APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode manuale. Editia a II a Revizuita

Transcription

1 Costat Mrcou Roxaa Colette Sadulovc APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode mauale Edta a II a Revzuta EDITURA UNIVERSITARA CAROL DAVILA BUCURESTI, 00

2 Prof. dr. farm., mat. CONSTANTIN MIRCIOIU Dr. farm., mat. ROXANA COLETTE SANDULOVICI APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode mauale Edta a II a revzuta petru cursul de bostatstca Facultatea de Farmace, Uverstatea de Medca s Farmace Carol Davla, Bucurest cursul de bostatstca doctoraz Uverstatea de Medca s Farmace Carol Davla, Bucurest cursul de bostatstca s farmacocetca Masterul de Bostatstca Facultatea de Matematca, Uverstatea Bucurest EDITURA UNIVERSITARA CAROL DAVILA BUCURESTI, 00

3 Campur de probabltate CÂMPURI DE PROBABILITATE I teora probabltăţlor fecăru rezultat posbl al uu expermet aleator, rezultat cosderat ca evemet, se asocază o masura umercă, umtă probabltatea evemetulu respectv. Această valoare este o caracterstcă obectvă a evemetulu î codţle expermetulu dat. Petru operatle cu evemete fuctoeaza aceleas propretat ale lor d teora multmlor:. A B B A A B B A. A ( B C) ( A B) C A ( B C) ( A B) C 3. A Φ A A Φ Φ 4. A A A A A A 5. A E E A E A 6. A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) 7. A A E A A Φ 8. E Φ Φ E 9. A B A B A B A B 0 A B A B Daca avem o famle evda de evemete { A } I, ude I este o famle de dc cel mult umarabla, vom putea extde operatle de reuue s de tersecte astfel:. A A A A. I I I A B ( A B) I I I A I B ( A B) Spuem ca doua evemete A s B sut compatble daca u se pot realza smulta: A B Φ s spuem ca sut depedete daca realzarle lor u se flueteaza recproc. Exemplul clasc de câmp de probabltate ft îl costtue evemetele ce pot apărea atuc câd, dtr-o ură î care se află ble albe ş egre se extrag ble. Dacă proporţa blelor albe î ură este p, ş dec a celor egre este q - p, probabltatea evemetulu A, ca d ble extrase, să fe albe, este: P( A) C p q I

4 Campur de probabltate Defte: Fe E multmea fta a evemetelor posble la efectuarea uu expermet s ( E) multmea partlor lu E. Fe K ( E) o multme evda de part ale lu E. Ea se umeste corp de evemete, daca verfca urmatoarele axome:. A K avem A K. A, B K avem A B K Aplcat: Daca K ( E) este u corp de evemete, verfcat urmatoarele propretat: a. Φ K s E K b. A K,, A K s A K c. A, B K A B K Solute: a. Deoarece K φ, exsta cel put o multme A K. Rezulta ca A K, dec A A K E K s E K ceea ce seama ca Φ K b. Daca A K,,, atuc pr ducte completa se obte ca A K Deoarece Dar A A K,,, avem A K,, s A K. A K ceea ce mplca c. A, B K A, B K A B K A B K A A K Defte: Fe E o mulţme ş K o famle evdă de părţ ale lu E, K (E) cu propretăţle:. A K CA K. ( A) N K A K 3. E K Dec, este îchsă la operaţle de complemetare ş reuue.

5 Campur de probabltate Se spue, î acest caz, că famla K, împreuă cu operaţle meţoate, formează u corp bolera. Defte: U elemet A K se umeste evemet compus daca exsta doua evemete B, D K, B Φ, D Φ, B A, D A astfel cat A B D. U evemet A Φ ce u este compus se umeste evemet elemetar. Defte: Fd dat u spaţu măsurabl ( E, K ). O fucţe P: K [ 0, ] cu propretăţle: a) P măsură ş b) P ( E ) se umeşte probabltate. Dec, probabltatea ar f o măsură ormată. Defte: Se umeşte măsură orce fucţe poztvă deftă pe corpul mulţmlor măsurable, μ : K R, adtvă pe orce famle ( A) I umărablă de mulţm măsurable dsjucte:, m, A Φ ( ) Am μ A μ( A) Aplcat: Fe A s B K. Verfcat urmatoarele propretat: a. A K avem P( CA) P(A) b. P( Φ ) 0 c. Daca A B, atuc P( A) P( B) d. A K avem 0 P( A) e. P( B A) P( B) P( A B) f. P( B A) P( B) P( A), daca A B P B A P A P B P A B daca A B Φ g. ( ) ( ) ( ) ( ) Solute: a. A K avem A A E s A A Φ h. P A P( CA ) (egaltatea lu Boole) 3

6 Campur de probabltate 4 ( ) ( ) ( ) ( ) E P A P A P A A P ( ) ( ) A P CA P b. ( ) ( ) ( ) 0 Φ Φ E P P CE P CE c. ( ) CA B A B B A dar ( ) Φ CA B A, dec ( ) ( ) ( ) ( ) A P CA B P A P B P d. ( ) ( ) ( )... d q e E P A P P E A avem K A Φ Φ e. ( ) ( ) ( ) CA B A B CA A B E B B Dar ( ) ( ) Φ CA B A B, dec ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... d q e A B P A B P CA B P A B P B P f. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A P B P A B P B P A B P B P A B A B A ) g. Deoarece Φ B A putem scre: ( ) ( ) ( ) CB A B A CB B A E A A ( ) ( ) ( ) CA B A B CA A B E B B Dec, ( ) ( ) ( ) CA B CB A B A B A Cum evemetele CA B CB A B A,, sut compatble doua cate doua obtem: ( ) ( ) ( ) ( CA B P CB A P B A P B A P ) Dar ( ) ( ) ( ) B P A P CB A P s ( ) ( ) ( ) A P B P CA B P de ude obtem ( ) ( ) ( ) ( ) B A P B P A P A B P h. Deoarece vom aplca probabltatea obtadu-se A CA C ( ) ( ) CA P A P CA P CA P A P CA P A C P Defte: Probabltatea codţoată Fe B u evemet a căre probabltate este dfertă de 0. Probabltatea uu evemet A, repreztă proporţa î care e aşteptăm să se realzeze A î cadrul tuturor evemetelor câmpulu de probabltate la care aparţe A

7 Campur de probabltate Probabltatea lu A se ma poate aalza îsă ş î cotextul î care ştm că s-a produs ateror evemetul B. Probabltatea evemetulu A codţoată de B se otează, î acest caz, cu: P(A/B) sau P B (A). Î acest cotext apare aturală defţa probabltăţ evemetulu A, codţoată de B, pr formula: P ( ) ( A B) P B A P( B) Aplcat: Demostrat ca raportul de ma sus verfca axomele probabltatlor: a. P B ( A ) 0 b. P B ( E) c. P ( A D) PB ( A) PB ( D), daca A D Φ B Demostrate: a. Deoarece P( A ) 0s P( A B) 0 obtem egaltatea ceruta. b. Coform defte avem: P ( ) ( E B) P( B) P B E P( B) P( B) c. P ( ) [( A D) B] P[ ( B A) ( D B) ] P A D B P B P B P P ( ) ( B A) P( D B) P( B) ( A) P ( D) B B P ( B A) P( B) P ( ) ( D B) P( B) Teorema probabltăţ cauzelor Probabltatea producer orcăru evemet X, este egală cu suma probabltăţlor de producere a lu X, codţoate de evemetele complete ale sstemulu ( A ), ş P ( ) ( Aj) PAj( X ) PX Aj P A PA X ( ) ( ) 5

8 Campur de probabltate Exerct:. Masa, rezsteta s altmea sut caracterstc depedete ale uu comprmat. Probabltatle ca u comprmat sa u corespuda d aceste pucte de vedere sut: 0,03; 0,05 s 0,0. Care este probabltatea ca tableta sa corespuda raport cu cele tre caracterstc? Solute: Fe E, E, E 3 evemetele care se realzeaza cad produsul corespude raport cu fecare dtre caracterstc. Coform poteze avem: P( CE ) P( comprmatul u corespude raport cu masa) 0,03 P( CE ) P( comprmatul u corespude raport cu rezsteta) 0,05 P( CE3 ) P( comprmatul u corespude raport cu altmea) 0,0 Dec, probabltatle de producere a evemetelor E, E, E 3 vor f: P ( E ) P( CE ) P ( E ) P ( E 3 ) Daca CE, CE, CE 3 sut depedete s E, E, E 3 sut depedete. Asadar: P E E E P E * P E * P E 0.97 * 0.95* ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3. Cu datele d problema precedeta sa se calculeze probabltatea ca produsul sa u corespuda. Solute: P comprmatul u corespude ( ) ( comprmatul u corespude raport cu masa) P ( comprmatul u corespude raport cu altmea) ( comprmatul u corespude raport cu rezsteta) Coform poteze avem: P( CE ) P( comprmatul u corespude raport cu masa) 0,03 ( ) P( comprmatul u corespude raport cu rezsteta) ( ) P( comprmatul u corespude raport cu altmea) P CE 0,05 P CE3 0,0 Se utlzeaza relata 6

9 Campur de probabltate ( ) ( ) ( ) ( ) P( A B) P( A D) P( B D) P( A B D) P A B D P A P B P D s se obte P( CE CE CE3 ) * * * *0.05* O alta demostrate, tad cot de rezultatele obtute la exerctul precedet: P ( comprmatul u corespude) P( comprmatul corespude) 0,903 0, I cazul la 5% d comprmatele verfcate rezsteta este ecorespuzatoare d cauza erespectar formule de fabrcate, ar 0% d cauza reglajulu corect al mas de comprmat. Care este probabltatea ca rezsteta comprmatulu sa fe bua? Solute: Fe A evemetul care se realzeaza cad rezsteta u corespude d cauza formule de fabrcate s B evemetul care se realzeaza cad rezsteta u corespude d cauza reglajulu mas. P A P formulare ecorespuzatoare ( ) ( ) 0,05 ( ) P( reglaj ecorespuzator) 0,0 ( ) P (( formulare corespuzatoare) ( reglaj corespuzator ) P( CA CB) P C( A B) P( A B) P B P rezsteta bua ) P A B P A P B P A B * P CA CB 0. Dar ( ) ( ) ( ) ( ) 45 Dec, ( ) O capsula este cosderata corespuzatoare stadardulu daca depleste codtle A, A, A 3, A 4. Datele statstce arata ca 90% dtre capsule deplesc codta A, 80% deplesc codta A, 85% deplesc codta A 3 s 95% deplesc codta A 4. Care este probabltatea mma ca o capsula sa corespuda stadardulu? 7

10 Solute Se aplca egaltatea lu Boole P A P CA P ( ) ( ) ( CA ) P( ) A Dec P( A ) P( A ) ( Campur de probabltate ) Obtem P( A A A3 A4) P( A) P( A) P( A3) P( A4) ( 4 ) 0,90 0,80 0,85 0,95 3 3, Dec probabltatea ca o capsula sa fe corespuzatoare este cuprsa tre 0.5 s, probabltatea mma fd 0,5. 5. O stalate este deservta de tre pompe cu fuctoare depedeta a caror probabltate de defectare este 0. ; 0.5 s 0.5. Istalata trebue oprta daca se defecteaza prma pompa sau pompele s 3 smulta. Daca se defecteaza uma ua dtre pompele sau 3 stalata poate fuctoa. Care este probabltatea ca stalata sa fuctoeze? Solute Fe A, A, A 3 evemetele care corespud fuctoar pompelor, s respectv 3 s fe A evemetul cere se realzeaza cad stalata fuctoeaza. Dec, evemetul A se realzeaza daca: Fuctoeaza toate pompele, sau Fuctoeaza prma pompa, u fuctoeaza pompa dar fuctoeaza pompa 3, sau Fuctoeaza prmele doua pompe s u fuctoeaza pompa 3 Dec, A ( A A A3 ) ( A CA A3 ) ( A A CA3 ) P( A) P( A A A3 ) P( A CA A3 ) P( A A CA3 ) P( A ) P( A ) P( A3 ) P( A ) P( CA ) P( A3 ) P( A ) P( A ) P( CA3 ) 0.9*0.85* *0.5* *0.85* U produs farmaceutc este prelucrat doua etape A s B. I prma etapa are loc comprmarea propru-zsa, ar a doua etapa are loc ambalarea produsulu termedar obtut. Dupa etapa A comprmatele vrac sut cotrolate obtadu-se u radamet de 97%. Comprmatele vrac 8

11 Campur de probabltate corespuzatoare vor f prelucrate etapa B obtadu-se u radamet de 95%. Care este probabltatea ca produsul ft sa corespuda? Solute P A P comprmat vrac corespuzator ( ) ( ) 0,95 ( ) ( ) 0,97 P B P comprmat ambalat corespuzator A P Coform defte probabltatlor codtoate avem: ( ) ( B A) P A B P( A) ( A B) P( A) * P ( B) 0.97* P A 7. Se cosdera doua recpete de reactv B s B. I recpetul B se afla pastle de KOH, ar recpetul B pastle de KOH s de NaOH umar egal. O pastla scoasa la tamplare d uul d recpet se dovedeste a f KOH. Care este probabltatea ca aceasta pastla sa prova d B? Solute Fe A evemetul ca pastla sa fe de KOH. Se aplca relata lu Bayes: P( B ) PB ( A) PA ( B ) P( B ) PB ( A) P( B ) PB ( A) P ( B ) P( B ) A ( ) P B ( A) P B Dec ( ) P A B 3 8. Se cosdera cc lotur de comprmate cu structurle: a. Doua lotur cu 60% comprmate corespuzatoare; b. Doua lotur cu 55% comprmate corespuzatoare; c. U lot cu 70% comprmate corespuzatoare. Loturle costau d acelas umar de pese. Se face cotrolul uu comprmat luat la tamplare. a) Care este probabltatea ca acest comprmat sa fe ecorespuzator? b) Daca se presupue ca acest comprmat este ecorespuzator care este probabltatea ca acesta sa prova dtr-u lot de tpul? 9

12 Campur de probabltate Solute a) Se oteaza cu B evemetul de a cotrola u comprmat ecorespuzator s cu A, A, A 3 evemetele care costau d efectuarea cotrolulu uu comprmat d loturle, sau respectv 3. P B P A P B ( ) ( ) ( ) 5 A 5 A 3 5 A P ( A ), ( B) 4 P A 0. P ( ), ( B) 45 P A 0. P ( ), ( B) 3 Dec, P ( B) P A b) P ( ) B * 0.45* 0.3* P( A ) ( ) 0.45* PA B A 5 P( B) Zece lotur dtre care tre de tpul A, cc de tpul A s doua de tpul A 3 trec verfcarle la care sut supuse proporte de 90%, 75% s resprectv 85%. a) Care este probabltatea ca u lot ales la tamplare sa fe corespuzator. b) Care este probabltatea ca u lot corespuzator sa fe de tpul A. Solute P ( A ) 0. 3, P ( A ) 0. 5, P ( A 3 ) 0. Se oteaza cu B evemetul care costata faptul ca lotul ales trece verfcarle. 0,90 0,75 P B 0,85 PA ( B ), P ( ) A B, ( ) A3 P( B) P( A ) P ( B) 0.85 P B ( A ) A I ( ) A ( ) ( P B) P A P B

13 Varable aleatoare VARIABILE ALEATOARE Defţ: a) Se umeşte varablă aleatoare (îtâmplătoare sau statstcă) o fucţe reală f deftă pe mulţmea K a evemetelor, cu propretatea că, orcare ar f umărul real a, mulţmea x K petru care f(x) a este u evemet d K. Î terme de teora măsur, o varablă aleatoare este o fucţe f : (E, K, P) (R, B), măsurablă. Practc vorbd avem deftă probabltatea ca varabla să abă valor ma mc decât orce umăr dat a. b) O varablă aleatoare se umeşte varablă aleatoare smplă dacă a u umăr ft de valor: f : E R, f (E) ftă ş P( f (x) x ) P( f - (x ) ) p c) Doua varable aleatoare sut depedete, daca au valor depedete ua de cealaltă: P ( f ( x) x ) ( g( y) y j ) P( f ( x) x )* P( g( y) y j ), x, y j Exemplu: Fe X o varabla aleatoare dscreta (v.a.) avad tabelul de dstrbute: x x... x p 0,, X : ude p p... p p atuc fucta de repartte corespuzatoare va f: 0, daca x x p, daca x x x p p, daca x x x3 F( x). p, daca x x x., daca x x Defte: Fe ( x) F fucta de repartte a ue v.a. X. Daca exsta o fucte x f ( ) ( ) ( ) tegrabla x astfel cat F x f u du,atuc X se umeste varabla

14 aleatoare cotua, ar ( x) Varable aleatoare f se umeste destatea de probabltate sau destatea de repartte a lu X Caracterstc ale varablelor aleatoare Meda: Se umeşte valoare mede (sau speraţă matematcă) a ue valor aleatoare f, umărul M(f) xp, atuc câd ξ este o varablă aleatoare smplă ş, respectv M(f) x ρ( x)dx, atuc câd ξ este o varablă aleatoare cotuă, cu destatea de probabltate ρ. Mometul de ord al ue varable aleatoare reprezta geeralzarea otu de mede: M ( f ) x p, atuc câd ξ este o varablă aleatoare smplă ş respectv, cotuă. M (f) x ρ(x)dx, atuc câd ξ este o varablă aleatoare Mometul cetrat de ord al ue varable aleatoare f este mometul de ordul al abater sale faţă de mede. c M f x μ p ş respectv, cotue. ( ) ( f ) μ c [ x M ( f )] ρ( x)dx,î cazul ue varable aleatoare Dspersa varable aleatoare X de otează D(X) sau σ ş este, î partcular, mometul cetrat de ordul do. D(X) σ M[(X-M(X)) ] ( x M ( X )) ρ( x) dx ş respectv σ M[(X-M(X)) ] ( x μ X ) p, atuc câd varabla aleatoare este dscretă. Rădăca pătrată a dsperse, σ, se umeşte abaterea mede pătratcă a varable X, ar s x abaterea stadard.

15 Varable aleatoare 3 Exerctu: Verfcat urmatoarele propretat ale mede: dacă f ş g sut depedete, atuc avem: a) M(af) am(f) b) M(fg) M(f) M(g) c) M(fg) M(f)M(g) Solute: Fe varablele depedete: p f p p f f f : ude p p, 0, s m m q g q q g g g : ude m j j j q m j q, 0, a) ( ) ( ) f am p f a p af af M b) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] j j j g g f f p g f g f M, ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) g M f M q g p f p q g q p f q p g q p f q p g q p f q p g q p f q p g f g g p f f p g f j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j,,,,, * c) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] j j j g g f f p g f g f M, * * ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) j j j j j j q p g f g g p f f p g f,, * * * ( ) ( ) ( ) ( ) f M g M p f g M g M p f q g p f q p g f q p g f j j j j j j j j j,

16 4 Varable aleatoare Exerctu: Verfcat urmatoarele propretat ale dsperse: a) Petru orce varablă aleatoare X ş orce costate a ş b D(aXb) a D(X) b) Dacă X, Y sut două varable aleatoare depedete D(XY) D(X) D(Y) c) Ître dsperse, valoarea mede ş mometul de ordul do exstă relaţa: D(X) M(X ) (M(X)) Solute: a) D( X ) ( x μ ) p ( b) (( ax b) ( aμ b) ) p ( ax b aμ b) D ax a b) ( ax aμ) p ( a( x μ) ) p a ( x μ) ( x μ) p a D( X ) ( ) ( ) ( ) ( μ μ ) (( μ ) ( μ )) ( μ ) ( μ ) ( μ )( μ ) ( x μx ) pq j ( yj μy) pq j ( x μx )( yj Y) pq j j j j ( x μ X ) pq j ( y j μy ) q j p ( x μ X ) p( y j μy ) D X Y x y pq x y pq j X Y j X j Y j, j, j x pq y pq x y pq X j j Y j X j Y j, j, j, j μ q j j j μ X p y j μy q j * D X j ( x ) ( ) ( ) D( Y ) 0 μ x p X x p μ X p M ( X ) ( M ( X )) X c) D(X) ( x X ) p x x p μ p μ Dec, M(X ) - M(X ) (M(X)) μ X μ X - xμ X p μ X p x p μ * μ μ * X p X X p j

17 Varable aleatoare Exerct:. Fe urmatoarea varabla aleatoare: 3 4 X : 0, 0, 0,3 0,4 Sa se determe fucta sa de repartte. Solute: 0, daca x 0, daca x F( x) 0, 0, 0,3 daca x 3 0, 0, 0,3 0, 6 daca 3 x 4, daca x 4. La o farmace a fost regstrat umarul de atbtce cerut zlc pe o peroada de 50 de zle, obtadu-se urmatoarele valor: Cererea zlca Numarul de zle a. Sa se reprezte tabelul de dstrbute a varable aleatoare reprezetad cererea zlca de atbotce; b. Sa se determe fucta de repartte corespuzatoare c. Care este probabltatea ca umarul cererlor sa fe cuprs tre 4 s 7, putad lua valoarea 4 sau 7; d. Care este probabltatea ca cererea de atbotce sa fe ma mare de 6; Solute: 3 8 a X : 3 4 dec X : 0,06 0,4 0,4 0,8 0,0 0,08 b. D defta fucte de repartte avem F ( x) P( X x), dec: 5

18 Varable aleatoare 0, daca x 3 0, 06 daca 3 x 4 0, 06 0,4 0, 0 daca 4 x 5 0, 06 0,4 0, 4 0, 44 daca 5 x 6 F( x) 0, 06 0,4 0, 4 0, 8 0, 7 daca 6 x 7 0, 06 0,4 0, 4 0, 8 0, 0 0,9 daca 7 x 8 daca x 8 c. P 4 X 7 P 4 X 7 P X 7 F 7 F 4 P X 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 7 0, 06 0, 0 0,86 Putem demostra s altfel: P 4 X 7 P X 4 X 5 X 6 X 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( X 4) P( X 5) P( X 6) P( X 7) , d. P X 6 P X 6 P X 6 P X 6 F 6 P X 6 0,44 0,8 0,8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. Sa se determe x R astfel cat varabla aleatoare X sa aba repartta: a X : x x Solute: x b 4 8 Codtle mpuse sut: x x x x 4 8 x x 4 [ 0,] [ 0,] 8 6

19 Varable aleatoare x x x 8x 8x x 8 8x 0x ± 8 8 x, x s x 6 6 x sgura solute a sstemulu 4. Sa se calculeze meda s dspersa petru urmatoarea varabla aleatoare X : 3 3 Solute: 5 M ( X) μ xp * * D( X) ( x μ ) p * * 0, Sa se calculeze suma urmatoarelor varable aleatoare: X : s 0 Y : 3 3 Solute: 3 X Y : p p p3 p P X Y P X Y 0 P X * P Y 0 * 3 p p P ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) 6 X ( Y ) P[ (( X ) ( Y ) ) (( X ) ( Y ) )] P( X ) * P( Y ) P( X ) * P( Y 0) * * 3 3 P X Y 3 P X Y P X * P Y 3 * ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) 6 3 Pe p 3 l putem calcula s astfel: p3 p p 6 3 7

20 Varable aleatoare Dec, X Y : Cuoscadu-se urmatoarea varabla aleatoare se calculeze D( 3 X ) Solute: 5 Vom calcula μ ( x) xp * * D 3X 3 D X 9* D X 9* x μ p ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 9* * * * * * X : 3 3 sa 7. Sa se calculeze meda s dspersa petru suma urmatoarelor varable aleatoare: 0 X : s 0 Y : 4 4 Solute: Vom calcula meda s dspersa petru cele doua varable aleatoare: M ( X ) x p 0 * * s D( X) ( x μ ) p 0 * * * * Aalog, M ( Y ) y q 0 * * * s DY ( ) ( y μ ) q 0 * * * * * *

21 M ( X Y ) M ( X ) M ( Y ) ( ) ( ) ( ) Varable aleatoare D X Y D X D Y 8. U trasport de recpeţ cu matere prmă sut cotrolaţ astfel: se aalzează coţutul uu recpet ales la îtâmplare ş se stableşte dacă poate f acceptat sau u. Se cercetează 6 recpeţ. Dacă recpetul cotrolat la extracţa de rag,,3,4,5 u corespude îtregul trasport este resps ş se opreşte aalza. a) Care este repartţa varable aleatoare care dă umărul de recpeţ aalzaţ? Se şte că probabltatea ca u aumt recpet să corespudă este de /3. b) Să se calculeze meda aceste varable. Rezolvare: Varabla aleatoare X a valorle: X dacă prmul recpet este resps P(X)P(prmul recpet este resps) 3 X dacă prmul recpet corespude, dar al dolea recpet este resps P(X)P(prmul recpet corespude ş al dolea recpet este resps)p(prmul recpet corespude)*p(al dolea recpet este resps) * X3 dacă prmele două recpete corespud, dar al trelea recpet este resps P(X3)P(prmul recpet corespude, al dolea recpet corespude ş al trelea recpet este resps)p(prmul recpet corespude)*p(al dolea recpet corespude)*p(al trelea recpet este resps) * * 3... X6 dacă toate recpetele corespud P(X6)P(prmele 5 recpetele corespud) 3 Dec, repartţa de probabltatea este:

