Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Size: px
Start display at page:

Download "Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda"

Transcription

1 Osječki matematički list 10(2010), STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Svaka od njih je ilustrirana primjerima Ključne riječi: razvoj determinante determinante, algebarski komplement, Laplaceov Methods of computing determinants of the n-th order Abstract In the paper are described methods of computing determinants of the n-th order Each of them is illustrated by examples Key words: determinants, cofactor, Laplace expansion of the determinant 1 Uvod Determinantu kvadratne matrice A [a ij ] reda n definiramo kao broj deta ( 1) i(p) a 1p(1) a 2p(2) a np(n) gdje p(1), p(2),, p(n) prolaze svih n! mogućih permutacija brojeva 1, 2,, n Predznak svakog sumanda u deta ovisi o broju inverzija u permutaciji, i(p), tj o broju situacija kad u permutaciji vrijedi i<ji p(i) >p(j) Determinantu matrice obično označavamo sa a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n deta det a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Veleučilište u Varaždinu Jurja Križanića 33, Varaždin,

2 32 Damira Keček Ako je n 1,detA a a ( ) ( ) Za n 2 imamo 2! 2 permutacije, p 1 i p Kako je 2 1 i(p 1 )0,ai(p 2 ) 1 imamo a 11 a 12 a 21 a 22 ( 1)0 a 11 a 22 ( 1) 1 a 12 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 Za n 3 račun postaje kompliciraniji, imamo 3! 6 permutacija, ( ) ( ) ( ) ( p 1, p , p , p ( ) ( ) p 5 i p Dobivamo a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 0 a 11 a 22 a 33 ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 ( 1) 1 a 12 a 21 a 33 ( 1) 2 a 12 a 23 a 31 ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 ( 1) 3 a 13 a 22 a 31 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Primijetimo da računanje determinante pomoću definicije nije jednostavno Zato postoje razne metode kojima se determinanta brže izračuna, a najopćenitija metoda je Laplaceov razvoj determinante Laplaceov razvoj determinante može se provoditi po bilo kojem retku ili stupcu matrice Neka je A matrica reda n Ako u toj matrici izostavimo i-ti redak i j-ti stupac dobit ćemo matricu čiju determinantu zovemo subdeterminanta ili minora i označavamo sa M ij Algebarski komplement ili kofaktor elementa a ij je broj A ij ( 1) ij M ij ), Laplaceov razvoj po i-tom retku: deta Laplaceov razvoj po j-tom stupcu: deta n a ij A ij j1 n a ij A ij i1 Zadatak 1 Izračunajte determinantu matrice A Laplaceovim razvojem po

3 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 33 a) trećem retku, b) drugom stupcu Rješenje: a) b) ( 1) ( 1) ( 1) [0 ( 8)] 5 [ 1 ( 12)] 1 (4 0) 27 0 ( 1) ( 1) ( 1) [1 ( 6)] 5 [ 1 ( 12)] 27 Kod računanja determinante matrice najbolje je izabrati onaj redak ili stupac koji sadrži najviše nula jer je tada račun kraći Navedimo sada neka svojstva determinanti koja ćemo koristiti u izračunavanju determinanti višeg reda: 1 Dodamo (oduzmemo) li nekom retku (stupcu) elemente nekog drugog retka (stupca) ili njihovu linearnu kombinaciju, vrijednost determinante se ne mijenja 2 Ako je matrica B dobivena iz matrice A množenjem jednog njenog retka (stupca) brojem c, tada je det(b) c det(a) 3 Ako se neki redak ili stupac matrice sastoji samo od nula, determinanta te matrice jednaka je nuli 4 Ako je A trokutasta matrica, tada joj je determinanta jednaka produktu elemenata njezine glavne dijagonale 5 Ako su u matrici dva retka (stupca) proporcionalna, determinanta joj je jednaka nuli 6 Zamjenom dvaju stupaca determinanta mijenja predznak

4 34 Damira Keček 7 Neka se matrice A i B razlikuju samo u elementima i-tog retka (stupca) Suma determinanti det(a) det(b) je determinanta čiji je i-ti redak (stupac) suma odgovarajućih članova i-tih redova (stupaca) u det(a) i det(b), a ostali elementi su jednaki odgovarajućim elementima tih determinanti 8 Ako su A i B kvadratne matrice istog reda, tada vrijedi det(ab) det(a)det(b) (Binet-Cauchyjev teorem) 2 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 21 Svod enje matrice na trokutasti oblik Ova metoda se sastoji u transformiranju matrice transformacijama sličnosti u oblik u kojem su svi elementi s jedne strane glavne dijagonale matrice jednaki nuli Tada primjenom Cauchy Binetove formule slijedi da je vrijednost determinante matrice jednaka produktu elemenata na glavnoj dijagonali Zadatak 2 Izračunajte determinantu D 1 x 12 x 13 x 1n 1 2 x 23 x 2n x 3n n Rješenje: Pomnožimo prvi redak sa -1 i dodamo drugom, trećem,, n-tom, to nam daje 1 x 12 x 13 x 1n 1 x 12 x 13 x 1n 1 2 x 23 x 2n 0 2 x 12 x 23 x 13 x 2n x 1n D x 3n 0 2 x 12 3 x 13 x 3n x 1n n 0 2 x 12 3 x 13 n x 1n nastavimo li analogno postupak, tj pomnožimo drugi redak sa 1 i dodamo trećem, četvrtom,, n-tom, i tako sve do (n 1) retka, dobivamo D 1 x 12 x 13 x 1n 0 2 x 12 x 23 x 13 x 2n x 1n x 23 x 3n x 1n n x n 1,n (2 x 12 ) (3 x 23 ) (n x n 1,n )

5 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 35 Zadatak 3 Izračunajte determinantu D x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 x 1 x 2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 2 x n 1 x n 1 y n 1 x n 1 x n 1 x n 1 x n y n x n x n x n x n Rješenje: Pomnožimo prvi redak sa x 1 i dodamo drugom, pomnožimo prvi redak sa x 2 i dodamo trećem,, pomnožimo prvi redak sa x n i dodamo n-tom retku x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 x 1 x 2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 2 D x n 1 x n 1 y n 1 x n 1 x n 1 x n 1 x n y n x n x n x n x n y y y n y n razvoj po (n1) stupcu y y 2 0 ( 1) 1n1 0 y n y n y y 2 0 ( 1) 1n1 ( 1) n 0 y n y n u ovoj determinanti će preživjeti jedino sumand koji odgovara permutaciji ( ) 1 2 n 1 n p n n ( 1) n(n 1) 2 y 1 y 2 y n

6 36 Damira Keček 22 Metoda promjene elemenata u determinanti a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Neka je D determinanta kvadratne matrice A, a a n1 a n2 a nn a 11 x a 12 x a 1n x a 21 x a 22 x a 2n x D determinanta u kojoj svakom elementu a n1 x a n2 x a nn x determinante D dodamo broj x Primjenom svojstva 7, rastavimo determinantu D po prvom retku na zbroj dvije determinante, zatim svaku od njih rastavimo na zbroj dvije determinante po drugom retku, analogno nastavimo rastavljati dalje od trećeg do n-tog retka Determinante s dva ili više redaka koji se sastoje samo od elemenata x, jednake su nuli prema svojstvu 5, a nad one koje sadrže jedan redak s elementima x primjenimo svojstvo 2 i razvijemo Laplaceovim pravilom po tom retku Imamo a 11 x a 12 x a 1n x a 21 x a 22 x a 2n x D a n1 x a n2 x a nn x a 11 a 12 a 1n x x x a 21 x a 22 x a 2n x a 21 x a 22 x a 2n x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x x x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x x x x x x x a 21 a 22 a 2n x x x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x }{{} 0 dalje nastavljamo analogno rastavljati od 3 do n-tog retka

7 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 37 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn n i1 a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n x x x a i1,1 a i1,2 a i1,n a n1 a n2 a nn D n i1 x n j1 A ij D x n i,j1 A ij, gdje je A ij algebarski komplement elementa a ij Zadatak 4 Izračunajte determinantu D n 1 n n n n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n Rješenje: D n (1 n)n 0n 0n 0n 0n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n 1 n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n n n n n n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n }{{} 0 1 n n (2 n)n 0n 0n 0n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n

8 38 Damira Keček 1 n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n 1 n n n n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n }{{} 0 Nastavimo li analogno postupak rastavljanja determinanti, dobivamo D n 1 n n n n n n n n primjena svojstva 4 (1 n)(2 n) ( 1) n ( 1) n 1 n! Zadatak 5 Izračunajte determinantu D n x y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x Rješenje: D n (x y)y 0y 0y 0y 0y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x x y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x

9 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 39 x y x y y y x y y y y y x y y y y y x x y y y y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y 0 x y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y y y y y y y y x y y y y y x y y y y y x }{{} 0 x y x y x y 0 0 y y y x y y y y y x x y x y y y y y y y y y x y y y y y x x y y y y y y 0 0 x y 0 0 y y y x y y y y y x x y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y x }{{} 0 y y y y y 0 x y x y 0 0 y y y x y y y y y x y y y y y 0 x y y y y y y y y y x y y y y y x }{{} 0

10 40 Damira Keček x y x y x y x y x y n (x y) n y  ij i,j1 y n  ij i,j1  ij 0, za i j x y 0 0  ii ( 1) ii 0 x y 0 (x y) n 1, za i j 0 0 x y (x y) n y n (x y) n 1 (x y) n 1 [x y (n 1)] 23 Metoda rekurzivnih relacija Neka je dvočlana rekurzija s konstantnim koeficijentima Razlikujemo 2 slučaja: 1 r 0, onda je D n pd n 1 rd n 2, n 3 (1) D n pd n 1 p(pd n 2 )p 2 D n 2 p n 1 D 1 (2) 2 r 0 Rekurziji (1) pridružujemo karakteristični polinom k(x) x 2 px r Neka su x 1 i x 2 korijeni karakteristične jednadžbe x 2 px r 0 Imamo slučajeve: (a) x 1 x 2, onda je D n k 1 x n 1 k 2x n 2,n N, (3) gdje se konstante k 1 i k 2 odrede pomoću poznatih D 1 i D 2, tj k 1 D 2 x 2 D 1 x 1 (x 1 x 2 ), (4)

11 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 41 (b) x 1 x 2, onda je k 2 D 2 x 1 D 1 x 2 (x 1 x 2 ) (5) D n x n 1 1 D 1 (n 1)x n 2 1 (D 2 x 1 D 1 ),n N (6) Zadatak 6 Izračunajte determinantu: D n Rješenje: D n { razvoj po 1 retku } ( 1) ( 1) D n 1 4 { razvoj po 1 stupcu } D n ( 1) D n 1 4D n 2, D 1 5 5,D Rješenja karakteristične jednadžbe x 2 5x 40sux 1 4ix 2 1 Pomoću formula (4) i (5) odredimo koeficijente k 1 i k 2 koje uvrstimo u formulu (3)

12 42 Damira Keček zajedno sa rješenjima x 1 i x 2 Konačno slijedi D n 4 3 4n ( 1 3 ) 1n 4n1 1 3 Literatura [1] K Horvatić, Linearna algebra, PMF - Matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 1999 [2] IV Proskuryakov, Problems in Linear Algebra, Mir, Moskva, 1978

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

MATH 2050 Assignment 8 Fall [10] 1. Find the determinant by reducing to triangular form for the following matrices.

MATH 2050 Assignment 8 Fall [10] 1. Find the determinant by reducing to triangular form for the following matrices. MATH 2050 Assignment 8 Fall 2016 [10] 1. Find the determinant by reducing to triangular form for the following matrices. 0 1 2 (a) A = 2 1 4. ANS: We perform the Gaussian Elimination on A by the following

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

Formula for the inverse matrix. Cramer s rule. Review: 3 3 determinants can be computed expanding by any row or column

Formula for the inverse matrix. Cramer s rule. Review: 3 3 determinants can be computed expanding by any row or column Math 20F Linear Algebra Lecture 18 1 Determinants, n n Review: The 3 3 case Slide 1 Determinants n n (Expansions by rows and columns Relation with Gauss elimination matrices: Properties) Formula for the

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Math 240 Calculus III

Math 240 Calculus III The Calculus III Summer 2015, Session II Wednesday, July 8, 2015 Agenda 1. of the determinant 2. determinants 3. of determinants What is the determinant? Yesterday: Ax = b has a unique solution when A

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni

More information

Chapter 4. Determinants

Chapter 4. Determinants 4.2 The Determinant of a Square Matrix 1 Chapter 4. Determinants 4.2 The Determinant of a Square Matrix Note. In this section we define the determinant of an n n matrix. We will do so recursively by defining

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

TOPIC III LINEAR ALGEBRA

TOPIC III LINEAR ALGEBRA [1] Linear Equations TOPIC III LINEAR ALGEBRA (1) Case of Two Endogenous Variables 1) Linear vs. Nonlinear Equations Linear equation: ax + by = c, where a, b and c are constants. 2 Nonlinear equation:

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

KONAČNE GEOMETRIJE. Predavanja. Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet. Matematički odsjek. Juraj Šiftar Vedran Krčadinac

KONAČNE GEOMETRIJE. Predavanja. Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet. Matematički odsjek. Juraj Šiftar Vedran Krčadinac Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek KONAČNE GEOMETRIJE Predavanja Juraj Šiftar Vedran Krčadinac Akademska godina 2012./2013. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Dizajni 7 3 Izomorfizam

More information

Linear Algebra and Vector Analysis MATH 1120

Linear Algebra and Vector Analysis MATH 1120 Faculty of Engineering Mechanical Engineering Department Linear Algebra and Vector Analysis MATH 1120 : Instructor Dr. O. Philips Agboola Determinants and Cramer s Rule Determinants If a matrix is square

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5

A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5 Goranka Štimac Rončević 1 Original scientific paper Branimir Rončević 2 UDC 534-16 Ante Skoblar 3 Sanjin Braut 4 A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Chapter 2:Determinants. Section 2.1: Determinants by cofactor expansion

Chapter 2:Determinants. Section 2.1: Determinants by cofactor expansion Chapter 2:Determinants Section 2.1: Determinants by cofactor expansion [ ] a b Recall: The 2 2 matrix is invertible if ad bc 0. The c d ([ ]) a b function f = ad bc is called the determinant and it associates

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Automorphic Inversion and Circular Quartics in Isotropic Plane

Automorphic Inversion and Circular Quartics in Isotropic Plane Original scientific paper Accepted 0. 11. 008. EMA JURKIN Automorphic Inversion and Circular Quartics in Isotropic Plane Automorphic Inversion and Circular Quartics in Isotropic Plane ABSTRACT In this

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Professional paper Accepted 23.11.2007. TATIANA OLEJNÍKOVÁ Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix ABSTRACT The paper describes cyclical surfaces created

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

The problem of Diophantus and Davenport

The problem of Diophantus and Davenport Mathematical Communications 2(1997), 153 160 153 The problem of Diophantus and Davenport Andrej Dujella Abstract. In this paper we describe the author s results concerning the problem of the existence

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Periodi i oblici titranja uobičajenih okvirnih AB građevina

Periodi i oblici titranja uobičajenih okvirnih AB građevina DOI: https://doi.org/10.1456/jce.1774.016 Građevinar /018 Primljen / Received: 30.7.016. Ispravljen / Corrected: 19..017. Prihvaćen / Accepted: 8..017. Dostupno online / Available online: 10.3.018. Periodi

More information

DES I AES. Ivan Nad PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc.dr.sc.

DES I AES. Ivan Nad PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc.dr.sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Nad DES I AES Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zrinka Franušić Zagreb, srpanj, 2014. Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Evaluating Determinants by Row Reduction

Evaluating Determinants by Row Reduction Evaluating Determinants by Row Reduction MATH 322, Linear Algebra I J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2015 Objectives Reduce a matrix to row echelon form and evaluate its determinant.

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.

More information

Erdös-Mordellova nejednakost

Erdös-Mordellova nejednakost Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman

More information

Materials engineering Collage \\ Ceramic & construction materials department Numerical Analysis \\Third stage by \\ Dalya Hekmat

Materials engineering Collage \\ Ceramic & construction materials department Numerical Analysis \\Third stage by \\ Dalya Hekmat Materials engineering Collage \\ Ceramic & construction materials department Numerical Analysis \\Third stage by \\ Dalya Hekmat Linear Algebra Lecture 2 1.3.7 Matrix Matrix multiplication using Falk s

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

MAC Module 3 Determinants. Learning Objectives. Upon completing this module, you should be able to:

MAC Module 3 Determinants. Learning Objectives. Upon completing this module, you should be able to: MAC 2 Module Determinants Learning Objectives Upon completing this module, you should be able to:. Determine the minor, cofactor, and adjoint of a matrix. 2. Evaluate the determinant of a matrix by cofactor

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Determinants Chapter 3 of Lay

Determinants Chapter 3 of Lay Determinants Chapter of Lay Dr. Doreen De Leon Math 152, Fall 201 1 Introduction to Determinants Section.1 of Lay Given a square matrix A = [a ij, the determinant of A is denoted by det A or a 11 a 1j

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

Final Examination 201-NYC-05 - Linear Algebra I December 8 th, and b = 4. Find the value(s) of a for which the equation Ax = b

Final Examination 201-NYC-05 - Linear Algebra I December 8 th, and b = 4. Find the value(s) of a for which the equation Ax = b Final Examination -NYC-5 - Linear Algebra I December 8 th 7. (4 points) Let A = has: (a) a unique solution. a a (b) infinitely many solutions. (c) no solution. and b = 4. Find the value(s) of a for which

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem 61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the

More information

Determinants. Samy Tindel. Purdue University. Differential equations and linear algebra - MA 262

Determinants. Samy Tindel. Purdue University. Differential equations and linear algebra - MA 262 Determinants Samy Tindel Purdue University Differential equations and linear algebra - MA 262 Taken from Differential equations and linear algebra by Goode and Annin Samy T. Determinants Differential equations

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information

Inverses and Determinants

Inverses and Determinants Engineering Mathematics 1 Fall 017 Inverses and Determinants I begin finding the inverse of a matrix; namely 1 4 The inverse, if it exists, will be of the form where AA 1 I; which works out to ( 1 4 A

More information

Properties of the Determinant Function

Properties of the Determinant Function Properties of the Determinant Function MATH 322, Linear Algebra I J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2015 Overview Today s discussion will illuminate some of the properties of the determinant:

More information

Components and change of basis

Components and change of basis Math 20F Linear Algebra Lecture 16 1 Components and change of basis Slide 1 Review: Isomorphism Review: Components in a basis Unique representation in a basis Change of basis Review: Isomorphism Definition

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Lecture 10: Determinants and Cramer s Rule

Lecture 10: Determinants and Cramer s Rule Lecture 0: Determinants and Cramer s Rule The determinant and its applications. Definition The determinant of a square matrix A, denoted by det(a) or A, is a real number, which is defined as follows. -by-

More information

Determinants by Cofactor Expansion (III)

Determinants by Cofactor Expansion (III) Determinants by Cofactor Expansion (III) Comment: (Reminder) If A is an n n matrix, then the determinant of A can be computed as a cofactor expansion along the jth column det(a) = a1j C1j + a2j C2j +...

More information