MODELAREA DECIZIEI FINANCIARE - Manual de studiu individual -

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "MODELAREA DECIZIEI FINANCIARE - Manual de studiu individual -"

Transcription

1 Lect. uv. dr. Carme Judth GRIGORESCU Cof. uv. dr. Graţela GHIC MODELAREA DECIZIEI FINANCIARE - Maual de studu dvdual -

2

3 Lect. uv. dr. Carme Judth GRIGORESCU Cof. uv. dr. Graţela GHIC MODELAREA DECIZIEI FINANCIARE - Maual de studu dvdual - 3

4 Copyrght 0, Edtura Pro Uverstara Toate drepturle asupra prezete edţ aparţ Edtur Pro Uverstara Nco parte d acest volum u poate f copată fără acordul scrs al Edtur Pro Uverstara ISBN

5 CUPRINS INTRODUCERE... 9 Utatea de îvăţare Modelarea proceselor ecoomce. Modelarea ecoomco-matematcă. Teora optmzăr..... Itroducere..... Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Coţutul utăţ de îvăţare metoda Cercetăr Operaţoale Metoda calcululu margal. Aalza mcroecoomcă a cosumatorulu ş producătorulu Geeraltǎţ Caracterstc geerale ale fucţlor de producţe optmzarea decze cosumatorulu Utatea de îvăţare Aalza ecoomco-matematcă a uor modele lare Itroducere Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Coţutul utăţ de îvăţare Formularea ue probleme de programare lară ş modelul său mathematc Algortmul smple Algortmul smple prmal Determarea ue soluţ de bază ţale Dualtatea î programarea lară Formularea PPL - duale. Teorema fudametală a dualtăţ Iterpretăr ecoomce ale dualtăţ Problema de trasport Modelul matematc al probleme de trasport... 5 Utatea de îvăţare 3 Aplcaţ ale programăr matematce î fudametarea deczlor optme Itroducere

6 3..Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Coţutul utăţ de îvăţare Programarea elară prezetare Codţle Kuh Tucker Programare pătratcă Metoda smple petru rezolvare problemelor de programare pătratcă (Metoda Frak ş Wolfe) Utatea de îvăţare 4 Gestuea optmă a stocurlor Itroducere Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Coţutul utăţ de îvăţare Model de stoc cu cerere costată, fără ruptură de stoc Modelul de stoc cu cerere costată, fără lpsă de stoc, petru ma multe produse Modelul de stoc cu cerere costată, cu posbltatea îtreruper stoculu, petru ma multe produse Utatea de îvăţare 5 Modelarea decze de vestţe, compoetă prcpală a deczlor facare Itroducere Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Coţutul utăţ de îvăţare Trăsăturle decze de vestţ Decz vestţoale la velul frme Obectve ş restrcţ î cazul adoptăr decze de vestţ î actve reale Obectve ş restrcţ î cazul adoptăr decze de vestţ î actve facare Modelarea decze de portofolu U model de aalză prvd varaţa rate dobâz ş a cele de schmb Echlbrul î varata vesttorlor eutr la rsc Echlbrul î varata vesttorlor cu aversue faţă de rsc Utatea de îvăţare 6 Metode multcrterale petru fudametarea decze de vestţ î codţ de certtude Itroducere

7 6.3..Metode de rezolvare a problemelor deczoale Metoda programăr scop Metoda bazată pe teora mulţmlor vag TEME DE CONTROL... 8 BIBLIOGRAFIE

8 8

9 INTRODUCERE Dscpla Modelarea decze facare este îscrsă î plaul de îvăţămât î cadrul dscplelor cucaracter teoretco-aplcatv ş are drept scop rezolvarea problemelor specfce acestu domeu. Deczle facare sut caracterzate de o raţoaltate lmtată, de lpsa de formaţe completă a decdetulu ceea ce semfcă faptul că modelarea deczlor ar trebu să se realzeze cu scopul ue ma bue formăr. Modul î care omul descoperă cuoaşterea ş raţoează î obţerea formaţe repreztă puctul de plecare î modelarea orcăre decz. Obectvele cursulu Ca prcpal obectv dscpla Modelarea decze facare îş propue să studeze procedeele, tehcle ş metodele specfce de modelare a deczlor facare, precum ş aalza ş terpretarea rezultatelor obţute. De asemeea, dscpla urmăreste îţelegerea procedeelor aplcate, deprderea abltăţlor de lucru cu soft specalzat, precum ş aplcarea î practcă, pr stud de caz rezolvate ş propuse, a metodelor de îvăţare. Competeţe coferte După parcurgerea acestu curs, studetul va dobâd următoarele competețe specfce: Competeţe specfce. Cuoaştere ş îţelegere Cuoaşterea ş utlzarea adecvată a oţulor specfce dscple, eplcarea ş terpretarea uor cocepte ş de specfce acestea, precum ş proecte teoretce ş/sau practce de aplcare a oţulor specfce.. Eplcare ş terpretare - eplcarea ş terpretarea dverselor rezultate obtute î urma modelar deczlor facare; - estmarea corectă a tuturor parametrlor modelulu; - valdarea modelulu pr verfcarea tuturor potezelor statstce emse. 3. Istrumetal aplcatve - cursurle sut predate î mod teractv; - î cadrul orelor de semar, se vor efectua împreua cu studet ample stud de caz, utlzâd u soft specfc estmărlor ecoometrce EVews; - sut utlzate, de asemeea, teste grla de evaluare. 4. Attudale - formarea ue attud resposable faţă de stuaţle î care se modeleaza deczlor facare î cadrul ecoome aţoale Resurse ş mloace de lucru Cursul dspue de maual scrs, supus studulu dvdual al studeţlor, precum ş de materal publcat pe Iteret sub formă de steze, teste de autoevaluare, stud de caz, aplcaţ, ecesare îtregr cuoştţelor practce ş teoretce î domeul studat. Î tmpul covocărlor, î prezetarea cursulu sut foloste echpamete audo-vzuale, metode teractve ş partcpatve de atreare a studeţlor petru coceptualzarea ş vzualzarea practcă a oţulor predate. Structura cursulu Cursul este compus d 6 utăţ de îvăţare: Utatea de îvăţare. Utatea de îvăţare. Modelarea proceselor ecoomce. Modelarea ecoomcomatematcă. Teora optmzăr Aalza ecoomco-matematcă a uor modele lare 9

10 Utatea de îvăţare 3. Utatea de îvăţare 4. Utatea de îvăţare 5. Utatea de îvăţare 6. Aplcaţ ale programăr matematce î fudametarea deczlor optme Gestuea optmă a stocurlor Modelarea decze de vestţe, compoetă prcpală a deczlor facare Metode multcrterale petru fudametarea decze de vestţ î codţ de certtude 0

11 Utatea de îvăţare Modelarea proceselor ecoomce.modelarea ecoomcomatematcă. Teora optmzăr.. Itroducere Datortă caracterulu d ce î ce ma comple al feomeelor ecoomco-socale d ultmele dece precum ş datortă multtud formelor de mafestare a acestora face mposblă luarea uor decz corecte bazate doar pe epereţa maagerală, orcât de vastă ar f aceasta. Î prezet studul feomeelor ecoomco-socale ecestă modaltăţ de abordare precum ş strumete de cercetare varate ş de foarte multe or sofstcate. Estă cazur, relatv smple, î care luarea uor decz be fudametate u ecestă o aalză deosebtă, îsă î prezet, actvtăţle de coducere ecoomcă, admstratvă, poltcă, tehologcă etc. u pot f cocepute fără rezolvarea uor probleme mportate de decz ecoomce optme. Se poate afrma că procesul de optmzare a deczlor facare costă î alegerea ue aumte varate, d ma multre posble, ataşate uu aumt feome sau proces ecoomc... Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Obectvele utăţ de îvăţare: - scopul aceste utăţ de îvăţare este acela de a- famlarza pe studeţ ecoomşt cu metodologa modelăr actvtăţ frme, pr prezetarea uora dtre cele ma mportate ş utle modele la vel de îtreprdere: modele de producţe, modele de dstrbuţe, modele de stablre a preţulu, modele de gestue a resurselor umae, modele de gestue facară, modele deczoale; - cuoaşterea metodelor specfce modelăr ecoomco-facare; - fudametarea corectă a decze facare.

12 Competeţele utăţ de îvăţare: - cuoaşterea ş utlzarea adecvată a oţulor specfce dscple, eplcarea ş terpretarea uor cocepte ş de specfce acestea, precum ş proecte teoretce ş/sau practce de aplcare a oţulor specfce; - eplcarea ş terpretarea dverselor rezultate obtute î urma modelar deczlor facare; - estmarea corectă a tuturor parametrlor modelulu; - valdarea modelulu pr verfcarea tuturor potezelor statstce emse; - deprderea tehclor de costrure a modelelor ş a abltăţ de utlzare a lor la rezolvarea dfertelor probleme cu care se cofrută frma sut pe cât de utle, pe atât de ecesare ecoomştlor ş î specal ecoomştlor formatce, al căror rol prcpal costă î asgurarea uu grad d ce î ce ma mare de formatzare a actvtăţ frme..3. Coţutul utăţ de îvăţare.3..metoda Cercetăr Operaţoale Cercetarea Operaţoală ca Aplcarea metodelor ştţfce petru aalzarea ş soluţoarea problemelor de decze maagerală. Petru a se putea lua decz fudametate pe baza uor astfel de dcator, Cercetarea Operaţoală studază obectul supus ateţe, î toată completatea lu ş ma ales legăturle ş terdepedeţele pr care se caracterzează feomeul comple. Prcpalele caracterstc sut: - se cocetrează î prcpal asupra procesulu de luare a deczlor; - fudametează ştţfc deczle maagerale; - eamează stuaţle deczoale dtr-o perspectvă cuprzătoare; - utlzează metode ş cuoştţe d multe dscple; - costtue u suport petru modelele matematce; - permte folosrea calculatoarelor electroce. Partculartăţle care cocretzează acţuea de cercetare operaţoală prvesc astfel, stratega procesulu deczoal. Metodologc foarte comple, cercetarea operaţoală poate răspude uu câmp larg de probleme ale practc ecoomce: plafcarea operatvă ş de perspectvă, repartţa optmă a vestţlor, progoza progresulu tehc ş a creşter ecoomce etc. Comtetul de Cercetare Operatoala a Coslulu Natoal de Cercetare a Mar Brta

13 Desfăşurarea etapelor cercetăr D lucrarea fudametală a lu C. W. Churchma, R.L.Ackoff, desfăşurarea ue cercetăr operaţoale trebue să parcurgă şase etape, după cum urmează: )Formularea probleme - presupue stablrea comportametulu efcet îtr-u aumt scop î fucţe de obectvele urmărte de beefcarul cercetăr; efceţa trebue să se eprme î terme comesurabl, ar aplcabltatea modulu de comportare să fe testată; )Proectarea uu model matematc petru sstemul ce formează obectul cercetăr. Modelul ogldeşte efceţa ca fucţe de ma multe varable, d care cel puţ ua este flueţablă ş este dat, î formă geerală de relaţa: Z=f(, y ) ude Z - efceţa sstemulu ; varablele flueţable ; y varablele eflueţable. 3) Determarea ue soluţ optme pr metode matematce aaltce sau pr soluţle umerce ale modelulu. 4)Testarea modelulu ş a soluţe. Aceasta costtue etapa î care se eamează care d rezultatele obţute pr calcule sut valable ş care u ma corespud. 5) Cotrolul ş adecvarea soluţe. Această etapă este ecesară îtrucât soluţa îş poate păstra valabltatea doar cu codţa ca varablele ecuprse î model să-ş coserve valoarea, ar relaţle dtre varablele cuprse să rămâă egale. 6) Traspuerea soluţe î practcă. Petru cocretzarea desfăşurăr acestor etape, aalzăm modul de pregătre a decze ce trebue s-o a coducerea ue frme cu prvre la proflul vtor de producţe al acestea. Prma etapă poreşte de la defrea cercetăr î terme ştţfc de către beefcarul aalze; sut delmtate elemetele asupra cărora va flueţa decza (structura producţe, vestţle î mloace fe, codţle margale, durata peroade de pla, dezvoltarea forţe de mucă etc.). Aalza sstemulu vzează: - structura estetă ş caracterstcle subsstemulu codus; - elemetele care pot f afectate de decza ce urmează să se a ş relaţle dtre ele; - problemele prcpale cu care se cofrută utatea ş frecveţa lor. Etapa modelăr obectulu cercetăr are la bază aalza efectuată, ar petru cuoaşterea structur ş coeulor d sstem se folosesc modele stadardzate sau se costruesc modele o, potrvt problematc puse. Îtrucât problematca presupue şte poteze specale, de eemplu, dmesule codţlor margale meţoate, fucţ de producţe respectv relaţ resurse-rezultate, î depedeţă de resursele foloste sau relaţ date de evaluăr ale produselor ş ale mloacelor de producţe, sarca proectăr modelulu reve îtreg echpe de cercetare (ecoomşt, aparat maageral etc.). Deducerea d modelarea efectuată a ue soluţ optmale ecestă 3

14 formularea măsurlor operator petru aplcarea soluţlor ş preczarea flueţelor lor asupra domeulu modelat ş a domelor adacete. D desfăşurarea aceste etape decdetul trebue să obţă, luâd î calcul codţle margale: datele optmale ale proflulu de producţe la sfârştul peroade plafcate, precum ş flueţele ce le poate suporta d partea factorlor care -au fost luaţ î cosderare la modelare. Etapa a patra, a testăr modelulu ş a soluţlor este destul de dfclă, datortă î prcpal faptulu că soluţle modelulu rămâ valable atâta tmp cât se păstrează costaţa elemetelor ş a relaţlor d sstem ecuprse î model, precum ş a coefceţlor cu care s-a lucrat la modelare. De aceea etapa următoare, a cotrolulu, deve o codţe ecesară, î orce domeu de aplcare a cercetăr operaţoale, clusv al plafcăr. Feomee ecoomce modelate matematc Î fucţe de atura problemelor ce se vesc deosebm tre tpur de feomee ecoomce petru care se pot costru modele ecoomco-matematce capable să ofere decdetulu soluţ acceptable î drarea feomeulu: - probleme prvd actvtăţle cocureţale; - probleme de decz secveţale; - probleme de corelaţe ecoomcă. a) Problemele prvd actvtăţle cocureţale apar î cadrul utăţlor de producţe, cuoscute fd ca probleme de utlzare efcetă a resurselor lmtate cu scopul obţer uu aumt vel de producţe. Efceţa sstemulu este caracterzată î cadrul modelulu ecoomco-matematc de fucţa obectv a actvtăţ globale a sstemulu. Aceasta poate f eprmată ca o codţe de mmzare a uor cheltuel cerute de realzarea actvtăţlor cocureţale sau ca o cerţă de mamzare a uor vetur. Î acest ses prezetăm î cotuare câteva stuaţ tpce. Cosumur de resurse care sut atât de lmtate (greu de procurat sau prea coststoare) îcât u e teresează uma îcadrarea îtr-u mam mpus ma mult sau ma puţ emprc, c ş desfăşurarea actvtăţ la velul mm posbl de cosum. Î acest cotet se poate formula, de eemplu, u model ecoomcomatematc î care frme cosderate se cere realzarea uu aumt vel al producţe î codţle mmzăr cosumulu total de eerge. Acelaş model, dar avâd drept crteru de efceţă mamzarea uua d dcator ecoomc producţe globală, beefcu etc. poate coduce la alte soluţ optme. Parametrzâd modelul se poate detfca soluţa optmă care satsface cerţele mpuse de utlzarea dfertelor crter de efceţă. Aalza comparatvă a dfertelor varate optmale permte decdetulu să determe factor care flueţează î mod deosebt valoarea uua sau altua dtre crterle foloste, de la ce prag această flueţă deve semfcatvă. Realzarea uu mam de producţe fzcă. La velul frme apare ueor această problemă dusă î specal de ecestatea satsfacer uor cerţe stablte fe d terorul, fe d 4

15 eterorul sstemulu. Iteresează astfel care este soluţa optmă de obţere a acestu mam ş cu ce cosum de resurse se poate realza acest obectv al actvtăţ de producţe. Î aceste codţ se poate aalza efortul ecoomc ecesar obţer uu mam de producţe, petru a determa astfel care este velul de retabltate al produsulu (actvtăţ respectve). Valorc, se poate solcta mmzarea cheltuellor (materale, totale, cu forţa de mucă sau uma petru uul dtre factor). Petru a preve aparţa uor dscordaţe dtre optmul local ş cel global, ca ş a uor cotradcţ logce (care dau de obce mulţmea soluţlor admsble vdă), acest tp de modele trebue să coţă restrcţ de realzare a uor velur mme de producţe, ma ales la produsele puterc cosumatoare de resurse dar care u pot f ecluse d plaul de producţe. Aceste tpur de modele pot f corelate uele cu altele, î scopul aalze flueţe dfertelor tpur de cosumur asupra structurlor optme de producţe (la u vel mpus al obectvelor oblgator de realzat). Realzarea uu mam al producţe eercţulu, al cfre de afacer etc. Utlzarea producţe eercţulu î caltate de crteru de optmzare coduce la obţerea uor structur optme cu u mam de producţe fzcă, dfereţat pe produse, fără a ţe seama de velul cheltuellor, î tmp ce celălalt dcator asgură realzarea de structur î care să se obţă mamum de producţe dar cu cheltuel cât ma mc. Idferet de crterul de optmzare ales se urmăreşte, î fal, găsrea ue structur optme a producţe ş a cosumurlor de resurse astfel îcât să se realzeze cerţele de producţe fără a depăş dspoblul estet de resurse. Evdet, pot apare compatbltăţ atuc câd cerţele de producţe mpu solctarea resurselor peste dspoblul estet. Î acest caz parametrzarea aumtor restrcţ ale modelulu poate dca la ce vel trebue dmuate cerţele sau suplmetate resursele. Altfel, dc smlare se obţ aalzâd varablele duale. U strumet rguros ş efcet de aalză ş soluţoare a acestor probleme îl costtue programarea matematcă. Maortatea problemelor la care se auge î practcă sut probleme de programare elară. Nelartatea mplcă îsă seroase dfcultăţ matematce, atât de atură teoretcă cât ş calculatore. Petru a se putea folos metodele efcete ale programăr lare se larzează, de obce, modelul, adcă se troduc poteze suplmetare, ma mult sau ma puţ ustfcate ş acceptable d puct de vedere ecoomc, astfel îcât să fm coduş la restrcţ ş fucţ obectv lare. Se obţe î acest fel u model smplfcat care costtue o prmă apromare a feomeelor reale. Trebue îsă avut î vedere faptul că potezele smplfcatoare e oblgă de multe or să eglăm aspecte eseţale ale feomeulu real ş dec soluţa va reprezeta tot o prmă apromaţe a optmulu real. U prm pas spre u model ma elastc, care să apromeze ma be realtatea, îl costtue u model de programare pătratcă ş trebue preczat îcă de la îceput că d puct de vedere al 5

16 efceţe metodele programăr pătratce sut î totul comparable cu cele ale programăr lare. Atuc câd terv parametr stocastc se recomadă apelarea la uele metode de modelare stocastcă. Cercetărle d ultma vreme au făcut efortur petru a soluţoa umeroasele probleme de ord teoretc ş metodologc tervete la aplcarea programăr stocastce î problemele d ecoome. Dfcultatea mplemetăr acestora determă aalşt să trasforme problemele î cazur partculare ş aume să le rezolve fe petru u aumt vel medu al varable aleatoare, fe petru aumte realzăr ale lor, deved astfel probleme determste. Caracterstc acestor metode este faptul că permte eprmarea depedeţe dtre actvtăţ ş resurse ş că oferă posbltatea troducer uor fucţ obectv care eprmă îtr-o formă sau alta efceţa actvtăţ globale. b) Problemele de decz secveţale sut cele î care trebue găstă calea optmă de evoluţe a uu proces ecoomc care îş modfcă starea î fucţe de o succesue de decz adoptate î mod secveţal. Spre deosebre de problemele d prma categore, acest mod de abordare surprde o succesue de stăr ale sstemulu aalzat modfcate pr deczle adoptate. Deczle pot f fudametate emprc sau pot f optmzate pr modele de programare. Importat este îsă faptul că aceste decz pot f u uma de atură temporală dar ş spaţală sau pur logcă. Elemetul deczoal odată adoptat modfcă starea sstemulu, ar succesuea deczlor (dferet dacă e temporală sau uma logcă) poate să perturbe sstemul de la starea fată ca obectv. Metodele de programare damcă oferă cadrul geeral petru formularea ş rezolvarea acestu tp de probleme. Spre deosebre de programarea lară ude modelarea deve o problemă codţoată de baza de date estetă ş de costrurea varablelor ş restrcţlor adecvate, î modelarea pr programarea damcă problema eseţală este aceea a formulăr algortmulu specfc feomeulu ecoomc abordat. Elemetele ce trebuesc stablte î cazul modelăr pr programarea damcă sut: etapele procesulu secveţal; caracterzarea algortmcă a mulţm stărlor sstemulu; mulţmea deczlor ce pot f adoptate; comportarea sstemulu; utltăţle parţale ale deczlor. Petru smplfcare î geeral fucţa de utltate este presupusă adtvă. Orgazarea datelor î programarea damcă se poate realza ş cu autorul grafurlor. Stablrea poltc optme presupue calcularea valor utltăţ totale petru fecare poltcă ş determarea acelor poltc petru care utltatea totală atge valoarea mamă (sau depăşeşte u aumt prag cosderat acceptabl). Ipotezele de bază ale programăr damce sut: - sut ecluş factor cotrolabl, trecerea sstemulu dtr-o stare î alta făcâdu-se doar î urma adoptăr ue decz. - orcâd se poate determa o poltcă î evoluţa sstemulu. Apar de cele ma multe or îsă stuaţ î care u putem precza cu certtude comportarea sstemulu decât cu o aumtă 6

