ARGUMENT. Colectivul de redacție

Size: px
Start display at page:

Download "ARGUMENT. Colectivul de redacție"

Transcription

1 ARGUMENT Revist de mtemtică Colegiului Nțiol de Iformtică îsumeză eeriețe multile ce u vut loc î ultimii i și î secil î ul școlr 8-9, cre s-u șterut e hârtie di doriț de rămâe dret fudmet etru ctivitățile ulteriore, î scoul erfectibilității Pgiile revistei se deschid cu u medlio Vsile Țifui, rofesor de mtemtică de restigiu l Colegiului Nțiol de Iformtică, cărui ume ersolizeză îceâd cu cest școlr Cocursul iterțiol de mtemtică Memoril Vsile Țifui Și cum er firesc, î fluul cotiuu l uei reviste de mtemtică se regăsesc subiectele și bremele de l cest cocurs, subiecte de l olimid de mtemtică, et loclă, oi modelul de subiect etru dmitere î cls V- l Colegiul Nțiol de Iformtică, modele de subiecte etru tez cu subiect uic l clsele VII- și VIII-, recum și modele de subiecte etru emeul de bcluret 9 Eerieț vută l cocursul Memoril Costti Sătru ediți LXII, Chișiău, este cocretiztă ri subiectele cre u fost dte e iveluri de clse î cele două ete le desfășurării sle Acestă letă diversifictă de subiecte vie î srijiul elevului cre itețioeză să se imlice î diversele cocursuri vizte î mod direct de către Colegiul Nțiol de Iformtică Cotiuâd rcursul demostrtiv l comleității coțiutului revistei Mte++ jugem să scotem î evideță reocuările membrilor ctedrei de mtemtică di Colegiul Nțiol de Iformtică rivid erfecțiore metodică și știițifică Pos l izvorele mtemticii costituie o ivitție drestă elevilor, etru fl mi multe desre teoreme celebre di mtemtic școlră și utorii lor Rubric Probleme rouse îdemă elevii cititori i revistei să bordeze ceste subiecte î vedere regătirii lor etru cocursurile ce vor urm Călătorii mtemtice rezită oiiile elevilor di Colegiul Nțiol de Iformtică î legătură cu rticire l diferite cocursuri de mtemtică Colectivul de redcție

2 I memorim VASILE ŢIFUI rof Ele Roşu 8 fost u jubilir etru Colegiul Nţiol de Iformtică S-u sărbătorit 4 de i de l îfiiţre cestui şezămât de educţie Prcursul celor 4 de i cosolidt doriţ de devei cei mi bui, cei mi moderi, de cotribui l desăvârşire uor ideluri, dr mi resus de orice, de model omei Colegiul Nţiol de Iformtică jus ici etru că u eistt slujitori i cestui lăcş cre şi-u us eerieţ, timul, doriţele și utere de mucă î slujb cestui şezămât de educţie, u costruit s cu s u brd cre să-i rerezite şi să rerezite sistemul educţiol di zoă şi di ţră Î semee momete se cuvie să-i omgiem e cei cre s-u dăruit cu siue idelurilor obile îchite şcolii, mucii oferite cu geerozitte istruirii si educării geerţiilor de elevi Uul ditre ceşti fost și rofesorul de mtemtică Vsile Ţifui, model de coştiiciozitte, uctulitte și modestie, resectt deootrivă tât de colegi, cât şi de elevi S- ăscut î ziu de 594 î comu Cehlău, jud Nemţ fiul lui Gvril şi l Aei, omei de mre ciste di comuă Urmeză Şcol gimzilă di comu Hgu Nemţ, oi cursurile licele l Liceul Petru Rreş di Pitr Nemţ Liceţit l Fcultăţii de mtemtică-fizică Uiversităţii Al I Cuz di Işi, secilizre mtemtică (958), fce rte ditr-o geerţie de referiţă di istori mtemticii româeşti Duă termire fcultăţii fucţiot c rofesor l Liceul teoretic Bicz-Nemţ (958-97), oi l Liceul Eergetic (ctul Colegiul Nţiol de Iformtică) di Pitr-Nemţ (97-997) A vut o rră și distisă clitte edgogică: s- lect cu ceeşi ifiită răbdre și drgoste și sur elevului dott, căci mulţi ditre elevii domiei sle u obţiut rezultte deosebite l cocursurile şcolre, dr și sur elevului modest Activitte ştiiţifică distisului rofesor s- cocretizt î lucrări și cărţi de mtemtică relizte sre fi de folos lumiării miţii elevilor, e cre i- educt duă chiul și semăre s, riguroşi, îmătimiţi și oeşti Zeci de geerţii de ici şi de oriude î lume, duc cu ei cee ce u rimit de l rofesorul Vsile Ţifui A fost colbortor fidel l reviste secilizte, tât l cele de mre restigiu: Gzet mtemtică, seri B, Bucureşti, Crdil-Criov, Ciete mtemtice, Gzet micilor mtemticiei (CI Tiu, Șt Țifui, I Rdu), Să îţelegem mtemtic (I Răducu, D Brâzei, Oucu Drâmbe), reviste î cre ublict este 8 de eerciţii și robleme și este rticole metodice Profesorul Vsile Ţifui îmreuă cu rofesorul uiversitr, dr Po Vleriu, Uiversitte Bcău, u itrodus etru rim dtă oţiue de fucţie î şcol gimzilă, fiid recettă cu mult succes de elevii clsei eerimetle di ii , fiid ublict și u rticol cu tem Asur redării oţiuii de fucţie î îvăţămâtul gimzil de 8 i, î GM, seri A, 966 Rod l ctivităţii desfăşurte cu o clsă eerimetlă di îvăţămâtul rimr fost Mul de mtemtică etru cls II-, EDP, Bucureşti, 979 De semee, iiţit și codus eerimetul Elemete de mtemtică moderă l clsele III-V, rezulttele fiid ublicte î lucrre Eductorul și moderizre îvăţămâtului, Bucureşti, 97 De u deosebit succes s-u bucurt mulele Lecţii de mtemtică etru cls XI-, Editur Policromi 99, Lecţii de liză mtemtică etru cls XII- î colborre cu rof Gh Dumitres, Editur Policromi, 994; Aliză mtemtică etru cls XII- (î colborre cu rof Gh Dumitres și Ovidiu Cojocri, Editur Prlel 45, 997); Probleme de mtemtică etru clsele IV-X și observții metodologice, Editur Plumb, Bcău, 995 Î rlel cu ctivitte rofesiolă s- dovedit și u bu rtist, cucerid cu echi de tetru Sidictului di îvăţămât Bicz, locul I e ţră î cdrul festivlului de tetru etru mtori I L Crgile î ii 964 și 965 Persol juct î mi multe iese, ritre cre Ctiheţii di Humulești de Io Cregă și îtr-o drmtizre romului Bltgul de Mihil Sdoveu Petru merite deosebite î ctivitte didctică, î 984 rimit titlul de Profesor evideţit

3 MATE ++ MEMORIALUL VASILE ȚIFUI COLEGIUL NAȚIONAL DE INFORMATICĂ PIATRA-NEAMȚ 8 decembrie 8 Îceâd di ul şcolr 4-5, ctedr de mtemtică Colegiului Nţiol de Iformtică orgizt, cu rilejul zilelor colegiului, u cocurs de mtemtică drest elevilor cestei școli L rim ediție u fost ivitți să rticie l cocurs și elevi i uor școli geerle și licee di muiciiul Pitr-Nemț A de cocursul s- îmbuătățit clittiv, sorid și umărul ivitților Îceâd cu ediți di 7 cocursul căătt crcter iterțiol ri rticire lotului olimic l orșului Chișiău, Reublic Moldov Ediți di decembrie 8 fost mrctă de iversre 4 de i de eisteță cestui lăcș de educție Î sem de rețuire și resect, ctedr de mtemtică rous c îceâd cu ediți 8 cocursul de mtemtică să orte umele rofesorului de eceție Vsile Țifui, cre slujit cu devotmet cest liceu î eriod Ediți di cest s- bucurt de o lrgă rticire, fiid rezeți 89 de elevi di clsele IV-XII di Reublic Moldov, Sucev, Vslui și Nemț Premiții Colegiului Nțiol de Iformtică l cest cocurs sut: Tăriceru Vld, cls V-, mețiue, Stoliceu Pul, cls IX-, remiul III, Cucuruz Io, cls IX-, mețiue, Ugureu Cătăli, cls X-, mețiue, Mzilu Acuț, cls XI-, mețiue, Livdru Rhel, cls XI-, mețiue, Brc Ro, cls XI-, mețiue, Bocce Adree, cls XI-, mețiue, Brăduleț O, cls XII-, remiul III, Tăăsele Adree, cls XII-, remiul III, Ciudi Io, cls XII, mețiue, Niță Gbriel, cls XII-, mețiue, Ugureu Adrd, cls XII- mețiue Subiecte Cls IV- ) Determiți vlore lui di eresi: [ + ( )] : = b) 8 ( 5) 7 [ ( )]=6 + 9 ) Pueți rteze rotude stfel îcât să veți m = m = 5 : ; = 5 + b) Sum tru umere turle este 64 Al doile este cu 4 mi mre decât rimul, de două ori mi mic decât l treile si de ori mi mic decât l trule Cre sut umerele? ) Îtr-o curte sut î umăr egl gâşte, ci, curci şi găii Aceste u îmreuă 4 de iciore Câte găii sut? b) Mm cumărt etru coiii săi căciuli, u fulr si două bluze, lătid î totl 954 lei Știid că u fulr este mi scum cu 8 lei decât o căciulă, ir o bluză costă cât u fulr si două căciuli l u loc, flți cât costt fiecre rticol Cls V- Profesorul Vsile Ţifui s- ăscut î ul 9b, şi b cifre cosecutive şi b umăr cre re umi doi divizori Dcă trăit 74 de i, cre fost ul desărţirii de oi? Ştef Ţifui, Griţieş Nemţ Fie = şi b cel mi mre umăr cre îmărţit l 8 dă câtul egl cu restul ) Aflţi b; b) Scrieţi umărul ( b) 8 c o sumă de 9 umere turle cosecutive Determiţi umerele turle bcd î bz stfel îcât să fie verifictă eglitte: bcd 4( b) Cls VI- Vsile Ţăruş, Pitr Nemţ = Gzet Mtemtică y ) Determiţi, b, c umere rime stfel îcât +b+6c= b) Aflţi, y N stfel îcât ( ) y y y ( ) = 57 Să se fle măsur uui ughi ştiid că rortul ditre comlemetul şi sulemetul său este egl cu ce mi mică frcţie de form, ude este umăr rim cre îl divide e bc, cu,, b, c cifre î bz zece bc Fie ughiul AOB, cu m( AOB)=, cu <9 ; BOC dicet şi comlemetr cu AOB; COD dicet şi sulemetr cu BOC Cosiderăm (OM şi (ON bisectorele ughiurilor DOC, resectiv AOD Să se rte că m( MON) u deide de vlore lui b Dcă (OD este bisectore MON, rătţi că (OB este bisectore AOC c Să se rte cel uţi uul di ughiurile formte î jurul uctului O re măsur mi mre de 65 Probleme selectte de: rof George Timişescu, rof Ciri Neţ Cls VII- y I ) Arătţi că ecuţi + = 4 u re soluţii î R b) Să se determie y, N î + = + + y + II Se du umerele rţiole,,, 8 stfel îcât: =, =, =,, 8 =

4 Emee și cocursuri Să se rte că: ),,, 8 > ; b) < III Fie Oy u ughi scuţit, uctele BC, ( Oy, A ( O, D este mijlocul lui [ BC ] şi M u uct situt e [ AD ] Dcă OM AB = { P} şi OM AC = { Q} să se rte că MP > MQ rof Io Dicou Cls VIII- Fie m, Aflţi itervlul [ m, ] cre coţie cel uţi ot umere îtregi, ude m şi verifică relţi: m 99 m 7 9m = + + rof Ac Rfilă * ) Fie y,, stfel îcât ( y) Aflţi vlore rortului y b) Determiţi mulţime: M = { ( + )( ) = b,, b [ 5;9] } Fie cubul ' ' ' ', rof Io Dicou ABCDA B C D N roiecţi uctului B e dret A C şi Q [ C' C] NC ) Aflţi vlore rortului ; A' N b) Determiţi distţ de l uctul A l dret B Q; c) Determiţi distţ de l uctul B l dret de itersecţie lelor ( ' ) stfel îcât CQ ' = CQ AB Q şi ( ABC ) rof Teodor Nechifor Cls IX- Fie triughiul ABC cu cetrul de greutte G Să se rte că: GA + bgb + cgc = ΔABCeste echilterl, ude =BC, b=ac şi c=ab rof Vsile Ţifui, GM r 8/979 Arătţi că etru orice R re loc idetitte [ ] = Prof dr Adri Sdovici, Colegiul Nţiol Petru Rreş, Pitr Nemţ + z Determiţi R şi y>, z> stfel îcât: + y + yz + = 8 I Sft, Piteşti, GM/8 Cls X- I Fie şi două umere comlee cu roriette z + z = z z z z ) Demostrţi că cel uţi uul ditre umere re modulul mi mic su egl cu b) Dţi eemlu de umere comlee z z etru cre z + z = z z II Numerele b, cu b III Să se rezolve î b b Rverifică simult ieglităţile log ( + ) < log (5 ) şi log 8(5 + ) > log 5(8 ) Să se comre 5 y y R = R Recuţi = 8 + y + Cls XI- Fie şirul ( ) ℵ cu ( )( + + ) =, ude, (, ) Clculţi lim Fie,b,c R, b < 4c şi X M ( R ) Sǎ se rte cǎ O = X + bx + ci det( X + bx + ci ) = y Sǎ se clculeze: ) Cls XII lim b) lim log + + Subiecte selectte de rof Ștef Gvril, Costică Grigoriu și Ele Roșu ) Petru orice umăr turl rim otăm cu Z mulțime clselor de resturi de umere îtregi modulo Pe mulțime Z Z se defiește oerți: (, y) (, y ) (, y y ) Z Z este gru = + Să se rte că (, ) rof Vsile Țifui b) Fie ( G, ) u gru și b, G stfel îcât: b = b, b = b Arătți că = b= e, ude e ( ) este elemetul eutru l gruului G,

5 MATE ++ rof Adri Sdovici Să se determie o relție de recureță etru: I = cos si d, N *** Fie f : R R o fucție cotiuă și fie F : R R o rimitivă s stfel îcât f ( ) F( 8 ) = 9, etru orice R ) Demostrți că F ( ) F( 8 ) = c etru orice R, ude c este o costtă strict ozitivă; b) Să se determie tote fucțiile cre stisfc codiți di euț rof Adri Sdovici Breme Cls IV- I ) ucte; b) 4 ucte ) [ + ( )] : = (,6); [ + ( )] = = (,6); ( ) = = 9 (,6); = 9 : = 9 (,6); = 9 + = 9 (,6); b) 8 ( 5) 7 = (); = (); 9 = (,5); 9 = 6 (,5); = 6 : 9 (,5); = 4 (,5); II ) m = (5 : ) = 9 (); = (5 + ) = 9 (); rimul umăr l doile umăr 4 l treile umăr 8 64 (,5); l trule umăr 64-4 = 4 (de 7 ori l rimul umăr) (); 4 : 7 = (rimul umăr) (); + 4 = 4 (l doile umăr) (,5); +8 = 48 (l treile umăr) (,5); + = 7 (l trule umăr) (,5); III ) I = umărul gâștelor, l cilor, l curcilor su l găiilor =4 (,5); = 4 (,5); = 4 : (,5); = 4 găii (,5); II su ri metod figurtivă: Număr iciore gâște Număr iciore ci Număr iciore curci 4 iciore Număr iciore găii Număr iciore gâște = 4: = 8; Număr iciore ci = 4: 4 = 6; Număr iciore curci = 4: = 8; Număr iciore găii = 4: = 8 Subiectul l IV-le rețul uui fulr = f; rețul uei căciuli = c;rețul uei bluze = b (,5); f = 8 lei + c (); b = f + c (,5); b = 8 lei + c (,5); c + f + (8 + c) = c + f c = 954 (,5); c + (8 + c) c = 954 (,5); c = 9 : = 9 (,5); f = 8 (,5); b= 88 (,5); Cls V- b ote fi,,, 4,, 89 (); b este 4 (); Aul şterii 94 (); Filizre 8 (); 8 9 = = 4 9 (); b : 8 = 7 rest 7 (); b = (,5); b = 7 9 (,5); b (); (); = 9 = ( ) + + ( ) + + ( + ) + + ( ) b + cd = b (); cd = 4b( b 5) (); b = 5 şi c = d = (); Numărul este 5 (); 4 CLASA VI- ) b, 6c şi sut divizibile cu deci şi (r rim) este divizibil cu = (); Obţiem b+6c= 5b+9c=55; 5b şi 55 sut divizibile cu 5 9c divizibil cu 5 (c r rim) c=5 (); Obţiem 5b+45=55 b= (); b) 57 este umăr imr deci u terme l sumei este r şi uul imr (); Dcă rimul terme este imr tuci y= + =57 =8 (); Dcă l doile terme este imr tuci = y +=57 y=8 (); Notâd cu y măsur ughiului vem 9 y = (); ce mi mre frcţie deci cel mi mre osibil şi bc cel 8 y bc bc mi mic osibil (); r rim deci 9 (); bc cel mi mic multilu de 9, deci 6 (); bc = (); 9 y = de 4 8 y 4 ude obţiem y=6 (); ) Dese (); m(aod)+m(cod)=7 (); m(mod)+m(nod)=5 deci costtă (u deide de ) (); b) (OD bisectore m(aod)=m(cod) (); ri scădere di 8 obţiem cocluzi (); c) sut 6 ughiuri î jurul uctului O Dcă di ceste îlăturăm AOB şi BOC cre u îmreuă 9 rămâ 4 ughiuri cre u sum de 7 cel uţi uul ditre ele re măsur mi mre decât 7/4=67 ` deci mi mre şi de 65 (); Cls VII- I ) < 4 ecuţi u re soluţii (); > + = + = = < (); 4

