IULIE CONCURS

Transcription

1 Solutio to prolem 06 from Cru Mthemtiorum pg. D.M. Bătiețu Giurgiu Neuli Stiu Leord Giugiu. O ome prolem from Otogo Mthemtil Mgie... pg. Neuli Stiu. Metode de reolvre uei proleme di Get Mtemtiă eri B... pg. 0 George Flori Șer. Metode de reolvre uei proleme dte l Olimpid Ntiol de Mtemtiă F Județeă pg. Gheorghe lee George Flori Șer 5. Ieglități triughiulre... pg. 5 Diel Tili dri Mihil 6. Î legătură u o ieglitte î triughi di Lit Surtă ONM pg. 8 Mri Chiriu 7. Proleme dte l oururile șolre di județul Olt II pg. Ele Pirlog 8. Soluții - Prolem luii IULIE pg. Propu de George Flori Șer 9. CONCURS - Prolem luii UGUST pg. Propuă de Cotti Telteu

2 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 B Leord Giugiu I Cru Mthemtiorum Volume o. 06 p. 8 w ppered the followig prolem 06. Propoed D.M. Bătiețu Giurgiu d Neuli Stiu. Let BC e trigle with BC C B d irumrdiu R.Show tht R Proof Leord Giugiu: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

3 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 B Neuli Stiu George Emil Plde Shool Buău Romi I the et we preet the olutio of ome prolem from Otogo Mthemtil Mgie. Remr. We let the reder to foud the ttemet of the prolem free-olie t the followig ddre PP.76. B M-GM iequlit we oti d. Yield tht q.e.d. PP.78. fter etrtig the qure root d dividig We deote p q. We hve p o p q d logou q p. The iequlit eome 8p q 8p 8q 6p 6q 6 0 p q 9 q p 9 9 p 5 p 9 q 5q 0 p pq q 5p 7 q p q p Sie p q to demotrte it uffie to prove tht the give iequlit i writte 5q 7 0. pq q 5p. We hve pq 6p. Uig the well-ow iequlit we oti q p p d the q 6p whih with how tht i true. We hve equlit if d ol if p q i.e. if d ol if.

4 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 The proof i omplete. PP.79. Uig the well-ow iequlit we hve. logou. Yield tht q.e.d. PP.70. The iequlit from thi prolem i ot true. For we hve But PP.7. We hll prove trog iequlit i.e fter ome er the iequlit i writte whih i true q.e.d. Remr. The iequlit i true for ll rel umer without the retritio 0. PP.755. We deote. B M-GM iequlit we dedue tht. B d M-GM iequlit we hve

5 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST q.e.d PP.759. We deote. B M-GM iequlit we dedue tht. B d M-GM iequlit we hve 6 6 q.e.d. B C PP.765. We deote t t t. It i well-ow tht r r r d. We oti r r r d other two imilr idetitie. fter ome er d well-ow formul ield tht Rr. 8 We hll prove trog iequlit i.e. we will prove the iequlit with the upper oud ited of 7 0. Ideed the iequlit to prove i writte rr r 6Rr 7 50Rr 7r. B Gerrete iequlit the item 5.8. from Bottem we hve 6Rr 5r d it uffie to how tht 50Rr 7r 656Rr 05r r 6Rr r R whih i true ie i Euler iequlit. 5

6 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 PP.770. We deote p q with p q. We hve pq. The give iequlit i writte pq 6 p q p q 8pq 6p 6q 5 0. Sie M-GM iequlit we hve 6p 6q We deote t 8t p q 8pq pq 5 0. t pq t we hve t 5 0 t t d eome t 9t 5 0 true eue pq it uffie to prove tht t 9t 0 t 9. We hve equlit if d ol if t d p q i.e. if d ol if. PP.77. Uig the iequlit 0 ield tht li li q.e.d. PP.778. We thi i the ttemet there i tpo eue the degree of LHS i 0 d the degree of RHS i -. We hll prove the iequlit i r Rr Quiie SM8 i B Rr.!!!!!! B ie lw d the formul r Rr rr the iequlit eome ueivel rr whih i true M-GM iequlit. PP.78. We deote p q. We hve p q i.e. p q. The iequlit from the ttemet i writte 6

7 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST q p q p q p p q q p q p q p Uig the well-ow iequlit we oti q p. The iequlit i writte 0 p q q p q q p p whih i true eue M-GM iequlit we hve q p q.e.d. PP.788. We deote o o o C B. The right iequlit. 0. The left iequlit. Firt we hll prove tht re the ide of trigle. Ideed we hve d it uffie to how tht 0 0 true. We hve * true. B * we oti tht q.e.d.

