REZOLVAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT SPECIFICE DOMENIULUI MILITAR

Size: px

Start display at page:

Download "REZOLVAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT SPECIFICE DOMENIULUI MILITAR"

Clarissa Norman
6 years ago
Views:

1 REZOLVAREA PROBLEMELOR E TRANSPORT SPECIFICE OMENILI MILITAR Slt. Pal TORACHE Teora grafrlor, care este n captol dstnct al cercetăr operaţonale, s-a dezvoltat recent, având aplcaţ mltple în actvtatea de planfcare ş analză economcă, ndstrală, mltară etc. C ajtorl acestea s-a realzat modele matematce care permt o reprezentare completă a fenomenelor analzate, care pot f de rmătoarea natră: organzarea reţelelor de transport (rter, ferovar, naval) în care nodrle snt localtăţ sa staţ, postr de rado emse-recepţe, crclaţa nformaţlor într-n sstem (reţele nformatce), flxl operaţlor într-o actvtate (ndstrală, economcă, mltară etc). omenl mltar reprezntă n câmp larg de aplcabltate a teore grafrlor, în scopl solţonăr nor probleme cm snt transportrle ş organzarea nor actvtăţ în câmpl tactc (transmsn, stablrea tnerarl de deplasare etc). O problemă de transport, echlbrată are forma: a c m n mn f ( X ) = c = j = n xj = a, m j = m ( PT ): xj = b j, j n = m n b j = a = j = x ( ) j j 0, nmtă ş forma standard. În cazl în care avem b n m m+ j= j= m = j x j b j a < n = ( ) ; = a bj şc, m+ = 0 n () (2) () (4),atnc ntrodcem coloana (m+) REVISTA ACAEMIEI FORŢELOR TERESTRE NR. (4)/ 2006

2 ar în cazl în care b m = m n n+ j= = b j a > n j= ntrodcem lna (n+) a c ( ) j. = bj a s cn+, j = 0 m ŞTIINŢĂ MILITARĂ n (2) ş () avem m + n relaţ c m n necnoscte. n (4) rezltă că între ecaţle (2) ş () ma exstă cel pţn o relaţe, ş atnc rangl matrce ssteml (2) + () este cel mlt m + n. efnţa. acă rangl matrce ssteml (2) + () este m + n, ar n program de bază are exact m + n componente poztve (restl nle), atnc programl se nmeşte nedegenerat. Pentr încept vom prezenta doă metode specfce pentr obţnerea n program de bază; în cazl n exempl concret: * Metoda colţl N-V (nord-vest) 2* Metoda elementl mnm pe lne sa coloană. Aplcaţe: Tre ntăţ mltare, 2 ş snt almentate c carbrant de la depoztele tertorale, 2 ş. Costrle ntare de transport, dsponbll ( ş necesarl N snt date în tabell de ma jos: ) ( ) 2 ( ) Observăm că problema este echlbrată. Metoda Metoda colţl N-V (nord-vest) se trece mn{, N} = mn{ 00,80} = 80. eoarece necesarl N s-a epzat, se trece 0 (sa se lasă lbere, sa se haşrează) la celelalte căsţe de pe prma coloană, ar devne = 20. Obţnem tabell: /// 2 ( ) 20 REVISTA ACAEMIEI FORŢELOR TERESTRE NR. (4)/

3 /// C ŞTIINŢĂ MILITARĂ C coloanele C 2 ş rămase procedăm la fel. În colţl N-V (căsţa (,2) dn tabel) înscrem mn{, N2} = mn{ 20,0} = 20. eoarece dsponbll s-a epzat, se trece 0 în restl căsţelor de pe prma lne, ar necesarl N2 a devent 0 20 = 90. Obţnem tabell: 2 ( ) /// /// 2 /// C căsţele rămase lbere se procedează ca ma ss ş se obţne, în fnal, programl de bază: 20 2 ( ) care este nedegenerat (are m + n componente; în cazl de faţă m =, n = ). Metoda 2 Metoda mnml pe lne Cătăm costl mnm dn prma lne; îl găsm pe pozţa c = 2. În căsţa respectvă, trecem mn{ N, } = mn{ 80,00} = 80. eoarece N s- a epzat haşrăm celelalte căsţe ale coloane C; ar a devent = 80. REVISTA ACAEMIEI FORŢELOR TERESTRE NR. (4)/ 2006

4 Tabell s-a transformat în: 2 ( ) /// 2 20 /// În tabell rămas, comps dn coloanele C2ş C cătăm dn no cel ma mc cost de pe prma lne: găsm c =. În căsţa corespnzătoare trecem mn{, N} = mn{ 20, 00} = 20. eoarece s-a epzat, haşrăm căsţele lbere dn prma lne, ar N a devent = 80. Obţnem tabell: 2 80 /// ( ) 20 /// 2 20 /// În contnare procedăm la fel ş obţnem programl de bază: 2 ( ) REVISTA ACAEMIEI FORŢELOR TERESTRE NR. (4)/