6 b) y = + y = + y+ + 7 II ) = + = + > (); (); ( 7) ( y 5) 6 (, y) {(,9 ),( 5,8 ),(,7 )(, 9,6) } = > + + = ();, = > (); b) = (); = 8 = 7 8 (); Deci = 8 < (); III Figur (); Costrucţi jutătore GH // BC, G AB, H AC (); Costrucţi jutătore GI // AC, I PQ (); ( ) ΔMGI Δ MHQ ULU (); MQ = MI < MP (); Emee și cocursuri Cls VIII- m 7 (); m + 7 = m 7 (); m + + m 8+ 6 = (); ( m+ 5) + ( 9) = (); [ m, ] = [ 5, 9 ] (); ) y = (); y = (); b= b = b) ( ) + ( b) = (); (); I = su = su = (,5); =± = b= II =± su =± su = (,5); = NC ) AN ' = (); b) Costrucţi erediculrei cu teorem celor trei erediculre (); Clculul distţei (); c) Determire dretei de itersecţie lelor (); Costrucţi erediculrei (); Clculul distţei (); Cls IX- : ΔABC echilterl =b=c Atuci GA + b GB + c GC = ( GA + GB + GC ) = (); deorece GA + GB + GC = (); Dcă I este cetrul cercului îscris tuci oricre r fi M u uct di lul triughiului vem relţi MI = ( MA + b MB + c MC) (); Petru M=G obţiem GI = ( GA + b GB + c GC ) (); şi ştiid că + b+ c + b+ c GA + bgb + cgc = rezultă că GI = (); Deci G=I, dică triughiul este echilterl (); 8 Alicăm succesiv idetitte lui Hermite : [ ] + + = [ ] (); etru umerele,,,, şi obţiem: [ ] = [ ] ; [ ] + + = ; + + = (); + + = Sumâd membru cu membru idetităţile de mi sus obţiem relţi 8 9 [ ] = (); cre coduce l idetitte di euţ y+ z + z y+ z yz (); + y + + (); 8 y y y y y (); Deci = şi y = (); Triletele cre verifică relţi dtă sut,, z, ude z> este rbitrr (); CLASA X- I ) z z = z z = z+ z z + z (); etru z = rezultă z = şi reciroc (); etru z, z + (); reducere l bsurd z, z > cotrdicţie (); z z b) ţiâd cot de ) legem de e z = şi rezolvăm ecuţi + z = z log ( + ) < log (5 ) log (5 ) A = log 5( + ) şi A B A B A A B = log (5 ) + = 5 şi 5 = (); + 5 = 5 + > 5 + > A (); > log ( + ) (); (); b II Presuuem că b Atuci: 5 (); Fie 5 5

7 MATE ++ b 5 > + > + > (); Alog, obţiem log 8(5 + ) log 8(5 + ) > log 5(8 ), de ude rezultă <, 5 5 cotrdicţie (); Deci, < b III y, > + y+ y = (); y y 9 9 y 9 y 9 9 y 9 y = 7 (); + y + y y y = 7 (); Deci, = = 7 (); + y + y Eglitte re loc etru 9 = 9 y y = 9 = y = (); Cls XI- + Mootoi şirului (); lim = (); lim = (); lim = (); lim = () b c " " ();" " ; det X + X I ; + = det(x- α I )= su det( X αi ) = ude αα, C \ R rǎdǎciile triomu- lui + b + c () det( X α I ) = det( X αi ) = (); α, α rǎdǎciile oliomului crcteristic l mtricii X (); Relţiile lui Viete etru oliomul crcteristic (); Filizre () ) rezolvre ceriţei();b) licre lemei Cesro Stolz();utilizre rezulttului de l uctul ();clculul limitei() Cls XII- ) rte stbilă (); socitivitte (); elemet eutru (); elemet simetrizbil (); b) Comuere cu l dret î mbii membri i rimei relții și deducere relției b = e(); Comuere cu b l dret î mbii membri i celei de dou relție și deducere relției b = e(); Filizre (); cos Itegrre ri ărți folosid că si = (); Adure lui I î form iițilă cu form obțiută mi sus (); Filizre (); ) Îlocuire lui cu 8 F F 8 F F 8 derivbilă cu (); Obțiere relției ( ( ) ( )) = (); ( ) ( ) derivt rezultă că este costtă (eglă cu c) (); F ( ) F( 8 ) costt, deci c > (); b) Di relțiile de l ) rezultă că 8 m e = 9 () f ( ) 9 = (); l F( ) ( ) c F u se uleză și fiid cotiuă rezultă că re sem 9 = + α, R c ISSUES α (); f ( ) m e =, cu Grde IV ) Discover the vlue of i the eressio: [ + ( )] : = b) 8 ( 5) 7 [ ( )]=6 + 9 )Put rtheses so tht to get m = m = 5 : ; = 5 + b) The sum of four turl umbers is 64The secod umber is 4 more th the first oe, two times less th the third oe d three times less th the fourth oe Fid the umbers ) I yrd there re, i equl umber, geese, horses, he turkeys d hes Together, they sum u 4 feet How my hes re there? b) Mother bought for her childre cs, muffler d two blouses, yig o the whole 954 leikowig tht muffler is 8 lei more eesive th c d blouse costs s much s muffler d cs together, fid the rice of ech item Grde V Techer Vsile Ţifui ws bor i 9b, where d b re cosecutive figures cifre d b is umber with oly two divisors If he lived 74 yers, fid the yer whe he left us Ştef Ţifui, Griţieş Nemţ Cosider = d b is the gretest umber which divided by 8 results i the quotiet is equl with the remider ) Clculte b; b) Write the umber ( b) 8 s sum of 9 cosecutive turl umbers Vsile Ţăruş, Pitr Nemţ Fid the turl umbers bcd i bse te umber system so tht the followig equlity be true: bcd 4( b) = Mth Gzette 6

8 Grde VI y ) Fid the rime umbers, b, c so tht +b+6c= b) Fid, y N so tht ( ) y y y ( ) = 57 Emee și cocursuri Clculte the vlue of gle kowig tht the rte betwee its comlemet d sulemet is equl with the lest frctio, where is rime umber tht divides bc,by,, b, c,which re digits i te bse system bc Be the gle < AOB, with m(< AOB)=, with <9 ; < BOC is djcet d comlemetry with < AOB; < COD is djcet d sulemetry with <BOC Cosider (OM d (ON bisectors of the gle < DOC, resectively < AOD d Prove tht m(< MON) does ot deed o the vlue of e If (OD is the bisector of < MON, demostrte tht (OB is the bisector of < AOC f Prove tht t lest oe of the gles formed roud oit O mesures more th 65 Problems selected by: rof George Timişescu rof Ciri Neţ Grde VII I ) Prove tht b) Fid + = 4 does ot hve solutios i R y y, N so + = + + y + II There re the rtiol umbers,,, 8 so tht: =, =, =,, 8 = Prove tht: ),,, 8 > ; b) < III Be < Oy, cute gle, the oits BC, ( Oy, A ( O OM AB { P} { } 7, D is the midoit of [ BC ] d M oit o [ ] AD If = d OM AC = Q demostrte tht MP> MQ rof Io Dicou Grde VIII Be m, Fid the itervl [ m, ] which cotis t lest eight whole umbers,where m d verify the eressio: = rof Ac Rfilă m m m * ) Be, so tht y, ( y) Fid the vlue of y b) Fid the field: M = { ( + )( ) = b,, b [ 5;9] } rof Io Dicou ABCDA B C D N Q [ C' C] Be the cube the rojectio of the oit B o A C d ' ' ' ', NC ) Fid the vlue of ; A' N b) Fid the distce from oit A to the lie B Q; c) Fid the distce from oit B to the itersectio lie betwee the les ( ' ) so tht CQ ' = CQ AB Q d ( ABC ) rof Teodor Nechifor Grde IX I trigle ABC,G is the mss ceter Prove tht: GA + bgb + cgc = ΔABCis equilterl, where =BC, b=ac d c=ab rof Vsile Ţifui, GM r 8/979 Prove tht for y R the followig eresio is true [ ] = Prof dr Adri Sdovici, Colegiul Nţiol Petru Rreş, Pitr Nemţ + z Fid R d y>, z> so tht: + y + yz + = 8 I Sft, Piteşti, GM/8 Grde X I Be d two comle umbers with the roerty z + z = z z z z ) Demostrte tht t lest oe of the umbers hs its module equl or less th b) Give emles of comle umbers z z for which z + z = z z b b II The umbers b, Rverify simulteously the iequlities : log ( + ) < log (5 ) d log (5 + ) > log (8 )

9 MATE ++ Comre with b III Clculte i R = R R the followig equtio: y y = 8 + y + Grde XI Let the series ( ) ℵ cu ( + )( + ) =, where, (, ) Clculte lim Let,b,c R, b < 4c şi X M ( R ) Prove tht O = X + bx + ci det( X + bx + ci ) = y Clculte: ) lim b) lim log + + Grde XII ) For y turl rime umber we otte Z the field of the clsses of remidersof itegers modulo O the field Z Z is defied the oertio: (, y ) (, y ) (, y y ) Z Z is grou = + Prove tht (, ) rof Vsile Țifui b) Let ( G, ) be grou d b, G so tht: b = b, b = b Prove tht = b= e, where ) e is the euter elemet of the grou ( G, rof Adri Sdovici Determie recurret reltio for: I = cos si d, N *** Let f : R R be cotiuous fuctio d let F : R R rimitive of it so tht f ( ) F( 8 ) = 9, for y R ) Prove tht F ( ) F( 8 ) = c for y R, whe c is strictly ositive costt; b) Determie ll the fuctios tht stisfy the coditio give rof Adri Sdovici Mrkig schemes Grde IV I ) oits; b) 4 oits ) [ + ( )] : = (,6); [ + ( )] = = (,6); ( ) = = 9 (,6); = 9 : = 9 (,6); = 9 + = 9 (,6); b) 8 ( 5) 7 = (); = (); 9 = (,5); 9 = 6 (,5); = 6 : 9 (,5); = 4 (,5); II ) m = (5 : ) = 9 (); = (5 + ) = 9 (); the st umber the d umber 4 the rd umber 8 64 (,5); the 4th umber 64 4 = 4 (7 times the first umber) (); 4 : 7 = (st umber) (); + 4 = 4 (d umber) (,5); +8 = 48 (rd umber) (,5); + = 7 (4th umber) (,5); III ) I = umber of geese, horses, he turkeys or hes =4 (,5); = 4 (,5); = 4 : (,5); = 4 hes (,5); II or through the grhic method: umber of geese s feet Number of horses feet Number of he turkeys feet 4 feet Number of hes feet umber of geese s feet= 4: = 8; Number of horses feet= 4: 4 = 6; Number of he turkeys feet = 4: = 8; Number of hes feet = 4: = 8 Toic IV Price of muffler = f; rice of c = c;rice of blouse = b (,5); f = 8 lei + c (); b = f + c (,5); b = 8 lei + c (,5); c + f + (8 + c) = c + f c = 954 (,5); c + (8 + c) c = 954 (,5); c = 9 : = 9 (,5); f = 8 (,5); b= 88 (,5); Grde V b my be,,, 4,, 89 (); b is 4 (); Yer of birth: 94 (); Fil 8 (); 8 9 = = 4 9 (); b : 8 = 7 rest 7 (); b = (,5); b = 7 9 (,5); b 9 (); (); = = ( ) + + ( ) + + ( + ) + + ( ) 8

10 + = (); cd 4b( b ) b cd 4b = 5 (); b = 5 şi c = d = (); The umber is 5 (); Emee și cocursuri Grde VI ) b, 6c d re divisible by so (rime umber) is divisible by = (); We get b+6c= 5b+9c=55; 5b d 55 re divisible by 5 9c divisible by 5 (c rime umber) c=5 (); We get 5b+45=55 b= (); b) 57 is odd umber so oe of the terms of the sum is eve d the other oe is odd (); if the first term is odd the: y= + =57 =8 (); If the secod term is odd, the: = y +=57 y=8 (); Nottig y the mesure of the gle, we get 9 y = 8 y bc (); bc the gretest frctio so is the gretest ossible d bc the lest ossible (); rime umber so it is 9 (); bc the lest multile of 9, which is 6 (); bc = 4 (); 9 y = d we get y=6 (); 8 y 4 ) Figure (); m(aod)+m(cod)=7 (); m(mod)+m(nod)=5 so it is costt (it does ot deed o ) (); b) (OD bisector m(aod)=m(cod) (); subtrctig from 8 we get the coclusio (); c) there re 6 gles roud oit O If we remove AOB d BOC which sum u 9, the, it will remi 4 gles tht sum u 7 t lest oe of them mesures more th 7/4=67 ` so it is greter th 65 (); Grde VII I ) < 4 the equtio does ot hve solutios (); > 4 + = 4 + = 4 = 4< (); b) y = + y = + y+ + 7 II ) = + = + > (); (); ( 7) ( y 5) 6 (, y) {(,9 ),( 5,8 ),(,7 ),( 9,6) } = > + + = ();, = > (); b) = (); = 8 = 7 8 (); So = < (); 8 8 IV Figure (); Suortig figure GH // BC, G AB, H AC (); Suortig figure GI // AC, I PQ (); ( ) ΔMGI Δ MHQ ULU (); MQ= MI < MP (); Grde VIII m 7 (); m + 7 = m 7 (); m + + m 8+ 6 = (); ( m+ 5) + ( 9) = (); [ m, ] = [ 5, 9 ] (); ) y= (); y = (); b = b = b) ( ) + ( b) = (); (); I = or = or = (,5); =± = b = II = ± or = ± or = (,5); = NC ) AN ' = (); b) Costructig the erediculr ccordig to the Theorem of the erediculrs (); Clcultig the distce (); c) Determiig the itersectio lie of the les (); Costructig the erediculr (); Clcultig the distce (); Grde IX : ΔABC is equilterl =b=c So GA + b GB + c GC = ( GA + GB + GC ) = (); becuse GA + GB + GC = (); If I is the cetre of the circle withi the trigle the, y oit M o the le of the trigle, verifies: MI = ( MA+ b MB+ c MC ) (); If M=G we get GI = ( GA + b GB + c GC) (); d kowig tht + b+ c + b+ c GA + bgb + cgc = the GI = (); So G=I, which mes tht the trigle is equilterl (); We ly successively Hermite s idetity : [ ] + + = [ ] (); for umbers 8,,,, d we get : 9

11 MATE = ; + + = (); + + = 8 9 If we sum u the bove idetities, we get the eressio: [ ] = (); which leds to the idetity give y+ z + z y+ z yz (); + y + + (); 8 [ ] + + = [ ] ; [ ] y y y y y (); So = şi y = (); The trilet tht verifies the give eressio,, z, i which z> is rbitrry (); GRADE X I ) z z = z z = z+ z z + z (); for z = the z = d recirocl (); for z, z + (); reducig to bsurd z, z > cotrdictio (); z z b) tkig ito ccout ) we choose for istce z = d we resolve the equtio + z = z (); b II Suosig tht b the: log ( + ) < log (5 ) log (5 ) (); Be 5 A = log ( + ) d B = log (5 ) + = 5 A B A B A A d 5 = (); + 5 = 5 + > 5 + > A (); > log ( + ) (); b 5 > + > + > (); Alogously, we get log 8(5 + ) log 8(5 + ) > log 5(8 ), resultig tht <, 5 5 cotrdictio ();So, < b III y, > + y+ y = (); y y 8 8 = 7 (); + y + y y 9 y 9 9 y 9 y = 7 (); So, y y The equlity is true for 9 = 9 = 9 = y = (); y y = = 7 (); + y + y Cls IX- Dcă,, tuci bc> OLIMPIADA DE MATEMATICĂ et loclă 4 IANUARIE 9 + b b+ c c b b + c c + b c Să se rezolve î R ecuţi [ + 5] =, ude [ ] Arătţi că şirul ( ) este rte îtregă umărului Vsile Trciiu, Odobeşti, Vrce, GM 9/7 este o rogresie ritmetică de rţie r dcă şi umi dcă: * =, oricre r fi ℵ 4 Î triughiul ABC fie îălţime CD, D ( AB), medi AM, M ( BC) BD BD Dcă + =, rătţi că dretele CD, AM şi BE sut cocurete BA BC Cls X- Arătţi că: ) + < <, b) = 88 ) Rezolvţi ecuţi + 7+ =, [ ] rerezită rte îtregă şi bisectore BE E ( AC),

12 Emee și cocursuri y+ z + z + y b) Să se rte că log ( ) + log y( ) + log z( ),, yz, > 9 c) Să se rte că, dcă,b,c>; bc= tuci 5lg+ + 5lgb+ + 5lgc+ < rof Roșu Ele Dcă Rz, C, Nşi z+ = cos, clculţi z z + z 4 Fie z, z, z C, stfel îcât z = 6, z = 8, z = şi z + z + z = Să se rte că 64z + 6z = Cls XI- Fie >, R stfel îcât Cosiderăm şirul ( ) defiit ri: + = +, ℵ Demostrţi că ( ) este coverget şi că lim = { Să se determie mulţime A= R lim ( ) }, ir etru = să se clculeze l= ( + ) + + * Fie A, B M ( R) cu roriette că N stfel îcât ( AB BA) = I Să se demostreze că: ) 4 ( AB BA) = I b) este r lim b c 4 Fie A= c b,, b, c R, + b + c = Arătţi că det( A) b c Cls XII- e ) Să se clculeze d ; >; b) Să se stbilescă o relţie de recureţă etru I 4 = ; + + d ℵ * ; R ( e + ) Să se determie tote fucţiile f : R R cre dmit rimitive şi cu roriette că eistă o rimitivă F: R Rstfel icât: F() = ( f ( ) ), R ) Determiţi gruul (G, ) ştiid că fucţi f: (, ) G f()= relizeză u izomorfism ître gruurile ( R + (G, ); b) Î gruul (G, ) clculţi; cu ℵ, ; Fie (G, ) gru si G Dcă = G, să se rte c gruul este comuttiv MODEL DE SUBIECT etru dmitere î cls V- rof Ele Roşu Efectuţi: ) + { : [8 ( : 7 : )]} : b) : ) Se dă eerciţiul 5 4 : + 8 Aşezți coresuzător rtezele etru obţie rezulttul zero b) Aflţi termeul ecuoscut,, di eglitte: { [6 (4 + 4 : 4)]} = Îtr-o zi băieţi și 6 fete di cls IV- u cules 5 kg cireşe A dou zi, 4 de băieţi și fete u cules 5 kg cireşe Câte kilogrme de cireşe culege, î medie, o ftă e zi și câte u băit? PROBA SCRISĂ etru dmitere î cls V- 4 mi 8 Subiecte: () Clculți ( + y) :( + ), știid că 4 + ( 6 + ) : = și ( y ) *, + ) si rof Sergiu Nistor = 6 () Di 8 se scde u umăr și se obție trilul umărului scăzut Găsiți umărul () Două ersoe u fiecre câte 54 lei Prim ersoă cheltuiește 6 lei e zi, ir dou ersoă cheltuiește 9 lei e zi Duă câte zile sum e cre o re rim ersoă este dublul sumei e cre o re dou ersoă? Breme: + ( + ) = ( ) = (); ( y ) 9 4 y = y+ = 4, + = 4 ( y+ : ) ( + ) = 6() 6 : 5 (); 6 + := (); 6+ = 9 (); y = (); (); (); 8 = (); 8 = 4 (); = 5 () ( ) 45 9 = 7 (); y 9 = 8 ();