8 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST PP.79. We hve 5 whih with other two imilr iequlitie ield the left iequlit. B M-GM iequlit we oti tht o. logou. Hee 6. The proof i omplete. PP.799. B M-GM iequlit we hve d the li li q.e.d. PP.800. B M-GM iequlit we hve d the li li q.e.d PP.86. pplig M-GM iequlit d well-ow iequlit we oti tht i.e. the right iequlit.

9 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST The left iequlit i ot true; we prove ove tht. PP.86. Sie r r r r h we mut to prove tht. We hve d with other two imilr iequlitie multiplig ield. Sie r r r r r we mut to how tht. The um of umer i poitive lo the um of two of thi umer. If oe of the umer i egtive the i true. If ll of the umer re poitive the M-GM iequlit we oti tht. Writig other two imilr iequlitie d ddig up ield. PP.8. We ppl M-GM iequlit for the followig umer.... Hee. Therefore q.e.d. P.8. We deote with S the re of trigle BC. Uig the iequlit d Bergtröm iequlit we oti.. It remi to prove tht 6 8 S S whih i the Ioeu-Weiteö iequlit

10 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 George-Flori Șer profeor Lieul Pedgogi D.P.Perpeiiu Bril I Get Mtemti eri B r pe 06 profeorul D Nedeiu propue pre reolvre l l 5- urmtore prolem iteret : Determiti umerele turle re veifi imult reltiile i Voi preet i otiure dou metode de reolvre petru et prolem. Meetod : dei. D fl. D D dei dei 5 0 fl. 5 0 fl. D dei {5}. -D fl 5 fl fl. 5 0 fl deoree -D fl 5 8 fl 5 0 fl fl deoree u verifi euti doi di eut fl. -D fl 5 6 fl 5 90 fl fl. 5 8 fl D dei 6 0 fl. D dei {5} m lit ete uri mi u. Dei ete igur olutie re verifi mele eutii di eutul prolemei. 0

11 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 Metod : Reolv euti diofti de grdul iti u trei euoute u divide 6 dei 5 5 Z ilouie i i ellt eutie eutie de grdul doi i euout. Clule Z Petru fl. Petru e fl deoree Rme de lit urile 0. Petru =0 ilouim i euti de grdul doi de mi u i otiem N N 5 0 N 0 N Petru ilouim i euti de grdul doi de mi u i otiem u ete ptrt perfet dei euti de grdul doi u re olutii umere turle. I oluie ete igur olutie etei proleme.

12 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 Gheorghe lee profeor Lieul Tehologi Niole Tituleu Iurtei George-Flori Ser profeor Lieul Pedgogi D.P.Perpeiiu Bril Vom preet i otiure dou metode de reolvre uei proleme dte l olimpid tiol f judete 06 diferite de ele di rem. Fie M C tfel it det I det I. Demotrti I I. Cl - Solutie : Metod Foloe formul i det B det B det det B det I det I 6 det I det det det I det I det det I det det di i. Foloe formul det B C det detb det C det B detb C det C BC M C det I det det deti det I det det I i det I det det deti det I det det I i oti det I det det det I det det 5 det I det I det i 6 det I det det I det det le d 7 det [det I det I] 0. Cul I D det det I i det I det I 0 5 det I 0 det I det Idet I 0 det I det I

13 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 I Tr I I det I I O I Tr I I det I I O fie Tr t t I t 0 Tr det I O I. Cul II det I det I det I det I det 5 det I det I det I det det det det det det { }. D det m reolvt. D det t 0 det det 0 I O Metod : Fie I reult m poliomul miiml l mtriei I I O I I i ele dou uri. I I I O I I I I I I I ii ii Dei m i i. D grd m vem : D m m I O I det I det I I I fl. D m m I O I det I det I I I 9 fl. D m i m ii O ii det I det I ii I i fl. D m i m ii O ii det I det I ii I i fl. D grd m grdp ude p ete poliomul rteriti l mtriei. pli Teorem lui Froeiu m i p u eii diviori iredutiili pete C[]. Tr det Tr det I O m I O I I. D det m p I dei 0 det I det I I det I p 0 det I det I I det I p 0 tui. I I. D m m I I dei 0 det I det I I det I p 0 I

14 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 det I det I I det I p 0 D m i i i i i m i i I O i i I det I det i i I I det i i I i i det i i I i det I i det I i i i i i det I i p i [ i i] i i i5 fl. log e lie elelte uri re ut fle m i m i i m i.