22 0 Varable aleatoare X: Meda aceste varable este: 3 4 M X * * 3* 4* 5* 6* ( ) 5 9. Fe q probabltatea ca o reacţe de polcodesare să se producă ş p q probabltatea ca reacţa să se îtrerupă. Să se calculeze repartţa, meda ş dspersa varable aleatoare care dă gradul de polcodesare. Solute: Probabltatea formăr uu polmer cu gradul de codesare, care să coţă - legătur formate pr polcodesare este q, îmulţtă cu probabltatea de îtrerupere q p. Dec repartţa varable aleatoare este: 3... X:.. p pq pq pq. p Se observă că pq q E ( X ) p pq 3pq... pq... p( q 3q... q...) q 3q E Deoarece d E ( X )... q p q q ( q) p... q ( q) q... q rezulta ca 5 pr dervare se obte D( X ) E( X ) E ( X ) ( X ) p pq 3 pq... pq... p( q 3 q... q...) Dar q q 3q Pr dervare rezulta: E 3... q q ( q) ( ) ( ) ( q) X p q 3 q... q... p ( q) 3

23 Varable aleatoare ( E ( X )) p Rezulta ( X ) p( q) q 3 ( q) p p D Abaterea mede patratca este σ ( ) X q p 0. U lot de comprmate este supus cotrolulu pe flux ceea ce prveste greutatea, rezsteta s altmea. Probabltatea ca u comprmat sa corespuda la fecare cercare este de 0,9. Expereta este trerupta daca tableta u corespude la o aumta cercare. Sa se scre repartta varable aleatoare X care reprezta umarul de comprmate testate. Solute: Se oteaza cu q 0, 9 probabltatea ca tableta sa rezste s cu p q 0, probabltatea ca ea sa u rezste. Probabltatea ca tableta sa fe supusa la cercar este q p deoarece ea trebue sa rezste la - cercar s sa rezste la cercarea. Asadar: ( ) ( ) X :,, * 0.. Sa se calculeze meda s dspersa varable cu repartta 0 q X:... q C pq C p q... p Solute: E ( X ) C p q 0 Se poreste de la relata: ( ). Pr dervare dupa t rezulta p pt q ( pt q) C p t q 0 Se cosdera t s se obte: C 0 p t q

24 Varable aleatoare ( ) ( ) p X E q p C q p p 0 Dervad d ou dupa t obtem: ( ) ( ) ( ) q t p C q pt t p q pt p 0 Se cosdera t s se obte: ( ) ( ) 0 X E q p C p p ( ) ( ) ( ) ( ) pq X E X E X D. Sa se calculeze meda s dspersa varable cu repartta X:...!...! 0 e e e λ λ λ λ λ Solute: ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ e e e e X E 0!! ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ !!!!! e e e e e e e X E ( ) ( ) ( ) ( ) λ X E X E X D

25 DISTRIBUTII DE PROBABILITATE Dstrbut de probabltate Dstrbuta bomala Dstrbuţa bomală apare la descrerea evemetelor asocate extracţlor dtr-o ură cu ble albe ş ble egre. Dstrbuţa varable aleatoare umărul de ble albe d ble extrase se poate reprezeta ş sub formă matrcală: 0 X C p q C p q C p q C p q Probabltatea evemetulu este p C p q Propretat: Meda ş dspersa ue varable aleatoare repartzate bomal sut M p s D pq Repartţa bomală apare îtotdeaua atuc câd u expermet cu uma două răspusur posble se repetă de or. Dstrbuta Posso U caz partcular al dstrbute bomale îl preztă expermetele care se repetă de u umăr foarte mare de or, ar evemetul î a căru aparţe sutem teresaţ are o probabltate foarte mcă, categorst uzual ca evemet rar. Dstrbuţa Posso se obţe la lmtă, câd, p 0, dar p rămâe costat, p λ. Dec, dstrbuţa Posso este dată de matrcea 0 X λ λ λ... λ λ... λ λ e e e e!!! Propretat: Meda ş dspersa ue varable aleatoare dstrbute Posso sut M X s D ( X ) λ ( ) λ Dstrbuta ormala Spuem că o varablă aleatoare este ormal repartzată ( m,σ ) atuc câd destatea sa de probabltate este data de formula: ρ ( xm) σ, e ( x m, σ ) σ π N, 3

26 Dstrbut de probabltate Aplcate: Daca X este o varablă aleatoare ormal repartzată N ( m,σ ), X m atuc varabla aleatoare Z este ormal repartzată N( 0,). σ Varabla Z se umeste varabla aleatoare ormal stadardzata. Dstrbuta χ Helmert - Pearso Se cosderă observaţ depedete x, x,, x (varable aleatoare depedete) ormal dstrbute N ( m,σ ). x m Varablele stadard u,, sut de asemeea σ depedete, ar suma pătratelor lor va avea o dstrbute ce poate f determată. Se defeşte X u. Dstrbuţa varable X rezultate se otează χ () Dstrbuta STUDENT Dacă sut date două varable aleatoare N( 0,) depedete, se spue că varabla Studet cu grade de lbertate. ( ) Z s V χ T Z V T( ) este repartzată Dstrbuta F (Behres - Fsher Sedecor) a raportulu a două dspers Se cosderă frecvet î statstcă raportul a două dspers care estmează aceeaş dsperse geerală a ue colectvtăţ. Dtr-o colectvtate geerală se extrag două selecţ U χ ( ), V χ ( ). Raportul lor este o varablă aleatoare repartzată F U F F(, ) V 4

27 Dstrbut de probabltate Exerct:. Probabltatea ca u comprmat sa se sfarame este de 0.. Presupuad ca u lot cuprde 00 comprmate sa se calculeze umarul medu de comprmate care se sfarama s abaterea mede patratca. Solute: Deoarece p 0. este costat se utlzeaza repartta bomala E ( X ) p 0.* 00 0 D X σ pq 00*0.*0.9 ( ) 8. Se ste ca 3 muctor d 000 fac alerge la medcamete. Care este probabltatea ca tr-o fabrca cu 000 de muctor sa exste 3 muctor alergc? Solute: a) Se poate utlza repartta bomala cu p3/ s 000. P C p q P 000 C b) Folosd repartta Posso se obte: e (.5) P 0.5 ude λ p. 5 3! 3. Se ste ca probabltatea ca u lot sa fe corespuzator este de 0.9. a. Care este probabltatea ca d 0 lotur sa fe rebutat uul sgur? b. Care este probabltatea ca d 0 de lotur sa fe rebutat ma mult de lotur? Solute: Sutem cazul dstrbute bomale care avem: P lotul este corespuzator q ( ) 0,9 ( ) 0,9 0, P lotul este ecorespuzator p a) Fe X umarul de lotur rebutate. I acest caz avem 0 s, dec: 9 0! 9 9 P( X ) C p q C *0,*0,9 *0,*0,9 0,9! ( 0 )! b) P( X ) P( X ) P( X 0) P( X ) P( X ) 0 0,387 5

28 Dstrbut de probabltate C0 *0, *0,9 C0 *0,*0,9 C0 *0, *0,9 ( ) ( ,9 0,9 0, 45*0,9 0,9 * 0,9 0,9 0, , ,8 0,9 * 0,9 0,9 0,9 * 0,9 0,9 * 0,387*,4 0,99 0,07 4. Se ste ca 0% dtre aumte produse sut defecte. Se aleg la tamplare 8 produse. a. Care este probabltatea ca 0. sau produse sa fe defecte? b. Care este probabltatea ca cel put doua produse sa fe defecte? c. Care este probabltatea ca cel mult doua produse sa fe defecte? Solute: Fe X umarul de produse defecte. Se a p P( produse defecte) 0, 0, q p 0,80 s 8. a) P ( X 0. sau ) P( X 0) P( X ) P( X ) C8 * 0, * 0,8 C8 * 0, * 0,8 C8 * 0, * 0,8 8 8! 7 8! 6 0,8 * 0, * 0,8 * 0, * 0,8! ( 8 )!! ( 8 )! 6 0,8 0,8,6 * 0,8 8* 0,04 7 0,8 0,8,6,4 7 3,8* 0,8 0. ( ) ( ) 798 b) P ( X ) P( X ) P( X ) P( X 0) P( X ) [ C *0, *0,8 *0,*0,8 ] C 0,8 0,8 8! ( 8 )! 8 ( 0,8,6) 0,8 *3 0,7*3 0,5 0, 49 ) [ ] 8! 7 *0,*0, c) P ( X ) P( X 0) P( X ) P( X ) 0, % d recpetele cu matere prma sut rebutate. Care este probabltatea ca d 0 de recpete sa fe rebutate. Solute: 6

29 Dstrbut de probabltate Folosd repartta bomala petru p0.08 s 0 se obte 0! 8 P 0 ( 0.08) ( 0.9) 0. 7! 8! Folosd repartta Posso petru λ p. 6 se obte P e.6 (.6)! 0.58 Se observa ca rezultatele sut apropate. 6. Se ste ca 0% d producta ue fabrc este alcatuta d produse cu defectu. Sa se calculeze probabltatea ca d 0 produse alese la tamplare ( cu puerea apo a produsulu) sa fe defecte, 0,,,...,7. Solute: Se poate aplca fe repartta bomala, fe repartta Posso. λ e λ P C p q, P ude 0; p0.; q0.9 s λ p! P P Probabltatea de a avea u cosum zlc ormal de eerge este de Fe X umarul de zle lucratoare pe saptamaa, care cosumul este ormal. Sa se determe : a. Repartta varable aleatoare X b. Probabltatea uu cosum ormal cel ma put 4 zle c. Meda, dspersa s abaterea mede patratca a lu X. Solute: Se aplca repartta bomala cu 6, p3/4 s q/4 a) X : C p q Dec X : b) P ( X 4 ) P( X 4) P( X 5) P( X 6) c) E ( X ) p 4. 5 D X pq. σ ( ) 5 ( X ) D( X ). 06 7

30 Dstrbut de probabltate 8. Norma prevede petru caprolactama puctul de soldfcare 67. C. Experetele efectuate asupra uu lot arata ca puctul de soldfcare este repartzat ormal cu meda μ C s dspersa σ Sa se determe procetul de sarje care u corespud caltat. Solute: D poteza avem ca varabla aleatoare X (puctul de soldfcare) este ormal repartzata cu meda μ C s dspersa σ dec, X E( X ) 67, 67,7 0,5 5 Z N( 0,), 66 D X 0,3 0,3 3 ( ) Se observa ca: X 67,7 67, 67,7 P( X 67.) P P( Z,66) 0,5 0,455 0,09 0,09 P X Dec, ( ) 9. U echpamet petru producerea ape petru solut jectable este alcatut d patru ssteme depedete. Probabltatea ca u sstem sa se defecteze tmpul fuctoar este de 0.. Care este repartta varable aleatoare X care da umarul de ssteme ce se pot defecta tmpul fuctoar? Solute: X este probabltatea bomala care 4, p 0. s q p 0. 9 X : 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C

31 Dstrbut de probabltate 0. U operator poate cotrola vzual doua fole de vacc pe mut. Pe durata uu schmb (480 mute) se costata ca 40 de fole de vacc prezta defecte de chdere. Cosderad ca umarul de fole defecte este repartzat Posso sa se determde probabltatea ca d 5 fole cel put doua sa fe defecte. Solute: Itr-u mut se costata fole defecte s sut 480 spectate vzual fole. Dec, 5 fole de vacc vor f spectate 5.5 mute. I acest tmp se costata 0.083*.5 0. fole defecte. La o repartte Posso λ este meda, dec λ 0. ( ) ( 0.) e P! Probabltatea ceruta corespude lu, 3, 4, 5 P P P 3 P 4 P ( ) ( ) ( ) ( ). Sa se calculeze probabltatea ca o varabla aleatoare ormala sa a valor tr-u terval de lugme σ de-o parte s de alta a valor med. Se a,,3. Solute: Se calculeaza P X μ σ P μ σ X μ σ P σ X μ σ ( ) ( ) ( ) X μ P P σ X μ ude Z N( 0, ) s z P( Z z ) σ a) Petru avem P X μ σ P Z * z *0,343 0, ( Z ) Φ( ) Φ( ) * P( Z ) * z ( ) ( ) 686 9

32 Dstrbut de probabltate b) Petru avem P X μ σ P Z * z *0,477 0, ( ) ( ) 9544 c) Petru 3avem P X μ 3σ P 3 Z 3 * z3 *0,4987 0, ( ) ( ) 9974 Se observa ca probabltatea ca o varabla aleatoare ormala sa a valor afara tervalulu ( 3σ, 3σ ) de-o parte s de alta a valor med este fma. 30

33 Dstrbut de probabltate. O varabla aleatoare este repartzata ormal cu meda 30 s dspersa σ 00. Care este probabltatea ca varabla aleatoare sa a valor ma mar decat 5 ( ma mc decat -5)? Solute: X μ 530 X μ P( X 5) P P,5 Φ(.5) σ 0 σ 0,5 0, X μ P σ 0,5 0, X μ σ ( X 5) P P 3,5 Φ( 3.5) 3

34 Dstrbut de probabltate 3. O varabla aleatoare are meda μ s dspersa σ 4 se calculeze ( 0 X 3) P s ( X ) P. Solute: 0 X 3 P( 0 X 3) P P( Z 0,5) 0 3 Φ Φ 0,95 0,343 0,538. Sa b) X P Φ Φ 0,433 0, ( X ) P( X ) P P(,5 Z 0,5) 3

35 Dstrbut de probabltate 4. Fe X o varabla aleatoare repartzata ormal cu parametr E X μ μ s σ. Sa se calculeze ( ) Solute: E X x f x dx x e σ π ( xμ ) σ ( μ ) ( μ) ( ) ( μ ) dx 0 ( xμ) y σ ( xμ) σ σ ( x μ) e dx ( x μ) e dx σ π σ π y y ye dy ye dy ye dy σ π σ π σ π e σ σ π μ 0 π μ 0 0 y 5. Destatea de repartte a durate de fuctoare a uu sstem de τ τ cetrfugare este f ( τ ) e ude τ este 3 a. Sa se determe τ probabltatea ca tr-o stalate formata d tre ssteme de cetrfugare sa u se defecteze c o cetrfuga prm 6 a de fuctoare. Solute: Probabltatea ca durata de fuctoare a ue sgure cetrfug sa fe ma mare de 6 a este τ 6 τ τ e dτ e e 6 τ Deoarece duratele de fuctoare ale evaporatoarelor sut varable 3 e e depedete, probabltatea cautata va f ( ) 6 6. Itr-u strat fludzat se afla M000 g de graula. Debtul de materal pr strat este de G m 4000 g / h. Sa se determe ce fractue de partcule se afla strat u tmp ma mc (ma mare) decat tmpul medu de statoare. Solute: 33

36 Dstrbut de probabltate M G m 000 *60 5 m 4000 f τ e τ τ s ( ) τ P τ ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ f τ dτ e dτ e e τ P τ τ τ τ ( τ τ ) f ( τ ) dτ e 0 τ 34

37 Estmarea tervalelor de credere ESTIMATII Problema estmăr tervalelor petru u parametru θ se reduce la θ, cu u coefcet de îcredere găsrea uu terval de îcredere ( L θ U ) α astfel îcât: P ( θ θ θ ) α. L U Aplcate: Presupuem ca dorm sa estmam θ, fracta oamelor care au tuberculoza tr-o populate omogea cu u umar mare de dvz. I acest scop vom alege la tamplare dvz petru a f cercetat s gasm ca x dtre e au boala. Deoarece populata are u umar mare de dvz s este omogea, presupuem ca dvz ales petru cercetare sut depedet s ca fecare are probabltatea θ de a avea tuberculoza. Probabltatea ca d ce dvz x sa aba tuberculoza este: x x x C θ θ, daca 0 θ Avem: ( ) Dec spatul parametrlor este H [ 0,] Vom cosdera fucta de verosmltate: x ( ) ( ) x P x θ θ ( θ ) θ ( ) ( θ) P( θ ) x x l ( θ ) l P xl x l l s θ θ θ ( ) P x x ( ) θ θ θ l P θ x Daca x, ecuata 0 are soluta uca θ. θ x l P ( θ ) Deoarece θ, 0 acesta este u maxm relatve. θ Deoarece P( θ ) 0 petru θ 0 sau θ, acesta este maxmul absolute s dec x θ. l P ( θ ) Daca x 0, ecuata 0 u are solute s maxmul se θ H 0,. I acest caz avem realzeaza pe frotera spatulu parametrlor [ ] P ( θ ) ( θ ), petru 0 θ P( θ ) are valoarea cea ma mare cad θ 0 s dec θ 0. 35

38 Estmarea tervalelor de credere Smlar θ petru x s astfel avem x θ petru x 0,,,...,. Observam ca: M ( θ ) M ( X ) * * θ θ Ceea ce arata ca x θ este u estmator edeplasat petru θ. Estmarea tervalelor de îcredere petru med a) Cazul câd se cuoaste dspersa.. Dacă se X μ cuoaşte dspersa se foloseste varabla aleatoare Z care este σ N. Itervalul de credere petru mede va f: σ σ ( ) θ L, θu X z α, X z α σ Mărmea E z α poartă umele de eroare. b) Cazul câd dspersa este ecuoscută Dacă u se cuoaste dspersa se utlzeaza varabla aleatoare X μ T T, ude s s ( x X ) este dspersa de selecte. Itervalul de credere petru mede va f: ( ) s s θ L, θu X t α, X t α,, s Î acest caz eroarea este E t α, Dacă umărul de expereţe este 30, se poate folos aproxmaţa t z Se cosderă o populaţe repartzată ormal N ( μ,σ ) repartzată ( 0,) α, α 36

39 Estmarea tervalulu de îcredere Estmarea tervalelor de credere α petru dfereţa a două med Se cosderă două selecţ d populaţ ormal repartzate μ,σ N μ,σ. N ( ) ş ( ) a) Cazul dsperslor σ,σ cuoscute.. ( XX) ( μμ) Varabla aleatoare Z este repartzată N(0,). σ σ Itervalul de estmaţe petru dfereţa medlor este σ σ σ σ Θ, Θ X X z α, X X z α ( ) ( ) ( ) Î acest caz, eroarea este E z σ σ α. b) Dspers ecuoscute dar presupuse egale Î cazul î care u cuoaştem dspersle dar ştm că sut egale σ σ utlzăm varabla aleatoare σ ( X X ) ( μ μ ) repartzată T ( ) T sp ( ) s ( ) s ude s p este dspersa poderată de selecţe Dec, tervalul de credere este: ( ) Θ, Θ X X t α sp, X X t α sp,, cu eroarea E t s α p., 37

40 Estmarea tervalelor de credere Estmarea tervalelor de îcredere petru dsperse N. Varabla aleatoare ( ) s V σ este repartzată χ ( ) ş ca urmare tervalul de credere petru dsperse este: ( ) s ( ) s σ. χ χ Cosderăm o selecţe de volum dtr-o populaţe ormală ( μ,σ ) α, α, Estmarea tervalulu de îcredere petru raportul a două dspers ( ) Se cosderă selecţa aleatoare x,...,, x x dtr-o populaţe N μ,,σ ş o selecţe, x,..., x dtr-o populaţe N μ,σ. Raportul s este repartzat (, ) x ( ) σ F s F ş dec tervalul de estmaţe petru raportul dsperslor este: s ( ) Θ Θ s L, U f α, f α,,,, s s σ 38

41 Estmarea tervalelor de credere Exerct:. Sa se calculeze u terval de credere petru meda determarlor colormetrce exprmate molartat 0-4 :.;.3;.8;.9, daca se 0 cuoaste dspersa petru o observate dvduala σ 6 *0 M. Se alege α 0.95 Solute X μ Se utlzeaza faptul ca Z este repartzat N ( 0,) σ X μ X μ σ σ zα z α z α z α z α * X μ z α * σ σ σ σ X z α * μ X z α * σ σ X z α * μ X z α * 4 x (,,3,8,9) *0 4 Dar avem: X.3*0 M ; 4 z α z.96 ; Dec tervalul de credere petru meda μ este: *0,3*0,96* μ,3* ,838*0 M μ,6*0 M 4 7 *0,96* 5 39

42 Estmarea tervalelor de credere. La receptoarea ue substate recpet care trebue sa aba 40 g se efectueaza u cotrol catard pr sodaj 4 recpete. Se obt greutatle: 39.75; 40.5; 39.50; Sa se determe u terval de credere petru greutatea mede cu u coefcet de credere α daca se presupue ca greutatle sut dstrbute ormal. Solute Deoarece u se cuoaste dspersa σ se utlzeaza faptul ca X μ T este repartzat T ( ) ude: s X x ( 39,75 40,5 39,50 39,50) X 39,75 4 sx ( x X ) ( 39,75 39,75) ( 40,5 39,75) ( 39,50 39,75) ( 39,50 39,75) 4 0 ( 0,50) ( 0,5) ( 0,5) * s X ; t 3, 8 3 ;0.975 Itervalul de credere este: 40

43 Estmarea tervalelor de credere 39,75 3,8* μ 39,75 3,8* * * Eroarea este E 3,8* 0, 56, dec 39,9 μ 40, 3 * 3. 7 cotaere au greutatle 9.8; 0.; 0.4; 9.8; 0.0; 0.; 9.6. Sa se gaseasca u terval de credere cu α petru meda greutat presupuad ca greutatea este dstrbuta ormal. Solute X μ Vom utlza varabla aleatoaret repartzata T ( ) s X x 9,8 0, 0,4 9,8 0 0, 9,6 X 0.0 ; 7 s X ( x X ) ( 9,8 0) ( 0, 0) ( 0,4 0) ( 9,8 0) ( 0, 0) ( 9,6 0) t ; , Itervalul de credere: * μ * 7 7 Θ, Θ 9.74 ; 0.6 Dec ( ) ( ) L U 4

44 4 Estmarea tervalelor de credere 4. La determarea cotutulu de substata actva a uu umar de 500 fole s-a gast greutatea mede X 6. 8 mg, s mg. Sa se calculeze u terval de credere petru mede. Se alege α Solute: Deoarece , se poate folos aproxmaţa t z s se va lua z α, Avem * μ *, dec tervalul de credere este: 5,97 μ 6,39 5. Se efectueaza 8 ttrar volumetrce s se obt rezultatele: 76.48; 76.43; 77.0; 76.45; 76.5; 76.48; 76.48; cm 3. Sa se calculeze u terval de credere petru meda masuratorlor. Se a α Solute x 76,48 76,48 77,0 76,45 76,5 76,48 76,48 76,60 X s t X ( x X ) t α ; Avem t α ; α ; 7; X X μ s X t α ;, dec, X t * s μ X t * s adca: α ; X 76.3 μ Determarle succesve efectuate doua vase deschse care cot HCl au dat ormaltatle: N N Se ste ca dspersa cocetratlor este σ 0,06. α

45 Estmarea tervalelor de credere Sa se costruasca u terval de credere cu coefcetul α 0.95 petru dfereta μ μ ude μs μ sut valorle teoretce ale cocetratlor med. Solute X X ( μ μ ) Se utlzeaza varabla z σ σ X X z x 5,75 5,64 5,9 3 x 5,58 5,49 5, Avem, z α Z z α,dec 5,77 5,60 X X ( μ μ ) seama ca: X X err μ μ X X err ude eroarea este: err z α * σ σ,96 * z α z α ceea ce σ σ 0,06 3 0,06 3,96 * 0,0 0,0 Obtem astfel: 5,77 5,60 0,0 μ μ 5,77 5,60 0, 0 0, 03 μ μ 0,37 7. Au fost examate 75 esatoae de substata de tpul cu procetul de substata actva 8. s abaterea mede patratca 0.8 s 50 esatoae de substata de tpul cu procetul de substata actva 7.6 s abaterea mede patratca 0.6. Sa se gaseasca u terval cu coefcetul de credere α 0.96 petru dfereta μ μ a cotuturlor med de substata actva. Solute: X X z σ σ α μ μ X X z α X X ; z. 054 z α 0.98 σ σ 43

46 Estmarea tervalelor de credere μ μ μ μ Petru a studa flueta cocetrate de compoet cataltc asupra reacte de obtere a NO se fac doua grupe de experete dexate pr s petru cocetratle 0.5 s respectv %. Se obt datele urmatoare : Sa se costruasca u terval de credere cu coefcetul 0.95 petru dfereta μ μ. Se cosdera ca dspersle sut ecuoscute dar egale s α 0, 95 Solute: XX ( μμ) Se utlzeaza varabla T dstrbuta Studet cu S p grade de lbertate. Avem X 5.37; X ; s ; s s s S p ; t 4 ;