5 care este dfert de cel obţnt prn metoda colţl N-V. Lcrrle se petrec la fel dacă cătăm costl mnm de transport de pe o coloană. Pornnd de la solţa nţală de bază obţntă, vom arăta în contnare cm se verfcă optmaltatea e prn metoda dstrbtvă, modfcată de G.B. antzg, Charnes ş Cooper. c m + n Consderăm toate costrle ce corespnd celor ( ) valor > 0 care constte o solţe de bază., x j Observăm că pentr fecare, astfel, încât: v = c, c j j se pot determna câte doă nmere, + j j ( =,2,..., m; j =,2,..., n). ( 5) () 5 conţne ( m + n ) ecaţ ş ( n) Ssteml m + necnoscte; el este dec nedetermnat ş admte o nfntate de solţ. Va f sfcent să lăm o valoare arbtrară (de exempl = 0). Folosnd solţle ssteml ( 5 ), se determnă costrle: c + v 6 j j = ( ) pentr toate valorle x j = 0 dn solţa de bază. Se poate arăta că dacă c c, ( =, 2,..., m; j =, 2,..., n), solţa este optmă ş condce la n mnm. Condţa ca X să fe optm revne la faptl că x j nebazc. j j + cj 0, pentr Notând + = cj ş c j cj = 0, condţa ca X să fe optm devne 0 0, pentr xj nebazc. acă n toţ 0 0 pentr x j nebazc, se trece la îmbnătăţrea programl: Se alege c = mn 0 0 < 0. rs c j { } (, j) Varabla x rs corespnzătoare, nebazcă se ntrodce în bază. Pe lna r, dntr-n xrk bazc trebe scăzt n xrs, pentr a n modfca dsponbll ş atnc pe coloana k, la n x bazc trebe adăgat x r pentr a n modfca necesarl N, ş în consecnţă, pe lna p la n trebe scăzt xrs pentr a n modfca dsponbll s. Notând x = θ, se formează astfel n ccl: rs k pk x rs ps REVISTA ACAEMIEI FORŢELOR TERESTRE NR. (4)/

6 x ps Alegând θ = mn{ x, } ps x rk θ x pk + θ ŞTIINŢĂ MILITARĂ θ xrk θ,se obţne o noă solţe de bază. Se calclează dn no c j, 0 ş.a.m.d., până în momentl în care n ma avem 0 < 0. Toate aceste rezltate se pn într-n tabel specfc pe care îl prezentăm în contextl probleme-exempl anteroare. X 0 c j v v 2 v /// /// /// /// 5-4 /// 6 4 În caseta X 0 avem programl de bază determnat c metoda colţl N-V. Corespnzător acesta, ssteml v c = 0 devne: + j j Ccll 20 θ θ 90 + θ 0 + θ + v = 2 + v2 = v2 = v = + v = Pnând = 0 obţnem v = 2, v2 = 5, v = 4, 2 =, = valor, pe care le-am trect în prma coloană, respectv prma lne dn caseta c j. Apo căsţele dn această casetă, corespnzătoare programl de bază se haşrează, ar celelalte se completează c valorle c j corespnzătoare. Se calclează valorle = c c, care a fost trecte în căsţele corespnzătoare. 0 j j REVISTA ACAEMIEI FORŢELOR TERESTRE NR. (4)/

7 Observăm că = < 0, dec X 0 n este solţe optmă ş trebe îmbnătăţtă. Formăm ccll c θ ş găsm θ = mn{ 20, 0}. Screm n no tabel c noa solţe găstă pe care am notat-o. X X 0 c j v v 2 v ( ) Ccll /// 4 4 /// /// 20 θ θ /// /// 4 /// 90 + θ /// 5 4 /// 0 + θ Am obţnt 0 > 0, j nebazc, dec solţa X este optmă. Observăm că ea concde c solţa de bază determnată c ajtorl metode costl mnm pe lne. Bblografe. Gbbons, A., Algorthmc Graph Theory, Cambrdge nversty, Gross, L., Yellen, J., Graph Theory and ts Applcatons, CRC Press LLC,998. Rădesc, Ncolae, Rădesc, Egena, Probleme de teora grafrlor, Craova, Edtra Scrsl Românesc, Voss, Hans-Jrgen, Cycles and Brdges n Graphs. Mathematcs and Applcatons, East Eropean Seres, vol. 49. Klwer, 99. REVISTA ACAEMIEI FORŢELOR TERESTRE NR. (4)/

7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE

7 ECUAŢII ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE 7 Separarea rădăcnlor Ecuaţe algebrcă dacă ( este polnom Ecuaţa transcendentă în caz contrar ( = Rădăcnă apromatvă valoare ξ apropată de valoarea eactă ξ Denţ neechvalente: