UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A.

Transcription

1 UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT CONDUCÃTOR ªTIINÞIFIC PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. LECA CONSTANÞA 9

2 UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ ANALIZA ªI APROIMAREA SOLUÞIILOR ECUAÞIILOR HAMMERSTEIN CONDUCÃTOR ªTIINÞIFIC PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. LECA CONSTANÞA 9

3 CUPRINS INTRODUCERE..... CAPITOLUL I: ECUAÞIA INTEGRALÃ HAMMERSTEIN. Clase de oeratori itegrali ºi ecuaþii itegrale Ecuaþia Hammerstei Metode de rezolvare a ecuaþiei Hammerstei CAPITOLUL II: OPERATORUL DE SUPRAPUNERE (NEMITKY).. Codiþii Carathéodor Cotiuitatea oeratorului de surauere Saþii Lebesgue Saþii Sobolev Mootoia oeratorului de surauere Diereþiabilitatea oeratorului de surauere Poteþialul oeratorului de surauere... CAPITOLUL III: METODE TOPOLOGICE 3.. Oeratori de ti mooto Oeratori seudomootoi Oeratori de ti (M) Oeratori mãrgiiþi ughiular U grad toologic de ti (S) etru oeratori Hammerstei... 4 CAPITOLUL IV: EISTENÞA SOLUÞIILOR ECUAÞIEI HAMMERSTEIN 4.. Ecuaþii cu oeratori de ti (M) Ecuaþii cu oeratori mãrgiiþi ughiular Metode de seudomootoie Eisteþa soluþiilor ecuaþiei Hammerstei î saþii Baach slab comlete Alicaþii oteþiale Eisteþa soluþiilor ecuaþiei Hammerstei î saþii Baach cu bazã Schauder CAPITOLUL V: APROIMAREA SOLUÞIILOR ECUAÞIEI HAMMERSTEIN 5.. Aroimarea soluþiilor ecuaþiei Hammerstei cu alicaþii de ti (C) Alicaþii de ti (C) Rezolvarea aroimativã a ecuaþiei Hammerstei Aroimarea soluþiilor ecuaþiei Hammerstei cu alicaþii acretive Alicaþii acretive Teoreme de covergeþã etru alicaþii lischitziee Teoreme de covergeþã etru alicaþii mãrgiite... 8 BIBLIOGRAFIE CRONOLOGICÃ BIBLIOGRAFIE ALFABETICÃ NOTAÞII... 93

4 INTRODUCERE Ecuaþia itegralã Hammerstei are orma: u( ) k(, ), u( ) d w( ) ude R este u domeiu cu mãsurã -iitã. Nucleul k : R ºi ucþia : R R sut mãsurabile. Notâd ri K oeratorul liiar itegral Kv ( ) k(, ) v( ) d, umit ºi oeratorul ucleu (kerel), iar ri N oeratorul Nemitsk asociat ucþiei, adicã Nu N u=, u, ecuaþia Hammerstei se va scrie oeratorial: u KNu w sau ( I KN) u w. Ecuaþiile itegrale Hammerstei au ost studiate de umeroºi autori ºi au ost uul di domeiile cele mai imortate de alicare a metodelor aalizei ucþioale eliiare ºi î articular a teoriei oeratorilor eliiari de ti mooto. Primele rezultate de solvabilitate uicã a ecuaþiei au ost obþiute î 93 de Hammerstei [] cu autorul metodelor variaþioale. Î rezolvarea ecuaþiei Hammerstei au ost alicate dierite metode: metode toologice, metode variaþioale, metode de mootoie, metode de ozitivitate, metode umerice, metode sectrale etc. Alegerea celei mai bue metode deide de saþiul de ucþii î care cãutãm soluþia, determiat de rorietãþile ucþiilor k ºi. Scoul lucrãrii de aþã este studiul soluþiilor ecuaþiei Hammerstei î dierite ioteze etru saþiul ºi oeratorii K ºi N. Metodele de rezolvare abordate sut metode de mootoie ºi metode de aroimare a soluþiilor. Prima alicare a cocetului de ecuaþie cu oeratori mootoi ecuaþiilor itegrale Hammerstei a ost acutã imlicit de Golomb [] î 935 ºi elicit de Vaiberg î 956. Metodele de mootoie au ost alicate cu succes etru oeratorii K ºi N î saþii Hilbert de Dolh ºi Mit ([4], 963) ºi Koloder ([6], 964). Ulterior, teoria oeratorilor mootoi alicatã ecuaþiilor Hammerstei î saþii Baach a ost utilizatã de Ama ([, ], 969), Brezis ([9], 968), Browder ºi Guta ([], 969), Browder, De Figueiredo ºi Guta ([3], 97), Petrsh ºi Fitzatrick ([7], 97). Pricialele lucrãri de reeriþã asura ecuaþiilor Hammerstei sut moograia Pascali-Sburla ([36], 978) ºi tratatul lui Zeidler ([48], 99). Teza este structuratã î 5 caitole. Î rimul caitol acem o scurtã icursiue î clasa oeratorilor itegrali, reliearea echivaleþei ecuaþiilor itegrale Hammerstei cu roblemele semiliiare ºi deiirea ecuaþiei Hammerstei oeratoriale. Sut eumerate câteva metode de rezolvare ale ecuaþiei Hammerstei. Î caitolul al doilea studiem oeratorul de surauere (Nemitsk). Porid de la deiiþiile ucþiei Carathéodor, acem o descriere a cotiuitãþii ºi mãrgiirii

5 oeratorului Nemitsk e saþiile Lebesgue ºi Sobolev. O ateþie deosebitã este acordatã mootoiei oeratorului Nemitsk. Sub dierite ioteze de mootoie etru am obþiut rorietãþi sulimetare ale oeratorului Nemitsk, ublicate î lucrarea di 7 [Leca, 9]. Cea mai imortatã ditre acestea are loc câd este strict crescãtoare ºi coercivã. Î aceste codiþii oeratorul de surauere N, geerat de, este u oerator de ti (S). Demostrarea acestui at ublicatã î [Leca, 9] este o sitezã a demostraþiilor aterioare [36,74]. Î îcheierea caitolului este discutatã de asemeea diereþiabilitatea ºi oteþialul oeratorului Nemitsk. Caitolul al treilea descrie structura celor mai imortate clase de alicaþii care e vor uriza cadrul teoretic etru studiul ecuaþiilor Hammerstei: alicaþii de ti (M), mãrgiit ughiulare ºi seudomootoe. Î lucrarea di 9 [Leca, 93] am olosit la stabilirea rerezetãrii oeratorilor liiari mãrgiiþi ughiular, datorate lui Browder ºi Guta ([], 969), metoda suer-regularizãrii elitice, î orma mai geeralã datã de cãtre Berkovits [7] î 3. Acest rocedeu reduce ivestigarea uor ecuaþii eliiare e saþii Baach searabile la studiul uor robleme echivalete e saþii Hilbert. Î îcheierea caitolului vom rezeta o etesie a gradului toologic e saþii Baach reale releive searabile etru alicaþiile Hammerstei de orma T I KN ude oeratorii K ºi N sut de ti (S). Urmâd abordãrile datorate lui A.G.Kartsatos I.V. Skrik (999) ºi J. Berkovits (6) am itrodus, î lucrarea [Leca, 9] di 8, u grad toologic de ti (S), gradul Hammerstei D N, cu autorul cãruia am stabilit o geeralizare a riciiului Lera-Schauder e care l-am alicat ecuaþiei Hammerstei u KNu. Î caitolul al atrulea vom studia eisteþa soluþiilor ecuaþiei Hammerstei abstracte u + KNu = î diverse ioteze iterdeedete etru, K ºi N. Astel, saþiul este, e râd, u saþiu Baach geeral, releiv, slab comlet sau cu bazã Schauder, N o alicaþie liiarã de ti (M), emãrgiitã, oteþialã sau seudo-mootoã, iar K u oerator liiar, mãrgiit ughiular, tare mooto sau simetric. Reveid la teorema Browder-Guta, uui oerator liiar K : mãrgiit ughiular e u saþiu Baach searabil îi coresude u saþiu Hilbert H, o iecþie comactã S : H cu aucta S : H astel îcât K S AS ude A : H H este o biecþie liiarã. Aceastã descomuere e-a ermis î [Leca, 93] reducerea ecuaþiei Hammerstei cu ucleu K mãrgiit ughiular la o ecuaþie echivaletã e saþiul Hilbert asociat H, a cãrei soluþie rezultã di teorema Browder - Mit etru ecuaþii cu oeratori mootoi. Î lus, am rezetat o rezolvare aroimativã î ses Petrsh ([35], 978), olosid ecuaþiile ti Galerki e, ( u KNu, ),, ude { } este u sistem roiecþioal î. Acestora le coresud ecuaþiile Galerki î saþiul Hilbert H, FU, V, V H, ude H este u sistem roiecþioal asociat î H,, rodusul scalar e H ºi F A SNS. Echivaleþa acestor ecuaþii mi-a ermis stabilirea î 9 [Leca, 93] a uui rezultat de eisteþã ºi uicitate a soluþiei aroimative a ecuaþiei Hammestei.

6 Caitolul al cicilea este dedicat aroimãrii soluþiei ecuaþiei Hammerstei ºi vom demostra covergeþa tare a uor metode iterative î cazul oeratorilor de ti (C) sau acretivi. Î lucrarea [Leca, 9] di 5 am dezvoltat o metodã de rezolvare aroimativã a ecuaþiei Hammerstei ce combiã teoria alicaþiilor A-rorii a lui Petrsh ([5], 99), teorema Calvert-Webb ºi oeratorii de ti (C). Ecuaþiei Hammerstei eomogee: u KNu, u, cu N :, K : ºi i-am asociat ecuaþia aroimatã i, u K J N J u ude J : este alicaþia de dualitate ormalizatã, J : alicaþia asociatã acesteia, iar ºirurile de umere ozitive coverg la câd i,. Cu i ºi autorul ecuaþiei aroimate de mai sus am demostrat solvabilitatea roiecþioalã a ecuaþiei Hammerstei iiþiale. Potrivit ideului Societãþii Americae de Matematicã, lucrarea rezetatã oate i clasiicatã la urmãtoarele secþiui: 47 H 5 Oeratori mootoi ºi geeralizãri; 47 H Teoria gradului toologic; 47 H 3 Oeratori eliiari articulari (surauere, Hammerstei, Nemitsk, Urso, etc) 47 J 5 Metode iterative; 65 J 5 Aalizã umericã e saþii abstracte. Oeratorii cosideraþi de-a lugul tezei sut uivaleþi, iar rezultatele de eisteþã se reerã la soluþiile uor ecuaþii. Alicaþiile multivalete sut î ateþia cercetãrilor actuale. Chiar ºi iegalitãþile variaþioale, imortate î modelarea matematicã, ot i rescrise ca icluziui oeratoriale. Î articular, ivestigarea oeratorului de surauere multivalet ºi a icluziuilor itegrale eliiare de ti Hammerstei, de orma u KNu, au ost demarate de Aell-De Pascale-Zabreko ([55], 995) ºi cotiuate de Cardiali- Paageorgiou ([59], 999). Cu tehicile acumulate, îmi rou sã îcerc studierea eisteþei, aroimãrii î ses Petrsh ºi a asectelor sectrale etru soluþiile icluziuilor Hammerstei cu oeratori de ti mooto multivaleþi. U alt obiectiv î viitor ar i studiul oeratorilor de surauere e saþii Lebesgue vectoriale, olosid rezetarea ehaustivã î cazul scalar di moograia Aell-Zabreko ([46], 99). Î îcheiere, meþioez alte cercetãri româeºti asura ecuaþiilor Hammerstei ca cele datorate lui Duma-Vladimirescu ([75, 76], 3) la Uiversitatea di Craiova ºi Precu ([8], 4), ([8], 5) la Uiversitatea di Clu-Naoca. 3

7 CAPITOLUL I ECUAÞIA INTEGRALÃ HAMMERSTEIN.. CLASE DE OPERATORI INTEGRALI ªI ECUAÞII INTEGRALE Fie R u domeiu mãrgiit. Cosiderãm ucþia astel îcât, : R R Fie u saþiu de ucþii mãsurabile ( C sau L u itegrala, ud : R, veriicã codiþiile Carathéodor a..t.. R ) astel îcât etru orice, este deiitã î ses Lebesgue) a..t.. Deiim oeratorul Ursoh eliiar T : geerat de ucþia, ri T u, u, d., u F u Dacã ucþia este de orma,, cu F : R o ucþie mãrgiitã, atuci oeratorul Ursoh coresuzãtor se umeºte oeratorul Ursoh liiar (sau Fredholm) geerat de F. Î articular, u oerator Ursoh de orma T u F g, u, d, ude g : R R este o ucþie Carathéodor, se umeºte oerator Hammerstei. Dacã domeiul R este u iterval de orma = [a, T) cu T + ºi : R R are rorietatea cã,, etru > ºi R, oeratorul Ursoh coresuzãtor se umeºte oerator Volterra ºi are orma a T u t, ut, dt a..t.. Coresuzãtor oeratorilor itegrali se itroduc urmãtoarele ecuaþii itegrale: Ecuaþia itegralã eliiarã Ursoh este de orma: u,, ud, u, w, ude R, : R R astel îcât,, : R R satisace codiþiile Carathéodor a..t.. Fucþia se umeºte ucleul Ursoh. Dacã ucþia este de orma,, u F, u cu F : R o ucþie mãrgiitã, atuci ecuaþia devie: u F, u d 4

8 ºi se umeºte ecuaþia itegralã liiarã Ursoh (sau Fredholm). Dacã ucþia este de orma,, u F, g, u cu g : R R o ucþie Carathéodor, atuci ecuaþia devie: u F, g, ud ºi se umeºte ecuaþia Hammerstei. Dacã = [a, T) R cu T + ºi : R R are rorietatea cã,, etru > ºi R, ecuaþia coresuzãtoare se umeºte ecuaþia Volterra ºi are orma u t ut dt,,. a.. ECUAÞIA HAMMERSTEIN Studiul ecuaþiilor itegrale Hammerstei îºi au origiea î rezolvarea ecuaþiilor liiare cu derivate arþiale. Cel mai simlu eemlu este urmãtorul: e u domeiu mãrgiit cu rotiera etedã di saþiul euclidia R N, cosiderãm roblema Dirichlet liiarã: u( ) ( ), u. Dacã k(,) este o ucþie Gree coresuzãtoare acestei robleme, soluþia ei se oate rerezeta sub orma: u ( ) k(, ) ( ) d. Aalog, î cazul semiliiar, u( ) (, u( )), (.) u avem rerezetarea: (.) u ( ) k(, ) (, u( )) d. Aºadar, rezolvarea roblemei semiliiare (.) este echivaletã cu iversarea ecuaþiei itegrale Hammerstei (.). Notãm ri K oeratorul liiar itegral Kv ( ) k(, ) v( ) d, umit ºi oeratorul ucleu (kerel), iar ri N oeratorul Nemitsk sau de surauere (eliiar, Nu N u=, u. Ecuaþia (.) se va scrie î geeral) asociat ucþiei, adicã oeratorial: (.3) u KNu sau ( I KN ) u. Ecuaþiile Hammerstei eomogee v( ) k(, ) g, v( ) d b( ) 5

9 ot i reduse la ecuaþii omogee de tiul (.) dacã substituim u v b ºi, u g, u b. La el, ecuaþia oeratorialã eomogeã v KGv b se oate reduce la o ecuaþie omogeã (.3). Pri urmare, este suiciet sã cosiderãm roblemele omogee..3. METODE DE REZOLVARE A ECUAÞIEI HAMMERSTEIN Î rezolvarea ecuaþiei Hammerstei ot i alicate dierite metode: metode toologice, metode variaþioale, metode de mootoie, metode de ozitivitate, metode umerice, metode sectrale etc. Alegerea celei mai bue metode deide de saþiul de ucþii î care cãutãm soluþia, determiat de rorietãþile ucþiilor k ºi. Î cotiuarea acestui caitol vom eumera câteva metode de rezolvare ale ecuaþiilor Hammerstei..3.. Metode toologice Cea mai simlã metodã toologicã de rezolvare a ecuþiei Hammerstei este teoria uctului i sau, mai geeral, teoria gradului toologic. Î ucþie de rorietãþile ucþiei ucleu k ºi a eliiaritãþii lui se alege saþiul de ucþii adecvat etru studierea ecuaþiei Hammerstei (.3) [4, 53, 7, 84]. Î tezã e vom limita la cazul oeratorilor Nemitsk N : L L de orma N u, u ºi alicaþia ucleu ude. Vom studia ecuaþia (.3) î saþiul L. Presuuem cã alicaþia k se descomue de orma: k, g, z g z, dz. (.4) K : L L de orma k u Ku, d, Alicaþia g geereazã oeratorul itegral G : L L. Alicaþia aductã G : L L, K GG. Ecuaþia Hammerstei (.3) va i echivaletã cu ecuaþia oeratorialã: (.5) h Hh, ude u Gh ºi H G NG. Ecuaþiile (.3) ºi (.5) sut echivalete datoritã atului cã G este iversabilã. Avataul acestei costrucþii este atul cã oeratorul H ia valori î saþiul Hilbert L. Petru rezolvarea ecuaþiilor Hammerstei, se oate olosi teorema de uct i a lui Schauder sau ua ditre geeralizãrile acesteia [4]. Î teorema lui Schauder saþiul este u saþiu Baach, D o submulþime mãrgiitã îchisã coveã evidã ºi T : D D u oerator comlet cotiuu (cotiuu, cu T D relativ comactã). Î aceste codiþii eistã cel uþi u uct i etru T. Î acest caz, roblema gãsirii submulþimilor mãrgiite îchise covee (de eemlu bilele îchise) ivariate la oeratorul Hammerstei A = KN este oarte diicilã. Aceastã diicultate oate i deãºitã dacã se 6

