1. Some solutions to some problems from Octogon Mathematical Magazine pag. 2 Neculai Stanciu, Titu Zvonaru

Transcription

1 Some solutios to some prolems from Octogo Mthemticl Mgie pg Neculi Stciu, Titu Zvoru Numere celere II pg George Flori Șer Cum rătăm că două drepte sut prlelepg 5 Mihel Molodeț Mtemtic, o lume cotrstelor pg Mihel Molodeț 5 Soluții - Prolem luii iurie IANUARIE 06 pg Propus de Adrei Octvi Dore 6 CONCURS - Prolem luii FEBRUARIE 06 pg 9 Costti Telteu 7 Simulre BAC Mtemtică profil mte-ifo FEBRUARIE 06 pg 0 8 Simulre Evlure Nțiolă Mtemtică FEBRUARIE 06 pg 5

2 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo - Dedicted to 80th Aiversr of DM Bătieţu-Giurgiu - B Neculi Stciu, G E Plde School, Buău, Romi d Titu Zvoru, Comăești, Romi PP 5 If 0,,, the cclic 6 SolutioWe hve iequlit, 0, Ideed, , true Hece cclic cclic 6, d we re doe PP 6 If 0,,,, the cclic Solutio The iequlit is ot true; if we te,,,, ields the PP 7 If 0,,,, the cclic Solutio Usig AM-GM iequlit we hve d the cclic cclic, d we re doe

3 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo PP 8 If 0,, the 9 Solutio After some lger , true Solutio B AM-GM iequlit we hve 9 d the it remis to prove tht 0, true ecuse 0 We re doe PP 9 If 0,,,, the cclic cclic Solutio We hve the iequlit 0,, Ideed, 0 Hece cclic cclic The proof is complete PP 50 If 0,,,, the cclic Solutio The iequlit ields

4 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo 0 Remr Sice 0, the give iequlit is true for R, 0 The proof is complete PP 5 If 0,,,,, the cclic Solutio We use the iequlit, 0,, Ideed is writte successivel 0, true Writig for the pirs of umers,,,,,, d ddig we oti the desired result PP 5 If 0,,,, the cclic Solutio We hve the iequlit, 0, Ideed, 0 Hece, cclic cclic, d we re doe PP 59 If, 0, the cos si ctg tg Solutio The give iequlit is flse

5 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo For, we hve tg ctg, si cos d the tg ctg 9 8, d we re doe si cos PP 75 If,, c 0, the c c 7 c c c Solutio Sice c c c c c c, we hve d the it suffices to show tht c 7 c c c c 8c, which is the iequlit of Cesro The proof is complete, PP 76 If,, c 0, the c c c Solutio Sice Nesitt it suffices to prove tht c c 6c, which ields AM-GM iequlit c c c c c c 6 6c, d the proof is complete PP 0 I ll trigle ABC holds 6 m m 5s r Rr Solutio B Bergström s iequlit d the poit from PP97, we oti 9 6, d we re doe mm mm 5s r Rr 5 7 PP Prove tht

6 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Solutio Sice we hve telescopic sum , d we re doe PP 6 Evlute! Solutio Sice!!!, we hve!!!!!! Hece!! 0! 0! 5! 5! 6!!!!!! 6, d we re doe PP 9= PP If i 0,,,,,,, the cclic i d Solutio Sice,,,, we hve cclic cclic The proof is complete PP 0 If,, 0, the Solutio We deote,, c d we hve to prove tht 6

7 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo 7 c Solutio We use the iequlit, d we hve c c c c c c c c Solutio I the solutio of PP 958 we prove the idetit c c c, which ields the coclusio PP If 0,, c d c, the 8 c Solutio Sice c there eists 0,, such tht c,, We hve c 6 The we hve to prove tht 8 6 We c write So 8 6, d we re doe PP 5 I ll trigle ABC holds s Rr r s c rrs

8 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Solutio Sice Rrs c, s r Rr c c, the give iequlit is writte s 6 c 6c c c c sm sm The proof is complete, true Muirhed s iequlit ecuse [,,0] [,, ] c PP If,, c C such tht c c c c 5c 8c Solutio Usig the idetit If 0, the 5 8 Sice , the we deduce tht, ields c c c 0,the c c c c 5c 8c 5 8 0, d we re doe PP 59 If,, c 0, the c c Solutio B Bergström s iequlit we oti d remis to prove tht 6 c c c c c c Muirhed s iequlit ecuse 6,6,0 6,,, which is true 8

