CURS 6: APROXIMAREA FUNCTIILOR PRIN REGRESIE
|
|
- May Banks
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 CURS 6: APROXIMAREA FUNCTIILOR PRIN REGRESIE Metoda celor ma mc pătrate. Formularea probleme. Notaț Metoda celor ma mc pătrate (ale eror) este cea ma uzuală metodă de aproxmare a ue depedeţe y=y(x), date tabelar (ca î tabelul ), prtr-o fucţe aaltcă, care se umeşte fucţe (de obce polomală) de regrese. De aceea, metoda celor ma mc pătrate se ma umeşte ş regrese, cu largă aplcabltate î estmare, statstcă ş prelucrarea datelor. x x x 2... x y y y 2... y Tabel Depedeţa y=y(x) dată pr tabel Depedeţa y=y(x) se poate reprezeta grafc î plaul (x, y), obţâdu-se aşa-umtul or de pucte. De cele ma multe or, după alura orulu de pucte se poate stabl forma exactă a fucţe de regrese: dacă puctele se dstrbue î jurul ue drepte, atuc se alege drept fucţe de regrese u polom de gradul I (regrese lară), dacă se dstrbue î jurul ue parabole sau a ue parabole cubce, atuc trebue aleasă o fucţe polomală de gradul al II-lea, respectv de gradul al III-lea etc. Dacă forma sugerată a orulu de pucte u corespude uu caz smplu, atuc se procedează la regresa cu o fucţe polomală de grad superor, ales arbtrar î prmă fază. Dacă se otează cu y, =,, valorle aproxmate (estmate) ş cu f reg fucţa geerală de regrese, atuc este valablă relaţa: () y = f ( x ) reg Fucţa f reg depde de u set de m parametr, fe aceşta a, =, m (î partcular, aceşta sut coefceţ polomulu de regrese), care se determă d mmzarea eror pătratce cumulate dtre valorle reale, y, ş valorle aproxmate, y : ( ) 2 (2) E( a, a2,... am ) y y Fucţa de eroare (2) este o exprese a dsperse valorlor reale de la curba presupusă. Fd o sumă de pătrate, această fucţe preztă u mm poztv (î cazul deal, acesta este 0, corespuzâd aproxmăr exacte), care se obţe d aularea dervatelor sale parţale î raport cu fecare dtre parametr a, =, m. Rezultă astfel sstemul de m ecuaţ î ecuoscutele a, =, m, umt sstemul ecuaţlor ormale: E( a (3), a2,... am) = 0, =, m a
2 Î cazul î care f reg este fucţe polomală, sstemul (3) este lar ş compatbl determat, soluţa lu admţâd o formă geerală, care este prezetată î.5. O aplcaţe medată ş tutvă a metode celor ma mc pătrate este trasarea grafcă a ue depedeţe de tpul cele d tabelul, presupuâd că datele respectve s-au obţut î urma măsurăr varaţe varable depedete y î fucţe de varaţa varable depedete x. Măsurătorle fd î geeral afectate de eror, se aplcă îtâ o metodă de regrese petru determarea ue aproxmăr aaltce a depedeţe respectve. Pr reprezetarea grafcă a orulu de pucte de coordoate (x,y ),,2,..., ş a fucţe de regrese y = ( y x) î acelaş sstem de coordoate, se observă că aproxmarea pr regrese corespude trasăr grafculu prtre pucte (fgura )..5 y x Fg. Trasarea grafculu de regrese prtre puctele orulu de pucte Algortm de regrese sut practc îşrurea relaţlor de calcul al coefceţlor de regrese. De aceea se preztă drect mplemetărle Matlab ale celor ma uzuale cazur de regrese lară, parabolcă ş expoeţală ş a cazulu geeral de regrese polomală..2 Aproxmarea pr regrese lară Regresa lară costă î aproxmarea uu or de pucte prtr-o dreaptă; ca atare, relaţa de calcul al valorlor aproxmate (estmate), y, =,, este: (4) y = a x + b Coefceţ a ş b sut soluţle sstemulu (3), partcularzat petru m=2: (5) Sxy Sx Sy Sxx Sy Sx Sxy a =, b = 2 2 Sxx Sx Sxx Sx, ude s-au făcut otaţle: Sx x =, Sxx 2 x =, 2 Sy y =, Sxy x y =. Relaţle (5) rezultă d dezvoltarea determaţlor mplcaţ î sstemul (3). Fucţa Matlab de mplemetare a metode de regrese lară trebue să prmească drept date de trare ce do vector, x ş y, ş să retureze valorle celor do coefceţ de regrese,
3 a ş b. Fucţa Matlab cmmp_l lstată ma jos ma returează ş şrul de valor aproxmate, y, =,, î vectorul y_aprox, precum ş valoarea (mmzată) a eror pătratce globale (coform relaţe (2)) î varabla E. fucto [a,b,y_aprox,e]=cmmp_l(x,y) %REGRESIE LINIARĂ pe u set de perech de date (x,y); %dreapta de regrese are ecuaţa y=a*x+b; %x ş y sut vector de aceeaş dmesue, %(recomadabl ca x să fe ordoat crescător/descrescător) =legth(x); %calculul sumelor Sx=sum(x);Sxx=sum(x.^2);Sy=sum(y);Syy=sum(x.*y); %calculul umtorulu ş umărătorlor d formulele lu a ş b d=*sxx-sx^2;da=*syy-sx*sy;db=sxx*sy-sx*syy; %calculul coefceţlor de regrese, a ş b a=da/d;b=db/d; %valorle aproxmate y_aprox=a*x+b; %eroarea globală E=sum((y-y_aprox).^2); Ca o observaţe, se poate folos ş fucţa det d bbloteca Matlab, care calculează determatul ue matrce pătratce. Î exemplul de ma jos se arată o modaltate de verfcare a fucţe cmmp_l. Exemplul : Dâdu-se şrul de valor x=[ ] (la cazul geeral, acestea u trebue să fe echdstate), se geerează vectorul y după relaţa y=2*x+7 ş se apelează fucţa cmmp_l. x=[ ];y=2*x+7; [a,b,y_aprox,e]=cmmp_l(x,y) Rezultatul este coform aşteptărlor: a = 2 b = 7 y_aprox = E = 0 Se perturbă apo valorle obţute cu formula y=2*x+7 (de exemplu, cu maxm ±0%), rezultâd y=[ ]. Apelul fucţe cmmp_l cu argumetele de trare x ş y (exstete î spaţul de lucru): [a,b,y_aprox,e]=cmmp_l(x,y) produce următoarele rezultate: 3
4 a =.8757 b = y_aprox = Colums through Colums 8 through E = Evdet, valorle coefceţlor de regrese, a ş b, vor f cu atât ma devate de la valorle 2, respectv 7, cu cât perturbaţa setulu y de la dreapta exactă 2x+7 va f ma mare. Rezultatele regrese se vzualzează grafc pr reprezetarea orulu de pucte ş a grafculu drepte de regrese, ax+b (petru care se dscretzează tervalul de varaţe al varable depedete, x, cu u pas sufcet de mc rezultatul se depue î vectorul xx ş se calculează varabla depedetă, y, î fecare valoare astfel obţută rezultatul se depue î vectorul yy) Fg. 2 Aproxmarea uu or de pucte pr regrese lară Î urma comezlor Matlab: xx=m(x):(max(x)-m(x))/200:max(x); yy=a*xx+b; plot(x,y, o,xx,yy, - );grd; se obţe grafcul d fgura 2..3 Aproxmarea pr regrese parabolcă Dacă orul de pucte are alură de parabolă, atuc se poate aplca regresa parabolcă. Relaţa de calcul al valorlor aproxmate, y, =,, este î acest caz: 4
5 (6) 2 y = a x + b x + c Coefceţ a, b ş c sut soluţle sstemulu (2.3), partcularzat petru m=3: (7) a a, b b = =, c = c, ude este determatul sstemulu (2.3), ar a, b ş c sut determaţ de calcul a coefceţlor. Formele lor compacte, precum ş formulele desfăşurate sut date ma jos. S S S 4x 3x xx x xx x xx 4x x 4x 3x 2 x xx 3x xx = S S S = S S S S S + S S S S S S xx x S2xy S3x Sxx a = Sxy Sxx Sx 2 2 = SxxS2xy Sx S2xy S3xSxy + SxS3xSy + SxSxxSxy SxxS y S y Sx S4x S2xy Sxx b = S3x Sxy Sx 2 = S4xSxy SxS4xSy S3xS2xy + SxSxxS2xy + SxxS3xS y SxxSxy Sxx Sy S4x S3x S2xy c = S3x Sxx Sxy 2 2 = SxxS4xS y SxS4xSxy S3xS y + SxxS3xSxy + SxS3xS2xy SxxS2xy Sxx Sx S y S-au făcut otaţle: Sx = x, Sxx = x, S3x = x, S4x = x, Sy = y, 2 Sxy = x y, S2xy = x y. Metoda de regrese parabolcă este mplemetată prtr-o fucţe umtă cmmp_par, care prmeşte aceleaş argumete de trare ca ş cmmp_l, fucţa destată regrese lare, ş aume seturle de date x ş y. Pe lâgă coefceţ de regrese, a, b ş c, ş eroarea globală, fucţa ma returează ş perechea de vector (xx,yy), calculaţ petru reprezetarea grafcă a curbe de regrese (î maera arătată la regresa lară, exemplul 2.). fucto [a,b,c,e,xx,yy]=cmmp_par(x,y) %REGRESIE PARABOLICĂ pe seturle de date (x,y); % 2 %curba de regrese are ecuaţa y = a*x + b*x + c; %x ş y sut vector de aceeaş dmesue, %(recomadabl ca x să fe ordoat crescător/descrescător) =legth(x); %calculul sumelor 5
6 Sx=sum(x);Sxx=sum(x.^2);S3x=sum(x.^3);S4x=sum(x.^4); Sy=sum(y);Sxy=sum(x.*y);S2xy=sum((x.^2).*y); %calculul determaţlor d=*sxx*s4x-sx^2*s4x-*s3x^2+2*sx*sxx*s3x-sxx^3; da=*sxx*s2xy-sx^2*s2xy-*s3x*sxy+sx*s3x*sy+... Sx*Sxx*Sxy-Sxx^2*Sy; db=*s4x*sxy-sx*s4x*sy-*s3x*s2xy+sx*sxx*s2xy+... Sxx*S3x*Sy-Sxx^2*Sxy; dc=sxx*s4x*sy-sx*s4x*sxy-s3x^2*sy+sxx*s3x*sxy+... Sx*S3x*S2xy-Sxx^2*S2xy; %calculul coefceţlor de regrese a=da/d; b=db/d; c=dc/d; %vector calculaţ î vederea ue evetuale reprezetăr grafce xx=m(x):(max(x)-m(x))/200:max(x); yy=a*xx.^2+b*xx+c; %eroarea globală E=sum((y-a*x.^2-b*x-c).^2); A se observa modul de plasare pe ma multe râdur a ue formule eobşut de lug (termarea fecăru râd cu caracterele... ). Exemplul 2: Dâdu-se vectorul x=[ ] ş vectorul y=x.^2-4*x-0, apelul fucţe cmmp_par cu returarea uma a prmelor patru argumete de eşre: [a,b,c,e]=cmmp_par(x,y) va avea drept ecou la ecra: a =.0000 b = c = E = 4.308e-024 Rezultatele cofrmă aşteptărle; câteva cometar se mpu. Se observă că valoarea eror globale este foarte mcă, practc 0; totuş, ea u a fost afşată ca 0, ceea ce îseamă că u este exact 0, aşa cum s-a obţut î cazul regrese lare pe u set de date perfect curat, eperturbat (exemplul 2.). Nc coefceţ de regrese u corespud exact valorlor curbe după care a fost geerat vectorul y; aceasta se costată reafşâd coefceţ î formatul de afşare cu 5 zecmale: format log a 6
7 a = b b = c c = Rezultatele cofrmă o tuţe frească: erorle de calcul cresc cu cât ordul regrese creşte (cu cât umărul coefceţlor de regrese este ma mare). Exemplul 3: Regresa parabolcă se aplcă acum pe setur de date legate prtr-o lege lară; de exemplu, fe cele d exemplul 2.: x=[ ] ş y=2*x+7. Rezultatul aşteptat î urma apelulu fucţe cmmp_par este ca parabola de regrese să abă coefcetul a aproxmatv ul (parabola se reduce la o dreaptă). Îtr-adevăr, comada: [a,b,c,e]=cmmp_par(x,y) are ca rezultat: a = 0 b = c = 2 7 E = 0 Rezultatul este de această dată exact, coefceţ sut determaţ fără eroare. Rămââd î cotuare la exemplul 2. ş apelâd fucţa cmmp_par petru setul y perturbat, y=[ ]: [a,b,c,e]=cmmp_par(x,y) se obţe: a = b = c =
8 E = Eroarea globală obţută pr regrese parabolcă (2.4862) este ma mare decât cea pr regrese lară (4.5376, d exemplul 2.), ceea ce arată că respectvul or de pucte se aproxmează ma be prtr-o dreaptă decât prtr-o parabolă. De ac se desprde o cocluze geerală: î cazul aplcăr regrese polomale uu set dat de date, ma îtâ trebue determat ordul regrese care asgură eroarea mmă. Se va reve la această problemă câd se va dscuta cazul geeral de regrese polomală ( 2..5)..4 Aproxmarea pr regrese expoețală Regresa expoeţală se aplcă atuc câd varabla depedetă are valor de sem costat (are fe uma valor poztve, fe uma valor egatve, ş atuc se cosderă y ca varablă depedetă). Fără a reduce geeraltatea se poate, dec, presupue că y coţe uma valor poztve. Norul de pucte se aproxmează prtr-o curbă expoeţală; valorle estmate, y > 0, =,, determâdu-se cu: (8) y = C e, C > 0 α x Pr logartmarea relaţe (2.8) ş troducerea schmbăr de varablă obţe: (9) z = α x + l( C ), A B z l( y ), z > 0, se care este u model de regrese lară petru seturle de date x ş z l( y), cu coefceţ A = α ş B = l( C) > 0. Aceşta se pot, dec, determa adaptâd formulele (2.5): (0) Sxz Sx Sz S, xx Sz Sx S A B xz = = 2 2 Sxx Sx Sxx Sx, 2 ude s-au făcut otaţle: Sx = x, Sxx = x, l( ) l Sz = z = y = y, Sxz = x z = x l( y ). Relaţa (2.8) se poate rescre sub forma: A x + B y = e, B > 0 Avâd î vedere reducerea de ma sus, fucţa Matlab petru regresa expoeţală, umtă cmmp_exp, costă î eseţă î apelarea fucţe cmmp_l, de regrese lară. Semfcaţa argumetelor de eşre ale fucţe cmmp_exp este aceeaş ca î cazul fucţe cmmp_par, de regrese parabolcă; ea este lstată ş cometată ma jos. fucto [A,B,E,xx,yy]=cmmp_exp(x,y) %REGRESIE după o CURBA EXPONENTIALĂ a uu set de date (x,y); % A*x+B %curba de regrese are ecuaţa y=e; 8
9 %x ş y sut vector de aceeaş dmesue; %(recomadabl ca x să fe ordoat crescător/descrescător); %y coţe valor poztve %regresa de acest tp se reduce la regresa lară pr %logartmarea aturală a valorlor d y z=log(y); [A,B,E,y_aprox]=cmmp_l(x,z); %şrur de valor calculate î vederea ue evetuale reprezetăr grafce xx=m(x):(max(x)-m(x))/200:max(x); yy=exp(a*xx+b); %eroarea globală E=sum((y-exp(A*x+B)).^2); Fucţa returează coefceţ A ş B (o modfcare moră, folosd relaţle troduse î formula (2.9), este ecesară petru a îtoarce valorle coefceţlor C ş α). Exemplul 4: Pord de la seturle de date x=[ ] ş y =[ ] 0.5 x+ 0.2 (geerat cu relaţa y = e : y=exp(0.5*x+0.2)), apelul fucţe cmmp_exp: cu prmele tre argumete de eşre: [A,B,E]=cmmp_exp(x,y) furzează rezultatul aşteptat: A = B = E =.6424e-030 Eroarea globală u este exact 0, d cauza erorlor troduse de logartmarea ţală. Exemplul 5: Se perturbă acum uşor valorle lu y d exemplul 2.4 cu maxm ±25%, obţâdu-se şrul y=[ ]. Făcâd abstracţe de modul de geerare a datelor, alura orulu de pucte poate corespude la fel de be ş ue curbe expoeţale, dar ş ue parabole. Se vor îcerca ambele tpur de regrese expoeţală ş parabolcă ş se vor compara erorle globale. Se apelează îtâ fucţa cmmp_exp, petru regresa expoeţală: [A,B,E]=cmmp_exp(x,y) obţâdu-se: A = B =
10 E = Dec orul de pucte poate f aproxmat pr x yexp = e, cu eroarea globală de Apelul fucţe cmmp_par, petru regrese parabolcă: [a,b,c,e2]=cmmp_par(x,y) coduce la: a = b = c = E2 = par y = x x x yexp = e Fg. 3 Aproxmarea pr regrese parabolcă ş expoeţală a uu or de pucte Dec orul de pucte ma admte ş aproxmarea 2 y par = x x +.475, cu eroarea globală de Se observă că eroarea globală are valor mar î ambele cazur, dar că este ma mcă î cazul regrese parabolce (66.489) decât î cazul regrese expoeţale (69.562). Dec, deş datele ţale, eperturbate, corespudeau ue depedeţe expoeţale, perturbarea lor a fost sufcet de semfcatvă petru a modfca tpul depedeţe: datele perturbate ale varable depedete, y, respectă ma degrabă o lege parabolcă î raport cu varabla depedetă, x. Reprezetarea orulu de pucte ş trasarea grafcelor curbelor de regrese obţute ma sus î acelaş sstem de coordoate se realzează pr următorul bloc de comez: [A,B,E,xx,yy]=cmmp_exp(x,y); 0
