude coregul c ˆ care de aseeea ese suspeda precu ș coregu supor c cˆ copoeă coeă d ese arbore II Orce acoperre ală cu vârfur a copleulu ~ Cofor defțe aceasa îseă că orce ce u coțe vârful răâe acoperre ală ș peru Mețoă că d cele deosrae aeror cu prvre la eseța vârfulu rezulă că î esă acoperr ale ețoae Toodaă orce acoperre ală cu vârfur d ese acoperre ală ș peru ese arbore -sabl rezulă că ș ese -sabl Ba a ul are loc egalaea: 68 Deoarece

69 D propreățle I ș II rezulă că fără a perde d geeralae e sufce să eaă doar cazul câd ese arbore adcă e fora dr-o sgură copoeă coeă Ac e ecesar de ețoa fapul că îr-u arbore orce elee X uu coregu aal ce coțe cel puț două eleee d X ) Să oă acu pr arborele ce se obțe d Observă că doar cu ecepța coregulu coregle aale d Deoarece \ coţe coregul c ~ cˆ Dacă îr-u cople de relaț c 69 aparțe cel puț cˆ \ c~ la elarea vârfulu c ~ ˆ oae coregle aale d cocd cu V ) \ A c~ cˆ rezulă că arborele esă acoperre cu vârfur ce coțe u vârf suspeda auc îlocud aces vârf cu u vârf esuspeda al aceluaș coregu obțe d ou o acoperre cu vârfur a copleulu Aceasă suațe pere să rece de la suderea ue acoperr ce coțe vârfur suspedae la o acoperre ce u coțe asfel de vârfur ar cardalul ul u depășeșe cardalul ulț țale Pr urare la cosrurea copleelor ș eleeul poae f ales î așa od îcâ acesa posedă u ua propreățle deosrae a) ș b) îsă a ese ș u vârf suspeda î Eaă cazurle: ) ese vârf suspeda ș aparțe uu coregu c cˆ ~ Îpreuă cu codța ccˆ aceasa îseaă că ulțea ce forează acoperre ală î va fora acoperre ală ș î \ ~ ˆ c c) Deoarece ese -sabl rezulă că ș \ c~ ˆ c) ese -sabl ) ese vârf suspeda î ĉ îsă î ĉ a esă ș ale vârfur suspedae Auc c ~ ˆ c ) răâe coregu-supor peru î prul caz obțe că \ c~ ˆ c) ese -sabl cˆ î copleul Î rezula d aceleaș cosderee ca ș 3) ese ucul vârf suspeda î ĉ Reeșd d defța arborelu precu ș d fapul că ese -sabl deduce că î cople a esă cel puț u coregu suspeda dfer de ĉ Aceasa e pere să luă î calae de vârful d aces coregu Pr rațoaee slare auge la cocluza că \ c~ ˆ c) ese -sabl Pr urare ș cea de-a para frațe a eoree ese edevăraă Lea Dacă copleul de relaț ul-are posedă propreățle: a) ese arbore; b) card ; cu ulțea de coreg aale

70 c) ese d) ș î sabl; esă eac coreg suspedae auc orce coregu d care u ese suspeda î u coțe vârfur suspedae Deosrațe Codța card ese deeraă de defța Deoarece ese arbore cofor eoree 3 ese adevăraă egalaea Pr urare î esă ulțe aală er sablă cu ) * * * * eleee Fe { c c } ulțea aală er sablă Î baza afrațe d c eorea 4 oae vârfurle arborelu * aparț coreglor d Cofor afrațe d eorea 4 oae coregle d * su coreg suspedae deoarece coțe eac coreg suspedae cofor propreăţ d ) Ca cosecță d cele ețoae rezulă că u coregu esuspeda d u coțe vârfur suspedae Teorea 5 Dacă card ș 3 auc ese u arbore sabl cu ulțea de coreg aale coțe eac coreg suspedae Deosrațe Fe card q 3 Vo deosra afrața d eoreă pr eoda ducțe aeace î rapor cu uărul q de coreg aale d Codța 3 q ese deeraă de fapul că peru q u ave coregu suspeda î a se vedea defța ) ar peru q arborele respecv u ar f sabl îr-u asfel de arbore esă ulțe ală de acoperre d două vârfur ș esă ulțe ală cu u sgur vârf a se vedea fgura ) Fe q 3 Ucul arbore care î aces caz sasface codțle eoree ese deera de re coreg aale c c c3 ce posedă propreățle: c3 c card c c card c card c3 c card c c c c3 c c 3 două coreg suspedae Auc ș coțe doar Fg Cazul 3 card Cel puț vârfurle ș y su vârfur suspedae Mulț ale de acoperre: { y }{ z} Vo eaa î couare cazul geeral q 3 Alege î uu coregu suspeda ĉ Mețoă că coregul 7 c ~ al u coregu supor c cˆ c ~ ˆ u poae f ș coregu suspeda

71 deoarece î caz corar vo obțe î ș c cˆ ~ a se vedea deosrața lee ) Copleul cˆ ~ \ ccˆ o ulțe er sablă ce coțe abele coreg ĉ \ c~ ese sabl cofor afrațe 4 d eorea 4 ș cofor afrațe d lea Pr urare copleul ~ / ccˆ sasface codțle eoree char dacă / ccˆ copoeă coeă ese arbore) Cofor ducțe aeace î coreg suspedae Dacă c ese u coregu suspeda î acesa răâe coregu suspeda ș î cˆ ~ u ese coe auc fecare / c~ esă eac cˆ auc cofor lee / c~ rezulă d cele epuse aeror) Peru a deosra eorea acu ese sufce să arăă că fecare d cele coreg suspedae d / c~ ese coregu suspeda ș î cˆ Peru coodae î cele ce urează vo oa / c~ cˆ Fe c suspedae d ar c a esă doar coregul c cˆ de coreg supor d A) Î c c celelale coreg d Î s s s c c coregle î afară de acese coreg ~ Eaă î couare două cazur î depedeță de uărul u esă ale coreg supor afară de c cˆ ~ Să presupue că doar prele coreg c s s s c c su coreg suspedae ș î Eclude acese coreg d Obțe u cople ou deera de celelale coreg d Î copleul copoeă coeă ese arbore a se vedea defța ) Pr urare două coreg suspedae cofor eoree ) Coregle c c c u au vârfur suspedae î fecare coțe cel puț deoarece cofor ducțe acesea u au asfel de vârfur î Î copleul acese coreg de aseeea u coț vârfur lbere se țe co de fapul că s ~ s c cˆ c c c ) c c ~ ˆ ese ucul coregu supor d ș dec Pr urare c uul dre coregle c c c u poae f coregu suspeda î Deoarece î c fecare copoeă coeă ese arbore rezulă că cel puț uul dre coregle s s c ese suspeda Fe acesa ese coregul s supor c ~ c î Luâd î cosderațe fapul că î ersecează două câe două obțe urăoarele: ~ ; a) c s c c s c 7 s c ceea ce plcă eseța coregulu oae coregle suspedae u se

72 s b) c c c peru orce coregu d care dferă de s c Aceasa îseaă că s c ese coregu suspeda î ceea ce ve î coradcțe cu presupuerea că coregle c s s c u su coreg suspedae î caz cazul A ) afrața eoree ese adevăraă B) Să presupue că copleul ~ î coregul c cˆ s s { s Pr urare î prul coțe cel puț două coreg supor Fe pe lâgă a esă u coregu supor c D deosrața lee rezulă că c c c } ese o ulțe aală er sablă de ude obțe: s c c Să deosră că fecare dre coregle c s s s c c ese suspeda î Alege î od aleaor uul dre acese coreg de eeplu Deoarece s c ese coregu suspeda î copleul ce se obțe d s c 7 ~ Vo oa pr ' s esă u coregu supor c c s s la elarea coregulu c Mulțea c c c s răâe ulțe aală er sablă ș peru Cofor ducțe aeace obțe că ese coregu suspeda î Pr urare î epuse a sus rezulă: s a) î copleul esă coregul supor c ~ c ; s b) î copleul esă coregul supor cc s s c) c c ~ c ; c s s s d) c c c c c Peru a deosra că cazur s esă coregul supor c ~ ; s c răâe coregul suspeda ș î ) ~ s c ș c su coreg dsce Auc s c c b) rezulă: c~ s c c~ cˆ î c Aceasa d ură coduce la cocluza: s cu coregul supor c ~ c s ) c c c s c ~ D cele vo eaa î couare re ~ ese u coregu d ar d codța s c ese u coregu suspeda ~ ș ĉ su coreg dsce Î od slar cu cazul precede obțe că coregu suspeda î ~ s cu coregul supor c c s 3) Fe perechle de coreg c ~ c c ș s c c c ~ s c c c~ s c c ˆ Dacă î acese codț presupue că auc daoră relațlor a) d) obțe: s c ese ~ ĉ cocd adcă su adevărae egalățle: s c u ese coregul suspeda î

73 c ~ cˆ c c c ; s s 3a) c c c ~ cˆ c ; s s 3b) 3c) s c ~ c c c s c c ˆ peru orce coregu c Acese relaț deeră eseța a două vârfur a ș b î cˆ ~ ș a c s a c c ș b c~ cˆ s b c c Dacă pr Z a oa ulțea uuror vârfurlor d vo oa ulțea vârfurlor coreglor c ~ ˆ c ș c 73 ~ c dfer de c cˆ cu propreățle: s c s auc pr Z cc c c ) s c Fe copleul care se obțe d la elarea celor re coreg ețoae Să arăă că î codțle creae peru orce c c~ cˆ Ade ouș că u asfel de coregu c esă coregu c d are loc relața c Noă pr copleul ce se obțe d la elarea coreglor c cˆ ~ ~ c ˆ s c ș c Copleul sasface codțle eoree Pr urare pue afra că î esă cel puț două coreg suspedae Deoarece cofor presupuer coregul sasface relața c c~ cˆ c rezulă că c u coțe vârfur suspedae ceea ce îseaă că aces coregu u s poae fgura prre coregle suspedae D codțle 3a) ș 3b) rezulă că c ~ u poae f c coregu suspeda deoarece î caz corar coregul c rebue să fe coregu supor peru c cˆ s s ș c Ca rezula obțe c~ cˆ c c c Aceasa d ură coduce la relaţa a c ceea ce ve î coradcțe cu codţle 3a) ş 3b) dcae a sus D cele eaae rezulă că c ~ cˆ ș c su coregle suspedae î Să-l eaă pe c ~ cˆ Dacă c ese coregu supor peru c ~ cˆ auc c s c~ cˆ c c~ cˆ c î coradcțe cu relațle 3a) ş 3b) Dacă ese coregu supor peru c cˆ cˆ cˆ ~ ceea ce ese ~ auc c~ c c~ adcă a c ceea ce arăș corazce relațlor 3a) 3b) D ove c s slare coregle îsea că c ~ ˆ ș c u po f coreg supor peru c Î cosecță aceasa ar c s c ese coregu supor ș peru c cˆ s c c c c Aceasa coduce la relața Asfel s-a deosra că î ș î puț u vârf ce u ese î c î orce coregu c ccˆ ~ ș peru c de ude: c c~ s cˆ c c~ cˆ s c c ceea ce u poae f orce coregu dfer de c cˆ ș ~ ș c coțe cel c ~ ˆ c Daoră relațlor 3a) 3b) pue asfel să afră că î ~ c esă vârf ce u aparțe lu acoperre ală A cu vârfur ce u coțe vârfur d s c Pr urare î esă c ~ ˆ c ș c s c Are loc relața:

74 carda repreză uărul de coreg depedee d ) Ca rezula ulțea A a b ese acoperre ală peru cu cel puț vârfur Aceasa ve î coradcțe cu fapul că ese arbore -sabl ș ) Coradcța obțuă deosrează că coregul suspeda d ese suspeda ș peru eac coreg suspedae Dec coțe 3 Reprezearea copleulu de relaț ul-are pr quassplee absrace Defd oţuea de -cople de relaţ ul-are a se vedea defţa ) u au fos puse aue resrcţ asupra coreglor de eleee d care ese fora Touş d puc de vedere uv ueor ese a cood de a suda uele propreăţ ş oţu o legae de relaţle ul-are pord de la u caz specal al copleulu câd coregle d care acesa e fora u coţ repeăr de eleee Folosd coregle fără repeăr ale eleeelor vo erprea copleul de relaţ ca o fale de splee absrace obşue ş apo vo vorb despre ca u cople de quassplee Asfel de coplee le geeralzează pe cele sudae de căre V Bolyas [35] ISavelev [5] ec fd deerae de produsul careza a ue ulț de eleee Defţa 3 Coregul ) R eleeele cărua su dsce două câe două se va u sple absrac cu desuea ş se va oa pr s ) R d s Orce coregu de eleee ) l R care l ese u subşr eredar d s se va u faţeă cu desuea l a spleulu s ş se va oa l l pr s ) s s Faţeele cu desuea zero se vor u vârfur ar cele l cu desuea uu uch ale spleulu s Dacă ese f ş orce coregu d R respecă defţa 3 auc ese u cople de relaţ ul-are eaa î [7] [8] [44] Vo a câeva aspece supleare d eaărle acesu caz parcular ale lu -desoale repreză ulțea de vârfur ale lu 74 ule peru cele uleroare Arage aeța corulu că copleul f de relaț ul-are ecesă cerceăr supleare ș u cosue obecul de sudu al prezee lucrăr Mulţea uuror spleelor desoale deerae de eleeele relaţe R o vo oa pr S s s s } cards cardr Mulțea spleelor {

75 Ese clar că o subulţe foraă d + eleee d X dsce două câe două po geera a ule splee absrace cu desuea Nuărul a al acesora cocde cu uărul de peruăr dfere ale acelor eleee adcă +)! Pr urare spleele absrace dsce cu desuea îseˮ pe vârfur d X le pue aga drep şe ebrae ce îfăşoară acese vârfur Î cele ce urează vo oa pr deerae de coregle d R S ulţea uuror spleelor cu desuea Asfel copleul de relaţ ul-are X X X X ) poae f reprezea ș î odul urăor: cosderâd: S S S K ) 8) S R S R S R ș păsrâd peru K ș se oează Fe K aceeaş deure de cople Nuărul se ueşe desue a lu dk Pr urare are loc egalaea s ) s ) s S u sple absrac cu desuea Vo geeralza oţuea de sea cuoscuă d [33] [3] Defţa 3 Mulţea uuror spleelor d peru care pr s s s ese faţeă couă se ueşe sea a spleulu Fe W o ulțe de splee d 75 K cu desuea a are decâ s K ş se va oa K ar s u sple arbrar al acesua Pr aaloge cu leraura clască vo spue că s ese cde ulț W dacă î W esă cel puț u sple ce coțe cel puț o fațeă couă cu s Asfel orce sple al sele s s ese cde lu s Rearca 3 Copleul de relaţ K u ese u cople splcal absrac [3] deoarece acelaş se de vârfur poae deera a ule splee absrace Ţâd co de aalogle de a sus u cople de relaţ ul-are va f reprezea î cele ce urează pr ua dre urăoarele două varae echvalee [57] K R K R R ) S S S )

76 ude S repreză fala de splee desoale d K card S Defţa 33 [4] [33] Peru copleul de relaţ K S S S ) def fucţa cu valor îreg: K ) ) 9) uă caracersca Euler a copleulu K ude card S Acu vo geeralza oțuea de sple accepâd coregle ce ad repeăr ale eleeelor d X Fe R R R ) copleul geeralza de relaţ def î Defţa 34 U coregu ) R al -copleulu de relaţ ul-are K R R R ) se va u quassple absrac cu desuea ş se va oa pr ) ar fala de quassplee cu desuea pr Cofor defţe u coregu ) d relaţa eleee ce cocd De eeplu e posbl ca lu R poae avea a ule R să- aparţă char ş coregul ) cu u sgur elee X repea de + or care repreză o geeralzare a bucle d eora grafurlor [5] Ac se va păsra oţuea de buclă cu a ule desu Îsă geeralzâd buclele acesea po avea ş fore a coplcae Problea clasfcăr buclelor peru u coregu R ) se face pr eredul oţu de zoorfs ş ţe de u obec de sudu apare Buclele copleulu po serv drep srue efce peru clasfcarea uor pur de vareăț absrace [77] Cele eţoae a sus e pue a cosdera Rearca 3 Orce sple absrac repreză u quassple îsă u orce quassple ese sple absrac Coregul ) u ese sple absrac deoarece eleeul fgurează î aces coregu de cel puţ două or U quassple absrac vo obşu ueor să-l a u sple degeera care dferă de spleul obşu pr prezeţa buclelor eţoae a sus Defţa 35 uasspleul l ) l care ese u subşr eredar al l quasspleulu ) se va u quasfaţeă cu desuea l a quasspleulu Faţea lu evde repreză la fel u quassple vez defţa 34) 76

77 Luâd î cosderaţe forula de calcul a caracersc Euler eţoaă î defţa 33 î od rval se deosrează urăoarele două eoree: Teorea 3 Dacă K ş K su două subcoplee de relaţ ul-are ale copleulu K auc K K Teorea 3 Dacă şrul copleulu K auc K ) ) ) ) K K K K q K repreză oae copoeele coee ale q K ) K ) ) Meţoă că relaţle ul-are R R R R ce repreză -copleul de relaţ K ul-are a se vedea defţa ) su fal de quassplee absrace cu desule pe care le oă pr Î cele ce urează -copleul de relaţ reprezea pr quassplee îl vo u cople de quassplee absrace ş peru a-l deoseb de copleul splu suda a sus îl vo oa pr K ) 4 Orearea quasspleelor ş arcele de cdeţă Fe K ) u -cople de relaţ ul-are ş u quassple arbrar reprezea ) Se cosderă: card Peru succesuea de dc ) vo oa pr ) uărul uuror versulor [4] coregulu da Meţoă că dacă r s ude s>r ş după r a su dc egal cu s auc uărul de versu creşe cu uărul respecv Defţa 4 Dacă peru quasspleul uărul ) ese par auc se ueşe quassple orea pozv ş se va oa pr ar dacă ) ese par auc se va u quassple orea egav ş se va oa pr uasspleul orea se va oa: [ 77 ]

78 Asfel orce peruare a eleeelor ) repreză u quassple -desoal orea Î oal su )! asfel de splee Fecare quassple orea [ ] se caracerzează pr opul său vârful ş baza reprezeaă pr quasspleul orea ] [ Dacă peru quasspleul orea ] cuoaşe orearea acesua [ auc vo folos oaţa: ) [ ] ude ) î cazul câd quasspleul ese orea pozv ş ) î cazul câd acesa ese orea egav Fe u quassple cu desuea - care se obţe d quasspleul pr elarea uu vârf opusă vârfulu Pr urare Aces quassple poae f oa ş asfel: [ ese o quasfaţeă a spleulu Evde u orce faţeă a uu quassple poae serv drep bază a acesua îsă pue cosru u al quassple cu baza respecvă Dacă ] u ese opul quasspleulu adcă auc quasspleul cu baza [ ] se va oa pr Defţa 4 Două quassplee ş dre care ese quasfaţeă a quasspleulu -coeree dacă quasspleele opusă uu vârf ş oreae pozv sau abele su oreae egav 78 d Î cazul câd coeul u o cere quasspleele coeree fără a dca vârful adcă se uesc su oreae la fel adcă abele su ş le vo u quassplee Meţoă că î coforae cu regula de deerare a seulu oae spleele cu desuea zero se cosderă oreae pozv chesue îâlă î leraură sub dverse aspece [5] [57] [3] [35] Nu vo ede ac oţuea de coereţă asupra quasspleelor desule cărora dferă a ul decâ cu o uae Defţa 43 Se ueşe coefce de -cdeţă a quasspleulu î rapor cu quasspleul uărul

79 ) dacă dacă ş ş î caz corar su su quassplee quassplee coeree ocoeree ude card card Observă că egalaea ) are loc doar î cazul câd Coefceul de -cdeţă a două quassplee oreae se va oa: [ : ] ) ş u e faţeă peru î ordea dcaă Dacă ese quasspleul reprezea de eleeele ș aue ] ar ] auc ușor pue cosaa că are loc egalaea: [ care rezulă eloc d relața: [ ) [ : ] ) ] ) [ ] [ Apelâd la seele ) ş ) ale oreărlor celor două quassplee ula egalae se rascre: ş sau ) ) ) ) ) ) Să deosră câeva propreăţ ale coefceţlor de -cdeţă: P: Dacă ese faţea quasspleulu ) opusă vârfulu auc peru orce oreare a lu ese adevăraă egalaea: [ : ] [ : ) ] [ : ] Deosraţe Pra pare a acese egalăţ rezulă d fapul că dacă ese coefceul de -cdeţă a spleulu î rapor cu spleul 79 adcă îre ) ) ș ) are loc relața ) ) ) auc ) ) ) Cea de-a doua pare a egalăț rezulă d fapul că seele de oreare a quasspleelor [ ] ș ) [ ] cocd

80 P Dacă ) ș ) su fațeele quasspleulu ) oreae îr-u au od auc peru orce oreare a lu ese adevăraă egalaea: [ : ] [ : ] Deosraţe Cofor propreăț P ave relațle: [ : ] [ : ] [ : ] [ : ] ceea ce îseaă că peru a deosra propreaea P e sufce să eaă orarea ] Aeror s-a ețoa că peru u quassple [ are loc egalaea: ș fațea acesua Pr urare obțe: ) [ : ] ) [ : ] ș [ : ] ceea ce deosrează cea de-a doua propreae euțaă peru coefceț de -cdeţă Fe acu o faţeă ) -desoală a quasspleulu ) oreaă î od arbrar Alege î două faţee ) -desoale ) ş ) pe care le oreă asfel îcâ să abă loc egalăţle: Uşor e covge de corecudea relaţe: care rezulă d egalaea: [ : ] [ : ] [ : ] [ : ] [ ]:[ ] [ ]:[ ] Forula [ : ] [ : ] poae f geeralzaă î cazul oreărlor arbrare ale quasspleelor ş ş aue: [ : ] [ : ] [ : ] [ : ] ar î cazul uu cople cople de quassplee absrace aceasă forulă preşe urăoarea erpreare: 8

81 [ : ] [ : ] De râd cu oţuea de cdeţă uă ueor cdeţă peru copleul de quassplee vo folos ş oţuea de -cdeţă respecv de coefce de -cdeţă Defţa 44 Se ueşe coefce de -cdeţă a quasspleulu î rapor cu quasspleul uărul l l ) dacă dacă ş ş î caz corar l l ude card l card Coefceul de -cdeţă a quasspleelor su quassplee coeree su quassplee ocoeree ş l [ : l ] ) l î ordea dcaă se va oa: Î cazul coefceţlor de Δ-cdeţă ş -cdeţă uşor se verfcă urăoarele relaţ: ) ) ude l ) ) ude ș l card card l card l Noţule de -cdeţă ş -cdeţă se a îâlesc î leraura de specalae î legăură cu suderea dferelor obece aeace [35] [56] [3] [35] Rearca 4 Sbolurle ş su îpruuae d lucrărle [35] [35] ş î opa oasră su a coode peru epuerea uleroară Rearca 4 Coefceul de cdeţă [ : ] al quasspleelor ] ş ] ude ese u şr fora d [ [ l eleeele lu dar u ese u subşr eredar al succesu ] ese egal cu [ zero uasspleul u ese quasfaţeă a quasspleulu ] [ Defţa 45 Peru u -cople de relaţ ul-are K ) cosru urăoarele două arce: I ) )) ude ş dcă uărul de orde al le ş respecv al coloae arce I ) uă arce de Δ-cdeţă cu desuea 8

82 l I ) )) ude l ş dcă uărul de orde al le ş respecv al coloae arce I ) ar l uă arce de -cdeţă cu desuea Meţoă că deoarece ulţea X î baza cărea se defeşe -copleul de relaţ ul-are ese o ulţe fă arcele I ) ş I ) su ş ele fe a se vedea defţa ) Î codţle uu cople f de relaț ul-are adcă î cazul câd X ese o ulțe fă) evde arcele respecve vor f fe Sudul acesu cople depășeșe scopul prezee lucrăr) Afraţa 4 Peru u cople geeralza de relaţ I ) I ) K perechle de arc precu ş I ) I ) su raspuse adcă: I I )) * )) * I I ) ) 5 Lațur ș cclur -desoale Fe dae u -cople de relaţ ul-are K ) ş grupul adv al uerelor îreg Z Pr aaloge cu defţa 3 peru quasspleul roduce oţuea de quassea a lu K vo ca o oalae de quassplee d K peru care ese quasfaţeă a acesora ş se va oa pr qs ) Î cazul uu quassple ulţea qs ese vdă uasspleul coţe + faţee -)-desoale pe care le vo oa Cosderă că î quasseaua qs esă aue quassplee +)-desoale peru care ese faţeă eredară ş vo oa acese quassplee pr Eseța quassele evde peru quasspleul ese garaaă de defța copleulu geeralza de relaț Defţa 5 Vo u respecv Δ-froeră froeră algebrcă) ş -froeră cofroeră) a uu quassple urăoarele sue: ude q ş ) ) ) 8

83 q ) ) ) ) ude - Vo oa Δ-froera quasspleulu pr ar -froera acesua pr Peru orce quassple ş orce quassple vo cosdera : ude card card X ş Forulele ) ş ) ar puea f scrse a splu De eeplu fe quasspleul ) reprezea pr dc respecv: ) ar quasfaţea ) -desoală a lu ese faţea opusă vârfulu Auc î baza defţe cu prvre la coereţa quasspleelor ) ) sua ) poae f scrsă î odul urăor: ş ) ude ) ) ) ) ) La fel ca ş î [3] [5] se deosrează că peru orce quassple Alţ coefceţ de Δ-cdeţă care u fgurează î sua ) cofor defţe 4 su egal cu zero Avaaele forulelor ) ş ) vor f aplcae î couare Fe acu aplcaţe uvocă a copleulu de relaţ f : K Z o K î grupul uerelor îreg Î cazul uu sple orea egav a se vedea defţa 4) vo cove să scre f ) f ) Să oă f ) p ude p Z peru orce Peru splae ş peru a ţe co de proagea lu p p î loc de f vo scre ) p Defţa 5 Peru fala de quassplee { } sua fă p p p 83 a 3) se va u laţ -desoal al -copleulu de relaţ ulţea uuror laţurlor L se va oa pr L K ş se va oa pr L pe câd

84 Fe L p ş L două laţur -desoale ale -copleulu de relaţ K Defţa 53 Relaţa L L p ) 4) se ueşe suă a laţurlor Ese evdeă Teorea 5 Mulţea relaţ ul-are couav L ş L L a uuror laţurlor -desoale a uu -cople de K cu operaţa de aduare defă pr relaţa 4) forează u grup rupul Δ-laţurlor -desoale se va oa pr L Defţa 54 Peru u laţ -desoal ş f L L epresa L se va u Δ-froeră algebrcă a laţulu p L Î cazul = cofor defţe 5 rezulă că L Ţâd co de cele eţoae a sus orce laţ Î leraura clască se a aplcă ş erologa eţoaă î [3] L L se va a u ş Δ-laţ Rearca 5 Operaţa de defre a Δ-froere algebrce a uu Δ-laţ u ooorfs [4]: L 5) L ese ) : L L Ese fresc să u aces ooorfs Δ-ooorfs Aceasa ese ecesar deoarece vo a ulza u al ooorfs care are o sefcaţe dferă de cea a Δ-ooorfsulu Δ-Ooorfsul eţoa poae f obţu pr aplcarea operaţe respecve de creare a Δ-froere peru quasspleul L a se vedea relaţa )) ş cosderâd L Vo oa pr IΔ) agea ar pr KerΔ) ucleul ooorfsulu Δ) [4] Teorea 5 Peru orce laţ L L se verfcă egalaea L Deosraţa acese eoree se face eac ca î [3] aplcâd relaţa cuoscuă a se vedea defţa 5) D deosraţa eoree 5 ese lese a deduce 84

85 Cosecţa 5 Peru u -cople de relaţ ul-are Defţa 55 Laţul L desuea al -copleulu K are loc egalaea: I ) I ) 6) L cu propreaea K ş se oează pr Z L L se ueşe -cclu cu ) Desgur operaţa de aduare a laţurlor defă pr relaţa 4) se răsfrâge ş asupra cclurlor î baza defţe 55 Ese evdeă Teorea 53 Mulţea uuror Δ-cclurlor -desoale î rapor cu operaţa de aduare a Δ-laţurlor forează u subgrup couav al grupulu L Vo oa subgrupul Δ-cclurlor d L pr Z paragraful 6 la defrea oologlor copleulu auc Defţa 56 Dacă esă două Δ-laţur a) L L b) L L L ş Aces grup se va folos î L L cu propreăţle: L se ueşe Δ-cclu cu desuea Δ-oolog cu Î aces caz vo folos oaţa L Z ) Două Δ-cclur Z ) ş ) Z care aparţ lu ooloage dacă Z ) Z ) ~ [59] [63] [7] [3] [35] Fapul că L repreză u Δ-cclu oolog cu lusrează suaţa că î Z se uesc Δ- K laţul ărgeşe î scheleul -desoal al lu K u -subcople al lu s) K Ese evdeă Teorea 54 Mulţea uuror Δ-cclurlor -desoale ş Δ-ooloage cu î rapor cu operaţa advă defă î aces subgrup pr Eseţa grupulu Z rezulă d eorea 5 Ese evdeă relaţa Z ) ~ îru -cople de relaţ Z L forează u subgrup al grupulu Z ) L Vo oa K u esă Δ-laţur cu desuea +) 6 Oologle -copleulu de relaţ ul-are Defţa 6 rupul facor Z / Z al uu -cople de relaţ ul-are se ueşe grup al -oologlor al oologlor drece) cu desuea pese grupul Z ş se oează pr K ) Ragurle acesor grupur se uesc uere Be Î lucrărle [3] [5] [56] [3] acese grupur se oează pr H K ) 85

86 Deoarece grupurle -oologlor su cosrue pese grupul uerelor îreg Z vo obşu să a folos ş oaţle: K Z) respecv H K Z) ) E fresc a scre ş asfel [3]: K ) Ker ) / I ) Scopul osru urăreşe a îgusa oţuea copleulu de relaţ îsă u îr-aâ cu e făcuă î [58] [59] c precu e def î [7] Meră să eţoă că oae rezulaele po f geeralzae ş î cazul uu cople de relaţ a geeral asupra desu cărua u se pue co resrcţe pr aaloge a se vedea [54] [55]) Î coforae cu rezulaele clasce vorbd despre oologle ue srucur aeace de râd cu grupurle de -oolog se sudază ș grupurle de cooolog [3] [35] Aplcâd grupul uerelor îreg Z vo fora acese grupur peru -copleul de relaţ K Splfcâd oaţle roduce oţuea de -laţ colaţ) care cocde cu oţuea de laţ cu desuea respecvă Defţa 6 Peru u -laţ L L L egalaea: p se ueşe -froeră algebrcă cofroeră) a laţulu Rearca 6 Operaţa de forare a -froere a -laţulu -ooorfs: L Î cazul ave L L L repreză u ) : L L Noă pr I ) agea ar pr Ker ) ucleul -oorfsulu ) Defţa 63 -laţul L L cu propreaea L se ueşe -cclu cu desuea a -copleulu de relaţ K ş se va oa pr Z ) L Î cazul ave egalaea L Dec cofor defţe 6 laţul -cclu cu desuea Folosd operaţa de aduare a -laţurlor obţe L ese u Teorea 6 Mulţea uuror -cclurlor -desoale î rapor cu operaţa de aduare a -laţurlor forează u subgrup couav al grupulu Noă subgrupul -cclurlor d L pr Z L Defţa 64 Dacă esă două -laţur L L ş L L cu propreăţle a) L L ; b) L 86

87 auc L se ueşe -cclu cu desuea -oolog cu Î aces caz se va ulza oaţa obşuă) [3]: Două cclur Z ) ş ) Z ) ~ uor propreăț ale copleulu î ere grupurlor de oolog 87 L Z d Z se vor u -ooloage dacă: Z ) Z ) ~ Țâd co de defța clască a grupulu [88] ușor se poae de deosra urăoarea Teorea 6 Mulţea uuror -cclurlor -desoale ş -ooloage cu zero î rapor cu operaţa de aduare defă î se va oa pr Z Defţa 65 rupul facor L forează u subgrup al grupulu Z ş Z / Z al -copleulu de relaţ ul-are se va u grup al -oologlor a splu cooolog) cu desuea pese grupul uerelor îreg Z fd oa pr ) K Rearca 6 A că ) ese def cosderâd că -laţurle d K su fe K K Evde pue scre ş asfel: K ) Ker ) / I ) Să e a acu că eseţa grupurlor Z a uu -cople de relaţ ul-are rezulă d egalaea L Aceasă suaţe geerează ecesaea de a forula câeva rezulae supleare Teorea 63 Peru orce -laţ are loc urăoarea egalae: L L L al -copleulu de relaţ ul-are Deosraţa eoree se face eac ca î [3] aplcâd relaţa cuoscuă q a se vedea defţa 5 ş cosecţele e) Rearca 63 Peru grupurle de oolog drece ş cooolog ale uu -cople de relaţ ul-are K K procedura de oreare a quassspleelor sale ese o probleă aulară ş u depde de srucura acesor grupur [3] [5] [35] Defţa 66 U -cople de relaţ ul-are K ) K ) K se ueşe acclc dacă: K ) Peru a forula urăoarea eoreă vo avea evoe de uele oţu clasce a se vedea [5] [35]) ş vo deosra o leă aulară Rezulaele respecve vor pere erprearea

88 Fe { } fala de quassplee -desoale ale -copleulu de relaţ ul-are ar L p p u Δ-laţ arbrar d L Defţa 67 Operaorul p I : L Z ce posedă propreaea I L ) p p p peru orce laţ L al Δ-laţulu L Ese evde că peru orcare două Δ-laţur arbrare Lea 6 Dacă I L L L L L se ueşe dce are loc relaţa: L ) I L ) I ) 7) L L ese grupul Δ-laţurlor -desoale al -copleulu coe de relaţ ul-are K ) auc orce laţ ua dacă I L ) L L ese oolog lu dacă ş Deosraţe Fe u quassple arbrar orea pozv reprezea pr perechea ) ude Î aces caz ş p ) p p pr urare vo avea I p )) Î coforae cu relaţa 7) peru orce Z ) Z obţe I Z )) Dec codţa ecesară d leă are loc Să deosră acu afraţa versă D coeaea -copleulu peru orcare două quassplee K rezulă că esă o asfel de succesue de quassplee -desoale îcâ ş su adacee ş orgea lu cocde cu ar ereaea lu cocde cu Ma ul ca aâ eleeele acese succesu po f oreae î aşa od îcâ acesea oae să fe de oreare pozvă la prezearea pr Δ-laţul L p p p ude p Z ş ese la fel pozv Observă că L p p Asfel cofor relaţe 7) p ~ p Aceasa la râdul său coduce la relaţa L L ceea ce îseaă că Δ-laţul ese oologc cu p Auc deoarece L ese oologc cu p obţe I L ) p Asfel ave relaţa L ~ I L ) de ude ş rezulă că I L ) Dec L ~ Deoarece afraţa ce urează eda ese clască ş se deosrează î od absrac doar o vo a Teorea 64 Dacă -copleul de relaţ ul-are K ) ese coe auc K ) ese zoorf cu grupul uerelor îreg Z 88

89 Rearca 64 Dacă peru u -cople de relaţ ul-are ) auc: ude ş dacă = auc: K ) K ) K ) 89 K q K are loc egalaea K ) Z Z Z 8) q or Defţa 68 U -cople de relaţ ul-are -arbore orea de relaţ ul-are K ) coe ş acclc se va u Iporaţa acese oţu se va resţ î cerceărle uleroare câd se vor elabora lucrărle referor la cele eţoae la îcepuul acesu capol Peru cosrucţa respecvă repreză u graf orea coe ş fără cclur Dec dacă repreză u arbore orea [3] Defţa 69 Dacă K ese coe auc acesa K ese u -cople local cople de relaţ ul-are ş ese rasfora îr-u cople quassplcal absrac auc serc de relaţ ul-are K se va u -cople Î caz de ecesae fecare elee d poae f orea î coforae cu defța 4 Î paragraful 3 a fos rodusă oţuea de caracersca Euler a copleulu de relaţ ul-are K Iporaţa acese caracersc ese be cuoscuă pr aplcaţle sale eoreco-aplcave [5] [6] Fe K )) ragul grupulu K ) al lu K ar K ) ) 9) ese caracersca lu Euler a se vedea relața 9)) ude de acu îseaă uărul quasspleelor cu desuea ale -copleulu K Î cele ce urează d cosderee de coodae î loc de K )) vo folos oața Auc cofor 9) are loc u rezula aalog celu obţu de căre Pocare ş Kologorov [63] [35] Teorea 65 Euler-Kologorov) Peru orce -cople de relaţ ul-are K ) are loc egalaea: K ) ) 9 ) Deosraţa se face eac î od absrac ca ş î lucrărle [5] [58]

90 La fele acesu paragraf propue o defţe ş o afraţe poraă Defţa 6 Fe da -copleul K ) Să eaă copleul K d ) ude fecare quassple absrac cu desuea e d d d cosdera u cople celular [3] cu desuea - oa pr d pe câd oalaea acesor coplee cu desuea - pr desgur respecâd cdeţele Copleul absrac 9 d K d se ueşe dualul copleulu K De eeplu u sple -desoal cde la fațee splee) -)-desoale ale uu sple -desoal repreză u CW cu desuea î fora uu sple -desoal avâd ca celule ulţea uuror faţeelor acesua clusv cea propre erorul spleulu -desoal) coe Cosecţa 6 Copleul dual Fe şrul grupurlor de oolog drece ale lu H d K d al copleulu K ese u cople celular CW) K Z) H K Z) H K Z) ) d d d K d Dacă eaă a ae şrul ) eda rezulă: Teorea 66 Peru copleul K su adevărae relaţle: K Z) H d Kd Z) d d K Z) H K ) ) d d Z K Z) H K Z) Î baza acese eoree obţe că eorea Kologorov-Aleader [3] [35] cu prvre la dualaea grupurlor de oolog ş cooolog peru spaţ opologce răâe valablă ş î cazul copleulu geeralza de relaţ ul-are Teorea 67 Peru copleul K d d K Asfel obţe K su adevărae urăoarele egalăţ: Z) K Z) K Z) K Z) ) K Z) K Z) Rearca 65 E posbl a u ulza CW îsă peru aceasa era ecesar a def ce repreză u poledru absrac -desoal froera cărua ese o sferă absracă cu

91 desuea ) ) chesue găloasă pe care î lele acese lucrăr u o vo age Î cele ce urează o să e ereseze doar defţa cubulu absrac -desoal folos la soluţoarea uor problee cu caracer aplcav chesu eaae î capolele IV ş V Fe Z grupul uerelor îreg ș u grup couav arbrar Se cuoaşe [3] că dacă grupul ade u uăr f p de eleee geeraoare auc: ude p D D D r ) p ș D r su subgrupur cclce d îsă fe cu peroada c ș dvzorul c Nuerele c c cr repreză u sse cople de varaț a grupulu raporaț la auoorfsele sale Nuărul ese ragul grupulu Coefceț vor u coefceț de orsue a lu c c cr se Pr urare grupurle de -oolog K ) ale copleulu de relaț ul-are K ar puea să coță u sse cople de varaț a grupulu rapora la auororfsele sale Î cele ce urează vo cosru ale grupur de -oolog ale copleulu K ue grupur ale -oologlor dluae [3] care u coț coefceț de orsue îsă su porae d puc de vedere al folosr acesora la obțerea uor propreăț o ale lu K Asfel oologle drece cooologle ș oologle dluae forează u supor eorec ecesar peru dezvolarea o drecț de cerceare legae de suderea relațlor ul-are Fe Z grupul Defța 6 Două cclur cclurlor pese grupul uerelor îreg Z al copleulu K Z ) Z ) Z se uesc cclur dluae ooloage cu dacă a Z a îcâ a Z ) Z )) ~ Î cazul a două cclur dluae ș ooloage Z ) Z ) vo folos oața Z ) Z ) Ușor se verfcă că ulțea cclurlor dluae -desoale ș -ooloage cu î rapor cu operața de aduare forează u subgrup al grupulu cclurlor ~ dluae Z Z ~ pe care îl vo oa pr Defța 6 rupul facor / Z ~ Z se ueșe grup al -oologlor dluae cu desuea al copleulu K ș se oează pr ) ~ K Noă pr ~ ragurle grupurlor ) ~ K Lea 6 Peru grupurle de oolog K ) ș ) ale uu -cople de relaț ul-are K se respecă egalaea: ~ 9 ~ K

92 K ~ K Aâ grupul ) câ ș ) posedă acelaș uăr de subgrupur depedee ș zoorfe cu grupul uerelor îreg Z relațle 9) 9 ) precu ș lea 6 obțe Lea 63 Peru u -cople de relaț ul-are ~ ) Luâd î cosderațe K ese adevăraă egalaea: ) 3) ~ K Î cele ce urează vo suda reprezearea geoercă a grupurlor ) precu ș legăura cu -cclurle copleulu desoal peru K K pr roducerea uărulu ccloac - 7 Nuărul ccloac al copleulu de relaț ul-are Î paragraful 5 a fos def -cclul -desoal al uu -cople de realț ulare K erprea ca u subcople coe d K î care orce quassple ese fațeă couă peru eac două quassplee -desoale ale -cclulu oreae respecv U asfel de -cclu ar a puea f u -cclu sferc eleear cu desuea Î caz geeral câd u -cclu -desoal coe ș orea ese fora d a ule -cclur sferce eleeare fecare quassple al acesu cclu ese fațeă couă peru u uăr par de quassplee -desoale Mulțea aceasor cclur o ~ ~ vo oa pr ) Îpreuă cu grupurle de cclur Z ) ș Z ) sudae î paragraful 5 ş paragraful 6 obțe relața ~ Z Z ) 9 ~ Desgur preză eres problea deerăr ue forule de calcul a -cclurlor -desoale d K Vo eaa uele aspece ale acese problee Toodaă vo cosdera că eleeele ulț ~ posedă propreaea: ~ P: Orce -cclu d ) u ărgeșe c u se de splee cu desuea d copleul K Fe } ulțea uuror quasspleelor -desoale ale { copleulu K ) ar R spațul vecoral cu desuea pese ~ câpul uerelor reale R Pe ulțea ) def fucța uvocă: f ~ : R

93 ~ ce posedă propreaea: peru orce cclu ~ ) ) are loc egalaea ude f ~ p dcă de câe or quasspleul cu se egav Vo oa dfereța )) p p p p ) f ~ 93 apare î cclul p pr ~ c ~ Obțe vecorul: ~ ~ )) ~ c c c ) cu se pozv ar Peru ave u caz apare a puț pora care u va f eaa î cele epuse î couare ~ Defța 7 Vecorul f )) se ueșe vecor -cclc cu desuea a ~ ~ copleulu de relaț ul-are K ș se va oa pr C ) )) R Seul de vecor -cclc coțe o bază Vo oa aces subspaţu pr R ) Fe acu ~ B R f care deeră î R u subspațu ~ ulțea uuror vecorlor cu coordoae î uere îreg d R ) Teorea 7 Mulţea de vecor ~ R î rapor cu operaţa de aduare repreză u grup adv ş ulplcav zoorf grupulu -oologlor dluae ~ K ragul ~ ş are loc relaţa: ~ B ~ card Deosraţe Ma îâ vo deosra că îre eleeele grupurlor esă o corespodeţă buvocă Fapul că ~ repreză u grup al vecorlor -cclurlor d R R splu coşezâd că eleeele d ~ forează î R cu ~ ş K ~ se verfcă o reţea de vecor cu coordoae îreg care la râdul său forează u grup adv ş ulplcav [4] [4] ~ ~ Deoarece B ~ poae f reprezea ca o cobaţe lară a vecorlor baze f ~ rezulă că orce elee d B ~ Luâd î cosderaţe odul î care a fos defă aeror fucţa R rezulă relaţa: : ~ Fe B C C C egalaea: ~ ~ ~ f ~ Auc peru orce elee C ~ ~ ~ ~ C C C C ~ are loc ude Z Pr urare orce elee C ~ poae f reprezea asfel:

94 b ~ b ~ C ~ ~ Să eaă acu aplcaţa versă: f C ~ ~ : Cosderă ulţea Noă aceasă ulţe pr ~ 94 b îpreuă cu oae cobaţle posble ale eleeelor sale Ede aplcaţa desoal cu coordoae îreg d valor î : ude f pese reţeaua vecorlor - R R Noă aplcaţa esă pr ~ cu ~ f : 4) Fe î vruea acese aplcaţ ave: ~ ~ ~ g g g ~ ~ ~ f g C g C g C folos de C g ~ presupue erprearea forală a fapulu că -cclul desoal f C ~ 5) g or Dacă eaă parea sâgă a relaţe 5) ca o eprese algebrcă forală ţâd co de aplcaţa copleulu ese K î grupul uerelor aurale Z a se vedea paragraful 6 ş relaţa 3)) auc aceasa ese echvaleă uu -laţ cuoscu d cerceărle efecuae î paragraful 5: ude g z g z L g z g Z L ş L Aceasa coduce la cocluza că aplcaţa 4) ese buvocă ş ederea aplcaţe f ~ R asupra fale : ~ aplcaţe 4) Noă pr f ederea aplcaţe deduce eseţa ue aplcaţ buvoce îre eleeele d repreză versa f ~ f f f Î baza aplcaţlor Z ~ -desoale cu propreaea: peru orce cclu z K L L îcâ L adcă z L Pr urare esă relaţa buvocă îre ~ K ş corecudea relaţe d eoreă: ~ B ~ card uşor ş ulţea -cclurlor esă u -laţ ~ ceea ce plcă Î cele ce urează eleeele d grupul adv le vo u -cclur ervale -desoale Să eaă cardalul ulţ Por de la egalaea:

95 ) ) 6) care ese rezulaul aplcăr relaţlor 9) ş 9 ) Eaă copleul -desoal poae f cosdera u graf cu uărul de vârfur egal cu card Peru forula 3) ave: card ; card ; ese ragul grupulu de oolog K cosderă p ; K care precu s-a eţoa aeror fe p Dacă ese ragul grupulu de oolog K depedee -desoale d Pr urare pue scre: sau Dacă oă K card ş uărul de arce egal cu K ese coe auc se ş repreză uărul de -cclur p pr v K auc: v p K Peru cazul grafulu copleulu -desoal) coe obţe: Nuărul cazul câd ş dsuce: v K K v se ueşe uăr ccloac al grafulu K X R K u e coe ş ese reprezea ca o reuue de coplee -desoale coee Î K K K K K ude K X X K X K K obţe egalaea: v K K 7) Ac epră uărul copoeelor coee î eţoae î paragraful 5 K Z grupulu Z ese egal cu î cele d ură obţe: 95 K Deoarece cofor celor î cazul copleulu coe ar ragul al

96 K K Defţa 7 Peru copleul -desoal de relaţ X uărul a de -cclur -desoale adcă -desoal al lu K care se oează pr K v Î cazul copleulu -desoal K două câe două zolae uărul K -desoale K card se ueşe uăr ccloac cu o subulţe de splee v epra pr relaţa 7) se ueşe uăr ccloac -desoal ar card ese uărul ccloac - desoal al copleulu K Să eaă uerele ccloace î cazul -copleelor de relaţ ul-are cu desuea Acesea su o geeralzare a uărulu ccloac cuoscu d eora grafurlor Fe dsuce: ude obţe: K u cople de relaţ ul-are reprezea ca o reuue de coplee K K K K r 8) a r D relaţa 6) ca rezula al uor rasforăr eleeare 9) Defţa 73 Peru u -cople de relaţ ul-are K uărul d parea sâgă a relaţe 9) se ueşe uăr ccloac -desoal al copleulu oează pr v v K Î baza forule 6) peru copleul K v K K v Îr-adevăr d 6) uşor deduce: K ş se K pue calcula oae uerele ccloace sau 3) 96 Asfel obţe forula recureă peru calcularea uerelor ccloace ale uu - cople de relaţ ul-are v K : K v K K 3)