10 alicã teorema de uct i a lui Vigoli, care sue cã u oerator comact T are u Tu uct i dacã uasiorma sa T lim. u u.3.. Metode de mootoie Î cazul oeratorilor mootoi, cel mai imortat rezultat de eisteþã este teorema lui Mit-Browder care sue cã îtr-u saþiu releiv, orice oerator Tu, u cotiuu mooto T : coerciv ( lim ) este biectiv, adicã u u T. Acest rezultat oate i alicat ecuaþiei Hammerstei (.3) î saþiile L, cu dacã asura alicaþiilor ºi k sut imuse codiþii sulimetare ºi va i olosit î Caitolul 4. U eemlu este urmãtorul rezultat [53]: Teorema.: Presuuem cã alicaþia k satisace iegalitatea: Ku, u, k u d ud ºi alicaþia satisace urmãtoarele iegalitãþi:, u a b u ºi, uu d u. Dacã, î lus, ie oeratorul K este comact, ie alicaþia, este crescãtoare (î raort cu al doilea argumet), atuci ecuaþia Hammerstei (.3) are cel uþi o soluþie u L Metode variaþioale Ideea metodelor variaþioale reduce rezolvarea ecuaþiei oeratoriale Au la J J alarea uctelor critice ale ucþioalei J, ude A J,, [53]. U uct critic al uei ucþioale J este uctul î care se auleazã derivata sa Fréchet. O ucþioalã J : R, saþiu Baach, este diereþiabilã Fréchet î uctul dacã eistã u elemet J ' u astel îcât w J u v J u J ' u, v wu, v u, v, etru orice v, ude câd v. v Elemetul J ' u este derivata Fréchet a lui J î uctul u. Alicarea metodei variaþioale ecesitã o rorietate de comacitate a lui J ', î sesul cã oricare ar i ºirul u cu J u r R ºi J ' u, câd, mulþimea u, este relativ comactã [7]. 7

11 O codiþie ecesarã este ca ucþioala J sã îdelieascã codiþia Palais-Smale, adicã orice ºir u cu J u r R ( J u este mãrgiit) ºi J ' u, câd coþie u subºir coverget. Teorema Ambrosetti-Rabiowitz (moutai ass) aratã cã orice ucþioalã J e u saþiu Baach satisace codiþia Palais-Smale ºi J are u uct critic u i J u ºi i J u etru r [53]. dacã u r u r Ituitiv, acestã teoremã airmã cã dacã douã zerouri ale graicului lui J sut searate de u laþ mutos, atuci trebuie sã eiste o trecãtoare ître ele care coþie u uct critic al lui J. Petru a alica acest rezultat ecuaþiei (.3) î saþiul Lebesgue L trebuie sã cosiderãm oteþialul oeratorului Nemitsk: Gh h udu, d î saþiul L, ude G este oeratorul itegral di relaþia (.4). Astel, soluþia ecuaþiei Hammerstei (.3) oate i gãsitã ritre uctele critice ale ucþioalei J h h h.3.4. Metode de ozitivitate, h L. Î cazul î care sutem iteresaþi de soluþiile ozitive ale ecuaþiei Hammerstei vom studia ecuaþia î saþii coice, adicã î saþii care coþi o submulþime coveã C astel îcât tu C câd u C ºi t. U rezultat clasic î acest ses este urmãtoarea teoremã datoratã lui Krasoselskii [6]: Teorema.: Fie k de orma k g, zgz,, dz ºi otãm cu i g, d, su g, d ºi su g, Presuuem de asemeea cã satisace codiþiile asimtotice:, u, u lim ºi lim. u 4 u u u Atuci ecuaþia Hammerstei (.3) are o soluþie ozitivã.., 8

12 CAPITOLUL II OPERATORUL DE SUPRAPUNERE (NEMITSKY).. CONDIÞII CARATHÉODORY Fie,, u saþiu cu mãsurã -iitã comletã. Itroducem oeratorul de surauere umit ºi oeratorul Nemitsk. Deiiþia.: Suem cã ucþia : R R este o ucþie Carathéodor dacã satisace urmãtoarele codiþii: ) etru orice R iat, ucþia, este -mãsurabilã, ) - a..t., este cotiuã. Prooziþia.: Dacã, ucþia : R R este o ucþie Carathéodor ºi u : R o ucþie -mãsurabilã, atuci ucþia u, este -mãsurabilã. Demostraþie: Fie u u ºir de ucþii simlu coverget a..t. la u(). m Fucþia c,u este suma uei amilii umãrabile de ucþii de orma m,, ude c R ºi sut ucþii caracteristice ale submulþimilor mãsurabile,, i etru i. Atuci, olosid codiþia ) di deiiþia ucþiilor Carathéodor, iecare ucþie doua codiþie obþiem cã mãsurabilitatea ucþiei,u m,u m coverge a..t. la, u,. u este mãsurabilã. Di a, ceea ce imlicã Deiiþia.3: Fie ºi deiite ca mai sus. Fucþiei îi asociem oeratorul de surauere sau oeratorul Nemitsk N deiit e clasele de ucþii de tiul u : R ( u u,, u ) ri u u u k k N,. Observaþie: Evidet, N duce ucþiile mãsurabile î ucþii mãsurabile. 9

13 .. CONTINUITATEA OPERATORULUI DE SUPRAPUNERE Oeratorul N deide udametal de saþiul de ucþii cãruia îi aarþie argumetul u. Î cele ce urmeazã se va studia comortametul oeratorului de m surauere e saþiile Lebesgue L ºi saþiile Sobolev W,.... Saþii Lebesgue Saþiile Lebesgue sut rimele saþii de ucþii e care a ost studiat oeratorul Nemitsk. Primele rezultate de cotiuitate ºi mãrgiire au ost obþiute de Krasoselski [5] ºi Vaiberg []. Reamitim cã saþiile Lebesgue L sut deiite astel [66]: L ( ) : R este - masurabila si d, L ( ) : R este - masurabila si d etru. Normele asociate acestor saþii sut R : L datã de ormula d, ude L, resectiv L R : datã de ormula d, ude L. Urmãtoarea teoremã, cuoscutã dret teorema lui Krasoselski este cel mai imortat rezultat al oeratorului Nemitsk [74, 8]. Teorema.4: Fie,, u saþiu cu mãsurã - iitã comletã ºi o ucþie Carathéodor care satisace codiþia de creºtere oliomialã: etru - a..t., a c k k k k k, ºi oricare R k,,,. Atuci N L L, k Demostraþie: Coorm iegalitãþii di iotezã avem:, ude L a, c, : este u oerator cotiuu mãrgiit.

14 , u a c u k k (.) c u k k a k - a..t. k k, u d a c uk a c uk k k k Rezultã cã N u, u este mãrgiit î k L. Petru demostrarea cotiuitãþii lui N olosim urmãtoarea caracterizare a covergeþei î saþiile Lebesgue: Fie F : R u ºir de ucþii mãsurabile coverget la o ucþie F. Atuci { F } coverge la F î,, L dacã ºi umai dacã, eistã u subºir F. F ºi G L ( ) astel îcât F ( ) F( ) ºi F ( ), F( ) G( ), (vezi [65], 57). Astel, cosiderãm u ºir de ucþii u coverget la u elemet u di k k, avem uk u k î k Putem resuue cã u Atuci etru orice, k k k hk L, astel îcât u k k L,. k L. u - a..t. e. Mai mult, eistã ucþiile, u h a..t. k k k, u a c h Di relaþia (.) rezultã k - a..t. k Alicâd rezultatul de mai sus avem, u, u - a..t. e. Di teorema de covergeþã domiatã obþiem cã N u N u î L. M. Krasoselski a demostrat ºi reciroca [74]: Teorema.5: Fie,, u saþiu cu mãsurã - iitã comletã, : R R o ucþie Carathéodor,,,, ºi N k : L L. Atuci eistã o ucþie L k etru - a..t. k k ºi oricare R avem:, a c k, a ºi u c astel îcât k k.