9 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo PP 550 Let KOL e trigle d P KL Let M e the smmetricl imge of O reltive to P d N the smmetricl imge of O reltive to KL Determie ll poits P for which KLMN is cclic Solutio Let K e poit o KL such tht P is the midpoit of KK Becuse OP PM d PK PK the qudrilterl OKMK is the prllelogrm, so KOK K MK, O the other hd smmetr we hve KOK K NK, B d ields tht MNK K is cclic, ie the circumscried circle of KMN psss through K If the qudrilterl KLMN is cclic, it must tht the circumscried circle of KMN psss through L Hece the poit P is midpoit of side KL Remr The implictio P is midpoit of side KL KLMN is cclic is o the proposed prolems i the 6th Mthemticl Olmpid from Mcedoi see eg Cru No 5/0, Prolem OC 8 8 PP 55 If,, c 0, the c Solutio Usig QM-AM iequlit we hve 8 8, d the So it suffices to prove tht c c c c 0, which is Schur s iequlit, d we re doe 8 8 PP 55 If, 0, the Solutio The give iequlit is ot true; eg for we oti tht 6, flse PP 556 Solve the equtio Solutio The give equtio is writte 9

10 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo We oti d it remis the equtio Becuse 0 is ot solutio we c divide d we oti 8 0 We deote t d we hve t, t t d the the equtio ecomes 8 t t t t 0 8t t 6t 0, which c solved Crdo s formuls eercices PP 579 The trigle ABC is equilterl if d ol if si Asi Bsi C cos A cosbcosb cosccosc cos A Solutio If the trigle ABC is equilterl, we hve si A si B si C cos A cos B cosc d, the the reltio from eucitio is ot true PP 599 I ll sclee trigle ABC holds 9 Solutio We shll prove the stroger iequlit We hve d the 9 9 PP 6 The roots of equtio c 0 re i rithmeticl progressio if d ol if 9 7c Solutio The coditio 9 7c is wrog; eg for 6,, c 6 the equtio hs the roots,, ut 9 7c The correct coditio is 9 7c If the roots,, re i rithmeticl progressio, the 0

11 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo 0 c c 9 7c 7 9 PP 65 Prove tht log log Solutio B AM-GM iequlit we hve log log log log the log d the proof is complete log log log log,, PP 70 If,, c 0, the c c 6 Solutio Sice c c c c d c c 6 c, the give iequlit is writte s 6 c c c, Becuse [ 6,0,0] [,,0] ; [,,0] [,, ] d [,,] [,, ] Muirhed s iequlit we hve 6 ; c ; c c, sm which ddig ields the desired iequlit The proof is complete sm sm sm sm sm

12 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo George-Flori Ser, profesor, Liceul Pedgogic DPPerpessicius,Bril Numere perfecte U umr se umeste perfect dc se scrie c sum diviorilor si mi puti el imsusi De eemplu 6=++ este umr perfect Aflti tote umerele perfecte cre u ect 6 diviori Soluţie : U umr turl cu 6 diviori turli re formele Dc 5 p, Fls Dc 5 p p p p p, p p q, p p p p, 5 5 p p p q p p pq q, p p p p, p p p p impr, deci p 5 p su p q 6 5 5, p p p, p 5 p q p p p p, deci p p p, dr p p p, reult p p p p 0, p prim Dc p= reult 0 A Dc p tuci p p p p fls Deci p=, q=7, =8 Numere plidromice U umr se umeste plidrom dc este egl cu rsturtul su Aflti umerele plidromice de cifre cre u 9 diviori turli Soluţie : c c, umerele sut de form, Dc p q, p si q prime su p q, este ptrt perfect u {,,5,6,9 } Se gseste 8 plidrom Dc, F Numere Brow p 8, p=, p F, dc p Perechile de umere itregi [m,] cu propriette! m Artti c ecuti re cel puti trei solutii Solutie: Se gsesc solutiile : Se du vlori lui m, m, {5,,,5,7,7} Numere Euclid

13 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Numerele turle de form p, ude p este produsul primilor umere turle prime, se umesc umere Euclid Artti c u umr Euclid u pote fi ptrt perfect Soluţie : p este de form +, deci p v fi de form +, fls deorece u ptrt perfect u pote ve form + Numere Lucs-Crmichel 5U umr turl se umeste Lucs-Crmichel dc p este u fctor prim di descompuere lui tuci p Artti c 05 este umr Lucs-Crmichel Aflti cel mi mic umr, Lucs-Crmichel de form 9 p q, p si q umere prime Solutie: 05 5, 6 06, 06, 06 A Dc p su q sut, tuci este pr, reult 9, 0 fls deorece + este impr Dc p= si q=5,=85, 86 F Dc p= si q=7, =99, 00, 8 00, 0 00 A Cel mi mic umr Lucs-Crmichel este 99 Numere Kprer 6 U umr se umeste umr Kprer dc coveti c 0t Solutie: t si t Cu t, dic pote fi si 0 Aflti tote umerele Kprer de dou cifre 00 t 00 t 99 t 99, reult 99 Dc, reult Dc, reult Reult 9 su 9 Dr 99 9,, su Numerele diviiile cu de dou cifre sut de form Avem de lit curi -Dc si 9, [,9] 99, 99, , A -Dc si 9, 9, deci 5, 55, 55 05, A - Dc 9 si, di 9 reult {8,7,6,5,5,6,7,8}, sigurul umr cre verific cele dou coditiile este 5, -Dc 9 si,di , A reult {0,9,8,7,6,55,6,7,8,9} Nici u umr di cet multime u verific coditi I cocluie, m gsit umerele Kprer 5, 55 si 99

14 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Produsul diviorilor uui umr turl 7Aflti umerele turle cre u produsul diviorilor turli egl cu Solutie: Aplic formul, 09 p p p, 05, p p p p p p 5 058,, 6, 6 7, Deci 6 05 Biliogrfie : Eciclopedi mtemtic clselor de umere itregi, Mrius Com

15 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Prof MIHAELA MOLODEȚ, Școl Gimilă Berghi, Județul Al A îvăț mtemtică, îsemă îvăț să gâdești Grigore Moisil Arătăm că o pereche de ughiuri ltere-itere su ltere- etere su corespodete sut cogruete VI APLICAȚIE: Pri vârful O l triughiului OAB isoscel [OA] [OB] se duce drept XY stfel îcât O XY și XOA YOB Arătți că XY AB Proleme de mtemtică petru clsele V-VIII L NICULESCU, I NANU ș Soluție: m OAB +m OBA + m AOB = 80 m XOA + m YOB +m AOB = 80 m OAB= m OBA AOB isoscel m XOA = m YOB m OAB = m XOA OAB și XOA sut ltere itere XY AB Arătăm că dreptele sut drepte- suport petru lturile opuse le uui prlelogrm VII APLICAȚIE: Î triughiul ABC, cu AC= AB, vem CM mediă, ir D este simetricul lui A fță de [CM] Arătți că CD AB și DM AC Etp loclă, VÂLCEA 009 Soluție: M mijlocul lui [AB] și AB= AC [AM] [AC] AMC isoscel Dcă AO MC A, O, D coliire și O este mijlocul lui [MC] Dr O este și mijlocul lui [AD] digolele lui AMDC se îjumătățesc AMDC prlelogrm chir rom 5

16 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo CD AB si DM AC Folosim Reciproc teoremei lui Thles VII APLICAȚIE: Fie ABCD trpe, cu AB CD Pe ltur AD se i puctul P, ir pe ltur BC se i puctul Q, stfel îcât AQ PC Arătți că PB DQ Cocurs elevi, OLANDA, 97 Soluție: Fie { M} =AD BC MC MD Î MAB, CD AB Di teorem lui Thles = MB MA MP MC Î MAQ, PC AQ Di teorem lui Thles = MA MQ Di MD= Di MP= MA MC MB MA MC MQ MD = MP Di reciproc teoremei lui Thles PB DQ MA MC MB MQ MA MC MQ = MB Folosim propriette liiei mijlocii C prticulr petru Reciproc teoremei lui Thles VII APLICAȚIE: Se du cercurile C O, R și C O, r, tgete eterior, c î figură [AB] este dimetrul perpediculr pe OO, ir puctele M și N pe AB stfel îcât AM= BN= r Dcă P și Q sut piciorele perpediculrelor di O pe MO, respectiv NO, rătți că PQ AB Prof MIHAELA MOLODEȚ Soluție: OO = OM= ON= R+ r OO AB MOO și NOO sut dreptughice, isoscele P și Q sut mijlocele lturilor [MO ] respectiv [NO ] [PQ] este liie mijlocie PQ MN PQ AB 6

17 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo 5 Pri reducere l surd VI APLICAȚIE:, c c metodă preettă l puctul 6 Soluție: Tritivitte relției de prlelism este devărtă și î pl, și î spțiu Î pl: Presupuem, pri surd, că c Ф dică și c u sut prlele Fie { M}= c Dc M ФCotrdicție Presupuere e flsă Dc Mpri M trec dou drepte diferite, prlele cu Cotrdicție Î spțiu: Alog 6 Două drepte perpediculre pe o trei dreptă sut prlele Cele trei drepte treuie să fie coplre! VI 7 APLICAȚIE: Se cosideră triughiul ABC dreptughic î A și fie AD îlțime di A triughiului Fie F AD Se duce perpediculr î F pe CF cre tie pe AB î E Prlel di A l EF itersecteă pe BC i H Arătți că AE HF Cocurs dmitere Istitutul Politehic, 986 Soluție: CF EF, ir EF AH CF AH i AHC, F este ortocetru Dr AD BC HF AC Dr AB AC AB HF Dreptele AB, HF și AC sut coplre AE HF 8 Folosim tritivitte relției de prlelism î pl și î spțiu VI / VIII APLICAȚIE: Fie ABC și puctele MAB și PAC stfel îcât [BM] [CP] Dcă puctul Q este simetricul lui P fță de mijlocul E l segmetului [BC], rătți că drept determită de mijlocele segmetelor [BC] și [MP] este prlelă cu isectore ughiului BAC Olimpid Județeă, SUCEAVA 0 Soluție: Fie R mijlocul lui [MP] și NBC, î AN este isectore BAC [ER] este liie mijlocie î MPQ ER PQ E mijlocul segmetelor [BC] și [MQ] MBQC prlelogrm [BM] [QC] și [BM] [QC] Di AM QC Di și [BM] [CP] [CQ] [CP] 5 7