97 peru Nuerele ccloace oacă u rol pora î soluţoarea probleelor cu caracer aplcav Vo aalza î couare câeva dre acese aplcaţ Îlocu grupul de uere îreg Z prr-u grup adv ş ulplcav Z fora de cele două clase ale ş eegave obţue pr dvzarea la a uerelor d Z Vo oa pr C câpul fora î baza lu Z ş cosru u al grup ulplcav ecesar peru forularea ue eoree de p clasc precu ş uele rezulae cu aspec pracc 8 Marcea ccloacă Fe K ) u cople -desoal de relaţ ul-are î care su deerae urăoarele: ~ ulţea -cclurlor -desoale descrse aeror; - - C câpul fora î baza grupulu Z ; I arcea de -cdeţă pese câpul C ; - - R spaţul lar pese câpul C ; - Aplcaţa ~ : R cu propreaea: peru orce elee ~ d ~ ~ C c~ c ~ c~ vecorul dacă cclul 97 ~ are coordoaele sau î depedeţă de fapul ~ coţe quasspleul Peru orce -cople de relaţ ul-are Veble-Aleader [5] [5] de u uăr par sau par de or Teorea 8 Peru orce -cople de relaţ ul-are eţoae a sus ese adevăraă egalaea: ude relaţa: C I * ~ C * ese vecorul raspus vecorulu C c~ c ~ c ~ ~ C ~ K are loc aalogul eoree Pocare- R K cu propreăţle dacă ş ua dacă are loc Peru a deosra aceasă eoreă vo avea evoe de aue rezulae auăoare Def pe copleul K aplcaţa: f :K Z

98 îcâ peru orce quassple d K are loc ua dre relaţle: f sau f Peru o îţelegere uvă adecvaă î locul oaţe f sau f obşu să scre Z î odul urăor: ude q sau Î cazul a două - laţur: ) vo q Asfel pue descre u -laţ -desoal pese câpul L def operaţa de aduare î odul urăor: L q q L q q q L b q b q b q L b q b q b q 3) ude pr se oează operaţa de aduare î grupul Z q Uşor se verfcă că ulţea uuror -laţurlor -desoale î rapor cu operaţa de aduare forează u grup pe care îl vo oa pr L Î od slar celor eaae î paragraful 5 def oţuea de -froeră a -laţulu ude L : L q L ar su faţeele cu desuea ale quasspleulu card Dacă L auc fd oa pr -cclu al copleulu desoale d L se va u -cclu -desoal al copleulu Z Pr defţe vo cosdera orce elee d K Dacă K ca u Z repreză ulţea uuror -cclurlor - K auc aceasa forează u subgrup al grupulu L Î od slar cu cele descrse î paragraful 6 î cazul copleulu de relaţ ul-are K ) se forează: 98

99 Z ulţea uuror -cclurlor d Z ese u subgrup al grupulu / Z Z care su ooloage cu Evde Z K Z grupul -oologlor pese câpul Z rupul K D D Dr ude D r ese u subgrup cclc f d K ragurle -oologlor K caracersc Euler: Nuerele p p p cofor relaţe 8) poae f reprezea î odul urăor: K de ragul do Dacă oă pr p auc obţe urăoarea erpreare a K p K 33) se uesc coefceţ Bey după odulul peru grupurle de oolog K K K Folosd epresle 3) ş 33) peru caracersca Euler obţe o relaţe slară cu 3) d paragraful 7 ş aue: r p p p 34) Defţa 8 Nuărul p d parea sâgă a relaţe 34) se ueşe uăr ccloac după odulul cu desuea ş se oează pr v K Asfel î baza relaţe 34) pue scre: v K v K K 35) Î paragraful a fos defă oţuea de schele -desoal al -copleulu de relaţ ul-are a se vedea defţa ) Peru copleul K ) vo oa pr K scheleul -desoal Acesa d ură apare la soluţoarea a a ulor problee cu aspec pracc da fd fapul că efceă deseor folosă la odelarea dferelor procese Să eaă arcea de cdeță a scheleulu K s-a doved a f o srucură aeacă K pese câpul C pe care o oă pr I ) ) Rezolvă ecuaţa: ude * I * R Obţe sseul de ecuaț oogee cu operațle de aduare ș îulțre defe î C : 99

100 * * * * * * * * * 36) Noa 8 Orce or de gradul r } { r ese egal cu sau cu ceea ce îseaă că ) I ese o arce oal uodulară Tereul arce oal uodulară a fos rodus peru pra daă de căre Claude Berge lucru ețoa î od specal î lucrarea [33]) Soluța sseulu 36) se cauă sub foră de vecor î coordoae îreg Judecâd ca ş î cazul eoree 7 obţe egalaea: cardb v p K 37) ude B ese baza fale de vecor ~ R D cele eţoae rezulă că î arcea ) I esă o subarce păracă cu desuea aală egală cu v v K deeraul cărea calcula pese câpul C ese dfer de zero ceea ce garaează eseța soluțe Aceasa îseaă că sseul 36) coţe v varable depedee Pr urare peru 36) esă v soluţ fudaeale ce deeră î R u subspaţu cu desuea v Asfel de soluţ po f: R c c c R c c c c R c c c c v v v v v v 38) Cofor oe 8 oţ vecor ce forează sseul fudaeal de soluţ au acese coordoae) Vo reprezea soluţle 38) pr arcea raspusă: ~ v v v v v v c c c c c c c c c c 39)

101 Defţa 8 Marcea 39) se ueşe arce ccloacă pese câpul C peru scheleul -desoal al -copleulu de relaţ ul-are K ) Reve acu la deosraţa eoree 8 Deosraţe I Fe ~ ~ ~ ~ c c c c ) u vecor arbrar d R ce verfcă relaţa: ~ ~ c )) R Să arăă că î acese codţ vecorul raspus I ) c * c * sasface egalaea: Peru a deosra afraţa e sufce să o face peru u -cclu splu cclu ce u coţe repeăr de eleee) ş coe ~ ~ î cazul uu cclu arbrar se face descopuerea acesua î cclur sple cu eaărle uleroare respecve) U asfel de cclu geerează u subcople coe î scheleul -desoal subcople pr K ar pr K Acese grupur posedă propreăţle: ar caracersca Euler Orce al -cclu ~ s K Să oă aces grupurle de -oolog ale lu Z ~ K sasface egalaea: ~ K -cclur sple ş coee de aceeaş desue: ~ ~ ~ Z dacă ese par dacă ese par coe îsă u ş splu poae f reprezea ca o reuue obşuă de Noă pr I ) arcea de cdeţă a scheleulu -desoal respecv Auc produsul scalar al vecorulu c~ ~ c~ c~ c~ c ~ la vecorul le ) al arce I ) va f: c~ Ave două posblăţ: ~ ~ ~ ) ) ) ) ~ c c c c ) 4) a) -cclul suda coţe u quassple ) -desoal care ese faţeă couă eac peru două quassplee -desoale d cclu Pr urare î aces caz produsul scalar 4) ese egal cu ; ~

102 b) u se respecă codţa cu referre la -cclu dcaă î pucul precede Î acese codţ deoarece cclul respecv u coţe quassplee -)-desoale vo avea: ~ dacă c ) ~ dacă c Pr urare ş î aces caz produsul scalar 4) ese egal cu II Fe ~ ~ ~ ~ c c c c ) vecorul raspusul cărua sasface egalaea d eoreă: I ) c* Toodaă vecorul ~ c prr-o cobațe lară a c ~ c~ ~ c ) se repreză vecorlor c c c v care forează sseul 38) Pr urare peru a deosra codța ecesară a eoree răâe să deosră că fecare dre vecor c v se repreză prr-o cobațe lară a -cclurlor vecor d R ) Eaă ulțea a uuror quasspleelor -desoale q d peru care ulele c c c c ) v coordoae ale vecorulu v c ~ corespuzăor lu q su dfere de Fe Deoarece fecare dre produsele c ~ ~ preşe valoarea sau ş c rezulă că c coţe u uăr par de uăţ Fe ~ c ~ ~ ~ 4) c c c D cele eţoae a sus referor la produsul c~ ) rezulă că esă u uăr par de dc î sua 4) fe îcâ spleele q q q su cdee cu faţea propre q a quasspleulu q Noă pr K ) ş K ) ş respecv Evde ese adevăraă K subcopleele d geerae de ulţle relaţa: K ) K ) Copleul K ) poae avea a ule copoee coee Fe acese copoee su: K ) K ) ) K r Fecare dre copleele K ) r repreză u -cclu opologc de pul Euler Noă acese -cclur coee ş dscrpve) pr ~ ~ ~ r Are loc egalaea: c ~ ~ ~ r

103 de ude î baza celor eţoae a sus obţe: c ~ R Cosecţa 8 Peru arcea de -cdeţă s ) K al -copleulu de relaţ ul-are loc egalaea: C K ş arcea ~ I Deosraţa cosecţe rezulă eda d eorea 8 Cosecţa 8 Peru arcea de -cdeţă s ) K al -copleulu de relaţ ul-are loc egalaea: ude * ~ * C I * ese raspusa arce I a scheleulu -desoal K ş arcea I C ~ I ar * C ~ pese câpul C are I a scheleulu -desoal C ~ pese câpul C are ese raspusa arce C ~ 9 Cocluz la capolul Î rezulaul sudulu efecua a fos cosruă o srucură aeacă dscreă ouă uă cople de relaţ ul-are care geeralzează srucurle dscree clasce cu ar f grafurle hpergrafurle copleele splcale ec Capolul coţe u şr de rezulae ce cosue fudaeul eorec al drecţe de cerceare deerae de aspecul opologc al relaţlor ul-are Pord de la defţa propru-zsă a copleulu de relaţ ul-are R R R } ) cosru pe produsele carezee ale ue ulţ de eleee X { r R se sudază propreăţle de bază ale acese srucur ecesare peru cerceărle uleroare eeralzâd oţuea de laţ ş cclu cuoscue peru srucur aeace a sple cu ar f grafurle se cosruesc grupurle de oolog ş cooolog ale copleulu R R R ) Î ere grupurlor de oolog se obţ rezulae porae ce ţ de srucura copleelor de relaţ ul-are coeaea acesora calcularea uărulu ccloac ş coccloac ec De aseeea se sudază u caz parcular al copleulu de relaţ ul-are u arbore Arbor repreză acele odele aeace peru care po f elaborae eode efcee de soluţoare a probleelor pracce 3

104 Î baza celor descrse î capolul cosaă obţerea uor rezulae prcpale peru dezvolarea î couare a eore copleulu de relaţ ul-are: - au fos cosrue grupurle de oolog ş cooolog; - a fos sablă legăura dre grupurle de oolog ale uu cople de relaţ ul-are ş dualul acesua; - a fos deosraă eorea Kologorov-Aleader cu prvre la dualaea grupurlor de oolog ş cooolog î cazul copleulu de relaţ ul-are; - a fos dedusă forula recureă peru calcularea uerelor ccloace; - au fos deosrae propreăţ porae ale arborelu sabl; - a fos deosra aalogul eoree Pocare-Veble-Aleader Ţâd co de eaărle d capolul deduce urăoarele cocluz: Pr cosrurea copleulu de relaţ ul-are care la râdul său geeralzează a ule srucur dscree clasce cu ar f grafurle hpergrafurle copleele splceale ec a fos propusă o ouă srucură dscreă ce poae f folosă î calae de odel aeac la eaarea ş soluţoarea probleelor eoreco-aplcave; Folosrea grupurlor de oolog ş cooolog la deerarea propreăţlor copleulu de relaţ ul-are deoă posblaea aplcăr eodelor de sudu ale opologe algebrce peru eaarea srucurlor dscree Aceasă suaţe a pers efecuarea cerceărlor la u vel calav ou peru asfel de srucur; 3 Folosrea ragurlor grupurlor de oolog ale copleulu de relaţ ul-are a pers deducerea ue forule efcee de calcul a uărulu ccloac chesue poraă peru sablrea propreăţlor cobaorale ale uu asfel de cople ecesare la soluţoarea probleelor aplcave; 4 Deosrarea aalogulu eoree Pocare-Veble-Aleader eorea 8) cuoscuă î legăură cu eaarea coururlor uu graf orea repreză u srue effce care a fos folos peru suderea cclurlor -desoale ale copleulu de relaţ ul-are ş cosrurea arce ccloace a copleulu respecv; 5 Suderea arborlor drep caz specal al copleulu de relaţ ul-are a pers obţerea uor rezulae ce ţ de acoperrle e cu vârfur ale copleulu ş ulţle er sable d R R R ) care geeralzează rezulae cuoscue d eora grafurlor Rezulaele ce ţ de suderea coreglor suspedae po f ule la elaborarea uor algor erav de soluţoare a probleelor cobaorale pe arbor 4

105 3 CONVEXITATEA ÎN COMPLEXUL DE RELAŢII MULTI-ARE Odaă cu defrea oţu de laţ îr-u cople de relaţ ul-are a se vedea defţa 4) pue cosdera aces cople drep u spaţu erc X R d cu fucţa dsaţe d : R R N eeralzâd î couare oţuea de laţ -desoal î a se vedea paragraful 3) care pere la râdul său geeralzarea oţu de ulţe d - coveă cuoscuă d eora grafurlor [6] [] se sudază a ule propreăţ ale acesea eprae pr eoreele Se sudază ulțle covee defd oțuea de -sege erc -desoal rafurle fd u caz parcular al copleulu de relaț ul-are ș avâd o srucură relav splă peru sudu servesc drep supor la suderea dverselor aspece legae de propreățle ulțlor covee î spaț erce dscree Î paragrafele 3 ș 33 su sudae grafurle eoreae ș respecv cele oreae î care îveloarea coveă a orcăror două vârfur eadacee prvă ca o procedură eravă de aplcare a operaorulu de cosrure a aceseea a se vedea paragraful 3) cocde cu ulțea uuror vârfurlor grafulu rafurle respecve se uesc d-cove sple ș au fos sudae î a ule lucrăr [33] [34] [36]-[39] [47] [57] [64] [63 ] Noțuea de dsață î cazul uu graf orea u se coporă ca o ercă u are loc propreaea couavă) Aceasă suațe pue ecesaea suder grafurlor oreae cu propreăț specale Specfcul oţu de coveae î cazul grafurlor oreae ese lucda î paragraful 33 Se defesc a ule operaț asupra grafurlor d-cove sple oreae care se coporă ca operaț algebrce 3 Noţule de coveae ş îveloare coveă Defţa geerală a oţu de coveae precu ş de îveloare coveă a fos daă peru pra daă î lucrarea [4] de căre F Lev Prele rezulae obţue au pus bazele ue o drecţ de cerceare î aeacă dezvolae î couare de căre JWEllss [4] PCHaer [4]-[44] DCKay & EWWoble [45] Sersa [46] [47] Î preze su cuoscue dverse odele de coveae apărue î legăură cu ecesaea soluţoăr uor problee cu caracer eoreco-aplcav care se regăsesc î lucrărle a a ulor aeace cuoscuţ pe apaod: PSola [6] [48] ISergheco [49] [5] MCovalov [5] [5] VSola [] ec 5

106 Îcepe cu defţa coveăţ forulaă de căre FLev [4] Fe P X ) fala uuror subulţlor ue ulț arbrare X Alege o subfale Ф P X ) Defţa 3 Fala de ulţ Ф P X ) ce posedă propreăţle: a) X Ф ; b) dacă A A Ф auc A A Ф se ueşe coveae î X Perechea X Ф) se ueşe spaţu cove ar eleeele d Ф ulţ covee Cofor acese defţ peru orce ulţe de eleee X poae f dcaă o fale de subulţ care forează o coveae î X De eeplu î spaţul lar fala uuror sferelor cu cerul î orgea sseulu de coordoae ese o coveae Evde î cazul spaţulu lar coveae respecvă u ese ucă Ţâd co de defţa 3 pue afra că dacă Ф ese o coveae îr-u spaţu X auc orce subulţe A X aparţe cel puţ ue ulţ covee d Ф Aceasa la râdul său îseaă că î X esă o ulţe coveă ală ce coţe subulţea A X Mulţea respecvă se a ueşe îveloare coveă a lu A Vo prezea ac defţa oţu de îveloare coveă îpruuaă d lucrarea [4] char dacă î leraura de specalae se îâlesc ş ale varaţ echvalee ale acesea [6] [] ]45] ]45] Defţa 3 Aplcaţa : P X ) P X ) care sasface relaţle: a) A A) peru orce subulţe A X ; b) A)) A) peru orce subulţe A X ; c) A) B) peru orcare două subulţ A B P X ) îcâ A B se ueşe îveloare coveă î spaţul X -Laţ -desoal îr-u cople de relaţ ul-are Vo eaa acu spaţul eleeele cărua su oae coregle copleulu coe R R R ) Cu ale cuve vo eaa spaţul deera de reuuea Peru a def î aces spaţu o coveae vo def oțuea de laț care dferă de cea a lațulu lar a se vedea defța 4) îsă pare a f a frească î coeul celor eaae R î couare Fe r r două eleee arbrare ale relaţe -are R Evde peru r r odeaua pue cosru u şr fora d eleeele copleulu urăoarele două propreăţ: 6 ce posedă

107 a) prul ş ulul elee d cocd cu r ş respecv r ; b) orcare două eleee vece ale acesu şr au ersecţe evdă Asfel de şrur su prea geerale ş u po f ule peru eaarea uor parcularăţ ale copleulu de relaţ ul-are Defţa 33 Şrul de coreg r r r s ale relaţe -are R ce posedă propreăţle: ) r r r r ; s ) r l r R l p p peru orce p s se ueşe -laţ -desoal cu ereăţle î r r ş se oează pr L r r ) Nuărul s se ueşe luge a acesu laţ Ueor vo obșu să folos peru lațul L r r ) deurea de ) -laț Ușor e covge că ) -lațul repreză o geeralzare a oțu de laț cuoscuă d eora grafurlor [5] [3] Lea 3 Dacă șrul r r r s repreză u ) -laţ ce ueşe două subcoreg eredare r r ș r r auc î s esă h)-laţ ce ueșe orcare două subcoreg eredare d r ş s r ce coţ câe h eleee fecare h Deosraţe Îr-adevăr dacă î cazul -laţulu -desoal L r r ) r r r ) alege subcoregle eredare s r r h h r r îcâ s h r r r ș r h s r r auc pue cosdera usă relața s L r r ) r r r ) L r r ) s h h h Î cazul câd de eeplu h r r r ar r h s r r pue cosdera lațul L r r ) r r ) Celelale două cazur răase: s h h h s a) h r r r ş r h s r r ; s b) h r r r ş r h r s r s se eaează î od slar Rearca 3 D eseța -laţulu -desoal L r r ) r r r ) u s rezulă eseța uu h)-laţ ce ueșe două subcoreg eredare h r r ș h r r s h 7

108 Defţa 34 Dacă peru orcare două eleee r r ale copleulu esă cel puţ u -laţ -desoal ce le ueşe auc se ueşe cople ) -coe Cofor defţe 34 orce cople coe de relaţ ul-are R R R ) def î capolul a se vedea defța ) poae f cosdera ș cople )-coe Folosd -laţurle -desoale ce leagă perechle de eleee cu aceeaş desue ale uu cople de relaţ ul-are vo def oţuea de coveae ş îveloare coveă peru aces cople Ba a ul vo arăa că o coveae î deeră î od uvoc o îveloare coveă ş vers orce îveloare coveă deeră î od uvoc o coveae î -Sege erc -desoal îr-u cople de relaţ ul-are Teora geerală a coveăţ îr-u spaţu arbrar X a fos fudaeaă pord de la defţa 3 pr eforul a a ulor aeace Î od eseţal au corbu la dezvolarea acese drecţ de cerceare î aeacă savaţ cu reue cu ar f JWElls [4] PCHaer [4]-[44] JEchoff [59] DCKay & EWWoble [45] KEJaso [6] Sersa [46] [47] va de Vel & LJMarcel [6] MKre & VSula [6] ec Toodaă au fos sudae ş dverse odele de coveae prre care u rol apare î reve d - coveăţ Peru pra daă ulţle d -covee au fos eaae î lucrarea [53] de căre KMeger Ma ârzu aceasă oţue a fos redescoperă d ou de a ule or î lucrărle alor aeace î legăură cu îcercarea acesora de a soluţoa dverse problee cu caracer aâ eorec câ ş pracc: J de roo [54] AAleadrov & VZalgaller [55] FTorazos [56] ESoees [57] PSola & ChPrsăcaru [4] Fd rodusă î od depede î geoere opologe aalză fucţoală ş eora grafurlor d -coveaea s-a doved a f u odel reuş al coveăţ care ş-a adus aporul la soluţoarea uor problee porae cu caracer aplcav [6] [4] [58] Î cazul copleulu de relaţ ul-are R R R ) vo cosdera că fecare relaţe -ară R deeră u spaţu eleee ale cărua su coregle d R Pe fecare asfel de spaţu vo def coveaea î coforae cu defţa 3 folosd -laţurle -desoale roduse pr defța 33 Cele epuse î couare repreză o edere a delor prezeae î oografa [64] Peru cerceărle uleroare vo avea evoe de urăoarele două oţu: 8

109 -Laţ -desoal ce ueşe două eleee cu aceeaş desue r r R Asfel se va u ) -laţul r r L cu cea a că luge ce leagă coregle r r R Fucţa dsaţe d : R R N Asfel se va u fucţa ce pue î corespodeţă orcăror două coreg r r cu aceeaş desue d u uăr egal cu lugea - laţulu -desoal Peru a deosra că fucţa dsaţă î spaţul cazul câd îre eleeele R vo arăa că aceasa posedă propreăţle ue erc defe î r r u esă ) -laţ se cosderă d r r ) ) d repreză o R Î Lea 3 Fucţa d : R R N îcâ d r r ) repreză u uăr egal cu lugea ) -laţulu cu ereăţle î r r R posedă propreăţle: a) d r r ) peru orcare două eleee r r R ş r r ) d dacă ş ua dacă r r ; b) d r r ) d r r ) peru orcare două eleee r r R ; c) d r r ) d r r ) d r r ) peru orcare re eleee r r r R Deosraţe Corecudea afraţe a) d leă se verfcă pr aplcarea oţu de luge a uu -laţ -desoal a se vedea defţa 33) Reeşd d defţa ) -laţulu L r r ) rezulă că dacă şrul r r r leagă s coregul r r cu coregul r r auc şrul s r r r leagă coregul r s s r r s cu coregul r r Aceasa îseaă respecarea codţe b) d lea 3 Să fă acu re coreg arbrare u esă ) -laţ r r ade că îre coregle r r r cu desuea d 9 Dacă îre r r L auc egalaea c) d lea 3 ese adevăraă Să r ş De aseeea cosderă că esă laţurle e: r esă ) -laţul L r r ) r r r ) L L r r ) rd r ) d r d r r ) re r ) e r e q q Î caz că cel puţ uul dre laţurle L r r ) L r r ) u esă lugea acesua se cosderă egală cu de ude rezulă corecudea propreăţ c) d lea 3 q

110 Dacă auc propreaea c) ese deosraă Fe Deoarece r r d ca ua dre ereăţle laţulu L r r ) obţe r d r e R Aceasa îseaă că şrul de coreg r r r r r r ) d d d e e e repreză la râdul său u -laţ -desoal cu ereăţle î r r lugea cărua ese Obţe corazcere cu fapul că L r r ) r r r ) ese u -laţ -desoal q q Coradcţa obţuă deosrează propreaea c) ş odaă cu aceasa lea 3 Î baza lee deosrae cosaă că peru u cople de realţ ul-are R R R ) pue def spaţle erce R d ) q Peru coregle r r R vo u -sege erc -desoal ulţea: r r { r R : d r r ) d r r ) d r r )} l l l ude Se a spue că segeul erc r r leagă coregle r r ue ș ereăț ale acesu sege Coveaea deeraă de fucţa dsaţe d Noă pr două coreg -desoale Teorea 3 Fala D fala uuror ulţlor A R ce posedă propreaea: peru orcare r r R ese respecaă cluzuea r r A D repreză o coveae î R Deosraţe Observă a îâ că ese adevăraă relaţa ersecţa orcăror două ulţ deoarece fecare dre ulţle A ş B ese d R D Să eaă acu AB D Dacă ave două eleee r r A B D obţe: r r A; r r B auc Pr urare r r A B ceea ce îseaă că A B e o ulţe d D D cele deosrae rezulă că fala ese o coveae î R D posedă propreăţle d defţa 3 Dec D Eleeele fale D le vo u ulţ ) -covee ale copleulu de relaţ ul-are

111 Vo arăa î couare că î baza coveăţ D pe ulţea uuror subulţlor P R ) a spaţulu R pue def o aplcaţe : P R ) P R ) care repreză o îveloare coveă î R Îveloarea coveă deeraă de coveaea copleulu de relaţ ul-are Teorea 3 Aplcaţa : P R ) P R ) care pue î corespodeţă fecăru elee A P R ) o ulţe ) -coveă ă d repreză o îveloare coveă Deosraţe Fe daă coveaea: D ce coţe ulţea A D { B P R ) : r r B peru r r B} P R ) defă a sus ş : P R ) P R ) aplcaţa ce sasface codţle eoree Meţoă că orce ulţe ) -coveă ă ce coţe o ulţe arbrară A P R ) se obţe pr ersecţa uuror ulţlor ) -covee ce coţ ulţea A Pr urare pue cosdera corecă egalaea: peru orce ulţe A P R ) A) { B D : A B} 3) Peru a deosra eorea e sufce să deosră că aplcaţa ce respecă codţa 3) posedă propreăţle caracersce ue erc a se vedea defţa 3) a) Dacă A ese o subulţe arbrară d da fd fapul că A) respecă codţa 3) R auc cluzuea A A) ese evdeă b) Egalaea A)) A) rezulă d fapul că A) D reprezeâd ersecţa uor ulţ d D a se vedea eorea 3) c) Peru a deosra că aplcaţa sasface ş cea de-a rea relaţe d defţa 3 vo cosdera două ulţ arbrare A ş B d relaţe 3) obţe: A) { E D : A E} D ce respecă codţa A B Cofor O ulţe E D ce coţe A ar puea la râdul său să coţă ulţea B sau u Aceasa îseaă că ese adevăraă cluzuea: { E D : A E} { E D : A E ş B E})

112 { E D : B E}) { F D : B F}) B) Pr urare A) B) D cele deosrae rezulă că dacă aplcaţa : P R ) P R ) sasface relaţa 3 auc aceasa repreză o îveloare coveă î R Pr eorea 3 s-a deosra că cuoscâd fala de ulţ ) -covee îr-u cople de relaţ ul-are pue î baza acesea să def îveloare coveă Cosecţa 3 Î cazul uu cople de relaț ul-are R R R ) coveaea D { B P R ) : r r B peru r r B} deeră î od uvoc îveloarea coveă : P R ) P R ) îcâ A) B ude B ese o ulţe ) -coveă ă d D ce coţe ulţea A Deosraţe Să ade că cu auorul coveăţ covee ş Î acese codţ B) B dacă ş ua dacă B) B Peru o ulțe arbrară B P R ) obţe egalaea: ceea ce îseaă respecarea relaţe: Î od aalog obţe: B)) B) B) B)) B) B) B)) B) D pue def două îvelor D cele deosrae rezulă că B) B) peru orce subulţe B P R ) Pr urare O procedură eravă de cosrure a îveloare covee Î cele ce urează ulţea A) a ue subulţ arbrare de coreg u îveloare coveă a lu A ş se va oa pr de cosure a îveloare covee d -cov A) A R se va d -cov A) Descre o procedură eravă I Iţal cosderă A A

113 II Fe a fos cosruă ulţea A q q Peru fecare două eleee dsce r r r r Aq deeră -segeul erc -desoal Cosru ulţea: A A r r ) q q r r Aq III Dacă A pasul II A q q auc peru q A repeă operaţa aplcaă asupra ulţ A q la IV Dacă A q A auc cosderă q d -cov A) Aq Pr aplcarea procedur erave descrse cu auorul pașlor I-IV se face o edere a ulț de coreg A P A) pr adăugarea uuror - segeelor erce -desoale cu ereăţle î eleeele r r A Î cele ce urează aceasă procedură o vo oa: P A A r r ) r r A pue scre PA r r r r A r r A Deoarece A r r ) Folosd aceasă operaţe de edere a ulţ A cosrurea îveloare covee d - A cov poae f asocaă cu cosrurea şrulu: P q q A A) P A) P A) P A) P ) ude P A) A P A ) P P A )) s 3 q s s Î acese codţ d - cov A) P A) q Cosderă acu aplcaţa ˆ : P R ) P R ) Î coforae cu aceasă aplcațe ue ulţ A P R ) se pue î corespodeţă ulţea coveă aplcarea procedur erave descrse a sus Lea 33 Aplcaţa ˆ ese o îveloare coveă î 3 R d -cov A) cosruă pr Deosraţe Peru a deosra lea 33 vo arăa că aplcaţa ˆ verfcă propreăţle îveloare covee d defţa 3 a) Fe A o subulţe arbrară de eleee d R Dacă peru orcare două eleee r r A se respecă relaţa r r A auc î baza procedur erave descre a sus are loc egalaea:

114 Î caz corar se cosrueşe şrul de ulț A d - cov A A P ) A) P A) Pq A d - A) cov 3) de ude rezulă că pra propreae a îveloare covee dcaă î defţa 3 se respecă Să verfcă cea de-a doua propreae b) Î coforae cu procedura eravă descrsă a sus peru subulţea de coreg A R foră şrul 3) Pr urare: ) - cov A) Pq A) A d ceea ce îseaă că peru orcare două eleee r r Pq A) se respecă relaţa: de ude face cocluza: Î rezula obţe: r r P A) d - cov A q ) d - cov A) d - cov - cov A)) - cov A) c) Fe A ş B două ulţ d P R ) cu propreaea A B d q d Deoarece orcare două eleee r r d A aparţ ş ulţ B cosrurea îveloarelor covee peru A ş B poae f reprezeaă pr ua dre scheele: sau P A) P A) P A) d P B) P B) P B) P q q q cov A) 33) P A) P A) P A) P P B) P B) P B) d q q q B) P B) d A) P A) d cov B) cov B) cov A) 34) Î fecare dre acese două schee relaţle P A) P B) q su evdee da fd fapul că orcare două eleee dsce d P A) aparţ ş ulţ P B) Î cazul schee 33) obţe șrul de cluzu P A) P B) P B) P B) q q q de ude obţe: 4

115 d d - cov A) - cov B) Realzarea schee 34) ar îsea că ese adevăraă relaţa: d - cov A) P B) B Îra-devăr î codţle schee 34) ave suaţa câd îveloarea coveă a ulţ A u depăşeşe ulţea B deoarece se presupue că uărul de paş aplcaţ la cosrurea îveloare covee a ulţ A ese a are decâ uărul de paş ecesar la cosrurea îveloare covee a ulţ B ceea ce coduce la cocluza q Pr urare ş î cazul schee 34) se realzează cluzuea: d cov A) d cov B) Pr urare ş cea de-a rea propreae d defţa 3 se respecă ceea ce îseaă că ˆ ese o îveloare coveă Pr aplcaţa ˆ a sabl u al od de arbure a îveloare covee ue ulţ A P R ) îsă cofor cosecţe 3 aplcaţa ˆ ş aplcaţa d eorea 3 cocd Să eaă îveloarea coveă descrsă pr aplcaţa ˆ Teorea 33 Îveloarea coveă ˆ defeşe î od uvoc o coveae D î ulţea de coreg -desoal a copleulu R R R R ) î odul urăor: D ese foraă d oae ulţle elee P ) D A A R peru care şrul 3) ese fora dr-u sgur Deosraţe Peru a deosra afraţa d eoreă e sufce a deosra că fala A R : P A) P )} sasface codţle defţe 3 Meţoă că relaţa { A R D ese evdeă Ne vo aa pe deosrarea cele de-a doua codţe d defţa 3 obţe Alege două ulţ arbrare A ş B d Deoarece precu s-a eţoa a sus D D relaţle 35) ş 36) rezulă: D Peru acese ulţ ese evdeă relaţa: ˆ A B) ˆ A) ˆ B) 35) A R : P A) P )} { A ˆ A) ˆ B) A B 36) ˆ A B) A B 37) 5

116 Î baza propreăţ a) a îveloare covee a se vedea defţa 3) deduce: A B ˆ A B) 38) La râdul său relaţle 37) ş 38) plcă egalaea: ˆ A B) A B Î baza relaţe D A R : P A) P )} deduce că are loc relaţa { A A B D Pr urare R R R ) D repreză o coveae î copleul de relaţ ul-are Să deosră acu ucaea coveăţ deerae de ˆ Ade corarul Fe a esă o coveae Dˆ dacă { A R : ˆ A) A} Egalaea A D Dˆ deeraă de îveloarea coveă ˆ cofor relaţe Dˆ D rezulă d fapul că A) A ˆ dacă ş ua Eleee ereale î R Să reve la spaţul erc R d ) cosru î baza relaţe -are R a copleulu R R R ) Ţâd co de cele descrse aeror aces spaţu a poae f u )-cove Mulţlor covee d spaţul R d ) le su caracersce prcpalele propreăţ cuoscue ale ulţlor ce aparţ ue coveăţ cosrue î coforae cu defţa 3 Dverse aplcaţ ale acesora la soluţoarea probleelor eoreco-aplcave se regăsesc î ulple surse bblografce a se vedea de eeplu [] [4] [48] [34]-[37] [6] [73] [78] [79]) U rol pora î eaarea uor problee pracce reve aşa-uelor eleee ereale drep eeplu poae serv problea dvzăr ue fgur plae recagulare î părţ d-covee apăruă la ua dre uzele d Ms ş soluţoaă î a 7 a secolulu recu de căre dscpol acadecaulu P Sola [48]) Rezulae aaloage celor epuse î [43] [78] peru copleul de relaţ ul-are ura eoreele 34 ş 35) su eprae pr cele două eoree ce vor Def a îâ oţuea de elee ereal al ue ulţ covee ş de r-supor cove a uu elee r R Defța 35 Eleeul r A se ueșe puc ereal al ulț A R dacă r d cov A \{ r}) Mulțea uuror eleeelor ereale d A se oează pr ea 6

117 Defța 36 Mulţea aal coveă AP R ) ce u coţe eleeul ueşe r-supo cove î Ese clar că u elee R ş se oează pr aseeea o ulţe coveă aală A d A r r R se r R u deeră î od uvoc r-suporul cove A r De D serveşe drep r-supor cove peru orce elee \ r R A Dacă ţe co de defţa coveăţ D deerae de fucţa dsaţe d ş a îveloare covee respecve a se vedea cosecţa 3) uşor e covge de corecudea urăoare afraţ Lea 34 Peru orce subulţe aală C care sasface codţa A B ulţea { F D : A F B} ese coveă Teorea 34 Dacă ese defă coveaea su adevărae afraţle: A D B R esă o ulţe coveă A C B Mulţea C ese ucă dacă ş ua dacă D ar A ese o subulțe d R auc r ea dacă ș ua dacă esă u r-supor A r al puculu r R îcâ A \{ z} ; A r A d covea ) dacă ș ua dacă peru orce elee r A ș orce r-supor A r are loc relața: Deosrațe Dacă r ea R \ A ) ea r auc cofor defțe 35 are loc relața r d cov A \{ r}) Î baza lee 34 esă u r-supor A r îcâ d cov A \{ r}) A r Auc A \{ r} A Ivers dacă esă u puc r R r ș A \{ r} Ar auc d cov A \{ r}) A Pr urare r d cov A \{ r}) adcă r ea r Fe A d covea ) r A ar A r ese r-suporul respecv Dacă ea Ar auc A d cov ea ) d cov A ) A ceea ce ar îsea că r A r r Pr urare ea A r Ivers fe că esă u puc r A \ d cov ea ) Auc esa u r-supor A r peru care are loc relața d cov ea ) A Aceasă suațe plcă relața: r ea R r \ A ) care ese posblă 7

118 Teorea 35 Peru orce subulțe A R are loc egalaea: ea { B A: d covb d cova} Deosrațe Fe C { B A: d covb d cova} Dacă A \ C auc esă o subulțe B A peru care are loc egalaea d covb d cova ș care u coțe pucul Aceasa plca relațle: care plcă Ivers fe ea B A \{ } d covb d cov A \{ }) ea Auc d cov A \{ }) Î acese codț ave: A A \{ }) { } d cov A \{ }) Luâd î cosderaţe cele obţue deduce: C A \{ } ș C Rezulaul obțu pr eredul eoree 35 pere să cosderă că peru orce subulțe A X ese adevăraă relața: e d cova) ea Propreăţle operaorulu P La fele acesu paragraf folosd o ehcă slară cu cea epusă î [] [79] vo deosra uele propreăţ ale operaorulu P def aeror ş folos la cosrurea îveloare covee Noă pr daa dsaţa aă dre eleeele ulţ Teorea 36 Peru orce ulțe A R are loc egalaea: dap A) daa 8 A R Deosraţe Fe y ş y două eleee oarecare d P A) Peru ele esă z A îcâ: d y ) d y z ) d z ) Să cosderă acele puce z A peru care: Î rezula obțe: d y ) d z)

119 de ude deduce: d y y d ) d z ) d y ) d ) d ) d z y ) ) daa dap A) a{ d y y ) : y y P A)} daa Cuoașe că îr-u spaţu lar ora X peru orce ulţe da d cova) daa U rezula slar poae f sabl pr eredul operaorulu P îveloarelor d -covee Teorea 37 Peru orce subulţe da d cova) daa; dapa)=daa A R su echvalee afraţle: A X are loc egalaea: ş î cazul Deosraţe Precu uşor se verfcă corecudea plcaţe rezulă d şrul de relaţ A P A) d cova) Aplcâd la ducţa aeacă peru î baza codţe se obţe: dap A) daa Dacă y d cova auc esă doua uere r s îcâ P A) ş y P A) r s Pr urare y P A) ş auc : s d y) dap A) daa s Aceasa la râdul său îseaă că da d cova) daa Î legăură cu eorea 37 rebue de eţoa urăorul rezula Lea 35 Peru orcare două eleee z R ese adevăraă urăoarea egalae: da z ) d z) Deosraţe Se cosderă două puce y y z Peru ele se poae scre: d y) d y z) d y) d y z) d z) Fe d y ) ș d y z) Deoarece ) auc uul dre uerele sau u depăşeşe uărul d z) Să ade că d ) ceea ce coduce la relaţa: z d 9 d z y y) d y ) d y) d z)

120 D acese cosderee: da z ) d z) Arage aeţa că respecarea codțe d eorea 37 ese legaă ș de oțuea de ulțe daeral aală rodusă pra daă î lucrarea [77] de căre Jesse Defța 37 O ulțe B R se ueșe daeral aală dacă peru orce elee \ z R B are loc egalaea: da{ z} B) dab Teorea 38 Urăoarele afraț su echvalee: da d cova) daa peru orce ulțe orce ulțe daeral aală d R ese d A R ; -coveă Deosrațe Dacă o ulțe A d R ese daeral aală auc d relața A d cova ș afrața d eoreă se obțe că cova A adcă A ese ulțe d -coveă Aceasa deosrează plcața ulțe Î couare se va deosra plcața Ma îâ vo arăa că peru orce A R esă o ulțe daeral aală Peru aceasa eaă fala de ulț: F u ese vdă deoarece F d B R cu propreățle: A B ș daa dab 39) { C X : A C dac daa} A F ordoae î rapor cu operaţa de cludere ulţea Se observă cu uşurţă că peru orce şr de ulţ F F F F F aparţe de aseeea fale F Toodaă fala F coţe cel puţ u elee aal B a se vedea lea lu Zor cuoscuă ş ca lea lu Kuraows-Zor cu prvre la eseţa eleeulu aal îr-o ulţe ordoaă [75] [76]) Ţâd co de copoeţa fale F se observă că B ese o ulţe daeral aal peru care are loc relaţa 39 Î baza cele de-a doua afraţ d eoreă deduce că ulţea B ese d -coveă Pr urare d - cova B de ude rezulă egalaea: da d cova) dab daa

121 3 Coveaea î grafurle eoreae Prre srucurle dscree î rapor cu care au fos obţue a ule rezulae porae ce ţ de suderea ulţlor covee se uără grafurle eoreae Acesea d ură repreză de fap u caz parcular al copleelor R R R ) î care relaţa R ese foraă d şrur eordoae a câe eleee fecare luae d X Î acese codţ dacă X U) ese u graf eorea cu ulţea de vârfur X ş ulţea de uch U auc pue cosdera R R ) Vo spue că o ulţe de vârfur orcare două vârfur A X ese d - coveă î graful dacă îpreuă cu y X ea coţe oae vârfurle ce aparţ uuror laţurlor de luge ă cu ereăţle î X ş Y Prre grafurle ce preză eres d puc de vedere al coveăţ se evdeţază grafurle d-cove sple Acesea se bucură de o propreae poraă la soluţoarea uor problee cu caracer aplcav: îveloarea coveă a orcăror două vârfur eadacee cocde cu ulţea X a uuror vârfurlor grafulu R R ) U graf eorea fără rughur se ueşe d - cove splu dacă u coţe ulţ d- covee A X care geerează u subgraf ecople î Peru pra daă grafurle d- cove sple au fos sudae de căre SRao ş SHebbare [64] [65] care s-au la la o clasă specală de grafur Ceva a ârzu s-a făcu o îcercare de a descre srucura grafurlor d- cove sple î caz geeral [66] îsă rezulaul de bază d arcolul eţoa s-a doved a f greş [67] Uleror au fos sudae dfere clase de grafur d-cove sple fd obţue rezulae eresae cu prvre la srucura acesora ulă la elaborarea uor algor efceţ de soluţoare a probleelor pracce [3]-[4] [47 [64] [63] Teorea 3 Peru orce graf eorea X U) su echvalee afraţle: orce subulţe A X d-coveă; care u geerează î u subgraf cople u ese ulțe d cov{ y}) X peru orcare două vârfur eadacee y X ; 3 d cov{ y}) X peru orcare două vârfur y X aflae la dsaţa do î Deosraţe: Evde afraţa plcă afrața ş recproc Afraţa 3 ese u caz parcular al afraţe Asfel deosrața eoree 3 se reduce la verfcarea plcaţe 3 Peru deosraţa corecud acese plcaţ vo verfca respecarea egalîţ d cov{ z }) X peru orcare două vârfur eadacee d X

122 Fe două vârfur eadacee y X ar z z z ] laţul de luge ă [ y care le ueşe Evde z z z y} d cov{ }) { y Cofor afraţe 3 ese adevăraă egalaea d cov{ z }) X Auc urăoarele două relaţ: { d cov{ z}) X z} { z z z y} d cov{ y}) plcă egalaea d cov{ z }) X ceea ce deosrează plcața 3 Arage aeţa că pr eorea deosraă se face referţă la grafurle d - cove sple deoarece u asfel de graf sasface codţle ş 3 d eoreă Se cuosc clase de grafur coveaea splă a cărora ese deeraă de lpsa ulţlor d - covee de u au cardal [65] [67] Aceasă suaţe u ese valablă ş î caz geeral fap cofra pr urăoarele două eoree Teorea 3 Dacă A ese o ulţe d - coveă propre a grafulu coe X U) cardx î care u esă ulţ d - covee d re vârfur auc 4 carda [ / ] Deosraţe: Fe A o ulţe d-coveă propre a grafulu care sasace codţle eoree Cu ese coe rezulă că esă două vârfur adacee Ay X \ A Deoarece A ese o ulţe d -coveă rezulă că A geerează î u subgraf coe Eaă î A u laţ z z z z ] de luge ă care leagă vârful cu u vârf oarecare [ D codţle eoree rezulă că î X \ A u esă c u vârf care să fe adace cu două vârfur dfere d A Fe că prele vârfur d laţul eţoa a sus su adacee respecv cu vârfurle y v v v X \ A Cofor codţlor eoree peru orce rple de vârfur { v z z } esă vârful p p z care ese adace cu v z Dacă p A auc v p z de ude ave v A ceea ce corazce codţa v X \ A Rezulă că p X \ Aş p v peru orce Pr urare ş peru vârful v al acesu laţ esă u vârf d laţ clusv peru î d A su adacee cu vârfur dfere d X \ A adace cu el D cele deosrae rezulă că peru orce vârf d Î cele ce urează vo oa pr X ;U ) cardalul cărora ese X \ A esă u vârf adace cu el Aceasa îseaă că oae vârfurle X \ A Dec 4 carda [ / ] D fala uuror ulţlor d-covee d graful Teorea 33 Dacă A ese o ulţe d -coveă propre a grafulu coe X; U) cardx î care D 3 [ / ] auc carda [ / ]

123 Deosraţe: Fe A o ulţe d-coveă propre a grafulu care sasface codţle eoree Cu esă vârful D î A esă laţul [ y z] de lugea re Cofor eoree î 3 vv y adace cu z Vârful v ese d A ş v y Dec rezulă că vârfurle yz ş v geerează u cclu de lugea paru Aalogc eoree 3 se poae de arăa că î X \ A esă laţul [ y z v] vârfurle cărua su adacee respecv cu yz v dec ~ y ~ yz ~ zv ~ v Cofor codţlor eoree î u esă ulţ d-covee de cardal paru Pr urare peru ulţea { y z v} esă vârful adace cu y ş sau cu ş y Fe ~ y cazul ~ y se eaează î od aalog) Dacă A auc de ude A ceea ce corazce celor deosrae a sus Dec X \ A D fapul că A ese ulţe d-coveă ş D rezulă că vârful u ese adace cu c u al vârf d A 3 D raţoaee aalogce cu cele de a sus peru ulţea { v z v z} esă u vârf care ese adace cu v ş z sau cu z ş v Nc uul d vârfurle eaae pâă acu u poae f î rolul acesua deoarece î caz corar s-ar obţe coradcţe cu codţle eoree Dec aces vârf ese uul ou oa pr s Î aces caz fecare dre vârfurle ue perech de garfur { v}{ y z}{ z} sau { y v} ese adace cu două vârfur d X \ A resul vârfurlor d A fd adacee vârfurlor dsce d obţe egalaea carda [ / ] X \ A a se vedea deosraţa eoree 3) Asfel Suderea srucur uor clase de grafur d-cove sple ese legaă de oţuea de ao al grafulu eorea Aoul uu graf local f Vo eaa grafurle î care vecăaea orcăru vârf ese fă udu-le grafur local fe ș vo oa pr ) vecăaea vârfulu X a uu asfel de graf X; U) Defţa 3 Se spue că vârful u doă vârful v î graful dacă u) v) Dacă u) v) auc vârfurle u ş v se uesc vârfur cop Noă pr A ulţea uuror grafurlor fără cclur de lugea 3 î care orce vârf ese doa de u careva al vârf 3

