Konstrukcija i analiza algoritama
|
|
- Bertram Bruce
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE 2. POJEDNOSTAVLJIVANJE 3. SPAJANJE (KONJUKCIJA) p p q p q p p q p q 4. MODUS PONENS 5. MODUS TOLLENS p p q q q p q p 6. HIPOTETIČKI SILOGIZAM p q q r p r 1 Materijal je osmišljen na osnovu knjige: Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H. Rosen 1
2 7. DISJUNKTIVNI SILOGIZAM p q p q 8. PRAVILO REZOLUCIJE p q p r q r 1. Konstruisati dokaz koristeći pravila zaključivanja koji pokazuje da iz hipoteza: (a) Ako imam sreće dobiću na lutriji. (b) Ako dobijem na lutriji kupiću auto. (c) Nisam kupio auto. sledi zaključak: Nisam imao sreće. Rešenje: Označimo sa u tvrdjenje Imam sreće, sa v tvrdjenje Dobio sam na lutriji, sa w Kupio sam auto. Onda možemo da zapišemo hipoteze kao: H1: u v H2: v w H3: w a tvrdjenje koje hoćemo da dokažemo kao: Z: u Dokaz je onda sledećeg oblika: 1. v w (H2) 2. w (H3) 3. v (1,2,MT) 4. u v (H1) 5. u (3,4,MT) 2. Konstruisati dokaz koristeći pravila zaključivanja koji pokazuje da iz hipoteza: (a) Ako ne pada kiša ili ako nije maglovito, onda će biti održano takmičenje jedrilica i održaće se prezentacija spasioca. (b) Ako se održi takmičenje jedrilica, biće uručen trofej. 2
3 (c) Trofej nije uručen. sledi zaključak: Padala je kiša. Rešenje: Označimo sa p tvrdjenje pada kiša, sa q tvrdjenje maglovito je, sa r održaće se trka jedrilica, sa s održaće se prezentacija spasioca, a sa t biće uručen trofej. Onda možemo da zapišemo hipoteze kao: H1: p q r s H2: r t H3: t a tvrdjenje koje hoćemo da dokažemo kao: Z: p A dokaz je onda sledećeg oblika: 1. p q r s (H1) 2. r t (H2) 3. t (H3) 4. r (2,3,MT) 5. r s = (r s) (4, dodavanje) 6. ( p q) = p q (1,5,MT) 7. p (6, pojednostavljenje) 3. Metodom rezolucije pokazati da iz hipoteza (p q) r i r s sledi zaključak p s. Rešenje: (p q) r prezapisujemo kao dve klauze: p r, q r, a r s kao r s. Stoga direktno iz klauza p r i r s dobijamo p s Metodom rezolucije pokazati da iz hipoteza: (a) Ja ili sanjam ili haluciniram. (b) Ne sanjam. (c) Ako haluciniram, vidim ružičaste slonove. sledi zaključak: Vidim ružičaste slonove. Najčešće greške u zaključivanju: G1: [(p q) q] p nije tautologija greška u potvrdjivanju zaključka G2: [(p q) p] q nije tautologija greška u negiranju hipoteze 2 Za vežbu 3
4 5. Odrediti koji je od ovih dokaza korektan; ako je korektan na osnovu kog pravila zaključivanja je dobijen, a ako nije koja se logička greška javila: (a) Ako je n realan broj takav da važi n > 1, tada je n 2 > 1. Ako pretpostavimo da je n 2 > 1, tada sledi da je n > 1. (b) Ako je n realan broj takav da važi n > 3, tada je n 2 > 9. Ako pretpostavimo da je n 2 9, tada sledi da je n 3. (c) Ako je n realan broj takav da važi n > 2, tada je n 2 > 4. Ako pretpostavimo da je n 2, tada sledi da je n Logika prvog reda Pravila zaključivanja za logiku prvog reda: Univerzalno instanciranje: Iz premise xp (x) i toga da je c član skupa entiteta na koje primenjujemo univerzalni kvantifikator sledi da važi: P (c). Univerzalna generalizacija: Iz premise da je P (c) tačno za sve vrednosti c iz skupa entiteta na koje primenjujemo univerzalni kvantifikator, sledi xp (x). Egzistencijalno instanciranje: Iz premise xp (x) sledi da postoji element c iz skupa entiteta ne koje primenjujemo egzistencijalni kvantifikator tako da je P (c) tačno. Egzistencijalna generalizacija: Iz premise da je P (c) tačno za neko poznato c, zaključujemo da je tačno tvrdjenje xp (x). 1. Objasniti koja su pravila zaključivanja iskorišćena u svakom od koraka: (a) Milan, student ove grupe, zna da piše programe u Javi. Svako ko zna da piše programe u Javi može da dobije dobro plaćen posao. Stoga neko u ovoj grupi može da dobije dobro plaćen posao. Rešenje: Označimo sa c(x) tvrdjenje x je u ovoj grupi, sa j(x) tvrdjenje x zna da piše programe u Javi, sa h(x) x može da dobije dobro plaćen posao. Onda možemo da zapišemo hipoteze kao: H1: c(m) j(m) H2: x(j(x) h(x)) a tvrdjenje koje treba da dokažemo je: Z: x(c(x) h(x)) Dokaz je onda sledećeg oblika: 1. c(m) j(m) (H1) 2. c(m) (1,pojednostavljivanje) 3. j(m) (1,pojednostavljivanje) 4
5 4. x(j(x) h(x)) (H2) 5. j(m) h(m) (4, univerzalno instanciranje) 6. h(m) (5,3,MP) 7. c(m) h(m) (1,6, spajanje) 8. x(c(x) h(x)) (b) Svako iz New Jersey-ja živi u krugu od 50 milja daleko od okeana. Neko iz New Jersey-ja nikada nije video okean. Stoga neko ko živi u krugu od 50 milja daleko od okeana nikada nije video okean. Uputstvo: Prvo se osloboditi egzistencijalnog kvantifikatora, pa tek onda univerzalnog kvantifikatora Objasniti koje se pravilo zaključivanja koristi u svakom od koraka: Neko u ovoj grupi uživa da gleda tenis. Svaka osoba koja uživa da gleda tenis, voli da se bavi sportom. Stoga u ovoj grupi postoji osoba koja voli da se bavi sportom Objasniti koje se pravilo zaključivanja koristi u svakom od koraka: Marija, student četvrte godine, je bila u Parizu. Svako ko ode u Pariz ode da poseti Luvr. Svako ko poseti Luvr vidi poznatu sliku Mona Liza. Stoga, postoji student četvrte godine koji je video sliku Mona Liza. 5
6 1.3 Tehnike dokazivanja Tipovi dokaza: Direktni dokazi implikacija p q se dokazuje tako što se pretpostavi da je p tačno i onda pokaže da iz toga sledi da je q tačno Indirektni dokazi umesto implikacije p q dokazuje se njena kontrapozicija q p Besmisleni i trivijalni dokazi implikacija p q je tačna ukoliko je p uvek netačno - ovo nazivamo besmislenim dokazom ili ukoliko je q uvek tačno - ovo nazivamo trivijalnim dokazom Dokaz kontradikcijom tvrdjenje p dokazujemo tako što pretpostavimo suprotno - da je tačno p i iz toga izvedemo kontradikciju Dokaz po slučajevima tvrdjenje oblika (p 1... p n ) q dokazujemo tako što pokazujemo da važi: p 1 q... p n q Dokaz ekvivalencije tvrdjenje oblika p q dokazujemo tako što dokazujemo p q i q p 1. Dokazati tvrdjenje P (0), ako je sa P (n) označeno tvrdjenje: ako je n pozitivan ceo broj veći od 1, tada je n 2 > n. Koji tip dokaza se koristi? 2. Dokazati tvrdjenje P (1), ako je sa P (n) označeno tvrdjenje: ako su a i b pozitivni celi brojevi, tada je (a + b) n a n + b n. Koji tip dokaza se koristi? 3. Dokazati da ako je n prirodan broj i n je neparno, tada je n parno, koristeći: (a) indirektni dokaz, (b) dokaz kontradikcijom. Rešenje: (a) Dokazujemo tvrdjenje oblika p q korišćenjem kontrapozicije ovog tvrdjenja. U ovom primeru to znači da pretpostavimo da n nije parno i hočemo da dokažemo da onda n nije neparno, tj. da je parno. Ako n nije parno, a prirodan je broj, to znači da je n neparno, tj može se predstaviti u obliku: n = 2 k 1, k N. Tada je n 3 +5 = (2 k 1) 3 = 8k 3 12k 2 +6k 1+5 = 2(4k 3 6k 2 +3k+2), tj parno je. (b) Dokazujemo tvrdjenje oblika p q tako što pretpostavimo suprotno, da tvrdjenje nije tačno. To znači da važi: (p q) = ( p q) = p q. U ovom primeru to znači da pp da važi da je n neparno i da je n neparno. Na osnovu dela pod (a) izveli smo da ako je n neparno, oda je n parno. Kontradikcija. Sledi da je polazno tvrdjenje tačno. 6
7 4. Dokazati da postoji 100 uzastopnih prirodnih brojeva koji nisu kvadrati nekog broja. Da li je dokaz konstruktivan ili nekonstruktivan? Uputstvo: Izmedju i postoji više od 100 brojeva, a oni nisu kvadrati nekog prirodnog broja. 5. Dokazati ili opovrgnuti da postoji racionalan broj x i iracionalan broj y, tako da je broj x y iracionalan. Uputstvo: Razmotriti slučaj brojeva: x = 2, y = Dokazati da je proizvod dva od brojeva , i nenegativan. 7. Dokazati da je najmanje jedan od brojeva a 1, a 2,..., a n veći ili jednak srednjoj vrednosti ovih brojeva. Koju vrstu dokaza koristimo? Uputstvo: Pretpostavimo suprotno i izvedimo dokaz kontradikcijom. 8. Ako je prvih deset prirodnih brojeva smešteno oko kruga u proizvoljnom rasporedu, tada postoje tri broja na susednim lokacijama koja imaju zbir veći ili jednak od 16. Uputstvo: Pretpostavimo suprotno i izvedimo dokaz kontradikcijom. Iskoristiti činjenicu da ako za proizvoljan raspored brojeva oko kruga sumiramo sve moguće trojke uzastopnih brojeva, dobijamo trostruki zbir svih brojeva koji se rasporedjuju oko kruga. 9. Dokazati nejednakost trougla koja tvrdi da za realne brojeve x i y važi: x + y x + y. Uputstvo: Koristimo dokaz po slučajevima: (a) x 0 y 0 (b) x < 0 y < 0 (c) x 0 y < 0 i. x y ii. x < y (d) x < 0 y 0 i. x y ii. x < y Dokazati da ako su x i y realni brojevi, onda važi: max(x, y)+min(x, y) = x + y Dokazati da se četvrti stepen celog broja završava na 0, 1, 5 ili Neka su a i b neparni celi brojevi tako da je a b. Pokazati da postoji jedinstveni ceo broj c tako da važi: a c = b c 7
8 Rešenje: Jednačina a c = b c je ekvivalentna dvema jednačinama: a c = b c i a c = (b c). Prva otpada kao rešenje jer je uslov zadatka da je a b. Druga jednačina daje rešenje c = (a + b)/2, pri čemu c jeste ceo broj jer su a i b prema pretpostavci zadatka neparni brojevi, te je njihov zbir paran broj. Ovim se dobija jedinstveno rešenje problema. 8
Konstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationZadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.
Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola
More informationA B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B
1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationHamiltonovi grafovi i digrafovi
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Slobodan Nogavica Hamiltonovi grafovi i digrafovi Master rad Novi Sad, 2016 Sadržaj Predgovor...2 Glava 1. Uvod...3
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationO GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vlado Uljarević O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj
More informationUOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationKarakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationUvod u matematičku logiku
Uvod u matematičku logiku skripta Januar 2016. Reč autora Ova skripta su pripremljena za studente prve godine Matematičkog fakulteta u Beogradu. To je manje-više sve što sam uspeo da ispredajem u toku
More informationOSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE
SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationTuringovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost
Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationUNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM doktorska disertacija Niš, 1999. Za Sanju Sadržaj Predgovor vii I NEPS
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije
More informationJednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Petar Maksimović Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Master teza mentor: dr Predrag Janičić Beograd 2008 2 Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Kratak istorijat
More informationNekoliko kombinatornih dokaza
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationDekartov proizvod grafova
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marijana Petričević Jović Dekartov proizvod grafova Master rad Mentor: Prof. dr Ivica Bošnjak Novi Sad, 2017
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationKlase neograničenih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2
More informationJedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad
More informationKsenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008
1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI
More informationPOSLOVNA MATEMATIKA. (smerovi: Agroekonomski i Agroturizam i ruralni razvoj ) 2015., Novi Sad
dr Snežana Matić-Kekić POSLOVNA MATEMATIKA (smerovi: Agroekonomski i Agroturizam i ruralni razvoj ) 2015., Novi Sad EDICIJA OSNOVNI UDŽBENIK Osnivač i izdavač edicije Poljoprivredni fakultet, Novi Sad,
More informationUniverzitet u Beogradu. Matematički fakultet. Master rad. Principi matematičke indukcije i rekurzije u nastavi. Matematike i računarstva
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Principi matematičke indukcije i rekurzije u nastavi Matematike i računarstva Mentor: dr. Nebojša Ikodinović Kandidat: Ivanka Jovanović Beograd, 2013.
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationVelimir Abramovic: KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu )
Velimir Abramovic: www.n01a.org KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Citajuci Kantorov Argument dijagonalizacijom shvatio sam da se u njemu nista ne sme podrazumevati, vec
More informationDISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI
Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive
More informationELEMENTI SA PRIMJENOM U RAČUNARSKOJ NAUCI
Nermin Okičić Vedad Pašić ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE SA PRIMJENOM U RAČUNARSKOJ NAUCI ELEMENTI MATEMATICKE ˇ LOGIKE SA PRIMJENOM U RACUNARSKOJ ˇ NAUCI Nermin Okičić Vedad Pašić UDŽBENIK UNIVERZITETA U
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationZaključak. Dobro mišljenje, ciljevi obrazovanja i filozofska logika
Zaključak Dobro mišljenje, ciljevi obrazovanja i filozofska logika Sastav zaključka Zaključak se sastoji od: Premisa ili premise (pretpostavke) Konkluzije (zaključni sud) Ţeljeno svojstvo Valjanost Ispravnost
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationU čemu je snaga suvremene algebre?
1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationAndrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008.
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Andrea Rožnjik VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA - magistarska teza - Novi Sad, 2008. Predgovor
More informationLogika višeg reda i sustav Isabelle
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationKonstekstno slobodne gramatike
Konstekstno slobodne gramatike Vežbe 07 - PPJ Nemanja Mićović nemanja_micovic@matfbgacrs Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu 4 decembar 2017 Sadržaj Konstekstno slobodne gramatike Rečenična forma
More informationCHEMICAL REACTION EFFECTS ON VERTICAL OSCILLATING PLATE WITH VARIABLE TEMPERATURE
Available on line at Association of the Chemical Engineers AChE www.ache.org.rs/ciceq Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly 16 ( 167 173 (010 CI&CEQ R. MUTHUCUMARASWAMY Department of Applied
More informationThe interpretability logic ILF
Mathematical Communications 2(1997), 205-210 205 The interpretability logic ILF Mladen Vuković Abstract.In this paper we determine a characteristic class of IL set - frames for the principle F. Then we
More informationTEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti. Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović
TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović 2 Sadržaj 1 Uvod 7 I Uvod u teoriju skupova 21 2 Logičke osnove 23 2.1 O formalnoj metodi....................
More informationKrive u prostoru Minkovskog
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationKontinualni lokacijski modeli. Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15
Kontinualni lokacijski modeli Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15 O modelima Matematički modeli teorije lokacije daju nam odgovore na neka od sledećih pitanja : Koliko novih objekata treba otvoriti?
More informationNumerical Inverse Laplace Transform
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Omalkhaer Salem Elmabruk Bleblou Numerical Inverse Laplace Transform - master thesis - Novi Sad, 2011. Ovaj
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationAlgoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih. brojeva. Marko Pejovi UNIVERZITET CRNE GORE. Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica. Podgorica, 2018.
UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica Marko Pejovi Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih brojeva SPECIJALISTIƒKI RAD Podgorica, 2018. UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati
More informationBanach Tarskijev paradoks
Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj
More informationO homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODN0-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Eva Jungael O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 -završn rad- Nov Sad, oktoar 2009 Predgovor Za strukturu
More informationRacionalne Diofantove šestorke
Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More information1.1 Algoritmi. 2 Uvod
GLAVA 1 Uvod Realizacija velikih računarskih sistema je vrlo složen zadatak iz mnogih razloga. Jedan od njih je da veliki programski projekti zahtevaju koordinisani trud timova stručnjaka različitog profila.
More information24. Balkanska matematiqka olimpijada
4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako
More informationUvod u dinamičko programiranje
Uvod u dinamičko programiranje Andreja Ilić Aleksandar Ilić e-mail: ilic andrejko@yahoo.com e-mail: aleksandari@gmail.com Prirodno Matematički Fakultet u Nišu 1 Uvod Jedan od čestih algoritamskih problema
More informationProgramiranje u realnom vremenu Bojan Furlan
Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationPOLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.
More informationUvod u algoritamske tehnike
Uvod u algoritamske tehnike Tema i nacrt predavanja: Razmatraćemo različite pristupe u rešavanju programerskih problema. Fokusiraćemo se na tehnike za konstrukciju algoritama, na osobine, primenljivost
More informationŠta je to mašinsko učenje?
MAŠINSKO UČENJE Šta je to mašinsko učenje? Disciplina koja omogućava računarima da uče bez eksplicitnog programiranja (Arthur Samuel 1959). 1. Generalizacija znanja na osnovu prethodnog iskustva (podataka
More informationVirtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade
MATEMATINI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU 7om6i0 Bjelica NEPOKRETNA TANA I NEJEDNAKOTI doktorska disertacija Untverztiet u Beograda Prdredao-matematteki fainiteti MATEMATICKI FAKULTIST BBLIOTEKA 4 Drool
More informationAUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA
AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni
More informationBranislav Boričić ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS. Klasifikacija prema JEL: D70, D71, I31
ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS Branislav Boričić DOI:10.2298/EKA0772007B Logičko i istorijsko određenje teorema nemogućnosti Eroua i Sena Logical And Historical Determination Of The Arrow
More informationVELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION
VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION J.Caloska, J. Lazarev, Faculty of Mechanical Engineering, University Cyril and Methodius, Skopje, Republic of Macedonia
More informationUNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD SUFIKSNI NIZ Mentor: Student: Prof. dr Miodrag Živković Slaviša Božović 1014/2011. Beograd, 2015. UVOD... 1 1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE... 2 1.1.
More information