Probleme de numărare: combinări, aranjamente, permutări de Manuela Prajea 1)

Size: px

Start display at page:

Download "Probleme de numărare: combinări, aranjamente, permutări de Manuela Prajea 1)"

Oswin Brooks
6 years ago
Views:

1 Probleme de umărare: combăr, arajamete, permutăr de Mauela Prajea 1) Lecța se adresează î prmul râd elevlor de gmazu care focuseaza cocursurle de matematcă hgh-level ș d acest motv se îcepe expuerea de la fudamet, dar ș elevlor de lceu care se pregatesc vederea suster uor vtoare examee la matematcă. Regula produsulu: Dacă u obect A are a posbltăț de alegere ș u obect B are b posbltăț de alegere, atuc perechea ordoată de obecte AB, are ab posbltăț de alegere. Regula produsulu rămîe valablă ș petru obecte. Exercț: a) Câte umere de cc cfre se pot forma utlzâd doar cfrele 4,5,6,7 sau8? b) Arătaț că umărul submulțmlor ue mulțm cu elemete este. c) Arătaț că umărul fucțlor de la o mulțme cu a elemete la o mulțme cu b elemete a este egal cu b. Î cele ce urmează vom cosdera A o mulțme cu elemete ș 0 k, k. Combăr: O submulțme (eordoată) cu k elemete a mulțm A se umește combare de k elemete a mulțm A. Numărul tuturor combărlor de k elemete ale ue mulțm de elemete k k! se otează cu C ș C. k! k! Exercț: a) Screț combărle de câte tre elemete ale mulțm a, b, c, d, e. b)câte umere de forma abcdecu a b c d e se pot forma utlzâd doar cfrele 4,5,6,7 sau8? Arajamete: O submulțme ordoată cu k elemete a mulțm A se umește arajamet de k elemete a mulțm A. Numărul tuturor arajametelor de k elemete ale ue mulțm de k k! elemete se otează cu A ș A. k! Exercț: a) Screț arajametele de câte tre elemete ale mulțm a, b, c, d, e. b) Câte umere de tre cfre dstcte se pot forma utlzâd doar cfrele 4,5,6,7 sau8? Permutăr: O mulțme ordoată formată cu elemetele mulțm A se umește permutare a mulțm A sau smplu, permutare de elemete. Numărul tuturor permutărlor de elemete se otează cu P ș este egal cu P!. Exercț: a) Screț permutărle mulțm a, b, c, d, e. b) Câte umere de tre cc dstcte se pot forma utlzâd doar cfrele 4,5,6,7 sau8? 1) prof.dr.mauela Prajea, C.N. Traa, Dr.Tr.-Sever (documet î lucru) 10 problemă la velul clase a X-a * problemă cu grad foarte rdcat de dfcultate la velul clase a X-a ** problemă care ecestă cuoștțe ce depășesc programa clase a X-a Page 1

2 Probleme de umărare: 1. Cate umere de patru cfre dstcte se pot forma cu cfrele, 3, 4, 5? Cate d umerele obtute se dvd pr? Dar pr 5? Câte d umere coț grupa de cfre 45 î screrea lor?. Cate umere de 6 cfre cep s se terma cu 1?Câte umere de 5 cfre dstcte ș pare exstă? 3. I 3 ure se afla ble, umerotate de la 1 la 9. Extragad d fecare ura cate o bla s ctd cfra de pe fecare bla, se obte u umar de tre cfre. Cate umere se obt total? 4. I cate modur se pot mpart 9 elev, tre echpe formate d 4, 3 s respectv elev? 5. Ce 30 de elev a ue clase au facut schmb recproc de fotograf. De cate fotograf a fost evoe? 6. Cate umere de patru cfre, dvzble cu 5, se pot forma cu cfrele 0, 1,, 5, 7, daca fecare umar orce cfra apare cel mult o data? 7. O clasa de elev are de sustut 3 teze, pe care le pot plafca 5 zle. Daca prma teza este prma z, cate posbltat de plafcare a celorlalte teze exsta? 8. Câte umere de forma abcd cu a b c d exstă? Dar cu a b c d? 9. La u cocurs sportv sut 6 probe. U sportv este oblgat sa evolueze 3 probe. Cate posbltat de alegere are? 10. Itr-o clasa sut 15 baet s 15 fete. I cate modur se poate forma u grup d 3 fete s 5 baet? 11. I cate modur pot f arajat 90 de elev 3 grupe de cate 30 de elev? 1. I cate modur se pot mpart 1 elev 3 grupe a cate 4 elev? 13. Itr-o sala de clasa sut 5 elev s 5 eleve. Acesta sut asezat la tamplare, cate tr-o baca, cele 5 bac d clasa. a) I cate modur pot f asezat elev bac? b) Daca, plus, se cere ca fecare baca sa stea o fata s u baat, care este umarul modurlor de asezare? 14. D 11 persoae, dtre care 7 barbat s 4 feme se formeaza o delegate alcatuta d 5 persoae, dtre care cel put feme. I cate modur se poate forma aceasta delegate? 15. Șapte băeț ș patru fete s-au dus îtr-o seară la u club să daseze. Î câte modur pot e alcătu patru perech petru das, fecare pereche fd formată d u băat ș o fată? AB, care satsfac relața AB 1,, 3,...,, 16. Să se determe umărul perechlor de mulțm * ude. 17. Determaț umărul * cu propretatea că produsul dvzorlor să atural este egal cu ( Mauela Prajea, 007) 18. Sa se determe umarul perechlor de multm ( AB), care verfca smulta codtle: ) AB1;;3;4;5;6;7;8. ) A B ;4;6;8. (Mauela Prajea, 011) 18. Câte umere de 10 cfre au produsul cfrelor egal cu 8? Dar cu 1? 19. Câte umere de 10 cfre au suma cfrelor egala cu 4? (Mauela Prajea, Petre Sergescu, 011) Fe f : 1,,3 1,,3,4,5,6.Câte fucț f exstă? Câte sut strct mootoe? Câte sut jectve? Câte sut surjectve? Câte verfcă codța: f (1) f () f (3) 6? Câte fucț jectve se pot def de la o mulțme cu a elemete la o mulțme cu b elemete, ude a b? 1) prof.dr.mauela Prajea, C.N. Traa, Dr.Tr.-Sever (documet î lucru) 10 problemă la velul clase a X-a * problemă cu grad foarte rdcat de dfcultate la velul clase a X-a ** problemă care ecestă cuoștțe ce depășesc programa clase a X-a Page