124 Teorea 34 Dacă ese u graf d clasa A auc ese d -cove splu Deosraţe: Presupue corarul ş eaă ulţea d-coveă propre A D D a grafulu A Evde esă vârfurle adacee A ș y A Fe vârful ce doă Deoarece î u esă cclur de lugea re rezulă că ceea ce coduce la cocluza y A Vârful sau ese adace uuror vârfurlor d A sau î A esă laţul [ u v] de lugea do Î prul caz obțe că A \ { }) ) ş deoarece A coţe u a puţ de re vârfur vo avea: vârful u auc A Î cazul al dolea dacă u doă u ~ v ceea ce plcă relațle u u v A ş u v A suațe posblă î baza celor descrse a sus Defţa 3 [39] Subulţea de vârfur D se ueşe doaă î graful X U) dacă peru X \ D y D îcâ y doă Cofor defţe 3 pue cosdera că orce vârf X ese doa de el îsuş Dacă î graful arbrar X U) ulţea D ese doaă auc D ese o ulţe eer sablă î ulţea A X a grafulu X U) se ueşe eer sablă dacă z X \ A A îcâ ~ z [68] [69] Îr-adevăr fe z X \ D u vârf arbrar ş î D u esă c u vârf adace cu z D defţa ulţ D se deduce eseța vârfulu D care doă z ş ) X \ D Fe p ) auc î D esă vârful w care doă p adcă p) w) Rezulă că z w) ceea ce corazce presupuerea despre z Dec D e o ulţe eer sablă î Teorea 35 Toae ulţle doae ale grafulu local f care su ale î rapor cu operața de cluzue geerează subgrafur zoorfe Deosraţe: Să cosderă ulţle: S { X : y X ) y)} R { X \ S : y X ) y)} Deoarece ese u graf local f orce vârf z S ese doa de u vârf d ulţea R S Îr-adevăr cu z S î sau esă vârful y peru care z) y) sau esă vârful v peru care z) y) Î prul caz d fapul că ese local f rezulă că reuuea R S coțe u vârf ce doă z ar î al dolea z ese doa de v Cofor defţe 3 orce vârf d S se doă pe se îsuș Asfel orce ulţe doaă d se coţe î R S ş coţe la râdul său î îrege ulţea S Peru orce R foră ulţea R ) { } { yr : ) y)} Dacă R auc are loc egalaea 4

125 ) y) sau ) y) Rezulă că R ese dvzaă î clase de echvaleţă {R } ude ese u uăr cardal ş fecare ulţe doaă rebue să coţă cel puţ câe u vârf d fecare clasă R De ac rezulă că fecare ulţe doaă ală după cluzue coţe ulţea S ş câe u vârf d fecare clasă R Fe D ş D două ulţ d doae ale după cluzue Def aplcaţa becvă ) R dacă S M dacă R M Vo arăa că aceasă aplcaţe deeră zoorfsul grafurlor M ) ş M ) Fe y) o uche a grafulu M ) ş ) ar y) y Dacă y S auc ş y y Dacă S ş y S auc ş y) y) de ude y) Dacă y S auc ) ) ş y) y) Cu ~ y rezulă că ~ y dar auc ~ y Aceasa d ură deosrează corecudea afrațe d eorea 35 Aşadar oae ulţle doae ale grafulu local f care su ale î rapor cu operața de cluzue geerează uul ş acelaş subgraf care î couare se va u aoul grafulu Operaţ asupra grafurlor d-cove sple Vo descre o clasă specală de grafur eoreae eaae î oografa [64] ş ecesară peru vesgaţle ce vor ura: I Clase î aparţ oae grafurle X U ) ude: X u v } { U { u ) v ) : } II Î baza grafulu ) se cosrueşe graful X U ) : X X { y y y } U U { a b) : a b X u abele aparţ lu X ș se respecă codţle: a) Peru orce vârf y esă două vârfur dsce pq îcâ se respecă X codța: d cov{ p q}) ; y b) Peru orce două vârfur ab X aflae la dsaţa do î esă două vârfur dsce pq X îcâ su sasfăcue relaţle: 5

126 p ş q su dfere de a ş b ; p q) d ; 3 p q d cov{ a b}) c) raful u coţe rughur} III Î u su ale grafur î afară de graurle descrse î I ş II Clasa descrsă de grafur eoreae ese o reuue de fal de grafur obţue recursv î coforae cu procedurle descrse a sus: ude repreză oae grafurle X U ) descrse la pasul I de cosrure a clase ar repreză fala uuror grafurlor ce se obţ d grafur oarecare d - cu aplcarea operaţe II dacă Teorea 36 [64] U graf eorea X; U) ese d-cove splu dacă ş ua Cu oae că eorea forulaă repreză o caracerzare a coveăţ sple a grafurlor eoreae ouş ea oferă prea puţă foraţe cu prvre la propreăţle acesora De eeplu e greu să e agă care ar f srucura grafurlor d-cove sple chesue poraă la elaborarea uor eode de soluţoare a probleelor de opzare Rezulae eresae î aceasă orde de de au fos obţue sudd aue clase de grafur Peru a prezea rezulaele respecve vo avea evoe de careva vesgaţ supleare Vo coua defd a îâ câeva operaţ specale pe grafurle d-cove sple ş sudd propreăţle acesora O foraţe a aplă cu referre la operaţle ce vor ura poae f găsă î oografa [64]) Fe X ) ş X ) două grafur eoreae ş coee î care esă câe o U U y pereche de vârfur cop: î ş y y î Noă pr M y ) graful obţu d ş î ura coopr vârfulu cu y ş a vârfulu cu y Uşor se verfcă că su adevărae relaţle: cardx cardx cardx U = U U Teorea 37 Dacă ş su două grafur d-cove sple î care esă câe o pereche de vârfur cop de aseeea d-cove splu X ş y y X auc graful M ) ese 6 y y

127 Deosraţe: Cosderă ş două grafur d-cove sple ce sasfac codţle y puse î eoreă Vo arăa că graful M ) poae f obţu d graful î ura adăugăr ulţlor X \ { y y} ş U de vârfur ş respecv de uch cu respecarea codţlor II d descrerea clase a se vedea eorea 36) Cosderâd ş vo arăa că poae f obţu d cu respecarea codţe II Luâd î cosderaţe că perechle de vârfur alese su cop precu ş cosrucţa grafulu y M ) rezulă că uch o aâ îre vârfurle grafulu câ ş îre vârfurle y grafulu u se adaugă De ac deduce că î graful u s-au fora rughur dec codţa II c) ese sasfăcuă y Îveloarea d-coveă î a vârfurlor y y coţe cofor eoree 3 oae vârfurle grafulu deoarece su două vârfur aflae la dsaţa do î graful d-cove splu Toodaă îveloarea coveă coţe oae vârfurle grafulu deoarece y y su două vârfur aflae la dsaţa do î graful d-cove splu Referor la celelale vârfur d se cosaă că: a) peru orce y X esă vârfurle y y X y d cov{ y y}) d cov{ }) ; îcâ: b) peru orcare două vârfur a b X aflae la dsaţa do î esă două vârfur dsce X îcâ: y y ; ş su dfere de a ş b ; d ) d y y ) d ) ; b d cov{ a }) ; Dec M y y ) Cofor eoree 36 aceasa îseaă că graful ese d-cove splu D eorea deosraă rezulă că operaţa M defă pe ulţea de grafur d-cove sple ese o operaţe algebrcă Pe lâgă operaţa defă M vo a def alele două operaţ ue operaţe de ulplcare ş operaţe de suprare a vârfurlor Fe v u vârf oarecare a grafulu X; U) Operaţa ce cosă î adăugarea uu vârf ou oa pr v ~ care ese cope a vârfulu v o vo u operaţe de ulplcare ş o vo oa pr 7

128 Teorea 38 Dacă X; U) cardx 3 ese u graf d-cove splu auc ese de aseeea u graf d-cove splu Deosraţe: Fe X; U) u graf d-cove splu eorea Cofor eoree 36 aces graf aparţe clase Alege u vârf arbrar v X ş foră î coforae cu cele descrse aeror graful Fe de aseeea ş y două vârfur arbrare d X ar d cov { y}) - îveloarea coveă respecvă Daoră fapulu că vârfurle v ş v ~ su vârfur cop î graful rezulă că dacă v d cov { y}) auc ş v ~ d cov { y }) ş vers Ma ul ca aâ dacă ş y su două vârfur dsce d v d cov X dfere de vârfurle v v ~ auc { y}) deoarece graful ese d-cove splu ţe co de fapul că are loc relaţa d y) ) Pr urare ş vârful v ~ ese d d cov { y}) Îsă d-segeul v ~ v coţe oae vârfurle d v) Deoarece graful ese d -cove splu ş cardx 3 rezulă că aces graf u coţe vârfur suspedae Pr urare card v)) Asfel se obţe că î v) se coţ cel puţ două vârfur d dsaţa dre care ese do î graful Îveloarea coveă a acesor vârfur va coţe oae vârfurle grafulu De ac rezulă verdcaea relaţe: ceea ce plcă egalaea: d cov { v v~ }) X d cov { y}) X Asfel obţe că îveloarea d -coveă a orcăror două vârfur dsce d de v ş v ~ coţe oae vârfurle grafulu Alege u vârf oarecare y d dfere dfer de vârfurle v ş v ~ Îveloarea coveă a ulţ { y v} î va coţe oae vârfurle cel puţ ale uu laţ de luge ă ce rece pr v ş y care la râdul său va coţe vârfur d suae la dsaţa do ş î graful Îveloarea coveă a acesora va coţe oae vârfurle grafulu Pr urare d cov { v y}) X Deoarece vârfurle v ş v su vârfur cop are loc egalaea v y v~ y de ude rezulă: d cov { v y}) d cov { v ~ y}) X Aceasa ş îseaă că graful ++ ese d-cove splu 8

129 Clase specale de grafur d-cove sple Noţuea de ao al uu graf local f oacă u rol decsve la suderea srucur a a ulor clase de grafur d -cove sple eoreae Peru a descre srucura acesor grafur vo folos operaţa specală oaă pr CL ) Fe ş două cop ale uu graf eorea X; U) Vârfurle X ) X ) se uesc vârfur corespodee dacă au aceaş preage î Urâd [33] oă pr L ) graful obţu d ş î felul urăor: peru fecare vârf X adăugă oae uchle de la spre oae vârfurle d vecăaea vârfulu corespode lu ) Dacă uele dre perechle de vârfur corespodee se vor a u cu vârfur o de grad do auc graful obţu se oează pr CL ) Fe T u arbore oarecare cu cel puţ re vârfur ar T copa subarborelu lu T geera de oae vârfurle esuspedae Pr L T T ) oă graful care se obţe d T ş T î felul urăor: peru fecare vârf z X T se adăugă oae uchle de la z spre oae vârfurle d vecăaea vârfulu corespode lu z) z T Apelâd la cele eţoae î lucrărle [33] [39] a fos sudaă coveaea splă a a ulor clase de grafur: A - grafurle ce u coţ cclur de lugea re ş fecare vârf al acesora ese doa de u al vârf; F - grafurle ce u coţ cclur de lugea re ş subgrafur F a se vedea fgura 3); 3 P - grafurle plaare; 4 H - grafurle odular eredare [7] Asfel se uesc grafurle î care orce cclu zoerc ese de lugea paru; 5 H - grafurle cordale Acesea su grafurle bpare î care orce cclu geera ese de lugea paru [7]; 6 H 3 - grafurle eredare după dsaţă Asfel su ue grafurle î care orce subgraf coe geera de o subulţe de vârfur A X ese zoerc î [7] [73] Meţoă că fecare dre grafurle claselor H 3 u coţ subgrafur geerae de pul F a se vedea fgura 3) Fe S F SP SH SH SH 3 ulţle de grafur d-cove sple ce aparţ claselor F P 3 descrse a sus H 9

130 Fg 3 raful F 5 Caracerzarea cosrucvă a grafurlor ce aparţ ulţlor S F SP SH SH SH 3 a fos făcuă î lucrărle [3] [33] [39] [64]: Teorea 39 Dacă X; U) ese u graf local f auc: A dacă ş ua dacă L ) lugea re ar ese aoul lu ; dacă SF auc M ) SF 3 ude ese u graf coe fără cclur de SF dacă ş ua dacă L ) ude F ar ese aoul lu ; 3 graful cu u uăr cel ul uărabl de vârfur aparţe clase S P dacă ş ua dacă L ) ude ese u arbore ar ese subarborele geera de vârfurle esuspedae d ; 4 SH dacă ş ua dacă L ) ude H 3 ar ese aoul lu ; Îre clasele eţoae de grafur d-cove sple precu rezulă d defţle respecve ş eorea 39 are loc şrul de plcaţ: SP SH 3 SH SH SF A Să sude î couare grafurle eoreae caracerzae î eorea 39 folosd î aces scop operaţle defe î copareul 3 Vo arăa a îâ că operaţa M ese operaţe algebrcă pe fecare d cele şase clase de grafur d-cove sple D eorea 39 ş operaţa L rezulă că grafurle claselor S F SP SH SH H A S 3 au cel puţ câe o pereche de vârfur cop Pr urare asupra orcăror două grafur ce aparţ uea dre clasele eţoae pue aplca operaţa M Operaţa respecvă posedă propreăţ porae eaae î [64] Urăoarea eoreă dcă odul de eracţue a grafurlor fecăre clase î pare pr eredul operaţe M Teorea 3 Peru orcare două grafur local fe ş su adevărae afraţle: dacă A auc M ) A ; ;

131 3 dacă SH auc M ) SH 3 ; 4 dacă SP auc M ) SP ; 5 dacă su două grafur d -cove sple bpare î care esă câe o pereche de vârfur cop auc M ) ese de aseeea d -cove splu ş bpar Deosraţe: Fe A D odul de defre a clase A rezulă că aâ î graful câ ş î graful fecare vârf ese doa de u alul Alege o pereche de vârfur cop d ș o pereche de vârfur cop y y y d Cosderă graful M y ) fora î coforae cu cele descrse aeror Fe că î ura coopr vârfurlor cu y ş cu y î se forează două vârfur o z ş z respecv Peru acese vârfur su adevărae urăoarele două relaţ: z z ) ) ) ) Cu ş y y su perech de vârfur cop rezulă că: z) z ) Asfel z z su vârfur cop î dec pue cosdera că ele se doă recproc Fe v X u vârf arbrar dsc de vârfurle y y ); ) z z Î aces caz sau v X sau v X Fe că v X cazul v X se deosrează î od aalogc) Deoarece A rezulă că vârful v are î graful u doa w Dacă w u cocde î cu c uul dre vârfurle sau auc w ese doa peru v ş î graful ar dacă u cocde cu uul dre vârfurle sau auc î graful doa peru vârful v ese z sau z Asfel a obţu că orce vârf v are u vârf doa î Dec M ) A X Fe SF Cofor eoree 39 esă două grafur F îcâ au loc y egalățle L ) ş L ) Eaă graful M ) cosru î coforae cu cele descrse aeror 3 y Fără a perde d geeralae pue cosdera că X ar X Îr-adevăr vârfurle ş u po aparţe sula ulţ X deoarece aceasa ese o ulţe de vârfur doaă ă ar su vârfur cop Dacă vârfurle ş aparţ ulţ X auc î esă vârful 3 care ese d aceaş clasă de echvaleţă cu ş Î aces

132 caz î calae de ao al grafulu se cosderă graful care dferă de prr-u sgur vârf ş aue î loc de 3 î aoul ou parcpă vârful Vo păsra aceaş oaţe aoul ou Raţoaee aaloage per să se cosdere că y X ş y X y Asfel obţe că î graful M ) subgraful coopr vârfurlor cu y ar y ese u cu ese u cu peru î ura î ura coopr vârfurlor cu y Fe y subgraful d M ) geera de subulţea de vârfur X ar y subgraful geera de ulţea de vârfur X X X D odul de cosrure a grafurlor y ş obţe că ese ao peru ş M L ) L )) L ) că y Î acese codţ peru a deosra eorea e sufce de arăa cofor eoree 39 F Îr-adevăr graful u coţe cclur de lugea re deoarece grafurle ş F u coţ asfel de cclur ar î ura coopr vârfurlor ş y cclur o u se forează De aseeea ş u coţ subgrafur de pul F deoarece ele u coţ asfel de subgrafur ar î ura coopr vârfurlor ş y oae subgrafurle o forae au u puc de arculaţe y dec u po coţe F Asfel obţe că F De ac rezulă egalaea M ) SF 3 Fe SH Cofor eoree 39 esă două grafur H îcâ y L ) ş L ) Eaă graful M ) cosru î coforae cu cele descrse aeror y Raţoaee aaloage puculu precede per să cosderă că X X ş y y X y X De aseeea dacă oă pr subgraful d M ) paru deoarece grafurle H coţ asfel de cclur ar î rezulaul coopr 3 y geera de subulţea de vârfur X ar pr subgraful geera de ulţea de X vârfur X X auc ese ao peru ş are loc egalaea: M M L ) L )) L ) y y Î acese codţ peru a deosra afraţa eoree e sufce de arăa că ) SH 3 cofor eoree 39 ceea ce va îsea că graful eaa ese d-cove splu) Eaă urăoarele re cazur: a) adcă H Î aces caz graful coţe ua cclur zoerce de lugea

133 vârfurlor ş y cclur o u se forează Dec H ş pr urare M SH ; ) b) adcă H Î aces caz graful coţe ua cclur geerae de lugea paru deoarece grafurle H coţ asfel de cclur ar î rezulaul coopr vârfurlor ş y cclur o u se forează D aceleaş cosderee graful ese ş bpar Dec H ş pr urare M ) SH ; c) 3 adcă H 3 Î aces caz graful u coţe cclur de lugea re deoarece grafurle H 3 u coţ asfel de cclur ş ca rezula al coopr vârfurlor ş y cclur o u se forează De aseeea ele coţ doar subgrafur geerae coee care su zoerce da fd fapul că grafurle ş coţ asfel de subgrafur ar î ura coopr vârfurlor ş y oae subgrafurle ou forae au u puc de arculaţe z y Dec dacă v w auc d v w) d v w) Î od aalogc obţe că dacă v w auc d v w) d v w) ar dacă v w auc oae laţurle de la v la w rec pr vârful z ş dec are loc egalaea d v w) d v z) d z ) w D acese relaţ rezulă că graful coţe ua subgrafur geerae coee zoerce Dec H 3 ş pr urare M ) SH 3 4 Fe SP Cofor eoree 39 esă do arbor 33 ş îcâ y L ) ş L ) Eaă graful M ) cosru î coforae cu cele descrse aeror y Raţoaee aaloage pucelor precedee ale acese eoree per a cosdera că X X ş X y X y y Î graful M ) oă pr subgraful y geera de subulţea de vârfur X ar pr subgraful geera de ulţea de X vârfur X X Auc ese ao peru ş are loc egalaea: M L ) L )) L ) y y Î acese codţ e sufce de arăa cofor eoree 39 că graful ese u arbore Îr-adevăr graful u coţe cclur fdcă grafurle ş fd arbor u coţ cclur ar ca rezula al coopr vârfurlor ş cclur o u se forează Dec graful ese u graf coe ş fără cclur adcă ese u arbore Pr urare se obţe că graful M ) SP ;

134 5 Fe ş două grafur d-cove sple bpare care sasfac codţle eoree y Eaă graful M ) cosru î coforae cu cele descrse aeror raful y ese d-cove splu deoarece M ese o operaţe algebrcă pe ulţea grafurlor d -cove sple a se vedea eorea 37) Răâe să deosră că ese u graf bpar rafurle ş su bpare dec ulţle lor de vârfur po f dvzae î subulţ dsuce ş er sable X V ş X W respecv Cu perechle de vârfur V W ş y y su perech de vârfur cop rezulă că ~ ş y ~ y Ma ul d ) ş d ) y y Toae acesea plcă fapul că perechea de vârfur aparţe uea ş aceleaş parţ de vârfur a grafulu de eeplu ulţ V ar perechea de vârfur y y aparţe uea ş aceleaş parţ de vârfur a grafulu de eeplu ulţ W Pr urare î graful ulţle W X V W ) V ) W Pr urare graful M ) ese d -cove splu bpar V ş V W su er sable ar Referor la operaţa de ulplcare defră î copareul 3 ese adevăraă urăoarea Teorea 3 Peru orcare graf local f X ;U ) su adevărae afraţle: dacă A auc A ; ; dacă SF auc SF 3 dacă SH auc SH 3; 4 dacă ese u graf d-cove splu bpar auc splu ş bpar ese de aseeea d-cove Deosraţe Fe u graf f ce aparţe uea d clasele A SF SH 3 sau ulţ de grafur d -cove sple bpare Î coforae cu cele descrse aeror se forează graful î care vârful arbrar v X are o cope ouă v ~ Cofor eoree 38 graful graful de aseeea ese d -cove splu Pr urare răâe să deosră că aparţe aceleaş clase cărea î aparţe graful ce să la baza forăr lu Fe A dec ese u graf î care orce vârf ese doa de u alul raful de aseeea u coţe vârfur edoae deoarece vârfurle v ş v ~ se doă recproc ar resul vârfurlor au răas doae de aceleaş vârfur de care erau doae î graful Pr urare A 34

135 Fe SF dec ese u graf ce u coţe rughur ş subgrafur geerae de pul F a se vedea fgura 3) raful de aseeea u coţe c rughur deoarece ese d -cove splu) c subgrafur de pul F Îr-adevăr dacă presupue că graful coţe u subgraf geera zoorf cu graful F auc aces subgraf ar f oblga să coţă vârful ou v ~ dec dacă î aces subgraf se îlocueşe vârful v ~ cu copa sa v se obţe u subgraf geera al grafulu ţal zoorf cu graful F ceea ce corave codţe SF Pr urare SF 3 Fe SH 3 Se aalzează fecare caz î pare a) Deoarece SH rezulă că aces graf coţe ua cclur zoerce de lugea paru Î ura ulplcăr vârfulu v oae cclurle o forae ce rec pr v ~ su ; zoorfe aceloraş cclur d dar care rec pr v Pr urare SH b) Deoarece SH rezulă că aces graf coţe ua cclur geerae de lugea paru Î ura ulplcăr vârfulu v oae cclurle o forae ce rec pr v ~ su ; zoorfe aceloraş cclur d dar care rec pr v Pr urare SH c) 3 Deoarece SH 3 rezulă că grafurle ş u coţ cclur de lugea re fd grafur d -cove sple De aseeea ele coţ doar subgrafur geerae coee care su zoerce deoarece fecare subgraf coe ou geera de o subulțe care coţe vârful v ~ ese zoorf aceluaş subgraf d î care vârful v ~ ese îlocu pr copa sa v Pr urare SH 3 raful 4 Fe u graf d-cove splu ş bpar Dec u coţe cclur de luge pară de aseeea u coţe cclur de luge pară deoarece ca rezula al ulplcăr vârfulu v oae cclurle ou forae ce rec pr v ~ su zoorfe aceloraş cclur d dar care rec pr v Pr urare ese u graf bpar Rearca 3 Î vruea afraţe 4 d eorea 3 peru u graf plaar d - cove splu are loc acelaş rezula deoarece u asfel de graf ese ş bpar Raza ş daerul î grafurle d -cove sple L ) Ţâd co de cele eaae î copareul 3 peru orce graf local f coe pue cosru graful L ) ude ese aoul lu Î L ) alege u vârf arbrar v X L ) ş oă: 35

136 ude v ~ ese copa vârfulu v v v daca v X ~ v daca v X D cosrucţa aoulu se cuoaşe că dacă peru orce vârf v X L ) rezulă că v X v X auc v ~ X Pr urare Teorea 3 Dacă ese u graf coe ce u coţe cclur de lugea re ar u su două vârfur oarecare d L ) auc: v X L ) d L ) u v) d u v ) Deosraţe: Fe u ş v două vârfur d L ) raful ese subgraf al grafulu L ) ceea ce plcă egalaea d L ) u v) d u v ) Dacă d L ) u v) d u v ) ar l ese u laţ de luge ă î graful L ) ce ueşe vârfurle u ş v auc î graful esă laţul l u ) v l u v ) care ese de aceeaş luge cu laţul l Asfel s-a aus la o coradcţe ceea ce îseaă că presupuerea e greşă Pr urare d L ) u v) d u v ) Fe X; U) u graf eorea ar X u vârf arbrar d Î cele ce urează vo apela la oţule de ecercae l ) a vârfulu rază ş daerul ale graulu oae pr r [ ] d[ ] respecv ş de vârf ceral defe î [64] Mulţea uuror vârfurlor cerale ale uu graf va f oaă pr c [] Teorea 33 Dacă ese u graf coe ce u coţe cclur de lugea re ar L ) graful d-cove splu obţu d auc su adevărae egalăţle: r[ L )] r[ ] ; d[ L )] d[ ] ; c L )] c[ ] { : ese copa uu vârf d c []} [ Deosraţe Fe X ; U ) u graf coe cu ulţea de vârfur 36 X } ar L ) graful d-cove splu obţu d cu ulţea de { vârfur X y y y } L ) {

137 Peru a deosra afraţa eoree vo deosra a îâ egalaea: e L ) v) e v ) v X L ) 3) Fe v X L ) ar v X vârful def la îcepuul paragrafulu Auc su adevărare egalățle: e d d L ) L ) L ) v) a{ d v y v y ) d ) d L ) L ) L ) v y v v y ) d L ) )} a{ d ) d v L ) v ) d L ) y L ) v )} e v ) d v ) d L ) ) L ) v v y ) ) d L ) La efecuarea acesor rasforăr a fos ulzaă eorea 3 Acu cu auorul relaţe 3) se vor deosra cele re relaţ d eoreă r L )] { e ) e ) e y ) e y )} [ L ) L ) L ) L ) { e ) e ) e ) e y ) e y ) e y )} { e ) e ) e )} r[ ] d L ) a{ e ) e ) e y ) e y )} [ L ) L ) L ) L ) a{ e ) e ) e )} e y ) e y ) e y )} a{ e ) e ) e )} d[ ] 3 Fe y c[ L )] u vârf ceral î L ) Auc el ) y) r[ L )] ceea ce îpreuă cu pucele precedee plcă relaţa e y ) r[ ] Su posble două cazur: a) y Auc y y de ude ave e y) r[ ] adcă y c[] ; b) y Asfel rezulă v ) că peru y esă vârful cope y îcâ: Î orce caz se obţe: ceea ce plcă relaţa: y c[ ] dec y : ese copa uu vârf d c []} ) { y c ] { : ese copa uu vârf d c []} [ c L )] c[ ] { : ese copa uu vârf d c []} [ Fe acu y c ] { : ese copa uu vârf d c []} Aceasa îseaă că are loc [ uul d două cazur: a) y c[] Auc e y) r[ ] Aceasă egalae plcă el y) r[ L )] Cu y [] rezulă că y y Asfel el y) r[ L )] de ude y c[ L )] 37

138 b) y : ese copa uu vârf d c []} Pr urare y c[ ] sau { e y ) r[ ] ceea ce cofor raţoaeelor precedee plcă y c L )] [ Deoarece vârfurle y y su vârfur cop î L ) obţe y c L )] [ Asfel cosaă că ese adevăraă cluzuea versă: c L )] c[ ] { : ese copa uu vârf d c []} [ D cele eaae rezulă că ş cea de-a rea egalae d eorea 33 ese adevăraă Aplasarea grafurlor d -cove sple plaare î spaţul 3 R Cofor celor descrse a sus u graf coe X U) poae f asoca cu u spațu erc dscre X d) ude d y) repreză lugea ă a laţurlor cu ereăţle î ş y De râd cu spaţul X d) vo eaa u al spaţu X î care ese defă o ercă cu valor îreg Ese cuoscu fapul că depede de erca îodeaua esă u graf X U) asfel îcâ X X ş dsaţa dre vârfurle subulţ X î cocde cu dsaţa a aceloraş eleee î spaţul X [8] î aces caz se spue că erca ese scufudaă î graful sau că erca ese realzaă î graful Ma ule rezulae referore la realzarea erc î graur specale su epuse î lucrărle [8] [8] Î legăură cu cele spuse preză eres ș suderea probleea verse Se spue că graful X U) ese scufuda realza aplasa) î spaţul erc X ; ) dacă esă o aplcaţe : X X asfel îcâ orce două vârfur adacee y î au î calae de ag două eleee ) ş y) d X care su suae uul de alul la dsaţa Cu ale cuve vârfurle adacee ale grafulu se rasforă î eleee suae la dsaţa uu ale spaţulu X' Desuea ală a spaţulu Euclda î care poae f scufuda graful se ueşe desuea de aplasarescufudare) a grafulu ş se oează pr g Problea î cauyă poae f forulaă î odul urăor: peru u graf X U) să se deere desuea de scufudare a lu Evde î legăură cu aceasă probleă se poae vorb ş despre elaborarea uor algor care ar pere calcularea desu de scufudare a graurlor eoreae Î cazul uu graf arbrar problea forulaă ese desul de coplcaă Dverse aspece ale aceseea au fos eaae de căre a ulț aeace ar uele rezulae po f găse î lucrărole [83]-[86] Î couare vo aduce u rezula ce țe de scufudarea grafurlor d - 3 cove sple plaare î spațul euclda R 38

139 Fe u arbore cu cel puţ re vârfur ş u subgraf al lu care cosă d oae vârfurle ş uchle lu cu ecepţa celor suspedae Aşadar fecare vârf esuspeda d are î u sgur vârf corespode ~ ş fecare vârf d are u sgur vârf corespode lu î Fe L T ) graful d -cove splu obţu d ş Î graful L T ) fecare vârf de grad egal cu cel puţ re are u sgur vârf cope Ma ul I aces graf u are vârfur suspedae Cofor eoree 353 puc 4 u graf cu cel puţ re vârfur ese d Ρ dacă ş ua dacă L T ) Asfel eorea 353 deeră srucura grafurlor d -cove sple plaare srucură care va f ulzaă î procesul căuăr desu de scufudare a acesor grafur Fe acu X U) cardx 5 u graf d -cove splu plaar Î aces caz are cel puţ u vârf de grad cel puţ re care are o cope ~ Fe ) ~ ) { y y y } 3 Dacă s-ar presupue că g auc eleeele d 3 y p ulţea ) ar f plasae pe u cerc de rază cu cerul îr-u puc care ar f corespodeul vârfulu Îr-adevăr d codţe peru a scufuda u graf îr-u spaţu î cazul da î pla care ese spaţul Euclda cu desuea ese evoe ea vârfurle adacee să se rasfore î puce ale spaţulu la dsaţa ar oae vârfurle d ) su adacee lu Pe de ală pare d aceleaş cosderee aceleaş vârfur ar rebu să se afle pe cercul de rază cu cerul î pucul care ar corespude vârfulu ~ Aceasa îseaă că î R ar rebu sa se ducă două cercur dfere abele de rază uu care să se erseceze î puce 3 ceea ce ese posbl Asfel s-a obţu că g 3 Să arăă că g 3 Teorea 34 Dacă X U) ese u graf d -cove splu plaar auc g 3 Deosraţe D ove evdee cosderă cardx 5 Cofor eoree 39 peru esă u arbore T îcâ L T ) Vo deosra eorea pr eoda ducţe aeace după uărul de vârfur cardx 5 Fe 5 Ucul graf graf d -cove splu plaar cu 5 vârfur ese graful bpar cople graf K 3 Alege î 3 R două puce A B la o dsaţă arbrară dar a că decâ Cosru două sfere de raza uu cu cerele î A ş B Iersecţa acesor sfere ese u cerc C Fă pe cercul C re puce D D D3 Vârfurle cop ş ~ de grad 3 ale grafulu K 3 le plasă î pucele A s B ar celelale î D D D3 Duce segee ce uesc ş ~ cu y y respecv lugea cărora ese Asfel s-a obţu aplasarea acesu graf î y 3 3 R 39

140 Să presupue acu că afraţa eoree ese adevăraă peru orce graf d -cove splu plaar cu 5 vârfur Eaă cazul Noă pr deg T ş deg gradul uu vârf î arborele T ş î graful L T ) respecv Fe y două vârfur adacee d T îcâ deg T Auc deg Auc deoarece graful are cel puţ 5 vârfur rezulă că deg T y Eaă urăoarele două cazur I deg y 3 Dacă se elă vârful suspeda d T auc se obţe u arbore T î T care y u ese u vârf suspeda Pr urare arborele T rebue să cocdă cu arborele T Cofor eoree 39 graful L T ) ese d -cove splu ş plaar Deoarece are eac cu u vârf a puţ decâ î baza ducţe aeace se obţe că g 3 Fe ~ y copa vârfulu y ş agea lu î T Auc î acese două vârfur su de aseeea cop uul peru celălal ş dec vecăăţle lor cocd Fe y ) { w w w } ~ y) 3 Î ura scufudăr grafulu î 3 R vârfurle d y) su plasae pe cercul care se află la ersecţa celor două sfere de raza cu cerele î y ş ~ y Cu pe aces cerc se coţe o fae de puce ar grafurle sudae su fe auc ac poae f găs u puc î care u se află c uul dre vârfurle grafulu Dacă se plasează î aces puc vârful auc dsaţele de la el spre y ş y care su cerele sferelor su egale cu Î ura acese procedur s-a obţu o aplasare a grafulu ţal î 3 R dec rezulă că 3 g II deg T y Aşadar î T esă u vârf z care ese adace cu y Cu are cel puţ 5 vârfur rezulă că deg T z Aceasa îseaă că arborele T coţe vârfurle ~ y ş ~ z care su vârfur cop ş ag ale vârfurlor y ş z Dec î graful su adevărae relaţle: y) ~ y) card y) 3 z) ~ z ) card z) 3 Î ura elăr vârfulu d T se obţe u arbore ou T î care y ese u vârf suspeda deg T y ) Î aces caz arborele T care se obţe d T î ura elăr uuror vârfurlor suspedae dferă de arborele T prr-u sgur vârf ~ y Adcă T T T T ~ y raful L T ) are cu două vârfur a puţ decâ graful ş dec d presupuerea ducţe aeace g 3 Deoarece card z) 3 auc î ura aplasăr grafulu î 3 R ulţea de vârfur z) ese plasaă pe cercul care se află la ersecţa celor două sfere de rază cu cerele î z ş ~ z Pe aces cerc poae f plasa de 4

141 aseeea ş vârful y ~ vârful y ese dea pe aces cerc ca vârf al grafulu ) Cu y ş y ~ su plasae pe u cerc de daerul a c decâ ersecţa a două sfere uare cu cerele î y ş y ~ repreză u cerc ou pe care poae f plasa vârful Î ura acese procedur se obţe o aplasare a grafulu ţal î 3 R ceea ce îseaă că 3 g 33 Coveaea î grafurle oreae Î aces paragraph vo eaa oţuea de coveae î cazul grafurlor oreae Vo cosdera că grafurle u coţ bucle ş arce ulple U graf orea X U ) poae f cosdera drep cople -desoal de relaţ ul-are R X R ) Să vede î ce ăsură rezulaele obţue peru srucurle eoreae po f ese ş asupra srucurlor oreae Vo îcepe cu defrea ş suderea ulţlor d-covee Mulţ d-covee î grafur oreae raful orea X U ) se ueşe are coe sau coe fore dacă peru orcare două vârfur y X esă cel puţ u dru ce poreşe d vârful spre vârful y ş cel puţ u dru ce poreşe d vârful y spre vârful e vo folos de erologa clască rodusă de căre C Berge peru grafurle oreae î lucrarea [3]) Fe D z z z ) u p y dru ce poreşe d spre y Î aces caz se va a spue că druul D leagă vârfurle ş y î ordea dcaă; ş y se uesc ereaţ ale lu D Nuarul p se ueşe luge a druulu D ş se va scre ld)=p z z zp y) Fe D y) fala uuror druurlor d ce leagă vârfurle ş y Lugea celu a scur dru d D y) se ueşe dsaţă dre ş y ş se oează pr d y) Asfel d y) { l D)} DD y) Î cazul câd îre două vârfur y X u esă c u dru se va cosdera că dsaţa dre acese vârfur ese d y)= Precu uşor se poae de observa asfel rodusă oţuea de dsaţă u posedă propreaea couavă adcă la geeral vorbd se respec relaţa: 4

142 d y) dy ) Pr urare î cazul grafurlor oreae dsaţa defă a sus ese o fucţe d : X X N ce posedă doar două dre propreăţle erc ş aue: d y) peru orcare două vârfur y X ş d y) dacă ş ua dacă y ; d y) d z)+dz y) peru orcare re vârfur y z X Aceasa îseaă că de fap fucţa dsaţe d : X X N ese o pseudo-ercă î graful orea Mulţea y { z X : d z) d z y) d y)} se ueșe d-sege orea de la spre y Noțuea de d-sege orea y are ses doar î cazul câd î graful esă cel puț u dru ce leagă cu y D acese cosderee î couare se vor suda doar grafur coee fore Defța 33 Mulțea A X se ueșe d-coveă î graful X U ) dacă peru orcare două vârfur y A luae î ordea dcaă are loc relața y A Cofor defțe 33 orce graf orea X U ) coțe ulț d-covee Observă că îr-u graf orea orce ulțe A peru care carda sau carda ese d-coveă Ac spre deosebre de cazul grafulu eorea două vârfur adacee u geerează eapăra o ulţe coveă Îr-u graf orea arbrar ulțle y ş y u eapăra cocd Fe A o subulțe arbrară de vârfur d graful X U ) Cofor defțe 33 dacă A ese o ulțe d-coveă auc abele d-segee oreae y ş y aparț ulț A Pr urare reuuea y y care coțe oae vârfurle cel puț ale uu cour ce rece pr vârfurle ș y de aseeea aparțe ulț A Ba a ul ulțea y y coțe vârfurle uuror coururlor de luge a care rec pr ș y Lea 33 Dacă A ș B su două ulț d-covee ale uu graf orea X U ) auc ersecța lor A B ese de aseeea o ulțe d-coveă î Deosraţe Fe X U ) u graf orea ar A ș B două ulț d-covee ale acesua Dacă card A B) auc î baza defțe 33 afrața lee ese adevăraă 4

143 Să ade că card A B) ș fe y două vârfur arbrare d A B Deoarece A ș B su ulț d-covee obțe: y A y B ceea ce plcă relața y A B Dec A B ese o ulțe d-coveă î Pr aaloge cu varaa clască a oțu de îveloare d-coveă [6] [] [64] î cazul grafurlor oreae se defeșe urăoarea oțue Defțe 33 Iersecța uuror ulțlor d-covee ale uu graf orea X U ) ce coțe o subulțe de vârfur oează pr d-covb) B X se ueșe îveloare d-coveă a ulț B ș se Observî că defţa oţu de d-coveae î cazul grafulu orea ese slară cu cea a grafulu eorea Dacă B X ese o ulțe d-coveă î auc d-covb)=b Peru o subulțe arbrară de vârfur def urăoarea operațe: P S) y ys Cu auorul acese operaț îveloarea d-coveă a ue subulț de vârfur B a grafulu orea poae f descrsă î od erav slar cazulu grafulu eorea î odul urăor: B B B y P B ) yb B y P B ) P P B )) P B ) ş P B) B yb B q q y P Bq ) P B ) ş P B) B yb q B q q y B d cov B) yb q Asfel cosurea îveloare covee d-covb) se reduce la cosrurea uu șr de ulț: B B B B B q B q 43

144 ude B q se cosruesc î coforae cu aplcarea operațe P descrse aeror Î cazul grafurlor fe șrul cosru erav pr aplcarea operațe respecve poae f f Auc îveloarea coveă a ulț B se obțe cu auorul relațe: d cov B) B Î baza defțe 33 peru îveloarea d-covee obţe relațle: d cov ) ; d cov{ }) { } ; 3 d cov X ) X ; 4 A d cova) ; 5 d cov d cov A)) d cov A) Î baza relațlor ețoae -5) se poae spue că oțuea de d-coveae peru cazul grafurlor oreae se cadrează î aoaca eore geerale a coveăț [4] rafur d-cove sple oreae Î cazul grafurlor eoreae orce subulțe de vârfur A X care geerează u subgraf cople precu ș ulțea uuror vârfurlor X su d-covee Acelaș lucru se poae spue ș î cazul grafurlor oreae Mulțle care su d-covee î orce graf orea su: ulțea vdă ulțle alcăue dr-u sgur vârf ulțle care geerează u subgraf cople ș ulțea uuror vârfurlor X Aceasa se daorează fapulu că d-coveaea eaaă î grafurle oreae ese o geeralzare a oțu de d-coveae defă î paragraful 3 peru grafurle eoreae ș aces lucru va f arăa a os Î couare ulțle ețoae se vor u ulț d-covee rvale î grafurle oreae Defța 333 raful orea ș coe fore X U ) se ueșe d-cove splu dacă u coțe ulț d-covee A X îcâ carda cardx D defțe rezulă că îr-u graf d-cove splu orea cu cel puț re vârfur îre orcare două vârfur poae esa doar uul dre cele două arce posble Îr-adevăr dacă îre două vârfur ş y ar esa abele arce y) ș y ) auc A { y} ar f o ulţe d-coveă ceea ce corazce defța grafulu d-cove splu Aceasă rearcă la râdul său îseaă că oae grafurle d-cove sple su aserce 44

145 Teorea 33 Urăoarele afraț su echvalee X U ) ese u graf d-cove splu orea; d cov{ y}) X peru orcare două vârfur dsce y X ; 3 d cov{ y}) X peru orcare două vârfur adacee y X Deosrațe Peru a deosra afraţa eoree vo verfca şrul de plcaţ: 3 Fe X U ) u graf d-cove splu orea Î baza defțe 333 aces graf u coțe subulț d-covee cu a ul de u vârf sau cu a puț decâ cardx vârfur D cele spuse rezulă că d cov{ y}) X peru orcare două vârfur dsce y X 3 Relața d cov{ y}) X are loc peru orcare două vârfur dsc y X adcă ș peru orcare două vârfur adacee ceea ce îseaă corecudea afrațe 3 3 Fe peru orcare două vârfur adacee y X are loc egalaea eţoaă î eoreă îsă graful u ese d-cove splu Aceasa îseaă că î esă o ulțe d-coveă A X îcâ carda cardx Deoarece carda rezulă că î A esă două vârfur dsce p ş q îcâ p q A Aceasa la râdul său plcă eseța î A a două vârfur adacee ş y Deoarece A ese o ulțe d-coveă rezulă că ese adevăraă relața d cov{ y}) A Pe de ală pare î baza codțe 3 d eoreă se obțe egalaea d cov{ y}) X Pr urare A=X Aceasa ve î coradcţe cu presupuerea carda cardx Dec graful ese d-cove splu Descrerea recursvă a grafurlor d-cove sple oreae Î cele ce urează vo suda o clasă specală de grafur oreae D pe care o descre î od recursv precu urează: I Clase D î aparț oae grafurle X U ) ude : X U { } 3 { )} { ) : } Adcă ese u cour eleear cu vârfur; 45

146 II Î baza grafulu cosru graful X U ) ude : X X { y y y } U U { a b) : a b X dar u abele su d X îcâ se respecă codţle: a) Peru orce vârf y esă vârfurle dsce p q X îcâ d cov{ p q}) ; y b) Peru orcare două vârfur adacee a b X esă vârfurle dsce p q X îcâ su sasfăcue relațle: p q d cov{ a b}) ; d p q) d p q) ; 3 d q p) d q p) }; III Î D u se coț ale grafur î afară de grafurle descrse î od erav la paş I ș II Clasa de grafur oreae D ese o reuue de fal de grafur obțue recursv î coforae cu procedurle descrse aeror: D D D D ude D repreză oae grafurle X U ) descrse la pasul I de cosrure a clase D ar D repreză fala uuror grafurlor ce se obț dr-u graf oarecare d D la aplcarea operațe II Teorea 33 Toae grafurle clase D su d-cove sple Deosrațe Să deosră că D D D su fal de grafur d cove sple oreae aplcâd eoda ducțe aeace î rapor cu dcle Î cazul orce graf X U ) d D ese d-cove splu fd u cour eleear cu 3 vârfur Vo deosra că D ese o fale de grafur d-cove sple î codțle câd oae grafurle d D D D posedă aceasă propreae Se alege î od arbrar u graf D cu 3 vârfur Fe X U ) se obțe dr-u graf oarecare D la aplcarea operațe II de cosrure a clase D Cofor eoree 33 peru a deosra 46

147 că ese d-cove splu ese ecesar de doosra că peru orce două vârfur adacee a b X are loc relața d cov{ a b}) X Fe îre a ş b esă arcul a b) U Cofor codțe IIb) d descrerea clase D esă vârfur dsce p q d cov{ a b}) Aceasa plcă relața d cov{ p q}) d cov{ a b}) î graful Deoarece cofor ducțe ese d-cove splu ș î procesul cosrur grafulu u s-au adăuga arce o îre vârfurle d ar dsațele dre p ş q s-au păsra eschbae î codța IIb) rezulă că: X d cov{ p q}) d cov{ a b}) î graful D codța IIa) se obțe: X y y y } X d cov{ a b}) { Deoarece cluzuea versă ese evdeă obţe relaţa X d cov{ a b}) î graful Aceasa coduce la cocluza că D ese o fale de grafur d-cove sple Teorea 333 U graf orea ș are coe X U) cardx 3 ese d-cove splu dacă ș ua dacă D Deosrațe Necesaea Deoarece cardx 3 rezulă că î esă două vârfur dsce u ş v Ţâd co de fapul că graful eaa ese coe fore esă cel puț u cour ce rece pr acese vârfur ceea ce coduce la fapul că î esă cel puț u cour eleear de luge ă S z z z z ] Pr urare î u esă arce 47 [ p p z care ar u două vârfur dsce z z ude Noă pr X U ) subgraful geera de ulțea de vârfur { z z z p z p} ar pr îsuș graful Se verfcă eloc că poae f obțu eloc d pr adăugarea ulțlor de vârfur

148 X \ X ș de arce U \ U ) urare D Sufceța rezulă eloc d eorea 33 respecâd codța II d descrerea clase de grafur D Pr Operaţ asupra grafurlor d-cove sple oreae Fe ş y y două perech de vărfur eadacee d grafurle oreae X U ) ș respecv X U ) Pr aaloge cu cazul grafurlor eoreae a se vedea paragraful y 3) oă pr M y ) graful obțu d ș î rezulaul coopr vârfurlor cu y ş cu y Precu uşor se verfcă peru M y ) su adevărae relațle: cardx cardx cardx U U U Îr-u graf orea X U ) ulţea uuror succesorlor uu vârf o vo oa pr ) { y X : y) U} ar a uuror predecesorlor pr ) { y X : y ) U} oaţ obşue î leraura de specalae [5] ] 78] 8] 3] [3] Vârful care u are predecesor se va u vârf sursă ar vârful care u are succesor vârf desațe Fe P p q; r) r graful orea î care ese fa u vârf sursă p u vârf desațe q ș care sasface codțle: î P esă druur ce leagă vârful p cu vârful q ; orce vârf ș orce arc d P aparț cel puț uu dru ce leagă p ş q ; 3 oae druurle ce leagă vârfurle p ş q au aceaș luge r ; 4 ale vârfur sau arce î P u su Evde vârfurle p ş q îr-u asfel de graf u su adacee Teorea 334 Peru orcare două grafur oreae P p q ; r ) ș P p q ; r ) graful p q P P ) ese d-cove splu M q p y Deosrațe Fe codţle eoree su sasfăcue Î graful oae coururle eleeare au aceaș luge egală cu r r ș rec pr vârfurle p q q p Ma ul 48

149 orce vârf al grafulu aparțe cel puț uu cour de aces p Pr urare ese u graf are coe î care peru orce două vârfur y X ave: p q q p y y Dacă a ţe co de fapul că d cov { p q q p }) p q q p X auc obţe că că ese u graf d-cove splu Arage aeţa că eorea se deosreaşă peru grafur oreae arbrare ce sasfac cele paru propreăţ de a sus Uşor e pue covge că ş prre grafurle d -cove sple esă de acelea ce posedă propreăţle eţoae Operaţa M defă a sus oferă a ule eode de cosrure a grafurlor d -cove sple oreae eaae uţos î oografa [64] a se vedea paragraful 63 d oografa eţoaă) Toodaă rearcă că M repreză o operaţe algebrcă pe ulţea grafurlor d -cove sple oreae chesue cofraă pr eorea 633 d [64] Vo eaa î couare ş ale operaţ asupra grafurlor d -cove sple oreae Peru aceasa vo avea evoe de urăoarea Defța 334 Două vârfur u ș v ale uu graf orea X U ) se uesc vârfur cop î dacă se respecă egalățle: Î codțle câd: u) v) ş u) v) vârfurle u ș v se uesc vârfur acop u) v) ş u) v) Fe da u graf d-cove splu orea X U ) ș u vârf oarecare v d Foră graful d pr adăugarea uu vârf cope peru v oa pr v ~ Teorea 335 Dacă X U ) cardx 3 ese u graf d-cove splu auc ese deaseeea u graf d-cove splu Deosrațe Î baza eoree 333 graful X U ) aparțe clase D Alege u vârf arbrar 49 v X ș cofor celor descrse aeror foră graful Deoarece ese graf d-cove splu acesa coţe două vârfur eadacee y X îcâ v v~ d cov { y}) Ba a ul ulțea v v~ v~ v coțe oae

