VARIABILE ALEATOARE. este o mulţime infinită de numere reale.

Transcription

1 VARIABILE ALEATOARE DEFINIŢIE ŞI CLASIFICARE Itutv, o vrlă letore este o mărme cre î urm relzăr ue epereţe pote lu o vlore dtr-o mulţme e deftă (mulţme vlorlor posle) Vrl letore este o fucţe relă cre depde de rezulttul uu umt epermet: Defţe: Fe EKP,, spţu de proltte Fucţ : E se umeşte vrlă letore dcă: petru, e E e K (î otţe smplfctă, screm drect ) Oservţe: Mulţme vlorlor vrle letore, E, este o sumulţme mulţm umerelor rele ( E ), dcă vrl letore u este olgtoru o fucţe surjectvă Pr vrlele letore, uu feome supus uor crcumstţe letore se socză u umăr rel, dec se stleşte o corespodeţă ître spţul de selecţe E, covel les, ş Î prctcă este dfcl să găsm vlorle cestor corespodeţe, dr este posl să determăm cât de des sut lute ceste vlor (cu ce proltte) Astfel, putem def fucţ de reprtţe vrle letore : Defţe: Fe E, K, P spţu de proltte ş : E o vrlă letore Fucţ F :, deftă pr: F P ee e, cu se umeşte fucţ de dstruţe (su de reprtţe) vrle letore F P ) (prescurtt, se scre: Oservţe: Determre, petru proltăţ cu cre vlor m mc decât îsemă găs (def) fucţ de reprtţe petru Clsfcre vrlelor letore se fce după propretăţle mulţm E : ) VA de tp dscret dcă E este mulţme cel mult umărlă: - E ftă VA dscretă smplă - E ftă dr umărlă VA dscretă cu o ftte de vlor ) VA de tp cotuu dcă E este o mulţme ftă de umere rele VARIABILE ALEATOARE DISCRETE SIMPLE O vrlă letore dscretă smplă este o fucţe relă le căre vlor sut lute cu proltăţle corespuzătore uu sstem complet de evemete: Cosderăm o epereţă ş legt de cest u sstem complet de evemete A Defm fucţ pe cest sstem complet de evemete ş o reprezetăm pr telul de socere (perech ordote) umt tloul de reprtţe l vrle letore :, cu p ş p p p p ude umerele se umesc vlorle vrle letore r p P A P P ee e ) ceste vlor (se m pote scre: Coveţ: Î tloul de reprtţe se trec vlorle dstcte le vrle letore; Î tloul de reprtţe NU se trec vlorle lute cu proltte p sut proltăţle cu cre vrl letore

2 Ateţe!! Două vrle letore socte uor ssteme complete de evemete dferte (petru o ceeş epereţă) pot ve tloul de reprtţe detc, deş vrlele letore u sut celeş Eemplu: Cosderăm epereţ rucăr uu zr ş două ssteme complete de evemete, defte stfel: A : se cordă puct petru fţ su B : se cordă puct petru fţ su 6 A : se cordă pucte petru fţ 3 su 4 B : se cordă pucte petru fţ su 5 A 3 : se cordă 3 pucte petru fţ 5 su 6 B 3 : se cordă 3 pucte petru fţ 3 su 4 Vrlele letore corespuzătore celor două ssteme sut (petru A ) ş Y (petru 3 3 ş respectv: Y Deş tloul de reprtţe este celş, vrlele letore ş Y u sut egle (de eemplu, Y 6 ) 6 3 ş Fucţ de dstruţe (reprtţe): Fe vrl letore dscretă smplă, cu tloul de reprtţe: (cu p ş p p p p ) Atuc fucț F :,, deftă pr relț: ( ) reprtțe vrle letore B ): F P ee e se umește fucț de, p, p p, 3 p p p3, 3 4 F ( ) p j, j, Propretăţ: Fucţe mărgtă (vlore mmă este, ce mmă ) F este o fucţe treptă, cotuă l drept (ş dscotuă l stâg) î puctele, cu sltur egle cu î ceste pucte Este edescrescătore ( F F dcă ) p Oservţe: Î defre fucţe de dstruţe se pot folos ş egltăţle, cee ce este corect dr duce l modfcre tpulu de cotutte (î cest cz, F este cotuă l stâg ş dscotuă l drept) Reprezetre grfcă: Orce vrlă letore dscretă smplă dtă pr tloul său de reprtţe se pote reprezet grfc pr polgoul său de reprtţe: pe scselor se trec vlorle vrle letore, r pe ordotelor se trec proltăţle Fucţ de dstruţe (reprtţe) ue vrle letore dscrete smple se pote reprezet grfc Eemplu: Se cosderă vrl letore dscretă smplă, cu tloul de reprtţe:

3 Determţ fucţ de dstruţe vrle letore ş reprezetţ grfc vrl ş fucţ e de dstruţe Fcet grfcele! F,, 3, 3 6, 3 4 7, 4 5 9, 5 6, 6 Vrle letore (dscrete smple) depedete: Fe vrlele letore dscrete smple ș Y cu tlourle de reprtțe: y y y m m, Y p p p q q q cu p, qj ş p qj m j ș Y se umesc depedete (î totltte lor) dcă evemetele ( ) ș ( Y y j ) cu, ș j, m sut depedete, dcă: P ( ),( Y y ) P ( ) ( Y y ) p q j j j Operț cu vrle letore dscrete smple: Fe vrlele letore dscrete smple, Y ș Z cu tlourle de reprtțe: y y ym z z zs, Y, Z p p p q q qm r r rs cu p, qj, r ş letore smple): m s p q r Putem def următorele operț (cre u c rezultt tot vrle j j Sum dtre o costtă ș vrl letore este vrl letore cre vlore câd vlore : p p p Produsul dtre o costtă ș vrl letore este vrl letore cre vlore câd vlore : p p p 3 Sum dtre două vrle letore ș Y este vrl letore cre vlore y j (câd vlore ș Y vlore y j ) cu proltte p j : 3

4 y y yj ym Y p p pj p m ude proltte p (, ș j, m ) este proltte relzăr smulte evemetelor ( ) ș j ( Y y j ) Altfel spus, pj P ( ),( Y yj ) P ( ) ( Y yj ) Oservțe: Dcă vrlele letore dscrete smple ș Y sut depedete, tuc pj p qj Sum se pote etde ș petru tre su m multe vrle letore dscrete smple: yz yz yj z ym zs Y Z p p pj p ms ude proltte p (,, j, m ș, s) este proltte relzăr smulte evemetelor j ( ), ( Y y j ) ș ( Z z ) Altfel spus, pj P ( ) ( Y yj ) ( Z z ) Oservțe: Dcă vrlele letore dscrete smple, Y ș Z sut depedete, tuc pj p qj r 4 Produsul dtre două vrle letore ș Y este vrl letore cre vlore y j (câd vlore ș Y vlore y j ) cu proltte p j : y y yj ym Y p p pj p m ude proltte p (, ș j, m ) este proltte relzăr smulte evemetelor ( ) ș j ( Y y j ) Altfel spus, pj P ( ),( Y yj ) P ( ) ( Y yj ) Oservț: Dcă vrlele letore dscrete smple ș Y sut depedete, tuc pj p qj ; Produsul se pote etde ș petru tre su m multe vrle letore dscrete smple 5 Rdcre l putere: vom um putere r ue vrle letore vrl letore cre vlore r câd vlore : r r r p p p 6 Alte operț cu vrle letore smple: Ivers ue vrle letore (cre vlor eule) este vrl cre vlore vlore (cz prtculr l rdcăr l putere -): câd Rportul două vrle letore ș Y (ude Y u vlor ule) este vrl Y cre vlore y j dcă vlore ș Y vlore y j (cz prtculr l îmulțr vrle cu vrl Y ) Eemplu: Fe vrlele letore dscrete ş Y, depedete, cu reprtţle: Să se clculeze: 3, 3, Y ş Y : 3 5 ş Y : 5 5 4

5 Rezolvre: ; ; ( ) ( ) ( ) Y ; ( ) ( ) ( ) Y VARIABILE ALEATOARE DISCRETE CU UN NUMĂR INFINIT (DAR NUMĂRABIL) DE VALORI Defre ş operţle cu vrle letore cu u umăr ft de vlor sut smlre cu cele de l vrle letore dscrete smple Deorece î reprtţ ue vrle letore dscrete r treu eumerte tote vlorle posle le vrle letore precum ş proltăţle corespuzătore, o vrlă letore cu u umăr ft de vlor se v f : reprezet cu jutorul fucţe de proltte f P p ude f 3 VARIABILE ALEATOARE CONTINUE Defţe: Fe EKP,, câmp orel de proltte Fucţ : E se umeşte vrlă letore dcă: petru, e E e K (î otţe smplfctă, screm drect ) Defţe: Fucţ F :, deftă pr: F P ee e, cu se umeşte fucţ de reprtţe vrle letore F P ) (prescurtt, se scre: Propretăţ: Fucţe mărgtă: lm F ş F lm F este cotuă l stâg : F F petru, ş re u umăr cel mul umărl de pucte de dscotutte de prm speţă Este edescrescătore ( F F dcă, petru, ) Defţe: Fe EKP,, câmp orel de proltte Cosderăm o clsă de vrle letore petru cre estă o fucţe f :, ce stsfce relţ: cu u umăr ft de pucte de dscotutte de prm speţă (dec tegrlă), F f t dt 5

