Kleinova boca... Zanimljiva matematika. ...i kako se u vruće ljetne dane rashladiti hladnim pićem... Sandra Gračan, Zagreb. Korak po korak: ::

Transcription

1 Zanmljva matematka Klenova boca kako se u vruće ljetne dane rasladt ladnm pćem... Sandra Gračan, Zagreb Upšete l u tražlcu na Webu pojam Klen s-bottle, rezultat pretrage bt će stotnjak web stranca. Pogledate l samo neke od nj, bt će dovoljno da vas tema zanteresra. Najkraća defncja glas ovako: Klenova boca neorjentablna je ploa Eulerove karakterstke nula. Pročtaju l ovu defncju topoloz, odma m je sve jasno. Ploa je potpuno odredena ovm dvama podatcma. No, ostalm smrtncma pak je potrebno još malo opsa. Pročtajte o čemu se zapravo rad! Krenmo opet od najjednostavnje, dvostrane ploe s rubom, kao što je lst papra. Već vam je poznato da su broj strana broj rubova neke ploe dva svojstva po kojma topoloz razvrstavaju ploe. Spoje l se dva nasuprotna brda papra, dobje se clndar, ploa sa dvje strane dvama rubovma. Spoje l se dva kružna ruba clndra, rezultat je torus, dvostrana zatvorena ploa, bez rubova. Savjete l pak lst papra po djagonal spojte (npr. selotejpom) susjedne brdove, rezultat će bt zatvorena dvostrana ploa, topološk dentčna sfer. Korak po korak: :: Sl.. Kako topoloz crtaju ploe 25,

2 Stvar postaju zanmljvje spajaju l se rubov ploe tako da se jednom rubu promjen orjentacja, tj. ako se taj rub zaokrene (l zokrene). Rezultat jednog takvog spajanja poznata je Möbusova traka zanmljva, jednostrana, neorjentablna ploa s jednm rubom o njeznm svojstvma čtal ste u -u br. 22 (zar ne?). Na slc. pojednostavnjen je prkaz nek ploa. Strelce označuju orjentacju rubova koj se spajaju: suprotna orjentacja strelca znač da se jedan rub prje spajanja zaokrene. Sada već naslućujete kako nastaje Klenova boca. Spajamo dva ruba clndra, al ne tako da dobjemo torus, već tako da jednom rubu prje spajanja promjenmo orjentacju, zaokrenemo ga. Zvuč jednostavno. Kod Möbusove trake blo je lako promjent orjentacju. Sada radmo stu stvar, samo smo se popel dmenzju vše! Dakle, želte l načnt Klenovu bocu, najprje načnte clndar. To je trvjalno. Zatm skočte u 4. dmenzju. Kako u 4D postoj 4. smjer, zaokrente jednu stranu clndra u tom smjeru, onda spojte rubove clndra. Rezultat je neobčna ploa koju je 882. godne otkro opsao njemačk matematčar Felx Klen po kojemu nos me. Kreatvna radonca No dobro, skakanje u 4. dmenzju baš nje nešto što svakodnevno s lakoćom čnte. Zato uzmte malo plastelna (tjesta, glnamola, fmo-smjese l sl.), razvaljajte ga u tanku plou načnte clndar. Zatm na svom clndru probušte rupu. Kroz tu rupu provucte jedan kraj clndra, zvrnte ga prema van spojte rubove. Ipak je to nama, 3D stvorenjma, lakše, zar ne? Slke će vam pomoć. Sl. 3. Nastajanje Klenove boce Sl. 2. Klenova boca Model možete načnt od papra. Uzmte lst papra kvadratnog oblka, presavjte ga napola te spojte rubove na slc označene strelcom dobl ste clndar. Na djelu ploe okrenutom prema vama načnte prorez (na slc označen punom lnjom), a zatm model savjte po crtkanoj lnj. Donj kraj clndra provucte kroz prorez zvucte ga znutra prema gore. Na kraju spojte rubove clndra , 2004

