Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Save this PDF as:

Size: px
Start display at page:

Download "Ariana Trstenjak Kvadratne forme"

Transcription

1 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014.

2 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Mentor: doc.dr.sc. Ivan Matić Osijek, 014.

3 Sažetak U matematici, kvadratna forma je homogeni polinom drugog stupnja od n varijabli. Kvadratne forme zauzimaju središnje mjesto u raznim granama matematike, kao što su teorija brojeva, linearna algebra, diferencijalna geometrija, diferencijalna topologija i mnoge druge. Teorija kvadratnih formi i metoda korištenja u njihovom učenju mnogo ovisi o njihovim koeficijentima, koji mogu biti realni, ali i kompleksni. U linearnoj algebri, analitičkoj geometriji i većini drugih grana matematike, koeficijenti su realni ili kompleksni brojevi. U algebarskoj teoriji kvadratnih formi, koeficijenti su elementi polja. U aritmetičkoj teoriji kvadratnih formi koeficijenti pripadaju prstenima. U slučaju jedne, dvije ili tri varijable postoje unarna, binarna i ternarna kvadrnatna forma, te kao takve imaju odgovarajući oblik. U uvodu ćemo reći nešto o povijesti kvadratnih formi, dok ćemo u. poglavlju opisati općenito što su to kvadratne forme, a u 3. poglavlju ćemo se posebno baviti binarnim kvadratnim formama, tj. formama oblika f(x, y = ax + bxy + cy, a, b, c K. Osim toga, u 3. poglavlju ćemo se dotaknuti Lagrangeovog teorema o četiri kvadrata, te Fundamentalnog korolara, te ćemo se na nekim primjerima uvjeriti kako se neki brojevi mogu, odnosno ne mogu prikazati u obliku kvadratnih formi. Ključne riječi: Kvadratna forma, unarna, binarna, ternarna kvadratna forma, kongruencija, ekvivalencija kvadratnih formi, definitnost kvadratnih formi, diskriminanta, Lagrangeov teorem o četiri kvadrata, Fundamentalna rasprava.

4 Abstract In mathematics, a quadratic form is a homogeneous polynomial of degree two in a number of n variables. Quadratic forms occupy a central place in various branches of mathematics, including number theory, linear algebra, differential geometry, differential topology, and the others. The theory of quadratic forms and methods used in their study depend in a large measure on the nature of the coefficients, which may be real or complex numbers. In linear algebra, analytic geometry, and in the majority of applications of quadratic forms, the coefficients are real or complex numbers. In the algebraic theory of quadratic forms, the coefficients are elements of a certain field. In the arithmetic theory of quadratic forms, the coefficients belong to a fixed commutative ring. In the cases of one, two, and three variables they are called unary, binary, and ternary and have the following explicit form. In the introduction, we will say something about the history of the quadratic forms, while in the second chapter we generally describe quadratic forms, and in the third chapter we will specifically watch binary quadratic forms f(x, y = ax + bxy + cy a, b, c K. Except this, in third chapter we will touch Lagrange s four-square theorem and say something about Fundamental converse. In some cases we are convinced that some numbers may or may not be written in the form of a quadratic form. Key words: Quadratic forms, unary, binary, ternary quadratic forms, congruence, equivalence of quadratic forms, definitness of quadratic forms, discriminant, Lagrange s four-square theorem, Fundamental converse.

5 Sadržaj 1. Uvod Kvadratne forme Binarne kvadratne forme Literatura

6 1. UVOD Proučavanje pojedinih kvadratnih formi, a posebno pitanje može li neki cijeli broj biti vrijednost određene kvadratne forme cijelih brojeva, proteže se stoljećima. Jedan takav slučaj je "Fermatov teorem u sumi dva kvadrata", koji utvrđuje kad cijeli broj može biti izražen u obliku x +y, gdje su x i y cijeli brojevi. Taj problem je povezan sa problemom "Pitagorinih trojki", što seže u tisućljeće prije Krista. 68. godine Indijski matematičar, Brahmagupta, je proučavao jednadžbe oblika x ny = c. U osnovi, on je proučavao ono što danas zovemo Pellovom jednadžbom x ny = 1, te je pronašao metodu kojom rješiti dani problem. U Europi, taj problem su proučavali Lagrange, Euler i Brouncker godine Gauss je objavio Disquisitiones Arithmeticae, u kojoj je veći dio posvećen upravo teoriji binarnih kvadratnih formi s cjelobrojnim koeficijentima. Od tada, koncept je generaliziran i poveznica je između kvadratnih brojeva polja i grupa, te su druga područja matematike dodatno razrješena. Dvije forme se nazivaju ekvivalentnima ako postoji varijabla koja pretvara prvi oblik u drugi. To definira odnos relacije ekvivalencije na skupu kvadratnih formi, u kojoj se elementi nazivaju klase kvadratnog oblika. Slične forme nužno imaju istu diskriminantu D(f = b 4ac, D(f 0, 1 (mod 4 Gauss je dokazao da za svaku vrijednost D, postoji samo konačno mnogo klasa binarnih kvadratnih oblika s diskriminantom D. On je opisao algoritam za prikaz kanonskih predstavnika u svakoj klasi, u reduciranom obliku, čiji su koeficijenti najmanji u odgovarajućem smislu. Jedan od najvažnijih Gaussovih otkrića je postojanje prirodnog zakona na skupu klasa binarnih kvadratnih formi s danom diskriminantom, što čini ovaj skup Abelovom grupom. Povijest binarnih kvadratnih formi Binarne kvadratne forme su bile razmatrane još od Fermata, posebno prikaz brojeva u obliku suma dva kvadrata. Teorija Pellovih jednadžbi može se promatrati kao dio teorije binarnih kvadratnih formi. Lagrange je godine pokrenuo razvoj opće teorije kvadratnih formi. Prva sustavna obrada binarnih kvadratnih formi je bila Legendreova, te je njegovom teorijom napredovao mnogo dalje Gauss u već spomenutom djelu Disquisitiones Arithmeticae. On je promatrao pitanje ekvivalencije i sistematizirao binarne kvadratne forme. Te Gaussove istrage su snažno utjecale i na aritmetičku teoriju kvadratnih formi u više od dvije varijable, te na kasniji razvoj teorije brojeva. 1

7 Povijest ternarnih kvadratnih formi U matematici i teoriji brojeva, Ramanujanove ternarne kvadratne forme su algebarski izrazi oblika x + y + 10z, gdje su x, y, z, cijeli brojevi. Srinivasa Ramanujan je promatrao taj izraz i objavio rezultate o njemu godine, gdje je kratko objasnio reprezentaciju cijelih brojeva u spomenutom obliku. Nakon što je dao nužne i dovoljne uvjete da se cijeli broj ne može prikazati u obliku ax + by + cz za pojedine vrijednosti a, b i c, Ramanujan je izjavio: Ti rezultati mogu nas dovesti u iskušenje da pretpostavimo da postoje slični jednostavni rezultati za oblik ax + by + cz, gdje su vrijednosti a, b i c realni brojevi, no čini se, međutim, da u većini slučajeva ne postoje jednostavni rezultati. Da bi potkrijepio ovu tvrdnju, Ramanujan je objavio teoriju koja se sada spominje kao "Ramanujanove ternarnarne kvadratne forme".

8 . KVADRATNE FORME Kvadratna forma je homogeni polinom drugog stupnja od n varijabli. Definicija.1. Realna kvadratna forma u n varijabli x 1, x,..., x n, pridružena simetričnoj matrici A je izraz definiran s: x 1 x (x 1 x... x n A. x 1 x ili kraće x T Ax, gdje je x =.. x n x n Definicija.. Kvadratna forma u dvije varijable x i y je izraz oblika ( ( ( a b x ax + bxy + cy = x y. b c y ( ( ( 3 x Primjer.1. 3x + 4xy 5y = x y. 5 y Primjer.. Slično, kvadratna forma u tri varijable: ( 4 x x 3y + 5z 4xy 8xz + yz = x y z 3 1 y Definicija.3. Kvadratna forma je kanonska ako je pripadna matrica dijagonalna. Primjer.3. 4x 7y = ( x ( ( 4 0 x y. 0 7 y z Svaka se kvadratna forma može svesti na kanonsku. Lema.1. Neka je x T Ax kvadratna forma u varijablama x 1, x,..., x n, gdje je A simetrična matrica. Ako matrica P ortogonalno dijagonalizira matricu A i ako su nove varijable y 1, y,..., y n definirane jednadžbom x = P y, onda njeno uvrštavanje u x T Ax daje 3

9 x T Ax = y T Dy = λ 1 y1 + λ y λ n yn, λ λ gdje su λ 1, λ,..., λ n svojstvene vrijednosti matrice A i P T AP = D = λ n Kaže se da matrica P ortogonalno dijagonalizira kvadratnu formu ili da reducira kvadratnu formu na zbroj kvadrata. Primjer.4. Neka je kvadratna forma u dvije varijable definirana s: ( ( ( 5 x 5x + 4xy + 8y = x y. 8 y Rješenje: Zamijenimo varijable x i y novim varijablama x i y tako da bude ( ( x x x = P y, tj. = P, y y gdje je P = ( x + 4xy + 8y = orotogonalna matrica koja dijagonalizira matricu A, i nalazimo = x T Ax = (P y T A(P y = y T P T AP y (x y ( 1 5 ili ( ( ( 9 0 x y 0 4 x y T ( ( = 9x + 4y U daljnim tvrdnjama ćemo označavati kvadratnu formu s q(x = x T Ax. ( x y Definicija.4. Kažemo da je kvadratna forma q pozitivno definitna ako je q(x > 0, negativno definitna ako je q(x < 0, indefinitna ako je q(x = 0. 4

10 3. BINARNE KVADRATNE FORME U ovom poglavlju ćemo promatrati već ranije spomenute binarne kvadrane forme. f(x, y = ax + bxy + cy, a, b, c Z, (1 tj. riječ je o homogenom polinomu od dviju varijabli drugog stupnja s cjelobrojnim koeficijentima. Diskriminanta od f je broj d = b 4ac. Očito je d 0 (mod 4 u slučaju kada je b paran i d 1 (mod 4 ako je b neparan. Slično tako, vrijedi i obrat. Forme x 1 4 dy, ako je d 0 (mod 4, te x + xy + 1(1 4 dy, ako je d 1(mod 4 imaju diskriminantu d i nazivamo ih glavne forme s diskriminantom d. Prema formuli (1 imamo 4af(x, y = (ax + by dy. Ako je d < 0, onda f poprima ili samo pozitivne ili samo negativne vrijednosti za (x, y (0, 0, te u tom slučaju kažemo da je f pozitivno, odnosno negativno definitna. Ako je d > 0, onda f poprima i pozitive i negativne vrijednosti, pa je nazivamo indefinitna forma. Ako je d = 0, onda kažemo da je f poludefinitna. Definicija 3.1. Kažemo da su dvije binarne kvadratne forme f i g ekvivalentne ako se jedna može transformirati u drugu pomoću cjelobrojnih unimodularnih transformacija, tj. supstitucija oblika x = px + qy, y = rx + sy, gdje su p, q, r, s Z i ps qr = 1. Pišemo: f g Matrično f možemo zapisati kao X T F X, gdje je ( ( a b x F =, X =, b c y a supstituciju sa X = UX, gdje je U = ( p r ( q, X = s Uvijet unimodularnosti je tada detu = 1. Pritom f prelazi u X T GX, gdje je G = U T F U. ( p Označimo se Γ = { r množenje matrica. x y, q : p, q, r, s Z, ps qr = 1}. Tada Γ čini grupu s ozbirom na s 5

11 Provjerimo, ( ( p q B = Γ B 1 1 s q = r s ps qr r p ( s q B Γ detb = ps qr = 1 B 1 = r p ( ( ( ( a b p q a b s A =, B = Γ AB 1 = c d r s c d r i det(ab 1 = deta (detb 1 = 1 AB 1 Γ. q = p ( as br cs dr bp aq dp cq Elemente grupe Γ nazivamo unimodularne matrice. Uvjet ekvivalentnosti kvadratnih formi je ekvivalentan postojanju matrice U Γ za koju je G = U T F U (uz oznake od prije. Propozicija 3.1. Neka su f, g, h binarne kvadratne forme. Tada vrijedi: 1. f f,. f g g f, 3. f g, g h f h. Drugim riječima, je relacija ekvivalencije. ( 1 0 Dokaz: 1 Očito je Γ. 0 1 Ako je f g, onda postoji U Γ tako da je G = U T F U. Odavde je F = (U 1 T GU 1. No, Γ je grupa, pa je U 1 Γ, što znači da je g f. 3 Ako je f g i g h, onda je G = U T F U, H = V T GV za neke U, V Γ, te je odavde H = (UV T F (UV, a budući da je UV Γ, to je f h. Q.E.D. Definicija 3.. Kažemo da binarna kvadratna forma reprezentira cijeli broj n ako postoje x 0, y 0 Z takvi da je f(x 0, y 0 = n. Ako je pritom (x 0, y 0 = 1 onda kažemo da je reprezentacija prava, inače je neprava. Propozicija 3.. Neka su f i g ekvivalentne binarne kvadratne forme, te n Z. Tada: 6

12 1 f reprezentira n ako i samo ako g reprezentira n, f pravo reprezentira n ako i samo ako g pravo reprezentira n, 3 diskriminante od f i g su jednake. Dokaz: 1 Zbog Propozicije 3.1. dovoljno je provjeriti samo jednu implikaciju. Neka je G = U T F U. Ako je n = X0 T F X0 0, onda je n = X1 T GX 1, gdje je X 1 = U 1 X 0. Neka je X 0 = ( x 0 y 0, X 1 = ( x 1 y 1. Pretpostavimo da su x 0 i y 0 relativno prosti, tj. da je (x 0, y 0 = 1. Iz x 0 = px 1 + qy 1, y 0 = rx 1 + sy 1 slijedi da je (x 1, y 1 = 1. 3 Označimo s d 0 i d 1 diskriminante od f, tj. od g. Tada je d 0 = 4detF, d 1 = 4detG, a detg = detu T detf detu = detf, pa iz toga slijedi da je d 0 = d 1. Q.E.D. Napomena 3.1. Obrat ovih tvrdnji općenito ne vrijedi. Primjer 3.1. f(x, y = x + xy + 3y i g(x, y = x xy + 3y su neekvivalentne pozitivno definitne binarne kvadratne forme s diskriminantom d = 3 i reprezentiraju iste brojeve. Npr. f(, 1 = 9 = g(, 1. Opisat ćemo redukciju pozitivno definitnih kvadratnih formi: Pretpostavimo da je d < 0 i a > 0, pa je i c > 0. Definicija 3.3. Kažemo da je pozitivno definitna kvadratna forma f(x, y = ax + bxy + cy reducirana ako je a < b a < c ili 0 b a = c. Teorem 3.1. Svaka pozitivno definitna kvadratna forma je ekvivalentna nekoj reduciranoj formi. Dokaz: Promotrit ćemo supstitucije čije su matrice ( ( ±1 U = i V = Pokažimo da korištenjem konačno mnogo ovih transformacija možemo postići da je b a c. 7

13 ( c Zaista, U T F U = b b a a > c, onda ćemo u U T F U imati da je a < c. Nadalje, (, što znači da U zamjenjuje a i c, pa ako smo u F imali da je V T F V = a ±a + b ±a + b a ± b + c Što znači da V zamjenjuje b s b ± a, dok a ostavlja nepromjenjenim. Stoga koristeći ovu transformaciju konačno mnogo puta možemo postići da je b a. završava, jer svaka primjena prve transformacije smanjuje vrijednost od a., Ovaj proces sigurno Ako je sada b = a, onda primjenom supstitucije s matricom V možemo postići da je b = a, gdje c pri tome ostaje nepromjenjen. Ako je a = c, tada se primjenom supstitucije s matricom U može postići da je b 0. Primjer 3.. Nađimo reduciranu formu evivalentnu sa 166x + 136xy + 8y. ( Rješenje: Krenut ćemo od matrice kvadratne forme F =. Na tu matricu 68 8 ( ( ( primjenimo matricu U = na sljedeći način: U T F U = ( ( ( = = F. Nakon toga, primjenimo matricu V + = na ( ( ( ( slijedeći način: V T F V = = = F. Još ( 8 1 jednom primjenimo matricu V + na F na isti način i dobivamo matricu. 1 6 ( 6 1 Nakon toga primjenimo matricu U na zadnju matricu i dobivamo matricu oblika. 1 8 ( 6 6 Sada primjenimo matricu V iz prethodnog teorema na zadnju matricu i dobivamo 6 10 ( 6 0 i još jednom ponovimo postupak s V na zadnju matricu i dobivamo matricu. 0 4 ( 4 0 Konačno, primjena matrice U na posljednju matricu daje traženu matricu, pa je 0 6 naša tražena kvadratna forma oblika 4x + 6y. Teorem 3.1. nam olakšava da ne moramo svaki put množiti matrice kvadratne forme s matricama U, U T, V i V T, nego je dovoljno zapamtiti sljedeće ( ( b c U T F U =, V T F V =. b a a ±a + b ±a + b a ± b + c. 8

14 Teorem 3.. Postoji samo konačno mnogo klasa ekvivalencije pozitivno definitnih binarnih kvadratnih formi s danom diskriminantom d. Dokaz: Ako je f reducirana, onda je d = 4ac b 3ac, pa su i a i c i b manji od 1 d. 3 Q.E.D. Definicija 3.4. Za binarnu kvadratnu formu f(x, y = ax + bxy + cy kažemo da je primitivna ako je (a, b, c = 1. Definicija 3.5. Broj primitivnih pozitivno definitnih reduciranih binarnih kvadratnih formi s diskriminantom d naziva se broj klasa od d i označava se s h(d. Primjer 3.3. Izračunajmo h( 4. Rješenje: d = b 4ac 4 = b 4ac, tj. 4 = 4ac b, ta jednakost vrijedi samo za a = c = 1 i b = 0. To znači da je h( 4 = 1. Do sada je poznato da je h(d = 1 samo za 9 negativnih cijelih brojeva, a to su d = 3, 4, 7, 8, 11, 19, 43, 67, 163. Primjer 3.4. Izračunajmo h( 16. Rješenje: Iz 3ac 4 a = c = 1, pa iz toga slijedi da je b = 0, tj. h( 4 = 1 i oblika je x + y. 1 a = 1. Tada je b {0, 1}. Kada uvrstimo a = 1 dobivamo 4c b = 16 odakle slijedi da je b paran. Za b = 1 nemamo rješenja, što znači da je b = 0, odakle slijedi da je c = 4. a = Tada je b {0, 1} zbog a < b a. Iz 8c b = 16 slijedi da je opet b paran. Uvrštavanjem b u jednadžbu vidimo da za b = 1, 1, nemamo rješenja, što znači da je b = 0, a time dobivamo c =. Dakle, postoje dvije reducirane forme s diskriminantom -16, a to su x + 4y i x + y. Odnosno, h( 16 =. Sljedeći teorem pokazuje da je h(d upravo broj neekvivalentnih binarnih kvadratnih formi s diskriminantom d. Također valja napomenuti da analogna tvrdnja za d > 0 ne vrijedi. 9

15 Teorem 3.3. Ako su f i f dvije ekvivalentne reducirane forme, onda je f = f. Dokaz: Ako s x, y Z \ {0} i x y, onda je f(x, y x (a x by + c y x (a b + c y a b + c. Analogno se provjerava da ako je y x, onda je također f(x, y a b + c. Dakle, tri najmanje vrijednosti koje može poprimiti f(x, y su a, c i a b + c i to upravo u tom redosljedu, a poprimaju se za (x, y = (1, 0, (0, 1, (1, 1 ili (1, 1. Budući da, po Propoziciji 3.., f poprima iste vrijednosti za (x, y = 1 kao i f, te je f također reducirana, zaključujemo da je a = a. Pretpostavimo da je a < c. Tada je a < c < a b + c. Kada bi bilo da je a = c, onda bi broj a imao više reprezentacija pomoću forme f, nego pomoću forme f. Zato je a < c, pa je c = c. Iz b = d + 4ac = b, dobivamo da je b = b. Dakle, još preostaje pokazati da b = b povlači b = 0. Možemo pretpostaviti da je a < b < a < c. Budući da je f reducirana, imamo da je a < b, pa je a b, a ako je a = c, onda iz b 0 i b 0 slijedi ( da je b = 0. Prema tome je f(x, y a b + c > c > a za sve x, y Z \ {0}. p q Neka je matrica prijelaza iz f u f. Tada je r s a = f(p, r, b = apq + b(ps + qr + crs, c = f(q, s ( U našem slučaju je a = a = ap + bpr + cr, tada je p = ±1 i r = 0. Sada iz ps qr = 1, slijedi da je s = ±1, a iz c = f(q, s slijedi da je q = 0. To znači da je b = b, pa je b = 0. Ostaje nam još razmoriti slučaj kada je a = c. Tada broj a ima barem četiri reprezentacije pomoću f, pa mora imati i barem četiri reprezentacije pomoću f, a to tada povlači da je c = a = c. Ponovno dobivamo da je b = b, ali u ovom slučaju iz definicije reduciranosti imamo da je b 0, b 0, pa je b = b. Q.E.D. Teorem 3.4. Neka su d < 0 i n > 0 cijeli brojevi. Tada je n pravo reprezentiran nekom binarnom kvadratnom formom s diskriminantom d ako i samo ako kongruencija x d( mod 4n ima rješenja. Dokaz: Pretpostavimo da gornja konguencija ima rješenja i da je x = b traženo rješenje. Definirajmo c s b 4nc = d i stavimo da je a = n. Sada forma f(x, y = ax + bxy + cy ima diskriminantu d i f(0, 1 = n, pa f pravo reprezentira broj n. Obratno, pretpostavimo da forma f ima diskriminantu d i da je n = f(p, r za neke p, r Z, takvi da su p i r relativno prosti. Tada postoje q, s Z takvi da je ( ps qr = 1. p q Sada je f ekvivalentna s f koja je dobivena iz f pomoću matrice prijelaza i po r s formuli (3.. vrijedi da je a = f(p, r = n. Ali, f i f imaju istu diskriminantu, pa je 10

16 b 4nc = d. Dakle, kongruencija x d(mod 4n ima rješenje x = b. Q.E.D. Primjer 3.5. Dokažimo da se prost broj p može prikazati u obliku x + 5y, x, y N ako i samo ako je p 1 ili 9 (mod 0. Rješenje: Nužan i dovoljan uvjet da bi se p mogao prikazati nekom kvadratnom formom s diskriminantom 0 je da kongruencija x 0 (mod 4p, tj x 5 (mod p ima rješenja. To znači da je ( 5 = 1. Lako se pokaže da postoje točno dvije neekvivalentne p forme s diskriminantom 0, analogno kao u Primjeru 3.4. Ako je p = x + 5y, onda je x p (mod 5, tj. ( p 5 = 1. Ako je p = x + xy + 3y, onda je p = (x + y + 5y, pa je (x + y p (mod 5, tj ( p = 1. No, kako je ( p = ( ( p = ( p, pa je ( p = 1. Kako je ( 5 = ( p, uvjeti su p 5 ekvivalentni s ( p = 1 i ( 1 = 1, tj slijedi da je p 1 ili 4 (mod 5 i p 1 (mod 4, odakle 5 5 slijedi da je upravo p 1 ili 9 (mod 0. Teorem 3.5. Prirodan broj n se može prikazati u obliku n = x +y, x, y Z ako i samo ako se u rastavu broja n na proste faktore svaki prost faktor p za koji je p 3 (mod 4 javlja s parnom potencijom. Dokaz: Pretpostavimo da je n = x + y, te da je n djeljiv prostim brojem ( p 3(mod 1 4. Tada je x y (mod p. Ako p ne dijeli x i y onda dobivamo da je, što je p ( ( x y kontadikcija. Iz toga slijedi da p dijeli x i y pa je n djeljiv s p. Tada je + = n p p p, pa indukcijom slijedi da se p u rastavu broja n javlja s parnom potencijom. Da bi dokazali obrat, dovoljno je dokazati da ako je n kvadratno slobodan i svi neparni faktori p od n zadovoljavaju p 1(mod 4, onda se n može prikazati u obliku x + y. Uistinu, ako je n = x + y, onda je n m = (xm + (ym. Promotrimo sada binarnu kvadratnu formu f(x, y = x + y. To je reducirana forma s diskriminantom 4. U Primjeru 3.3. pokazali smo da je h( 4 = 1, te je to jedina reducirana forma s diskriminantom 4. Iz Teorema 3.6. slijedi da je n pravo reprezentiran formom x +y ako i samo ako kongruencija x 4(mod 4n ima rješenja. Ta kongruencija je ekvivalentan sa z 1(mod n. Neka je n = p 1 p... p k. Po pretpostavci je p i 1(mod 4, pa kongruencija z 1(mod p i ima rješenje, te neka je to rješenje z = z i. Po Kineskom teoremu o ostacima, postoji cijeli broj z koji zadovoljava sustav z z 1 (mod p 1,..., z z k (mod p k. 11

17 Sada je z z i 1(mod p i za svaki i, pa je z 1(mod n. Q.E.D. Teorem 3.6. Cijeli broj n se može prikazati u obliku x y ako i samo ako n ( mod 4. Dokaz: Pretpostavimo da je n (mod 4, te da je n = x y = (x y(x + y. Budući da je n paran, to je jedan od faktora x y, x + y paran. No, kako je x + y = (x y + y, pa iz toga slijedi da je i drugi faktor također paran. To znači da je n 0( mod 4, pa smo time dobili kontradikciju. Neka je sada n (mod 4. Tada razlikujemo dva slučaja: 1 n = k + 1. Tada je n = (k + 1 k. n = 4k. Tada je n = (k + 1 (k 1. Q.E.D. Teorem 3.7. (Lagrangeov Teorem o četiri kvadrata Svaki prirodan broj n može se prikazati u obliku sume kvadrata četiri cijela broja, tj. u obliku n = x + y + z + w, x, y, z, w Z. Dokaz: Uočimo da vrijedi identitet (x + y + z + w (a + b + c + d = (ax + by + cz + dw + (ay bx + dz cw + (az cx + bw dy + (aw dx + cy bz. (3 Stoga je tvrdnju teorema dovoljno provjeriti za proste brojeve. Jasno je da je = , pa pretpostavimo da je p neparan prost broj. Promotrimo brojeve ( p 1 0, 1,,...,. (4 Nikoja dva među njima nisu kongruentna modulo p. Isto tako vrijedi i za brojeve ( p 1 1 0, 1 1, 1,..., 1. (5 U formulama (4 i (5 imamo ukupno p + 1 brojeva. Po Dirichletovom principu, dva među njima daju isti ostatak pri djeljenju s p. To znači da postoje cijeli brojevi x i y takvi da x 1 y (mod p i vrijedi da je x + y + 1 < 1 + ( p < p. Dakle, dobili smo da je mp = x + y + 1 za neki cijeli broj 0 < m < p. Neka je sada k najmanji prirodan broj takav je kp = x +y +z +w za neke x, y, z, w Z. Tada je k m < p. Nadalje, k je neparan, jer ako bi k bio paran, onda bi među brojevima x, y, z, w imali parno mnogo neparnih brojeva, pa bismo tada mogli pretpostaviti da su brojevi x + y, x y, z + w, z w parni. Ali tada bi iz 1

18 1 kp = ( ( ( ( x + y x y z + w z w dobili kontradikciju s time da je k najmanji takav. Da bismo dokazali teorem moramo pokazati da je k = 1. Zato pretpostavimo da je k > 1. Neka su x, y, z, w najmanji ostaci po apsolutnoj vrijednosti pri djeljenju brojeva x, y, z, w s k, te neka je n = x + y + z + w. Tada je n 0(mod k i n > 0, jer bi inače k dijelio p. Budući da je n neparan, imamo da je n < 4 ( k = k. Stoga je n = mk, za neki cijeli broj m takav da je 0 < m < k. Iz (3 slijedi da se broj (mk(kp može prikazati kao suma kvadrata četiri cijela broja, čak da je svaki od tih kvadrata djeljiv s k. Odavde slijedi da se broj mp može prikazati kao suma četiri kvadrata, no to je u kontradikciji s minimalnošću od k. To znači da k = 1, te je time tvrdnja teorema dokazana. Q.E.D. Napomena 3.. Metoda upotrebljena u posljednjem dijelu dokaza prethodnog teorema naziva se Fermatova metoda beskonačnog spusta. Metoda beskonačnog spusta, koristi se kad radimo s prirodnim brojevima (tj. koristimo činjenicu da svaki podskup od N ima najmanji element. Ideja ove metode je slijedeća: Pretpostavimo da je neka tvrdnja točna za neki prirodan broj. Pokažimo da je ta tvrdnja točna za neki manji prirodan broj (manji od danog. Ovo znači da je tvrdnja točna za neki strogo padajući (beskonačni niz prirodnih brojeva, što je kontradikcija s činjenicom da svaki podskup od N ima minimalni element. Legendere i Gauss su dokazali da se prirodan broj n može prikazati kao suma tri kvadrata ako i samo ako n nije oblika 4 j (8k + 7, j, k 0. Nužnost, kao što ćemo pokazati u sljedećem primjeru, slijedi iz činjenice da kvadrati daju ostatke 0,1 ili 4 pri djeljenju s 8, dok je dokaz dovoljnosti znatno teži i koristi teoriju ternarnih kvadratnih formi. Primjer 3.6. Neka je n = 4 m (8k + 7, m, k 0. Dokažimo da se n ne može prikazati u obliku x + y + z, x, y, z Z. Rješenje: Pretpostavimo suprotno, tj da je n najmanji prirodan broj za kojeg dana tvrdnja ne vrijedi. Tada je n = 4 m (8k + 7 = x + y + z. Kvadrat neparnog broja (a + 1 a(a + 1 = daje ostatak 1 pri djeljenju s 8. Ako se među brojevima x, y, z nalaze jedan, dva ili tri neparna broja, onda je x + y + z oblika 13

19 4l +1, 4l + ili 8l + 3. No, kako n nema niti jedan od ovih oblika, slijedi da su x, y, z svi parni. Uzmimo npr. x = x 1, y = y 1, z = z 1. Tada je n = 4m 1 (8k + 7 = x 1 + y 1 + z 1, pa smo time dobili kontradikciju s minimalnošću od n. Znači da početna tvrdnja vrijedi. Teorem 3.8. Neka je d 0, 1(mod 4 pozitivan cijeli broj, i neka je n neparan cijeli broj koji je relativno prost s d. Tada su slijedeće tvrdnje ekvivalentne: 1 d je kvadratni ostatak ostatak n, postoji primitivna kvadratna forma s diskriminantom d koja reprezentira n. Dokaz: 1 = Neka je b neki broj takav da vrijedi d b (mod n. Kako je n neparan, zamjenjujući b s b + n, ukoliko je potrebno, možemo pretpostaviti da je d b(mod, te je tada i d b (mod 4n, tj. d = b 4nc, za neki c, i tada nx + bxy + cy pravo reprezentira n i ima diskriminantu d. Ta forma je primitivna, te kako je (n, d = 1 slijedi da ne postoji zajednički prost djelitelj od n i b. = 1 Ako postoji primitivna forma f(x, y = ax + bxy + cy s diskriminantom d, te relativno prosti brojevi p i q takvi da je f(p, q = n, tada postoje cijeli brojevi r i s takvi da pq rs = 1 i tada f(px + ry, qx + sy = f(p, qx + (apr + bps + brq + cqsxy + f(r, sy = nx + b xy + c y ima diskriminantu d = b 4nc i taj d je kvadratni ostatak modulo n. Q.E.D. Korolar 3.1. Fundamentalna rasprava Za prirodan broj m i neparan prost broj p koji nije djeljiv s m vrijedi slijedeće: 1 m je kvadratni ostatak modulo p, postoji primitivna kvadratna forma diskriminante 4m koja reprezentira p. Dokaz: Dovoljno je primjeniti na prethodan teorem d = 4m i primjetiti da je m kvadratni ostatak modulo p ako i samo ako je 4m kvadratni ostatak modulo p. Q.E.D. U idućem teoremu ćemo iskazati sličan rezultat kao što smo ranije u Teoremu 3.., te ćemo ga koristiti u primjerima koji slijede i još jednom pokazati primjenu kvadratnih formi. Teorem 3.9. Ako je ax + bxy + cy reducirana kvadratna forma, s diskriminantom d, d tada je b a. 3 14

20 Primjer 3.7. Neka je diskriminanta d = 4. To znači da je 4ac b = 4. Tada za b = 0 dobivamo da je a = c = 1, tj. postoji jedinstvena kvadratna forma q 4 = x + y odnosno prema Korolaru 3.1. neparan prost broj p odgovara formi x + y ako i samo ako je ( 1 p = 1. Primjer 3.8. Neka je sada diskriminata d = 11, tada je 4ac b 11 = 11. Zbog 0 b a 3 slijedi da a može biti 1 ili. Za a = 1 imamo da je 4c b = 11, a kako b može biti 0, ili ±1, vidimo da za b = 0 nema cjelobrojnih rješenja, ali za b = ±1 dobivamo da je c = 3. Preostaje nam još provjeriti a =. Tada b može biti 0, ±1, ±, no niti za jednu od navedenih mogućnosti b ne postoji cijeli broj c koji bi odgovarao rješenju jednadžbe. Kako se radi o reduciranoj kvadratnoj formi preostaje nam jedno rješenje, a ono je (a, b, c = (1, 1, 3. Prema tome, postoji jedinstvena reducirana kvadratna forma s diskriminatom 11 i oblika je q 11 (x, y = x + xy + 3y. Tada neparan prost broj p odgovara traženoj formi ako i samo ako je ( 11 p = 1, tj. p 1 (mod 11. Tvrdnja slijedećeg teorema se slično može pokazati kao i dosadašnji primjeri, te se on koristi kao završni rezultat sličan prethodnima. Teorem Prost broj p se može prikazati u obliku x + 6y ako i samo ako p 1, 7 (mod 4. 15

21 4. LITERATURA [1] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, PMF-Matematički odjel, Zagreb, skripta [] I. Matić, Uvod u teoriju brojeva, Odjel za matematiku, Osijek, skripta [3] P. L. Clark, Elementary theory of quadratic forms, dostupno na pete/8430notes3.pdf [4] 16

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Racionalne Diofantove šestorke

Racionalne Diofantove šestorke Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( 3) Zrinka Franušić and Ivan Soldo

THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( 3) Zrinka Franušić and Ivan Soldo RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 8 = 59 (04): 5-5 THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( ) Zrinka Franušić and Ivan Soldo Abstract. We solve the problem of Diophantus for integers of the quadratic

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

SOME VARIANTS OF LAGRANGE S FOUR SQUARES THEOREM

SOME VARIANTS OF LAGRANGE S FOUR SQUARES THEOREM Acta Arith. 183(018), no. 4, 339 36. SOME VARIANTS OF LAGRANGE S FOUR SQUARES THEOREM YU-CHEN SUN AND ZHI-WEI SUN Abstract. Lagrange s four squares theorem is a classical theorem in number theory. Recently,

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information

1. Let r, s, t, v be the homogeneous relations defined on the set M = {2, 3, 4, 5, 6} by

1. Let r, s, t, v be the homogeneous relations defined on the set M = {2, 3, 4, 5, 6} by Seminar 1 1. Which ones of the usual symbols of addition, subtraction, multiplication and division define an operation (composition law) on the numerical sets N, Z, Q, R, C? 2. Let A = {a 1, a 2, a 3 }.

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

SHEME DIGITALNOG POTPISA

SHEME DIGITALNOG POTPISA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Jelena Hunjadi SHEME DIGITALNOG POTPISA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, 2016. Ovaj diplomski

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information