SPH SIMULACIJA POISEULLEOVOG STRUJANJA PRI NISKIM REYNOLDSOVIM BROJEVIMA

Transcription

1 Vuko, VUKČEVIĆ, Sveučlšte u Zagrebu, Fakultet strojarstva brodogradnje, Zagreb Andreja, WERER, Sveučlšte u Zagrebu, Fakultet strojarstva brodogradnje, Zagreb asta, DEGIULI, Sveučlšte u Zagrebu, Fakultet strojarstva brodogradnje, Zagreb SPH SIMULACIJA POISEULLEOVOG STRUJAJA PRI ISKIM REYOLDSOVIM BROJEVIMA Sažetak U ovom radu je ukratko opsana metoda hdrodnamke zglañenh čestca engl. Smoothed partcle hydrodynamcs ) l SPH metoda za smulacju problema dnamke fluda koja se zasnva na sustavu čestca. SPH metoda aproksmra kontnuum s konačnm brojem čestca koje nose fzkalna svojstva te ujedno služe kao čvorov u kojma se aproksmraju funkcje polja. Prkazana je ntegralna aproksmacja funkcja polja njenh dervacja pomoću jezgrenh funkcja, kao aproksmacja čestcama. Da b osgurale konzstentnost odreñenog reda, jezgrene funkcje moraju zadovoljt uvjete koj su u radu prkazan. Razvjen je računaln kod za smulacju Poseulleovog strujanja. Pokazano je da se dobven rezultat vrlo dobro slažu s analtčkm rješenjem. Kao svaka numerčka metoda, SPH metoda takoñer ma svoje prednost nedostatke koj su prmjećen kroz teorjska razmatranja kroz praksu, te su ovdje ukratko naveden. Ključne rječ: hdrodnamka zglañenh čestca, jezgrene funkcje, Poseulleovo strujanje SPH SIMULATIO OF POISEUILLE FLOW AT LOW REYOLDS UMBERS Summary Ths paper brefly descrbes the smoothed partcle hydrodynamcs method or SPH method for smulatng flud dynamcs phenomena, whch s based on a system of partcles. The SPH method approxmates the contnuum wth a fnte number of partcles that carry the physcal propertes and also serve as approxmaton ponts n whch the feld functons are approxmated. Integral approxmaton of the feld functons and ts dervatves are descrbed usng kernel functons, and partcle approxmatons as well. To ensure the consstency of a partcular order, kernel functons must satsfy the condtons presented n the paper. Computer code has been developed for smulatng the Poseulle flow. It s shown that the obtaned results agree farly well wth the analytcal soluton. As wth any numercal method, the SPH method also has ts advantages and dsadvantages that are observed through theoretcal consderatons and through practce, and are summarzed here. Key words: flow smoothed partcle hydrodynamcs, kernel smoothng functons, Poseulle