13 MATE ++ = (); 54 5 = 8 8 (5); 54 = (); = 45 (5) 54 6 ( 54 9 ) MODELE DE TEZĂ CU SUBIECT UNIC LA DISCIPLINA MATEMATICĂ Cls VII-, semestrul II rof Sergiu Nistor SUBIECTUL I (5 ucte) Pe foi de teză se trec umi rezulttele 4 ) Rezulttul clculului ( + ): este 4 b) Soluţi ecuţiei ( + ) = + ( + ) este 4 c) Se dă ecuţi ( m 8) + 6= 9, m R, RVlore lui m etru cre ecuţi u re soluţii este 4 ) Dcă + y = + 5 şi z+ w= 5+, tuci w+ yw+ z+ yz = 4 * b) Dcă R stfel îcât + = 8 tuci + = 4 c) Dcă R, tuci ce mi mică vlore umărului + + este 4 ) Deseţi u trez isoscel ABCD 5 b) Dcă triughiul dretughic ABC re ctetele AB = 5cm şi AC = cm tuci lugime îălţimii di A este eglă cu 5 c) O ctetă uui triughi dretughic isoscel este de lugime 8 cm Îălţime dusă di ughiul dret re lugime 4 4 ) Fie rombul ABCD Dcă AC = 8cm, BD = 6cm, tuci AB = cm 4 b) Fie dretughiul ABCD î cre AB = 6 cm, cos( BAC) =,8 Distţ de l B l AC este decm 4 c) Dcă lturile uui triughi u lugimile de cm, 6cm şi cm, tuci triughiul este SUBIECTUL II (4 ucte) Pe foi de teză se trec rezolvările comlete 5 ) Aflţi umerele rele şi y dcă 4 + y + 4 6y+ = 5 b) Demostrţi idetitte 5 c) Dcă, yz, Z şi + y+ z =, demostrţi că + y + z yz = ( + y+ z)( + y + z y z yz),, yz, R + y + z se divide cu 5 + y ) Dcă >, y > demostrţi că y C 5 b b) Determiţi >, b > stfel îcât b = 4 b b 5 Î figur lăturtă ABC este triughi dretughic AD BC, D ( BC), ir AB = 4 cm CD Ştiid că = se cere: AD 4 5 AB BD ) Să se rte că AC = DC A 5 b) Să se clculeze si( ABC) Tote subiectele sut obligtorii Timul efectiv de lucru este de ore Se cordă ucte di oficiu Cls VIII-, semestrul II rof Ciri Neţ SUBIECTUL I Pe foi de teză se trec umi rezulttele (5 ucte) 4 ) Soluţi ecuţiei (+)+5=7 este = 4 b) Soluţi ecuţiei (+):= este = 4 c) Vlore umărului etru cre ecuţi (+)+= re soluţi =4 este Fie fucţi f:r R, f()= +7 4 ) Vlore fucţiei etru = este 4 b) Rezulttul clculului f( ) f( ) este 4 c) Dcă uctul A este itersecţi grficului fucţiei cu O, tuci sum coordotelor cestui este Truchiul de irmidă trulteră regultă ABCDA B C D re AB = 8 cm, A B =4 cm şi AA =6cm 4 ) Lugime îălţimii truchiului este cm 4 b) Sum tuturor muchiilor truchiului este cm 4 c) Lugime segmetului AV, ude V este itersecţi muchiilor lterle, este = cm 4 Prleliiedul dretughic ABCDA B C D re AB=4 cm, AD=6 cm şi AA =8 cm 4 ) Ari totlă rleliiedului este 4 b) Volumul rleliiedului este 4 c) Lugime digolei rleliiedului este D B

14 Emee și cocursuri Subiectul II Pe foi de teză se trec rezolvările comlete (4 ucte) Fie fucţi f:r R, f()=+( ), ude este u rmetru rel 5 ) Determiţi R, etru cre uctul A(,) se flă e rerezetre grfică fucţiei 5 b) Petru =, rerezetţi grfic fucţi îtr-u sistem de e erediculre Oy 5 c) Clculţi rortul ditre riile triughiurilor ΔABC şi ΔCOD, ude B este roiecţi uctului A e Oy ir D şi C sut itersecţiile grficului fucţiei f cu ele O şi resectiv Oy Ditre cei 5 de elevi di cls VIII- di Colegiul Nţiol de Iformtică u rticit l tez cu subiect uic, discili mtemtică di semestrul II dor 4 de elevi, uul fiid bolv Medi ritmetic otelor obţiute de către cei 4 de elevi fost 8,5 Ce otă lut l teză, î sesiue secilă, cel de-l 5-le elev ştiid că medi ritmetică otelor tuturor cei 5 de elevi fost 8,9 Pirmid triughiulră regultă ABCD re ltur bzei ABC, AB=8 cm şi muchi lterlă de 6 cm 5 ) Relizţi u dese coresuzător iotezei, e cre îl comletţi cu otem DM, M (BC) 5 b) Determiţi volumul irmidei 5 c) Clculţi tget ughiului formt de AM cu lul (DAC) Tote subiectele sut obligtorii Timul efectiv de lucru este de ore Se cordă ucte di oficiu Subiectul I () 5 Să se clculeze + i Model de subiect etru emeul de bcluret M ( ) 6 5 Să se rezolve ecuţi z 8i = 5 7 Să se rezolve ecuţi = lg 4 Petru ce vlori le lui, l treile terme l dezvoltării + 7 este 6? 5 5 Se du uctele A(,), B(5,7) şi C(,8) Scrieţi ecuţi îălţimii di A î triughiul ABC 5 6 Să se clculeze cos cos 4 cos 5 Subiectul II () α + y+ z = Se cosideră sistemul + αy+ z =, α R + y+ α z = 5 ) Petru ce vlori le lui α sistemul re soluţie uică? 5 b) Să se discute soluţiile sistemului î fucţie de vlorile rmetrului α R 5 c) Petru α = să se rezolve sistemul ˆ ˆ 4ˆ Se cosideră mtrice A = ˆ ˆ ˆ M( Z8) 6ˆ 4ˆ 5ˆ 5 ) Să se clculeze det A 5 b) Să se rte că A este iversbilă şi să se clculeze A 5 ˆ+ y+ 4ˆz = ˆ c) Să se rezolve î Z 8 sistemul ˆ+ ˆy+ z = 4ˆ 6ˆ+ 4ˆy+ 5ˆ = ˆ Subiectul III () Se cosideră fucţi f : R R, f( ) = ( + m) e, m R 5 ) Clculţi f '( ) 5 b) Arătţi că m R fucţi f dmite două ucte de etrem şi dou ucte de ifleiue 5 c) Clculţi ( ) ( ) f, N Se cosideră fucţi f : R R, f( ) ( ) + l,, < + = + 9 rof Lurețiu Borce

15 MATE ) Să se clculeze f ( d ) b) Să se clculeze lim d c) Să se determie uctele de etrem le fucţiei cos F : D R, F( ) = + t d t si Model de subiect etru emeul de bcluret M rof Ele Roşu SUBIECTUL I () (5) Să se rezolve î mulţime umerelor comlee ecuţi = (5) Să se determie cel mi mic umăr rel, etru cre fucţi f : R R, f()= 4 + este strict crescătore e itervlul [,+ ) (5) Dcă 7 =, 4 5, să se clculeze 9 π π 4 (5) Să se recizeze cre di umerele următore este mi mre: cos su si (5) Să se fle lugime îălţimii di A î triughiul ABC cu vârfurile A(, ), B(, ), C(, ) 6 (5) Să se clculeze AB ( AC+ BC), știid că A(, ), B(, ) și C(,) SUBIECTUL II () Se cosideră mtricele K =, L = și mulţime U = ( ) { X M / X = X} ) (5) Să se verifice că, b,, mtricele și sut di mulţime U b b b) (5) Să se rte că, dcă mtrice A = U, tuci + d {,, } c d c) (5) Să se scrie L c o sumă fiită de mtrice di mulţime U și să se rte că mtrice K u se ote scrie c o sumă fiită de mtrice di mulţime U Se cosideră oliomul f ( X i) ( X i) = + + vâd form lgebrică ) (5) Să se clculeze f() b) (5) Să se rte că oliomul f re toţi coeficieţii umere rele c) (5) Să se rte că dcă z este o rădăciă lui f, tuci z + i = z i SUBIECTUL III () 5 Se cosideră fucţi f :(, + ), f ( ) = şi şirurile ( ) ( ) * ) (5) Să se rte că < f ( k + ) f ( k) <, k ( ) 5 4 k+ b b) (5) Să se rte că şirul ( ) c) (5) Să se clculeze lim k este coverget 5 5 I, I = d și I + ) (5) Să se clculeze I și I * b) (5) Să se rte că I + I = +, + c) (5) Să se clculeze lim I Se cosideră şirul ( ) defiit ri 4 f = X + X + + X + 9 9, b,, = b = f ( ),, = d + *, 4

16 Emee și cocursuri Cocursul Memoril de Mtemtică Costti Sătru Ediţi LXII-, Chișiău 9 Î eriod 6 februrie- mrtie 9 s- delst l Chişiău u lot de 4 de elevi i Colegiului Nţiol de Iformtică Pitr-Nemţ, îsoţit de rofesori de secilitte di colegiu, etru rtici l cocursul de mtemtică Memoril Costti Sătru ediţi LXII-, orgizt de Direcţi Geerlă de Educţie,Tieret şi Sort şi Primări muiciiului Chişiău Cocursul s- desfăşurt e 8 februrie şi s- bucurt de o lrgă rticire di râdul elevilor di Chişiău Rezulttele obţiute de elevii colegiului ostru u fost: Stoliceu Pul cls IX- A, remiul III; Cucuruz Io cls IX- A, remiul III; Nemţu Io cls IX- B, remiul III; Dscălu Rudr Georgi cls IX- E, meţiue; Jbc Ro cls IX- E, meţiue; Lzăr Drgoş cls IX- E, meţiue; Sfermş Adrd cls IX- F, mețiue; Ilisei Adree cls X- C, meţiue; Poescu Drgoş cls XI-, meţiue; Creţu Georget cls XI- D, meţiue; Brăduleţ O cls A XII- A, meţiue; Ugureu Adrd cls XII- meţiue Prim etă Cocursului Memoril de Mtemtică Costti Sătru şi- desfăşurt ctivităţile î zilele de 4-5 iurie treîd de elevi i clselor V- IX- di Chişiău Dom Tmr Curtescu, isector școlr î cdrul Direcției Geerle de Educție, Tieret și Sort di Chișiău, vut mbilitte de e furiz subiectele de l cele două ete le cocursului și ccetul de le oulriz î revist ostră et I- 4-5 iurie 9 Cls V- Clculeză sum: Determiă umărul de form y, dcă y + y = 4 Fie =, demostreză că 9 += ori ori 4 Află umărul turl, ştiid că, dcă-l îmărţim l obţiem câtul c şi restul 6, ir dcă-l îmărţim l 6 obţiem u cât de două ori mi mre c recedetul cât şi u rest cu mi mic decât restul recedet Cls VI- Se cosideră umărul îtreg = Află di roorţi: 9 = 5 4 Trei umere turle îmulţite resectiv cu 5, cu 7 şi cu 9 du celşi rezultt Idetifică cre sut cele trei umere dcă rodusul lor este 798 Determiă ce mi mică şi ce mi mre frcţie de form y cre se simlifică cu 45 4b 4 Di cele două clse VI- le uei şcoli rticiă l olimid de mtemtică elevi stfel:, ( )% di totlul elevilor clsei VI- A şi % di totlul elevilor clsei VI- B Află umărul totl de elevi di clsele VI- le şcolii dte, dcă cest umăr u deăşeşte 7 Cls VII- Ccitte totlă trei vse este eglă cu l Dcă rimul vs se umle cu ă şi se toră î celellte tuci su vsul l treile se v umle şi l doile vs se v coeri e jumătte su l doile se v umle şi l treile vs se v coeri î mărime de di volumul său Determiă ccitte fiecărui vs U ătrt fost tăit î 5 de ătrăţele, ditre cre umi uu re ltur de lugime diferită de (fiecre di celellte re ltur cu lugime ) Idetifică ri ătrtului iiţil Fie E ( ) = y + 6+ z z+ 6 Determiă vlorile rele le vribilelor, y, z ştiid că Eyz (,, ) 4 U umăr de form +, N *, 4re cifr uităţilor 4 Află eultim cifră uui stfel de umăr Cls VIII- Rezolvă î N ecuţi: (+)(y+) =y Determiă vlorile lui ( Z) etru cre eresi: E= este u umăr îtreg Pri vârful A l rlelogrmului ABCD este costruită o sectă cre itersecteză digol BD î uctul N, ltur DC î 5

17 MATE ++ uctul M şi relugire lturii BC î uctul P Demostreză că AN = NP NM 4 Află umerele rele, b, c stfel îcât b= c şi b c = 9 Cls IX- Clculeză 7 7 Descomue oliomul P( X) ( X )( X )( X 5)( X 7) 5 Demostreză că dcă y, şi + y + 4y+ 46=, tuci + y [ ] = î fctori ireductibili, 4 U cerc cu rz de cm este tget l două lturi cosecutive le ătrtului cu ltur de 8cm Află lugime segmetelor î cre cercul îmrte fiecre di cele două lturi rămse L ce de- dou etă Cocursului Memoril de Mtemtică Costti Sătru u rticit 575 de elevi i clselor V- XII- di Chişiău şi 5 de elevi de l Colegiul Nţiol de Iformtică di Pitr-Nemţ, Româi Lotul de elevi emţei rticiă l cocurs l doile cosecutiv şi fost îsoţit de dom Ele-Geovev Irimi, director l CNI şi u gru de rofesori de l Colegiu Cls V- et II- - februrie 9 Trseul uei ecursii fost rcurs î tru ete î felul următor: î rim etă 7 di îtregul drum, î et dou 4 di cee ce răms de rcurs, î et trei di oul rest l drumului, ir î ultim etă km Determiă ce lugime ve îtregul trseu Sum ditre trilul uui umăr şi dublul ltui umăr îmărţită l dă câtul şi restul, ir câtul ditre trilul rimului umăr şi dublul celuillt este egl cu 4 Află umerele 5 Idetifică elemetele mulţimilor A, B şi C cre verifică simult următorele codiţii: A B C = {,,, 4,5}, ( A B) C = { 4}, A \ C = {, }, A\B={, }, { 5} ( A B ) = Ø 4 U ttă re trei fii Vârst ttălui este cu u mi mre decât trilul vârstei fiului mi mre, ir difereţ ditre vârst fiului l doile şi vârst meziului este u Fiul mi mre re tâţi i câţi u ceillţi doi frţi îmreuă Ştiid că este 7 i ttăl v ve vârst eglă cu sum vârstelor fiilor săi, recizeză câţi i re ttăl şi cre sut vârstele fiilor săi Cls VI- Ttăl re cu 5 i mi uţi decât mm şi fiul l u loc Peste 7 i fiul v ve trei rte di vârst mmei şi toţi trei vor ve îmreuă 8 i Ce vârstă re fiecre cum? U umăr de tru cifre re rimele două cifre idetice, ir cifr uităţilor 5 Acest umăr se îmrte l u umăr de două cifre şi se obţie restul 98 Află deîmărţitul, îmărţitorul şi câtul Determiă umărul bc ştiid că : bc = bc 4 Idetifică umărul meselor şi ersoelor ditr-o îcăere ştiid că dcă şezăm câte două ersoe l msă rămâ î iciore u rocet de %, ir dcă şezăm câte trei ersoe l msă v rămâe o msă cu dor două ersoe şi îcă u rocet de 4,(8574)% mese libere Cls VII- Oricre două ătrte vecie de e tbl de şh (lb-egru) de mărime sut colorte î felul următor: cele egre î culore verde, cele verzi î culore lbă, ir cele lbe î egru Precizeză, cre este umărul miim de stfel de oerţii etru obţie tbl de şh ousă celei iiţile (egru-lb)? Demostreză că ( ) = Î triughiul ABC vem: m( B)=5º, m( C)=º, D (BC), E (BC) stfel îcât [DB] [DC] şi BAE CAE Află măsur ughiului DAE 4 Fie, y, z umere rele Artă că: ) +y +z y+z+yz; b) dcă +y+z =, tuci +y +z Cls VIII- Determiă umerele rele şi b ştiid că: ( ) + b( b) Idetifică fucţi f : R R, dcă f ()- f( ) + ( - )f( ) = + 5 Î triughiul scuţitughic ABC se i uctul M e îălţime di B și N e îălţime di C, stfel îcât m( AMC)=m( ANB)= 9 o Artă că AMN este isoscel 6

18 Emee și cocursuri 4 Fie, y, z Q *, stfel îcât + + = y z Demostreză că rodusul ( y +) (y z +) ( z +) este ătrtul uui y z umăr rţiol Cls IX- Să se determie oliomul PX ( ) de grdul trei dcă PX ( ) îmărţit l X X dă restul X X dă restul X +, ir PX ( ) îmărţit l Să se rezolve î ecuţi: ( + 4) + ( 5+ ) = ( ) Î rlelogrmul ABCD, AB=BD U cerc circumscris Δ ABD itersecteză digol AC î E De determit lturile rlelogrmului, dcă AE=65cm, EC=6cm 4Fucţi f : stisfce codiţi f( ) + f( ) = oricre r fi Să se determie vlore miimă şi mimă fucţiei e segmetul [ 5, ] Cls X- + + Determiă vlorile rmetrului rel, etru cre ecuţi + = dmite soluţii umere îtregi + Demostreză ieglitte log + log log ( + ) > etru orice N, 5 Î triughiul ABC, m( A ) = 6 Determiă măsurile ughiurilor triughiului ABC, dcă Δ ABC = si + si + si si A b A B A B 4 E osibil ore c mulţime umerelor turle de l âă l 9 să se îmrtă î submulţimi disjucte, stfel îcât î fiecre submulţime sum ditre umărul cel mi mre şi umărul cel mi mic să fie eglă cu sum celorllte umere di submulţime? Cls XI- si si si si Să se clculeze sum: S= cos cos cos cos cos cos cos cos ( ) Petru ce vlori le rmetrului rel, ieglitte 8 + este devărtă etru orice [ ;) + k Fie ( ), = k = k Să se rte că lim = şi să se clculeze lim u, > şi (u ), u = ([t] rte îtregă umărului rel t) 4 Lugimile lturilor uui triughi sut egle cu, b, c, ir măsurile ughiurilor ouse lor sut α, βγresectiv, Să se rte α β γ cos cos + cos cos + cos cos că: ( bc α) ( b c β) ( c b γ) Cls XII- 4 Determiă vlorile rmetrului rel m etru cre oliomul ( ) ( ) P X = X + mx + m+ X + m+ re o sigură rădăciă dublă Fie mulţime curbelor di lul Oy, determite de ecuţiile ( ) y = + 5, R ) Demostreză că eistă două ucte fie M şi N ri cre trece fiecre ditre ceste curbe b) Pe dret de ecuţie y =, determiă u uct P, stfel c erimetrul triughiului MNP să fie miim Artă că vlore itegrlei ( + ) + ( ) 9 9 d este u umăr irţiol + AM CP 4 Î irmid SABCD, e lturile bzei, se iu uctele M AB, N BC, P CD, Q AD, stfel îcât = =, BM DP BN DQ = = 4 U l, rlel cu bz irmidei, îmrte muchi SA î rortul : cosiderâd de l vârful irmidei CN AQ Acest l itersecteză SM î uctul M, SN î N, SP î P şi SQ î Q Cosiderâd u uct S l bzei ABCD, flă rortul ditre volumul irmidei şi volumul irmidei dte SMNPQ 7

19 MATE ++ PROBLEME DE LOC GEOMETRIC REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE rof Ștef Gvril Să se fle locul geometric l uctului M, imgie geometrică umărului comle z, cu codiţi c imgiile umerelor comlee i, z şi zi să fie coliire Soluţi : Imgiile umerelor i, z şi iz sut coliire dcă şi umi dcă ( )t stfel îcât iz i = t ( z i) Duă elimire rmetrului t se obţie z + i =, ş că locul geometric este cercul de cetru Q, şi rz Soluţi : Puctele A() i, B ( iy), C ( iz) C ( y i) y = şi obţiem y y y + = + = + sut coliire dcă şi umi dcă Se cosideră două cercuri de cetre şi O O O şi de rze R şi R Fie u uct A situt e rimul cerc şi u uct B situt e l doile cerc stfel îcât OA să fie rlelă cu OB Să se fle locul geometric l uctului C etru cre triughiul ABC este echilterl Soluţie: A relă v fi lesă dret OO, cu origie î O y Fie OO = d > Notăm fiele uctelor A, B, C B cu, b, c = R ( cos α + i si α ) b= d + R ( ) cosα + isi α A Codiţi ecesră şi suficietă c triughiul ABC să fie echilterl este c+ ε + bε = su c+ ε + bε = î fucţie de ori- O O etre triughiului, ude ε = şi ε I Dcă c+ ε + bε = tuci c+ εr( cosα + isiα) + dε + ε R( cosα + isiα) = de ude c+ dε = ε( cosα + isiα)( R+ εr) şi obţiem c+ dε = R + εr Notăm cu E uctul de fi dε şi locul geometric căutt este cercul de cetru E şi rză R + ε R II Dcă c+ ε + bε = tuci c+ ε R( cosα + isiα) + dε + εr( cosα + isiα) = şi obţiem c+ dε = ε cosα + isiα εr + R c + dε = εr + R Notăm cu F uctul de fi dε şi locul geometric este cercul O ( ) ( )( ) cu de cetru F şi rz ε R R + Observăm că EF = d şi εr + R R R = ε + Deci locul geometric este formt di cele două cercuri cre u rzele egle şi distţ cetrelor EF = d Fie A, B, M ucte disticte e cercul C( O,4 R), şi triughiurile echilterle BMN, MAP, l fel oriette c Δ AOM ) Petru M vribil şi A, B fie să se rte că mijlocul Q l segmetului NP rcurge u cerc C( L,R) cu eceţi două ucte b) Cosiderăm A fi şi B vribil, să se rte că L rcurge u cerc C( S,R ) cu eceţi uui uct c) Să se determie locul geometric l lui S câd A este vribil Soluţie: ) Cosiderăm sistemul de e cu origie î cetru O l cercului Notăm fiele uctelor cu litere mici cocos + i si Triughiurile AOM, BMN, MAP le cosideπ π resuzătore şi δ = răm oriette ozitiv Î cestă situţie codiţi ecesră şi suficietă c Δ BMN să fie echilterl este = δm+ ( δ) b Petru MAP = δ + ( δ) m + δ + ( δ) b+ m q = = Numărul c = δ + ( δ ) b este fiul uui uct uic C stfel îcât ΔBAC este echilterl + c+ m Obţiem q = = deci CPMN este rlelogrm şi Q este locul geometric l segmetului [ MC ], cu C fi şi M vribil e cerc m = = b = 4 R c+ m c m q = deci q = 8

20 Preocuări didctice c Notăm = l fiul uctului L, mijlocul segmetului [ OC ] Cu ceste otţii obţiem q l = R, deci Q se găseşte e cercul C( L,R) Dcă M = B tuci B = M = N deci Δ BMN este degeert şi P = C Î cest cz Q = E, mijlocul segme- [ AC deci locul geometric l uctului Q este (, ) \{, } Deci l metric ului Q este C( L, R) \{ E, F } că A fi u δ u δ ( δ) tului ], [ AC] ocul geo l uct b) D şi B vribil eistă uctul U stfel îcât C L R E F Dcă M = A tuci Q = F, mijlocul segmetului = = + şi costtăm că ΔOAU este echilterl cu c U C( O,4 R) c = δ+ ( δ) b,= deci c δ = ( δ) b c u = ( δ) b şi CU = c u = b = 4 R Fie S mijlocul segmetului [ OU ] [ SL ] este liie mijlocie î Δ OUC ş că SL = R şi L C( S, R) Dcă B = A tuci B = A= C deci ΔBAC este degeert şi L = H mijlocul segmetului [ UA ], deci locul geometric l uctului L este C( S,R) { H} c) Δ OAU este echilterl cu ( O,4R) locul geometric l uctului S este C( O, R ) U C şi AU = 4 R Dcă A rcurge cercul, tuci U rcurg e cercul şi OS = R deci 4 Cosiderăm u triughi ABC şi o dretă vribilă, cre trece ri cetrul O l cercului circumscris triughiului ABC Proiectăm vârfurile A, B, C î A, B, C e dret d Perediculrele di A, B, C e lturile ouse sut cocurete îtr-u uct P Să se determie locul geometric l uctului P Soluţie: Luăm origie î cetrul O l cercului circumscris şi determiăm dret d A M m, M m î cre itersecteză cercul ri uctele ( ) ( ) Ecuţi dretei d este z m m z m =, dică m mz mz = cre re coeficietul ughiulr m m comle, deci coeficietul ughiulr comle l erediculrei e d este Peredim m culr di A e d re ecuţi z = m ( z ) mz+ mz m m = m d : mz mz mz = m + m, otăm z = = şi ri dure obţiem A ( A ) m = + m r r = + cu = şi m = deci m m ; A ( ) m Similr se obţie ( b ) m b = b+ ; B c = c+ ; C( c) b c z z Ecuţi dretei BC: b b = ( b c) z+ ( c b) z+ bc cb = r ( c b) z+ bc( c b) z+ r ( b c)( b+ c) =, deci c c bc bc z+ z b c =, cre re coeficietul ughiulr comle şi obţiem coeficietul ughiulr comle l erediculrei bc r r bc Ecuţi erediculrei di A e BC este z = ( z ) r r m bc m bc bc m bc z + = z + z z + + = r r r m Ecuţi erediculrei di B e AC este z c z b c m bc r + b b + r m = b Obţiem: bc bc z z bc m r + + r m = bc b c bz z b c m, r + + r m = d eci bc( b) bc ( b) z ( b)( + b) c( b) + = z b c+ =, otăm z =, deci rm rm + b + c bc =, verifică şi ecuţi erediculrei di C e AB deci cele trei erediculre sut cocurete î P rm + b+ c bc, = + b + c + b + c + b+ c =, r m = 4r r B B C O C A d 9

21 MATE ++ Locul geometric este u cerc cu cetrul î + b+ c E şi de rză r Bibliogrfie E este cetrul cercului celor 9 ucte Dori Adric, Nicole Bişbocă, Numere comlee, Editur Milleium Mri Dică, Mrcel Chirilă, Numere comlee î mtemtică de liceu, Editur All Eductiol 4 Colecţi Gzet Mtemtică Olimidele şi cocursurile de mtemtică IX-XII 4, Editur Birchi 5 Costti Perju, Romeo Perju, Probleme de mtemtică etru dmitere î îvăţămâtul suerior PROBLEME CU PROBLEME rof Ștef Gvril Î bordre l clsă uei robleme vem î vedere dezvoltre l elevi cretivităţii, siritului de observţie, imgiţiei, rigorii î rezolvre şi redctre soluţiei, ccităţii de liză şi geerlizre Se v scote î evideţă frumuseţe uor rezultte etru dezvolt iteresul etru studiul mtemticii Prou sre rezolvre următore roblemă (umită roblem lui Prouhet, rousă î ul 844): Fiid dt u oligo l cu u umăr imr de vârfuri A, A, A, A +, să se costruiscă u lt oligo B, B, B, B + stfel îcât mijlocele lturilor lui să fie vârfurile A, A, A, A + Cerem elevilor să reformuleze roblem: Fiid dt u oligo cu u umăr im r de vârfuri A, A, A, A+, să se rte că eistă + ucte B, B, B, B + stfel îcât A să fie mijlocul segmetului ( B +, B), A să fie mijlocul segmetului ( B, B ),, A + să fie mijlocul segmetului ( B, B + ) Se ot roue şi lte formulări î fucţie de ivelul clsei şi de obiectivele rouse Soluţie Cosiderăm lul comle şi otăm cu,,, +, fiele uctelor C A, A,, A + Fie u uct orecre C de fi z şi determiăm z fiul uctului C A A stfel îcât A să fie mijlocul segmetului ( C, C ) Aoi determiăm z, fiul uctului C stfel îcât A să fie mijlocul segmetului ( C, C ) C şi cotiuăm âă găsim umă rul A + C comle z C + C + fiul uctului C + stfel îcât A + să fie mijlocul segmetului A (C, C + ) z + z z + z z + z+ z + z + + Di relţiile: =, =,, = + obţiem + zk = k şi zk = k, deci k= k= k= k= z + z + z + z+ = k+ k () Notăm c = fiul uctului C, mijlocul segmetului + Puctul C k= k= CC este fi, fiid determit umi de oziţi uctelor A, A,, A + Notăm z ' = fiul uctului G cre este + cetrul de greutte l oligoului A, A,, A + şi lui A,,, A4 A Di relţi () deducem c = ( + ) z' z" c z' = ( z' z" ) GG ' " şi mi mult G' ( G", C) cu CG ' = G ' G" z" = fiul uctului G cetrul de greutte l oligou (), deci uctul C se găseşte e dret Observ ţii: Dcă G' = G" tuci C = G' = G" Î czul î c re oligoul A, A,, A este regult tuci C = G ' = G + " este cetrul cercului circum- oligoului A trgem teţi elevilor sur cestui rezultt iterest şi chir surrizător cre ote fi formult stfel: scris Lemă Se du uctele A, A,, A + Să se rte că oricre r fi u uct C di l etru cre costruim simetricul său C î rort cu A, oi simetricul cestui, C î rort cu A şi ş mi derte âă l C + simetricul uctului C î rort cu A, segmetului + mijlocul C, C + este u uct fi C situt e semidret [ G" G ', ude G ' este cetrul de greutte l oligoului A, A,, A, ir G " este cetrul de greutte l oligoului A, A4,, A Dcă C = C tuci C = C = C + Notăm B = + C+, B = C etc, deci soluţi roblemei ligoul este o B, B,, B + Ne uem ître bre Ce se îtâmlă dcă oligoul re u umăr r de vârfuri?

22 uctele ( ) ( ),, ( ) Preocuări didctice Fie A z, A z A z şi reluăm rocedeul di rim rte Fie u uct C de fi z şi determi- ăm z fiul uctului C stfel îcât A să fie mij locul segmetului ( CC ) şi ş mi C derte Eistă relţiile: z z z z z z,,, + A C + + = = = di cre obţiem A C z + z + zk = k şi zk = k + A z C C C A k= k= k= k= z + z D eci = k k + z () sut + ucte C, C,, C şi trebuie să vem ucte Petru c k= k= roblem să ibă soluţie trebuie c să eiste eglitte C = C z = z deci k= k= Di relţi () obţiem z = k k + z + z + z = k k k= k= Ultim ditre relţiile () devie z + şi obţi z = em zk = zk (5) k= k= Relţi (5) este o codiţie ecesră c roblem să ibă soluţie î czul î cre oligoul re vârfuri Este relţi (5) o codiţie suficietă? z + z Presuuem îdeliită relţi (5), îlocuim î (4) şi obţiem: = z Di ultim ditre relţiile (), z + z = z + z deci = z + z z z = z Afiele fiid egle uctele coicid C = C deci roblem re soluţie Cosid erăm B b z = C de fi b = z, B = C de fi = Nu trebuie să vem C = A su C = A etru că î cestă situţie o bţiem umi ucte Codiţi ecesră şi suficietă c roblem să ibă soluţie etru u oligo k k k= k= cee ce îsemă că oligoele,,, z z cu vârfuri este zk = zk k= k= = A A A şi A, A4,, A u celşi cetru de greutte Soluţie roblemei este orice uc C B di l, diferit de A şi de A Î geerl B A,, i j =, t = Cocluzie Petru imr roblem re soluţie uică Petru r roblem re o ifiitte de soluţii dcă şi umi dcă fiele uctelor A, A,, A îdeliesc codiţi (5) Dcă u este îd eliită relţi (5) roblem u re soluţie PROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR i j rof Ele-Geovev Irimi Proriette otică elisei Dcă surfţ iterioră elisei este reflectore, orice rză de lumiă di surs lstă F, duă refleie, v trece ri F Cu lte cuvite, roriette otică elisei se reformuleză stfel: i) Tget l elisă este egl îclită e rzele vectore MF, MF su ii) Norml l elisă î M este bisectore ughiului FMF Proriette otică elisei re l bză Lege refleiei lumiii: O rză de lumiă se rogă e ce triectorie e cre o rcurge î timul cel mi scurt su ltfel sus: Ughiul de icideţă este egl cu ughiul de refleie i=r Di ceste cosiderete este suficiet să demostrăm că orml l elisă î M este bisectore ughiului FMF M E\ A, A', B, B' Notăm cu T itersecţi ormlei cu O Fie E:, t [,π ) M M ( y ) E { AA BB} ( ) M Demostrţie: Fie { } = cost y = bsi t = cosα π π, M \, ',, ', α, π \, π, ym = bsiα b b Ecuţi tgetei î M este: y = ctgα + deorece: di siα M y ym cosα siα + = + y = Ecuţi b b y E : + = tget î M l E este: b ormlei MT ( MT tg mmt m tg = )

23 MATE ++ MT : y ym = ( M ) MT : y bsiα = tgα( cosα) Dr { T} = MT O y = bsiα = b ctgα b cosα c cosα ( cos ) ( ) = tgα b b cos b α = α cosα cosα = = Deci, c cosα T, ; c cosα c < c< T = c,cosα T ( FF' ) Dr, ( M F ) ( M F ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) MF ' = ( M F' ) + ( ym yf' ) == ( cosα + c) + ( c )( cos α) = + c cos α MF = + y y = cosα c + bsiα = cosα c + c cos α = c cos α c c c c cosα c c Deci, α α ( α) TF = T F = cos c = c cos = = c cos = MF c c c ( α) TF ' = T F' = c + cosα = + c cos = MF ' Astfel, î FMF ' Coform recirocei teoremei bisectorei (MF bisectore FMF ' qe d { } Δ vem: T ( FF' ) şi TF ' = TF MF = TF MF MF' MF' TF' Observţie: Petru M AA, ', BB, ' demostrţi este simlă (se formeză triughiuri isoscele cu MO bisectore) Proriette otică hierbolei Orice rză cre lecă di surs lumiosă lstă î F v cre imresi, duă refleie, că re dret sursă F ( ms- sursei ) Demostrţie Î bz legii refleiei lumiii v trebui să rătăm că orml l hierbolă î M este bisectore cre ughiului formt de rzele focle Su v trebui să rătăm că tget l hierbolă î uctul M este bisectore ughiului FMF = ch t Fie ecuţiile rmetrice le hierbolei H :, ude y = bsht t t e + e cht =, t Se cuoşte ch t sh t = t t e e sht = M = ch θ Deorece M H ( )θ stfel îcât: Tget ym = bshθ î M l hierbol H v ve ecuţi: M yy M = b Deci tg: chθ shθ b b chθ b + = y y = + Cum b shθ shθ shθ T MT O y T = şi T = ; cht ( ) T = < T ( FF' ) Deci ( MT I ' cht t F MF MF = ( ) ( y y ) ( chθ c) ( bshθ) + = + = M F M F ( )( ) = ch θ + cchθ + c + b sh θ = ch θ + cchθ + c + c ch θ = ( ) = θ + c θ + c + c θ c θ + = + c θ = + ch ch ch ch ch ch θ ( M F' ) ( M F' ) ( θ ) ( θ) θ θ ( )( θ ) MF ' = + y y = ch + c + bsh = ch cch + c + c ch = ( ) = ch θ cchθ + c + c ch θ c ch θ + = cchθ = cch θ TF = T = F c c chθ = chθ + TF ' = T F = + c = c ' chθ chθ TF + cchθ MF = =, de ude, cof orm recirocei teoremei bisectorei î Δ F ' MF ( MT bisectore F ' MF qed TF ' cch θ MF ' Proriette otică rbolei

24 Preocuări didctice Dcă o sursă de lumiă este şeztă î focr, tuci rzele reflectte sut rlele cu oglizii rbolice su ivers: Rzele de lumi ă rlele cu uei oglizi rbolice sut reflectte î focr O oglidă rbolică se obţie rotid rcul OM î jurul ei de simetrie Oglid rbolică este sigur cre sigură foclizre uctulă uui fscicul de lumiă rlel, idiferet de dimesiuile cestui Petru demostr roriette otică rbolei, vom demostr: Teoremă Fie P o rbolă de focr F, ă O şi M P, cu M Tget şi orml î M l P sut bisectorele ughiului formt de rz foclă MF cu rlel ri M l O Demostrţie: = q; F q, Notăm ( ) t = Ecuţiile rmetrice le rbolei P sut 4q, t y = t t = Di M (, y) P ( ) t stfel îcât: 4q y = t t Tget d l rbol P î M re ecuţi d : ty = q + 4q t Ecuţi ormlei este: y = q 4q t Norml itersecteză O î uctul N q+, 4q t t NF = N F = q + ; MF = ( M F ) + ( y M y F ) = q + 4q 4q Deci, NF = MF Δ MFN isoscel FMN MNF Dr MNF NMQ (ughiuri ltere itere) Rezultă FMN NMQ ( MN bisectore FMQ qed PROBLEME DE LOC GEOMETRIC ÎN PLAN (SPAŢIU) REZOLVATE ANALITIC SAU VECTORIAL Locuri geometrice fudmetle Sfer A(,b,c) fi; M(,y,z) vribil, lg M cu MA= r > ( ) + ( y b) + ( z c) = r Plul meditor l segmetului [AB], A(,b,c); B (, b, c ) fie, lg M(,y,z) cu MA=MB,,,,,, + b+ b c+ c P: ( ) + ( b b ) y+ ( c c ) z+ d = cu = AB AB P şi O,, P Plul bisector l ughiului diedru formt de două le secte,,, P : + by + cz + d = ; P : + by+ cz + d = cu lg M(,y,z) cu d(m, P ) = ( M, P ) b c b c + + b c b c + by+ cz+ d + b y+ cz+ d =± b c b c ecuţii ce rerezită cele două le bisectore le ughiurilor diedre determite de P şi P şi cre sut erediculre ître ele 4 Dcă A, B sut ucte fie di l (sţiu), să se determie lg l uctelor M di l (sţiu) cre stisfc relţi: ) MA MB =costt b) MA + MB =costt c) MA MB = costt d) etru l AM = k > (cercul lui Aoloius) MB Rezolvre ), rof Otili Meicu

25 MATE ++ Fie MA > MB; MA MB = k î l: MA MB = k,, d : ( ) + yb ( b) + c = cu md mab =,,, î sţiu: MA MB = k P: ( ) + ( b b ) y+ ( c c ) z+ d = cu AB = P AB Soluţie vectorilă: fie O mijloc ul lui [AB] MA MB = k k MA MB = k ( MA MB)( MA + MB) = k BA MO = k AB OM = lg M este: î l o dret d AB î sţiu u l P AB, deorece rodusul AB OM este costt dcă roiecţi lui M e AB este fiă Rezolvre c) soluţie vectorilă MA= MO+ OA, MB = MO+ OB, OA OB = OA OB cosπ = OA OB MA MB = k MO + MO( OA + OB) OA OB = k MO OA OB = k AB AB MO = k +, etru k + > 4 4 AB AB AB MO = k + lg M este: l C, k + ; sţiu S, k AB AB Petru k=, lg M este C,, resective S, Geerlizre uctului 4 (b) Se cosideră uctele fi e A, B di l (sţiu) şi cost tele α, β, k Să se determie lg l uctelor M di l (sţiu) cre stisfc relţi: αma + βmb = k, ( α + β ) Rezolvre: Fie C AB; AC β = t CB α = ; MA+ tmb MC = + t ; MA + t MB + tma MB MC MC = MC = ( + t) MA MB MAMBcos MA + MB AB = AMB= Se obţie: MC su MC + ( + tma ) + ( t + tmb ) tab = ( + t) su MC αma + βmb αβab = = cost = r α + β ( α + β) k αβ AB Rezultă că: αma + βmb = k MC = α + β ( α + β) MA + tmb tab = cu t + t ( + t) = r şi etru r> lg M este: î l CC (, r ); î sţiu SC (, r ) 5 Dcă A, B, C sut trei ucte fie ecoliire î l (sţiu) s ă se determie lg l uctelor M î l (sţiu) cre stisfc relţi: ) MA + MB + MC =costt b) MA MB + kma MC = ; k > Rezolvre )-metod litică etru l: A(, b), B(, b), C(, b ) şi AB = c; AC = b; BC = + + b+ b + b MA + MB + MC = k ( ) + ( y ) + k G G + ( + b + c ) = ( ) + ( y y ) = [ k ( + b + c )] 9 9 cu G(, y ) cetrul de greutte etru Δ ABC Rezolvre b) G G lg M î l este CG (, k ( + b + c )) Fie P [ BC ] cu î sţiu este SG (, k ( + b + c)) t k > + b + c BP k PC = MP k k MB = k MC β = α 4

26 Preocuări didctice MB MA + k MC MA MP MA = + k MA MB + kma MC = MP MA = MP MA mamb π AP AP = lg M î l este CO (, ); î s ţiu este SO (, ) cu O mijlocul lui [AP] 6 Dcă A,B,C,D sut tru ucte fie ecoliire î l ( sţiu), să se determie lg l uctelor M di l (sţiu) cre stisfc relţi: ) MA + MB = MC + MD b) MA MB = MC MD Rezolvre b) P-mijloc [AB]; Q-mijloc[CD]; R-mijloc[EF]; MA= MP+ PA; MB = MP+ PB; PA PB = PA PB = PA su MA MB = MP PA log MC MD = MQ QC MA MB = MCMD M P PA = MQ QC MP PA = MQ QC = cost lg M î l este o dretă d PQ; î sţiu este u l P PQ(coform roblemei 4()) Comletre Dcă A,B,C,D,E,F sut şse ucte ecoliire di sţiu, să se determie lg l uctelor M di sţiu cre stisfc relţi : MA MB = MC MD = ME MF Rezolvre MA MB= MCMD MP PA = MQ QC = costlg M este P PQ MA MB = ME MF MP MR = PA RE = cost lg M este P PR MC MD = ME MF MQ MR = QC RE = cost lg M este QR P P = d P deorece uctele de e dretă verifică ecuţi lului P, lucru cre se verifică scăzâd rimele două relţii: lg este dret d ( PQR) Dcă AB=CD=E F tuci P, P, P sut lele meditore segmetelor [PQ],[QR],[RP] ir lg M este erediculr e lul (PQR) î cetrul cercului circum scris Δ PQR 7 Se cosideră uctele A,B,C ecoliire şi M [ AB], N [ AC] cu AM = CN = k Dcă P este u uct fi, să se determie lg l cetrului de greutte l Δ MNP câd k este o mărime vribilă MB NA Rezolvre P mijlocul lui [MN]; G cetrul de gre utte l Δ MNP PM + PN PM + PN PG = PP ' = = k PM = PA + PB + k + k k PN = PC + PA + k + k ( + kpa ) + PC+ kpb Rezultă că: PG = PC + k PB su: PG = PA + ( + k) CQ k Fie Q [ CB] cu = k PQ = PC+ PB Rezultă că: PG = PA + PQ QC + k + k Dcă BC = u α R cu BQ = α u şi PQ = PB + BQ = PB + α u se obţie PG = PA + PB + α u cu PA, PBu, vec- şi α R vribil Î urm cestor clcule re loc echivleţ: PG = PP ' PG = + α, de ude PA + PB u tori costţi u rezultă c lg G este o dretă de vector director, deci este rlelă cu BC P 5

27 MATE ++ 8 Se cosideră două cercuri C,C situte i dou ă le rlele Să se determie lg l mijlocului segmetului tuci câd M rcurge cerc ul C şi M rcurge cercul C Rezolvre: T mijlocul segmetului [ OO ] ; X mijlo cul segmetului [ MM ] OM = R ; O M = R TM+ TM TO+ OM + TO + OM OM + OM TX = = = Dcă h este vectorul orml etru P şi P rezult că hom = şi hom = ; Rezultă că : htx = X Pcu P P şi P P = ( R + R TX TX TX = + OM OM ) 4 OM OM = R R cos λ OM OM R R R R OM OM R R ( R + R RR) ( R + R + OM OM) ( R + R + RR) R R R+ R ( R R) TX ( R+ R) TX 4 4 [ M M ] R+ R lg X este coro circulră determită de cercurile CT (, ) şi R R CT (, ) TEOREMA DE MEDI E PENTRU FUNCŢII VECTORIALE rof Sergiu Nistor Fucţii comlee derivbile de o vribilă relă Fie fucţi f :[ b, ], f() t = α() t + i β( t) f () t f ( t ) Notăm f '( t ) = lim dcă limit eistă Deci f ' t t ( t) = α' ( t ) + i β' ( t), t [, b] Eisteţ lui f este echivle- simultă derivtelor α ' şi β ' t t tă cu eisteţ f :[, b] este derivbilă e [ b, ] şi f '( t ) = t [,b] şi derivbilă l stâg î b) tuci f es te o costtă e [ b, ] Îtr-devăr, f '() t = α' () t = β '() t =, t [, b] cee ce imlic ă α( t) = c, β ( t) = c etru orice t [, b] Deci f () t = c + ic (o costtă comleă) etru orice t [,b] Teorem Dcă etru orice (derivbilă l dret î Observţi Teorem creşterilor fiite lui Lgrg e u este devărtă etru tote fucţiil e comlee de o vribi- lă relă f t = t + i t, f :, b, < b Eemlu: () [ ] ( ) f ( ) = f '( c)( b ) b + ib i = ( c+ c i)( b ) f b ( ) glâd ărţile rele şi imgire obţiem: b = c b E b = c ( b ) + b Elimiâd e c obţiem: + b+ b = ( b) = = b cee ce cotrzice iotez < b Totuşi eistă două vrite mi slbe etru teorem creşterilor fiite lui Lgrge dte î teorem următore: Teorem Dcă [ b, ] este u itervl di şi f o fucţie comleă e [ b, ], cotiuă e [, ] ( b, ), tuci eistă u uct c (, b) şi u umăr comle σ cu σ stfel îcât: () f ( b) f ( ) f '( c) ( b ) şi () f ( b) f ( ) = σ f '( c) ( b ) Demostrţie: Cosiderăm fucţi relă ϕ :[ b, ], defiită ri ϕ( t) = l α( t) + m β( t), ude l = Re f ( b) f ( ), m Im f ( b) f ( ), α = Re f, β Im f Fucţi ϕ este cotiuă e [ b, ] şi derivbilă e ( b ) Alicâd teorem creşterilor fiite, rezultă că eistă c (, b) stfel îcât: ϕ ( b) ϕ( ) = ( b ) ϕ' ( c) Deorece ϕ( b) ϕ( ) = l α( b) α( ) + m β( b) β( ) l = α( b) α( ), m= β( b) β( ) obţiem 6 ir b, derivbilă e,

28 ϕ ( b) ϕ( ) f ( b) f ( ) = Îtrucât ϕ' ( c) l α' ( c) m β' ( c) ( c) l m ( ( c) ) ( ( c) ) f ( b) f ( ) f '( c) ϕ' + ϕ' + β ' = Deci f ( b) f ( ) ϕ( b) ϕ( ) ( b ) ϕ' ( c) ( b ) f ( b) f ( ) f '( c) Preocuări didctice = +, licâd ieglitte Cuchy-Schwrz, deducem că = =, de ude, ri simlificre cu f ( b) f ( ) >, obţiem ieglitte () Î czul f ( ) f ( b), Di (), obţiem Atuci Dcă otăm = ieglitte () rămâe vlbilă f ( b) f ( ) f ( b) f ( ) τ = f '( c) b f '( c) b τ f ( b) f ( ) = τ ( cosθ + i si θ ) f '( c) b σ = τ( cosθ + i siθ), obţiem: f ( b) f ( ) σ f '( c) ( b ) Teorem de medie etru fucţii vectorile : m f D,(, m ) m Teorem Fie f : D, ude D este u deschis di ( m ), Notăm, = cu σ, σ = τ,, difereţibilă e D Dcă eistă M > ş îcât df ( ) M, etru orice C ude C e ste o mulţime coeă iclusă î D, tuci etru orice două ucte b, C re loc ieglitte: g ( ) f ( ) M f b b ( ), m Demostrţie: Fie f ucţi uiliră g :, [ ] defiită ri g ( t) = f + t( b ) t [ ] () = f ( ) şi g ( ) = f ( b) Fie ε > rbitrr Notăm [ ] () ( ) { ε ε} A= t, ; g t g M t b + t+, Deorece g este obţiută ri comuere două fucţii difereţibile, este o fucţie difereţibilă, deci cotiuă, tuci A este ţime îchisă e A A şi mărgiită Deci A este mulţime comctă mul Mulţim este evidă ( ) Fie β = su A Cum A este comctă şi β este u uct deret mulţimii A rezultă că β A Fucţi g este cotiuă î, deci δ > stfel îcât ( ) ( ) g t g < ε Mt b + εt+ ε, etru t < δ Deci eistă cel uţi u uct t > stfel îcât t A Deci β > Arătăm că β = : Presuuem că β < Rezultă ( ) ( ) [ ] { + β b, b =, b \, b} Cum f este difereţibilă e D rezultă că g este difereţibilă î β, de ude deducem că, etru t δ < <, re loc ieglitte : ( ) ( ) ( ) ( β ) ( ) ( β ) ( β) ( ) ( ) ( β + t) b ( β ) ε ε ci t A g β + t g β dg β t+ εt Mt b + εt De ici obţiem: g + t g g + t g + g β g Mt b + εt+ Mβ b + εβ + ε = M + + t + De Avem β + cee ce cotrzice ftul că β = su A Deci β = Atuci, ţiâd sem că β = A, vem: g() g( ) M b + ε Cum ε este rbitrr obţiem: f ( b) f ( ) M b m Corolr: Fie f : D, ude D este u deschis di (, m ) b, D tuci re loc ieglitte: f ( b) f ( ) b su df ( ) difereţi bilă e D Dcă b, D stfel îcât segmetu l [ ] Observţi : Geerlizre teoremei lui Rolle etru fucţii f : u este devărtă Îite de justific cest ft ritr-u eemlu, mitim câtev chestiui teoretice u = f (, y) Fie f : defiită ri f ( y, ) = ( uv, ) ude, f, f : v = f (, y) Deci f y, = f y,, f y, Suem că f este difereţibilă î y, dcă fucţiile f şi f sut difereţibile (, b) ( ) ( ( ) ( )) ( ) f (, y) f (, y) î (, y ) Derivt lui f î uctul (, ) trice se mi umeşte jcobiul fucţiei f ( y, ) Jcobiul lui f ( y, ) î uctul ( l, ) r { } { } Vom ot D (, y ) = (, y) / (, y y ) r b cetrul î (, ) r ( ) ( ) y y este dtă de mtrice: f(, y) f(, y) şi ottă c u f '( y, ) Acestă m- y f, l f, l y este f, l f, l y ( ) ( ) il cu y şi de rză r, ir (, ) = (, ) / (, ) < bil deschisă Fie (, ) (, ) / (, ) B y y y y r r { } S y = y y y = r cu 7

29 MATE ++ Fie fucţi f : defiită ri f ( y, ) = ( + y, y y y) + Evidet f este cotiuă e D ( ) bilă e B (, ) f (, y ) =, (, y ) S ( ), Dcă teorem lui Rolle r fi devărtă r trebui c derivt lui f să fie ulă îtr-u uct di B ( ) Îsă f '(, y) ( + y ) ( + y ),, şi difereţi- y + y y = = ( y + y y) ( y + y y) y + y y Observţi : Dcă f : D este olomorfă e D (coveă, deschisă) se ote d o geerlizre teoremei lui Rolle Amitim că o fucţie comleă f se umeşte olomorfă e G dcă f este derivbilă î fiecre uct z di mulţime deschisă G Teorem Fie f : D o fucţie olomorfă e D ude D este o submulţime deschisă, coeă lui Dcă stfel îcât f ( ) f ( b), ( f '( z )) = b, D, b Im = = tuci eistă, z z e segmetul ( b, ) stfel îcât ( ( )) Demostrţie: Fie = Re ( ), = I m ( ), b = Re( b), b = Im ( b) şi ( ) Re ( ) v z Defiim fucţi φ :, [ ] stfel: φ () t = ( b ) u( + t( b ) ) + ( b ) v( + t( b ) ), t [,] D i f ( ) = f ( b) obţiem u( ) = u( b) = v( ) = v( b) = Deci φ( ) φ( ) lui [, ] şi obţiem φ '( t) =, t (, ) Fie z = + t ( b ) Obţiem: u( z) u( z) v( z) v( z) ( b ) ( b ) + ( b ) + ( b ) ( b ) + ( b ) = Re f ' z = şi ( ) u z = ( f z ), ( ) = Im f ( z) = = Alicăm teorem Rolle fucţiei φ e y y u( z) v( z) u( z) ( ) u( z ) Folosid relţiile Cuchy-Riem = şi = v z rezultă că: ( b ) + ( b ) = y y ( ) u z = Re ( f '( z )) = Folosid celşi rţiomet etru fucţi g = if, eistă z (, b) stfel c ( ) ( ) Re ( '( ) ) v z u z = g z = = = Im ( f '( z) ) y Observţi : Folosid teorem III e ote stbili o geerlizre teoremei lui Lgrge etru celşi ti de fucţii c î teorem recedetă, dică: Teorem Fie f : D o fucţie olomorfă e D, ude D este o submulţime deschisă, coeă lui Fie f ( b) f ( ) f ( b) f ( ) Atuci eistă z, z (, b) stfel îcât Re ( f '( z )) = Re şi ( f ( z )) b, D, b Evidet Im ( g' z ( ) f ( ) b f b Demostrţie: Fie g ( z) = f ( z) f ( ) z, z D b g( ) = g( b) = şi deci, licâd teorem III fucţiei g, eistă z, z (, b) )) ( = g' ( z) f '( z) ( ) f ( ) Obţiem deci ( g ( z) ) ( f ( z) ) f b = etru orice z D b ( ) f ( ) f b = Re ' = Re ' Re şi b Astfel Im ' = Im b stfel îcât ( ( )) ( Re g' z = şi ) f ( ) f b = Im ( g' ( z) ) = Im ( f '( z) ) Im b 8

30 Iterferețe le mtemticii cu lte domeii de ctivitte MOTTO Bii rerezită u istrumet e cre, dcă îl foloseşti cu îţeleciue, te v jut să i viţ e cre o doreşti Prezetre mulului Bii şi Bugetul di cdrul Progrmului de Educţie Ficiră Juior Achievemet rof Dori Mormoce Sut mulţi dulţi cre deşi u u loc de muc u ştiu cum să îşi dmiistreze resursele ficire, cre u ştiu să cumere cee ce u evoie, câd u evoie Eistă dulţi cre ierd bi î ivestiţii eerformte su î fţ escrocilor, dulţi cre u reuşesc să îşi de sem cum să trăiscă cu bii e cre îi u Idee că dmiistrre bilor este u lucru cre se îvţă "de l sie" odtă cu îitre î vârstă este u mit Nu e deloc ş "Bii şi bugetul" se îvţă l fel c şi mersul e bicicletă su c şi codusul mşiii Nu trebuie să fii mecic uto c să coduci o mşiă şi u trebuie să fii bcher c să ştii cum s îţi cotrolezi situţi ficiră[] Cursul Bii şi bugetul şi- rous c sco cel de jut tierii liceei să fcă cele mi bue legeri şi să deţiă cotrolul sur rorie lor situţii ficire Elevilor li se oferă osibilitte de îvăţ cum să-şi dmiistreze bii, idiferet dcă situţi lor mterilă este recră, medie su buă Mulul Bii şi Bugetul este structurt e 8 citole: Itroducere î Progrm; Cheltuieli şi bugete; Ecoomisire; 4 Ecoomi Globlă; 5 Ivestiţiile, 6 Îmrumutul; 7 Asigurări, 8 Strtegii de viţă Fiecre citol l mulului este îmărţit î mi multe secţiui:itroducere, discuţie î clsă, robleme şi ctivităţi rctice Noţiuile teoretice sut itroduse cu jutorul uor robleme de mtemtici ficire cre u l bză oţiue de şir, rogresie geometrică şi ritmetică, lecturi de grfice citole di rogrm de lgebră de cls IX- Astfel, etru clculul sumei deuse l o bc, îtro eriod de t i, folosim formul de clcul termeului geerl etru o rogresie geometrică FV=PV *(+r)^t ude, PV-vlore ricilă su sum deus iiţil, r rt dobâzii, t umărul de i î cre se fce deuere şi FV vlore viitore su sum cre o vem du t i Ită cătev eemle de robleme rezolvte i EX- CEL î cre m folosit diverse vlute etru c elevii să se obişuiscă cu rctic schimbului vlutr Clculţi vlore viitore de frci elveţiei, cu o dobâdă ulă de: 5 i l 7% b 5 i l % c i l 7% Problem REZOLVARE FV=PV *(+r)^t Guverul îmrumutt bi cre vor geer beeficii de USD î 5 de i Rt dobâzii l obligţiui este de % Nu vor fi efectute lăţi mi devreme de termeul de 5 de i Cre este reţul ctul (vlore celor USD cre vor fi lătiţi este 5 de i)? REZOLVARE FV=PV *(+r)^t PV=FV / (+r)^t Clculţi vlore rezetă următorelor sume etru o dobâdă de %: 65 de bht este i Problem 9

31 MATE ++ b 5 de euro este c 6 de yei este 8 i RE ZO LV AR E FV =P V *( Problem +r)^ Problem 4 t 4 Bc t oferă u cot cre îţi v dubl bii î 9 i Clculeză cre este rt dobâzii REZOLVARE FV=PV *(+r)^t PV=PV*(+r)^9 (+r)^9= +r=^(/9) 5 Dcă obţii 6% l u deozit bcr, î câ t tim cotul tău îşi v dubl vlore? REZOLVARE Problem 5 FV=PV *(+r)^t PV=PV*(+,6)^ (,6)^= log (,6)^= =/log (,6) Problem 6 Problem 7 6 Ai refer s rimeşti de lire sterlie cum su este i, dcă dobâd este de 8%? De ce? 7 Să resuuem că stăzi ui de coroe deze îtr-u cot şi câte î fiecre î următorii 4 i Dcă dobâd este de 8%, cât vei ve duă 7 i? 8- Tocmi i câştigt l loto Trebuie să legi ître 6 de yei stăzi su de yei stăzi şi câte de yei e vreme de i (deci u totl de 4 lăţi) Rt dobâzii este de 8% Ce legi şi de ce? Problem 8

32 Iterferețe le mtemticii cu lte domeii de ctivitte 9 Mătuş t re u mgzi de vâzări uto Ţi- romis 7 USD etru mşiă este u, câd vei bsolvi Colegul tău îţi oferă chir cum 8USD etru mşiă Presuuâd că u i vre să coduci mşi î cest tim, că dobâd medie este de %, vei ccet ofert colegului Problem 9 Trebuie să legi ître modlităţi de cumăr o hiă ou cre costă 75USD ) Să ecoomiseşti 75USD, câte USD e luă, îtr-u cot l cre vei obţie 6% di ecoomiile tle b) Să cumeri hi cu cârdul de credit şi să lăteşti câte 5USD e luă î codiţiile uei Rte Procetule Aule (RPA) de 4% Problem Cotrcte de îchiriere O erso îchiriză o csă şi roue chirie două tiuri de cotrct A şi B: A Chiri este î rim luă de 4 lei şi creşte î fiecre luă cu lei (di cuz iflţiei); B Chiri este î rim jumătte de luă de 5 lei şi creşte cu leu l fiecre jumătte de luă Cre ditre cotrctele A, B este mi vtjos etru chiriş? Amortizre ivestiţiilor Problem r Să resuuem costul iiţil l uei ivestiţii(de eemlu, o istlţie) egl cu c Duă itrre î fucţiue, cest cost se micşoreză trett, deorece î clcule ecoomice se fce coveţi că o rte di cost se trsferă roduselor obţiute cu jutorul celei istlţii Se oteză cu c costul coresuzător l celei istlţii duă i (c =c) Presuuem c eistă <α< stfel îcât c + = c (-α) etru orice ℵ (α este umit coeficiet de mortizre l ivestiţiei) Î czul câd c=8ron, ir duă 4 i costul deveit ( s- mortizt ) RON, să se determie α şi să se fle duă câţi i costul coboră sub 8RON Eerciţiul BigMc, este u eemlu ilustrtiv etru modul î cre elevii ot utiliz resursele o-lie etru c să studieze reţurile şi cum vriză utere de cumărre î lume O cle de ilustr cest lucru este legere uui rodus obişuit, stdrdizt - ş cum este BigMc - şi comrre reţurilor cestui rodus este tot î lume Idicele ul l "The Ecoomist", Big Mc, este u ditre cele mi citte uităţi de msurre vlutelor îc di 986, este bzt e teori cotroverst uterii de cumrre (urchsig ower rty - PPP) Idicele se bzeză e idee că reţul uei vlute trebuie să reflecte utere s de cumărre Potrivit ultimului idice lst, u Big Problem

33 MATE ++ Mc cost,4 dolri î SUA, î tim ce medi î zo euro etru celşi hmburger este de 4,4 dolri Ditre cele oi stte membre cre u dert l Uiue Euroe, Ugri cotiuă să ibă cel mi scum Big Mc (, dolri), urmt de Slovei (,49 dolri) şi Litui (,6 dolri) Nici Romi u este derte De ild, u Big Mc cost 6,7 de lei, dic,8 dolri Acelşi hmburger costă î jur de,45 dolri î Chi şi,54 dolri î Hog Kog, otrivit Idicelui Big Mc l "The Ecoomist"-iulie 7-www ecoomistcom C rte eerciţiului, elevii vor cercet cre este reţul rodusului î orşul lor, î ţr lor, î RON şi oi relizeză covertire de reţ î lte moede etru ute fce comrţi cu lte ţri Elevii vor trebui să comre reţurile î diferite momete î tim, ft de tură să deschidă o discuţie desre iflţie Ită cum u eemlu simlu, u hmburger, ote fi utilizt etru ilustr mi multe cocete imortte şi dificile c iflţie, utere de cumărre, comrţie ître moezile diferitor ţări Idee este de jut elevii să îţelegă ftul că u dor vlutele sut diferite, dr şi că reţurile şi utere de cumărre vriză de I o ţră l lt Motivele cre ccetueză ceste difereţe u sut îtotdeu clre, îsă difereţele determiă decizii diferite î riviţ cumărării, ecoomisirii, lsării ivestiţiilor etc Dcă elevii u cces l Iteret, vor găsi multe rogrme de covertire e cre le ot utiliz Uul forte iterest este cel de l wwwodcom, cre re deootrivă şi u covertor, dr şi u joc referitor l coversie Elevii se ot juc folosid de dolri (bi virtuli) şi u cot găzduit de site Jocul ermite rticiţilor să covertescă moedă î bz uor iformţii rveite î tim rel ri erimre rorietăţilor fucţiei ce rerezită rt de schimb vlutr e bz lecturii grfice Pri idetificre uor ucte semifictive de e grficul fucţiei di Fig,site-ul dă elevilor oczi de se distr şi de îvăţ cum să trzcţioeze vlut fără riscul de ierde bi devărţi Ultimul citol Elborre uei strtegii de viţă îi jută e elevii să lice î viţă cocetele ficire de bză L filul cestui citol vor trebui utilizte tote cocetele ficire corelte; ecoomisire, bugetre, ivestiţiile, îmrumutul şi sigurre - etru elbor u l ersol cre îi v jut c e viitor visele să deviă relitte Prticire l Progrmul de Educţie Ficiră Bii şi Bugetul v form l elevi obişuiţ de recurge l cocete şi metode mtemtice î bordre uor situţii cotidiee, etru rezolvre uor robleme rctice de mtemtici ficire şi formre motivţiei etru studiere mtemticii c domeiu relevt etru viţ socilă şi rofesiolă Ghidul rofesorului Bii şi Bugetul ersol; Mulul elevului Bii şi Bugetul ersol; Progrm Bii şi Bugetul ersol Bibliogrfie Setul comlet de mterilele fost us l disoziţie grtuit de către J A Româi

34 Curiozități mtemtice Pos l izvorele mtemticii PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ rof Ele Roşu Nu-i ote fi dt omului imic mi resus şi mi măreţ decât cercetre î cre frumuseţe şi imortţ descoeririlor îl îcurjeză şi dă o umită desfătre (Lomosov) Pitgor ( îe) mtemtici și filozof grec A studit cu Aimdru (sec 6 îe); călătorit și s- istruit î Egit și Chldee Către ul 5 îe s- stbilit î Creto (sudul Itliei) ude îfiițt o școlă filozofică ce reue î râdurile ei este de itgorei, ude er îtrotă o disciliă severă de viță și mucă; veu și o emblemă: etgoul stelt Acestă școlă eistt âă î jurul ului 5 îe Imortț e cre o re Pitgor și școl s î dezvoltre mtemticii este e deli recuoscută Di studiul umerelor, itgoreii u coceut umerele figurtive, umerele erfecte, umerele mibile, u defiit umerele re și imre Î școl lui Pitgor u fost studite medi ritmetică, geometrică și rmoică Deumire de medie rmoică fost dtă de Pitgor, fiidcă el folosit cestă mărime î studiul său sur rmoiei muzicle Di cele trei medii Pitgor făcut o roorție, =, umită de cest roorți erfectă su roorți muziclă, fiidcă e legă ître ele cele 4 A + C A AC C A+ C itervle cre desrt suetele fudmetle di gm ditoică, umită și gm lui Pitgor Pitgoreii u studit ritre umerele irțiole și umărul de ur, deși u i s- tribuit cest ume Acestor le er cuoscută și eisteț celor cici oliedre regulte Aceste u fost umite și figuri cosmice di cuză că Pitgor și oi Plto u socit imgie lor de ce elemetelor rimordile di cre cosideru că s- formt uiversul Astfel, tetredrul este simbolul focului, cubul simbolul ămâtului, octedrul simbolul erului, isosedrul vâd c fețe de triughiuri echilterle, este simbolul ei, ir dodecedrul simbol l Cosmosului cu tot ce curide el, fiid sigurul oliedru regult cu fețe formte di etgoe, i umr de Î stroomie, idee că ămâtul se flă î mișcre, î jurul uui foc cetrl re, etru rim dtă î istori gâdirii ume, tot i cdrul școlii lui PitgorTot ei u dmis lurlitte lumilor, ftul că vitez corurilor cerești deide de distț l cre se flă de cetrul orbitei lor Î mtemtic școlră, umele lui Pitgor este legt de celebr teoremă cre-i ortă umele, desre cre uii istorici i mtemticii tice Plutrh, Imblic, Proclus(4-485 îe) u trsmis leged că Pitgor, c mulțumire etru izbâd stbilirii cestei teoreme, dus jertfă zeilor de bivoli Străveche teoremă lui Pitgor Îtr-u triughi dretughic sum ătrtelor lugimilor ctetelor este eglă cu ătrtul lugimii ioteuzei fost umită de- lugul istoriei î cele mi diverse feluri: Teorem căsătoriei (mărittului) u umit-o vechii elei; Scuul soţilor i-u sus hiduşii; Figur evestei o cosideru ersii; Iveţie demă de o heccombă su stăâ mtemticii, u crcterizt-o îvăţţii di Evul Mediu; Pute măgrului, fost oreclită de liceeii de odiioră Dr, celebr teoremă fost descoerită cu mult îite lui Pitgor (sec 4 îe) cre dor etis-o l orice triughi dretughic (î fr celor cu măsurile lturilor umere turle, etru cre teorem fost cosidertă iiţil), fără osed o justificre stisfăcătore Teorem referitore l triughiuri cu lturile erimte ri umerele,4,5 er cuoscută î Egit şi î Chi cu este 5 de i îite resuusului ei descoeritor Descoeriri recete u făcut cuoscut ftul că l Tel-Dibe (lâgă Bgdd) cu oczi uor săături, s-u găsit işte tăbliţe dtâd di rim civilizţie bbiloeă cre stbilesc c mtemticieii vechiului Irk cuoşteu demostrţi teoremei, î urmă cu vreo 4 de i Teorem lui Pitgor este cuoscută c fiid rim teoremă cre fce legătur ître o roriette geometrică: fi triughi dretughic (cel mi frumos triughi duă Plutrh) şi o roriette lgebrică: sum ătrtelor două umere este eglă cu ătrtul uui l treile umăr Fsciţi teoremei lui Pitgor sur mtemticieilor dr şi sur uor ersoe cu cele mi vrite ocuţii i- determit u umăr imresiot de demostrţii iedite, este 5 Mtemtici Elish S Loomis î crte The Pythgore Proositio (94), rezită 65 demostrţii diferite utilizâd echivleţ figurilor, trsoziţi elemetelor su relţiilor metrice Și mtemticieii româi i-u cordt o imortţă deosebită cestei teoreme Svtul Octv Oicescu remrcă: măsurătorile cre se fc otrivit teoremei lui Pitgor u costituit uul ditre fudmetele civilizţiei euroee Noi demostrţii le celebrei teoreme u dt I Ioescu (895), A Iliovici (896), GG Logiescu (898), C Mteescu (9), M Ghermăescu (96), O Scter (964), NO Zhri (966), M Poescu-Slti (966), M Pvelescu (967) ş Redescoerire oricărei demostrţii teoremei lui Pitgor, uele surrizătore ri igeiozitte şi simlitte lor, duce u lus de uimire î fţ ivetivităţii miţii ume De l vechii egitei şi âă î zilele ostre teorem lui Pitgor şi- dovedit î ermeţă utilitte î rezolvări rctice Prieteul cre e scude defectele e slujește mi rău decât dușmul cre i le reroșeză (Pitgor)

35 MATE ++ PROBLEME PROPUSE Cls IX- Dcă A, B, C, sut mijlocele lturilor triughiului ABC, D iciorul îălțimii di A, H ortocetrul triughiului ABD, ir H ortocetrul triughiului ACD, să se rte că trulterul HHCB este rlelogrm rof Otili Meicu f ( g( ) ) = + 4; b) g( f ( ) ) = Demostrți că ( ) ( ) Fie fucțiile f, g: cu rorietțile ) f = g = rof Ele Roșu Aflți umărul fucțiilor ijective f :, cre stisfc relți f ( ) f ( ), 9 rof Ele Roșu 4 Să se demostreze că dcă y, (, ) + și 4 y =, tuci ( ) ( y y ) rof Ele Roșu * 5 Fie,,, +, cu roriette + + = Demostrți că rof Ele Roșu Cls X- Să se rezolve ecuţi: = rof Ele Roșu Să se rezolve sistemul: 4 4 y = log y y + + = y rof Ele Roșu Să se rte că re loc ieglitte: lg lg lg9 lg 8 rof Otili Meicu 4 Să se rezolve ecuţi: lg( ) lg( ) + = rof Otili Meicu 5 Să se determie cre verifică relți lg ( ) =, umărului ude [ ] rerezită rte îtregă rof Otili Meicu 6 i) Să se determie k etru cre ecuți log ( ) + + log = k re soluții rele, ude + + *,, >, și [ t ] este rte îtregă umărului t ii) Petru k determit l uctul i) să se rezolve ecuți rof Ştef Gvril 7 Să se rezolve î ecuți = , ude [ t ] este rte îtregă umărului t rof Ştef Gvril 4

36 Probleme rouse Cls XI- Fie ( ) și ( ) b două șiruri de umere rțiole stfel îcât ( ) + 5 = + b 5, ) Arătți că = + + 5b și b+ = + b, b) Demostrți că lim = 5 b rof Ele Roșu Clculți tg + tg + + tg lim ( rctg) + ( rctg) + + ( rctg) rof Ele Roșu Fie fucți cotiuă f :, [ ] Arătți că eistă c (, ) stfel îcât f ( c) = + c c rof Ele Roșu Cls XII- f cotiuă Să se rte că ecuţi f () t dt = + 5 re soluţie uică î [,] Fie :, [ ] [,] rof Ele Roșu * Să se rte că ecuţi c os = re soluţie uică,, etru fiecre și să se clculeze lim rof Ele Roșu Fie f : cotiuă și coveă cu f()= Să se rte că: ) ( ), ; b) ( ) ( ) f f 8 f d f d rof Ele Roșu 4 Dcă f ( ) = e +, să se clculeze I = d *!!! ; N f ( ) rof Otili Meicu 5 Dcă f () t = t rctg t; t, să se clculeze lim f ( + ) () tdt, ude ( ) f rerezită derivt de ordi fucției f rof Otili Meicu 5

37 MATE ++ CĂLĂTORII MATEMATICE Am răms destul de imresiotă de călători l Chişiău, b chir mi mult mi s-u deăşit ştetările Am descoerit locuri forte frumose ri simlitte lor şi omei forte mbili şi dorici de îmărtăşi cu tie tât cuoştiţele desre orşul lor şi u umi, dr şi trăirile rorii Am relizt că moldoveii sut forte iformţi î cee ce riveşte ţr şi trdiţiile lor, ş cum e- dovedit domul Cubrecov Vld, reşedite l Prtidului Poulr Creşti Democrt, î cdrul vizitei ostre l Prlmetul Reublicii Moldov L îtrebările use de ublic vut răsusuri forte comlete, dovedid că îtr-devăr îşi merită fucţi, este u bu triot, şi de semee este iterest de sort ţării sle O ltă ersoă cre m- uimit ri cuoştiţele sle şi ri doriţ de îmărtăşi cu lţii cee ce ştie fost coordotore di rte elevilor şi ume domişor A Băbălău, elevă Liceului Mierv E reuşit să e fcă să ătrudem î sufletul său şi să e determie să rivim cu ochii mi călduroşi frumuseţile Chişiăului, utâd stfel să e trsmită bucuri de trăi îtr-u stfel de colţ l lumii Scoul lecării ostre l Chişiău fost Cocursul Memoril de Mtemtică Costti Sătru S- dovedit fi mi mult decât u simlu cocurs, etru mie rerezett o cle de de -mi test cuoştiţele etru şti l ce rg mă flu şi mi mult decât tât m utut cocur cu elevii de l clsele rlele, utâd mi oi să urtăm discuţii seriose e tem roblemelor de cocurs Cei mi bui elevi u fost remiţi î cdrul festivităţii de l liceul Oisifor Ghibu, ude orgiztorii e-u îtâmit cu u sectcol susţiut de elevii moldovei Cei di urmă şi-u demostrt bilităţile de câtăreţi şi dstori, surrizâdu-e ri rofesiolismul lor Pe lâgă bu regătire celor cre e-u coordot, ceşti u dt dovdă şi de buă orgizre, utâd să îşi îdeliescă fiecre obiectiv di cdrul rogrmului Chir dcă m vut de susţiut u cocurs, m utut să cuoştem orşul Chişiău, b chir să fcem şi cumărături, să socilizăm cu omeii de colo, să legăm rieteii, să descoerim că u sut deloc diferiţi de oi, cei di Româi, ci sut forte bucuroşi să e rimescă, semee frţilor de sâge Î fil, fost u di cele mi frumose eerieţe, de ude m vut multe de îvăţt Mi-m dt sem că cei de este Prut sut forte rieteoşi, resectoşi şi mbili, î ciud tuturor zvourilor, că oricât de recră r fi situţi lor mterilă, ei îşi ăstreză zâmbetul e buze şi sut oricâd disuşi e găzdui Cosider că orice îtâlire cu cei di fr griţelor Româiei este u bie veită î viţ oricărui româ, făcâdu-l e cest, e de o rte să reţuiscă cee ce re, şi e de ltă rte să dorescă să îşi costruiscă o viţ mi buă Adree Rusu, cls XI- D Îtr-o dimieţă rece de februrie, u gru de elevi di colegiul ostru, lături de câţiv rofesori, ştetm erăbdători utocrul sre Chişiău Este l doile câd cestă ecursie re loc, şi de cestă dtă e-m utut bucur mi mulţi de o recreere de sfârşit de sătămâă î Reublic Moldov Am lect e 7 februrie etuzismţi de locurile itereste e cre le vom vede şi î jurul râzului m jus l Chişiău Am fost îtâmiţi cu multă bucurie, şi duă ce m văzut ude v locui fiecre etru următorele două zile (l gzdă su l itert) m vizitt Prlmetul Reublicii Moldov, ude m vut oore să stăm chir e scuele rlmetrilor Sâmbătă dimieţă toţi rticiţii de l Cocursul de mtemtică Memoril Costti Sătru m mers l Liceul Mihi Vitezul, ude m demostrt că bu disoziţie ote fi îmbită forte bie cu ştiiţ şi rezulttele u fost îmbucurătore etru că m obţiut remii şi meţiui Î ceeşi zi, lături de colegii mei m iterrett Șezătore Moldoveescă, etru că e mâdrim cu trdiţiile ostre şi m cosidert că este cel mi iterest mod de erim idetitte comuă româilor de ici cu celor de este Prut Cu ărere de rău, dumiică trebuit să e desărţim de gzdele ostre, cre e-u rimit cu brţele deschise î fmiliile lor şi duă o scurtă orire l măăstire Hcu, îtemeită cu câtev secole î urmă, e-m cotiut, uţi melcolici, drumul sre csă Î umele colegilor mei, vreu să mulţumesc domilor rofesori şi gzdelor ostre, şi cred că orice mitire legtă de Chişiău v fi îsoţită şi de u zâmbet e chiurile ostre 6 Io Cucuruz, cls IX- A

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi

Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic

More information

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care

The 2017 Danube Competition in Mathematics, October 28 th. Problema 1. Să se găsească toate polinoamele P, cu coeficienţi întregi, care The 017 Dnube Competition in Mthemtics, October 8 th Problem 1. ă se găsescă tote polinomele P, cu coeficienţi întregi, cre verifică relţi + b c P () + P (b) P (c), pentru orice numere întregi, b, c. Problem.

More information

EXERCISE a a a 5. + a 15 NEETIIT.COM

EXERCISE a a a 5. + a 15 NEETIIT.COM - Dowlod our droid App. Sigle choice Type Questios EXERCISE -. The first term of A.P. of cosecutive iteger is p +. The sum of (p + ) terms of this series c be expressed s () (p + ) () (p + ) (p + ) ()

More information

LEVEL I. ,... if it is known that a 1

LEVEL I. ,... if it is known that a 1 LEVEL I Fid the sum of first terms of the AP, if it is kow tht + 5 + 0 + 5 + 0 + = 5 The iterior gles of polygo re i rithmetic progressio The smllest gle is 0 d the commo differece is 5 Fid the umber of

More information

Add Maths Formulae List: Form 4 (Update 18/9/08)

Add Maths Formulae List: Form 4 (Update 18/9/08) Add Mths Formule List: Form 4 (Updte 8/9/08) 0 Fuctios Asolute Vlue Fuctio f ( ) f( ), if f( ) 0 f( ), if f( ) < 0 Iverse Fuctio If y f( ), the Rememer: Oject the vlue of Imge the vlue of y or f() f()

More information

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează

IMAR Problema 1. Fie P un punct situat în interiorul unui triunghi ABC. Dreapta AP intersectează IMAR 017 Problema 1 Fie P u puct situat î iteriorul uui triughi ABC Dreapta AP itersectează latura BC î puctul D ; dreapta BP itersectează latura CA î puctul E ; iar dreapta CP itersectează latura AB î

More information

Derivarea integralei şi integrarea derivatei

Derivarea integralei şi integrarea derivatei Derivre iegrlei şi iegrre erivei Dorim să evieţiem ici fpul că iegrre şi erivre fucţiilor rele su operţii iverse, îr-u ses cre urmeză fi preciz. Icepem pri remii formul Leibiz-Newo peru fucţii f : I R

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

[ 20 ] 1. Inequality exists only between two real numbers (not complex numbers). 2. If a be any real number then one and only one of there hold.

[ 20 ] 1. Inequality exists only between two real numbers (not complex numbers). 2. If a be any real number then one and only one of there hold. [ 0 ]. Iequlity eists oly betwee two rel umbers (ot comple umbers).. If be y rel umber the oe d oly oe of there hold.. If, b 0 the b 0, b 0.. (i) b if b 0 (ii) (iii) (iv) b if b b if either b or b b if

More information

Chapter Real Numbers

Chapter Real Numbers Chpter. - Rel Numbers Itegers: coutig umbers, zero, d the egtive of the coutig umbers. ex: {,-3, -, -,,,, 3, } Rtiol Numbers: quotiets of two itegers with ozero deomitor; termitig or repetig decimls. ex:

More information

Set 1 Paper 2. 1 Pearson Education Asia Limited 2014

Set 1 Paper 2. 1 Pearson Education Asia Limited 2014 . C. A. C. B 5. C 6. A 7. D 8. B 9. C 0. C. D. B. A. B 5. C 6. C 7. C 8. B 9. C 0. A. A. C. B. A 5. C 6. C 7. B 8. D 9. B 0. C. B. B. D. D 5. D 6. C 7. B 8. B 9. A 0. D. D. B. A. C 5. C Set Pper Set Pper

More information

Student Success Center Elementary Algebra Study Guide for the ACCUPLACER (CPT)

Student Success Center Elementary Algebra Study Guide for the ACCUPLACER (CPT) Studet Success Ceter Elemetry Algebr Study Guide for the ACCUPLACER (CPT) The followig smple questios re similr to the formt d cotet of questios o the Accuplcer Elemetry Algebr test. Reviewig these smples

More information

PROGRESSIONS AND SERIES

PROGRESSIONS AND SERIES PROGRESSIONS AND SERIES A sequece is lso clled progressio. We ow study three importt types of sequeces: () The Arithmetic Progressio, () The Geometric Progressio, () The Hrmoic Progressio. Arithmetic Progressio.

More information

Time: 2 hours IIT-JEE 2006-MA-1. Section A (Single Option Correct) + is (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2. lim (sin x) + x 0. = 1 (using L Hospital s rule).

Time: 2 hours IIT-JEE 2006-MA-1. Section A (Single Option Correct) + is (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2. lim (sin x) + x 0. = 1 (using L Hospital s rule). IIT-JEE 6-MA- FIITJEE Solutios to IITJEE 6 Mthemtics Time: hours Note: Questio umber to crries (, -) mrks ech, to crries (5, -) mrks ech, to crries (5, -) mrks ech d to crries (6, ) mrks ech.. For >, lim

More information

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris

More information

ALGEBRA. Set of Equations. have no solution 1 b1. Dependent system has infinitely many solutions

ALGEBRA. Set of Equations. have no solution 1 b1. Dependent system has infinitely many solutions Qudrtic Equtios ALGEBRA Remider theorem: If f() is divided b( ), the remider is f(). Fctor theorem: If ( ) is fctor of f(), the f() = 0. Ivolutio d Evlutio ( + b) = + b + b ( b) = + b b ( + b) 3 = 3 +

More information

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e

More information

1. Some solutions to some problems from Octogon Mathematical Magazine pag. 2 Neculai Stanciu, Titu Zvonaru

1. Some solutions to some problems from Octogon Mathematical Magazine pag. 2 Neculai Stanciu, Titu Zvonaru revist@mteiforo Some solutios to some prolems from Octogo Mthemticl Mgie pg Neculi Stciu, Titu Zvoru Numere celere II pg George Flori Șer Cum rătăm că două drepte sut prlelepg 5 Mihel Molodeț Mtemtic,

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

Important Facts You Need To Know/Review:

Important Facts You Need To Know/Review: Importt Fcts You Need To Kow/Review: Clculus: If fuctio is cotiuous o itervl I, the its grph is coected o I If f is cotiuous, d lim g Emple: lim eists, the lim lim f g f g d lim cos cos lim 3 si lim, t

More information

BC Calculus Review Sheet

BC Calculus Review Sheet BC Clculus Review Sheet Whe you see the words. 1. Fid the re of the ubouded regio represeted by the itegrl (sometimes 1 f ( ) clled horizotl improper itegrl). This is wht you thik of doig.... Fid the re

More information

[ 47 ] then T ( m ) is true for all n a. 2. The greatest integer function : [ ] is defined by selling [ x]

[ 47 ] then T ( m ) is true for all n a. 2. The greatest integer function : [ ] is defined by selling [ x] [ 47 ] Number System 1. Itroductio Pricile : Let { T ( ) : N} be a set of statemets, oe for each atural umber. If (i), T ( a ) is true for some a N ad (ii) T ( k ) is true imlies T ( k 1) is true for all

More information

National Quali cations AHEXEMPLAR PAPER ONLY

National Quali cations AHEXEMPLAR PAPER ONLY Ntiol Quli ctios AHEXEMPLAR PAPER ONLY EP/AH/0 Mthemtics Dte Not pplicble Durtio hours Totl mrks 00 Attempt ALL questios. You my use clcultor. Full credit will be give oly to solutios which coti pproprite

More information

MAHESH TUTORIALS SUBJECT : Maths(012) First Preliminary Exam Model Answer Paper

MAHESH TUTORIALS SUBJECT : Maths(012) First Preliminary Exam Model Answer Paper SET - GSE tch : 0th Std. Eg. Medium MHESH TUTILS SUJET : Mths(0) First Prelimiry Exm Model swer Pper PRT -.. () like does ot exist s biomil surd. () 4.. 6. 7. 8. 9. 0... 4 (c) touches () - d () -4 7 (c)

More information

Numbers (Part I) -- Solutions

Numbers (Part I) -- Solutions Ley College -- For AMATYC SML Mth Competitio Cochig Sessios v.., [/7/00] sme s /6/009 versio, with presettio improvemets Numbers Prt I) -- Solutios. The equtio b c 008 hs solutio i which, b, c re distict

More information

Set 3 Paper 2. Set 3 Paper 2. 1 Pearson Education Asia Limited 2017

Set 3 Paper 2. Set 3 Paper 2. 1 Pearson Education Asia Limited 2017 Set Pper Set Pper. D. A.. D. 6. 7. B 8. D 9. B 0. A. B. D. B.. B 6. B 7. D 8. A 9. B 0. A. D. B.. A. 6. A 7. 8. 9. B 0. D.. A. D. D. A 6. 7. A 8. B 9. D 0. D. A. B.. A. D Sectio A. D ( ) 6. A b b b ( b)

More information

Lesson-2 PROGRESSIONS AND SERIES

Lesson-2 PROGRESSIONS AND SERIES Lesso- PROGRESSIONS AND SERIES Arithmetic Progressio: A sequece of terms is sid to be i rithmetic progressio (A.P) whe the differece betwee y term d its preceedig term is fixed costt. This costt is clled

More information

We will begin by supplying the proof to (a).

We will begin by supplying the proof to (a). (The solutios of problem re mostly from Jeffrey Mudrock s HWs) Problem 1. There re three sttemet from Exmple 5.4 i the textbook for which we will supply proofs. The sttemets re the followig: () The spce

More information

BRAIN TEASURES INDEFINITE INTEGRATION+DEFINITE INTEGRATION EXERCISE I

BRAIN TEASURES INDEFINITE INTEGRATION+DEFINITE INTEGRATION EXERCISE I EXERCISE I t Q. d Q. 6 6 cos si Q. Q.6 d d Q. d Q. Itegrte cos t d by the substitutio z = + e d e Q.7 cos. l cos si d d Q. cos si si si si b cos Q.9 d Q. si b cos Q. si( ) si( ) d ( ) Q. d cot d d Q. (si

More information

[Q. Booklet Number]

[Q. Booklet Number] 6 [Q. Booklet Numer] KOLKATA WB- B-J J E E - 9 MATHEMATICS QUESTIONS & ANSWERS. If C is the reflecto of A (, ) i -is d B is the reflectio of C i y-is, the AB is As : Hits : A (,); C (, ) ; B (, ) y A (,

More information

Discrete Mathematics I Tutorial 12

Discrete Mathematics I Tutorial 12 Discrete Mthemtics I Tutoril Refer to Chpter 4., 4., 4.4. For ech of these sequeces fid recurrece reltio stisfied by this sequece. (The swers re ot uique becuse there re ifiitely my differet recurrece

More information

1. (25 points) Use the limit definition of the definite integral and the sum formulas to compute. [1 x + x2

1. (25 points) Use the limit definition of the definite integral and the sum formulas to compute. [1 x + x2 Mth 3, Clculus II Fil Exm Solutios. (5 poits) Use the limit defiitio of the defiite itegrl d the sum formuls to compute 3 x + x. Check your swer by usig the Fudmetl Theorem of Clculus. Solutio: The limit

More information

BITSAT MATHEMATICS PAPER. If log 0.0( ) log 0.( ) the elogs to the itervl (, ] () (, ] [,+ ). The poit of itersectio of the lie joiig the poits i j k d i+ j+ k with the ple through the poits i+ j k, i

More information

Solutions for May. 3 x + 7 = 4 x x +

Solutions for May. 3 x + 7 = 4 x x + Solutios for May 493. Prove that there is a atural umber with the followig characteristics: a) it is a multiple of 007; b) the first four digits i its decimal represetatio are 009; c) the last four digits

More information

DETERMINANT. = 0. The expression a 1. is called a determinant of the second order, and is denoted by : y + c 1

DETERMINANT. = 0. The expression a 1. is called a determinant of the second order, and is denoted by : y + c 1 NOD6 (\Dt\04\Kot\J-Advced\SMP\Mths\Uit#0\NG\Prt-\0.Determits\0.Theory.p65. INTRODUCTION : If the equtios x + b 0, x + b 0 re stisfied by the sme vlue of x, the b b 0. The expressio b b is clled determit

More information

ALGEBRA II CHAPTER 7 NOTES. Name

ALGEBRA II CHAPTER 7 NOTES. Name ALGEBRA II CHAPTER 7 NOTES Ne Algebr II 7. th Roots d Rtiol Expoets Tody I evlutig th roots of rel ubers usig both rdicl d rtiol expoet ottio. I successful tody whe I c evlute th roots. It is iportt for

More information

National Quali cations SPECIMEN ONLY

National Quali cations SPECIMEN ONLY AH Ntiol Quli ctios SPECIMEN ONLY SQ/AH/0 Mthemtics Dte Not pplicble Durtio hours Totl mrks 00 Attempt ALL questios. You my use clcultor. Full credit will be give oly to solutios which coti pproprite workig.

More information

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii

Test de Departajare pentru MofM 2014 (Bucureşti) Enunţuri & Soluţii Test de Departajare petru MofM 04 Bucureşti Euţuri & Soluţii Problem. Give + distict real umbers i the iterval [0,], prove there exist two of them a b, such that ab a b < Solutio. Idex the umbers 0 a 0

More information

Assessment Center Elementary Algebra Study Guide for the ACCUPLACER (CPT)

Assessment Center Elementary Algebra Study Guide for the ACCUPLACER (CPT) Assessmet Ceter Elemetr Alger Stud Guide for the ACCUPLACER (CPT) The followig smple questios re similr to the formt d cotet of questios o the Accuplcer Elemetr Alger test. Reviewig these smples will give

More information

Westchester Community College Elementary Algebra Study Guide for the ACCUPLACER

Westchester Community College Elementary Algebra Study Guide for the ACCUPLACER Westchester Commuity College Elemetry Alger Study Guide for the ACCUPLACER Courtesy of Aims Commuity College The followig smple questios re similr to the formt d cotet of questios o the Accuplcer Elemetry

More information

Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths

Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths Exercise 8.1 Question 1: The angles of quadrilateral are in the ratio 3: 5: 9: 13. Find all the angles of the quadrilateral. Answer: Let the common ratio between

More information

Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths

Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths 1 Class IX Chapter 8 Quadrilaterals Maths Exercise 8.1 Question 1: The angles of quadrilateral are in the ratio 3: 5: 9: 13. Find all the angles of the quadrilateral. Let the common ratio between the angles

More information

Objective Mathematics

Objective Mathematics . o o o o {cos 4 cos 9 si cos 65 } si 7º () cos 6º si 8º. If x R oe of these, the mximum vlue of the expressio si x si x.cos x c cos x ( c) is : () c c c c c c. If ( cos )cos cos ; 0, the vlue of 4. The

More information

is continuous at x 2 and g(x) 2. Oil spilled from a ruptured tanker spreads in a circle whose area increases at a

is continuous at x 2 and g(x) 2. Oil spilled from a ruptured tanker spreads in a circle whose area increases at a . Cosider two fuctios f () d g () defied o itervl I cotiig. f () is cotiuous t d g() is discotiuous t. Which of the followig is true bout fuctios f g d f g, the sum d the product of f d g, respectively?

More information

UNIVERSITY OF CALICUT SCHOOL OF DISTANCE EDUCATION

UNIVERSITY OF CALICUT SCHOOL OF DISTANCE EDUCATION School Of Distce Eductio Questio Bk UNIVERSITY OF ALIUT SHOOL OF DISTANE EDUATION B.Sc MATHEMATIS (ORE OURSE SIXTH SEMESTER ( Admissio OMPLEX ANALYSIS Module- I ( A lytic fuctio with costt modulus is :

More information

(II.G) PRIME POWER MODULI AND POWER RESIDUES

(II.G) PRIME POWER MODULI AND POWER RESIDUES II.G PRIME POWER MODULI AND POWER RESIDUES I II.C, we used the Chiese Remider Theorem to reduce cogrueces modulo m r i i to cogrueces modulo r i i. For exmles d roblems, we stuck with r i 1 becuse we hd

More information

Qn Suggested Solution Marking Scheme 1 y. G1 Shape with at least 2 [2]

Qn Suggested Solution Marking Scheme 1 y. G1 Shape with at least 2 [2] Mrkig Scheme for HCI 8 Prelim Pper Q Suggested Solutio Mrkig Scheme y G Shpe with t lest [] fetures correct y = f'( ) G ll fetures correct SR: The mimum poit could be i the first or secod qudrt. -itercept

More information

Students must always use correct mathematical notation, not calculator notation. the set of positive integers and zero, {0,1, 2, 3,...