18 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Di 5 CPQ este isoscel CPQ CQP fie măsur lor MAN CAN fie măsur lor Di 5 +m PCQ = 80 = NAC QPC Dr +m PCQ = 80 AN PQ 6 Di si 6 ER AN 9 Folosim teorem fierăstrăului : Dcă u pl itersecteă două ple prlele, tuci itersecțiile sut drepte prlele VIII APLICAȚIE: Se dă sfer de dimetru AB și M u puct vriil pe sferă, diferit de A și B Dcă N și P sut puctele î cre AM și MB, respectiv, itersecteă plele tgete l sferă î B și A, să se rte că produsul AP BN u depide de poiți puctului M Soluție: Fie α și β cele două ple tgete sferei î A respectiv B Avem: AB α, AB β α β Fie γ = AN, BP Evidet, α γ = AP și β γ = BN Di și AP BN Di vem două curi: PN AB ABNP pătrt, AB= PN= AP= BN= R AP BN = R = costt PN AB ABNP trpe Evidet, m<amb = m< PAB = m<abn= 90 ABNP trpe dreptughic, ortodigol AP BN = AB = R = costt Prolem luii Iurie, Prof ANDREI OCTAVIAN DOBRE 0 Folosim teorem de prlelism : Dcă o dreptă este prlelă cu u pl, ir u l doie pl cre coție drept, se itersecteă cu primul pl, o v fce după o dreptă prlelă cu drept dtă VIII APLICAȚIE: Se secțioe u tetredru regult ABCD cu u pl prlel cu muchiile opuse AB și CD Fie M, N, P, Q puctele de itersecție le cestui pl respectiv cu muchiile AD, BD, BC, AC Să se rte că MNPQ este dreptughi Proleme lese de mtemtică, C IONESCU ȚIU, M POPESCU 8

19 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Soluție: CD MNP CD ACD QM CD MNP ACD = QM Alog, PN CD Di și QM PN Alog, PQ MN ABCD tetredru regult AB CD 5 Di și 5 AB QM PQ QM 6 PQ AB log cu Di, si 6 MNPQ dreptughi Folosim teorem de prlelism : Două drepte perpediculre pe u pl, sut prlele VIII APLICAȚIE: Fie prlelipipedul dreptughic ALGORITM, cu AL AR, ir U piciorul perpediculrei di A pe RL Dcă Z este piciorul perpediculrei di I pe plul RLG, rătți că ZIUA este prlelogrm Prof MIHAELA MOLODEȚ Soluție: GL ALI GL AU AU GL AU ALI Dr AU RL RL, GL RLG RL GL= { L} Di,,, AU RLG AU IZ Cum IZ RLG Mi mult, Z este u puct pe drept RL Ducâd perpediculr IN di I pe RL, vem IN RLG, deci Z= N Evidet, ARU ILZ cul IU [AU] [IZ] ZIUA prlelogrm Codiți AL AR coduce l U Z, ecesră petru c ZIUA să fie ptrulter Folosim teorem Acoperișului : Dcă două drepte prlele sut icluse î două ple diferite, cre se itersecte î o trei drept, tuci cele trei drepte sut prlele VIII APLICAȚIE: Pe trei semidrepte î spțiu cu origie î O se iu puctele A, B, C, ir pe segmetele [AB] și [AC], puctele M și N s îcât MN BC U pl cre trece pri MN și e prlel cu OA tie pe OB î P și pe OC î Q Arătți că MNQP este prlelogrm 9 GH POPESCU, Lugoj, 968

20 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Soluție: Fie α plul dt α OA MP OA, NQ OA MP NQ MN α BC OBC BC QP MN Α OBC= QP MN BC MNQP prlelogrm Folosim clculul vectoril IX APLICAȚIE: Fie ABCD u ptrulter cove, E mijlocul digolei [AC], ir F mijlocul digolei [BD] Demostrți că dcă α EF = AD - BC, cu α R\ { }, tuci AD BC Soluție: EF = ED+ DC + CF = AD +CD + DC + CD +CB = Etp loclă, TIMIȘ 008 = AD +CB = AD - BC α EF = EF α - EF = 0 α EF = 0 E=F ABCD prlelogrm AD BC Folosim teorem ptelor dreptelor: Două drepte sut prlele dcă și umi dcă u ptele egle X APLICAȚIE: Îtr-u trpe, lii mijlocie este prlelă cu ele Soluție: Î reperul crtei O, cosiderăm trpeul ABCD, cu AB CD, Ir M și N respectiv mijlocele lturilor [AD] și [BC] Dc A A, A, B B, B, C C, C, D D, D, vom ve: M A + D /, A + D / N B + C /, B + C / 0

21 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo m MN =[ B + C / - A + D /] / [ B + C / - A + D /] = = [ B + C - A + D ] / [ B + C - A + D ]= = [ B - A - D - C ] / [ B - A - D - C ] Cum AB CD m AB = m CD, dică B - A / B - A = D - C / D - C B - A = D - C B - A / D - C Itroducâd cest reltie î, m MN = { D - C [ B - A - D - C ]} / {[ D - C ] [ B - A - D - C ]}= = D - C / D - C = m CD MN CD MN AB lii mijlocie este prlelă cu ele Dr AB CD 5 Folosim metode comite Sut proleme cre ecesită o sigură metodă petru reolvre - de eemplu plicțiile de l puctele su, ir ltele cre folosesc două su mi multe metode - de eemplu plicțiile de l puctele su Avem lte situții câd m folosit reulttul de l o metodă, petru demostr euțul ltei metode - de eemplu m rătt l puctul 5 propriette folosită l puctul 7 Ueori u su mi multe metode sut folosite c prte compoetă ltei demostrții- de eemplu plicțiile de l puctele 8 su 0 Cu sigurță, prolemele propuse- de l cele mi simple pâă l cele complee - pot ve și lte soluții Ivetivitte, cretivitte și igeioitte reolvitorului sut igredietele de ă petru descoperire celei mi itereste ditre soluții Propri imgitie - sigur limită! Aș propue, petru fil, TEOREMA LUI ȚIȚEICA, cărei demostrție este iecuoscută, c eemplu de reolvre cu metode comite

22 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Prof MIHAELA MOLODEȚ, Școl Gimilă Berghi, Județul Al Rămâe mtemtic u stigmt l strctului? Mulți r fi tetți să spuă DA Îsă, mi rămâ suficieți de puții cre să răspudă NU, cât să fie o ecepție cre îtărește regul Î fod, ce este cultur, dcă u viiui proile, eistete i setimetele posiilităților icerte? Cifrele u sesul lor, cuvitele sut sesul semificției cifrelor, pri cre, su o formă su lt, eistă recții, eistă trăiri, dică sut setimete Ei, u de l mius ifit păă l plus ifiit Dr udev pe o sclă ître mius și plus ifiit ele eistă Emmuel Kt spue: Cuget, deci eist! Ită lumire Apreciei distțe, estimei suprfețe, evluei timpul, te liei pe tieși u îsemă cuget și este o cultură? Că totul se îtâmplă î iteresul gospodăriei tle, ori su form respectului uei meserii ce îoileă profesiue t, î relitte este eseț uei culturi civice mtemticii Dovdîsăși simplitte termeilor de comprție, fiici ori itelectuli, ître u suiect și u predict D, petru ptru i, fi cu ghiod și fițe de vedetă este și e o cultură, pri cre să știi mi mult, să fii mi u, este grij gimistului de i cu i, ces de ces, și este prte copilăriei și vieții de elev Ir scopul celor ptru i, este cel de reuși pe o cle lesă de ei, î iteresul lor și di doriț lor A discere ître ie și u și ître u și rău, este u fpt l știiței și rțiuii lor de fi școlr Discerămâtul ître ie și u, dă semificți și sesul educției Dor o simplă viiue, ori o simplă semăre, fără o certitudie relității vieții, u îsemă respect fță de cultură, fță de păriți și fță de dreptul de lege l copilului Ei u evoie de eemple Idolii și-i fc siguri, cre sigur, iciodtă u sut ui Ir pri eplic cest îtreg, poți educ sperț î viitor copilului Ce văd și simt cum, este vedet cre reușește î tot și tote și totul îi stă î putere să o fcă Tocmi de cee legere făcută de ei u este îtotdeu ce mi uă, dr este sigur cle pri cre educâd copilul, îi oferi șs să decidă itre fi vedetă, ori u om cu scu l cp Aici este clip câd mtemtic, devăluie uiversul culturl l etității difereței ditre relitte și devăr Deorece micile diferețe fc mrile deseiri le vieții, semei cum uturug mică răstoră crul mre Ir difereț ître relitte și devăr, petru ei, este provocre pe tot restul vieții și limitele ître cre treuie s disceră A discere itre u și ie, este cle de fce difereț ître relitte și devăr Adevărul este solut și relitte este strctă, dr ici u u re cpcitte de fi u îtreg, deorece sut cele două jumătăți le celuiși îtreg: viț ce de tote ilele, cre deși evidetă, imei u cuoscut-o vreodtă î totlitte Difereț ître relitte și devăr este o permet comprție ître solut, strct și îtreg, i cre îtregul, îtotdeu se compue di devăr și relitte U eemplu elocvet este prlelismul ître cele trei figuri geometrice: triughiul, cercul și pătrtul cre sut relități, di cre se desprid pirmid, sfer și cuul, ce sut devăruri Îtregul cestui prlelism îl regăsiți de jur- împrejurul dvs și mi prope î tot ce ți costruit ori ți relit siguri ori împreuă cu semeii, ce îtr-o formă su lt este eseț oricrei moșteiri: cele dou jumătăți le îtregului mtemtic, cifrele si cuvitele De oiciei:

23 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo - triughiul este simolul credițelor, ir pirmid este templul pri cre eistă; - cercul este simolul știiței și uiversului, ir sfer este semificți mișcării; - pătrtul este secretul voiței de cumul, deorece cuul este simolul uui volum și idiviiue uei ctități Dr, cel mi importt, este să descoperiți difereț ditre devăr și relitte, î cretivitte celui mi iuit ditre pămâtei : COPILUL Ascultți visuri și imgiții, descoperiți templul și crediț relității petru cre luptă și vre să îvigă De ici îcepe cultur și uiversul de costrucții și reliri le îtregului um, pritre cifre, umere și cuvite Ită MATEMATICA și fiiț s î uiversul culturii Ce mi importtă descoperire u este clcultorul ori lte plicții electroice le tehologiilor de îltă fidelitte și comuicre, este tot omul, cretiv si ivetiv Orice tehologie vie și plecă, cee ce rămâe este viț, ir simolul ei este î eseță celsi - OMUL I relitte, computerul u este decât u mirj l tehicii și o sumă de istrumete iteliget puse l u loc, destite uor utilitți de mucă ori comuicre si icidecum o relire vieții Clitte um, itotdeu cote!

24 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Se dă sfer de dimetru AB și M u puct vriil pe sferă, diferit de A și B Dcă N și P sut puctele î cre AM și MB, respectiv, itersecteă plele tgete l sferă î B și A, să se rte că produsul APBN u depide de poiți puctului M Propusă de Dore Adrei Prof Costti Telteu

25 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Prolem se reduce l o prolemă î plul ABM vei figurile de mi sus, cre r ve următorul euț: Să se demostree că îtr-u trpe dreptughic ortodigol, cu îălțime costtă, produsul elor u depide de puctul de itersecție l digolelor Să demostrăm cest euț: Fie C itersecți prlelei pri P l AN cu BN Î triughiul dreptughic BPC, cu teorem îălțimii oțiem PD BD DC, cre, țiâd cot că PD=AB, BD=AP și DC=BN, rtă stfel: AB AP BN, dică produsul AP BN pătrtul dimetrului sferei, deci u depide de itersecți digolelor trpeului, cre este puctul M de pe sferă Prof Mrius Atoescu AB dimetru MAB dreptughic î ughiul M Cele două ple tgete l S O; OA sut perpediculre pe AB AP AB şi NB AB AN şi BP cocurete puctele A, P, N şi B coplre Deorece: AP AB şi NB AB ABNP trpe dreptughic şi ortodigol Fie BT // NA <TBP <AMP m<tbp = 90 BNAT prlelogrm [BN] [TA] AP BN = AP TA = AB teorem îălţimii î triughiul dreptughic TBP AP BN = costt AP BN u depide de poiţi puctului M q e d Prof Chiriţescu Cristi, Şcol Gimilă "Iorgu Rdu"Bârld, JudVslui 5

26 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Fie AB=R = costtă M SO,R N = AM, SO,R = {B} P = BM, SO,R = {A} demostre că AP * BN = costtă u depide de poiţi puctului M pe sfer dtă Reolvre î APB, m = dr, m = dr, ude Q este piciorul perpediculrei di M pe AB = dimetrul sferei di MQ II AP reultă = di MQ II BN reultă = îmulţim relţiile * şi coform teoremei îălţimii î AMB, m = dr, = BQ * AQ, oţiem coform primei codiţii di ipoteă AP * BN = = costtă, qed Prof Mihel Molodet- Scol Gimil Berghi, Jud Al SOLUTIA I Fie α si β cele dou ple tgete sferei i A respectiv B Avem: AB α, AB β α β Fie γ = AN, BP Evidet, α γ = AP si β γ = BN Di si AP BN Di vem dou curi: PN AB ABNP ptrt, AB= PN= AP= BN= R AP BN = R = costt PN AB ABNP trpe Evidet, m<amb = m< PAB = m<abn= 90 ABNP trpe dreptughic, ortodigol AP BN = AB = R = costt SOLUTIA II Evidet, m<amb = m< PAB = m<abn= 90 Δ ABN~ Δ PAB, AB BN = AB AB = AP BN PA AB AP BN = AB = R = costt 5 Prof Rusu Mri, Şcol Gimilă Bue, Işi 6

27 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Deorece tgetele l sferă sut perpediculre pe ră î puctul de tgeţă, vem AP AB şi BN AB Cum dreptele AP şi BN sut perpediculre pe ceeşi dreptă, reultă că AP BN 0 m AB 80 0 Se oservă că m AMB 90 și m AMB m PMN fiid ughiuri opuse l vârf Pri urmre ptrulterul ABNP este trpe dreptughic ortodigol și se rtă cu uşuriţă că îălțime s este medi geometrică elor, dică : AP BN AB, produs costt cre u depide de poiți puctului M I Se costtă că ughiul BAN şi ughiul APB sut cogruete deorece u celşi complemet Triughiurile dreptughice BAP şi NBA fiid semee cul UU vem: di prim proporţie oţiâdu-se: AP AB PB, AB BN AN AP BN AB II Costruim puctul E pe ltur AB, stfel îcât EAPB să fie prlelogrm Î prticulr EB AP, ir ughiul EAN este drept c şi cel corespodet di puctul O Aplicâd teorem îălțimii î EAN, oţiem EB BN AP BN AB 7

28 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo 6 ProfPăcurr Corel Cosmi,BLAJ AB pe plul tget l sferă î A,cum AP este iclusă î cest pl deducem că AB AP Alog deducem AB BN Cum M prţie sferei de dimetru AB şi e diferit de A şi B deducem că triughiul AMB este dreptughic î M Di AMB ABN, MAB BAN reultă AMB~ ABN de ude deducem BN= reultă Di BMA BAP, MBA ABP reultă BMA~ BAP de ude deducem reultă AP= AP BN= =AB AB=,cre u depide de poiţi puctului M 8

29 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo U cu gol ABCDEFGH, cu muchi de lugime, este itersectt de o sferă cre trece pri vârfurile feței EFGH și pri cetrul cuului Se îlătură tote puctele cuului ce prți iteriorului sferei și sfer, se șeă corpul oțiut cu fț ABCD pe u pl oriotl și se umple cu pă Să se determie vlore miimă muchiei cuului, petru c î cest vs să îcpă u litru de pă Prof Costti Telteu Așteptăm soluțiile pe dres de e-mil: revist@mteiforo 9

30 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo Tote suiectele I, II, III sut oligtorii Se cordă 0 pucte di oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore L tote suiectele se cer reolvări complete SUBIECTUL I 0 de pucte 5p Să se rte că umărul = 7 este itreg 5p Determiă stfel îcât următorele umere 6,, să fie termeii cosecutivi i uei progresii ritmetice 5p Fie f :, f m m m Să se determie m stfel îcât mimul lui f să fie egl cu 5p Să se reolve î ecuți 5 5p 5 Să se determie vlore prmetrului rel petru cre vectorii v i j și v i j să fie coliiri 5p 6 Se cosideră puctele A ;, B 0;, C ; Să se clculee distţ de l puctul C l drept AB SUBIECTUL l II-le 0 de pucte Se cosideră sistemul 9, ude şi se oteă cu A mtrice sistemului 5p Clculţi determitul mtricei A 5p Determiţi vlorile rele le umărului petru cre mtrice A este iversilă 5p c Petru, reolvţi sistemul Se cosideră mulțime G, și lege de compoiție "" pe G defiită pri c,,,c 5p Determiți, și c știid că lege "" dmite pe c elemet eutru ir simetricul lui este 8 0

31 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo 5p Petru, c reolvți pe mulțime G ecuți 5p c Petru, c demostrți că fucți f : G, f l m, ude m și sut coveil lese, este iomorfism de l grupul, G, l grupul Se dă fucţi f :,, f 5p Să se studiee mootoi fucţiei f ; 5p Să se demostree că tgetele l grficul fucţiei f î puctele şi B, f 5p c Să se clculee sut perpediculre lim f ' A, f Fie șirul, defiit pri 5p Clculți 5p Studiți mootoi șirului * 5p c Arătți că l,, d oricre r fi 0 petru orice * *

32 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo BAREM DE NOTARE SIMULARE BAC MATEMATICA MATE-INFO FEBRUARIE 06 SUBIECTUL I 0 de pucte 7, ; Di 6 0 ; 5m 0m9 m 9 5m m 9 0 m, 5 Ecuți dtă este echivletă cu 0, 5 Vectorii v, vsut coliiri 8 6;6 6 Di Se scrie mi îtâi ecuţi dreptei AB, după formul Reultă, 0 Distţ de l puctul C; l drept AB este dtă de formul 0 0 c d C, AB p p p p p p p p p p p p p p p p şi este eglă cu SUBIECTUL II 0 de pucte Folosid Regul triughiului: deta p p

33 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 Mtrice este iversilă petru det A 0 det A 0 {,} A este iversilă petru {,} wwwmteiforo p p p p c det A 0 Sistem Crmer Sistemul re soluţi uică 0,, 0 c 0 c 6c 6 8 se oți vlorile,, c otâd t ecuți devie t t cu soluțiile t 0, știid că G soluți ecuției este f f f c f morfism l m m m m l m l m f : G, f l fucție ijectivă m m m m m m p p p p p p p p p p p SUBIECTUL III 0 de pucte ' f ' f 0 f strict descrescătore pe, şi strict crescătore pe, Fie ptele celor două tgete ' m f m f ' m m cele două tgete sut perpediculre p p p p p p p

34 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo c ' ' ' ' f lim f lim f 0 lim 0 lim e e e lim e f p p p d d l 0 l 0 0 l l p p c 0 d 0, 0, șir crescător d l 0 l l l l l 0 p p p p p

35 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo - Tote suiectele sut oligtorii Se cordă 0 pucte di oficiu - Timpul efectiv de lucru: ore SUBIECTUL I Pe foi de eme se trec dor reulttele 0 de pucte 5p Reulttul clculului : este 5p Mulţime A / scrisă c itervl este [, 5p 5p 5p Dcă u ciet şi trei creioe costă lei, tuci trei ciete şi ouă creioe costă lei Îtr-u triughi dreptughic u ughi scuţit re măsur de 0 0, ir ipoteu re lugime de cm Lugime ctetei cre se opue ughiului cu măsur de 0 0 este cm 5 Î figur lăturtă este repreett u cu ABCDABC D Ughiului formt de dreptele BD şi AC re măsur de 0 5p 6 Grficul de mi jos preită evoluţi temperturilor di prim săptămâ luii iurie ului 0 Tempertur medi îregistrtă î cestă periodă este de 0 C Temperturi 0 C i i i i 5 i 6 i 7 i 5

36 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo SUBIECTUL II Pe foi de eme scrieţi reolvările complete 0 de pucte 5p Deseţi pe foi de eme o prismă triughiulră regultă ABCDEF 5p După o reducere cu 0% şi preţul uui oiect devie 6 de lei Aflţi preţul iiţil l oiectului 5p Dcă şi, rătţi că este umăr turl Fie epresi E 5p Descompueţi epresi î fctori 5p Determiţi umerele rele şi,stfel îcât 5p 5 Arătţi că E, R SUBIECTUL III Pe foi de eme scrieţi reolvările complete 0 de pucte Fie cuul ' ' ' ' ABCDABC D Fig, AB cm 5p Di vârful A l cuului poreşte o furică şi vre să jugă î puctul cel mi scurt drum posiil, pe suprfţ cuului Cre v fi lugime drumului? 5p Să se fle distţ d C ', AB ; ' ' 5p c Fie M B C, N BB ' şi P AB ' ' stfel îcât MC 9cm, NB ' C, prcurgâd cm şi ' ' AP 6cm Furic se îtorce di vârful C î vârful A pe drumul [ C MNPA ] mrct cu roşu pe dese Aproimtiv, cu cât este mi lug cest drum fţă de drumul di puctul? 6 Fig

37 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo 8 Coturul iului de îot di figură re form uui dreptughi complett l cpete cu câte u semicerc Împrejurul iului este o dă de isip cu lăţime costtă de m Dreptughiul re lugime de 0 m şi lăţime de 0 m 5p Ce suprfţă re iul? 5p Cre este suprfţ coperită cu isip? 5p c Cre este difereţ ditre perimetrul eterior l eii de isip şi cel iterior? 7

38 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo BAREM DE NOTARE SIMULARE EVALUARE NAȚIONALĂ IANUARIE 06 SUBIECTUL I 0 de pucte : = = 58 5p A ; 5p = preţ ciet; = preţ creio 5p = 6 cm 5p 5 A C AC m A C BD m AC BD m AOD ' ' ' ',, 90 o 5p t m 7 7 5p Relire deseului Notţi prismei SUBIECTUL II 0 de pucte p p Notăm cu preţul iiţil l oiectului =60 p p p 8

39 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo 70 lei p p E E p p p p 5p p 6 p 5 6 p p p SUBIECTUL III p p 0 de pucte dcă R e mijlocul muchiei AB, tuci lugime drumului furicii este 5p 9

40 REVISTA ELECTRONCĂ MATEINFORO ISSN FEBRUARIE 06 wwwmteiforo AR RC AR cm AB BCCB, CB BCCB d C ', AB c CB AB, de ude reultă că CB cm MN MB B N 5 5cm NP NB BP cm p p p p ' C MNPA C M MN NP PA cm p AR RC 5cm 6,8cm ,8,7 -proimtiv, cu tât e mi lug drumul fruicii ipoi, fţă de drumul di et c P Pit 0 0 m Difereţ m m p p p p 0