1. Kolokvij - DODATAK

Transcription

1 . Kolokvj - DODATAK

2 FAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU U OPATIJI EKONOMETRIJA 6. TEMATSKA JEDINICA Opaja, 3.

3 ŠESTA TEMATSKA JEDINICA VIŠESTRUKI LINEARNI REGRESIJSKI MODEL: OCJENJIVANJE PARAMETARA I TESTIRANJE HIPOTEZA UVOD. LINEARNI REGRESIJSKI MODEL S TRI VARIJABLE. PRETPOSTAVKE VIŠESTRUKOG LINEARNOG REGRESIJSKOG MODELA 3. PROCJENA PARAMETARA 3.. OLS OCJENJIVAČI 3.. VARIJANCA I STANDARDNA POGREŠKA OLS OCJENJIVAČA 4. KOEFICIJENT VIŠESTRUKE DETERMINACIJE R 5. TESTIRANJE HIPOTEZA U MODELU VIŠESTRUKE LINEARNE REGRESIJE ZADACI ZA VJEŽBU RJEŠENJA ODABRANIH ZADATAKA LITERATURA UVOD U prehodnm predavanjma razmaran je lnearn regresjsk model s dvje varjable, sasavljen od jedne nezavsne jedne zavsne varjable. Takav se model sada prošruje pa se razmara mogućnos da vše nezavsnh varjabl uječu na zavsnu varjablu. Regresjsk model s vše od jedne nezavsne varjable pozna je kao všesruk regresjsk model. Všesruk upravo zbog všesrukh ujecaja (eksplanaornh varjabl) koje djeluju na zavsnu varjablu. Dskusja o všesrukom regresjskom modelu sasoja će se u pronalaženju odgovora na sljedećh nekolko panja:. Kako se procjenjuje všesruk regresjsk mode? Da l je posupak procjene drugačj od posupka procjene regresjskog modela s dvje varjable?. Da l se posupak esranja hpoeza razlkuje od onog u modelu s dvje varjable? 3. Posoj l neka specfčna oblježja všesruke regresje koja se ne susreću u modelu s dvje varjable? Za dob odgovore na ova dodana panja razmor ćemo najjednosavnj všesruk regresjsk model: model s r varjable u kojem se ponašanje zavsne varjable Y analzra u odnosu na dvje nezavsne varjable X X.. LINEARNI REGRESIJSKI MODEL S TRI VARIJABLE Regresjska funkcja populacje za model s r varjable u nesohasčkom oblku pše se E(Y ) X X () 3 3 e u sohasčkom oblku

4 Y Y X E(Y ) u X 3 3 u () gdje je Y = zavsna varjabla X X 3 = nezavsne varjable u = slučajno odsupanje = -o opažanje (u slučaju podaaka vremenskog presjeka uporebljava se ndeks ) = konsann član, odnosno odsječak na ordna, a predsavlja prosječnu vrjednos Y kada su X X 3 jednak nul. 3 = parcjaln regresjsk koefcjen Izraz () daje uvjenu prosječnu vrjednos Y, uvjenu za dane l fksrane vrjednos varjabl X X 3. Soga je, kao u modelu s dvje varjable, všesruka regresjska analza uvjena regresjska analza, uvjena za dane vrjednos nezavsnh varjable. Dobje se ako prosječna l srednja vrjednos Y za fksrane vrjednos varjabl X. Sohasčk oblk, zraz () vrd da se svaka pojednačna vrjednos Y može prkaza kao zbroj dvju komponen:. susavne l deermnsčke komponene ( + X + 3 X 3 ), koja predsavlja srednju vrjednos E(Y ), e. u, koja predsavlja nesusavnu l sohasčnu komponenu, određenu čmbencma drugačjma od X X 3. Značenje parcjalnh regresjskh koefcjenaa Regresjsk koefcjen 3 pozna su kao parcjaln regresjsk koefcjen l parcjaln koefcjen smjera. mjer promjenu u srednjoj vrjednos Y, E(Y), za jedncu promjene u varjabl X, kada je vrjednos varjable X 3 konsanna. Analogno, 3 mjer promjenu u srednjoj vrjednos Y za jedncu promjene u X 3, kada je vrjednos X konsanna. Ovo je specfčna značajka všesruke regresje. U regresjskom modelu s r varjable mora se uvrd koj do promjene u srednjoj vrjednos Y, može b prpsan varjabl X, a koj varjabl X 3. PRIMJER Preposavmo da mamo sljedeću regresjsku funkcju populacje: E(Y ) 5,X,8 X (3) Preposavmo da je vrjednos varjable X 3 fksrana na konsannoj vrjednos od. Uvršavanjem dane vrjednos u zraz 3 dobje se 3 E(Y ) 5,X E(Y ) (5 8 ),X E(Y ) 3,X,8( ) (4)

5 3 Koefcjen nagba = -, označava da srednja vrjednos Y opada za, za svaku jednčnu promjenu varjable X, kada je X 3 konsanna. Ovakav koefcjen nagba nazva se parcjaln regresjsk koefcjen. Analogno, ako je vrjednos X konsanna na vrjednos od 5 dobje se E(Y ) 5,( 5 ),8X E(Y ) 9,8X 3 3 (5) Koefcjen nagba 3 =,8 označava da srednja vrjednos Y rase za,8 za svaku jednčnu promjenu varjable X 3, kada je X konsana. I ovaj je regresjsk koefcjen parcjaln regresjsk koefcjen. Parcjaln regresjsk koefcjen odražava (parcjaln) ujecaj jedne od nezavsnh varjabl na srednju vrjednos zavsne varjable, kada su vrjednos osalh nezavsnh varjabl uključenh u model održavane konsannma. Ovakvo specfčno oblježje všesruke regresje, omogućava, ne samo uključvanje većeg broja nezavsnh varjabl u model, već «zolranje» ujecaja svake pojedne varjable X na varjablu Y od osalh X varjabl uključenh u model.. PRETPOSTAVKE VIŠESTRUKOG LINEARNOG REGRESIJSKOG MODELA Kao u slučaju jednosavnog lnearnog regresjskog modela, regresjska analza všesrukog modela započnje procjenom parameara. U svrhu dobvanja ocjena parameara djeluje se u okvrma klasčnog lnearnog regresjskog modela (CLRM) uvedenog u prjašnjm predavanjma e se, za ocjenu regresjskh parameara, uporebljava meoda najmanjh kvadraa (OLS meoda). Za model z zraza () preposavlja se: P Regresjsk model je lnearan u paramerma e je korekno specfcran. P Objasndbene varjable X X 3 nsu korelrane sa slučajnm odsupanjma u, j. kovarjanca zmeđu svake objasndbene varjable slučajne varjable u jednaka je nul. Ukolko su X X 3 nesohasčne ova je preposavka auomask spunjena. P3 Očekvana vrjednos odsupanja jednaka je nul: E(u )=. P4 Homoskedasčnos: varjanca slučajne varjable u konsana je jednaka. P5 Odsunos auokorelacje: vrjednos slučajne varjable u međusobno su nekorelrane slučajne velčne, j. njhova je kovarjanca jednaka nul: cov(u,u j )=, j.

6 4 P6 Odsunos mulkolnearnos: ne posoj egzakna lnearna kombnacja nezavsnh varjabl, j. ne posoj ovsnos oblka. P7 Slučajna odsupanja su normalno dsrburana s maemačkm očekvanjem jednakm nula homoskedasčnom varjancom : u N(, ) Navedene preposavke, osm preposavke P6, se su kao za model s dvje varjable. 3. OCJENA PARAMETARA VIŠESTRUKE REGRESIJE Za procjenu parameara z zraza () kors se meoda najmanjh kvadraa. 3.. OLS OCJENJIVAČI Za defnranje OLS ocjenjvača porebno je napsa regresjsku funkcju uzorka koja odgovara regresjskoj funkcj populacje z zraza (), kako sljed: Y ˆ ˆ ˆ X 3 e (6) gdje e predsavlja rezdual, a ˆ ocjenjvače populacjskh koefcjenaa. s Prema načelu meode najmanjh kvadraa vrjednos nepoznah parameara odabrane su na načn da je suma kvadraa rezduala šo je moguće manja: ( RSS ) e mn. Algebarskm zračunma dobju se zraz za OLS ocjenjvače parameara: 3 mym m m 33 my3m m m m m m m m y3 3 3 m y 3 3 (7) gdje je m m ˆ Y yk jk ( X j X X j (Y Y )( X k 3 )( X X X k 3 k ) X k ) (8) PRIMJER Preposavmo da moramo ocjen vezu zmeđu cjene određenog ursčkog aranžmana (X 3 ), roškova oglašavanja za da ursčk aranžman (X ) e broj prodanh ursčkh aranžmana (Y) u uzasopnh dana: Y ˆ ˆ X ˆ X. 3 3

