Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda"

Transcription

1 Osječki matematički list 10(2010), STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Svaka od njih je ilustrirana primjerima Ključne riječi: razvoj determinante determinante, algebarski komplement, Laplaceov Methods of computing determinants of the n-th order Abstract In the paper are described methods of computing determinants of the n-th order Each of them is illustrated by examples Key words: determinants, cofactor, Laplace expansion of the determinant 1 Uvod Determinantu kvadratne matrice A [a ij ] reda n definiramo kao broj deta ( 1) i(p) a 1p(1) a 2p(2) a np(n) gdje p(1), p(2),, p(n) prolaze svih n! mogućih permutacija brojeva 1, 2,, n Predznak svakog sumanda u deta ovisi o broju inverzija u permutaciji, i(p), tj o broju situacija kad u permutaciji vrijedi i<ji p(i) >p(j) Determinantu matrice obično označavamo sa a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n deta det a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Veleučilište u Varaždinu Jurja Križanića 33, Varaždin,

2 32 Damira Keček Ako je n 1,detA a a ( ) ( ) Za n 2 imamo 2! 2 permutacije, p 1 i p Kako je 2 1 i(p 1 )0,ai(p 2 ) 1 imamo a 11 a 12 a 21 a 22 ( 1)0 a 11 a 22 ( 1) 1 a 12 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 Za n 3 račun postaje kompliciraniji, imamo 3! 6 permutacija, ( ) ( ) ( ) ( p 1, p , p , p ( ) ( ) p 5 i p Dobivamo a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 0 a 11 a 22 a 33 ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 ( 1) 1 a 12 a 21 a 33 ( 1) 2 a 12 a 23 a 31 ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 ( 1) 3 a 13 a 22 a 31 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Primijetimo da računanje determinante pomoću definicije nije jednostavno Zato postoje razne metode kojima se determinanta brže izračuna, a najopćenitija metoda je Laplaceov razvoj determinante Laplaceov razvoj determinante može se provoditi po bilo kojem retku ili stupcu matrice Neka je A matrica reda n Ako u toj matrici izostavimo i-ti redak i j-ti stupac dobit ćemo matricu čiju determinantu zovemo subdeterminanta ili minora i označavamo sa M ij Algebarski komplement ili kofaktor elementa a ij je broj A ij ( 1) ij M ij ), Laplaceov razvoj po i-tom retku: deta Laplaceov razvoj po j-tom stupcu: deta n a ij A ij j1 n a ij A ij i1 Zadatak 1 Izračunajte determinantu matrice A Laplaceovim razvojem po

3 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 33 a) trećem retku, b) drugom stupcu Rješenje: a) b) ( 1) ( 1) ( 1) [0 ( 8)] 5 [ 1 ( 12)] 1 (4 0) 27 0 ( 1) ( 1) ( 1) [1 ( 6)] 5 [ 1 ( 12)] 27 Kod računanja determinante matrice najbolje je izabrati onaj redak ili stupac koji sadrži najviše nula jer je tada račun kraći Navedimo sada neka svojstva determinanti koja ćemo koristiti u izračunavanju determinanti višeg reda: 1 Dodamo (oduzmemo) li nekom retku (stupcu) elemente nekog drugog retka (stupca) ili njihovu linearnu kombinaciju, vrijednost determinante se ne mijenja 2 Ako je matrica B dobivena iz matrice A množenjem jednog njenog retka (stupca) brojem c, tada je det(b) c det(a) 3 Ako se neki redak ili stupac matrice sastoji samo od nula, determinanta te matrice jednaka je nuli 4 Ako je A trokutasta matrica, tada joj je determinanta jednaka produktu elemenata njezine glavne dijagonale 5 Ako su u matrici dva retka (stupca) proporcionalna, determinanta joj je jednaka nuli 6 Zamjenom dvaju stupaca determinanta mijenja predznak

4 34 Damira Keček 7 Neka se matrice A i B razlikuju samo u elementima i-tog retka (stupca) Suma determinanti det(a) det(b) je determinanta čiji je i-ti redak (stupac) suma odgovarajućih članova i-tih redova (stupaca) u det(a) i det(b), a ostali elementi su jednaki odgovarajućim elementima tih determinanti 8 Ako su A i B kvadratne matrice istog reda, tada vrijedi det(ab) det(a)det(b) (Binet-Cauchyjev teorem) 2 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 21 Svod enje matrice na trokutasti oblik Ova metoda se sastoji u transformiranju matrice transformacijama sličnosti u oblik u kojem su svi elementi s jedne strane glavne dijagonale matrice jednaki nuli Tada primjenom Cauchy Binetove formule slijedi da je vrijednost determinante matrice jednaka produktu elemenata na glavnoj dijagonali Zadatak 2 Izračunajte determinantu D 1 x 12 x 13 x 1n 1 2 x 23 x 2n x 3n n Rješenje: Pomnožimo prvi redak sa -1 i dodamo drugom, trećem,, n-tom, to nam daje 1 x 12 x 13 x 1n 1 x 12 x 13 x 1n 1 2 x 23 x 2n 0 2 x 12 x 23 x 13 x 2n x 1n D x 3n 0 2 x 12 3 x 13 x 3n x 1n n 0 2 x 12 3 x 13 n x 1n nastavimo li analogno postupak, tj pomnožimo drugi redak sa 1 i dodamo trećem, četvrtom,, n-tom, i tako sve do (n 1) retka, dobivamo D 1 x 12 x 13 x 1n 0 2 x 12 x 23 x 13 x 2n x 1n x 23 x 3n x 1n n x n 1,n (2 x 12 ) (3 x 23 ) (n x n 1,n )

5 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 35 Zadatak 3 Izračunajte determinantu D x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 x 1 x 2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 2 x n 1 x n 1 y n 1 x n 1 x n 1 x n 1 x n y n x n x n x n x n Rješenje: Pomnožimo prvi redak sa x 1 i dodamo drugom, pomnožimo prvi redak sa x 2 i dodamo trećem,, pomnožimo prvi redak sa x n i dodamo n-tom retku x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 x 1 x 2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 2 D x n 1 x n 1 y n 1 x n 1 x n 1 x n 1 x n y n x n x n x n x n y y y n y n razvoj po (n1) stupcu y y 2 0 ( 1) 1n1 0 y n y n y y 2 0 ( 1) 1n1 ( 1) n 0 y n y n u ovoj determinanti će preživjeti jedino sumand koji odgovara permutaciji ( ) 1 2 n 1 n p n n ( 1) n(n 1) 2 y 1 y 2 y n

6 36 Damira Keček 22 Metoda promjene elemenata u determinanti a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Neka je D determinanta kvadratne matrice A, a a n1 a n2 a nn a 11 x a 12 x a 1n x a 21 x a 22 x a 2n x D determinanta u kojoj svakom elementu a n1 x a n2 x a nn x determinante D dodamo broj x Primjenom svojstva 7, rastavimo determinantu D po prvom retku na zbroj dvije determinante, zatim svaku od njih rastavimo na zbroj dvije determinante po drugom retku, analogno nastavimo rastavljati dalje od trećeg do n-tog retka Determinante s dva ili više redaka koji se sastoje samo od elemenata x, jednake su nuli prema svojstvu 5, a nad one koje sadrže jedan redak s elementima x primjenimo svojstvo 2 i razvijemo Laplaceovim pravilom po tom retku Imamo a 11 x a 12 x a 1n x a 21 x a 22 x a 2n x D a n1 x a n2 x a nn x a 11 a 12 a 1n x x x a 21 x a 22 x a 2n x a 21 x a 22 x a 2n x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x x x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x x x x x x x a 21 a 22 a 2n x x x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x }{{} 0 dalje nastavljamo analogno rastavljati od 3 do n-tog retka

7 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 37 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn n i1 a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n x x x a i1,1 a i1,2 a i1,n a n1 a n2 a nn D n i1 x n j1 A ij D x n i,j1 A ij, gdje je A ij algebarski komplement elementa a ij Zadatak 4 Izračunajte determinantu D n 1 n n n n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n Rješenje: D n (1 n)n 0n 0n 0n 0n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n 1 n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n n n n n n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n }{{} 0 1 n n (2 n)n 0n 0n 0n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n