150 vârfurle cel puț ale uu cour de luge ă ce rece pr v Aces cour va coțe vârfur d dsațele dre care au răas aceleaș î graful Îsă îveloarea d- coveă a acesor vârfur va coțe oae vârfurle grafulu d cov { v v~ }) X de ude: d cov { y}) X De ac rezulă că Asfel se obțe că îveloarea d-coveă a orcăror două vârfur arbrare ș dsce d dfere de v ș v ~ coțe oae vârfurle grafulu Fe acu y u vârf arbrar d dfer de vârfurle ș Îveloarea d-coveă a ulț { y v} î va coțe oae vîrfurle cel puț ale uu cour de luge ă ce rece pr v ș y care la râdul său va coțe vârfur d dsațele dre care au răas aceeaș î Îveloarea coveă a acesora va coțe oae vârfurle grafulu Dec d cov { y}) X Deoarece vârfurle v ș v ~ su vârfur cop auc au loc egalățle v y v~ y ș y v y v~ de ude rezulă egalaea: d cov { v y}) d cov { v ~ y}) X Aceasa oca ş îseaă că graful ese d-cove ș splu D eorea 335 rezulă că î grafurle d-cove sple oreae ca ș î cele eoreae orce vârf poae f uplca de u uăr arbrar de or fără a perde propreaea de d-coveae splă a grafulu țal Fe că ese da u graf d-cove splu orea X U ) ș u vârf arbrar v d care posedă propreaea că courul de luge ă ce rece pr v ese de lugea paru Foră graful ~ pr adăugarea uu vârf acope peru v oa pr v ~ Teorea 336 Dacă X U ) cardx 3 ese u graf d-cove splu ar v u asfel de vârf d îcâ courul de luge ă ce rece pr v ese de lugea paru auc graful ~ ese de aseeea u graf d-cove splu Deosrațe Cofor eoree 333 graful X U ) apare clase D Alege u vârf arbrar 5 v X cu propreaea că courul de luge ă ce rece pr v are lugea

151 paru ș se forează graful ~ Fe d cov { y}) îveloarea coveă a două vârfur ~ dsce y d ~ Dacă v d cov { y}) auc î d cov { y}) esă cel ~ ~ puț u vârf d v) ș cel puț u vârf d v) ceea ce va plca relaţa v~ d cov { y}) ș vers Ma ul dacă y su două vârfur dsce d ~ ~ X ~ ș dfere de vârfurle v v ~ auc v d cov { y}) deoarece ese graf d-cove splu Dec ș v~ d cov { y}) Î rezula obţe: d cov ~ { v v }) d cov { y}) Îsă uțea ~ v v~ ~ ~ v~ v coțe oae vîrfurle d v) v) ~ îveloarea coveă a cărora va coțe ș ulul vârf d courul de lugea paru cărua î aparțea v î Asfel courul se află î îrege î d cov { v v~ }) ș el coțe cel puț două vârfur d dsațele dre su aceleaș î abele grafur ș ~ ~ ~ Îsă îveloarea d-coveă a acesor vârfur va coțe oae vârfurle grafulu De ac rezulă relața ~ d cov v v ~ { }) X de ude rezulă: ~ ~ d cov { y}) X Asfel s-a obțu că îveloarea d-coveă a orcăror două vârfur arbrare ș dsce d dfere de v ș v ~ coțe oae vârfurle grafulu ~ Fe acu y u vârf oarecare d ~ ~ dfer de vârfurle v ș v ~ Îveloarea d-coveă a ulț { y v} î va coțe oae vârfurle cel puț ale uu cour de luge ă ce rece pr v ș y care la râdul său va coțe cel puț două vârfur d dsațele dre acese vârfur su aceleaș î abele grafur ș ~ ) Îveloarea coveă a acesora va ~ coţe oae vârfurle grafulu Dec d cov ~ { v y}) X ~ Deoarece v ș v ~ su vârfur acop auc v d cov { v ~ y}) de ude rezulă: ~ X ~ d cov ~ { v y}) d cov ~ { v ~ y}) adcă d cov v~ { y}) X Aceasa ş îseaă că ~ ese graf d-cove splu ~ ~ 5

152 Fe da u graf d-cove splu orea X U ) î care esă două vârfur cop v ş v Se va oa pr cele două vârfur cop graful graful ce se obțe d graful ca rezula al elăr uua dre Teorea 337 Dacă v v v3 su re vârfur cop îr-u graf d-cove splu auc î care lpseșe uul dre ele ese de aseeea d-cove splu Deosrațe Fe X U ) u graf d-cove splu orea î care esă re vârfur cop v v v3 ar graful ce se obțe d î ura elăr uua dre ele de eeplu a vârfulu v 3 Deoarece v v v3 su vârfur cop î rezulă că orce d-sege ce coțe uul d ele le va coțe ș pe celelale Aceasă propreae are loc de aseeea ș î peru vârfurle v ş v D aceleaș cosderee peru orcare două vârfur y X are loc egalaea: d y) d y) 3) Ma ul deoarece graful ese d-cove splu auc î au loc egalățle 3 3 v v v v ș v v v v de ude rezulă: Aceasa îsă plcă relața: d cov { v v}) d cov { v v3}) X d cov { v v}) X 3) Fe că se selecează î od arbrar două vârfur dsce a b X raful țal ese d-cove splu pr urare cosrurea îveloare d-covee a ulț { a b} î aces graf se reduce la cosrurea șrulu de ulț: B { a b} B P B ) B P B ) B P B ) d-cov{ a b}) X Fără a perde d geeralae se poae cosdera că B ese pra ulțe î aces șr care coțe vârful v 3 Acese ulț î vor aparțe de aseeea ș vârfurle v ş v Daoră relațe 3) peru ulțea { a b} î graful se poae cosru șrul: B { a b} B P B ) B P B ) B P B ) 5

153 \ v3 asfel îcâ B B peru orce Î acese codț se obțe B B { } Î schb ulț d cov { a b}) X B î aparț vârfurle v ş v ceea ce îseaă daoră relațe 3) că Teorea 338 Dacă v ș v repreză copa ş respecv acopa uu vârf v al uu graf d-cove splu orea îcâ se respecă codța d v v) 3 auc graful care lpseșe vârful v ese de aseeea d-cove splu Deosrațe Fe X U ) u graf d-cove splu orea î care vârful podedă î aâ u vârf cope v câ ș u vârf acope v ~ care sasface codța eoree ar graful ce se obțe d ca rezula al elăr vârfulu cope v Deoarece v ș v su vârfur cop peru orce două vîrfur y X are loc egalaea: D aceleaș cosderee ave d y) d y) 33) v v v v 34) Fapul că v ș v su vârfur cop ar v ~ ese acopa lor î graful îseaă că: v) v) v ~ ) { p p p } ș s v) v) v ~ ) { q q q } r ude r s deoarece acese ulț u su vde Cu vârfurle v ș v su vârfur cop rezulă că d v v) peru că î caz corar î graful ar esa bucle ș a avea d v v) peru că î ar esa ulț d-covee forae d două vârfur Îsă codța d v v) 3 ese echvaleă cu urăoarea: adace cu 53 p u ese q peru orce { s} ș orce { r} Dec rezulă că d v v) 4 uul d druur fd [ v p ~ v q v ] { s} { r} Aceasa a îseaă că courul eleear de luge ă care coțe vârful v ese de lugea paru aâ î graful câ ș î graful Dec se obțe că v ) v) v v

154 Fe u vârf d v v \ v) v)) Auc resulă că aparțe uu dru de la v spre v dec esă p s ș r îcâ î esă druul [ v p q v ] Dar q auc p q deoarece p u ese adace cu q ceea ce plcă relaţa relaţa: De aseeea are loc relața: v v \{ v v} P v) v)) 35) v) v) { v v~ } P { v v~ }) P { v v~ }) 36) D relațle 34) 35) ș 36) rezulă că v v \{ v v } P { v v ~ } ceea ce plcă d cov { v v ~ } X 37) Selecă î od arbrar două vârfur dsce a b X raful ţal ese d-cove splu Pr urare cosrurea îveloare d-covee a ulţ { a b} î aces graf se reduce la cosrurea şrulu de ulţ: B { a b} B P B ) B P B ) B P B ) d cov{ a b}) X Fără a perde d geeralae se poae de cosdera că care coţe vârful v Acese ulţ î aparţe ş vârful v Auc v ~ B B ese pra ulţe a acesu şr Î baza relaţe 33) peru ulţea { a b} î graful se poae cosru şrul: B { a b} B P B ) B P B ) B P B ) îcâ B B Î acese codţ obţe B \ B { v} Î schb ulţ B î aparţe vârful v ş uele vârfur d v) v) ceea ce îseaă că ulţ î va a aparţe ş vârful v ~ Dec daoră relaţe 37) obţe egalaea d cov { a b}) X D eoreele 337 ş 338 rezulă că î grafurle d -cove sple oreae ca ş î grafurle d -cove sple eoreae se poae ela vârfurle cop ale uu vârf v păsrâd peru v doar o cope sau o acope ş graful obţu va f la fel d-cove splu Teorea 339 Dacă X U) cardx 4 ese u graf d-cove splu î care esă paru vârfur y y ce sasfac codţle: 54 B

155 vârfurle y y su două câe două eadacee; d ) d y y ) d ) d y ) ; y 3 { d y) d y )} d ) ; 4 { d y ) d y)} d ) ; 5 { d y) d y ) d y) d y )} d ) d ) y auc H W y ) ce se obţe d î rezulaul coopr vârfulu cu y ş a vârfulu cu y ese de aseeea u graf d-cove splu Deosraţe: Fe X U ) u graf d-cove splu care sasface codţle eoree y ar H W y ) graful cosru după cu s-a dca aeror Noă pr z ş z vârfurle d H forae ca rezula al coopr vârfurlor cu y ş cu y Deoarece se eaează grafur fără bucle ş uch ulple ar graful ţal ese d-cove splu rezulă că codţa d eoreă pusă asupra ulţ de vârfur alese { y y} asgură ca ş î graful H u su bucle sau arce ulple Ma ul peru orce două vârfur s X î H esă cel ul uul d cele două arce posble ) H s sau s) Cu graful ţal ese d-cove splu rezulă că îveloarea d -coveă a ulţ de vârfur } poae f scrsă asfel: { A { } A P A ) A P A ) A P A ) d cov { 55 }) X D aceleaş ove îveloarea d-coveă a ulţ de vârfur y } poae f scrsă î odul urăor: B { y { y y} B P B ) B P B ) B P B ) d cov { y y }) X Fe că se cosrueşe îveloarea d-coveă î graful H peru ulţea z } cu auorul şrulu de ulţ: C { z z} C P C) C P C) C P C ) d cov { z z }) X { z Daoră codţlor 3 ş 4 a eoree rezulă că A B C ar codţle 3 4 ş 5 asgură verdcaea relaţlor A B C peru orce Acesea îsă plcă relaţa: d cov { z z}) X 38) H H

156 Fe că se selecează î od arbrar două vârfur dsce a b X raful ţal ese d-cove splu pr urare cosrurea îveloare covee a ulţ { a b} se reduce la cosrurea şrulu de ulţ: E { a b} E P E) E P E ) E P E ) d cov{ a b}) X Fără a perde d geeralae se poae cosdera că H E ese pra ulţe a acesu şr care coţe uul d vârfurle ulţ y } Mulţ E î aparţe de aseeea ş vârful cope al vârfulu respecv { y Cosru îveloarea coveă a ulţ { a b} î graful H î odul urăor: E H H H H { a b} E P E ) E P E ) E P E ) H H H îcâ H E E peru orce ar ulţ E î aparţ de aseeea ş vârfurle z ş z ceea ce daoră relaţe 38) îseaă că d cov }) { a b X H H 34 Cocluz la capolul 3 Pr rezulaele obțue î capolul 3 î cadrul eore copleulu de relaț ul-are se propue o drecțe de cerceare ce țe de geeralzarea oțu de d-coveae rodusă peru pra daă de căre K Meger [53] ș redescoperă a ârzu de căre P Sola î legăură cu ecesaea de a soluțoa problee cu caracer pracc pe grafur Folosd oțuea de laț -desoal ș propreățle acesua eaae î capolul precede se defeșe o fucțe a dsațe cu auorul cărea se cosrueșe coveae ș îveloarea coveă î spațul erc deera de relața -ară R Țâd co de propreățle geerale ale ulțlor covee îr-u spațu erc R d ) sudae î prul paragraf al capolulu se descru rezulae porae d puc de vedere eoreco-aplcav î doeul coveăț peru u caz parcular al copleulu de relaț ul-are E vorba de grafur aâ cele eoreae câ ș cele oreae) Su eaae a ule clase de grafur peru care îveloarea coveă a orcăror două vârfur eadacee cocde cu ulțea uuror vârfurlor d graf Asfel de grafur se uesc d-cove sple Iporața acesor grafur ese deeraă ș de fapul că o sere de problee dfcle d puc de vedere al soluțoăr algorce pe grafurle d-cove sple se rezolvă î p poloal î uele cazur char î p lar) 56

157 Î baza celor descrse î capolul 3 po f eţoae rezulaele prcpale ce ț de suderea coveăț îr-u cople de relaț ul-are: - a fos defrea coveaea ș îveloarea coveă î spațul erc deera de relața -ară a copleulu S-a deosra că orce fale de subulț a relațe -are deeră î od uvoc o îveloare coveă ș vers - a fos esa daerulu ue ulț cosrue pr aplcarea operaorulu ce geerează îveloarea coveă a ue ulț -are; - au fos deerae codțle î care o subulțe a relațe -are repreză îveloarea coveă a pucelor sale ereale; - au fos obțue eoreele de caracerzare a coveăț sple peru a ule clase de grafur dece după srucură; - a fos eaaă relața dre rază ș daeru î grafurle d-cove sple de pul L ) ude repreză aoul grafulu ; - a fos eaaă oțuea de coveae ș propreățle ulțlor covee î cazul uu garf orea S-a deosra eorea de caracerzare a grafurlor d-cove sple oreae Ţâd co de rezulaele obțue î capolul 3 deduce urăoarele cocluz: Pr ederea oțu de laț -desoal ș roducerea oțu de )- coveae î cadrul eore copleelor de relaț ul-are a fos couraă o drecțe de cerceare legaă de suderea propreățlor ulțlor )-covee cu aplcarea uleroară acesora la soluțoarea probleelor cu caracer eoreco-aplcav; Srucura specală a uor clase de grafur d-cove sple cu ar f cele plaare odular eredare cordale eredare după dsață ec care rezulă d eoreele de caracerzare a coveăț sple a acesor grafur pere elaborarea uor algor poloal de soluțoare a probleelor de aplasare cuoscue drep problea edae problea cerulu ş a ulplelor varaţ ale acesora; 3 Rezulaele obțue î legăură cu suderea grafurlor d-cove sple servesc drep bold peru ederea cerceărlor î scopul caracerzăr copleelor cu o fale prescrsă de ulț )-covee 4 Pr defrea operaţlor algebrce asupra grafurlor d-cove sple se crează prezele suder codţlor î care clasele de grafur d-cove sple forează srucur algebrce de grup chesue poraă peru dezvolarea eorecă a eore d- coveăţ pe coplee de relaţ ul-are 57

158 4 COMPLEXE DE CUBURI ABSTRACTE Folosd spleele absrace prr-o procedură eravă se defeșe cubul absrac p -desoal p a se vedea defța 4) cu auorul cărua se cosrueșe copleul de cubur absrace a se vedea defța 4) Cerceărle ce ț de suderea cubulu ș a copleulu respecv su reflecae î a ule lucrăr publcae pe parcursul ullor zece a [5] [9] [9] [48] [53] [55] [96] Rezulae porae au fos obțue aâ la vel eorec legae de cosrurea oologlor cubce a caracersc Euler de suderea propreățlor vareățlor deerae de copleul cubc absrac [5] [7] [7] [79] precu ș la vel aplcav pr soluțoarea uor problee pracce prre care u rol apare reve probleelor de aplasare [3] [6] [6] [7] Acese rezulae po f geeralzae ș peru cazul copleulu de cubur cosru cu auorul quasspleelor absrace Touș vorbd despre soluțoarea probleelor cu caracer aplcav ar f a fresc să eaă copleele obșue de cubur absrace ețoa a sus Despre uele dre acesea vo vorb î capolul 4 După cu se va vedea d cele ce urează u cople de cubur absrace poae f cosdera drep u caz specal al copleulu splu de relaţ ul-are { R R R } eaa î paragraful 3 Copleul { R R R } ese asoca de regulă cu u cople de splee absrace K { S S S } ude S s s s } repreză ulţea uuror spleelor absrace -desoale { ar orcare două splee l l s S ş S s l au ersecţe vdă sau p p ersecţa lor ese u sple p-desoal s S p { l } Folosd spleele r s S cards î calae de cărăzˮ eleeare vo cosru copleul -desoal de cubur absrace Cu auorul grupurlor de oolog vo deera propreăț porae ale acesu cople î baza cărora se vor obţe rezulae ule peru cerceărle uleroare 4 Cubul absrac -desoal Vo îcepe cu defrea cubulu absrac -desoal apelâd la spleele absrace defe î paragraful 3 eeralzarea acesua pr ulzarea quasspleelor absrace se rasforă îr-o procedură splă char dacă aceasa ş ese ua sufce de găloasă deeraă de îsuş specfcul uu quassple î rapor cu spleul absrac 58

159 Fe s ) u sple cu desuea al copleulu de relaț ul-are ar s ua dre fețele ) -desoale d capolul Iroduce paraerul s păsrâd oațle folose î dacă spleele s ş s su coeree dacă spleele s ş s u su coeree Folosd aces paraeru pue cosdera s ș s drep splee coeree Pr urare coefceul de -cdeță [ s : s ] va f egal cu î rapor cu oae fațeele ) - desoale ale copleulu Defța 4 Dacă s s s ese sple -desoal al copleulu de relaț ul-are auc s \ s se ueșe vacuu cu desuea al spleulu proopul spațulu eror peru fgurle geoerce) Vacuuul spleulu s se va oa: sˆ [ ] Vacuuul spleulu cu desuea cocde cu spleul cu aceeaș desue adcă ˆ s s peru orce sple desoal s Def î od ducv cubul absrac -desoal ș vacuuul acesua Defța 4 Peru o ulţe arbrară de eleee X declară: Orce elee X repreză u cub -desoal oa I ) Cosderă că aces cub ș vacuuul său cocd cu spleul -desoal ș respecv cu vacuuul acesua Fe I ) u cub -desoal Ma fă u cub desoal I ) Perechea eleeelor ș î ordea dcaă repreză u cub -desoal pe care îl oă I ) Aces cub cocde cu spleul absrac deera de vârfurle ș Vacuuul lu I cocde cu vacuuul spleulu dca Vârful se va u orge a cubulu -desoal I ) Toodaă ș se a uesc fațee -desoale ale lu I 3 Cosderă cubul absrac -desoal I ) Alege u al cub - 59 desoal I y y ) Relațle -are îre vârfurle acesor cubur deeră eseța

160 îcă a două cubur -desoal I y ) I y ) Ma def o relațe -ară 4 3 y y ) ș două relaț 3 are: y ) ș y y ) Ca rezula obțe u cople splcal absrac deera de spleele: ) y y ) y ) y ) y ) y ) ș y y ) Aces cople splcal se ueșe procub -desoal ș se oează pr I Reuuea vacuuurlor spleelor y ) repreză vacuuul cubulu -desoal oa pr y y ) ș y ) o I Cubul absrac -desoal ese reuuea vacuuulu o I I ș a spleelor răase: I o ) ) ) y y y y ) Cubul cosru I are vârfur: y y Vârful se ueșe orge ar șrul ordoa y ) reper al cubulu I Vo reprezea cubul I pr reperul său I y ) Fecare dre fațeele -desoale d I vârfurle ș ) îpreuă cu fațeele -desoale respecve d I vârfurle y ș y ) deeră faţeele -desoale ale cubulu ale lu I Fațeele -desoale ale cuburlor I I 4 răâ fațee -desoale 4 Fe că se cuoașe oțuea de cub ș procub absrac -desoal I ș ) I precu ș de vacuu al cubulu cu aceeaș desue 5 Peru a def cubul absrac -desoal por de la u cub ) -desoal reprezea pr reperul său: I ) Alege u al cub ) -desoală o I I y y y ) Cosderă relațle -are îre vârfurle cuburlor I I care deeră șe splee ce forează u cople splcal absrac procubul I ) Fecare fațeă ) -desoală d I î pereche cu fațea corespuzăoare e d I repreză câe u cub ) -desoal Acese cubur îpreuă cu I ş I repreză oae cele fațee ) -desoale ale cubulu -desoal Noă pr I fala acesor cubur ) -desoale Vacuuul cubulu -desoal oa 6

161 pr o I se defeşe ca reuuea vacuuurlor spleelor d copleul ce deeră procubul I ) ş care u aparț copleelor splcale corespuzăoare cubulu d I Cubul abasrac -desoal se defeșe pr reuuea: I I I I o Vârful ese orgea ar șrul ordoa ) reperul cubulu absrac fațeele cu desuea răâ fațee cu aceeaș desue a cubulu Ca ș î cazul spleulu absrac vo def orearea cubulu Fe desoal deera pr eredul reperulu său: I ) I Toae I I u cub absrac - Defța 43 Dacă uărul de versu î coregul de dc ) ese par auc cubul I se va u cub orea pozv ș se va oa pr de versu ale coregulu ețoa de dc ese par auc egav folosd oaţa I I Î cazul câd uărul I se va u cub orea Ese cazul să ețoă că reperul ce deeră u cub absrac -desoal I poae f folos ș la cosrurea spleulu -desoal seul cărua cocde cu seul cubulu Peru cubul absrac deera de reperul ) ş orea pozv sau egav se va folos oața respecvă: I ] ș I ] [ [ Mețoă că dacă ) ese reper al cubulu -desoal I auc perechle ordoae ) ) ) repreză la râdul lor cubur -desoale pe care le vo oa I I I Pr urare reperul lu I poae f descrs ș ca o ulțe ordoaă de cubur -desoale r { I I I } Slar cazulu copleulu de relaț ul-are se defeșe oțuea de cubur coeree ș coefce de coereță Vo cosdera că două cubur absrace I I ude I ese ua dre fațeele ) -desoale ale lu I su coeree dacă acesea su oreae la fel Î caz corar acese cubur se vor cosdera ocoeree Peru două cubur de coereță oa pr ) [ I : I ] î odul urăor: 6 I ș I def coefceul

162 ude cardi dacă cuburle I ş I su coeree ) dacă cuburle I ş I u su coeree î caz corar cardi Defța 44 Două cubur absrace ) -desoală couă relața: I ș I se uesc cocordae dacă au o fațeă I ș îre coefceț de coereță ) ș ) are loc ) = ) Fe cardx I u cub absrac -desoal cu ulțea de vârfur V { } X r Vârfurlor acesu cub le pue î corespodeţă şe coreg bare cu eleeele sau îcâ să pue def pe I erca Hag Peru pra daă aceasă ercă a fos rodusă de căre Rchard Hag î legăură cu ecesaea de a deera gradul de dscrepaţă dre cobaţle de codur reprezeae pr vecor bar de aceeaş luge [7] Uleror ea s-a doved a f u srue efce peru eaarea probleelor de ord eoreco-aplcav [4] [8] clusv î cazul copleelor de relaţ ul-are [9] Merca Hag deeră dsaţa d ) dre două vârfur V egală cu uărul de pozţ pr care se deosebesc coregle bare corespuzăoare Fe vârfulu s-a arbu coregul ul ) ş ese vârful sua la dsaţă aă de la ceea ce îseaă că acesua s-a arbu coregul uar ) Foră ulţle: { } { V : d ) } { V : d ) } { V : d ) } { } Asfel cubul absrac -desoal care posedă propreățle: I poae f reprezea pr șrul de ulț a) card ; C b) orcare două eleee dsce ale ue ulț u repreză o fațeă - desoală a cubulu I 6

163 c) d l ) ese u uăr par peru orcare două eleee dsce l ale ue ulț a) b) 5 Fg 4 Reprezearea geoercă a cubulu 3-desoal cazul a)) ş a celu 4-desoal cazul b)) Evde u orce şr de aces p repreză u cub -desoal De râd cu reprezeărle geoerce clasce ale cuburlor -desoale fgura 4) vo ulza ş reprezeărle acesora pr şrurle respecve de ulţ 63 fgura 4) Î aces caz vo a spue că ave descrerea srafcaă a cubulu -desoal folosd oaţa I } { Lea 4 Nuărul de uch ce leagă u vârf oarecare d cu vârfurle ulţ ese N ar uărul de uch ce leagă acelaş vârf cu vârfurle ulţ ese N Evde N N ) Deosrațe Iroduce erca Hag cosderâd că vârfulu se arbue coregul ul ) Auc orce elee d va avea u coregu cu uăț Aces elee va f adace cu eleeele d ale căror coreg dferă de eac prr-u elee Asfel de coreg su eac fecare coregu dferă de pr fapul că ua d cele uăț d va f îlocuă cu zero) Pr urare arbrar d obțe N g ) ș deoarece a fos ales î od

164 a) Fg 4 Reprezearea cubulu 3-desoal pr şrul 3 cazul a)) ş a cubulu 4-desoal pr şrul 3 4 cazul b)) Îrucâ î cubul -desoal oae vârfurle au gradul egal cu rezulă egalaea euţaă î leă: 3 4 N b) Să esă acu sua dsațelor dre u elee arbrar ș ulțea l î cazul cubulu absrac -desoal I ) l Lea 4 Sua dsațelor dre eleeul epră pr ș oae eleeele ulț l se { l} l ) C C l Deosrațe Alege u vârf arbrar ș def pe cubul I ) erca Hag asfel îcâ vârful ese arca pr coregul ul ) Coregul bar ce corespude vârfulu va avea uăț ș -) zerour Fără a perde d 64

165 geeralae vo cosdera că acesa ese coregul ~ ) Orce elee d l ese arca prr-u coregu ~ ce coțe cu l uăț a ul decâ ~ Acese l uăț po f obțue î două odur: a) l zerour d coregul ~ se îlocuesc cu uăț Dsața dre vârfurle cărora le corespud coregle ~ ș ~ va f egală cu l Î așa od coregul ~ poae f ales î odur; l C b) uăț d coregul ~ se îlocuesc cu zerour ar l+) zerour se îlocuesc cu uăț respecâd codța l ) Î rezula obțe u coregu ~ cu +l) uăț ar dsața dre ~ ș ~ va f l+ dsața ese deeraă de erca Hag ș ese egală cu sua ) U asfel de coregu ~ poae f ales î l C C odur Pr urare obțe că sua dsațelor de la eleeul pâă la oae eleeele ulț l ese: { l} l ) C C Sua d lea 4 ese o cosaă ce caracerzează relața dre ulțle ș l l Vo oa aceasă cosaă pr Î od slar se deosrază că sua dsațelor dre l u elee fa l ș oae eleeele ulț u depde de alegerea lu dec ese l o ăre cosaă pe care o oă pr Ușor se deosrează că peru orce valor ale lu ș l ce verfcă relațle: l peru ulțle ș l l l l ș l Î cazul câd are loc egalaea Cosecță d lea 4 Peru orce ulțe a uu cub -desoal I ) șrul ese descrescăor Teorea 4 Peru orce ulțe a cubulu -desoal I ) / ese adevăraă relața: l Deosrațe Î baza cosecțe d lea 4 e sufce de deosra că peru orce ulțe / ese adevăraă relața Î od evde se obțe egalaea: ) S 65 ) C

166 Î coforae cu lea 4 vo avea: { } ) C C Deoarece eorea se forulează peru ulțle cu dcele / loc egalaea: { } Dec peru obțe sua: ) C C rezulă că are Eaâd epresle ș ș țâd co de codța / obțe egalaea d eoreă 4 Coplee de cubur absrace D puc de vedere eorec copleele de cubur servesc drep srue efce î dezvolarea uor coparee ale opologe cobaorce fd folose la cosrurea varaţlor opologc pr aplcarea eodelor cobaorale de sudu Srucurle aeace cosrue cu auorul cuburlor absrace -desoale se îâlesc î eora oderă a opologe algebrce î parcular la fudaearea uor rezulae ce ţ de suderea operaţlor defe pe cooolog Toodaă acese srucur se regăsesc îru şr de aplcaţ î specal î geoera cobaorcă daoră fapulu că o sere de srucur îâle î dverse raur ale aeac coduc la suderea uor spaţ specale cu o dvzare specfcă î cubur Î cele ce urează vo por de la suderea uor propreăț specale ale copleulu de cubur absrace ecesare la soluțoarea probleelor de aplasare pe srucur dscree î parcular peru problea edae Defţa 4 Fala ovdă ş fă de cubur absrace { I } ce verfcă propreăţle: s peru orcare două cubur absrace I I s are loc relața s I I sau I s I ; orce faţeă I a cubulu desoal I ese elee al 3 î fale ; esă cel puţ u cub desoal se ueşe cople cubc absrac cu desuea 66 I

167 De râd cu defţa 4 ueor se apelează la o ală defţe a copleulu de cubur absrace pr care se pue acce î specal pe srucura cobaorcă a acesua: Defţa 4 O ulţe de eleee parţal ordoae H ce coţe eleeul cel a c Ø ş posedă propreăţle: a) peru orce elee H h segeul h ulţea parţal ordoaă a faţeelor uu cub absrac; deera de relaţa ese zoorf cu b) dacă h h su două eleee d H auc peru oae eleeele hh relaţle h h ş h h esă u sgur elee aal d H ; ce sasfac c) î H esă cel puţ u elee h îcâ segeul h ese zoorf cu ulţea parţal ordoaă a faţeelor uu cub absrac -desoal se ueşe cople de cubur absrace -desoal h H Eleeele ulţ H se uesc faţee ale copleulu ar dacă segeul h repreză ulţea de faţee ale uu cub absrac desuea I auc h se ueşe faţeă cu Echvaleţa defţlor 4 ş 4 uşor se verfcă Îr-adevăr propreaea c) î abele defţ cere eseţa cel puţ a uu cub absrac -desoal Propreaea b) î defţa 4 ese echvaleă cu codţa ca orcare două cubur absrace d cople să abă ersecţe vdă sau ersecţa acesora să fe elee al copleulu Î sfârş codţa ca segeul h să fe ordoa cu ulţea parţal ordoaă a faţeelor uu cub absrac cere ca orce faţeă a cubulu absrac să aparţă copleulu Peru a percepe a uşor uele propreăţ ale copleulu de cubur absrace vo recurge ş la erprearea geoercă a acesua care repreză o realzare opologcă a copleulu îr-u spaţu R Faţeele acesu cople forează î rapor cu operaţa de cludere o ulţe parţal ordoaă zoorfă cu H de defţa 4 a cubulu absrac Î eaărle oasre e vo folos Noă pr I I I I } fala uuror cuburlor absrace -desoale ale copleulu cubc { Asfel copleul cubc poae f prv ca o fale de ulţ de cubur absrace { I I I } ce respecă codţle defţe 4 Cosderă aplcaţa uvocă h : I Z Fe g Z agea cubulu -desoal I adcă h I ) g Peru coodae î loc de h ) vo folos oaţa cubulu orea egav I vo scre g I 67 I g I ar î cazul

168 Defţa 43 Sua g I gi se ueşe -laţ -desoal de cubur absrace al copleulu L g I 4) Defţa 44 Suă a două -laţur de cubur absrace g I ş L g I se ueşe epresa: L L g g ) I Mulţea uuror -laţurlor -desoale ale copleulu cubc ş se oează pr L desoa le 4) d cosderee de coodae o vo oa ca ş î cazul copleelor de relaţ ul-are pr verfcă L Lese se Teorea 4 Mulţea aduare 4) Fe Meţoă că orce cub I ş cardi I L forează u grup couav î rapor cu operaţa de I posedă perech de faţee opuse cu desuea - I faţee opuse ale uu cub - desoal I { } Defţa 45 Peru cubul -desoal I I epresa I ) I I ) se ueşe -froeră a cubulu I Pord de la fala de -laţurlor -desoale cosru oologle cubce peru L ale copleulu cubc vo apelâd la ehca be cuoscuă de la cosrurea oologlor copleulu de relaţ ul-are a se vedea paragraful 6) Defţa 46 Se ueşe -froeră a uu laţ -desoal L L epresa L g I g Z Meţoă că operaţa de defre a -froere uu -laţ ooorfs Noă aces ooorfs asfel: ) : L L L L ese u ş îl vo u -ooorfs U asfel de ooorfs def pe copleul cubc f obţu aplcâd operaţle de creare a -froere peru 68 poae I I ş cosderâd

169 I L L Ca ş î cazul clasc [4] vo oa pr I ) agea ar pr Ker ) ucleul ooorfsulu def ) Folosd operaţa de cosrure a -froere uu cub -desoal I I a se vedea defţa 45) ş operaţa de cosrure a -froere uu laţ -desoal a se vedea defţa 45) e lese a deosra Teorea 4 Peru orce cub -desoal I I are loc egalaea I Tehca de deosrare a acesu rezula ese slară cele epuse î lucrarea [3] D eorea 4 ţâd co de defţa 46 obţe Cosecţa 4 Dacă copleulu auc L ese u laţ -desoal ş f de cubur absrace al L Defţa 47 -laţul -desoal L L al uu cople cubc peru care se respecă egalaea L se ueşe -cclu de cubur absrace cu desuea sau a splu -cclu -desoal) Mulţea uuror cclurlor -cclurlor) de cubur absrace cu desuea d f dvzaă î două subulţ: A -cclur -desoale care repreză -froera uu -laţ Acese cclur ărgesc ceva î copleul de cubur suda B -cclur -desoale ce u ărgesc c î copleul Vo oa ulţea uuror -cclurlor cu desuea d poae L cu desuea + pr Z Evde Z L ş Z forează u grup couav î rapor cu operaţa advă 4) defă peru laţur rupul -cclurlor cu desuea d Mulţea uuror -laţurlor cu desuea ale copleulu îl vo oa pr Z ) ce verfcă propreaea A forează î rapor cu aceeaş operaţe advă u grup couav Z ) Z ) Defţa 48 rupul facor Z )/ Z ) se ueşe grup de -oolog cu desuea a copleulu cubc I Vo oa aces grup pr Z) Respecarea decăre grupurle de -oolog a urăoarelor codţ: Z) Z; 69

170 Z) Z) Z) îseaă că copleul de cubur absrace ese coe ş acclc De râd cu -oologle defe a sus care po f ue oolog cubce drece vo suda î cele ce urează u p de oolog deera de ooorfsul Să fă a îâ câeva rezulae prelare : L L Fe I u cub -desoal reprezea pr reperul său ) Aces cub are perech de faţee opuse cu desuea Pr defţa cubulu absrac se cosderă că fecare pereche e foraă d cubur cu aceeaş oreare deeraă de fecare daă de reperul ce ese subcoregu eredar al reperulu ) Cu ale cuve reperul ce fează orearea ue perech de faţee ) -desoale d elarea uua dre vârfurle 5 4 I se obţe d reperul lu I pr De eeplu î cazul cubulu 3-desoal ) vo avea 3 perech de faţee -desoale deerae de reperele ) 5 ) ş ) Prre acesea pra pereche va f foraă d două cubur oreae egav fecare uărul de versu î coregul ) ese par) ar ulele două perech vor f perech de cubur oreae pozv 5 4 Fe I ş I două cubur absrace ale uu cople de cubur cu desule respecve ş Dacă I ese faţeă propre a cubulu I auc acesea se cosderă coeree câd su oreae la fel ş se cosderă ocoeree î cazul câd su oreae î od dfer Def coefceul de -coereţă al cuburlor absrace: dacă cuburle I dacă cuburle I î caz corar ş I ş I su coeree u su coeree Fe I ) ulţea uuror cuburlor cu desuea d faţeă propre Meţoă că reuuea I ) I I I oaă pr qs I peru care I ese forează seaua cubcă a eleeulu Defţa 49 Peru cubul absrac -desoal I ) I I I sua: I I cu ulţea I I I I 43) se ueşe cofroeră algebrcă a cubulu I 7

171 Luâd î cosderaţe sbolul folos la defrea cofroere algebrce aceasa d ură se va u -froeră Evde peru orce cub -desoal desoale I I cu propreaea ) I d precu ş peru cuburle - I se va cosdera I respecv I Î od slar cu cele d [3] [5] se deosrează că peru orce cub -desoal I I are loc egalaea: I 44) Fe acu L u laţ -desoal d def pr sua 4) Defţa 4 Peru u laţ fora d cubur -desoale L g I g I g I card I epresa: L g I 45) se ueşe cofroeră -froeră) algebrcă a laţulu Dacă L auc L L se ueşe cocclu -cclu) cu desuea al copleulu Mulţea uuror cocclurlor -desoale o vo oa pr Fe L ulţea uuror cclurlor -desoale ale copleulu Z Rearca 4 Operaţa de defre a cofroere algebrce a uu laţ cubc - desoal ese u ooorfs [4]: pe care îl vo u -ooorfs : L L Teorea 43 Peru orce laţ cubc -desoal verfcă egalaea: L Deosraţa eoree rezulă eloc d relaţle 44) ş 45) Teorea 44 Mulţea uuror cocclurlor cubce -desoale rapor cu operaţa de aduare a două cclur z z Z z L L Z d defă pr egalaea: z g I g I g I ) g I g I g I ) g ) I g g ) I g g ) se î g I 46) forează u subgrup couav al grupulu laţurlor cubce -desoale eaa aeror 7 L

172 Deosraţa eoree se face î od rval pr verfcarea drecă a aoelor grupulu couav [88] Defţa 4 Dacă î esă două laţur L L ş L L cu propreăţle: a) L L b) L auc L se ueşe cocclu -desoal -oolog cu ș se oează pr Două cocclur ~ L z z ş z d grupul Z ce respecă codţa: z z ~ vo u cclur -ooloage cu zero Uşor se deosrează că ulţea uuror cocclurlor -desoale ş -ooloage cu zero î rapor cu operaţa de aduare 46) forează u subgrup d Z Vo oa aces subgrup pr Z Defţa 4 rupul facor / Z Z al copleulu le se va u grup al cooologlor -ooloag) cu desuea pese grupul uerelor îreg Z fd oa pr Z) Î cele ce urează vo prezea câeva rezulae ce ţ de suderea grupurlor de cooolog Pr aaloge cu copleul de relaţ ul-are vo cosdera că u cople de cubur absrace ese subcople al copleulu de cubur dacă orce cub d ese ş elee al copleulu Mulţea uuror cuburlor uu cople cubc absrac desule cărora u depăşesc u uăr r repreză la râdul său u cople de cubur absrace u schele r -desoal al Defţa 43 U cople de cubur absrace două vârfur a b d esă o succesue de vârfur 7 se ueşe coe dacă peru orcare a b îcâ orce două vârfur vece d aceasă succesue aparţ uu cub absrac r -desoal r Rea că cuburle -desoale ale uu cople cubc se a uesc vârfur ar cuburle -desoale uch ale acesu cople) Aceasă defţe ese o geeralzare a oţu de coeae folosă î cazul srucurlor dscree reprezeae pr grafur [5] hpergrafur [6] coplee splcale [7] [35] ec Codţa de coeae a uu cople de cubur absrace deeraă de defţa 43 ese echvaleă cu fapul că î cople u esă două subcoplee ş care ar sasface urăoarele două codţ:

173 a) ; b) Îr-adevăr fe î esă subcopleele ş cu propreăţle a) ş b) dcae a sus Selecă două vârfur a ş b ce aparţ respecv subcopleelor ş Dacă î esă succesuea de vârfur eţoaă î defţa 43 auc se va găs u ul vârf al acese succesu cubulu r -desoal care ese d îsă u ş d Î acese codţ eseţa r ceru pr defţa 43 u ese posblă Pr urare eseţa celor două subcoplee ş îseaă lpsa succesu de vârfur eţoae d Să ade acu suaţa versă Fe u cople coe Alege u vârf oarecare a Noă pr D ulţea uuror vârfurlor copleulu care po f legae de a cu auorul succesulor de vârfur dcae î defţa 43 Mulţea cuburlor d care coţ cel puţ u vârf d D forează u subcople codţle defţe copleulu de cubur absrace se verfcă î od evde a se vedea defţa 4) Celelale cubur dacă esă forează subcopleul care ese vd Aceasa d ură îseaă că peru orcare două vârfur a ş b d esă succesuea eţoaă î defţa 43 Slar cu ale srucur dscree cuoscue grafurle hpergrafurle copleele splcale ec) def oțuea de copoeă coeă al uu cople de cubur absrace Defţa 44 Subcopleul aal coe al copleulu coeă a lu Fe p se ueșe copoeă F fala uuror copoeelor coee ale copleulu p coplee forează o dvzare a copleulu p p p Teorea 45 Dacă Z uerelor îreg Z al copleulu î copoee coee adcă: Acese ese grupul de cooolog cu desuea pese câpul cooolog cu desuea a subcopleulu p ar Z Z ese zoorf cu sua drecă a subgrupurlor Z Deosraţe Dacă eaă grupurle L ese grupul de p auc grupul Z L L Z p p L p ale uuror laţurlor cu desuea a copleelor T T T p auc evde are loc egalaea: 73

174 L L L L p 47) Aplcă -ooorfsul Auc evde : L ˆ L L ˆ L L L p ˆ L L ş epraă pr sua drecă a grupurlor laţ arbrar L L L L L L ceea ce îseaă că Lˆ D codţa deeră î od uvoc Pr urare Lp L p Să cosderă: L ˆ L p Să arăa că L ˆ L Lˆ L ˆ care sasfac codţle: L L p L ˆ poae f Lˆ p Peru aceasa vo eaa u Cofor relaţe 47) esă eleeele L L L Lp 48) se repreză ca suă drecă a grupurlor L ˆ L ˆ Lˆ p L ˆ L p ş relaţa 47) rezulă că descopuerea 48) se Peru a fsa deosraţa ese sufce de arăa că peru ucleele grupurlor de cooolog are loc o relaţe decă cu relaţ 47) L Alege u elee arbrar z Ker Z L p care garaează egalaea: Î baza relaţe 47) se vor găs eleeele z L L L z L L L Luâd î cosderare plcaţle p p Pr urare obţe: ˆ L L L ˆ L precu ş relaţa 48) rezulă că L p Aceasa d ură îseaă că L Ker Z Ker Z Ker Z p Ucaea descopuer decurge d relaţa 47) D ula egalae obţuă precu ş d fapul că ˆ afraţa eoree L se epră pr suă drecă a grupurlor L ˆ L ˆ Folosd aceasă eoreă se deosrează propreăț ale uu cople grupurlor de cooolog a copoeelor coee [6] [63] Pr defţe orce cub -desoal al copleulu I I I I fala uuror cuburlor -desoale d Lˆ p rezulă î ere se cosderă orea pozv Fe Cosderă u laţ - desoal L g I g I pese câpul uerelor îreg g I 74

175 Z g Z Def dcele acesua EL g g g laţur -desoale L ş L ese evdeă egalaea: E L L EL E L Peru orcare două 49) Ca ş î cazul copleulu de relaţ peru copleul de cubur absrace Lea 4 U laţ de cubur -desoale ese -oolog lu dacă ş ua dacă E I Deosraţa afrațe ese slară cu deosraţa lee 6 are loc I al copleulu coe de cubur absrace Teorea 46 rupul -desoal al -oologlor uu cople coe de cubur absrace ese zoorf cu grupul uerelor îreg Z Deosraţe Fe L ulţea uuror laţurlor -desoale d Pr defţe L Z Î baza relaţe 49) rezulă că dcele E repreză o aplcaţe oeoorfă a grupulu Z î grupul uerelor îreg Z Ma sus s-a eţoa că peru orce elee p Z esă u cclu î rezulă că ucleul oeoorfsulu E ese Z dcele cărua ese p Pr urare E Z Z D lea 4 Z ulţea uuror cclurlor -desoale ş -ooloage cu zero Aceasa d ură ş îseaă că grupul -desoal al -oologlor uu cople coe de cubur absrace ese zoorf cu Z 43 Caracersca Euler Caracersca Euler se ulzează frecve î opologa algebrcă ş cobaorca poledrelor reprezeâd u vara opologc u uăr care descre fora ş srucura spaţulu Iţal caracersca Euler a fos rodusă peru suderea poledrelor î parcular s- a folos la clasfcarea corpurlor Plao Î aeaca oderă aces uăr reapare î legăură cu suderea oologlor spaţlor î corelaţe cu u şr de alţ varaţ cuoscuţ Peru pra daă forula ce leagă îre ele uerele faţeelor uu poledru 3-desoal a fos obţuă de căre Leoard Euler î aul 75 [9] cu oae că uele dcaţ referoare la eseţa acesea se regăsesc ş î auscrsele lu Ree Descares Forula a fos geeralzaă ceva a ârzu de căre H Pocare [89] peru poledre N -desoale: ude N F F repreză uărul faţeelor -desoale ale poledrulu cosderâd că îsuş poledrul N -desoal ese faţeă propre a acesua Î cosecţă oae varaţle ş 75

176 geeralzărle forule î cauză au apăru î p sub urea de caracerscă Euler-Pocare Î cazul ue vareăţ caracersca Euler-Pocare descre relaţa dre uărul de vârfur uărul de uch ş uărul de faţee: L F S V E F ude V repreză uărul de vârfur al vareăţ; E uărul de uch; F uărul de faţee uărul de găur ce peerează corpul sold cuoscu î opologe ca ge; S uărul de golur ere vdul feror al corpulu sold) peru care odeaua are loc egalaea S ; L uărul de bucle Î cele ce urează peru o srucură aeacă oarecare A vo oa caracersca Euler- Pocare pr A) Î depedeță de srucura sudaă caracersca Euler-Pocare îs găseșe eprarea pr dfere forule: A) Peru u cople celular W caracersca Euler-Pocare W ) se calculează ca o suă aleraă a celulelor cu desuea 3 Dacă copleul W coțe doar celule cu desuea u a are decâ p auc: ude W ) C C C ) 4) C repreză uărul de celule cu desuea p C p p ale copleulu W B) Dacă î cazul uu spațu opologc X se cuosc grupurle de oolog de ord q auc caracersca Euler-Pocare a spațulu se repreză pr sua aleraă a ragurlor acesor grupur: W ) r r r ) 4) ude r ese ragul grupulu de oolog de ord q al spațulu opologc X q rq Desgur î forulele 4) ș 4) se cosderă că uerele C p ș r q su fe C) Peru o suprafața oreablă îchsă cu geul g oaă pr T g caracersca Euler- Pocare se calculează: T g ) g D) Peru o suprafața oorablă îchsă cu geul oaă pr S ave: S ) Vorbd despre caracersca Euler-Pocare a spațlor opologce u pue să u ețoă uele propreăț ale acesea folose la defrea operațlor asupra spațlor respecve Î lucrărle [9] [93] au fos sable două rezulae porae peru cazul a două spaț opologce arbrare X ș Y : 76