47 Estmarea tervalelor de credere Dec * * μ μ * Rezulta.936 μ μ * μ μ 9. Greutatle uor cotaere sut ( g): 6.4; 6.; 5.8; 7.0; 6.; 5.9; 5.8; 6.9; 5.; 6.0. Sa se gaseasca u terval de credere cu α 0.95 petru dspersa acestora. Solute ( ) s Se utlzeaza varabla aleatoare V, ar tervalul de σ credere este: ( ) s ( ) s σ χ χ α, 3 α, 3 45

48 Estmarea tervalelor de credere χ 9.03; χ ;0.975 Avem Dec, ;0.05 x s s ( x ) X 6, X 6, * * 0.86 σ Rezulta 0.5 σ Cc masurator smlare asupra debtulu ape rec la u schmbator de caldura au dat rezultatele (g / s): 5.76; 6.03; 5.84; 5.90; Sa se gaseasca u terval de credere α petru dspersa debtelor. Solute: X 5.88; s ; χ 4 ;0.975.; χ 4 ; * * σ Rezulta σ

49 Estmarea tervalelor de credere. Se efectueaza 8 ttrar volumetrce s se obt rezultatele: 76.48; 76.43; 77.0; 76.45; 76.5; 76.48; 76.48; cm 3. Sa se calculeze u terval de credere petru dspersa masuratorlor. Se alege α Solute: ( ) s ( ) s σ χ χ x α, 6,37 X 76,55 8 s ( x ) X 0,0790 χ ;0.975 χ ; * σ * α, Rezulta σ S-au facut 0 de aalze ale ue mater prme s s-au gast o dsperse a cocetrate de substata actva s Sa se calculeze u terval de credere petru dspersa masuratorlor. Se alege α Solute: χ 3.9 ; χ ;0.975 ; *0.3 9 * 0.3 σ Rezulta 0.3 σ

50 Estmarea tervalelor de credere 3. S-a efectuat o aalza asupra cotutulu de substata actva a doua lotur de matere prma. S-au aalzat 5 de probe d prmul lot s 6 probe d cel de al dolea lot de matere. S-a obtut o cocetrata mede 8 cu dspersa 64 petru prmul lot s cocetrata mede 78 cu dspersa 49 petru al dolea lot. Sa se gaseasca u terval de credere cu coefcetul α 0.98 petru raportul dsperslor. Solute: s σ s f α f α s,, σ s,, 5 s 64 6 s 49 f 5.4; f 5.4; *0.304 σ * σ 64 Avem: σ σ σ 0.3, σ σ,49 σ 0, 48 0,67 σ,08 σ 4. Se ste ca 90% d produsele ue treprder sut corespuzatoare. Sa se gaseasca u terval de estmate petru proporta p de produse corespuzatoare. Se alege α 0. 95s se face o selecte de 00 produse. Solute Se utlzeaza Z pˆ p, ude p ˆ 0. 9 ; q ˆ 0. 9 ; z z0.05 pˆ * qˆ * * p * p 0.9*

51 Verfcarea potezelor statstce VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Ipoteze statstce Ipotezele statstce sut poteze asupra repartţe uor varable aleatoare. Ele se referă fe la parametr repartţe, fe la legea propru zsa de repartţe. I cele ce urmeaza e vom refer uma la potezele prvd parametr. Notaţ covetoale Ipoteza testată, presupusă adevarată, se umeşte poteza ulă ş se otează H 0. Testarea ecestă ş formularea ue poteze complemetare, umtă poteză alteratvă ş otată H A. Probabltatea ue decz greste La verfcarea potezelor se pot comte două felur de eror:. Erorle de tpul costau î respgerea poteze H 0 atuc câd aceasta este adevărată.. Erorle de tpul costau î acceptarea poteze H 0 atuc câd aceasta este falsă. Notat uzuale: α P (respge H 0 / H 0 adevărată) rscul de a respge î mod greşt H 0 se umeşte vel de semfcaţe β P (acceptă H 0 / H 0 falsă) P (respge H A / H A adevărată) rscul de a respge î mod greşt H A π β P ( respge H0 H0 falsa) se umeşte puterea testulu. Petru a verfca o poteză se folosesc datele de selecţe petru calcularea uu test statstc. Domeul de valor ale testulu care corespude respger poteze H 0 cu probabltatea α se umeşte regue crtcă. Metodologa de verfcare cuprde î prcpu următoarele etape:. se presupue, pe baza uor teste ateroare sau pe baza structur feomeulu studat, o repartţe petru populaţa statstcă d care se face selecta;. se formulează poteza; 3. se calculează valoarea testulu ales ş se compară cu lmtele de acceptare, respectv respgere; 4. se acceptă sau se respge, î fucţe de rezultat, poteza H 0. 49

52 Ipoteze asupra mede. Dspersa cuoscută Verfcarea potezelor statstce Se cosderă X o selecţe dtr-o populaţe ormală N ( μ,σ ). Ca urmare a teoreme lmtă cetrală, varabla aleatoare X E( X) X μ Z este repartzata N ( 0,). D( X σ ) Petru u vel de semfcate α, potezele ş crterle de acceptare sau respgere sut prezetate ma jos: H 0 H A Reguea crtcă μ μ 0 μ μ 0 Z z α Z z α μ μ 0 μ 0 μ Z z α μ μ 0 μ 0 μ Z z α. Dspersa ecuoscută Î acest caz se îlocueşte î formula ateroară σ cu estmaţa sa X μ S X ş se ţe cot că varabla aleatoare T este repartzată S x X Studet cu - grade de lbertate, ude ( ) S X X 50

53 Verfcarea potezelor statstce Ipoteze asupra dfereţelor a două med. Cazul câd se cuosc dspersle Se cosderă două populaţ ormale N ( μ,σ ) ş ( μ,σ ) x, x,..., x d populaţa ( μ ),σ x x x d populaţa N ( ). selecţe aleatoare d aleatoare,..., Varabla aleatoare, ( ) ( ) D( X X) μ,σ ( ) ( μ) XX μμ X X μ Z σ σ este repartzată N(0,). N, o N ş o selecţe. Cazul dsperslor ecuoscute, dar presupuse egale Î cazul î care u cuoaştem dspersle dar ştm că sut egale σ σ utlzăm dspersa poderată de selecţe σ s ( ) s ( ) s ( x X) ( x X ) p ca u estmator edeplasat petru σ. ( X X ) ( μ μ ) Varabla aleatoare T este repartzată T ( ) s p 3. Cazul observaţlor perech I cazul câd observaţle formează î mod atural perech cosderăm varabla aleatoare d X X. Î cazul î care selecţle aparţ la aceaş populaţe, meda lu d va f zero: E ( d ) 0. Câd se cuosc dspersle avem D( d ) aleatoare d σ d este repartzată N ( 0, ). σ σ σ d ş varabla 5

54 Verfcarea potezelor statstce Câd u se cuosc dspersle se folosesc dspersle de selecţe ş se ţe d cot că varabla aleatoare este repartzată Studet cu - grade de s lbertate. d Compararea proporţlor Dacă vom cosdera u expermet î care răspusul este de tp da sau u, de exemplu vdecare sau evdecare, supraveţure sau moarte, etc., umărul de rezultate de u aumt tp î repetăr ale expermetulu este o varablă aleatoare repartzată bomal. p E( ) p Varabla aleatoare stadardzată z se D( ) pq pq aproxmează ca fd ormal repartzată. Estmarea dsperse Cosderăm o selecţe de volum dtr-o populaţe ormală ( μ,σ ) Varabla aleatoare V ( ) s este repartzată ( ) σ χ. N. Estmarea raportulu a două dspers Se cosderă selecţa aleatoare x x,..., x dtr-o populaţe ( μ,σ ) ( ),, x x N ş o selecţe aleatoare x,..., dtr-o populaţe N μ,σ. Raportul s σ s σ F este repartzat (, ) F. 5

55 Verfcarea potezelor statstce Exerct:. Se presupue că efectuarea a 4 măsurator de ormaltate coduc la 3 valoarea mede X.*0 M. Se şte ca dspersa corespuzătoare ue 8 măsurator este σ 49*0 M. Să se verfce poteza potrvt cărea valoarea mede a ormaltăţ este μ M. Se alege α Soluţe: 3 3 Ipotezele statstce sut: H 0 : μ 0 M vs. H A : μ 0 M X μ Testul utlzat: Z 0 σ Reguea crtca este Z sau Z 3 3, *0 0 Z 4 7* , *0 * 4 4 7*0 0,6 7 z z z α 0,05 0,975 z α z α Dec, reguea crtcă este z.96 sau z. 96 Cum, 96 0, 6,96 z u aparte regu crtce, dec se acceptă poteza H 0. O îtreprdere trebue să lvreze recpete cu materal recuperat cu greutatea de 5 g ş abaterea mede pătratcă σ 0.5 g. U cotrol efectuat asupra a 49 de pese duce la o valoare mede X 4. 8 g. Să se verfce poteza potrvt cărea masa mede este de 5 g. Se alege α 0, 0. Soluţe: Ipotezele statstce sut: H : μ 5 vs : μ 5 Testul utlzat: X μ0 Z σ 0 H A 53

56 Reguea crtca: Z z α sau Z Verfcarea potezelor statstce z α , *7, 4 Z, ,5 0,5 49 z.58 z α Deoarece,8, 58, rezulta ca z este reguea crtca, dec poteza se respge. H 0 3. Experetele ateroare arata ca greutatea uu comprmat este o varabla aleatoare cu abaterea mede patratca de 5 mg. O selecte de volum 9 e da o greutate mede X 400 mg. Sa se verfce la u prag de semfcate α 0. 0 poteza potrvt carea greutatea mede este de 40 mg. Soluţe: Ipotezele statstce sut: H : μ 40 vs. H : μ 40 0 X μ0 Testul utlzat: Z σ Reguea crtca: Z z α sau Z X 400 σ 5 9 μ Z z.58 z α z α A Deoarece rezulta ca Z este reguea crtca, dec se respge H 0 54

57 Verfcarea potezelor statstce 4. O selecte de 6 lotur de coprolactoma crstalzata are cotutul de baze volatle X 0. 3 mlechvalet / g. Presupuad ca acest cotut este o varabla aleatoare cu abaterea mede patratca 0.07 sa se verfce poteza : H 0 : μ 0.0 H A : μ 0.0 Se alege α Soluţe : X μ0 Testul utlzat: Z σ Reguea crtca: Z z α X 0, 3 σ 0,07 6 μ 0 0, Z z Deoarece,7, 33, Z u este reguea crtca, dec se accepta poteza H 0 5. Durata de fuctoare a uu electrod este o varabla aleatoare cu σ 00 h. O selecte de 5 astfel de electroz da o durata de fuctoare de 380 h. Cu α 0. 0 sa se verfce poteza: H 0 : μ 500 h H A : μ 500 h Soluţe: X μ0 Testul utlzat: Z σ Reguea crtca: Z z α 55

58 Verfcarea potezelor statstce X 380 h μ h 5 σ 00 h *5 Z z z 0.0 0,99.33 Deoarece 3, 33 rezulta ca Z se afla reguea crtca, dec se respge poteza H : μ 500 h 0 6. Rezultatele uor catarr de etaloae sut urmatoarele: 6,7 ; 6,8 ; 5,8 ; 5,7. Se poate afrma ca meda greutatlor este ma mca decat 6.5 g? Se alege α Soluţe: Ipotezele statstce sut: H : μ 6. 5 vs H : μ X μ Testul utlzat: T 0, ude S ( ) S x X Reguea crtca: T t, ude t t t, 35 ; α, α ; α 3;0.95 x 6,7 6,8 5,8 5,7 X 6,5 4 S ( x ) X 6,7 6,5 6,8 6,5 5,8 6,5 4,0 [ 0,45 0,55 ( 0,45) ( 0,55) ] 0, Dec, S 0, 58 6, ,5* 0,50 T 0,86 0,58 0,58 0,58 4 [( ) ( ) ( ) ( 5,7 6,5) ] A 56

59 Verfcarea potezelor statstce Deoarece,35 0, 86, T u este stuat reguea crtcă dec se accepta poteza H 0 adca μ Douazec s cc de determar ale ue covers au dat valoarea mede X s dspersa de selecte S 4. Sa se verfce daca coversa mede este ma mca decat 55. Se alege α Soluţe: H 0 : μ 55 H A : μ 55 X μ0 54, ,4 *5,0 T 0,60 S 5 Reguea crtcă este T t ude t t t, 49 ; α, α ; α 4;0.99. Dec T u aparte regu crtce ceea ce seama ca se poate accepta poteza. H 0 57

60 Verfcarea potezelor statstce 8. Se ste ca greutatea meda a uor recpet este μ g selecte de volum 9 e da greutatea mede X 6. 5 s dspersa de selecte mede S Acest rezultat frma experetele ateroare? Se alege α Soluţe: Ipotezele statstce sut: H : μ μ vs 0 0 H : μ μ0 X μ Testul utlzat: T 0 S S x X Reguea crtca: T t sau T t, ude ( ) α ; X μ T.8 S t t.306 α ; 8;0.975 α ; A. O Dec T u aparte regu crtce ceea ce seama ca se poate accepta poteza. H 0 9. S-au facut 5 determar asupra cotutulu de compoet actv al uu amestec etalo s s-a determat meda X mg/l s S I etalo s-a trodus cattatea μ mg/l. Valoarea gasta petru mede este tamplatoare sau este datorata uor eror sstematce de metoda? Se alege α Soluţe Se verfca poteza H : μ μ ; 0 0 H A : μ μ0 X μ0 34,45 34,00 0,45*5 T,5 S 0,9 0,9 5 Reguea crtcă este T t sau T t. 58 α ; α ;

61 Verfcarea potezelor statstce t 4 ;0.975,06 Deoarece,5,06, T se gaseste reguea crtca dec respgem poteza H 0. Aşadar valoarea gasta petru meda de selecte este datorata uor eror sstematce de metoda. 0. Patru termometre sut troduse tr-u medu cu temperatura fxa 000 º C. Ele dau dcatle: 986, 005, 99, 994. Sa se verfce poteza potrvt carea abaterle de la valoarea μ º C sut datorate experetelor. Se alege α Soluţe: Se verfca poteza H : μ μ ; 0 0 H A : μ μ0 X μ T 0 ; Reguea crtcă este T t α sau T t α. S ; ; x X 994 ; 4 S ( x X ) S [( ) ( ) ( ) ( ) ] [( 8) ( 3) 0] *94 64,

62 Verfcarea potezelor statstce * Dec T, 5 ude t 3 ; , ,04 4 Deoarece 3,8,5 3, 8 u se respge adca erorle sut datorate experetelor.. Zece determar ale procetulu de clor dtr-o soluţe au codus la X 0.83 % s S 0. 0 %. Daca adevaratul cotut este μ % sa se verfce poteza H : μ μ ; 0 0 H A : μ μ0 Se alege α Soluţe : X μ T 5.9 S Zoa crtcă este T t, α t, α t9;0,05 t9;0,95, 6 H 0 Se respge poteza H 0. 60

63 Verfcarea potezelor statstce. Determarle succesve efectuate doua vase deschse care cot HCl au dat rezultatele : I II Sa se stableasca daca cele doua vase au mede aceeas compozte. Se cuoaste dstersa σ σ 0.6. Se alege α Soluţe : Se verfca H : μ μ ; 0 H A : μ μ Se utlzează varabla Z X X ( μ μ ) ude σ σ 5,75 5,64 5,9 5,58 5,49 5,7 X 5.77 s X Coform poteze H : μ μ, dec 0 0 μ μ 5,77 5,60 0 0,7 3 Dec Z 0, 5 ; 0,6 0,6 0,4 3 3 z.96 z α Zoa crtcă este Z z α sau Z z α Nu se poate respge H deoarece.96 0,

64 Verfcarea potezelor statstce 3. Doua catare automate M s M sut foloste petru ambalarea uu produs pachete de 000 g. Se ste ca produsele ambalate au masele repartzate ormal cu medle μ s μ s abaterle med patratce σ 3 g, respectv σ 4 g. Se cataresc cate 00 pachete d produsele ambalate de fecare dtre catare s se obt rezultatele X 007 g s X 00 g. La u prag de semfcate α 0. 0 sa se verfce daca pachetele ambalate au aceeas masa. Soluţe: H0: μ μ H0: μ μ 0 Ipotezele statstce sut: ; HA: μ μ HA: μμ 0 X X ( μμ) Testul utlzat: Z σ σ Reguea crtca: Z z α sau Z z α Z z Deoarece Z z se respge poteza. α 4. Se aalzeaza doua lotur de mater prme dexate pr s. Petru cele 75 (80) de probe d lotul () se obt cocetratle med X 44 (respectv X 40 ). Se ste ca dspersle sut σ 00 s σ 40. Cu u prag de semfcate α 0. 0 sa se verfce daca dfereta mede de cocetrate tre cele doua lotur este ma mare decat. Soluţe: H μ μ ; H μ μ 0 : A : H 0 6

65 Z X X ( μ μ ) σ σ Verfcarea potezelor statstce X 44 X 40 σ 00 σ 40 μ μ Dec, Z X X σ ( μ μ ) σ * 6.5 Reguea crtcă este Z zα ude z α z , dec se acceptă H 0 5. Petru a studa efectul cocetrate de catalzator asupra coverse se fac doua grupe de observat s se obt datele: I II Se poate cosdera ca cele doua tpur de catalzator duc la aceeas coverse mede? Se alege α s se cosdera dspersle egale. Soluţe : H : μ μ vs 0 H A : μ μ 63

66 Verfcarea potezelor statstce 5,8 5,5 5,4 5,58 5,6 5,8 X 5.37 ; X ; 3 3 s x X ; s ( x X ) s Avem: ( ) S p Dec, ( ) s ( ) s [( 5,8 5,37) ( 5,5 5,37) ( 5,4 5,37) ] * 0,06 0, 03 [( 5,58 5,67) ( 5,6 5,67) ( 5,8 5,67) ] 0, 05 s 3 s * 0,03 3 s s ( 0,03 0,05) S p 0.05, dec S p 0, X X ( μ μ ) T este dstrbuta T cu grade de lbertate. S p 5,37 5,67 0 T 0,5 3 3 Reguea crtca este 0,3 0,5 3 α ; 3 T t s T t 4*3 α ; 6,44 t 4 ; Deoarece.776, u se poate respge. H 0 64

67 Verfcarea potezelor statstce 6. Petru a compara doua beze cu cfrele octace 90 s 98 o aumta cattate este folosta 5 automoble petru cercare. Se masoara dstata parcursa paa la oprre s se obt valorle X (m).7.3 S (m) Sa se verfce daca cele doua beze sut dferte. Se alege α Soluţe: H 0 : μ 98 μ90 vs H A : μ98 μ90 s s 4*0.45 4*0.55 S p 0.5 dec S p T S X p 98 X ; 0.5* 3 t 8 ; dec se respge H 0 7. Cc determar de debt petru u schmbator de caldura au dat valorle: 5.84; 5.76; 6.03; 5.90; 5.87 g / s. Se poate presupue ca dspersa petru aceste masurator este ma mca decat 0.0? se alege α Soluţe : H : σ 0.0; vs. : σ H A 65

68 Verfcarea potezelor statstce Se utlzează varabla ( ) 4*0.009 χ 3.9 Reguea crtcă este data de χ 0.0 S χ ; X 5,88, S ; σ 0 χ, α σ Deoarece u se respge H s u putem cosdera χ 4 ; Doua echpe de expermetator au efectuat cate 3 observat asupra uor temperatur de reacte. S-au obtut rezultatele: X C, s.867, respectv X C, s Exsta dferete semfcatve tre rezultatele obtute? Se alege α Soluţe: Iate de a aplca testul T se aplca testul F petru a e asgura de egaltatea dsperslor. a) Aplcam testul F prvd egaltatea dsperslor H 0 : σ σ ; vs. H A : σ σ s.5757 Se utlzează varabla F. 3 s.867 Se alege α 0. 0; f 4. 6 ; f 0. 4,;0.99,;0.0 Deoarece se acceptă poteza H 0, dec dspersle sut egale. b) Aplcam testul T prvd egaltatea medlor

69 T S p X X Verfcarea potezelor statstce ; *.867 *.5757 S p.38 ; t 4; ; t 4 ; Deoarece u se respge poteza H 0, dec tre cele doua echpe u exsta deosebr semfcatve. 9. Doua pompe cu debtul omal de 00 l/m au fuctoat cu debtele: Sa se verfce daca sut caracterzate de aceeas dsperse. Se alege α Soluţe Se aplca testul F: H : σ σ ; 0 H A : σ σ X 99.9, s.69, X 98., s s F.7 ; f 9,9; ; f 9,9; s.44 Deoarece u se respge poteza. H 0 67

70 Verfcarea potezelor statstce 0. Doua clase de experete dau rezultatele: X.9, s 0.8, 6 X.79, s 0.43, 5 Se poate trage cocluza ca ambele experete duc la acelas rezultat? Se alege α Soluţe: Se aplca testul F s pe aceasta baza testul T. H : σ σ ; 0 H A : σ σ s 0.08 F.08; f 5,4; ; f 5,4; s 0.43 Deoarece u se respge poteza H 0. I cotuare se aplca testul T H 0 : μ μ ; vs. H A : μ μ 5* * 0.93 S p X X.9.79 T 0.5 ; t 7 ; * 0.35 S p Deoarece se acceptă poteza H 0 : μ μ. 68

71 Verfcarea potezelor statstce. S-au efectuat doua ser de cate 5 de experete obtadu-se abaterle stadard s s s Sa se compare dspersle celor doua ser de experete. Soluţe Se aplca testul F H : σ σ ; 0 H A : σ σ s 0.03 F.5 s 0.09 Se alege α s f. 98, 4,4;0.95 dec u se poate respge poteza H 0. Petru α 0. 0 s f. 70 cocluza este aceeas. 4,4;

72 Verfcarea potezelor statstce. Determarea efectulu atflamator al Algoprulu s-a efectuat pe modelul de flamaţe expermetală cu carrageea la velul labe pcorulu posteror la şobola. S-au utlzat şobola Wstar cu greutate de 0 ± 0 g î lotur de câte 0 şobola petru fecare varată expermetală. S-a utlzat o soluţe sală de % carrageea jectată î volum de 0, ml s.c. î laba posteroară. Volumul labe a fost determat îate de admstrare ş la 3 ore după jectarea soluţe de carrageea. Preparatele atflamator s-au admstrat cu oră î prealabl carageeaulu, ar la 3 ore după admstrarea acestora a fost determat volumul labelor posteroare. Laba cotralaterală a costtut referţa. Sobola S-au obtut urmatoarele date expermetale: Acetyl salcylc acd Chlorpheram ALGOPIRIN Lot cotrol Ital flamat Ital flamat Ital flamat Ital flamat 0,8,6, 0,9,6,5,,8 0,9,4 0,8,5 3,7,5 0,9,6 4 0,9,4 0,8 0,9,6 5 0,9,5 0,9,7 0,6 0,9,5 6,6 0,9 0,7,8 7 0,9,,9, 0,9,7 8 0,9,5 9 0,9, ,6 Sa se verfce daca cresterea volumulu labe sobolaulu ca urmare a flamate provocata de carrageea este semfcatva. absolute value of flammato (ml) of the rat paw duced by carageaa Patet AAS clorpheram cotrol

73 Verfcarea potezelor statstce Solute: Petru fecare produs utlzat vom aplca u test t pereche: d T T s ude d este dfereta dtre volumul tal s volumul flamate d este meda lu d d d s ( d ) d Obtem astfel urmatoarele rezultate petru d Sobola Acetyl salcylc acd Chlorpheram ALGOPIRIN Lot cotrol -0,8-0, -0,7-0,5-0,7-0,5-0,7 3-0,7 - -0,5-0,7 4-0,5-0, -0,7 5-0,6-0,8 0,4-0,6 6-0,6 -, 0,3-0,8 7-0,3-0,9-0, -0, d -0,6-0,7 -, s ,3 d Petru fecare produs parte vom verfca potezele statstce: H0 : μ μ0 vs. H A : μ μ0 cosderadu-se α Reguea crtca: T t sau T t ; t 6;0,95, 94 ; t 9;0,95, 83 α ; α ; S-au obtut urmatoarele valor: T 9, 43 T m 7,80 T lg 0, acetyl salcylc acd T 8, 5 lot cotrol chlorphera A opr 7

74 7 Verfcarea potezelor statstce Dec, exceptad Algoprul toate celelalte valor ale testelor sut stuate reguea crtca. 3. Evoluţa fucţe reale rezduale (FRR) î fucţe de boala prmară reală a fost calculată la tervale de 3 lu tmp de a de la ţerea dalze obtadu-se urmatoarele rezultate: Boala reala FRR la terea dalze FRR la a prmara Meda SD Numar Meda SD Numar GNC NTI NI NH BPI NVNINH ude: GNC glomeruloefrta croca NTI efropate tubulotersttala croca NI efropate schemca NH efropate hpertesva BP boala polchstca reala NINH efropat vasculare NV Sa se verfce urmatoarele poteze: I. La terea dalze: la terea HD (dalze), paceţ cu meda FRR ( fucta reala rezduala) cea ma mare sut ce avâd ca boală reală prmară o efropate tubuloterstţală crocă (t), î tmp ce glomerulopaţ (gc) au FRR cea ma mcă; II. Evoluţe la a Rtmul cel ma rapd de deterorare a FRR a fost îregstrat î cazul bolavlor cu efropat vasculare (v) Solute: I FRR la terea dalze meda SD FRR la terea dalze GNC NTI NI NH BP GNC NTI NI NH BP

75 Verfcarea potezelor statstce Aplcam testul t ( Studet) petru a verfca semfcata statstca a dferete tre NTI s NI X X ( μ μ ) T este dstrbuta T cu grade de lbertate. S p ( ) s ( ) s ( ) ( ) 6,99 9 5,4 S p 47, ,33,5 0 T 0,89 Reguea crtca este T t α t α ; 33; 6, Itrucat umarul de grade de lbertate este ma mare de 30, cuatlele t sut practce egale cu cele petru repartta ormala. Petru rscul obsut de 0.05, valoarea calculate cade zoa de acceptare. Dec valoarea cea ma mare corespude NTI dar dfereta fata de urmatoarea afectue NI, u este semfcatva. Smlar, daca se calculeaza, se obte ca valoarea cea ma mca este petru GNC, dar aceasta valoare u dfera semfcatv de cea petru BP. Dfereta este semfcatva tre NTI s GNC Observate: aplcarea testulu t u este char ortodoxa aceste cazur deoarece dspersle u apar sa fe egale. II. FRR evolute meda SD GNC NTI NI NH BP NVNINH Evoluta FRR -6 GNC NTI NI NH BP NVNINH D tabel se observa ca dfereta cea ma mare apare la NV. Compararea cu testul t u este prea corecta deoarece dspersle sut foarte dferte. Aplcarea testulu F petru compararea lor va duce la aceasta cocluze. 73

76 Verfcarea potezelor statstce Aplcarea mecaca duce se pare la cocluza ue dferete semfcatve de exemplu tre deterorarea la NV s deterorarea la NTI. Dfereta tre NV s GNC. XX ( μμ) T T. S p S Reguea crtca este T t ; α ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) s s 3 5, ,4 p 3 0 ( ) 5,65 5, 76 4,4 0 T,88, Cu rscurle obsute ( 0.05 sau 0.0) se obte cocluza ca cele doua degradar (NV s GNC ) dfera semfcatv. Evdet, cu atat ma mult vor dfer semfcatv NV s NTI. 4. Dstrbuţa gravtat HTA (hpertesue arterala), î fucţe de boala reală prmară, la 3 lu de la ţerea programulu de dalză crocă (câd s-a cosderat că paceţ au ajus la u echlbru d puct de vedere hemodamc), a fost următoarea: Boala reala prmara o - HTA HTA mooterape bterape > 3 medcamete GNC glomeruloefrte croce NTI efropat tubuloterstţale NI efropate schemca NH efropate hpertesva BP boala polchstca reala Sa se verfce poteza potrvt carea HTA este ma severa grupul pacetlor cu GNC. Severtatea e tradusa pr umarul de medcamete ecesare petru a cotrola tesuea. Se cosdera α 0,0 74

77 Verfcarea potezelor statstce Solute: Vom calcula procetul de pacet hpertesv care au s bol reale. Total pacet cu HTA ( ) pacet cu mooterape pacet cu bterape pacet cu peste 3 medcamete Total pacet ( ) Total pacet cu HTA ( ) pacet o HTA Procet Total pacet cu HTA ( ) / Total pacet ( ) Numar de medcamete admstrate o HTA Peste 3 Total pacet cu HTA ( ) Total pacet ( ) Procet GNC ,9 NTI ,5 NI , NH BP ,5 Cocluze: tr-adevar proporta de hpertesv este cea ma mare la bolav cu GNC ( NH u se a cosderare deoarece este pr defte hpertesva ). Vom verfca potezele H0 : p p p vs HA : p p calculad testul p p p p Z, ude pˆ pˆ( pˆ) a) Vom face o comparare tre GNC s NTI des rezultatul se vede cu ochul lber: cele doua proport dfera semfcatv Numar de medcamete Procet admstrate Total pacet cu HTA ( ) Total pacet ( ) o HTA Peste 3 GNC ,9 NTI ,5 H : 0 pgnc pnti p vs p HA : pgnc p NTI pgnc pnti Z pˆ( pˆ) Z Dar z α z0,90, 8 s 6,5,8 respgere ˆ 0, ,90 0, 5 0,65 6,5 0,50*0,50 0,04 9 Z, dec se gaseste zoa de 75

78 Verfcarea potezelor statstce Cocluze: Se respge poteza H : 0 pgnc pnti s se accepta ca ele dfera semfcatv cu probabltatea >0,90 (s char 0,99) b) Comparata GNC - NI Numar de medcamete admstrate o HTA Peste 3 Total pacet cu HTA ( ) Total pacet ( ) Procet GNC ,9 NI , H : 0 pgc pni p vs H A : pgc pni pgnc pni Z pˆ( pˆ) Dar Z 3,8, pˆ 0, ,90 0, 0,69 Z 3,8 0, 68*0,3 0,05 74, dec se gaseste zoa de respgere. Cocluze: Se respge poteza H : 0 pgnc pni s se accepta ca ele dfera semfcatv cu probabltatea >0,90 (s char 0,99) c) Comparata GNC - BP Numar de medcamete admstrate o HTA Peste 3 Total pacet cu HTA ( ) Total pacet ( ) Procet GNC ,9 BP ,5 pgnc pbp Z pˆ( pˆ) H : 0 pgnc pbp p vs HA: pgnc pbp p Z Dar Z 0,8 Cocluze: Se respge poteza H : 0 pgnc pbp ˆ 0, ,90 0,50 0,40 0 0,73*0, 7 0,04 86, dec se gaseste zoa de respgere. s se accepta ca ele dfera semfcatv cu probabltatea >0,90 (s char 0,99) 76

79 Verfcarea potezelor statstce 5. I cadrul loturlor de hemodalzaţ s-a comparat procetul de paceţ care au ecestat tratamet cu stmulator a ertropoeze, precum ş doza mede admstrată obtadu-se urmatoarele valor: Boala reala prmara Aeme ecestad ASE Doză ASE sub 5000 Doze ASE Doze ASE peste GNC NTI NI NH BP NV Sa se verfce poteza potrvt carea procetul paceţlor care au ecestat tratamet cu ASE (ertropoetă) u a avut dfereţe semfcatve ître glomeruloefrte croce (44 d 50 88%), efropat schemce ( d 4 87%) ş cele hpertesve (30 d 37 8%), dar a fost semfcatv ma mc la paceţ cu efropat tubuloterstţale ( 48 d 79 6%) ş bol chstce ( d 36 33%). Solute: OBSERVATIE : LIPSA SEMNIFICATIILOR SEMNALATE ( 88%, 87%, 8%) ESTE EVIDENTA SI NU SE MAI IMPUNE O TESTARE STATISTICA. Testam dfereta tre cele ma apropate valor 0.88 s 0.6 cosderate dferte. OBSERVATIE : procetele se refera uma la umarul total de pacet tratat. Testarea o aplcam ta comparad uma proportle metoate cu testul Z. ASE sub 5000 ASE ASE peste 0000 TOTAL pacet cu aeme ( ) Total pacet ( ) Procet GNC NTI Testul Z Petru a verfca potezele H : 0 pgnc pnti p vs HA : pgnc pnti cu α 0,0, calculam pgnc pnti p GNC p NTI Z, ude pˆ 0,7 pˆ( pˆ)

80 Verfcarea potezelor statstce Z 0,88 0, 6 0, 7 6,75 0,7*0, 9 0,04 9 Dar z α z0,90, 8 s Z 6,75, 8, dec se gaseste zoa de respgere. Cocluze: Se respge poteza H : 0 pgc pnti s se accepta ca ele dfera semfcatv cu probabltatea >0,90 (s char 0,99) 6. Aprecerea stăr de utrţe a fost realzată pr măsurarea albumeme serce (s-au luat medle pe 6 lu) ş pr aplcarea chestoarulu de evaluare globală subectvă a stăr de utrţe (SGA Subjectve Global Assesmet) la tervale de a. S-au obtut urmatoarele valor: Boala reala prmara Malutrte albuma Alb 3-3,5 Alb,5-3 Alb <,5 GNC NTI NI NH BPI Malutrte Nr. pacet Procet o Usoara SGA Meda Severa SGA cu SGA Total GNC NTI NI NH BP p GNC NTI NI NH BP 78

81 Verfcarea potezelor statstce Sa se verfce poteza ca atat d puct de vedere al albume serce - ca marer al malutrte cat s al SGA (subjectve global assessmet) care clude s comorbdtat malutrta este ma frecveta s ma severa la NI. Solute: a) Testam d puct de vedere al albume serce Albuma Pacet Procet sub,5 3-3,5,5-3 cu Albuma ( ) Total ( ) NI NH Petru a verfca potezele H : 0 pni pnh p vs HA: pni pnh cu α 0,0, calculam Z pni pnh 4 0 0,58 0, 7 0,3, pˆ 0,39 Z 5,7 pˆ( pˆ) ,39*0, 6 0,06 6 Dar z α z0,90, 8 s Z 5,7, 8, dec se gaseste zoa de respgere. Se respge poteza H : 0 pni pnh s se accepta ca ele dfera semfcatv cu probabltatea >0,90 (s char 0,99) b) Testam d puct de vedere al SGA Se observa ca procetul de malutrte cel ma mare apare tradevar la NI. Comparam proportle cu testul Z, tre p NI s urmatoarea proporte ca marme p NH Malutrte Pacet Procet Usoara Meda - o SGA Severa SGA cu SGA ( ) Total ( ) NI NH Petru a verfca potezele H : 0 pni pnh p vs HA: pni pnhcu α 0,0, calculam Z pni pnh 9 3 0, 79 0,35 0, 44, pˆ 0,5 Z 7,33 pˆ( pˆ) ,5*0, 48 0,06 6 Dar Z 7,33,8, dec se gaseste zoa de respgere. Se respge poteza H : 0 pni pnh s se accepta ca ele dfera semfcatv cu probabltatea >0,90 (s char 0,99) 79

82 Verfcarea potezelor statstce 7. Icdeta osteodstrofe la pacet sub dalza reala s-a determat pr compararea cdeţe hperparatrodsmulu ş hperfosfateme dferte subgrupur, obtadu-se rezultatele urmatoare: Boala reala prmara PTH > valoare optma PTH ormal sau suboptm PTH 800pg/ml P>N P lmte GNC NTI NI NH BPI PTH parathormo, are valoare optmă î jur de 00pg/ml Hperparatrodsm creşterea PTH peste valoarea optmă Sa se verfce poteza statstca potrvt carea valor mar ale parathormoulu serc (PTH), peste 800pg/dl au fost îregstrate aproape exclusv la paceţ cu efropat tubuloterstţale croce. Solute: Observate: u ma este evoe de statstca dar, ca moft, aplcam testul Z de comparare a doua proport PTH P 800pg/ml total GNC NTI NI NH BP P GNC NTI NI NH BP Petru a verfca potezele H p p p vs H : p p 0 : GNC NTI A GNC NTI cu α 0,0, calculam pgnc pnti 8 0, 04 0, 3 0,9 Z, pˆ 0,6, Z 6,33 pˆ( pˆ) ,6*0,84 0,03 9 Dar Z 6,33, 8, dec se gaseste zoa de respgere. Se respge poteza H : 0 pgc pni s se accepta ca ele dfera semfcatv cu probabltatea >0,90 (s char 0,99). 80

83 Teste eparametrce TESTE NEPARAMETRICE Testele depedete de dstrbute, umte ş teste de rag, îlocuesc valorle varable cattatve observate cu ragurle lor. Testele eparametrce sut valable ş petru varable ormal dstrbute, dar sut ma puţ efcete, petru acelaş prag de semfcaţe fd ecesare eşatoae ma mar decât petru testele parametrce. Aplcarea lor este posbla atuc cad varablele aleatoare sut cotue s depedete. Testul Wlcoxo Testul de rag Wlcoxo este u test cu poteza ulă că două populaţ sut detce, fată de poteza alteratvă că ele dferă prtr-o traslaţe leară. Testul îlocueşte observaţle pr ragurle lor. Ragurle sut repartzate la valorle d selecţ î ordea creşter mărm fără să ţă cot de probele cărora le aparţ. Să presupuem că o probă este de mărme ş alta de mărme N-. Testul presupue că orce combaţe de ragur î aceste două grupur este egal probablă. Numărul total de modur de grupare a ragurlor este C N. Nu este uşor să calculăm toate posbltăţle, astfel îcât vom folos faptul că meda ragurlor ue probe este dstrbută aproxmatv ormal cu urmator parametr: E ( R) N s ( ) ( N )( N ) D R Sut dspoble tabelele care dau lmtele de acceptare a poteze petru suma obţută, ca o fucţe de, N ş rscul asumat. H 0 Fe R suma ragurlor ş R meda ragurlor probe de mărme. N R R E( R) Varabla aleatoare Z D( R) ( N )( N ) va f repartzată aproxmatv N ( 0,). 8

84 Teste eparametrce Notat alteratve: a) Daca N ; s N, ( ) se obte: z R ( ) (testul Ma Whtey) ( ) R b) Se amplfca cu, se obte R R s z ( ) c) Krusal s Walls au observat ca aproxmaţa este îmbuătăţtă câd valoarea α este ma mare de 0,0 pr aducerea lu R ma aproape de meda lu cu. Z N R ( N )( N ) Ajustarea petru valor egale î testul Wlcoxo Dacă apar egaltăţ, o alteratvă petru egljarea lor este de a repartza la aceste observaţ meda ragurlor pe care le-ar f prmt dacă u erau egale. N R Î acest caz, varabla aleatoare Z va f N( N ) T N * repartzată aproxmatv ( 0,) N N T N, ude ( ) ( ) 3 Testul Wlcoxo pereche Wlcoxo a propus deasemeea u test petru determăr pare î care ragurle sut atrbute mărm absolute a dfereţelor ş apo se dă ragurlor semul dfereţelor. 8

85 Teste eparametrce Ipoteza ulă este că dstrbuţa dfereţelor este smetrcă faţă de zero, astfel orce rag este poztv sau egatv cu aceaş probabltate. Valorle egale prmesc ca rag meda ragurlor grupulu. Să ataşăm ragurlor varablele aleatoare d, ude, daca este poztv d, 0, daca este egatv Cea ma mca suma a ragurlor trebue sa fe cel mult egala cu cea d Aexa V: Tabelul petru a cosdera cele doua grupur de rezultate ca fd dferte la velul de credere specfcat. Se foloseste sa cea ma mca valoare dtre suma ragurlor poztve s a celor egatve. Să cosderăm suma ragurlor postve va f repartzată aproxmatv ( 0,) S d. ( ) N N S E( S) s Î acest caz, varabla aleatoare Z 4 D( S) N( N )( N ) 4 N. Dacă apar valor egale, Z trebue să fe ajustat la factorul N( N ) S Z 4 N( N )( N ) T, ( ) ( ) 3 T 4 48 Testul H, Krussal Walls, de aalza a varate pe o cale aplcata ragurlor Testul H, sau testul Krusal Walls este o geeralzare a testulu Wlcoxo î cazul a probe,. La fel ca ş î testul Wlcoxo, observaţle prmesc ragur, ş meda ragurlor R se calculează petru fecare grup. ( ) N E R ş ( ) ( N )( N ) D R R E( R ) Raportul D ( R ) cetrala. va f repartzat N ( 0,), coform teoreme lmta 83

86 Teste eparametrce Krusal ş Walls au arătat că suma pătratelor lor, cu u factor de poderare are aproxmatv dstrbuţa χ ( ) N H N R ( N )( N ) H χ ( ) N ( R R) ( N )( N ) N N N ( R R) ( N ) T Dacă apar valor egale, H trebue să fe împărţt la factorul 3 N N T este calculat petru fecare grup de ude ( ) ( ) 3 legătur. Estmarea tervalelor de credere pr calculul o parametrc Daca u sut verfcate potezele ecesare aplcar testulu t (potezele prvd ormaltatea s egaltatea dsperslor), tervalul de credere se determa folosd testele o-parametrce. Metoda se bazeaza pe compararea ragurlor. O metoda de calcul eparametrc a tervalulu de credere petru raportul parametrlor a fost data de Hollader s Wolfe s aplcata ulteror la boechvaleta alatur de alte metode oparametrce de Stejes s Dlett. Cosderam N subect dtr-o populate care u este ormal dstrbuta carora l se aplca doua medcamete dferte (X s Y). Vom avea N perech de valor (, ) x y ude x X s y Y. Hollader M, Wolfe D A, No-parametrc Statstcal Methods,Wley, New Yor, 973 Stejes V W, Dlett E, Statstcal Aalyss of Boavalablty Studes: Parametrc ad No-parametrc Cofdece Itervals, Eur. J. Cl. Pharmacol 4, 7-36,983 84

87 Teste eparametrce x Vom calcula rapoartele s vom compara R, meda geometrca y petru rapoarte, petru toate perechle posble de N rapoarte dvduale N( N ) (R), ude N este umarul de subect. Exsta astfel de perech, cluzad s raportul R/R tre u subect s el sus. Valorle lu R sut apo ordoate crescator fucte de rag. Lmta feroara s superoara a tervalulu de credere oparametrc de 90%, respectv 95%, sut redate tabelul prvd tervalele de credere folosd testul de rag Wlcoxo (Aexa V: Tabel ). Coefcetul de corelate de rag Spearma Cosderam cotuare problema comparar fucte de doua crter dferte (X s Y) a uor dvz dtr-o populate care u este ormal dstrbuta. Vom testa poteza ula prvd abseta corelate tre X s Y. Vom avea perech de valor ( x, y ) ude x X s y Y. Vom ordoa crescator, separat, valorle { x, x,..., x } s { y, y,..., y } otad ragurle corespuzatoare cu x, respectv y. Valorle egale prmesc ca rag meda ragurlor grupulu. Vom determa dferetele ragurlor dtre cele doua crter: d x y Se umeste coefcet de corelate de rag Spearma umarul r S 6 d ( ) rs Daca 0 vom folos varabla aleatoare: T rs repartzata Studet cu grade de lbertate. Daca 0 u putem utlza aproxmarea precedeta. I acest caz vom determa d tabelul de corelate de rag Spearma (Aexa V: Tabel 3) valoarea corespuzatoare r α. Vom spue ca se accepta poteza ula daca rs r α. 85

88 Teste eparametrce Exerct:. Sa se verfce ca urmatoarele esatoae x,, 3, 4,3 x 0,4 3,3 apart aceleas populat. Se cosdera rscul α 0.0 Solute: Ordoam crescator valorle acordadu-le ragul corespuzator: x,, 3, 4,3 Ragurle 4 6 x 0,4 3,3 Ragurle R 4 6 3; R 3.5 ; R ; R 5 Petru a se accepta poteza H : 0 cele doua esatoae apart aceleas populat cea ma mca suma a ragurlor trebue sa fe cel put egala cu cea d tabelul testulu Wlcoxo corespuzatoare umarulu N (Aexa V: Tabel ). I cazul ostru aceasta valoare este. Cum 3 vom spue ca se accepta poteza H 0. Vom verfca aceste rezultate cu cele obtute pr aproxmarea ormala a dstrbute ragurlor. Aplcad testul Wlcoxo Z N R ( N )( N ) ude N 7, 3 s R 5 obtem 7 5 Z *3.3 ( 7 )( 73) *3 z s.3 (.64,.64) Deoarece dec selectle apart aceleas populat. 86 Z se accepta poteza,

89 Teste eparametrce. Sa se compare daca esatoaele de ma jos prov d aceas populate cosderad rscul ca fd α 0.0 : E 3 9,8 5, 3,6 5,9 8,5 9,4 E 9,3,5,3 7,6 3, 8,6 7, 4, 9,6 3,8 Solute: Deoarece u stm mc despre populata d care prov cele doua esatoae u vom putea aplca teste eparametrce. Vom ordoa crescator toate cele 8 valor determad apo ragurle corespuzatoare: E 3 9,8 5, 3,6 5,9 8,5 9,4 Rag E 9,3,5,3 7,6 3, 8,6 7, 4, 9,6 3,8 Rag Calculam meda ragurlor pe fecare esato: R 7, R, Petru N 8 valoarea corespuzatoare testulu Wlcoxo este 40. Cum cea ma mca valoare a sume ragurlor este ma mare decat valoarea testulu (58 40 ) vom spue ca acceptam poteza Aplcad testul Wlcoxo Z N R N N. ( )( ) I cazul ostru: N 8, 8, R 7,5, dec. H 0 Z 8 7,5 *8,8, 55, 40 ( 8 )( 8 8) *8 z s,55 (.64,.64) Deoarece z se accepta poteza. 87

90 Teste eparametrce 3. Se dau datele urmatoare date: x :.;.; 3.; 4.3;.5 s x : 0;.4; 3.3;.5;.5 Sa se verfce poteza ca aceste esatoae apart aceleas populat asumadu-e rscul α 0.0. Solute: x x Valoare Rag R R 4.8 R N R z N( N ) T N * N N T s 3 umarul de coz T *3*4 4. ude ( ) ( ) 0 6. *5 0,8 Z 0( 0 ) , 6 * *5*0 0 Z 3,08.64,.64 ( ) Vom respge poteza, dec esatoaele u apart aceleas populat. 4. Petru a determa metoda optma de dozare a cotutulu substata actva dtr-u lot de comprmate se compara doua metode aaltce dferte. S-au luat lucru cate comprmate petru fecare metoda aaltca s s-au obtut urmatoarele rezultate: cpr M 9, 0 9 9,4 0, 9,5 0 0,3 0, 0, 9,8 0, M 9,5 9 8,8 9,5 9, 0 0, 9,3 9 9,7 9, 9,3 Exsta dferete semfcatve tre cele doua metode? Se cosdera α

91 Teste eparametrce Solute: Vom face dfereta dtre cele doua metode cpr M 9, 0 9 9,4 0, 9,5 0 0,3 0, 0, 9,8 0, M 9,5 9 8,8 9,5 9, 0 0, 9,3 9 9,7 9, 9,3 d d M M Vom aloca ragurle corespuzatoare dferetelor. Vom ordoa crescator valorle absolute ale dferetelor s fal vom aloga semele corespuzatoare. cpr d rag , , Suma ragurlor poztve este Suma ragurlor egatve este S 4,5 5,5,5,5 Vom aplca testul Z S ( ) N N S 4 N( N )( N ) T 4 48 ude S S 65,5 N umarul de perech T **3 **3 *3*4 36 s vom obte: ( ) 65,5 Z 4 ( )( * ) ,4 6,4 Z,07 6, 75,7 Deoarece z. 64 s Z,07 (.64,.64) se respge poteza

92 Teste eparametrce 5. Dozad calcul d 3 zvoare dferte de apa s-au obtut valorle (mg/l): Izvor Izvor Izvor Sa se determe daca zoa geografca flueteaza semfcatv cattatea de calcu d apa. Se cosdera α Solute: N R Testul statstc utlzat: H ( N )( N ) N ude N, 3 4 s 3 Vom calcula ragurle corespuzatoare: Ragur ( R ) Vom obte χ R Izvor Izvor Izvor ,5 4,5 4 4 H ( )( 4) ( )( 4) *4 *4 ( ) 7 4 8,5 6,5 4,5 6,5 * * ( )( 4) * ,5 * (, 75, 5 0,5 ) 0,3 8,375*0,3, Deoarece apar coz (valor egale), H trebue să fe împărţt la factorul 90

93 Teste eparametrce T 3 N N T este calculat petru fecare grup de ude ( ) ( ) 3 legătur. I cazul ostru avem 4 grupe a cate coz fecare, dec T **3 6. 4*6 4 Factorul de mpartre va f 0,986 3 *43 Se obte astfel,6 H,637 0,986 repartzat χ cu grade de lbertate. Cum χ ;0.05 0, 05, χ ; ,38 s 0,05,637 7,38 se accepta poteza H 0 : μ μ μ3. 6. Cosderam cazul cad acelas lot prmeste succesv doua tratamete obtadu-se urmatoarele rezultate: Subect Tratamet Tratamet Testat poteza H 0 ca efectele celor doua tratamete u dfera semfcatv. Se cosdera rscul α 0.05 Solute: I aceste codt petru a latura tervarabltatea se compara fecare subect cu se sus. I acest caz testul de compararea a medlor este testul Wlcoxo pereche s se bazeaza pe aalza dferetelor perechlor de date. Vom face dfereta dtre valorle x (tratamet ) s x (tratamet ) s vom aloca ragurle corespuzatoare valorlor obtute: x x

94 9 Teste eparametrce x x Ragul Suma ragurlor poztve: 8 ( N ) N S z 4 N( N )( N ) 4 5* ( 5 ) 8 z 4 5* 5 * *5 4 Deoarece. 64 ( ) ( ) z s 0.0 (.64,.64) z se accepta poteza 7. Se studaza actvtatea acetlcolesteraze la u lot de amale expus actu uu sectcd orgaofosforc. Actvtatea ezmatca este exprmata mcromol de substrat hdrolzat pe mut s pe mg de protee. Rezultatele obtute fucte de tmpul de expuere la pestcd sut urmatoarele: Amal Amal tratat martor z zle 3 zle Isectcdul produce o dmuare semfcatva a ezme (vom compara global cele 4 esatoae)? Solute: H 0 : u exsta dferete semfcatve tre actvtatle med ale celor 4 esatoae H A : exsta dferete semfcatve tre actvtatle med ale celor 4 esatoae Alocam ragurle corespuzatoare: Amal Amal tratat Ragurle martor z zle 3 zle med ,5

95 Teste eparametrce , , , ,375 N R Aplcam testul H χ ( N )( N ) N N 4,, ( ) ,5 4 4 H ( 4 )( 4 4) 4 ( 4 )( 4 4) 4 *4 * ,875 0, ( 4 )( 4 4) 4 ( 4 )( 4 4) 4 *4 * ,875 8, ( 4 )( 4 4) 4 ( 4 )( 4 4) 4 *4 *4 ( ) ude,5, 65 3,375, 75, 65 4,5 *0, * Deoarece apar coz (valor egale), H trebue să fe împărţt la factorul T 3 N N 3 ude T ( ) ( ) este calculat petru fecare grup de legătur. Avem 5 coz a cate elemete T **3 6 dec factorul cu care se va mpart este 5*6 0,00 0,

96 Teste eparametrce Se obte astfel lbertate. 0,76 H 0,80 repartzat χ cu 5 grade de 0,998 Deoarece χ, χ s H 0,80,833 se respge poteza. 5;0.05 0,83 8. Se dau datele urmatoare: 5;0.975,833 x x x Sa se verfce ca esatoaele prov d aceas populate, α Solute: Alocam ragurle corespuzatoare: x x x 3 x R R 6.6 7,9 8.5 N R Aplcam testul H χ ( ) ( N )( N ) N ude N 4, 5, 3 4, , H * * 5*9 4 5*9 4 *5 *5 94

97 Teste eparametrce * 0,35 5*0 4 *4 Deoarece apar coz (valor egale), H trebue să fe împărţt la factorul T ude T este calculat petru fecare grup de legătur. 3 N N Petru grupul x, avem coz, dec T **3 6, aceeas stuate repetadu-se s petru grupul x, 5, dec factorul cu care se va mpart este 6 6 0,004 0, ,35 Se obte astfel H 0,35 0,996 Deoarece χ ;0.05 0, 05, χ ; ,38 s 0, 05 H 0, 35 7,38 se accepta poteza. 9. La testarea a doua preparate farmaceutce (testat T s referta R) s-au obtut urmatoarele valor petru cocetrata maxma plasma ( C max µg/ml). Subect Cmax R Cmax T T/R,4,07 0,95.7,47,77,95,5,3 Vom determa meda geometrca petru fecare raport T adca R radcalul dtre produsul a doua rapoarte. Astfel: petru subectul meda geometrca este radcalul dtre produsul raportulu subectulu combat cu el sus:, 4 *, 4, 4 95

98 96 Teste eparametrce Petru subectul combat cu subectul, meda geometrca este radcalul produsulu dtre raportul subectulu s raportul subectulu :, 4 *, 07, Acest ratoamet l vom aplca petru fecare dtre ce 9 subect. N( N ) 9*0 Se vor determa 45 de combat dferte cluzad s fecare raport cu el sus. Medle geometrce determate, cosderate o sgura data, sut: Vom determa ragurle corespuzatoare Dupa cum se observa, lmta feroara, respectv superoara a tervalulu de credere 95% este valoarea ragulu 6, respectv 40 al medlor geometrce determate ateror, deoarece umarul de subect este N 9. Vom determa medle geoametrce corespuzatoare ragurlor CI 95%,3,,8 obtute s vom obte u terval de credere 95% : ( ) Tabel Itervalele de credere folosd testul de rag Wlcoxo Numarul de subect Ragul lmte feroare Ragul lmte superoare (N) 95% 90% 95% 90%

99 Teste eparametrce Petru a determa u rag al medlor geometrce vom costru, EXCEL, tabelul medlor geometrce luate o sgura data Vom folos fucta small(array;) care calculeaza valoarea de rag dtr-u set de date (array). I cazul ostru array, tabelul Exccel, a fost F3:Q0, 6, respectv 40 petru tervalul de credere CI 95%, dec am avut: small(f3:q0; 6),3 small(f3:q0; 40),8 ceea ce seama u terval de credere CI 95% (,3,,8) I cazul tervalulu de credere 90% lmta feroara va avea ragul 9, ar cea superoara ragul 37 corespuzad astfel tervalulu CI 90%,9 ;, 74. ( ) 0. Vom cosdera otele uu grup de studet fucte de rezultatele obtute la matematca (a I) s bostatstca (a IV). Studet A B C D E F G H I J K l Sem I Sem II Sa se verfce daca exsta o corelate semfcatva tre rezultatele obtute la cele doua mater. α 0,90 Solute: Vom aplca testul de rag Spearma. H : t 0 u exsta corelate re mater H A : exsta corelate tre mater Determam ragurle petru fecare matere, aplcad covetle ateroare prvd ragurle petru valor egale ( coz ): Studet A B C D E F G H I J K l Sem I Sem II Determam dfereta dtre ragur petru fecare studet ( d ): Studet A B C D E F G H I J K l d d d

100 Calculam 98 r S Teste eparametrce d 6* 73.5 ( ) ( ) Itrucat avem 0 vom aplca varabla rs 0.04 T r 0.04 s 0.3 Deoarece t; α t0; s se accepta poteza H 0, dec rezultatele u sut corelate.. Studem hbta colesteraze de catre o sere de compus orgaofosforc. Petru fecare compus s-a determat: Capactatea hbtoare, exprmata pr costata K de formare a complexulu ezma compus; Lpofla, exprmata pr coefcetul de partte P tre apa s octaol log K log P Exsta o corelate semfcatva tre actuea hbtoare s lpofle? Solute: Vom aplca testul de rag Spearma. H : t 0 u exsta corelate re actuea hbtoare s lpofle H : exsta corelate tre actuea hbtoare s lpofle A Determam ragurle petru fecare compus log K log P Determam dfereta dtre ragur petru fecare compus ( d ): d d d 0 6*0 Calculam r S ( )

101 Teste eparametrce Itrucat avem 9 0 vom utlza valoarea corespuzatoare d tabelul de corelate (tabel ): r α 0.59 petru α 0.0 Deoarece r S r α vom respge poteza H 0, dec u exsta o corelate semfcatva tre actuea hbtoare s lpofle.. La testarea boechvalete a doua preparate farmaceutce (testat T s referta R) cotad MELOXICAM s-a costatat ca dstrbuta datelor d tabelul de ma jos u poate f cosderata ca fd ormala c petru datele prmare, c petru datele logartmate. D acest motv testarea boechvalete cu ajutorul testelor parametrce u este aplcabla s rezultatul egatv ceea ce prveste boechvaleta u este u rezultat care sa reflecte adevarul. Vom verfca daca acest caz, aplcarea testelor oparametrce schmba cocluza egatva prvd boechvaleta comparad arle de sub curba (AUC) petru u studu efectuat pe 8 subect d care s-au selectat lustratv 6 volutar. Subject AUC-R AUC-T 36,7 44,9 6 3,5,6 4,8 34,6 6 9, 37, 9 48,7 38,4 3,4 4,9 Solute: Ipotezele statstce sut: H produsele u sut boechvalete 0 : H A : produsele sut boechvalete Se studaza ma ta dferetele dtre AUC petru medcametul testat s medcametul referta. Subject AUC-R AUC-T AUCT AUC R 36,7 44,9 8, 6 3,5,6 9, 4,8 34,6 9,7 6 9, 37, 8,0 9 48,7 38,4-0, 3,4 4,9-6,5 Vom ordoa crescator aceste dferete etadu-se cot de sem. Subject AUCT AUC R Rag -6,5 6 8,0 8, 3 99

102 Teste eparametrce 6 9, 4 9, , 6 Dupa ordoarea completa a dferetelor (etadu-se cot de seme) se vor adauga semele corespuzatoare dferetelor orgale care au determat aceste ragur: Subject AUCT AUC R Rag Ragurle cotad sem -6,5-6 8,0 8, , 4 4 9, , 6-6 Astfel, subectul care avea ate ragul va capata ragul - deoarece dfereta petru acest subect este egatva. Acelas lucru se va tampla s cu subectul 9 care va capata ragul -6. Vom calcula suma ragurlor poztve s suma ragurlor egatve: R s R 6 7 I tabelul de ma jos sut prezetate valorle crtce ale celor doua sume de ragur ecesare petru velul de semfcate 5%, respectv %, petru N valor (N se cosdera umarul de perech excluzad perechle a caror dfereta este 0). Cea ma mca suma a ragurlor trebue sa fe cel mult egala cu cea d tabelul de ma jos petru a cosdera cele doua grupur de rezultate ca fd dferte la velul de credere specfcat α 0, 05. Tabel N α I exemplul ostru N 6, suma mma a ragurlor este R 7 s 7 0 (valoarea corespuzatoare d tabel). De aceea, spuem ca cele doua medcamete realzeaza vele plasmatce asemaatoare petru α 0,05. Petru valorle date aproxmarea ormala este ma la demaa petru a compara cele doua populat: 00

103 Teste eparametrce ( N ) N R 4 Z N( N )( N ) 4 ude R este suma ragurlor (poate f utlzata orcare dtre suma ragurlor poztve sau egatve) s N este umarul de elemete (exceptad valorle egale). 6*7 4 4 I cazul ostru, N 6 s R 4, dec Z 0, 73. 6*3*7 4 Dec, cele doua produse u sut boechvalete. 3. Determarea efectulu atflamator al medcametulu Algopr s-a efectuat pe modelul de flamaţe expermetală cu carrageea la velul labe pcorulu posteror la şobola. S-au utlzat şobola Wstar cu greutate de 0 ± 0 g petru fecare varată expermetală. S-a utlzat o soluţe sală de % carrageea jectată î volum de 0, ml s.c. î laba posteroară. Volumul labe a fost determat îate de admstrare ş la 3 ore după jectarea soluţe de carrageea. Preparatele atflamator s-au admstrat cu oră î prealabl carageeaulu, ar la 3 ore după admstrarea acestora a fost determat volumul labelor posteroare. Laba cotralaterală a costtut referţa. S-au obtut urmatoarele date expermetale prvd volumul flamate (ml): Acetyl salcylc acd Chlorpheram ALGOPIRIN Lot cotrol Sa se verfce poteza ca medcametele pot reduce flamata. 0

104 Teste eparametrce absolute value of flammato (ml) of the rat paw duced by carageaa Patet AAS clorpheram cotrol 7 5 Solute: Vom aplca testul H N R H χ ( ) ( N )( N ) N Petru aceasta vom ordoa crescator toate valorle s vom aloca ragurle corespuzatoare tadu-se cot ca cazul care apar coz (valor egale) acestea vor avea drept rag meda ragurlor pe care le-ar f prmt daca u erau egale. Acetyl salcylc acd Chlorpheram ALGOPIRIN Lot cotrol Calculam R meda ragurlor petru fecare produs (pe le). R Acetyl salcylc acd 3.00 Chlorpheram 6.86 ALGOPIRIN 4.57 Lot cotrol 9.36 N ; 4 R 6,

105 Teste eparametrce Vom calcula statstca H dstrbuta χ cu 3 grade de lbertate: ( ) R R H N N ( ) ( ) ( ) 7 3, 00 6, 0 7 6,86 6, 0 3,7 3( 3 ) 7( 4,57 6, 0) 0( 9,36 6, 0) T Deoarece apar valor egale, H trebue mpartt cu factorul 3 N N T este calculat petru fecare grup de ude ( ) ( ) 3 legătur. I cazul ostru avem: Grup de legatur (ragul) Nr. Legatur () T ( ) ( ) 8,5 4 60, , , T 704 T 0, N N ,7 Dec, vom obte H 3,64. 0,98 Dar cuatla χ 3;0,90 6, 5 dec H este zoa de respgere s dec se poate vorb de o actue atflamatoare pusa evdeta pr modelul expermetal prezetat. 03

106 04 Teste eparametrce

107 Regresa lara REGRESIA LINIARA Dacă reprezetarea grafcă a două mărm ce sut observate smulta sugerează o depedeţă lară, ajugem la problema determăr drepte ce descre cel ma be această depedeţă. O soluţe a aceste probleme o costtue dreapta pr cele ma mc pătrate, dreapta petru care suma pătratelor dstatelor de la ea la puctele expermetale este mmă. Să admtem că petru u x fxat, valoarea măsurată y este o varablă aleatoare cu urmatoarea structură: y η ε α βx ε dstrbută ormal cu dspersa σ ş meda η α βx Estmarea ecuaţe de regrese o otam : Y a bx Metoda celor ma mc pătrate dă valorle a ş b care mmzează suma pătratelor devaţlor (erorlor) ître valorle observate y ş cele prezse de ecuaţa de regrese: SS ( y Y ) ( y a bx ) E Valorle lu a ş b care mmzează suma pătratelor erorlor sut: y x ( x ) x x y xy x y x x y a ş b x x x x x ( ) ( ) ( ) Estmaţ ş poteze asupra coefcetulu b: a) Cazul dsperslor cuoscute Î cazul î care se cuoaşte dspersa erorlor de măsurare σ se foloseşte varabla aleatoare Z b β repartzată N( 0,). σ ( x X ) b) Cazul dsperslor ecuoscute Î acest caz se folosest varabla aleatoare T b β repartzată Studet cu - grade de lbertate. SS E x X ( ) ( ) 05

108 Regresa lara Coefcetul de corelaţe Coefcetul de corelaţe se defeşte pr formula ρ ( xy, ) ( x x)( y y) ( x x) ( y y) Observate: Obterea uu coefcet de corelate bu u mplca oblgatoru faptul ca legea care coreleaza datele este o fucte lara. Cosderam de exemplu urmatoarele pucte de pe parabola y x. x y y 5x - 5 R x Vom calcula coefcetul de corelate: y x y x x y y x ( x ) ( y y) ( x x)( y y) Vom avea: ( x ) x 5; ( y ) y 9; ( x x)( y y) 5 ( x x)( y y) 5 ρ ( xy) 5*9 ( x x) ( y y), Dec, R 0.969, dar puctele u sut corelate lar c parabolc. 06

109 Regresa lara COMPARAREA A DOUA DREPTE DE REGRESIE I farmacologe se poate pue problema comparar a doua medcamete u uma ceea ce prveste efectele la o doza admstrata c la ma multe doze aceasta ma ales cazul uor farmacocetc elare. Relata bodspobltatea doza sau efect doza se poate sa larza urma uor trasformar (de regula logartmce). Se pue acest caz problema comparar celor doua drepte obtute cu medcametele respectve. Acestea pot f paralele, sau ma mult, pot f estmar dferte ale uea s aceleas drepte. I alt cotext se pot compara doua metode boaaltce pr compararea curbelor de etaloare larzate. Dec matematc avem doua probleme : verfcarea poteze prvd paralelsmul s verfcarea poteze prvd dettatea dreptelor. Verfcarea poteze prvd paralelsmul Presupuem ca am obtut expermetal doua grupe de date ( x, y ) s ( x, ) y. Presupuem ca aceste date sut corelate de dreptele : y α β( x x ) s y α β ( x x ) s dec o avem sa verfcam poteza : H 0 : β β β vs H A : β β Smlar cu demostrarea facuta petru o smpla dreapta se arata ca: σ D( b) ( x x ) ( x x ) Dec, petru testarea poteze egaltat patelor folosm testul t. Petru aceasta observam ca, σ σ D( b b ) s E ( b b ) β β 0 ( x x ) ( x x ) b b Dec statstca de calculat este: T 4 S p x x x x ( ) ( ) ude S p este dspersa poderata a reuu celor doua populat : ( ) S ( ) S S p 4 07

110 Regresa lara. Verfcarea poteze prvd dettatea dreptelor. Dupa verfcarea poteze ca cele doua drepte sut paralele, se pue problema daca ele sut efectv detce s dec dreptele obtute pr metoda celor ma mc patrate sut estmar ale uea s aceas drepte. Petru aceasta vom cosdera dreptele y α β ( x x ) s y α β ( x x ) s estmarle a, a s b petru α, α, respectv β obtute pr metoda celor ma mc patrate. Dec vom calcula valorle a, a s b care mmzeaza suma patratelor abaterlor : SP( a ) [ ( )] [ ( )], a, b y a b x x y a b x x Codta ecesara ca SP ( a, a, b) sa fe mm este ca : SP SP SP 0 a a b Calculad se obte : SP [ y a b( x x )] 0 a SP [ y a b( x x )] 0 a SP b [ y a b( x x )]( x x ) [ y a b( x x )]( x x ) x x Deoarece ( x ) ( x ) 0 (suma dferetelor fata de mede), rezulta medat d prmele doua ecuat: y y a y s a y Ilocud a trea ecuate se obte: ( y y )( x x ) b ( x x ) ( y y )( x x ) b ( x x ) 0 de ude b ( y y )( x x ) ( y y )( x x ) ( x x ) ( x x ) 08

111 Regresa lara Deoarece α β ( x x ) α β ( x x ) s α α β ( x x ) cosderam estmarea Z ( a a ) b( x ) avad x E Z deoarece a y s a y ( ) 0 σ ( ) ( x x ) D( b) D Z σ σ Astfel se compara valoarea raportulu T 3 S p ( x ) ( ) ( ) x x x x x ( aa) b( xx) ( x x) ( ) ( ) x x x x cu valorle pragulu de acceptare (respgere) a poteze petru u terval de credere α fxat. I ceea ce prveste estmarea S p a dsperse, se poate lua suma erorlor SP a a, b. ( ), Aplcat:. La stablrea curbe de calbrare petru ceperea ue o sesu de lucru s-au obtut urmatoarele rezultate: Cocetrate (µg/mol) Are aalt / Are stadard ter 0, 3 0,3 6,7 0 3, y x R

112 0 Regresa lara Std, de la valdare ca σ 0.09 sa se calculeze CI 90% petru pata drepte de regrese. Solute: Dreapta care aproxmeaza puctele este de forma y β * x α. Pata drepte care aproxmeaza depedeta lara este b ( x x) ( x x) y y( x). Deoarece se cuoaste dspersa, petru determarea CI 90% petru pata drepte de regrese, vom folos varabla aleatoare Z b β repartzată N ( 0,). σ ( x X ) I cazul ostru avem: x y x x x ( x x) y ( x x) ( x x) ( x x) y 0, ,7 3 0, , , ,7 Vom obte astfel b 0, ,38 β 0,38 β Vom folos urmatoarea varabla aleatoare Z. 0,09 0, ,38 β Deoarece z0.05 z0.95, 65, avem P, 65, 65 0,90 0,04 P ,38 β P 0, 45 β 0,3 0.9 P ( ) ( ) ( 0,3 β 0, 45 ) 0.9 CI 90% ( 0,3; 0, 45). Masurad absorbata uor solut de 4 trofeol de dferte cocetrat la lugmea de uda λ 400 m s-au obtut urmatoarele rezultate: Cocetrata C (mol*0-5 /l) Absorbata (A) 0, 0,4 0,5 0,7 0,9

113 Regresa lara Presupuad ca dreapta pr cele ma mc patrate care aproxmeaza puctele trece pr orge sa se determe tervalul de credere 90% petru pata drepte. Solute: Dreapta care aproxmeaza puctele este de forma y β * x. D metoda celor ma mc patrate, pata drepte care aproxmeaza depedeta lara y( x) este x I cazul ostru avem: y x x b ( x x) ( x x) y. y 0.7 x ( x x) y ( x x) ( x x) ( x x) b 0.7 dec, dreapta de regrese este y 0.7* x y 0.78x R Itervalul de credere 90% petru β se calculeaza pord de la dstrbuta T a varable aleatoare. b β T SS ( ) ( x x) E

114 Regresa lara ( ) ( ) ( ) SSE y a b* x y b* x y 0,7* x ( 0, 0,7*) ( 0,4 0,7*) ( 0,5 0,7*3) ( ) ( ) 0,7 0,7*4 0,9 0,7*5 0,008 0,7 β 0,7 β T3 0, *0 0,7 β Deoarece t 3: , avem P P ,7 β P 0, β 0, 0.9 P ( ) ( ) ( 0, β 0, ) 0.9 CI 90% ( 0, ; 0,) 3. Sa se calculeze dreapta pr cele ma mc patrate care aproxmeaza puctele x y s care trece pr orge s sa se determe tervalul de credere 90% petru pata drepte. Solute: Dreapta care aproxmeaza puctele este de forma y β * x. D metoda celor ma mc patrate, pata drepte care aproxmeaza depedeta lara y( x) este x I cazul ostru avem: y x x b ( x x) ( x x) y. y 0 x ( x x) y ( x x) ( x x) ( x x) b. dec, dreapta de regrese este Y 0,* x

115 Regresa lara 0 y,x Itervalul de credere 90% petru β se calculeaza pord de la dstrbuta T a varable aleatoare. b β T SS E ( ) ( x x) E ( * ) ( * ) (,* ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( SS y a b x y b x y x.* 5.* 5.*3 8.*4.* β. β. β T *0. β Deoarece t 3: , avem P P 0.7. β P (.8 β.4) 0. 9 P ( ) 9 (.4 β.8 ) 0.9 CI 90% (,4 ;,8) 4. Metformul se foloseste doza de mg s problema este daca farmacocetca este lara sau u, daca la dublarea doze se dubleaza s cocetrata maxma s ara de sub curba sau u. Datele furzate de Brstol Myers Squbb petru metformul retard, Glucophage XR prvd cocetrata maxma la echlbru dupa admstrarea repetata ( cpr/z) sut urmatoarele: ) 3

116 Regresa lara Doza admstrata (g) Cocetrata (µg/ml) Cocetrata (mg/l) Metform y 0.78x 0.5 R Doza (g) Deoarece cercetarle publcate,,3 au sugerat lpsa ue proportoaltat tre parametr farmacocetc la marrea doze, verfcat corelarea lara a datelor de ma sus. Solute: D metoda celor ma mc patrate, vom determa y x x x y x y x y a ş b x ( x ) x ( x ) I cazul ostru u cuostem dspersa, dec petru a determa CI 90% petru pata drepte de regrese, vom folos varabla aleatoare T b β SS E repartzată Studet cu grade de lbertate. x x ( ) ( ) Vom obte urmatoarele date: N.C.Sambol, J.Chag, M.O Coer, Chu Y.Lu, E.T.L, A.M.Goodma, Lesle Z. Beet, J.H.Karam, Pharmacoetcs ad pharmacodyamcs of Metform healthy subjects ad patets wth osul depedet dabetes melltus, Br. J.Cl Pharmacol 996; 36:0-0 E.Culle, J.Lao, P.Luacso, R.Necestro, L.Fredhoff, Pharmacoetcs ad dose proportoalty of exteded release Metform followg admstrato of 000, 500, 000 ad 500 mg healthy voluteers, Bopharmaceutcs & Drug Dsposto 5: 6 63 (004) 3 N.C.Sambol, L.G.Brooes, J.Chag, A.M.Goodma, E.T.L, C.Y.Lu, L.Z.Beet, Food tae ad dosage level, but ot tablet vs soluto dosage form, affect the absorpto of Metform HCl ma,, Br. J.Cl Pharmacol 996; 4:50-5 4

117 Regresa lara x y x x xy x x ( x x) Suma Dec, yx a x x y 4.9*7,5 5*7, 0.5 x x ( ) ( ) 4*7.55 4*7.55 xy x y 4*7, 5*4,9 b 0.78 x x Dec, dreapta de regrese este y * x Vom calcula SS y ( a b* x ) ( y * x ) E ( ) ( SS * * E ( ) ( ) * * Varabla aleatoare este T 0.78 β 0.78 β dstrbuta ( 4 ).5 Studet cu grade de lbertate β Deoarece t :0.05 t :0.95.9, avem P P β P 0.93 β P ( ) ( ) ( 0.63 β 0.93 ) 0.9 CI 90% ( 0.63 ; 0.93) ) 5. Petru u lot de 9 compus orgaofosforc s-a aalzat relata dtre costata de hbte a colesteraze ( K ) s u parametru ( B a ) ce caracterzeaza alcaltatea compuslor. Aceasta relate a fost exprmata sub forma urmatoare drepte de regrese: K 8.± 3. B 3.0 ± 5.7 ( ) ( ) (parametr sut sub forma urmatoare: valoarea estmata ± dspersa de selecte). Este aceasta regrese semfcatva? a 5