Students must always use correct mathematical notation, not calculator notation. the set of positive integers and zero, {0,1, 2, 3,... Appedices Of the vrious ottios i use, the IB hs chose to dopt system of ottio bsed o the recommedtios of the Itertiol Orgiztio for Stdrdiztio (ISO). This ottio is used i the emitio ppers for this course

More information

Mathematical Notations and Symbols xi. Contents: 1. Symbols. 2. Functions. 3. Set Notations. 4. Vectors and Matrices. 5. Constants and Numbers

Mathematical Notations and Symbols xi. Contents: 1. Symbols. 2. Functions. 3. Set Notations. 4. Vectors and Matrices. 5. Constants and Numbers Mthemticl Nottios d Symbols i MATHEMATICAL NOTATIONS AND SYMBOLS Cotets:. Symbols. Fuctios 3. Set Nottios 4. Vectors d Mtrices 5. Costts d Numbers ii Mthemticl Nottios d Symbols SYMBOLS = {,,3,... } set

More information

f(bx) dx = f dx = dx l dx f(0) log b x a + l log b a 2ɛ log b a.

f(bx) dx = f dx = dx l dx f(0) log b x a + l log b a 2ɛ log b a. Eercise 5 For y < A < B, we hve B A f fb B d = = A B A f d f d For y ɛ >, there re N > δ >, such tht d The for y < A < δ d B > N, we hve ba f d f A bb f d l By ba A A B A bb ba fb d f d = ba < m{, b}δ

More information

Advanced Calculus Test File Spring Test 1

Advanced Calculus Test File Spring Test 1 Advced Clculus Test File Sprig 009 Test Defiitios - Defie the followig terms.) Crtesi product of A d B.) The set, A, is coutble.) The set, A, is ucoutble 4.) The set, A, is ifiite 5.) The sets A d B re

More information

FOURIER SERIES PART I: DEFINITIONS AND EXAMPLES. To a 2π-periodic function f(x) we will associate a trigonometric series. a n cos(nx) + b n sin(nx),

FOURIER SERIES PART I: DEFINITIONS AND EXAMPLES. To a 2π-periodic function f(x) we will associate a trigonometric series. a n cos(nx) + b n sin(nx), FOURIER SERIES PART I: DEFINITIONS AND EXAMPLES To -periodic fuctio f() we will ssocite trigoometric series + cos() + b si(), or i terms of the epoetil e i, series of the form c e i. Z For most of the

More information

HIGHER SCHOOL CERTIFICATE EXAMINATION MATHEMATICS 4 UNIT (ADDITIONAL) Time allowed Three hours (Plus 5 minutes reading time)

HIGHER SCHOOL CERTIFICATE EXAMINATION MATHEMATICS 4 UNIT (ADDITIONAL) Time allowed Three hours (Plus 5 minutes reading time) HIGHER SCHOOL CERTIFICATE EXAMINATION 998 MATHEMATICS 4 UNIT (ADDITIONAL) Time llowed Three hours (Plus 5 miutes redig time) DIRECTIONS TO CANDIDATES Attempt ALL questios ALL questios re of equl vlue All

More information

T h e C S E T I P r o j e c t

T h e C S E T I P r o j e c t T h e P r o j e c t T H E P R O J E C T T A B L E O F C O N T E N T S A r t i c l e P a g e C o m p r e h e n s i v e A s s es s m e n t o f t h e U F O / E T I P h e n o m e n o n M a y 1 9 9 1 1 E T

More information

M3P14 EXAMPLE SHEET 1 SOLUTIONS

M3P14 EXAMPLE SHEET 1 SOLUTIONS M3P14 EXAMPLE SHEET 1 SOLUTIONS 1. Show tht for, b, d itegers, we hve (d, db) = d(, b). Sice (, b) divides both d b, d(, b) divides both d d db, d hece divides (d, db). O the other hd, there exist m d

More information

Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor

More information

Math 104: Final exam solutions

Math 104: Final exam solutions Mth 14: Fil exm solutios 1. Suppose tht (s ) is icresig sequece with coverget subsequece. Prove tht (s ) is coverget sequece. Aswer: Let the coverget subsequece be (s k ) tht coverges to limit s. The there

More information

Mathacle. PSet Stats, Concepts In Statistics Level Number Name: Date:

Mathacle. PSet Stats, Concepts In Statistics Level Number Name: Date: APPENDEX I. THE RAW ALGEBRA IN STATISTICS A I-1. THE INEQUALITY Exmple A I-1.1. Solve ech iequlity. Write the solutio i the itervl ottio..) 2 p - 6 p -8.) 2x- 3 < 5 Solutio:.). - 4 p -8 p³ 2 or pî[2, +

More information

POWER SERIES R. E. SHOWALTER

POWER SERIES R. E. SHOWALTER POWER SERIES R. E. SHOWALTER. sequeces We deote by lim = tht the limit of the sequece { } is the umber. By this we me tht for y ε > 0 there is iteger N such tht < ε for ll itegers N. This mkes precise

More information

Section 6.3: Geometric Sequences

Section 6.3: Geometric Sequences 40 Chpter 6 Sectio 6.: Geometric Sequeces My jobs offer ul cost-of-livig icrese to keep slries cosistet with ifltio. Suppose, for exmple, recet college grdute fids positio s sles mger erig ul slry of $6,000.

More information

Limit of a function:

Limit of a function: - Limit of fuctio: We sy tht f ( ) eists d is equl with (rel) umer L if f( ) gets s close s we wt to L if is close eough to (This defiitio c e geerlized for L y syig tht f( ) ecomes s lrge (or s lrge egtive

More information

Basic Limit Theorems

Basic Limit Theorems Bsic Limit Theorems The very "cle" proof of L9 usig L8 ws provided to me by Joh Gci d it ws this result which ispired me to write up these otes. Absolute Vlue Properties: For rel umbers x, d y x x if x

More information

Lincoln Land Community College Placement and Testing Office

Lincoln Land Community College Placement and Testing Office Licol Ld Commuity College Plcemet d Testig Office Elemetry Algebr Study Guide for the ACCUPLACER (CPT) A totl of questios re dmiistered i this test. The first type ivolves opertios with itegers d rtiol

More information

Linford 1. Kyle Linford. Math 211. Honors Project. Theorems to Analyze: Theorem 2.4 The Limit of a Function Involving a Radical (A4)

Linford 1. Kyle Linford. Math 211. Honors Project. Theorems to Analyze: Theorem 2.4 The Limit of a Function Involving a Radical (A4) Liford 1 Kyle Liford Mth 211 Hoors Project Theorems to Alyze: Theorem 2.4 The Limit of Fuctio Ivolvig Rdicl (A4) Theorem 2.8 The Squeeze Theorem (A5) Theorem 2.9 The Limit of Si(x)/x = 1 (p. 85) Theorem

More information

0 otherwise. sin( nx)sin( kx) 0 otherwise. cos( nx) sin( kx) dx 0 for all integers n, k.

0 otherwise. sin( nx)sin( kx) 0 otherwise. cos( nx) sin( kx) dx 0 for all integers n, k. . Computtio of Fourier Series I this sectio, we compute the Fourier coefficiets, f ( x) cos( x) b si( x) d b, i the Fourier series To do this, we eed the followig result o the orthogolity of the trigoometric

More information

a= x+1=4 Q. No. 2 Let T r be the r th term of an A.P., for r = 1,2,3,. If for some positive integers m, n. we 1 1 Option 2 1 1

a= x+1=4 Q. No. 2 Let T r be the r th term of an A.P., for r = 1,2,3,. If for some positive integers m, n. we 1 1 Option 2 1 1 Q. No. th term of the sequece, + d, + d,.. is Optio + d Optio + (- ) d Optio + ( + ) d Optio Noe of these Correct Aswer Expltio t =, c.d. = d t = + (h- )d optio (b) Q. No. Let T r be the r th term of A.P.,

More information

334 MATHS SERIES DSE MATHS PREVIEW VERSION B SAMPLE TEST & FULL SOLUTION

334 MATHS SERIES DSE MATHS PREVIEW VERSION B SAMPLE TEST & FULL SOLUTION MATHS SERIES DSE MATHS PREVIEW VERSION B SAMPLE TEST & FULL SOLUTION TEST SAMPLE TEST III - P APER Questio Distributio INSTRUCTIONS:. Attempt ALL questios.. Uless otherwise specified, ll worig must be

More information

Definite Integral. The Left and Right Sums

Definite Integral. The Left and Right Sums Clculus Li Vs Defiite Itegrl. The Left d Right Sums The defiite itegrl rises from the questio of fidig the re betwee give curve d x-xis o itervl. The re uder curve c be esily clculted if the curve is give

More information

Review of Sections

Review of Sections Review of Sectios.-.6 Mrch 24, 204 Abstrct This is the set of otes tht reviews the mi ides from Chpter coverig sequeces d series. The specific sectios tht we covered re s follows:.: Sequces..2: Series,

More information

Content: Essential Calculus, Early Transcendentals, James Stewart, 2007 Chapter 1: Functions and Limits., in a set B.

Content: Essential Calculus, Early Transcendentals, James Stewart, 2007 Chapter 1: Functions and Limits., in a set B. Review Sheet: Chpter Cotet: Essetil Clculus, Erly Trscedetls, Jmes Stewrt, 007 Chpter : Fuctios d Limits Cocepts, Defiitios, Lws, Theorems: A fuctio, f, is rule tht ssigs to ech elemet i set A ectly oe

More information

Remarks: (a) The Dirac delta is the function zero on the domain R {0}.

Remarks: (a) The Dirac delta is the function zero on the domain R {0}. Sectio Objective(s): The Dirc s Delt. Mi Properties. Applictios. The Impulse Respose Fuctio. 4.4.. The Dirc Delt. 4.4. Geerlized Sources Defiitio 4.4.. The Dirc delt geerlized fuctio is the limit δ(t)

More information

MTH 146 Class 16 Notes

MTH 146 Class 16 Notes MTH 46 Clss 6 Notes 0.4- Cotiued Motivtio: We ow cosider the rc legth of polr curve. Suppose we wish to fid the legth of polr curve curve i terms of prmetric equtios s: r f where b. We c view the cos si

More information

( ) dx ; f ( x ) is height and Δx is

( ) dx ; f ( x ) is height and Δx is Mth : 6.3 Defiite Itegrls from Riem Sums We just sw tht the exct re ouded y cotiuous fuctio f d the x xis o the itervl x, ws give s A = lim A exct RAM, where is the umer of rectgles i the Rectgulr Approximtio

More information

UNIVERSITY OF BRISTOL. Examination for the Degrees of B.Sc. and M.Sci. (Level C/4) ANALYSIS 1B, SOLUTIONS MATH (Paper Code MATH-10006)

UNIVERSITY OF BRISTOL. Examination for the Degrees of B.Sc. and M.Sci. (Level C/4) ANALYSIS 1B, SOLUTIONS MATH (Paper Code MATH-10006) UNIVERSITY OF BRISTOL Exmitio for the Degrees of B.Sc. d M.Sci. (Level C/4) ANALYSIS B, SOLUTIONS MATH 6 (Pper Code MATH-6) My/Jue 25, hours 3 miutes This pper cotis two sectios, A d B. Plese use seprte

More information

Unit 1. Extending the Number System. 2 Jordan School District

Unit 1. Extending the Number System. 2 Jordan School District Uit Etedig the Number System Jord School District Uit Cluster (N.RN. & N.RN.): Etedig Properties of Epoets Cluster : Etedig properties of epoets.. Defie rtiol epoets d eted the properties of iteger epoets

More information

A GENERALIZATION OF GAUSS THEOREM ON QUADRATIC FORMS

A GENERALIZATION OF GAUSS THEOREM ON QUADRATIC FORMS A GENERALIZATION OF GAU THEOREM ON QUADRATIC FORM Nicole I Brtu d Adi N Cret Deprtmet of Mth - Criov Uiversity, Romi ABTRACT A origil result cocerig the extesio of Guss s theorem from the theory of biry

More information

Chapter 7 Infinite Series

Chapter 7 Infinite Series MA Ifiite Series Asst.Prof.Dr.Supree Liswdi Chpter 7 Ifiite Series Sectio 7. Sequece A sequece c be thought of s list of umbers writte i defiite order:,,...,,... 2 The umber is clled the first term, 2

More information

n 2 + 3n + 1 4n = n2 + 3n + 1 n n 2 = n + 1

n 2 + 3n + 1 4n = n2 + 3n + 1 n n 2 = n + 1 Ifiite Series Some Tests for Divergece d Covergece Divergece Test: If lim u or if the limit does ot exist, the series diverget. + 3 + 4 + 3 EXAMPLE: Show tht the series diverges. = u = + 3 + 4 + 3 + 3

More information

42nd International Mathematical Olympiad

42nd International Mathematical Olympiad nd Interntionl Mthemticl Olympid Wshington, DC, United Sttes of Americ July 8 9, 001 Problems Ech problem is worth seven points. Problem 1 Let ABC be n cute-ngled tringle with circumcentre O. Let P on

More information

Things I Should Know In Calculus Class

Things I Should Know In Calculus Class Thigs I Should Kow I Clculus Clss Qudrtic Formul = 4 ± c Pythgore Idetities si cos t sec cot csc + = + = + = Agle sum d differece formuls ( ) ( ) si ± y = si cos y± cos si y cos ± y = cos cos ym si si

More information

GRADE 12 SEPTEMBER 2016 MATHEMATICS P1

GRADE 12 SEPTEMBER 2016 MATHEMATICS P1 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE SEPTEMBER 06 MATHEMATICS P MARKS: 50 TIME: 3 hours *MATHE* This questio pper cosists of pges icludig iformtio sheet MATHEMATICS P (EC/SEPTEMBER 06 INSTRUCTIONS AND INFORMATION

More information

MATH 104 FINAL SOLUTIONS. 1. (2 points each) Mark each of the following as True or False. No justification is required. y n = x 1 + x x n n

MATH 104 FINAL SOLUTIONS. 1. (2 points each) Mark each of the following as True or False. No justification is required. y n = x 1 + x x n n MATH 04 FINAL SOLUTIONS. ( poits ech) Mrk ech of the followig s True or Flse. No justifictio is required. ) A ubouded sequece c hve o Cuchy subsequece. Flse b) A ifiite uio of Dedekid cuts is Dedekid cut.

More information

[ 11 ] z of degree 2 as both degree 2 each. The degree of a polynomial in n variables is the maximum of the degrees of its terms.

[ 11 ] z of degree 2 as both degree 2 each. The degree of a polynomial in n variables is the maximum of the degrees of its terms. [ 11 ] 1 1.1 Polyomial Fuctios 1 Algebra Ay fuctio f ( x) ax a1x... a1x a0 is a polyomial fuctio if ai ( i 0,1,,,..., ) is a costat which belogs to the set of real umbers ad the idices,, 1,...,1 are atural

More information

8.1 Arc Length. What is the length of a curve? How can we approximate it? We could do it following the pattern we ve used before

8.1 Arc Length. What is the length of a curve? How can we approximate it? We could do it following the pattern we ve used before 8.1 Arc Legth Wht is the legth of curve? How c we pproximte it? We could do it followig the ptter we ve used efore Use sequece of icresigly short segmets to pproximte the curve: As the segmets get smller

More information

Infinite Series Sequences: terms nth term Listing Terms of a Sequence 2 n recursively defined n+1 Pattern Recognition for Sequences Ex:

Infinite Series Sequences: terms nth term Listing Terms of a Sequence 2 n recursively defined n+1 Pattern Recognition for Sequences Ex: Ifiite Series Sequeces: A sequece i defied s fuctio whose domi is the set of positive itegers. Usully it s esier to deote sequece i subscript form rther th fuctio ottio.,, 3, re the terms of the sequece

More information

A VERSION OF THE KRONECKER LEMMA

A VERSION OF THE KRONECKER LEMMA UPB Sci Bull, Series A, Vol 70, No 2, 2008 ISSN 223-7027 A VERSION OF THE KRONECKER LEMMA Gheorghe BUDIANU I lucrre se prezit o vrit lemei lui Kroecer reltiv l siruri si serii de umere rele Rezulttele

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

INVERSION IN THE PLANE BERKELEY MATH CIRCLE

INVERSION IN THE PLANE BERKELEY MATH CIRCLE INVERSION IN THE PLANE BERKELEY MATH CIRCLE ZVEZDELINA STANKOVA MILLS COLLEGE/UC BERKELEY SEPTEMBER 26TH 2004 Contents 1. Definition of Inversion in the Plane 1 Properties of Inversion 2 Problems 2 2.

More information

INTEGRATION TECHNIQUES (TRIG, LOG, EXP FUNCTIONS)

INTEGRATION TECHNIQUES (TRIG, LOG, EXP FUNCTIONS) Mthemtics Revisio Guides Itegrtig Trig, Log d Ep Fuctios Pge of MK HOME TUITION Mthemtics Revisio Guides Level: AS / A Level AQA : C Edecel: C OCR: C OCR MEI: C INTEGRATION TECHNIQUES (TRIG, LOG, EXP FUNCTIONS)

More information

MATH 118 HW 7 KELLY DOUGAN, ANDREW KOMAR, MARIA SIMBIRSKY, BRANDEN LASKE

MATH 118 HW 7 KELLY DOUGAN, ANDREW KOMAR, MARIA SIMBIRSKY, BRANDEN LASKE MATH 118 HW 7 KELLY DOUGAN, ANDREW KOMAR, MARIA SIMBIRSKY, BRANDEN LASKE Prt 1. Let be odd rime d let Z such tht gcd(, 1. Show tht if is qudrtic residue mod, the is qudrtic residue mod for y ositive iteger.

More information

Vectors - Applications to Problem Solving

Vectors - Applications to Problem Solving BERKELEY MATH CIRCLE 00-003 Vectors - Applications to Problem Solving Zvezdelina Stankova Mills College& UC Berkeley 1. Well-known Facts (1) Let A 1 and B 1 be the midpoints of the sides BC and AC of ABC.

More information

1 Tangent Line Problem

1 Tangent Line Problem October 9, 018 MAT18 Week Justi Ko 1 Tget Lie Problem Questio: Give the grph of fuctio f, wht is the slope of the curve t the poit, f? Our strteg is to pproimte the slope b limit of sect lies betwee poits,

More information

Accuplacer Elementary Algebra Study Guide

Accuplacer Elementary Algebra Study Guide Testig Ceter Studet Suess Ceter Aupler Elemetry Alger Study Guide The followig smple questios re similr to the formt d otet of questios o the Aupler Elemetry Alger test. Reviewig these smples will give

More information

First selection test, May 1 st, 2008

First selection test, May 1 st, 2008 First selectio test, May st, 2008 Problem. Let p be a prime umber, p 3, ad let a, b be iteger umbers so that p a + b ad p 2 a 3 + b 3. Show that p 2 a + b or p 3 a 3 + b 3. Problem 2. Prove that for ay

More information

Chapter 2 Infinite Series Page 1 of 9

Chapter 2 Infinite Series Page 1 of 9 Chpter Ifiite eries Pge of 9 Chpter : Ifiite eries ectio A Itroductio to Ifiite eries By the ed of this sectio you will be ble to uderstd wht is met by covergece d divergece of ifiite series recogise geometric

More information

ICSE Board Class IX Mathematics Paper 4 Solution

ICSE Board Class IX Mathematics Paper 4 Solution ICSE Bord Clss IX Mthemtics Pper Solution SECTION A (0 Mrks) Q.. () Consider x y 6 5 5 x y 6 5 5 0 6 0 6 x y 6 50 8 5 6 7 6 x y 6 7 6 x y 6 x 7,y (b) Dimensions of the brick: Length (l) = 0 cm, bredth

More information

Name: A2RCC Midterm Review Unit 1: Functions and Relations Know your parent functions!

Name: A2RCC Midterm Review Unit 1: Functions and Relations Know your parent functions! Nme: ARCC Midterm Review Uit 1: Fuctios d Reltios Kow your pret fuctios! 1. The ccompyig grph shows the mout of rdio-ctivity over time. Defiitio of fuctio. Defiitio of 1-1. Which digrm represets oe-to-oe

More information

GRADE 12 JUNE 2017 MATHEMATICS P2

GRADE 12 JUNE 2017 MATHEMATICS P2 NATIONAL SENIOR CERTIFICATE GRADE 1 JUNE 017 MATHEMATICS P MARKS: 150 TIME: 3 hours *JMATHE* This questio paper cosists of 14 pages, icludig 1 page iformatio sheet, ad a SPECIAL ANSWER BOOK. MATHEMATICS

More information

Chapter Real Numbers

Chapter Real Numbers Chpter. - Rel Numbers Itegers: coutig umbers, zero, d the egtive of the coutig umbers. ex: {,-3, -, -, 0,,, 3, } Rtiol Numbers: quotiets of two itegers with ozero deomitor; termitig or repetig decimls.

More information

MA123, Chapter 9: Computing some integrals (pp )

MA123, Chapter 9: Computing some integrals (pp ) MA13, Chpter 9: Computig some itegrls (pp. 189-05) Dte: Chpter Gols: Uderstd how to use bsic summtio formuls to evlute more complex sums. Uderstd how to compute its of rtiol fuctios t ifiity. Uderstd how

More information