7 5 Podac su dan u ablc. Tablca. broj prodanh aranžmana cjena aranžmana roškov oglašavanja 55 5, , , 7 7, 9 7 6, , ,6 65 7, , , , ,5 Sljed ablca međurezulaa za zračun ocjenjenh parameara. ( X X Y X X3 ( Y Y ) ) y Tablca. m ( X 3 X 3 ) m m 33 y3 m 3 m m yy 55 5, ,, , ,4, , - -,5, ,,3, ,3 - -,4, ,35 5,65,4 3, ,6 - -,, ,5-5 -5,45, 4,5 -, , ,8, , ,, , ,45, 3,5-6, , ,, Σ -355,45 4,8 5, Rezula osnovnh zračuna su sljedeć: Y m =5 m y =-355 m 33 =4,8 m y3 =5,5 X 7 X 3 6 7, m 3 =-54 m yy =63 k=3 (dvje objasndbene jedna zavsna varjabla) Iz zraza (7) računaju se vrjednos parameara. mym m m 355 4,8 5,5 5 4,8 54, m m m y

8 6 3 my3m m m 5, ,8,3 33 m m m y ˆ X 3 X 3 Y 5,9,3 7,3 6 7, Prema ome, ocjenjena jednadžba regresje glas: Ŷ 5,9,3X,3 X To znač da ocjenjujemo da b se smanjenje cjene ursčkog aranžmana od jedne novčane jednce, uz nepromjenjene roškove oglašavanja, odrazlo na povećanje broja prodanh aranžmana za,3, dok b poras roškova oglašavanja za jednu novčanu jedncu, uz nepromjenjene cjene, prouzrokovao povećanje prodaje za,3 ursčkh aranžmana VARIJANCA I STANDARDNA POGREŠKA OLS OCJENJIVAČA Nakon određvanja OLS ocjenjvača konsannog člana parcjalnh regresjskh koefcjenaa, mogu se zračuna njhove varjance sandardne pogreške. Varjance sandardne pogreške daju uvd o varjablnos ocjenjvača od uzorka do uzorka. Kao u slučaju lnearnog regresjskog modela s dvje varjable sandardne pogreške porebne su za: () određvanje nervala povjerenja za svarne vrjednos parameara e za () esranje hpoeza. Izraz za određvanje varjance sandardne pogreške konsannog člana parcjalnh regresjskh koefcjenaa su: var( ˆ ) n X X 3 X 3 X X X x x 3 (9) x x3 x x 3 3 var( ˆ ) se( ˆ ) var( ˆ ) () x 3 () x x3 x x3 se( ˆ ) var ˆ ()

9 7 var( ˆ ) 3 x x3 x (3) x x 3 se( ˆ ) var( ˆ 3 3 ) (4) Napomena u zrazma (9) do () mala slova označavaju devjacju srednjh vrjednos uzorka pa je x ( X X ). U zrazma (9) () je homoskedasčna varjanca slučajnog odsupanja u. OLS ove nepoznae varjance je e ˆ (5) n 3 Drug korjen ocjenjene varjance z zraza (5) daje sandardnu grešku ocjene: ˆ ˆ (6) Izraz (6) daje vrjednos sandardne pogreške regresje, koja predsavlja sandardnu devjacju vrjednos Y oko procjenjenog regresjskog pravca. 4. KOEFICIJENT VIŠESTRUKE DETERMINACIJE R U jednosavnom lnearnom regresjskom modelu s dvje varjable koefcjen deermnacje predsavlja mjeru prlagođenos regresjskog pravca uzorka, odnosno predočuje proporcju ukupnh varjacja u zavsnoj varjabl Y koje su objašnjene nezavsnom varjablom. U slučaju lnearne regresje s r varjable, želmo zna kolk je udo varjacja u zavsnoj varjabl posljedca objašnjenh varjacja zbog nezavsnh varjabl X X 3. Taj je pokazaelj dan koefcjenom všesruke deermnacje, R (l r ). Kao u slučaju modela s dvje varjable, vrjed jednakos: gdje je TSS=ESS+RSS (7) TSS = ESS = RSS = ukupan zbroj kvadraa zavsne varjable objašnjen zbroj kvadraa (objašnjen od svj nezavsnh varjabl) rezdualn zbroj kvadraa Koefcjen všesruke deermnacje dan je zrazom: ESS R (8) TSS

10 8 Tako defnran koefcjen deermnacje je omjer zbroja kvadraa proumačenoga modelom ukupnog zbroja kvadraa, e predsavlja opć pokazaelj kvalee modela Napomnje se da je drug korjen koefcjena všesruke deermnacje, koefcjen všesruke korelacje, r. Korgran koefcjen deermnacje R Osnovn problem koefcjena deermnacje jes da dodavanjem novh objasndbenh varjabl u funkcju, R rase, čak onda kada nova objasndbena varjabla nša ne znač za model. Taj se nedosaak rješava korgranm koefcjenom deermnacje. Korgran koefcjen deermnacje dan je zrazom: R n ( R ) (9) n K Korgran koefcjen deermnacje jednak je koefcjenu mulple deermnacje l je manj od njega. Pr računanju korgranog koefcjena deermnacje uzma se u obzr broj supnjeva slobode, koj za fksno n zavs o broju nezavsnh varjabl u modelu. Uvođenjem varjable koja je nerelevanna za model, smanjuje se vrjednos korgranog koefcjena deermnacje, pa ona može posa čak negavna, naročo ako se u funkcju uvod vše nerelevannh varjabl, a R ma malu vrjednos. PRIMJER: AUKCIJSKE CIJENE ANTIKNIH SATOVA Poznaa njemačka vrka održava godšnju aukcju anknh saova. Podac za 3 ankna saa (saros saa, broj ponuđača e cjena saa) dan su u sljedećoj ablc. Tablca 3: Aukcjsk podac o cjenama, saros saova broju ponuđača broj opažanja cjena saros u godnama broj ponuđača broj opažanja cjena saros u godnama broj ponuđača

11 9 Neka je zavsna varjabla Y aukcjska cjena, X = saros saa, X 3 = broj ponuđača. A pror se očekuje pozvna veza zmeđu Y dvje nezavsne varjable. U prmjeru je preposavljeno da cjena pobjednčke ponude zavs o saros saa šo je sa sarj o je vša aukcjska cjena, ceers parbus ako da se očekuje pozvan odnos dvje varjable. Analogno, šo je već broj ponuđača o je cjena saa vša, jer već broja ponuđača za određen sa, sugerra da je dan sa vrjednj, šo rezulra pozvnm odnosom zmeđu dvju varjabl. Iz podaaka z ablce 3 dobven su sljedeć rezula regresjske analze uporebom EXCEL programske popore. Regresson Descrpve Sascs Mean Sd. Devaon N cjena 38,9 393,649 3 saros 44,94 7,395 3 ponuđač 9,53,84 3 Correlaons cjena saros ponuđač cjena,,73,394 Pearson Correlaon Sg. (-aled) N saros,73, -,54 ponuđač,394 -,54, cjena.,,3 saros,.,8 ponuđač,3,8. cjena saros ponuđač Varables Enered/Removed(b) Model Varables Enered Varables Removed Mehod ponuđač, saros(a). Ener a All requesed varables enered. b Dependen Varable: cjena Model Summary(b) Model R R Square Adjused R Square Sd. Error of he Esmae,944(a),89,883 34,68 a Predcors: (Consan), ponuđač, saros b Dependen Varable: cjena

12 Coeffcens(a) Model Unsandardzed Coeffcens B Sd. Error Sandardzed Coeffcens Bea Sg. 95% Confdence Inerval for B Lower Bound Upper Bound (Consan) -336,49 75,7-7,63, -694,5-977,577 saros,74,9,887 3,965,,875 4,67 ponuđač 85,764 8,8,69 9,744, 67,76 3,766 a Dependen Varable: cjena Resduals Sascs(a) Mnmum Maxmum Mean Sd. Devaon N Predced Value 554,6 3,68 38,9 37,496 3 Resdual -8,599,54, 3,94 3 Sd. Predced Value -,8,89,, 3 Sd. Resdual -,55,579,,967 3 a Dependen Varable: cjena Saže rezula regresjske analze dan su sljedećm zrazom: Ŷ 336,49, 74X 85, 764X se (75,7) (,9) (8,8) (-7,66) (3,9653) (9,7437) R,89 F 8,58 3 () Aukcjska cjena pozvno je korelrana s obje nezavsne varjable, cjenom saa brojem ponuđača. Inerpreacja koefcjena smjera od,74 znač da, održavajuć osale varjable konsannma, ako se saros saa povećava za jednu godnu, prosječna aukcjska cjena rase za,74 boda. Analogno, održavajuć osale varjable konsannma, ako se broj ponuđača poveća za jedan, aukcjska cjena saa rase za 85,764 boda. Negavna vrjednos konsannog člana nema ekonomskog značenja. Vrjednos R od,89 znač da dvje nezavsne varjable procjenjuju oko 89% varjacja u aukcjskoj cjen. Značenje F vrjednos b će objašnjeno dalje u eksu. 5. TESTIRANJE HIPOTEZA U MODELU VIŠESTRUKE LINEARNE REGRESIJE Iako koefcjen všesruke deermnacje mjer prlagođenos ocjenjenog regresjskog modela, ne pokazuje da l su ocjenjen parcjaln regresjsk koefcjen sasčk značajn, odnosno sasčk razlč od nule. Prv korak u sasčkoj analz modela všesruke lnearne regresje sasoj se u procjen parameara. Na posupak procjene parameara nadovezuje se posupak esranja hpoeza. Posoj vše esova, a najčešće se korse sljedeć esov: () Tes značajnos regresje, odnosno svh parameara u modelu, l šo je so es značajnos prsunos svh regresorskh varjabl u modelu skupn es.

13 () Tes o značajnos jednog paramera (jedne regresorske varjable u modelu) pojednačn es. (3) Tes značajnos podskupa parameara (es značajnos prsunos podskupa regresorskh varjabl u modelu) parcjaln es. Tes o značajnos jednog paramera pojednačn es Za posupak esranja porebno je odred samplng dsrbucju za ˆ kao ocjenjvača od. U slučaju modela s dvje varjable dokazano je kako su OLS ocjenjvač ˆ ˆ normalno dsrburan pod preposavkom da slučajno odsupanje u sljed normalnu dsrbucju. U poglavlju o preposavkama všesrukog lnearnog regresjskog modela u preposavc P7, akođer se preposavlja da slučajno odsupanje u sljed normalnu dsrbucju sa očekvanjem nula konsannom varjancom. Zbog e osalh preposavk, može se dokaza da ˆ, ˆ ˆ 3 sljede normalnu. No, kao u slučaju modela s dvje varjable, ako se, svarna, al nepoznaa zamjen njenm neprsranm ocjenjvačem ˆ danm zrazom (5), OLS ocjenjvač sljed dsrbucju sa (n-3) supnjeva slobode: ˆ ~ se( ˆ ) ˆ ~ se( ˆ ) ˆ 3 3 ~ se( ˆ ) 3 n-3 n-3 n-3 () Preposavmo da želmo sraž hpoezu da saros saa ne uječe na njegovu cjenu. Drugm rječma, želmo esra nul hpoezu: H : = H : U režmu nule hpoeze, saros anknh saova nema ujecaja na njhovu cjenu, dok alernavna hpoeza vrd suprono: saros saova ma ujecaja, pozvnog l negavnog, na njhovu cjenu. Dane prjašnje nul hpoeze poznao je da Napomena: = ˆ () se( ~ ˆ n-3 ) sljed dsrbucju s (n-3)=9 supnjeva slobode, buduć je n=3 u razmaranom prmjeru. Iz rezulaa regresjske analze z zraza () mamo:, 74,9 3,97 (3)

14 Temeljem zračunae vrjednos da l odbacujemo l prhvaćamo nul hpoezu da saros saa ne uječe na njegovu aukcjsku cjenu? Za odgovor na o panje može se kors l es sgnfkannos l nerval povjerenja. Tesranje sgnfkannos Za esranje hpoeza porebno je odred es sasku, pronać sammplng dsrbucju, odabra raznu sgnfkannos, e odred krčnu vrjednos es velčne na određenoj razn sgnfkannos. Vrjednos es velčne dobvene z uzorka uspoređuje se ada s krčnom vrjednošću. Nula hpoeza se odbacuje ukolko je zračunaa vrjednos veća od krčne vrjednos. Alernavno se može odred p vrjednos es velčne e odbac nul hpoezu ukolko je p vrjednos manja od odabrane vrjednos. U prmjeru aukcjskh cjena anknh saova znamo da je es saska saska koja sljed dsrbucju s (n-3) supnjeva slobode. Kors se soga, es sgnfkannos. Preposavmo da smo odabral =,5 l 5%. Kako je alernavna hpoeza dvosrana, porebno je pronać krčnu vrjednos na razn /=,5% za (n-3)s.s.=9. Iz ablce ščana vrjednos za s.s. 9 znos (,45 ) (,45 ),95 (4) Šo označava 95%-nu vjerojanos da vrjednos lež u nervalu od -,45 do +,45. Iz zraza (3) vdmo da zračunaa vrjednos uz H : = znos oko 4, šo je očo veće od krčne vrjednos od,45. Soga se nul hpoeza odbacuje, a saros anknh saova ma ujecaja na njhovu cjenu. Inerval povjerenja Pokazano je da e da je P (,45 ) (,45 ),95 (5) ˆ ~ (6) se( ˆ n-3 ) Supsuranjem vrjednos u zraz (5) dobje se ˆ P,45 se( ˆ ) P,45,95 ˆ,45se( ˆ ) ˆ,45se( ˆ ), 95 (7) Izraz (7) predsavlja 95% nerval povjerenja za. Ukolko nerval povjerenja (područje prhvaćanja) sadrž vrjednos nul hpoeze, nul hpoeza se ne odbacuje. Izraz (7) posaje

15 3, 74,45(,9 ), 74,45(,9 ),8757 4,669 šo predsavlja 95% nerval povjerenja za svarnu vrjednos. Kako nerval ne sadrž vrjednos nule hpoeze ona se odbacuje. (8) Tes o značajnos svh parameara u modelu skupn es Tes o značajnos regresje oslanja se na sljedeće hpoeze : 3 (9) U nuloj hpoez sadržana je vrdnja da n jedna regresorska varjabla nje sgnfkanna u modelu, l, šo je so, da su sv paramer uz regresorske varjable u modelu jednak nul. Alernavna hpoeza sadrž supronu vrdnju, odnosno da posoj barem jedna regresorska varjabla koja je sgnfkanna za objašnjenje varjablnos zavsne varjable, j. da posoj barem jedan paramear razlč od nule. Sadržaj nule hpoeze da n jedna regresorska varjabla nje sgnfkanna u modelu so je kao vrd da : R (3) odnosno da dvje nezavsne varjable objašnjavaju % varjacja u zavsnoj varjabl. Hpoeza dana zrazom (3) esra se ehnkom poznaom pod menom analza varjance (ANOVA). zvor varjacje objašnjena Tablca 4: ANOVA ablca za regresjsk model s 3 varjable suma kvadraa supnjev sredna kvadraa slobode regresjom ESS= Ŷ Y neobjašnjena regresjom (rezdualna odsupanja) ukupna RSS= e TSS= k= nk-= (n-3) Y Y n- Tes velčna je emprjsk F omjer: ESS k k Ŷ Y RSS e s n k n k F F-vrjednos ESS /( k RSS /( n ) k ) F F F ( R (Ŷ Y ) Y Ŷ n K n R K ) n K K odnosno odnosno ESS s.s. varjanca objašnjena nezavsnm varjablama RSS s.s. neobjašnjena varjanca (3)

16 4 Brojčane vrjednos za zračunavanje es velčne dane su u ablc ANOVA. Ako je nula hpoeza sna ako varjable u modelu maju opsana svojsva, ada se može pokaza da se es velčna ravna po F dsrbucj s K n-(k+) supnjevma slobode. Tesra l se na razn sgnfkannos, odluka se donos usporedbom emprjske es velčne eorjske vrjednos F-dsrbucje. Područje prhvaćanja nule hpoeze jes F F, k,n( k ). Područje odbacvanja nule hpoeze jes F F, k,n( k ). Prhvaćanjem nule hpoeze prhvaća se preposavka da regresorske varjable nsu sgnfkanne u modelu. Ne prhva l se nula hpoeza, o znač da barem jedna od K regresorskh varjabl značajno prdonos objašnjavanju varjacje zavsne varjable. U prmjeru o aukcjskm cjenama anknh saova SPSS programskom poporom dobvena je sljedeća ANOVA ablca. Tablca 5: ANOVA ablca za regresjsk model aukcjskh cjena anknh saova ANOVA(b) Model Sum of Squares df Mean Square F Sg. Regresson 47894, ,84 8,58,(a) Resdual 5546,5 9 89,385 Toal ,79 3 a Predcors: (Consan), ponuđač, saros b Dependen Varable: cjena Iz ablce je vdljvo da zračunaa F vrjednos znos 8,58 9. Pod nulom hpoezom da su = 3 =, e pod danm preposavkama klasčnog sandardnog lnearnog regresjskog modela, znamo da zračunaa F vrjednos sljed F dsrbucju s supnja slobode u brojnku 9 supnjeva slobode u nazvnku. Krčna F vrjednos znos 3,33. Izračunaa F vrjednos veća je od krčne F vrjednos e se nula hpoeza odbacuje.

17 5 ZADACI ZA VJEŽBU. ZADATAK Služba za markeng kompanje Raex spuje opseg prodaje prozvoda FIT u. godn po segmenma ržša. Preposavlja se da su glavn čmbenc (varjable) koje uječu na prodaju zdac za reklamu (u eura)-x prodajna cjena (u eurma)-x 3. Podac o prodaju, zdac za reklamu prodajne cjene dan su u ablc. područje prodaja u komada, Y zdac za reklamu u eura, X prodajna cjena u eurma, X 3 I 33 9 II III 3 56 IV V VI VII VIII IX 73 7 X XI XII XIII XIV Preposave da se spvanje vrš pomoću modela všesruke lnearne regresje. SPSS programskom poporom dobven su sljedeć rezula regresjske analze. Regresson Descrpve Sascs Mean Sd. Devaon N Y 6,7 53,7 4 X 6,4 35,49 4 X3 3,7 5,44 4 Correlaons Y X X3 Pearson Correlaon Sg. (-aled) N Y,,98 -,874 X,98, -,89 X3 -,874 -,89, Y.,, X,., X3,,. Y X X

18 6 Varables Enered/Removed(b) Model Varables Enered Varables Removed Mehod X3, X(a). Ener a All requesed varables enered. b Dependen Varable: Y Model R R Square Adjused R Square Model Summary(b) Sd. Error of he Esmae R Square Change Change Sascs F Change df df Sg. F Change,989(a),978,974 4,93,978 4,88, a Predcors: (Consan), X3, X b Dependen Varable: Y ANOVA(b) Model Sum of Squares df Mean Square F Sg. Regresson 8893, ,588 4,88,(a) Resdual 8665,68 696,88 Toal ,857 3 a Predcors: (Consan), X3, X b Dependen Varable: Y Coeffcens(a) Model Unsandardzed Coeffcens B Sd. Error Sandardzed Coeffcens Bea Sg. 95% Confdence Inerval for B Lower Bound Upper Bound (Consan) 6,7 8,73 3,38,6 3,44 8,96 X,669,65,85,6,,56,83 X3-3,53,9 -,5 -,735,9-6,37 -,689 a Dependen Varable: Y Resduals Sascs(a) Mnmum Maxmum Mean Sd. Devaon N Predced Value 3,96 3,77 6,7 5,874 4 Sd. Predced Value -,35,666,, 4 Sandard Error of Predced Value 4,3 6,3 8,674 4,3 4 Adjused Predced Value 96,8 37,8 6,9 5,888 4 Resdual -66,99 64,34, 37,89 4 Sd. Resdual -,65,56,,9 4 Sud. Resdual -,739,5,5,54 4

19 7 Deleed Resdual -76,697 8,4,4 5,35 4 Sud. Deleed Resdual -,948,438,3,5 4 Mahal. Dsance,63 4,336,857,3 4 Cook's Dsance,,93,9,4 4 Cenered Leverage Value,48,334,43,95 4 a Dependen Varable: Y Temeljem dobvenh rezulaa: a) Odrede saus varjabl u modelu. b) Kako glas model všesruke regresje za ovaj prmjer? c) Napše jednadžbu s procjenjenm paramerma proumače je. d) Ispod procjena parameara naznače vrjednos njhovh sandardnh pogrešaka. e) Odrede grance (-)%-nog nervala procjene parameara uz regresorske varjable. f) Kolko je koefcjen deermnacje korgran koefcjen deermnacje za analzran prmjer modela? Inerpreraje rezulae.. ZADATAK Ocjenjen je model prodaje jedne vrse kave u prodavaonca na emelju podaaka u mjesecu ožujku: Y b b X b X u. Varjable modela su: Y kolčna prodane kave u kg X cjena kave u kunama X broj reklamnh oglašavanja MODEL ^cons 86, X -37,7 (-vrjednos) (-,88) X 3,7 (-vrjednos) (,7) R,6578 F,57 a) Tesraje značajnos nezavsnh varjabl. Razna sgnfkannos je 5%. b) Provede es o značajnos regresje za model. Razna sgnfkannos je 5%. c) Uz poznau F vrjednos sandardnu pogrešku regresje s=99,734 spune ablcu ANOVA.

20 8 RJEŠENJA ODABRANIH ZADATAKA. ZADATAK a) Iskusvo eorja poslovanja pokazuju da na opseg prodaje uječe velk broj fakora od kojh su zdvojen zdac za reklamu prosječne cjene. Opseg prodaje je zavsna varjabla. To je numerčka varjabla čje se vrjednos (njh 4) odnose na prodaju po područjma. Buduć da se varjacje prodaje po ržšnm segmenma (područjma) objašnjavaju pomoću zdaaka za reklamu prosječnh cjena, o su ovdje nezavsne varjable, zdac za reklamu prosječne cjene. Varjable su numerčke, a njhove se vrjednos (4 po svakoj varjabl) odnose na segmene ržša. Vrjednos su povezane s područjma, a vremensk su vezane za so razdoblje,. godnu (cross-seconal dana, mješov podac). b) Model je osnovnog skupa: Y X 3X 3 u, a model uzorka: Ŷ ˆ ˆ X ˆ X e. c) Ŷ 6,7,669 X 3,53X 3 d) Ŷ 6,7,669 X se (8,73)(,65) 3 3 3,53X (,9) 3 e) konsann član procjene parameara Sandardne pogreške procjena 95% Inerval povjerenja donja granca gornja granca 6,7 8,73 3,44 8,96 X,669,65,56,83 X 3-3,53,9-6,37 -,689 f) Koefcjen deermnacje znos,978, a korgran koefcjen deermnacje,974. Koefcjen deermnacje pokazuje da je prmjenom modela proumačeno oko 97,8% varjacja zavsne varjable, pa je po ome pokazaelju model reprezenavan. Korgran koefcjen deermnacje blzu je njegove maksmalne vrjednos. Prmjena ovog koefcjena važna je u posupku odabra modela s razlčm brojem nezavsnh varjabl.. ZADATAK a) H :b =, H A :b, =,88,.5 (9)=,6. Nula hpoeza se ne prhvaća, nezavsna varjabla X značajna je za model. H :b =, H A :b, =,7,.5 (9)=,6. Nula hpoeza se ne prhvaća, nezavsna varjabla X značajna je za model. b) H :b =b =, H A : bj, j=,, F=,57, F,5(,9) =4,6. Nula hpoeza se ne prhvaća. Ne može se prhva preposavka da varjable cjena kave broj reklamnh oglašavanja nsu sgnfkanne u objašnjavanju varjacja kolčne prodane kave. c) zvor varjacja suma kvadraa supnjev slobode sredna kvadraa F vrjednos objašnjena 7593, ,33,57 neobjašnjena 88586, ,33 ukupna 36857, ,33

21 9 LITERATURA. Bljan-Augus, M,; Pvac, S.; Šambuk, A. (7.), «Prmjena saske u ekonomj», Ekonomsk fakule Sveučlša u Rjec, Rjeka.. Gujara, D. (99.), «Essenals of Economercs», McGraw-Hll, New York. 3. Jovčć, M. (989.), «Ekonomerjsk meod», Ekonomsk fakule, Beograd. 4. Jurun, E; Pvac, S.; Arnerć, J. (6.), «Prmjenjena ekonomerja», Sveučlše u Splu, Ekonomsk fakule, Spl. 5. Kmena, J. (997.), «Počela ekonomerje», MATE, Zagreb. 6. Lovrć, LJ. (5.), «Uvod u ekonomerju», Sveučlše u Rjec, Ekonomsk fakule Rjeka. 7. Maddala, G. S. (99.), «Inroducon o Economercs», Second Edon, Macmllan Publshng Company, New York. 8. Šošć, I. (4.), «Prmjenjena saska», Školska knjga, Zagreb.

22 FAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU U OPATIJI EKONOMETRIJA 7. TEMATSKA JEDINICA Opaja, 3.

23 SEDMA TEMATSKA JEDINICA OCJENJIVANJE U UVJETIMA NEISPUNJENIH PRETPOSTAVKI KLASIČNOG MODELA. MULTIKOLINEARNOST.. SAVRŠENA MULTIKOLINEARNOST.. NESAVRŠENA MULTIKOLINEARNOST.3. POSLJEDICE MULTIKOLINEARNOSTI.4. OTKRIVANJE MULTIKOLINEARNOSTI.5. RJEŠAVANJE PROBLEMA MULTIKOLINEARNOSTI. AUTOKORELACIJA.. DEFINICIJA I UZROCI AUTOKORELACIJE.. POSLJEDICE AUTOKORELACIJE.3. OTKRIVANJE AUTOKORELACIJE.3.. GRAFIČKA METODA.3.. DURBIN-WATSONOV TEST.4. UKLANJANJE AUTOKORELACIJE.4.. GENERALIZIRANA METODA NAJMANJIH KVADRATA.4.. METODE PROCJENJIVANJA 3. HETEROSKEDASTIČNOST 3.. DEFINICIJA I UZROCI HETEROSKEDASTIČNOSTI 3.. POSLJEDICE HETEROSKEDASTIČNOSTI 3.3. OTKRIVANJE HETEROSKEDASTIČNOSTI 3.4. UKLANJANJE HETEROSKEDASTIČNOSTI ZADACI ZA VJEŽBU RJEŠENJA ODABRANIH ZADATAKA LITERATURA. MULTIKOLINEARNOST Jedna od preposavk klasčnog sandardnog lnearnog regresjskog modela je odsusvo savršene mulkolnearnos odsunos egzakne lnearne kombnacje nezavsnh varjabl u všesrukoj regresj... SAVRŠENA MULTIKOLINEARNOST U praks se rjeko susreće savršena mulkolnearnos, dok je češća nesavršena mulkolnearnos, odnosno prblžna lnearna zavsnos. Važno je poznava probleme koj nasaju kao posljedca mulkolnearnos prlkom OLS procjene parameara všesruke regresje. Tablca.: Poražnja za osobnm računalma Y X X 3 X 4 kolčna cjena jedn dohodak (procjena) jedna zarada (svarne vrjednos) , , , ,8

24 , , , , , ,8 Tablca prkazuje podake za kolčnu poražnje za osobnm računalma u odnosu na cjenu (X ) na dvje mjere jedne raspoložve kolčne novca, (X 3 ) kao procjena jednog dohoka (X 4 ) kao podac za svarno raspoložvu kolčnu novca. Za razlkovanje varjabl X 3 X 4 nazvane su jedn dohodak jedna zarada. Kako je, pored cjene, dohodak važna deermnana poražnje prošrena funkcja poražnje može se psa Y Y A A X B B X A X B 3 3 X 4 3 u u () () Prkazane funkcje poražnje razlkuju se u koršenm mjerama dohoka. A pror se očekuje da A B maju negavan predznak, dok se za koefcjene A 3 B 3 očekuje da su pozvn. Kada se emeljem podaaka ablce pomoću programske popore žel ocjen model (), računalo «odbja» procjen regresju. Zašo? Uvršavanjem podaaka za cjenu (X ) jedn dohodak (X 3 ) u djagram dobje se slka. Slka.: Djagram raspanja varjabl dohodak (X 3 ) cjene (X ) Izračunom regresje varjable (X )cjene dohoka (X 3 ) dobju se sljedeć rezula: X 3 3 X (3) R, Varjabla (X 3 ) se može prkaza kao lnearna funkcja varjable (X ). Drugm rječma, jedn dohodak (X 3 ) cjena (X ) savršeno su lnearno korelrane, posoj dakle savršena mulkolnearnos. Zbog odnosa u zrazu (3), zraz () se ne može procjen. Supsuranjem zraza (3) u zraz () dobje se

25 3 Y A A X C C X (A 3A ) (A 3 u C A 3A C A A ( 3 X 3 - A A )X ) u u (4) Izraz (4) pokazuje zašo se zraz () nje mogao procjen: ne rad se o slučaju všesruke regresje, već o jednosavnoj regresj s dvje varjable Y X. No, ako se zraz (4) može procjen e dob procjene za C C, z njega nje moguće dob procjene za orgnalne paramere A, A A 3, jer u zrazu (4) mamo samo dvje jednadžbe r nepoznance. Rezula procjene regresje (4) su Ŷ 49,667,576 X se (,746) (,3) (5) (66,583) (-7,935) R,9757 Kao šo je vdljvo Ĉ znos 49,667 a Ĉ -,756. Iz ovh vrjednos nje moguće dob vrjednos za r nepoznance A, A A 3. U slučaju savršene mulkolnearnos, savršene lnearne veze, među nezavsnm varjablama nje moguće dob jednsvene procjene parameara. A buduć da se paramer ne mogu procjen, nje moguće prsup esranju hpoeza blom kakvom drugom posupku sasčkog zaključvanja o njma emeljem određenog uzorka... NESAVRŠENA MULTIKOLINEARNOST Vrlo česo makroekonomsk podac vremenskh serja uključuju mulkolnearnos jer pokazuju slčne endencje rasa u određenom vremenskom razdoblju. Savršena mulkolnearnos, kao pojava kada se varjacje jedne nezavsne varjable mogu u popunos objasn varjacjama druge nezavsne varjable, j. ako se u modelu Y X X u (6) nezavsna varjabla X može prkaza kao lnearna funkcja druge nezavsne varjable, j. X X (7) U praks je češća pojava nesavršene mulkolnearnos, odnosno prblžne lnearn zavsnos, kada veza među varjablama nje egzakna već uključuje odsupanje : X X (8)

26 4 To znač da se varjacje varjable X mogu predsav varjacjama varjable X, al ne u popunos, veće neke neobjašnjene varjacje još posoje. Za objašnjenje nesavršene mulkolnearnos razmormo podake z ablce e ocjenmo zraz () sa jednom zaradom u svarnm vrjednosma (X 4 ). Rezula regresje su Ŷ 45,37, 7975X,39X se (,6) (,8) (,43) (,7) (-3,4444)(-,797) 4 R,9778 Rezula su zanmljv z nekolko razloga:. Iako regresju () nje moguće procjen, moguće je procjen regresju (), ako su razlke zmeđu dvju dohodovnh varjabl neznane.. Prema očekvanjma, cjenovn koefcjen su negavn. Svak je cjenovn koefcjen sasčk značajno razlč od nule. No vrjednos cjenovnog koefcjena u zrazu (4) puno je već od vrjednos u zrazu (9), odnosno sandardna pogreška cjenovnog koefcjena manja je u zrazu (4) od one u zrazu (9). 3. Vrjednos R u zrazu (4) s jednom nezavsnom varjablom znos,9757, dok u zrazu (9) s dvje nezavsne varjable znos,9778, e rase za ek,. 4. Koefcjen dohoka (jedne zarade) sasčk je nesgnfkanan, no šo je zanmljvje ma negavan predznak. Za većnu dobara, dohodak pozvno uječe na kolčnu poražnje. 5. Unaoč neznačajnos dohodovne varjable esranjem hpoeze = 3 = (hpoeza da je R =), ona se lako može odbac prmjenom F esa. Drugm rječma, cjena zarada maju značajnog ujecaja na kolčnu poražnje. Kako se objašnjavaju ako neobčn rezula? Uvršavanjem u djagram raspanja podaaka za varjablu X X 4, cjena nasupro jednoj zarad dobje se slka. Slka.: Odnos jedne zarade (X 4 ) cjene (X ) (9) 3 95 jedna zarada X4 =99,9 -,55X cjena

27 5 Iz slke je vdljvo da, ako cjena jedna zarada nsu egzakno lnearno povezane, među njma posoj vsok supanj zavsnos. Navedeno se može povrd z rezulaa regresje X 999,9,55 X e 4 se (,6748) (,88) (444,44) (-8,44) R,977 Kako rezula regresje pokazuju, cjena jedna zarada usko su povezane: koefcjen korelacje znos -,9884, šo je slučaj skoro savršene mulkolnearnos..3. POSLJEDICE MULTIKOLINEARNOSTI Govor će se o nesavršenoj mulkolnearnos s kojom se uglavnom u praks česo susrećemo. Ocjene parameara su efkasne neprsrane, dakle još uvjek maju svojsva da su najbolje lnearne neprsrane, j. BLUE, no posoj nz drugh posljedca:. Velke varjance sandardne pogreške parameara. Velka sandardna greška znač šr nerval pouzdanos pa je eže procjen pravu vrjednos parameara, j. pada precznos ocjene parameara.. Nesgnfkanne -vrjednos koje su posljedca velkh sandardnh pogrešaka, zbog kojh će se kod esranja hpoeze o značajnos pojedne regresorske varjable prhva H hpoeza (da je važna varjabla nesgnfkanna). 3. Vsok R nske -vrjednos jasan su pokazaelj mulkolnearnos. 4. Ocjene parameara njhove sandardne greške posaju vrlo nesablne vrlo osjeljve na male promjene u podacma. 5. Pogrešan predznak parameara jes čes slučaj upravo zbog neefkasne nepreczne ocjene paramera. 6. Nje moguće uvrd zasebne ujecaje svake nezavsne varjable u objašnjenoj varjacj, odnosno u R. Ako posoj mulkolnearnos prlagođenos se ne mjenja značajno, al se ne može uvrd uloga pojedne nezavsne varjable..4. OTKRIVANJE MULTIKOLINEARNOSTI Ne posoj es l očno defnran načn za okrvanje mulkolnearnos. Nje bno prav razlku zmeđu prsunos odsunos mulkolnearnos, već zmeđu razlčh supnjeva mulkolnearnos. Za o posoje razlč ndkaor:. Vsok R, a nske -vrjednos Ako je R vsok, npr. vš od,8, F esom će se odbac hpoeza da su sv paramer u funkcj jednak nul. Tako je kod mulkolnearnos, međum ono šo je konradkorno, pojedn -esov pokazuju da n jedan paramear (l samo nek od njh) nje sasčk razlč od nule.. Vsok koefcjen korelacje zmeđu eksplanaornh varjabl Ako su koefcjen korelacje među nezavsnm varjablama vsok (recmo znad,8), o može b znak vsoke korelranos među m varjablama. Međum, aj pokazaelj ()

28 6 nje uvjek pouzdan jer može b nzak, a da mulkolnearnos u modelu pak posoj. Name, moguće je da nezavsne varjable u grup djeluju mulkolnearno. Zao je, kada se rad o modelu s vše od dvje nezavsne varjable, porebno računa koefcjen parcjalne korelacje. Na prmjer u modelu Y X X X u () 3 3 koefcjen parcjalne korelacje r,3 jes koefcjen korelacje zmeđu X X, držeć ujecaj varjable X 3 konsannm. Iako koefcjen jednosavne lnearne korelacje r može b nzak, koefcjen parcjalne korelacje r,3 može b vsok, a o znač da je, ne uzmajuć u obzr ujecaj varjable X 3, korelacja zmeđu varjabl X X vsoka. Ukrako, vsok koefcjen jednosavne lnearne korelacje među eksplanaornm varjablama pokazaelj je posojanja mulkolnearnos, al samo ako se rad o modelu s dvje nezavsne varjable. 3. Pomoćne regresje Kako se kod mulkolnearnos jedna l vše eksplanaornh varjabl može prkaza kao lnearna kombnacja osalh eksplanaornh varjabl u modelu, da b se uvrdlo posoj l a lnearna funkcjska veza među nezavsnm varjablama ocjenjuju se zv. pomoćne regresje: ocjenjuje se regresja za svaku od nezavsnh varjabl X računa prpadn R. Tesrajuć hpoezu R =, spujemo vrdnju da nema kolnearnos među X preosalh nezavsnh varjabl u modelu. Pr ome se kors F es R k () ( R ) n k F gdje je n broj opažanja, a (n-k-) broj parameara u modelu. Iako R nje jako vsok, prema F esu može b sgnfkanno razlč od nule. 4. Inflacjsk fakor varjance (VIF) R dobven z pomoćnh regresja nje popuno pouzdan pokazaelj kolnearnos. Varjanca paramear uz nezavsnu varjablu računa se prema zrazma X X R var( ) (3) X X R var( ) (4) Kako se omjer R (4) mogu se psa nazva nflacjsk fakor varjance (VIF), varjance z zraza (3)

29 7 var( ) VIF (5) X X var( ) VIF (6) X X Ako je R = znač da nema mulkolnearnos, VIF=. Kako R rase, povećava se varjanca sandardna pogreška paramera, a VIF. Varjanca paramera ne ovs samo o R, nego o varjanc odsupanja o varjacj podaaka nezavsne varjable X oko njezne sredne X, zao vsok R dobven z pomoćnh regresja može b samo grub pokazaelj prsusva mulkolnearnos..5. RJEŠAVANJE PROBLEMA MULTIKOLINEARNOSTI Jedan od načna rješavanja problema mulkolnearnos jes zbac varjablu l varjable koje su korelrane. To nje jednosavno rješenje jer može prouzrokova specfkacjsku pogrešku sve posljedce koje ona nos. Drug načn je povećavanje broja podaaka u uzorku, s obzrom da je mulkolnearnos problem uzorka, a ne populacje. Tme će se obuhva vše varjacja promaranh varjabl. Ipak, nje moguće uvjek dob već uzorak podaaka. Posoj mogućnos ransformacje podaaka. Kako je mulkolnearnos svojsvena podacma vremenskog nza, koršenjem dferencranja podaaka za varjable * X X X zapravo dobvamo nzove koj predsavljaju promjene podaaka od razdoblja do razdoblja. Na aj se načn rješavamo renda u opažanjma za pojednu varjablu, a koj je česo uzrok prsunos mulkolnearnos. Porebno je ma na umu da ransformranjem podaaka ransformramo mode, a me ocjenjen paramer maju drugačju ekonomsku nerpreacju.. AUTOKORELACIJA U ovom djelu govor se o posljedcama kršenja reće (odsunos auokorelacje) preposavke klasčnog lnearnog regresjskog modela, j. o pojav auokorelacje l serjske korelacje odsupanja u. Auokorelacja osavlja akve posljedce na model da on posaje nepogodan za prognozranje. Važno je soga, razumje o kakvom se problemu rad, kakve on posljedce osavlja na ocjenjen model e kako ga rješ... DEFINICIJA I UZROCI Auokorelacja posoj kada su vrjednos slučajne varjable u međusobno korelrane velčne u,u ), ( j) (7) ( j

30 8 Izraz (7) znač da je očekvana vrjednos produka zmeđu dvju razlčh komponenaa varjable u razlča od nule. Auokorelacja je češće prsuna kod ocjenjvanja modela na osnov podaaka vremensk nzova nego u slučaju ocjenjenog modela na osnov podaaka vremenskog presjeka. Soga, kada se raspravlja o auokorelacj, u leraur je uobčajeno uz varjable savlja oznaku (za vrjeme) umjeso oznake. Prema ome, kada su odsupanja auokorelrana pše se ( u,us ), ( s) (8) Taj zraz znač da je odsupanje koje se zblo u vremenu povezano s odsupanjem u vremenu (-s). Npr. pr proučavanju poražnje za nekm prozvodom na emelju mjesečnh poda pr proučavanju poražnje za nekm prozvodom na emelju mjesečnh podaaka, neauokorelranos odsupanja znač da je posljedca zasoja u sporuc prozvoda prvremena, j. uječe samo na poražnju ekućeg vremena. Najjednosavnja je najčešća auokorelacja prvog reda koja se može zraz auoregresjskom funkcjom AR() u u - (9) gdje je: u - odsupanje u razdoblju u - - odsupanje u prehodnom razdoblju - jednosavn korelacjsk koefcjen zmeđu u u -, < v - normalno dsrburana nezavsna odsupanja koja su u skladu s klasčnm preposavkama, j. N(, ) Tada kažemo da se odsupanja ponašaju prema auoregresjskom procesu. reda, j. u AR() Posoje dvje vrse auokorelacje: pozvna negavna. Kod pozvne odsupanja u občno maju s predznak. Kod negavne auokorelacje pozvna odsupanja sljede negavna, pa ope pozvna, d. Kada je auokorelaja prsuna, vzualno odsupanja kroz vrjeme pokazuju određeno pravlo ponašanja, ssemačnos (slka 3) Slka 3: Odsupanja bez auokorelacje (a) s auokorelacjom (b) (c)

31 9 Posoj vše razloga zbog kojh se auokorelacja pojavljuje. Česo je uzrok sadržan u samm podacma uzorka na osnov kojeg se model ocjenjuje. To je zv. prava auokorelacja. Ekonomsk podac pokazuju kroz vrjeme cklčno kreanje. Iz recesje preko razdoblja oporavka, podac vremenske serje du po uzlaznoj puanj u svakoj očk m je vrjednos veća nego u prehodnoj, sve dok se nešo ne dogod sljedom ekonomskh cklusa. Tako sukcesvne vrjednos opažanja zgledaju međusobno korelrane, blo da pramo bruo drušven prozvod, prozvodnju, zaposlenos, kreanje cjena d. Razlog može b «frzranje» sasčkh podaaka, npr. umjeso prkupljanja podaaka za razna vremenska razdoblja, on se zračunavaju kao prosjec z kraćh vremenskh razdoblja. Zao podac zgledaju «zglađeno», pa odsupanja pokazuju pravlnos pojavljvanja, j. auokorelacju. Čes razlog je specfkacjska pogreška, a o je zosavljena sgnfkanna varjabla l odabr pogrešne funkcjske veze. To je zv. neprava auokorelacja. Odsupanja na sebe preuzmaju u pogrešku, nsu vše slučajna, nego se ponašaju po određenom pravlu, šo je moguće vdje z djagrama raspanja... POSLJEDICE AUTOKORELACIJE Pod preposavkama klasčnog regresjskog modela, ocjene parameara su najbolje lnearne neprsrane ocjene (BLUE). Znač da maju mnmalnu varjancu (efkasne su) neprsrane su. Dogod l se da preposavka o auokorelacj nje zadovoljena, o osavlja ozbljne posljedce na ocjenjen model. Ocjene parameara su neprsrane, al su nepouzdane jer: Nsu vše efkasne (j. nemaju mnmalnu varjancu, nsu vše BLUE). Podcjenjena je varjanca sandardna pogreška paramera, zbog oga F es nsu pouzdan pokazaelj. Podcjenjena je ocjenjena rezdualna varjanca ˆ, pa R nje pouzdan pokazaelj. Model nje pogodan za predvđanje jer su varjanca sandardna pogreška predvđanja neefkasne..3. OTKRIVANJE AUTOKORELACIJE Kako je pojava auokorelacje povezana s pogreškama relacje koja nam je nepoznaa, okrvanje analza auokorelacje oslanja se na procjenjene pogreške, j. rezdualna odsupanja. Posoj vše načna za okrvanje auokorelacje, među kojma se spomnju grafčka meoda Durbn-Wasonov es, koj se najčešće korse. Ozbljna auokorelacja česo je oča z djagrama raspanja rezdualnh odsupanja (slka 3), no pouzdanj je češće koršen Durbn-Wasonov (DW) es..3.. GRAFIČKA METODA Grafčka meoda sasoj se u prkazvanju raspršenos rezduala kroz vrjeme z kojeg je moguće vdje posoj l neka pravlnos l su odsupanja svarno slučajno dsrburana.

32 Rad lakšeg razumjevanja ocjen ćemo model svarnh plaća produkvnos rada u poslovnom sekoru u SAD-u od 959. do. Iz makroekonomske eorje očekuje se pozvan odnos zmeđu plaća produkvnos rada-šo je vša produkvnos rada veća je plaća. U ablc prkazan su podac o plaćama produkvnos rada za navedeno razdoblje. Tablca.: Plaće produkvnos rada u SAD-u za razdoblje od 959. do. godne godna plaća (W) produkvnos (P) godna plaća (W) produkvnos (P) , 48, ,9 96 6,7 49,5 98 9,5 8,6 96 6,5 5, ,4 84, ,6 53, ,7 86, , 55, , 88, ,7 57, , 9, , 59, ,6 9, ,7 6, ,6 63, ,5 93, , ,3 95, , 65, ,4 96, ,6 67, , ,9,5 97 8,3 7, ,7, , 74, ,4, , 73, ,8 5, ,9 75,8 997,7 7, , 78, ,8, ,4 79, , ,9 8,6 6, , 8,5, 8, ,9 8,3 3,5 5, Iz podaaka z ablce dobju se sljedeć regresjsk rezula W 9,5749, 75P se (,465 ) (,7) (,496) (4,98) R,9755 d,36 () Prema očekvanjma posoj pozvna veza zmeđu plaća produkvnos rada. vrjednos R su vsok. No, prje prhvaćanja ovh rezulaa kao zadovoljavajućh porebno je esra mogućnos posojanja auokorelacje. Kao u slučaju heeroskedasčnos, grafčk prkaz OLS rezduala može da vrjednu slku o posojanju auokorelacje među slučajnm varjablama. Posoj vše načna grafčkog prkazvanja rezduala. Rezdual se mogu prkaza u djagramu raspanja u odnosu na vrjeme kao na slc 4.

33 Slka 4.: Rezdual regresje z zraza () rezdual vrjeme Rezdual na slc (4) čn se da su slučajno dsrburan. U počeku su negavn, pa pozvn, pa ope negavn. Tablca 3.: Rezdual prpadajuć podac z regresje plaće produkvnos rada predznak e e - D=e -e - D e od e -4, , ,5544-4,436,86947,755977, ,5-3,5544,538939,9455 9, ,5656-3,5,488645, , , ,5656,876,87 6, ,89 -,49779,6888,797 4, ,35 -,89 -,74,575 5,97 - -,3857 -,35,98586,8438, ,4639 -,3857,9975,844883,386 -, ,4639,9988,997644, ,5653,53643,98983,97975, ,5487,5653,48934,3935 4,686 +,483778,5487 -,537,875,596 +,448,483778,65873, ,595 +,336,448,88645, , ,489,336 -,893,7963 5,678 +,359,489 -,53,4358, ,69887,359,478468,893,8864 +,9886,69887,8934, , ,85753,9886,86947, , ,759,85753,759,793 9, ,6777 3,759 -,5988,3586 9,489 +, ,6777 -,94,434 4, ,75694,46765,777,9475 4,46 +,653 3, ,37 4,54484,6438 +,33877,653 -,336,79653,9859 +,5875,33877,8998,4368, ,7384,5875,849,465, ,8548,7384,9764,4343 3, ,73,8548,4975,7578 5,539 +,39693,73 -,353 4,5396, ,43, ,883,3698,69 -,889 -,43,3935,8473,837 +,36698,889,77878,665, ,84, ,459,765,789 -

34 -,49 -,84 -,47,837, ,8456 -,49 -,735,5899 3, ,469 -,8456 -,5665,43875, ,86-3,469 -,736,567 6, ,9799-4,86,3835 4,5754 3, ,5456 -,9799,43835,95, ,9363 -,5456,347937,86935, ,7498 -,9363 -,536,6484, ,7869 -,7498-3,37 9,8465 3, Iso se može uoč ukolko se rezdual e z prve kolone ablce (3) usporede s rezdualma e - z druge kolone (slka 5). Slka 5.: Rezdual e u odnosu na e - regresje z zraza () e- e Opć rend slke je da su sukcesvn rezdual pozvno korelran, šo ukazuje na pozvnu auokorelacju..3.. DURBIN-WATSONOV TEST Durbn-Wasonov d es najpoznaj je es za okrvanje auokorelacje. Njegova prednos je šo je jednosavan za prmjenu uključen u sve ekonomerjske pakee. Tes velčna je n ( e e ) d n () e Koja predsavlja omjer zbroja kvadraa prvh dferencje rezdualnh odsupanja zbroja kvadraa rezdualnh odsupanja. Zbog dferencranja u brojnku se gub jedno opažanje, pa sumranje kreće od drugog opažanja (=). DW es se može uporjeb ako su zadovoljene sljedeće preposavke:. Kors se za okrvanje auokorelacje. reda.. Regresjsk model uključuje konsanu (odsječak na ordna). Ne može se prmjen na regresju kroz shodše. 3. Nezavsne varjable su nesohasčne, znač maju fksne vrjednos kod ponovljenh uzoraka.

35 3 4. Regresjsk model ne uključuje vrjednos zavsne varjable s pomakom u vremenu kao eksplanaorne varjable, j. es nje prmjenjv na modele kao Y X Y u poznae pod nazvom auoregresjsk model. Izraz () može se prblžno psa kao gdje je d ( ˆ ) () n e e ˆ n (3) e koj je procjenjvač koefcjena auokorelacje auoregresjske funkcje dane zrazom (9). Kada spujemo je l auokorelacja prsuna u ocjenjenom modelu, ada zapravo esrano hpoezu je l auokorelacjsk paramear z relacje (9) jednak l razlč od nule. Ako je = u relacj (9), ada je u =, pa odsupanja u regresjskoj jednadžb neće b auokorelrana. Zao za nul hpoezu da nema auokorelacje, možemo uporjeb :=. Za alernavnu hpoezu možemo uporjeb A :> l A :< l A :. U većn ekonomskh emprjskh sražvanja kors se A :> jer je pozvna auokorelacja u praks najčešća. Kako je - vrjed: ˆ, d, nema auokorelacje ˆ, d posoj savršena pozvna auokorelacja ˆ, d4 posoj savršena negavna auokorelacja Izračuna d kreće se u nervalu [,4]. Šo je blže vrjednos, pokazaelj je pozvne auokorelacje, a čm je blže vrjednos 4, pokazaelj je negavne auokorelacje. Kada se vrjednos od d kreće oko, znač da auokorelacje nema. No posoje vrjednos kada nsmo sgurn za posojanje auokorelacje (ablca 4) Tablca 4: Durbn-Wasonov pokazaelj (es velčne) NEMA AUTOKORELACIJE PRVOG REDA? (prhva H ) POZITIVNA AUTOKORELACIJA (odbac H )? NEGATIVNA AUTOKORELACIJA (odbac H ) d L d U 4- d U 4-d L 4 d U gornja vrjednos u DW ablc d L donja vrjednos u DW ablc H : nema auokorelacje

36 4 U DW ablcama nalazmo dvje krčne vrjednos: d L donju d U gornju. Te vrjednos ovse o broju opažanja n o broju eksplanaornh varjabl k. Durbn-Wasonov es provod se u nekolko koraka:. Ocjen model pomoću meode najmanjh kvadraa zračuna rezduale e.. Izračuna Durbn-Wasonovu d vrjednos z formule (). Občno je o runa uključena u ekonomerjsk programsk pake, koja se skazuje u rezulama regresjske analze. 3. Nać krčne vrjednos d L d U u ablcama za danu velčnu uzorka broj eksplanaornh varjabl. 4. Zaključak o prsunos auokorelacje donos se prema pravlma u ablc (4) odnosno (5). Tablca 5: Načn donošenja odluke kod Durbn-Wasonovog esa VRIJEDNOST DW ODLUKA <d<d L odbac H : prsuna pozvna auokorelacja d L dd U bez odluke d U <d4 prhva H : nema auokorelacje 4d4- d U prhva H : nema auokorelacje 4- d U d4-d L bez odluke 4-d L <d<4 odbac H : prsuna negavna auokorelacja Iz prmjera o plaćama produkvnos rada regresjsk rezula dal su d vrjednos od,36 (zraz ). Iz Durbn-Wasonove ablce vdmo da je za n=45 jednu eksplanaornu varjablu, d L =,475 a d U =,566 na razn sgnfkannos od 5%. Kako je zračuna d=,36 spod donje krčne vrjednos od,475 zaključujemo da posoj pozvna auokorelacja u rezdualma regresje o plaćama produkvnos rada..4. OTKLANJANJE AUTOKORELACIJE Auokorelacja se oklanja generalzranom meodom najmanjh kvadraa (GLS- Generalzed Leas Squares). Generalzrana meoda najmanjh kvadraa kors ehnku kvazdferencranja kako b se auokorelrana odsupanja u zamjenla odsupanjma v koja su neauokorelrana..4.. GENERALIZIRANA METODA NAJMANJIH KVADRATA Uz preposavku da odsupanja sljede auoregresjsk proces. reda, j. da vrjed zraz (9) kada je pozna, auokorelacja se može rješ ako da se zračunaju generalzrane dferencje vrjednos zavsne varjable po formul Y -Y -, pr čemu je Y X u (4)

37 5 Generalzrana dferencjska jednadžba pše se kao gdje je Y * * ( ) X (5) v =u -u - Y * =Y -Y - X * =X -X - Ocjen l se jednadžba (5) pomoću OLS, paramer ˆ ˆ najbolje su neprsrane lnearne ocjene, a DW vrjednos je blzu. GLS meoda pomaže u spravljanju auokorelacje, no posoje slučajev kada ju nje upuno uporebljava:. Kada se rad o nepravoj auokorelacj, j. kada je uzrok auokorelacje specfkacjska pogreška. Tada je rješenje spravljanje specfkacjske pogreške.. Kada se rad o malm uzorcma eško je nać dobru ocjenu ˆ, ako se kors loša ocjena ˆ, pomoću GLS može se dob lošje ocjene parameara modela nego šo su ble, a kako znamo, kod prsunos auokorelacje ocjene parameara dobvene meodom najmanjh kvadraa, neefkasne su, al nsu prsrane..4.. METODE PROCJENJIVANJA Procjenjvanje auoregresjskog paramera nje problem, buduć da ekonomerjsk programsk pake o rade auomask. Ukolko se rad o malom uzorku podaaka, moguće je da će zračunavanje ˆ pomoću poznaog d relacje () da bolju ocjenu nego generranjem pomoću računalne procedure. Posoj nekolko prsupa procjenjvanju vrjednos među kojma se mogu spomenu: Cochran-Orcu procedura Hldre-Lu procedura Cochran-Orcu procedura:rad se o eravnoj procedur kojom računalo zračunava nz vrjednos ˆ sve dok razlke među njma nsu zadovoljavajuće male. Hldre-Lu procedura: Zasnva se na defnranju mogućh vrjednos za ˆ ocjenjvanju nekolko regresja pomoću GLS kak b se našlo ransformacju koja mnmzra RSS. 3. HETEROSKEDASTIČNOST Heeroskedasčnos je problem koj je uglavnom povezan s podacma vremenskog presjeka. Proučavamo l vezu zmeđu dohoka zaposlenh porošnje, nerpreacja ocjenjenh parameara zavs će o ome odnose l se podac na godne l zaposlenka, j. pramo l vezu kroz vrjeme l u određenom vremenskom renuku.

38 6 Ako se podac odnose na zaposlenka, ocjenjen regresjsk paramear uz varjablu dohodak zavs će o dsrbucj dohoka. Name, porošač s većm dohokom roš vše neko onaj s manjm dohokom. Zbog oga ćemo ma razlču raspršenos (heeroskedasčnos) odsupanja oko regresjske funkcje, koja osavlja eške posljedce na ocjenjen model, koje rebamo zna okr pokuša rješ. 3.. DEFINICIJA I UZROCI HETEROSKEDASTIČNOSTI Kada čevra preposavka klasčnog lnearnog regresjskog modela nje pošvana, varjanca odsupanja je promjenjva, j. zavs o opažanju, j. var( u ) (6) ada kažemo da su odsupanja heeroskedasčna. Ukolko je ova varjanca salna, ona ne zavs o opažanju, j. var( u ) (7) ada kažemo da su odsupanja homoskedsčna. Heeroskedasčnos je povezana s nezavsnm varjablama. U prmjeru porošnje, velčna varjable dohodak (X) uzrok je razlčoj porošnj (Y). Velčna raspršenos odsupanja zavs o velčn varjable X, j. o velčn dohoka jer ona omogućuje velčnu porošnje. Heeroskedasčnos je prkazana u (X, Y) prosoru u (X, u) prosoru. To je slučaj prave heeroskedasčnos. U slučaju da je kod specfkacje modela spušena važna eksplanaorna varjable koja je uzrok heeroskedasčnos, njezn ujecaj će se prklon odsupanjma pa ćemo ma nepravu heeroskedasčnos koja je nasala zbog specfkacjske pogreške. 3.. POSLJEDICE HETEROSKEDASTIČNOSTI Heeroskedasčnos osavlja ozbljne u slčne posljedce na ocjenjen model kao auokorelacja, ako su ocjene parameara su neprsrane, al: Nsu vše efkasne, j. nemaju mnmalnu varjancu (nsu vše BLUE). Ocjena varjance parameara je prsrana, šo prozlaz z prsranos varjance odsupanja; no ne znamo je l podcjenjena l precjenjena; zbog oga F es nsu valjan OTKRIVANJE HETEROSKEDASTIČNOSTI Okrvanje heeroskedasčnos nje lak zadaak. To je zbog oga šo nam je svarna varjanca nepoznaa jer ne raspolažemo podacma za cjelu populacju. Ne posoj opć efkasan sguran es za okrvanje heeroskedasčnos. GRAFIČKA METODA Ova je meoda jednosavan počen načn za uvrđvanje heeroskedasčnos. Mogu se prkaza rezdual prema pojednoj nezavsnoj varjabl l u slučaju kada vše