17 probabltate. Astfel avem de-a face cu o problemă de programare damcă stocastcă destul de uşor de formulat dar greu de soluţoat (crearea uor baze de date petru asemeea probleme cere efectuarea uor calcule statstce laboroase î codţle cuoaşter sstemulu îtr-u umăr mare de stuaţ asemăătoare petru a stabl probabltăţle aumtor stăr). Dacă aceste probabltăţ pot f calculate, modelarea damcă poate utlza ş laţurle Markov care descru procese damce ale căror stăr la u momet dat u depd de succesuea ateroară de stăr. Determarea uor strateg î codţ de rsc sau certtude, î stuaţa î care se a î cosderare ş răspusul sstemulu la deczle luate, este o problemă care se poate formula î terme teore ocurlor. Modelarea pr teora ocurlor ţe cot de reacţa sstemulu la deczle luate d etapă î etapă. Este tot o problemă de modelare damcă î care îsă se a î cosderare posbltatea ca sstemul să răspudă dfert la ua ş aceeaş codţe (u ma este valablă codţa de uvoctate) ş să pealzeze prtr-o fucţe de utltate propre utltatea geerală a stratege abordate. Orgazarea damcă a producţe poate f abordată pr metode de teora grafurlor, ca ş pr orcare alte metode de programare damcă. c) Problemele de corelaţe ecoomcă sut probleme de cotutate refertoare la tedţele de evoluţe a feomeulu ecoomc. Deosebm două tpur: - terrelaţ ş depedeţe ître feomee ecoomce; - evoluţa - logcă sau temporală - a feomeelor ecoomce. Î procesul deczoal este ecesar să se dspuă de formaţe statstcă varată ş compleă, î care să se cuoască ş să se folosească cu dscerămât relaţle de terdepedeţă dtre factor ş efecte. Legătur ître dcator se pot îtâl î îtreaga actvtate a ue frme: î actvtatea de realzare ş cosum a producţe obţute, ître dcator de producţe ş ce de efceţă ş proftabltate sau ître resurse ş rezultatele utlzăr lor. Î codţle î care actvtatea ue frme este gâdtă îtr-o vzue sstemcă, decdetul trebue să abă î permaeţă î vedere procesul de formare a fecăru feome aalzat î fucţe de factor obectv ş subectv, propr frme sau couctural (clusv ce de medu) care-l determă, precum ş mplcaţle pe care feomeul aalzat le duce asupra altora cu care se găseşte î terdepedeţă. Acest proces de aalză factorală a feomeelor ecoomce u se poate realza decât utlzâd ştţfc metodele de corelaţe be fudametate ma ales de către statstcă. Î cadrul feomeelor ecoomco facare au aştere o sere de legătur, de terdepedeţe, determate fe de acţuea uor cauze comue, fe ca rezultat al uor cauze dferte. Ître feomeele d orce domeu se pot îtâl legătur umeroase ş varate. Î prmul râd ele pot f de tp fucţoal sau determst ş de tp stocastc, sau determste. Multplele aspecte care se pu î legătură cu aplcarea î practcă a metodelor de calcul ş terpretare a legăturlor estete se 7

18 mpu parcurgerea următoarelor etape de lucru : - detfcarea, selectarea ş erarhzarea varablelor factorale; - culegerea ş sstematzarea datelor prmare; - verfcarea esteţe sau lpse legătur; - verfcarea forme ş drecţe legătur; - alegerea modelelor de calcul a gradulu de depedeţă; - terpretarea probablstcă a rezultatelor obţute d aplcarea metodelor de corelaţe dacă datele prov dtr-u soda. Ţâd seama de terdepedeţa dtre resurse ş rezultate deve ecesară folosrea uor metode care să permtă determarea flueţe separate a factorlor. O cotrbuţe mportată î acest ses o au fucţle de producţe, acestea permţâd rezolvarea uor probleme eseţale precum: - elaborarea programelor de dezvoltare ecoomcă ş determarea posbltăţlor de creştere a producţe, cuoscâduse resursele care pot f alocate; - determarea velulu optm al producţe; - determarea combaţlor de factor cu care se poate obţe cel ma scăzut cost. Aplcaţle fucţlor de producţe î prevzoarea producţe fac obectul a umeroase stud ma ales î cotetul îcadrăr î coceptul dezvoltăr durable. Petru abordarea problemelor se folosesc metodele de smulare respectv cele de aalză dfereţală. Metodele de smulare (statcă sau damcă) clud două etape: - modelarea feomeulu ecoomc; - parametrzarea aumtor mărm d model cu scopul de a studa dferte poteze de comportare (evoluţe î cazul damc) a sstemulu. Aalza margală mplcă studul comportăr sstemulu utlzâd ecuaţle dfereţale. Ipoteza eseţală este cotutatea feomeulu ecoomc. Alegerea raţoală a obectvelor La velul frme sut ecesare utlzăr ale uor crter fucţoale care să asgure alegerea uor varate de acţue efcete petru codţ de producţe prestablte. Evdet că este erealst scearul î care s-ar putea determa u crteru deal îtrucât optmul absolut poate f determat doar pe pla matematc fără a avea u corespodet real î practca ecoomcă. La velul îtreprder, care este u sstem damc, deschs, procesul de dezvoltare presupue o aumtă cotutate cât ş u salt caltatv. Ma cocret, aprecerea rezultatelor dfertelor varate de acţue depde î mare măsură de restrcţle ce se formulează î legătură cu fucţoarea sstemulu de producţe al frme aalzate. Avâd î vedere faptul că la velul ue frme specfcul procesulu deczoal este deft prtre alte caracterstc de subprobleme relatv depedete (ca de eemplu, stablrea proflulu ş specalzarea utăţ), acesta se dvzează î tmp ş spaţu. O parte d decz se adoptă la velul sstemulu de producţe al frme, o altă parte a problemelor se soluţoează la E.B (coordoator): Statstca maagerală a agetulu ecoomc d agrcultură, Edtura Ceres, Bucureşt, 998 8

19 velul dfertelor subssteme. Actvtatea practcă mpue astfel ecestatea soluţoăr ue palete dversfcate de probleme ce apar ca fd de se stătătoare, îtr-u grad ma mare sau ma redus. Modelele deczoale, clusv cele ecoomco-matematce, pot să coducă spre evdeţerea uor rezultate ma bue dacă sut adaptate codţlor de producţe. Totuş ţâd cot că uele crter asocate dfertelor probleme deczoale sau subssteme pot f compatble cu crterle ce-ş dovedesc oportutatea la velul sstemulu, î asamblul său, apare problema asgurăr cocordaţe dtre crterle utlzate la dfertele eşaloae ale frme. Se mpue evdeţerea uor eror posble î legătură cu utlzarea crterlor de selectare a varatelor de acţue: - Îcercarea de a evalua ş ordoa varate comparable pr crter raţoale. Rezultatul aplcăr uua sau altua dtre crter depde de respectarea cosecvetă a codţlor ce asgură comparabltatea varatelor de acţue. Aceasta s-ar realza doar dacă se eprmă ş se comesurează corect veturle ş cheltuelle ar varatele aalzate sut aduse la u umtor comu, fe î prvţa veturlor, fe î prvţa cheltuellor mplcate î realzarea lor. - Isufceta aalzare a restrcţlor ce codţoează realzarea obectvelor. Eror de această atură apar atuc câd dfertele varate se aprecază pe baza uor crter ce eprmă starea etremală (mm sau mam) a uor dcator cum ar f: cheltuel ecesare pe utatea de produs sau o altă mărme de tpul cheltuel la 000 le vetur totale etc. - O sufcetă luare î cosderare a efectulu coeu verse. Ca o cosecţă drectă a ue asemeea eror apare posbltatea adoptăr uor decz care u asgură codţa ecesară dtre optmul local ş cel global. - Neaalzarea stabltăţ ş fabltăţ dfertelor soluţ admsble. Dfertele varate se caracterzează prtr-u grad egal de sesbltate la varaţa rsculu ş certtud î ceea ce prveşte codţle materale, factor de atură tehcă ş ecoomcă. Petru evtarea acestor eror este ecesară aalza efceţe dfertelor varate pr luarea î cosderare a dcatorlor stabltăţ, a codţlor de rsc ş certtude ş a fabltăţ acestora. - O formulare corectă a crterulu. Î acest ses apar formulăr de tpul mamulu de rezultate cu mmum de cheltuel, care coţ de multe or cotradcţ de atură logcă. - Utlzarea uor crter sufcet adaptate caracterstclor probleme deczoale. Petru evtarea aceste categor de eror se mpue ecestatea formulăr corecte a probleme îsoţtă de o atetă aalză a coţutulu e tehco-ecoomc. Dec, o aalză ş o plafcare efcetă cere î mod evdet ca obectvele ş scopurle (care sut obectve cărora l s-a fat u aumt terme î care ele trebue să fe atse) să fe defte operaţoal, astfel îcât să putem măsura gradul î care ele au fost atse. De eemplu, afrmaţa că socetatea comercală trebue să se îcadreze pe la dezvoltăr durable u îseamă mc î abseţa uor mloace de a măsura gradul î care acest obectv este ats. O afrmare de scopur u trebue să apară ca o predcă, 9

20 aşa cum se îtâmplă adesea. Ea trebue să fe o colecţe de strucţu care furzează mloace petru o autoevaluare cattatvă. Prtre scopurle ş obectvele defte cel ma puţ operaţoal sut acelea care fac să tervă oţuea de proft. Adeseor se îtâmplă ca proftul să fe o plăsmure a magaţe celu care face raportul. O schmbare a raportulu sau a sstemulu de raportare poate foarte uşor să creeze sau să dstrugă proftul. Pr urmare proftul u este o chestue obectvă, cât ua de poltcă. U obectv maor al frme va f ats defd proftul, ş u pur ş smplu proclamâd mportaţa captală a acestua. Ma mult, dacă proftul u este deft, cosecţele pot f seroase. Cercetarea Operaţoală poate uca u rol maor î evtarea uor rezultate eroate, acordâd assteţă decdeţlor î formularea corectă a obectvelor ş scopurlor e. Importaţa Cercetăr Operaţoale î pregătrea uor progoze este evdetă, dar ea ma are ş u alt rol tot atât de mportat, deş ma puţ seszabl. Se pue atât de mult accet pe certtudea vtorulu, îcât se acordă prea puţă ateţe acelor aspecte ale vtorulu care sut vrtual evtable. Relevarea acestor evtabltăţ furzează adesea o bază ma săătoasă petru plaurle pe terme medu ş lug decât o fac progozele asupra aspectelor certe ale vtorulu. De eemplu aalza probleme poluăr arată că î vtorul apropat este foarte probablă adoptarea uor legslaţ care să mpuă teralzarea acestor eteraltăţ. Detectarea aceste probleme poate coduce multe socetăţ comercale la elaborarea uor plaur de producţe î care compoeta ecologcă să abă u rol ma mare, reducâd costurle geerate de poluare. Adeseor, descoperrea evtablulu u este o sarcă uşoară, rezultatele e sut de obce evdete uma retrospectv. Cercetarea Operaţoală poate aduce u servcu mportat plafcatorlor, efectuâd tpul de aalză care este ecesar petru relevarea aumtor aspecte (semfcatve) ale vtorulu. Î cocluze, trebue reţut că petru elaborarea ş fudametarea uor decz raţoale î legătură cu crterul de selectare a varatelor fale u estă o regulă geerală. Î fecare caz î parte puctul de plecare trebue să-l costtue detfcarea cât ma completă a obectvelor urmărte, a resurselor ş varatelor admsble, precum ş a efortulu ecoomc ş a efectulu geerat de realzarea dfertelor soluţ. Pe baza cuoaşter acestor elemete, petru fecare categore de probleme urmează să se stablească cel ma raţoal crteru de selectare..3..metoda calcululu margal. Aalza mcroecoomcă a cosumatorulu ş producătorulu.3...geeraltǎţ Fudametal petru aalza ecoomcă este deea de fucţe de producţe. Ea ş coceptul său apropat, de fucţe de utltate, formează pol ecoome eoclasce. Producătorul uul dtre prcpal actor a ecoome de paţă - urmăreşte eecutarea acelor actvtăţ ce î asgură obţerea outputulu dort. 0

21 Iterv astfel factor de producţe, d a căror combare rezultă dferte velur ale producţe. Teora clască repreztă această codţoaltate dtre factor de producţe ş rezultatul acestora cu autorul fucţlor de producţe, avâd forma geercă: Q =Q(K,L,T, ) ude: K repreztă factorul captal; L factorul forţă de mucă; T factorul pămât ( atura î geeral ). Acolo ude factorul T u are rol prmordal î estmarea producţe, se reuţă la cluderea lu, fucţa de producţe avâd î acest caz forma: Q = Q(K,L)(este, de eemplu, cazul frmelor producătoare de buur ş servc ce folosesc pămâtul uma ca mloc de amplasare a actvtăţ desfăşurate). Geeralzâd, apare următoarea defţe: fd dat vectorul resurselor (puturlor) la velul frme f, ş aume r = r(r,r,,r,,r m ), se umeşte fucţe de producţe la velul frme respectve, acea aplcaţe Q : R m + R petru careq = Q( r ) î codţle î care combaţa r estă ş este posblă d puct de vedere tehologc, ar resursele sut foloste cu efceţă mamă. Aalza ce se efectuează pr fucţa de producţe are ca obect u procesul real, c modelarea sa ca strumet de aalză matematcă. De aceea, este foarte mportat de a pleca de la legle ecoomce ale feomeelor ş proceselor studate atuc câd se utlzează această metodă. Factor de producţe pot f grupaţ î două categor, î fucţe de modul î care flueţează masa produsulu: factor varabl - ce care flueţează masa produsulu; factor varabl - ce care alcătuesc cadrul procesulu de producţe studat, eputâdu-se îsă stabl o legătură strâsă ître cattatea folostă ş cattatea de produs obţută. Această grupare a factorlor de producţe permte traspuerea corectă a dfertelor procese î modele matematce de tpul fucţlor, avâd u caracter formal, fd valablă doar petru procesul aalzat. Fucţle de producţe apar dec ca o eprese matematcă a legăturlor dtre cauză ş efect. Spre deosebre îsă de fucţa matematcă, ude fecăru elemet d domeul fucţe î este asocat u sgur elemet y d codomeu, fucţa de producţe este o fucţe statstcă ce admte ca petru fecare utate de factor (elemet) studat să se obţă ma multe valor (efecte) y î tmp ş spaţu. Trebue să se abă î vedere ş faptul că umărul acestor factor este comesurabl ş teracţuea lor este dfertă, câd proporţa dtre e se schmbă, astfel că acelaş factor î aceeaş cattate flueţează dfert asupra efectulu. Pe de altă parte, flueţa tuturor factorlor u se mafestă codată adoma cu flueţa precedetă, lucru evdet precum faptul că î atură mc u este repetabl îtocma. Cuoaşterea fucţlor de producţe permte producătorlor să găsească cea ma buă cale de urmat, pr alegerea cele ma avataoase alteratve. Cu autorul fucţlor se pu î evdeţă u doar posbltăţle de combare, c ş de substtuţe a factorlor î scopul utlzăr lor la

22 vel mm de cheltuel sau de dstrbuţe optmă a ue resurse lmtate ître ma multe actvtăţ cocurete. Utlzarea fucţlor de producţe presupue parcurgerea următoarelor etape: a) aalza datelor cocrete ş preczarea varablelor; b) detfcarea, alegerea tpulu de fucţe ş estmarea parametrlor; c) verfcarea compatbltăţlor fucţlor matematce cu specfcul probleme ecoomce pe care trebue să o rezolve; d) utlzarea fucţlor î adoptarea deczlor ecoomce, cu codţa ca fucţle să apromeze corect legătura dtre varablele aalzate..3.3.caracterstc geerale ale fucţlor de producţe Î cele ce urmează se va avea î vedere î prcpal cazul smplfcat î care u estă decât do factor de producţe. Notăm cu Q cattatea produsă d buul cosderat (evaluată î utăţ fzce), cu r ş r cattăţle utlzate d fecare factor. Obţem astfel epresa foarte geerală a fucţe de producţe: Q = Q(r, r ) Evdet, fucţa u este specfcată î mod precs, petru aceasta fd ecesară cuoaşterea cocretă a atur actvtăţ agetulu ecoomc aalzat ş a proceselor de fabrcaţe utlzate. Petru smplfcare, presupuem o perfectă dvzbltate a fecărua dtre factor de producţe (spuem că estă dvzbltate a uu bu, a uu factor de producţe atuc câd acesta poate f obţut ş utlzat î utăţ orcât de mc). Beîţeles, u se poate auge la poteza comodă d puct de vedere matematc a cotutăţ ş dervabltăţ fucţe de producţe, decât dacă se presupue că factorul de producţe este ft dvzbl. Se mpue î acest tmp poteza de adaptabltate, deftă ca facultatea de a asoca ue utăţ date dtr-u factor de producţe u umăr ma mc sau ma mare de utăţ dtr-u alt factor (pămâtul este eemplul clasc de factor adaptabl: pe o suprafaţă dată este posbl să lucreze, cu o efcactate varablă, u umăr ma mare sau ma mc de muctor). Dacă factor respectă ambele poteze (de adaptabltate ş dvzbltate) spuem că estă posbltatea de substture ître factor de producţe. Iflueţa varaţe uu sgur factor de producţe. Pord de la forma fucţe de producţe se pot calcula o sere de dcator pe baza varaţe uu sgur factor de producţe. Productvtatea margală a fecărua dtre factor de producţe este, aşa cum se şte, sporul de producţe care se obţe pr utlzarea ue utăţ suplmetare d factorul de producţe respectv, cattatea folostă d celălalt factor rămââd eschmbată. D puct de vedere matematc este vorba de dervata parţală a fucţe de producţe î raport cu factorul cosderat. r Q / r Q' r r Q / r Q' r.

23 Eseţa aalze margalste poate f pusă î evdeţă aalzâd următorul eemplu deosebt de smplu ş aume, studul combaţe pămât-mucă. Fe Q = Q(K,L) ude: Q = recolta totală pe u a; K = suprafaţa de tere ocupată de cultură; L = umăr de lucrător. Se presupue că factor de producţe sut adaptabl ş dvzbl ş se cosderă că varază fe suprafaţa dspoblă (L = L =cost.), fe umărul de lucrător (K = K =cost.). Să aalzăm succesv cele două cazur: I. L = cost., K = varabl. Î poteza că se dspue de o forţă de mucă dată, de u umăr de lucrător f (ş dec ş de u stoc determat de mloace de producţe), presupuem că producţa auală (evaluată î utăţ fzce) varază după cum este dcat î grafcul următor. Curba poreşte d orge: petru K = 0, Q = 0. Creşterea suprafeţe duce o evoluţe a recolte îtr-u rtm varabl. La îceput sporrea se face îtr-u rtm accelerat, apo această mărre se stablzează (porţuea OI este crescătoare ş coveă,curba trecâd pr puctul de fleue I) ş deve d ce î ce ma letă (porţuea IS este cea petru care fucţa este tot crescătoare, dar cocavă, S M Q I A Q A K A K I K S K M K puctul S fd de mam) pâă î puctul M, ude creşterea se opreşte, îate să îceapă descreşterea producţe (se tră î zoa de efceţă, porţuea MN este descrescătoare ş cocavă; astfel producţa este posblă dar efcetă). Evdet producţa ar putea rămâe stablă dacă suprafaţa suplmetară u ar f cultvată; curba arată ce s-ar petrece dacă producătorul ar cultva efectv ma mult decât K M. Productvtatea margală (sau produsul margal) a (al) tereulu este sporul de producţe care se obţe pr utlzarea ue utăţ suplmetare de tere î procesul de producţe, î codţle î care folosrea celorlalţ factor de producţe rămâe eschmbată. Dacă se cultvă K î loc de K, otâd K = K -K, producţa trece de la Q la Q, modfcarea cattăţ produse fd: Q = Q -Q = Q(K, L) Q(K, L). Cum această creştere depde de valoarea lu K, preztă teres 3

24 Q varaţle relatve ale lu. K Î poteza făcută că factorul de producţe pămât este perfect dvzbl, se pot face raţoamete petru creşter ft de mc ale suprafeţe foloste. Î acest caz, defm producţe margală a pămâtulu K ca dervată a fucţe de producţe î raport cu Q pămâtul K K (.e. producţa fzcă margală este egală cu pata tagete la curba producţe fzce totale). Folosm otaţa K = Q K (evdet fucţa de producţe Q este fucţe de doua varable, dar am presupus L = cost., ş î acest caz suprafaţa este sgura varablă). Coform presupuerlor făcute, producţa trece pr mamul M petru suprafaţa K M. Codţa matematcă ecesară petru esteţa uu mam estre ca dervata fucţe î acest puct să se auleze (.e. Q K = 0 petru K = K M ). Studd curba producţe globale Q, observăm esteţa puctulu de fleue I care este caracterzat d puct de vedere matematc pr codţa Q K = 0. Dar dervata de ordul II a lu Q î raport cu K este dervata (de ordul I) productvtăţ margale K = Q K î raport cu K. Dec petru K = K I, producţa margală preztă u mam, îtrucât dervata sa î raport cu K se aulează. Productvtatea mede este raportul dtre producţa totală Q ş suprafaţa K corespuzătoare Q K. Cum Q = Q(K) K d K ' = Q K K dk K avem relaţle: ' d ) Q K K < = > K = 0 = > curba producţe margale dk tersectează curba productvtăţ med î puctul de mam al acestea d urmă; ' d ) Q K K < = > K >0 = > curba producţe margale este dk stuată deasupra curbe producţe med, atuc câd aceasta d urmă este crescătoare; ' d 3) Q K K < = > K <0 = > curba producţe margale este dk pozţoată sub curba producţe med, atuc câd aceasta d urmă este descrescătoare. Î cocluze se pot def tre zoe de producţe ş aume: - Zoa I, delmtată de curba OS, cuoscută ş sub umele de prmul stagu de producţe, î care producţa creşte odată cu creşterea cattăţ de factor K cosumată. - Zoa II, î care producţa este î cotuare î creştere, atgâd î puctul M mamul de producţe. Î această zoă productvtatea fzcă margală, cât ş cea mede sut î descreştere, dar păstrează semul plus. Zoa II este o zoă de 4

25 efceţă tehologcă 3. - Zoa III, î care producţa fzcă totală scade, î tmp ce raportul K/ L creşte, ar producţa fzcă margală este egatvă. Este o zoă de efceţă ecoomcă. II. K = cost., L = varabl Ipoteza luată î cosderaţe este smetrcă faţă de cazul precedet. Avem otaţa Q = Q(K, L), dar factorul f este suprafaţa, ar factorul varabl umărul de utăţ de mucă. dq Fe L Q ' L producţa margală a muc ş dl Q L L producţa mede a muc. Productvtatea margală a muc (sau produsul margal al muc) este surplusul de producţe care se obţe d folosrea ue utăţ suplmetare de mucă î procesul de producţe, utlzarea celorlalţ factor de producţe rămââd eschmbată. Prelucrarea matematcă a factorulu mucă deve absolut detcă cu cea a factorulu pămât. Putem cosdera curba de producţe globală ca avâd forma dcată î grafcul următor, rezultâd aalog curbele productvtăţ med ş productvtăţ margale a muc. Q I S M A Q A L A L I L S L M L Se pue problema cum varază producţa atuc câd se combă ma mult sau ma puţ dtr-u factor varabl cu o cattate dată dtr-u factor f. Deş u este permsă o geeralzare, se reţe adesea poteza celebră, umtă a descreşter radametelor. Epuerea care urmează se referă la radametele factorale, de substture, î care uul dtre factor de producţe este varabl, ş u la cazul radametelor de scară, î care ceea ce varază este mărmea producţe. A. Ipoteza radametelor (factorale) descrescătoare Această poteză, adesea umtă legea radametelor descrescătoare, reflectă faptul că, petru u vel tehc dat, sporrea utlzăr uu factor varabl î codţle ue cattăţ date dtr-u factor f va determa o creştere a producţe d ce 3 U proces de producţe se umeşte tehologc efcet, dacă estă u altul care produce acelaş output cu u cosum ma mc de resurse, sau cu acelaş volum de resurse permte obţerea uu volum ma mare de output. 5

