BEZMREŽNA NUMERIČKA KOLOKACIJSKA METODA ZA MODELIRANJE HETEROGENIH MATERIJALA (8pt) Jalušić, B., Jarak, T. & Sorić, J.

Transcription

1 Šet ret Hrvatkoga drštva za mehank Rjeka, vbnja 014. BEZMREŽA UMERIČKA KOLOKACISKA METODA ZA MODELIRAE HETEROGEIH MATERIALA alšć, B., arak, T. & Sorć,. Sažetak: U rad je prkazana prmjena mješovte bezmrežne lokalne Petrov-Galerknove kolokacjke metode za rješavanje jednodmenzjkh dvodmenzjkh problema deformranja heterogenh materjala atavljenh od dva homogena zotropna djela. U nmerčkm prmjerma točnot dobvenh rezltata poređena je točnošć rezltata onovne formlacje temeljene amo na aprokmacj komponenata pomaka. Kljčne rječ: bezmrežne kolokacjke metode, modelranje heterogenh materjala (11pt) 1 UVOD U ovom rad prkazana je bezmrežna mješovta lokalna Petrov-Galerknova metoda za rješavanje problema rbnh vrjednot pr modelranj procea deformranja heterogenh materjala. Ovdje razmatran heterogen materjal atavljen je od vše homogenh zotropnh podrčja razlčtm materjalnm karaktertkama. Dkretzacja razlčth homogenh podrčja kao aprokmacja nepoznath velčna provod e po vakom podrčj zaebno. ednotavnje defnranje aprokmacjkh fnkcja vokog tpnja kontnteta kod bezmrežnh metoda [1] predtavlja općem lčaj prednot odno na metod konačnh elemenata (MKE) međtm zrokje poteškoće rješavanj problema kada točnom rješenj potoj dkontntet dervacja pomaka. Stoga e za modelranje heterogenh materjala pomoć bezmrežnh metoda prmjenjj poebn nmerčk potpc []. U t vrh ovdje je prmjenjen potpak drektnog zadovoljavanja rbnh vjeta pomaka la na poj razlčth homogenh djelova [3]. Za rješavanje problema deformranja prmjenjje e mješovt prtp gdje komponente pomaka komponente naprezanja aprokmrane pomoć th aprokmacjkh fnkcja. ednadžbe ravnoteže dkretzrane pomoć aprokmranh naprezanja, a tav jednadžb je zatvoren potavljanjem kontttvnh relacja koje povezj pomake naprezanja. Bdć da jednadžbe zadovoljene jakoj form, zbjegnto je nmerčko ntegrranje pa je zračnavanje matrce tava vrlo jednotavno brzo. Prmjenom mješovtog prtpa manjje e potrebn red kontnteta aprokmacjkh fnkcja [4] što povećava točnot tablnot metode. Prmjenjene fnkcje koje pojedj nterpolacjka vojtva čvorovma tako da rbn vjet pomaka na vanjkm grancama zadovoljen zravno kao kod MKE. Globaln rbn vjet la zadovoljen prmjenom drektne kolokacjke metode [5]. U zvedenom konačnom tav jednadžb kao nepoznance javljaj e amo čvorn pomac. U. poglavlj detaljno je prkazana objašnjena mješovta kolokacjka metoda za modelranje heterogenh materjala. Učnkovtot zvedenog prtpa prkazana je pomoć dva nmerčka prmjera 3. poglavlj.

2 MEŠOVITA BEZMREŽA KOLOKACISKA METODA ZA MODELIRAE HETEROGEIH MATERIALA a lc 1 hematk je prkazan dvodmenzjk heterogen materjal koj zazma podrčje omeđeno globalnom grancom. Krvlja predtavlja granc zmeđ dva podrčja razlčth homogenm materjalnm vojtvma. tako da vrjed. djel Sl. 1. Dvodmenzjk heterogen materjal ednadžbe za tav prema lc 1 jak oblc D jednadžb ravnoteže koje moraj bt zadovoljene vm čvorovma ntar, koje je podjeljeno na σ b 0, ntar, σ b 0, ntar. (1) j j j, X j, X ednadžbe (1) moraj zadovoljavat rbne vjete propane na vanjkoj granc, na,, na, () + j j, na t, j j, na t t n t t n t (3) te vjete kontnteta na granc. a granc dkretzacja e vrš pomoć dvotrkh čvorova, odnono pozcje čvorova koj prpadaj podrčjma e međobno poklapaj. U vakom od čvorova na potavlja e kontntet pomaka recpročnot vektora naprezanja [3] 0, t t 0. (4) Vrjed da je t t + t t t, gdje označava do zadanm pomacma, dok na zadane površnke le t. D kontnm e dkretzra pomoć dvaj kpova čvorova I 1,,...,, M 1,,..., P gdje P kpn brojev čvorova podrčj, odnono. Prema mješovtom kolokacjkom potpk z [4] nepoznate velčne polja komponente naprezanja pomaka. Sve nepoznate velčne aprokmrane zaebno podrčjma, pr čem e korte te aprokmacjke fnkcje za ve komponente pomaka naprezanja. Za vrjed h X X ˆ, (5) 1 h X X ˆ j j 1, (6)

3 gdje predtavlja čvorn vrjednot -D fnkcje oblka za čvor, a ˆ ˆj prpadne čvorne vrjednot za pomake naprezanja. Analogno aprokmran pomac naprezanja po podrčj. Za kontrkcj fnkcja oblka rad korte e metoda najmanjh pomčnh kvadrata (Movng Leat Sqare, MLS) [1] prema kojoj e fnkcja oblka zračnava m k k k 1 p X X A X B X, (7) metoda radjalne nterpolacje po točkama polnomnom reprodkcjom (Radal Pont Interpolaton Method wth Polynomal Reprodcton, RPIM) [1] gdje je fnkcja oblka defnrana n R p a k 1 k1 m X X S X S. (8) U zrazma (7) (8) m označava broj monoma vektor bazne fnkcje px, dok e n odno na broj radjalnh baznh fnkcja. Kod MLS aprokmacje AX označava momentn matrc, a matrca BX matrc mnoška odabrane težnke MLS fnkcje vektora bazne fnkcje px. U relacj (8) RX označen je vektor radjalnh fnkcja, dok matrce S a S b vojtvene RPIM aprokmacj te kontantne ve dok e za aprokmacj korte t čvorov. Sve fnkcje korštene rad pojedj nterpolacjka vojtva što omogćava zravno nametanje rbnh vjeta pomaka čvorovma. Kod MLS aprokmacje to je potgnto defnranjem težnke fnkcje prema [6]. Dkretzacjom jednadžb (1)-(4) pomoć aprokmacja (5) (6) dobva e nerješv tav jednadžb jer je kpn broj nepoznath čvornh naprezanja pomaka već od broja rapoložvh jednadžb. Stoga e vm čvorovma vode kontttvne relacje 1 h h 1 h h ˆ, ˆ j Cjkl, j j, j Cjkl, (9), j j, z kojh je mogće zračnat čvorna naprezanja pomoć aprokmranh pomaka z (5). C, C jednadžb (9) predtavljaj komponente materjalnh tenzora. jkl jkl Elmnacjom čvornh naprezanja, dobva e zatvoren tav lnearnh algebarkh jednadžb kojma e kao nepoznance javljaj amo čvorn pomac. (8p (11pt) 3 UMERIČKI PRIMERI 3.1 Ono opterećen štap Štap atavljen od dva homogena zotropna podrčja jednčne površne dljne L 5 opterećen je kontantnm kontnranm onm opterećenjem b 5. a oba kraja štapa nametnt rbn vjet pomaka prema lc dobven z analtčkog rješenja. b Sl.. Heterogen štap

4 Modl elatčnot ljevog djela štapa jednak je E 1000, dok je t za den do jednak E a lkama 3 4 prkazane rapodjela pomaka deformacje po dljn štapa zračnate korštenjem onovnog prtpa (O) temeljenog na metod pomaka opanog mješovtog prtpa (M). Štap je dkretzran 10 jednako razmaknth čvorova dok je za kontrkcj fnkcja oblka korštena IMLS aprokmacja 1.. reda. Sl. 3. Rapodjela pomaka Sl. 4. Rapodjela deformacje a lkama 3 4 vdljvo je da e prmjenom mješovtog prtpa z korštenje IMLS aprokmacje 1. reda može točno opat rapodjela pomaka dkontntet dervacje pomaka na poj dvaj homogenh podrčja, dok to nje lčaj kada e kort onovn prtp. Korštenjem aprokmacja. reda oba prtpa rezltraj točnm rješenjma obzrom da mog točno opat polnom. reda koj je fnkcja rješenja pomaka po pojednm homogenm podrčjma. Izrađen također tetov konvergencje rješenja ovnot o proječnom razmak čvorova ( h ) te t prkazan na lkama 5 6. Upoređena je ovnot globalne greške za pomake defnrane pomoć dkretne norme zračnate kolokacjkm čvorovma kao nm a a. (10) e 1 1 Za potrebe zračna odabran optmaln zno parametra oblka Ga-ove radjalne fnkcje [1] 0,05 0,4 za pojedne redove RPIM aprokmacje. Sl. 5. Konvergencja dkretne greške norme pomaka e - IMLS aprokmacja Sl. 6. Konvergencja dkretne greške norme pomaka e - RPIM aprokmacja a lkama 5 6 jano je vdljvo da e prmjenom mješovtog prtpa dobvaj točnj l jednako dobr rezltat poredb onma dobvenma onovnm prtpom.