8 38 Damira Keček 1 n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n 1 n n n n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n }{{} 0 Nastavimo li analogno postupak rastavljanja determinanti, dobivamo D n 1 n n n n n n n n primjena svojstva 4 (1 n)(2 n) ( 1) n ( 1) n 1 n! Zadatak 5 Izračunajte determinantu D n x y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x Rješenje: D n (x y)y 0y 0y 0y 0y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x x y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x

9 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 39 x y x y y y x y y y y y x y y y y y x x y y y y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y 0 x y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y y y y y y y y x y y y y y x y y y y y x }{{} 0 x y x y x y 0 0 y y y x y y y y y x x y x y y y y y y y y y x y y y y y x x y y y y y y 0 0 x y 0 0 y y y x y y y y y x x y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y x }{{} 0 y y y y y 0 x y x y 0 0 y y y x y y y y y x y y y y y 0 x y y y y y y y y y x y y y y y x }{{} 0

10 40 Damira Keček x y x y x y x y x y n (x y) n y  ij i,j1 y n  ij i,j1  ij 0, za i j x y 0 0  ii ( 1) ii 0 x y 0 (x y) n 1, za i j 0 0 x y (x y) n y n (x y) n 1 (x y) n 1 [x y (n 1)] 23 Metoda rekurzivnih relacija Neka je dvočlana rekurzija s konstantnim koeficijentima Razlikujemo 2 slučaja: 1 r 0, onda je D n pd n 1 rd n 2, n 3 (1) D n pd n 1 p(pd n 2 )p 2 D n 2 p n 1 D 1 (2) 2 r 0 Rekurziji (1) pridružujemo karakteristični polinom k(x) x 2 px r Neka su x 1 i x 2 korijeni karakteristične jednadžbe x 2 px r 0 Imamo slučajeve: (a) x 1 x 2, onda je D n k 1 x n 1 k 2x n 2,n N, (3) gdje se konstante k 1 i k 2 odrede pomoću poznatih D 1 i D 2, tj k 1 D 2 x 2 D 1 x 1 (x 1 x 2 ), (4)

11 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 41 (b) x 1 x 2, onda je k 2 D 2 x 1 D 1 x 2 (x 1 x 2 ) (5) D n x n 1 1 D 1 (n 1)x n 2 1 (D 2 x 1 D 1 ),n N (6) Zadatak 6 Izračunajte determinantu: D n Rješenje: D n { razvoj po 1 retku } ( 1) ( 1) D n 1 4 { razvoj po 1 stupcu } D n ( 1) D n 1 4D n 2, D 1 5 5,D Rješenja karakteristične jednadžbe x 2 5x 40sux 1 4ix 2 1 Pomoću formula (4) i (5) odredimo koeficijente k 1 i k 2 koje uvrstimo u formulu (3)

12 42 Damira Keček zajedno sa rješenjima x 1 i x 2 Konačno slijedi D n 4 3 4n ( 1 3 ) 1n 4n1 1 3 Literatura [1] K Horvatić, Linearna algebra, PMF - Matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 1999 [2] IV Proskuryakov, Problems in Linear Algebra, Mir, Moskva, 1978

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Math 240 Calculus III

Math 240 Calculus III The Calculus III Summer 2015, Session II Wednesday, July 8, 2015 Agenda 1. of the determinant 2. determinants 3. of determinants What is the determinant? Yesterday: Ax = b has a unique solution when A

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Formula for the inverse matrix. Cramer s rule. Review: 3 3 determinants can be computed expanding by any row or column

Formula for the inverse matrix. Cramer s rule. Review: 3 3 determinants can be computed expanding by any row or column Math 20F Linear Algebra Lecture 18 1 Determinants, n n Review: The 3 3 case Slide 1 Determinants n n (Expansions by rows and columns Relation with Gauss elimination matrices: Properties) Formula for the

More information

TOPIC III LINEAR ALGEBRA

TOPIC III LINEAR ALGEBRA [1] Linear Equations TOPIC III LINEAR ALGEBRA (1) Case of Two Endogenous Variables 1) Linear vs. Nonlinear Equations Linear equation: ax + by = c, where a, b and c are constants. 2 Nonlinear equation:

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Linear Algebra and Vector Analysis MATH 1120

Linear Algebra and Vector Analysis MATH 1120 Faculty of Engineering Mechanical Engineering Department Linear Algebra and Vector Analysis MATH 1120 : Instructor Dr. O. Philips Agboola Determinants and Cramer s Rule Determinants If a matrix is square

More information

Chapter 4. Determinants

Chapter 4. Determinants 4.2 The Determinant of a Square Matrix 1 Chapter 4. Determinants 4.2 The Determinant of a Square Matrix Note. In this section we define the determinant of an n n matrix. We will do so recursively by defining

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Chapter 2:Determinants. Section 2.1: Determinants by cofactor expansion

Chapter 2:Determinants. Section 2.1: Determinants by cofactor expansion Chapter 2:Determinants Section 2.1: Determinants by cofactor expansion [ ] a b Recall: The 2 2 matrix is invertible if ad bc 0. The c d ([ ]) a b function f = ad bc is called the determinant and it associates

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Evaluating Determinants by Row Reduction

Evaluating Determinants by Row Reduction Evaluating Determinants by Row Reduction MATH 322, Linear Algebra I J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2015 Objectives Reduce a matrix to row echelon form and evaluate its determinant.

More information

Determinants Chapter 3 of Lay

Determinants Chapter 3 of Lay Determinants Chapter of Lay Dr. Doreen De Leon Math 152, Fall 201 1 Introduction to Determinants Section.1 of Lay Given a square matrix A = [a ij, the determinant of A is denoted by det A or a 11 a 1j

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Professional paper Accepted 23.11.2007. TATIANA OLEJNÍKOVÁ Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix ABSTRACT The paper describes cyclical surfaces created

More information

Lecture 10: Determinants and Cramer s Rule

Lecture 10: Determinants and Cramer s Rule Lecture 0: Determinants and Cramer s Rule The determinant and its applications. Definition The determinant of a square matrix A, denoted by det(a) or A, is a real number, which is defined as follows. -by-

More information

Determinants. Samy Tindel. Purdue University. Differential equations and linear algebra - MA 262

Determinants. Samy Tindel. Purdue University. Differential equations and linear algebra - MA 262 Determinants Samy Tindel Purdue University Differential equations and linear algebra - MA 262 Taken from Differential equations and linear algebra by Goode and Annin Samy T. Determinants Differential equations

More information

4. Determinants.

4. Determinants. 4. Determinants 4.1. Determinants; Cofactor Expansion Determinants of 2 2 and 3 3 Matrices 2 2 determinant 4.1. Determinants; Cofactor Expansion Determinants of 2 2 and 3 3 Matrices 3 3 determinant 4.1.

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Determinants by Cofactor Expansion (III)

Determinants by Cofactor Expansion (III) Determinants by Cofactor Expansion (III) Comment: (Reminder) If A is an n n matrix, then the determinant of A can be computed as a cofactor expansion along the jth column det(a) = a1j C1j + a2j C2j +...

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research

More information

The Laplace Expansion Theorem: Computing the Determinants and Inverses of Matrices

The Laplace Expansion Theorem: Computing the Determinants and Inverses of Matrices The Laplace Expansion Theorem: Computing the Determinants and Inverses of Matrices David Eberly, Geometric Tools, Redmond WA 98052 https://www.geometrictools.com/ This work is licensed under the Creative

More information

c c c c c c c c c c a 3x3 matrix C= has a determinant determined by

c c c c c c c c c c a 3x3 matrix C= has a determinant determined by Linear Algebra Determinants and Eigenvalues Introduction: Many important geometric and algebraic properties of square matrices are associated with a single real number revealed by what s known as the determinant.