177 a) X Y X Y X Y X Y X Y ; b) X Y X Y Dacă X ş Y su spaţ dsuce auc Propreăţle respecve au loc după cu be se cuoaşe ş î cazul cardalelor uor ulţ de eleee arbrare D aces puc de vedere caracersca Euler poae f cosderaă ca o geeralzare a oţu de cardal fap eţoa î lucrarea [9] Peru o vareae uldesoală prvă ca u spațu opologc caracersca Euler- Pocare se calcuează cu auorul ragurlor grupurlor de oolog î coforae cu forula 4) Ca rezula obțe u uăr îreg ce caracerzează vareaea respecvă Toodaă ese ecesar să ețoă că caracersca Euler-Pocare u odeaua ese uăr îreg Î cofrarea celor spuse pue aduce drep eeplu o srucură aeacă specală uă orbvareae egl orbfold) A ac că orbvareaea ese u spațu opologc Hausdorf X îpreuă cu o oalae de aplcaț deschse : 77 A R X îcâ acesea forează o acoperre a ulț X Peru pra daă orbvareaea a fos sudaă de căre ISaae î a 5 a secolulu recu ud-o V-vareae [94] ar rezulaele fudaeale ce ț de suderea acese srucur aeace se regăsesc î lucrărle [95] [96] [97] Î suaţa uu caz parcular de orbvareae cuoscuă ca T-orbvareae egl eardrop orbfold) caracersca Euler-Pocare u ese uăr îreg ş ese egală cu +/p ude p ese uăr pr ce corespude ughulu coc π/p [98] [99] [] Î cele ce urează vo sabl câeva relaț peru caracersca Euler-Pocare î cazul copleulu de cubur absrace [98] care repreză la râdul său o vareae cubcă uldesoală vareaea cubcă absracă se sudază î couare î paragraful 44 folosd grupuele de oolog respecve) Î paragraful 4 au fos calculae grupurle de -oolog ale copleulu Ragurle acesor grupur repreză varaț opologc a copleulu La râdul său preză eres problea cosrur uu sse cople de varaț a grupurlor de oolog a copleulu de cubur absrace chesue pora d puc de vedere heorec dar ș ulă la soluțoarea probleelor aplcave Peru grupul Z) sseul cople de varaț ese fora d ragul acesu grup ș coefceț de orsue a grupulu Vo eaa î cele ce urează rolul varațlor grupurlor de oolog î cosrurea forule Euler-Pocare cuoscuă drep ua dre caracerscele de bază la suderea propreățlor spațlor opologce [6] [98] Să arăă peru îcepu că caracersca Euler-Pocare poae f sablă î două odur:

178 a) Cu auorul cardalelor grupurlor de oolog ue Be Ragul grupulu Z) îl vo oa pr Pr urare caracersca Euler-Pocare obțuă î așa od ese u vara al copleulu de cubur absrace 78 b) Cu auorul uărulu de cubur absrace -desoale d Mețoă a îâ câeva propreăț ule ale copleulu de cubur absrace folose î cele epuse uleror: A) Mulțea L a uuror lațurlor cubce -desoale d forează u grup couav î rapor cu operața de aduare defă aeror a se vedea eorea 4) B) rupul L posedă u sse f de geeraor Afrața rezulă d fapul că ese u cople f precu ș d operața 4) de aduare a lațurlor Pr urare î L esă u uăr f de lațur -desoale L L L îcâ orce laț L ude L se epră pr cobața lară a acesora: p L p L p L p L p p su uere îreg Se cuoașe că dacă u grup oarecare posedă sse f de geeraor auc orce subgrup ș orce grup-facor al acesua posedă de aseeea sse f de geeraor [4] Pr urare fecare dre grupurle de oolog Z) Z) Z) posedă u sse f de geeraor C) Peru orce grup esă sse de geeraor Ba a ul peru acelaș grup ar puea să ese ssee cu uăr dfer de geeraor Dacă grupul coțe u elee ce poae f cosdera geeraor al grupulu auc acesa se ueșe grup cclu [] Dfța 43 [] Dacă ese eleeul geeraor al uu grup cyclc A ș ese cel a c uăr aural peru care are loc egalaea p auc spue că geeraorul ș îsuș grupul cclc A ese de ord p Î cazul p se spue că A ese u grup lber rupurle cclce oacă u rol pora la suderea srucur uu grup couav Rezulaul de bază care sableșe legăura dre u grup couav ș subgrupurle cclce ale acesua a fos obțu de căre aeacaul Nels Her Abel Ma ârzu aces rezula a fos geeralza peru grupur cu ssee geeraoare fe Asfel î cazul uu grup couav are loc urăoarea Teorea 43 [5] [3] Peru u grup couav A cu u sse f de geeraor su adevărae afrațle: I rupul A se descopue î od uvoc î sua drecă a grupurlor A A Ar ; B B B q cu propreățle:

179 a) A ese grup cclc lber r ; b) B ese grup cclc gradul cărua ese f ș ese dvzor al uărulu q î cazul q răâe doar codța ca să fe uăr f) II Nuerele q forează u sse cople de varaț uerc a grupulu A Defța 43 [5] Dacă u grup couav A se descopue î grupurlor cclce A sua drecă a A Ar ; B B Bq ce posedă propreățle a) ș b) ețoae î eorea 43 auc uărul r se ueșe rag al grupulu A ar q coefceț de orsue Mețoă că dacă oae eleeele grupulu A su de ord -uăr par auc ragul grupulu A ese egal cu zero ar oț coefceț de orsue q su egal cu Î aces caz uărul q se ueșe rag după odulul al grupulu A [] Să eaă uerele Be îr-u cople de cubur absrace Defța 433 Ragul grupulu de oolog Z) al copleulu -desoal de cubur absrace oează: se ueșe uăr Be cu desuea al acesu cople ș se card Z) Coefceț de orsue a acesu grup se uesc coefceț de orsue cu desue ș se oează pr q Vo oa pr uărul de cubur absrace -desoale ale copleulu cardi : Teorea 43 Dacă p su copoee coee ale copleulu ş p auc are loc egalaea: Z) Z Z Z q or Deosrațe Evde peru falle de lațur -desuoale L L L L p ale copleelor de cubur absrace p ese adevăraă egalaea: L L L L p 4) Î codțle -ooorfsulu ) : L L 79 ave: L ) L ) L ) L ) 43) p

180 Să eaă acu ucleele grupurlor de -oolog cu desuea Î baza relațe 4) peru orce elee L ce aparțe ucleulu grupulu Z) esă eleeele L L p ce garaează egalaea: L L L L p ş î cosecță: L ) L ) L ) L ) p Deoarece L aparțe ucleulu grupulu Z) rezulă egalaea L ) p D cele epuse a sus face cocluza că grupul Z) se epră pr sua drecă a grupurlor de oolog Z) p Reeşd d defţa oţu de copoeă coeă a copleulu î cazul obțe: Z) Z) 8 Z ) Z) Luâd î cosderațe că grupul de oolog cu desuea al uu cople de cubur absrace ese zoorf grupulu uerelor îreg Z a se vedea eorea 45) rezulă: Z) Z Z Z de p or Teorea 433 Peru u cople de cubur absrace ) p ese adevăraă egalaea: ) 44) Peru a deosra eorea vo avea evoe de aue rezulae supleare uele dre ele fd cuoscue d eora grafurlor Î eora grupurlor oțuea de rag se a defeșe pr sseul de eleee lar depede Î cazul uu grup couav A eleeele depedee dacă d relața: cu coefceț îreg a a a s s a s rezulă egalaea s a as se uesc lar Defța 434 [4] Nuărul a de eleee lar depedee ale uu grup couav A se ueșe rag A) al acesu grup Î lucrarea [5] se deosrează echvaleța defțlor 43 ș 434 Pr urare î cazul uu grup couav uărul r d defța 43 cocde cu uărul A) deera pr defța 433

181 Fe Z ulţea uuror -cclurlor cu desuea d copleul ar Z ulţea lațurlor d Z ce verfcă propreaea A forulaă î paragraful 4 Lea 43 Peru grupul facor Z de -oolog cu desuea al / Z copleulu cubc are loc egalaea: Z ) Z ) Z / Z ) 45) Deosrațe Vo folos oțuea de rag al uu grup deera cu auorul uărulu a de eleee lar depedee ale grupulu a se vedea defța 434) Fe y y yr u sse de eleee lar depedee al grupulu Z ar z z z s sse de eleee lar depedee al grupulu Z / Z Fecare elee z Z geerează o clasă de echvaleță D fecare asfel de clasă alege câe u elee s Vo arăa că î grupul Z u sse de eleee s y y y r 46) ese lar depede Fe esă uerele îreg Z s ș Z r îcâ: s s y y r yr 47) Deoarece su eleeele d clasele de echvaleță a eleeelor z s rezulă că î grupul facor Z se respecă egalaea: / Z Îrucâ eleeele z z z 48) z s s z zs su lar depedee rezulă că egalaea 48) are loc doar î cazul Pr urare d relața 47) răâe: s Toodaă deoarece eleeele r Da fd că y y r yr y y yr forează u sse lar depede rezulă că ceea ce îseaă că sseul 46) ese lar depede ese u cople cubc f rezulă că ragurle grupurlor sudae su fe Fără a perde d geeralae vo cosdera că y y yr ș z z zs su ssee aale lar depedee Să arăă că î aces caz sseul 46) ese u sse aal de eleee lar depedee al grupulu Alege u elee arbrar d Z / Z Deoarece z z zs Z Z ș ade că z ese elee corespuzăor d ese u sse aal de eleee lar depedee rezulă că egalaea: 8

182 z z z 49) z s s poae avea loc doar î cazul ude Z s eleeele z z z zs u a forează sse lar depede) Pr urare peru eleeele egalaea: De aseeea deoarece egalaea: s s y Z s se respecă 4) y y yr forează sse aal lar depede rezulă că y y y 4) r yr are loc doar î cazul țe co de fapul că r su eleee ale grupulu uerelor îreg Z ) Dacă acu epresa lu y reprezeaă pr relața 4) o subsu î 4) auc obțe urăoarea egalae: s y y D cele ețoae cosaă că are loc relața ceea ce îseaă că sseul fora dr-u elee arbrar ș eleeele 46) forează u sse aal de eleee lar depedee Pr urare a obțu: Z ) r s Z ) Z / Z Lea 43 rupul cclurlor ) -desoale ș -ooloage lu zero cople -desoal de cubur absrace r ) ese zoorf cu grupul facor Z al uu Z / Z Deosrațe Fe Z grupul cclurlor ) -desoale ș -ooloage lu zero d Î baza defțe cclulu -desoal ese evdeă relața Z L Operața de forare a -froere î repreză u -ooorfs 8 ) : L L a se vedea defța 46) Î baza defțe de cclu ș cclu -oolog lu zero rezulă că ucleul -ooorfsulu ) î grupurle L / Z ș Z su zoorfe Vo deosra acu eorea 433 Deosraţe Fe Eleeele fale I geeraor a grupulu couav L L ese subgrupul Z Aceasa d ură ș îseaă că I fala uuror cuburlor -desoale ale copleulu su evde lar depedee ș forează u sse aal de Pr urare pue scre:

183 L ) cardi Î baza lee 43 deosrae a sus peru grupurle egalaea: L L Z L / Z are loc ) Z ) L / Z ) 4) Cofor lee 43 grupurle L / Z ș Z su zoorfe Pr urare relața 4) se rascre: L ) Z ) Z ) 43) peru Î cazul se cosderă L Z ceea ce plcă egalaea: L ) Z ) Dacă covețoal accepă egalaea Z ) auc relața 43 deve adevăraă peru orce Luâd î cosderațe defța 43 ș aplcâd lea 43 peru grupurle Z Z ș grupul facor Subsud epresa 44) a lu Z / Z obțe: Z ) Z ) Z / Z ) Z ) 44) î 43) obțe: L ) Z ) Z ) 45) Ţâd co de fapul că Z {} ș î baza celor ețoae aeror ave Z ) Z ) Deoarece precu s-a deosra a sus ese adevăraă egalaea L ) cardi obțe: Z ) Z ) 46) Îulț abele părț ale relațe 46) la ) ș suă după dcele Evde are loc egalaea: ) Z ) ) Z ) î codțle: Z {} Z ) Z ) Î fal d relața 46 obțe: Pr eorea deosraă a sabl relaţa dre uărul cuburlor -desoale ş uerele Be peru u cole de cubur absrace 83 ) )

184 44 Vareăţ absrace Noţuea de vareae a apăru odaă cu dezvolarea uor raur ale şţe d puc de vedere eoreco-aplcav Î aeacă oţuea respecvă repreză deseor dverse ulţ de obece geoerce sau de ală aură) care per roducerea paraerzăr locale Sudul vareăţlor a îcepu la sfârşul sec XIX odaă cu ecesaea fudaeărlor eorece ale uor rezulae ce ţ de geoera dfereţală ş eora grupurlor Le Cu oae acesea prele defţ eace ale acese oţu au apăru aba pr a 3 a secolulu recu Asăz vorbd despre o vareae opologcă cosderă că ese da u spaţu opologc Hausdorff cu o bază uărablă î care vecăaea orcăru puc ese oeoorfă spaţulu euclda 84 R Nuărul se ueşe desue a vareăţ Spaţul euclda poae serv drep cel a splu eeplu de vareae Vareăţle îş găsesc aplcaţ la dezvolarea dferelor raur ale şţe odere: î ecaca clască vareaea folosă ese spaţul fazelor; î eora relavăţ vareaea pseudo Rea 4-desoală serveşe drep odel de spaţu-p Vareaea ca srucură opologcă ese îâlă î lucrărle a ulor aeace sub dfere aspece legae de soluţoarea probleelor eoreco-aplcave: vareăţ opologce 4- desoale cu srucură eedă Freda M & u F [5]); vareăţ î suderea srucurlor eede a forelor dfereţale cooologlor Rha grupurlor Le Lee J [6]) ec; aplcaţ î dezvolarea opologe algebrce suderea coeăţ ş copacblăţ spaţlor clasfcarea suprafeţelor Massey W [7] Mures J [8]); vareăţ f desoale î geoera dfereţală Lag S [4]) Ese be cuoscuă defţa clască a vareăţ [5] [6] [35] Defţa 44 U spaţu opologc M cu propreăţle: a) M ese u spaţu opologc Hausdorff adcă verfcă aoa de separablae: două puce dsce au vecăăţ dsce); b) M are o bază uărablă de ulţ deschse; c) orce puc d M are o vecăae oeoorfă cu o ulţe deschsă d se ueşe vareae opologcă cu desuea Cu oae că vareaea poae f erpreaă ca u obec geoerc cu o srucură opologcă be prouţaă suderea acesea cu auorul eodelor opologce preză deseor dfculăţ aore D acese cosderee peru descrerea propreăţlor ş a dverselor aplcaţ ale vareăţlor se recurge frecve la aplcarea oologlor sau a uor cosrucţ specale ce rezulă î prul râd d echvaleţa locală a vareăţ cu spaţul R R

185 Iţal î cerceărle aeacelor vareaea era erpreaă ca u spaţu rughula ceea ce a codus uleror la oţuea de cople Pe parcurs îsă lucrurle au evolua î depedeță de specfcul probleelor eoreco-aplcave eaae Î preze vareaea ese percepuă ca u spațu opologc ce posedă propreăț locale ale uu spațu euclda care î acelaș p poae avea o srucură geerală ul a copleă Rezulaele obțue î ul a la suderea copleelor de cubur absrace -desoale au sula eresul față de vareățle deerae de asfel de coplee Î cazul uor asfel de vareăț spue că acesea repreză u spaţu cubla Desgur rezulaele ce ţ de suderea spaţlor cublae au fos î are pare precedae de vesgațle efecuae asupra vareăţlor cosrue cu auorul copleelor de splee absrace ș propreățlor acesora La geeral vorbd peru vareăţle -desoale ese acuală problea dvzăr lor îr-u uăr f de poledre Touș a frecve î dverse aplcaț se îâleşe problea dvzăr vareăţlor î splee -desoale [5] [6] [9] [35] Se cuoaşe că u orce vareae copacă [] M E poae f dvzaă îr-u uăr f de splee - desoale care î asablu forează u cople splcal Dacă vareaea ade o asfel de dvzare auc ea se ueşe vareae -desoală ş fără bordur Asfel de vareăţ au fos sudae de căre VBolyas [35] Î cele ce urează folosd -copleul de relaţ ul-are def î paragraful 3 vo efecua u sudu ce ţe de propreăţle vareăţlor geerae de asfel de coplee Vo vedea că uele rezulae cuoscue peru vareăţle deerae de copleele sple de relaţ ş descrse î lucrărle [5] [9] [3] [53] po f ese ş asupra acesor pur de vareăţ Fe K ) quassplee Defţa 44 -copleul de relaţ ul-are u -cople de relaţ ul-are cu falle de K ce posedă propreăţle: a) orce quassple cu desuea ese o faţeă couă eac peru două quassplee absrace cu desuea d K ; b) peru orcare două quassplee -desoale dsce ş d K esă o succesue de quassplee -desoale q îcâ q ; c) peru orce quassple -desoal -desoal îcâ ese o faţeă a lu 85 d copleul K esă u quassple ;

186 d) dacă ş su două quassplee dsce d K cu ersecţa auc esă u şr de quassplee cu propreaea d b) ce respecă relaţa: q se ueşe vareae absracă degeeraă cu desuea VD Vareaea absracă deeraă de -copleul de relaţ ul-are K o vo oa pr D pra codţe a defţe 44 rezulă că orce quassple -desoal d K parcpă doar o sgură daă la cosrurea vareăţ VD Vareaea -desoală VD deeraă de subcopleul K K se ueșe subvareae a lu VD se va scre VD VD ) Fe u quassple -desoal Evde ulţea uuror faţeelor d forează u cople de relaţ ul-are a se vedea defţa ) Subcopleul deera de oae faţeele d cu desuea ) îl vo u froeră-cople a lu ş îl vo oa pr K [ ] Teorea 44 Copleul de relaţ K [ ] ese o vareae absracă ) - desoală degeeraă fără bordur Deosraţe Peru a deosra eorea e sufce să arăă că copleul posedă propreăţle a) d) d defţa 44: a) da fd fapul că K ese u quassple -desoal orce faţeă cu desuea ) a acesua aparţe cel puţ la două faţee ) -desoale d copleul de splee respecă pra codțe a defțe 44; b) îrucâ orce faţeă cu desuea ) d Pr urare aparţe cel puţ la două faţee ) -desoale eseţa î K [ ] a succesu de quassplee cu propreaea eţoaă î pucul b) a defţe 44 ese evdeă; c) orce quassple -desoal d K [ ] repreză o faţeă a cel puţ uu quassple cu desuea d K chesue ce rezulă d defţa quasspleulu a se vedea defţa 34); d) ţâd co de defrea copleulu K [ ] precu ş de fapul că orcare două quassplee K fd faţee cu desuea ) 86 d au o ersecţe

187 vdă sau aceasa repreză o faţeă couă ) -desoală K rezulă că succesuea dcaă î pucul d) al defţe 44 e foraă d îseş spleele eţoae ş Țâd co de defța quasspleulu -desoal a se vedea defța 34) rezulă că copleul K [ ] ese fără bordur Teorea ese deosraă A că la cosrurea grupurlor de -oolog ale uu -cople de relaţ ulare au fos folose -cclurle copleulu ş -cclurle ooloage cu zero a se vedea defţa 55 ş defţa 56) Vo spue că u -cclu -desoal ese cople dacă acesa coțe oae spleele cu desuea respecvă ale copleulu Defţa 443 Vareaea VD se ueşe oreablă dacă coţe u -cclu - desoal Î caz corar VD se ueşe vareae ooreablă Teorea 44 Dacă ese u quassple absrac cu oae faţeele oreae pozv auc froera-cople a acesua repreză o vareae absracă ) -desoală degeeraă ş oreablă Deosraţe Cofor eoree 44 froera-cople K [ ] ese o vareae absracă degeeraă Să deosră că aceasa ese ş oreablă Meţoă că quasspleul are faţee ) uele dre acese faţee ar puea să cocdă î ese u quassple defţa 34) Cosderă laţul: -desoale Noă acese faţee pr da fd fapul că acesa L 47) Dacă su vârfurle quasspleulu auc d relaţa 47) repreză faţea opusă vârfulu ) Luâd î cosderaţe operaţa de cosrure a -froere uu laţ a se vedea defţa 54 ş rearca 5) rezulă că orce quassple d [ ] K se va coţe de două or cu see dfere î laţul Dec L ceea ce îseaă că ese -froera quasspleulu -cclu ) -desoal d K 87 L L S S L ese -cclu cu desuea D cele eaae obţe că Î couare vo suda doar vareăţle oreable Toodaă L L ese îradevăr u

188 Fe VD o vareae absracă oreablă ş fără bordur deeraă de -copleul K ) ar VD caracersca Euler a lu VD caracersca Euler a copleulu K se ueşe caracerscă Euler ş a vareăţ respecve VD ) Defţa 444 Dacă caracersca Euler a ue vareăţ absrace degeerae oreable ş fără bordur VD sasface relaţa: VD î cazul câd ese par î cazul câd ese par auc VD se ueşe vareae sfercă absracă degeeraă -desoală ş se oează pr Defţa 445 Succesuea de quassplee -desoale -copleulu de relaţ ul-are a) ; K ce posedă propreăţle: 88 b) coefceţ de -cdeă [ : ] ş see dsce ale [ : ] au se ueşe dru -desoal Vareaea absracă deeraă de -copleul ueşe coeă fore dacă peru orcare două quassplee -desoale ordea dcaă esă dru - desoal ce leagă Meţoă că două quassplee ş ş ş K se cu ce posedă propreăţle a) ş b) d defţa 445 se a uesc quassplee cocordae [5] [53] Uşor se verfcă echvaleţa dre oţuea de vareae oreablă a se vedea defţa 443) ş oţuea de vareae coeă fore Teorea 443 Orce vareae absracă degeeraă coeă fore ş fără bordur repreză u cclu -desoal Deosraţe Fe K ) u -cople de relaţ care deeră la râdul său o vareae coeă fore VD ş Peru orcare două quassplee -desoale esă dru -desoal care le ueşe a se vedea defţa 445) Desgur la forarea -froere vareăţ VD fecare quassple ) -desoal va ra de u uăr par de or î descrerea froere respecve Aceasa îseaă la râdul său că uărul de cluder a quasspleulu î aceasă froeră cu coefceul va f egal cu uărul de cluder cu coefceul Pr urare VD de ude rezulă că VD repreză u cclu de quassplee -desoale absrace

189 Evde peru orce quassple -desoal al vareăț VD esă -cclul ) -desoal care repreză -froera acesu quassple U asfel de cclu îl vo u -cclu splu al vareăţ ş îl vo oa pr z Defța 446 U -cclu -desoal eleear dacă z z z z ude z al vareăţ VD se ueşe -cclu z ese -cclul splu al quasspleulu -desoal ş Vo geeralza acu oţuea de cour Euler cuoscuă d eora grafurlor [5] Fe fala uuror quasspleelor -desoale ale -copleulu K ) card Defţa 447 Succesuea de quassplee -desoale d copleul posedă propreăţle: a) fecare quassple al fale daă; K ce se îâleşe î aceasă succesue eac o sgură b) orcare două quassplee vece ale succesu repreză î ersecţe u elee d ; c) ersecţa prulu ş ululu elee al succesu repreză u quassple ) -desoal se ueşe cclu Euler -desoal al vareăţ VD K Dacă spleele d succesue su coeree auc aceasă succesue se ueşe cour Euler -desoal Meţoă că u cclu Euler -desoal d ce poae f reprezea foral pr sua L g g g K ese u -laţ -desoal L 48) ude g ar L Î cazul courulu Euler relaţa 48) se rascre: sau L L Vo a că o vareae se ueşe oreablă dacă peru ea esă -cclu cu desuea Pr urare eseţa uu cour Euler -desoal î VD îseaă că vareaea e oreablă Ţâd co de fapul că spleele absrace servesc drep cărăz peru cosrurea cubulu absrac -desoal î cele ce urează vo def oţuea de vareae cubcă ş 89

190 vo efecua uele cerceăr ce ţ de eseţa courulu Euler al acesea Chesuea respecvă ese poraă î specal peru soluţoarea uor problee cu caracer aplcav Asfel î lucrărle [9] [3] se eaează u dspozv absrac fucţoarea cărua parve d eseţa courulu Euler a ue vareăţ cubce specale ş care serveşe drep o geeralzare a aş Turg clasce Fe u cople de cubur absrace def î paragraful 4 ar absrace -desoale a acesua Defţa 448 Copleul -desoal de cubur absrace I fala de cubur ce verfcă propreăţle: a) orce cub ) -desoal I I ese faţeă eac peru două cubur - desoale d ; b) peru orcare două cubur -desoale I I I î esă succesuea de cubur -desoale ce posedă propreaea: I I I I I q c) peru orce cub p -desoal I îcâ I r r I I r q ; I p I p î copleul p I ese ua dre faţeele propr ale lu esă cub -desoal I p ; d) peru orcare două cubur -desoale dsce I I J cu ersecţa I p I I p î J esă o succesue de cubur absrace - desoale I I I I I q ce posedă propreaea: q s I s I se ueşe vareae cubcă absracă -desoală oaă pr Meţoă că d pra propreae euțaă î defţa 448 rezulă că fecare cub - desoal d 9 p V c parcpă o sgură daă la cosrurea vareăţ cubce V c Î leraura de specalae se îâlesc dverse varaț sau geeralzăr ale vareăț clasce a se vedea defța 44) prre care î prul râd e ecesar a f ețoae: orbvareaea o geeralzare a oțu de vareae cu uele parcularăț specale ale spațulu opologc [94] [95] [97]; vareaea algebrcă obecul ceral de sudu al geoere algebrce Eeplu de vareae algebrcă poae serv ulțea de soluț ale uu sse de ecuaț algebrce pese câpul uerelor reale [7] [3];

191 copleul celular u spațu opologc fora pr lprea dscurlor de dfere desu Noțuea a fos rodusă de căre JHC Whehead î legăură cu suderea oooplor [7]-[9] [3]; vareaea oologcă u spațu ce posedă caracerscle ue vareăț d puc de vedere al eore oologlor Acese vareăț po f sudae cu auorul eodelor eore ausărlor cuoscue ca resrucurărle Morse [3] Vareățle euțae eră o aețe specală î prul râd daoră posblățlor pe care acesea le oferă la soluțoarea probleelor eoreco-aplcave No î cele ce urează e vo ocupa de suderea propreățlor vareățlor cubce defe a sus cu scopul ulzăr acesora la eaarea uor problee porae de opzare Despre uele asfel de problee vo vorb î capolul 4 D cele epuse aeror cuoașe că aâ u cople obşu de splee absrace K { S S S } câ ş u copleul cubc { I I I } deeră șe vareăț absrace [8] [59] Vareaea deeraă de copleul de splee K { S S S } o vo oa pr V ar cea deeraă de copleul cubc pr V c Să sabl corelața dre acese două varăţ Defrea vareăţlor pr eredul copleelor K ş e per să obţe îr-u od efce o sere de rezulae o sprae de uele propreăţ geerale ale vareăţlor precu ş să găs u şr de aplcaţ orvale Vo apela la oţuea de ge ş clasă cuoscue î leraura de specalae ş sudae îr-o foră ervală î a ule lucrăr [63] [64] [] Î aces coe are loc clase Teorea 444 Dacă vareăţle V c ş V au acelaş ge auc acesea aparţ aceleaş Deosraţa eoree se obţe î od rval dacă ţe co de defţa cubulu absrac a se vedea defţa 4) ş a procubulu respecv Deosraţa copleă a acesu rezula se regăseşe î lucrarea [5] Teorea 445 Dacă I ş repreză u cub ) -desoal d I su cubur coeree ale copleulu adcă ersecţa cărora I I I I auc coefceţ de cdeţă a acesor cubur î rapor cu cubul I sasfac relaţa: ) ) Deosraţe Folosd oţuea de coereţă ş -cdeţă a cuburlor copleulu defe î paragraful 4 obţe urăorul şr de raţoaee Fe cuburle coeree dec ) cazul câd I ş 9 I I ş I su su ocoeree se eaează î od

192 slar) Luâd î cosderaţe că cuburle I ş I su coeree rezulă că I ş faţea acesua I I I I ) su ocoeree Pr urare ) Asfel se obţe egalaea: ) ) L Fe acu V c o vareae cubcă oreablă adcă î V c esă u laţ cubc -desoal L îcâ L Vo spue că o vareae cubcă oae cuburle -desoale ale acesea au aceeaş oreare Teorea 446 O vareae cubcă Deosraţe V c ese oalee coereă V c ese oalee coereă dacă V c Meţoă a îâ că o vareae deeraă de splee absrace coţe -cclu -desoal ceea ce îseaă că ea ese oreablă pr urare ese oalee coereă [] Toodaă orce cub absrac -desoal ese cosru d procubur care la râdul lor su reprezeae pr splee absrace a se vedea defţa 4) Dec orce cople de cubur absrace ese u cople de splee Aceasa d ură ş deosrează eorea La suderea vareăţlor cubce u rol pora îl oacă coururle Euler Vo eaa î couare problea eseţe courulu Euler al vareăţlor V c ş V peru cazul câd desuea ese pară Courul Euler al vareăţ cubce fd eaa peru pra daă î lucrarea [9] ş-a găs î couare aplcaţ ervale porae epuse î [3] [53] Teorea 447 Dacă V c ese o vareae cubcă absracă cu desuea pară auc aceasa ade u -cour Euler cu desuea ) Deosraţe Cofor eoree 446 vareaea V c ese oalee coereă Acese vareăţ î pue î corespodeţă u graf orea cu ulţea de vârfur ce corespud cuburlor absrace -desoale d V c copleul de cubur { I I I } auc Cu ale cuve dacă V c ese deera de card X cardi ac X ese ulţea de vârfur d ) Dacă I { I I I } auc cosderă că vârful al grafulu corespude cubulu I d Arcele grafulu corespud cuburlor ) -desoale d Noă ulţea de arce pr u u u } U { cardi Vo deera orearea arcelor î odul urăor: dacă cuburle -desoale I p ş I q su coeree ş au o sgură faţeă couă auc î ave arcul fos descrs a sus ese coe fore u ) U raful def precu a p q 9

193 Orce cub -desoal al vareăţ V coţe perech de fațee ) -desoale c opuse oreae î od dfer Aceasa îseaă că dacă î esă arcul u ) ce p q poreşe d vârful p auc se va găs uadecâ ş u arc care ră î p Pr urare fecare vârf d are grad par ceea ce îseaă că î esă cour Euler [5] [3] Ţâd co de şrul de cugeăr epuse a sus rezulă că î Slar suaţe de eseţă a -courulu Euler peru courulu Euler peru vareaea V c esă -cour Euler -desoal V c se sudază eseţa - V deeraă de u cople de splee absrace Teorea 448 Peru o vareae absracă oreablă ş coeă fore V cu desuea pară esă -cour Euler ) -desoal dacă fala spleelor -desoale d V repreză o vareae cubcă Ţâd co de eoreele 446 ş 447 deosraţa eoree 448 repreză u eercţu pur ehc 45 Coplee oogee ş rasversale -desoale Î capolul a fos defă oțuea de rasversală ca o ulțe cu propreăț specale ce coțe câe u elee d fecare ulțe a ue fal de ulț F a se vedea defța ) Codța b) d defța respecvă ese desul de dură da fd fapul că pr aceasa se pue ca rasversala să coță câe u elee d fecare ulțe a fale F Î cele ce urează vo aplca oțuea de rasversală peru u cople de cubur absrace îlocud codța b) pr ale codț a freș ș a ule d puc de vedere al aplcațe acesea la soluțoarea probleelor aplcave Ua dre acese problee ese problea edae despre care vo dscua î capolul urăor Vo îcepe cu suderea uu caz specal al copleulu de cubur ș aue al copleulu ooge de cubur absrace Fe ) reperul uu cub -desoal 93 I Cofor defţe 4 perechle de eleee ) repreză cubur -desoale absrace I ) I ) I ) pe care se cosrueșe cubul I Coregul fora d dc reperulu ese o peruare a șrulu ordoa ) ș aceasă peruare deeră seul cubulu I oreae egav a se vedea defța 43) Asfel vo vorb despre cubur oreae pozv ș cubur

194 Meţoă că coregul de dc ) care deeră seul cubulu - desoal I descre î od uvoc ş u quassple -desoal pucele servesc drep vârfur ale acesu quassple) D acese cosderee vo spue că cubul deera de reperul r are acelaş se ca ş spleul ) 94 Defd î paragraful copleul de relaţ ul-are s-a eţoa că ulţea de eleee X } ce servesc drep vârfur ale copleulu se a dr-o ală ulţe M cardm { r E o chesue poraă ce se afesă la soluţoarea probleelor aplcave Ua dre acese problee se va eaa î ceva a ârzu î paragrafele 5 ş 5 Prezeţa pucelor d M geerează la râdul său ecesaea roducer uor oţu specale ş suderea propreăţlor lor Defţa 45 U cub -desoal se ueșe absrac-cove dacă ersecța vacuuulu acesua [9] cu vacuuul orcăru al cub -desoal coțe cel ul u puc cou M orcare al cub U cub q I I se ueşe absrac-cove dacă ersecța acesua cu q coțe cel ul u cub absrac-cove-desoal Noțuea de cub absrac-cove u ueor cub A -cove a fos rodusă odaă cu îcercărle de a elabora eode efcee de soluțoare a probleelor cu caracer aplcav precu ar f probleele de aplasare [9] [] [6] [65] [84] Asfel propreățle cuburlor absrac-covee su folose la căuarea edae îr-u cople de cubur absrace cu ulțea de vârfur X M Peru asfel de coplee precu ș peru dverse varaț ș geeralzăr ale acesora au fos elaborae eode de calcul a edae fără ulzarea erc spațulu care garaează aplasarea edae respecve î ulțea X [] [66] [78] Slar celor ețoae de Bolyas [35] ş Hlo [3] se poae ușor de deosra că o vareae absracă V c oreablă ș fără bordur [7] [9] deeraă de u uăr f de cubur -desoale ș absrac-covee A -covee) poae f oreaă cu respecarea propreăț: orcare două cubur -desoale arbrare d V c care dspu de o ersecțe dr-u cub ) -desoal su oreae abele pozv sau egav Alfel spus peru acese două cubur absrace esă u dru -desoal [3] ce le ueșe așa-zsa oreare fore precu e ș peru u graf orea ș coe [5] Noțuea de oreare fore se îâleșe ș la ale srucur dscree de eeplu la grafurle oreae [5]) ' ș Defța 45 Fe V c o vareae absracă deeraă de cubur absrac-covee ar '' două puce d ulțea fă M [3] care u aparț lu V c ș deeră u cub

195 ' '' -desoal absrac-cove Fe că ucha ) ersecează V c îr-u uăr par de puce d M Î V c esă două puce ş ce deeră u cub -desoal ' '' ooreabl uche) d V oa pr ) Cosderă că ersecța uchlor ) c ș ) cosă doar dr-u sgur puc y M Pucele ' ș '' aparț lu V c Uul dre acese două vacuuur îl vo cosdera er oâdu-l pr oâdu-l pr V c ar alul eer e V c o suațe care geeralzează eorea lu Jorda ş Holder [63] [64]) Ca ş î cazul -copleulu de relaţ ul-are vo u schele p-desoal al copleulu cubc { I I I } ulţea uuror cuburlor cu desuea cel ul egală cu p p Scheleul p -desoal se va oa pr s p) Evde s p) ese u subcople al lu ar s ) repreză u graf orea [5] al acesua Vo oa aces graf pr = X; U) ude X = I ar U = I Pr urare cuburle -desoale ş cele -desoale ale copleulu arcele d repreză vârfurle ş Să cosderă că su cuoscue grupurle de -oolog ale copleulu defe ş sudae î paragraful 4 Z) Z) Z) Defța 453 U cople de cubur absrac-covee a) dacă p I ese u elee d p ese u elee al lu ; : ce sasface codțle: auc ș orce fațeă p I I < p b) peru fecare două cubur I p p ș I d repreză u elee d p p ; p p ersecța I I ese vdă sau d c) orce cub absrac ; I d d) orcare două subcoplee ale aparțe cel puț uu cub -desoal ş d I care verfcă codțle a)-c) ș = posedă propreaea: ersecța cu desuea p = ; repreză u subcople p e) grupul de oolog de ragul zero ese zoorf cu grupul uerelor îreg Z adcă Z) Z; 49) f) grupurle de oolog de ragul 3 su zoorfe cu zero adcă 95

196 Z) Z) Z) 43) se ueșe cople absrac ooge -desoal ș se oează pr Respecarea codțlor e) ș f) d defța 453 peru copleul ese coe ș acclc Peru a e covge că copleul A A îseaă că acesa A ese îradevăr coe ş acclc e sufce să e covge că orce cclu -desoal al acesua posedă propreaea A) d paragraful 4 Vo respeca ac erologa d [3] [35] peru srucur dscree) Defța 454 Mulțea uuror cuburlor ) -desoale ale copleulu aparț doar uu sgur cub -desoal ș se va oa pr froere bd A I d A care A se va u froeră a acesu cople ar ulțea vacuuurlor uuror cuburlor d bd A se va u erorul acesu cople ș se va oa pr A A ce u aparț Î paragraful 44 a fos defă oțuea de vareae sfercă a se vedea defța 444) cu auorul caracersc Euler a vareăț absrace oreable ş fără bordur deeraă de -copleul de relaț ul-are K ) La râdul său ş copleul de cubur absrace defeșe o vareae cubcă absracă -desoală V c a se vedea defța 448) caracersca Euler a cărea ese deeraă de egalaea: V c ) ) = ) ude repreză uărul de cubur -desoale d = Dacă vareaea V c ese de geul p [3] [35] auc aceasa se va oa pr cazul p vo cosdera V c V c p V c Î Defța 455 Vareaea cubcă oreablă p V c deeraă de copleul de cubur absrace { I I I } se ueşe sferă absracă -desoală dacă sasface ua d egalățle: V p c ) = peru par p c V ) = peru par 43) p ș se oează pr S = V Teorea 45 Dacă c A ese u cople cubc -desoal absrac ș ooge auc froera acesua bd repreză o sferă absracă ) -desoală A S Deosrațe Ma îâ vo arăa că froera o vareae cubcă absracă ș oreablă ) -desoală 96 bd A a copleulu cubc ooge p V c cu geul = p A ese

197 Presupue corarul Fe p > Î acese codț țâd co de oogeaea lu bd A ş de poeza că p > eda obțe coradcța: copleul bd A u ese acclc Ula afraţe rezulă d codța f) a defțe 45: vareaea p V c poae f ăaă prr-o vareae q V c q p ș î aces caz va avea loc cel puț relaţa p V Z) c [3] Îsă char ș î cazul acesa avâd respecarea egalățlor 43) e posbl ca p V c să u fe vareae ceea ce ar îsea că paraerul p îș perde rosul Cofor oogeăț lu aceasa coduce la fapul că aces cople corave propre codț d) d defța 453: u esă două subcoplee A) ș p Pr urare V = V = S c Teorea 45 Dacă c p V c A) peru care A p A ) A) = A3) ude p ese o vareae oreablă deeraă de cubur absrace ș A-covee peru care orce cclu cu desuea ese -oolog cu auc p V c ese o sferă-corp o blă) absracă -desoală Fe p Deosrațe: Evde vareaea V ese coeă [3] Pr urare V p Z) Z z u cclu arbrar al vareăț c p V c Dacă oae cclurle cu desuea c su ooloage cu zero auc aceasa îseaă că î s ) fecare asfel de cclu p V c ărgeșe u subcople p V c Suaţa respecvă coduce la fapul că subgrupul Z ) ş grupul de cclur Z ) cocd Dec grupul câ e lps de cclur oooloage cu de ude rezulă că V p Z) Î acese codț au loc relațle: c V p c Z) Z V p c Z) V p Z) c V p Z) c V p c Z) Z Cosderâd egalaea Euler-Pocare [65] obţe: V p c ) = = ) = ude ese uărul de cubur -desoale ale lu Ca rezula cosaă: V p c 97 = ) r p V c peru par ) = ) = peru par ar r ragul grupulu V p Z) p Cofor defțe 455 vareaea eaaă V ese o sferă absracă -desoală S c c

198 Corolarul 45 Vareaea absracă deeraă de froera uu cub absrac-cove -desoal repreză o sferă absracă ) repreză o sferă-corp absracă -desoală -desoală ar cubul respecv Corecudea afrațe rezulă eda d eoreele 45 ș 45 dacă țe co de fapul că fala uuror fațeelor propr ș propr) ale uu cub absrac repreză u cople de cubur absrace a se vedea defța 4) ce respecă codțle eoreelor euțae Iporaă d puc de vedere al aplcațlor copleelor de cubur la soluțoarea probleelor cu caracer aplcav eaae î capolul 4 ese urăoarea Teorea 453 Dacă cople ooge vârf) I I S ese o sferă absracă deeraă de froera bd A a uu A de cubur absrac-covee auc aceasa dspue de cel puț u cub ce aparțe eac la cubur -desoale uch) Peru a deosra aceasă eoreă su ecesare eaăr supleare referoare la copleele de cubur ce corespud defțe 453 Vo îcepe cu o leă ce ţe de eseţa copleelor oogee de cubur absrace cu propreăţ specale ale ulţlor de cubur ce forează erorul ş froera copleulu Lea 45 Esă cel puț u cople ooge -desoal A cu propreaea că orce cub I p p I d A care ersecează froera bd A cel ul prr-u cub cu desuea p p ese cde la u uăr u a c de desoale p cubur - Deosrața se face îr-u od cosrucv Fe da u cub I îcâ I I I = I Lp lu I u al cub ş couă aces proces asfel îcâ să u ră î coradcţe cu defța 5 Țâd co de defța copleulu ooge de cubur absrace a se vedea defța 453) procedura propusă de cosrure ese realzablă ș fă E sufce a opr aces proces câd obțe u cople absrac arboresce d leă ese o afrațe de eseță) A se va țe co de fapul că afrața Cofor celor epuse aeror pue cosdera că orce sferă absracă -desoală S ese deeraă de u cople de cubur absrace -desoale sau cel puț de splee absrace Evde peru orce sferă absracă cubur absrace S esă odeaua u cople de u uadecâ ș ooge) îcâ froera acesua ese S Ierorul copleulu se va cosdera că ese erorul sfere -desoale 98 S ș se va oa pr

199 S Reuuea S S se ueșe sferă-corp ds) cu desuea pr aaloge cu cele cuoscue d [7 3]) Peru a eaa posblaea ulzăr copleulu ooge de cubur absrace la soluțoarea uor problee cu caracer pracc su ecesare șe eaăr aulare Ma îâ vo def oțuea de clasă de uch cubur -desoale) paralele ale uu cople ooge A Fe I u cub -desoal ar I ș I două fațee ) -desoale opuse ale acesua î oal ave perech de faţee opuse) Îre vârfurle acesor faţee esă I uch ale cubulu I Defța 456 Muchle cubulu se uesc uch paralele ale acesu cub I care uesc vârfurle fațee I cu vârfurle fațee Mulțea celor uch paralele dre două fațee fae ) -desoale d I o vo oa pr C I ) opuse Evde copoeța acese ulț ese deeraă î od uvoc de perechea de fațee I ş I C I ) C I ) Îr-u cub I esă ulț dsce de uch paralele I ) 99 C Î cele ce urează vo cosru prr-o procedură eravă o fale specală de cubur -desoale Ițal cosderă că uărul de cubur al acese fal ese = Cosru fala respecvă pr aplcarea urăorlor 4 paș: P Alege u cub -desoal I al copleulu Dec pue cosdera = Noă pr I ) { I } fala respecvă de cubur ar pr C )) ua dre T ulțle de uch paralele ale lu I P Fe că de acu au fos selecae aue cubur -desoale d A I T A Asfel a obțu o fale de cubur absrace I ) peru care se cuoașe ulțea de uch paralele C )) I T T P3 Alege u cub ou dacă esă) I * I \ I ) care coțe cel puț o uche d C )) Noă pr C ) ulțea de uch paralele ale acesu cub care sasface I T relața C I )) C I ) ș foră ulțle o T I I T ) = I ) T T I C I )) = C I )) C I T T )

200 P4 Repeă procedura descrsă î P3 pâă câd e posbl Deoarece se sudază doar coplee oogee -desoale fe la u oe da vo auge la suața câd u vo a puea seleca u cub -desoal d cosderă cosruă fala căuaă de cubur -desoale A ce sasface codța d P3 Î aces caz Defța 457 Fala de cubur -desoale cosruă î coforae cu paș P- P4 se va u rasversală -desoală a copleulu T ar pr T ) C clasa ulțea) respecvă de uch paralele Cofor defțe 453 orce cople ooge -desoal A Vo oa aceasă fale pr A coțe clase de uch paralele pe care le vo oa pr C C C Egalaea = are loc doar î cazul câd A ese fora dr-u sgur cub -desoal D cele relaae a sus rezulă că orce clasă de uch paralele C deeră o rasversală -desoală ș vers orce rasversală -desoală deeră o clasă de uch paralele Toodaă vo cosdera că orce clasă de uch paralele C geerează î od uvoc u subcople ooge -desoal de cubur absrace a se vedea defța 453) Aces subcople ese deera de fala fațeelor aâ propr câ ș I propr ale uuror cuburlor -desoale d rasversala eoreelor forulae aeror Vo oa subcopleul respecv pr T ș sasface codțle Corolarul 45 Subcopleul -desoal geera de clasa de uch paralelec a copleulu Froera copleulu A ese u subcople -desoal d A coțe eac două subcoplee aale ) -desoale ș acclce care u coț c o uche d clasa respecvă de uch paralelec Noă acese subcoplee pr ş ) ) A pror vo u fațeă de sâgaˮ ar ) fațeă de ) dreapaˮ a rasversale T Defța 458 Reuuea vacuuurlor uuror cuburlor absrac-covee cu desuea care aparț copleulu dar u aparț fațeelor de sâgaˮ ș de dreapaˮ ale rasversale T se va u vacuu al rasversale respecve ș se va oa pr V ) T Corolarul 453 Orce rasversală T a uu cople absrac ș ooge A dvzează aces cople pr eredul vacuuulu său V ) î două coplee coee de cubur ar fecare dre acesea u ese eapăra ș ooge avâd cel puț desuea egală cu T

201 Defța 459 Trasversalele -desoale T T T q ale uu cople absrac ș ooge deerae de clasele de uch paralele C C C q se uesc A q rasversale vece două câe două dacă orcare două rasversale sasfac codțle: T T q r s r s I r s a) V T ) V T ) ; ' b) clasele de uch paralele C ș C coț respecv cel puț câe o uche I C ș C '' care la râdul lor au u vârf cou r s D defța 459 rezulă urăoarele Peru o rasversală T vo oa fațeele de sâgaˮ ș de dreapaˮ pr T ) ş T ) Dacă rasversalele T T T q su vece două câe două auc esă o rasversală î geeral rafcaă T q q = T T care dvzează = A î a ule subcoplee coee Vo oa pr s ) ş dr ) copoeele deerae respecv de faţeele de sâgaˮ ș de dreapaˮ ale rasversale -desoale T Ese evde că peru acese copoee se respecă relața: s ) = A \ dr ) Fe T o rasversală oarecare a copleulu A ș acesua Fațee de sâgaˮ î corespude rasversala -desoală fațea de sâgaˮ a ) T Defța 45 Subcopleul aal coe ) -desoal al copleulu propreățle: ) A cu ) aces subcople coțe fațea a rasversale ) T ; ) orcare două cubur ) -desoale ale acesu subcople u aparț uu cub - desoal d A se ueșe rasversală ) -desoală deeraă de rasversala -desoală Cofor defțe orce rasversală -desoală a lu rasversale ) -desoale Toodaă o rasversală ) deeraă de a ule rasversale -desoale T A deeră eac două -desoală poae f Pr aaloge cu oața rasversale -desoale rasversala ) -desoală o vo oa pr T

