1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije"

Transcription

1 Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Definicija 1. Kažemo da je skup D R n konveksan ako za bilo koje dvije točke x 1, x 2 D sadrži i segment određen tim točkama, tj. x 1, x 2 D λx 1 + (1 λ)x 2 D λ [0, 1]. Definicija 2. Kažemo da je skup D R n strogo konveksan ako x 1, x 2 D, x 1 x 2 λx 1 + (1 λ)x 2 Int D λ (0, 1). Neka svojstva konveksnih skupova: Konveksan skup D R sadrži svaku konveksnu kombinaciju od konačno svojih točaka, tj. ( ) n n (x 1,..., x n D) λ 1,..., λ n 0, λ i = 1 = λ i x i D; Skup svih konveksnih kombinacija nekog skupa D R n je najmanji konveksni skup koji sadrži skup D i naziva se konveksna ljuska (convex hull). Presjek konveksnih skupova je konveksan skup; Ako su A, B konveksni skupovi, onda su i λ A, A + B, A B konveksni skupovi. 1.1 Konveksne funkcije Definicija 3. Kažemo da je funkcija f : R n R konveksna ako vrijedi x, y R n i λ [0, 1]. i=1 f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) (1) Definicija 4. Kažemo da je funkcija f : R n R strogo (strictly) konveksna ako x, y R n, x y vrijedi f(λx + (1 λ)y) < λf(x) + (1 λ)f(y), λ (0, 1). (2) i=1

2 Nediferencijabilna optimizacija 2 Definicija 5. Kažemo da je funkcija f : R n postoji takav realni broj κ > 0 da vrijedi R jako (strongly) konveksna ako f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) κλ(1 λ) x y 2, x, y R n, λ [0, 1]. (3) Primjedba 1. ako u (3) stavimo λ = 1 i γ = 1 κ, onda možemo reći da je funkcija f : 2 4 R n R jako konveksna ako postoji γ > 0, ( ) x + y f (f(x) + f(y)) γ x y 2, x, y R n, γ > 0. (4) Iz Definicije 5 vidi se da je svaka jako konveksna funkcija ujedno i konveksna, ali obrat ne vrijedi (također vidi Primjer1 i Primjer2). Primjer 1. Neka je A : R n R n simetrični linearni operator. Tada je kvadratna forma f(x) := 1 (Ax, x) konveksna funkcija onda i samo onda ako je A 0, tj. ako su sve 2 svijstvene vrijednosti nenegativne označimo ih s λ 1 λ n 0. Kako je (Hiriart- Urruty and Lemaréchal, 2001; Jare and Stoer, 2004) može se pokazati da vrijedi λ n x 2 (Ax, x) λ 1 x 2 za sve x R n, f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) 1 2 λ nλ(1 λ) x y 2 Dakle, ako je A pozitivno definitan (λ n > 0), f je jako konveksna funkcija. Primjer 2. Funkcija f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x x 2 2 je jako konveksna funkcija, a funkcija g : R 2 R, g(x 1, x 2 ) = x 2 1 je konveksna, ali nije jako konveksna (λ 1 = 1, λ 2 = 0). Kako izgledaju plohe ovih funkcija? Definicija 6. f : D R n R, P (f) = (x, α) R n+1 : x D R n, α R, f(x) α} epigraf (5) Q(g) = (x, α) R n+1 : x D R n, α R, g(x) α} hypograf (6) Funkcija f je konveksna P (f) konveksan skup; Funkcija g je konkavna Q(g) konveksan skup; Funkcija g je konkavna ( g) konveksna;

3 Nediferencijabilna optimizacija 3 Primjedba 2. Ako je f : D R n R konveksna funkcija na D R n, onda se uvijek može definirati konveksno proširenje f : R n R, R = R + }, f(x) = f(x), x D +, x D. Tada je P ( f) = P (f). Skup ED(f) = x R n : f(x) < + } zvat ćemo efektivna domena funkcije f. Nadalje, ako nije posebno navedeno, promatrat ćemo konveksne funkcije f : R n R. Svojstava: f 1,..., f n konveksne funkcije, λ 1,..., λ n 0 n λ i f i konveksna funkcija; f konveksna na R n, Ψ neopadajuća i konveksna na R Ψ f konveksna na R n ; f 1,..., f n konveksne funkcije sup f i (x) konveksna funkcija; i f : R n R konveksna na R n x, y R n, funkcija φ(λ) = f(λx + (1 λ)y) konveksna na [0, 1] (Avriel, 2003); Ako je f : D R R konveksna funkcija na konveksnom skupu D, onda je ona neprekidna na int D (Avriel, 2003; Bazaraa et al., 2006). Primjer 3. Funkcija φ : R R je konveksna, ali nije neprekidna. x 2 1, x < 1 φ(x) = 2, x = 1 +, x > 1 Definicija 7. f : R n R, konveksna funkcija i=1 L(f) = (a, b) R n+1 : a R n, b R, a T x b f(x), x R n } nosač support cl f(x) = sup a T x b} zatvarač konveksne funkcije (8) (a,b) L(f) S α (f) = x R n : f(x) α} nivo skup level set (9) (7) Primjedba 3. Iz definicije funkcije cl f slijedi: cl f(x) f(x), x R n. zatvarač funkcije iz Primjera 3 je Specijalno, cl φ(x) = Primijetite da je specijalno cl φ(1) = 0. Vrijedi također P (cl f) = P (f). x 2 1, x 1 +, x > 1

4 Nediferencijabilna optimizacija 4 Zadatak 1. Pokažite da ako je f : R n R, konveksna funkcija, onda je L(f) konveksan skup. Definicija 8. Subgradijent konveksne funkcije f : R n R u točki x 0 R n je svaki vektor ξ R n koji zadovoljava 1 f(x) f(x 0 ) + ξ T (x x 0 ), x R n. Skup svih subgradijenata konveksne funkcije f : R n R u točki x 0 R n zovemo Subdiferencijal i označavamo ga s f(x 0 ). Skup f(x 0 ) je neprazan ograničen, konveksan i zatvoren (Demjanov and Vasilev, 1981; Oben, 1988; Shor, 1998). Primjedba 4. Za subgradijent ξ R n uvijek se može pronaći ˆb R, takav da bude (ξ, ˆb) L(f). Naime, ako stavimo ˆb ξ T x 0 f(x 0 ), tada je h(x) = ξ T x ˆb ξ T x ξ T x 0 + f(x 0 ) = ξ T (x x 0 ) + f(x 0 ) f(x). Definicija 9. Funkcija f : D R n R je diferencijablina u točki x 0 int D u smjeru η D ako postoji 2 f(x 0 ) 1 = lim η ɛ 0+ ɛ (f(x 0 + ɛη) f(x 0 )) Teorem 1. Konveksna funkcija f : D R n R za proizvoljni x 0 int D ima derivaciju f(x 0 ) η u bilo kojem smjeru η D i vrijedi ((Demjanov and Vasilev, 1981; Oben, 1988; Shor, 1998)) f(x 0 ) η = max ξ f(x 0 ) ξt η (10) Ako je f : D R n R konveksna funkcija na konveksnom skupu D, onda je svaki lokalni minimum ujedno i globalni minimum na D (Avriel, 2003); Ako je f : R n R konveksna funkcija, onda je i S α (f) konveksan skup, ali obrat ne vrijedi; Ako je f : R n R konveksna funkcija, onda je 0 f(x ) ako je x globalni minimum funkcije f; Ako je f : R n R konveksna i diferencijabilna funkcija, onda je f(x ) = 0 ako je x globalni minimum funkcije f; Ako u nekom smjeru η konveksna funkcija f opada, onda u suprotnom smjeru ( η) raste. 1 Moze se dogoditi da takav vektor ξ R n ne postoji, da postoji jedan jedini i da postoji više njih. 2 Derivaciju funkcije f u točki x 0 u smjeru η u literaturi se još označava s: Df(x 0, η) ili s f η(x 0 ).

5 Nediferencijabilna optimizacija 5 Neka je f(x 0) η = a < 0 i neka je ξ 0 f(x 0 ), takav da je prema Teoremu 1 f(x 0 ) η = max ξ f(x 0 ) ξt η =: ξ T 0 η. Tada u smjeru u = η prema Teoremu 1 imamo f(x 0 ) u = max ξ f(x 0 ) ξt u ξ0 T u = ξ0 T η = f(x 0) = a > 0. η 2 Konjugirane (dualne) funkcije Neka je f : R n R konveksna funkcija. Za dani vektor ξ R n treba odrediti parametar b R afine funkcije h(x) = ξ T x b, tako da bude h(x) f(x), x R n. b ξ T x f(x) x R n. Dakle, b sup x R n ξ T x f(x)}. Definicija 10. Neka je f : R n R konveksna funkcija. Funkciju f : R n R, f (ξ) = sup x R n ξ T x f(x)}, (11) zovemo konjugirana (dualna) funkcija funkcije f u točki ξ R n. Primjedba 5. Primijetite da je za dani vektor ξ R n i promatranu afinu funkciju h(x) = ξ T x b, vrijedi b f (ξ). Geometrijsko značenje: Najviša moguća pozicija grafa afine funkcije h(x) = ξ T x b ispod grafa funkcije f : R R dobije se za b = f (ξ). Tada je h(0) = f (ξ), a h nikad ne prima vrijednost. Ekonomsko značenje: Neka je f(x) = f(x 1,..., x n ) trošak proizvodnje x i komada proizvoda P i, i = 1,..., n, pri čemu su ξ i odgovarajuće cijene proizvoda P i. Treba odrediti količine x 1,..., x n komada proizvoda P 1,..., P n, za koje će profit biti maksimalan, tj. n ξ i x i f(x) max R : i=1 n n ξ i x i f(x ) = sup ξ i x i f(x)} = f (ξ) i=1 x R n i=1 Teorem 2. (Fenchel, Moreau) Ako je f : R n R konveksna funkcija, onda je njena konjugirana (dualna) funkcija f također konveksna i vrijedi (i) P (f ) = L(f), (ii) f = cl f.

6 Nediferencijabilna optimizacija 6 Dokaz. Vrijedi P (f ) =(ξ, α) : ξ R n, α R, f (ξ) α} =(ξ, α) : ξ R n, α R, sup x R n ξ T x f(x)} α} =(ξ, α) : ξ R n, α R, ξ T x f(x) α, x R n } =(ξ, α) : ξ R n, α R, ξ T x α f(x), x R n } = L(f) Kako je P (f ) konveksan skup (Zadatak 1), onda je i f konveksna funkcija. Kako je f = (f ), vrijedi f (x) = (f ) (x) = sup ξ R n ξ T x f (ξ)} = sup ξ T x α } (prema Primjedbi 5) (ξ,α ):f (ξ) α } = sup ξ T x α } (ξ,α ): sup y f(y)} α } y R nξt = sup ξ T x α } (ξ,α ):ξ T y α f(y), y R n } = sup ξ T x α } (ξ,α ) L(f) = cl f(x) Primjedba 6. Ako je f konveksna funkcije, tada prema je Fenchel-Moreau teoremu i f koveksna funkcija. Nadalje, to znači da je i f konveksna funkcija, a kako je f = cl f, onda je i cl f konveksna funkcija. Također lako se vidi da vrijedi L(f ) = P (f ) = P (cl f). Teorem 3. Ako je f : R n R konveksna funkcija, onda je f zatvorena konveksna funkcija, tj. vrijedi cl f = f. Dokaz. Kako je (Primjedba 3) cl f(x) f(x), x R n, slijedi ξ T x cl f(x) ξ T x f(x), x R n, sup ξ T x cl f(x)} sup ξ T x f(x)} x R n x R n cl f (ξ) f (ξ). S druge strane prema istoj primjedbi je cl f (ξ) f (ξ), pa dakle, cl f = f.

7 Nediferencijabilna optimizacija 7 Svojstva konjugirane (dualne) funkcije:) Neka je f : R n R konveksna funkcija. Tada (i) ako je ϕ(x) = f(x) + β, β R, onda ϕ (ξ) = f (ξ) β; (ii) ako je ϕ(x) = f(x + α), α R n, onda ϕ (ξ) = f (ξ) ξ T α; (iii) ako je ϕ(x) = f(γx), γ 0, onda ϕ (ξ) = f ( ) ξ γ ; (iv) ako je ϕ(x) = kf(x), k > 0, onda ϕ (ξ) = kf ( ) ξ k ; Dokaz. Neka je f (ξ) = sup x R n ξ T x f(x)} (i) ϕ (ξ) = sup ξ T x (f(x) + β)} = sup ξ T x f(x)} β = f (ξ) β x R n x R n... Zadatak 2. Dokažite ostala svojstava. Primjer 4. Treba odrediti konjugiranu funkciju za funkciju φ : R n R, φ(x) = a T x b, gdje su a, b R. Potražimo najprije konjugiranu funkciju za jednostavniju funkciju f(x) = a T x. Imamo f (ξ) = sup ξ T x a T 0, ξ = a x} = x R +, ξ a. n Dalje prema svojstvu (i) za funkciju φ(x) = a T x b vrijedi φ (ξ) = f b, ξ = a (ξ) + b = +, ξ a. Primjer 5. Treba odrediti konjugiranu funkciju za funkciju φ : R n R, φ(x) = 1 2 xt x. Potražimo najprije konjugiranu funkciju za jednostavniju funkciju f(x) = x T x. Imamo f (ξ) = sup x R n ξ T x x T x} = 1 4 ξt ξ. Naime, maksimum funkcije g(x) = ξ T x x T x postiže se za x E = 1ξ, pri čemu je g ( ξ) = 1 4 ξt ξ. Zato je φ (ξ) = 1 2 f (2ξ) = 1 ( ) (2ξ)T (2ξ) = 1 2 ξt ξ. Dakle, ovo je primjer funkcije koja se podudara sa svojom dualnom funkcijom. Primjer 6. Neka je D R n. Treba odrediti konjugirane funkcije za sljedeće funkcije 0, x D δ D (x) = +, x R n (indicator function) \ D π D (x) = sup ξ T x ξ D (support function)

8 Nediferencijabilna optimizacija 8 Vrijedi δd(ξ) = sup ξ T x δ D (x)} = sup ξ T x = π D (ξ), x R n π D(ξ) = δ D (ξ) = δ D (ξ). ξ D Zadatak 3. Odredite konjugirane funkcije za funkcije (a) φ : R R, φ(x) = ln x, x > 0 +, x 0., (b) φ : R R, φ(x) = e x (c) φ : R R, φ(x) = 1 p x p, 1 < p < +, (d) φ : ( π 2, π ) R, φ(x) = ln(cos x) 2 Teorem 4. Neka je f : R n R konveksna funkcija. Tada je ξ f(x 0 ) onda i samo onda ako je f (ξ) = ξ T x 0 f(x 0 ). Dokaz. Prema Definiciji 8, ξ f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) + ξ T (x x 0 ), x R n ξ T x 0 f(x 0 ) ξ T x f(x), x R n ξ T x 0 f(x 0 ) = supξ T x f(x)} x R = f (ξ). Primjedba 7. Prema Teoremu 4 za konveksnu funkciju f : R n R vrijedi jednakost koju u literaturi (Demjanov and Vasilev, 1981) možemo naći pod nazivom Youngov identitet Teorem 5. Neka je f : R n R konveksna funkcija. Tada (i) ako je ξ f(x 0 ), onda je x 0 f (ξ); (ii) ako je cl f = f i x 0 f (ξ), onda je ξ f(x 0 ). f(x 0 ) + f (ξ) = ξ T x 0. (12) Dokaz. Primijetimo najprije da prema prethodnom Teoremu 4 vrijedi ξ f(x 0 ) f (ξ) = ξ T x 0 f(x 0 ), (13) x 0 f (ξ) f (x 0 ) = ξ T x 0 f.(ξ) (14)

9 Nediferencijabilna optimizacija 9 (i) Neka je ξ f(x 0 ). Prema (13) vrijedi f (ξ) = ξ T x 0 f(x 0 ). Ako je f(x 0 ) neprazan, onda je (Avriel, 2003) cl f(x 0 ) = f(x 0 ), a kako je prema Teoremu 2, f = cl f koristeći (14) dobivamo f (ξ) = ξ T x 0 f (x 0 ) x 0 f (ξ). (ii) Neka je cl f = f i x 0 f (ξ). Prema (14) i Teoremu 2 vrijedi ξ T x 0 f (ξ) = f (x 0 ) = cl f(x 0 ) = f(x 0 ) f (ξ) = ξ T x 0 f(x 0 ) ξ f(x 0 ). Primjedba 8. Ako pretpostavimo da je f : R n R zatvorena konveksna funkcija, onda Teorem 4 i Teorem 5 sažeto možemo izraziti na sljedeći način (Demjanov and Vasilev, 1981): Sljedeći uvjeti međusobno su ekvivalentni (i) x 0 f (ξ) (ii) ξ f(x 0 ) (iii) f(x 0 ) + f (ξ) = ξ T x Nužni i dovoljni uvjeti minimuma Korištenjem pojma konjugirane (dualne) funkcije jednostavno se mogu formulirati nužni i dovoljni uvjeti ekstrema konveksne zatvorene funkcije. Najprije primijetimo da je po definiciji f (0) = sup x R n f(x)} = inf x R n f(x), odosno inf f(x) = f (0). (15) x R n Dakle, funkcija f je ograničena odozdo onda i samo onda ako je 0 u domeni funkcije f. Skup svih minimuma funkcije f označimo s D = x R n : f(x) = f (0)} = x R n : f(x) = inf y R n f(y)} Dakle, x 0 D onda i samo onda ako je f(x 0 ) + f (0) = 0,

10 Nediferencijabilna optimizacija 10 a to je prema Primjedbi 8 ispunjeno onda i samo onda ako 0 f(x 0 ). Dakle zatvorena konveksna funkcija postiže globalni minimum u točki x 0 onda i samo onda ako 0 f(x 0 ). Nadalje, prema Primjedbi 8 možemo pisati D = f (0). Možemo također reći da konveksna zatvorena funkcija f postiže globalni minimum onda i samo onda ako je subdiferencijal njene konjugirane funkcije f u nuli neprazan skup. (primjerice ako je 0 int ED(f ) (Demjanov and Vasilev, 1981)). Primjer 7. Neka je f : R n R i Ω R n konveksan zatvoren skup. Treba odrediti uvjetni subdiferencijal funkcije f na skupu Ω. Najprije definiramo indicator function δ Ω skupa Ω δ Ω (x) = i definiramo novu funkciju f 1 = f + δ Ω, f 1 (x) = 0, x Ω +, x R n \ Ω f(x), x Ω +, x R n \ Ω, čija je efektivna domena skup Ω. Određivanje uvjetnog subdiferencijala funkcije f na skupu Ω na taj način svodi se na određivanje običnog subdiferencijala sume f 1 = f + δ Ω, kod čega možemo iskoristiti tehniku konjugiranih funkcija. 2.2 Konjugirana (dualna) funkcija konkavne funkcije Neka je g : R n R konkavna funkcija. Tada definiramo g (ξ) = inf x R nξt x g(x)}. (16) Potražimo vezu s pripadnom konveksnom funkcijom f = g. Vrijedi f (ξ) = sup x R n ξ T x f(x)} = (f = g) sup x R n ξ T x + g(x)} = inf x R n( ξ)t x g(x)} = g ( ξ).

11 Nediferencijabilna optimizacija Konjugirana (dualna) funkcija funkcije f : R n R I u ovom slučaju f definiramo kao zatvorenu konveksnu funkciju f (ξ) = sup x R n ξ T x f(x)}. Primijetimo da je to konjugirana funkcija najveće konveksne funkcije f c, takve da je f c (x) f(x), x R n. Tada je f = f c. Slično bi definirali i konjugiranu konkavnu funkciju prema (16). Literatura M. Alić, G. Nogo, Optimizacija: Uvod u teoriju nužnih i dovoljnih uvjeta ekstrema, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, M. Avriel, Nonlinear Programming: Analysis and Methods 2ed., Dover Publications, Inc. Mineola, New York, M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming. Theory and Algorithms. 3 rd Edition, Wiley, New Jersey, J. F. Bonnans, J.C. Gilbert, C. Lemaréchal, C.A. Sagastizábal, Numerical Optimization. Theoretical and Practical Aspects, Springer-Verlag, Berlin, S. Boyd, L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, New York, V. F. Demjanov, F. P. Vasilev, Nedifferenciruemaja optimizacija, Nauka, Moskva, J. E. Dennis, Jr, R. B. Schnabel, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, SIAM, Philadelphia, J. E. Dennis Jr., J. J. More, Quasi-Newton methods, motivation and theory, SIAM Review, 19(1977), W. Fenchel, On conjugate convex function, Canadian Journal of Mathematics 1(1949) P. E. Gill, W. Murray and M. H. Wright, Practical Optimization, Academic Press, J. B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, F. Jare, J. Stoer, Optimierung, Springer-Verlag, Berlin, 2004

12 Nediferencijabilna optimizacija 12 Ж. P. Oben, Neline ny analiz i ego ekonomiqeskie priloжeni, Mir, Moskva, J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, SIAM, Philadelphia, (postoji i ruski prijevod) A. Ruszczynski, Nonlinear Optimization, Princeton University Press, Princeton and Oxford, 2006 N.Z.Shor, Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems, Kluwer, London, R. G. Strongin, Qyslennye metody b mnogoekstremalnyh zadaqah, Nauka, Moskva, F. P. Vasilev, Lekcii po metodam rexeni ekstremalnyh zadaq, Izdavatelstvo Moskovskogo univerziteta, Moskva, S. Zlobec, J. Petrić, Nelinearno programiranje, Naučna knjiga, Beograd, 1989.

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem 61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

BASICS OF CONVEX ANALYSIS

BASICS OF CONVEX ANALYSIS BASICS OF CONVEX ANALYSIS MARKUS GRASMAIR 1. Main Definitions We start with providing the central definitions of convex functions and convex sets. Definition 1. A function f : R n R + } is called convex,

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Convex envelopes, cardinality constrained optimization and LASSO. An application in supervised learning: support vector machines (SVMs)

Convex envelopes, cardinality constrained optimization and LASSO. An application in supervised learning: support vector machines (SVMs) ORF 523 Lecture 8 Princeton University Instructor: A.A. Ahmadi Scribe: G. Hall Any typos should be emailed to a a a@princeton.edu. 1 Outline Convexity-preserving operations Convex envelopes, cardinality

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Lecture 4: Convex Functions, Part I February 1

Lecture 4: Convex Functions, Part I February 1 IE 521: Convex Optimization Instructor: Niao He Lecture 4: Convex Functions, Part I February 1 Spring 2017, UIUC Scribe: Shuanglong Wang Courtesy warning: These notes do not necessarily cover everything

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

The Subdifferential of Convex Deviation Measures and Risk Functions

The Subdifferential of Convex Deviation Measures and Risk Functions The Subdifferential of Convex Deviation Measures and Risk Functions Nicole Lorenz Gert Wanka In this paper we give subdifferential formulas of some convex deviation measures using their conjugate functions

More information

Helly's Theorem and its Equivalences via Convex Analysis

Helly's Theorem and its Equivalences via Convex Analysis Portland State University PDXScholar University Honors Theses University Honors College 2014 Helly's Theorem and its Equivalences via Convex Analysis Adam Robinson Portland State University Let us know

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Chapter 1. Optimality Conditions: Unconstrained Optimization. 1.1 Differentiable Problems

Chapter 1. Optimality Conditions: Unconstrained Optimization. 1.1 Differentiable Problems Chapter 1 Optimality Conditions: Unconstrained Optimization 1.1 Differentiable Problems Consider the problem of minimizing the function f : R n R where f is twice continuously differentiable on R n : P

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

AN INTRODUCTION TO EXTREME POINTS AND APPLICATIONS IN ISOMETRIC BANACH SPACE THEORY

AN INTRODUCTION TO EXTREME POINTS AND APPLICATIONS IN ISOMETRIC BANACH SPACE THEORY AN INTRODUCTION TO EXTREME POINTS AND APPLICATIONS IN ISOMETRIC BANACH SPACE THEORY AUDREY CURNOCK Abstract. This technical paper is the looking at extreme point structure from an isometric view point,

More information

24. Balkanska matematiqka olimpijada

24. Balkanska matematiqka olimpijada 4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako

More information

Introduction to Nonlinear Stochastic Programming

Introduction to Nonlinear Stochastic Programming School of Mathematics T H E U N I V E R S I T Y O H F R G E D I N B U Introduction to Nonlinear Stochastic Programming Jacek Gondzio Email: J.Gondzio@ed.ac.uk URL: http://www.maths.ed.ac.uk/~gondzio SPS

More information

Generalized Pattern Search Algorithms : unconstrained and constrained cases

Generalized Pattern Search Algorithms : unconstrained and constrained cases IMA workshop Optimization in simulation based models Generalized Pattern Search Algorithms : unconstrained and constrained cases Mark A. Abramson Air Force Institute of Technology Charles Audet École Polytechnique

More information

ZEYNEP CAN. 1 Introduction. KoG Z. Can, Ö. Gelişgen, R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron...

ZEYNEP CAN. 1 Introduction. KoG Z. Can, Ö. Gelişgen, R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron... KoG 19 015 Z. Can Ö. Gelişgen R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron... Original scientific paper Accepted 11. 5. 015. ZEYNEP CAN ÖZCAN GELIŞGEN RÜSTEM KAYA On the Metrics Induced by Icosidodecahedron

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Matematika i statistika

Matematika i statistika Klasteri 1 Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku 1 Uvod Matematika i statistika II. Grupiranje podataka: klasteri R. Scitovski, M. Benšić, K. Sabo Definicija 1.

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

Algorithms for nonlinear programming problems II

Algorithms for nonlinear programming problems II Algorithms for nonlinear programming problems II Martin Branda Charles University Faculty of Mathematics and Physics Department of Probability and Mathematical Statistics Computational Aspects of Optimization

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

On the acceleration of the double smoothing technique for unconstrained convex optimization problems

On the acceleration of the double smoothing technique for unconstrained convex optimization problems On the acceleration of the double smoothing technique for unconstrained convex optimization problems Radu Ioan Boţ Christopher Hendrich October 10, 01 Abstract. In this article we investigate the possibilities

More information

Quasi-Newton Methods

Quasi-Newton Methods Quasi-Newton Methods Werner C. Rheinboldt These are excerpts of material relating to the boos [OR00 and [Rhe98 and of write-ups prepared for courses held at the University of Pittsburgh. Some further references

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Convexity and unique minimum points

Convexity and unique minimum points Convexity and unique minimum points Josef Berger and Gregor Svindland February 17, 2018 Abstract We show constructively that every quasi-convex, uniformly continuous function f : C R with at most one minimum

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

A NOTE ON Q-ORDER OF CONVERGENCE

A NOTE ON Q-ORDER OF CONVERGENCE BIT 0006-3835/01/4102-0422 $16.00 2001, Vol. 41, No. 2, pp. 422 429 c Swets & Zeitlinger A NOTE ON Q-ORDER OF CONVERGENCE L. O. JAY Department of Mathematics, The University of Iowa, 14 MacLean Hall Iowa

More information

ON GAP FUNCTIONS OF VARIATIONAL INEQUALITY IN A BANACH SPACE. Sangho Kum and Gue Myung Lee. 1. Introduction

ON GAP FUNCTIONS OF VARIATIONAL INEQUALITY IN A BANACH SPACE. Sangho Kum and Gue Myung Lee. 1. Introduction J. Korean Math. Soc. 38 (2001), No. 3, pp. 683 695 ON GAP FUNCTIONS OF VARIATIONAL INEQUALITY IN A BANACH SPACE Sangho Kum and Gue Myung Lee Abstract. In this paper we are concerned with theoretical properties

More information

A globally and R-linearly convergent hybrid HS and PRP method and its inexact version with applications

A globally and R-linearly convergent hybrid HS and PRP method and its inexact version with applications A globally and R-linearly convergent hybrid HS and PRP method and its inexact version with applications Weijun Zhou 28 October 20 Abstract A hybrid HS and PRP type conjugate gradient method for smooth

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

FIRST- AND SECOND-ORDER OPTIMALITY CONDITIONS FOR MATHEMATICAL PROGRAMS WITH VANISHING CONSTRAINTS 1. Tim Hoheisel and Christian Kanzow

FIRST- AND SECOND-ORDER OPTIMALITY CONDITIONS FOR MATHEMATICAL PROGRAMS WITH VANISHING CONSTRAINTS 1. Tim Hoheisel and Christian Kanzow FIRST- AND SECOND-ORDER OPTIMALITY CONDITIONS FOR MATHEMATICAL PROGRAMS WITH VANISHING CONSTRAINTS 1 Tim Hoheisel and Christian Kanzow Dedicated to Jiří Outrata on the occasion of his 60th birthday Preprint

More information

MS&E 318 (CME 338) Large-Scale Numerical Optimization

MS&E 318 (CME 338) Large-Scale Numerical Optimization Stanford University, Management Science & Engineering (and ICME) MS&E 318 (CME 338) Large-Scale Numerical Optimization 1 Origins Instructor: Michael Saunders Spring 2015 Notes 9: Augmented Lagrangian Methods

More information

MATHEMATICAL ECONOMICS: OPTIMIZATION. Contents

MATHEMATICAL ECONOMICS: OPTIMIZATION. Contents MATHEMATICAL ECONOMICS: OPTIMIZATION JOÃO LOPES DIAS Contents 1. Introduction 2 1.1. Preliminaries 2 1.2. Optimal points and values 2 1.3. The optimization problems 3 1.4. Existence of optimal points 4

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Algorithms for nonlinear programming problems II

Algorithms for nonlinear programming problems II Algorithms for nonlinear programming problems II Martin Branda Charles University in Prague Faculty of Mathematics and Physics Department of Probability and Mathematical Statistics Computational Aspects

More information

The Newton-Raphson Algorithm

The Newton-Raphson Algorithm The Newton-Raphson Algorithm David Allen University of Kentucky January 31, 2013 1 The Newton-Raphson Algorithm The Newton-Raphson algorithm, also called Newton s method, is a method for finding the minimum

More information

SECOND-ORDER CHARACTERIZATIONS OF CONVEX AND PSEUDOCONVEX FUNCTIONS

SECOND-ORDER CHARACTERIZATIONS OF CONVEX AND PSEUDOCONVEX FUNCTIONS Journal of Applied Analysis Vol. 9, No. 2 (2003), pp. 261 273 SECOND-ORDER CHARACTERIZATIONS OF CONVEX AND PSEUDOCONVEX FUNCTIONS I. GINCHEV and V. I. IVANOV Received June 16, 2002 and, in revised form,

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Full Newton step polynomial time methods for LO based on locally self concordant barrier functions

Full Newton step polynomial time methods for LO based on locally self concordant barrier functions Full Newton step polynomial time methods for LO based on locally self concordant barrier functions (work in progress) Kees Roos and Hossein Mansouri e-mail: [C.Roos,H.Mansouri]@ewi.tudelft.nl URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/

More information

Newton s Method. Javier Peña Convex Optimization /36-725

Newton s Method. Javier Peña Convex Optimization /36-725 Newton s Method Javier Peña Convex Optimization 10-725/36-725 1 Last time: dual correspondences Given a function f : R n R, we define its conjugate f : R n R, f ( (y) = max y T x f(x) ) x Properties and

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Local strong convexity and local Lipschitz continuity of the gradient of convex functions

Local strong convexity and local Lipschitz continuity of the gradient of convex functions Local strong convexity and local Lipschitz continuity of the gradient of convex functions R. Goebel and R.T. Rockafellar May 23, 2007 Abstract. Given a pair of convex conjugate functions f and f, we investigate

More information

Fraktalno Brownovo gibanje

Fraktalno Brownovo gibanje Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno

More information

Two improved classes of Broyden s methods for solving nonlinear systems of equations

Two improved classes of Broyden s methods for solving nonlinear systems of equations Available online at www.isr-publications.com/jmcs J. Math. Computer Sci., 17 (2017), 22 31 Research Article Journal Homepage: www.tjmcs.com - www.isr-publications.com/jmcs Two improved classes of Broyden

More information

Computational Optimization. Convexity and Unconstrained Optimization 1/29/08 and 2/1(revised)

Computational Optimization. Convexity and Unconstrained Optimization 1/29/08 and 2/1(revised) Computational Optimization Convexity and Unconstrained Optimization 1/9/08 and /1(revised) Convex Sets A set S is convex if the line segment joining any two points in the set is also in the set, i.e.,

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

1. Nonlinear Equations. This lecture note excerpted parts from Michael Heath and Max Gunzburger. f(x) = 0

1. Nonlinear Equations. This lecture note excerpted parts from Michael Heath and Max Gunzburger. f(x) = 0 Numerical Analysis 1 1. Nonlinear Equations This lecture note excerpted parts from Michael Heath and Max Gunzburger. Given function f, we seek value x for which where f : D R n R n is nonlinear. f(x) =

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

Math 273a: Optimization Basic concepts

Math 273a: Optimization Basic concepts Math 273a: Optimization Basic concepts Instructor: Wotao Yin Department of Mathematics, UCLA Spring 2015 slides based on Chong-Zak, 4th Ed. Goals of this lecture The general form of optimization: minimize

More information

Convex Analysis Background

Convex Analysis Background Convex Analysis Background John C. Duchi Stanford University Park City Mathematics Institute 206 Abstract In this set of notes, we will outline several standard facts from convex analysis, the study of

More information

Mathematical Programming Involving (α, ρ)-right upper-dini-derivative Functions

Mathematical Programming Involving (α, ρ)-right upper-dini-derivative Functions Filomat 27:5 (2013), 899 908 DOI 10.2298/FIL1305899Y Published by Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.rs/filomat Mathematical Programming Involving

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

A choice of norm in discrete approximation

A choice of norm in discrete approximation 147 A choice of norm in discrete approximation Tomislav Marošević Abstract. We consider the problem of choice of norms in discrete approximation. First, we describe properties of the standard l 1, l 2

More information

Strojno učenje. Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc

Strojno učenje. Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc Strojno učenje Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc Generativni i diskriminativni modeli Diskriminativni Generativni (Učenje linije koja razdvaja klase) Učenje modela za

More information

Some Properties of the Augmented Lagrangian in Cone Constrained Optimization

Some Properties of the Augmented Lagrangian in Cone Constrained Optimization MATHEMATICS OF OPERATIONS RESEARCH Vol. 29, No. 3, August 2004, pp. 479 491 issn 0364-765X eissn 1526-5471 04 2903 0479 informs doi 10.1287/moor.1040.0103 2004 INFORMS Some Properties of the Augmented

More information

STABLE AND TOTAL FENCHEL DUALITY FOR CONVEX OPTIMIZATION PROBLEMS IN LOCALLY CONVEX SPACES

STABLE AND TOTAL FENCHEL DUALITY FOR CONVEX OPTIMIZATION PROBLEMS IN LOCALLY CONVEX SPACES STABLE AND TOTAL FENCHEL DUALITY FOR CONVEX OPTIMIZATION PROBLEMS IN LOCALLY CONVEX SPACES CHONG LI, DONGHUI FANG, GENARO LÓPEZ, AND MARCO A. LÓPEZ Abstract. We consider the optimization problem (P A )

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

McMaster University. Advanced Optimization Laboratory. Title: A Proximal Method for Identifying Active Manifolds. Authors: Warren L.

McMaster University. Advanced Optimization Laboratory. Title: A Proximal Method for Identifying Active Manifolds. Authors: Warren L. McMaster University Advanced Optimization Laboratory Title: A Proximal Method for Identifying Active Manifolds Authors: Warren L. Hare AdvOl-Report No. 2006/07 April 2006, Hamilton, Ontario, Canada A Proximal

More information

POLARS AND DUAL CONES

POLARS AND DUAL CONES POLARS AND DUAL CONES VERA ROSHCHINA Abstract. The goal of this note is to remind the basic definitions of convex sets and their polars. For more details see the classic references [1, 2] and [3] for polytopes.

More information

Optimization. Escuela de Ingeniería Informática de Oviedo. (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Numerical Computation Optimization 1 / 30

Optimization. Escuela de Ingeniería Informática de Oviedo. (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Numerical Computation Optimization 1 / 30 Optimization Escuela de Ingeniería Informática de Oviedo (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Numerical Computation Optimization 1 / 30 Unconstrained optimization Outline 1 Unconstrained optimization 2 Constrained

More information

A quasisecant method for minimizing nonsmooth functions

A quasisecant method for minimizing nonsmooth functions A quasisecant method for minimizing nonsmooth functions Adil M. Bagirov and Asef Nazari Ganjehlou Centre for Informatics and Applied Optimization, School of Information Technology and Mathematical Sciences,

More information

The Relation Between Pseudonormality and Quasiregularity in Constrained Optimization 1

The Relation Between Pseudonormality and Quasiregularity in Constrained Optimization 1 October 2003 The Relation Between Pseudonormality and Quasiregularity in Constrained Optimization 1 by Asuman E. Ozdaglar and Dimitri P. Bertsekas 2 Abstract We consider optimization problems with equality,

More information

NONSMOOTH VARIANTS OF POWELL S BFGS CONVERGENCE THEOREM

NONSMOOTH VARIANTS OF POWELL S BFGS CONVERGENCE THEOREM NONSMOOTH VARIANTS OF POWELL S BFGS CONVERGENCE THEOREM JIAYI GUO AND A.S. LEWIS Abstract. The popular BFGS quasi-newton minimization algorithm under reasonable conditions converges globally on smooth

More information

Nonlinear Programming Algorithms Handout

Nonlinear Programming Algorithms Handout Nonlinear Programming Algorithms Handout Michael C. Ferris Computer Sciences Department University of Wisconsin Madison, Wisconsin 5376 September 9 1 Eigenvalues The eigenvalues of a matrix A C n n are

More information

Optimality Conditions for Nonsmooth Convex Optimization

Optimality Conditions for Nonsmooth Convex Optimization Optimality Conditions for Nonsmooth Convex Optimization Sangkyun Lee Oct 22, 2014 Let us consider a convex function f : R n R, where R is the extended real field, R := R {, + }, which is proper (f never

More information

Methods for a Class of Convex. Functions. Stephen M. Robinson WP April 1996

Methods for a Class of Convex. Functions. Stephen M. Robinson WP April 1996 Working Paper Linear Convergence of Epsilon-Subgradient Descent Methods for a Class of Convex Functions Stephen M. Robinson WP-96-041 April 1996 IIASA International Institute for Applied Systems Analysis

More information

FUNCTIONAL ANALYSIS HAHN-BANACH THEOREM. F (m 2 ) + α m 2 + x 0

FUNCTIONAL ANALYSIS HAHN-BANACH THEOREM. F (m 2 ) + α m 2 + x 0 FUNCTIONAL ANALYSIS HAHN-BANACH THEOREM If M is a linear subspace of a normal linear space X and if F is a bounded linear functional on M then F can be extended to M + [x 0 ] without changing its norm.

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

FIXED POINTS IN THE FAMILY OF CONVEX REPRESENTATIONS OF A MAXIMAL MONOTONE OPERATOR

FIXED POINTS IN THE FAMILY OF CONVEX REPRESENTATIONS OF A MAXIMAL MONOTONE OPERATOR PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 00, Number 0, Pages 000 000 S 0002-9939(XX)0000-0 FIXED POINTS IN THE FAMILY OF CONVEX REPRESENTATIONS OF A MAXIMAL MONOTONE OPERATOR B. F. SVAITER

More information

LECTURE 12 LECTURE OUTLINE. Subgradients Fenchel inequality Sensitivity in constrained optimization Subdifferential calculus Optimality conditions

LECTURE 12 LECTURE OUTLINE. Subgradients Fenchel inequality Sensitivity in constrained optimization Subdifferential calculus Optimality conditions LECTURE 12 LECTURE OUTLINE Subgradients Fenchel inequality Sensitivity in constrained optimization Subdifferential calculus Optimality conditions Reading: Section 5.4 All figures are courtesy of Athena

More information

Statistics 580 Optimization Methods

Statistics 580 Optimization Methods Statistics 580 Optimization Methods Introduction Let fx be a given real-valued function on R p. The general optimization problem is to find an x ɛ R p at which fx attain a maximum or a minimum. It is of

More information

Chapter 2 Convex Analysis

Chapter 2 Convex Analysis Chapter 2 Convex Analysis The theory of nonsmooth analysis is based on convex analysis. Thus, we start this chapter by giving basic concepts and results of convexity (for further readings see also [202,

More information