11 [a,b,c,e2,xx2,yy2]=cmmp_par(x,y); plot(x,y,'ko',xx,yy,'k--',xx2,yy2,'k-');grd; care produce rezultatele d fgura Cazul geeral de regrese polomală Dacă alura orulu de pucte u corespude cuua d cazurle de ma sus, atuc se efectuează regresa după o curbă polomală de grad cel puţ 3. Notâd cu m umărul coefceţlor de regrese care este, dec, cel puţ 4 valorle aproxmate, y, =,, sut date de relaţa geerală: () m m 2 y = am x + am x a2 x + a Să observăm că exstă o cerţă geerală: petru a face regrese polomală cu m parametr este ecesar să se dspuă de cel puţ m perech de date (x,y ). Dec trebue îdepltă codţa m. Notâd cu c = [ a ] =, m vectorul coefceţlor de regrese, sstemul (2.3) este lar pătratc; el se poate pue sub forma compactă: (2.3 ) S c = t ude S = s j este matrcea sstemulu, ar t = t j=, m,, m j este vectorul j=, m termelor lber, ale căror elemete se calculează după relaţle: (2) j 2 s j x + j = k, t j = yk x k k = k = Matrcea S fd esgulară, sstemul (2.3 ) este compatbl determat ş are soluţa: (3) c = S t Ma jos este prezetată fucţa Matlab cmmp_ge, care repreztă o mplemetare posblă a cazulu geeral de regrese polomală. Spre deosebre de fucţle de regrese prezetate pâă acum, această fucţe ma prmeşte îcă u argumet de trare, ş aume pe m, umărul de parametr de regrese (pe lâgă vector x ş y). Petru smpltate, formula (2.3) s-a realzat pr apelul fucţe v d bbloteca Matlab (mplemetarea de algortm umerc petru calculul verselor matrcale va f dscutată pe larg ma târzu î această lucrare). Prmul argumet de eşre al fucţe de ma jos, coef, este vectorul coefceţlor polomulu de regrese, î orde crescătoare a puterlor varable. Celelalte argumete de eşre au aceeaş semfcaţe ca î cazul celorlalte fucţ. fucto [coef,e,y_aprox,xx,yy]=cmmp_ge(x,y,m) %metoda CMMP de aproxmare a depedeţe y=f(x) %prtr-u POLINOM DE GRADUL m- (altfel spus, regrese cu m parametr); %coefceţ polomulu de regrese se returează î coef, %care este de dmesue m, î orde crescătoare a puterlor varable; %x ş y au aceeaş dmesue; %(recomadabl ca x să fe ordoat crescător/descrescător); %>m (umărul de perech de date trebue sa fe ma mare % decât umărul parametrlor de regrese)
12 =legth(x); %calculul elemetelor matrce ş al termelor lber for j=:m, t(j)=0; for :m, s(j,)=0; for k=:, s(j,)=s(j,)+x(k)^(j+-2); ed; ed; for k=:, t(j)=t(j)+y(k)*(x(k)^(j-)); ed; ed; coef=v(s)*t'; coef=coef';%operaţe de traspuere petru ca vectorul coef să rezulte de tp le %calculul valorlor aproxmate ale varable depedete for k=:, y_aprox(k)=0; for :m, y_aprox(k)=y_aprox(k)+coef()*(x(k)^(-)); ed; ed; %eroarea globală E=(y-y_aprox)*(y-y_aprox)';%echvalet cu E=(y-y_aprox).^2 %geerarea vectorlor de valor petru o evetuală reprezetare grafcă xx=m(x):(max(x)-m(x))/200:max(x); for k=:legth(xx), yy(k)=0; for :m, yy(k)=yy(k)+coef()*(xx(k)^(-)); ed; ed; Observațe: Dacă se doreşte obţerea coefceţlor de regrese î orde descrescătoare a puterlor varable (ceea ce corespude maere Matlab de returare a rezultatelor de acest tp), atuc se poate folos fucţa Matlab flplr (egl. flp left-rght, ogldre stâga-dreapta; alte fucţ d aceeaş clasă sut flpud egl. flp up-dow ş rot90). Avatajul aceste varate este că y_aprox ş yy se pot calcula ma elegat, ş aume apelâd o altă fucţe d bblotecă, polyval, de calcul al valor uu polom dat pr vectorul coefceţlor î orde descrescătoare a puterlor varable îtr-o valoare dată (a se vedea ş.3.3.8, exercţul propus 4). Ultmele tre blocur de comez d fucţa cmmp_ge se rescru sub forma: 2
13 coef=v(s)*t'; coef=flplr(coef'); %calculul valorlor aproxmate ale varable depedete for k=:, y_aprox(k)=polyval(coef,x(k)); ed; %eroarea globală E=(y-y_aprox)*(y-y_aprox)'; %geerarea vectorlor de valor petru o evetuală reprezetare grafcă xx=m(x):(max(x)-m(x))/200:max(x); for k=:legth(xx), yy(k)=polyval(coef,xx(k)); ed; O problemă atcpată î paragrafele ateroare costă î modul cum se stableşte gradul polomulu de regrese, altfel spus umărul parametrlor de regrese, m. Avâd î vedere codţa m, î prmă fază se poate cosdera m=, adcă efectuarea ue regres de grad maxm adms de seturle respectve de date. Este posbl ca această regrese să u fe ecesară, caz î care uul sau ma mulţ coefceţ polomal, îcepâd cu cel de rag maxm, m-, să fe aproape ul sau, î orce caz, mult ma mc î valoare absolută decât celalţ. Î acest caz, o a doua teraţe de regrese se va face cu gradul egal cu ragul prmulu coefcet eul (î orde descrescătoare a puterlor varable). Exemplul 6: Petru seturle de date x=[ ] ş y=[ ] (de lugme =9) se efectuează îtâ regresa de gradul -, adcă de gradul 8: [coef,e]=cmmp_ge(x,y,legth(x)-) Rezultatul apelulu de ma sus costă î prmul râd î afşarea uu mesaj de avertzare asupra aproper de sgulartate a matrce sstemulu (a căre versă se calculează), umărul e de codţoare calculat î RCOND fd mc (comparabl cu epslo maşă). Iterpretorul avertzează astfel că este posbl ca acurateţea rezultatelor să u fe buă. Warg: Matrx s close to sgular or badly scaled. Results may be accurate. RCOND = e-024 Setărle mplcte d medul Matlab prevăd ca avertzărle de acest ge să fe gorate de către terpretor ş să u oprească execuţa programelor; astfel, după mesajul de eroare se afşează rezultatele de ma jos: coef =.0e+004 * Colums through Colums 8 through E = Se observă că ultmele două elemete, de rag 7 ş 8, d vectorul coef sut mult ma 3
14 mc decât restul coefceţlor. Dec procedura de regrese se poate repeta cu gradul polomulu de regrese mcşorat cu două utăţ (gradul 6): [coef,e]=cmmp_ge(x,y,legth(x)-3) Rezultatele sut d ou îsoţte de acelaş mesaj de eroare, dar eroarea globală are o valoare mult ma mcă: Warg: Matrx s close to sgular or badly scaled. Results may be accurate. RCOND =.28806e-09 coef =.0e+004 * E = Dacă se scade î cotuare gradul polomulu de regrese la 5: [coef,e]=cmmp_ge(x,y,legth(x)-4) se observă că valoarea eror globale creşte (rămââd de acelaş ord de mărme), dar u se ma afşează mesajul de eroare: coef = E = Dacă velul maxm admsbl al eror de aproxmare o permte, scăderea gradulu regrese poate cotua î aceeş maeră, ţâd cot că ragul maxm este ocupat de u coefcet cu u ord de mărme ma mc î modul decât celalţ (0.0888). Dacă u se cotuă scăderea gradulu, se pue problema care dtre ultmele două rezultate se reţe drept rezultat fal. Î geeral, trebue evtate rezultatele de îcredere dmuată (îsoţte de avertzăr de geul celor de ma sus); î cazul de faţă, ultmul rezultat ar trebu ales, cu atât ma mult cu cât eroarea de aproxmare faţă de cazul medat superor u este cu mult ma mare. Ca atare, seturle de date x ş y se găsesc aproxmatv î depedeţa: y y = x 0.767x x x x Î bbloteca Matlab exstă o fucţe care mplemetează cazul geeral de regrese polomală, ea se umeşte polyft. Această fucţe prmeşte ca date de trare cele două setur de date, precum ş gradul polomulu de regrese (fucţa cmmp_ge, scrsă ma sus, prmeşte umărul coefceţlor polomal) ş returează coefceţ polomulu î orde descrescătoare a puterlor varable (î tmp ce cmmp_ge î returează î orde crescătoare). De pldă, petru aceleaş setur de date x=[ ] ş y=[ ], petru ca cele două fucţ să calculeze acelaş polom, de exemplu de gradul 3, ele se vor apela cu: [coef]=polyft(x,y,4); [coef2]=cmmp_ge(x,y,5); ş vor furza rezultatele coef=[ ] ş coef2=[ ], care exprmă acelaş polom de regrese, x x x x
Lucrarea de laborator nr. 11
Metode Nuerce - Lucrarea de laborator 11 Lucrarea de laborator r. 11 I. Scopul lucrăr Aproxarea î ede pr etoda celor a c pătrate II. Coţutul lucrăr 1. Metoda celor a c pătrate. Procedur MAPLE ş exeple
More informationUniversitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 1)
Uverstatea d Bucureşt 9.07.05 Facultatea de Matematcă ş Iformatcă Cocursul de admtere ule 05 Domeul de lceţă Calculatoare ş Tehologa Iformaţe Matematcă (Varata ). Toate valorle parametrulu real a petru
More informationProbleme de numărare: combinări, aranjamente, permutări de Manuela Prajea 1)
Probleme de umărare: combăr, arajamete, permutăr de Mauela Prajea 1) Lecța se adresează î prmul râd elevlor de gmazu care focuseaza cocursurle de matematcă hgh-level ș d acest motv se îcepe expuerea de
More informationALGORITMI GENETICI DE OPTIMIZARE
ALGORITMI GENETICI DE OPTIMIZARE George Dael Mateescu Rezuat. Algort geerc repreztă u struet utl petru rezolvarea ue clase larg de problee, pord de la prcp extrase d bologe. Scopul acestu artcol este de
More information1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE
1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru
More informationADRIAN CHISĂLIŢĂ ANA. Biblioteca de Analiză numerică surse Fortran 90. Manual de utilizare
ADRIAN CHISĂLIŢĂ ANA Bbloteca de Aalză umercă surse Fortra 90 Maual de utlzare Uverstatea Tehcă d Cluj-Napoca Cluj-Napoca, 202 2 Notă copyrght Versue ANA (o-le): Marte 202 Edţe Maual de utlzare (o-le):
More informationTestarea ipotezelor statistice. Stud. Master - AMP. Cateva elemente recapitulative PRELUCRAREA DATELOR DE SONDAJ SI INFERENTA STATISTICA
PRELUCRAREA DATELOR DE SONDAJ SI INFERENTA STATISTICA Tetarea potezelor tattce Stud. Mater - AMP ISAIC- MANIU ALEXANDRU web www.amau.ae.ro e-mal AL.ISAIC-MANIU@CSIE.ASE.RO 7.XI.03 Cateva elemete recaptulatve
More informationPrezentarea şi prelucrarea datelor experimentale
Loretz JÄNTSCHI Prezetarea ş prelucrarea datelor epermetale Imprecs Precs ş Eact Ieact A s mol m K kg cd v v 3 v 5 v 4 v v 6 Repere î pla U.T.Press 3 ISBN 978-973-66-9-9 Prezetarea ş prelucrarea datelor
More informationAPLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode manuale. Editia a II a Revizuita
Costat Mrcou Roxaa Colette Sadulovc APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode mauale Edta a II a Revzuta EDITURA UNIVERSITARA CAROL DAVILA BUCURESTI, 00 Prof. dr.
More informationO V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number
MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.
More informationIMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează
IMAR 017 Problema 1 Fie P u puct situat î iteriorul uui triughi ABC Dreapta AP itersectează latura BC î puctul D ; dreapta BP itersectează latura CA î puctul E ; iar dreapta CP itersectează latura AB î
More information7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE
7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE 7 Separarea rădăcnlor Ecuaţe algebrcă dacă ( este polnom Ecuaţa transcendentă în caz contrar ( = Rădăcnă apromatvă valoare ξ apropată de valoarea eactă ξ Denţ neechvalente:
More informationSisteme cu logica fuzzy
Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R
More informationMETODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algoritmi şi Studii Numerice
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algotm ş Stud Numece Necula Ade Reseac Isttute fo Ifomatcs Cete fo Advaced Modelg ad Optmzato 8- Aveescu Aveue Bucaest Romaa. Academy of Romaa Scetsts 54 Splaul Idepedete Bucaest
More informationCurs 1 PARAMETRII ELEMENTELOR DE SISTEM
Curs PARAMETR ELEMENTELOR DE TEM. Geeratoare Rereztă rcalele surse de almetare ale reţelelor electrce, fd realzate cu autorul motoarelor scroe. Parametr ş schemele echvalete ale geeratoarelor d EE ded
More informationON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2
ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,
More informationNumere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu
Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui
More informationPORTOFOLIILOR CU CONSTRÂNGERI DE LICHIDITATE FUZZY MODELING THE PORTFOLIO SELECTION PROBLEM WITH FUZZY LIQUIDITY CONSTRAINTS
Profesor dr. Adra Vctor BĂDESCU Drd. Radu Ncolae CRISEA Drd.Adraa Elea SIMION Academa de Stud Ecoomce d Bucureşt MODELAREA PROBLEMEI DE SELECłIE A POROFOLIILOR CU CONSRÂNGERI DE LICHIDIAE FUZZY MODELING
More informationRevista Informatica Economica, nr. 1 (21)/2002. Program pentru utilizarea functiilor spline în probleme de interpolare neliniara
84 Revsta Inormatca Economca, nr. ()/00 Program pentru utlzarea unctlor splne în probleme de nterpolare nelnara Con.dr. Maela MUNTEAN Catedra de Inormatca Economca, Facultatea de Stnte Economce Unverstatea
More informationX... ne ij =, i =1,p, j = 1,q T 2. Se calculează statistica testului: Se calculează valoarea critică a testului:
Descrerea ue varable calave Prcpal dcaor care su calcula peru varablele calave su: - frecveţa absoluă care repreză uărul de dvz la care se regsrează o auă odalae - frecveţa relavă care repreza frecveţa
More informationREZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAłII LINIARE
CALCUL NUMERIC. Rezolvre umercă sstemelor de ecuń lre REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAłII LINIARE. DETERMINANłI NUMERICI Fe dtă o mtrce pătrtcă rtrră de ord :,,2, 2, 2,2 2, A =.,,2, Fecăre d mtrcele
More informationSoluţii juniori., unde 1, 2
Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr
More informationREGRESIA LINIARĂ ŞI CORELAŢIA
REGRESIA LINIARĂ ŞI CORELAŢIA Sut stuţ î cre e tereseză să estmăm testte legătur dtre două su m multe vrle, su să găsm o relţe dec o formă ltcă mtemtcă cre să eprme o vrlă fucţe de ltele mplcte î procesul
More informationTeorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu
Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea
More informationEcuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea
Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul
More informationCOMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS
74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical
More informationOPTIMIZAREA DECIZIILOR ÎN CONDIŢII DE RISC ŞI INCERTITUDINE
78 Optmzarea deczlor î codţ de rsc ş certtude OPTIMIZAA CIZIILO ÎN CONIŢII ISC ŞI INCTITUIN L Mâdru, LS Begu 2 Uverstatea George Barţu Braşov 2 Academa de Stud coomce Bucureşt INTOUC Î orce domeu de actvtate,
More informationAPLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE
PREFATA Lucrarea de fata rerezta o cotuare a cart Statstca Alcata Farmace s Stud Clce aaruta Edtura Uverstara Carol Davla aul 7 s stetzeaza o arte d eereta a do autor, amado acelas tm s farmacst s matematce,
More informationLaborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab
Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.
More informationUTILIZAREA METODEI NUCLEELOR DEGENERATE MODIFICATĂ LA REZOLVAREA APROXIMATIVĂ A ECUAŢIILOR INTEGRALE LINIARE DE TIP FREDHOLM
UTILIZRE METODEI NULEELOR DEGENERTE MODIFITĂ L REZOLVRE PROXIMTIVĂ EUŢIILOR INTEGRLE LINIRE DE TIP FREDHOLM Mr S II dr Vse ăruţşu strct I ths rtce we propose ppromto method or Fredhom er ter equto souto
More informationTest de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii
Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0
More informationMODELAREA DECIZIEI FINANCIARE - Manual de studiu individual -
Lect. uv. dr. Carme Judth GRIGORESCU Cof. uv. dr. Graţela GHIC MODELAREA DECIZIEI FINANCIARE - Maual de studu dvdual - Lect. uv. dr. Carme Judth GRIGORESCU Cof. uv. dr. Graţela GHIC MODELAREA DECIZIEI
More informationLucrarea de laborator nr. 8
Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda
More informationREZOLVAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT SPECIFICE DOMENIULUI MILITAR
REZOLVAREA PROBLEMELOR E TRANSPORT SPECIFICE OMENILI MILITAR Slt. Pal TORACHE Teora grafrlor, care este n captol dstnct al cercetăr operaţonale, s-a dezvoltat recent, având aplcaţ mltple în actvtatea de
More informationUNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile
More informationDivizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi
Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic
More informationFORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss
More informationModele neliniare. Teorie şi aplicaţii
Modele elre Teore ş plcţ Mr Vld Uverstte d Bucureşt vld[t]fmuucro Astrct Lucrre preztă modelele mtemtce elre ce estmeză evoluţ proceselor su feomeelor pe z uor prmetr ce defesc procesele ş feomeele î vedere
More information2. Lema chinezească a resturilor. Fie,,..., mai mari decât 1 astfel încât pentru. Atunci, oricare ar fi ϵ există unic determinat astfel încât,, unde.
Lea chneză a resturlor Aplcaț COLUMNA, nr 4, 2015 Ion MUNTEANU unteanuon74@galco ABSTRACT: Ths paper presents soe applcatons of Lea chnezească a resturlor The an dea of Modular arthetc s the study of ssues
More informationRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina
More informationO tehnica fuzzy de partitionare si inductie automata bazata pe extensia fuzzy a distantei c 2
76 Revta Iformatca Ecoomca, r. (4 / 000 O tehca fuzzy de arttoare ducte automata bazata e etea fuzzy a dtate c Cof.dr. Vale GEORGESCU Uvertatea d Craova, vgeo@cetral.ucv.ro Lucrarea roue u tem de achzte
More informationMODELAREA SISTEMELOR ORIENTATE PE SERVICII PRIN REŢELE PETRI RECONFIGURABILE CU ATRIBUTE MATRICEALE
Modearea sstemeor oretate e servc r reţee Petr recofgurabe cu atrbute matrceae MODEAREA SISTEMEOR ORIENTATE PE SERVICII PRIN REŢEE PETRI RECONFIGURABIE CU ATRIBUTE MATRICEAE Iu Ţurcau drd E Guţueac dr
More informationDr. Shalabh. Indian Institute of Technology Kanpur
Aalyss of Varace ad Desg of Expermets-I MODULE -I LECTURE - SOME RESULTS ON LINEAR ALGEBRA, MATRIX THEORY AND DISTRIBUTIONS Dr. Shalabh Departmet t of Mathematcs t ad Statstcs t t Ida Isttute of Techology
More informationLaborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1
Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui
More informationProf univ dr. Sever Spânulescu - LUCRARI DE LABORATOR
UNIVERSITATEA HYPERION Facultatea de Stiițe Exacte și Igierești Prof uiv dr. Sever Spâulescu CALCUL NUMERIC - LUCRARI DE LABORATOR Lucrarea de laborator. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liiare pri metode
More informationTraining Sample Model: Given n observations, [[( Yi, x i the sample model can be expressed as (1) where, zero and variance σ
Stat 74 Estmato for Geeral Lear Model Prof. Goel Broad Outle Geeral Lear Model (GLM): Trag Samle Model: Gve observatos, [[( Y, x ), x = ( x,, xr )], =,,, the samle model ca be exressed as Y = µ ( x, x,,
More information2. Finite Impulse Response Filters (FIR)
..3.3aximum error minimizing method. Finite Imule Reone Filter (FIR)..3 aximum error minimizing method he zero hae tranfer function N H a' n con tye n N H b n con n tye ' the lat relation can be exreed
More informationMaximum Likelihood Estimation
Marquette Uverst Maxmum Lkelhood Estmato Dael B. Rowe, Ph.D. Professor Departmet of Mathematcs, Statstcs, ad Computer Scece Coprght 08 b Marquette Uverst Maxmum Lkelhood Estmato We have bee sag that ~
More informationElemente de teoria erorilor si incertitudinilor Calcule statistice si modele de aproximare
Elemete de teoria erorilor si icertitudiilor Calcule statistice si modele de aproximare Să măsurăm ce se poate măsura şi să facem măsurabil ceea ce u se poate măsura îcă. Galileo Galilei. Itroducere î
More information3. FORŢE SI MOMENTE Caracterul de vector alunecător al forţei aplicată unui rigid. 3.2 Momentul unei forţe în raport cu un punct
3. oţe ş momete 3. ŢE SI ENTE 3.. Caactel de vecto alecăto al foţe aplcată gd g. 3. Se cosdeă î fga 3.a o foţă acţoâd pe spotl ( ), î pctl A aspa gdl (C). Se admte că doa foţe egale î modl, c acelaş spot
More informationVARIABILE ALEATOARE. este o mulţime infinită de numere reale.
VARIABILE ALEATOARE DEFINIŢIE ŞI CLASIFICARE Itutv, o vrlă letore este o mărme cre î urm relzăr ue epereţe pote lu o vlore dtr-o mulţme e deftă (mulţme vlorlor posle) Vrl letore este o fucţe relă cre depde
More informationFINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS
BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL
More informationModelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach
BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu
More informationMultiple Choice Test. Chapter Adequacy of Models for Regression
Multple Choce Test Chapter 06.0 Adequac of Models for Regresso. For a lear regresso model to be cosdered adequate, the percetage of scaled resduals that eed to be the rage [-,] s greater tha or equal to
More informationMultivariate Transformation of Variables and Maximum Likelihood Estimation
Marquette Uversty Multvarate Trasformato of Varables ad Maxmum Lkelhood Estmato Dael B. Rowe, Ph.D. Assocate Professor Departmet of Mathematcs, Statstcs, ad Computer Scece Copyrght 03 by Marquette Uversty
More informationA GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se
More information2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE
MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU REZOLVRE SISEMELOR LGEBRICE LINIRE Neculai drei Research Istitute for Iformatics Ceter for dvaced Modelig ad Optimizatio 8- verescu veue Bucharest Romaia E-mail: adrei@iciro
More informationGENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE
Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la
More informationA DARK GREY P O N T, with a Switch Tail, and a small Star on the Forehead. Any
Y Y Y X X «/ YY Y Y ««Y x ) & \ & & } # Y \#$& / Y Y X» \\ / X X X x & Y Y X «q «z \x» = q Y # % \ & [ & Z \ & { + % ) / / «q zy» / & / / / & x x X / % % ) Y x X Y $ Z % Y Y x x } / % «] «] # z» & Y X»
More informationNumerical Analysis Formulae Booklet
Numercal Aalyss Formulae Booklet. Iteratve Scemes for Systems of Lear Algebrac Equatos:.... Taylor Seres... 3. Fte Dfferece Approxmatos... 3 4. Egevalues ad Egevectors of Matrces.... 3 5. Vector ad Matrx
More informationBarem de notare clasa a V-a
Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor
More informationHabilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations
UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability
More informationAvem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:
Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,
More informationTeoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a
Teoria probabilit¼aţilor şi statistic¼a matematic¼a B¼arb¼acioru Iuliaa Carme CURSUL 7 Cursul 7 2 Cupris 1 Legea umerelor mari 5 1.1 Geeralit¼aţi............................... 5 1.2 Iegalitatea lui Cebîşev........................
More informationFD. FIZICĂ STATISTICĂ
FD. FIZICĂ STATISTICĂ C u p r n s Introucere... 4 Captolul FD.0. Obect ş metoă. Prncple ş postulatele fzc statstce 5 FD.0.. Obectul fzc statstce... 5 FD.0.. Metoa statstcă... 7 FD.0.3. Prncple fzc statstce...
More informationDESPRE COMPLEMENTAREA METODELOR JEFFERSON, ADAMS, WEBSTER ŞI HUNTINGTON-HILL
DESPRE COMPLEMENTAREA METODELOR JEFFERSON ADAMS WEBSTER ŞI HUNTINGTON-HILL Dr hab prof unv Ion BOLUN ASEM Sunt propuse compementăr de depăşre a stuaţor în care foosrea metodeor Jefferson Adams Webster
More informationA L A BA M A L A W R E V IE W
A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N
More informationCONVEIOARE DE CURENT: TIPURI SI APLICATII
CONVEOARE DE CURENT: TPUR S APLCAT Conf. un. dr. ng. Octaan BOGDAN. ntroducere Anul de nastere al coneorulu de curent este anul 966 când A.S. Sedra a realzat un prm crcut analogc cu comanda n curent s
More informationMETODOLOGIE DE CALCUL A PIERDERILOR DE PUTERE SI ENERGIE ELECTRICA IN LINIILE DE JOASA TENSIUNE CU SARCINI ECHIDISTANT REPARTIZATE
METODOLOGE DE ALUL A PERDERLOR DE PUTERE S ENERGE ELETRA N LNLE DE JOASA TENSUNE U SARN EHDSTANT REPARTZATE POWER, ATVE ELETR ENERGY LOSSES ALULATON AT A LOW VOLTAGE DSTRUTON LNE WTH EQUDSTANT DTRUTED
More informationIntroduction to Matrices and Matrix Approach to Simple Linear Regression
Itroducto to Matrces ad Matrx Approach to Smple Lear Regresso Matrces Defto: A matrx s a rectagular array of umbers or symbolc elemets I may applcatos, the rows of a matrx wll represet dvduals cases (people,
More informationMatematici speciale Seminar 12
Matematici speciale Semiar 1 Mai 017 ii Statistica este arta de a miti pri itermediul cifrelor. Wilhelm Stekel 1 Notiui de statistica Datele di dreapta arata temperaturile de racire ale uei cesti de cafea,
More informationȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)
Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un
More informationUtilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015
Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,
More informationLUCRAREA NR Reprezentarea sistemelor liniare și invariante în timp 2. Răspunsul sistemelor la semnale de intrare
Semale și iteme eoria itemelor LUCRAREA NR. 3. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp. Răpuul itemelor la emale de itrare. Reprezetarea itemelor liiare și ivariate î timp U item cotiuu, diamic,
More informationReactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)
Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum
More informationLIGHTNING MVP System
LIGHTNING MVP System Lightning MVP System Control (HACCP+SSOP) Swab-uri pentru lichide si pentru Suprafete Accesorii ph Temperatura Condutivitate Monitorizare ATP Prin Bioluminescenta Cel mai complet si
More informationInteligenta Artificiala
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe
More informationPentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II
Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi
More informationINEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:
More informationLABORATOR DE ETALONARE A DISPOZITIVELOR DE MASURARE CURENTI MARI
The First teratioal Proficiecy Testig Coferece Siaia, Româia 11 th 13 th October, 2007 LABORATOR DE ETALONARE A DSPOZTVELOR DE MASURARE CURENT MAR Adrei Mariescu, Coreliu Chiciu, Horia oescu, Costati lica,
More informationFINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS
BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH
More informationGradul de comutativitate al grupurilor finite 1
Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we
More informationMugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI
Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu
More informationTWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare
More informationCommon Fixed Points for Multifunctions Satisfying a Polynomial Inequality
BULETINUL Uiversităţii Petrol Gaze di Ploieşti Vol LXII No /00 60-65 Seria Mateatică - Iforatică - Fizică Coo Fixed Poits for Multifuctios Satisfyig a Polyoial Iequality Alexadru Petcu Uiversitatea Petrol-Gaze
More informationDE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM
Doctorad Bogda-Coreliu BIOLAN Uiversitatea di Bucureşti DE LA TEOREMA FAN MINIMAX LA ECHILIBRUL NASH FROM FAN MINIMAX THEOREM TO NASH EQUILIBRIUM Abstract. We show that i a abstract covex space (E, D;
More informationFig. 2 a) Secventele de impulsuri RMN specifice membranelor PFSA/SiO 2 hidratate pentru corelatiile 2D de tipul a) T 2 T 2 si b) T 1 T 2.
Raport stntfc prvnd mplementarea proectulu: Relatle structura-dnamca-propretat s efectele mbatranr elastomerlor nanocompozt s membranelor de schmb protonce n peroada anuare decembre 04 Obectvele anulu
More information4/68. Mini-comutatoare cu came. Prezentare generalã a sistemului. Întreruptoare Pornit-Oprit TM. Comutatoare de comandã TM.
/ Mini-comutatoare cu came Prezentare generalã a sistemului Întreruptoare Pornit-Oprit Comutatoare de comandã HA ND AU TO HPL-de-DE O Mini-comutatoare cu came / Montaj pe ușã (.../E) Frontal IP Montaj
More informationOrdin. pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate
CASA NATIONALA DE ASIGURARI DE SANATATE Ordin pentru aprobarea structurii informaţiilor înscrise pe cardul naţional de asigurări sociale de sănătate Având în vedere: Act publicat in Monitorul Oficial al
More informationTHE METROLOGY OF OPTICAL FIBRE LOSSES
U. P. B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss. 3, 009 ISSN 3-707 THE METROLOGY OF OPTICAL FIBRE LOSSES Sorin GHINOIU, Niculae N. PUŞCAŞ În aceastǎ lucrare sunt prezentate şi analizate din punct de vedere
More informationEconometric Methods. Review of Estimation
Ecoometrc Methods Revew of Estmato Estmatg the populato mea Radom samplg Pot ad terval estmators Lear estmators Ubased estmators Lear Ubased Estmators (LUEs) Effcecy (mmum varace) ad Best Lear Ubased Estmators
More informationSingular Value Decomposition. Linear Algebra (3) Singular Value Decomposition. SVD and Eigenvectors. Solving LEs with SVD
Sgular Value Decomosto Lear Algera (3) m Cootes Ay m x matrx wth m ca e decomosed as follows Dagoal matrx A UWV m x x Orthogoal colums U U I w1 0 0 w W M M 0 0 x Orthoormal (Pure rotato) VV V V L 0 L 0
More informationLecture Notes 2. The ability to manipulate matrices is critical in economics.
Lecture Notes. Revew of Matrces he ablt to mapulate matrces s crtcal ecoomcs.. Matr a rectagular arra of umbers, parameters, or varables placed rows ad colums. Matrces are assocated wth lear equatos. lemets
More informationb. There appears to be a positive relationship between X and Y; that is, as X increases, so does Y.
.46. a. The frst varable (X) s the frst umber the par ad s plotted o the horzotal axs, whle the secod varable (Y) s the secod umber the par ad s plotted o the vertcal axs. The scatterplot s show the fgure
More informationAlte rezultate din teoria codurilor
Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie
More informationTestarea ipotezelor statistice
Testarea ipotezelor statistice Formularea de ipoteze statistice este una din cele mai importante aspecte ale cercetarii stiintifice. O ipoteza noua trebuie verificata! Pentru verificarea unor ipoteze statistice
More informationAPLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae
More informationX X X E[ ] E X E X. is the ()m n where the ( i,)th. j element is the mean of the ( i,)th., then
Secto 5 Vectors of Radom Varables Whe workg wth several radom varables,,..., to arrage them vector form x, t s ofte coveet We ca the make use of matrx algebra to help us orgaze ad mapulate large umbers
More informationRegression and the LMS Algorithm
CSE 556: Itroducto to Neural Netorks Regresso ad the LMS Algorthm CSE 556: Regresso 1 Problem statemet CSE 556: Regresso Lear regresso th oe varable Gve a set of N pars of data {, d }, appromate d b a
More informationStatistică Aplicată. Iulian Stoleriu
32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3
More information