15 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 Profeor Tili Diel - Șol Fu Negu Bril Profeor Mihil dri - Lieul Teoreti Mihil Seti Ieglittile repreit u pitol vt l mtemtiii u plitii divere tit i er it i i geometrie.proleme re l prim vedere pr difiile e reolv elegt i uor u ieglitti.i ultim vreme l olimpidele olre pr forte multe proleme e oti ieglitti u e reolv mi uor u ieglitti.vom preet itev eeritii prute l olimpide i oururi olre re ut iterete pri tehi de reolvre i re u l ieglitte triughiului.idee temei porit de l eeritiul umrul dt l olimpid tiol 06 l l VIII-. D ut lturile uui triughi tui re lo relti 5 ONM 06 l - VIII Ieglitte itr i tegori ieglittilor oditiote umerele fiid lturile uui triughi ut poitive i verifi ieglitte triughiului di <+<+<+ m p I prim prte ilouid m; ; p ; m p p m ; p m m p m p / i ditriuid prte u prte => m p m m p p 6 devrt petru d >0=> m p m p ieglitte <+ ++> ; log ; dud ieglittile otiute otiem 5 5

16 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 D ut lturile uui triughi tui re lo dul ieglitte ++ Re ol vr e Prim prte ete o ieglitte uout re imultit u i treuti toti termeii i eii prte otiem ieglitte petru prte dou foloim ieglitte trighiului u form - ; - ; - pri ridire l ptrt => ; ; i d ute prte u prte=> D ut lturile uui triughi tui re lo ieglitte - our Ugri Reolvre Ieglitte e pote deoditio tfel: ut lugimile lturilor uui triughi d i umi d eit trei umere poitive tfel it vem =+=+=+ ilouid i ieglitte otiem eoditiot rtti i orie triughi BC re lo ieglitte p p p p p p p ude p=perimetrul triughiului Re ol vr e foloim ieglitte trighiului u form - ; - ; - pri ridire l ptrt => ; ; p p p p ; p p p p p p p p p p log ; dud reltiile prte u prte => p p p p p p p p p 6

17 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST D ut lturile uui triughi tui re lo ieglitte 0 OIM Reolvre Ieglitte e pote deoditio tfel: ut lugimile lturilor uui triughi d i umi d eit trei umere poitive tfel it vem =+=+=+ ilouid i ieglitte otiem eoditiot 0 /:=> dr foloid ieglitte ;>0CBS=> ++ 6D d ut lturile uui ptrulter tui re lo ieglitte ++-d++d-+d+-d++- d d Re ol vr e D d ut lturile uui ptrulter tui d>0 i um oriror trei ditre ele ete mi mre det l ptrule.deoditiom ieglitte foloid utitutiile =++d-;=+d+-;=d++-;t=++-d =>t>0=> ++t- ++t- ++t- ++-t +t +t + + = = t= dup ilouire t +t +t + + re e prge i t t u eglitte d ===t =>===d Cu elei metode metiote e reolv eeritiile: 7 rtti d ut lturile uui triughi tui re lo ieglitte 8rtti d ut lturile uui triughi tui re lo ieglitte ++ 9rtti d ut lturile uui triughi tui re lo ieglitte p-p-p- ude p ete emiperimetrul triughiului. Biliogrfie: V ple mtemti -Tri Cohl editur Moldov Ieglitti-idei i metode Mihi Ouu Drime-editur Gil Olimpidele tiole le Romiei i Repuliii Moldov -rtur Blu-editur Tid 7

18 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 Mri Chiriu L Olimpid Nțiolă de Mtemtiă defășurtă l Pitești î period 9- prilie 007 pritre prolemele vute î teți omiiei de eleție de l lele IX- și X- e flă o ieglitte î triughi propuă de Comi Pohoță elev Buurești Demotrți ă î orie triughi R r 9r p R r rtiolul își propue ă devolte etă ieglitte și ă puă î evideță și lte ieglități referitore R r l titte remrilă di triughi re pre î: p ; R r o p R r tg p ; R r tg ; p R r tg ; R p R oe R r. p r p r Î otiure vom demotr următorele ieglități: R r 9r p R r. Comi PohoțONM 007SHL R r r p R r 9 ude 7 9. Devoltre Mri Chiriu Pitești Soluție: Ieglitte ete ehivletă u ieglitte lui Gerrete: p R Rr r. Rămâe de demotrt ă p 7 R r 9r 9 R r devărtă di Profeor Colegiul Nțiol Zi Goleu Pitești 8

19 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 R Rr r 7 R r 9r 96R 8R r Rr r. După lule oțiem R r 6 R 5 Rr 9 r 0 evidet di ieglitte lui Euler: R r și di 9. O. Petru 9 e oție. R r 6r 5. p 9R 9 Soluție: Ieglitte ete ehivletă u Gerrete: p R Rr r. Rămâe de demotrt ă R Rr r 5R 6r 9R6R 8Rr r. După lule oțiem R r R r p 5R 6r 9 R R r devărtă di ieglitte lui 0 evidet di ieglitte lui Euler: R r. R r r p R. Soluție: Ieglitte ete ehivletă u tre deât ieglitte lui Gerrete p R r R R r devărtă di rt of Prolem Solvig 6/06 p R R r R r mi p R Rr r re reultă di p R r H R 0 ude = putul lui Gergoe itereți liiilor BB CC RR r ude B C ut putele de tgeță le erului îri u lturile triughiului BC. tg 8 i. Cru Mthemtiorum 9/98 J GrfuelUS Soluție:Deoree R r tg p și i r ieglitte ete ehivletă u R ieglitte. 9

20 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 d R r r ude p R Devoltre Mri Chiriu Pitești Soluție: Ieglitte ete ehivletă u Gerrete: p R Rr r. Rămâe de demotrt ă R Rr r 6 R r R6R 8Rr r R r R Rr r p 6 R r R R r devărtă di ieglitte lui evidet di ieglitte lui Euler: R r. d R r r p R ude 6. Soluție: Ieglitte ete ehivletă u p R R r. Rămâe de demotrt ă R r evidet di ieglitte lui Euler: R r și Devoltre Mri Chiriu Pitești R R r p devărtă di ieglitte lui Gergoe 6 R r R R r R R r R r 6 R r R r R r 9 r R r r 7 e. p R r p R 9r r Soluție: Prim ieglitte ete ehivletă u 9R 8R r R r ieglitte lui R r R Euler. dou ieglitte reultă di d petru =. e R r 9r R r r. p R r p R Devoltre Mri Chiriu Pitești Soluție: Prim ieglitte ete ehivletă u R r ieglitte lui Euler. Petru dou ieglitte luăm = î d. O. e ete o îmuătățire lui. 0

21 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 f g R r p p r 0. R r p 7 ude 0. p r Devoltre Mri Chiriu Pitești Soluție: Foloid ieglitte lui Gerrete: 6Rr 5r p R Rr r oțiem: R r 6Rr 5r 7 ude ete ehivlet u: R Rr r r R r R Rr r evidet di ieglitte lui Euler: R r. O. Petru = e oție f. h R r. p Ieglitte lui T. Douet 87 Soluție: Foloim ieglitte lui Gerrete: p R Rr r. i R r p. p r G. Colomier T. Douet 87 Soluție: Foloim ieglitte lui Gerrete: p 6Rr 5r. i R r p R r p p r p 9r 9r R r p R r. Nuov..Mth.87G. Colomier T. DouetO.Bottemdp Soluție: Vei h și i. R r R j. p r Soluție: Ieglitte ete ehivletă u p 6Rr 5r p R r R r devărtă di ieglitte lui Gerrete:. Rămâe de demotrt ă R r8 R r 0 evidet di ieglitte lui Euler: R r. 6Rr 5r R r r R r

22 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 R r R p r ude. Devoltre Mri Chiriu Pitești Soluție: Ieglitte ete ehivletă u Gerrete: p 6Rr 5r. Rămâe de demotrt ă p R r r R r devărtă di ieglitte lui Rr r R r r R r R r R r evidet di ieglitte lui Euler: R r și. 9r R r R l. R r p r Soluție: Vei și j. m r R r R 9 R r p r ude 9. Devoltre Mri Chiriu Pitești Soluție: Vei și. R r r. p R RMT /990 C. Coe Iși Soluție: Se foloește ieglitte lui Douet: R r p și e oție M R r r M p R d ude R r ieglitte lui Euler. R r r ude 0. p R Devoltre Mri Chiriu Pitești Soluție: Se foloește ieglitte lui Douet: R r p și ieglitte lui Euler: R r. Biliogrfie:. Comi Pohoță 58- Olimpidă Nțiolă de Mtemtiă Pitești 9- prilie 007 Suplimet l revitei Get Mtemtiă.. Mri Chiriu Ieglități geometrie de l iițiere l performță Editur Prlel 5 Pitești 05.

23 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 Propue de prof. Ele Pirog. Fie * N două umere dte şi mulţime \ G pe re defiim lege G Demotrţi ă perehe G formeă grup eli. Soluţie: G 0. rătăm ă ete lege de ompoiţie pe G diă G vem G deoree 0 devărt deoree şi 0 G. oitivitte G Di şi lege ete oitivă. G. Elemet eutru

24 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 eg tfel îât e e G e e e e e 0 G e şi e G. Elemete imetriile G G tfel îât e 0 e 0 ă rătăm ă diă 0 devărt deoree 0 G. Comuttivitte G. logritmâd vem devărt. Olimpid de mtemtiă etp lolă profil M Slti 0

25 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 m. Fie fuţi f : R R f e Ude m mi 0 R. Determiţi itervlele de mootoie le fuţiei f. Clulţi f Soluţie. d g : R R g Pe 0 fuţi g dmite u miim: Fie fuţi mi petru Fuţi h : R R h 0 ete trit reătore pe mi h 0 0 m mi f 0 dei e f e. f 0 e 0 e l l f Itervlele de mootoie ut: Pe l fuţi f ete dereătore 5

26 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 Pe l fuţi f ete reătore. f d d e d e d d e e e 5 Courul de mtemtiă plită dolf Himovii etp lolă Slti 0. Se oideră fuţi f : R R f g 9 rătţi ă fuţi f dmite primitive pe R şi lulţi mulţime primitivelor le. Soluţie: g : R R Notăm u Di telul de eme l fuţiei g g 0 0 g pe ] g 0 g Dei f 9 Petru răt ă f dmite primitive pe R ete ufiiet ă rătăm ă f ete otiuă pe R 6

27 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 Cum f ete otiuă pe şi 0 f f 0 5 f reultă ă f eteotiuă î putul şi dei otiuă pe R. Î oluie f dmite primitive pe R. Petru determi mulţime primitivelor fuţiei f proedăm tfel: Preupuem ă F F : R R ete o primitivă lui f de form C 9 9l 9 C Determiăm ottele C şi C tfel îât fuţi F ă fie otiuă şi derivilă pe R. F 0 0 F F 0 C 0 C C C Dei F C 9 9l 9 Fuţi F ete otiuă pe R şi derivilă pe \ C R î vem oform orolrului teoremei lui Lgrge F f 5 f F Dei F ete derivilă pe R lim lim d Courul de mtemtiă plită dolf Himovii etp lolă Slti 0 7

28 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 I. Pe Z defiim lege de ompoiţie Soluţie: 6 Determiţi elemetl eutru l legii "" Cre ut elemetele imetriile e Z.î. e e Z e e e e e 6 e e e e 6 e Z Z. i e e 6 Z dă e 6 diă Z dă Dei elemetele imetriile ut - şi - f : R f 9 II. Se dă fuţi Să e demotree ă 0 f d 8 Soluţie: 8

29 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 f f 0 pt f f 0 0 M m 0 pliăm teorem de medie: 0 f d diă 0 f d 8 III. Se omideră poliomul f X X X R Să e determie umerele rele ştiid ă 008 f i f ude i Soluţie: f i f i R i f g; R R; IV. Se oideră fuţiile Să e rte ă f d gd 0 0 f g Soluţie: 0 l l l f d gd d

30 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST Clulţi: ude Soluţie: 6. Pe defiim lege de ompoiţie. rătţi ă lege ete omuttivă şi eretţi eiteţ elemetului eutru.. Petru = reolvţi euţi Soluţie:. Comuttivitte diă. Logritmâd î 0 eglitte de mi u vem: devărt lege ete omuttivă. Elemet eutru tfel îât Lege fiid omuttivă e ufiiet ă rătăm ă diă. Courul de mtemtiă plită dolf Himovii etp lolă Slti 0 0

31 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 Fie umerele 0 i. S e rte. Soluție utor: Prof. George-Flori Șer Brăil deoree dei. rt 8 8 ridi l ptrt Prof. Nel Cieu Bău şi prof. Ro Mihel Stiu Buău. Oervţie. U ditre odiţiile di euţul prolemei şi ume u ete eeră!. Prof. Biro Itv Să preupuăm ă eită umerele poitive și re tif oomitet odițiile di euț și. Reultă ă și u tife ultim eglitte. Î oluie vem de rătt o ieglitte trită re îtr-devăr ete devărtă: odiție deoree

32 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST / deoree ieglitte ehivletă u.

33 REVIST ELECTRONCĂ MTEINFO.RO ISSN UGUST 06 P Se oideră ughiul propriu uţit O î pţiu şi u put M It O. Fie N O O tfel îât perimetrul triughiului MNP ă fie miim. Coiderâd ă O m OM O m d O M geometri l putului P. şi ut fie ir O vriilă ă e determie loul utor: Prof. Cotti Telteu COLEGIUL NTIONL DE RTE REGIN MRI Cotţ Di thiv P.S