3 Sl. 4. Paprnat model Klenove boce Nje teško uočt da je taj model, ako pomalo spljošten, dentčan Klenovoj boc. Prava l lažna, ptanje je sad! Fno, sada kad mamo model, demo malo razmšljat. I odma tu nešto ne štma, reć ćete. To što se clndar od plastelna deformrao prošrvš se na jednom kraju, znamo da nje problem, jer mamo na umu da ploa ne mjenja svoja topološka svojstva takvm rastezanjem. Al bušenje rupe l rezanje papra nje dozvoljeno! Savjen, už do na našem modelu poput ručke prolaz kroz rupu na šrem djelu ploe. U čemu je problem? Spajanje dvaju kružn rubova clndra nemoguće je zvest u trodmenzonalnom Sl. 5. Samopresjecanje ploe prostoru bez samo-presjecanja ploe. Da b se rubov clndra pravlno spojl, potrebna vam je 4. dmenzja, clndar mora proć sam kroz sebe! No, o Klenovoj boc morate razmšljat kao o glatkoj zatvorenoj plo, rupe zapravo nema, a ploa sječe samu sebe. Naš trodmenzonaln model od plastelna zapravo je pseudomodel. Malo bolj je paprnat model jer nema rupu. Tu je lakše zamslt da su se rubov proreza nakon provlačenja ponovno spojl da je pred nama sasvm kontnurana, glatka zatvorena ploa. Taj mal nedostatak trodmenzonalne zvedbe Klenove boce razlog je zbog kojeg kažemo da se Klenova boca može uront u 3D prostor, al nje u njega čvrsto utsnuta. Matematčk rečeno, preslkavanje f : M! R 3, koje svakoj točk Klenove ploe M prdružuje točku prostora R 3 nje bjekcja, to preslkavanje je bjekcja samo lokalno. Implctna jednadžba tog preslkavanja u prostor glas ovako: (x 2 + y 2 + z 2 + 2y ; ) [(x 2 + y 2 + z 2 ; 2y ; ) 2 ; 8z 2 ] + 6xz(x 2 + y 2 + z 2 ; 2y ; ) =0 a u parametarskom oblku ovako: x = cos u cos + sn y = sn u cos + sn (p 2 + cos v) sn v cos v (p 2 + cos v) sn v cos v z = ; sn u v 2 [0 2π). + cos (p 2 + cos v) sn v cos v E, sad kad smo to rješl, pogledajmo dalje neka od zanmljv svojstava Klenove boce. 25,

4 Jednostranost napora ult nešto tekućne, jer teško da ćete moć potegnut prav gutljaj! Prvo svojstvo Klenove boce je njezna jednostranost. Neorjentablnost Sljedeće važno svojstvo Klenove boce njezna je neorjentablnost. Žv l u neorjentablnoj plo mal plosnat stvor, on će nakon jedne kružne šetnje kroz plou u polaznu točku stć zrcaljen (prsjette se opet Möbusove trake). Sl. 6. Klenova boca ma jednu stranu Pomslmo l na trenutak na občnu, začepljenu bocu (ladnog pća u vruće ljetne dane :-) ), pred nama je zatvorena ploa koja ma svoju unutrašnjost vanjštnu. Ploa djel prostor u kojem se nalaz na dva djela ma volumen. No, Klenova boca zatvorena je ploa koja ma samo jednu stranu. Njezna unutrašnjost ujedno je njezna vanjštna. Sl. 8. Neorjentablnost Möbusove ploe Općento, za zatvorenu plou kažemo da je neorjentablna ako sadrž barem jednu Möbusovu traku. Dakle, z svake neorjentablne ploe rezanjem možete dobt barem Sl. 7. Klenova boca s tekućnom Kao po Möbusovoj trac, mrav se rabro može prošetat kroz Klenovu bocu, bez straa da će ostat zatočen u njoj. To pak znač da je volumen Klenove boce nula. U staklen 3D model možda uspjete uz malo Sl. 9. Klenova boca sadrž Möbusovu traku , 2004

5 jednu Möbusovu traku. I zasta, uzdužnm rezanjem Klenove boce dobt ćete dvje medusobno zrcalne Möbusove trake! To svojstvo zanmljvo je pogledat na modelu Klenove boce načnjenom od legokockca. Napravo ga je Andrew Lpson, a možete ga vdjet na njegovoj stranc: co.uk/klenbottle.tm. You can make a strange bottle lke mne. Ploa koja nastane tm spajanjem zgleda malo drugačje, no zapravo se rad o Klenovoj boc. I ovdje ona mora prolazt sama kroz sebe. Model se nazva osmca jer podsjeća na sfrkanu brojku osam, jednako je zanmljv. Sl. 0. Raspolovljena lego-klenova boca A ako mate paprnat model Klenove boce, razrežte ga po dužn. Rezultat će bt dvje Möbusove trake suprotne orjentacje. Prtom majte na umu da proreza na papru zapravo nema slobodno ga zatvorte nakon rezanja. Osmca x(u v) = Sl.. Osmca Evo njegov parametarsk jednadžb: a + cos sn(v) ; sn sn(2v) cos(u) y(u v) = a + cos ; sn sn(v) sn(2v) z(u v) =sn sn(v) +cos za u 2 [0 2π), v 2 [0 2π) a > 2. sn(u) sn(2v) Vrjed obrat: spajanjem rubova dvju zrcalno smetrčn Möbusov traka, možete dobt Klenovu bocu. O tome govore ov stov: A matematcan named Klen Tougt te Möbus strp was dvne He sad If you glue Te edges of two Bettjev broj Kad smo već kod rezanja ploe, evo još jednog zanmljvog svojstva. Rad se o topološkoj nvarjant pod nazvom Bettjev broj, 25,

6 a odnos se na rezanje ploa uz odredene uvjete. Ukolko se rad o ploama s jednm l vše rubova, rez mora ć od ruba do ruba. Ukolko se pak rad o zatvorenoj plo, rez mora završt u točk u kojoj je započeo on mora bt u oblku jednostavne zatvorene krvulje. Bettjev broj, menovan prema Enrcu Bettju, taljanskom fzčaru z 9. stoljeća, najveć je broj takv rezova nakon koj ploa ostaje u jednom komadu. Očto je da je Bettjev broj za lst papra jednak nul razrežemo l papr od ruba do ruba, nemnovno ćemo dobt dva djela. Bettjev broj za Möbusovu traku znos, a za clndar on je takoder. Sferu rezanjem djelte na dva djela, pa joj je Bettjev broj jednak 0, al torus možete razrezat čak dva puta, a ploa će ostat u jednom komadu. Slčno vrjed za Klenovu bocu. Nje teško pokazat da je Bettjev broj Klenove Sl. 2. Najveća Klenova boca na svjetu, vsoka. m, promjera 50 cm, od 5 klograma čstog Pyrex stakla načnjena je u Kngbrdge centru u Torontu, Kanada boce 2. Name, bocu možete rezat po zadanm pravlma najvše dva puta, a da ploa ostane u komadu. Isprobajte to na svom paprnatom modelu. I još jedna zanmljvost. Već smo spomenul da se rezanjem Klenove boce po dužn dobju dvje Möbusove trake. No, Klenovu bocu moguće je razrezat jednm jednm rezom u oblku petlje dobt samo jednu Möbusovu traku. Sam otkrjte kako! :-) Eulerova karakterstka A sjećate l se defncje Klenove boce s početka teksta? Napokon, bo b red objasnt što je to Eulerova karakterstka. Eulerova karakterstka zatvorene ploe je broj njezn krtčn točaka. Jedan od načna računanja je da se od broja mnmuma maksmuma ploe oduzme broj sedala, l pojednostavnjeno, da se broju vrova strana ploe oduzme broj rubova. Rad se o topološkoj nvarjant, osnovnom svojstvu koje jednstveno odreduje vrstu zatvorene ploe, do na orjentablnost. Pojednostavnjeno rečeno, znamo l Eulerovu karakterstku neke ploe, tada zapravo znamo kolko ručk l rupa ta ploa ma. Ako je Eulerova karakterstka x(m) parna, taj broj, koj topoloz nazvaju genus l rod, računa se po formul 2 ; x(m),aza 2 neparne x on znos ; x(m). 2 Tako, na prmjer, sfera ma genus 0, jer je njezna Eulerova karakterstka 2, a torus je orjentablna zatvorena ploa Eulerove karakterstke 0, pa mu je genus (torus je sfera s jednom rupom). Eulerova karakterstka Klenove boce je 0, što znač da je genus boce boca ma jednu ručku , 2004

7 Kromatsk broj A, da, još nešto. Kromatsk broj Klenove boce je 6. Nje loše to znat, jer je kromatsk broj ploe još jedna od topološk nvarjant. To je najveć broj razlčt boja kojma možete obojt plou tako da se svaka boja dodruje sa svakom od preostal boja. Jasno je da lst papra pod ovm uvjetom ne možete obojt s vše od 4 razlčte boje. Isto vrjed za sferu clndar. Već kod Möbusove trake kromatsk broj skače na 6. Za torus taj broj znos čak 7. Na slc je graf koj vam pokazuje kako treba obojt Klenovu bocu. Sl. 4. Ene klene Klenova boca Na Internetu ćete pronać detaljne upute za pletenje kape u oblku Klenove boce, a ako nste vješt u pletenju, kapu možete kupt, takoder na Acmeovoj stranc: ttp:// bottle ats.tm. Prtom možete brat zmedu nekolko modela razn boja u paru sa šalom u oblku Möbusove trake! Zgodna kombnacja, zar ne? Sl. 3. Kromatsk broj Klenove boce je 6 Volte l soppng? Svdjela vam se Klenova boca? Pogledajte naš Panoptkum. Iz mnoštva prekrasn slka Klenove boce zabral smo one najzanmljvje. A, poželte l bt ponosn vlasnk jedne staklene Klenove boce, na Internetu vam se nud mogućnost kupovne. Acme Klen bottle lnk je koj će vas odvest na otkačenu web strancu gdje se nude Klenove staklenke u nekolko velčna. Na donjoj je slc najmanja velčna. Sl. 5. Isplette sam! I na kraju, popjte nešto, al potegnte z prave boce! 25,