Heuristika i generalizacija Heronove formule u dva smjera

Transcription

1 MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(07), DOI: 0.75/МК70049S ISSN (o) ISSN (o) Heurstka generalzacja Heronove formule u dva smjera Petar Svrčevć Zagreb, Hrvatska e-mal:petar.svrcevc@zg.t-com.hr Sažetak. U ovome članku ćemo pomoću heurstčke metode zvest, a onda strogo dokazat sljedeće formule: Heronova formula kao funkcja duljna stranca trokuta, Heronova formula kao funkcja duljna vsna trokuta Heronova formula kao funkcja duljna težšnca trokuta. Nakon toga ćemo sve tr formule kumulrat u jednu, koja ćemo zvat Kumulatvna formula za površnu trokuta, to b bla generalzacja u prvom smjeru. Još ćemo zvest Heronovu formulu kao funkcja duljna polumjera trokutu prpsanh kružnca, koja je slčna prethodnm Heronovm formulama, al se s njma ne može kumulrat. Nadalje, generalzacjom u drugom smjeru ćemo heurstčk zvest Kumulatvnu formulu za površnu tetvnoga polgona, pokazat ćemo, da ona općento vrjed samo za trokut tetvn četverokut. Ključne rječ: kumulatvna formula, površna trokuta, površna tetvnog polgona Heurstcs and The Generalzaton of Heron's Formula n two Drectons Abstract. In ths artcle we wll be usng heurstc methods to construct, and then rgorously prove the followng formula: Heron's formula as a functon of the length of the sdes of the trangle, Heron's formula as a functon of the length of the alttudes of the trangle and Heron's formula as a functon of the length of the medans of the trangle. All three formulas we wll cumulate nto a sngle one, whch we call the cumulatve formula for the area of a trangle, and t would be a generalzaton n the frst drecton. We wll also formulate Heron s formula as a functon of the length of

2 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć the raduses of the trangle assgned to the crcle, whch s "smlar" to the prevous Heron's formula, but cannot be cumulated wth them. Furthermore, by generalzaton nto another drecton we wll heurstcally formulate the Cumulatve formula for the surface of the tendon polygon, and we wll show that t generally apples only to a trangle and a tendon quadrlateral. Keywords: cumulatve formula, the surface of a trangle, the surface of the tendon polygon. Napomena. Praktčno je, da se za svaku velčnu a, koja predstavlja broj duljnskh jednca uvedemo oznaku a D = L, čtamo ''dmenzja od a je L'', a to je duljna; dakle ne preczramo da l se rad o: m (metru), cm (centmetru), mm (mlmetru),... Slčno ćemo za velčnu P, koja predstavlja broj površnskh jednca, psat da joj je dmenzja jednaka L ; dakle P D = L, ovdje ne preczramo, da l se rad o: m, cm, mm,...; broj volumnh jednca defnramo da je V D = L 3, Jasno je, da je λ D = L 0 =, gdje je λ nemenovan broj, tj. λ R +. a) Generalzacja u smjeru Kumulatvne formule za površnu trokuta Ako su a,b,c, duljne stranca ABC, tada vrjed dobro poznatu Heronova formula P = s(s a)(s b)(s c), () gdje je a + b + c s = poluopseg trokuta. No, () se može psat u oblku P = 4 (a + b + c)(b + c a)(c + a b)(a + b c), () koj lako transformramo u modfcran oblk P = 4 (a + b + c ) (a 4 + b 4 + c 4 ), (3) a on je praktčan za prmjenu, ako su duljne stranca npr.: a = 9, b =, c = 3. Nadalje, ćemo reć, da trokut postoj ako samo ako je P > 0. Dakle P R +, jer P uzmamo kao broj nemenovanh kvadratnh jednca; dok su: a, b, c, s brojev stovrsnh nemenovanh duljnskh jednca, pa je: a, b, c, s R +. Prema tome je funkcja P: (R + ) 3 R +. Iz () sljed ekvvalencja (P > 0) ((b + c > a) (c + a > b) (a + b > c)), (4) a to znač da trokut postoj onda samo onda ako su spunjene sve tr nejednakost. Nadalje vrjed ekvvalencja (P = 0) ((b + c = a) (c + a = b) (a + b = c)), (5) dakle to je realan, al degenerran, slučaj; jer je trokut degenerrao u dužnu. I na kraju mamo slučaj, kada površna nema realnu vrjednost, name (P R) ((b + c < a) (c + a < b) (a + b < c)), (6) 50