26 î ce ma mcă. Fecare utate suplmetară dtr-u factor de producţe varabl va adăuga ma puţ producţe totale decât a făcut-o utatea precedetă, ceea ce îseamă că productvtatea margală va scade. Î egală măsură, se va reduce ş productvtatea mede, productvtatea pe utate de factor varabl dmuâdu-se. Evdet această lege este deumtă mpropru, ea ar f trebut să se umească legea radametelor margale descrescătoare. Această poteză pare să lustreze epereţa curetă d ma toate procesele ecoomce. B. Ipoteza radametelor (factorale) crescătoare Presupuem: ) Q = akl, ude factorul varabl este muca Q Q L ak, L ak Dec L L. L L Q ) Q = al + bk a cost. L Q L a b L K L L a L Evdet este lpst de realsm să presupuem că productvtăţle margale rămâ costate, orcare ar f cattatea folostă d factorul varabl; îcepâd de la u aumt vel de utlzarea, producţa suplmetară obţută d folosrea ue utăţ suplmetare de mucă u poate rămâe costată, dec productvtatea margală scade. Rezultă dec că radametele factorlor u pot rămâe costate decât dacă îtrueşte lmtele de utlzare date. Reved la cazul geeral Q = Q(r,r ), am remarcat dea că: Q ' Q r Q ' r ş r Q r r r Ţâd seama de poteza radametelor descrescătoare, este ma comod să presupuem că productvtăţle margale sut poztve ş descrescătoare, adcă: Q r>0 ş Q r < 0 Q r>0 ş Q r < 0 Evdet aceasta este o poteză, estâd cazur baale (Eemplu: fucţa de producţe lară î care productvtăţle margale sut costate ). Productvtăţle med ale fecăru factor se pot def ca Q / r ş Q / r. Observaţe Este vorba, de fapt, de productvtatea aparetă, dfertă de productvtatea asamblulu factorlor. Geeralzare. O vzue realstă a proceselor de producţe coduce la defrea ue fucţ cu varable, adcă cu factor de producţe: Q = Q(r, r,..., r ) Presupuem factor de producţe dvzbl ş adaptabl ş defm: - productvtatea (aparetă) mede: Q r,, r 6

27 - productvtatea margală: Q r,, r ş î aceste caz este ma ormal să e îcadrăm î poteza ' '' radametelor descrescătoare Q r 0 ş Q r 0. Iflueţa varaţe smultae a ma multor factor S-a văzut ce se îtâmplă cu velul producţe la o creştere uma la velul uu sgur factor de producţe. Multplcarea velulu fecăru factor de producţe cu u scalar, va mplca o aumtă modfcare a velulu outputulu. Petru a surprde această schmbare, se calculează u dcator deosebt de mportat î aalza pe terme lug a uu proces de producţe, ş aume reverea la scală, cu cele tre forme ale sale: ) reverea costată la scală (fucţa de producţe este omogeă de grad, ceea ce îseamă că la multplcarea cu utăţ a puturlor, outputul se va multplca de asemeea cu utăţ); ) reverea crescătoare la scală (multplcâd puturle cu suprautar, se obţe u output multplcat cu <); ) reverea descrescătoare la scală ( amplfcâd fecare put cu > se obţe u output amplfcat cu > ). Prezetarea ateroară se referă la reverea crescătoare ş descrescătoare la scală la vel global. Iteresează ce se îtâmplă la vel local, atuc câd tehologa îregstrează o revere crescătoare la scală petru o parte d putur, ar petru altele descre o revere descrescătoare la scală. Răspusul costă î folosrea elastctăţ scale, deftă î modul următor:( r ) = Q(r)/ :Q(r)/ / = ş care măsoară modfcarea procetuală a outputulu ca urmare a creşter cu u procet a scale. Se spue astfel că tehologa descre o revere costată (crescătoare, descrescătoare) locală la scală, după cum (r) este egală (ma mare, ma mcă) cu. Importaţa calcululu elastctăţ scale, costă î aceea că pe baza rezultatulu obţut, se pot lua decz la velul frme, prvd ara de actvtăţ pe care să le desfăşoare: obţerea uu output la velul ue sgure actvtăţ cetralzate sau descetralzat pe p actvtăţ. Idcator de elastctate. Pe lâgă dcator med ş ce margal, o mportaţă mare î studul proceselor ecoomce îl au ş dcator de elastctate ş substtuţe. Dacă Q = Q(r,..., r ) reflectă o aumtă actvtate, avâd rezultatul Q, fucţe de factor r,..., r, defm elastctatea velulu Q r actvtăţ î raport cu u factor r : Er : sau Q r Q Q Er :, ude Q este varaţa (creşterea sau descreşterea) r r velulu actvtăţ Q pe seama varaţe r a factorulu r, celalţ 7

28 factor rămââd costaţ; cu aceste otaţ, elastctatea E r repreztă creşterea (descreşterea) procetuală a velulu Q actvtăţ % la o varaţe (creşterea, descreşterea) de la % Q r a factorulu r (dec % ), celalţ factor rămââd r eschmbaţ. Dacă Q = Q(r,..., r ) este o fucţe de clasa C, atuc dcatorul Q Q deft ma sus se poate scre: Er : r r Se costată că elastctatea este raportul dtre dcatorul r margal ş cel medu corespuzător factorulu r, dec E. r Iterpretare: Dacă Q = Q(,..., ) este o fucţe de producţe, Q Q atuc Er : repreztă elastctatea producţe î raport r r cu factorul r ; de pldă, dacă r este forţa de mucă folostă de agetul ecoomc, atuc Er este elastctatea producţe î ocuparea cu forţa de mucă ş arată cu câte procete creşte producţa câd forţa de mucă ar creşte cu %. Legătura dtre elastctatea scale ş elastctatea outputulu î raport cu fecare factor Pord de la formula cu logartm: ( r )=lq(r)/ l = se poate spue că elastctatea scale este egală cu suma elastctăţlor outputurlor î raport cu fecare d factor aalzaţ 4. Idcator de substtuţe. Petru îceput este ecesară troducerea oţu de zocuate (curbe ale zoprodusulu). Î cazul partcular, =, putem reprezeta î spaţul trdmesoal, suprafaţa de producţe d care deducem curbele zoprodusulu sau zocuatele. Astfel pe aa vertcală măsurăm producţa Q care este fucţe crescătoare de cattatea utlzată d fecare dtre factor care sut reprezetaţ pe celelalte două ae. Coform grafculu, producţa poate f mărtă dacă sporeşte cattatea utlzată a uua sau altua d ce factor, sau dacă sporeşte smulta cattatea amâdurora. Cosderâd,, 3, plae duse pr Q, Q, Q 3, paralele cu plaul (Oy) obţem 3 curbe (Q ), (Q ), (Q 3 ), care trasează cotururle suprafeţe la cele 3 vele de producţe cosderate. 4 dervâd membrul drept al egaltăţ se obţe lq(r)/ l = =(/Q(r))Q(r)/ l = =(/Q(r))Q(r)/ (r)(r)/l = =(/Q(r))Q(r)/ (r )(r )/l = Q(r)/ (r ):Q(r)/ r = =. 8

29 Q 3 Q Q Proectâd pe pla orzotal obţem o mage î spaţul bdmesoal, dată î fgura de ma os. r r B B Q 3 Q Q r A A r B r A r Curbele (Q ), (Q ), (Q 3 ) sut zocuate sau curbe ale producţe egale. Se dă următoarea defţe: o zocuată repreztă totaltatea combaţlor factorlor de producţe care permt obţerea aceluaş vel al producţe. (Petru fucţa de producţe cu factor, zocuata repreztă hpersuprafaţa î spaţul factorlor R pe care, orcare ar f cotrbuţa factorlor, velul producţe rămâe acelaş Q.) Detalem petru îţelegere, î cazul = factor (r, r ). Notăm:r = r B -r A, r = r B -r A Se costată că o creştere a factorulu r cu r cotrbue la o reducere d factorul r cu r, producţa rămââd aceeaş, la velul Q, combaţa factorlor fd reprezetată pe zocuată, pr puctele A, respectv B. Evdet, este posblă o ftate de combaţ, d momet ce curba este cotuă (aceasta rezultă d poteza dvzbltăţ perfecte a factorlor de producţe). Observaţ: ) Estă o ftate de zocuate, fecare curbă corespuzâd uu vel dat al producţe. Nvelul producţe este cu atât ma rdcat, cu cât e îdepărtăm spre N-E grafculu (eemplu: Q 3 > Q > Q ). ) Este mposbl ca două zocuate să se îtretae. Substtubltatea factorlor D motve tehce, mod de procurare, rezerve lmtate, dar ş ecoomce, u de puţe or se pue problema ca uul sau ma mulţ factor să fe substtuţ parţal sau dacă este posbl ş total cu alţ. Rata margală de substtuţe ître factor Rata margală de substtuţe ître ce do factor r ş r, otată RMS, măsoară cattatea dtr-u factor r ecesară petru a compesa perderea de producţe determată de dmuarea cu o utate î utlzarea celulalt factor r. [.e. umărul de utăţ r 9

30 care trebue substtute ue utăţ d r petru ca producţa să rămâă costată]. RMS poate f eprmată pord de la pata zocuate, corespuzâd velulu de productvtate cosderat Q. Fe A, B două pucte stuate pe această curbă. Dacă, combaţa productvă ţală este cea care corespude puctulu A ş dacă producătorul este evot să dmueze cu o cattate mcă r = r B - r A, volumul folost d factorul r, se observă că trebue să utlzeze o cattate suplmetară r = r B - r A, d celălalt factor, petru a rămâe la acelaş vel de producţe. r Numm rată mede de substture a factorlor, raportul r, r dr ar câd r 0, raportul rr (sau petru smplfcare dr r dr r ) se umeşte rata margală de substtuţe, petru r ş dr r, care arată că o creştere (descreştere) a factorulu r este cosecutvă ue descreşter (creşter) a factorulu r. Petru determarea eprese aaltce a RMS: se dfereţază fucţa Q = Q(r, r ) de-a lugul zocuate Q. Q Q dr Q' r r, r Se obţe dr dr 0 r r r dr Q' rr, r Grafc, rata margală de substture tehcă este lustrată î fgura următoare: r r A Q A r B B r A r B r Astfel, RMS este raportul vers al productvtăţlor margale î puctul cosderat (el este, îtr-adevăr, egal cu raportul productvtăţ margale a factorulu r faţă de productvtatea margală a factorulu r ). Se poate geeralza această relaţe petru cazul a factor r,..., r, dr RMS a factorulu r pr factorul r este r, ş se dr deduce dfereţd fucţa Q = Q(r,..., r ) pe zocuata Q, câd factor r k (k,) rămâ la acelaş vel (dec dr k = 0). Dar, pe lâgă RMS ître do factor, teresează ş elastctatea acestea. Acest dcator,elastctatea de substture tehcă (trodus de Hcks) măsoară pe o zocuată modul cumu factor poate f substtut cu altul. Se defeşte ca varaţe relatvă (%) a testăţ de utlzare a factorlor, cosecutve varaţe relatve 30

31 r d r dr (%) a RMS a factorlor: : r r r sau E r, adcă versul elastctăţ rate de substtuţe r. Astfel, petru o fucţe de producţe cu do factor K, L, raportul K k - repreztă îzestrarea tehcă a muc ş dec L. E r k Se găseşte epresa aaltcă dr r : L r dk k K Dec: dr f dk f,ude: k f k k ' k f k k f k f k ' f ' k ' ' '' f k f k f k k f k ' k f k f '' k f k f k ' f k ' k f k k f k f k k ' = > f '' k f k ' k f k k f k k f ' f k k f k ' ' f k f k k f k k ' f k f k k f k ' k '' f k f k k f k k f f k k Î geeral, - măsoară sesbltatea structur tehce la modfcarea structur costurlor relatve p r ş p r ale factorlor r ş r, deoarece, î r pr codţ de optm, (vom demostra acest lucru ma p r r pr târzu), dec RMS se ma scre r î puctul optm. pr Acest dcator dă posbltatea coslulu de coducere al frme să decdă asupra cele ma coveable combaţ a factorlor câd preţul acestora varază. Fucţ de producţe omogee ş omotetce. Estă aumte tpur de fucţ de producţe cu propretăţ deosebte, ce permt o aalză amăuţtă a actvtăţ frme d puct de vedere tehologc. U mare teres îl preztă omogetatea ş omoteta. Fucţ de producţe omogee Fucţa de producţe Q : R m + R se umeşte omogeă de grad k dacă multplcâd fecare put cu >0 atuc outputul se va multplca cu k (.e. Q( r ) = k Q( r )). ' 3

32 Omogetatea ue fucţ de producţe deve deosebt de utlă î demostrarea următoarelor propretăţ: )Elastctatea scale petru o fucţe omogeă de grad k este egală cu k. Astfel d ( r ) = Q(r)/ :Q(r)/ =( k Q(r))/ : k Q(r)/ = k k - Q( r )/( k - Q( r )) = k. rezultă astfel că petru o fucţe omogeă de grad k, la o creştere cu o utate a scale, outputul va creşte cu k utăţ, ceea ce îseamă că petru k= avem revere costată la scală. )Dervatele parţale ale fucţe de producţe omogee de grad k sut la râdul lor fucţ omogee de grad k-. Dervâd epresa d defţa fucţe omogee de grad k î raport cu r se obţ epresle: Q(r)/ r = Q(r)/ ( r )(r )/ r = Q(r)/ ( r ) respectv petru membrul drept k Q(r)/ r = k Q(r)/ r. Astfel Q(r)/ ( r ) = k- Q(r)/ r. Se observă că petru k=, fucţa de producţe lar omogeă are productvtatea margală depedetă de scală, depzâd uma de vectorul puturlor r: Q(r)/ ( r ) = Q(r)/ r. ) Patele zocuatelor petru o fucţe de producţe omogeă de grad k depd uma de proporţa puturlor, fd depedete de scala de producţe. Dfereţd epresa d defţa fucţe omogee de grad k se obţe petru r=(r,r ) d Q = dq( r ) = Q(r) / r d r +Q(r) / r d r = 0 de ude pata zocuate este dr /dr = -Q /Q. Dar d Q =dq(r)=q(r)/( r )( r )/ r d(r )+ +Q(r)/ ( r )( r )/ r d(r ) =0. Astfel d( r )/ d( r ) = - Q(r)/ ( r ) /Q(r)/ ( r ) care repreztă pata zocuate Q = Q(r). Î fal se obţe relaţa: d( r )/ d( r ) = - (Q /Q ). v)teorema lu Euler: Dacă fucţa de producţe Q( r ) este omogeă de grad k ş dfereţablă î orce puct r0 m d domeu atuc: m Q( r )/r r = kq( r ). (Relaţa de ma sus se obţe dervâd î raport cu amb membr a eprese d defţa fucţe omogee de grad k.) Se poate observa că petru o fucţe lar omogeă outputul, Q( r ), este obţut pr îsumarea după a produsulu producţe margale ş cattăţ d putul. Fucţ de producţe omotetce O fucţe de producţe se umeşte omotetcă dacă poate f scrsă ca o trasformare a ue fucţ omogee de grad (.e. Q(r) = H(q(r)), ude q(r) este fucţe de producţe omogeă de grad, ar H >0 ş H(0)=0). Se mpu următoarele cometar: ) q( r ) este o fucţe de producţe ce depde de m putur; ) H(q) este o fucţe de producţe ce depde de u sgur factor q; 3

33 3) O fucţe omotetcă este omogeă. Recproca este falsă. Petru a prv comparatv aceste două tpur de fucţ de producţe se mpue studerea propretăţlor reprezetatve ale fucţlor omotetce: )Elastctatea scale petru o fucţe omotetcă este: (q) = H(q)/ q:h(q)/ q. Petru deducerea aceste relaţ se poreşte de la defţa elastctăţ scale petru fucţa de producţe Q( r ): ( r ) = Q(r)/ :Q(r)/ = H(q(r))/ :H(q(r))/ = =H(q(r))/ q(r)q(r)/ :H(q(r))/ = =H(q(r))/ q(r)q(r)/ / q(r) q(r)/ H(q(r). Dar q(r)/ / q(r) = ( k q(r))/ / k q(r) = k k- q(r)/ k q(r) = k=. Dec (q) = H(q)/ q:h(q)/ q. )Producţa margală î raport cu factorul r, petru o fucţe de producţe omotetcă Q(r) este: Q(r)/r = H(q( r ))/r =H(q(r))/q( r )q( r )/r =H qq. ) Pata zocuate petru o fucţe de producţe omotetcă este depedetă uma de proporţa puturlor relatve, fd depedetă de scala de producţe. Aplcâd dfereţala totală pe zocuata Q( r ) = Q, ude r = (r, r ) se obţe: d Q = Q(r)/r dr +Q(r)/r dr =0 dr /dr = -Q(r)/r /Q(r)/r = - Q / Q. Dar, - Q / Q = - (H/q) (q/r )/ (H/q) (q/r ) = - q / q dec: dr /dr = - q / q. Geeralzâd, petru r = (r, r m ), cu m>, rezultă: dr /dr = - q / q, petru r k = cst., k ş k. Astfel cele două zocuate a fucţe de producţe lare omogee q (r) ş a fucţe omotetce Q(r) sut paralele, îtrucât au aceeaş pată. Fucţ de producţe multoutput Actvtatea ecoomcă reală presupue de cele ma multe or u crcut cotuu, î care uele buur sut putur, altele outputur ş de multe or uele dtre acestea sut cosderate atât putur cât ş outputur. Î cosecţă, formula fucţe de producţe u va ma f dată eplct, c sub formă mplctă. Î cazul fucţlor de producţe cu u sgur output, avem: q = q(r) de ude q-q(r)=q(r,q)=0. Se cosderă că repreztă umărul de buur costtute atât î putur cât ş î outputur, ar q = (q, q ) t vectorul outputurlor ete. Semul compoete q are următoarea semfcaţe: - q >0 îseamă că buul este u output et (se produce ma mult decât se cosumă); - q <0 presupue că buul este u put et; - q =0 presupue că buul u este c put et, c output et (sau u se produce şc u se cosumă, sau cât se produce se ş cosumă). Fucţa de producţe deftă mplct, î cazul multoutputurlor, 33

34 este: Q(q) = Q(q,,q,,q ) Abordarea fucţlor de producţe multoutput este pe cât de compleă pe atât de mportată..3.4.optmzarea decze cosumatorulu O mportaţă deosebtă î fudametarea decze optme la cosumator este determarea legtăţlor ce descru comportametul cosumatorulu. Problema care apare este următoarea: cosderăm o ecoome î care se produc buur ş alegem o categore de cosumator ce dspu de vetul V ş doresc achzţoarea buurlor,..., î cattăţle,.., la preţurle de paţă p,...,p astfel ca satsfacţa acestora, măsurată pr fucţa de utltate asocată, să fe mamă. Matematc: ma U,.., L p V., U,.., V p L, 0 U... U mg mg p U U V p p Împărţd prmele - relaţ la relaţa obţem U mg U mg :.... p p Astfel codţa ecesară de optm petru fudametarea decze optme a cosumatorulu este ca utltăţle margale să fe drect proporţoale cu preţurle buurlor. Valoarea comuă a rapoartelor este egală cu multplcatorul Lagrage ataşat restrcţe de buget. O altă propretate care se deduce: RMS este egală cu raportul preţurlor buurlor. Rezolvâd sstemul obţem fucţle de cerere de * buur: D p,..., p, V, * * Asocem L, U,.., V p. * Petru ca puctul să fe puct de mam trebue ca matrcea * hessaă a fucţe aulare calculată î puctul să fe egatv deftă. Aceasta este echvalet cu faptul că matrcea * hessaă a fucţe de utltate calculată î puctul trebue să fe egatve deftă. Deducem de ac că o codţe sufcetă de optm petru 34

35 fudametarea decze optme a cosumatorulu este ca fucţa de utltate să fe ormală (să se subscre leg radametelor margale descrescătoare). Aplcaţe practcă - rezolvare Cosderăm u cosumator a căru fucţe de utltate este: U, l( ) l( ), acesta dspuâd de bugetul V petru cumpărarea buurlor ş î cattăţle ş la preţurle de paţă p ş p. Determaţ combaţa optmă a buurlor de cosum. Caracterzaţ buul calculâd dcator cerer margale. Soluţe. Modelul matematc asocat probleme este: ma U, l( ) l( ) p p V Fucţa Lagrage asocată: L,, l( ) l( DL,, 0 obţem U U mg p U ) V p p mg p U V p 3 p Împărţd relaţa la relaţa găsm p p 4.. Dec p Itroducem (4) î (3) s deducem fucţa de cerere a buulu : * V p Dp, p, V 5. p Folosd (5) î (4) găsm fucţa de cerere a buulu : * V p D p, p,v 6. p p 0 p * Î plus - valoarea multplcatorulu V p Lagrage. * * Asocem L, U, V p * Petru ca puctul să fe puct de mam trebue ca matrcea * hessaă a fucţe aulare calculată î puctul să fe egatv deftă. Aceasta este echvalet cu faptul că matrcea * hessaă a fucţe de utltate calculată î puctul trebue să fe egatv deftă. 35

36 0 * Obţem * H U care este egatv 0 * deftă dacă 0 ş 0. Petru caracterzarea buulu calculăm dcator cerer margale : D - CMD (Cererea margală drectă) este dată de ş reflectă p varaţa cerer buulu î fucţe de varaţa pe paţă a preţulu propru p. Dacă CMD0 atuc buul aalzat, buul, este bu ormal; dacă CMD>0 atuc buul este bu aormal. D V p Astfel 0, adcă o creştere a preţulu p p buulu duce o dmuare a cerer acestu bu, de ude buul este bu ormal. D - CMI (Cererea margală îcrucşată) este dată de ş p reflectă varaţa cerer buulu î fucţe de varaţa pe paţă a preţulu de substtuţe p. Dacă CMI0 atuc buurle ş sut complemetare; dacă CMI>0 atuc buurle ş sut substtuble. D Astfel 0, adcă o creştere a preţulu p p buulu duce o dmuare a cerer buulu, de ude buurle sut complemetare. - CMV ( îclaţa margală spre cosum sau propesuea D margală a cosumulu buulu ) este dată de ş reflectă V varaţa cerer buulu câd cresc sau scad veturle cosumatorulu. Dacă CMV0 atuc buul aalzat, buul, este bu feror; dacă CMV>0 atuc buul este bu superor. D D 0, adcă o creştere a vetulu duce o V p creştere a cerer acestu bu, de ude buul este bu superor. Petru a completa aalza pot f calculaţ ş dcator de elastctate. D p - ECD (elastctatea drectă preţ cerere) este dată de D p ş comesurează varaţa relatvă (%) a cerer buulu (servculu) cosecutv varaţe relatve (%) a preţulu propru. Evdet duce aceeaş caracterzare a buulu precum dcatorul margal asocat. Petru eemplul propus: 36

37 D p ECD,0 D p p V p rezultâd cererea elastcă la preţ (la o modfcare a preţulu propru cattatea se modfcă dar ma let). D p - ECI (elastctatea îcrucşată preţ cerere) este dată de D p ş comesurează varaţa relatvă (%) a cerer buulu (servculu) cosecutv varaţe relatve (%) a preţulu buulu. D p Petru eemplul propus ECI 0 D V p p p p rezultâd cererea elastcă la preţul de substtuţe. - ECV (elastctatea cerere - vet) este raportul dtre propesuea margală ş cea mede petru produsul (servcul ) ş comesurează varaţa relatvă (%) a cerer buulu (servculu) cosecutv varaţe relatve (%) a vetulu. Petru eemplul D propus: ECV V 0.Numer D V p p V V c, petru = 0,5; = 0,5; p =; p =; V=00 obţem: * * * =50, =5, U ma = 0,5l; ECD = -0,98; ECI = -0,0; ECV = (cerere utară). 37