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING POUZDANOST LIJEPLJENIH LAMELIRANIH NOSAČA NA SAVIJANJE

RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING POUZDANOST LIJEPLJENIH LAMELIRANIH NOSAČA NA SAVIJANJE RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING Mario Jeleč Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Civil Engineering Osijek, mag.ing.aedif. Corresponding author: mjelec@gfos.hr Damir

More information

Math 110 Linear Algebra Midterm 2 Review October 28, 2017

Math 110 Linear Algebra Midterm 2 Review October 28, 2017 Math 11 Linear Algebra Midterm Review October 8, 17 Material Material covered on the midterm includes: All lectures from Thursday, Sept. 1st to Tuesday, Oct. 4th Homeworks 9 to 17 Quizzes 5 to 9 Sections

More information

det(ka) = k n det A.

det(ka) = k n det A. Properties of determinants Theorem. If A is n n, then for any k, det(ka) = k n det A. Multiplying one row of A by k multiplies the determinant by k. But ka has every row multiplied by k, so the determinant

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

Problem četiri boje. Four colors problem

Problem četiri boje. Four colors problem Osječki matematički list 10(2010), 21 29 21 Problem četiri boje Iva Gregurić, Antoaneta Klobučar Sažetak. U ovom članku pokušat ćemo približiti učenicima srednjih škola jedan od zanimljivijih problema

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Math 313 (Linear Algebra) Exam 2 - Practice Exam

Math 313 (Linear Algebra) Exam 2 - Practice Exam Name: Student ID: Section: Instructor: Math 313 (Linear Algebra) Exam 2 - Practice Exam Instructions: For questions which require a written answer, show all your work. Full credit will be given only if

More information

ENGR-1100 Introduction to Engineering Analysis. Lecture 21

ENGR-1100 Introduction to Engineering Analysis. Lecture 21 ENGR-1100 Introduction to Engineering Analysis Lecture 21 Lecture outline Procedure (algorithm) for finding the inverse of invertible matrix. Investigate the system of linear equation and invertibility

More information

MATH 1210 Assignment 4 Solutions 16R-T1

MATH 1210 Assignment 4 Solutions 16R-T1 MATH 1210 Assignment 4 Solutions 16R-T1 Attempt all questions and show all your work. Due November 13, 2015. 1. Prove using mathematical induction that for any n 2, and collection of n m m matrices A 1,

More information

RESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS

RESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS Nenad, VARDA, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, I. Lučića 5, 10000 Zagreb Nastia, DEGIULI, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Pojam funkcije u nastavi matematike... Uvod Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Mirjana Marjanović Matić 1 Matematika se u školi predaje od davnina pa vjerujemo kako bi se svi složili da

More information

k=1 ( 1)k+j M kj detm kj. detm = ad bc. = 1 ( ) 2 ( )+3 ( ) = = 0

k=1 ( 1)k+j M kj detm kj. detm = ad bc. = 1 ( ) 2 ( )+3 ( ) = = 0 4 Determinants The determinant of a square matrix is a scalar (i.e. an element of the field from which the matrix entries are drawn which can be associated to it, and which contains a surprisingly large

More information

CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath

CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 18 = 519 (2014): 125-143 CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath Abstract. This paper gives a complete classification

More information

SPRING OF 2008 D. DETERMINANTS

SPRING OF 2008 D. DETERMINANTS 18024 SPRING OF 2008 D DETERMINANTS In many applications of linear algebra to calculus and geometry, the concept of a determinant plays an important role This chapter studies the basic properties of determinants

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

The Prediction of. Key words: LD converter, slopping, acoustic pressure, Fourier transformation, prediction, evaluation

The Prediction of. Key words: LD converter, slopping, acoustic pressure, Fourier transformation, prediction, evaluation K. Kostúr, J. et Futó al.: The Prediction of Metal Slopping in LD Coerter on Base an Acoustic ISSN 0543-5846... METABK 45 (2) 97-101 (2006) UDC - UDK 669.184.224.66:534.6=111 The Prediction of Metal Slopping

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Math Linear Algebra Final Exam Review Sheet