202 Trasversala ) -desoală deeraă de rasversala T ș care coțe fațea a acesea se va oa pr ) T ) ar cea care coțe fațea pr ) T ) Lea 45 Dacă T ese o rasversală -desoală d A ar T ş ) T su ) rasversalele ) -desoale ale lu A deerae de rasversala T auc T T = ) ) Deosrațe Fe esă două rasversale ) -desoale T ş ) T ) deerae de o rasversală -desoală T îcâ ersecța acesora u ese vdă Luâd î cosderațe fapul că T ş ) T repreză fațeele de sâgaˮ ș de dreapaˮ ale rasversale ) T rezulă că T se auoersecează Ar puea avea loc urăoarele două cazur: a) cel puț ua dre fațeele sau ) u ărgeșe cu subcople d ) A Î acese codț esă îcâ grupul de oolog Z) u ese zoorf lu Obțe coradcțe cu fapul că a se vedea defța 453); A ese u cople ooge de cubur absrace A b) subcopleul ărg de ua dre fațeele sau ) coțe la râdul său două ) subcoplee ersecța cărora u ese cople ooge cu desuea Aceasa coduce la coradcțe cu codța d) a defțe 453 Deoarece A ese u cople ooge de cubur absrace coradcțle obțue deosrează că afrața lee ese adevăraă Vo reve acu asupra deosraţe eoree 453 Deosrațe Mețoă a îâ că u cople ooge de cubur absrac-covee sasface codțle defțe 453 Pr urare peru aces cople su adevărae eoreele 45 ș 45 Fe S ese sfera absracă deeraă de froera bd A cople ooge de cubur absrac-covee Aceasă sferă ese dvzaă î cubur ce forează u cople cubc absrac-cove ooge ) -desoal Î copleul A A su clase de uch paralele care deeră la râdul lor rasversalele -desoale T T T Alege rasversala T Ea aparțe ue succesu aale de rasversale T T T r r cu propreaea că ersecța T T s s repreză o rasversală ) -desoală s r Cosderă că T T î caz corar e deplasă pâă la T ) Cofor lee 45 are loc r r

203 egalaea T T = r ) r ) Acțoă asupra rasversalelor T ș r T r ) Luă o ală rasversală -desoală ce u aparțe succesu ețoae a sus T T T îsă r care ersecează T ș r T fe aceasa se alege d succesuea r ) T T T q ) Procedă la fel ca ș î cazul rasversale T Ca rezula vo avea selecae două rasversale - desoale T r T ș două ) -desoale T T q r ) ) q Fecare dre perechle dcae au ersecțe evdă Repeă procedura descrsă de or Î fal vo obțe că oae acese rasversale se ersecează prr-u cub -desoal I I Aces cub ese absrac-cove Cubul I coțe u vârf de pe fâșa crculară de cubur ) -desoale care are u vârf I I cu uch cdee lu Dec afraţa eoree 453 e adevăraă Noțuea de rasversală -desoală precu ș cea ) -desoală poae f geeralzaă peru cazul uu cople cubc arbrar coe ș acclc care u eapăra ese ș ooge Cu ale cuve e vorba de copleul de cubur absrac-covee codțle: a) dacă p I ese u elee d p ese u elee al lu ; auc ș orce fațeă ce sasface p I I < p b) peru fecare două cubur I p p ș I d p p ersecța I I ese vdă sau repreză u elee d ude p p ; c) copleul coţe cel puţ u cub absrac -desoal d) peru orcare două subcoplee ş d I ; care verfcă codțle a)-c) ș posedă propreaea: ersecța repreză u subcople cu desuea p = ; e) grupul de oolog de ragul zero ese zoorf cu grupul uerelor îreg Z : Z) Z; p f) grupurle de oolog de ragul 3 su zoorfe cu zero: Z) Z) Z) Acese coplee se deosebesc de cele oogee pr reforularea codțe c) a defțe 453 Reprezearea geoercă a uu asfel de cople ese daă î fgura 43 Pord de la defţa cosrucv-algorcă a clase de uch paralele ş a rasversale -desoale cosaă: 3

204 a) două uch deerae de cuburle -desoale su paralele dacă î Fg 43 Cople eooge de cubur coe ș acclc I ș esă o succesue de cubur -desoale I I I I I I ale copleulu cubc îcâ fecare două cubur vece I ale acese succesu repreză uchle I s s dsuce opuse) ale uu cub -desoal d paralele ale copleulu forează o clasă de uch paralele Mulțea aală de uch b) ulțea cuburlor absrace d ce coț uch ale clase C î calae de fațee -desoale se ueșe rasversală a copleulu T C ) ș se oează pr Mețoă că î cazul copleelor oogee de cubur absrace fecare clasă de uch paralele coțe cel puț cubur -desoale Î cazul uu cople arbrar de cubur absrace u uadecâ ooge) fecare cub -desoal care u ese fațeă a uu cub cu desuea q d forează o clasă apare Peru copleul reprezea î fgura 43 ave clase de uch paralele prre care două clase coț doar câe u elee Vo suda î couare câeva propreăţ geerale ale rasversalelor copleulu Teorea 454 Trasversala deeraă de o clasă de uch paralele a uu cople coe ș acclc de cubur absrace q q coe ș acclc ese la râdul său u cople de cubur absrace Deosrațe Fe T C ) o rasversală deeraă de clasa de uch paralele C a copleulu ar q desuea aă a cuburlor absrace d ce forează rasversala T C ) Asfel ave u cople de cubur q care sasface codțle a)-c) eţoae a sus Țâd co de defța clase de uch paralele rezulă că q ese cople coe Deoarece grupurle de oolog ale copleulu q su subgrupur ale grupurlor de oolog ale copleulu rezulă că 4 q ese u cople acclc

205 Froera copleulu I deera de rasversala T C ) q ese foraă d două coplee aale dsuce cu desuea q ) fecare ce u coț c o uche d C Vo oa subcopleele respecve pr q I ș I Acesea ar puea ș să u fe coee q ) ) Fe V T C )) vacuuul rasversale T C ) care ese reuue a vacuuurlor cuburlor copleulu q I ce u aparț subcopleelor ețoae a sus q I ș I Teorea 455 Trasversala T C ) a uu cople cubc absrac - desoal coe ș acclc dvzează aces cople pr eredul vacuuulu rasversale T C ) î două coplee cubce cu desule q q care su coee ș acclce q ) ) Deosrața eoree rezulă eda d fapul că precu ș d defța rasversalelor respecve ese cople coe ș acclc Fe u cople -desoal eooge de cubur absrace Pr urare î r u cub I I r care u ese fațeă a cuburlor -desoale d esă Fg 44 Cople eooge de cubur cu subcoplee oogee cu desule ş 3 Vo oa pr T fala de subcoplee oogee -desoale aale ș coee d ) T ; Evde î cazul uu cople eooge 5 ave: ) esă o valoare a lu îcâ T deoarece cofor celor ețoae aeror se sudază doar coplee de cubur coee ș acclce) Asfel îr-u cople eooge orcare două subcoplee oogee -desoale su legae pr șrul de subcoplee oogee aale cu propreățle: q q q

206 a) T q; b) peru orce { q } Evde î șrul de coplee orcare două vece su q q q de desu dfere Î fgura 44 ese daă reprezearea geoercă a uu cople cubc eooge coe ș acclc cu desuea re î care ave re fal de subcoplee cubce coee ș oogee: T T T 3 { 3 { { 3 3 } 3 3 } 3 4 } Observă că copleele oogee 3-desoale 3 ș 3 su ue pr șrul de coplee oogee cu desu a c: 3 Peru copleul ooge de cubur absrace dea cuoaşe oțule de eror ș froeră oae respecv pr ș bd Acese oţu po f geeralzae ţâd co de parcularăţle uu cople eooge de cubur absrace eţoae aeror Fe u cople eooge de cubur absrace cu falle de subcoplee oogee aale coee T T T Defța 45 Reuuea I se ueșe eror al copleulu I ș se oează pr Dfereța \ se ueșe froeră a copleulu ș se oează pr bd Meţoă că froera uu cople eooge de cubur absrace poae f la râdul său u cople eooge cu desuea cel ul egală cu Aceasă suaţe ar îsea că pue vorb de o froeră copleă cu porţu de dfere desu r r Chesue eresaă ce poae cosu obecul uu sudu apare Precu s-a eţoa aeror u cub -desoal I îpreuă cu oae faţeele sale forează u cople cubc absrac a se vedea defţa 4) pe care îl vo oa pr I ) Reved la oaţle folose î paragraful 4 cubul I se va erprea: I Fe I ) } } { I o fațeă -desoală uche) a cubulu { I cdeă vârfulu Noă pr T rasversala deeraă de clasa de uch paralele ce coțe ucha I ar pr ) subcopleul d I ) deera de oa cel de-al dolea subcople T ce coțe vârful Respecv pr ) vo I 6

207 Ţâd co de propreăţle cubulu absrac -desoal sudae î paragraful 4 vo deosra u rezula ul peru eaărle ce urează Teorea 456 Peru orce rasversală adevăraă relața: TI ș orce ulțe [ / ] ese card ) ) card ) ) ude / ese parea îreagă a uărulu / Deosrațe Fe I fațea -desoală a cubulu -desoal I cdeă vârfulu Noă ereățle uche I pr a ș b cosderâd b Trasversala T I îpare cubul I î două cubur ) -desoale I ș I asfel îcâ vârful a aparțe lu I ar vârful b cubulu I Eleeele ulț se află la dsața ) de la vârful b Mulțea ese foraă d două subulț: a) S ulțea uuror vârfurlor cubulu ) -desoal I ce se află la dsața ) de la vârful b î cubul țal I ; b) S ulțea uuror vârfurlor cubulu ) -desoal I ce se află la dsața ) de la vârful b î cubul țal I Avâd î vedere că peru orce vârf z al cubulu I ce aparțe ulț î cubul I are loc egalaea d b z) d b a) d a z) precu ș de fapul că b ese vârf al cubulu rezulă egalaea card ) card ) Aceasă egalae cofră afrața eoree I 46 Cocluz la capolul 4 Cerceărle efecuae î cadrul capolulu 4 au fos deerae de căuarea uor eode efcee de soluțoare a probleelor cu caracer aplcav care îș găsesc erprearea respecvă pe coplee de cubur geoerce ș dfere varaț ale acesora Î codțle uor asfel de coplee deseor sue evoț să operă țâd co de erca spațulu î care ese aplasa copleul de cubur Suața respecvă crează aue dfculăț care se răsfrâg asupra efcețe eodelor ș algorlor de soluțoare a probleelor Aceasa a serv drep uul dre ovele care a deera ecesaea eaăr copleelor de cubur absrace î coeul celor epuse î capolul peru copleul de relaț ul-are Î capolul 4 a îâ se defeșe cubul absrac -desoal cu auorul spleelor absrace peru ca a apo acesa să servească drep cărăda ecesară la cosrurea 7

208 copleulu de cubur absrace Cerceărle se îcadrează î schea folosă î capolul la suderea copleelor de relaț Cu auorul grupurlor de oolog au fos sable fudaeele eore copleelor de cubur absrace Rezulaele eorece obțue î legăură cu suderea copleelor de cubur absrace au pers obțerea uor rezulae adțoale cuoscue î ale doe ale aeac Prre rezulaele ce îcuuează suderea acesor coplee po f ețoae: - a fos dedusă forule Euler-Pocare peru copleul de cubur absrace; - au fos sudae propreățle caracersce ale vareățlor absrace deerae de coplee de cubur absrace; - au fos deerae codțle de esță a courulu Euler -)-desoal îr-o vareae absracă oreablă ș coeă fore; - au fos sudae propreățle rasversale -desoale ș -)-desoale îr-u cople cubc absrac chesue poraă la soluțoarea problee edae Ţâd co de rezulaele obțue î capolul 4 deduce urăoarele cocluz: Pr copleul de cubur absrace a fos suda u caz specal al copleulu de relaț ul-are pora peru soluțoarea probleelor pracce ceea ce geerează o drecțe apare de cerceare pr aplcarea eodelor opologe algebrce; Pr cosrurea grupurlor de oolog ale copleulu de cubur absrace au fos creae prezele obțer uor rezulae aaloage celor d opologa algebrcă porae peru sablrea propreățlor specale ule la elaborarea ue eode de calculare a edae fără a ulza erca spațulu respecv; 3 Duducerea forule Euler-Pocare peru u cople de cubur absrace a serv drep u srue efce peru eaarea propreățlor vareățlor deerae de u asfel de cople ș clasfcarea uleroară a acesora 8

209 5 APLICAŢII ALE COMPLEXELOR DE RELAŢII MULTI-ARE Precu a a fos eţoa fudaearea drecţe de cerceare legaă de suderea copleelor de relaţ ul-are a fos deeraă î prul râd de ecesaea soluţoăr uor problee porae cu caracer aplcav care pueau f rezolvae îr-u od efce doar peru uele cazur specale Îr-u fal rezulaele eorece obţue peru copleul de relaţ ul-are au pers elaborarea uor eode efcee de soluţoare a acesor problee avasâd eseţal î aceasă drecţe Prre ele se uără aâ probleele cu caracer eorecoaplcav cu ar f suderea vareăţlor absrace ş clasfcarea lor precu ş probleele pracce cu ar f probleele de aplasare Probleele eaae ţ de doeul opzăr dscree dezvola es î ulele dece [38] [39] Să eaă uele dre aplcaţle posble ale eore copleelor de relaţ ul-are 5 Clasfcarea vareăţlor absrace Vareaea ese cosderaă drep ua dre oţule fudaeale ale aeac cu dverse aplcaţ eoreco-aplcave cu auorul cărea se cocrezează ş se geeralzează oţuea de suprafaţă peru desu orcâ de ar Suderea vareăţlor îcepe odaă cu dezvolarea geoere corpurlor fzce ş se îâleşe î lucrărle clasce ale a ulor aeace: Kauss la eaarea propreăţlor suprafeţelor î spaţul 9 3 R ; HPoacare la eaarea suprafeţelor î spaţ cu desu ar; B Rea la suderea poezelor fudaeale ale geoere ec Odaă cu fudaearea eore copleelor de relaţ ul-are deve acuală problea roducer oţu de vareae absracă ş suderea propreăţlor acesea Vareăţle absrace -desoale po f odelae î spaţul d E d obţâd asfel vareăţle cobaorale Acese vareăţ a su porae pr fapul că ele po coduce la elaborarea uor odele porae u doar d doeul aeaclor [4] [86] U sudu aplu ce ţe de corelaţa dre prcpalele clase de vareăţ -desoale î aparţe aeacaulu S Novov [5] Eleeul de bază al vareăţlor absrace îl cosue spleul absrac precu ş geeralzarea acesua quasspleul absrac Rezulaele ce ţ de suderea acesor vareăţ se regăsesc î lucrărle [9] [3] [53] [56] [68] [77] ş se folosesc la soluţoarea uor problee aplcave pe coplee specale de cubur absrace [3] [44] Î lucrărle [56] [] a fos sudaă legăura dre vareaea absracă ș u cople splu de relaț ul-are Î paragraful 44 au fos deosrae a ule propreăţ ale

210 vareăţlo absrace degeerae care le geeralzează pe cele d [56] [] ş care vor f folose î aces capol peru a obţe o clasfcare a vareățlor degeerae Vareaea -desoală ș propreățle acesea au fos sudae de căre Bolasy V [35] Telea C [6] șa fd cosderaă î prul râd ca u spațu euclda de o auă desue uă desuea vareăț Fecare puc de pe o vareae are o vecăae oeoorfă cu o ulțe deschsă a spațulu Noă pr ) sfera-corp î spațul euclda E cu cerul î pucul raza Sfera-corp ) se a ueșe -vecăae a puculu E ș Defța 5 [35] Mulțea N E se ueșe vareae -desoală dacă peru orce puc N esă o asfel de -vecăae ) îcâ ersecța ) N repreză o ulțe oeoorfă cu sfera-corp ) E E Se cuoaşe că asfel de vareăţ ue ş vareăţ cobaorce fără bordur po f dvzae îr-u cople f de splee [35] Acesea u su ucele vareăţ ce ad asfel de dvzăr care la râdul lor se folosesc peru obţerea uor rezulae porae d doeul opologe algebrce O codţe poraă o cosue lpsa bordurlor î acese vareăţ Îae de a forula uele rezulae adţoale celor descrse î paragraful 44 vo def oţuea de bord ş vo vedea ce se îâplă î cazul aşa-uelor vareăţ cu bordur -desoale Să cosderă u cople de relaţ ul-are K ) ş vareaea absracă degeeraă VD capolul precede deeraă de aces cople cofor defţe 44 eaaă î Î coforae cu cele epuse î capolul oă pr ) coefceul de - cdeță al uu quassple al copleulu K î rapor cu quasspleul Coefceul ) se descre î odul urăor [3]: ) [ : ] Î cazul copleulu splu de splee absrace [58] a fos defă oțuea de vacuu al spleulu [9] Î od slar aceasă chesue o pue face ş peru cazul uu quassple care dferă de u sple obşu pr repearea eleeelor şrulu respecv quasspleul absrac ese u sple obşu cu bucle) Fe ) u quassple oarecare cu desuea d copleul K

211 Defța 5 Dacă coefceul de cdeță ) [ : ) ] ese egal cu î rapor cu orce fațea ) -desoală a lu auc \ ) ) se ueșe vacuu cu desuea al quasspleulu Vo oa vacuuul quasspleulu pr Evde dfereţa \ repreză la râdul său u cople de quassplee ) -desoale dfereța respecvă repreză u cople geera de fațeele ) -desoale ale lu Aces cople se ueșe bord cu desuea al quasspleulu vareaea daă VD se obţe o vareae ouă pr elarea uu vacuu Să ade că îr-o vareae degeeraă desoale Defța 53 Vareaea degeeraă ) Asfel d VD au fos elae p vacuuur - VD d care su elae p vacuuur - desoale p vacuuur ) -desoale p vacuuur -desoale se ueșe vareae degeeraă cu p bordur -desoale p bordur ) -desoale p bordur -desoale Peru vareaea degeeraă cu p bordur -desoale p bordur ) - desoale p bordur -desoale vo oa pr P p p p) caracersca de bord a acesea ar îsăș vareaea o vo u vareae oaţa VD P Uşor se verfcă că vareaea P -degeeraă folosd peru ea P -degeeraă u a respecă codţle defţe 44 reprezeâd o srucură aeacă ul a coplcaă Propreăţle vareăţlor absrace degeerae deosrae aeror u au loc ş î cazul celor P -degeerae Vareăţle respecve eră o eaare apare care u va cosu obecul de cerceare î cazul prezee lucrăr Î cele ce urează vo coua suderea vareățlor ce sasfac codţle d defța 44 Asfel de vareăț su: îchse adcă fără bordur se asgură de codța a) d defța 44); coee se asgură de codța b) d defța 44); oogee codța c) d defța 44); fără găur codța d) d defța 44)

212 Teorea 5 rupul de oolog drece de ord al ue vareăţ absrace degeerae ş coee fore VD Z) Z VD ese zoorf cu grupul uerelor îreg adcă Deosrațe Îr-o vareae coeă fore VD două quassplee -desoale ș su ue prr-u dru -desoal Foră -froera vareăț VD Fecare fațeă ) -desoală a vareăț va f prezeă î aceasă froeră eac de două or cu see dfere Pr urare VD ceea ce îseaă că L VD VD repreză u -cclu Asfel are loc egalaea sau L VD Acese sue repreză șe -cclur ceea ce asgură relața Z ) VD Z) Z deoarece u esă -cclur -desoale ş ooloage cu Vo prezea î couare câeva rezulae ecesare peru eaărle uleroare ş care repreză de fap o geeralzare a rezulaelor obţue peru cazul copleulu splu de relaț ul-are a se vedea [] []) folosd aceeaș ehcă de deosrațe Teorea 5 Dacă îr-o vareae degeeraă absracă oreablă fără bordur ș coeă fore VD orce subvareae ) -desoală sfercă ș oreablă dvzează VD î două copoee coee auc VD repreză o vareae sfercă adcă VD Deosrațe Fe VD vareaea absracă ce corespude uu cople geeralza de relaț ul-are ș sasface codțle eoree D cele eaae aeror deduce că froera-cople absracă ) K a uu sple absrac -desoal repreză o vareae sfercă -desoală Aceasa garaează eseța subvareăț VD care sasface poeza eoree Eaă șrul de schelee p-desoale K K K K p ale vareăț degeerae VD coplee de relaț ul-are ș u șr de subvareăț sferce arbrare: prvdu-le ca VD K 5) Cofor poeze eoree dvzează copleul K î două copoee coee ~ ~ K ș K ude ș su două cop ale lu Țâd co de

213 defța oțu de schele al uu cople de relaț ul-are [3] precu ș de succesuea de cluzu 5) rezulă că ș dvzează copleul K î două subcoplee ~ K ș K Dec ș su -cclur ooloage cu Asfel ș ~ ese u -cclu oolog cu Fe Z ) grupul -cclurlor lu K dec ș al lu K Toae spleele -desoale ale lu K aparț lu K deoarece K ese scheleul - desoal al lu K ) Z ) repreză grupul -cclurlor ooloage cu ale lu K pe câd peru Z K acesea u a su ooloage cu Forâd grupul-câ ) / Z ) K Z) să deosră că acesa ese rval adcă e zoorf cu Peru aceasa e sufce a deosra că grupul Z ) sasface relața Z ) Să arăă peru îcepu că orce -cclu eleear d Z ) al lu K ese oolog cu Peru aceasa ese sufce a deosra că orce -cclu splu d grupul Z ) rapora la copleul K ese oolog cu Îsă aces lucru ese evde: dacă K e u sple arbrar auc cofor eoree 443 -cclul -desoal z ) ude quasspleul ese opus vârfulu d aparțe grupulu Z ) al copleulu K ș ese u -cclu splu Cocoe z ese - froera -lațulu L Dec z aparțe lu Z ) adcă vo oa z z K VD sau K are î oal quassplee ) -desoale: Asfel ave -cclur sple z z z Sua acesor cclur repreză u -cclu eleear ș oolog cu peru copleul z ude -Cclul d Z ) Epresa z 3 K : z z z z 5) g z z d relața 5) u are fora geerală a uu -cclu g z g z g z 53) ude g ese u uăr arbrar d Z { } repreză fora geerală a uu -cclu d Z ) peru copleul K De ac îsă u rezulă că -cclurle z z z

214 cosue o bază [4] a grupulu Z ) peru subcopleul K K Pr urare î codțle eoree forulae ș î vruea cosaărlor de a sus eda se verfcă egalaea a se vedea eorea 5): ude ș dec z z z z z z z z 54) Cosderâd că grupul Z ) aparțe subcopleulu K acesa ecesă a f oa pr Z ) deoarece vacuuurle respecve defța 5) ce corespud froerelor deerae de -cclurle ețoae u aparț lu Mețoă că orce -cclu geeral f reprezea sub fora: z al grupulu ) K Z peru copleul K poae z g z g z g z g z 55) ude z ar g Z { } Să cosderă fala VD a uuror subvareățlor VD VD ce dvzează î două copoee coee Rezulă că fala { VD } dvzează K K î copoeele coee cosderae ca subcoplee ale lu K adcă: K Precu s-a observa aeror dacă subvareaea arbrară VD dvzează VD î două copoee coee auc rezulă că ș subvareaea sfercă arbrară subcopleul VD dvzează K VD î două copoee coee Dec -cclurle z z z deeră -cclul geeral al grupulu Z ) peru z copleul K a se vedea relața 5)) Acese -cclur copleae respecv cu vacuuurle deeră spleele Pr urare - cclurle z z epresa 55) ese argueaă z su ooloage cu Cofor relațe 53) 4

215 Să arăă că -cclul d 55) ese oolog cu Peru aceasa e sufce a apela la deosrața relațe L peru orce { } de ude ave că { } Î couare se verfcă egalaea: z g g z Dec peru copleul K Z) g z g g K obțe că ) Z ceea ce plcă relața Cuoscâd propreățle froere-cople K a uu quassple absrac - desoal deduce că peru copleul K Z) Z K Z) K VD se verfcă relațle: K Z) K Z) Z pe câd ragul grupulu Z ese egal cu Dec î coforae cu forularea eoree obțe: VD ) K ) dacă ) r dacă ude r repreză ragurle grupurlor de oolog drece K Z) Î cele ce urează vo face o clasfcare a vareățlor absrace degeerae oreable ș fără bordur O asfel de clasfcare ese cuoscuă peru vareățle deerae de copleele obșue de relaț ul-are [] Aparța î cazul osru a quasspleelor absrace - desoale îș are farecul său daoră buclelor p -desoale p Ca rezula vo obțe o clasfcare care le coțe pe cele d [] Fe u quassple -desoal deera de șrul ordoa ) Vo spue că două subșrur eredare p ș p de luge p su dsce dacă ele dferă cel puț prr-u elee p Defța 54 Fala { ) : } p d subșrur eredare de lugea p dsce două câe două a uu quassple absrac -desoal ) ce posedă propreățle: a) oae eleeele p ale uu subșr eredar 5 su dsce îre ele; b) oae cele subșrur eredare su forae d aceleaș p eleee ale c) ulț țale X; p ese o fale aală de subșrur eredare de lugea p adcă peru quasspleul ) u esă o ală fale de subșrur eredare p p lugea p ce posedă propreățle a) ș b) asfel îcâ ; * p * de

216 d) peru quasspleul u esă o ală fale foraă de aseeea d subșrur eredare de lugea q q p { ) : } s s s q cu propreățle a) ș b) ețoae a sus asfel îcâ eleeele lu X ce geerează subșrul p ) p forează o subulțe a ulț de eleee d care e fora subșrul s s s q ) q se ueșe buclă p-desoală de gradul a quasspleulu Mețoă că cazul = geerează codța p= ceea ce îseaă că quasspleul repreză u sple obșu S suda î [58] Să cosru acu u șr f de vareăț -desoale ezoorfe D cele epuse a sus rezulă că u cople geeralza de relaț ul-are poae avea bucle cu desuea p Precză că caracersca Euler a ue vareăț sferce degeerae a se vedea defța 444) u depde de uărul de bucle ș desule acesora c doar de desuea vareăț Î coforae cu suața clască vareaea sfercă ce corespude uu cople obșu [58] de relaț ul-are se ueșe vareae cu geul a se vedea [3] [6] [] [6] [7] ) Eseța buclelor p -desoale î copleele geeralzae K coduc spre o vareae sfercă degeeraă cu desuea ce coțe splee de p șa cu desuea p Acese splee corespud buclelor copleulu K Fe X ș X X X ulț fe de eleee î baza cărora pr copleele geeralzae de relaț ul-are se cosruesc două vareăț sferce degeerae dsuce cu geul : ș Să cosderă că pe acese sfere esă u uăr sufce de are de quassplee -desoale îcâ pe ș respecv să ese câe două quassplee ș care respecă codțle: Deeră bordurle lu ș pr elarea vacuuurlor spleelor dcae: bd bd ) ) \ \ [ [ ] ] 6

217 bd bd ) ) \ \ [ [ ] ] Deoarece bordurle bd ) ș bd ) su zoorfe ca suprafețe de splee esă u zoorfs ș îre bd ) ș bd ) Lp froerele bd ) cu bd ) ș bd ) cu bd ) Ac e vorba de lprea zoorfcă a froerelor respecve) Pr verfcarea codțlor defțe 44 e covge că î ura acese operaț de lpre se obțe o vareae degeeraă ouă pe care o vo oa pr VD Defța 55 Vareaea degeeraă VD se ueșe vareae degeeraă cu geul Îr-o lusrare grafcă vareaea VD s-ar deoseb de vareaea sfercă sau ) pr fapul că are o sgură gaură Să presupue că ave două vareăț degeerae VD vareae cu o gaură) ș VD vareae fără gaură vareae sfercă degeeraă) care posedă propreățle: a) esă perechle de quassplee ) ) VD ș ) ) VD ; b) perechle de quassplee alese sasfac codțle: ) ) Eaă bordurle: ) ) bd VD bd bd VD bd VD VD ) ) ) ) ) \ ) \ ) \ ) \ 7 ) [ ) [ ) [ ) [ Lp arăș zoorfc froerele bd VD ) cu bd VD ) ș respecv bd VD ) cu bd VD ) defța 44) )] )] )] )] Ca rezula obțe d ou o vareae absracă -desoală a se vedea Defța 56 Vareaea absracă degeeraă VD se va u vareae cu geul eul al vareăț îseaă ca ave o vareae cu două găur )

218 Acu pue geeralza operața de lpre descrsă a sus: fe a obțu două vareăț degeerae VD ș VD adcă ua are p găur ar ala ese vareae sfercă degeeraă p Cosderă p ) ș p ) două quassplee -desoale d VD ar ) ș ) două splee -desoale d VD Cosru bordurle: bd VD bd bd VD bd VD VD p p ) ) ) ) p ) \ p ) \ ) \ ) \ ) [ ) [ p ) [ p ) [ )] )] p )] p )] Lp arăș zoorfc bordurle bd VD ) cu bd VD ) ș respecv bd VD ) cu ) bd VD Obțe o vareae ouă VD p p p p Defța 57 Vareaea VD se ueșe vareae absracă degeeraă de geul p adcă cu p găur) p Cofor celor descrse a sus rezulă că prr-o pocedură eravă se poae obțe u șr f de vareăț degeerae cu geul p : VD VD VD VD 56) Î leraura de specalae oțuea de ge are u ses ul a vara ș coplca a se vedea [64]) D acese cosderee vo folos a ul î couare oțuea de vareae degeeraă cu găur Pr aaloge cu cele cuoscue peru propreățle absrace ce corespud copleelor de relaț ul-are sple [58] [] vo deosra î cele ce urează u șr de rezulae ce ț de specfcul vareățlor degeerae uldesoale Teorea 53 Peru o vareae degeeraă uldesoală VD p { } se verfcă egalaea: p p ude { 3} p dacă VD p ) 57) dacă Deosrațe Deosrața eoree o vo face pr aplcarea ducțe aeace î rapor cu uărul de găur p al vareăț VD p N Î cazul p ave vareaea sfercă VD p 8 Țâd co de defța 444 obțe:

219 dacă ) VD ) dacă ude N Ade că afrața eoree ese adevăraă peru cazul p Să deosră că are loc egalaea: VD ) dacă ) ) dacă p Eaă cazul Î lucrarea [3] se deosrează că peru orcare două subcoplee geeralzae q K ale uu cople geeralza de relaț ul-are K p K p q q p q p q K ) K ) K ) K K ) are loc egalaea: p K ș Dacă subcopleele respecve su dsuce auc ulul ere al relațe eţoae ese egal cu zero) Î baza acese relaț a eode de cosrure a șrulu 56) ș a pasulu precede al ducțe aeace obțe: peru ; peru a) VD ) ) ) b) VD ) ) ) ) Noă Î cazul = esă o sgură vareae degeeraă care ese sfercă ș u coțe găur adcă VD Peru VD are loc egalaea VD ) Fe X o ulțe arbrară de eleee selecae dr-o ală ulţe M baza cărea se cosrueșe u cople geeralza de relaț ul-are K cardm î Cosderă că aces cople sasface codțle a)-d) ale defțe 44 ș pr urare deeră o vareae absracă degeeraă VD Todeaua pue ade că ulțea de * eleee X ese sufce de are asfel îcâ se va găs u elee X eulza la cosrucța vareăț VD Foră spleul -desoal S ) Î baza defțe copleulu geeralza d [3] pue cosdera quasspleele d S ș ca u quassple ) Acu oae VD le vo îlocu pr quasspleele de fora p p p ) ) ude VD p Defța 58 uasspleul obțu p { } p se ueșe pradă degeeraă cu vârful ș baza p ş se oează pr PD 9

220 Cosrucța prade degeerae se face pr aaloge cu cele d [8] Î couare vo face o clasfcare a ulț uuror vareățlor degeerae absrace oreable ș fără bordur A clasfca ulțea uuror vareățlor -desoale îseaă a dvza aceasă ulțe î clase grupe) cofor ue propreăț asfel îcâ propreaea fecăre vareăț d clasa daă să fe aceeaș ș oodaă să dfere de propreaea ale clase Șrul de vareăț degeerae cosrue 56) pere să face o clasfcare cofor uărulu de găur al acesora Mețoă că șrul 56) repreză u șr de vareăț degeerae absrace oreable -desoale ș fără bordur Î od slar cu cele deosrae î [] [8] peru vareaea degeeraă obțe urăorul rezula Teorea 54 Dacă VD ese o vareae degeeraă absracă oreablă fără bordur ș coeă fore deeraă î baza uu cople geeralza de relaț ul-are K auc î șrul 56) esă o vareae care coțe acelaș uăr de găur ca ș VD Deosrațe Vo oa pr ) o subvareae absracă ș sfercă d VD Să ade că orce asfel de subvareae dvzează VD î două copoee coee Cofor eoree 5 pue cosdera că VD ese o sferă absracă adcă VD Aceasa îseaă că vareaea căuaă î șrul 56) ese VD Să ade că Pr urare VD ese de geul VD u ese vareae sfercă degeeraă Auc î VD esă o subvareae ) Cofor presupuer ca rezula se obțe o vareae coeă cu două bordur ) ș ) zoorfe cu ) Acese două bordur se obț dr-o ulțe de splee ș vacuuur care se daorează ăeur făcue pe Bordurle sasfac codța: ) ) Pe bordurle obțue se cosrueșe câe o pradă degeeraă cofor defțe 56 Noă acese prade pr PD ) ș PD ) ar vareaea obțuă pr VD ) Ușor se verfcă că vareaea obțuă posedă propreățle: ) I Fecare quassple ) -desoal de pe froerele ) ș ) ese fațeă couă eac peru două quassplee -desoale II Orcare două quassplee -desoale dsuce cu ersecțe vdă) po f ue prr-o succesue de quassplee -desoale asfel îcâ fecare două

221 quassplee vece d șrul respecv au o fațeă ) -desoală couă Aceasa rezulă d defța vareăț degeerae VD ș a pradelor PD ) ș PD ) III Fecare quassple -desoal de pe bordurle pe care s-au cosru pradele aparțe uu quassple -desoal d VD prade cosrue sau uea d cele două IV Spleele de pe bordurle pe care s-au cosru pradele degeerae deeră două vareăț absrace degeerae fără găur Deoarece vareaea degeeraă VD ese coeă fore rezulă că pradele PD ) ș PD ) po f cosrue asfel îcâ VD sufce de făcu ca orce quassple -desoal fe cocorda cu quasspleul vec ) de aseeea să fe coeă fore Peru aceasa e al prade ) d VD ) ) PD ) sau PD ) ) să Deosră eorea aplcâd ducța aeacă î rapor cu uărul de găur q N Cazul q= Vo arăa că VD VD ) ude VD VD ) ) ) ) ș PD ) repreză bazele pradelor degeerae PD ) ș PD ) Folosd cele ețoae aeror vo avea: ) PD ) ) ) ) ) De aseeea ș PD ) ) ) D relața VD ) VD \ ) PD) PD) rezulă: ) ) ) ) VD ) VD ) ) PD ) PD ) 58) Țâd co de fapul că PD ) PD ) precu ș de relața 57) d 58) obțe: ) ) a) VD ) VD ) VD ) peru N; ) ) ) b) VD ) VD ) VD ) peru N ) ) ) D rațoaeele de a sus cochde că peru cazul q afrața eoree ese adevăraă VD Cazul q=p- Presupue că s-au făcu p ăeur sferce peru vareaea VD )

222 Dacă auc are loc forula recureă VD ) VD p ) Î cazul p ) )) se verfcă egalaea: VD VD ) Țe co de fapul că vareaea VD u ese sfercă) p ) ) p ) ) Cazul q=p Cofor pasulu ducv q p ș eoree 5 vareaea degeeraă VD p) ) dspue de o vareae sfercă p) Copleâd cu două prade PD ) ș p) PD ) obțe: p) VD Ca ș î cazul q obțe: p) VD p) \ PD ) ) ) p p PD p p) VD p) \ ) PD ) )) ) ) p p PD p VD de ude: VD p) VD ) VD p) p) ) VD ) p) peru ) peru Î caz că VD ) ese vareae sfercă auc țâd co de relața peru VD ) p) cazul ducv q p ) obțe: p) VD p) VD ) ) p peru ) peru D cele deosrae precu ș rezulaele d lucrărle [3] [53] [56] [] [8] rezulă că copleul de relaț ul-are repreză o srucură dscreă ouă ce poae f ulzaă cu succes la efecuarea uor cerceăr cu caracer eoreco-aplcav Pr eredul acesu cople au fos realzae cerceăr ce ț de suderea dferelor pur de vareăț absrace 5 Medaa copleulu de cubur absrace Problea calculăr edae precu ș ulplele varaț ale acesea se îâlesc la soluțoarea probleelor cu caracer aplcav cuoscue î leraura de specalae ca problee de aplasare Deseor apare ecesaea aplasăr uu ceru de deservre peru o rețea de ulzaor reprezeaă de regulă prr-u graf eorea asfel îcâ sua dsațelor e de la aces ceru pâă la celelale odur ale rețele să fe ă Locul opal de aplasare î sesul dca a sus se ueșe edaă Țâd co de eseța fucțe scop asfel de problee se a uesc problee de aplasare de p suă ş se îâlesc frecve la

223 soluțoarea probleelor pracce legae de alegerea loculu porv peru o sațe de elefoae a uu depoz peru o rețea de agaze legae prr-o frasrucură de druur a uu ofcu poșal dr-o localae ec La geeral problea edae ese o probleă NP-copleă [86] cu oae cosecțele ce urează d aceasă cosaare Touș î uele cazur specale frecve îâle î praccă se reușeșe elaborarea uor eode efcee de calculare a edae O oporuae î aces ses e oferă copleul de cubur absrace Defța oțu de edaă ese be cuoscuă d leraura de specalae fd îâlă deseor î dfere erpreăr deerae de specfcul probleelor sudae [6] [6] [5] [5] [69] [73] [8] [9] Fe d) X u spaţu erc f cu ulțea de eleee X 3 = ş f ) = d ) p ) o fucţe defă pe X ude p ) ese u uăr real pozv u = poderea eleeulu X Defţa 5 Pucul se ueşe edaa lu X X care sasface egalaea f ) = X = d ) p ) 59) Su cuoscue aplcărle edae î pracca codaă a ales î aplasarea obecelor de deservre Îsă procedura de calculare a acesea î coforae cu forula 59) deve î aue codţ o chesue aevooasă Î lucrărle [3] [6] [4] peru şe coplee specale su epuş algor efceţ de aflare a edae fără a ulza erca Prezea lucrare geeralzează î are ăsură rezulaele epuse î lucrărle [6] ş [4] îsă dacă î [3] edaa se calculează efce peru u arbore splu podera auc lucrarea î cauză aplcă u arbore absrac ooge -desoal Peru scheleul a se vedea a os) - desoal al acesu arbore se propue u algor efce de aflare a edae fără a ulza vreo ercă Algorul de calculare a edae peru u arbore f cu poder pozve ale eleeelor descrs î lucrarea [3] ese u doar u algor elega dar ş-a găs ş aplcaţ pracce Aceeaş suaţe o ave ş î cazul uu cople de parulaere [6] cu uchle poderae î od specal peru spaţul euclda E Problea î cauză a fos forulaă peru pra daă ş parţal soluţoaă la fele alor '6 î cadrul Isuulu de Maeacă cu Cerul de Calcul al Acadee de Şţe a Moldove

224 Auc u s-a reuş a obţe soluţ efcee peru desu a ar decâ do Cerceărle ullor a au codus la obţerea uor rezulae eorece peru desu ar aplcâd cosrucţ o precu e copleul de cubur absrace Suderea acesor coplee se face pr ulzarea grupurlor de oolog drece [5] [3] [35] ale acesora Fe A u cople cubc absrac ooge a se vedea dfța 453) îsă cosdera de acu oorea Cofor eoree 45 froera bd ese o sferă ) -desoală A cublaă S Fe s I ) S seaua vârfulu I calculaă pe sferas Vo eaa î cele ce urează problea calculăr edae uu cople specal de cubur absrace cosderâd că vârfurle copleulu reprezea prr-o ulţe oarecare M Î acese codţ dacă I A ese deeraă de pucul * M ce sasface relaţa: ude f ) ese fucţa defă pe ulţea M ş cu valor î A se -au dr-u spaţu erc dscre M auc edaa lu f ) = f ) 59 ) M I R : f : M R îcâ f ) d ) p ) Defța 5 U cople absrac -desoal ooge ș eorea sasface codțle: ) orce cub I aparțe cel puț la A cubur -desoale d A A care ; ) dacă I ese u vârf d bd A cărua î su cdee eac arce ale lu bd A ar seaua s I ) bd coțe eac cubur ) -desoale ale lu A bd A auc cubul -desoal I deera de aceasă sea aparțe copleulu se ueșe arbore ooge -desoal Noă aces arbore pr A A Fg 5 Cople ooge 3 -desoal ce u corespude defţe 5 Noa 5 Eseţa copleelor de cubur absrace ce sasfac codța a defțe 5 ese asguraă de lea 45 4

225 Pr defţa 5 ese eclusă suaţa d fgura 5 poraă peru calcularea edae copleulu Î asfel de suaţ odeaua se poae dca u sse de poder ale vârfurlor îcâ edaa * să u aparţă copleulu defţa arborelu ooge ese ecesară la calcularea edae peru A De eeplu codţa d s ) A care poae să u se afle pe s ) A adcă * M \ I Peru a lusra cele ețoae vo eaa copleul cubc A reprezearea geoercă a cărua ese daă î fgura 5 Cosderâd uchle cu lugle egale cu ar poderle vârfurlor: p w) p ) = p y) = p z) = = peru celeleale vârfur d cofor forule 59 ) î calae de edaă vo obțe vârful v care u aparţe ulț A I s ) A Cosderă î couare fucţa p : I R 5) ş lugle uchlor d clasele de uch paralele C C C egale respecv cu uerele d d d 5) ude d > peru Asfel se presupue că oae uchle ce aparţ ue clase au aceeaş luge Ma ârzu vo arăa că lugle respecve ale uchlor po f ose Nuărul p I ) se ueşe podere a cubulu -desoal Descrerea eode de calculare a edae arborelu I I spaţu ora -desoal ş erprearea uleroară a copleulu repreză uărul de clase de uch paralele d A ) Fe I = I : ş = I : A o vo îcepe cu cosrurea uu A î aces spaţu ac I ulţle de vârfur ş respecv de uch ale arborelu A Fă u laţ arbrar L = I I I ) cu orgea I I ş ereaea î I I Foră uărul îreg eegav a se vedea codţle 5) ş 5)) d I I ) = d d d 5) ude = sau = ) dacă L rece de u uăr par sau par) de or pr uchle copleulu A ce aparţ clase C [55] [96] 5

226 Teorea 5 Relaţa 5) repreză erca Hag [5] Deosraţe D relaţa 5) ş codţa 5) ave: ) d I I ) D egalaea d I I ) = rezulă egalaea: = = = ceea ce coduce la relaţa I = I ; ) egalaea d I I ) = d I I ) ese evdeă; 3) peru orcare re vârfur dsce I I I I ţâd co de defrea uărulu d I I ) uşor se verfcă d I I ) = d I I ) d I Aceasa d ură ş deosrează că 5) ese erca Hag I ) Fe arborele A dspue de clasele de uch paralele C C C cu lugle fae 5) Cosderă spaţul R pese câpul uerelor reale cu ora = D orgea depue pe aele de coordoae OY OY OYp segee cu lugle d d d O R Cosru î od uvoc pe acese segee paralelppedul desoale 6 P Mulţea uuror faţeelor - a acesu paralelpped forează u cople de paralelppede - desoale Vo oa aces cople pr P = { P P } Î cazul = obţe copleul P care repreză reuuea uuror faţeelor - ș -desoale d cople ese u subcople al lu P Copleul P Aces P repreză u graf coe erc ș oorea Vo oa aces graf pr H = Y; V) ude Y ș V repreză ulţle de vârfur ș respecv uch d absrace P Precu a fos eţoa î paragraful 45 scheleul -desoal al copleulu de cubur repreză u graf orea oa pr = X ; U ) Î aces graf vârfurle corespud cuburlor -desoale ar arcele cuburlor -desoale d copleul Teorea 5 Peru arborele erpreează A pe u subcople d P A esă o aplcaţe uvocă : A P care asfel îcâ : P repreză o zoere Verdcaea eoree rezulă eda d odalaea de cosrure a copleulu d relaţa 5) Î spaţul R ulţea de vârfur X ) o oă pr Y { y y y } A ) = P ş

227 Cosderă fucţa ude y ese agea lu f y) = p y ) y y 53) = X cu poderea p y ) = p ) Vo deosra că pucul H = Y; V) y R care zează fucţa 53) ese edaa grafulu Fără a face vreo cofuze oă pr y ş vecor d R Asfel peru vecorul y y y y ) R = foră dfereţele dc: I I I y y = : y y = : y y = : y y Relaţle 54) se cosruesc eac ca î [4] y y y y ş ulţle de > = 54) < Teorea 53 Vecorul y R zează fucţa 5) dacă ş ua dacă su sasfăcue relaţle: I I I p y p y ) ) 7 I I I p y p y Deosraţa eoree se face î od aalog cu cea a eoree 3 d lucrarea [6] ) ) 55) Teorea 53 pere să afră u fap pora: edaa grafulu erc H u depde de lugle d prr-u cub uae al lu cu lugea d d d ale uchlor d V Pr urare paralelppedul R P poae f îlocu ulzâd operaţa de dlaare sau cosrâgere a fecăre uch Cubul uae -desoal obţu îl vo oa pr raşoaee obţe aplcaţa: Pue cosdera că coordoaele vârfurlor cubulu uae E Ca rezula al acesor :P E 56) E î spaţul R su uerele ş Asfel fecăru vârf al cubulu î corespude u coregu bar cu lugea Pr aplcaţa graful H rece îr-u graf erc H) = Z; W) E Ca rezula obţe că aâ pe cubul uae pe care îl vo oa pr E câ ş pe graful obţu

228 = Z; W ) E ese defă erca Hag Mulţea de vârfur Z a grafulu ese I ) ar ulţea de uch W repreză ulţea de uch I ) Clasele de uch paralele C C C se rasforă î urăoarele clase de uch paralele d C = C ) C = C ) C = C ) reuuea cărora u acoperă eapăra oae uchle d cubul uae E Ar f o acoperre doar î cazul câd A = P Peru ulţea de vârfur z z z ude z ) = Z păsră aceleaş poder: = Asfel a obţu aplcaţa zoercă: I : p z ) p ) p z ) p ) p z ) p ) 57) : Fe vârful z Z al cubulu z ude z = sau E are coordoaele = z z z ) z = pe cub e defă erca Hag) Deoarece edaa d R u depde de ercă cosderă că lugle d d d ale uchlor d oae clasele de uch paralele su egale cu Noă arborele A pr A ) Î acese codţ aplcaţa A )) E ese la fel o zoere ude A )) ese u subcople al copleulu fora d faţeele lu edae arborelu A ) pe subcopleul A )) E Relaţa de zoere pere eaarea Foră arcea N lle cărea corespud vârfurlor grafulu ar coloaele claselor de uch paralele C C C : N = C z z z z C z z z z C z z z z C z z z z z z z z Peru fecare coloaă d arcea N calculă u uăr r cosderâd r = sau r = cofor regullor: a) dacă produsul scalar 8

229 z z z ) p z) p z) p z )) = z = p z ) ese u uăr a are decâ p ) auc r = ar dacă aces produs ese a c decâ z sua dcaă auc r = ; b) dacă are loc egalaea z p z ) = p z ) = = 58) auc valoarea lu r se alege î od arbrar: sau Ca rezula obţe coregul r r r r r ) = Teorea 54 Coregul r r r r ) repreză o le d N = Peru a deosra aceasă eoreă su ecesare şe eaăr preveve Fe T o rasversală ) -desoală a copleulu A ) Aceasă rasversală separă A ) î două părţ dsce oae pr A ) A ) ) ) ş ue coveţoal subcople de sâga ş subcople de dreapa î rapor cu rasversala T Abele coplee obţue su arbor ooge doar că u eapăra ş -desoal uul dre aceşa ar puea f ) -desoal) Noă î couare pr I I I ) ş I ) respecv ulţle de vârfur ale copleulu A ) relaţle: ale rasversale T ş ale arborlor A ) A ) I I I I ) ) I I I I ) ) ) ) = I = I ) ) Su evdee 59) Peru ulţle de vârfur I ) ş I ale arborlor A ) ş A ) deerae de ) ) ) rasversalele T B ude B repreză uărul uuror rasversalelor ) - desoale calculă sua poderlor vârfurlor p I ) ş p I ) : p I p I ) ) ) = ) = I I ) I I ) 9 ) p I p I ) ) ) 5)

230 Nuerele p I ) ş p I ) se vor u poder ale copleelor A ) ş A ) ) ) Precu s-a ețoa aeror a se vedea paragraful 45) o rasversală -desoală geerează două rasversale ) -desoale pe care le vo u rasversale vece Trasversalele T ș T le vo cosdera paralele dacă î arborele A ) esă șrul de ) ) rasversale vece T T T T q T Î cazul câd două rasversale ) - desoale d A ) u su paralele vo spue că acesea su rasversale de drecț dsce s Fe T T u șr aal de rasversale paralele d A ) î care T r T s ș T s r su vece Fecare dre acese rasversale deeră î A ) u subcople de sâga ș u subcople de dreapa Defța 53 Trasversala T d șrul ordoa T T se ueșe T rasversală edaă a arborelu A ) dacă peru poderle de sâgă ș de dreapa ale acesea se respecă egalățle: r p I p I ) ) ) p I \ I ) \ I ) p I ) ) ) 5) Mețoă că rasversala edaă d șrul T T Tr poae f deeraă î od efce pr aplcarea uu algor de copleae O log r) căuăr bare D defța 53 rezulă că dacă baza pe ulzarea eode T ese rasversala peru care are loc egalaea p I ) p I ) auc aceasa ese uca rasversală edaă î șrul ) ) T T T r Toodaă ușor se deduce că î șrul dca esă cel ul două rasversale edaă ș î aces caz ele su rasversale vece Teorea 55 U vârf * al grafulu X ; U ) s) A ) ese edaă î dacă ș ua dacă aces vârf repreză î arborele A ) ersecța a rasversale edaă ) -desoale Deosraţe Necesaea Fe vârful edaă al grafulu = X; U) = s) A ) Observă a îâ că î copleul de cubur absrace A ) orce vârf se află la ersecţa a cel puţ rasversale ) -desoale Cofor eoree 53 î od uvoc rezulă că esă aue rasversale ) -desoale 3 T T T la ersecţa cărora se

231 află vârful edaă ş peru care ecesă să abă loc şe relaţ aaloage cu 55) Să le epue î od eplc Î arborele A ) def: a) A ) A ) A ) A ) A ) A ) perechle de subcoplee ale arborelu deerae de rasversalele T T T I ; ) b) I I I ) ) ) I I ulţle de vârfur cubur -desoale) ale ) ) subcopleelor A s { }; s) c) p I ) p I ) p I ) p I ) p I ) p I ) poderle ) ) ) ) ) ) subcopleelor A s { } s) Uele dre subcopleele ețoae A s { } po f char prre s) rasversalele eaae T ale cuve are loc relața: T T Iegalăţle 58) evde deeră vârful Cu T T T 5) deoarece relaţle 5) su cele de la 55) adapae cofor eoree 53 la arborele Să deosră acu codța sufceă a eoree Cosderă că d șrur ordoae de rasversale au fos selecae rasversalele edaă T 3 T T rasversale se respecă relațle 5) Să ade ouș că are loc: A Pr urare peru acese T T T = 53) pe ulțea de vârfur d = X; U) = s) A ) Deoarece fecare rasversală edaă coțe edaa copleulu s ) A ) rezulă că acesa va er î afara lu s ) A ) O udecaă d sple slogse coduce la coradcţe pr fapul că u are loc codţa a defţe 5 Aceasa d ură deosrează corecudea afraţe eoree 55 Folosd cele epuse î [4] precu ş d propreăţle copleulu de cubur absrace deduce că ulţea uuror edaelor grafulu = Z; W ) zoorfc erprea î cubul uae E forează o ulţe coveă ş pr urare repreză o faţeă a lu E Dec dacă e-ar eresa doar acele edae ale lu care su ş vârfur ale grafulu auc acesea su vârfurle faţee respecve Acu să reve la deosraţa eorea 54 auţaă ceva a sus

232 Deosraţe Să ade euţul eoree 54 u ese adevăra Alfel spus presupue că esă ouş u vârf r r r r ) al cubulu E îsă acesa u aparţe = grafulu ) = ude ese de acu aplcaţa P E Fe r = z E \ zează fucţa f z) aaloagă lu 5) Vecorul z aparţe la faţee cu desuea Acese faţee peru copleul de acu cubc al uuror faţeelor d I repreză şe rasversale ) -desoale care au o ersecţe ce cosă eac d pucul vecorul) z Fecare dre acese faţee coţe câe o rasversală ) - desoală a copleulu A ) care ese zoerc cu A ) Acu eţoă că z respecă relaţle 5) adapae la copleul A )) Toodaă î aces cople orcare rasversale ) -desoale ) ) ) au o ersecţe vdă T deoarece vecorul z u le aparţe Coradcţe cu eorea 5 Dec eorea 54 e usă D cele epuse aeror rezulă u algor efce de calculare a edae uu cople de cubur absrace ce sasface defţa 5 ş care va f descrs î paragraful 53 Î legăură cu problea sudaă î od fresc apare îrebarea: pe câ de ul poae f esă clasa de coplee cubce reprezeae pr arbor ooge -desoal peru care rezulaele prezeae a sus răâ vable Vo căua răspus la aceasă îrebare eaâd oodaă aue propreăţ o ale copleulu de cubur absrace Fe I ) copleul -desoal de cubur absrace deera de fala de faţee T T ale cubulu I Orce rasversală -desoală îpare copleul I ) î două subcoplee coee Fe I o fațeă -desoală o uche) a cubulu I ) { } } cdeă vârfulu Vo oa pr { TI rasversala deeraă de clasa de uch paralele ce coțe ucha I ar pr ) subcopleul d I ) deera de subcople T ce coțe vârful Respecv pr ) vo oa cel de-al dolea I Lea 5 Peru orce rasversală adevăraă egalaea: TI ș orce ulțe [ / ] ese ) ) Deosrațe Fe I fațea -desoală ucha) a cubulu -desoal I cdeă vârfulu Noă ereățle uche I pr a ș b cosderâd b 3

233 Trasversala T îpare cubul I I î două cubur ) -desoale I ș I asfel îcâ vârful a aparțe lu I ar vârful cubulu b I Eleeele ulț se află la dsața ) de la vârful b Mulțea e foraă d două subulț: a) S ulțea uuror vârfurlor cubulu ) -desoal I ce se află la dsața ) de la vârful b î cubul țal I ; b) S ulțea uuror vârfurlor cubulu ) -desoal I ce se află la dsața ) de la vârful b î cubul țal I Țâd co de fapul că peru orce vârf z al cubulu I ce aparțe ulț î cubul I are loc egalaea d b z) d b a) d a z) precu ș de fapul că b b ) ese vârf al cubulu I rezulă egalaea Aceasă egalae cofră corecudea afrațe lee 5 Alege acu u subcople q I ) fora d fațeele cubulu ulțle de vârfur q cu codța q / I geerae de Duce rasversalele -desoale pr fecare uche I cdeă vârfulu ese ucul elee d ) ș oă pr I ) subcopleul d I ) deera de rasversala T ce coțe cel puț o I uăae d eleeele ulț q Noă pr I ) fala uuror cuburlor - desoale d q cubcă a copleulu K I cdee vârfulu Î cele ce urează cubul I I se va u îchdere Teorea 56 Dacă I ) ese îchderea cubcă a uu cople de cubur absrace q / q auc: cubcă q a) I )) Ø; I I I ) b) I ) I I I ) Deosrațe Vo deosra a îâ relața b) d eoreă Mețoă că î îchderea I a copleulu q orce rasversală deeraă de clasa de uch paralele ce coțe o uche cdeă vârfulu va coțe î od oblgaoru ș o uche cdeă vârfulu Î baza lee 5 ș codțe eoree rezulă: 33

234 q I I ) Să deosră acu relața a) d eoreă Specfcă că îr-u cub -desoal orce fațeă -desoală îl îpare pe acesa î două cubur ) -desoale care su fațee cu aceeaș desue peru rasversale pr urare obțe perech de cubur ) I I Î cubul -desoal pue duce eac -desoale Noă pr vârfurle cubulu I { } { }) Evde fecare rasversală coțe eac câe o uche cdeă vârfulu D fecare pereche de cubur ) -desoale deerae de rasversalele d I alege acel cub ce coțe vârful ș foră fala de cubur ) -desoale F ) Iersecța uuror cuburlor d F ) coțe doar u vârf vârful I Subcopleul I ) coțe cel puț o uăae d eleeele ulț q Deoarece / îchderea cubcă I q q aces subcople u coțe vârful d îsă coțe vârful d I a lu afrața a) d eoreă I q De ac î coforae cu cele deosrae a sus rezulă Teorea 57 Dacă I { } { }) ese u cub -desoal ar q ese u subcople d I ) q ude / fora d fațeele cubulu I geerae de ulțle q auc esă u asfel de sse de poder p ) ale vârfurlor copleulu q îcâ peru orce vârf d I ) calculâd fucța 59 ) obțe: ude rolul ulț X îl oacă vârfurle d f ) f ) Deosrațe Peru vârfurle copleulu I ar M repreză ulțea vârfurlor d q fă două pur de poder: a) p ) peru orce elee q ; b) p ) peru orce elee ude ese u uăr sufce de are q q Nuărul poae f ales asfel îcâ să fe a are decâ sua dsațelor calculae de la pâă la oae vârfurle ulț q Acesa u corave codţlor d eoreă) Luâd î cosderaţe srucura ulț q precu ș cele deosrae î eorea 56 obțe afrața d eoreă 34

235 Vo suda î cele ce urează copleele de cubur absrace paru propreăț: ) orce cub -desoale ; I ) dacă ese u vârf de pe froera aparțe cel puț la ce posedă urăoarele cubur -desoale bd cărua î su cdee eac uch 3 ș pe aceasă froeră esă reuuea q auc îchderea cubcă a acesu subcople aparțe lu ; 3) grupul de oolog de ragul zero al copleulu îreg adcă Z) Z; ese zoorf cu grupul uerelor 4) grupurle de oolog de ragul su zoorfe cu zero adcă Z) Z) Z) Copleele de cubur cu propreăţle dcae a sus servesc drep odel aeac î ulple problee pracce legae de aplasarea opală a uor cere de deservre U rol apare ac î reve problee edae peru care s-a elabora o eodă efceă de calcul Ipora e că aceasă eodă poae f geeralzaă ş peru cazul uor coplee de cubur a gaerale Ba a ul cu eforul uor odfcăr ea ar puea f folosă ş î cazul uor coplee de poledre cu propreăţ specale [65] 53 Algorul de calculare a edae peru u arbore cubc -desoal Fe A ) u arbore -desoal D cele eaae aeror deduce că edaa arborelu A ) poae f deeraă de edaa z calculaă î cubul -desoal peru u graf specal obţu ca rezula a două aplcaţ succesve ş Asfel dacă z ese edaa grafulu î cubul relaţa: = z ) E auc edaa a arborelu ) E A se deeră pr Rezulaele obţue e per să elaboră u algor efce de calculare a edae î A ) fără a ulza erca Descrerea algorulu: I Fe = I X = II Deeră clasele de uch paralele î arborele A ) Fe ave clase de uch paralele: C C C 35

236 III Fă u vârf arbrar d X de eeplu ş î pue î corespodeţă coregul = ) fora d zerour IV Peru orcare al vârf X alege u laţ arbrar L ) V Vârfulu se pue î corespodeţă coregul = ) cosderâd = dacă laţul L ) rece de u uăr par de or pr uchle clase C ş = dacă aces uăr ese par D acese coreg foră o arce M lle cărea repreză coregle corespuzăoare vârfurlor : M = C C C VI Calculă u coregu ou r r r ) folosd eleeele d M ş poderle = p ) ale vârfurlor d X cofor regullor: r r dacă = dacă = = p ) > p ) < sau dfere) dacă = = p p = ) ) p ) = = p ) VII Cofor eoree 54 coregul corespude acesu coregu ese edaa lu 4 r aparţe arce M ar vârful A pr urare ş a copleulu A care Eeplu Să eaă arborele -desoal A ) cu sua poderlor vârfurlor p ) 64 Aplcâd forula 59 obţe: d y ) p ) d yr îseaă că edaa copleulu se realzează î vârful ) p ) ceea ce Să calculă acu edaa cofor algorulu descrs Î arborele d fgura 5 ave clase de uch paralele C C C Alege vârful ş î arbu coregul ) Cosru arcea M cofor regullor descrse supra peru arborele cubc d fgura 5 Marcea respecvă ese reprezeaă î fgura 53 36

237 C ) 3 4 ) ) C C 3 C 4 C 5 7 4) 4 3 ) 5 ) 6 ) 8 ) 9 3 ) ) ) ) C ) ) ) ) 4) 7 C ) ) ) C ) 3 3 ) C 9 4) ) C 4 Fg 5 Cople ooge de cubur absrace -deso 37

238 M C C C C C C C C C C ) 3) 4) 4) ) 3) ) 4) 4) ) 3) ) 3) 4) ) 3) ) 4) ) ) 3) 4) ) ) Fg 53 Marcea M peru copleul d fgura 5 Calculă vecorul ) = r r r r cofor forule d pucul VI al algorulu Aces vecor va f ) = r ş corespude vârfulu 5 ceea ce cofră corecudea algorulu Î cazul copleulu de cubur d fgura 5 vecorul ) = r r r r se deeră î od uvoc Toodaă eţoă că esă coplee peru care vecorul calcula î arcea M cofor algorulu descrs a sus se deeră euvoc arage aeţa la pucul IV al algorulu ude se eţoează că eleeul r poae pr valoarea sau ) Î aces caz uărul de vârfur edaă ese epra pr puerea lu

239 Î cazul uu sse de poder ale vârfurlor copleulu de cubur absrace eleeele fecăre l d arcea M se îulţeşe la uărul ce repreză poderea vârfulu corespuzăor le ar eleeul rezula d vecorul r = ) se calculează î od aalog Evde peru dfere ssee de poder ale vârfurlor se obţ soluţ dfere ale problee edae Ba a ul odeaua pue dca asfel de poder ale vârfurlor îcâ uărul de vârfur edaă să fe 4 8 ec C 8 C 3 C 5) 3 4) 3) 4) 4 ) 7 4) 8 ) 5 4) 3) 4 3) ) 9 ) C 6 4) C ) 9 3) 7 3) C 5 6 5) C 9 4) C 6 8 ) 4) 5) 4) C 7 Fg 54 Cople de polgoae -desoale peru calcularea edae Rearca 53 Algorul descrs poae f folos la calcularea edae ş î cazul uor srucur a coplcae Î fgura 54 ese reprezea u cople de polgoae cu u uăr par de uch peru fecare Î aces cople î od slar def clasele de uch paralele Acesea su 9 la uăr: C C C 9 Copleul coţe de vârfur Poderle vârfurlor su dcae î fgura 54 ar arcea M ese descrsă î fgura 55 sua poderlor vârfurlor ese egală cu 7) Cazul uu cople de poledre absrace u se sudază î aceasă lucrare U asfel de cople ecesă u sudu apare 39

240 M C C C C C C C C C 5) 4) 4) ) ) 3) 4) ) 3) 4) 3) 5) 4) 3) ) 4) 5) 4) ) ) 4) 3) Fg 55 Marcea M peru copleul d fgura 54 La aplcarea forule 59 obţe: 5 ) ) ) ) R y p d p y d ceea ce îseaă că edaa copleulu se realzează î vârful 5 Ca rezula al calculelor efecuae î coforae cu algorul suda obţe vecorul ) = r ce corespude vârfulu 5 54 Fucţa rudy ş ocur cobaorale îr-u cople de relaţ ul-are Să eaă u oc specal îre do ucăor pe u cople de relaţ ul-are } { R R R def î capolul Cofor celor eţoae î paragraful 3

241 poae f cosdera drep u cople de quassplee absrace K ) Asfel fecare elee al relaţe -are R d copleul ese reprezea î K prr- u quassple ) -desoal D acese cosderee î cele ce urează vo folos oaţle ş propreăţle uu cople de relaţ forulae î ere de quassplee absrace ş epuse î capolul Toodaă d cosderee de coodae eleeele copleulu lucrurlor î coeul celor eaae uleror K le vo u splee ceea ce u schbă eseţa Vo geeralza a îâ uele oțu ș propreăț ale acesora eaae î capolele precedee eeralzărle respecve su ecesare peru eaarea uu oc cobaoral ş deerarea sraeglor ope ale ucăorlor eeralzarea oţu de coereţă Fe ) u sple absrac ce se obţe d spleul ) la elarea vârfulu Relaţa de coereţă a spleelor ş ş propreăţle respecve au fos eaae î paragraful 4 Î cele ce urează vo geeralza aceasă oţue ş vo sabl șe relaţ porae peru eaărle uleroare Îcepe cu u rezula ce copleează cele epuse î paragraful 4 Teorea 54 Spleele ş ) su coeree Deosraţe Peru a deosra eorea cofor defţe 4 e sufce să arăă că spleele ş ) ) su oreae la fel adcă au acelaş se D cosderee de coodae spleul îl vo oa pr ˆ Fe uărul de versu al coregulu de dc ) ce corespude spleulu Să ade că prre prele uere su q uere a ar decâ ar prre su p uere a c decâ Pr urare uărul de versu î coregul ) ce corespude spleulu ) ese egal cu p q Uşor se calculează că uărul de versu î coregul dclor deera de spleul ˆ ) ese q Să eaă acu paraea uerelor ş q 4

242 I Fe u uăr par ceea ce îseaă că spleul ese orea pozv Dacă uărul ese par auc q ese par adcă ˆ ese orea egav ș ) de ude rezulă că spleele ş ) ˆ su oreae la fel abele su cu se pozv) Dacă uărul ese par auc ş q ese uăr par ș ) Pr urare spleele ş ) ˆ su oreae la fel abele cu se pozv) II Fe u uăr par ceea ce îseaă că spleul ese orea egav Dacă uărul ese par auc q ese par adcă ˆ ese orea pozv ş ) de ude rezulă că spleele ş ) ˆ su oreae la fel abele cu se egav) Dacă uărul ese par auc q ese uăr par ar ) Pr urare spleele ş ) Cazurle eaae îseaă că spleele ˆ su oreae la fel abele su cu se egav) ş ) su coeree D eorea deosraă rezulă două cosecţe uşor verfcable Cosecţa 54 Dacă ) ş ˆ ) su seele de oreare ale spleelor ˆ auc ) ) ˆ ) Cosecţa 54 Peru spleul ş faţea acesua ) ) ) ude ) ş ) su seele de oreare ale spleulu ese adevăraă egalaea ş a feţee ş ar repreză uărul de versu forae de dcele vâfulu cu dc a vârfurlor spleulu Corecudea afraţe cosecţe 54 rezulă eda d fapul că seul ˆ ) al spleulu ˆ ) ese deera de uărul de versu d şrul care repreză seul ) uărul de versu forae de eleeul al spleulu cu vârfurle Referor la coereța spleelor are loc u rezula slar celu epus î lucrarea [35]: Teorea 54 Coereţa spleelor ş cocordaă a eleeelor ce deeră acese splee ş ) u depde de peruarea 4

243 Pr peruare cocordaă ac îţelege urăoarele: dacă se face o peruare a eleeelor d auc aceasa deeră î od uvoc peruarea d ş vers De 5 4 eeplu fe ) u sple 5-desoal ar ) faţea lu opusă vârfulu Dacă ca rezula al ue peruăr d obţe u sple 5 ou ) auc d faţea vo obţe spleul ) care ese faţeă a lu ) opusă vâfulu Deosraţa eoree 54 Să oă pr p ş p spleele ce se obţ ca rezula al uor peruăr ale eleeelor d ş Por de la o peruare a eleeelor d Vo deosra că dacă de peruarea folosă î auc spleele îseaă că spleele p ş la o peruare efecuaă asupra eleeelor d Folosd oaţle d paragraful 4 scre: ude ) ˆ ) ˆ p se obţe pr aplcarea peruăr geerae p ş p ) su coeree Ula p ) su oreae la fel Cazul vers câd por de ˆ se reduce la prul) ) [ ] ˆ ) [ ] card î depedeţă de uărul de versu î succesule respecve de dc ș repreză seele acesor splee Cofor eoree 54 spleele ş ) su coeree Aceasa îseaă că spleele ) su oreae la fel ceea ce cofor cosecţe 54 ese echvale cu relaţa: ˆ ş ) ) ˆ ) 54) Peru a deosra eorea e sufce a eaa suaţa câd peruarea cosă d schbarea cu locurle a două eleee ' ș '' î spleul obţue p ş ) Să arăă că î ura acese peruăr p spleele p ) răâ coeree ceea ce îseaă că p ş p ) su ˆ oreae la fel Noă pr uărul de versu î coregul ) Eaărle se reduc la urăoarele cc cazur: ) ' ș '' aparț subșrulu de vârfur ce precedează se află prre ); 43

244 ) ' ș '' aparț subșrulu de vârfur ce urează după adcă se află prre vârfurle cu dc a ar ; 3) ' } ar '' }; { 4) ' { } ar '' ; 5) ' ar '' { Î prele două cazur paraea uărulu de versu cu care se odfcă aceeaș Aceasa pere să cosderă usă egalaea: adcă spleele p ş p ) răâ splee coeree p ) ) ˆ )) p ș p ) su oreae la fel ceea ce îseaă că ˆ ˆ ese p ş Să eaă cazul 3 Fe ' r r ș '' s s Dacă ) auc după schbarea cu locurle a eleeelor r s ' r ș s p '' obţe spleul ) Nuărul de s r versu p î coregul p ) dferă de uărul de versu s r î coregul ) doar daoră schbărlor d şrul r s r s Fe prre eleeele r s su r eleee a ar decâ r ceea ce îseaă că î p apar r versu o care lpseau î Celelale s r eleee r r raporae la r forează şe versu î care vor lps î p Pe de ală pare să ade că prre r s su s eleee a c decâ s ceea ce îseaă că î p apar s versu o care lpseau î Celelale s s r eleee raporae s la r forează versu î care îsă vor lps î p Pr urare are loc relaţa: p ) ) r r s s Să calculă acu uărul de versu ˆ d coregul p p ˆ s r ) ce corespude spleulu p ˆ s r ehca de a sus eaă paru cazur: ) epra pr ˆ Folosd oaţle ş 44

245 a) r ş s Peru uerele de versu ˆ ş p ˆ obţe: p ˆ ˆ ) ) ) ) ˆ ) ) r r s s r r s s b) r ş s Peru uerele de versu ˆ ş p ˆ obţe: pˆ r r s s ˆ ) ) c) r ş s Peru uerele de versu ˆ ş p pˆ r r s s ˆ ) ) ˆ obţe: d) r ş s Peru uerele de versu ˆ ş p ˆ obţe: p ˆ ˆ ) ) p r r s s Coparâd rezulaele obţue î fecare d cazurle a)-d) cu forula r ) r cu care se odfcă ceea ce îseaă că s p ș p ş ) obţuă a sus observă că paraea uărulu de versu s ˆ ese aceeaș Pr urare ese adevăraă egalaea: p p ) ) ˆ )) p p ) răâ splee coeree Eaă î couare cazul 4 Fe ' r r '' ar p ) spleul ce se obțe d r r r ) r la schbarea cu locurle a vârfurlor ș r Pr e oaă de fap fațea opusă vârfulu de pe locul d lsa ordoaă a spleulu ș acesa ese vârful X După efecuarea peruăr pe locul î spleul p ve vârful Peru a specfca aces oe vo oa fațea opusă vârfulu de pe locul d r p pr p ) fapul că spleele ş r Să deosră că p p ș p ) su coeree ceea ce e echvale cu ) ) r r r p ˆ ) ) ) r r r r su oreae la fel Ca ș î cazul precede vo eaa paraea uerelor cu care se odfcă p ș def uerele: r p ˆ Peru coregul de dc ) r r ) r uărul de eleee ale șrulu ; r care su a ar decâ r 45

246 r uărul de eleee ale șrulu r care su a c decâ r ; uărul de eleee ale șrulu r care su a c decâ ; uărul de eleee ale șrulu r care su a ar decâ p Obțe o forulă aaloagă cele d cazul 3 peru uărul de versu d coregul r r ) epra pr uărul de versu d coregul corespuzăor : p ) ) r r r r ) r ) s ceea ce îseaă că uărul de versu rezulă că spleele oreae r) r r ) s ş r r p dferă de p su de see dfere cu u uăr par De ac a Să eaă acu spleul ˆ ș să epră uărul de versu p ) r ˆ d p ) r p ˆ ) r r r ) pr uărul de versu r ˆ r r r ) Peru coregul ˆ def uerele: ˆ ale coregulu l uărul de eleee ale șrulu l uărul de eleee ale șrulu r care su a ar decâ r care su a c decâ ; ; l r uărul de eleee ale șrulu r care su a c decâ r ; l r uărul de eleee ale șrulu r care su a ar decâ r Obţe forula: pˆ ) r r r ˆ l l ) l l ) ˆ l l ) l r l r ) l l r ˆ r ) r l ˆ r l r r l l ceea ce deoă că uărul de versu ˆ dferă de p ) r ˆ cu u uăr par Ca ş î cazul spleelor -desoale ş p aceasa îseaă că spleele ˆ ş ˆ su p ) r oreae î od dfer 46

247 D cele deosrae a sus deduce că dacă oreare auc ş spleele afraţa eoree ese usă p ş p ) r ş ˆ su splee cu acelaş se de ˆ posedă aceeaş propreae Dec ş î aces caz Deosraţa se falzează cu eaarea cazulu 5 care se face slar cazulu 4 Să geeralză acu oţuea de coereță a spleelor O vo face î două eape: ) peru spleele ş ude repreză o faţeă a spleulu ; ) peru două splee K ude K ş c uul dre spleele u ese faţeă a celulal Fe )[ ] u sple orea ales î od aleaoru d ş J )[ ] faţea ) l l l J -desoală d opusă ulţ de vârfur ude J Idcele s s corespude loculu pe care îl ocupă eaae se cosderă use relaţle: a) ; b) { } ; c) l l l ; d) l l l } { }\{ } { î lsa ) Peru a u recurge la deăr s Vo geeralza acu oţuea de coereţă defă î paragraful 4 a se vedea defţa 4) peru cazul ) dca a sus De râd cu spleul p p J p care ese faţeă ) -desoală d opusă vârfurlor ˆ J ) l l l vo def spleul Defţa 54 Spleul ş faţea acesua J se uesc -coeree dacă ş ˆ J su oreae la fel adcă abele su oreae pozv sau abele su oreae egav Dacă spleele se uesc splee -ocoeree ş ˆ J su oreae î od dfer auc ş p J D aceasă defţe rezulă că oţuea de -coereţă se răsfrâge doar asupra a două splee dre care uul ese faţeă a celulal Slar cazulu de coereţă splă a se vedea paragraful 4) se defeşe coefceul de -coereţă al spleelor: 47

248 J dacă dacă dacă J ş ş J J su splee - coeree su splee u ese faeă a lu - ocoeree Teorea 543 Spleele ş J su -coeree J Folosd eoda ducţe aeace î rapor cu uărul de vârfur elae d ehcă ş eorea 54 deosraţa eoree 543 deve o chesue pur Cofor defţe 54 -coereţa spleelor spleelor ş J ş ˆ Seul de oreare ˆ ) al lu J J ese deeraă de orearea ˆ J se sableşe cu auorul uărul de versu ale dclor vârfurlor spleulu ˆ ) care poae f reprezea pr sua ude ese uărul de versu d şrul ; ese uărul de versu d şrul J l l ş care deeră seul J ) l l l l al faţee J ; ese uărul de versu fora de fecare dre dc cu fecare dre dc l l l Cosecţa 543 Peru spleul ş faţea acesua J ese adevăraă egalaea ) ) J J ) ş feţee acesua ) ude ) ş ) su seele de oreare ale spleulu J J ar ) J Deosraţe Cofor eoree 543 spleele J ş J su -coeree Pr urare îre seul de oreare ) al spleulu ş seul de oreare ˆ ) al spleulu ) are loc relaţa: J J J ) ) ˆ ) 55) Luâd î cosderaţe că valoarea lu ˆ ) ese deerăă de paraea uărulu obţe: ˆ J ) ) J J ) ) ) ceea ce pere să reprezeă forula 55) î odul urăor: J J J 48

249 J ) ) ) Noâd J ) î cele d ură obţe egalaea: Peru spleele ş ) ) Teorea 544 -coereţa spleelor J J ) J ) 55 ) J are loc u rezula slar eoree 54 cocordaă a eleeelor ce deeră acese splee J ş J u depde de peruarea J Deosraţe Ca ş î cazul eoree 54 e sufce să deosră că dacă p J se obţe pr aplcarea peruăr geerae de peruarea folosă î auc spleele p ş J p ) J su coeree Ula afraţe îseaă că ese adevăraă egalaea: J p ) ) ˆ ) 56) p J Folos eoda ducţe aeace î rapor cu uărul de vârfur elae d ) Î aces caz J Apelâd la eorea 54 obţe: ceea ce cofră relaţa 56) p ) ) ˆ ) p ) Ade că afraţa eoree ese adevăraă peru vârfur elae adcă are loc egalaea: p J p ˆ ) J depede de peruărle eleeelor d J ş J Î aces caz dcele J ese 3) Eaă suața câd d se elă vârfur Fe acesea su ş J ˆ J ese faţea lu opusă vârfurlor ) ; ese faţea lu J l l opusă vârfurlor ˆ J ) l l l ; ese faţea lu l ; ; J opusă vârfulu } { 49

250 Să deosră că ş î aces caz se respecă egalaea Cosrurea faţee ululu vârf p J p ˆ ) J o face î două eape a îâ pr elarea vârfurlor J cofor regullor de elare descrse aeror ar apo pr elarea Luâd î cosderaţe pasul precede al ducţe aeace precu ş afrața eoree 54 obţe urăoarele relaț peru coefceț de coereță îre spleele eaae: p p J J p ˆ ) 57) p ˆ ) J 58) J ˆ Î baza acesor relaţ precu ş a odulu de cosrure a spleelor J î cele d ură obţe: p J p ) ˆ J ) J J J ˆ J J Dec afraţa eoree are loc ş peru vârfur elae Cofor ducţe aeace relaţa 56) ese adevăraă Să ede î couare oţuea de coereţă peru două splee ş d copleul K ce posedă propreăţle: a) ; b) ; 3 c) ude q ş Vo cosdera că spleele 3 3 ş 3 3 su oreae ceea ce îseaă că le pue erprea î odul urăor: 3 )[ ] )[ y y y ] )[ z z z ] Spleul se obţe d la elarea a vârfur a a a ar d pr elarea a q vârfur y b y b y b q Def uerele: J a a a J b b b q q 5

251 ş cosru spleele: ˆ ˆ J J q ˆ ) [ z z z ] J a a a 3 ˆ ) [ z z z ] J q b b bq 3 Ac a a a repreză uerele de orde ale acelor vârfur d lsa care 3 se elă d la cosrurea lu Respecv b b b q repreză uerele de orde ale q vârfur d lsa y care se elă d 3 la cosrurea lu Peru y y vârfurle spleelor 3 ş se respecă relaţle: { z { z z z z z 3 3 } { } { Defţa 54 Spleele ş cu propreaea se uesc splee } } q) coeree dacă ş 3 3 su splee coeree ar ş su splee q -coeree Peru dc vârfurlor d şrurle deeră uerele: a a a ; b y b y b q y ş uărul de versu î şrul de dc a a a ; uărul de versu î şrul de dc b b b q ; ; 3 uărul de versu î şrul de dc 3 z z z 3 3 uărul de versu forae de fecare dre dc a a dc ; 3 3 uărul de versu forae de fecare dre dc b b q dc 3 a cu fecare dre b cu fecare dre Teorea 545 Î cazul spleelor q) -coeree ş are loc egalaea: ude J ) 3 ar J q) 3 J J J ) J ) q q ) ) ) Deosraţe Peru seele spleelor sudae obţe relaţle: ) 3 3 ) ; ˆ 33 3 J ) ) ) 3 ) ; 5

252 Cofor eoree 543 spleele ˆ 33 3 J ) ) ) q 3 ş relaţe 55) ş celor eţoae a sus pue scre: J 3 ) J ˆ J 3 ) ) ) ) ) J 3) D aceleaş cosderee ş î cazul spleelor su coeree Pr urare î baza J 3 q J q ˆ J q 3 ) ) ) ) ) J 3) D abele egalăţ epră ) pr ) ş respecv ): 3 q 3 ) ) J 3 ) ) J q 3) ) ) 3 ) Deoarece părţle d sâga ale acesor egalăţ cocd rezulă: are loc egalaea slară: ) J 3 3 ) ) ) J q ) ) Noă J ) 3 ş J q) 3 Ula ecuaţe se va rascre: de ude rezulă relaţa: J J ) J J ) q q ) ) ) ) J J J ) J ) q q ) ) ) Mulţ sable Î capolul a fos defă oțuea de sea a uu sple a se vedea defța 3) care poae f geeralzaă î cazul uu sple Defţa 543 Subcopleul K d K oae faţeele propr ale sale precu ş oae spleele d oae faţeele propr ale acesora se ueşe supersea a lu Mețoă că spre deosebre de superseaua ese cople splcal absrac Peru superseaua a) îchderea Cl S ) supersele superseaua S ; S def urăoarele oțu: care coţe spleul S seaua K cdee lu ş se oează pr S subcopleul al d îpreuă cu îpreuă cu S s a uu sple K u care coțe 5

253 b) reprezeaţa R ) supersele cdee spleulu ; c) froera B ) a supersele su cdee lu ale lu Uşor se verfcă relaţle: S ulţea spleelor d S ulţea uuror spleelor d sau ersecţa acesora cu R ) Cl S ) B ) Cl S ) R ) B ) S ce u su S ce u repreză ua dre faţeele propr Fe u sple d K peru care se cuoașe superseaua S îpreuă cu reprezeaţa R ) ș froera B ) Cofor celor relaae aeror cosaă: R ) B ) \ R ) Î od aleaoru alege u sple d ulțea B ) \ R ) evde ese dfer de ș fațeele acesua) Toodaă esă u sple îcâ: Cofor eoree 543 codța de q) - coereță a spleelor ș ese: J J J ) J ) q q ) ) ) 59) ude ar q Î aceasă suațe su posble două cazur: a) câd uărul J J J ) J ) ese par; b) câd uărul J J J ) J ) ese par Referor q q q q la spleul ș orce sple 3 3 R ) ude ese fațeă a lu obțe relața aaloagă cu relața 59): J J q J J q ) 53) 3 3 ude 3 J ) Dec orearea spleelor ș e deeraă q J q de cele două cazur posble: a) câd J J ) ese u uăr par; b) câd J J ) ese u uăr par Noă pr ~ ulțea uuror spleelor d B ) îcâ î cazul perech 3 ce sasface relața 59) are loc codța a) ar î cazul perech ce sasface relața 53) are loc codța b) 53

254 Cosderă aplcaţa: cu propreaea: : K K 53) ~ ) ) peru orce sple -desoal ~ Meţoă că ulţea ) se deeră î od uvoc î baza eoreelor Defța 544 Mulțea de splee F a copleulu ) F K ce posedă propreaea: peru orce sple F se ueșe ulțe er sablă de splee absrace a copleulu K Vo spue că o ulțe er sablă ese aală dacă î er sablă H îcâ F H Noă pr F fala uuror ulțlor er sable d Defța 545 Nuărul K ) acard F copleulu K FF K u esă o ală ulțe K se ueșe uăr de sablae eră a Pr aaloge cu suața d eora grafurlor care precu a a fos ețoa ese u caz parcular al copleulu de relaț ul-are vo def oțuea de ulțe eer sablă Defța 546 Mulțea de splee E a copleulu peru orce sple E are loc relața: E Mețoă că cofor defțlor 544 ș 546 î orce cople K se ueșe eer sablă dacă K esă ulțe er sablă ș ulțe eer sablă Asfel orce sple forează o ulțe er sablă ar ulțea uuror spleelor copleulu K ese odeaua eer sablă Să oă pr E fala uuror ulțlor eer sable dk Defța 547 Nuărul K ) acard E copleulu K se ueșe uăr de sablae eeră a EE Defța 548 Mulțea de splee absrace a uu cople ș oodaă eer sablă se ueșe ucleu al copleulu Teorea 546 O ulțe er sablă ua dacă ea ese aală F F K care ese er sablă ese ucleu al copleulu K dacă ș 54

255 Deosrațe Fe ulțea er sablă presupue că F u ese aală Î aces caz copleul desoal F F ese ucleu al copleulu K Să K coțe u sple - îcâ F { } F F ș F Auc î vruea defțe 548 deoarece F ese ulțe er sablă obțe relața ) F Pe de ală pare deoarece ucleul F ese oodaă ș ulțe eer sablă peru spleul are loc relața ) F de ude rezulă relaţa F coradcța obțuă cochde că ucleul F ese ulțe er sablă aală Să deosră acu afrața versă Fe Peru a deosra că F ese ucleu al copleulu D F F ese ulțe er sablă aală K e sufce să arăă că F forează o ulțe eer sablă Dacă ade corarul auc rezulă că î copleul sple F peru care are loc relața: ) F K esă u ude F F { } Pr urare ulţea F ese er sablă ceea ce ve î coradcțe cu codța că F ese ulțe er sablă aală a copleulu K eeralzarea fucţe rudy Fucța rudy cuoscuă î leraura de specalae ș ca fucța Sprague-rudy ese folosă î specal î eora ocurlor peru a găs sraegle de câșg î ocurle cobaorale [87] Fucța se defeșe peru ocurle cu do ucăor î care uul dre aceșa se declară îvgăor dacă adversarul său u a poae eecua urăoarea șcare Vo def î cele ce urează fucța rudy peru u cople de relaț ul-are î scopul folosr acesea la soluțoarea uu oc cobaoral eaa î paragraful urăor care ese o geeralzare a cuoscuulu oc N Cosderă copleul de relaț ul-are reprezea ca u cople de splee absrace K ) ș aplcața : K K defe aeror Defța 549 Aplcața uvocă g : K N defă peru orce sple absrac - desoal d K pr relața g ) { N \ g ))} 53) o ude g )) repreză ulțea valorlor aplcaţe g peru oae spleele d ) se ueşe fucţe rudy 55

256 Fucța rudy poae f folosă la suderea ulțlor er sable îr-u cople splcal K De eeplu î baza defțlor 544 ș 549 ușor deduce că ese adevăraă afrața: dacă F ese o ulțe de splee er sablă î K auc peru orcare două splee absrace F are loc egalaea g g Esă o depedeță drecă îre uărul de ulț er sable d K ș fucța rudy care poae f epraă pr Teorea 547 Nuărul de ulț er sable îr-u cople de relaț ul- are K ese egal cu N dacă ş ua dacă are loc egalaea: a g K Deosrațe Sufceța Fe are loc egalaea ețoaă î eoreă Noă pr F ) ulțea uuror spleelor absrace d K peru care valoarea fucțe rudy ese Cofor defțe 544 ulțea F ese er sablă Pr urare a obțu ulț -sable: F ) F) F ) Dacă î K ar esa u uăr q de ulț er sable auc cofor celor ețoae a sus ş daoră fapulu că peru oae spleele ulț valoarea fucțe rudy ese aceeaș rezulă că pe copleul pue def fucța rudy peru care a g q euţaă î eoreă Necesaea Fe î Peru orcare sple relața: K K Aceasa ve î coradcțe cu codța K uărul de ulț er sable ese : are loc egalaea ) F F Def fucța rudy î odul urăor: a) g peru orce sple F F F F b) Eaă ulțea F Observă a îâ că peru orce sple F are loc ) F Î caz corar spleul poae f îchs î F ceea ce coduce la o recofgurare a ulțlor er sable îsă uărul lor u va creșe Pr urare valoarea fucțe rudy î cazul spleelor d F poae f declaraă egală cu uu c) Fe a aus la ulțea F D aceleaș ove ca ș î cazul eaăr ulț F peru orce sple F F ș orcare dre ulțle F F F are loc relața Aceasă suațe pere a cosdera usă egalaea g peru orce sple F D cele eaae referor la ulțle F F rezulă că a g K F 56

257 Joc cobaoral pe u cople de relaţ ul-are Def pe K u oc cu do parcpaţ A ş B care poae f prv ca o geeralzare a oculu chezesc NIM cuoscu pr pacul său asupra uor rezulae fudaeale î aeacă Î specal acesa a uca u rol eseţal î deosraţa eoree Sprague rudy cosderaă drep ua dre eoreele clasce ale eore ocurlor ş folosă la deerarea sraege de câşg î ocurle cobaorale Dverse geeralzăr ş erpreăr ale oculu NIM cu aplcaţ ervale [3] se îâlesc î lucrărle a a ulor aeace - Claud Berge [5] [3] Charles Bouo [85] : Descrerea oculu: ) Fe da u cople de splee absrace -desoal K Î od arbrar se alege u sple ) Jucăorul A alege u sple d ) Fe acesa ese spleul Dacă ) auc se cosderă că ucăorul A a perdu ş ocul a lua sfârş) 3) Jucăorul B alege u sple ) De aseeea se cosderă că dacă ) auc ocul a lua sfârş ş ucăorul B ese î perdere 4) Jucăor couă alegerea spleelor o pâă câd lucrul acesa ese posbl Evde deoarece K ese u cople f ocul va avea u sfârş Î ocul descrs s-ar cere de răspus la îrebarea: î ce codţ ucăorul A va eş îvgăor? Peru a găs răspus la aceasă îrebare vo apela la rezulaele descrse aeror ce se referă la suderea ulțlor er sable ucleulu ș propreățlor fucțe rudy defe pe copleul de relaț ul-are reprezea pr splee absrace r Defța 54 Succesuea de splee a copleulu K ) ce posedă propreățle: a) r ; b) ș r su splee q adţoale relațlor 59) ș 53); -coeree deerae de codţle c) dacă spleele ș su ersecae de căre spleul auc ș u aparț lu se ueșe raecore a copleulu K ș se oează pr o r T 57

258 r Î cazul raecore o r ) cu spleul T vo spue că aceasa leagă spleul r care la râdul lor se cosderă ereăţ ale o r copleulu depde de aplcața defă aeror pe copleul cosruă pr eredul aplcațe se va oa T r T Evde raecora K Ueor raecora Vo spue că raecora T r ese o raecore aală deeraă de relața dacă se îdeplesc urăoarele codț: r a) ) ; b) u esă sple î codțle defțe 54 K îcâ ș șrul ar sasface Traecora T r se va u raecore-cour deeraă de aplcața dacă r Traecora cour o vo oa pr T C r : Teorea 548 Dacă g ese fucța rudy a uu cople K K K deeraă de aplcața defă pr relaţa 53) auc ulțea uuror spleelor d peru care ese adevăraă egalaea g ) repreză ucleul copleulu K Deosrațe Fe M ulțea spleelor d g ) Vo arăa că M posedă propreățle: a) M ese o ulțe er sablă; b) M ese o ulțea eer sablă ceea ce îseaă cofor defțe 549 că M ese ucleu Fe u sple d K cu propreaea ) K K peru care are loc egalaea g adcă M Alege u sple arbrar ) Î baza defțe fucțe rudy rezulă relaţa g ) Aceasa îseaă că se respecă egalaea sablă ) M adcă M ese ulțe er Să deosră acu că M ese ș eer sablă Alege u sple oarecare K \ M Deoarece M repreză ulțea uuror spleelor d K peru care valoarea fucțe rudy ese zero rezulă că g ) Aceasa la râdul său plcă relața ) M Pr urare M ese ulțe eer sablă D cele eaae rezulă că M ese ucleul copleulu Teorea 549 Dacă î copleul K K esă o raecore-cour T r aplcața defă pr relața 53) ș peru orce sple deeraă de al acesu cople esă 58

259 raecore T r ce leagă cu careva sple d T c r auc î ocul cobaoral def pe aces cople ucăor îș po deera coporaeul asfel îcâ cuul dre e u va perde Deosrațe Mețoă că ocul cobaoral poreşe de la spleul lua î od aleaor Dacă aces sple va f pe raecora-cour T c r auc de fecare daă ucăor au posblaea de a alege spleul lor de pe acelaș cour ceea ce coduce la u oc f Dacă spleul u aparțe raecore-cour T c r auc î baza codțe d eoreă ucăor po alege spleele respecve î așa od îcâ vor auge la T c r Ma depare e po proceda slar cazulu descrs a sus Teorea 54 Îr-u oc cobaoral deera de aplcața 53) ucăorul A u va perde dacă va reuș să cosruască fucța rudy pe aces cople ș să aleagă spleul peru care g Deosrațe Să ade că peru copleul ucăorul A reușeșe să aleagă u sple îcâ g K pue cosru fucța rudy ș Cofor eoree 548 ulțea uuror spleelor cu valoarea fucțe rudy egală cu zero forează ucleul N î Fe K ș ucăorul B alege aces sple Evde u ese d ucleul N Urăoarea șcare ese peru ucăorul A cu alegerea spleulu d Dacă auc valoarea fucţe rudy peru aces sple va f g ceea ce îseaă că rebue să fe d ucleul cofor eoree 548) Pr urare Eaă două cazur posble: a) N auc ucăorul A reve î ulțea N ș se repeă suața precedeă; adcă N Dacă prre spleele d b) N esă uul cu valoarea fucțe rudy egală cu zero auc pr coradcțe cu fapul că N ese ucleu ucleul rebue să fe ulțe er sablă aală) Î caz corar obțe coradcțe cu defrea fucțe rudy D cele eaae rezulă că ucăorul A odeaua are șasa de a reve î ulțea N ceea ce î garaează că u el va f cel care perde î ocul cobaoral 55 Cocluz la capolul 5 Capolul 5 al lucrăr poară a ul u caracer aplcav ș coțe uele rezulae ce ț de soluțoarea probleelor pracce fap ce deoă efceța rezulaelor eorece prezeae î 59

260 capolele precedee Folosd propreățle uu cople de relaț ul-are precu ș cele ale copleulu de cubur absrace se geeralzează rezulaele ce ţ de clasfcarea vareăţlor descrse î lucrărle [5] [9] [3] [53] [56] [77] Aparţa buclelor îr-u cople absrac deerae de repeărle eleeelor î coregle ce corespud quasspleelor coduce la ecesaea suder vareăţ sferce degeerae de geul p Se face o clasfcare a vareățlor deerae de -copleele de relaț care per eseța buclelor Daoră rezulaelor obțue î legăură cu eaarea copleelor de cubur absrace la velul cosrur oologlor respecve s-a reuș avasarea î soluțoarea problee edae uu cople de cubur cuoscue d a 6-7 a secolulu recu [6] ș rezolvae auc doar peru cazul copleulu -desoal Î rezulaul elaborăr eore respecve î aces capol al eze se propue u algor de calculare a edae fără ulzarea erc eeralzâd oţuea de coereţă peru u quassple ş faţea acesua J î cazul uă -coereţă ş peru două splee arbrare ş cu propreaea uă q) -coereţă a fos defă oţuea de ucleu al copleulu K ) poraă peru eaarea uu oc cobaoral îre do ucăor A ş B descrsă î paragraful 54 Peru deerarea sraeglor de coporare a ucăorlor î aces cople se roduce o fucţe folosă la cosrurea ucleulu uă fucţe rudy Prre rezulaele porae ale capolulu 5 po f ețoae: - a fos obțuăclasfcarea vareățlor absrace cu auorul grupurlor de oolog ale copleulu de relaț ul-are; - au fos deerae codțle ecesare ș sufcee peru ca u vârf al uu cople ooge de cubur absrace să fe edaă; - a fos elabora algorulu de calcul a edae îr-u cople de cubur absrace; - a fos defă fucța rudy pe u cople de relaț ul-are chesue poraă peru deerarea ucleulu copleulu care oacă la râdul său u rol decsv la soluțoarea uor ocur pe srucur dscree; - au fos deerae sraegle de coporare a adversarlor îr-u oc cobaoral def pe copleul de relaț ul-are Ţâd co de rezulaele obțue î capolul 5 deduce urăoarele cocluz: Folosd copleul geeralza de relaț ul-are î calae de srucură aeacă ce deeră o vareae degeeraă absracă oreablă fără bordur ș coeă fore au fos 6

261 deerae codțle î care aceasa repreză o vareae sfercă Aces rezula a fos folos uleror peru obțerea clasfcăr vareățlor absrace degeerae reprezeae prr-u șr de vareăț cu p găur obțue î od cosrucv Folosd propreățle vareățlor deerae de u cople de cubur absrace au fos obțue propreăț porae cu referre la froera copleulu ooge de cubur - desoale care la râdul său ese o vareae -)-desoală Î baza propreățlor respecve au fos deerae codțle respecarea cărora asgură calcularea edae uu cople cubc ș aceasă edaă aparțe copleulu respecv; 3 Rezulaele eorece obțue la suderea copleelor de cubur absrace ș a vareățlor deerae de acese coplee au fos folose la elaborarea uu algor efce de calculare a edae care u depde de erca spațulu respecv Algorul respecv a fos geeralza peru cazul uu sse arbrar de poder ale vîrfurlor copleulu de cubur absrace ș u depde de lugle uchlor ce forează o clasă de uch paralele d cople; 4 eeralzâd fucța rudy peru copleul de relaț ul-are folosă aeror de căre CBerge peru grafurle eoreae a fos deosra că câșgul îr-u oc cobaoral depde de posblaea cosrur acese fucț ș deerăr cu auorul e a ucleulu copleulu de relaț ul-are 6

262 CONCLUZII ENERALE ŞI RECOMANDĂRI Sudul realza î prezea lucrare coduce la urăoarele cocluz ș recoadăr Cocluz geerale asupra rezulaelor obțue Probleele eaae î eza de docor habla Copleul geeralza de relaț ul-are ș aspecele aplcave ale acesua fac pare de drecța de cerceare d aeacă ce țe de elaborarea odelelor ș eodelor corespuzăoare peru soluțoarea probleelor eoreco-aplcave d dverse doe ale acvăț uae: ecooe ehcă socologe fzcă che foracă ec Rezulaele eorece obțue î legăură cu suderea copleulu de relaț precu ș aplcaț acesua la suderea uor problee de ord aplcav coduc la urăoarele cocluz: A fos creaă o drecţe ouă de cerceare ce cosă î fudaearea eore copleelor de relaţ ul-are pr care se geeralzează a ule srucur dscree clasce cuoscue ca grafur hpergrafur aroz coplee de splee ceea ce a corbu la elaborarea odelelor ş eodelor efcee î vederea aplcăr acesora la soluţoarea probleelor de opzare dscreă A fos elaboraă o ouă srucură aeacă dscreă deeraă de o fale de relaţ ul-are peru odelarea proceselor cu acţue dscreă care a codus la obţerea eodelor efcee peru ulzarea uleroară a acesora la soluţoarea problee de calculare a edae poderae fără a folos erca spaţulu a problee de coporae a ucăorlor îr-u oc cobaoral ec 3 Au fos sudae propreăţ porae ale copleulu de relaţ ul-are cu auorul grupurlor de oolog ş cooolog ale acesua Rezulaele respecve au deosra efceţa folosr eodelor de sudu ale opologe algebrce peru eaarea srucurlor dscree Aceasă suaţe a pers efecuarea cerceărlor la u vel calav ou peru asfel de srucur rupurle de oolog cosrue repreză u srue efce folos la deerarea srucur copleulu de cubur peru care problea edae se rezolvă î od efce fără a apela la erca spațulu respecv; 4 Folosrea ragurlor grupurlor de oolog ale copleulu de relaţ ul-are a pers deducerea ue forule efcee de calcul a uărulu ccloac chesue poraă peru sablrea propreăţlor cobaorale ale uu asfel de cople ecesare la soluţoarea probleelor applcave Calcularea uerelor ccloace se face prr-o forulă recureă folosd ragurle grupurlor de oolog ale copleulu; 5 Peru copleul de relaţ ul-are a fos deosra aalogul eoree Pocare-Veble- Aleader eorea 8) cuoscuă î legăură cu eaarea coururlor uu graf 6

263 orea Rezulaul respecv repreză u srue efce care a fos folos peru suderea cclurlor -desoale ş cosrurea arce ccloace ale copleulu de relaţ ul-are; 6 Pr ederea oțu de laț -desoal ș roducerea oțu de )-coveae î cadrul eore copleelor de relaț ul-are a fos couraă o drecțe ouă de cerceare coveaea î copleul de relaţ ul-are legaă de suderea propreățlor ulțlor )-covee cu aplcarea eoreco-aplcav; uleroară acesora la soluțoarea probleelor cu caracer 7 Rezulaele obțue î legăură cu suderea grafurlor d-cove sple servesc drep bold peru ederea cerceărlor î scopul caracerzăr copleelor cu o fale prescrsă de ulț )-covee 8 Pr copleul de cubur absrace a fos suda u caz specal al copleulu de relaț ul-are pora peru soluțoarea probleelor pracce ceea ce geerează o drecțe apare de cerceare pr aplcarea eodelor opologe algebrce; 9 A fos dedusă forula Euler-Pocare peru u cople de cubur absrace Forula respecvă a serv drep srue efce peru eaarea propreățlor vareățlor deerae de u asfel de cople ș clasfcarea uleroară a acesora Folosd copleul geeralza de relaț ul-are î calae de srucură aeacă ce deeră o vareae degeeraă absracă oreablă fără bordur ș coeă fore au fos deerae codțle î care aceasa repreză o vareae sfercă Aces rezula a fos folos uleror peru obțerea clasfcăr vareățlor absrace degeerae reprezeae prr-u șr de vareăț cu p găur obțue î od cosrucv Folosd propreățle vareățlor deerae de u cople de cubur absrace au fos obțue propreăț porae cu referre la froera copleulu ooge de cubur - desoale care la râdul său ese o vareae -)-desoală Î baza propreățlor respecve au fos deerae codțle respecarea cărora asgură calcularea edae uu cople cubc ș aceasă edaă aparțe copleulu respecv; Rezulaele eorece obțue la suderea copleelor de cubur absrace ș a vareățlor deerae de acese coplee au fos folose la elaborarea uu algor efce de calculare a edae care u depde de erca spațulu respecv Algorul respecv a fos geeralza peru cazul uu sse arbrar de poder ale vîrfurlor copleulu de cubur absrace ș u depde de lugle uchlor ce forează o clasă de uch paralele d cople; 63

264 Recoadăr Țe să eţoă că rezulaele prezeae î eză servesc drep bold peru efecuarea cerceărlor uleroare legae de suderea obeculu def ca cople de relaţ ul-are Î vzuea auorulu prezţă eres peru eaărle uleroare uele aspece legae de dezvolarea eoreco-aplcavă a drecţe propuse de cerceare: de eaa î ce od se odfcă eora elaboraă î eză î cazul uu cople f de relaţ ul-are; de suda copleul de cubur absrace pr roducerea ue operaţ specale de ragulare geeralzaă a cuburlor Ce s-ar îâpla î aces caz cu grupurle de oolog ale copleulu?; 3 de def o coveae geerală pe copleul de relaţ ul-are ş de sabl legăura acesea cu coveăţle defe î fecare dre spaţle erce R d ) ; 4 de verfca î ce ăsură se respecă rezulaele obţue la suderea copleulu de cubur absrace î cazul uor ale pur de coplee de eeplu î cazul uu cople de poledre absrace 64

265 BIBLIORAFIE Kasuro Saa eoerc Aspecs of eeral Topology Sprger 3 533p Deer J raphs Newors ad Algorhs Sprger 3 675p 3 Ala B Hypergraph Theory A Iroduco Sprger 3 9p 4 Bause HJ Cobaoral foudao of hoology ad hooopy Berl: Sprger Berge C raphs ad hypergraphs New-Yor: Elsever Berge Hypergraphs: cobaorcs of fe ses Norh-Hollad Aserda p 7 Dscree ad Topologcal Models Molecular Bology eds Joosa N) Sprger 4 8 Börer A Topologcal ehods I Hadboo of Cobaorcs eds Rrahf Mroschel LLovasz) Norh Hollad Aserda 995 p Börer A ad Zegler M Iroduco o reedods Marod applcaos ed NWhe) Lodo: Cabrdge Uv Press 99 p Börer A Las Vergas M Surfels B Whe N ad Zegler M Oreed Marods vol 46 of Ecyclopeda of Maheacs ad s Applcaos Cabrdge Uv Press 993 Bollobas B O geeralzed graphs Aca Mah Acad Sc Hug p Bollobas B Moder raph Theory USA MN ae heory ad busess applcaos eds Kalya Ch ad Wlla S) New Yor: Sprger 4 49p 4 Bolyas V Mar H Sola P Ecursos o Cobaoral eoery Berl: Sprger Buac M Clasfcarea vareățlor absrace oreable uldesoale fără bordur Aalele Șfce ale USM Sera Șțe fzco-aeaceˮ Chșau 3 p Ala Ee Huy L Nguye Fro raph o Hypergraph Mulway Paro: Is he Sgle Threshold he Oly Roue? h Aual Eur Syp Wroclaw Sepeber 8-4 Proceedgs Lecure Noes Copuer Scece Vol p Caaracuc S -cople de relaț ul-are Aalele şţfce ale USM Sera Şţe fzco-aeaceˮ Chşău 6 p 9-8 Caaracuc S Sola P Hpergrafur ș oologle lor Ieraoal Coferece Treds he Develope of he Iforao ad Coucao Techology Educao ad Maageeˮ March - 3 Chșău p Caaracuc S Buac M Sola P O he Dvso Cubes of Absrac Mafolds Buleul Acadee de Şţe a Republc Moldova Sera Maeaca r 5) Chşău 6 p

266 Caaracuc S Scrpc M Sola P Abou he eda does o deped o he space erc The 3-h Aual Cogres of he Aerca Roaa Acadey of Ars ad Sceces ARA) Proceedgs Chşău July 5-5 p 58-6 Caaracuc S Scrpc M Sola P A erc space wh depede eda Aals of he Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approao ad Covey vol3 Clu-Napoca 5 p 3- Caaracuc S The cople of paralleleppeds ad he 3-desoal ree The 33-rd Aual Cogres of he Aerca Roaa Acadey of Ars ad Sceces ARA) Proceedgs Sbu Roaa July -7 9 vol II p Buac M Caaracuc S Sola P O he proprees of Muldesoal Torus The XIV Coferece o Appled ad Idusral Maheacs dedcaed o he 6 h aversary of he foudao of he Faculy of Maheacs ad Copuer Scece of Moldova Sae Uversy CAIM 6 Chşău Augus p Dewdey AK Degree sequeces coplees ad hypergraphs Proc A Mah Soc p Checal applcaos of opology ad graph heory eded by RBKg Elsever Dodso CTI Lo R Hypergraphs hooopy ad eghbourhood hoology Ars Co 6-A 983 p Dower CH Hoology groups of relaos Aals of aheacs vol 56 o 95 p Erdos P O ereal probles o graphs ad geeralzed graphs Israel J Mah 964 p Frsch R Frsch Pesche E The four-color heore Berl: Sprger Гантмахер ФР Теория матрицмосква: Наука c 3 houla-hour A Caracersao des arces oalee uodulares C R Acad Sc Pars) 54 96) p Hlo PI Wyle S Hoology Theory: A roduco o Algebrac opology Cabrdge: Cabrdge Uversy Press Hoffa AJ Krusal JB Iegral boudary pos of cove polyhedra A of Mah Sudes 8 Prceo: Prceo Uv Press 956 p Hall M Cobaoral Theory Secod edo Joh Wley & Sos p 35 Hurewcz W Walla H Deso Theory Prceo: Prceo Uv Press Jaes R Mures Topologcal Resuls Cobaorcs Mchga ah J p

267 37 Keosh Yuo Asush Isya Ichawa Ara Dscree cobaoral geoery Paer Recogo vol o p Kleee S C Maheacal Logc New Yor: Wlez Kaser B Kuraows K Mazuraevcz S E Bewes des Fpusazes fur -desoale Splee Fuda Mah 4 99) pp Курош АГ Курс высшей алгебры Mосква Наука с 4 Курош АГ Лекции по общей алгебре Mосква Наука 973 4с 4 Lag S Algebra Revsed hrd edo New Yor: Sprger 43 Lovasz L O chroac uber of fe ses syse Aca Mah Acad Sc Hug 9: - 968) p Mar H Sola P O he Hoologes of Muly-ary Relao JCMCC 45 3) p Melcov O Tyshevch R Yeelchev V Sarvaov V Lecures o graph heory Mahe BT-Wss-Vell Meyer JC uelques problee cocera Ies clques des hypergraphes h-coples e q- par h-coples Hypergraph sear Berge Ray-Chaudhur eds) Lecure Noes Mah 4 Sprger-Verlag 974 p 7-39 ad p Mosl rgore Lecț despre logca rațoaeulu uața Bucureș: Edura Şţfcă ş Ecclopedcă p 48 Na RN Rao SB Shrhade SS Sgh NW Iersseco graphs o -ufor lear hypergraphs Eur J Cob 3 98 p Olver R Fed-po ses of group acoso o fe acclc coplees Coe Mah Helvec 5 Brhauser Verlag Basel 975 p Padberg MW Toal uodulary ad he Euler subgraph proble Operaos Research Leers p Pocare H Coplee a l'aalyss sus Red Crc Palero p Понтрягин Л С Основы комбинаторной топологии Москва 986 с 53 Rgel erhard Map Color Theore Berl-Hedelberg-New-Yor: Sprger-Verlag Рышков СС О комбинаторной топологии в гильбертовом про странстве Успехи Математических Наук 958 том 3 выпуск 48) c Рышков СС Инвариантность бесконечномерных групп гомологии Труды III Всесоюзного математического съезда тiv Москва Roa JJ A roduco o algebrac opology New-Yor: Sprger-Verlag Sauders MacLae Hoology Berl: Sprger

268 58 Sola P O he Hoologes of Muly-ary relaos ad Oreed Hpergraphs Sud î eode de aalză uercă ș opzare vol r 3) Chșău p Sola P Preleger selecae d eora grafurlor Chșău: USM 6 Солтан ПС Замбицкий ДК Присакару КФ Экстремальные задачи на графах и алгоритмах и алгоритмы их решения Кишинев Штиинца c 6 Spaer EH Algebrac Topology Berl: Sprger 966 5p 6 Telea C Eleee de opologe ș vareăț dferețable Bucureș: Edura Ddaccă ș Pedagogcă 964 9p 63 Математическая Энциклопедия T Математическая Энциклопедия T Toescu I Sur le problée du colorage des graphes gééralsés C R Acad Sc Pars) 67: 6 968) p Tue WT Lecures o arods J Research Na Bureau of Sadards B69: - 965) p Tuza Z Crca hypergraphs ad ersecg se-par syse J Cob Theory B p Veble O Aleader JW Mafolds of -desos A of Mah )4 93 p Volosh VL O he upper chroac urber of a hypergraph Ausrala Joural of Cobaorcs 995) p Wyle S Algebrac eoery ad Topology Lefschez sypozu p Зыков АА Гиперграфы Успехи математических наук Т9 68) Москва 974 с Caor eorg Uber ee Egeschaf des Ibergrffes aller reele algebrasche Zahle Joural fur de Ree ad Agrewade Mahea 77874) p Berrad Russell The Prcples of Maheacs 93 ole e: far-useorg/berradrussell/he-prcples-of-aheacs/) 74 Whehead Alfred Norh & Berrad Russell Prcpa Maheaca 3 vols Cabrdge: Cabrdge Uversy Press 9 9 ad Bourba N Theore des esebles Pars: Hera Емеличев ВА Ковалев ММ Кравцов МК Многогранники графы оптимизация Москва Наука с 77 Heller I Tops CB h A Eeso of a Theore of Dazg s; Kuh HW Tucer AW Lear Iequales ad Realaed Syses Aals of Maheacs Sudes 38 Prceo NJ): Prceo Uversy Press 956 p

269 78 Caaracuc S Nculță A Aspece algorce ale eoree grafurlor Parea I Chșău: CEP USM 6 44p 79 Еременко ЮИ Глущенко АИ Автоматизация решения задачи учета преемственности дисциплин при составлении учебных планов ИВР o4 8 p Harary Fra raph Theory Addso-Wesley Pub Co p 8 Caaracuc S Holba MThe Pco's forula geeralzao Copuer Scece Joural of Moldova vol5 o43) 7 p Teodor Toadere rafe: eore algor ș aplcaț Clu-Napoca: Edura Albasră 9 97p 83 Ray-Chaudhury DK A algorh for a au cover of a absrac cople Caad J Mah 5: 963 p Erdős P alla T O he al uber of verces represeg he edges of a graph Publ Mah Is Hugar Acad Sc 696) p Erdős P Haal A O croac uber og graphs ad se-syses Aca Mah Acad Sc Hug 7:- 966 p Karv O Ha S A algorhc approach o ewor Locao Probles The p-edas SIAM Joural o Appled Maheacs ) p Герман ЛФ Зыков АА Замбицкий ДК Присакару КФ Лазовану ДД Графы гиперграфы и дискретные оптимизационные задачи Кишинев: Штиинца 98 99с 88 ale D A heore o flows ewors Pacfc J Mah vol o p Ryser HJ Cobaoral properes of arces of zeros ad oes Caad J Mah p Lovasz L raphs ad se syses Beräge zur rapheheore Teuber 968 p Robers F Tesa B Appled cobaorcs d ed) Chapa ad Hall/CRC 9 848p 9 Oley Jaes J Marod heory Oford graduae es aheacs Oford Uversy Press 6 93 Maghou Kh Sur la deeraodes des obres de sable e du obre chroac d u graph CRAcadSc Pars 48:5959) p Whey Hassler O he absrac properes of lear depedece Aerca Joural of Maheacs The Johs Hops Uversy Press) 57 3): p Mac Lae S Soe erpreaos of absrac lear depedece ers of proecve geoery Aerca Joural of Maheacs The Johs Hops Uversy Press) 58 ): Va der Waerde B L Modere Algebra

270 97 Tue WT Marods ad graphs Trasacos of he Aerca Maheacal Socey Aer Mah Socey) 9 3): Tue WT Lecures o arods Joural of Research of he Naoal Bureau of Sadards USA) Sec B 69: Tue WT Iroduco o he heory of arods Moder Aalyc ad Copuaoal Mehods Scece ad Maheacs 37 New Yor: Aerca Elsever Publshg Copay 937 Tue WT A hooopy heore for arods I Trasacos of he Aerca Maheacal Socey 88: Tue WT A hooopy heore for arods II Trasacos of he Aerca Maheacal Socey 88: Crapo Hery H The Tue polyoal Aequaoes Maheacae vol3 r3 969 p- 9 3 Brylaws Thoas H A decoposo for cobaoral geoeres Trasacos of he Aerca Maheacal Socey Aerca Maheacal Socey) vol797 p Seyour Paul D Decoposo of regular arods Joural of Cobaoral Theory Seres B 8 3) 98 p Welsh DJA Marod Theory LMS Moographs 8 Acadec Press Welsh DJA Marod Theory Dover Publcaos 433p 7 Wlso RJ A roduco o arod heory The Aerca Maheacal Mohly vol8 o5 May 973) p Асанов МО Баранский ВА Расин ВВ Дискретная математика: графы матроиды алгоритмы СПб:Издательство "Лань" 368с 9 Пак ИМ Постников AE Трансверсальные матроиды и страты на грассманиане Функциональный анализ и его приложения 9: 995 с84-88 Hall Phlp O represeaves of subses J Lodo Mah Soc o ) 935 p6-3 Солтан ВП Введение в аксиоматическую теорию выпуклости 984 Кишинев: штиинца с Kozlov Dry Cobaoral Algebrac Topology Sprger-Verlag 8 389p 3 Александров ПС Пасынков БА Введение в теорию размерности Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности Москва: Наука c 4 Hady A Taha Operaos Research: A Iroduco Prece Hall 838 p 7

271 5 Савельев ИВ Симплициальные комплексы и линейчатые многообразия Мат заметки 99 том 5 выпуск с Chrsofdes Ncos RAPH THEORY: A Algorhc Approach Acadec Press Icorporaed Algorhs 4 p 7 Buac M The Muldesoal Dreced Euler Tour of Cubc Mafold Buleul Acadee de Șțe a Republc Moldova Sera Maeaca r 5) Chșău 6 p 5-8 Kőg Dées ráfo és alalazásu a deeráso és a halazo eléleére Maeaa és Terészeudoáy Éresíő p Lovász László Noral hypergraphs ad he perfec graph coecure Dscree Mah 97 3) p53-67 Body JA Mury USR raph Theory wh Applcaos Norh Hollad New-Yor p Fard Sara The face deal of a splcal cople Mauscrpa Mah 9 ) p Fard Sara Splcal rees are sequeally Cohe-Macaulay Joural of Pure ad Appled Algebra 9 3) p-36 3 Caaracuc S Nculță A Novac L Aspece algorce ale eore grafurlor Parea II Chşău: CEP USM 74 p 4 Ushaov A Myasov A Shplra V No-couave Crypography ad Copley of roup-heorec Probles Aer Mah Soc 385p 5 Cooper L Locao-allocao probles Operaos Research 963) p Blahu Rchard E Theory ad pracce of error corol codes Addso-Wesley Pub Co 983 5p 7 Hag Rchard W Dgal Flers Prece Hall 977 6p 8 Plcher CD Wog JK Plla SK Iferrg HIV rassso dyacs fro phylogeec sequece relaoshps 8 do:37/ouralped569 9 Caaracuc S Sola P Cople of absrac cubes ad eda proble Copuer Scece Joural of Moldova vol9 o55) p Caaracuc S Sola P Absrac coplees her hoologes ad applcaos Buleul Acadee de Șțe a Republc Moldova Sera Maeaca Chșău r 63) p Катаранчук С d-выпукло простые планарные графы Исследования по численным методам и теорет Кибернетике Кишинев: Штиинца 985 с

272 3 Катаранчук С d-выпукло простые двудольные графы Исследования по общей алгебре геометрии и их приложения Кишинев: Штиинца 986 с Катаранчук С Строение и изоморфизм d-выпукло простых графов Оптимизация и обработка данных Кишинев: Штиинца 987 с Катаранчук С Солтан В d- выпукло простые и d-выпукло квазипростые планарные графы Деп в МолдНИИНТИ Кишинев с 35 Катаранчук С О свойствах вершин d-выпукло квазипростого планарного графа Деп в МолдНИИНТИ 3 Кишинев с 36 Катаранчук С Об одном классе планарных d- выпукло квазипростых графов Деп в МолдНИИНТИ 4 Кишинев с 37 Катаранчук С Вершинная разборка d-выпукло квазипростых планарных графов Деп в МолдНИИНТИ Кишинев 988 с 38 Катаранчук С d- выпуклые множества графов Исследования по прикл матем и информ Кишинев: Штиинца 99 с Катаранчук С Чепой В Классы d-выпукло простых графов Исследования по прикл матем и информ Кишинев: Штиинца 99 с 97-4 Катаранчук С О выпуклой простоте графов Автореферат на соискание учѐной степени доктора физ-мат наук Минск 99 4 с 4 Caaracuc S Sola P hera L Cepo V Coveaea geeralzaă ş aplcaţle e Lucrărle coferțe pregăoare peru Cogresul aeacelor roâ de preude Bucureş 3-5 oebre99 p Caaracuc S Sola P A sple gaes of a cople of ulary relaos Aalele Faculăţ de Maeacă ş Iforacă vol 3 r) Chşău p Caaracuc S Modelul aeac al problee de deerare a ulţ sable eror ae Aalele Faculăţ de Maeacă ş Iforacă Uversaea de Sa d Moldova vol 5 Chşău 3 p Caaracuc S Sola P Abou he auoorfs of cellular cople ad fed elee Secod Coferece of he Maheacal Socey of he Republc of Moldova Chşău Augus p Caaracuc S Vcol N Ccloac ubers of a class of cople of ul-ary relao Secod Coferece of he Maheacal Socey of he Republc of Moldova Chşău Augus p

273 46 Caaracuc S Vcol N The geeral cople of ul-ary relaos Aals of he Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approao ad Covey vol Clu- Napoca 4 p Caaracuc S Sur N Ivolvg d-cove sple ad quas-sple plaar graphs R 3 Copuer Scece Joural of Moldova vol3 o 38) 5 p Caaracuc S Prsacaru Ch Cerceăr î doeul opologe cobaorce ulţlor covee eore grafurlor hpergrafurlor ş aplcaţlor acesora Eleee de sore a aeac ş aeaca î Republca Moldova coordoaor: M Cobau I Valuță) Chşău 6 p Caaracuc S Abou coecvy of geeral coplees of ul-ary relaos The XIV h Coferece o Appled ad Idusral Maheacs Saele Coferece of ICM 6) Chșău Augus p Caaracuc S Hâcu B Sola P Realzăr î suderea srucurlor aeace odere Aalele şţfce ale Uversăţ de Sa d Moldova Sera Şţe reale Lucrăr de seză Chşău 6 p Caaracuc S A algorh for deerao of he eda depede o he erc of he space Aals of he Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approao ad Covey vol4 Clu-Napoca 6 p 3-5 Caaracuc S Zgureau A Marcele de relaţ ul-are ş uerele pre î crparea foraţe Suda Uversas Sera:Şţe eace ş ecooce r757) p-6 53 Caaracuc S Buac M Sola P The Proble of Esece of he -Desoal Dreced Euler Tour of Cubc Mafold wh Pozv eus Aals of he Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approao ad Covey vol 5 Clu- Napoca 7 p Caaracuc S The sables ses of a cople of ul-ary relaos ad s applcaos KEPT-7 Kowledge egeerg: Prcples ad echques vol I Clu-Napoca: Babeş-Bolya Uversy 7 p Caaracuc S Merca copleulu cubc absrac Modelare a-că op-re ş eholog f-le Maeralele coferţe -le Chşău 9- are 8 p 5-56 Caaracuc S Buac-Lesz M Sola P The Euler our of -desoal afold wh posve geus Buleul Acadee de Șțe a Republc Moldova 8 r 57) p-3 57 Caaracuc S Sur N Abou dreced d-cove sple graphs Copuer Scece Joural of Moldova vol6 o348) 8 p

274 58 Caaracuc S Sola P The geeralzed cople of ul-ary relaos ad s hoology Aals of he Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approaos ad Covey vol 6 Clu-Napoca 8 p Caaracuc S The absrac cople of uldesoal relaos Seve Worshop o Maheacal Modelg of Evroeal ad Lfe Sceces Probles Cosaza -5 ocober 8 p- 6 Caaracuc S Srucur aeace ș rolul acesora î soluțoarea probleelor pracce Cof ș-că Ierferețe uversare egrare pr cerceare ș ovare Chșău 5-6 sepebre hp://usd/wp-coe/uploads//9/teul-coucar3pdf 6 Caaracuc S Sola P The eda of he -desoaal absrac ree Aals of he Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approaos ad Covey vol7 Clu-Napoca 9 p Caaracuc S A eda of he absrac hoogeeous cubcal coplee Maheacs ad Iforac Techologes: Research ad Educao MITRE 9) Chşău 9 p Caaracuc S Sola P The geeralzed cople of ul-ary relaos ad s applcao aspecs Ieraoal Scefc Coferece «Дискретная математика алгебра и их приложения» 9- oc 9 Ms Belorusa p Caaracuc S Sur N rafur d-cove sple ş quassple Moografe Chşău: CEP USM 9 p 65 Caaracuc S Locao proble for a cople of absrac -polyops The s Coferece o Appled ad Idusral Maheacs CAIM - 3 Buchares Sepeber 9-3 Boo of absracs p79 66 Caaracuc S Meda s calculao of he cople of absrac cubes The 8 h Coferece o Appled ad Idusral Maheacs CAIM Iaș Ocober 4-7 p-3 67 Caaracuc S Zgureau A Ecrypo Syses Based o Muldesoal Mares Aals of he Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approaos ad Covey vol 8 Clu-Napoca Roâa p Caaracuc S -Desoal Hoogeeous Tree o Absrac A-oral Cubes Acual probles of aheacs ad foracs Scefc Coferece dedcaed o he 8-h aversary of he foudao of he Traspol Sae Uversy 4-5 sep p Caaracuc S The cubcal absrac ree ad s eda Maheacal odellg of vroeal ad lfe sceces probles Bucureș: Ed Acad Roâe p Caaracuc S Trasversale îr-u cople de cubur absrace Suda Uversas Sera: Şţe eace ş ecooce r4) p

275 7 Caaracuc S Hoogeeous cople of -desoal absrac cubes ad rudy fuco Maheacs & Iforao Techologes: Research ad Educao Ieraoal Coferece MITRE- Chşău augus -5 p Caaracuc S Задача Вебера для -мерного кубического комплекса со взвешенными вершинами Proceedgs of he Ieraoal Cogress o Copuer Scece: Iforao Syses ad Techologes Ms Oc 3 Nov 3 vol p Avella P Sassao A Vasl'ev I Copuaoal sudy of large-scale p-eda probles Mah Progra Ser A 9 7 p Caaracuc S Coveaea splă a grafurlor oreae Coferţa Ieraţoală Modelare aeacă opzare ş eholog foraţoale Edţa III Chşău 9-3 are p Caaracuc S Colorg of he Splcal Cople ad he rudy Fuco The 4-h Ieraoal Coferece of Scefc Papers Scefc Research ad Educao he Ar Force PROCEEDINS Braşov Roâa May 4-6 p Caaracuc S Opal sraegy a sple gae o a splcal cople The 3h Ieraoal Coferece o Maheacs ad s Applcaos - ICMA Absracs Noveber -3 Polehca Uversy of Tşoara p 7 77 Caaracuc S Vareăț absrace uldesoale degeerae Suda Uversas Sera: Şţe eace ş ecooce 3 r6) p - 78 Caaracuc S The eda calculao for a EBP-graph I cof Dscree aheacs graph heory ad her applcaos DIMA-3) Ms Belorusa oveber -4 3 p Caaracuc S Covey a cople of absrac cubes Maheacs & Iforao Techologes: Research ad Educao Ieraoal Coferece MITRE-3 Chşău 3 augus 8- p Caaracuc S Meda calculao for heerogeous cople of absrac cubes Copuer Scece Joural of Moldova vol o6) 3 p -4 8 Bula M Caaracuc S Zgureau A Mulț de relaț ul-are ș crparea forațe Moografe Chşău: CEP USM 3 p 8 Caaracuc S Arbor de relaț ul-are Coferța Ierațoală Modelare aeacă opzare ș eholog forațoale Edţa IV Chşău 5-8 are 4 Proceedgs vol I p Bodaruc Caaracuc S Search ree-based approach for he p-eda proble Copuer Scece Joural of Moldova vol o64) 4 p

276 84 Caaracuc S Locao probles o coplees of cubes wh weghed verees The h Coferece o Appled ad Idusral Maheacs dedcaed o acadeca M Cobau) Chșău Augus -5 p Bouo CL N a gae wh a coplee aheacal heory Aals of Maheacs 3/4) 9/ p Курант Р Робинс Г Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов Москва: Просвещение 3-е изд 568с 87 Mlvag-Jese BCA Cobaoral aes Theory ad Applcaos Thess IT Uversy of Copehage 88 Александров П С Введение в теорию групп Москва: Наука 98 43с 89 Шашкин Ю А Эйлерова характеристика Популярные лекции по математике Москва: Наука Т с 9 Euler L Deosrao oullaru sgu propreau qubus solda hedrs plas clusa su praeda Nov Coear Acadeae Scearu Peropolaae 4: Prezeaă la Acadea d Sa Peersburg la 6 aprle 75 Opera Oa 6): 94 8) Î egleză: Proof of Soe Noable Properes wh wch Solds Eclosed by Plae Faces are Edowed) 9 Eppse Davd Twey Proofs of Euler's Forula: V-E+F= hp://wwwcsucedu/~eppse/uyard/euler/ lucrare prezeaă la 3 ue 3) 9 Kocheov Y Aleseeva E Levaova T Loresh M Large eghborhood local search for he p-eda proble Yugoslav Joural of Oper Res vol 5 5 o p Fulo Wlla Iroduco o orc varees Prceo Uversy Press 993 p 4 94 Saae Ichrô O a geeralzao of he oo of afold Proc Nal Acad Sc USA p Boleau Mchel Mallo Sylva ad Por Joa Three-desoal orbfolds ad her geoerc srucures Paoraas ad Syheses 5 Socéé Mahé de Frace 3 67p 96 Boleau Mchel Leeb Berhard Por Joa eoerzao of 3-desoal orbfolds Aals of Maheacs 6 5 p Cooper Daryl Hodgso Crag ad Kerchoff Seve Three-desoal orbfolds ad coe-afolds MSJ Meors 5 Maheacal Socey of Japa Toyo 7 p 98 Davs Mchael W Lecures o orbfolds ad refleco groups hps://peopleahosuedu/davs/papers/lecures%o%orbfoldspdf 34 p 99 Ade Aleadro Klaus Mchele Lecures o orbfolds ad group hoology hp://wwwahubcca/~ade/hagzhoupdf p 76

277 Hao Dg Equvalece of wo ds of orbfold Euler characersc Arch Mah 97 ) p E-publshed: hp://lsprgerco/arcle/7%fs #page-) Зейферт Г Трельфалль В Топология Москва 448 с Kurzwel Has Sellacher Berd The heory of fe groups Uverse Berl New Yor: Sprger-Verlag p 3 Винберг ЭБ Курс алгебры Москва: Факториал Пресс 544 с 4 Lag S Iroduco o dffereable afolds Sprger-Verlag-New Yor 5 p 5 Freeda MH u F Topology of 4-Mafolds Prceo Uversy Press 99 59p 6 Lee JM Iroduco o Topologcal Mafolds Sprger-Verlag 49 p 7 Massey WS Algebrac Topology: A Iroduco Sprger-Verlag p 8 Mures JR Topology Prece Hall 537 p 9 Zooroda Afra J Topology for copug Cabrdge Uversy Press New-Yor 5 43 p Marsde Jerrold E Rațu Tudor Abraha Ralph Mafolds Tesor Aalyss ad Applcaos 3 rd edo Sprger-Verlag Publshg Copay Ic New-Yor 7 64p Математическая Энциклопедия T 979 Buac M Sola P The absrac uldesoal varees ad her classfcao Revue d aalyse uerque e de heore de l approao vol33 Clu-Napoca 4 r p Замбицкий ДК Солтан ПС Об одной экстремальной задаче на дереве В кн Математические методы решения экономических задач Вып Москва Наука 989 с-7 4 Солтан П С Присакару К Ф Задачи Штейнера на графах Доклады Акад Наук СССР 97 T 98 Nr c Hag Rchard W Error deecg ad error correcg codes Bell Syse Techcal Joural 95 o 9) p Bolyasy V Efreovch V Iuve Cobaoral Topology Berl: Sprger 5 p 7 Болтянский В Ефремович В Наглядная топология Москва: Главная редакция физико-математической литературы c 8 Buac M Sola P O he absrac ad oreed varees Aals of he Tberu Popovcu Sear of Fucoal Equaos Approao ad Covey Clu-Napoca 4 vol p-6 77

278 9 reeberg Marv J ad Joh R Harper Algebrac Topology: A Frs Course Maheacs Lecure Noe Seres 58 Bea/Cugs Publshg Co Ic Advaced Boo Progra Readg Mass 98 3 p Hacher Alle Algebrac Topology Cabrdge: Cabrdge Uversy Press 553 p Mauder C R F Algebrac Topology Lodo: Va Nosrad Rehold p Tao o Dec T Algebrac opology EMS Teboos Maheacs Europea Maheacal Socey EMS) Zurch p 3 Вик Дж У Теория гомологий Введение в алгебраическую топологию Москва: МЦНМО 5 88 c 4 Swzer RM Algebrac Topology-hooopy ad hoology Sprger-Verlag 3 56 p 5 Novcov SP Taaov IA Moder eoerc Srucures ad Felds Aerca Maheacal Socey p 6 Mar Bader The rasposo eda proble s NP-coplee Theorecal Copuer Scece vol4 Issues -4 p 99-7 Whehead JHC Cobaoral hooopy I Bull Aer Mah Soc55949) p Whehead JHC Cobaoral hooopy II Bull Aer Mah Soc55949) p Whehead JHC Sple hooopy ypes Aer J Mah 7 95) p Мамфорд Д Красная книга о многообразиях и схемах Москва МЦМНО 7 96 с 3 Brya J Ferry S MoW Weberger S Topology of hoology afolds Aals of Mahs p Arowz M Iroduco o Hooopy Theory Sprger 3 p 33 Половинкин ЕС Балашов МВ Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа Москва: ФИЗМАТЛИТ 4 46 с 34 Sger I Absrac cove aalyss Caada Maheacal Socey seres of oographs ad advaced es New Yor: Joh Wley & Sos 997 Ic p Boyd Sephe P Vadeberghe Leve Cove Opzao Cabrdge Uversy Press 4 76 p 36 Berseas Dr Cove Aalyss ad Opzao Ahea Scefc 3 56 p 37 Hrar-Urruy J-B Learéchal C Fudaeals of Cove aalyss Sprger 4 69p 38 Kőg Dées ráfo és alalazásu a deeráso és a halazo eléleére Maeaa és Terészeudoáy Éresíő 96 vol34 p Kőg Dées ráfo és áro Maeaa és Fza Lapo 93 vol 38 p6-9 4 Lev F O Helly s heore ad he aos of covey J Ida Mah Soc 95 5 Par A p

279 4 Ells JW A geeral se-separao heore Due Mah J 95 9 p Haer PC eeral opology syery ad covey Tras Wscos Acad Sc Ars ad Leers p Haer P Sespaces ad he opology of covey I: Proc Syp Pure Mah Aer Mah Soc p Haer P Isooc spaces covey I: Proc Colloq Covey Copehage 965 Copehage 967 p Kay D Woble E Aoac covey heory ad relaoshps bewee he Caraheodory Helly ad Rado ubers Pacf J Mah r p Sersa Aoac covey heory ad he coveproduc-srucures Doc Dss Uv of roge 976 3p 47 Sersa Relaoshps bewee Caraheodory Helly ad Echage ubers of covey spaces Neuw arch ws r 3 p Болтянский В Солтан П Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств Кишинев: Штиинца 79с 49 Сергиенко ИВ Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации Киев: Наукова Думка с 5 Сергиенко ИВ Лебедева ТТ Roshch МА Приближенные методы решения дискретных задач оптимизации Киев: Наукова Думка 98 75с 5 Ковалев ММ Матроиды в дискретной оптимизации 3 4с 5 Ковалев ММ Градиентные методы максимизации выпуклых функций на дискретных структурах Кибернетика 985 N 6 с Meger K Uersuchuge uber Allgeee Merc I II III Mah A 98 S J de roo Soe Specal Mercs eeral Topology Collog Mah 958 v6 p Александров АД Залгаллер ВА Двумерные многообразия ограниченной кривизны Основы внутренней геометрии поверхностей) Тр МИАН СССР 63 Изд-во АН СССР М Л с 56 Torazos F Ierso de Espacos Mercos Coveos e E Mah Noae vol r - p Soees E Covey Busea Spaces Bull Soc Mah Belg 967 vol 9 - p Присэкару КФ Солтан РС О разбиении плоской области на выпуклые части и его применение Докл АН СССР 98 6 с

280 59 Echoff J Der Saz vo Rado ovee Produsruure I II Moash für Mah r4 s33 34; r s7 3 6 Jaso RE A geeral heory of covey Doc Dss Uv of Washgo va De Vel Marcel LJ 993) Theory of cove srucures Norh-Hollad Maheacal Lbrary Aserda: Norh-Hollad Publshg p 6 Kre M Šula V 94) O regularly cove ses he space cougae o a Baach space Aals of Maheacs ) 94 Secod seres 4 p Caaracuc S Vcol N Coveaea î grafur eoreae Blațul acvăț șțfce USM 3 p Hebbare S A Class of Dsace Cove Sple raphs Ars Cob-ca 979 vol 7 p Rao S Hebbare S Characerzao of Plaar Dsace Cove Sple raphs Proc Syp raph Theory ISI Calcua 976 p Bae M eodesc Subgraphs Jour of raph Theory 983 Vol7 p Катаранчук С О выпуклой простоте графов Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Кишинев 99 78с 68 Chrsofdes N raph Theory A Algorhc Approach Acadec Press Icorporaed 975-4p 69 Cocaye E J Hedee ST Towards a heory of doao graphs Newors 7 977) p Badel H Heredary-Modular raphs Cobaorca 988 vol8 - p olubc M ross P Perfec Elao ad Bpare Chordal raphs J raph Theory 978 vol p Howora E A Characerzao of Dsace-Heredary raphs uar J Mah 977 vol8 - p Badel H Mulder H Dsace-Heredary raphs J Coba Theory 986 vol4 - p Harary F Meler R Toescu I Dgal Mercs: A raph Theorecal Approach Paer Recog Le 984 vol -3 p Zor M A rear o ehod rasfe algebra Bulle of he Aerca Maheacal Socey 935 4) p Kuraows C Ue éhode d'élao des obres rasfs des rasoees ahéaques Fudaea Maheacae 9 3 p Jesse B Über ovee Puege osaer Bree Mah Z 98 9 S

281 78 Солтан В Некоторые вопросы аксиоматической теории выпуклых множеств ДАН СССР 98 66) с Лассак М Солтан В Об одной классификации метрических пространств с точки зрения d-выпуклости Мат Исследов Кишинев 975 вып 3 с9-6 8 Стоцкий ЭД О вложении конечных метрик в графы Сиб матем журнал с3-6 8 Taahash W A covey erc spaces ad oepasve appg I Koda Mah Se Rep 97) Тылкин МЕ О реализуемости матриц расстояний в единичных кубах Проблемы кибернетики 96 т7 с Каганов АВ Равномерные вложения графов в метрические пространства Компьютерные исследования и моделирование т 4 с Облаков КИ Облакова ТА Специальные вложения некоторых несвязных графов в трехмерное пространство Вестн Моск Ун-та сер математика механика стр raha RL O soerc ebeddgs of graphs Tras Aer Mah Soc p raha RL Polla HO O ebeddg squashed cubes I raph Theory ad Applcaos ed Y Alav e a) Lecure Noes Mah 33 Sprger New Yor 97 p99-87 Ford LR Fulerso DR Flows Newors Prceo Uversy Press 96 94p 88 Core Th Leserso Ch Rves R Se C The Ford Fulerso ehod Seco 6 Iroduco o Algorhs MIT Press ad Mcraw Hll p Core ThH Leserso ChE Rves RL Se C Iroduco o Algorhs MIT Press 9 3p 9 Bera P Karps M Zelovsy A A 3/-Approao Algorh for eeralzed Seer Trees Coplee raphs wh Edge Leghs ad Proc of he s Il Syp o Algorhs ad Copuao ISAAC ) Lecure Noes Copuer Scece 656 p5-4 9 Dear C Seer Mal Trees Sprger 998 3p 9 Rayod A Serway Joh W Jewe Physcs for scess ad egeers Thoso- Broos/Cole 4 384p 93 Volosh V Colorg Med Hypergraphs: Theory Algorhs ad Applcaos Aerca Maheacal Socey 8p 8

282 94 Rchard A Bruald Iroducory Cobaorcs Upper Saddle Rver NJ: Prece Hall 9 648p 95 Caaracuc S Topologa algebrcă a relațlor ul-are Moografe Chşău: CEP USM 5 8p 96 Caaracuc S Dsace fuco of -desoal adsrac cubes cople The d coferece o appled ad dusral aheacs CAIM - 4 Bacău Sepeber 8-4 p5 97 Toescu I Chroac coeffces of lear ufor hypergraphs J Cob Theory B) 7 998) Caaracuc S Euler characersc of absrac cubes cople Proceedgs of he Thrd Coferece of he Maheacal Socey of he Republc of Moldova Chşău Augus p Mro R Pop I Topologe algebrcăoologe ooope spaţ de acoperre Bucureş Ed Acad Roâe p 3 Aleadroff P Hopf H Topology Vol I Berl: Sprger Cara H Eleberg S Hoologcal Algebra Prceo: Uversy Press Berge C Theore des graphes e ses applcaos DUNOD Pars Александров ПС Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию Москва: Наука c 34 Baraya Z O he facorzao of he coplee ufor hypergraph Ife ad fe ses eds AHal RRado VTSos) Norh Hollad Aserda 975 p Болтянский ВГ Гомотопическая теория непрерывных отображений и векторных полей Тр МИАН СССР 47 Москва: Изд-во АН СССР c 36 Cobau M Mro R O cerceare auecă î opologa oderă Reflecț asupra corelațlor dre absrac ș real Aadeos r36) 5 p MroR Pş h Pop I O he Absrac Cech Cohoology Buleul Acadee de Șțe a Moldove Maeaca Nr66) p Jesús De Loera Rayod Heece Mahas Köppe Algebrac ad eoerc Ideas he Theory of Dscree Opzao SIAM 3 3p 39 udo Schafer Dscree Opzao Lecure Noes of he Maser Course VU Uversy Aserda 9p 8

283 DECLARAȚIA PRIVIND ASUMAREA RĂSPUNDERII Subseaul declar pe răspudere persoală că aeralele prezeae î eza de docora su rezulaul proprlor cerceăr ș realzăr șțfce Coșezez că î caz corar urează să supor cosecțele î coforae cu legslața î vgoare Caaracuc Sergu Seăura: Daa: 83

284 CURRICULUM VITAE fşa bografcă) INFORMAŢIE DE IDENTITATE Nue preue: Caaracuc Sergu Născu: sbuda-mare r-ul Adâcaa Hlboca) regcerăuţ Ucraa Ceăţee: Republca Moldova Sarea cvlă: Soţa Caaracuc Taaa 9 ue 959); Cop - Caaracuc Ma 5 aprle 983) Caaracuc El 4 ue 988) Agaa î servcu: Uversaea de Sa d Moldova sr Maeevc 6 Chşău MD-9 R Moldova e-al: scaaracuc@galco el ; Docla: Sr Teodorovc 38 Chşău Republca Moldova el5998 STUDII Faculaea de Maeacă ş Iforacă a USM ) Docorad la caedra Cberecă Maeacă a USM ) Cofereţar Uversar Chşău ue 997) TITLURI Docor î şţe fzco-aeace Ms Belorusa) oebre 99) DOMENII DE INTERES ȘTIINȚIFIC Opzare dscreă opologe aalza coveă eora grafurlor copleaea algorlor DISTINCŢII Laurea al Preulu Naţoal î doeul şţe ş ehc peru aul 4 84