38 Utatea de îvăţare Aalza ecoomco-matematcă a uor modele lare.. Itroducere Problemele de optmzare au fost formulate îcă de Eucld, dar uma după dezvoltarea calcululu dfereţal ş a calcululu varaţlor î secolele 7 ş 8, s-a creat u aparat matematc petru rezolvarea uor astfel de probleme. Termeul de Cercetare Operaţoală a fost utlzat petru prma dată î 939, prmele cărţ apărâd aba după 950, cîd a îceput să devă obect de studu î uverstăţ 5. Aalza dfertelor cocepte ale actvtăţ ecoomce cu autorul metodelor matematce este cuoscută sub deumrea de programare matematcă... Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Obectvele utăţ de îvăţare: Îsuşrea uor oţu ş cocepte d domeul matematclor specale, cocepte dedcate ş utle î tratarea feomeelor de atură ecoomcă ş maagerală. Competeţele utăţ de îvăţare: Rezolvarea uor probleme de optmzare (problematca de programare lară algortm Smple ş problema de trasport ). Aplcaţ specfce cum ar f: achzţoare optmă, vestţ optme, repartzare optmă de resurse (prezetare matematcă ş rulare modele pe calculator)

39 .3. Coţutul utăţ de îvăţare.3..formularea ue probleme de programare lară ş modelul său mathematc Codţle î care se desfăşoară actvtatea aalzată coduc la u sstem de relaţ - ecuaţ sau ecuaţ - care cuprd varablele probleme ş coefceţ tehc care o caracterzează. Aceste relaţ alcătuesc restrcţle probleme. Obectvul studulu este optmzarea uu aumt rezultat depedet de aceleaş varable care fgurează ş î restrcţ. Î formularea problemelor de programare matematcă, obectvul apare sub forma ue fucţ ale căre valor mame sau mme le căutăm ş care se umeşte fucţeobectv, fucţe scop sau fucţedeefceţă. Restrcţle probleme împreuă cu fucţa obectv costtue modelul matematc al probleme de programare matematcă. Dacă atât sstemul restrcţlor cât ş fucţa obectv sut fucţ lare de varablele probleme, modelul costtue o problemă de programare lară care poate f scrsă sub formă algebrcă, vectorală sau matrceală. Sub forma cea ma geerală, modelul algebrc al problemelor de programare lară este următorul: f ma(m) c () a a a b,, k () b, k, p _ (3) b, p m (4), 0,, (5) Relaţa () eprmă matematc scopul sau obectvul studulu îtreprs ş arată evaluarea pr coefceţ c (, ) - care pot f costurutare î cazul problemelor de mm, sau profturutare, respectv preţur sau tarfe î cazul probleme de mam - evaluare a volumulu actvtăţlor desfăşurate la velurle,..., de către agetul ecoomc. Relaţle (), (3) ş (4) costtue sstemul restrcţlor ş reflectă cerţe tehco - ecoomce de desfăşurare a actvtăţ, cerţe de pla, de paţă, de îcadrare î ormatvele legslatve estete. Coefceţ a se umesc coefceţ tehco - ecoomc (ormatve ecoomco - facare) ş sut stablţ pe baza observăr feomeulu studat. Dacă aceşt coefceţ sut ş rămâ costaţ îtr-u terval de 39

40 tmp determat, avem de studat o problemă de programarelară. Dacă îsă coefceţ tehc varază ş aceste varaţ pot f eprmate ca fucţ de uul sau de ma mulţ parametr, modelul corespude ue probleme de programareparametrcă. Î umeroase cazur, coefceţ tehc sut varable aleatoare ş atuc problema propusă este o problemă de programarestocastcă. Terme lber (b ) cuatfcă resursele dspoble materale, facare, de forţă de mucă, capactăţle de producţe etc., sau ormatve mmale ce trebue atse, capactatea mmă de absorbţe a peţe etc. Sub acest aspect, restrcţle () corelează volumul cosumulu geerat de actvtăţle desfăşurate la velul programat,,, cu volumul dspoblulu d fecare resursă (b ); restrcţle (3) mpu îcadrarea volumulu de actvtate î dversele lmte mmale (b ) - lmte date de paţă, de ormatve tehco - ecoomce etc.; restrcţle (4) - mpu realzarea strctă a plafoulu dat (b ). Codţa (5) costtue oblgatvtatea de eegatvtate a varablelor, codţe logcă d cauza sesulu ecoomc al problemelor de programare matematcă. Varablele reprezetâd velul la care trebue desfăşurate actvtăţle,, deve evdet că c o actvtate u poate f desfăşurată la u vel egatv. A rezolva o problemă de programare îseamă a determa valorle eegatve ale varablelor care satsfac restrcţle (), (3) ş (4) ş care optmzează - fac mamă sau mmă - fucţa obectv, sau altfel spus, rezolvarea probleme comportă determarea velurlor la care trebue să se desfăşoare dfertele actvtăţ, astfel îcât efceţa ecoomcă a îtregulu pla de actvtate să fe optmă. Petru a clarfca cele epuse, este ecesar u eemplu. Să luam î cosderare următoarea problemă deczoală de la magazul frme Z. Să presupuem că frma Z poate produce marfă de caltate superoară or de caltate mede. Varablele deczoale sut date de umărul coveţoal de marfă d săptămâa curetă. Vom ota aceste varable ca fd s. Acum să presupuem că Z poate vde marfa de caltate superoară petru 3 u.m., dar petru asta trebue să cumpere matere prmă de 0 u.m. ş să cheltue îcă u.m. ceea ce îseama u proft de u.m. Calculâd la fel petru produse de caltate mede reese u proft de,7 u.m. Maagerul frme Z a calculat că fabrca sa u poate produce ma mult de produse îtr-o săptămâă. Astfel, a agaat 7 oame cluzâdu-l ş pe el, ce vor lucra 8 ore pe z, 5 zle pe săptămâă ş a estmat de asemeea că u produs de caltate superoară ecestă 5 de ore de mucă î tmp ce uul de caltate mede 0 de ore. Petru a rezolva problema frme Z trebue să asocem modelul matematc corespuzător. De vreme ce proftul estmat petru produsele de caltate superoară este de u.m., atuc 000 este proftul total dat de aceste produse. Smlar,7 este proftul total dat de produsele de caltate mede. Proftul total va f +,7. Această ecuaţe descre proftul total al frme Z î fucţe de varablele deczoale. Avâd î vedere că maagerul frme Z urmăreşte realzarea uu proft mam, obectvul său este să determe velul fecăre varable deczoale î acest cotet, astfel ma Z = +,7 Aceasta este fucţa obectv a probleme de programare lară 40

41 asocată. Fabrca Z a lmtat capactatea ş resursele sale. Î acest caz capactatea ş resursele sut elemete care lmtează valorle admsble ale varablelor deczoale. Deoarece varablele deczoale sut defte î terme coveţoal, îtr-o săptămâă producţa totală este +. Această sumă trebue să fe ma mcă sau egală cu capactatea dspoblă (). Uzul total al resurselor este dat de 5 + 0, ceea ce trebue să fe ma mc sau egal decât resursele dspoble(80). Aceste două lmte se umesc costrâger. Î fal, u are ses să prelucrăm u umăr egatv de produse ş astfel ş sut presupuse ma mar sau egale cu zero. Trasferâd î lmba matematc cele de ma sus, problema frme Z este de a determa valorle lu ş astfel îcât: ma Z = +, , 0 Acesta este modelul matematc asocat probleme frme Z, avâd î vedere deczle ce trebue luate. Această formulare detfcă de asemeea regulle, umte î mod obşut restrcţ sau costrâger, î fucţe de care se a decza. Aşa cum am ma spus, u toate problemele de programare lară preztă forma de ma sus. Altele ar f următoarele: ) Obectve care presupu mmzarea î locul formelor de mam m Z = c + c + + c ) Elemete care sut ma mar sau egale î loc să fe ma mc sau egale a + a + + a b 3) Elemete care sut doar egaltăţ a + a + + a = b 4) Varablele fără codţe o-egatvă. 5) Varablele ecesare să fe o-poztve 0. Ipoteze asupra fucţe obectv a) Fucţa obectv este o eprese lară î varablele de decze. b) Î problemele de programare lară ucrterală, reflectă sgurul obectv urmărt pedomeul deft de restrcţ ecoomce ş tehologce. Satsfacerea acestor poteze poate f ueor dfclă, de eemplu, frma Z u urmăreşte uma mamzarea proftulu, c ş mmzarea rsculu, optmzarea tmpul lber etc. Apare astfel caracterul multcrteral al probleme de programare lară, cât ş problema modelăr rsculu. Ipoteze asupra varablelor deczoale a) Varablele deczoale măsoară testatea actvtăţlor sau velele pe care le poateatge o actvtate, sut defte complet pe domeul admsbl, ar asupra lor decdetul poate eercta u aumt cotrol î vederea realzăr obectvulu propus. b) Toate varablele semfcatve au fost cluse î model. 4

42 Ipoteze asupra restrcţlor a) Pr restrcţ îţelegem u sstem de relaţ sub forma uor epres lare egaltăţ ş/ sau egaltăţ î varablele de decze, care verfcă aomele de lartate. b) Resursele foloste ş/sau solctate î cadrul ue sgure restrcţ sut omogee, ş pot f foloste sau cerute de orcare varablă deczoală apărută î acea costrâgere. c) Varablele d model se presupue că trebue să se subscre proporţoaltăţ. Cattatea cosumată d fecare resursă este drect proporţoală cu volumul producţe fabrcate. Î plus, resursele sut depedete ître ele ş, ca urmare, cosumurle d fecare resursă u se codţoează recproc. (De eemplu î problema geerală de programare lară, proftul et pe utatea de produs este c. Folosd această presupuere cotrbuţa totală a lu la fucţa obectv este îtotdeaua proporţoala cu velul său.) Reved la modelul meţoat ma sus, tmpul ecesar frme Z petru realzarea produselor de caltate superoară era de 5 ore pe produs. Dacă sut obţute 0 produse de caltatea meţoată, sut ecesare 50 de ore de ude rezultă că umărul orelor alocate realzăr producţe este îtotdeaua proporţoal cu velul produselor fabrcate. Se îtâlesc câteva tpur de probleme î care poteza de proporţoaltate este îcălcată. Î aumte cotete, preţul produselor depde de velul de producţe. Astfel, cotrbuţa pe utate a fecăru produs varază cu velul de actvtate. U alt caz apare atuc câd trebue cluse î model ş costurle fe. (Să presupuem că trebue să asocem u cost f ue varable eule. Î acest caz costul total pe utate u este costat.) Ipoteza de dvzbltate Formularea probleme mpue faptul că toate varablele deczoale pot lua orce valoare o-egatva cluzad pe cele fracţoare. Aceasta poteză este îcălcată atuc câd aumte valor eîtreg ale varablelor deczoale u pot f atse. O varablă deczoală poate f de eemplu u mloc de trasport sau costrurea ue clădr câd este clar că varabla trebue să a valor îtreg. Î acest caz este dcat să folosm programarea cu umere îtreg. Forma matrceală geerală a PPL Dacă otăm vectorul ecuoscutelor cu ş cel al costurlor (profturlor) cu c, avem = (,, ) T, c = (c, c m ) ş matrcea coefceţlor tehco-ecoomc a, cu A = (a ),, m,,, ar vectorul termelor d membrul drept al restrcţlor cu b= (b,,b m ) T, obţem forma matrceală geerală a (PPL): ma(m) f c ()' A b ( A b) ()' 0 (3)' Observaţe. Dacă se partţoează matrcea A=(a ) î blocurle de matrce A M ( k, ), A M ( p k, ), A M ( m p, ), 3 4

43 forma geerală a modelulu (PPL) se scre: ma(m) f c ()'' () A b ()'' A (3)'' () b (3) 3 b A (4)'' 0 (5)'' Ude b (), b (), b (3) sut blocurle vectorulu coloaă b corespuzătoare dmesulor matrcelor A, A, A 3, dec petru restrcţ de tp,, =. Forma caocă a PPL Dacă restrcţle (PPL) sut toate de acelaş ses ( ) sau ( ), spuem că modelul matematc are forma caocă: ma f c m f c A b ş A b 0 0 Aşadar, estă două epres ale modelulu (PPL) sub formă caocă ş aume: petru problemele de mam restrcţle trebue să fe ( ) ş varablele eegatve; petru mm, restrcţle sut ( ) ş este respectată codţa de eegatvtate a varablelor. Aceste cerţe sut ecesare îtrucât, dacă problema ar f de mam ş forma caocă ar avea restrcţ de tp, atuc soluţa ar f ftă (,, ), smlar, petru problema de mm, dacă restrcţle ar f, î forma caocă, de tp ( ), atuc soluţa ar f = 0. Vom spue că o restrcţe a ue probleme de programare lară este cocordată dacă este o egaltate de tpul (), câd fucţa obectv se mmzează ş o egaltate de tpul ( ), câd fucţa obectv se mamzează..3..algortmul smple Modelele de rezolvare a problemelor de programare lară sut dferte de cele d aalza matematcă petru problemele de etreme cu legătur. Ele ţ seama de partculartăţle modelulu lar. Matematcaul G.B. Datzg 6 a tut ş realzat u algortm teratv de căutare a soluţe optme pord de la o soluţe admsblă de bază ţală care este îmbuătăţtă, pr trecerea la altă soluţe admsblă de bază, ma buă. Ma precs, vor f testate o parte d soluţle admsble de bază. Î mod emprc, pe baza uor epereţe de calcul efectuate tmp de zece a, s-a stablt că soluţa optmă, dacă estă, se obţe după cel mult 3m teraţ (m este ragul matrce A) Petru prezetarea algortmulu smple se va folos forma stadard a (PPL), adcă: mf = c () A = b (b 0) 0 Nu cotează dacă modelul este de mm sau de mam, coform

44 relaţe: mf = - ma(-f) Presupuem că, coloaele a, a,, a ale matrce A au dc =,, aparţâd mulţm J B sau J S de dc, după cum varablele corespuzătoare sut varable de bază, sau sut varable secudare, respectv. Dec, J B J S,,...,, J B J S. Fe B o bază formată d m coloae ale lu A. Sstemul A=b deve B B +S S =b, de ude: B = B - b - B - S S Notăm _ B Atuc: _ B B B b; y _ B J S B J S B a, J y B B y, J B S, sau pe compoet O soluţe de bază se poate obţe petru S = 0 dec _ B B b. O soluţe de bază B B b este admsblă dacă 0. O bază B ce verfcă o astfel de codţe se umeşte bază prmal admsblă. Eprmăm fucţa obectv cu autorul varablelor secudare. Partţoâd corespuzător vectorul c al coefceţlor fucţe obectv obţem: _ B B B c c c ( _ y c J B JS JB J S JS B B S S f cc c ) J B _ B J S B c ( c c y ) Notăm: _ B z J B c _ B c _ B B JB ş B z B c y B B c y, J J B _ B B f z ( z c ) J S S Teorema. Dacă B este o bază prmal admsblă ş petru orce B avem z c 0, atuc programul de bază corespuzător J S _ B baze B ( S B b, 0) este u program optm petru problema (). Teorema. Dacă petru o bază prmal admsblă B au loc următoarele codţ: B ( )k J astfel îcât z c 0 S k k 44

45 programul de bază B B b, S 0 este edegeerat, atuc programul de bază corespuzător lu B u este optm. Teorema 3. Dacă petru o bază prmal admsblă B au loc următoarele codţ: B k J astfel îcât S z k c k 0 programul de bază B B b, S 0, este edegeerat yk 0, J B atuc problema () are optmul ft. Teorema 4. Dacă petru o bază prmal admsblă B au loc următoarele codţ: B k J S astfel îcât z k c k 0 programul de bază B B b, S 0 este edegeerat ( ) J B astfel îcât y k 0 atuc valoarea mamă pe care o putem atrbu lu 0 astfel îcât ' să rămâă program este dată de: B m m ( ) J B B y y k k 0 _ B r () B y rk Dacă atrbum lu 0 k această valoare atuc programul corespuzător lu este char o soluţe de bază. Aceasta corespude ue baze B' care se obţe d B pr îlocurea coloae a r cu coloaa a k. ' B 0 Observaţe. Coform formule f z ( zk ck ) k valoarea fucţe obectv corespuzătoare baze B' este ' B _ B B r z z ( zk ck ) (3) yrk Dacă estă ma mulţ dc k cu propretatea z k c k 0 atuc petru a obţe cea ma mcă valoare a fucţe obectv ar trebu ales acel dce k petru care cattatea ce se scade î relaţa (3) să fe mamă. Deoarece calculele sut sufcet de laboroase se alege B î practcă acel dce ce mamzează epresa z c..3...algortmul smple prmal D paragraful ateror obţem algortmul smple care costă î: se determă o bază prmal admsblă B (metodă ce va f epusă _ B _ B B, _. B B ulteror) ş se calculează z, y, z c B dacă estă dc astfel îcât să avem z c 0 atuc se determă vectorul coloaă a k ce tră îbază folosd propretatea de mamzare B a eprese z c. Î cazul câd mamul se atge petru ma mulţ dc, se alege uul dtre aceşta. B Dacă petru toţ dc avem z c 0 atuc programul de J S 45

46 _ B B S bază, 0 este optm. dacă mulţmea dclor cu propretatea că y 0 este J B evdă, atuc se determă vectorul coloaă ce părăseşte baza folosd relaţa (). Dacă mulţmea de dc este vdă, dec yk 0, ( ) J B, problema are optm ft. se îlocueşte î baza B vectorul a r cu a k determâdu-se oua bază B' ş se recalculează cattăţle de la puctul ) î oua bază. se rea algortmul de la puctul ) pâă la determarea soluţe..3...determarea ue soluţ de bază ţale Se îtâlesc două stuaţ: dacă problema este de mam, sub formă caocă, baza ţală este baza B 0 = I m formată d vector coloaă ataşaţ varablelor aulare adăugate petru aducerea la forma stadard. î caz cotrar, baza ţală se va costru cu autorul uor varable, umte artfcale, adăugate la restrcţle care u coţ vector utar a baze ţale. I)Esteţa ue baze ţale pr aducerea la forma stadard Fe (PPL) maf = c ma f c 0 y A b A I m y b forma stadard: 0 0, y 0 Î oua problemă, matrcea tehologcă A ( A / I m ) coţe vector de bază ţală B 0 = I m. Se aplcă î cotuare ASP. II) Costrurea ue baze ţale artfcale Dacă (PPL) u este de forma dată î stuaţa I) - dec are forma geerală sau caocă, dar (PPL) este de mm, atuc pr aducerea la forma stadard u se ma obţe o bază ţală. Procedăm astfel: la restrcţa care u coţe vectorul utar (adcă _ î matrcea A u apare vectorul coloaă (0, 0,,,, 0) T cu pe la restrcţe respectve) se adaugă varabla artfcală u 0, care î fucţa obectv va f trecută cu o pealzare foarte mare, M > 0, cu semul (+) dacă problema este de mm ş cu semul (-) dacă problema este de mam. După îscrerea datelor î tabelul smple se efectuează calculele după etapele specfcate la ASP, luâd M sufcet de mare (ma mare decât orcare d "costurle" probleme). Prezeţa î fucţa obectv a varablelor artfcale îseamă, d puct de vedere ecoomc, o dmuare a proftulu, î caz de mamzare, sau o suplmetare a cheltuellor, î caz de mmzare, dec, o pealzare î ambele cazur. De ac ş deumrea de metoda pealzăr dată aceste metode 7. Fe astfel (PPL) sub forma geerală adusă la forma stadard. _ k 7 Î lteratura egleză, această metodă este umtă The Bg M Method. 46

47 _ A Im 0 _ Matrcea A a forme stadard este A A 0 I pk Mm, p A Observăm că are vector utate pe coloaele corespuzătoare lu () I m, dec petru varabla aulară y, dar u ş petru ultmele restrcţ corespuzătoare matrcelor A ş A 3. La aceste restrcţ adăugăm varablele artfcale u,, u m-k, modelul matematc dat deve, de eemplu petru mam: () () () () ma f c 0 y 0 y M ( u u ) (''') () () A I k y b () () () A I pk y I p-k u b () (3) A3 I m p u b () () 0, y 0, y 0, u 0 ş aalog petru mm, dar î (''') se a +M(u () +u () ), ude u () = (u,, u p-k ) t, u () = (u p-k+,, u m-k ) t. Scrd matrcea modelulu (''') - (5'''), se costată esteţa ue baze ţale utare, practc baza artfcală formată d vector corespuzător varablelor artfcale. Î acest caz stuaţa optmulu ft u poate apare. După aplcarea ASP, apar următoarele stuaţ: Valoarea optmă a eprese M(u () +u () ) este zero ş c uul d vector artfcal u se află î baza optmă. Valoarea optmă a eprese M(u () +u () ) este zero ş cel puţ uul d vector artfcal se află î baza optmă. Î această stuaţe, soluţa optmă petru problema orgară este degeerată. Valoarea optmă a eprese M(u () +u () ) este strct poztvă. Î acest caz problema ţală u are soluţ..3.3.dualtatea î programarea lară Dualtatea ocupă u loc mportat î programarea lară atât d puct de vedere matematc, cât ma ales d puct de vedere ecoomc. Fd dată o problemă de programare lară, pr care se cere să se determe valoarea optmă a fucţe respectve de efceţă, varablele fd supuse uor restrcţ, totdeaua se poate formula o ouă problemă de programare lară, folosd î mod orgazat aceleaş caracterstce umerce ale probleme date, care să ceară îsă determarea valor optme de categore cotrară. Î plus, soluţle celor două probleme sut strâs legate ître ele. Perechea de probleme astfel obţută răspude uu prcpu fudametal d matematcă umt prcpul dualtăţ, problemele respectve fd umte probleme duale ua altea. Importaţa problemelor duale este evdetă atât d puct de vedere teoretc, pr aceea că oferă posbltatea dezvoltăr costructve a obectulu programăr lare, cât ş d puct de vedere practc, permţâd aalza cattatvă ş caltatvă a problemelor cocrete de programare lară. Iterpretarea ecoomcă a modelulu dual aduce o formaţ î aalza acestor feomee ş î fudametarea deczlor. 47

48 .3.3..Formularea PPL - duale. Teorema fudametală a dualtăţ Teora dualtăţ studază cuplul de probleme duale d puctul de vedere al coeulor care se pot stabl ître mulţmle soluţlor celor două probleme ş mplcaţle acestora asupra modulu de rezolvare. Legătura dtre cele două modele duale este redată după cum urmează: - forma fucţe obectv d prmală mplcă forma fucţe obectv d duală, î sesul că dacă modelul prmal este de mm (mam), atuc dualul său va f de mam (mm), ar coefceţ aceste fucţ vor f terme lber a restrcţlor prmale ş recproc; - forma restrcţlor d prmală mplcă semele varablelor d duală ş recproc, astfel: ue restrcţ cocordate cu modelul prmal se ataşează varablă duală, care va avea codţe de eegatvtate ş recproc; ue restrcţ ecocordate î prmală î va corespude o varablă duală ce u va avea codţe de eegatvtate ş recproc; ue restrcţ dată de o egaltate î va corespude o varablă duală oarecare ş recproc. - terme lber a restrcţlor d modelul dual sut coefceţ fucţe obectv a modelulu prmal; - semele varablelor d prmală mplcă sesul restrcţlor d duală, după cum rezultă d mplcaţa recprocă a celor tre regul ale puctulu ). D aceste regul rezultă că modelul dual va avea m ecuoscute w=(w,w,, w m ) ş restrcţ, cu matrcea sstemulu A T (traspusa matrce A a sstemulu de restrcţ d modelul prmal). Propozţa. ( ) P ş w _ Pw, u cuplu (, w ) de soluţ admsble ale celor două probleme, avem egaltatea: _ g( w) f ( ) dec _ wb c ~ ~ w Propozţa. Dacă cuplul de soluţ (, ) ale celor două _ probleme are propretatea că g( w) f ( ), atuc ~ este o soluţe optmă a (PPL p ) ş ~ w este o soluţe optmă a (PPL D ). Cosecţe.. Dacă (PPL p ) u are optm ft (PPL D ) u are soluţ admsble (.e. P w = ). Dacă (PPL D ) u are optm ft (PPL p ) u are soluţ admsble (.e. P = ). Aceste propozţ ş cosecţele lor permt demostrarea teoreme fudametale a dualtăţ. ~ 48

49 Teorema 6. Dacă soluţe optmă a (PPL p ), estă ( ~ ~ ~ PX ) ş este f ( ) g ( w ftă, atuc ş soluţa optmă a (PPL D ) estă ( w ~ ) PW ) ş este ftă ş valorle optme ale fucţlor obectv cocd ~ ~ f ( ) g( w) Î plus, dacă ~ este soluţa optmă de bază a (PPL p ) petru baza B ~ formată cu m vector coloaă lar depedeţ d A = (a, a,, a,, a m ), atuc ~ ~ ~ B ~ B ~ b; w c ~ B ~ B corespuzătoare vectorlor d baza B ~. Valorle fucţlor obectv sut: ~ f ( ) c ~ ~ B g( w) c ~ B ~ B ~ B b b, ude c ~ sut cele m costur B D această teoremă reese cocluza că tabelul smple fal corespuzător probleme prmale coţe soluţle optme ale T B ambelor probleme. Soluţa probleme duale wb c B se obţe pe la z la tersecţa cu coloaele vectorlor care au format baza ţală. Smlar, dacă se rezolvă problema duală rezultă că soluţa (PPL p ) se B află î ultmul tabel smple al (PPL D ), pe la z c, î dreptul coloaelor care ţal au format baza. Importat! Această cosecţă dă posbltatea rezolvăr ue (PPL p ) pr duala sa, dacă este ma uşor de rezolvat, ar soluţle prmale se ctesc coform celor de ma sus. Teorema 7 (teorema ecarturlor complemetare). Cosderâd cuplul de probleme (PPL p ), (PPL D ) date ma sus, codţa ecesară ş sufcetă ca soluţle ~ P ş w ~ Pw să fe optme este ~ ~ w( A b) 0 ~ ~ ( c w A) Iterpretăr ecoomce ale dualtăţ Î acest paragraf sut epuse câteva terpretăr ecoomce legate de dualtate (terpretarea probleme duale, a varablelor duale ş a teoremelor de dualtate). Propozţa 3. Varabla duală w ataşată restrcţe, arată, la optm, varaţa velulu optm al proftulu (costulu) total, cosecutvă ue modfcăr a dspoblulu d resursa cu o utate. Observaţe. Tot d (P ) obţem că varablele duale w au semfcaţe de "preţ". Îtr-adevăr, d: 49

50 ~ ~ cattate cattated " preţ" c wb produsă w resurse (c) ~ (b) () w = preţul resurse ; dar u este preţul de paţă c u preţ umbră [ shadow prces ] ataşat fecăre resurse, care arată mportaţa locală, petru agetul ecoomc aalzat, a resurse "". Preţurle umbră sut costur mpuse sau de oportutate ale factorlor de producţe. E sut dcator crucal petru aalza programulu optm ş petru modfcarea lu î cazul redefr valorlor dspoble. Scrse ca u sr descrescător, valorle optmale ale varable duale dcă ordea de preferţă î aprovzoarea suplmetară d cele m resurse; se poate astfel estma mportaţa relatvă a celor m resurse î realzarea scopulu declarat. D teorema ecarturlor complemetare se deduc relaţle: ~ ~ a) dacă w 0, atuc a b b) dacă a ~ ~ b, atuc w 0 c) dacă 0, atuc a m ~ m ~ ~ w c ~ d) dacă a w c, atuc 0 Relaţle d a) arată că varabla duală corespuzătoare ue resurse utlzată î îtregme este strct poztvă, ar cele d b) că varabla duală w ~ este 0 dacă resursa u este folostă tegral ( orce creştere a resurse u are c u efect asupra velulu mam al proftulu estă surplus d această resursă la agetul ecoomc). Dacă w > w > 0 resursa este ma mportată decât resursa, dec se va da prortate aprovzoăr cu resursa R î raport cu R. Ţâd cot de aceste terpretăr ecoomce observăm că teorema ecarturlor complemetare are terpretarea ecoomcă: o ~ ~ ) w( A b) 0 evaluarea î preţurle umbră optmale a ecartulu ître dspoblul de resurse ş cosumul acestor resurse î actvtatea agetulu ecoomc, arată că este ul, dacă agetul ecoomc îş desfăşoară actvtatea la vel optm. o ~ ~ ) ( c w A) 0 ecartul ître costurle reale ale actvtăţlor ~ desfăşurate la vel optmal ( c ) de agetul ecoomc ş valoarea ~ cosumulu tehologc A ecestat de aceste actvtăţ, evaluat la preţurle umbră optmale ~ w, este ul. 50

51 .3.4.Problema de trasport Î acest captol se vor studa o parte a modelelor lare ce apar î actvtatea de aprovzoare, î crcumstaţe specfcate. Î sstemul cberetc al frme, subsstemul trasport aprovzoare desfacere realzează legătura drectă dtre producător ş cosumator, codţoâd realzarea plaulu de desfacere. Orgazarea efcetă a trasporturlor presupue cuoaşterea tuturor rutelor de trasport, precum ş a costurlor pe fecare mloc de trasport î parte, astfel îcât să se utlzeze rutele cele ma ecoomce, deoarece o reducere permaetă a cheltuellor de trasport coduce la sporrea efceţe actvtăţ ecoomce a frme. Toate cheltuelle care sut legate de trasportul operatv al mărfurlor trebue evdeţate dstct pe furzor ş pe cattăţ trasportate, petru a se putea efectua o aalză ecoomcă rguroasă. Prmele îcercăr emprce de puere a probleme de trasport au fost mpuse de cerţele de alocare a mloacelor de luptă î cel de-al dolea războ modal, astfel îcât costul total să fe mm. Prmele rezultate sut obţute de Htchcock (94), Katorovc (94), apo dezvoltate de Koopmas (947). Ulteror, cercetărle î acest domeu au fost dversfcate, obţâdu-se metode efcete de rezolvare. Problema euţată ma sus va prezeta teres uma dacă respectă următoarele poteze: a) cel puţ o sursă poate aprovzoa ma multe destaţ ş cel puţ o destaţe poate prm utăţ de flu de la ma multe surse. b) uele rute de legatură pot avea lmtăr 8 superoare ş/sau feroare petru volumul utăţlor de flu ce se deplasează îtr-u ses sau altul. c) estă u cost al deplasăr ue utăţ de flu de la u puct al reţele la altul, care poate f eprmat î ba, tmp sau dstaţă Modelul matematc al probleme de trasport Se deduce modelul matematc al probleme de trasport: m (m) f c () m d,, m () N,, (3) 0,, m;, (4) ude parametr probleme satsfac codţle: d 0, N 0, c 0 (5) Îtr-adevăr, dacă va reprezeta cattatea de produs ce trebue trasportată de la sursa F la destaţa B, relaţle () mpu codţa ca totalul trasportat de la fecare furzor să u depăşeşte estetul, relaţle (3) mpu satsfacerea cerer, () cere mmzarea cheltuellor totale de trasport. Codţle (4) ş (5) apar aturale î cotetul cocret al probleme. 8 capactăţ 5

52 Orgazarea datelor se face tabelar, î tabloul de trasport. F / B B B B B Dsp F C C C C d : F C C C C d : F m C m C m C m C m d m Necesar N N N N m d N Dec tabloul de trasport coţe costurle (c ) ale trasportulu ue utăţ de produs (toă, bucată, m 3, etc.) de la locul (al furzorulu) la destaţa (a beefcarulu); coţe de asemeea datele prvd dspoblul ş ecesarul la fecare parteer. Observaţe: Estă umeroase alte probleme î care obectul urmărt u costă î mmzarea costurlor, c a altor dcator precum dstaţa totală î care se a î loc de c dcatorul D (dstaţa pe ruta de trasport de la la ) sau tmpul total, î care caz se a t î loc de c, ude t = durata trasportulu de la la. Se observă că problema () (5) u are soluţ admsble dacă dspo total este ma mc decât cererea totală. Matematc, afrmaţa de ma sus este ustfcată pr relaţle obţu aduarea prmelor m restrcţ ş apo a ultmelor : Dspobl total = D m De asemeea, codţa ca D d m m d N sufcetă, (î acest caz se verfcă uşor că soluţa N N = cerere totală N este ş d N m este d soluţe admsblă). Î plus, char dacă dspoblul total este ma mare decât cererea totală, este evdet că se va trasporta doar ecesarul, deoarece trasportarea ue cattăţ ma mar decât ecesarul va duce la u cost suplmetar, î cotradcţe cu scopul urmărt. Matematc, ue soluţ î care ua d ultmele restrcţ ar f verfcată strct, î corespude o soluţe î care am scăzut cattatea suplmetară d valorle varablelor mplcate î restrcţe, care este de asemeea admsblă (aceste varable u apar î alte restrcţ dtre ultmele, ar prmele m vor f cu atât ma mult verfcate dacă scad) ş care este evdet ma buă, dâd u cost ma mc. Î cocluze, dacă estă soluţe optmă, se va trasportă eact cattatea cerută. Totuş, î practcă se poate îtâl orcare d cele tre cazur. Defţa. Problema de trasport se umeşte echlbrată dacă D = N (dec dspoblul total este egal cu ecesarul total). Practca oferă probleme ecoomce î care se pot îtâl stuaţle: 5

53 a) D > N - oferta depăşeşte cererea b) D < N - cererea depăşeşte oferta Orcare d cele două stuaţ coduce la probleme de trasport echlbrate dacă se troduce u cetru de destaţe fctv, respectv u cetru de orge fctv, avâd costurle de trasport ule ş cattatea ecesară, respectv cea dspoblă, egale cu m d N ( DN), respectv N d ( N D). Pr trasformăr elemetare orce problemă de tpul () (5) poate f adusă la forma: m m f c ( ) m d,, m ( ) N,, (3 ) 0,, m,, (4 ) ar asupra parametrlor se poate face supozţa: d 0, N 0, c 0 (5 ) ude D m d N N. Modelul matematc ( ) (5 ) este echvalet cu o problemă de programare lară. m Îtr-adevăr, otâd cu: = (,,,,,,,, m,, m ) T - vectorul ecuoscutelor; b = (d,,d m, N,, N ) T A - matrcea coefceţlor A obţem (m) f c ( ) A = b ( ) 0 (3 ) ude c = (c,, c ; c,, c,, c m,, c m ) este vectorul costurlor. Este evdet că problema de trasport la forma stadard este o 53

54 problemă de programare lară la forma stadard, dar este o problemă de programare care poate deve uraşă (u eemplu practc obşut cu, de eemplu, 30 de furzor ş 0 cosumator, va duce la u tabel smple de , ş sut cazur ş cu m de furzor ş cosumator), motv petru care algortmul smple sub forma clască u este aplcabl. Datele probleme de trasport au o structură cu totul deosebtă, î matrcea A a sstemulu, toate compoetele fd sau 0, d care 0 sut mult ma mulţ, astfel că d acest motv este atural să căutăm u algortm specal petru problema de trasport care să se folosească la mamum caracterstcle acestea. 54

55 3..Itroducere Utatea de îvăţare 3 Aplcaţ ale programăr matematce î fudametarea deczlor optme Problema optmzăr ue fucţ se poate cosdera u uma î cazul fucţlor lare. Î practcă, fucţa obectv f() u este lară, după cum u este c depedetă de aumte restrcţ mpuse lu (restrcţ de producţe), aşa cum s-a văzut cu ocaza problemelor de programare lară. Această caracterstcă a probleme rdcă dfcultăţ substaţale de ord matematc î studul propretăţlor geerale ale soluţlor ş î elaborarea tehclor de calcul ale acestora. Prma lucrare teoretcă fudametală î domeul programăr elare, care a stat la baza maortăţ cercetărlor ulteroare î acest domeu, a fost rodul cercetărlor lu H.W. Kuh ş A.W. Tucker î drecţa stablr uor codţ ecesare ş sufcete petru esteţa soluţlor ş a fost publcată î aul Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Obectvele utăţ de îvăţare: Îsuşrea uor oţu ş cocepte specfce programăr elare, cocepte utle î modelarea feomeelor de atură ecoomcă ş maagerală. Competeţele utăţ de îvăţare: - studetul trebue să-ş dezvolte abltăţle de a aplca corect cuoştţele acumulate petru rezolvarea dfertelor clase de probleme; - studetul trebue să-ş formeze ş dezvolte capactatea de aalza Coţutul utăţ de îvăţare 3.3..Programarea elară prezetare Î stablrea modelelor matematce ale feomeelor cocrete care 55

56 coduc la probleme de tpul programăr elare u rol mportat reve metodelor probablstce, fucţle ecoomce fd î geeral deduse î urma ue cercetăr statstce a feomeulu. Vom cosdera cazul geeral: Fe o mulţme X ş fe fucţa reală f : X ş m k fucţle vectorale g : X ş h : X. O problemă geerală de optmzare este de forma: mf() g ( ) 0 h ( ) 0 () X Î cele ce urmează vom cosdera cazul probleme de mmzare (petru mamzare se va proceda aalog cosderâd fucţa f()). Fe mulţmea soluţlor (posble) X 0 X / g( ) 0, h( ) 0 () Problema de programare elară costă î determarea puctelor de etremum global (mm sau mam) ale fucţe f pe mulţmea X 0. Euţul () a fost dat î screrea vectorală. Dacă se folosesc compoetele fucţlor vectorale g ş h, atuc modelul este: m f(,, ) g (,..., ) 0,, m h (,..., ) 0,, k (3) (,..., X ) Petru aflarea puctelor de etrem se foloseşte metoda multplcatorlor Lagrage, dec se obţe fucţa: T T L(,, ) f ( ) g( ) h( ) (4) m k ude X,, * * * * * m * k Defţa. Puctul (,, ) cu X,, se umeşte puct şa al fucţe Ldacă: * * * * * * L(,, ) L(,, ) L(,, ) (5) m k petru orce X,,. * * * Teorema. Dacă (,, ) este u puct şa al fucţe L, atuc * este puct de mm global al lu f pe mulţmea X 0 (adcă * este soluţa optmă a probleme de programare elară ()). Teorema dă codţ sufcete de optmaltateî programarea elară. Petru a obţe codţ ecesare ş sufcete trebue troduse poteze suplmetare atât asupra mulţm X, cât ş asupra fucţlor care apar î model Codţle Kuh Tucker Defţe.O problemă de programare elară () î care fucţle f, g ş h sut covee, defte pe mulţmea X coveă, se va um problemă de programare coveă. Fe problema de programare elară coveă: m f ( ) X 56

57 g( ) 0 (8) X ş fe mulţmea soluţlor posble X 0 X / g ( ) 0,, m care este tot o mulţme coveă (ca tersecţe de mulţm covee). O codţe ecesară petru esteţa puctulu şa î programarea coveă este ca terorul mulţm X 0 să fe evd, adcă să este, astfel ca g ( ) 0 (codţa lu Slater). X 0 Propozţa. Mulţmea soluţlor optme ale probleme de programare coveă este o mulţme coveă. Propozţa (Karl). Codţa ecesară ş sufcetă ca o soluţe * X 0 a ue probleme de programare coveă (8) să fe optmă este ca să este * 0, astfel îcât ( *, * ) să fe puct şa al fucţe T Lagrage L(, ) f ( ) g( ) Teorema. Dacă la potezele propozţe () se adaugă faptul că f ş g sut dfereţable î * X ş că X, atuc codţa ecesară ş sufcetă ca * să fe soluţe optmă a probleme (8) este să este * 0 astfel îcât: * * L(, ) 0 * g( ) 0 (9) * 0 * T * ( ) g( ) 0 Relaţle (9) se umesc codţle Kuh-Tucker. O teoremă asemăătoare cele de ma sus va f euţată petru u model de programare elară de o formă ma geerală ş aume: Fe p X o mulţme deschsă ş fe fucţa reală f : X ş m k fucţle vectorale g : X ş h : X dfereţable î puctul * * (, y ) X. Î plus, fucţle f ş g sut covee î X, ar h este atât coveă cât ş cocavă î X. Fe problema de programare elară: m f(,y) g(, y) 0 h(, y) 0 (0) 0 (, y) X Teorema 3. Î aceste poteze o codţe ecesară ş sufcetă ca * * (, y ) X să fe soluţe optmă a probleme (0) este să este * m * k *,,, astfel îcât să fe îdeplte codţle: 57

58 * * * * * L(, y,,, ) 0 * * * * * y L(, y,,, ) 0 * * g(, y ) 0 * * h(, y ) 0 * * 0, y oarecare * * * 0, oarecare, 0 * T * * * T * ( ) g(, ) 0, ( ) 0 ude: L este fucţa Lagrage asocată probleme (0) deftă m k ( )(, y) X ş( ),,, dată de T T T L(, y,,, ) f (, y) g(, y) h(, y) Î modelele utlzate pâă acum s-a cerut determarea mmulu fucţe f. Dacă problemele de programare elară sut de mam, deosebrle ce apar î aflarea acestor pucte de etrem cu autorul codţlor Kuh-Tucker sut cele refertoare la semele multplcatorlor Lagrage ş aume, î aceste probleme * 0, respectv * 0. Este cuoscută relaţa maf = -m(-f) Programare pătratcă Se va um problemă de programare pătratcăo problemă de forma: T T m f ( ) H c g( ) A b 0 ude:, H este o matrce smetrcă esgulară de ord poztv semdeftă, c, ar A M m, cu rag A=m< ş m b. Fucţa vectorală g va avea dec compoetele g ( ) a a... a b 0,, care sut fucţ lare. Modelul poate să coţă ş codţ de eegatvtate petru toate cele varable,,, sau uma petru o parte dtre acestea. Petru aumte modele de programare pătratcă vom prezeta u algortm de rezolvare ma smplu Metoda smple petru rezolvare problemelor de programare pătratcă (Metoda Frak ş Wolfe) Problemele de programare pătratcă au fucţe obectv f de gradul do, T restrcţle date de fucţa vectorală g ( ) ( g( ),..., g m ( )) sut fucţ lare, ar vectorul are codţa de eegatvtate. Codţle Kuh-Tucker, aşa cum au fost euţate ma sus, sut alcătute d grupa de egaltăţ ş de egaltăţ, care ecestă u volum mare de calcule petru rezolvare, avâd de obce multe soluţ. Î cazul î care problema este de programare pătratcă, codţle Kuh-Tucker vor f egaltăţ de gradul îtâ cu ecepţa celor d codţa de ecart: g (,..., ) 0,, m fecare dtre acestea putâdu-se descompue î câte două posbltăţ: 58

59 0 sau g (,..., ) 0,, m Acest lucru se poate eprma ş astfel: ş g (,..., ) u pot f î acelaş tmp dferte de 0. Tot d codţle Kuh-Tucker trebue ca: g (,..., ) 0,, m Această egaltate se aduce la forma stadard dacă se adaugă o varablă de compesare, dec se poate eprma următoarea cocluze: a ş varablele ce compesează restrcţle g (,..., ) 0 (, m) u pot f eule î aceeaş soluţe. Petru rezolvarea probleme cu autorul algortmulu smple sut ecesare următoarele etape: ) se trasformă restrcţle probleme, clusv codţle de eegatvtate î egaltăţ cu sesul "" ; ) se scru codţle Kuh-Tucker cu multplcator,, m, petru problemele de mm ş,, m, petru cele de mam; 3) se aduce sstemul codţlor Kuh-Tucker, î afara codţlor de ecart, la forma stadard a algortmulu smple; 4) dacă a fost ecesară troducerea uor varable artfcale petru alcăturea baze utare, atuc se rezolvă problema avâd fucţa obectv egală cu suma acestora, care se mmzează la fel ca î metoda celor două faze. D mometul î care s-a obţut soluţa optmă (î care fucţa obectv are valoarea 0) se reuţă la vector artfcal ş se cotuă aplcarea algortmulu fără fucţa obectv ş ţâd seama de codţa a. Dacă problema u avea varable artfcale, atuc se aplcă algortmul smple fără fucţe obectv, obţâd toate soluţle de bază posble care satsfac codţa a. Petru toate aceste soluţ de bază se calculează valoarea fucţe obectv ş se alege soluţa ca fd puctul de etrem global al fucţe de efceţă. 59

60 4.. Itroducere Utatea de îvăţare 4 Gestuea optmă a stocurlor Î procesul de producţe, o problemă de mare mportaţă o costtue plafcarea stocurlor deoarece este legată de valoarea ecoomcă a producţe. Petru ca procesul de producţe îtr-o îtreprdere să se desfăşoare î mod cotuu, trebue ca îtreprderea să abă u stoc de materale. Se pue dec problema dmesoăr stocurlor (de mater prme ş materale) astfel îcât costurle (perderle valorce) care se obţ d moblzarea fodurlor sau eutlzarea maşlor ş forţe de mucă să fe mme. Î mod aalog, se pue problema î ceea ce prveşte valorle rezultate d procesul de producţe. Rezolvarea problemelor legate de determarea stocurlor optme se realzează cu autorul uor modele matematce ale teore stocurlor. 4.. Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Obectvele utăţ de îvăţare: - utlzarea modelelor cattatve ecesare modelăr cattatve a stocurlor; Competeţele utăţ de îvăţare: - îţelegerea elemetară a metodelor foloste î aalza stocurlor; - cuoaşterea ş îţelegerea tegrală a modelelor utlzate î aalza stocurlor Coţutul utăţ de îvăţare Model de stoc cu cerere costată, fără ruptură de stoc Dacă î modelul ateror se cosderă t=t, atuc =y, c p =0. Cheltuelle totale vor f: N C( ) cl Tc s 60

61 Se obţe puctul Nc s 0 Tc s care este puct de mm, ar cheltuelle mme vor f: C( 0 ) NTc l c s Cosderâd î acest model că aprovzoarea se face cu produse, se obţe N C(,..., ) ( cl Tc s ) petru care avem: ' N C (,..., ) 0 c l Tc s : ' N m C (,..., ) 0 c l Tc s Rezultă: N c 0 l,, Tcs T Dec (,..., ) puct staţoar petru care matrcea hessaă este: Tcl Tc l A Tcl Matrcea este poztv deftă, dec puctul staţoar este puct de mm Modelul de stoc cu cerere costată, fără lpsă de stoc, petru ma multe produse Fucţa ecoomcă a cheltuellor totale ecesare petru achzţoarea a produse este: N cl f ( ) ( Tcs N p R ) ude am otat cu vectorul cu compoete ce repreztă cattatea comadată de produsul,,, N cattatea totală d produsul ce se cosumă pe peroada de tmp T, cl - costul de lasare a ue comez petru produsul ş c s - costul de stocare utar petru produsul, p preţul utar de achzţe al produsulu ş R amortsmete ş retrbuţ,,. Presupuâd că V este capactatea totală de depoztare (sau vestţa totală), ar V este volumul utar ocupat de produsul (sau este vestţa utară specfcă produsulu ) atuc problema determăr stoculu optm va f: 6

62 6 s l R p N Tc N c f ) ( ) ( m V v, 0, Codţle Kuh-Tucker dev: s l V v V v v Tc N c 0 0 0, 0 ) ( 0 Dacă 0 *, atuc d prma relaţe rezultă soluţa: Tc c N s l,, * cu valoarea optmă a fucţe s l R p N T c N c f * ) ( ) ( Se arată că soluţa optmă găstă satsface codţa: V V v * * petru a putea verfca ultmele două relaţ d sstemul codţlor Kuh-Tucker. Dacă: 0, se obţe soluţa optmă: v Tc N c s l, ** ar valoarea optmă a lu se va găs d a doua relaţe d sstemul codţlor Kuh-Tucker, V v, care deve: V V v ** * * Observăm că ** * ş dec V V V ** *. Rezultă de ac următoarea metodă de lucru: a) se determă,, *, d (4) b) se calculează v V * * c) dacă V V *, atuc loturle * sut optme, ar vestţa totală u este folostă tegral (dacă V V * ), sau este folostă tegral (dacă V V * ). d) dacă V V *, atuc loturle optme vor f v Tc N c s l,, **, î care ** se găseşte d ecuaţa:

63 63 s l V v Tc c N v ş dec vestţa totală este utlzată tegral Modelul de stoc cu cerere costată, cu posbltatea îtreruper stoculu, petru ma multe produse Fucţa cheltuellor totale este: ] ) ( [ ), ( p s l Tc y Tc y N c y f ude: N repreztă cattatea totală de produse de tpul cu care se face aprovzoarea pe o peroadă T, cattatea ecesară îtr-o comadă, y cattatea d stoc ( y,, ), l c - Fucţa cheltuellor totale este ] ) ( [ ), ( p s l Tc y Tc y N c y f ude N repreztă cattatea totală de produse de tpul cu care se face aprovzoarea pe o peroadă T, cattatea ecesară îtr-o comadă, y cattatea d stoc ( y,, ), l c - cheltuel de lasare a ue comez, s c - costul utar de stocare, ar p c - costul utar de pealzare petru lpsa d stoc petru produsul de tpul,,. Dacă se mpue aceeaş codţe ca la problema ateroară: V v atuc codţle Kuh-Tucker dev: p p s p p s l V v V v c y c c v Tc y c c T c N 0 0 0, ) (, 0, ) ( 0 ) ( ) ( Aalog modelulu ateror se auge la următoarele etape de rezolvare: a) se calculează Tc c N s l,, * y,, * * ude: c c c p s p,, b) se calculează v V * * c) Dacă V V *, atuc loturle * ş stocurle * y sut optme, ar vestţa totală u este folostă tegral (dacă V V * ), sau este

64 folostă tegral (dacă V * V ). Ambele stuaţ se produc petru * 0. * d) dacă V V, atuc loturle optme sut: ** N cl,, Tc v ** ** ar stocurle optme sut: y,, ude se găseşte d ecuaţa: v s N c Tc v s ar vestţa este folostă tegral. l V, 64

65 5.. Itroducere Utatea de îvăţare 5 Modelarea decze de vestţe, compoetă prcpală a deczlor facare La vel mcroecoomc maagemetul facar se bazează pe u asamblu de decz facare, prtre care decza de vestre poate f cosderată ca fd ua dtre cele ma mportate decz luate la velul maagemetulu frme. Procesul vestţoal repreztă d puct de vedere teoretc aplcarea teore mcroecoome, coform cărea o îtreprdere trebue să cheltuască pâă î mometul î care vetul margal egalează costul margal. Aşadar, î cazul vestţlor, decza are î vedere rata de radamet a captalulu estet ş costul margal al captalulu. 5..Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Obectvele utăţ de îvăţare: - îţelegerea ş aplcarea aalze de sstem la domeul deczlor de vestţ. Competeţele utăţ de îvăţare: - fudametarea corectă a decze de vestţ Coţutul utăţ de îvăţare 5.3..Trăsăturle decze de vestţ Decza de a vest apare ca urmare a ecestăţ sau teresulu de a realza o vestţe. Orce decze de a vest se raportează la obectvul maor al faţelor prvate: mamzarea valor frme ş a aver acţoarlor. Modul î care o îtreprdere creşte ş se dezvoltă, capactatea de a supraveţu ş char de a f compettvă depde de capactatea de a geera costat fluur de 65

66 de petru produse o ş caltatve sau care mplcă costur ma mc, adcă de a lua cele ma bue decz de vestţ. O astfel de decze are la bază ma multe cosderete, ş aume: sstemul valorc (valoarea î tmp a balor), medul soco-ecoomc î care se desfăşoară proectul, perspectva vesttorlor, modaltăţle de faţare, rscur aferete, prevzuea fluurlor de trare ş eşre, măsurarea performate. etc. Procesul deczoal vestţoal cuprde aceleaş compoete ca ş procesul deczoal maageral, ş aume: decdetul, mulţmea varatelor (alteratvelor) deczoale, mulţmea crterlor deczoale, medul ambat, mulţmea cosecţelor ş a obectvelor. Decdetul este reprezetat de persoaa sau orgasmul care adoptă decza de vestre. Acţule decdeţlor, cu prvre la decza de vestţ, sut puterc flueţate de medul î care aceşta acţoează sau atfel spus de totaltatea elemetelor edogee ş eogee îtreprder care alcătuesc stuaţa deczoală, caracterzată pr aparţa uor flueţe drecte ş drecte puterce asupra coţutulu ş rezultatelor decze maagerale. Medul ambat are u coţut ş o evoluţe compleă, ş ueor char cotradctore: pe de o parte au loc o sere de trasformăr de atură să ofere premse ma bue petru u proces deczoal efcet, ar pe de altă parte, medul ambat deczoal se trasformă, ca urmare a creşter umărulu de ageţ ecoomc, a varetăţ actvtăţlor ş trazacţlor î care aceşta sut mplcaţ ş a cerţelor specfce datorate tercoectăr cu celelalte ssteme ecoomce Decz vestţoale la velul frme Creşterea ş dezvoltarea ecoomcă a ue ţăr este determată, î mod practc, de volumul ş structura vestţlor. Volumul vestţlor eprmă latura cattatvă a procesulu vestţoal, î tmp ce structura lor redă caltatea, efceţa procesulu. Î ceea ce prveşte structura vestţlor, lucrurle sut ma complcate. Petru a determa căle de optmzare pe care ar trebu să le urmăm, este ecesar să facem apel la o aumtă trospecţe, favorzată de grupăr ş clasfcăr. Prcpala clasfcare cu care se operează î acest domeu este cea de vestţ reale ş vestţ facare. Ivestţle facare ş vestţle reale sut două latur ale feomeulu vestţoal, fecare avâd u rol specfc. Ivestţle facare creează resursele ecesare realzăr vestţlor reale ş, de aceea, ele premerg celor reale. Nu îtotdeaua, îsă, trecerea de la vestţle facare la vestţle reale se face î mod drect, emloct, deoarece de cele ma multe or, o aumtă categore de vestţ facare se trasformă îtr-o altă categore, tot de atură facară, operaţa avâd u caracter teratv. Pâa la u aumt puct, această auto-metamorfozare, este ecesară, apropd vestţle facare de cele reale, dar după acest puct crtc ea deve utlă petru petru ecooma reala, fd beefcă uma petru ce ce operează cu ba. Orce vestţe creează o ecoome ouă; aşadar vestţle facare aparţ ecoome facare, ar vestţle reale se revarsă î ecooma reală. 66

67 Obectve ş restrcţ î cazul adoptăr decze de vestţ î actve reale Ivestţle pe paţa reală costau î trasformarea uor lchdtăţ î dverse actve reale. D puct de vedere cotabl, pe durata realzăr vestţe, ele sut moblzăr î curs, ar după ce se falzează obectvul de vestţ, ele sut îregstrate cotabl ca moblzăr corporale, ecorporale. Acestea repreztă cheltuel băeşt, materale ş umae efectuate î dferte dome (ecoomc, socal, cultural etc.) petru achzţoarea sau realzarea de actve moblzate ş crculate o sau petru moderzarea celor estete, î vederea obţer ulteroare a uor efecte ecoomce, socale etc. Cele ma mportate vestţ î actve reale sut cele d domeu ecoomc care se realzează î dustre, agrcultură, costrucţ, trasport, etc ş care flueţează drect creşterea produsulu ter brut. Decza de a face o vestţe pe paţa reală este prezetată sub forma uu proect de vestţ. Potrvt metodologe Băc Modale, proectul de vestţ este o actvtate, cu u puct de plecare ş respectv de îcheere propru, care urmăreşte obţerea uu obectv specfc, ître aceste pucte realzâdu-se o sere de fluur de eşre ş trăr ş care, d puct de vedere ecoomco-facar semfcă cheltuel ş vetur. U proect de vestţ de pe paţa reală se cocretzează pr mărmea ş faltatea sa. 9 Mărmea uu proect de vestţ este dată, î eseţa, de valoarea cheltuellor de vestţ, dar ea poate f aprecată ş pr mărmea moblzărlor care fac obectul proectulu de vestţ. Altfel spus, proectul de vestţ repreztă u asamblu coeret de acţu cu caracter vestţoal care urmăreşte alocarea orgazată de resurse materale, facare, umae ş formaţoale î scopul realzăr uu obectv cu efect ecoomc ş/sau socal. De cele ma multe or, realzarea uor proecte de vestţ este codţoată de volumul fodurlor de vestţe de care dspue frma, restrcţe mpusă de maagemetul frme, care urmăreşte î permaeţă evtarea rsculu facar. Îtr-o perpsectvă ma mare, î care se ţe cot de legătura pe care frma o poate stabl cu paţa de captal, de posbltatea acestea de a cotracta credte pe paţa de captal face să u este practc co restrcţe eteră asupra umărulu de proecte care pot f realzate de către o frmă. Elemetele prcpale, deftor petru vestţle î actve reale pot f rezumate astfel: vestţle î actve reale mplcă, î geeral, cheltuel facare substaţale; veturle rezultate d vestţe apar pe parcursul uu umăr de a, îtr-o peroadă vtoare; estă, î geeral, elemete de rsc ş certtude î progozarea mărm fluulu de vetur ş cheltuel vtoare; aceste vestţ presupu o sere de cheltuel cu mpact drect asupra capabltăţ frme petru atgerea obectvelor sale strategce ş operaţoale (de eemplu: retehologzăr, moderzăr etc.). 9 Gttger, J. Prce, Ecoomc aalyss of agrcultural proects, BIRD, The Joh Hopks Uversty Press, Baltmore&Lodra, 97, pg. 7 67

68 Î defţle stadard, uele trăsătur ale vestţlor î actve reale, precum ş cerţele ecesare fudametăr deczlor asocate lor sut de obce omse. Astfel, modaltăţle î care deczle legate de vestţle î actve reale sut legate de alte actvtăţ orgazaţoale ş care au flueţă asupra acestora ar trebu să fe cosderate ca o parte tegrată a actvtăţ vestţoale. Deczle de vestţ î actve reale se fudametează îtr-u cotet socal-orgazaţoal ş au mpact asupra pozţe strategce ş operaţoale a frme, precum ş asupra oamelor care costtue frma respectvă. Aceste decz trebue să a î cosderare mplcaţle strategce ale vestţe propuse, precum ş o eamare rguroasă a efectelor lor facare Obectve ş restrcţ î cazul adoptăr decze de vestţ î actve facare O altă varată pe care frmele o au la dspozţe petru a-ş vest fodurle o costtue vestţle facare. Î stuaţa î care o frmă cumpără acţu ale alte frme, aceasta trebue să estmeze preţul acestora ş să atcpeze evoluţa vtoare a frme respectve. O astfel de vestţe are u grad de rsc rdcat datorat evoluţe certe atât a frme ale căre acţu sut cumpărate, cât ş a peţe acţulor. Î lteratura ş practca d domeu se aprecază că vestţ facare sut vestţ de portofolu, reprezetâd plasamete facare efectuate î vederea obţer de proft. Modaltăţle pr care se poate realza o vestţe facară sut multple, ş aume: cumpărarea de acţu ş oblgaţu; acordarea de credte; plasamete bacare; operaţu valutare. Pe paţa facară, vestţle facare se realzează pr termedul actvelor facare care pot f: actve bacare (rezultate ca urmare a operaţulor bacare); actve de captal (rezultate d plasamete pe terme medu ş lug); actve moetare (rezultate d plasamete pe terme scurt). Petru realzarea scopulu, ş aume obţerea de proft, actvele facare parcurg u crcut îchs î două etape: - o prmă etapă de la posesor de actve (persoae fzce ş urdce) la termedar (băc, burse de valor, fodur de vestţ, fodurle de pes etc.) care le gestoează ş le plasează spre fructfcare utlzatorlor; - a doua etapă, de la utlzator de actve la termedar care le resttue posesorlor, clusv proftul sau perderea. Ivestţle sut împărţte pe clase de actve. Î ecoome estă patru tpur de actve, ş aume : ba (cash) ; oblgaţule ; acţule (vestţle de tp propretate); actvele reale. Prmele tre actve sut deumte actve facare, îtrucât profturle lor se eprmă î ba. Actvele facare clud, de asemeea, credtele bacare, oblgaţule de tp leasg etc. 68

69 Modelarea decze de portofolu U model de aalză prvd varaţa rate dobâz ş a cele de schmb Petru determarea dfereţelor rate dobâz la vel teraţoal sau a prmelor de rsc, trebue aalzat modul de stablre a preţurlor acestor rscur. Aceasta aută, de asemeea, să se detfce care ţăr beefcază de varabltate ma mcă a rate de schmb pr stablrea uu sstem f de rată de schmb ca, de eemplu, Uuea Moetară Europeaă []. Î aceste codţ se mpue îtrebarea dacă o reducere a rsculu rate de schmb poate reduce ratele reale ale dobâzlor ş dacă este posbl acest lucru î ce stuaţe aume. Petru a răspude la aceste îtrebăr î acest subcaptol se va aalza modul î care prmele de rsc depd de: ) tpul de cosum al ue ţăr), ) attudea acestea faţă de rsc, 3), pozţa compettvă 4) dmesuea ş 5) pozţa datore. Aceste îtrebăr se adresează uu model de echlbru ître alocarea portofolulu de actve deomate î moede dferte. Modelul este geeral, î sesul că aceasta a î cosderare î mod eplct atât vesttor local cât ş stră, precum ş peţele tere ş etere a actvelor. Îtrucât scopul prcpal este de a aalza modul î care cursul de schmb ş rscul prvd preţurle sut evaluate, este ecesară ş evdeţerea modulu î care vesttor autohto ş stră sut afectaţ de aceste rscur. Acest aspect este meţoat î cele ma multe aalze teoretce ş emprce, care folosesc poteze ce mmalzează sorgtea vesttorlor, de eemplu, pr cocetrarea asupra uu reprezetat al vesttorlor autohto. Modelul descrs permte aalza modulu î care rscul rate de schmb afectează trazacţoarea actvelor care dferă doar pr moeda î care sut eprmate. Astfel, se detfcă factor relevaţ a preţulu rsculu rate de schmb, ş, î acest scop, u model de portofolu este etrem de utl. Cosderâd u model î tmp cotuu cu două actve eprmate î moeda autohtoă ş străă. Ivesttor autohto alocă o fracţe (λ) d valoarea omală a actvelor lor (W) î moeda străă (F), ş o altă fracţe (-λ) î moeda aţoală (B), astfel: W EF W B ude: E repreztă preţul moede străe măsurată î moeda aţoală. Î mod smlar, vesttor stră alocă d valoarea omală a patrmoulu lor, W, î moeda străă, fracţe î moeda lor aţoala, B, astfel: W W B 69 F, ş o Echlbrul peţe î ceea ce prveşte paţa aţoală a ttlurlor de valoare mplcă următoarea relaţe: S W EW ude: S repreztă oferta autohtoă de ttlur de valoare, presupusă a f o costată eogeă. F E

70 Ambele categor de ttlur (autohtoe ş străe) au u aume beefcu (retabltate), s respectv, astfel: db B df F df F db B dt dt Rata de schmb, preţul producţe autohtoe (P) ş preţul producţe etere ( P ), urmează u proces stohastc: de dt edz e E dp dt PdZ P P dp dt dz P P P ude:, ş repreztă resursele, ar e, P ş P repreztă dspersle proceselor stohastce; dz e, dzp ş dz repreztă creşterle d procesul Weer P stadard. Covaraţele ître procesele stohastce sut otate cu, ş respectv. ep ep PP Utlzâd Lema lu Itô [3], procesul stocastc petru rata de schmb străă /E este: d/ E dt edz e / E ude: relaţa dtre ş μ este dată de e. Aşadar, dcele preţulu de cosum autohto este deft pr: Q P EP, 0 PC ude: C EP / P repreztă preţul relatv dtre producţa eteră ş cea autohtoă î moeda comua, adcă cursul de schmb real sau compettvtatea. Idcele preţulu de cosum eter este deft pr: P Q P P C E E Aplcâd d ou Lema lu Ito, rezultă că relaţa dtre dcele preţulu de cosum autohto ş cursul de schmb este: qe pe ce ude: ce, repreztă relaţa dtre cursul de schmb real ş cel omal. Relaţa dtre dcele preţulu de cosum eter ş 70

71 cursul de schmb este: q e pe e ce. Ivesttor autohto mamzează fucţa de utltate deftă pr captalul real, astfel: 0 ~ ~ R ~ ~ V EdW / W var dw / W ude: W ~ W / Q ş R este valoarea Arrow-Pratt petru aversuea faţă de rscul relatv ş care repreztă o costată. Rezultă că alocarea oprmă d portofolu, petru vesttor autohto, este dată de: R qe R e Î opa lu Dorbusch [67], este utl să partaăm λ îtr-o parte de varaţă mmă ş o parte speculatvă. Partea de varaţă mmă este deftă ca partea d portofolu care mmzează ~ ~ m qe var dw / W fd:. e ar partea speculatvă repreztă devaţa de la varaţa mmă d portofolu, adcă: s qe R e Partea de varaţă mmă d portofolu este depedetă de aversuea la rsc a vesttorlor ş depde doar de rscul relatv al celor două categor de ttlur. Ma mult, cum ambele categor de ttlur facare au o oarecare retabltate fucţe de moeda î care sut emse, rscul relatv al celor două categor de ttlur facare depde uma de varaţa cursulu de schmb. Ivesttor cu aversue la rsc au î portofolu doar părţ speculatve, dferte de zero, dacă sut compesaţ petru rscurle mplcate, adcă dacă prmesc o prmă de rsc. Ecuaţa părţ speculatve d portofolu arată ca prma de rsc a uu vesttor autohto petru vestţ î ttlur străe ş este egală cu qe ş u doar, aşa cum s-a presupus deseor î aalzele emprce. Ultma valoare este umtă prmă de rsc omală ş se foloseşte atuc câd u se au î cosderaţe efectele dclor preţurlor de cosum, î tmp ce qe repreztă prma de rsc reală. Ivesttor stră au ca scop mamzarea fucţe: ~ ~ R ~ ~ V EdW / W var dw / W ude relaţa de ma sus ş R repreztă valoarea Arrow-Pratt a aversu relatvă la rsc, presupusă ca fd costată. Aalog pe baza ecuaţe R qe R, se determă e 0 Problema portofolulu este tratată î acest stuaţe ca problema ue sgure peroade, dar este îsă compatbl cu u model eplct ter-temporal dacă elastctatea substtuţe este costrasă la utate (Gova ş Joro, 988; Gova ş Wel, 989) sau dacă profturle prevzoate petru vtor sut terdepedete de evemetele d prezet (Fama,970) Petru o aalză detalată a se vedea (Levch,985 ş Taylor, 987). Importaţa luăr î cosderaţe a relaţe dtre cursul de schmb ş velul preţurlor de cosum a fost aalzată î lteratura străă de specaltate de către Frekel ş Raz (980) ş Egle (984). 7

72 alocarea optmă a portofolulu petru vesttor stră, astfel: R q e R şîmpărţd-o pe aceasta e îtr-o parte de varaţă mmă ş o parte speculatvă, obţem: m q e e ş s q e R e Este mportat să se aalzeze modul î care se determă rata dobâz pe paţa teră ş de asemeea, este ecesară aalza dstrbuţe rate dobâz ître ttlurle eprmate î moede dferte. Modelul descrs poate f terpretat î două modur, ş aume: Ca u model de echlbru geeral de forma două-ţăr petru determarea rate dobâz Dacă se cosderă o lume cu două ţăr ş e cocetrăm ateţa pe alocărle portofolulu î fucţe de u captal f, atuc echlbrul î paţa ttlurlor de valoare, autohtoă ş străă, mplcă următoarele relaţle : S W EW W S W E W EF Costrâgerea bugetară asupra ageţlor adcă: ş W B W F E W B determă relaţa: S S E W EW S W EW Aşadar, ecuaţle W sut redudate d S W E momet ce modelul este capabl să determe uma rata relatvă a dobâz, adcă dfereţa sau dstrbuţa ître ş. Ca u model de determare a rate dobâz îtr-o ecoome mcă ş deschsă Î această stuaţe se utlzează poteza ue ecoom mc, deschsă î ceea ce prveşte peţele facare, precum ş esteţa uor varable străe depedete de varablele tere. Codţle d străătate afectează ecooma, dar ecooma este prea mcă petru a avea o flueţă semfcatvă asupra peţelor etere. Î 7

73 cosecţă, u este evoe să cosderăm paţa ttlurlor facare străe ş ca fd eogee Echlbrul î varata vesttorlor eutr la rsc Î această stuaţe se cosderă cazul smplu, dar clasc, al vesttorlor eutr faţă de rsc (adcă, R R 0 ), care presupue că aceşta deţ uma părţ speculatve î portofolu. Pr prsma uu vesttor autohto, partea de captal vesttă î ttlur tere va f:, qe -, qe ar petru u vesttor stră:, q e, q e De aceea se va determa câte o stratege de vestţ petru ambele categor de vesttor. Codţle care î determă pe vesttor să prefere actve autohtoe sau străe, sut: qe ş qe deczle prvd portofolul pot dfer ître vesttor autohto sau stră, d două motve. Pot esta dfereţe î prevzule refertoare la cursul de schmb măsurat î moeda corespuzătoare (adcă, ε ş μ), sau pot f dfereţe î teracţuea dtre preţurle de cosum ş cursul de schmb (adcă, qe ş ). Aceste ecuaţ pot f eplcate pr q e observaţa că proftul real prevzoat petru u ttlu de valoare depde de proftul omal prevzoat ş de teracţuea dtre preţurle de cosum ş cursul de schmb. Î mod cert, ecuaţle qe ş qe u pot susţe amâdouă egaltatea ş aprecem că modelul, î geeral, u are u echlbru be deft. Estă totuş, câteva cazur specale mportate, î care deczle vesttorlor autohto ş stră sut detce, adcă, ecuaţle de ma sus dev echvalete: qe ş codţa arbtrală q e care stableşte relaţa dtre rata dobâz teră ş eteră este: qe. Folosd defţle petru, qe ş, obţem q e următoarele codţ sufcete petru ecuaţa qe : q e - vesttor au aceleaş preferţe de cosum, adcă: sau - stablreapartăţ puter de cumpărare 4 (adcă, pe e sau 0 p e ce ). Problema ue codţ arbtrale be deftă este legată de 3 Această terpretare cera ca u vesttor stră să vestească uma î ttlur facare străe sau î ttlur facare d ţăr terţe. 4 Cosderăm partatea puter de cumpărare ca fd rata reală C = EP / P costată, fără a aalza dacă acest fapt se datorează structur ecoomce smlare sau esteţe uor şocur omale. 73