3 *. Arătaț că umărul fucțlor surjectve defte pe o mulțme cu a elemete cu valor îtr-o a a a a b mulțme cu b elemete este egal cu 1 b C b 1 C b C b C. 1 3 b1 b b b b 3. Determaț umărul de umere de cfre scrse î baza do au propretatea că suma cfrelor de rag par este egală cu suma cfrelor de rag mpar. (Mauela Prajea,Gh.Lazăr, 007) 4. Câte umere avâd cel mult 10 cfre, scrse doar cu cfrele 0 ș 1 sut dvzble cu 3? ( Mauela Prajea, MCM, 007) 5. Câte soluț are ecuața x y 009 dacă xy, ș xy? ( Mauela Prajea, MCM,009) 6. Câte umere de forma abcd avâd cfre dstcte exstă cu a b c d? (Mauela Prajea, MCM, 009) 7. card abc a b c? (Mauela Prajea, MCM, 009) 8. card abcd a b, c d? (Mauela Prajea, MCM, 010) 9*. Determaț umărul perechlor de mulțm ( ABcare, ) îdeplesc codțle: a) AB 1,,...,011 b) A B 1,,..., *. Determaț umărul fucțlor f 0 f 1 f... f 0. c) AB (Mauela Prajea, 011) f : 0,1,,..., 0,1,,...,,, avâd propretatea că MISCELLANEOUS: Probleme de combatorcă.probleme de logcă. Prcpul cute. Metoda reducer la absurd. Prcpul extremal. Prcpul varatulu.probleme baraje. 1. Iepurele alb spue ca psca mte. Psca spue ca Alce mte. Alce spue ca epurele alb s psca mt. Ce mte s ce spue adevarul?. Itr-o ura se afla 8 ble albe, 6 ble egre s 4 ble ros. se extrag smulta 3 ble d ura. Cate posbltat sut sa se extraga: a) co bla eagra; b) exact o bla eagra; c) tre ble egre; d) tre ble oarecare. 3. Se pot umerota muchle uu cub de la 1 la 1 astfel îcat suma umerelor corespuzătoare celor 3 much care pleacă d acelas vârf sa fe costată (aceeaș)? 4. Patru oame se afla la trarea uu tuel tuecos pr care u pot trece smulta decat oame. E au evoe de 1,, 5 s respectv 10 mute petru a traversa tuelul s dspu de o torta care arde 17 mute. Pot traversa ce 4 oame tuelul? 5. Se cosderă o tablă de șah ș u cal aflat î câmpul d stâga- jos. a) Dacă mutarea calulu se face de fecare dată spre dreapta ș î sus sau î sus ș spre dreapta, să se arate că el u poate ajuge î câmpul dreapta-sus. b) Să se afle umărul mm de mutăr pr care calul ajuge î câmpul dreapta-sus. (Mauela Prajea) 6. I tmpul ue coferte, fecare d ce 5 matematce prezet au adormt de doua or. Orcum am alege matematce, observam ca exsta u momet care amado erau adormt. Sa se arate ca exsta u momet care 3 matematce dormeau. 7. Itr-o ura sut ble albe, ros, verz s egre. Daca uma 51 dtre ele u sut albe, 37 u sut egre, 49 u sut ros s 43 u sut verz, aflat cate ble sut de fecare culoare. 8. I toate patratelele uu patrat 3X3, tal sut scrse zerour. La o maevra se adauga la toate cele patru umere ale orcaru patrat X cate o utate. Se poate, ca dupa cateva astfel de maevre sa se ajuga la tabloul(ctt pe l):, 5, 3; 6, 18, 8; 4, 9, 5. 1) prof.dr.mauela Prajea, C.N. Traa, Dr.Tr.-Sever (documet î lucru) 10 problemă la velul clase a X-a * problemă cu grad foarte rdcat de dfcultate la velul clase a X-a ** problemă care ecestă cuoștțe ce depășesc programa clase a X-a Page 3