2 XX Symposum SORTA0 SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma. Uvod Rješenja aver-stokesovh jednadžb za razlčta lamnarna strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma maju velk značaj kako u teorjskoj, tako u prmjenjenoj mehanc fluda. Analtčka rješenja th jednadžb su dostupna samo za jednostavnje probleme, dok se za komplcranja strujanja u novje vrjeme sve vše prbjegava raznm numerčkm metodama. Metoda konačnh razlka, konačnh volumena te konačnh elemenata su često korštene za smulacju problema dnamke fluda. Iako su spomenute metode dobro utemeljene često u praks korštene, one maju svoje nedostatke. Prmjerce, smulacje strujanja sa slobodnom površnom, kao općento strujanja s pomčnm grancama, je dosta teško opsat tm metodama. Kako b se zbjegl naveden problem, razvjena je metoda hdrodnamke zglañenh čestca engl. Smoothed Partcle Hydrodynamcs, l skraćeno SPH metoda). SPH metoda korst Lagrangeov ops strujanja fluda, gdje se kontnuum, odnosno u ovom slučaju flud, aproksmra konačnm brojem prozvoljno smještenh čestca koje nose odreñena fzkalna svojstva kao što su gustoća, brzna, td. Buduć ova metoda ne zahtjeva prethodno defnranu povezanost zmeñu th čestca, ona je bezmrežna engl. meshless ). Iako se smatra da će bezmrežne metode zamjent ranje spomenute, klasčne numerčke metode koje zahtjevaju neku vrstu mreže [], one su još uvjek u razvojnoj faz. Kako je gbanje fluda opsano jednadžbom kontnuteta aver-stokesovm jednadžbama, u radu je predstavljena njhova SPH formulacja. Razvjen je računaln algortam koj korst upravo te jednadžbe u svrhu smulacje vremensk promjenjvog Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma.. SPH jednadžbe gbanja fluda U ovom poglavlju dan je kratk prkaz SPH formulacja jednadžb gbanja. Kao što je spomenuto, domena strujanja je dskretzrana konačnm brojem čestca koje nsu povezane. SPH formulacja se zasnva na ntegralnom prkazu funkcje polja pomoću takozvanh jezgrenh baznh) funkcja umjesto Dracove delta funkcje []: ) ) f x ) f x W x x, h dx = ) U jednadžb ) f x ) je funkcja polja, je volumen po kojem se vrš ntegracja, koj sadržava vektor položaja x. W x x, h) je jezgrena funkcja koja ovs o udaljenost zmeñu čvorova odnosno čestca) o nosaču jezgrene funkcje, parametru h. S obzrom da je Dracova delta funkcja zamjenjena s jezgrenom funkcjom, jednadžba ) predstavlja samo aproskmacju funkcje polja. Aproksmacja dervacje funkcje polja ) je dana s: ) f x ) f x ) = W x x, h dx ) Korsteć lančano pravlo dervranja z matematčke analze, sljed:, ) f x ) W x x h = f x ) W x d x, h) dx f x ) dx x x ' 3)

3 SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma XX Symposum SORTA0 Prmjenom teorema o dvergencj [3] na prv ntegral u jednadžb 3), te uzmajuć u obzr da jezgrena funkcja ščezava na grancama ntegracje, prv ntegral je jednak nul ukolko jezgrena funkja nje blzu ruba domene. Taj problem dolaz do zražaja za čestce blzu ruba domene, te se z tog razloga na rub domene dodaju razne vrtualne čestce. Ukratko, ukolko je udaljenost čestce od ruba domene najmanje h, jednadžba 3) postaje:, ) f x ) W x x h = f x ) dx 4) ' Jednadžba 4) pokazuje da se dervacja funkcje polja prenos na dervacju jezgrene funkcje. Ovakva formulacja je slčna Galerknovoj slaboj formulacj u metod konačnh elemenata [4]. Kako dx u prethodnm jednadžbama predstavlja dferencjaln volumen fluda, on se zamjenjuje s konačnm volumenom V β čestce β. Taj volumen je povezan s masom čestce m β preko poznatog zraza: m = V ρ 5) β β β Ukolko se ntegral u jednadžb ) zamjen sumacjom po čestca koje se nalaze unutar nosača jezgrene funkcje na mjestu x, funkcja polja je aproskmrana čestcama: mβ f x) = f xβ ) W x xβ, h) 6) ρ β = β uz napomenu da x označava vektor položaja, gdje se zbog jednostavnost spusto ndeks. a položaju čestce α, funkcja polja je defnrana s: m f x = f x W 7) β α β αβ β = ρβ gdje W αβ označava jezgrenu funkcju čestce α, zračunatu za čestcu β, odnosno, ) W = W x x h. Jednadžba 7) pokazuje da je vrjednost funkcje na položaju neke αβ α β čestce α dobvena kao težnska srednja vrjednost od čestca koje se nalaze u blzn čestce α. Korsteć razne denttete z matematčke analze, Monaghan []je dao sljedeć zraz za aproksmacju dervacje prostorne funkcje na pozcj čestce α : f x ) f x ) f x ) m W β α α αβ = ρα β + 8) α β = ρβ ρα α f x ) f x ) f x ) m W β α α αβ = ρα β + 9) α β = ρβ ρα α Jednadžbe 8) 9) su smetrzrane buduć se funkcja polja pojavljuje u parovma čestca koje meñusobno djelujuju jedne na druge. Ovakav smetrzran zraz povećavaju točnost stablnost smulacje, te se stoga često korste. Prostorna dervacja jezgrene funkcje dana je zrazom: 3

4 XX Symposum SORTA0 W x x W x W = = r r r r αβ α β αβ αβ αβ β αβ αβ αβ αβ SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma 0) Pomoću prethodnh razmatranja mogu se dobt SPH aproksmacje jednadžbe kontnuteta aver-stokesovh jednadžb. Općento, postoje dva načna za aproksmacju polja gustoće, takozvana sumacja gustoće engl. summaton densty ) kontnurana gustoća engl. contnuty densty ). U ovom radu je korštena sumacja gustoće koja se jednostavno može dobt ukolko se funkcja polja u jednadžb 6) zamjen gustoćom: α = mβwαβ ) β = ρ Ovakav prstup je jednostavan ntutvan, jer govor da je gustoća čestce α dobvena kao težnska srednja vrjednost mase čestca unutar nosača jezgrene funkcje čestce α. U ovom radu je koršten smetrzran oblk aver-stokesovh jednadžb, dok se ostal oblc mogu nać u lteratur []: Dv p p α α β ) W αβ ) = m β ) + + Dt β = ρ ρ α β α ) + µ ε µ + ε α ) α ) j α ) β ) j β ) αβ ) m β ) β ρ ρ = j α ) β ) W ) gdje je v α ) brzna, p α ) tlak, µ α ) dnamčka vskoznost ε j α ) tenzor brzne deformacje čestce α. Zbog jednostavnost ndeks koj označavaju Kartezjeve koordnate, α, β psan unutar j ) su psan zvan zagrada, dok su ndeks koj označavaju čestce zagrada. Aproksmacja tenzora brzne deformacje čestce α prema [] glas: ε m W m W β ) αβ ) β ) αβ ) v v α βα βα ) β = ρ β x β α = ρ β j α ) = + j j 3 m W β ) αβ ) v βα ) β = ρ β α ) δ j gdje v βα ) predstavlja razlku brzna zmeñu čestca α β, odnosno v = v v βα β α ), dok je Kroneckerov delta smbol [5] označen s δ j. Treba napomenut da se za prkaz vskoznh sla u fludu korste dvje prve dervacje, umjesto aproksmacja koje uključuju drugu dervacju jezgrene funkcje, buduć da se tenzor brzne deformacje čestce α 3) računa prje akceleracje čestce α ). Ovakav prstup otvara mogućnost korštenja jezgrenh funkcja nžeg reda, ukolko se za jezgrene funkcje korste polnom, što je čest slučaj. 3. Jezgrene funkcje Da b se osgurala konzstentnost ntegralne aproksmacje prostorne funkcje do odreñenog reda, te njene prve druge dervacje, jezgrena funkcja mora zadovoljavat brojne uvjete []: 3) 4

5 SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma 0 ) M = W x x, h dx = M = x x ) W x x, h dx = 0 M = x x W x x h x = ), d 0 M = x x ) W x x, h dx = 0 n n XX Symposum SORTA0 4) ) W x x, h = 0 ) W x x, h = 0 gdje W označava gradjent jezgrene funkcje, a M n n t moment jezgrene funkcje. Ov uvjet se jednostavno mogu dobt korsteć Taylorov razvoj funkcje f ) x, uz pretpostavku da je funkcja f x ) dovoljno glatka. x oko točke Uvjet konzstentnost za aproksmacju funkcje čestcama općento nsu zadovoljen, posebno za čestce blzu ruba domene, te zbog nejednolko rasporeñenh čestca. Da b se t problem rješl, razvjene su razlčte metode, kao na prmjer Reproducng Kernel Partcle Method druge [], u kojma se jezgrene funkcje znova konstruraju za svak vremensk korak, te za svaku čestcu. U lteratur [] se mogu pronać brojne jezgrene funkcje. U ovom radu je korštena takozvana B Splne, kubna jezgrena funkcja, Slka.: 3 α d R + R, for 0 R < 3 αd 3 W R, h) = R ), for R < 6 0, for R 5) gdje je R relatvna udaljenost zmeñu para čestca koje meñusobno djeluju jedna na drugu, defnrana kao: 5

6 XX Symposum SORTA0 SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma x = 6) r x R h h = Koefcjent α d je odreñen pomoću prve jednadžbe u zrazu 4), koja osgurava konzstentnost nultog reda, odnosno reprodukcju konstante. Za dvodmenzonalne probleme, α d znos 5 7π h. Ova jezgrena funkcje je često korštena u SPH metod zbog svoje slčnost s Gaussovom zvonolkom krvuljom. Meñutm, druga dervacja ove funkcje je po djelovma lnearna funkcja, što može dovest do problema u stablnost smulacje. Slka. B Splne jezgrena funkcja 5) njena dervacja Fg. B Splne kernel functon 5) and ts dervatve 4. Poseulleovo strujanje Poseulleovo strujanje je jedan od osnovnh problema moderne mehanke fluda. Flud struj zmeñu dvje krute nepomčne paralelne ploče na x = 0, and x = l, gdje je x Kartezjeva koordnata okomta na ploče,slka.. Sla F, koja predstavlja gradjent tlaka u uzdužnom smjeru, počnje djelovat na flud u mrovanju, te se nakon nekog vremena strujanje ustal. aver-stokesova jednadžba koja opsuje ovo strujanje pr malm Reynoldsovm brojevma je dana zrazom[6]: dv dp d v ρ = + µ 7) dt dx dx Rješenje za nestaconarno strujanje prema Morrs et al. [] glas: F v x, t) = x x l) + ν 4Fl π x n + ) π ν + sn 3 n ) exp t 3 + n= 0νπ n ) l + l 8) 6

7 SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma XX Symposum SORTA0 Slka. Geometrja staconarn profl brzne Poseulleovog strujanja Fg. Geometry and steady state velocty profle of Poseulle flow U smulacj su koršten sljedeć parametr: l [ ] 3 = 0 m - udaljenost zmeñu ploča, 3 3 ρ ν = 0 kg m 6 = 0 m s 4 - gustoća vode, - knematčk koefcjent vskoznost vode, F = 0 m s - sla u smjeru os x, [ ] 6 v m s = - maksmalna brzna. Računaln kod je napsan u C++ programskom jezku. Domena fluda je pravokutna, od x = x = 0, do x = [ m] x = l = 0. 00[ m]. Takoñer, domena je predstavljena sa skupom od 86 čestca, 4 u vertkalnom smjeru, te u uzdužnom. osač jezgrene funkcje h je, puta već od početnog razmaka zmeñu čestcama u smjeru os x. Rubn uvjet krute stjenke su predstavljen pomoću takozvanh vrtualnh čestca [], prkazan punm krugovma na Slc 3. U svakom vremenskom koraku je njhova brzna jednaka nul, te m se položaj ne mjenja. U svrhu smanjenja domene, koršten je perodčn rubn uvjet na ulaznom zlaznom presjeku. Ukolko čestca na kraju vremenskog koraka premaš odreñenu vrjednost uzdužne koordnate x, ona se pomče na ulazn presjek. Kako čestce blzu ulaznog zlaznog presjeka nemaju dovoljno susjednh čestca da b se osgurala potrebna konzstentnost drugog reda, odreñene čestce na ulaznom presjeku utječu na odreñene čestce na zlaznom presjeku obrnuto. To je vdljvo na Slc 3., gdje šrafran krugov predstavljaju susjedne čestce za jednu prekrženu) čestcu na ulaznom presjeku. Za probleme sa stlačvm fludma, čestce se gbaju usljed gradjenta tlaka, dok se tlak računa pomoću jednadžbe stanja. Meñutm, ukolko se korst jednadžba stanja za nestlačva strujanja, to vod do zabranjeno malh vremenskh koraka. Kako je u stvarnost svak flud barem malo stlačv, razvla se deja umjetne stlačvost engl. artfcal compressblty ). Morrs et al. [] su prmjenl posebnu jednadžbu stanja u svrhu proračuna tlaka: p = c ρ 9) 7

8 XX Symposum SORTA0 SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma gdje c predstavlja brznu zvuka. Meñutm, ukolko se korst stvarna brzna zvuka za c 480 m s, varjacja gustoće postaje vrlo mala. Stoga dolaze u obzr samo puno vodu, [ ] manje vrjednost brzne zvuka. U ovoj smulacj je uzeto c = 5 0 m s. Slka 3. Prkaz vrtualnh čestca perodčnog rubnog uvjeta Fg. 3 Vrtual partcles and perodc boundary condton Za gbanje čestca je korštena XSPH metoda [] koja uzma u obzr brznu susjednh čestca, te tme na nek načn ureñuje gbanje fluda: dx α ) dt m = v v W 0) β ) α ) ε αβ ) αβ ) β = ρ β ) gdje je ε konstanta koja poprma vrjednost od 0 do. Za ovu smulacju je ε uzet 0,3. Vremenska ntegracje je računata eksplctno leapfrog shemom [7] koja je jednostavna za uporabu, te je drugog reda točnost. Pozcja čestca se računa dva puta u jednom vremenskom koraku, dok se brzna računa samo jednom, prema sljedećm zrazma: x = xn + vn t n + v = v + a t ) n + n n + x = x + v t n + n + n + Broj teracja je označen s n, dok a predstavlja akceleracju čestce. 6 Korsteć vremensk korak t od 0 [ s], greška se vrlo grubo može aproksmrat s t. Kako su u ptanju vrlo mal brojev, postavlja se ptanje same točnost artmetke računala [8]. 8

9 SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma XX Symposum SORTA0 5. Rezultat Kao što je vdljvo na Slc 4., numerčk rezultat se dobro slažu s analtčkm rješenjem 8), posebno za staconarno stanje. Smanjvanjem vremenskog koraka, smulacja postaje dulja, meñutm rješenje postaje točnje. Potrebno je naglast da povećanje brzne zvuka vod do smetrčnh osclacja profla brzne po vsn za veće vrjednost vremena t. Takoñer je greška numerčke smulacje veća za male vrjednost t, kao za područje blzu rubova gdje dolaz do zražaja nekonzstentnost ntegralnog prkaza funkcje pomoću jezgrenh funkcja. t = s, što je prkazano kao t = na Slc 4. Staconarno strujanje je postgnuto pr [ ] Slka 4. Usporedba rezultata dobvenh SPH metodom s analtčkm rješenjem za Poseulleovo strujanje Fg. 4 Comparson of SPH soluton wth analytcal soluton for Poseulle flow 6. Zaključak Bezmrežne metode, kao što je SPH metoda korste puno vše procesorskog vremena. Iako su relatvno mlade u usporedb s metodom konačnm elemenata l metodom konačnh volumena, može se očekvat da će se ovakve metode sve vše vše korstt u nženjerskoj praks. Vrjeme koje nženjer troše na generranje mreža u spomenutm, bolje utemeljenm metodama je puno skuplje od procesorskog vremena. Očekuje se da će SPH metoda polako sazrjevat kroz teorjska praktčna razmatranja. ajveć problem predstavlja konzstentnost aproksmacje čestcama generranje rubnh uvjeta pomoću vrtualnh čestca, te se na tm područjma još mora puno radt. Uz sve nedostatke, vdljvo je da je za jednostavnja strujanja moguće dobt vrlo zadovoljavajuće rezultate, kao što je pokazano u ovom radu na prmjeru Poseulleovog strujanja. U budućnost autor planraju razvt modele turbulencje na temelju pseudo generatora slučajnh brojeva te tako dobvena rješenja usporedt s analtčkm rješenjma za jednostavna strujanja l s metodom konačnh volumena za prozvoljne geometrje. LITERATURA [] LIU, G. R.: Mesh Free Methods, Movng Beyond the Fnte Element Method, CRC Press LLC, Boca Raton, Florda,

10 XX Symposum SORTA0 SPH smulacja Poseulleovog strujanja pr nskm Reynoldsovm brojevma [] LIU, G. R., LIU, M. B., Smoothed Partcle Hydrodynamcs: a Meshfree Partcle Method, World Scentfc, Sngapore, 003. [3] KREYSZIG, E.: Advanced Engneerng Mathematcs, John Wley & Sons, Inc., ew York, 006. [4] SORIĆ, J., Metoda konačnh elemenata, Golden marketng, Tehnčka knjga, Zagreb, 004. [5] DEGIULI,., WERER, A., Mehanka Fluda IB - podloge za nastavu, [6] WERER, A., Odabrana poglavlja z mehanke fluda, zbrka zadataka, Fakultet strojarstva brodogradnje, Zagreb, 00. [7] ROMEEL, D., Leapfrog Integraton, 0. [8] SIGER, S., umerčka matematka, predavanja, Zagreb,