74 paradoul Segel (Segel,97) care, î eseţă, afrmă că două codţ arbtrale obtuţe pr eluarea î calcul a fluctuaţlor de preţ, adcă u se pot susţe smulta, d momet ce e. Eplcaţa este găstă î Teora Iegaltăţ a lu Jese. Ivesttor autohto sut teresaţ de schmbărle prevzble î E, î tmp ce vesttor stră au avut î vedere schmbărle prevzble î /E, ş cele două u sut egale umerc decât dacă u estă co certtude. Paradoul Segel a fost deseor prvt ca o curoztate de tehcă 5, dar a u lua î calcul faptul că î geeral cursul de schmb î afectează asmetrc pe vesttor autohto ş pe ce stră, este acelaş lucru cu a u lua î calcul fluctuaţle cursulu de schmb (adcă, e 0 ). Aşa cum am văzut ma sus, estă totuş cazur mportate î care această asmetre dspare. 6 Se poate cotraargumeta că î cazul comportametulu perms ma sus, ş aume î stuaţa î care vesttor pot împrumuta sume fte petru a le vest î ttlur de valoare, u este o poteză fezablă; deş se poate prevzoa u câştg, estă î mod egal ş u rsc poztv ca cel ce se împrumută să dea falmet. Această stuaţe este eclusă î cazul î care împrumutul u este perms. Î acest caz estă u echlbru be determat. Să presupuem, petru argumetarea stuaţe, că qe qe, caz î care cererea agregată petru ttlurle facare autohtoe se determă astfel: 0, petru D W petru W EW qe petru qe q e q e Rezultă că rata dobâz pe paţa teră se determă astfel: qe petru S W petru S W q e Se observă că rata dobâz pe paţa teră depde de esteţa statutulu de debtor-et (S>W) sau credtor-et (S<W) î raport cu restul lum. O logcă smlară se aplcă dacă: qe qe. Trebue meţoat că estă o regulă geerală coform cărea o creştere a rate dobâz străe atrage o creştere a rate dobâz autohtoe, ar î stuaţa î care se măreşte deprecerea prevzoată a moede autohtoe (adcă, ş cresc), atuc va creşte ş rata dobâz autohtoe. Pr urmare, costrâgerea geerată de împrumut oferă o soluţe 5 Petru cotraargumete se pot cosulta următoarele materale d lteratura de specaltate la (McCulloch -975, Sebert- 989 sau S - 989). 6 Adler ş Dumas (983) cosderă că paradoul Segel apare d cauză că u se a î cosderaţe efectul cursulu de schmb asupra dclor de preţ. Aalza celor do autor poreşte de la poteza efectvă că vesttor sut teresaţ doar de mamzarea rate reale a proftulu eprmată î orce moedă. 74

75 petru paradoul Segel, î sesul că uma ua d dfertele codţ arbtrale se susţe. 7 Dec u estă u parado, dar putem avea char echlbru î cazul î care vesttor de o aumtă aţoaltate găsesc atractve ttlurle de valoare autohtoe. Î cocluze, char ş î cazul ageţlor cu comportamet eutru faţă de rsc, sut de aşteptat dever de la codţa eacoperr partăţ rate dobâz Echlbrul î varata vesttorlor cu aversue faţă de rsc Deş devaţle de la eacoperrea partăţ rate dobâz apar î cazul vesttorlor eutr faţă de rsc, această abordare u pare a eplca tegral devaţle observate î prezet 8. D acest motv î această parte a teze vom evdeţa relaţa de calculu a rate dobâz î cazul vesttorlor cu aversue faţă de rsc. Codţa echlbrulu petru paţa autohtoă a ttlurlor de valoare este: [ ( R ) qe ] S-W= W+ R [ ( R R e e ) q e ] EW Relaţa de ma sus este relatv complcată ş estă destul de puţe rezultate statce comparate care să poată f determate cert ş fără ambgutăţ. O creştere a stoculu de ttlur de valoare autohtoe atrage o creştere a rate dobâz 0 S O creştere a rate dobâz etere va determa o creştere a rate dobâz autohtoe, adcă:. O creştere a lu atrage scăderea cerer de ttlur facare autohtoe ş pr urmare, trebue să crească ş el, petru a se restabl echlbrul, ar schmbarea va f îtotdeaua proporţoală, aşa cum o rată dfertă a dobâz va afecta alocărle portofolulu. O problemă deosebtă se referă la modul î care compettvatea ţăr flueţează ratele dobâz. Aşa cum am arătat î epuerea teoretcă de ma sus modfcărle prevzble ale preţurlor autohtoe ş etere ( ş ) u flueţează calculul rate dobâz. Totuş, modfcărle prevzoate ale cursulu de schmb flueţează rata dobâz, d momet ce afectează proftul omal ce poate f obţut per portofolu. Î partcular, se poate observa că o creştere a deprecer prevzoate a moede autohtoe coduce la o rată a 7 Aceasta eplcă foarte clar de ce este posbl ca meţerea fă a rate dobâz etere ş tere poate geera u parado (S, 989). 8 Frekel ş Raz, Stochastc Prces ad Tests of Effcecy of Foreg Echage Markets,Ecoomcs Letters, Vol. 6, No., 980, pg

76 dobâz ma mare, adcă: 0 ( / repreztă prcpul ceters parbus.) Acest lucru se datorează faptulu că petru vesttor este ma puţ atractv să vestească î ttlur de valoare eprmate îtr-o moedă a căre valoare se prevzoează a scădea; schmbărle altor varable eogee au î geeral u efect ambguu; Î scopul ue ma bue îţeleger a mecasmulu mplcat vom aalza câteva cazur specale: Egaltatea vesttorlor de aţoaltăţ dferte Î geeral, preţul ş cursul de schmb au o flueţă dfertă asupra proftulu real ce poate f obţut pr cele două categor de ttlur, d puctul de vedere al vesttorlor autohto ş stră. Preztă u teres deosebt aalza codţlor care determă ca proftul real al ttlurlor să fe acelaş petru vesttor de aţoaltăţ dferte 9. Î acest caz, vesttor stră ş ce autohto vor vest aceeaş parte a actvelor lor î moeda autohtoă, adcă:. Aceasta îseamă că vesttor dferet de aţoaltate susţ portofolul peţ teraţoale (adcă S / W EW ), ceea ce poate f cosderată ca o etese a modelulu CAPM a lu Sharpe-Lter î domeul propretăţ asupra portofolulu pe paţa faţelor teraţoale. Pr ecuaţa: [ ( R ) qe ] S-W = W + R [ ( R R e ) q e ] EW că ecuaţa se susţe dacă sut îdeplte următoarele setur alteratve de codţ sufcete: ) vesttor au aceeaş attude faţă de rsc ( R R ) ş aceeaş costrâgere a cosumulu ( ) 0 sau ) vesttor au o fucţe de utltate logartmcă ( R R = ) sau 3) vesttor au aceeaş attude faţă de rsc ( R R ), stuaţe î care se susţe codţa partăţ puter de cumparare ( qe e sau 0 p e ce ). Î cazurle () ş (3), vesttor stră ş autohto au aceeaş varaţă mmă de portofol, precum ş portofol speculatve detce. Î cazul (), dfereţele de varaţă mmă a portofollor sut egale cu dfereţele de portofol speculatve, de ude rezultă că vesttor stră ş autohto deţ acelaş portofolu. e 9 Adcă, edscrmarea vesttorlor d puct de vedere aţoal, observată, de eemplu de Adler ş Dumas, (983). 0 Acest caz a fost aalzat î lteratura de specaltate de Grauer, Ltzeberger ş Stehle (976) ş Frakel (979) Adler, M. ş Dumas, B., Iteratoal Prtfolo Choce ad Corporato Face: A Sythess, Joural of Face, Vol., No.3, 983, pg

77 Cazul (3) este, probabl, cel ma teresat, d momet ce partatea puter de cumpărare oacă u rol mportat î lteratura ecoomcă teraţoală ş poate f cosderat ca o codţe a echlbrulu pe terme lug petru peţele de mărfur. Rezultatul obţut ac geeralzează u rezultat raportat de Fama ş Farber, ş aume: partatea puter de cumpărare ş peţele teraţoale de captal lpste de coflcte repreztă codţ sufcete petru ca proftul real provet dtr-u aume ttlu de valoare, să fe acelaş petru rezdeţ tuturor ţărlor. Acest rezultat u este etrem de corect, deoarece sut ecesare attud detce faţă de rsc, ageţ fd de acord doar cu prvre la preţul rsculu dacă au aceeaş attude faţă de rsc. Fama, E. F., Farber, A., Moey, Bods ad Foreg Echage, Amerca Ecoomc Revew, Vol. 69, No. 4,979, pg

78 Utatea de îvăţare 6 Metode multcrterale petru fudametarea decze de vestţ î codţ de certtude 6.. Itroducere Fudametarea decze de vestţ î medul cert are ma mult u caracter teoretc, utlzâdu-se calculul actuaral petru îţelegerea strumetelor eseţale care aută la aalza proectelor de vestţe. Realzarea uu proect de vestţ are mplcaţ maore asupra evoluţe vtoare a ue îtreprder. Datortă certtud, evaluarea proectulu de vestţ poate deve etrem de compleă. Icerttudea asupra evoluţe vtoare a ecoome, a ue afacer sau vestţ determă esteţa rsculu ca fluurle facare vtoare să fe varable, cu valor dferte de cele prevzoate cu certtude î cadrul uu medu determst. 6.. Obectvele ş competeţele utăţ de îvăţare Obectvele utăţ de îvăţare: cuoașterea metodelor s tehclor de fudametare a decze de vestţ î codţ de certtude; cuoașterea metodelor de modelare î codţ de certtude. Competeţele utăţ de îvăţare: studeţ vor putea să utlzeze î mod adecvat metodele ş tehcle specfc de fudametare a decze de vestţ î codţ de certtude; studeţ vor putea să terpreteze î mod adecvat rezultatele aalze. 6.3.Coţutul utăţ de îvăţare 6.3..Metode de rezolvare a problemelor deczoale Î categora metodelor de rezolvare a problemelor deczoale cu ma multe fucţ obectv îtâlm: - metoda programăr scop; 78

Lucrarea de laborator nr. 11

Lucrarea de laborator nr. 11 Metode Nuerce - Lucrarea de laborator 11 Lucrarea de laborator r. 11 I. Scopul lucrăr Aproxarea î ede pr etoda celor a c pătrate II. Coţutul lucrăr 1. Metoda celor a c pătrate. Procedur MAPLE ş exeple

More information

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 1)

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 1) Uverstatea d Bucureşt 9.07.05 Facultatea de Matematcă ş Iformatcă Cocursul de admtere ule 05 Domeul de lceţă Calculatoare ş Tehologa Iformaţe Matematcă (Varata ). Toate valorle parametrulu real a petru

More information

OPTIMIZAREA DECIZIILOR ÎN CONDIŢII DE RISC ŞI INCERTITUDINE

OPTIMIZAREA DECIZIILOR ÎN CONDIŢII DE RISC ŞI INCERTITUDINE 78 Optmzarea deczlor î codţ de rsc ş certtude OPTIMIZAA CIZIILO ÎN CONIŢII ISC ŞI INCTITUIN L Mâdru, LS Begu 2 Uverstatea George Barţu Braşov 2 Academa de Stud coomce Bucureşt INTOUC Î orce domeu de actvtate,

More information

Probleme de numărare: combinări, aranjamente, permutări de Manuela Prajea 1)

Probleme de numărare: combinări, aranjamente, permutări de Manuela Prajea 1) Probleme de umărare: combăr, arajamete, permutăr de Mauela Prajea 1) Lecța se adresează î prmul râd elevlor de gmazu care focuseaza cocursurle de matematcă hgh-level ș d acest motv se îcepe expuerea de

More information

APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode manuale. Editia a II a Revizuita

APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode manuale. Editia a II a Revizuita Costat Mrcou Roxaa Colette Sadulovc APLICATII NUMERICE DE STATISTICA IN FARMACIE SI IN STUDIILE CLINICE VOL. I metode mauale Edta a II a Revzuta EDITURA UNIVERSITARA CAROL DAVILA BUCURESTI, 00 Prof. dr.

More information

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE

1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru

More information

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab

Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale în Matlab Laborator 4. Rezolvarea ecuaţiilor difereţiale î Matlab Bibliografie. G. Aastassiou, I. Iata, Itelliget Routies: Solvig Mathematical Aalsis with Matlab, Mathcad, Mathematica ad Maple, Spriger, 03.. I.

More information

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu

Numere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui

More information

METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algoritmi şi Studii Numerice

METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algoritmi şi Studii Numerice METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algotm ş Stud Numece Necula Ade Reseac Isttute fo Ifomatcs Cete fo Advaced Modelg ad Optmzato 8- Aveescu Aveue Bucaest Romaa. Academy of Romaa Scetsts 54 Splaul Idepedete Bucaest

More information

REGRESIA LINIARĂ ŞI CORELAŢIA

REGRESIA LINIARĂ ŞI CORELAŢIA REGRESIA LINIARĂ ŞI CORELAŢIA Sut stuţ î cre e tereseză să estmăm testte legătur dtre două su m multe vrle, su să găsm o relţe dec o formă ltcă mtemtcă cre să eprme o vrlă fucţe de ltele mplcte î procesul

More information

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu

Teorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea

More information

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT SPECIFICE DOMENIULUI MILITAR

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT SPECIFICE DOMENIULUI MILITAR REZOLVAREA PROBLEMELOR E TRANSPORT SPECIFICE OMENILI MILITAR Slt. Pal TORACHE Teora grafrlor, care este n captol dstnct al cercetăr operaţonale, s-a dezvoltat recent, având aplcaţ mltple în actvtatea de

More information

X... ne ij =, i =1,p, j = 1,q T 2. Se calculează statistica testului: Se calculează valoarea critică a testului:

X... ne ij =, i =1,p, j = 1,q T 2. Se calculează statistica testului: Se calculează valoarea critică a testului: Descrerea ue varable calave Prcpal dcaor care su calcula peru varablele calave su: - frecveţa absoluă care repreză uărul de dvz la care se regsrează o auă odalae - frecveţa relavă care repreza frecveţa

More information

EXAMEN LICENTA 2016 REZUMATELE SUBIECTELOR SI BIBLIOGRAFIA RECOMANDATA PENTRU PROBA 1 (EXAMEN ORAL)

EXAMEN LICENTA 2016 REZUMATELE SUBIECTELOR SI BIBLIOGRAFIA RECOMANDATA PENTRU PROBA 1 (EXAMEN ORAL) EXAMEN LICENTA 06 REZUMATELE SUBIECTELOR SI BIBLIOGRAFIA RECOMANDATA PENTRU PROBA (EXAMEN ORAL) SPECIALIZAREA FIZICA MECANICA NEWTONIANA Lector Dr. Barvch Paul SUBIECTUL Prcple mecac ewtoee Mecaca clacă,

More information

CONVEIOARE DE CURENT: TIPURI SI APLICATII

CONVEIOARE DE CURENT: TIPURI SI APLICATII CONVEOARE DE CURENT: TPUR S APLCAT Conf. un. dr. ng. Octaan BOGDAN. ntroducere Anul de nastere al coneorulu de curent este anul 966 când A.S. Sedra a realzat un prm crcut analogc cu comanda n curent s

More information

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE

2. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE LINIARE MEOD GRDIENULUI CONJUG PENRU REZOLVRE SISEMELOR LGEBRICE LINIRE Neculai drei Research Istitute for Iformatics Ceter for dvaced Modelig ad Optimizatio 8- verescu veue Bucharest Romaia E-mail: adrei@iciro

More information

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor

Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare

More information

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL CONTACTS BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LIV (LVIII), Fasc. 3, 2011 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FRICTIONAL

More information

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;

Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic

More information

3. FORŢE SI MOMENTE Caracterul de vector alunecător al forţei aplicată unui rigid. 3.2 Momentul unei forţe în raport cu un punct

3. FORŢE SI MOMENTE Caracterul de vector alunecător al forţei aplicată unui rigid. 3.2 Momentul unei forţe în raport cu un punct 3. oţe ş momete 3. ŢE SI ENTE 3.. Caactel de vecto alecăto al foţe aplcată gd g. 3. Se cosdeă î fga 3.a o foţă acţoâd pe spotl ( ), î pctl A aspa gdl (C). Se admte că doa foţe egale î modl, c acelaş spot

More information

Lucrarea de laborator nr. 8

Lucrarea de laborator nr. 8 Metode Numerice Lucrarea de laborator r. 8 I. Scopul lucrării Metoda Newto II. Coţiutul lucrării 1. Metoda tagetei 2. Metoda Newto cazul m-dimesioal III. Prezetarea lucrării III.1. Metoda tagetei Metoda

More information

Inteligenta Artificiala

Inteligenta Artificiala Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe

More information

METODE PENTRU CALCULUL RĂSPUNSULUI SEISMIC ÎN CODURILE ROMÂNEŞTI DE PROIECTARE. COMPARAŢII ŞI COMENTARII. Dan Creţu *, Sorin Demetriu *

METODE PENTRU CALCULUL RĂSPUNSULUI SEISMIC ÎN CODURILE ROMÂNEŞTI DE PROIECTARE. COMPARAŢII ŞI COMENTARII. Dan Creţu *, Sorin Demetriu * METODE PENTRU CALCULUL RĂSPUNSULU SESMC ÎN CODURLE ROMÂNEŞT DE PROECTARE. COMPARAŢ Ş COMENTAR Da Ceţu, So Demetu Rezumat: Lucaea peztă evoluţa eglemetălo omâeşt petu poectaea clădlo ezstete la cutemue

More information

UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR

UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii DORINA ISAR UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIŞOARA Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii DORINA ISAR ÎMUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL PE ZGOMOT ÎN SISTEMELE DE TELECOMUNICAŢII Teză de doctorat Coducător ştiiţific

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

Elemente de teoria erorilor si incertitudinilor Calcule statistice si modele de aproximare

Elemente de teoria erorilor si incertitudinilor Calcule statistice si modele de aproximare Elemete de teoria erorilor si icertitudiilor Calcule statistice si modele de aproximare Să măsurăm ce se poate măsura şi să facem măsurabil ceea ce u se poate măsura îcă. Galileo Galilei. Itroducere î

More information

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan

Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.

More information

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș

Despre AGC cuasigrupuri V. Izbaș Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri

More information

Econometric Methods. Review of Estimation

Econometric Methods. Review of Estimation Ecoometrc Methods Revew of Estmato Estmatg the populato mea Radom samplg Pot ad terval estmators Lear estmators Ubased estmators Lear Ubased Estmators (LUEs) Effcecy (mmum varace) ad Best Lear Ubased Estmators

More information

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur

Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities

More information

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS

ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 70, No. 3, 008 ISSN 454-34 ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS Mihaela Florentina MATEI Analiza dispersiei, ANOVA, reprezintă una din metodele statistice, dintre cele mai

More information

9.1 Introduction to the probit and logit models

9.1 Introduction to the probit and logit models EC3000 Ecoometrcs Lecture 9 Probt & Logt Aalss 9. Itroducto to the probt ad logt models 9. The logt model 9.3 The probt model Appedx 9. Itroducto to the probt ad logt models These models are used regressos

More information

EXAMEN LICENTA 2016 REZUMATELE SUBIECTELOR SI BIBLIOGRAFIA RECOMANDATA PENTRU PROBA 1 (EXAMEN ORAL)

EXAMEN LICENTA 2016 REZUMATELE SUBIECTELOR SI BIBLIOGRAFIA RECOMANDATA PENTRU PROBA 1 (EXAMEN ORAL) EXAMEN LICENTA 6 REZUMATELE SUBIECTELOR SI BIBLIOGRAFIA RECOMANDATA PENTRU PROBA (EXAMEN ORAL) SPECIALIZAREA FIZICA MEDICALA MECANICA NEWTONIANA Lector Dr. Barvch Paul SUBIECTUL Prcple mecac ewtoee Mecaca

More information

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu

Programarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)

More information

CONCURS DE ADMITERE (facultate) 18 iulie 2004

CONCURS DE ADMITERE (facultate) 18 iulie 2004 Uverstte d Buuret Fultte de Mtemt Admtere î fultte 8 ule Solue, redtre Ctedr de Mtemt-formt Leulu Teolog Greo-Ctol, Setor, Buuret, http://wwwlgrtro UNIVERSITATEA DIN BUCURETI Fultte de Mtemt Iformt CONCURS

More information

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu

Statistică Aplicată. Iulian Stoleriu 32 Statistică Aplicată Iulia Stoleriu Copyright 2017 Iulia Stoleriu Cupris 1 Elemete itroductive de Statistică............................ 11 1.1 Populaţie statistică 11 1.2 Variabile aleatoare 13 1.3

More information

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP

GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP , GIDD PENTRU CALCULUL CONSUMULUI DE CA.LOURA AL CONSTRUCTIILOR DOTATE CU ' A SISTEME PASIVE DE INCALZIRE SO LARA INDICATIV GP 017-96 95 Ghid pentru calculul consumului de caldura al cladirilor dotate

More information

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI DAN LASCU MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI TEORIE CUPRINS PREFAÞÃ 4 FUNCÞII COMPLEXE 5 Numere complee 5 Itroducere Forma algebricã Forma trigoometricã a umerelor complee 5 7 Elemete de topologie î corpul

More information

Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I

Raport de Cercetare APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE CAPITOLUL I Raport de Cercetare Grat: CNCSIS 57 Tema Autori: Georgeta Budura, Coria Botoca Uiversitatea: Politeica Timioara APLICAII ALE FILTRELOR NELINIARE ÎN IDENTIFICAREA I COMPENSAREA NELINIARITILOR NEDORITE INTRODUCERE.

More information

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE

INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:

More information

Introduction to Matrices and Matrix Approach to Simple Linear Regression

Introduction to Matrices and Matrix Approach to Simple Linear Regression Itroducto to Matrces ad Matrx Approach to Smple Lear Regresso Matrces Defto: A matrx s a rectagular array of umbers or symbolc elemets I may applcatos, the rows of a matrx wll represet dvduals cases (people,

More information

MATH 247/Winter Notes on the adjoint and on normal operators.