5 3. Vlačno opterećena membrana Membrana jednčne debljne vne atavljena od dva homogena zotropna podrčja dljne L 5 opterećena je na denom kraj jednčnm opterećenjem vlačno mjer o. Preotal rbn vjet pomaka la prkazan na lc 7. Sl. 7. Heterogena membrana Kontante elatčnot ljevog djela membrane jednake E ,5, dok te za den do jednake E ,3. Membrana je dkretzrana jednolko razmakntm čvorovma oba mjera. Kao referentno rješenje za zračn grešaka zeto je rješenje MKE dobveno programkm paketom Abaq pravoktnh lnearnh konačnh elemenata (CPS4). Analzrane pogreške za komponente pomaka normalnh deformacja mjer o,, za čvorove dž o y 0 obzrom na dkretne norme defnrane kao nm ref nm ref, e e 1. (11) U vrh poredbe točnot formlacja temeljenh na onovnom odnono mješovtom prtp proveden tetov konvergencje ovnot proječnog razmaka čvorova ( h ) te t prkazan na lkama 8 9. S obzrom da ovdje fnkcje koje opj točn rapodjel pomaka po pojednm homogenm djelovma polnom 1. reda za analz korštene amo bezmrežne aprokmacjke fnkcje prvog reda. Za zračn korštenjem RPIM aprokmacje 1. reda odabran je optmaln zno parametra oblka Ga-ove fnkcje 0,75. Rješenja poređena dotpnm rješenjma z lteratre [3] za membran jednakh dmenzja dentčnh rbnh vjeta analzran kolokacjkom metodom temeljenom na onovnom prtp. 1 Sl. 8. Konvergencja dkretne greške norme e Sl. 9. Konvergencja dkretne greške norme U rad z lteratre e za kontrkcj fnkcja oblka kort metoda reprodcranja jezgre (Reprodcng Kernel, RK) [3] kombnacj radjalnm baznm fnkcjama (Radal Ba Fncton, RBF) [1]. Za kontrkcj RK djela aprokmacje e

6 prmjenjen je vektor baznh fnkcja 3. reda, a kao težnka fnkcja koršten je plne 5. reda. a lkama 8 9 može e vdjet prednot prmjene mješovtog prtpa odno na onovn prtp kod račnanja dvodmenzjkh problema deformranja heterogenh materjala. S obzrom da norme grešaka (11) račnate odno na referentna rješenja dobvena metodom konačnh elemenata, koja dotpna amo na određen broj decmalnh mjeta, teško je potć vok točnot rješenja. Stoga e može matrat da rješenja dobvena mješovtm prtpom vrlo dobro opj realno deformranje heterogenog materjala natoč tome što konvergencja rješenja na djagramma nje vdljva. Prednot vd točnot rezltata dobvenh mješovtom prtpom također e očtje poredb rezltatma dotpnma z lteratre [3] gdje je za aprokmacj korštena fnkcja 3. reda. 4 ZAKLUČAK Sve do ada dotpne bezmrežne metode za modelranje heterogenh materjala temeljene na metod pomaka (onovn prtp) kojma je potrebno zračnavat dervacje bezmrežnh fnkcja drgog reda što povećava račnalne troškove, također prtom aprokmacjke fnkcje moraj pojedovat C kontntet. U prkazanoj bezmrežnoj mješovtoj kolokacjkoj metod za modelranje deformranja heterogenh materjala ve komponente pomaka naprezanja aprokmrane tm fnkcjama koje moraj mat amo C 1 kontntet. merčka čnkovtot točnot modelranja heterogenh materjala ovdje je toga povećana manjenjem potrebnog reda dervacja aprokmacjkh fnkcja čme je povećana točnot metode što e očtje analzom grešaka na prkazanm nmerčkm prmjerma. Lteratra: [1] L, G.R., Meh Free Method - Movng Beyond The Fnte Element Method, CRC Pre, 003. [] alšć, B., arak, T., Sorć,., O Bezmrežnom Modelranj Heterogenh Materjala, Pet ret Hrvatkog drštva za mehank, Donja Stbca, Hrvatka, 013, tr [3] Chen, -S., Wang, L., H, H-Y., Ch, S-W., Sbdoman Radal Ba Collocaton Method for Heterogeneo Meda, Internatonal ornal for mercal Method n Engneerng, Vol.80, 009, tr [4] Atlr, S.., L, H.T., Han, Z.D., Mehle Local Petrov-Galerkn (MLPG) Med Collocaton Method for Elatcty Problem, CMES, Vol.14, o.3, 006, [5] alšć, B., arak, T., Sorć,., On the Enforcement of emann Bondary Condton n the Med MLPG Collocaton Method for -D Lnear Elatc Problem, ICCES MM, Bdva, 01, tr. 16. [6] Mot, T., Bcher, C., ew Concept for Movng Leat Sqare: An Interpolatng onnglar Weghtng Fncton and Weghted odal Leat Sqare, Engneerng Analy wth Bondary Element, Vol.3, o.6, 008, Ator: Bor alšć, Tomlav arak, rca Sorć, Svečlšte Zagreb, Fakltet trojartva brodogradnje, Zavod za tehnčk mehank, Ivana Lčća Zagreb, tel: / 115, 514, 103, fa: , e-mal: bor.jalc@fb.hr, tomlav.jarak@fb.hr, jrca.orć@fb.hr, web tranca: