2. Lema chinezească a resturilor. Fie,,..., mai mari decât 1 astfel încât pentru. Atunci, oricare ar fi ϵ există unic determinat astfel încât,, unde.

Transcription

1 Lea chneză a resturlor Aplcaț COLUMNA, nr 4, 2015 Ion MUNTEANU unteanuon74@galco ABSTRACT: Ths paper presents soe applcatons of Lea chnezească a resturlor The an dea of Modular arthetc s the study of ssues related to whole nubers usng ther debrs n relaton to one or ore ntegers, naed odules The encrypton ethods based on a very sple dea of nuber theory, beng based on the fact that whle t s easy to ultply two large pre nubers, however, s extreely dffcult to reconstruct ther product nuber The product can be ade publc and can be used as an encrypton key KEYWORDS: applcatons, nuber, encrypton, propertes, decrypton Ideea fundaentală a artetc odulare este studul unor problee refertoare la nuere întreg cu ajutorul resturlor acestora în raport cu unul sau a ulte nuere naturale,,,,»1 nute odule Un rezultat central în artetca odulară este lea chnezească a resturlor care raportează nuerele întreg la un sste fnt de nuere naturale,,,»1 astfel încât pentru 1 Lea Fe,,, astfel încât pentru Pentru ave: 1), 2), 2 Lea chnezească a resturlor Fe,,, a ar decât 1 astfel încât pentru Atunc, orcare ar f ϵ exstă unc deternat astfel încât,, unde Deonstraţe Fe astfel încât,, Atunc

2 320 Ion MUNTEANU ş Dec pentru ş dn lea 1 rezultă că Dar atunc ş plcă A deonstrat astfel partea de unctate dn enunţul lee Să notă cu ulţea tuturor ssteelor ordonate de nuere naturale,, Este clar că are eleente Tot dn constă ş ulţea a nuerelor naturale astfel încât Reant că a convent să notă cu restul îpărţr prn a nuărulu întreg, dec Fe funcţa:, Orcare ar f Confor pre părţ a deonstraţe, funcţa este njectvă Dn rezultă că este surjectvă, dec p este bjecţe Fe, Cu este aplcaţe surjectvă, exstă astfel încât A ş a d a r, Dec ş au acelaş rest la îpărţrea prn, de unde 3 Propozţe Fe un nuăr natural astfel încât, pentru Atunc φ )= În partcular, dacă =, este descopunerea în factor pr dstncţ pentru ) a lu, atunc

3 Lea chneză a resturlor Aplcaț 321 φ ) = Câteva aplcaţ ale lee chneze a resturlor LCR) 1 Propretatea de ultplctate a funcţe ϕ a lu Euler,,, 2 t t ) Fe daţ odul: j cu pentru j Notă: M = 1 2 t,, ) Cu nelele + sunt untare = 1, 2,, t ), P : = atunc ş nelul produs 1 2 t este untar ş U P) = U ) U ) ) 1 U 2 t rezultat valabl pentru orce U P) = ϕ 1) ϕ 2 ) ) produs fnt de nele untare), dec ϕ t Deoarece M P, ave U P) = U M ) = ϕ M) = ϕ 1, 2,, t) În concluze, are loc urătorul rezultat: Dacă 1, 2,, t 2 sunt nuere întreg t 2) j ş dacă pentru j ϕ 1 2 ) 1) 2) ), atunc t = ϕ ϕ ϕ t Rezultatul de a sus se nueşte propretatea de ultplctate a funcţe ϕ Dacă p=pr ş n *,atunc dn defnţa lu n n n n ) 1 1 ϕ p = p p = p 1 P rezultă că p n1 n2 n { 0,1} Dacă este nuăr copus ş dacă nt n= p1 p2 p t t 2; p < < p nuere pre; n, n,, n * ) 1 t 1 2, atunc rezultă dn ultplctatea lu ϕ : t

4 322 Ion MUNTEANU n1 n2 n t n1 n2 n t ϕ n) = ϕ p1 ) ϕ p2 ) ϕ pt ) = p1 p2 pt = p p p = n p p p 1 2 t 1 2 t ϕ 72) = ϕ 2 3 ) = = 24 De exeplu 2 3 = nuărul de clase nversable dn nelul 72 2 Algortul lu Garner Fe daţ odul: 1, 2,, t 2 t 2) j, cu pentru j Pentru j = 2,3,, t ş = 1, 2,, j 1 c, fe j j nversul lu odulo c j : j 1 od j ) pentru = 1, 2,, j 1 b Se dau nuerele = 1,2,, t ) Se deternă nuărul întreg a cu propretăţle: 0 a< ) 1 2 t = : M ; aod ) = b = 1,2,, t ) Algortul lu Garner: Pas nţal: Pas curent: pentru luă a= r Pas fnal: 1+ r 2 1+ r r t 1 2 t 1 Afraţa 1: Ave 0 a< M ş a=întreg r 1 Deonstraţe: Ţne cont de faptul că + = 1, 2,, t ) Atunc

5 Lea chneză a resturlor Aplcaț 323 M 1 2 t 1rt t 1 r + r t 1 t 1 2 t 2 t t 2 r + r + + r > aº 00, dec a= întreg a< M 1 2 t 1 t 1 2 t 2 t aod Afraţa 2: Au loc relaţle: = b = 1, 2,, t ) a r1 b1 1) Deonstraţe: Ave: od aod, dec = b deoarece b1 1 ) Pentru fecare = 2,3,, t ave: a r + r + r + + r r + r + r + + r b ck rl ck k= 1 l= 1 k= l r + r + r + + r b r r r r od ) b, aod dec = b b deoarece ) a Fe acu daţ întreg 1, a2,, a t b : od Pune = a = 1, 2,, t b ) Pentru = 1,2,, t ), algortul lu Garner furnzează întregul a= r 1+ r r t 1 2 t 1, cu propretăţle: 0 a< M ş aod = b = 1,2,, t aod = b = a od ) Acu, dec a a od ) pentru orce = 1,2,, t Prn urare, a este soluţe a ssteulu de congruenţe x a1 od 1), x a2 od 2), x at od t)

6 324 Ion MUNTEANU ş 0 a< M Întregul a este un unc cu aceste propretăţ adcă, ) de a f soluţe a ssteulu de congruenţe ş ) de a aparţne ulţ [ ) 0, M ) Evdent, a este soluţe a LCR 3 O etodă de înulţre a nuerelor naturale ar Fe daţ odul: 1, 2,, t 2 t 2) j, cu pentru j Pentru un nuăr întreg poztv a, nu reprezentare odulară rela ρ a : = aod 1,, aod t ρ a) = a1, a2,, at ) Fe acu a ş b două nuere naturale ar Dacă ρ b = b,,, 1 b2 b t atunc dn LCR obţne: ρ a b = a b od,, a b od tvă la odul daţ t uplul: ) ) ) ) ş ) 1 1) 1 ) = c od,, c od ) t t t) 1 1 t unde c = ab c ş 1 = cod = 1,2,, t ) ab, Ipoteză de lucru: Presupune că [ 0, M) ş = ab [ 0, ), M: = unde 1 2 t Ură acu urătorul algort: a : od Pas 1: calculă = a b : od ş = b pentru = 1, 2,, t p : Pas 2: calculă = a b pentru = 1, 2,, t c : od Pas 3: calculă = p pentru = 1, 2,, t c, c,, c c Pas 4: aplcă algortul lu Garner pentru 1 2 t cu = 1, 2,, t ) ş obţne întregul c cu propretăţle 0 c< M ş cod = c = 1,2,, t ) Atunc, ab = c Observaţe În cazul specal a< M ş b< M, atunc ab M, dec poteza de lucru devne un fapt Exeplu Fe odul 1=7, 2=9 ş 3=10 Atunc M=123=630 ş M = 25, Fe a=16 ş b=24 Atunc ab < M Găs: ş ρ b) = 3, 6, 4) ; t

7 Lea chneză a resturlor Aplcaț 325 p1 = 23 = 6 p2 = 7 6 = 42 p1 = 6 4 = 24, c od c1=6, c2=6, c3=4, unde = p =1, 2, 3 ) ρ c) = 6,6, 4) Aplcă algortul lu Garner pentru : c 12 =4, c 13 =3, c 23 =9; r 1 = r2 = 6 ck2 rl ck2 od 2 k= 1 l= 1 k= l = 64 64od9 ) = r3 = 4 ck3 rl ck3 od 3 k= 1 l= 1 k= l = od10 = 6 ) dec c = = = Crptarea Rvest Shar Adlean RSA) Cel a larg utlzat ş verfcat crptosste cu che publce a fost cel ntrodus de R Rvest, A Shar ş L Adlean, care este acu cunoscut ca RSA Acest cfru reprezntă standardul în doenul senăturlor dgtale ş al confdenţaltăţ cu che publce RSA este astăz recunoscută ca cea a sgură etodă de cfrare ş autentfcare dsponblă coercal Acestă etodă de crptare se bazează pe o dee foarte splă dn teora nuerelor ş a rezstat la toate atacurle crptanalştlor de până acu Ideea se bazează pe faptul că, deş este uşor să înulţeşt două nuere pre ar, este însă extre de greu să se reconsttue nuerele dn produsul lor Astfel, produsul poate f făcut publc ş poate f utlzat ca o chee de crptare Iată în ce constă ssteul de crptare RSA Fe p ş q două nuere pre ar dstncte ş aleatoare având aproxatv 100 cfre fecare) Se notează: ş, unde este funcţa Euler Se alege un nuăr aleator are astfel încât

8 326 Ion MUNTEANU ş se calculează nuărul D, care să satsfacă congruenţa: Nuărul este odulul, este exponentul de crptare ş exponentul de decrptare Nuerele ş forează chea publcă de crptare, ar ş sunt secrete Metoda de crptare plcă calcul exponenţal într un câp fnt odulo n Mesajul cfrat se obţne dn esajul în clar prntr o transforare Mesajul în clar este îpărţt în blocur care care sunt de fapt nuere întreg între 0 ş nuărul natural n O ăre obşnută pentru n este de 309 cfre zecale ) Fe unul dn aceste blocur dn esaj M, bloc ce are propretatea ; propretate care se obţne dn odul de îpărţre a esajulu Blocul cfrat, C, corespunzător bloculu în clar, se obţne calculând:, E reprezentând astfel chea de crptare Decrptarea se face prn operaţa:, unde D este chea secretă de decrptare Cele două che E ş D trebue să satsfacă relaţa:, pentru ca algortul să poată f într adevăr folost Fundaentarea algorulu RSA este realzată de urătoarea teoreă: Teoreă Fe p ș q nuere pre pare ș n=pq Se consderă c cu 1 < c < ϕ n) astfel încât c este relatv pr cu ϕ n) Fe d nversul ultplcatv al lu c odulo Atunc pentru orce x { 0,1,,n} ave x cd x odn) Corolar Fe p, q, n, c ș d ca în enunțul teoree precedente ș fe T c un nuăr natural Dacă T M odn ), atunc T d M odn ) Securtatea algortulu se bazează pe deea de dfcultate a factorzăr unu nuăr are Pornnd de la această dee nuărul n se poate obţne prn produsul a două nuere pre ar p ş q: n=pq, dar aflarea lu p ş q ş astfel a ndcatorulu lu Euler, devne ult a greu de deternat având la dspozţe n Folosnd această etodă se poate obţne un sste perforant de cfrare cu chee publcă

9 Lea chneză a resturlor Aplcaț 327 Algortul RSA Generarea chelor 1 Selectă p,q abele pre, q) 2 Calculă 3 Calculă 4 Selectă un întreg E astfel încât 5 Calculă D, Chea publcă PU Chea prvată PR Crptarea 1 Textul clar 2 Textul cfrat Decrptarea 1 Textul cfrat C 2 Textul clar Algortul RSA utlzând LCR Coplextatea decrptăr RSA: depnde drect de ărea lu D ş a lu N Exponentul D specfcă nuărul înulţrlor odulare necesare pentru a rdca la putere pe C ş odulul n deternă ărea rezultatelor nteredare O odaltate de a reduce aploarea calculelor ărea lu D ş a lu n) este să ţne seaa de LCR de Mca teoreă a lu Ferat ş de o consecnţă drectă a lor Teoreă Dacă nuărul întreg a nu este dvzbl cu nuărul întreg p pr ş dacă Această propretate prevede că atunc când se lucrează odulo p pr exponenţ pot f reduş Acest lucru perte aplcarea algortulu RSA folosnd exponenţ senfcatv a c Decrptarea RSA utlzând LCR

10 328 Ion MUNTEANU Cu p ş q sunt pre, orce esaj este unc reprezentat de o pereche, unde ş Mergând înapo este a uşor să obţne M plecând de la nuerele, recobnându le confor LCR, decât să folos calculul Prn utlzarea teoree anteroare ărea exponentulu poate f cşorată:, deoarece Ma ult, unde Analog, unde În plus este uşor să observă că esajul cfrat C poate f redus odulo p înante să calculă astfel lungea operanzlor este redusă la juătate Cu canttăţle ş precu ş ş obţne urătoarele ecuaţ pentru : ş Recobnarea lu pentru a obţne M se poate face confor LCR pentru cazul, ) Ma ult decât atât calculele pot f splfcate folosnd Mca teoreă a lu Ferat: Ulta egaltate provne dn faptul că pentru orce întreg nenegatv a, b, c Ţnând cont că nuerele ş sunt constante care pot f precalculate, efortul de a recobna pe se reduce la două înulţr, o adunare ş o reducere odulo n Calculă ş care sunt necesar pentru recobnare ş ş Descrerea algortulu RSA bazat pe LCR urează urător paş:

11 Lea chneză a resturlor Aplcaț Calculă ş 2 Calculă rdcărle la putere ş 3 Calculă coefcenţ ş 4 Calculă Dacă calculă Algortul RSA utlzând LCR 1 Se dă esajul M 2 Se generează două nuere pre între ele p ş q 3 Se generează altă pereche de nuere pre între ele r ş s 4 Calculă 5 Calculă 6 Calculă 7 Calculă 8 Alege astfel încât 9 Alege astfel încât 10 Calculă 11 Calculă 12 Calculă 13 Calculă 14 Calculă 15 Calculă 16 Calculă 17 Calculă 18 Calculă 19 Calculă 20 Calculă 21 Calculă

12 330 Ion MUNTEANU 22 Calculă textul decodat Bblografe: [1] Albu, T, Ţena, M, Descopunerea în fracţ sple, GM 3/1987, p 104,114 [2] Becheanu, M, Dncă, A, Ion, D, Nţă, C, Purdea, I, Radu, N, Ştefănescu C, Algebră pentru perfecţonarea profesorlor, EDP Bucureşt, 1983 [3] Năstăsescu, C, Nţă, C, Vracu, C, Artetcă ş algebră, EDP,Bucureşt, 1992 [4] Purdea, I, Pc, I, Tratat de algebră odernă, Vol I, Ed Acadee, 1977 [5] Purdea, I, Tratat de algebră odernă, Vol II, Ed Acadee, 1982 [6] Purdea, I, Pop, I, Algebra, EdGl, Zalău, 2003 [7] Rvest, RL; Shar, A; Adlean, L, A Method for Obtanng Dgtal Sgnatures and Publc Key Cryptosystes [8] Rvest, RL; Shar, A; Adlean, L, Councatons of the ACM 21 2), 2008, pp do:101145/ theorylcst edu/~rvest/rsapaperpdf