Math Linear Algebra Final Exam Review Sheet Math 15-1 Linear Algebra Final Exam Review Sheet Vector Operations Vector addition is a component-wise operation. Two vectors v and w may be added together as long as they contain the same number n of

More information

THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC

THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 7, 2000, pp. 887-891 THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC 621.962 621.744.52

More information

The Matrix-Tree Theorem

The Matrix-Tree Theorem The Matrix-Tree Theorem Christopher Eur March 22, 2015 Abstract: We give a brief introduction to graph theory in light of linear algebra. Our results culminates in the proof of Matrix-Tree Theorem. 1 Preliminaries

More information

Notes on Determinants and Matrix Inverse

Notes on Determinants and Matrix Inverse Notes on Determinants and Matrix Inverse University of British Columbia, Vancouver Yue-Xian Li March 17, 2015 1 1 Definition of determinant Determinant is a scalar that measures the magnitude or size of

More information

Math 416, Spring 2010 The algebra of determinants March 16, 2010 THE ALGEBRA OF DETERMINANTS. 1. Determinants

Math 416, Spring 2010 The algebra of determinants March 16, 2010 THE ALGEBRA OF DETERMINANTS. 1. Determinants THE ALGEBRA OF DETERMINANTS 1. Determinants We have already defined the determinant of a 2 2 matrix: det = ad bc. We ve also seen that it s handy for determining when a matrix is invertible, and when it

More information

Introduction. Vectors and Matrices. Vectors [1] Vectors [2]

Introduction. Vectors and Matrices. Vectors [1] Vectors [2] Introduction Vectors and Matrices Dr. TGI Fernando 1 2 Data is frequently arranged in arrays, that is, sets whose elements are indexed by one or more subscripts. Vector - one dimensional array Matrix -

More information

Announcements Wednesday, October 25

Announcements Wednesday, October 25 Announcements Wednesday, October 25 The midterm will be returned in recitation on Friday. The grade breakdown is posted on Piazza. You can pick it up from me in office hours before then. Keep tabs on your

More information

A choice of norm in discrete approximation

A choice of norm in discrete approximation 147 A choice of norm in discrete approximation Tomislav Marošević Abstract. We consider the problem of choice of norms in discrete approximation. First, we describe properties of the standard l 1, l 2

More information

PRIMJENA LINEARNOGA PROGRAMIRANJA NA PROBLEME PROMIDŽBE. Diplomski rad

PRIMJENA LINEARNOGA PROGRAMIRANJA NA PROBLEME PROMIDŽBE. Diplomski rad VELEUČILIŠTE U POŽEGI Danijela Japarić PRIMJENA LINEARNOGA PROGRAMIRANJA NA PROBLEME PROMIDŽBE Diplomski rad Lipanj, 2014. VELEUČILIŠTE U POŽEGI SPECIJALISTIČKI DIPLOMSKI STUDIJ TRGOVINSKO POSLOVANJE PRIMJENA

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

Determinants. Recall that the 2 2 matrix a b c d. is invertible if

Determinants. Recall that the 2 2 matrix a b c d. is invertible if Determinants Recall that the 2 2 matrix a b c d is invertible if and only if the quantity ad bc is nonzero. Since this quantity helps to determine the invertibility of the matrix, we call it the determinant.

More information

LECTURE 4: DETERMINANT (CHAPTER 2 IN THE BOOK)

LECTURE 4: DETERMINANT (CHAPTER 2 IN THE BOOK) LECTURE 4: DETERMINANT (CHAPTER 2 IN THE BOOK) Everything with is not required by the course syllabus. Idea Idea: for each n n matrix A we will assign a real number called det(a). Properties: det(a) 0

More information

Determinants. Beifang Chen

Determinants. Beifang Chen Determinants Beifang Chen 1 Motivation Determinant is a function that each square real matrix A is assigned a real number, denoted det A, satisfying certain properties If A is a 3 3 matrix, writing A [u,

More information

The Determinant: a Means to Calculate Volume

The Determinant: a Means to Calculate Volume The Determinant: a Means to Calculate Volume Bo Peng August 16, 2007 Abstract This paper gives a definition of the determinant and lists many of its well-known properties Volumes of parallelepipeds are

More information

A = 3 B = A 1 1 matrix is the same as a number or scalar, 3 = [3].

A = 3 B = A 1 1 matrix is the same as a number or scalar, 3 = [3]. Appendix : A Very Brief Linear ALgebra Review Introduction Linear Algebra, also known as matrix theory, is an important element of all branches of mathematics Very often in this course we study the shapes

More information

ORIE 6334 Spectral Graph Theory September 8, Lecture 6. In order to do the first proof, we need to use the following fact.

ORIE 6334 Spectral Graph Theory September 8, Lecture 6. In order to do the first proof, we need to use the following fact. ORIE 6334 Spectral Graph Theory September 8, 2016 Lecture 6 Lecturer: David P. Williamson Scribe: Faisal Alkaabneh 1 The Matrix-Tree Theorem In this lecture, we continue to see the usefulness of the graph

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Diskretna Fourierova transformacija

Diskretna Fourierova transformacija Elektrotehnički fakultet Sveučilište u Osijeku Kneza Trpimira 2b Osijek, 14 siječnja 2008 Seminarski rad iz predmeta Matematičko programiranje Diskretna Fourierova transformacija Željko Mihaljčić 1, Držislav

More information

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja optimizacija Tihana Strmečki, Ivana Božić i Bojan Kovačić Tehničko veleučilište u Zagrebu,

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

Calculating determinants for larger matrices

Calculating determinants for larger matrices Day 26 Calculating determinants for larger matrices We now proceed to define det A for n n matrices A As before, we are looking for a function of A that satisfies the product formula det(ab) = det A det

More information

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Anto Čabraja PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb,

More information

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute

More information

Determinants and Scalar Multiplication

Determinants and Scalar Multiplication Properties of Determinants In the last section, we saw how determinants interact with the elementary row operations. There are other operations on matrices, though, such as scalar multiplication, matrix

More information

The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems

The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 61 (4) 815-819 (1988) CCA-1828 YU ISSN 0011-1643 UDC 541.571.9 Original Scientific Paper The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems Slawomir J. Grabowski Institute

More information

Determinant and Permanent of Hessenberg Matrix and Fibonacci Type Numbers

Determinant and Permanent of Hessenberg Matrix and Fibonacci Type Numbers Gen. Math. Notes, Vol. 9, No. 2, April 2012, pp.32-41 ISSN 2219-7184; Copyright c ICSRS Publication, 2012 www.i-csrs.org Available free online at http://www.geman.in Determinant and Permanent of Hessenberg

More information

MATH 323 Linear Algebra Lecture 6: Matrix algebra (continued). Determinants.

MATH 323 Linear Algebra Lecture 6: Matrix algebra (continued). Determinants. MATH 323 Linear Algebra Lecture 6: Matrix algebra (continued). Determinants. Elementary matrices Theorem 1 Any elementary row operation σ on matrices with n rows can be simulated as left multiplication

More information

24. Balkanska matematiqka olimpijada

24. Balkanska matematiqka olimpijada 4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako

More information

= 1 and 2 1. T =, and so det A b d

= 1 and 2 1. T =, and so det A b d Chapter 8 Determinants The founder of the theory of determinants is usually taken to be Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716, who also shares the credit for inventing calculus with Sir Isaac Newton (1643

More information

Chapter 3. Determinants. We will follow an algorithmic approach due to Emil Artin. We need a few preliminaries about permutations on a finite set.

Chapter 3. Determinants. We will follow an algorithmic approach due to Emil Artin. We need a few preliminaries about permutations on a finite set. Chapter 3 Determinants 3.1 Permutations, Signature of a Permutation We will follow an algorithmic approach due to Emil Artin. We need a few preliminaries about permutations on a finite set. We need to

More information

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog

More information

Introduction to Matrices

Introduction to Matrices 214 Analysis and Design of Feedback Control Systems Introduction to Matrices Derek Rowell October 2002 Modern system dynamics is based upon a matrix representation of the dynamic equations governing the

More information