Mirela Nogolica Norme Završni rad

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Mirela Nogolica Norme Završni rad"

Transcription

1 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014.

2 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Voditelj: doc. dr. sc. Ivan Matić Osijek, 2014.

3 Sažetak U ovom završnom radu bavimo se temom norme. Navodimo u početku osnovna svojstva normi kako bi kasnije lakše razumijeli gradivo. Dotaknuti ćemo se teme ekvivalentnosti normi pa sve do vrsti normi. Obraditi ćemo Frobeniusovu i spektralnu normu te poznatu p normu. Na kraju ćemo objasniti i pojam kondicijskog broja te navesti važne rezultate vezane uz taj pojam. Ključne riječi: norma, operator, normirani prostor, skalarni produkt, nejednakost trokuta, ekvivalentnost normi, kondicijski broj Abstract In this final paper we deal with the subject of norm. In the beginning we state the basic characteristics so we could later easier understand the material. We will process everything from Equivalent norms to norm types. We ll elaborate Forbenius and spectral norm and also a famous p norm. In the end, we ll explain the term of conditional number and state an important results connected with said term. Key words: norm, operator, normed space, scalar product, inequality triangle, equivalent norms, conditional number

4 Sadržaj 1 Uvod 5 2 Norma Osnovni pojmovi Ekvivalentnost normi Omedena linearna preslikavanja Vrste normi Frobeniusova i spektralna norma p - norma Kondicijski broj Literatura 22

5 1 UVOD 5 1 Uvod Ovaj rad predstavlja moj završni rad na preddiplomskom studiju matematike Sveučilišta u Osijeku. Tema mog rada je preuzeta iz kolegija Vektorski prostori i naziva se Norme. Općenito se norme protežu kroz većinu matematičkih kolegija i važnost normi je vrlo bitna u mnogim matematičkim aspektima zato me ova tema posebno dojmila. Završni rad se sastoji od nekoliko poglavlja. Počevši sa uvodom, u drugom poglavlju nastavljamo sa normama. Uvodimo osnovne pojmove vezane uz norme i normirani prostor. Bavimo se takoder i jednakostima normi. Definiramo pojam linearnog preslikavanja i navodimo rezultate vezane uz taj pojam. U trećem poglavlju zadiremo u vrste normi počevši sa Frobeniusovom i spektralnom normom gdje ćemo naučiti definirati normu na prostoru matrica. Zatim spominjemo i poznatu p normu kao i njene rezultate. Naposljetku nam preostaje tzv. kondicijski broj koji nam govori o veličini pogreške pri računanju sustava Ax = b i o njenim posljedicama.

6 2 NORMA 6 2 Norma 2.1 Osnovni pojmovi Definicija Neka je V neprazan skup te K polje. Neka su zadane sljedeće operacije: +: V V V a, b V (a, b) a + b : K V V λ K, a V (λ, a) λ a. Uredena trojka (V, +, ) se naziva vektorski prostor nad poljem K ako vrijedi sljedeće: 1) (V, +) je Abelova grupa. 2) distributivnost obzirom na zbrajanje u V : λ K, a, b V vrijedi λ(a + b) = λa + λb, 3) distributivnost obzirom na zbrajanje u K : λ, µ K, a V vrijedi (λ + µ)a = λa + µa 4) kvaziasocijativnost: λ, µ K, a V vrijedi (λµ)a = λ(µa) 5) svojstvo jedinice: 1 K, a V vrijedi 1a = a. Elemente vektorskog prostora V nazivamo vektorima, a elemente polja K skalarima. U daljnjem tekstu za K uzimamo polje R realnih brojeva ili polje C kompleksnih brojeva. Prostor X je realan ako je K = R, odnosno kompleksan ako je K = C. Takoder u daljnjem tekstu ćemo umjesto a b pisati jednostavno ab. Definicija Baza vektorskog prostora V je podskup B V za kojeg vrijedi: 1) Skup B je linearno nezavisan. 2) Skup B razapinje V tj. [B] = V. Definicija Vektorski prostor V se naziva konačnodimenzionalan prostor ukoliko postoji konačan podskup koji ga razapinje. Prostor koji nije konačnodimenzionalan, naziva se beskonačnodimenzionalan prostor.

7 2 NORMA 7 Definicija Skalarni produkt na vektorskom prostoru V je preslikavanje ( ) : V V K koje uredenom paru (x, y) (x y) sa svojstvima: 1) pozitivnost: v V vrijedi (v v) 0, 2) definitnost: v V vrijedi (v v) = 0 v = 0, 3) linearnost u prvoj varijabli: λ, µ K, v, w, z V vrijedi (λv + µw z) = λ(v z) + µ(w z) 4) hermitska simetrija: v, w V vrijedi (v w) = (w v). Unitaran prostor (V, ( )) je ureden par vektorskog prostora i skalarnog produkta na njemu. Definicija Neka je X vektorski prostor. Norma na X je preslikavanje : X R (v v ), za koje vrijedi: 1) pozitivna semidefinitnost: v X vrijedi v 0, 2) pozitivna definitnost: v = 0 v = 0, 3) homogenost: v X, λ K vrijedi λv = λ v, 4) nejednakost trokuta: v, w X vrijedi v + w v + w. Normirani prostor (X, ) je ureden par vektorskog prostora i norme na njemu. Definicija Skup U X je otvoren ako p U δ > 0 takva da je K(p, δ) = {x : x p < δ} U, gdje sa K(p, δ) označavamo otvorenu kuglu u X radijusa δ sa središtem u p. Prema tome, skup je otvoren ako je svaka točka skupa unutarnja točka. Teorem ( Cauchy - Schwarz - Buniakowsky ) U svakom unitarnom prostoru vrijedi Cauchy - Schwarz - Buniakowsky nejednakost ( kratko ćemo nadalje pisati CSB nejednakost ): (x y) x y. 2.2 Ekvivalentnost normi Neka je X konačnodimenzionalan normiran prostor sa normom. pri čemu ćemo polje skalara označavati sa K i pri tome je ili K = R ili K = C. Neka je {v 1, v 2,..., v n } baza prostora X. Ako je x X, sa x i označimo i-tu komponentu od x s obzirom na danu bazu.

8 2 NORMA 8 Prema tome x = x i v i. Definicija Neka je x X i {v 1, v 2,..., v n } baza prostora X. normu definiramo na sljedeći način: Novu ( ) 1/2 x = x i 2 gdje je x = x i v i. Slično, neka je y Y i {w 1, w 2,..., w n } baza prostora Y te y i njegova komponenta obzirom na danu bazu, pa imamo: ( ) 1/2. y = y i 2 U dokazu sljedećeg rezultata koji će nam pomoći u dokazivanju ekvivalentnosti dviju normi,. i. koristiti ćemo sljedeći teorem. Teorem Za skup S R n sljedeće dvije tvrdnje su ekvivalentne: 1) S je zatvoren i omeden, 2) Svaki otvoren pokrivač od S ima konačan potpokrivač, odnosno S je kompaktan skup. Teorem Neka je (X,. ) konačnodimenzionalan normiran prostor i neka je. prethodno opisana norma obzirom na bazu {v 1, v 2,..., v n }. Tada za normu. postoje konstante δ, > 0 takve da za svaki x X vrijedi δ x x x. Dokaz: Svako od prethodno navedenih svojstava norme su očiti, osim nejednakosti trokuta. Da bismo dokazali nejednakost teorema, moramo koristiti Cauchy

9 2 NORMA 9 Schwarz Buniakowsky nejednakost. x + y 2 = x i + y i 2 x i 2 + y i 2 + 2Re x i y i ( ) 1/2 ( ) 1/2 x 2 + y x i 2 y i 2 = x 2 + y x y = ( x + y ) 2. Time je svojstvo nejednakosti trokuta dokazano. Ostaje nam još dokazati ekvivalentnost normi. Korištenjem Cauchy Schwarz Buniakowsky nejednakosti, imamo x = x i v i ( ) 1/2 x i v i x v i 2 = δ 1 x. Dokazali smo prvu polovinu nejednakosti teorema. Za dokaz druge polovine nejednakosti koristiti ćemo kontrapoziciju, odnosno pretpostaviti ćemo da druga polovina nejednakosti ne vrijedi. Prema tome postoji niz x k X takav da Definiramo Slijedi x k > k x k, k = 1, 2,... y k = xk x k. y k = 1, y k > k y k. Označavajući sa yi k komponentu niza y k obzirom na danu bazu, slijedi da je vektor ( y1, k..., yn k ) jedinični vektor u K n. Obzirom na Teorem 2.2.2, postoji niz u oznaci k takav da ( y k 1,..., y k n ) ( y 1,..., y n ).

10 2 NORMA 10 To slijedi iz iterativnih metoda za linearne sustave i to je za: y = y i v i. 0 = lim y k = lim yi k v i = y i v i k k ali nisu svi y i jednaki nuli. Posljednja jednakost slijedi iz p norme o kojoj će kasnije biti detaljnije rečeno: yi k v i y i v i (yi k y i )v i yi k y i v i. Ovo je u kontradikciji sa pretpostavkom da je {v 1,..., v n } baza i time smo potpuno dokazali nejednakost. Definicija Neka je ( X,. ) normirani prostor i neka je {x n } n=1 niz vektora. Ovaj niz se naziva Cauchyev niz ako za ɛ > 0 postoji N takav da m, n N vrijedi x n x m < ɛ. Ovo još zapisujemo i na sljedeći načn: lim x n x m = 0. m,n Definicija Normirani prostor (X,. ) se naziva Banachov prostor ako je potpun. To znači da je svaki {x n } Cauchyev niz ako postoji jedinstveni x X takav da je lim n x x n = 0. Korolar Ako je ( X,. ) konačnodimenzionalni normirani prostor nad poljem skalara K gdje je K = R ili K = C, tada je ( X,. ) Banachov prostor.

11 2 NORMA 11 Dokaz: Neka je {x k } Cauchyev niz. Označimo komponente od x k obzirom na danu bazu sa x k 1, x k 2,..., x k n, te prema Teoremu slijedi da je (x k 1, x k 2,..., x k n), Cauchyev niz nad K n i ( x k 1, x k 2,..., x k n ) ( x 1, x 2,..., x n ) K n. Prema tome x = x i v i, iz čega slijedi jednakost dviju normi: lim k xk x = lim x k x = 0. k Korolar Pretpostavimo da je X konačnodimenzionalan prostor nad poljem skalara ili R ili C te neka su. i. dvije norme na X. Tada postoje konstante δ, > 0 takve da za svaki x vrijedi: δ x x x. Prema tome ove dvije norme su jednake. Dokaz: Neka je v 1,..., v n baza za X i neka je. norma obzirom na danu bazu koju smo ranije opisali. Prema Teoremu postoje pozitivne konstante δ 1, δ 2, 1, 2 takve da za svaki x vrijedi δ 2 x x 2 x, δ 1 x x 1 x. Tada δ 2 x x 1 x 1 x 1 2 x, δ 1 δ 1 δ 2 x x 2 x. 1 δ 1

12 2 NORMA Omedena linearna preslikavanja Definicija Neka su X i Y normirani prostori sa normama X i Y. Za linearno preslikavanje A sa X u Y kažemo da je omedeno ako je skup { Ax : x 1} omeden. Tada definiramo normu omedenog linearnog operatora A sa: A sup{ Ax Y : x X 1} < Vektorski prostor svih omedenih linearnih operatora s X u Y ćemo označavati s L(X, Y ). Tada je A odreden kao norma linearnog operatora A. Za dokaz idućeg rezultata potreban nam je sljedeći teorem. Teorem Neka su X i Y konačnodimenzionalni vektorski prostori dimenzije n odnosno m. Tada je dim(l(x, Y )) = n m. Teorem Neka su X i Y konačnodimenzionalni normirani vektorski prostori dimenzije n odnosno m te sa označimo normu sa X ili Y. Ako je A linearno preslikavanje sa X na Y onda je A L(X, Y ) i (L(X, Y ), ) je konačnodimenzionalini normirani prostor dimenzije nm pri čemu vrijedi Ax A x. Dokaz: Potrebno je dokazati da je norma definirana na linearnom preslikavanju zaista norma. Očito vrijede prvo i treće svojstvo. Preostaje nam dokazati drugo svojstvo te dokazati nejednakost: A <. Označimo sa {v 1, v 2,..., v n } bazu prostora X i ranije definirano preslikavanje obzirom na navedenu bazu. Postoje konstante δ, > 0 takve da vrijedi: δ x x x. Zatim A + B sup{ (A + B)(x) : x 1}

13 2 NORMA 13 sup{ Ax : x 1} + sup{ Bx : x 1} A + B. Sada ćemo promatrati nejednakost A <. ( ) A(x) = A x i v i x i A(v i ) Prema tome ( ) 1/2 ( ) 1/2 x A(v i ) 2 x A(v i ) 2 <. ( ) 1/2. A A(v i ) 2 Sljedeća tvrdnja koju je potrebno dokazati odnosi se na dimenziju prostora L(X, Y ). Dokaz slijedi direktno iz Teorema Prema Korolaru (L(X, Y ), ) je konačnodimenzionalan prostor. Za x 0 vrijedi 1 A Ax x = x A. x

14 3 VRSTE NORMI 14 3 Vrste normi 3.1 Frobeniusova i spektralna norma Definicija U prostoru matrica m n skalarni produkt definiramo na sljedeći način: (A, B) tr(ab ). Pokažimo još jedan način definiranja norme na matricama m n. Definicija Neka je A matrica m n. Spektralnu normu u oznaci A 2 definiramo s: A 2 max{λ 1/2 : λ je svojstvena vrijednost od A A}. Uočimo da su sve svojstvene vrijednosti matrice A A pozitivne ako je A Ax = λx onda je: λ(x, x) = (A Ax, x) = (Ax, Ax) 0. Korolar Neka je A L(X, X) gdje je X konačnodimenzionalan unitaran prostor. Tada su sve svojstvene vrijednost realne i za svaku svojstvenu vrijednost λ 1 λ 2... λ n od A postoji ortonormirani skup vektora {u 1, u 2,..., u n } za koji vrijedi: Au k = λ k u k. Osim toga, pri čemu je λ x inf{(ax, x) : x = 1, x X k } X k {u 1, u 2,..., u k 1 }, X 1 X. Propozicija Vrijedi sljedeća jednakost: A 2 = sup { Ax : x = 1} A. Dokaz: Uočimo da je A A hermitska matrica te prema Korolaru slijedi: A = max{(a Ax, x) 1/2 : x = 1} = max{(ax, Ax) 1/2 : x = 1} = max{ Ax : x = 1} = A.

15 3 VRSTE NORMI 15 Nadalje sa A 2 ćemo označavati normu operatora A obzirom na običnu euklidsku normu ili svojstvenu vrijednost od A, ovisno o tome što nam više odgovara. Zanimljiva primjena pojma ekvivalentnih normi na prostoru R n je pridruživanje norme na konačnom Kartezijevom produktu normiranih linearnih prostora. Definicija Neka je X i, za i = 1,..., n, normirani linearni prostor sa normom i. Za n x = (x 1, x 2,...x n ) definiramo θ : n X i R n sa X i θ(x) ( x 1 1,..., x n n ). Ako je neka norma na R n onda normu na n X i takoder označavamo sa odnosno x θx. Sljedeći teorem direktno slijedi iz Korolara Teorem Neka je X i normirani linearni prostor a i norma opisana u prethodnoj definiciji. Neka su norme na prostoru n X i norme sa R n. Tada su bilo koje dvije norme na prostoru n X i ekvivalentne. Na primjer, x 1 x i, x { x i, i = 1,..., n}, ili ( ) 1/2 x 2 = x i 2 i sve tri norme su ekvivalentne na prostoru n X i.

16 3 VRSTE NORMI p - norma Definicija Neka je x C n. Za p 1 definiramo p - normu na sljedeći način ( ) 1/p. x p x i p Sljedeća nejednakost se naziva Hölderova nejednakost. Propozicija Za x, y C n vrijedi ( ) 1/p ( x i y i x i p y i p ) 1/p. Dokaz se temelji na sljedećoj lemi. Lema Ako su a, b 0 i p definiran kao 1 p + 1 p = 1 onda je ab ap p + bp p. Dokaz Propozicije 3.2.2: Ako su x i y jednaki nul-vektoru, onda tvrdnja slijedi trivijalno. Neku su x i y različiti od nul-vektora. Neka je ( ) 1/p ( A = x i p i B = y i p ) 1/p. Korištenjem Leme dobivamo sljedeće: x i y i A B [ 1 ( xi ) p 1 ( yi ) p ] + p A p B = 1 p 1 A p Prema tome slijedi: x i p + 1 p 1 B p y i p = 1 p + 1 = 1. p ( ) 1/p ( x i y i AB = x i p y i p ) 1/p

17 3 VRSTE NORMI 17 Teorem p norma zadovoljava sve aksiome norme. Dokaz: Očito je da p norma p zadovoljava većinu aksioma norme. nije sasvim očit je nejednakost trokuta. Pisati ćemo dalje umjesto p. Vrijedi p = p 1. p Korištenjem Propozicije slijedi: = x + y p = x i + y i p x i + y i p 1 x i + x i + y i p p x i + x i + y i p 1 y i x i + y i p p y i ( ) 1/p [( ) 1/p ( ) 1/p ] x i + y i p x i p + y i p Djeljenjem sa x + y p/p ( p p p = x + y p/p ( x p + y p ). slijedi: x + y p x + y p/p = x + y x p + y p. ) ) = p (1 1p = p 1p = 1 Aksiom koji A p možemo smatrati kao normu operatora A obzirom na p. U slučaju za p = 2 dobivamo spektralnu normu. Pokažimo jednu jednostavnu ocjenu za A p u terminima od A. Teorem Vrijedi: ( ( ) q/p ) 1/q A p A jk p k pri čemu je A jk element koji se nalazi na presjeku j-tog retka i i-tog stupca matrice A. j

18 3 VRSTE NORMI 18 Dokaz: Neka je x p 1 te neka je A = (a 1, a 2,..., a n ) gdje su a k stupci od A. Slijedi: ( ) Ax = x k a k k i prema Propoziciji 3.2.2: Ax p k x k a k p k x k a k p ( ) 1/p ( x k p a k q p k k ) 1/q ( ( ) q/p ) 1/q. A jk p k j 3.3 Kondicijski broj Neka je A L(X, X) linearno preslikavanje i X konačnodimenzionalni vektorski prostor. Razmotrimo problem Ax = b te pretpostavimo da je rješenje jedinstveno. Zanima nas koliko se promjeni rješenje x ako uvedemo male promjene vrijednosti u A i b. Ovo pitanje je dosta zanimljivo jer u većini slučajeva ne znamo točnu vrijednost od A i b. Ako bi male promjene ovih vrijednosti uzrokovale velike promjene u rješenju x onda nam je jasno da nikakve promjene u vrijednostima A i b nisu poželjne. Primjena linearnog preslikavanja na odnosi se na normu operatora. Lema Neka su A, B L(X, X) i neka je X normirani vektorski prostor kao što smo prethodni naveli. Tada sa označavamo normu operatora AB A B.

19 3 VRSTE NORMI 19 Dokaz: Slijedi iz uvodne definicije. Neka je x 1 te iz Teorema 2.3.3: ABx A Bx A B x A B prema tome AB sup x 1 ABx A B. Lema Neka su A, B L(X, X), A 1 L(X, X) i pretpostavimo B < 1/ A 1. Tada postoje (A + B) 1, (I + A 1 B) 1 i vrijedi: (I + A 1 B) 1 (1 A 1 B ) 1 (1) (A + B) 1 A 1 1. (2) 1 A 1 B Gornja formula ima smisla jer je A 1 B < 1. Dokaz: Prema Lemi 3.3.1: A 1 B A 1 B < A 1 1 A 1 = 1. Primjenom nejednakosti trokuta sada imamo: (I + A 1 B)x x A 1 Bx x A 1 B x = (1 A 1 B ) x. Slijedi da je I + A 1 B monomorfizam, jer ima trivijalnu jezgru. No, kako je prostor X konačnodimenzionalan, ovo preslikavanje mora biti i surjektivno, tj. ovo preslikavanje je izomorfizam vektorskih prostora pa prevodi bazu u bazu. Tada je općenito y X oblika y = (I + A 1 B)x i iz prethodno navedenog: (I + A 1 B) 1 y (1 A 1 B ) 1 y

20 3 VRSTE NORMI 20 što potvrduje (1). Prema tome, (A + B) = A(I + A 1 B) što je jednako pa Lema implicira (2). Propozicija Pretpostavimo da je matrica A invertibilna, b 0, Ax = b i (A + B)x 1 = b 1 gdje je B < 1/ A 1. Vrijedi: x 1 x x A 1 A ( b1 b 1 A 1 B b + B ). A Dokaz: Iz prethodne leme slijedi: x 1 x x = (I + A 1 B) 1 A 1 b 1 A 1 b A 1 b 1 A 1 b 1 (I + A 1 B)A 1 b 1 A 1 B A 1 b 1 A 1 (b 1 b) + A 1 BA 1 b 1 A 1 B A 1 b A 1 1 A 1 B ( b1 b A 1 b + B ) jer je A 1 b/ A 1 b jedinični vektor. Sada pomnožimo i podijelimo sa A. A 1 A ( b1 b 1 A 1 B A A 1 b + B ) A A 1 A ( b1 b 1 A 1 B b + B ) A

21 3 VRSTE NORMI 21 To nam pokazuje koliko je broj A 1 A osjetljiv obzirom na promjene u rješenju Ax = b odnosno promjene A i b. Taj broj se naziva kondicijski broj. Poželjno je da je on što manji jer u suprotnom male promjene vrijednosti od b mogu rezultirati velikim razlikama u rješenju x. Prisjetimo se recimo matrice A m n u normi A 2 = σ 1 gdje je σ 1 najveća svojstvena vrijednost. Najveća svojstvena vrijednost od A 1 je onda 1 σ n gdje je σ n najmanja svojstvena vrijednost od A. Stoga se kondicijski broj smanjuje za σ 1 σ n, omjer najveće i najmanje svojstvene vrijednosti matrice A obzirom na običnu euklidsku normu.

22 Literatura [1] H. Kraljević, Vektorski prostori, predavanja na Odjelu za matematiku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek, rujan [2] K. Kuttler, Linear Algebra, Theory And Application, December 19, 2013 [3] S. Kurepa, Funkcionalna analiza: Elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990.

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Normirani prostori Zavr²ni rad

Normirani prostori Zavr²ni rad Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Preddiplomsi studij matematie Domini Crnojevac Normirani prostori Zavr²ni rad Osije, 2012. Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Fraktalno Brownovo gibanje

Fraktalno Brownovo gibanje Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Razni načini zadavanja vjerojatnosti

Razni načini zadavanja vjerojatnosti Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof.

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof. UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU -Dord e Vučković Poljski prostori -završni rad- Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor.................................

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information

KONAČNE GEOMETRIJE. Predavanja. Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet. Matematički odsjek. Juraj Šiftar Vedran Krčadinac

KONAČNE GEOMETRIJE. Predavanja. Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet. Matematički odsjek. Juraj Šiftar Vedran Krčadinac Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek KONAČNE GEOMETRIJE Predavanja Juraj Šiftar Vedran Krčadinac Akademska godina 2012./2013. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Dizajni 7 3 Izomorfizam

More information

Linearno uređena topologija

Linearno uređena topologija Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Natalija Tvrdy Vektori u nastavi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa:

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa: NEKE NUMERIČKE KARAKTERISTIKE 4-POLITOPA VLADIMIR TELEBAK Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Banjoj Luci Ul. Mladena Stojanovića 2 Banja Luka, Republika Srpska e-pošta: vladotelebak@yahoo.com

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

NIVO-SKUP METODE ZA SEGMENTACIJU SLIKA U BOJI

NIVO-SKUP METODE ZA SEGMENTACIJU SLIKA U BOJI UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET STUDIJSKI PROGRAM TELEKOMUNIKACIJE Vladimir Lekić NIVO-SKUP METODE ZA SEGMENTACIJU SLIKA U BOJI magistarski rad Banja Luka, novembar 2011. Tema: NIVO-SKUP

More information

Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke

Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke Preddiplomski studij Matematika 3. semestar Prije promjene Poslije promjene Obvezni predmeti P+V+S ECTS Obvezni predmeti P+V+S ECTS

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

QUADRATIC AND SESQUILINEAR. Svetozar Kurepa, Zagreb

QUADRATIC AND SESQUILINEAR. Svetozar Kurepa, Zagreb GLASNIK MAT. - FIZ. I ASTR. rom 20. - No. 1-2 - 1965. QUADRATIC AND SESQUILINEAR FUNCTIONALS Svetozar Kurepa, Zagreb 1. Let X = {x, Y,... } be a complex (quaternionic) veetor space and B a funetion af

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information