15 Î cazul uor restricþii de creºtere mai geerale decât cele oliomiale, rorietãþiile oeratorilor de surauere au ost ivestigate (de eemlu, î saþii Orlicz) î moograia lui Aell-Zabreko [46]. cu... Saþii Sobolev Fie u domeiu cu mãsurã iitã ºi saþiul Sobolev m, W u L D u L, m ºi m Z +,,,, i Z, de lugime ºi D u Î articular, W, L m W, u. u este saþiu Baach searabil uiorm cove releiv cu orma m, m D u d., m H este searabil cu rodusul scalar m Petru =, saþiu Hilbert W m, u, v D u D vd, oricare ar i, v W m m u. m Îchiderea saþiului C î orma lui W, m se oteazã cu W, m asemeea, dualul lui W, m, ' se oteazã cu W cu. '. De Di teorema de scuudare Sobolev rezultã cã iecþia W m, i L este comactã, cu codiþia ca m. Trecâd la saþii duale, iecþia ' i m, L W este de asemeea comactã, ude. ' Teorema.6: Fie, astel îcât care satisace iegalitatea:, b c, cu L m ºi o ucþie Carathéodor b,,, c. m, m, Atuci oeratorul de surauere N : W W geerat de este comact. Demostraþie: N : L L ' oeratorul de surauere geerat de. Atuci N Fie i N i este comact ca rodus ître u oerator comact ºi iecþii mãrgiite.

16 Observaþie: Î articular, î cazul Hilbert câd = ºi m, ri idetiicarea m m lui L cu dualul sãu, icluziuile H L H teorema aterioarã este adevãratã, ãrã codiþia automat. sut adevãrate ºi m care este îdeliitã Prooziþia.7: Fie R o mulþime deschisã, : R R R o ucþie,, z, z,, z cotiuã),, Carathéodor (. mãsurabilã;.. Dacã aroae etru toþi, z R R este adevãratã relaþia:,, z a c z, ºi oricare ude, a L ºi c, atuci,u,du L, oricare ar i u W, alicaþia u,u, Du este cotiuã de la W la L. Demostraþie: Fie oeratorul de surauere N L L, R L N u,v,u, v, ude v k L, R teorema.4 obþiem cã ºi : deiit ri v. Alicâdu-i lui N k N este u oerator cotiuu ºi mãrgiit., Pe de altã arte, di teorema de scuudare Sobolev avem cã scuudã comact î L., Alicaþia u Du de la W la, R,u,Du L ºi cã alicaþia,u, Du, W la L. W se L este cotiuã. Obþiem astel cã u este cotiuã de la Prooziþia.8: Fie R o mulþime deschisã, : R R R o ucþie Carathéodor,,. Dacã aroae etru toþi ºi oricare, z R R este adevãratã relaþia:,, z a c z, 3

17 ude a L, c, atuci -,,u,du W, u W ºi alicaþia u,u, Du este cotiuã de la, W, u W Demostraþie:, etru orice W la Alicâd rooziþia.7, obþiem cã,u,du L,, ºi alicaþia u,u, Du este cotiuã de la L. Fie ' astel îcât. ' Di iotezã se ºtie cã, ceea ce imlicã '.,' Alicâd teorema de scuudare Sobolev obþiem cã ' ' cotiuu ºi des î L. ' ' cot, ', Astel avem L L W W -,, Am obþiut cã,u,du W, etru toþi u W, u,u, Du este cotiuã de la W la W,., etru orice W la W se scuudã. ºi alicaþia Prooziþia.9: Fie R o mulþime deschisã, : R R R o ucþie Carathéodor ºi. Dacã etru aroae toþi este adevãratã relaþia:,, z a c z, ude a L,, u W cu ' ºi oricare, z R R -,' c, atuci,u,du W, etru toþi iar alicaþia,u, Du, W ' la W,. Demostraþie: Alicâd rooziþia.8 cu dorit. u este cotiuã de la ' se obþie imediat rezultatul 4

18 Petru descrierea rorietãþilor oeratorului Nemitsk s-au olosit euerile di tratatul Dekowski, Migorski ºi Paageorgiou [74] ºi moograia lui Kuer ºi Fuèik [3]..3. MONOTONIA OPERATORULUI DE SUPRAPUNERE Î vederea simliicãrii scrierii, vom cosidera, mai dearte, cã ºi,. Î acest caz, : R R este o ucþie Carathéodor cu N u, u. oeratorul Nemitsk asociat etru orice Codiþia de creºtere oliomialã devie (.), a ºi R cu c, L a, c. Di teorema lui Krasoselski, oeratorul de surauere N : L L este bie deiit mãrgiit cotiuu. Îtr-adevãr, olosid iegalitatea lui Mikowsk, obþiem: N a u d / /,u / d c u d a c u /, adicã N u a c u, oricare ar i L Petru ude ri u, v L avem u L u, v u. / N ºi deci are loc relaþia: N, u, am otat dualitatea erechii L L,. v Sub dierite ioteze de mootoie etru am obþiut rorietãþi sulimetare ale oeratorului Nemitsk, ublicate î lucrarea [9]. Prooziþia. [9]: Dacã alicaþia, este (strict) crescãtoare î raort cu al doilea argumet, atuci oeratorul N este maimal mooto. Demostraþie: Îtr-adevãr, etru orice u, v L avem d N u N v, u v, u, v u vd 5

19 ( > dacã este strict crescãtoare a..t. ) deoarece ambii actori de sub itegralã au acelaºi sem, adicã oeratorul N este mooto. Deoarece N este cotiuu rezultã cã N este maimal mooto. Prooziþia.[9]: Fie o alicaþie coercivã, adicã etru u umãr iat d ºi o ucþie g L avem relaþia: (.3), d g etru toþi ºi R. Atuci oeratorul N este coerciv ºi Demostraþie: Di iotezã avem: N u, u d gd, oricare L u. N u u, uu d d u d gd d u g d, etru orice coerciv., u L. Obþiem u N, u u etru u, adicã N este Observaþie: Î articular, dacã este ozitivã, adicã dacã,, atuci u, u, etru orice u L. ºi R N, oricare Prooziþia.[9]: Dacã este asimtotic ozitivã (adicã, eistã u umãr R astel îcât,, etru orice ºi R cu R ºi ) atuci u u N,, oricare ar i Demostraþie: u L, ude este o costatã ozitivã. Presuuem cã eistã u umãr R > astel îcât, uu N u cu u R. Fie mulþimea M u R ºi R adevãratã codiþia de creºtere,u C a c u etru orice ºi, u u d, u N u, u u M L M, uu d CaR cr d, u. Dacã atuci., etru orice R. Atuci este M d Prooziþia.3 [9]: Fie : R R o ucþie Carathéodor astel îcât, este strict crescãtoare (î raort cu al doilea argumet) ºi veriicã codiþia de creºtere (.) ºi codiþia de coercivitate (.3). Atuci oeratorul de sueroziþie 6

20 N : L L este de ti (S), ceea ce îseamã cã etru orice ºir u L u î L câd ºi lim N u, u u astel îcât u L câd. Demostraþie: u L astel îcât u u î Fie ºirul cã lim N u, u u Di mootoia lui. Vom demostra cã u u î N L etru L. rezultã cã u u î ºi resuuem. Deoarece N avem N u N u, u u câd u N u, u u, u, u u ud rezultã cã eistã u subºir u u astel îcât (.4), u, u u u, etru ºi a..t.. Aceastã relaþie este adevãratã etru toþi \, ude este o submulþime a lui cu, u \ este iitã ºi toate iotezele etru rãmâ adevãrate ºi etru \. Atuci etru orice \, avem: (.5), u, u u u c u d u u g. u u u a u u ºi astel rezultã cã ºirul gãsi u subºir al lui u (deizâd î geeral de \ ide, astel îcât u u. Vom avea:, u, u u u i.e. u u, oricare ar i \. Evidet, utem gãsi u subºir al lui u (ideedet de ), otat u k k astel îcât u u este mãrgiit. Deci, etru orice \, utem ) ºi otat cu acelaºi u k, etru orice \ (altel, ar eista u >, u elemet \ ºi u ºir de îtregi k < k < < k < astel îcât u uk, etru orice k N, ceea ce cotravie covergeþei di \ ). Petru evitarea couziilor vom scrie u î loc de sub orma: (.6) u k. Rescriem relaþia (.5), u, u u u d u g a c u u a c u u. u d u Folosid aceastã iegalitate vom arãta cã ºirul este uiorm itegrabil. 7

21 Fie C o mulþime cu mãsura micã sau comlemetara uei submulþimi di cu mãsurã iitã. Vom avea urmãtoarele iegalitãþi: (.7) La el, obþiem: C (.8) a c u C C a c u u a c u d u a c u d u a c u u d. C d C C Holder d d u d a c u u d. C Folosid relaþiile (.6), (.7) ºi (.8) obþiem cã ºirul u este uiorm itegrabil. Fiid veriicate codiþiile di teorema lui Vitali, rezultã cã u u î, ºi deci oeratorul de surauere N este de ti (S). L dacã Reamitim cã o alicaþie A : DA deiitã e u saþiu Baach real este 3-ciclic mootoã sau trimootoã dacã ºi umai dacã are loc iegalitatea: Au u u Au, u u Au, u u,, u i DA, cu i =,, 3. etru toate elemetele Echivalet, utem rescrie aceastã iegalitate sub orma: Au Au, u u Au Au u u. 3 3, Prooziþia.4 [9]: Presuuem cã : R R este o ucþie Carathéodor crescãtoare î raort cu al doilea argumet ºi satisace codiþia de creºtere (.). Atuci oeratorul de surauere : L L Demostraþie: Reamitim cã oeratorul N este 3-ciclic mooto. î raort cu al doilea argumet (rooziþia.). Fie N este mooto dacã alicaþia, r r, s, ds, r R. 3 este crescãtoare Deoarece este mootoã, aceastã ucþie este coveã î r ºi de clasã C e R a..t.. Astel, etru orice umere reale r ºi s avem:, r, s r s r, s r s, s. 8

22 Petru u ºi v di L avem u, v u v, v Deiim alicaþia h : L R ri u u,. h, d ºi dacã itegrãm iegalitatea de mai sus este obþiem: h u h v, v u v d N v, u v. Scriid aceastã iegalitate etru trei elemete u, v, w di L ºi aduâd relaþiile avem: N v, u v N w, v w N u, w u, ceea ce îseamã trimootoia sau 3-ciclic mootoia lui N..4. DIFERENÞIABILITATEA OPERATORULUI DE SUPRAPUNERE Fie : R R o ucþie Carathéodor astel îcât etru -aroae toþi ºi oricare R avem: cu L b, c (, ). (, ) b( ) c, Presuuem cã, are o derivatã arþialã ', î raort cu, care este de asemeea o ucþie Carathéodor. Atuci ', deieºte u oerator de surauere ître saþiile L. De asemeea, cosiderãm cã ', satisace codiþia de creºtere: ' m (.9), b c, etru orice R ºi a..t. b L,, m. Itegrâd relaþia (.9) î raort cu obþiem: c m (.), b a, m, ude a iid o ucþie arbitrarã. Folosid iegalitatea lui Youg rezultã: de ude: c m m m m m m m, b a c m m m m m m m, b a., 9

23 Se observã cã ucþia.4 ºi relaþia (.) rezultã cã: (.) (.) N N m b m L, cu : L L, cu m ºi ' : L L. m. Dacã alegem m m, m Cu aceste relimiarii utem studia diereþiabilitatea oeratorului Reamitim cã N este diereþiabil Fréchet î uctul ' N : L L L, L astel îcât: oeratorul N ' u v N u N uv v L coorm, de eemlu, [4], 35. L, câd v, L a L, di teorema ' N. u L dacã eistã Teorema.5: Presuuem adevãratã codiþia (.9) ºi date alicaþiile (.) ºi ' (.). Atuci N este cotiuu diereþiabil Fréchet cu N : L LL, L deiit de ' ' N u v N ' u v, u v Demostraþie: Mai îtâi arãtãm cã,u Di iegalitatea lui Hölder obþiem: ' Observãm cã ', oricare ar i u, v L. v este î L. ', uv d, u d v L Petru u iat calculãm: d ' ºi olosid (.) obþiem cã,u v L d ', u v, u, u tvdt, u tvv dt, dt de ude: N ' ' ' u v N u N u v d u tv, u v dt d,. Folosid iegalitatea lui Hölder ºi teorema lui Fubii obþiem:.

24 N Folosid (.) ºi cotiuitatea lui ' ' ' u v N u N u v d, u tv, u N ' ddt, teorema este demostratã. v L Observaþie: Î teorema.5, Presuuem acum cã Observãm cã N : L L deoarece am resuus m. ' m, adicã, b, L b. ', etru orice umãr ºi rocedâd ca mai sus ( ) obþiem N : L L, etru toþi, (avem aceeaºi situaþie ca î (.) ºi (.)). Presuuem cã, adicã eistã u umãr M astel îcât ', M, etru toþi ºi R. Itegrâd aceastã relaþie obþiem:, M a. Rezultã cã: N : L L, a L N ' L L, oricare ar i, :..5. POTENÞIALUL OPERATORULUI DE SUPRAPUNERE Fie g,s o ucþie Carathéodor etru care eistã costatele m, m, astel îcât g s c s b Deiim G r g, s.) obþiem: ºi deiim oeratorii de surauere r m,, L b, c., ds ºi rocedâd ca mai sus (î cazul relaþiilor. ºi G m m, r c r b b L N g, m : L L ºi N G : L L m Î articular, dacã m iegalitãþile de mai sus devi: g,r c r b, b L, (.3) G, r c r b, b N N g : L L G : L L L

25 Teorema.6 : Presuuem adevãrate relaþiile (.3). Atuci u G, u d deieºte o ucþioalã cotiuã L R Fréchet. Demostraþie: Cotiuitatea lui N G imlicã cotiuitatea lui. Airmãm cã ' N. g : care este cotiuu diereþiabilã Facem urmãtoarea otaþie: v G, u vd G, ud g, u Trebuie sã demostrãm cã v v L Procedâd ca î teorema.5 obþiem:, câd v î v g u tv g, u v L., dtd ºi olosid î cotiuare teorema Fubii ºi iegalitatea lui Hölder rezultã: N u tv N u v dt v. g g L L vd Dacã v atuci, di teorema de covergeþã domiatã a lui Lebesgue, L itegrala di relaþia de mai sus tide la. v Astel, dacã v. L v L

26 CAPITOLUL III METODE TOPOLOGICE Î acest caitol vom descrie structura celor mai imortate clase de alicaþii care e vor uriza cadrul teoretic etru studierea ecuaþiilor Hammerstei: alicaþii de ti (M), mãrgiit ughiulare ºi seudomootoe, iar î ultima arte vom rezeta o etesie a gradului toologic e saþii Baach reale releive searabile etru alicaþiile Hammerstei de orma T I KN ude oeratorii K ºi N sut de ti (S). 3.. OPERATORI DE TIP MONOTON Cosiderãm saþiul Baach real releiv, dualul sãu ºi ormele coresuzãtoare, resectiv. Notãm ri ºi covergeþa tare, resectiv covergeþa slabã ºi ri, u dualitatea ître saþiile ºi, adicã valoarea ucþioalei î uctul u. Fie T : D( T ) u oerator eliiar. Vom sue cã: T este mooto ºi otãm T MON dacã Tu Tv, u v, oricare u, v DT ; T este strict mooto ºi otãm T MON S dacã Tu Tv, u v, oricare u, v DT ºi u v ; : R R cu T este tare mooto dacã eistã o ucþie cotiuã ºi r etru r astel îcât Tu Tv, u v u v u v, oricare u, v DT ; T este de ti (S) ºi otãm T S dacã etru orice ºir DT cu limtu, u u rezultã cã u u; u ºi u u T este de ti (C) ºi otãm T C dacã etru orice ºir DT cu limtu, u u rezultã cã Tu Tu î T este seudomooto ºi otãm PS codiþii:, câd u ºi u u ; T dacã sut îdeliite urmãtoarele (PS) Dacã ºirul u DT este slab coverget la u DT limtu, u u, rezultã Tu u u limtu, u u u DT. ºi,, etru orice v iat, alicaþia (PS) Petru orice D T v u Tu, u v este ierior mãrgiitã e orice submulþime slab comactã di. 3

27 T este uasimooto ºi otãm T QM dacã etru orice ºir u DT cu u u avem limtu, u u Relaþia de bazã ditre oeratorii uasimootoi ºi cei de ti (S) este ilustratã î teorema Calvert-Webb [65]: îtr-u saþiu Baach local uiorm cove, u oerator demicotiuu T : D( T ) este uasimooto dacã ºi umai dacã T J S, oricare, ude J este alicaþia de dualitate. Evidet, alicaþia de dualitate oate i îlocuitã de orice oerator de ti (S), S QM S. adicã Clasele MON, S, PS ºi QM au o structurã coicã, î sesul cã oricum am cosidera o ereche de oeratori T, T ditr-o clasã, vom avea T T ºi T î aceeaºi clasã etru [45]. T este de ti (M) ºi otãm T M dacã etru orice ºir DT u u î, Tu î. ºi limtu, u, u rezultã cã u cu Tu ; T este de ti () ºi otãm T dacã etru orice ºir DT î ºi limtu, u, u rezultã cã u u ; u u î, Tu u cu Orice oerator de ti (S) este de ti (). Î lus, orice oerator local mãrgiit de ti () este de ti (S). c T orice u v U oerator liiar T este mãrgiit ughiular cu o costatã c, dacã etru orice u, v D T are loc iegalitatea: Tu, v Tv, u ctu, u Tv, v. Observãm cã o alicaþie tare mootoã este mãrgiitã ughiular cu costata, ude este costata ozitivã di deiiþia mootoiei tari, deoarece etru, avem Tu, v Tv, u T u v ctu, u Tv, v. T este simetricã, dacã Tu, v Tv, u, oricare u v DT,. Astel, orice alicaþie simetricã este mãrgiitã ughiular cu o costatã c =. Vom cosidera de asemeea alicaþii multivalete T :, ude ri am otat mulþimea submulþimilor saþiului. Uei alicaþii multivalete T îi ataºãm graul G( T ) { T, D( T )}, iar alicaþia T : este mootoã dacã ( g, ) oricare ar i erechile [, ],[, g] G( T ). Mai mult, T este maimal mooto dacã G T este mulþime maimal mootoã e,, sau echivalet cu codiþia ca 4

28 ( g, ) etru orice [, ] G( T ) sã imlice [, g] G( T ). Cel mai simlu eemlu de oerator maimal mooto este subdiereþiala :,. Petru u uei ucþii covee ierior semicotiue D subdiereþiala este o mulþime () (evetual vidã) a lui deiitã astel: () = () - () ( -, ) etru orice. Alicaþia : este mootoã deoarece etru orice ºi g avem ( ) ( ) (, ) ºi ( ) ( ) (, g), Aduâd, vom obþie (, g), oricare, D( ). Î lus, se oate arãta cã alicaþia : este mooto maimalã, [36]. U eemlu de alicaþie subdiereþiabilã este alicaþia de dualitate ormalizatã a lui : J: cu J (, ) deiitã ca subdiereþiala ucþiei covee ( ). Tu, u T este coercivã dacã lim ; u u T este slab coercivã dacã lim Tu. u. Ea oate i Teorema Mit-Browder sue cã îtr-u saþiu Baach releiv, dacã oeratorul T : este maimal mooto ºi coerciv atuci el este surectiv [5]. U caz aarte de mootoie este mootoia ciclicã: Tu u u Tu, u u Tu, u T este ciclic mooto dacã u, 3 oricare u i, i, ºi etru u u; Subdiereþiala este ciclic mootoã [43], ca ºi alicaþia de dualitate J. T este 3-ciclic mooto dacã este ciclic mooto cu =3. U eemlu de oerator 3-ciclic mooto este oeratorul Nemitsk. Aceastã rorietate a ost demostratã î rooziþia.4. Pe lâgã cotiuitatea uzualã (cotiuitatea tare), Tu Tu câd u u, vom olosi urmãtoarele variate: u D T cu u u avem T este slab cotiuu dacã etru orice ºir Tu Tu î ; T se umeºte demicotiuu dacã etru orice ºir DT avem Tu Tu î ; T este hemicotiuu dacã ucþia realã t T u tv, w,, oricare u, v, w ; T este comlet cotiuu dacã etru orice ºir DT Tu Tu î. u cu u u î este cotiuã e u cu u u avem 5

29 Meritã sã meþioãm cã, orice oerator mooto hemicotiuu este maimal mooto [5]. Orice oerator comlet cotiuu este seudomooto. Î articular, orice oerator cotiuu este seudomooto dacã este saþiu iit dimesioal []. u D T cu T este slab ierior semicotiuu dacã etru orice ºir u u avem Tu lim Tu ; T este Lischitz cotiuu e o submulþime M dacã Tu Tv L u v, etru orice u, v M cu L > iat. U oerator eliiar este mãrgiit dacã trasormã mulþimile mãrgiite î mulþimi mãrgiite. U oerator cotiuu C : este comact ºi otãm COMP C dacã trasormã orice mulþime mãrgiitã di î mulþimi relativ comacte di. Dacã este saþiu Hilbert, suma I + C, cu C comactã se umeºte de ti Lera-Schauder. Rezumâd toate rezultatele aterioare avem urmãtoarele icluziui [45]: M LS S PS QM MON MON COMP S 3.. OPERATORI PSEUDOMONOTONI Fie u saþiu Baach real ºi saþiul sãu dual. Deiiþia 3.: Fie u saþiu Baach geeral. O alicaþie umeºte seudomootoã dacã sut îdeliite urmãtoarele codiþii: (PS) Dacã ºirul limtu, u u, rezultã Tu u u lim Tu, u u T : se u este slab coverget la u ºi u.,, etru orice (PS) Petru orice v, este ierior mãrgiitã e orice submulþime slab comactã di. v iat, alicaþia u Tu u v Di teoria oeratorilor mootoi sut cuoscute urmãtoarele rezultate [9,, 5, 36, 65]: Prooziþia 3.: Îtr-u u saþiu Baach real releiv u oerator T : tare cotiuu este seudomooto. 6

30 Demostraþie: Îtr-adevãr, dacã u u î, etru atuci Tu Tu ºi Tu, u u lim Tu, u u oricare ar i u. Prooziþia 3.3: Fie u saþiu Baach real releiv iit dimesioal ºi D o mulþime deschisã. O alicaþie T : D este seudomootoã dacã ºi umai dacã este cotiuã. Demostraþie: Evidet, toate alicaþiile cotiue sut seudomootoe. Ivers, ie u u î ºi arãtãm cã Tu este mãrgiit. Altel, am utea etrage u subºir otat tot cu u astel îcât u u, Tu Tu ºi z z cu z. Tu Fie v D; di rorietatea (PS) avem: c Tu u v Îmãrþid la,. Tu ºi trecâd la limitã obþiem: z, u v, etru orice v D, de ude z = care este î cotradicþie cu z. Demostrãm î cotiuare cã Tu coverge la Tu ; altel am utea etrage u lim Tu, u u subºir otat tot cu u astel îcât u u, Tu Tu. Deci ºi Tu u limtu, u v u v,,, etru orice v D, de ude Tu =, cotradicþie cu resuuerea ãcutã. Prooziþia 3.4: Îtr-u u saþiu Baach real releiv orice oerator T : hemicotiuu mooto este seudomooto. Demostraþie: Fie u u î ºi limtu, u u. Di mootoia lui T avem Tu, u u Tu, u u Tu, u u limtu, u u. lim Fie z tu t, t,, Tu Tz, u z ºi astel. Are loc relaþia de mootoie: ºi de aici obþiem: Tu, u u Tz, u u tu ttu, u. Luâd ºi îmãrþid relaþia la t avem : Tz, u lim Tu u., Di hemicotiuitate obþiem: Tu u limtu u,., lim ºi Dar Tu, u limtu, u u limtu, u limtu, u utem rescrie ultima iegalitate astel: Tu, u limtu, u, etru orice, 7

31 adicã T este seudomooto. Prooziþia 3.5: Îtr-u u saþiu Baach real releiv suma a doi oeratori seudomootoi T, U : este de asemeea u oerator seudomooto. Demostraþie: Fie u u î ºi limtu Uu, u u. Rezultã cã lim Tu, u u ºi limuu, u u Pe de altã arte, utem resuue cã eistã u subºir otat tot cu u astel îcât lim Tu, u u a, de ude obþiem cã lim Uu, u u a. U iid oerator seudomooto avem u limuu, u u orice u. Îlocuid u cu u obþiem a, ceea ce este als. Di atul cã T ºi U sut seudomootoi avem: Tu u u lim Tu, u u,,, u u lim Uu, u u Uu ºi obþiem Tu Uu u u lim Tu Uu, u u este seudomooto.. Uu, u etru,, oricare u, adicã T + U Prooziþia 3.6: Fie u saþiu Baach real releiv, T : u oerator mooto hemicotiuu ºi U : u oerator seudomooto. Atuci suma T U este u oerator seudomooto. Demostraþie: Evidet, T iid oerator mooto hemicotiuu, di rooziþia 3.4, T este de asemeea seudomooto ºi astel, coorm rooziþiei 3.5 suma T + U este u oerator seudomooto. Prooziþia 3.7: Fie u saþiu Baach real releiv. U oerator T : demicotiuu de ti (S) este seudomooto. Demostraþie: Fie u u î ºi limtu, u u. Cum oeratorul T este de ti (S), îseamã cã u u etru. Di demicotiuitatea lui T obþiem Tu î ºi deci Tu u u limtu, u u,, oricare u. Deiiþia 3.8: Alicaþia T : satisace codiþia () dacã mãrgiirea ºirurilor u ºi Tu, u imlicã atul cã ºirul Tu este de asemeea mãrgiit. Tu Prooziþia 3.9: Orice alicaþie satisace de asemeea codiþia (). Demostraþie: T : care veriicã codiþia (PS) 8