118 6 Regresa lara Solute: Estmarea drepte de regrese este : Y a bx ude: a 3.0 ; S a 5.7 ; b 8. ; S b 3.; s 9 Vom avea de testat urmatoarele poteze statstce: H : β 0 vs : 0 0 H A β b β Vom cosdera varabla aleatoare T este repartzata Studet cu Sb grade de lbertate I aceste codt avem T.6 este repartzata Studet cu 3. 7 grade de lbertate. Deoarece t7:0.05 t7: s.6.90, rezulta ca T este zoa de respgere. Vom spue ca se respge poteza H 0 : β 0, dec regresa este semfcatva. 6. Cosderam o aumtă formulare (ex.: comprmate) care fac obectul studulu stabltăţ. Produsul luat î cosderare are o cocetraţe declarată de 50 mg ş cu o specfcaţe tehcă care prevede o supradozare de 4%; î acest caz producătorul va fabrca tablete cu o cocetraţe de 5 mg de substaţă actvă. Se aleg tre tablete la îtâmplare, se aalzează la: 0,3, 6, 9, ş 8 lu, după producţe, î codţle temperatur camer (0 de grade Celsus). Datele sut prezetate î tabelul de ma jos. Tmp t Cocetrata C Meda 54 (lu) Cocetrate (mg) tmp (lu) Presupuem că cocetraţa ş tmpul sut î relaţe lară:

119 Regresa lara C( t) C0 t ude C(t) cocetraţa la tmpul t C 0 cocetraţa la tmpul 0 costata t tmpul de depoztare Sa se determe dreapta care aproxmeaza cel ma be aceste date. Solute : Câd facem calculele celor ma mc pătrate, reţem că fecare valoare a tmpulu este asocată cu tre valor ale cocetraţe medcametulu. Dacă calculăm C 0 ş K, fecare valoare de tmp este umărată de tre or ş N este egal cu 8. Avem: x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 44 x x 8 N 8 y ( ) ( ) ( ) ( ) y y xy 0*5 0*5 0* * 47 8* 45 8* ( ) ( ) ( x x) 3* ( 0 8 )... ( 8 8) 630 ( y y) ( ) ( ) ( ) ( ) Obtem: Nxy xy 8* *894 b 0, 67 mg / lua Nx ( ) 8*78 44 x 894 a y b* x ( 0,67 )*8 5,80 8 Ecuaţa drepte de regrese este: C t t ( ) 5,80 0, 67* 7

120 Regresa lara 7. I coformtate cu exerctul precedet, C t C t t, ( ) 0 5,80 0,67* ar datele expermetale sut urmatoare: Tmp t (lu) Cocetrata C sa se calculeze tervalul de credere 90% petru costata. Solute: Vom folos varabla aleatoare: TN 0,67 SSE N x x exp th ( y y ) SSE N N ( ) ( ) ( y) ( y y) b ( x x) y b x x N N N ( ) /8 0,67 *630,85 ( ) 8 ( x x) 3* ( 0 8 )... ( 8 8) 630 0, 67 Dec, avem varabla aleatoare T dstrbuta Studet cu grade de lbertate. 0,67 Deoarece t 6;0.05 t 6; , avem P, 75, ,043 P , P P ( ) ( ) ( ) 0.9 CI 90% ( 0.9 ; 0.34) 8

121 Regresa lara 8. Dadu-se date d exerctul r. 6, sa se calculeze termeul de valabltate (tmpul cad produsul a obtut 90% d doza tala). Solute: Coform exerctulu r. 6, am obtut dreapta de regrese C() t 5,80 0, 67* t care reprezta depedeta cocetrate fucte de tmp. Avem de calculat tmpul î care cocetraţa comprmatulu este de 90% d cattatea de substaţă actvă declarată, adcă 45 mg. 45 5,80 0,67*t t 5,5 lu Estmarea tmpulu la care cocetraţa comprmatulu va f de 90% d cattatea declarată ţal (se regăsesc 45 mg de substaţă actvă după 5,5 lu de la data fabrcaţe). Aceasta este u rezultat medu bazat pe datele a 8 tablete. 9. Cosderam urmatoarele select d doua populat corelate: x y x y y.3x.8 R Seres Seres Lear (Seres) Lear (Seres) y.4x.9 R 0.98 Sa se verfce poteza ca dreptele sut paralele. Solute : Vom determa s b. Petru calculul lu x y b b x x x avem ( x x) y ( x ) x ( x ) x ( ) x x y 9

122 Regresa lara Obtem ( ) ( x x) x x y 7 b, 4 5 s S ( x x ) 5, 67 3 Petru calculul lu x y b x x x avem ( ) x x y x x ) ( ( x ) x ( ) Obtem b ( ) ( x x) x x y 6,5, 3 s 5 S ( x x ) x x y 5, 67 3 Vom calcula dspersa poderata a reuu celor doua populat ( ) S ( ) S *,67 *,67 4*,67 S p, S, 9 p Calculam varabla b b, 4,3 0, T 4 0, 0,8 S p, ( x x) ( x x) dstrbuta Studet cu 4 grade de lbertate. Deoarece t4;0.05 t4;0.95,3 s 0,,3, rezulta ca T este zoa de acceptare, dec cele doua drepte sut paralele. 0. Sa se verfce poteza ca dreptele de la exerctul ateror sut detce. Solute : Petru a verfca poteza prvd egaltatea celor doua drepte se compara valoarea raportulu 0

123 T 3 S p Regresa lara ( aa) b( xx) ( x x) ( ) ( ) x x x x cu valorle pragulu de acceptare (respgere) a poteze petru tervalul de credere α fxat, ude : y a y y a y s ( )( ) ( )( ) y y x x y y x x b x x x x x ( ) ( ) y ( x x) ( y y) ( xx)( y y) ( x x ) x, 5 y s: x x x y y x x y y x x y ( ) ( ) ( )( ) ( ) x, 5 y 4, 75 6,5 5 Coform exerctulu precedet avem: S p, 9 a 4 a 4,75 s 7 6,5 b,

124 Regresa lara Dec, vom obte varabla aleatoare: ( 44,75),35(,5,5) 0,75 T ,8 (, 5, 5), 9, dstrbuta Studet cu 5 grade de lbertate. Deoarece t 5;0.05 t 5;0.95,0 s,0 0,8, rezulta ca T este zoa de acceptare, dec cele doua drepte sut paralele.

125 ANOVA METODE STATISTICE DE ANALIZA FACTORILOR DE VARIABILITATE IN EXPERIMENTUL BIOLOGIC (ANOVA) Se pue problema comparăr ma multor selecţ provete d aceas populate sau d populaţ pe care le ştm ca fd ormal repartzate, de exemplu cocetraţle plasmatce realzate de tablete care coţ dferţ excpeţ, dar care au aceeaş substaţă actvă, î aceeaş doză. Vrem să verfcăm poteza compusă că acestea prov de fapt d aceaş populaţe, avâd meda μ ş dspersa σ, dec că excpeţ folosţ u flueţează semfcatv cedarea ş absorbţa substaţe actve: H : μ μ μ μ faţă de poteza alteratvă că cel puţ două med u sut egale. Aalza dspersoală este o metodă fudametală a statstc care, î plus faţă de mjloacele de calcul a tedţe cetrale a rezultatelor expermetelor repetate, caracterzează ma ales varabltatea acestora. Prvta d ughul de vedere al factorlor de varabltate ANOVA se trasforma «aalza factorala» care poreste de la aceeas metode dar cearca sa rezolve alte probleme. Cea ma smplă aalză dspersoală, umtă aalză dspersoală udmesoală sau ufactorală (umtă î lteratura egleză ş oe-way ANOVA ) sau expermet complet aleator, expermet cu grupur paralele, corespude testulu t de aalză a două eşatoae depedete ş compară două sau ma multe grupur. I poteza că toate grupurle aparţ aceleaş populaţ, deea testulu este aceea că varabltatea î terorul grupurlor trebue să fe de acelaş ord cu varabltatea ître medle grupurlor. Î cosecţă, dspersa totală, evaluată ca suma a pătratelor dfereţelor ître valorle dvduale ş meda îtreg populaţ selectate SS T, este separată îtr-o parte datortă varaţe ître grupur (wth), sau varabltăţ teroare ş o parte datortă varabltăţ dtre (betwee) grupur: SS SS SS. T W B 3

126 ANOVA Daca comparam tra s tervarabltatea cu testul Fscher Sedecor s se obte u rezultat poztv, atuc vom putea spue ca grupurle u dfera tre ele. Fe modelul statstc : x μ α ε ude : j μ este meda populate μ α este meda grupulu respectv ε j este eroarea de masurare Dacă umărul de grupur este ş umărul de subecţ î grupul este atuc eroarea totala poate f scrsa sub forma: SS ( x X ) T j j Dupa cum s-a demostrat la curs, aceasta relate poate f scrsa sub forma dettat aalze dspersoale: SS s raportul ( X X ) ( xj X ) SS B SSW T j SS B MS F SSW MS N B W j este dstrbut F(, N ). ( X X ) SSB Dupa cum se observă, s repreztă x dspersa de selecţe poderată a medlor de grup faţă de marea mede. Abaterle medlor grupurlor faţă de meda geerală depd atât de hazardul măsuratorlor cât ş de factor ce ţ de îsăs atura grupurlor. Abaterle î terorul grupurlor sut depedete de aceşt factor, deoarece fecare valoare măsurată este raportată la îsăş meda grupulu respectv. Ele repreztă fluctuaţ aleatoare. Varabltatea î terorul grupurlor repreztă dfereţa ître varabltatea totală ş varabltatea ître grupur. 4

127 ANOVA TESTAREA EFECTELOR DE FORMULARE, SECVENTA SI PERIOADA IN EXPERIMENTUL INCRUCISAT CU PERIOADE SI SECVENTE Pord de la modelul statstc : Y j μ S Pj F( j, ) C( j, ) ej se formeaza combatle lare ( cotrastele ): U Y Y,,,, (RT s respectve TR) d ( Y Y ),,,,. d ( ), petru. subect secveta T R O d, petru. subect secveta ( R T ) prezeta sau abseta efectelor rezultad d aplcarea testulu t acestor varable aleatoare, coform tabelulu de ma jos: Carry - over Efect formulare Varabla test ( α )/00% C. I. C U ( Y Y ) ( Y Y ). F d. U. d..... [.... ( Y Y ) ( Y Y )] Test statstc C ± t F ± t σ α u, σ α d, T T c d σ σ u d C F Peroada P O [( Y Y ) ( Y Y )].. O.... P ± t σ α d, T p σ d P ANALIZA DISPERSIONALA IN TESTAREA CORELATIEI SI REGRESIEI LINIARE Cosderam o varabla aleatoare y care depde lar de varabla aleatoare x : y α βx Atuc cad facem determarle expermetale o u stm c daca cele doua varable se coreleaza lar s c care este dreapta care descre 5

128 ANOVA depedeta lor. Putem sa, pr aalza datelor expermetale sa determam, pr metoda celor ma mc patrate, o estmare a drepte y ˆ a bx corespuzatoare petru daca vom cosdera u set de determar ( y j ) j, N j u x dat : Dstata de la u puct dat yj la y se poate descompue tre compoete: dstata paa la y - meda puctelor y j, dstata de la meda grupulu la valoarea estmata pr dreapta s dstata de la puctele de pe dreapta la meda totala y : yj y ( yj y ) ( y yˆ ) ( yˆ y) Rdcad la patrat, sumad s tad cot ca sumele de produse mxte sut zero, se obte : ( y y) ( y y ) N ( y yˆ ) N ( yˆ y) j j sau SS T SS eroare SS devate de la leartate SS leartate Observam ca, daca toate puctele ar f pe o dreapta SS devate de la leartate va f zero, dec aceasta suma este o masura a corelar lare. Itr-adevar : S y yˆ y a bx a bx b( x x) r ( x x) S ŷ x 6

129 ANOVA 7 Facem observata ca datele pot f aproxmate foarte be dupa o alta lege (de exemplu x y cum este cazul care se aplca la dzolvare legea lu Hguch). Se defesc coefcetul de corelate s a raportulu de corelare ca : total lear SS SS r s total leartate la devate de lear Y X Y Y SS SS SS s s s η Raportul de corelare η este proporta de varabltate a lu Y atrbuabla covarate cu X ; Coefcetul de determare (corelate) este proporta de varabltate a lu Y atrbuabla covarate lare cu X. Legatura tre pata drepte de regrese s coefcetul de corelate Avem dupa defte y x S y y S x x N r I cazul care puctele sut toate pe o dreapta y bx a y ( ) y x y x S S x x b N S bx a bx a S x x N r dar, ( ) ( ) x y S b N x x b N bx a bx a S Dec, locud ma sus ( ) y x y x S S x x b N S bx a bx a S x x N r ( ) x x x x S S bs S x x b N r Cad puctele u sut pe dreapta, pata drepte pr cele ma mc patrate b este: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x y x y y x x S S r S S S S y y x x S y y x x x x y y x x b Dec, x y S S r b

130 Testarea leartat : Observam ca MS E eroare SSeroare ANOVA are N I grade de lbertate s dec SSeroare avem ca E( MS eroare ) σ e N I I cele ce urmeaza vom calcula meda sume ; ( MS ) E ( yˆ y) lear MS lear ( ) E( ( a bx a bx) ) ( x x) E( b ) [ ] Dar, E( b ) D( b) E( b) Folosd relata E S x y b r E( b) S ( MS ) ( x x) σ y lear σ ( x x) y ( x x) σ y x ρ s σ ( x x) ρ σ y σ x σ y y σ Nρ σ σ ρ σ y [ E( b) ] y x I fapt ac am presupus ca petru fecare puct corespuzatoare y j au o dsperse σ y x puctele s dec putem sa o otam cu sau. x σ y x valorle care este aceeas petru toate Lucrurle u se tampla totdeaua acest fel. De exemplu cazul drepte de etaloare boaaltca dspersle sut practc semfcatv ma mar la lmta de cuatfcare (paa la 0%) fata de restul cocetratlor la care lmta admsa petru «precze» este de 5%. Ipotezele de verfcat sut : H 0 : ρ 0 echvaleta cu H 0 : β 0 folosd varabla MSlear aleatoare F, N I. MS eroare Testarea poteze de oleartate : H 0 : η ρ 0 Petru aceasta se compara valorle testulu MS devate de la leartate F I, N I cu valorle d dstrbuta Fscher. MS eroare σ e 8

131 ANOVA Raportul de corelare η este proporta de varabltate a lu Y atrbuabla covarate cu X ; Coefcetul de determare (corelate) este proporta de varabltate a lu Y atrbuabla covarate lare cu X. Dstrbuta comua a doua varable Fe X, Y varable aleatoare, ( j, ) probabltate comua. Fe X, Y varable aleatoare cotue, ( XY, ) de exemplu P( a x b, c y d) pe dreptughul Se oteaza P X Y este dstrbuta de φ este o suprafata s este volumul de sub suprafata sprjt μ μ s σ j YX j σ meda s dspersa lu Y petru j YX j x x j fxat. Daca x u este fxat meda s dspersa treg populat Y se oteaza μ Y s σ Y s se umesc parametr a dstrbute margale a lu Y. Cad x este fxat certtudea prvd Y (dec dspersa) se reduce. Se defeste u raport de corelare, procetul reducer dsperse pr fxarea lu x: σ Y σyx η σ Daca relata tre x s y este lara, atuc η ρ raportul de corelare este egal cu coefcetul de corelare (umt s coefcet de determare) Daca relata u este leara: ρ η XY Y 9

132 ANOVA Aplcate:. Cosderam tre grupe de determar coform tabelulu de ma jos: I 3 4 II III a caror med au fost respectv 3, 4 s 5. Cosderad u rsc α 0, 05 se poate spue ca dferetele obtute sut aleatoare s fapt cele tre select sut d aceeas populate omogea? Solute: Avem de verfcat urmatoarele poteze: H 0 : μ μ μ3 vs. H A : medle u sut toate egale Calculam SS ( x X ) W j j, adca: ( 3) ( 3 3) ( 4 3) ( 3 4) ( 4 4) ( 5 4) ( 4 5) ( 5 5) ( 6 5) 6 SS W Coform defte SS ( x X ) T, j j ude xj X 4 dec, N 9 9 SS T ( 4) ( 3 4) ( 4 4) ( 3 4) ( 4 4) ( 5 4) ( 4 4) ( 5 4) ( 6 4) O alta metoda de calcul petru SS T este folosrea urmatoare formule prescurtate: ( ) X SS T X ( ) N ( ) Petru determarea lu SS B putem te cot de relata SS T SS B SSW, adca SS B SST SSW 6 6 sau putem pleca de la defta lu 30

133 ANOVA SS B ( X X ) 3( 3 4) 3( 4 4) 3( 5 4) SS B O alta metoda de calcul petru SS B foloseste formula echvaleta: xj j N ( x ) ( 3 4) ( 3 4 5) ( 4 5 6) j SS B 6 Dec, MS B F 3 3 este dstrbut Fscher cu, 6 SSW MS 6 W N 9 3 grade de lbertate Coform tabelelor Fscher avem f 5, 4.,6; 0,95 Cum 3 5, 4 se accepta poteza H 0 ceea ce seama ca cele tre select sut d aceeas populate omogea. 3

134 ANOVA. Dzolvarea uor tablete retard de 400 mg Petoxfla a fost testata folosd aparatul USP XXIII, tp, apa la 50 rpm cele 6 vase ale aparatulu, o parte d rezultate fd prezetate ma jos: Tmp (h) Vas Vas Vas Reprezetarea grafca sugereaza aparta uor dferete tre curbe tervalul 4 6 h. a. Folosd ANOVA testat poteza ca cele 3 curbe sut dstrbute aleator jurul ue curbe de dzolvare med. H0: μ μ μ3 b. Cometat aplcabltatea sau o aplcatbltatea metode ANOVA compararea curbelor de dzolvare. Solute: Rezerva aplcarea ANOVA apare d aceea ca terorul curbelor dstrbuta datelor u este ormala deoarece valorle cresc tmp. 3

135 ANOVA Aplcarea este justfcata atuc cad sutem faza de saturare a dzolvar, se poate eglja depedeta de tmp s dec se compara doar gradul de dzolvare. 3. Studul efectelor atflamatoare comparatv al aspre, clorferamulu s asocerea ALGOPIRIN (aspra 5 mg, paracetamol 75 mg, cofea 5 mg, clorferam 3 mg) cu ajutorul testulu de reducere a flamate labe de sobola dusa de jectarea carragea a dus la rezultatele: Sobola Acetyl salcylc acd Chlorpheram Produs X Lot cotrol Ital flamat Ital flamat Ital flamat Ital flamat 0,8,6, 0,9,6,5,,8 0,9,4 0,8,5 3,7,5 0,9,6 4 0,9,4 0,8 0,9,6 5 0,9,5 0,9,7 0,6 0,9,5 6,6 0,9 0,7,8 7 0,9,,9, 0,9,7 8 0,9,5 9 0,9, ,6 a. Verfcat pr ANOVA ca testul este adecvat compararea efectulu pr aceea ca rezultatele sut dferte de lotul de cotrol. b. Comparat folosd ANOVA cele tre tratamete tre ele. 4. Presupuem ca testam 4 medcamete(m -M 4 ) cotâd aceeaş substaţă actvă, admstrate î 4 peroade dferte (P I -P IV ). Cosderăm că efectele determate de ce do factor aalzaţ (medcamet peroada) sut varablele aleatoare depedete prezetate ma jos. Medcamet M M M 3 M 4 Peroada P I P II P III P IV x. x. x.3 x.4 x. x. x 3. x 4. 33

136 ANOVA Cosderad u rsc α 0, 05 se poate spue ca dferetele tre l s respectv coloae, obtute sut aleatoare s fapt cele patru select sut d aceeas populate omogea? Solute: O prmă poteză ce trebue verfcata se referă la egaltatea medlor llor, ar a doua la egaltatea medlor coloaelor. Ipoteza alteratvă presupue exsteţa uor dfereţe ître l sau respectv ître coloae. Dec, avem de verfcat urmatoarele poteze: H 0 : μ μ μ3 vs. H A : medle u sut toate egale Valorle expermetale le cosderăm ca rezultata uor efecte adtve corespuzător llor, coloaelor ş erorlor îtâmplătoare: x μ α β ε ude α este partea lu xj j j j datorată le (scheme de admstrare), repreztă cotrbuţa coloae (forma medcametoasă), ar ε j este eroarea expermetală. 5. Sa se verfce poteze prvd lpsa efectelor de peroada, secveta s formulare tr-u expermet crucsat cu peroade s secvete, comparad doua medcamete testat (T) s referta (R) s care s-au obtut rezultatele de ma jos : β j Secveta RT Secveta TR P I P II Solute : 34 P I P II u u d d O O RT / /6 / / / -/ 3 5 / / TR 4 6 5,6 -/ -/ / /

137 ANOVA 3 5 -/ / Exsteţa efectelor carry over egale poate f determată pr testarea următoarelor poteze: H 0 : C 0 C T C R H A : C 0 CT CR Respgerea poteze ule duce la cocluza prezeţe efectelor carry over egale. Petru testarea potezelor asupra lu C se folosesc următoarele med de selecţe corespuzâd fecăre secveţe: U. U,, ude U Y Y Dec, U 3 5, U 3 5, U U 4 4 6, U s U ceea ce mplca U 5 s U 5, Cˆ I poteza H 0, varabla Tc are o repartţe Studet ˆ σ u cu grade de lbertate. C ˆ U U 5,6 5 0,6 ( U U ) ( U U ) ˆ σ u ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) ( 6 5,6) ( 5 5,6) ( 65,6) 3 3 0,6 0,36 0,6 0, 68 0,7 0, ,6 6 Obtem astfel varabla T c 0, 4*0,7 0,

138 alteratve Vom respge poteza ulă H T t. α c, A T R ANOVA H 0 : C T CR î favoarea poteze : C C la u vel α 0, 05 de semfcaţe, dacă D tabele dstrbute Studet avem t t, 78 α, 0,975; 4 Cum,78 acceptam poteza H, dec u avem efecte rezduale. 0 Petru testarea efectelor de formulare se vor verfca urmatoarele poteze : H 0 : FR FT 0 FR FT H A : FR FT 0 FR FT Petru testarea acestor poteze vom folos varabla F Td dstrbuta Studet cu grade de lbertate, ˆ σ d ( d d ) ( d d ) ude F d. d. s ˆ σ d. Dar, medle dfereţelor ître peroade î terorul fecăre secveţe sut d. d, ude d ( Y Y ). I cazul ostru avem: d, d, d d 4, d 5, d ceea ce mplca: d s d Facad locurle obtem: 36

139 ANOVA ( d ) ( ) d d d ˆ σ d , 9 ˆ σ d 0, Vom obte astfel varabla aleatoare: F T 6 d, 5 ˆ σ d 0,54* 3 3 Aceasta varabla aleatoare este repartzata Studet cu grade de lbertate.,5,78 t acceptam poteza, dec u avem efecte formulare. Cum ; 0,975 Exsteţa efectelor de peroada poate f determată pr testarea următoarelor poteze: H : P P 0 P P H 0 A I I II : P P 0 P II I I II P II Dupa cum am deft O d, respectv O d s O d, respectv O d Petru testarea poteze vom folos varabla T p ˆ σ d H 0 P repartzata Studet cu grade de lbertate, ude P O. O s ˆ σ. d ( d d ) ( d d ) H 0 37

140 ANOVA Vom obte astfel varabla T 6 0,76 s 0,54* 3 3 deoarecet ; 0,05,78 0,76,78 t ; 0,975 acceptam poteza H 0, dec u avem efecte de peroada. 6. Sa se testeze potezele H A: α 0 ude K H0 : H B : β j 0 ude j J H AB : γ j 0 ude j J s K vs. Halteratva : cel put u factor este dfert de 0 cu rscul α 0, 05 petru datele d tabelul de ma jos: 38 P I P II S S Solute: Vom calcula Y j Y, dec: Avem Y I j Y Y Y 4 Y IJ j Y : j Y Y 3 Y Y 4 5 Y,5 s Y 4, 5 Avem Y j Y, sau altfel calculat: IK j

141 S Y SS T ANOVA Y Y 4 Y Y 3 5 Y 3 s Y 4 Y j, sau alteratv: IJK j Y Y Y Y Y 3,5 4 4 Calculad eroarea totala coform defte obtem: ( Yj Y ) ( 3,5) ( 3,5) ( 3 3,5), j, ( 3 3,5) ( 4 3,5) ( 5 3,5) ( 3,5) ( 3 3,5) ( 4 3,5) ( 5 3,5) ( 6 3,5) ( 4 3,5)... ceea ce este o metoda foarte luga de calcul. Petru a smplfca modul de determare petru urmatoarea formula prescurtata: Y j, j, SST Y j N, j, ude ;, j, Y Y j, j, j 3 N 4 dec SS T SS T 4 vom folos 70 s a. Petru testarea efectelor de secveta vom calcula SSα ( Y Y )., j, Trebue avut vedere ca sumarea se face dupa tot dc de sumare, respectv dupa j, ;, s,, dec u este corect sa se calculeze: ( Y Y ) ( Y ) (,5 3,5) ( 4,5 3,5) SS α Calculul corect: Y fals 39

142 SS α 40, j, ( 3 3) ANOVA ( Y Y ) ( Y Y ) ( Y Y ) j j (,5 3,5) ( 4,5 3,5) * * ( j j SSα Dec, MSα K b. Petru testarea efectelor de peroada vom calcula SS β ( Y j Y )., j, I mod aalog, SS β, j, ( Y Y ) ( Y Y ) ( Y Y ) ( 3 3,5) ( 3 3,5) ( )( 0,5) *6*0,5 3 SSβ 3 Dec, MSβ 3 J c. Petru testarea efectelor de teractue vom calcula SS γ ( Y j Y Y j Y ), j, j SSγ ( Y j Y Y j Y ), j, Y Y Y Y,5 3 3,5 Y Y Y Y 3,5 4 3,5 Y Y Y Y 4 4,5 3 3,5 Y Y Y Y 5 4,5 4 3,5 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Dec, MS γ SS γ ( J )( K ) 0 d. Petru determarea lu SS R u vom pleca de la defta sa SS R ( Yj Y j ) deoarece am avea prea multe sume de calculat (9 sume) c vom te cot de uratoarea relate: SS SS SS SS SS R T α β γ SS γ ) 0

143 ANOVA Ilocud formula precedeta obtem: SS R ceea ce SS R 8 8 mplca MS R JK I * * 3 8 ( ) ( ) Vom testa poteza H A: α 0 ude K H0 : H B : β j 0 ude j J H AB : γ j 0 ude j J s K vs Halteratva : cel put u factor este dfert de 0 aplcad testul Fscher astfel: Petru efectul de secveta testul Fscher este: MSα F F ; f,8; 0,95 5, 3 MS R Deoarece 5,3 se respge poteza H 0 : α 0,, avem efect de secveta Petru efectul de peroada testul Fscher este: MS β 3 F F 3 ; f,8; 0,95 5, 3 MS R Deoarece 3 5,3 u se respge poteza H 0 : β j 0, j, u avem efect de peroada Petru teractu: MSγ 0 F F 0 ; f,8; 0,95 5, 3 MS R Deoarece 0 5,3 u se respge poteza H : γ 0, j,;, 0 j 4

144 ANOVA u avem efect datorat teractulor Modelul mult ma adevarat este cel care foloseste MS R, fecare subect fd acest fel proprul sau martor. SSt ra MSt ra ν t ra ude : Y j Y Y SSt ra Yj, j, ν t ra MS t ra loc de Y j, j, I cazul ostru avem : j Y j ( 3) ( 3 4) 7 ( 3 4 5) 48 ( 5 6 4) 75 Y j

145 ANOVA Y 9 5 ( ) ( 3) ( 3 4) ( 3 5) ( 4 6) ( 5 4) Y Y Y ( 3 3 4) ( ) *3 * Dec, SSt ra MS t ra 0, I aceasta stuate vom obte urmatoarele teste Fscher : Petru efectul de secveta testul Fscher este: MSα F F 6 ; f,4; 0,95 7, 7 MS 0,75 t ra Deoarece 7,7 6 se respge poteza H 0 : α 0,, avem efect de secveta Petru efectul de peroada testul Fscher este: MSβ 3 F F 4 ; f,4; 0,95 7, 7 MSt ra 0,75 Deoarece 4 7,7 u se respge poteza H 0 : β j 0, j, u avem efect de peroada 43

146 ANOVA Petru teractu: MSγ 0 F F 0 ; f,4; 0,95 7, 7 MSt ra 0,75 Deoarece 0 7,7 u se respge poteza H : γ 0, j,;, u avem efect datorat teractulor 0 j Facem observata ca efectul de teractue corespude efectulu medcametulu. 7. Cosderam urmatoarele pucte de pe dreapta y x x y 44

147 Sa se calculeze r s b. Idcate: ANOVA x y x y x x y y ( x x)( y y) ( x x) 0,5 4 -,5-3 4,5,5 3-0,5-0,5 0,5 5 0,5 0,5 0,5 3 7,5 3 4,5,5 8. Cosderam cotuare ca puctele y sut afectate de eror : Sa se calculeze r s b x Sa se testeze daca datele de la exerctul ateror sut corelate dar u sut corelate lear. y 45

148 46 ANOVA

149 Estmarea boechvalete a doua medcamete ESTIMAREA BIOECHIVALENTEI A DOUA MEDICAMENTE Ua d aplcatle cele ma mportate ale metode de studu clc crucsat prveste studle de boechvaleta care urmaresc testarea poteze prvd boechvaleta uu medcamet geerc cu medcametul ovator. Defta cattatva a boechvalete, aprobata pr lege federala SUA s adoptata de toate autortatle de reglemetare a medcametulu lume, este dupa cum urmeaza: Doua medcamete sut boechvalete daca tervaul de credere 90% petru raportul medlor parametrlor farmacocetc esetal (ara de sub curba AUC0 s cocetrata maxma Cmax ) se cadreaza tervalul ( 0,8,,5). μ T P 0,8, 5 0,90 μr Este de retut faptul ca se recomada de regula, aalza datelor dupa logartmare cosderadu-se ca acestea urmeaza ma curad o dstrbute logormala decat o dstrbute ormala. Metoda celor doua teste ulaterale, Schurma Ipoteza ula este poteza compusa d doua poteze smple, testul de boechvaleta descompuadu-se de fapt doua teste ulaterale: H 0 : μt μ R θ I vs H a : μt μr θi s H 0 : μt μ R θ S vs H a : μ T μ R θ S O bodspobltate ma mare a produsulu testat decat cel de referta, mplca posbltatea uor efecte secudare sau toxce crescute s o sgurata ma mca. Boechvaleta mplca o echvaleta atat ceea ce prveste efectul cat s ceea ce prveste sgurata. Daca vrem sa testam potezele eutate la u vel de semfcate α, codtle care presupuem ca datele sut ormal repartzate, putem aplca testul t. Echvaleta este stablta atuc cad ( YT YR) θi ( YT YR) θs TI t( α, ) s TS t ( α, ) ˆ σ d ˆ σ d 47

150 Estmarea boechvalete a doua medcamete MSE σ d Estmarea boechvalete folosd testul o parametrc Wlcoxo, pord de la u model care a cosderare s efectele de peroada Fe, folosd otatle stadard de la modelul crucsat cu doua peroade s doua secvete, dfereta tre formularle testate θ. μ T μ R Cosderam testarea boechvalete folosd doua teste ulaterale: H 0 : θ L 0 vs H A : θ L 0 ude θ L θ θ L s H 0 : θu 0 vs H A : θ 0 U ude θ θ θ I vederea testar potezelor eutate cosderam combata ( cotrastul ): b h d θ h; h L, U petru subect d secveta d ; petru subect d secveta ude:,,,, reprezta umarul de subect cele doua secvete P P d este jumatate dtre dferetele tre cea de-a II a peroada s prma peroada h L sau U dupa cum e referm la compararea cu lmta feroara sau cea superoara a tervalulu de acceptare a boechvalete Cosderam suma ragurlor: R R s R R s ( ) varablele aleatoare WL RL s WU RU. Tragem cocluza ca produsele sut boechvalete atuc cad amadoua potezele H 0 s H 0 sut respse. w α w α W L ( L b L Dec, relata: W U ( ) s ( ) U ) U ( b U ) ( ) U, 48

151 Estmarea boechvalete a doua medcamete ude valorle w ( α ) se gasesc tabele, ar valorle complemetare se calculeaza cu formula: w( α ) w( α ), mplca bochvaleta celor doua produse. Aplcate :. Cosderam ca tr-u expermet de boechvaleta au termat expermetul 7 volutar (4 secveta RT s 3 secveta TR), ar cocetratle maxme (mg/l) au fost dupa cum urmeaza: Secveta Subect P P S s 3 4 RT s 4 6 S TR s s s s s Sa se verfce poteza prvd boechvaleta celor doua medcamete pr compararea tervalulu de credere 90% petru raportul μt medlor cu lmtele de acceptare. μ R Solute: secv. RT secv. TR d d d P P d d P P d d d d d S d S d ;. 48 ; Dec 5; * y t ( y ) d 49

152 50 * 5 5 * 6 4 * 5 6 d Estmarea boechvalete a doua medcamete 0 d *( 4 3) 0. 5 ; * ( 6 4) d ( ) 0 ; d * ( 5 4) d ; d ( ) ; d * ( 5 5) 0 d d d d ( ) d d d d ; d d d d d ; d d d ( d d ) ( d d ) S d ; S d ; 4 3 Putem verfca ca d d Y T YR Y Y Y R ; Y 4 3 R Y Y Y T ; Y 4 3 T 5 Observam ca Y Y d d IC IC S IC T 90 S YT YR t ;0.90 * S * d ; 90 R * 0.6 * D YT YR t ;0.90 * S * d ; 90 IC D *0.6*

153 Estmarea boechvalete a doua medcamete Pr defte avem μ R μ FR ; μt μ FT s dec μ μ F F ( poteza absete efectelor rezduale). T R T R 90 T R D 90 Dec, P( IC S μ μ IC ) ( 0.33 ;) μt μ R μ T μ R 0.33 ;, ; μ R μt μ R μt ( 0.07;0.) ; ( 0.93;.) ( 0.8;. 5) μ μ R R μt Deoarece tervalul de credere 90% petru raportul medlor μ R este clus tervalul de acceptare a poteze prvd boechvaleta ( 0.8 ;. 5) rezulta ca cele doua medcamete sut echvalete.. Testarea boechvalete pe datele de ma sus, logartmate. Solute: d d d d d d d d P P d secv. d RT secv. P P TR S d 0,0 S d 0, Y R.5 YT YR err * 0. * YT YR err *0. * l μ l μ 0.06 ; 0. T R ( ) 5

154 μt l 0.06 ; μ R ( 0.) Estmarea boechvalete a doua medcamete μt , ( e ; e ) μ R μ μ T, ( 0.94 ;.4) Cocluze: Produsele sut boechvalete, tervalul de credere 90% fd clus tervalul (0.8,.5). 3. Fd date rezultatele de ma jos, obtute tr-u studu de boechvaleta plot sa se testeze boechvaleta. R S RT S TR PI PII μt a) Sa se calculeze tervalul de credere 90% petru raportul μr PI PII d d d d ( d d ) ( d d ) S RT 3 0,5 0,5 0,5 5, ,5,5 d S TR 3 0,5-0,5 0,5 0,5 4,5 0,5 0,5 3,5 0,5 4 S d t α ; t 5;0,95, μt μr Y Y t ;, T R α Sd Y Y t T R α; Sd μ μ 0,5,35*, 05 ; 0,5,35*, 05 T T R R [ ] [,97 ;,97 ] μ μ mpartm la 3, R 3 5

155 μ Estmarea boechvalete a doua medcamete T [ 0,99;0,66] μ T [ 0,0;,66 ] μ R Cocluze: Produsele u sut boechvalete. μ R b) Folosd testul Schurma sa se verfce boechvaleta celor doua formular T Y S d Y θ T R L T R U L t α ; ; TU t α ; Y S d Y θ θ L 0%* R 0.6 θ U 0%* R 0.6 ; Boechvaleta: TU tα; t α; TL, ,6 0, T L 0, 09 4, Deoarece u avem t produsele u sut boechvalete. TL 5;0.95 c) Verfcat poteza prvd egaltatea efectelor de formulare F F T R S RT PI PII d d d d 3 0,5 0,5 0,5 5, ,5,5 ( d d ) ( d d ) 3,5 S TR d 3 0,5-0,5 0,5 4,5 0,5 0,5 0,5 53

156 Estmarea boechvalete a doua medcamete S d 3,5 0, T 0,5 0,5 0, * * Cocluze: Deoarece t, formularle sut egale α ; t3;0,95,35 54 d) Sa se testeze boechvaleta folosd teste eparametrce I. Testul Ma Whtey Wlcoxo de rag PI PII d bl d θl R b b L U d θu Rb S 3,6 4 0,4 RT 5,5, 5 0, ,4 -,6 bl d bu d S 3 0,5,5 0,5 3 TR 4,5,5 3, R 3 θ L 0%* R 0.6 θ U 0%* R 0.6 R R L U ( ) R b L ( ) R b 4 7 U ( ) ( ) ( ) 3*4 WL RL 0 4 ( ) 3*4 WU RU 7 w 3;; w3;;0.95 w α 6 D.Hausche, V.W.Stejas, E.Dlett, A dstrbuto free procedure for the statstcal aalyss of boequvalece studes, Iteratoal Joural oh Clcal Pharmacology, Therapy ad Toxcology, vol 8 o 990 (7-78) U

157 Estmarea boechvalete a doua medcamete Boechvaleta: W w w W U ; ; α ; ; α L Cocluze: Produsele u sut boechvalete. μ II. Costrut u terval de credere 90% petru raportul T μr poteza ca u avem c efecte carry over s c efecte de peroada R T T/R ,0 3,0 5,5,7,5 4 0,5 3,, 0,5 3 0,7 4,4,3 0,6 0,7 4 0,3 5 0,9 0,8 0,4 0,4 0,3 0,3; 0,4; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9;,;,;,3;,4;,5;,7; 3,0 Itervalul de credere: 0,4,7 Cocluze: Produsele u sut boechvalete. V.W.Stejas, E.Dlett, Statstcal aalyss of bovalablty studes: parametrc ad oparametrc cofdece tervals, Eur. J. cl. Pharmacol 4, 983, p

158 56 Estmarea boechvalete a doua medcamete

159 Teste statstce de dscordata TESTE STATISTICE DE DISCORDANTA Problema valorlor dscordate este extrem de complexa, ea fd ma mult o problema de aalza a structur s codtlor tre datele expermetale s uma secudar o problema matematca. Ca metoda de matematca eseta se folosesc doua tpur de teste: «teste de tp Dxo» care compara dstata tre valoarea «dscordata» s celelalte valor cu dstatele tre aceste valor ; teste de tp t care se bazeaza pe tedta valorlor de a se acumula jurul valorlor med. Cosderam cotuare aplcarea celor doua tpur de metode cazul uu sr de valor pe care le cosderam ma mult sau ma put «ormal» dstrbute. Aplcat:. Folosd testul Dxo, sa se determe valorle aberate d urmatorul sr de valor: x Solute : x x Se calculeaza r0 0, 555. x x 0 9 Coform Crterulu Dxo petru respgerea valorlor aberate petru 6 s u vel de semfcate α 0, 05 obtem valoarea 0,56 ceea ce seama ca orce valoare ma mare de 0,56 este o valoare aberata. Valoarea obtuta de o de 0,555 este frotera domeulu. 57

160 Teste statstce de dscordata. Petru exerctul precedet sa se determe valorle aberate folosd testul t. Solute : x x Vom cosdera varabla aleatoare T care este dstrbuta s Studet cu grade de lbertate. x Avem : x 4, 6 s 6 ( x ) x s ( 4,6) ( 4,6) ( 3 4,6) ( 4 4,6) ( 5 4,6) ( 0 4,6) 6 0,6 Obtem astfel s 3, 8 s locud formula de ma sus avem 5,88 T 6,83. 3,8 Deoarece coform tabelelor dstrbute Studet,83,94 dec puctul este ormal. t 6,94 avem ; 0,95 3. Sa se determe valorle aberate d urmatorul sr de valor: x Solute : Folosd testul Dxo, mod smlar exerctulu avem : 58

161 Teste statstce de dscordata x x 0 r0 0,8. x x Coform Crterulu Dxo petru respgerea valorlor aberate(aexa VII) petru 7 s u vel de semfcate α 0, 05 obtem valoarea 0,507 ceea ce seama ca valoare x 7 este o valoare ormala fd ma mca decat 0,507. I acest caz observam ca valoarea aormala este x 0 Folosd testul t avem varabla aleatoare x x s ,8 s 7 ( x x) 7, s 4,0 ; t 7 ; 0,95, 90 5,8 Obtem T 7, 60. 4,0 Deoarece,60, 90 puctul este ormal. T 6 x x ude : s 4. Sa se determe valorle aberate d urmatorul sr de valor: x Solute : Deoarece sut valor, Dxo schmba regula de testare : 59

162 Teste statstce de dscordata x x 5 7 r 0,7 x x 0 Coform crterulu Dxo petru respgerea valorlor aberate, petru u prag α 0, 05 avem valoarea 0,576, dec valoare x este o valoare aberata. 5. Cosderam spre exemplu valorle cocetratlor maxme ale MELUOL, u metabolt actv al cergole la 7 volutar saatos. Petru a lua o decze cat ma corecta, vom exama atat valorle dvduale, cat s raportul valorlor petru u acelas volutar. Ma mult decat atat, petru a avea s o mage a acestor valor s a raportulu dtre ele, cosderam reprezetarle valorlor petru medcametul de referta (R) s petru cel testat (T) precum s a raporturlor T/R s a depedete T ( R ) ( care, daca valorle s-ar corela perfect, ar trebu sa fe o dreapta). Subject g / ml g / ml T/R C ( ) maxt C ( ) max R 60 50, 8 7, , ,3 5 30, , ,8 Mea 0,5 9,5, Stdev 9,5 6,0 0,7 CMAX,T (g/ml) CMAX,R (g/ml) T/R , ,5 0,

163 Teste statstce de dscordata Subject Vom ordoa crescator valorle: C ( g / ml ) maxt Subject C ( g / ml ) max R Subject T/R 4 4 9,8 3 0, , , 6 3 5, , , ,8 Observam dupa ordoare, ca valorle cocetratlor maxme petru volutarul sut cele ma mar s, cel put petru T, mult ma mar (aparet dscordate) decat petru celalt volutar. Volutarul 9 apare ormal cotextul valorlor dvduale petru T s R dar raportul lor este cel ma mare, s probabl destul de departat de celelalte rapoarte. I cotuare sut redate rezultatele aplcar testelor Dxo s T petru R, T s T/R Vom calcula testul Dxo coform crterulu Dxo de respgere a outlers: avem 7 volutar ( 7 ) s este suspecta valoarea cea ma mare, X X dec testul folost este r0, avad pragul de 0,507 petru u X X vel de semfcate de 5% petru referta: X X X7 X r0 0,59 X X X7 X 50,8 47, petru testat: X X X7 X r0 0,54 X X X7 X petru raportul T/R: X X X7 X6,8, 4, 4 r0 0,6 X X X X,8 0,5,3 7 X X Vom aplca testul ulateral T, 7, cuatla t 6,0,90, 44 : S petru referta: 6

164 Teste statstce de dscordata ( ), X 9,5 ; X X S S 6 7 X7 X 50 9,5 30,5 T7, 9 S 6 6 petru testat: X 0,5 ; ( X ) X S S 9,5 X7 X 60 0,5 39,5 T7,03 S 9,5 9,5 petru raportul T/R: X, ; S ( X ) X T S 0,7 X X,8,, 7, 43 S 0,7 0,7, volutarul 9 este de elmat dat fd raportul 7 7 Aplcad testul T T/R dscordat. Acelas test arata sa ca volutarul este aormal d puct de vedere al celor doua valor, dar u s d puct de vedere al raportulu T/R. Dat fd ca decza prvd boechvaleta este fluetata doar de travarabltate s u depde de travarabltate, volutarul u este de elmat. I fal, decza prvd clasfcarea ue valor drept dscordate, depde de aalza feomeologca s ma put de rezultatul testelor statstce. 6

165 DISTRIBUTIA BINOMIALA Aplcat: Dstrbuta bomala. Dstrbuţa gravtat HTA (hpertesue arterala), aprecata pr umarul de medcamete ecesar tratamet, î fucţe de boala reală prmară, la 3 lu de la ţerea programulu de dalză crocă (câd s-a cosderat că paceţ au ajus la u echlbru d puct de vedere hemodamc), a fost următoarea: o - HTA Boala reala prmara HTA mooterape bterape > 3 medcamete GNC glomeruloefrte croce NTI efropat tubuloterstţale NI efropate schemca NH efropate hpertesva BP boala polchstca reala a. Sa se verffce poteza potrvt carea cazul GNC, HTA u depde semfcatv ceea ce prveste severtatea (dstrbuta) de NH. b. Sa se compare severtatea (dstrbuta tre clase de HT) tre GNC s BP Se cosdera α 0,0 Solute: a. Ipotezele statstce sut: H : t 0 u exsta dferete re cele doua bol H A : exsta dferete tre cele doua bol Comparam DISTRIBUTIILE folosd testul χ. Valorle observate ( O ) sut prezetate tabelul urmator: peste 3 o HTA mooterape bterape medcamete sum GNC NH sum

166 Dstrbuta bomala Valorle asteptate - expectato ( E ) sut prezetate tabelul urmator: peste 3 o HTA mooterape bterape medcamete sum 5 50*,87 GNC 87 50* 6, * 6, * 3, *,3 NH * 5, *, * 7, sum Testul statstc este: ( O ) ( ) ( ) ( ) E 5,87 0,3 67,44 χ( )( 4 ) χ3... 5, 5 E,87,3 7, 44 Petru u vel de semfcate α 0, 05 avem valoarea de prag petru dstrbuta χ cu 3 grade de lbertate petru ara de 0,95 de 7,85. Cocluze: cu probabltate ma mare de 95 % severtatea HT la pacet cu GNC este aceas cu cea la pacet cu NH b. Ipotezele statstce sut: H : t 0 u exsta dferete re cele doua bol H A : exsta dferete tre cele doua bol Comparam proportle folosd testul χ. Valorle observate ( O ) sut prezetate tabelul urmator: peste 3 o HTA mooterape bterape medcamete sum GNC BP sum

167 Dstrbuta bomala Valorle asteptate - expectato ( urmator: E ) sut prezetate tabelul o HTA mooterape bterape peste 3 medcamete sum GNC NH sum Testul statstc este: ( O E ) χ χ ( 5 3, 37) ( 8 9, 63) ( 4,4) ( )( 4) , E 3, 37 9, 63,4 Petru u vel de semfcate 0, 05 α avem valoarea de prag petru dstrbuta χ cu 3 grade de lbertate petru ara de 0,95 de 7,85. Cocluze: cu probabltate de 95 % dstrbuta severtat la cele doua categor de bolav este dferta. I cadrul uor lotur de hemodalzaţ s-a comparat procetul de paceţ care au ecestat tratamet cu stmulator a ertropoeze, precum ş doza mede admstrată obtadu-se urmatoarele valor: Boala reala prmara Aeme ecestad ASE Doză ASE sub 5000 Doze ASE Doze ASE peste GNC NTI NI NH BP NV Sa se verfce poteza potrvt carea: a. Dozele cele ma mar de ASE au fost ecesare la GNC, cele ma mc predoma la BP. b. I radul bolavlor cu NV, ce cu NH au evoe de doze ma mc Solute: 65

168 Dstrbuta bomala a. Vom testa potezele cu testul χ ASE sub 5000 ASE ASE peste 0000 TOTAL pacet cu aeme GNC BP NV Total H : 0 dstrbuta dozelor u depde de boala H A : dstrbuta depde de boala Valorle observate ( ) sut prezetate tabelul urmator: ASE sub 5000 O ASE ASE peste 0000 TOTAL pacet cu aeme GNC BP NV Total Valorle asteptate - expectato ( E urmator: ASE sub ASE ASE peste TOTAL pacet cu aeme 43 44* 7, 68 GNC * 3, * 3, * 4,8 BP 07 3 * 3, * 3, * 0, 50 NV * 5, * 5, Total ) sut prezetate tabelul Testul statstc este: ( O E) ( 6 7, 68) ( 9 4,8) ( 3 5, 5) χ χ ( 3)( 3) ,48 E 7,68 4,8 5,5 Petru u vel de semfcate α 0, 0 avem valoarea de prag petru dstrbuta χ cu patru grade de lbertate petru ara de 0,90 de 9,49. 66

169 Dstrbuta bomala Deoarece 49,48 este ma mare decat 9,49, se accepta poteza dec ca doza depde de boala (dferete semfcatve). H A, b. radul bolavlor cu NV, ce cu NH au evoe de doze ma mc ASE sub 5000 ASE ASE peste 0000 TOTAL pacet cu aeme NI 6 3 NH Total H : 0 NI s NH u dfera t re ele H : t 0 NI s NH dfera re ele Comparam proportle folosd testul χ. Valorle observate ( ) sut prezetate tabelul urmator: ASE sub 5000 O ASE ASE peste 0000 TOTAL pacet cu aeme NI 6 3 NH Total Valorle asteptate - expectato ( E ) sut prezetate tabelul urmator: ASE sub 5000 ASE ASE peste 0000 TOTAL pacet cu aeme 8 *,53 NI 5 0 * 8, *, * 6, 47 NH *, *, Total Testul statstc este: 67