6 F este fucţ de reprtţe vrle Atuc fucţ f se umeşte destte de reprtţe (su ude de proltte) vrle letore Oservţe: Dcă f este cotuă î, tuc F este dervlă î ş vem: F f Propretăţ: Fucţe poztvă: f, petru f t dt Dcă, ş F cotuă, tuc P f d Oservţe: Î czul vrlelor letore cotue, operţle defte petru vrle dscrete u lte forme de defre (cu jutorul destăţlor de reprtţe) 4 CARACTERISTICI NUMERICE (VALORI TIPICE) ALE VARIABILELOR ALEATOARE 4 MEDIA ue vrle letore: Czul dscret: Fe vrl letore dscretă smplă, cu p ş p p p Med vrle este umărul: p mm p p p p Petru (czul dscret cu o ftte de vlor umărle), ser p treue să fe covergetă!!! Czul vrlelor cotue: Fe vrl letore cotuă, cu Med vrle este tegrl mpropre: f mm f d (treue să fe covergetă) Petru,, med deve: m M f d Oservţe: Estă vrle letore cre NU AU MEDIE: Fe vrl letore dscretă, cu (este vrlă dscretă cu o ftte de vlor) Tloul repreztă o vrlă letore, deorece Deorece ser M este dvergetă, vrl letore u re mede Propretăţ le mede: ) vlore mede ue costte este eglă cu costt: c :, M c ) dcă este o vrlă letore dscretă smplă ş o costtă, tuc u loc relţle: M M ş M M 6

7 c) vlore mede ue vrle letore este cuprsă ître ce m mcă ş ce m mre dtre vlorle posle le vrle letore: M A (ude m ott m ş A m ) d) vlore mede ue sume fte de vrle letore este eglă cu sum vlorlor med le vrlelor letore respectve: M Y Z M MY MZ e) vlore mede uu produs de vrle letore depedete este eglă cu produsul medlor vrlelor cosderte: M YZ M MYMZ Ateţe!!! dcă vrlele letore u sut depedete, se clculeză vrl produs ş po med e, cu defţ f) Orcre r f vrl letore, re loc relţ: M M g) Iegltte lu Schwrz: Fe ş Y două vrle letore Are loc egltte: M Y M M Y 4 MOMENT INIŢIAL DE ORDIN ( ) l vrle letore : med lu Se oteză cu m su M su M Czul dscret: m M M p Oservţ: Czul vrle cotue f cu, : m M M f d Mometul ţl de ordul l vrle letore este: m M M Mometul ţl de ordul l vrle letore este chr med vrle: m M M 43 MOMENT CENTRAT DE ORDIN Î rport cu vrl letore, se umeşte momet cetrt de ord rportt l costt med vrle Petru M (costt este med vrle ), oţem mometul cetrt de ord l vrle : Czul dscret: M M M p Czul vrle cotue f cu, : M M m f d Oservţe: Vrl letore M se umeşte tere de l mede vrle letore De multe or l o vrlă letore e tereseză cât de mult se t vlorle vrle de l vlore mede Eemplu: Fe 4 4 mede (u sut împrăştte fţă de vlore mede), clculăm ş oţem M Oservăm că vlorle lu u dferă mult de 7

8 5 5 Fe Y 4 4 mede (sut forte împrăştte fţă de vlore mede), clculăm ş oţem M Oservăm că vlorle lu Y dferă mult de Cocluze: Treue să stlm u dctor umerc l împrăşter vlorlor vrle letore î jurul vlor med Vlore mede ter de l mede u pote crcterz cestă împrăştere deorece este NULĂ petru orce vrlă letore: M M M M M M M Vom crcterz împrăştere vlorlor vrle letore pr vlore mede terlor solute M pe cre o umm tere mede Dcă re tloul de reprtţe:, tuc reprtţ ter solute este: p p p m m m, ude m M, p p p r tere mede este: p m p m p m M m Folosre ter med este forte comodă î clcule, motv petru cre se foloseşte epres: 44 DISPERSIA vrle letore este mometul cetrt de ordul l vrle: D M m, ude m M Formul de clcul dsperse: M M Dspers este ce m uă vlore cre crcterzeză împrăştere vlorlor,,, su, ltfel spus, med vrle este puctul cel m potrvt fţă de cre treue să măsurăm deverle cestor vlor Propretăţ le dsperse: ) dspers ue costte este ulă: D c ) două vrle letore cre dferă prtr-o costtă u dspersle egle: Cosderăm vrlele letore ş Y M Y M M Atuc: ş clculâd dspers lu Y oţem: D Y D c) D D, dcă: D D Î prtculr, petru două vrle letore ş Y putem deduce: D Y D D Y d) dspers ue sume fte de vrle letore depedete (î totltte su două câte două) este eglă cu sum dsperslor: D Y Z D D Y D Z 45 Î prctcă u se foloseşte dspers, c tere mede pătrtcă: D D, cre re vtjul eprmăr pr celeş utăţ de măsură c ş vlorle vrle letore Propretăţ le ter med pătrtce: (rezultă d propretăţle dsperse) ) Dc, ude c ) D D c) D D 8

9 46 COVARIANŢA vrlelor letore ş Y : Cov, Y M M Y M Y su (formulă echvletă): Cov, Y M Y M M Y de ude se pote scre: D Y D D Y Cov, Y Oservţe: Dcă ş Y sut vrle letore depedete, tuc Cov, Y RECIPROC NU E ADEVĂRAT 47 COEFICIENTUL DE CORELAŢIE l vrlelor letore ş Y (cu ş Y ) este reprezett de umărul: Cov, Y Y, Y Propretăţ le coefcetulu de corelţe: Y, ) Dcă ş Y sut vrle letore depedete, tuc ) Petru orce vrle letore ş Y vem: Y, 3) Dcă petru două costte rele ş, vrl letore Y se pote scre: Y, tuc:, Y,, INEGALITATEA LUI CEBÂŞEV Fe o vrlă letore cre dmte mede ş dsperse fte Atuc, orcre r f, re loc egltte: P m, ude m M Oservţ: Acestă egltte dă o mrge feroră petru proltte c tere solută ue vrle letore cu dspers cuoscută să fe m mcă decât u umăr dt Pr eplctre egltăţ cu modul: m : m su echvlet: m m egltte lu Ceâşev pote f scrsă ş su form: Pm m 3 Estă ş o formă complemetră petru egltte lu Ceâşev, ş ume: P m Eemplu: Fe 3 4 Să se estmeze proltte P m TEOREMA 3 Cu o proltte cuprsă ître 8 9 ş, orce vrlă letore vlor cuprse ître m3, m 3 (ude m este med vlorlor vrle ş este tere mede pătrtcă) Dem: Î egltte lu Ceâşev luăm ş oţem: P m, su echvlet: 9

10 Pm m 8 Petru 3 oţem: Pm3 m Dec, cu o proltte cuprsă ître 88 ş, orce vrlă letore vlor cuprse ître m3, m 3 RELAŢIA DINTRE MOMENTELE INIŢIALE ŞI MOMENTELE CENTRATE petru o vrlă letore: Fe o vrlă letore petru cre otăm cu: m = med vrle ( M ) m = mometul ţl de ord (med vrle ) = mometul cetrt de ord (med vrle m ) Atuc orce momet cetrt de ordul se pote clcul î fucţe de mometele ţle de ord după formul: j j j C m m j j Eemplu: Petru, clculăm formul dsperse (mometul cetrt de ordul ) cu jutorul ceste formule: j j j C m m j Cm Cm mcm m j ş Ştm că: m M M m m M Îlocud ş formulele corespuzătore le comărlor, oţem: m m m m m M M D FUNCŢIA GENERATOARE DE MOMENTE ue vrle letore Se troduce petru smplfcre clculelor mometelor Defţe: Se umeşte fucţe geertore de momete ue vrle letore, vlore mede vrle t e, ude t t Notăm fucţ geertore de momete cu g :, dtă pr: gt M e Czul dscret: t t t t e e e Fe o vrlă letore dscretă, dec e r fucţ p p p p p p geertore de momete este Czul vrle cotue: Fe cu,, dec f t t g t M e e f d t t g t M e e p e t e f t, r fucţ geertore de momete este Propretăţ le fucţe geertore de momete: g Dcă,,, sut vrle letore depedete cu fucţle geertore de momete gt, gt,, g t, tuc fucţ geertore de momete vrle letore este g t gt g t g t