32 Îtr-adevãr, cosiderãm ºirul mãrgiit u astel îcât ºirul Tu, u r ºi k astel îcât u B, r ºi Tu, u k N. sã ie mãrgiit, adicã eistã, Presuuem acum cã T satisace codiþia (PS). Atuci iecãrui C v B astel îcât: coresude u Tu, u v Cv B sau Tu, v k Cv B. La el, eistã u C v B astel îcât: Tu, u v C B sau Tu v k C B v îi v, v. Cele douã iegalitãþi imlicã atul cã iecãrui v îi coresude u M v > astel Tu, v M. Atuci, coorm riciiului mãrgiirii uiorme, eistã u îcât v m astel îcât Tu m, etru orice N, adicã codiþia () este adevãratã. Eemle de alicaþii seudomootoe ) Alicaþiile hemicotiue mootoe ºi, mai geeral, alicaþiile semimootoe [36]. Alicaþia P : este semimootoã dacã Pu = T(u, u), ude alicaþia T : are urmãtoarele rorietãþi: a. Petru u iat, alicaþia T u, : este hemicotiuã ºi T u, u T u, v, u v, etru orice v. b. Petru v iat, T, v : este hemicotiuu mãrgiit. c. Dacã u u î ºi T u, u T u, u, u u T u, v T u, v î, oricare v. d. Dacã u u î ºi T u, v î atuci T u, v, u, u atuci. ) Alicaþiile de orma Tu = S(u, u) + Cu, ude S este semimootoã ºi C comactã cu ioteza sulimetarã etru orice ºir u care sue cã dacã u u ºi Su, u Su, u, u u atuci Cu Cu [9] OPERATORI DE TIP (M) Clasa oeratorilor de ti (M) etide clasa oeratorilor seudomootoi ºi are u rol imortat î stabilirea eisteþei soluþiilor ecuaþiilor Hammerstei. Fie u saþiu Baach real ºi saþiul sãu dual. Presuuem cã este releiv. Deiiþia 3.: Oeratorul T : se umeºte de ti (M) dacã îdelieºte urmãtoarele codiþii: (m ) etru orice ºir u astel îcât u u î, Tu î ºi limtu, u, u, sã rezulte Tu =. 9

33 (m ) T este cotiuã de la subsaþiile iit dimesioale ale lui la toologia slabã a dualului. Î cazul alicaþiilor multivalete aceastã deiiþie este rescrisã astel: Deiiþia 3.: O alicaþie eliiarã multivaletã T : se umeºte de ti (M) dacã sut îdeliite urmãtoarele codiþii: (M ) Mulþimea Tu este evidã, mãrgiitã, coveã ºi îchisã, etru orice u. u G T u, î (M ) Petru orice ºir, astel îcât u, ºi lim, u u, sã rezulte u, GT. (M 3 ) T este cotiuã de la subsaþiile iit dimesioale ale lui la toologia slabã a dualului. Observaþie: Codiþia (M ) imlicã imlicit cã DT. Î acest momet utem amiti câteva rorietãþi ale oeratorilor de ti (M) ([9, 5, 36]). Prooziþia 3.: Orice oerator T : seudomooto este de ti (M). lim Demostraþie: Fie ºirul Tu, u, u u, cu u u î, Tu î etru ºi. Atuci limtu, u u Di seudomootoia lui T avem Tu, u u lim Tu, u u etru orice u. Rezultã cã: Tu, u u, u, u u u etru orice u,. ºi deci Tu Se ºtie cã u oerator seudomooto este cotiuu, rezultâd astel codiþia (m ) ºi atul cã oeratorul T este de ti (M). Prooziþia 3.3 (Brezis): Suma a doi oeratori de ti (M) u este eaãrat de ti (M). Demostraþie: Fie saþiul Hilbert H cu baza ortoormalã e, I oeratorul idetitate î saþiul H ºi P roiecþia e sera uitate. Evidet, oeratorul I este de ti (M), iar oeratorul P este cotiuu mooto cu DP H. Aºadar, trebuie sã demostrãm cã oeratorul S = P I u este de ti (M). Petru u elemet = e + e avem S. Astel e ºi S e î H. k Evidet, etru k e k cu k, k rezultã cã. 3

34 Petru, e, k e, ek e, obþiem e,.. k, Pe de altã arte, lims, ºi Se =. Deoarece e, codiþia (m ) u are loc. Rezultã deci cã oeratorul S u este de ti (M). Avem totuºi urmãtorul rezultat: Prooziþia 3.4 (Brezis): Fie A u oerator mooto cotiuu ºi T o alicaþie de ti (M). Atuci suma S = A + T este de ti (M). Demostraþie: lim Su, u, u. Di Fie u u î, Su î etru ºi cotiuitatea lui A avem Au Au ºi Tu Au. Oeratorul A iid mooto avem Au Au u u Tu u Tu, u Su Au, u, ºi deci, u. Obþiem astel cã lim Tu, u Au u Su.,. Rezultã cã Tu Au ºi Reamitim cã u oerator C : este comact dacã este cotiuu ºi duce mulþimile mãrgiite di î mulþimi relativ comacte di. Cu Observaþie [36]: U oerator comact u e eaãrat de ti (M). Îtr-adevãr, î saþiul Hilbert l cosiderãm oeratorul comact u,,,... u u u,..., cu (simbolul lui Kroecker).. Fie, Petru orice N avem Cu,,,. Evidet u, Cu,,, l ºi limcu, u,,, C. u î. Alicaþia C u este de ti (M), deoarece Deoarece alicaþia zero este de ti (M), di eemlul de mai sus, observãm cã suma ditre o alicaþie de ti (M) ºi ua comactã u este eaãrat de ti (M). Orice oerator demicotiuu de ti (S) este de asemeea de ti (M). Reciroca u este adevãratã, deoarece oeratorul -I îtr-u saþiu Hilbert este de ti (M), dar u veriicã codiþia (S). Prooziþia 3.5: Fie T : u oerator demicotiuu de ti (S) ºi C : o alicaþie comactã. Atuci suma T + C este de ti (M). Demostraþie: T C u î ºi lim u Fie u, cu u u î, T Cu, u, u. Deoarece C este u oerator comact, îseamã cã eistã g ºi u subºir, otat de asemeea cu u astel îcât g Cu î. Di 3

35 atul cã T S rezultã cã u u î ºi olosid demicotiuitatea lui T obþiem Cu ºi T Cu. Evidet, T C Tu Tu. Dar C este cotiuu, deci Cu este demicotiuã ºi astel este de ti (M). Corolar 3.6: Îtr-u saþiu Hilbert, erturbaþiile comacte ale idetitãþii sut de ti (M). Demostraþie: Fie C : H H o alicaþie comactã e saþiul Hilbert H. Dorim ca suma I C sã ie de ti (M). Este suiciet sã arãtãm cã I S. Dacã u u î H ºi limu, u u semicotiuitatea ormei avem: Deoarece u lim u lim u, atuci di slab ierior u u ºi H este local uiorm cove obþiem cã u u î H. Reamitim cã o alicaþie este slab ierior semicotiuã dacã etru orice ºir u cu u u avem u u lim. Prooziþia 3.7: Fie u saþiu Baach, T : u oerator de ti (M) ºi P : u oerator slab cotiuu. Presuuem cã ucþia u Pu, u este slab ierior semicotiuã. Atuci suma T + P : este de ti (M). Demostraþie: P u lim T P u, u g, u. Fie u, cu u u î, T g ºi u. Deoarece P este slab cotiuã rezultã cã Pu Pu ºi deci Tu g - Pu. lim Tu, u lim T P u, u Pu, u lim T Pu, u limpu, u g Pu, u. Di atul cã T este de ti (M) obþiem cã Tu = g - Pu ºi, î coseciþã, T C u. Astel T + P este de ti (M). g Prooziþia 3.8: Dacã T : este u oerator mooto ºi slab cotiuu, atuci ucþioala : R, deiitã ri u Tu, u etru orice u, este slab ierior semicotiuã. Demostraþie: Fie u cu u u. Di mootoia lui T avem Tu Tu, u u, sau echivalet, Tu, u u Tu, u u. Deci limtu, u u limtu, u u Dar limtu, u u limtu, u Tu, u lim u u, adicã este slab ierior semicotiuã., de ude obþiem cã. 3

36 Prooziþia 3.9: Dacã T : este u oerator comlet cotiuu atuci u Tu, u este slab ierior semicotiuã. ucþioala : R deiitã ri Corolar 3.: Fie T : u oerator de ti (M), P : o alicaþie slab cotiuã ºi mootoã ºi L : u oerator comlet cotiuu. Atuci suma T + P + L este de ti (M). Putem stabili urmãtorul rezultat de eisteþã [7]: Prooziþia 3.: Fie u saþiu Baach releiv ºi T : o alicaþie de ti (M) care satisace codiþia () (vezi deiiþia 3.8). Presuuem îdeliitã urmãtoarea codiþie de coercivitate î raort cu origiea: eistã u r > astel îcât Tu, u etru u B, r. Atuci eistã u B, r astel îcât Tu. Demostraþie: Fie F amilia tuturor subsaþiilor iit dimesioale ale lui ordoate arþial de icluziue. Petru iecare F F cosiderãm : F alicaþia icluziue, : F J F roiecþia dualã ºi TF J FTJ F : F F alicaþia cotiuã. Deoarece, etru orice u B F, T F u, u Tu, u îseamã cã eistã u u F B F astel îcât T. F u F Petru iecare F F cosiderãm AF u F TFu, u r ~ ºi V weak cl (acoerirea slabã). V F A F FF, F ' F ' F V F J F /, V ~ este slab comactã ºi amilia V ~ F / F F Atuci, oricare F F, F are rorietatea itersecþiei iite. Deci V ~ F ºi eistã u B, r astel îcât F F ~ u V F, oricare F F. Î cotiuare vom arãta cã Tu. F u Dacã Tu atuci eistã u uct astel îcât Tu, ( ) Fie F F care coþie uctele u ºi. Deoarece u ~ V F, eistã F F, u î V F astel îcât u u î. Fiecare uct u F, ude dim F ºi u T u, u Tu, u, etru orice N, codiþia () imlicã mãrgiirea lui Tu. Avâd î vedere acest lucru ºi releivitatea lui, utem resuue cã Tu g, g. Deoarece u u F Tu, u u T u u u, deci T. Deoarece u u î ºi,, etru orice N, Tu, u lim Tu, u lim Tu, u g, u lim Deci u u î, Tu g î ºi limtu, u g, u o,.. 33

37 Aºadar, olosid atul cã T este de ti (M), avem Tu = g. Dar, oricare N ºi deci, g, lim Tu î cotradicþie cu relaþia ( ). Obþiem astel cã Tu. Tu,. Deoarece Tu = g avem Tu,, Mai mult, avem: Prooziþia 3.: Fie u saþiu Baach releiv cu dim ºi T : o alicaþie de ti (M) care satisace codiþia (). Presuuem cã eistã u r > astel îcât etru orice u, cu u r, avem Tu, u. Atuci eistã u astel îcât Tu. Demostraþie: Fie F ' amilia tuturor subsaþiilor iit-dimesioale ale lui cu dimesiuea mai mare ca l. Folosid aceleaºi otaþii ca î rooziþia 3., dacã arãtãm cã T F u are o soluþie î B,r F oricare F F ', atuci demostraþia rooziþiei 3. va i suicietã. Fie F F '. Atuci T F : F F este cotiuu ºi, deci, ucþioala : F R, Fu T F u, u este cotiuã. Mulþimea F B, r este coeã, T F F B, r coeã ºi di atul cã T F F B, r obþiem cã T F u, u sau u, u oricare u F, u r. Î rimul caz, T F u are soluþie î B, r caz cosiderãm astel îcât u, u TF T F u are soluþie. Deci T F u are soluþie. este T F,, iar î al doilea T F oricare u F, u r ºi astel 3.4. OPERATORI MÃRGINIÞI UNGHIULAR Petru studierea solvabilitãþii ecuaþiilor Hammerstei, cel mai semiicativ cocet itrodus a ost acela de oerator mãrgiit ughiular, ca o subclasã a alicaþiilor mootoe [7, 36, 48, 6, 68, 79]. Oeratorii mãrgiiþi ughiular au ost itroduºi de H. Ama [] ºi utilizaþi î studiul ecuaþiilor Hammerstei, î secial de F.E. Browder C.P. Guta [] ºi F.E. Browder [4]. Meþioãm abordãrile detaliate ale ecuaþiilor Hammerstei î moograiile [36], [4] ºi [48]. Vom cosidera saþiul Baach real ºi dualul sãu. Deiiþia 3.3: O alicaþie liiarã mootoã K : DK se umeºte mãrgiitã ughiular cu o costatã c, dacã etru orice ºi are loc relaþia: (3.) K, K, ck, K,. Petru simlitate vom cosidera î cotiuare cã DK. 34

38 Observaþie: Reamitim cã o alicaþie liiarã mãrgiitã K : se K, K,, oricare,. Astel, orice alicaþie umeºte simetricã, dacã simetricã K : este mãrgiitã ughiular cu o costatã c =. Observaþie: Alicaþia liiarã K : se umeºte tare mootoã (sau tare acretivã sau ozitiv deiitã) dacã eistã o costatã m > astel îcât K, m, etru orice. O alicaþie tare mootoã este mãrgiitã ughiular cu costata c K m, deoarece: K, K, K ck, K,, oricare,. Cocetul de mãrgiire ughiularã oate i etis ºi la oeratori eliiari [48]. Vom lega mãrgiirea ughiularã de mootoia ciclicã. U oerator este ciclic mooto dacã: T, T, T : D T T., 3 oricare i D( T ), i=,,,, ºi etru toþi N ude am cosiderat. Petru roblema se reduce la mootoia uzualã. U eemlu tiic de alicaþie multivaletã ciclic mootoã este subdiereþiala uei ucþii rorii covee semicotiue ([36],. 4). Sutem iteresaþi î articular de cazul î care u oerator eliiar este 3-ciclic mooto, adicã, T T, z T Tz, z,, z DT T : D T,. Î acest ses, reamitim cã oeratorul Nemitsk este 3-ciclic mooto (rooziþia.4), adicã: N N z, z N, z,, oricare ar i,, z. Aceastã iegalitate oate i rescrisã îtr-o ormã mai coveabilã astel: N N z z N N,,, etru orice,, z sau, mai geeral, eistã o costatã C astel ca N N z z CN N,,, oricare,, z. Avem urmãtoarea echivaleþã: Teorema 3.4: Fie K : u oerator liiar mooto e saþiul Baach real. Urmãtoarele trei airmaþii sut echivalete: (a) K este 3-C-mooto, adicã eistã o costatã C astel îcât (3.) K K, z CK Kz, z, oricare ar i,, z ; (b) K satisace iegalitatea discrimiatului: (3.3) Kv, w 4CKv, vkw, w, oricare ar i v, w ; (c) K este mãrgiit ughiular, adicã eistã o costatã c astel îcât (3.4) K, K, 4c K, K,, etru orice,. 35

39 Demostraþie: Îlocuid î relaþia (3.) v = z ºi w = z, di liiaritatea lui K, obþiem Kv, w Kw, w CKv, v, etru orice v, w. Îlocuid î cotiuare v cu tv, obþiem iegalitatea: Kv, v t Kv, wt Kw, w C, oricare v, w, care este echivaletã cu eegativitatea discrimiatului ei, adicã (b)(c). Petru a stabili cealaltã echivaleþã itroducem, K, K,, oricare ar i,. Deoarece K este mooto, avem [, ] etru toþi ºi di iegalitatea Schwarz geeralizatã obþiem: (3.5) [, ] [, ] [, ], etru toþi,. Pe de altã arte, avem (3.6) K,,,, etru toþi,. Mai mult, iegalitatea (3.4), umitã mãrgiirea ughiularã a lui K, oate i scrisã sub orma: (3.7), c,,, oricare,. Di relaþia (3.6) ºi iegalitatea ( A B) A B etru umerele reale A,B, obþiem: K, c,,, oricare,, adicã relaþia (3.3) care este echivaletã cu 3-C-mootoia lui K, aºa cum am demostrat aterior. Aºadar, (c) (a)., K,, atuci obþiem Î ial, dacã K este 3-C-mooto ºi [, ] (4C )[, ] [, ], etru toþi,, adicã relaþia (3.4). Astel (a) (c), ºi echivaleþele euþate mai sus sut demostrate. Avem astel urmãtoarea etidere a mãrgiirii ughiulare la alicaþii eliiare: Deiiþia 3.5: O alicaþie eliiarã T : se umeºte mãrgiitã ughiular cu costata C >, dacã T Tz, z C T T,, etru toþi,, z. Dacã = z atuci u oerator mãrgiit ughiular K este mooto. Prooziþia 3.6 [36]: Alicaþiile mãrgiite ughiular au urmãtoarele rorietãþi: (P): Fie K : u oerator mãrgiit ughiular hemicotiuu. Fie, astel îcât K K,, atuci K = K. (P): Fie K : u oerator mãrgiit. Dacã oeratorul K este mãrgiit ughiular cu costata c, atuci etru orice r, eistã o costatã r K c K K, r, etru orice. r astel îcât Demostraþie: Folosid deiiþia 3.5, avem Kz, z K etru orice z. 36