MATH 247/Winter Notes on the adjoint and on normal operators. MATH 47/Wter 00 Notes o the adjot ad o ormal operators I these otes, V s a fte dmesoal er product space over, wth gve er * product uv, T, S, T, are lear operators o V U, W are subspaces of V Whe we say

More information

Matematici speciale Seminar 12

Matematici speciale Seminar 12 Matematici speciale Semiar 1 Mai 017 ii Statistica este arta de a miti pri itermediul cifrelor. Wilhelm Stekel 1 Notiui de statistica Datele di dreapta arata temperaturile de racire ale uei cesti de cafea,

More information

Curs 6. Discrete Event Simulation

Curs 6. Discrete Event Simulation Curs 6 Discrete Event Simulation C6 ~ 12.04.2017 1/43 In discrete-event simulation, the operation of a system is represented as a chronological sequence of events. Each event occurs at an instant in time

More information

METODOLOGIE DE CALCUL A PIERDERILOR DE PUTERE SI ENERGIE ELECTRICA IN LINIILE DE JOASA TENSIUNE CU SARCINI ECHIDISTANT REPARTIZATE

METODOLOGIE DE CALCUL A PIERDERILOR DE PUTERE SI ENERGIE ELECTRICA IN LINIILE DE JOASA TENSIUNE CU SARCINI ECHIDISTANT REPARTIZATE METODOLOGE DE ALUL A PERDERLOR DE PUTERE S ENERGE ELETRA N LNLE DE JOASA TENSUNE U SARN EHDSTANT REPARTZATE POWER, ATVE ELETR ENERGY LOSSES ALULATON AT A LOW VOLTAGE DSTRUTON LNE WTH EQUDSTANT DTRUTED

More information

Correlation and Regression Analysis

Correlation and Regression Analysis Chapter V Correlato ad Regresso Aalss R. 5.. So far we have cosdered ol uvarate dstrbutos. Ma a tme, however, we come across problems whch volve two or more varables. Ths wll be the subject matter of the

More information

On Signed Product Cordial Labeling

On Signed Product Cordial Labeling Appled Mathematcs 55-53 do:.436/am..6 Publshed Ole December (http://www.scrp.or/joural/am) O Sed Product Cordal Label Abstract Jayapal Baskar Babujee Shobaa Loaatha Departmet o Mathematcs Aa Uversty Chea

More information

EFECTUL INTERACȚIUNILOR ÎNTRE LANȚURILE MOLECULARE ASUPRA PROPRIETĂȚILOR TERMOELECTRICE ALE CRISTALELOR NANOSTRUCTURATE DE TTT2I3 și TTT(TCNQ)2

EFECTUL INTERACȚIUNILOR ÎNTRE LANȚURILE MOLECULARE ASUPRA PROPRIETĂȚILOR TERMOELECTRICE ALE CRISTALELOR NANOSTRUCTURATE DE TTT2I3 și TTT(TCNQ)2 UNIVRSITATA THNICĂ A MOLDOVI Cu ttlu de muscrs C.Z.U: 537.3/ 539. SANDULAC IONL FCTUL INTRACȚIUNILOR ÎNTR LANȚURIL MOLCULAR ASUPRA PROPRITĂȚILOR TRMOLCTRIC AL CRISTALLOR NANOSTRUCTURAT D TTTI3 ș TTTTCNQ

More information

Functions of Random Variables

Functions of Random Variables Fuctos of Radom Varables Chapter Fve Fuctos of Radom Varables 5. Itroducto A geeral egeerg aalyss model s show Fg. 5.. The model output (respose) cotas the performaces of a system or product, such as weght,

More information

DEMONSTRATION AND METHOD FOR CALCULATING THE EFFICIENCY OF DIFFERENTIAL MECHANISM

DEMONSTRATION AND METHOD FOR CALCULATING THE EFFICIENCY OF DIFFERENTIAL MECHANISM DEMONSTRATION AND METHOD FOR CALCULATING THE EFFICIENCY OF DIFFERENTIAL MECHANISM Assoc. Prof. Barbu PLOSCEANU, PhD, POLITEHNICA Uversty of Bucharest, Assst. Prof. Ovdu VASILE, PhD, POLITEHNICA Uversty

More information

VEHICLE DYNAMICS MODELING DURING MOVING ALONG A CURVED PATH. MATHEMATICAL MODEL USAGE ON STUDYING THE ROBUST STABILITY

VEHICLE DYNAMICS MODELING DURING MOVING ALONG A CURVED PATH. MATHEMATICAL MODEL USAGE ON STUDYING THE ROBUST STABILITY U.P.B. Sc. Bull., Seres C, Vol. 4, Iss. 70, 008 ISSN 1454-34x VHICL DYNAMICS MODLING DURING MOVING ALONG A CURVD PATH. MATHMATICAL MODL USAG ON STUDYING TH ROBUST STABILITY Oana-Carmen NICULSCU-FAIDA 1,

More information

CARACTERIZAREA BAZATA PE CUNOASTERE A CAPACITATII DE AMORTIZARE A NANOCOMPOZITELOR DIN MATERIALE AUXETICE SI NANOTUBURI DE CARBON LUCRARE

CARACTERIZAREA BAZATA PE CUNOASTERE A CAPACITATII DE AMORTIZARE A NANOCOMPOZITELOR DIN MATERIALE AUXETICE SI NANOTUBURI DE CARBON LUCRARE CARACTERIZAREA BAZATA PE CUNOASTERE A CAPACITATII DE AMORTIZARE A NANOCOMPOZITELOR DIN MATERIALE AUXETICE SI NANOTUBURI DE CARBON LUCRARE Colectv Dr. mat. Lga Munteanu drector de program cercetator stntfc

More information

1 Lyapunov Stability Theory

1 Lyapunov Stability Theory Lyapuov Stablty heory I ths secto we cosder proofs of stablty of equlbra of autoomous systems. hs s stadard theory for olear systems, ad oe of the most mportat tools the aalyss of olear systems. It may

More information

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1

Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1 Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui

More information

MONTE CARLO SIMULATION FOR ESTIMATING GEOLOGIC OIL RESERVES. A CASE STUDY FROM KUÇOVA OILFIELD IN ALBANIA

MONTE CARLO SIMULATION FOR ESTIMATING GEOLOGIC OIL RESERVES. A CASE STUDY FROM KUÇOVA OILFIELD IN ALBANIA Muzeul Olteniei Craiova. Oltenia. Studii şi comunicări. Ştiinţele Naturii. Tom. 31, No. 2/15 ISSN 1454-6914 MONTE CARLO SIMULATION FOR ESTIMATING GEOLOGIC OIL RESERVES. A CASE STUDY FROM KUÇOVA OILFIELD

More information

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz

XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 2015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz XI International Zhautykov Olympiad in Sciences Almaty Kazakhstan, January 11-17, 015 Presentation of the Mathematics Section by Dan Schwarz First Day January 13, 015) Problems Problem 1. Each point with

More information

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:

Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,

More information

14. NOŢIUNI DE MECANICA ANALITICĂ Legături. 14. Noţiuni de Mecanică analitică

14. NOŢIUNI DE MECANICA ANALITICĂ Legături. 14. Noţiuni de Mecanică analitică 4. NOŢIUNI DE MECANICA ANALITICĂ 4. Noţu e Meccă ltcă Mecc ltcă utlzeză metoe ecte e eteme ecuţlo feeţle e mşce î ce u m p foţele e legătuă. Î Mecc ltcă sut stute sstemele mtele supuse eoseb l legătu ele

More information

IRREDUCIBLE COVARIANT REPRESENTATIONS ASSOCIATED TO AN R-DISCRETE GROUPOID

IRREDUCIBLE COVARIANT REPRESENTATIONS ASSOCIATED TO AN R-DISCRETE GROUPOID UPB Sc Bull Sere A Vol 69 No 7 ISSN 3-77 IRREDUCIBLE COVARIANT REPRESENTATIONS ASSOCIATED TO AN R-DISCRETE GROUPOID Roxaa VIDICAN Ue perech covarate poztv defte ( T ) relatv la u grupod r-dcret G e poate

More information

STK3100 and STK4100 Autumn 2017

STK3100 and STK4100 Autumn 2017 SK3 ad SK4 Autum 7 Geeralzed lear models Part III Covers the followg materal from chaters 4 ad 5: Sectos 4..5, 4.3.5, 4.3.6, 4.4., 4.4., ad 4.4.3 Sectos 5.., 5.., ad 5.5. Ørulf Borga Deartmet of Mathematcs

More information

Câteva rezultate de algebră comutativă

Câteva rezultate de algebră comutativă Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.

More information

Singular Value Decomposition. Linear Algebra (3) Singular Value Decomposition. SVD and Eigenvectors. Solving LEs with SVD

Singular Value Decomposition. Linear Algebra (3) Singular Value Decomposition. SVD and Eigenvectors. Solving LEs with SVD Sgular Value Decomosto Lear Algera (3) m Cootes Ay m x matrx wth m ca e decomosed as follows Dagoal matrx A UWV m x x Orthogoal colums U U I w1 0 0 w W M M 0 0 x Orthoormal (Pure rotato) VV V V L 0 L 0

More information

Lattices. Mathematical background

Lattices. Mathematical background Lattces Mathematcal backgroud Lattces : -dmesoal Eucldea space. That s, { T x } x x = (,, ) :,. T T If x= ( x,, x), y = ( y,, y), the xy, = xy (er product of xad y) x = /2 xx, (Eucldea legth or orm of

More information

FAILURE OF STATISTICAL METHODS TO PROVE BIOEQUIVALENCE OF TWO MELOXICAM BIOEQUIVALENT FORMULATIONS. II. NON-PARAMETRIC METHODS

FAILURE OF STATISTICAL METHODS TO PROVE BIOEQUIVALENCE OF TWO MELOXICAM BIOEQUIVALENT FORMULATIONS. II. NON-PARAMETRIC METHODS FARMACIA, 0, Vol. 59, 3 367 FAIURE OF STATISTICA METHODS TO PROVE BIOEQUIVAENCE OF TWO MEOXICAM BIOEQUIVAENT FORMUATIONS. II. NON-PARAMETRIC METHODS ROXANA SANDUOVICI, ANCA VATASESCU, FORIN ENACHE 3, CONSTANTIN

More information

Ordinary Least Squares Regression. Simple Regression. Algebra and Assumptions.

Ordinary Least Squares Regression. Simple Regression. Algebra and Assumptions. Ordary Least Squares egresso. Smple egresso. Algebra ad Assumptos. I ths part of the course we are gog to study a techque for aalysg the lear relatoshp betwee two varables Y ad X. We have pars of observatos

More information

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan.

LUCRARE DE LICENTA. Aplicatie grafica pentru controlul unui pendul dublu neliniar. Cuprins: Absolvent. Alexandru Stefan. LUCRARE DE LICENTA Aplicatie grafica petru cotrolul uui pedul dublu eliiar Absolvet Alexadru Stefa Coordoator Asist.Ig. Dr. Valeti Taasa Bucuresti, 2013 Cupris: 1 Capitolul 1: Itroducere... 4 Capitolul

More information

Lecture Notes Types of economic variables

Lecture Notes Types of economic variables Lecture Notes 3 1. Types of ecoomc varables () Cotuous varable takes o a cotuum the sample space, such as all pots o a le or all real umbers Example: GDP, Polluto cocetrato, etc. () Dscrete varables fte

More information

Solution of General Dual Fuzzy Linear Systems. Using ABS Algorithm

Solution of General Dual Fuzzy Linear Systems. Using ABS Algorithm Appled Mathematcal Sceces, Vol 6, 0, o 4, 63-7 Soluto of Geeral Dual Fuzzy Lear Systems Usg ABS Algorthm M A Farborz Aragh * ad M M ossezadeh Departmet of Mathematcs, Islamc Azad Uversty Cetral ehra Brach,

More information

Comparison of Parameters of Lognormal Distribution Based On the Classical and Posterior Estimates

Comparison of Parameters of Lognormal Distribution Based On the Classical and Posterior Estimates Joural of Moder Appled Statstcal Methods Volume Issue Artcle 8 --03 Comparso of Parameters of Logormal Dstrbuto Based O the Classcal ad Posteror Estmates Raja Sulta Uversty of Kashmr, Sragar, Ida, hamzasulta8@yahoo.com

More information

Lecture 7. Confidence Intervals and Hypothesis Tests in the Simple CLR Model

Lecture 7. Confidence Intervals and Hypothesis Tests in the Simple CLR Model Lecture 7. Cofdece Itervals ad Hypothess Tests the Smple CLR Model I lecture 6 we troduced the Classcal Lear Regresso (CLR) model that s the radom expermet of whch the data Y,,, K, are the outcomes. The

More information

Lecture 3. Sampling, sampling distributions, and parameter estimation

Lecture 3. Sampling, sampling distributions, and parameter estimation Lecture 3 Samplg, samplg dstrbutos, ad parameter estmato Samplg Defto Populato s defed as the collecto of all the possble observatos of terest. The collecto of observatos we take from the populato s called

More information

Measures of Dispersion

Measures of Dispersion Chapter 8 Measures of Dsperso Defto of Measures of Dsperso (page 31) A measure of dsperso s a descrptve summary measure that helps us characterze the data set terms of how vared the observatos are from

More information

Chapter 14 Logistic Regression Models

Chapter 14 Logistic Regression Models Chapter 4 Logstc Regresso Models I the lear regresso model X β + ε, there are two types of varables explaatory varables X, X,, X k ad study varable y These varables ca be measured o a cotuous scale as

More information

Model Fitting, RANSAC. Jana Kosecka

Model Fitting, RANSAC. Jana Kosecka Model Fttg, RANSAC Jaa Kosecka Fttg: Issues Prevous strateges Le detecto Hough trasform Smple parametrc model, two parameters m, b m + b Votg strateg Hard to geeralze to hgher dmesos a o + a + a 2 2 +

More information

A conic cutting surface method for linear-quadraticsemidefinite

A conic cutting surface method for linear-quadraticsemidefinite A coc cuttg surface method for lear-quadratcsemdefte programmg Mohammad R. Osoorouch Calfora State Uversty Sa Marcos Sa Marcos, CA Jot wor wth Joh E. Mtchell RPI July 3, 2008 Outle: Secod-order coe: defto

More information

Continuous Distributions

Continuous Distributions 7//3 Cotuous Dstrbutos Radom Varables of the Cotuous Type Desty Curve Percet Desty fucto, f (x) A smooth curve that ft the dstrbuto 3 4 5 6 7 8 9 Test scores Desty Curve Percet Probablty Desty Fucto, f

More information

METODOLOGIE PRIVIND PROGRAMUL DE URMARIRE I in TIMP A COMPORTARII CONSTRUCTIILOR DIN PUNCT DE VEDERE AL CERINTELOR FUNCTIONALE

METODOLOGIE PRIVIND PROGRAMUL DE URMARIRE I in TIMP A COMPORTARII CONSTRUCTIILOR DIN PUNCT DE VEDERE AL CERINTELOR FUNCTIONALE METODOLOGIE PRIVIND PROGRAMUL DE URMARIRE I in TIMP A COMPORTARII CONSTRUCTIILOR DIN PUNCT DE VEDERE AL CERINTELOR FUNCTIONALE INDICATIV MP 031-03 i! 14 215 ROJ1:rou n21,100,rojirutrqq2r,1aflt JUR3T21HIM

More information

Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances

Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances Decision Making Under Uncertainty. Application In Inssurances Authors: Daniela SCHOPPMEYER- PhD Student, ASE Bucharest Dan CECHIN-CRISTEA, PhD, Allianz- Tiriac Asigurari Abstract In this paper we will

More information

Atoms and the Periodic Table

Atoms and the Periodic Table Atoms and the Periodic Table Parts of the Atom Proton Found in the nucleus Number of protons defines the element Charge +1, mass 1 Parts of the Atom Neutron Found in the nucleus Stabilizes the nucleus

More information

STA 105-M BASIC STATISTICS (This is a multiple choice paper.)

STA 105-M BASIC STATISTICS (This is a multiple choice paper.) DCDM BUSINESS SCHOOL September Mock Eamatos STA 0-M BASIC STATISTICS (Ths s a multple choce paper.) Tme: hours 0 mutes INSTRUCTIONS TO CANDIDATES Do ot ope ths questo paper utl you have bee told to do

More information

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE

Curs 5 ELEMENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Curs 5 ELEENTE STRUCTURALE SOLICITATE LA RASUCIRE Rasucirea (torsiunea), ca stare de solicitare nu apare in mod independent, ci in combinatie cu alte solicitari (ex. incovoiere cu rasucire, compresiune

More information

LINEAR REGRESSION ANALYSIS

LINEAR REGRESSION ANALYSIS LINEAR REGRESSION ANALYSIS MODULE V Lecture - Correctg Model Iadequaces Through Trasformato ad Weghtg Dr. Shalabh Departmet of Mathematcs ad Statstcs Ida Isttute of Techology Kapur Aalytcal methods for

More information

Statistical modelling and latent variables (2)

Statistical modelling and latent variables (2) Statstcal modellg ad latet varables (2 Mxg latet varables ad parameters statstcal erece Trod Reta (Dvso o statstcs ad surace mathematcs, Departmet o Mathematcs, Uversty o Oslo State spaces We typcally

More information

General Method for Calculating Chemical Equilibrium Composition

General Method for Calculating Chemical Equilibrium Composition AE 6766/Setzma Sprg 004 Geeral Metod for Calculatg Cemcal Equlbrum Composto For gve tal codtos (e.g., for gve reactats, coose te speces to be cluded te products. As a example, for combusto of ydroge wt

More information

MARKETING - CURS 6. Metode si tehnici de culegere si analiza a informatiilor in cercetarile de marketing

MARKETING - CURS 6. Metode si tehnici de culegere si analiza a informatiilor in cercetarile de marketing MARKETING - CURS 6 Metode si tehnici de culegere si analiza a informatiilor in cercetarile de marketing Orice cercetare de marketing presupune rezolvarea problemelor referitoare la masurarea fenomenelor

More information

best estimate (mean) for X uncertainty or error in the measurement (systematic, random or statistical) best

best estimate (mean) for X uncertainty or error in the measurement (systematic, random or statistical) best Error Aalyss Preamble Wheever a measuremet s made, the result followg from that measuremet s always subject to ucertaty The ucertaty ca be reduced by makg several measuremets of the same quatty or by mprovg

More information

Matrix Algebra Tutorial With Examples in Matlab

Matrix Algebra Tutorial With Examples in Matlab Matr Algebra Tutoral Wth Eamples Matlab by Klaus Moelter Departmet of Agrcultural ad Appled Ecoomcs Vrga Tech emal: moelter@vt.edu web: http://faculty.ageco.vt.edu/moelter/ Specfcally desged as a / day

More information

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani

Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu

More information

DIRECTII DE CERCETARE SI METODICA ANALIZA DECIZIEI

DIRECTII DE CERCETARE SI METODICA ANALIZA DECIZIEI DIRECTII DE CERCETARE SI METODICA ANALIZA DECIZIEI Medicina este stiinta incertitudinii si arta probabilitatii Sir. William Osler Cel mai bun antrenament medical constat in inavatarea de a lucra cu nesiguranta

More information

Quantitative analysis requires : sound knowledge of chemistry : possibility of interferences WHY do we need to use STATISTICS in Anal. Chem.?

Quantitative analysis requires : sound knowledge of chemistry : possibility of interferences WHY do we need to use STATISTICS in Anal. Chem.? Ch 4. Statstcs 4.1 Quattatve aalyss requres : soud kowledge of chemstry : possblty of terfereces WHY do we eed to use STATISTICS Aal. Chem.? ucertaty ests. wll we accept ucertaty always? f ot, from how

More information

A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA

A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 71, Iss. 4, 2009 ISSN 1223-7027 A PHENOMENOLOGICAL UNIVERSALITIES APPROACH TO THE ANALYSIS OF PERINATAL GROWTH DATA Pier Paolo DELSANTO 1, Antonio S. GLIOZZI 2, Dan A.

More information

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania

Solution by Nicuşor Zlota, Traian Vuia Technical College, Focşani, Romania Revista Virtuala Ifo MateTehic ISSN 069-7988 ISSN-L 069-7988 Probleme rouse sre rezolvare Nicusor Zlota, Focsai 08.Prove that C, j N,where the fiboacci, F F F 0 F F, F 0, F + = + + = = = 0 + j + j 09.Let

More information

i 2 σ ) i = 1,2,...,n , and = 3.01 = 4.01

i 2 σ ) i = 1,2,...,n , and = 3.01 = 4.01 ECO 745, Homework 6 Le Cabrera. Assume that the followg data come from the lear model: ε ε ~ N, σ,,..., -6. -.5 7. 6.9 -. -. -.9. -..6.4.. -.6 -.7.7 Fd the mamum lkelhood estmates of,, ad σ ε s.6. 4. ε

More information

Discrete Mathematics and Probability Theory Fall 2016 Seshia and Walrand DIS 10b

Discrete Mathematics and Probability Theory Fall 2016 Seshia and Walrand DIS 10b CS 70 Dscrete Mathematcs ad Probablty Theory Fall 206 Sesha ad Walrad DIS 0b. Wll I Get My Package? Seaky delvery guy of some compay s out delverg packages to customers. Not oly does he had a radom package

More information

Recall MLR 5 Homskedasticity error u has the same variance given any values of the explanatory variables Var(u x1,...,xk) = 2 or E(UU ) = 2 I

Recall MLR 5 Homskedasticity error u has the same variance given any values of the explanatory variables Var(u x1,...,xk) = 2 or E(UU ) = 2 I Chapter 8 Heterosedastcty Recall MLR 5 Homsedastcty error u has the same varace gve ay values of the eplaatory varables Varu,..., = or EUU = I Suppose other GM assumptos hold but have heterosedastcty.

More information

Sample Allocation under a Population Model and Stratified Inclusion Probability Proportionate to Size Sampling

Sample Allocation under a Population Model and Stratified Inclusion Probability Proportionate to Size Sampling Secto o Survey Researc Metods Sample Allocato uder a Populato Model ad Stratfed Icluso Probablty Proportoate to Sze Sampl Su Woo Km, Steve eera, Peter Soleberer 3 Statststcs, Douk Uversty, Seoul, Korea,

More information

= 2. Statistic - function that doesn't depend on any of the known parameters; examples:

= 2. Statistic - function that doesn't depend on any of the known parameters; examples: of Samplg Theory amples - uemploymet househol cosumpto survey Raom sample - set of rv's... ; 's have ot strbuto [ ] f f s vector of parameters e.g. Statstc - fucto that oes't epe o ay of the ow parameters;

More information

Fundamental Concepts: Surfaces and Curves

Fundamental Concepts: Surfaces and Curves UNDAMENTAL CONCEPTS: SURACES AND CURVES CHAPTER udametal Cocepts: Surfaces ad Curves. INTRODUCTION This chapter describes two geometrical objects, vi., surfaces ad curves because the pla a ver importat

More information

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45

DanielaMANEA. x n +a 1. EdituraParalela45 DanielaMANEA REZOLVAREA ECUAŢILORALGEBRICE DEGRAD SUPERIOR n +a n- + +a n =0 EdituraParalela45 Daniela Manea REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR Referent ştiinţific: lectunivdr Eduard Asadurian

More information

Ch. 9 NOTES ~ Chemical Bonding NOTE: Vocabulary terms are in boldface and underlined. Supporting details are in italics.

Ch. 9 NOTES ~ Chemical Bonding NOTE: Vocabulary terms are in boldface and underlined. Supporting details are in italics. Ch. 9 NOTES ~ Chemical Bonding NOTE: Vocabulary terms are in boldface and underlined. Supporting details are in italics. I. Review: Comparison of ionic and molecular compounds Molecular compounds Ionic

More information