4 9. U patrat de latura x este format d 004 patrate ma mc, de latura y. a) laturad 4007 patrate mc, ramae u patrat cu ara egala cu Aflat y. b) patratele mc, umerotate de la 1 la 004, se vopsesc rosu s galbe, dupa regula: cu rosu se vopsesc cele umerotate cu umerele de forma, ar restul cu galbe. Cate patrate galbee exsta? 10. Fd date 1 de pucte dstcte î pla, exstă o așezare a acestora a.î. umărul maxm de drepte dstcte care se pot duce pr orcare două dtre ele să fe 009? ( Mauela Prajea, GM) 11. Îtr-o ură sut 009 ble. Do elev extrag, pe râd, ble d ură. La o extragere, e au voe să extragă cel puț o blă ș cel mult 10 ble. Câștgă cel care extrage ultma blă. Arătaț că exstă o stratege de joc a.î. cel care extrage prmul să câștge. (Mauela Prajea,GM, 011) 1)* Se cosderă u segmet s 011 pucte dstcte terorul său. Extremtățle segmetulu dat se colorează cu roșu respectv cu egru, ar fecare d cele 011 pucte cosderate se colorează mod arbtrar cu roșu sau cu egru. Arătaț că, d cele 01 segmete determate de alegerea celor 011 pucte, u umăr mpar de segmete vor avea extremtățle dstct colorate. (Mauela Prajea, VO, 011) 13) Dacă a, otăm cu sa ( ) suma cfrelor umărulu a. Determaț a petru care a s( a) s( s( a)) 999,1008. (Mauela Prajea, MCM, 006) 14) Se cosderă șrul a1, a, a3,... deft pr: a1 a 6, a3 a4 4ș petru 5, a se defește ca fd ultma cfră a sume celorlaltor terme precedeț.astfel, pr cocateare șrul deve: Arătaț că secveța 006 apare î șr. (Mauela Prajea, MCM,006) 15) a , b...; a b 1? (Mauela Prajea, MCM, 007) 4014cfre 007 cfre 16) Se cosderă tabloul: 0 1 L L L L L007 x0 x1 x... x 17) Se cosderă următoarele secvețe:? (Mauela Prajea, MCM, 007) 80, 70,10, , 65,35,30,5 5 10,71,49,,7 5 10,80,40,40, ,95,55, 40,15, , x,... max?, x? 1) prof.dr.mauela Prajea, C.N. Traa, Dr.Tr.-Sever (documet î lucru) 10 problemă la velul clase a X-a * problemă cu grad foarte rdcat de dfcultate la velul clase a X-a ** problemă care ecestă cuoștțe ce depășesc programa clase a X-a Page 4

5 ( Mauela Prajea, MCM, 007) 18) Se cosderă tabloul: 1 1 a a a a a a 1... a a... a? (Mauela Prajea, MCM, 011) 19. Se cosderă tabloul: x x... x Determaț : a) x x... x? b x x x x x ** ) ? Idcațe b): Căutaț formula multomală(sursa : et) 0)* Fe, ( Mauela Prajea, MCM, 010) ș a, a,..., a, b, b,... b două submulțm dsjucte ale mulțm 1,,..., a.î a a... a, b b... b. Petru orce 1, defm : c a, daca a b b b, daca a b a. Arătaț că c.... 1c c (Mauela Prajea, GM, 010) 1) Calculaț suma tuturor umerelor de 10 cfre dstcte. (Mauela Prajea, 011) 1) prof.dr.mauela Prajea, C.N. Traa, Dr.Tr.-Sever (documet î lucru) 10 problemă la velul clase a X-a * problemă cu grad foarte rdcat de dfcultate la velul clase a X-a ** problemă care ecestă cuoștțe ce depășesc programa clase a X-a Page 5

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 1)

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 1) Uverstatea d Bucureşt 9.07.05 Facultatea de Matematcă ş Iformatcă Cocursul de admtere ule 05 Domeul de lceţă Calculatoare ş Tehologa Iformaţe Matematcă (Varata ). Toate valorle parametrulu real a petru