11 3 Dcă vrl letore dmte momete fte de orce ord, tuc g t t m! 4 (Formul geerăr mometelor ţle): Fucţ geertore de momete este de or dervlă î rport cu t ş g m (su g t t m) Czul dscret: Form dervte de ord fucţe oţem: g p m Czul vrlelor cotue: t g t e p este: t Form dervte de ord fucţe t cu oţem: g f dm t g t e p, dec îlocud pe t cu t g t e f d este: g t e f d, dec îlocud pe FUNCŢIA CARACTERISTICĂ ue vrle letore Se foloseşte tot petru clculul mometelor Defţe: Se umeşte fucţe crcterstcă ue vrle letore, vlore mede vrle t ş t Notăm fucţ crcterstcă cu g :, dtă pr: t M e Czul dscret: t t t t e e e Fe o vrlă letore dscretă, dec e p p p p p p crcterstcă este t t j t M e e pj j Czul vrlelor cotue: Fe cu,, dec f t t t M e e f d e t e f Importt: Petru orce putem scre: e cos s ş respectv: e cos s t t e, ude r fucţ, r fucţ crcterstcă este Puterle lu : Eemplu: Găsţ fucţ crcterstcă petru vrl letore dscretă: 5 5 Rezolvre: t t t e e Petru vrl letore, vem: e, dec putem scre fucţ crcterstcă: 5 5 t t t t t t M e e 5 e 5 5e e 5costs tcosts t 5cost cost t t Dec fucţ crcterstcă este: cos

12 Propretăţ le fucţe crcterstce: ) fucţ crcterstcă este o fucţe uform cotuă pe ) c) Dcă,,, sut vrle letore depedete cu fucţle crcterstce t, t,, t, tuc fucţ crcterstcă vrle letore este t t t t Cosecţe: c) Dcă Y, cu, ude,,, sut vrle letore depedete cu fucţle crcterstce t t t, tuc t t,,, Y c) U produs de fucţ crcterstce este tot o fucţe crcterstcă Î prtculr, dcă fucţ crcterstcă vrle letore, tuc t t fucţ crcterstcă vrle letore ş fe Y d) Fe e) Fe vrl letore ş t este tot o fucţe crcterstcă fucţ e crcterstcă Fe Y f) Dcă vrl letore dmte momete fte de orce ord, tuc t Atuc t t Y t Atuc t te Y t m! g) (Formul de legătură cu mometele ţle): Fucţ crcterstcă este de or dervlă î rport cu t ş m (su t t m) Czul dscret: Form dervte de ord fucţe cu oţem: t t e p j pj m j Czul vrlelor cotue: este: j j t j t e p j t este, dec îlocud pe t t Form dervte de ord fucţe t e f d este: t îlocud pe t cu oţem: t e f d m t e f d, dec

13 V dscrete (mulţme umărlă de vlor) REPARTIŢII CLASICE REPARTIŢIA POISSON (v Posso, lege evemetelor rre) O v re reprtţe Posso dcă fucţ e de proltte este de form: Fe f e, cu ş!, cu ş e! este fucţe de proltte deorece: ) f e (evdet)! f e e e e!! (m folost dezvoltre î sere Tylor petru e : e )!!!! ) Med ş dspers vrle : Med: M f e e e e e!!! Dspers: D M M M f e e e!!! Clculez M e M e M!! e e M Dec, D M M REPARTIŢIA PASCAL (v prmulu succes, reprtţ geometrcă) O v re reprtţe Pscl dcă tloul e de reprtţe este de form: 3 p p q p q p q, cu p, q ş p q ) f pq este fucţe de proltte deorece: pq (evdet petru p, q ) Ser puterlor re sum ş este covergetă petru (dec se plcă ş petru q ) ) Med ş dspers vrle : M pq pq p q p p q p p Med: q qq p p q q

14 Dspers: D M M Clculez M p q p q p q p q q p q q q qq q qq qq pq p q p p 4 q q q q q q q p p q 3 p 3 p Dec, q q D M M p p p V cotue O fucţe f, f : este destte de proltte dcă: f petru re u umăr ft de dscotutăţ (de prm speţă) este mărgtă f d (Prctc, se verfcă prm ş ultm codţe) REPARTIŢIA UNIFORM CONTINUĂ O v re reprtţe uform cotuă dcă fucţ e de proltte este de form: f,, f, cu,, este destte de proltte deorece: ) f (evdet petru ) f d d d d ) Med ş dspers vrle : Med: M f d d d d Dspers: D M M Clculez: M f d d d d Dec, D M M