3 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć Sada ćemo heurstčk doć do formule (). Jasno je, da je nužn uvjet za postojanje trokuta valjanost nejednakost: (b + c > a) (a + b + c > a) a + b + c a = s a > 0 (s a > 0). Na osnov toga, po zakonu analogje stovremeno vrjede ove tr nejednakost: s a > 0, s b > 0, s c > 0 ; koje su sada nužan dovoljan uvjet za postojanje trokuta. Naslućujemo, da će velčne: s a, s b, s c ; tvort formulu za površnu trokuta, odnosno bt će zastupljen njhov produkt, jer su one međusobno ravnopravne. No, ((s a)(s b)(s c)) D = L 3, a to znač da b trebal ubact još jedan neutraln varjabln faktor, tako da korjenovanjem toga zraza dobjemo dmenzju površne. Za očekvat je, da b taj faktor mogao bt poluopseg s. Na osnov znesenog naslućujemo, da je formula za površnu trokuta dana u oblku P = k s(s a)(s b)(s c), (7) gdje je k konstanta koju moramo odredt. No, ona se najjednostavnje određuje, da se zvrš specjalzacja za jednakostrančn trokut, za koj je: P = a 3, a = b = c, s = 3a. Ako te vrjednost uvrstmo u (7), tada sljed da je k =, dakle naslućujemo da je () točno. No, ovu formulu pak nećemo strogo zvodt, jer ona spada u standardno srednjoškolsko gradvo, može se zvest na vše načna. Napomenmo, da smo m mogl naslutt da formula za površnu trokuta zgleda npr. ovako P = k (s a) 4 + (s b) 4 +(s c) 4 ). No, to nje točno, jer b već za dva posebna slučaja kod određvanja konstante k vjerojatno dobl razlčte vrjednost, a to b bla kontradkcja, dakle ova formula općento nema smsla. Svakako, da b mogl sptat, da l postoje specjaln slučajev za ovaj oblk formule. Izvedmo sada formulu za površnu trokuta kao funkcju duljna vsna. Ako je a duljna vsne na strancu duljne a, td.,..., tada je P = a a = b b = c c, a odatle sljed a = P, b = P, c = P. (8) a b c Vdmo, da nam ove zadnje jednakost sugerraju uz uvažavanje (), da b formula za površnu trokuta pomoću duljna vsna mogla bt u oblku P = k ( a + b + c )( b + c a )( c + a b )( a + b c ). (9) Ako opet uzmemo, da je a = b = c, onda je P = a a = b = c = a 3. Uvrstmo l te vrjednost u (9), tada dobvamo da je k =, dakle sada naslućujemo da je točna ova formula P = ( a + b + c )( b + c a )( c + a b )( a + b c ). (0) A sada dokažmo (0). Name, ako (8) uvrstmo u (), tada dobvamo da je (0) točno. Nadalje, vdmo da vrjede nejednakost b + c > a, c + a > b, a + b > c, koje baš nsu evdentne bez sljedeće analze. 5

4 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć Name, uvedmo velčnu s čja je recpročna vrjednost jednaka poluzbroju recpročnh vrjednost duljna vsna, tj. s = ( a + b + c ), () tada pomoću (0) () dobvamo vezu P = 4 s (s a )(s b )(s c ), () a odatle se lako dobje modfcran oblk P = ( a + b + c ) ( a 4 + b 4 + c 4 ). (3) Analogon relacjama: od (4) do (6), osm (5); sada za duljne vsna vrjede ekvvalencje: (P > 0) (( b + c > a ) ( c + a > b ) ( a + b > c )), (P = 0) (( a = 0) ( b = 0) ( c = 0)), (4) (P R) (( b + c < a ) ( c + a < b ) ( a + b < c )). Dakle, evvalencja (P = 0) (( b + c = a ) ( c + a = b ) ( a + b = c )), ako formalno gledamo, b trebala odgovarat ekvvalencj (5). No, to nje stna, jer b tada z (5) sljedlo da je P =, a mora bt P = 0. Prema tome je jasno, da duljna blo koje vsne mora bt jednaka nul, da b trokut degenerrao u dužnu, tako da mu je površna jednaka nul, dakle (4) je točno. Konačno, zvedmo formulu za površnu trokuta kao funkcju duljna njegovh težšnca uz uobčajene oznake. Name, ako pogledamo (3) (3), tada je logčno da očekujemo, da tražena formula ma oblk P = k (t a + t b + t c ) (t 4 a + t 4 b + t 4 c ). (5) Svakako, da ćemo ovdje zvršt specjalzacju a = b = c, pa dobvamo da je t a = t b = t c = a 3 P = a 3, a pomoću th vrjednost z (5) dobvamo k = / Dakle, heurstčkom metodom dobvamo da je P = (t 3 a + t b + t c ) (t 4 a + t 4 b + t 4 c ). (6) Da b (6) strogo dokazal, tada se moramo prsjett, kako pomoću kosnusovog poučka možemo dobt, da su kvadrat duljna težšnca: t a = 4 (b + c a ), t b = 4 (c + a b ), t c = 4 (a + b c ). (7) Iz th relacja dobvamo, da je: a = 4 (t 9 b + t c t a ), b = 4 (t 9 c + t a t b ), c = 4 (t 9 a + t b t c ). (8) Sumramo l jednakost (8), tada dobvamo da je a + b + c = 4 (t 3 a + t b + t c ). (9) A ako te ste jednakost kvadrramo zbrojmo, tada nakon sređvanja (sps je malo duž) sljed a 4 + b 4 + c 4 = 6 (t 9 a 4 + t 4 b + t 4 c ). (0) Uvrstmo l (9) (0) u (3), tada dobvamo (6). Jasno je, do po analogj () (3) z (6) sljed 5

5 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć P = 3 (t a + t b + t c )(t b + t c t a )(t c + t a t b )(t a + t b t c ). () Nadalje, ako sa s t označmo poluzbroj duljna težšnca, dakle s t = (t a + t b + t c ), ako to uvrstmo u () dobvamo formulu P = 4 3 s t(s t t a )(s t t b )(s t t c ). () Vdljvo je, da z () sljede nejednakost t b + t c > t a, t c + t a > t b, t a + t b > t c. Za ovaj slučaj vrjede analogne ekvvalencje kao (4), (5), (6). Sada ćemo kumulrat formule: (), (), () u jednu, koja ćemo zvat Kumulatvna formula za površnu trokuta. Analogno ćemo napravt s modfcranm formulama: (3), (3), (6). No, da b do navedenog došl moramo prje dat jednu defncju o oznakama velčna trokuta defnrat još tr funkcje. Defncja. Neka su A, B, C vrhov ABC; a, b, c duljne stranca nasuprot tm vrhovma; a, b, c duljne vsna z th vrhova, konačno a 3, b 3, c 3 su duljne težšnca z th vrhova. Defnrajmo jednu dobro poznatu još dvje nove funkcje: Defncja., x < 0 sng: R,0, ; sng(x) = 0, x = 0., x > 0 Defncja 3. ε:,,3, ; ε = ( ) + ; ( =,,3). Defncja 4. K:,,3, 4, 4 3 ; K = 4 3 sng ( ) ( ) sng ( ), ( =,,3). Kumulatvna formula za površnu trokuta može se napsat u oblku ε ε P = K s ε (s ε a ε )(s ε b ε )(s ε c ), (3) ε gdje je s = (a ε ε + b ε + c ), l u modfcranom oblku P = ε K ε 4 ε (a ε + b ε + c ) 4ε (a 4ε + b 4ε + c ) ; (4) dakle površna je funkcja: duljna stranca za =, duljna vsna za =, duljna težšnca za = 3. Prmjenmo zvedene formule na tr problema. Problem. Izračunajmo P, t a, t b, t c, a, b, c ; ako je a = 5, b = 0, c = 3. Rješenje. Iz (3) sljed 53

6 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć P = 4 (a + b + c ) (a 4 + b 4 + c 4 ) = = 4, a z (7) je, t a = 4 (b + c a ) =...4, tj. t a = 4. Analogno dobvamo, da je t b = 6 t c = 7. Nadalje je a = P a = = 4 5, odnosno b = 4 0 c = 4 3. Problem. Izračunajmo P, ako je t a = 4, t b = 6 t c = 7. Rješenje. P = (t 3 a + t b + t c ) (t 4 a + t 4 b + t 4 c ) =...=4, što smo očekval zbog P. Problem 3. Izračunajmo P, ako je a = 4 5, b = 4 0 c = 4 3. Rješenje. Iz (3) sljed P = ( a + b + c ) ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 5 = = = 4, 4 a to smo očekval. Sada dolazmo do još jedne formule, koja je slčna Heronovm formulama. Name, ako je trokut zadan s duljnama polumjera njemu prpsanh kružnca, tada je površna trokuta dana s formulom P = r b + r c + r c + r a + r a + r b r b + r c 4 + r c + r a 4 + r a + r b (5) Da b dokazal (5) korstmo dobro poznate formule: r = P, r s a = P, r s a b = P, r s b c = P, (6) s c gdje je r duljna polumjera trokutu upsane kružnce, dok su: r a, r b, r c duljne polumjera trokutu prpsanh kružnca. Dalje, pomoću navedenh formula lagano dobvamo, da je r = r a + r a + r a P = rr a r b r c, a pomoću njh dolazmo do tražene formule. Problem 4. Ako su duljne polumjera prpsanh kružnca trokutu dane s: 4 r a =, r b =, r c = ; (7) tada trebamo nać površnu P. Rješenje. Ako te vrjednost supstturamo u (5) dobvamo da je P = 4. No, to je stna, jer pomoću: a = 5, b = 0 c = 3 ; smo već dobl P = 4, a također možemo dobt (7), ako prmjenmo (6). Napomena. Razmatranje b mogl prošrt tako, da s a 4, b 4, c 4 označmo duljne smetrala kutova trokuta. Znamo da vrjede formule a 4 = b c b +c a, b b +c 4 = c a c +a b, c c +a 4 = a b a +b c a +b.

7 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć Možemo dokazat da formule tpa (3) (4) za duljne smetrala kutova trokuta ne vrjede. Name, ako je = 4, tada možemo pokazat da za ε 4 = ± velčna K 4 nje konstanta. To je najjednostavnje napravt, tako da najprje uzmemo posebn slučaj a = b = c (trokut je jednakostrančan) za koj nađemo K 4, zatm uzmemo drug slučaj a + b = c (trokut je pravokutan), te za njega nađemo K 4. Vdjet ćemo, da ta konstanta u ova dva slučaja nema stu vrjednost, dakle formule tpa (3) (4) nje moguće općento prošrt na duljne smetrala kuta. Nakon ovh razmatranja možemo postavt dvje, čn se baš ne jednostavne, hpoteze, koje b se mogle razmatrat. Hpoteza. Ako su a 4, b 4, c 4 duljne smetrala kutova trokuta, tada ne postoj formula P = 4 K 4 (a 4 p + b 4 p + c 4 p ) (a 4 4p + b 4 4p + c 4 4p ) gdje je K 4 = const pq = za p, q Q. Hpoteza. Ako su a 5, b 5, c 5 duljne polumjera trokutu prpsanh kružnca, tada ne postoj formula P = 4 K 5 (a 5 p + b 5 p + c 5 p ) (a 5 4p + b 5 4p + c 5 4p ) gdje je K 5 = const pq = za p, q Q. q q b) Generalzacja u smjeru Kumulatvne formule za površnu tetvnoga polgona Sada ćemo napravt poopćenje Heronove formule u drugom smjeru pomoću heurstčke metode za opć tetvn polgon. Strog dokaz te formule se odnos samo na trokut tetvn četverokut, onda dokazujemo, da ona općento ne vrjed za ostale tetvne polgone. Konačno ćemo formulrat naš problem, doć do vjerodostojne hpoteze, koju ćemo onda dokazat matematčkom ndukcjom. Hpoteza o površn općeg tetvnog polgona. Neka je zadan tetvn n-terokut (n 3), čj su vrhov desno orjentran nalaze se u točkama: A, A,, A n. Njegove duljne stranca su a = A A + ; =,,, n ; a n = A n A ; te je poluopseg s n = (a + a + + a n ), (8) tada je površna toga polgona dana formulom P n = ctg 80 n nn s n n n 4 n (s n a ) (s n a n ). (9) Napomena 3. Formulu (9) ćemo zvat Kumulatvna formula za površnu tetvnog polgona, ako je n 3,4 ; koju možemo još psat u oblcma P 3 = 4 (a + a + a 3 ) (a 4 + a 4 + a 3 4 ), P 4 = 4 (a + a + a 3 + a 4 ) (a 4 + a 4 + a a 4 4 ) + 8a a a 3 a 4, (30) 55

8 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć zavsno o tome da l se rad o trokutu l tetvnom četverokutu. Pokazat ćemo da za slučajeve n > 4 ta formula općento ne vrjed, dakle nje heronskog tpa. Napomena 4. Pravokutnk je tetvn četverokut, ako su mu duljne stranca a b, pa mu je tada površna P = ab. No, tu formulu možemo dobl, ako u (30) uvrstmo da je a = a 3 = a a = a 4 = b. dana s Izvod hpoteze. Polazmo najprje od pravlnog n-terokuta, čja je površna P n = na 80 ctg, (3) 4 n gdje je a = a; =,,, n. Pokušajmo sada nać još koj posebn slučaj. Neka to bude, kada polgon degenerra u dužnu; a to znač da mu duljna polumjera opsane kružnce tež u beskonačnost; name, neka je a + a a n = a, a odatle je, jer smo uvažl (8), s n a = 0. Zbog toga posebnog slučaja površna polgona je P n = 0, pa očekujemo da se u formul pojav razlka s n a = 0 kao faktor. Buduć, da formula ne zavs o tome, kako smo označl duljne stranca, onda to povlač, da ona sadrž faktore s n a, s n a 3,, s n a n, a odatle zaključujemo da naša formula sadrž produkt p n = (s n a )(s n a ) (s n a n ). (3) Uvažmo l napomenu o dmenzonranju, onda je jasno da je dmenzja od p n dana s p n D = L n, no znamo da mora bt P n D = L (33) Malo se podsjetmo Heronove formule za površnu trokuta, sada u novoj oznac, P 3 = s 3 (s 3 a )(s 3 a )(s 3 a 3 ), (34) gdje je s 3 = (a + a + a 3 ) formule za površnu tetvnog četverokuta dane u oblku P 4 = (s 4 a )(s 4 a )(s 4 a 3 )(s 4 a 4 ), (35) gdje je s 4 = (a + a + a 3 + a 4 ). Evdentno je, da se (34) može dobt z (35), to tako da trokut shvatmo kao degenerran četverokut, kada mu je duljna jedne strance jednaka nul (npr. a 4 = 0). U formulama (34) (35) se pojavljuje drug korjen, pa pretpostavljamo da naša formula mora bt u oblku P n = f(a, a,, a n )p n, (36) gdje je f(a, a,, a n ) homogena smetrčna funkcja, al takva da je f(a, a,, a n ) D = L 4 n, jer tada važ (33). Naslućujemo da je f(a, a,, a n ) = ks n 4 n, (k = const. ) te z (36) sljed da je P n = ks n 4 n p n. (37) Dakle, u (37) trebamo još odredt konstantu k. Da b nju dobl napravmo specjalzacju a = a = a = = a n, prema tome rad se o pravlnom n-terokutu, kod kojega je 56

9 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć s n = na, p n = (n )n n a n, (38) dakle vrjed (3). Ako (38) (3) supstturamo u (9) dobvamo da je a odatle je k = ctg 80 0 na 80 ctg 4 n nn = k na 4 n (n ) n n a n n (n ) n, pa (37) poprma oblk (9), jer smo uvažl (3). Prema tome došl smo do vjerodostojne Hpoteze o površn općeg tetvnog polgona. Pokazat ćemo da ona općento ne vrjed. Sada ćemo najprje dat dvje posljedce dane hpoteze. Napomena 5. Ako je n = 3, tada z (9) sljed Heronova formula (34), jer smo uvažl da je ctg60 0 = 3/3. Napomena 6. Za n = 4 z (9) sljed formula za površnu tetvnog četverokuta (35), jer smo uvažl da je ctg45 0 =. Napomena 7. Ako je n = 5, tada z (9) sljed P 5 = (ctg36 0 ) 53 s (s 5 a )(s 5 a )(s 5 a 3 )(s 5 a 4 )(s 5 a 5 ). (39) Moramo pokazat da ova formula općento nje točna za opć tetvn peterokut, no u nekm slučajevma ona je dobra aproksmacja, što možemo provjert upotrebom programa GSP l nekog drugog (Maple V, Mahtematca,...). Dokaz da hpoteza ne vrjed za n = 5. Navedenu formulu ne znamo zvest, al ćemo je provjert za tetvn peterokut A A 5 koj je prkazan na slc., gdje je a = a = a 3 =, a 4 = a 5, (40), Slka. a četverokut A A A 3 A 4 je kvadrat. Nađmo a 4. Iz slke se vd, da je. A S = A 5 S =. Dalje dobvamo da je a 4 = A 4 A 5 = + l 57

10 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć. a 4 = a 5 = 4 = (4) Iz (40) (4) dobvamo s 5 = =.0496 (4) Supstturamo l (40),(4) (4) u (39) sljed P 5 =.03. (43) Na drug načn dobjemo P 5 drektno z slke, dakle potpuno točno l prblžno; ako zvršmo korjenovanje; rezultat ovom metodom je P 5 = + = 3+ = (44) 4 Lako provjermo, da se rezultat (43) (44) razlkuju za (relatvna greška je oko 0.%) a to nje čudo jer smo korstl formulu (39) gdje je realzrano 7 všh operacja, koje su mogle napravt navedenu grešku, pa b dalje mogl vjerovat da je upotrebljena formula možda potpuno točna, jer je nsmo strogo dokazal. Sada ćemo jednom strožom analzom to negrat. Ako se bavmo sa zlatnm rezom konstrukcjom pravlnog peterokuta, tada dolazmo do relacje sn36 = 4 0 5, a odatle je ctg36 = (45) Supstturamo l sada vrjednost: a = a = a 3 =, a 4 = a 5 = 4, P 5 = 3+ (45); 4 u (39) vdmo da formula nje točna, jer ljeva strana te jednakost ne sadrž 5, a desna ga sadrž (postoj barem jedna kontradkcja), dakle formula (39) samo prblžno zračunava površnu. Dokaz da hpoteza ne vrjed za n > 5. Znamo, da je mplkacja stnta, ako z stne sljed stna. Nadalje, nestna je da z stne sljed nestna, stna je da z nestne može sljedt stna l nestna. Analzrajmo sada formulu (9). Name, dokazal smo da je ona nestnta za n = 5. Pretpostavmo sada, da (9) vrjed za n = 6. No, polgon za n = 6 može degenerrat tako da duljna jedne stranca bude jednaka nula, a to znač da b (9) trebala vrjedt za n = 5 što nje stna. I na osnovu ovh razmatranja možemo matematčkom ndukcjom pokazat da (9) ne vrjed za n > 5, pa b tme hpoteza bla u potpunost dokazana. Iz mnemotehnčkh razloga, sada na kraju spšmo sve formule heronskog tpa:. Heronova formula kao funkcja duljna stranca trokuta; P = s(s a)(s b)(s c), (46) gdja su: a,b,c, duljne stranca trokuta a s = a+b+c. (46) se može psat u oblku P = 4 (a + b + c ) (a 4 + b 4 + c 4 ). 58

11 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć. Heronova formula kao funkcja duljna vsna trokuta; P = 4 s (s a )(s b )(s c ), (47) gdje su: a, b, c, duljne vsna trokuta; a s = ( a + b + c ). (47) se može psat u oblku P = ( a + a + a ) ( a 4 + a 4 + a 4 ). 3. Heronova formula kao funkcja duljna težšnca trokuta; P = 4 3 s t(s t t a )(s t t b )(s t t c ), (48) gdje su: t a, t b, t c ; duljne težšnca trokuta; a s t = (t a + t b + t c ). (48) se može psat u oblku P = 3 (t a + t b + t c ) (t a 4 + t b 4 + t c 4 ) 4. Kumulatvna formula za površnu trokuta gdje je: s ε = (a P = K s ε (s ε a ε )(s ε b ε )(s ε c ε ). ε, (49) ε + b ε + c ε ); = rad se o duljn stranca, = rad se o duljn vsna, = 3 rad se o duljn težšnca; gdje je ε = ( ) +, K = 4 3 sng ( ) ( ) sng ( ). (49) se pše u oblku P = 4 ε K (a ε + b ε + c ε ) (a 4ε + b 4ε + c 4ε ) 5. Formula kao funkcja duljna polumjera trokutu prpsanh kružnca; P = r b + r c + r c + r a + r a + r b r b + r c 4 + ε. r c + r a 4 + r a + r b 4, (50) gdje su: r a, r b, r c duljne polumjera prpsanh kružnca. Ta formula nje formula heronskog tpa, premda je njoj slčna. I na kraju napomenmo, kada je u ptanju trokut, da (50), ako uvažmo vezu r = r a + r b + r c, možemo psat u oblku P = r a + r b + r c r a r b r c 6. Kumulatvna formula za površnu tetvnog polgona za n 3,4 P n = ctg 80 n 59. nn s n n n 4 n (s n a ) (s n a n ), (5) gdje su: a, a,, a n duljne stranca s n = (a + + a n ). (5) se može psat u oblku:

12 MAT-KOL, XXIII ()(07) P.Svrčevć P 3 = 4 (a + a + a 3 ) (a 4 + a 4 + a 3 4 ). P 4 = 4 (a + a + a 3 +a 4 ) (a 4 + a 4 + a a 4 4 ) + 8a a a 3 a 4. Zaključak. Svrha ovoga članka je, da se prezentra heurstka (grč., nauka o metodama stražvanja novh spoznaja) l ars nvenend (lat., umjeće naslućvanja), koja ma velku važnost u matematc, al u drugm naukama (fzka, kemja, bologja,...). No, u matematc zakon dobven heurstčkom metodom moraju bt potvrđen još strogm teorjskm dokazom, koj drektno l ndrektno sljed z postavljenh aksoma za konkretnu matematčku granu. Međutm, uvjetno rečeno, u drugm naukama zakon dobven tom metodom se prhvaćaju kao pravovaljan nakon konačnog broja emprjakh provjera, osm u onm djelovma fzke koj su aksomatsk zgrađen (klasčna mehanka, mehanka neba, specjalna teorja relatvnost,...). Lteratura G. L. Alexanderson, The random walks of George Pólya, Washngton, DC, 000. B. Pavkovć, Metoda posebnh slučajeva, HMD, Zbornk radova, Šest susret nastavnka matematke; Zagreb, srpnja P. Svrčevć, Kumulatvna formula za površnu trokuta, Matematčko-fzčk lst, br. 3, Zagreb, 008/09. 4 P. Svrčevć, Heurstka kumulatvna formula za površnu tetvnog polgona, Matematčko-fzčk lst, br., Zagreb, 0/3. 5 П. Свирчевић, Заједничка анализа три тврђења о троуглу, Настава математике, LIX - / 04., 6 H.Taylor and L.Taylor, George Pólya - Master of Dscovery, Palo Alto, CA,