170 Dstrbuta bomala χ ( 3)( ) ( O E) ( 6, 53) ( 6, 47) ( 0, 76) χ...,7 E,53 6, 47,76 Petru u vel de semfcate α 0, 0 avem valoarea de prag petru dstrbuta χ cu doua grade de lbertate petru ara de 0,90 de 9,. Deoarece,7 este ma mare decat 9,, se respge poteza H 0, dec dferetele sut semfcatve. Cocluze : radul bolavlor cu v, ce cu h au evoe de doze semfcatv ma mc 3. Aprecerea stăr de utrţe a fost realzată pr măsurarea albumeme serce (s-au luat medle pe 6 lu) ş pr aplcarea chestoarulu de evaluare globală subectvă a stăr de utrţe (SGA Subjectve Global Assesmet) la tervale de a. S-au obtut urmatoarele valor: Boala reala prmara Malutrte albuma Alb 3-3,5 Alb,5-3 Alb <,5 GNC NTI NI NH BPI Malutrte Nr. pacet Procet o Usoara SGA Meda Severa SGA cu SGA Total GNC NTI NI NH BP Sa se verfce poteza ca: a. dstrbutle o-malutrte, SGA usoara, SGA mede sau severa dfera semfcatv tre grupele de bol 68

171 Dstrbuta bomala b. D puct de vedere al albume serce - ca marer al malutrte malutrta este ma frecveta s ma severa la NI. Solute: H : 0 dstrbutle u dfera tre ele H : 0 dstrbutle dfera tre ele a. Comparam dstrbutle folosd testul χ. Valorle observate ( O ) sut prezetate tabelul urmator: o Usoara Meda - Severa Malutrte SGA SGA sum GNC NTI NI NH BP sum Valorle asteptate - expectato ( E ) sut prezetate tabelul urmator: Meda - o MalutrteUsoara SGA Severa SGA sum 54 50* 34,07 GNC * 8, * 7, * 53,83 NTI *, *, * 6,35 NI * 3, * 3, * 5, NH * 6, * 5, * 4,53 BP * 5, * 5, sum Testul statstc este: ( ) ( ) ( ) ( ) O E 334, ,83 3 5, 73 ( 5, 58) χ( 3 )( 5 ) χ8... E 34,07 53,83 5,73 5,58 59,0 Petru u vel de semfcate α 0, 05 avem valoarea de prag petru dstrbuta χ cu 8 grade de lbertate petru ara de 0,95 de 5,5. 69

172 Dstrbuta bomala Deoarece 59,0 este ma mare decat 5,5, se respge poteza egaltat. b. Comparam proportle folosd testul χ. Valorle observate ( O ) sut prezetate tabelul urmator: o Albuma Albuma Albuma Malutrte 3-3,5,5-3 sub,5 sum GNC NTI NI NH BP sum Valorle asteptate - expectato ( E ) sut prezetate tabelul urmator: Albuma 3 - Albuma,5 Albuma sub o Malutrte3,5-3,5 sum * 37,7 GNC * 5, * 5, *, * 58, 73 NTI * 8, * 8, * 3, * 7,84 NI 6 4 4*, *, * 0, * 7,50 NH * 3, * 4, *, * 6, 76 BP * 3, * 3, *, sum Testul statstc este: 70

173 Dstrbuta bomala χ ( 4)( 5) 34,9 ( O ) ( ) ( ) ( ) E 34 37, , 73, 47 ( 0, 43)... χ E 37,7 58,73,47,43 Petru u vel de semfcate α 0, 05 avem valoarea de prag petru dstrbuta χ cu grade de lbertate petru ara de 0,95 de,03. Deoarece 34,9 este ma mare decat,03, se respge poteza egaltat, dec caltatea fzca dfera tre cele doua bol. 4. Icdeta osteodstrofe la pacet sub dalza reala s-a determat pr compararea cdeţe hperparatrodsmulu ş hperfosfateme dferte subgrupur, obtadu-se rezultatele urmatoare: Boala reala prmara PTH > valoare optma PTH ormal sau suboptm PTH 800pg/ml P>N P lmte GNC NTI NI NH BPI PTH parathormo, are valoare optmă î jur de 00pg/ml Hperparatrodsm creşterea PTH peste valoarea optmă Sa se verfce poteza statstca potrvt carea hperparatrodsmul ş hperfosfatema au cdeţe comparable î dfertele sublotur etologce (u dferă statstc) Solute: Verfcarea statstca a poteze: hperparatrodsmul ş hperfosfatema au cdeţe comparable î dfertele sublotur etologce (u dferă statstc) a.. hperparatrodsmul H : t 0 u exsta dferete re bol H A : exsta dferete tre bol Comparam proportle folosd testul χ. Valorle observate ( ) sut prezetate tabelul urmator: O 7

174 Dstrbuta bomala PTH > valoare optma PTH ormal sau suboptm total GNC NTI NI NH BP sum Valorle asteptate - expectato ( E ) sut prezetate tabelul urmator: PTH > valoare optma PTH ormal sau suboptm total 6 50* 35,84 GNC * 4, * 56,63 NTI *, * 7,0 NI * 6, * 6,5 NH * 0, * 5,8 BP * 0, sum Testul statstc este: χ ( )( 5) 4 ( O E) ( 36 35,84) ( 56 56, 63) ( 0 0,9) χ... 0,07 E 35,84 56, 63 0,9 Petru u vel de semfcate 0, 05 α avem valoarea de prag petru dstrbuta χ cu 4 grade de lbertate petru ara de 0,95 de 9,49. Dec, cu o probabltate ma mare de 95 % poteza ca hperparatrodsmul are cdeţe comparable î dfertele sublotur etologce (u dferă statstc) este adevarata 7

175 hperfosfatema H : t 0 u exsta dferete re bol H : exsta dferete tre bol A Dstrbuta bomala Comparam proportle folosd testul χ. Valorle observate ( O ) sut prezetate tabelul urmator: P>N P lmte total GNC NTI NI NH BP 4 36 sum Valorle asteptate - expectato ( E ) sut prezetate tabelul urmator: P>N P lmte total 48 50* 3,74 GNC * 7, * 5,73 NTI * 7, * 5,7 NI * 8, * 4,3 NH *, * 3,58 BP *, sum Testul statstc este: χ ( )( 5) 4 ( O E) ( 36 3, 74) ( 55, 73) ( 4, 4) χ...,37 E 3,74 5,73,4 Petru u vel de semfcate 0, 05 α avem valoarea de prag petru dstrbuta χ cu 4 grade de lbertate petru ara de 0,95 de 9,49. 73

176 Dstrbuta bomala Dec, cu o probabltate ma mare de 95 % poteza ca hperparatrodsmul are cdeţe comparable î dfertele sublotur etologce (u dferă statstc) este adevarata 74

177 Puterea testulu. Calculul umarulu de volutar PUTEREA TESTULUI. CALCULUL NUMARULUI DE VOLUNTARI Aplcat:. Sa se stableasca umarulu de subect ecesar petru testarea boechvalete a doua forme farmaceutce de supoztoare cu MELOXICAM. Dtr-u studu plot avem ca estmare a travarabltat petru AUC s C max, CV 0% s respectv CV 30%. Coform reglemetarlor avem: α 0,0 dfereta semfcatva clc Δ 0%* μ atat petru C max cat s AUC Solute: I. Se cosdera: secvetele egale puterea testulu 80%, dec β 0, 0 Formula cea ma smpla de aplcat, dar ma put precsa este cea de la compararea a doua med cu testul T. Petru fecare secveta avem: z z ˆ σ e α β ˆ σ ˆ d σ e μ CV zα z β z z z z α β α β Δ Δ Δ Δ *00 μ μ σ e σ d z 0.05, 64 α z z z β 0,0 0,84 Se alege CV valoarea cea ma mare, 30%. Petru fecare secveta vom avea: 30 (,64 0,84) 3, Dec, umarul total de subect trebue sa fe de cel put 8. II. Daca producatorul cosdera ca rscul β 0, 0 este prea mare s doreste o putere de 0,90, dec β 0,0, deve: 30 ( z0,05 z0,0 ) (, 64, 8) (,5) 9,8 0 Dec, petru studu trebuesc luat crca 40 de subect, ceea ce este deja cam mult d puct de vedere al comslor de etca. 75

178 Puterea testulu. Calculul umarulu de volutar III. Formula de ma sus poate f locuta cu ua ma precsa bazata pe faptul ca testarea boechvalete foloseste testul T s u testul Z. I acest caz, umarul de subect fecare secveta este dat de: CV t α t; β ; Δ I cazul care α 0,0 s β 0, 0, avem: 30 ( t;0.05 t;0,0) 0 Problema este ca apare amb membr a ecuate. Icercam ta cu valoarea obtuta plecad de la testul Z: 4 s avem: t 6; 0,05, 7 s t 6; 0,0 0,856 ( ) ( ) 4,70,856,5 4 4,8 s dec rezultatul u dfera semfcatv de cel obtut ateror. IV. Formulele ateroare au fost deduse pord de la boechvaleta tratata ca u test de egaltate. Cad aplcam sa u test bazat pe tervalul de credere, echvalete cu cele doua teste Schurma, formula se modfca pr aceea ca t trebue locut cu t ; α s t ; β trebue locut cu t β ; α ; obtadu-se: t t CV Cosderad tot α 0,0 s β 0, 0, avem: avem: ; α β ; Δ 30 ( t;0,0 t;0,0) 0 Icercam ta cu valoarea obtuta plecad de la testul Z: t ( ) ( ) 6; 0,0,3 4, 3, 3, 5 4 7,4 Icercam cu 6 s avem: 30; 0,0,3 t ( ) ( ) 6,3,3,5 6 5,44 Dec, umarul de subect trebue sa fe de 6 pe fecare secveta. 4 s 76

179 Puterea testulu. Calculul umarulu de volutar Comparad cu formula petru testarea poteze puctuale, cfra dfera fd ma mare. Dec, formula ateroara duce la o subestmare a umarulu ecesar de subect. V. Atuc cad tre produse exsta efectv o dfereta θ, formula petru calculul umarulu de subect pord de la potezele de terval este: ( CV ) ( t; α t; β) ( Δθ% ) θ ude θ % 00* μr Petru α 0,0 s β 0, 0 θ % 0% pord de la 0, avem: ( t t ) ( 30) ( 0 0) ( ) 38;0,0 38;0,0 0 0,30 0,848 *9 0 4 Rezultatele fd prea dferte vom lua calcul 30 ( 30) 30 ( t58;0,0 t58;0,0 ) 30 (,30 0,848 ) * ( 0 0) I fapt petru 30avem t ; α zα dec termeul d dreapta u se ma modfca s alegerea este practc 40. Petru treg studul umarul de subect este uras 80 petru u studu de boechvaleta. 77

180 78 Puterea testulu. Calculul umarulu de volutar

181 Stud epdemologce STUDII EPIDEMIOLOGICE. CALCULAREA RISCULUI RETROSPECTIV (ODDS RATIO) PE ( D) Rscul d cauza expuer R se evalueaza tr-u studu PNE ( D) prospectv s este deft ca raportul dtre probabltatea mbolavr celor expus s probabltatea mbolavr celor eexpus Dar, case study, o u expuem subect, c cosderam P bolav dec evemet produs este boala, s obtem: ( ) Rscul prospectv ( odds rato ) Cosderam raportul defectelor - odds rato OR care se obte tr-u studu retrospectv (case-study): Rapoartele odds sut rapoartele tre proporta celor expus s proporta celor de eexpus populata de bolav s respectv acelas raport populata de saatos. Spre exemplu se cosdera proporta tr-u lot de bolav de cacer pulmoar s proporta fumatorlor tr-u lot d treaga populata. Raportul acestor proport, umt odds rato, este o masura a rsculu de mbolavre al celor expus. PD ( E) PD ( NE) PD ( E) PND ( NE) OR PND ( E) PD ( NE) PND ( E) PND ( NE) I exemplul ostru: proporta fumatorlor populata de bol av OR proporta fumatorlor populata de saatos I cazul bollor rare ar trebu determat umarul de mbolavr tr-u lot expus comparatv cu u lot eexpus pe peroade foarte lug ceea ce este foarte scump s, geeral, u este fezabl datorta esr d studu a foarte mult dtre subect. I aceasta stuate sa, daca aproxmam ca probabltatea mbolavr este aproxmatv zero P ( D) 0 ) s probabltatea de embolavre este aproape ( P ( ND) ), rscul obtum retrospectv OR este o estmare a rsculu d cauza expuer : R OR Cosderam rezultate dtr-u studu prvd cdeta cacerelor de gura efectuat Olada KP Schepma, PD Bezemer, EH va der Mej, LE Smeele, I va der Waal: Tobacco usage relato to the aatomcal ste of oral leuoplaa, Oral Dseases 7, 5-7, D

182 80 Stud epdemologce Feme Fumătoare Nefumătoare Total Pacete cu Leucoplae localzare mucoasă 6 5 obraj Cotrol (feme populaţe Olada) Total Bărbaţ Fumător Nefumător Total Paceţ cu Leucoplae localzare mucoasă obraj Cotrol (bărbaţ populaţe Olada) Aplcate. Calculat rscul relatv retrospectv ( OR ) s u terval de credere petru acest rsc petru cele doua populat. Cosderam otata a b uzuala c d a. Feme a ad Dec, OR c b bc 6*69,7 48, OR,76 5*30,3 5,5 d Itervalul de credere de 95% petru l OR este egal cu: l ( OR) ±,96 a b c d l OR sut: Lmtele feroare s superoare ale lu ( ) ( ) ( ) l ORL l OR,96, lmta feroara (lower) a b c d ( ) ( ) l ORU l OR,96, lmta superoara (upper) a b c d Avem: l ( OR L ) l (,76),96,0,6 0, ,3 69,7 l ( OR U ) l (,76),96,0,6, ,3 69,7 Itervalul de credere scala orgala de rsc relatv estmat este l( OR ) ( ) pr urmare dat de [ L l OR e ; e U ] Vom obte u terval de credere petru rscul retrospectv: l( OR L ) l( OR ) 0,5,07 ; U OR e e OR e ; e OR [ 0,78 ; 7,93]

183 Stud epdemologce b. Barbat Aplcad acelas ratoamet petru barbat obtem: ad *63,3 696,3 OR 8,97 bc *36,7 36,7 l ( OR L ) l ( 8,97),96,94, 09 0,85 36,7 63,3 l( OR U ) l( 8,97),96,94,09 5,03 36,7 63,3 Vom obte u terval de credere petru rscul retrospectv: 0,85 5,03 OR e ; e OR [,34 ;5,93] Cad avem ma multe stud clce epdemologce, de exemplu uul pe feme s uul pe barbat, poteza ca u exsta dferete semfcatve tre cele doua sexe ceea ce prveste rscul ue aumte bol dus de u factor de rsc dat, este atural sa reum loturle s sa facem calculele petru populata reuta. c. Populata reuta I acest caz a 7, b 6, c 67 s d 33 ad 7*33 6 OR 5, 6 bc 6*67 40 l ( OR L ) l ( 5, 6),96, 73 0,98 0, l ( OR U ) l ( 5, 6),96, 73 0,98, Vom obte u terval de credere petru rscul retrospectv: 0,75,7 OR e ; e OR [, ;5,03] Daca sa u putem presupue acest lucru, o metoda alteratva de calcul este metoda Matel-Haeszel.Metoda Matel-Haeszel este folostă petru a estma pooled odds rato d ma multe stratur sau ma multe stud smlare: 8

184 Stud epdemologce ude a b c d OR MH ad bc, Strat / Stud Cazur Cotrol Total Expus Neexpus Total a b c d 0 m m j Expus Neexpus Total a j c j m j b j d j j 0 j m 0 j j K Expus Neexpus Total a c K b d K K K K 0K m K m 0K K Dspersa lu OR MH se calculează coform ecuaţe K K ad j j aj d bc j j aj dj bj cj ad j j j * * * j j j j j j j j D( l ( ORMH )) K K K ad ad j j j j bc j j j j j j j j K bc j j bj cj * j j j K bc j j j j 8

185 Stud epdemologce Itervalul de îcredere se poate obţe folosd ecuaţa: ( ( MH )) ORMH exp z D log OR ± α Aplcate. Calculat rscul combat al celor doua subpopulat. ad Vom aplca relata ORMH care avem: bc a a 6 b b 5 c 30,3 c 36,7 d 69,7 d 63,3 I cazul ostru obtem: ad ad 6*69.7 *63.3 OR MH 5.9 bc bc 5*30.3 *36.7 dec rscul la velul treg populat este de crca 6 or ma mare cazul fumatorlor decat cazul efumatorlor. I cazul ostru dspersa petru OR va f: ad a d ad a d * * D( l ( ORMH )) ad ad bc a d bc a d bc b c bc b c * * * * ad ad bc bc bc bc 83

186 Stud epdemologce 6*69, , 7 *63,3 63,3 * * D ( l ( ORMH )) 6*69,7 *63,3 5*30,3 6 69,7 *36,7 63,3 * * 6*69,7 *63,3 5*30,3 *36,7 5*30,3 5 30,3 *36,7 36,7 * * 5*30,3 *36, 7,57 4, 0,93 0, D l ( ORMH ) 3,77 6, 3,77 6,,36 0,33 ( ) ( ) ( )( ) 0, 43 0,,36 0,33 ( ) Dec, 7,5 0,54 D( l ( ORMH )) 0, 035 0, 034 0, 094 0,63 *00 *0*,69 *,85 dec, D l ( OR MH ) 0, 40 z log ( α D ORMH ),96*0, 04 0, 08 ( ) ( ) Itervalul de îcredere se poate obţe folosd ecuaţa: ( 0,08 0,08 ORMH exp ± zα D log ORMH ) 5,9* e ;5,9* e 5, 46 ;6,39 ( ) [ ] 84

187 Aexa I Tabele petru z z ,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,00 0,060 0,099 0,039 0,079 0,039 0,0359 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0,057 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,074 0,0754 0, 0,0793 0,083 0,087 0,090 0,0948 0,0987 0,06 0,064 0,03 0,4 0,3 0,79 0,7 0,55 0,93 0,33 0,368 0,406 0,443 0,480 0,57 0,4 0,554 0,59 0,68 0,664 0,700 0,736 0,77 0,808 0,844 0,879 0,5 0,95 0,950 0,985 0,09 0,054 0,088 0,3 0,57 0,90 0,4 0,6 0,58 0,9 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,58 0,549 0,7 0,580 0,6 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,88 0,90 0,939 0,967 0,996 0,303 0,305 0,3078 0,306 0,333 0,9 0,359 0,386 0,3 0,338 0,364 0,389 0,335 0,3340 0,3365 0,3389,0 0,343 0,3438 0,346 0,3485 0,3508 0,353 0,3554 0,3577 0,3599 0,36, 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,380 0,3830, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3997 0,405,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,45 0,43 0,447 0,46 0,477,4 0,49 0,407 0,4 0,436 0,45 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,439,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,448 0,449 0,444,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,455 0,455 0,4535 0,4545,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,459 0,4599 0,4608 0,466 0,465 0,4639,8 0,464 0,4649 0,4656 0,4664 0,467 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706,9 0,473 0,479 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,476 0,4767,0 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,48 0,487, 0,48 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,486 0,4864 0,4868 0,487 0,4875 0,4878 0,488 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,490 0,4904 0,4906 0,4909 0,49 0,493 0,496,4 0,498 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499 0,493 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,494 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,495 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,496 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,497 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,498,9 0,498 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3, 0,4990 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,

188 Aexa I 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,

189 Aexa II Tabele petru t ν t 0,55 t 0, 60 t 0, 70 t 0, 75 t 0, 80 t 0, 90 t 0, 95 t 0, 975 t 0, 99 t 0, 995 0,58 0,35 0,77,000,376 3,08 6,3,7 3,8 63,66 0,4 0,89 0,67 0,86,06,89,9 4,30 6,96 9,9 3 0,37 0,77 0,584 0,765 0,978,64,35 3,8 4,54 5,84 4 0,34 0,7 0,569 0,74 0,94,53,3,78 3,75 4,60 5 0,3 0,67 0,559 0,77 0,90,48,0,57 3,36 4,03 6 0,3 0,65 0,553 0,78 0,906,44,94,45 3,4 3,7 7 0,30 0,63 0,549 0,7 0,896,4,90,36 3,00 3,50 8 0,30 0,6 0,546 0,706 0,889,40,86,3,90 3,36 9 0,9 0,6 0,543 0,703 0,883,38,83,6,8 3,5 0 0,9 0,60 0,54 0,700 0,879,37,8,3,76 3,7 0,9 0,60 0,540 0,697 0,876,36,80,0,7 3, 0,8 0,59 0,539 0,695 0,873,36,78,8,68 3,06 3 0,8 0,59 0,538 0,694 0,870,35,77,6,65 3,0 4 0,8 0,58 0,537 0,69 0,868,34,76,4,6,98 5 0,8 0,58 0,536 0,69 0,866,34,75,3,60,95 6 0,8 0,58 0,535 0,690 0,865,34,75,,58,9 7 0,8 0,57 0,534 0,689 0,863,33,74,,57,90 8 0,7 0,57 0,534 0,688 0,86,33,73,0,55,88 9 0,7 0,57 0,533 0,688 0,86,33,73,09,54,86 0 0,7 0,57 0,533 0,687 0,860,3,7,09,53,84 0,7 0,57 0,53 0,686 0,859,3,7,08,5,83 0,7 0,56 0,53 0,686 0,858,3,7,07,5,8 3 0,7 0,56 0,53 0,685 0,858,3,7,07,50,8 4 0,7 0,56 0,53 0,685 0,857,3,7,06,49,80 5 0,7 0,56 0,53 0,684 0,856,3,7,06,48,79 6 0,7 0,56 0,53 0,684 0,856,3,7,06,48,78 7 0,7 0,56 0,53 0,684 0,855,3,70,05,47,77 8 0,7 0,56 0,530 0,683 0,855,3,70,05,47,76 9 0,7 0,56 0,530 0,683 0,854,3,70,04,46, ,7 0,56 0,530 0,683 0,854,3,70,04,46, ,6 0,55 0,59 0,68 0,85,30,68,0,4, ,6 0,54 0,57 0,679 0,848,30,67,00,39,66 0 0,6 0,54 0,56 0,677 0,845,9,66,98,36,6 0,6 0,53 0,54 0,674 0,84,8,645,96,33,58 87

190 88 Aexa II

191 Aexa III Tabele petru F 0, ν ν ,5 9,0 9, 9,3 9,3 9,4 9,4 9,4 9,4 9,4 3 0, 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 6,00 5,96 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,0 4,06 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 3,0,98 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,90,85 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,80,75 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,7,67 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,65,60 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,59,54 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,54,49 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,49,45 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,4,38 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,39,35 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,37,3 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,34,30 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,3,7 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,30,5 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,8,4 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7, 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5,0 8 4,0 3,43,95,7,56,45,36,9,4,9 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,,8 30 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,, ,00 3,5,76,53,37,5,7,0,04,99 0 3,9 3,07,68,45,9,8,09,0,96,9 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,88,83 89

192 Aexa III ν ν ,4 9,4 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5 3 8,74 8,70 8,66 8,64 8,6 8,59 8,57 8,55 8,53 4 5,9 5,86 5,80 5,77 5,75 5,7 5,69 5,66 5,63 5 4,68 4,6 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,37 6 4,00 3,94 3,87 3,84 3,8 3,77 3,74 3,70 3,67 7 3,57 3,5 3,44 3,4 3,38 3,34 3,30 3,7 3,3 8 3,8 3, 3,5 3, 3,08 3,04 3,0,97,93 9 3,07 3,0,94,90,86,83,79,75,7 0,9,85,77,74,70,66,6,58,54,79,7,65,6,57,53,49,45,40,69,6,54,5,47,43,38,34,30 3,60,53,46,4,38,34,30,5, 4,53,46,39,35,3,7,,8,3 5,48,40,33,9,5,0,6,,07 6,4,35,8,4,9,5,,06,0 7,38,3,3,9,5,0,06,0,96 8,34,7,9,5,,06,0,97,9 9,3,3,6,,07,03,98,93,88 0,8,0,,08,04,99,95,90,84,5,8,0,05,0,96,9,87,8,3,5,07,03,98,94,89,84,78 3,0,3,05,0,96,9,86,8,76 4,8,,03,98,94,89,84,79,73 5,6,09,0,96,9,87,8,77,7 6,5,07,99,95,90,85,80,75,69 7,3,06,97,93,88,84,79,73,67 8,,04,96,9,87,8,77,7,65 9,0,03,94,90,85,8,75,70,64 30,09,0,93,89,84,79,74,68,6 40,00,9,84,79,74,69,64,58,5 60,9,84,75,70,65,59,53,47,39 0,83,75,66,6,55,50,43,35,5,75,67,57,5,46,39,3,,00 90