15 REPARTIŢIA EPONENŢIALĂ NEGATIVĂ O v re reprtţe epoeţlă egtvă de prmetru dcă fucţ e de proltte (destte de proltte) este de form: f e, cu ş Fe ş ) f e, cu este destte de proltte deorece: e (evdet petru ş ) f d e d e d e ) Med ş dspers vrle : M f d e d Med: Schmre de vrlă: y, dec d dy y Schmre cpetelor de tegrre: (dec se păstreză cpetele de tegrre) y y Rezultă că: M ye dy Dspers: D M M Clculez: M f d e d e d Schmre de vrlă: y, dec d dy y Schmre cpetelor de tegrre: (dec se păstreză cpetele de tegrre) y y Rezultă că: M y e dy 3! Dec, D M M REPARTIŢIA NORMALĂ (GAUSS) O v re reprtţe ormlă (Guss) dcă fucţ e de proltte (destte de proltte) este de m form: f e, cu m ş ( m ș se umesc prmetr dstruțe ormle, ș putem scre: N( m, )) ) f este destte de proltte deorece: e m (evdet petru ) m m f d e d e d Schmre de vrlă: m y, dec y m ş d dy y Schmre cpetelor de tegrre: (dec se păstreză cpetele de tegrre) y 3

16 Rezultă că: y f d e dy (m folost rezulttul tegrle Euler-Posso: e d ) ) Med ş dspers vrle : Med: m M f d e d Schmre de vrlă: m y, dec y m ş d dy y Schmre cpetelor de tegrre: (dec se păstreză cpetele de tegrre) y y y m y M y m e dy y e dy e dy Rezultă că: y m y e dy e mmm Dspers: D M M m Clculez: M f d e d m Schmre de vrlă: y, dec y m ş d dy y Schmre cpetelor de tegrre: (dec se păstreză cpetele de tegrre) y y Rezultă că: M y m e dy y y y ye dy m y e dy me dy m y y m y y ye dy e dy e dy ota m y m A e Am y Rezolvăm tegrl Oţem: Dec: A y ye dy pr părţ: f y f ş y y A ye e dy ş D M M m m M m g ye g e y y 4

17 c) Fucț Guss-Lplce (fucț erorlor) ( ) : Este fucț de reprtțe ue vrle letore cu dstruț ormlă stdrd ( N(,) ): - destte de proltte lu N(,) este: - fucț de reprtțe lu N(,) este: Lplce (su fucț erorlor) Propretăț: ( ) ( ) () ( ) ( ) - Se pote folos petru clculre P f () t e t t ( ) F( ) e dt ș se umește fucț Guss-, ude Nm (, ): ( m) m m P e d (cu schmre de vrlă m t ) - Fucț Guss-Lplce se folosește ș î eprmre Teoreme Lmtă Cetrlă Vlorle fucțe Guss-Lplce sut telte 5

18 INTEGRALELE BETA ŞI GAMMA (propretăţ) Fucţ :, deftă pr: p p e d se umeşte fucţ Gmm (su fucţ lu Euler de speţ dou) ş re următorele propretăţ: ) ) 3) p p p! petru 4) 5) t p p e t dt s p 6) p p, cu, p (formul complemetelor) q B pq dse umeşte fucţ Bet (su fucţ lu Euler de speţ îtâ) ş re următorele propretăţ: p Fucţ B :,, deftă pr:, ) B pq, y p y p t t pq q dy ) B pq, pq t dt 3) Bp, q pq p q 4) B pq, Bq, p 5) B pq, p Bp, q (formul lu Drchlet) (proprette de smetre) pq q B p, q B p, q pq petru p, q ş petru p, q 6

19 Tel tegrle rcrt Itegrl fucţe smple Itegrl fucţe compuse d d d \ d \ 3 d l d l 4 d l d l ed e e d e d l d l d rctg 8 d l d rctg d l 9 d l d l d rcs d rcs s d cos s d cos cos d s cos d s 3 cos s d 4 s cos d 5 tgd l cos tg d l cos 6 ctgd l s ctg d l s 7 d ctg s d ctg s 8 d tg cos d tg cos 9 shd ch sh d ch chd sh ch d sh Os: Fucţle hperolce sut: e e f : sus hperolc : f sh e e f : cosus hperolc : f ch 7