Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Save this PDF as:

Size: px
Start display at page:

Download "Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme"

Transcription

1 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014

2 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Voditelj: docdrsc D Marković Osijek, 2014

3 Sažetak Matrice su koristan alat u linearnoj algebri Bitnu klasu matrica čine simetrične matrice Imaju zanimljiva spektralna svojstva poput realnih svojstvenih vrijednosti i ortogonalnih svojstvenih vektora koji omogućavaju posebni tip dijagonalizacije Kvadratne forme su polinomi koji se na jedinstven način mogu povezati sa simetričnim matricama Pomoću simetričnih matrica se mogu odrediti mnoga svojstva kvadratnih formi i obratno Kvadratne forme su često korisne u karakterizacijama simetričnih matrica Kvadratne forme se mogu transformirati da bi računanje s njima bilo jednostavnije Matrična norma je mjera matrica koja je čest alat u numeričkoj linearnoj algebri Postoji mnogo vrsta matričnih normi, no sve su povezane nejednakostima Ključne riječi matrice, simetrične matrice, dijagonalizacija, kvadratne forme, definitnost, matrične norme Abstract Matrices are useful tool in linear algebra Symmetric matrices are important class of matrices They have interesting spectral characteristics, such as real eigenvalues and orthogonal eigenvectors which allow a special type of diagonalization Quadratic forms are polynomials which can in a unique way be connected with symmetric matrices By using symmetric matrices, a lot of characteristics of quadratic forms can be determined Also, quadratic forms are useful in characterization of symmetric matrices Quadratic forms can be transformed so that calculations would be easier to perform Matrix norm is a measure of matrices which is often used tool in numerical linear algebra There are many types of matrix norms, but they are all connected with inequalities Key words matrices, symmetric matrices, diagonalization, quadratic forms, definiteness, matrix norms

4 Uvod Veliki dio linearne algebre bavi se matricama Mnoge druge grane matematike koriste matrice u rješavanju matematičkih problema No, matrice su koristan alat i u mnogim područjima drugih znanosti, a koriste se čak i u modernim tehnologijama Cilj je ovog rada opisati nekoliko pojmova vezanih uz matrice To su prvo simetrične matrice, koje su najučestalija klasa matrica u primjeni Zatim kvadratne forme koje imaju primjenu u algebri, analizi, topologiji, geometriji Treći pojam su matrične norme koji su bitan alat u numeričkoj matematici U prvom poglavlju se uvode osnovne definicije i tvrdnje matrične algebre potrebne za sljedeća poglavlja Tu se definira pojam matrice i vektora i uvode oznake Definiraju se osnovni tipovi matrica, operacije s matricama i vektorima te dvije značajne relacije ekvivalencije matrica Na kraju poglavlja se navode osnovna matrična svojstva: determinanta, trag, rang te svojstvene vrijednosti Tema drugog poglavlja su realne simetrične matrice, njihova svojstva te dijagonalizacija simetričnih matrica U trećem poglavlju se definira pojam kvadratne forme te se razmatra veza kvadratnih formi i simetričnih matrica Opisuju se transformacije i dijagonalizacija kvadratnih formi i bitno svojstvo kvadratnih formi - definitnost U zadnjem poglavlju se definiraju matrične norme, navode se najznačajniji primjeri matričnih normi i njihova svojstva 1

5 1 Matrice U ovom poglavlju se uvode osnovni pojmovi matrične algebre te osnovni rezultati potrebni u daljnjem radu koristeći se definicijama i tvrdnjama iz [1], [2] i [7] Definicija 1 Neka je F polje te m i n prirodni brojevi Svako preslikavanje A: {1, 2,, m} {1, 2,, n} F nazivamo matrica tipa (m, n) nad poljem F Matricu A zapisujemo kao tablicu od m redaka i n stupaca: α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n A = α m1 α m2 α mn gdje je α ij vrijednost funkcije A u paru (i, j) Navedimo neke oznake koje će se koristiti S F n je označen skup svih uredenih n-torki elemenata polja F S F m n je označen skup svih matrica tipa (m, n) s elementima iz polja F U radu s matricama uredenu n-torku, odnosno vektor (a 1, a 2,, a n ) identificiramo sa stupčanom matricom a 1 a 2 a n koja se zove i vektor stupac S A = [α ij ] kraće je svojim elementima označena matrica, a element koji se nalazi na presjeku i-tog retka i j-tog stupca uz α ij označavamo i s (A) ij Za dvije matrice A = [α ij ] F m n i B = [β ij ] F p r kažemo da su jednake ako m = p, n = r i α ij = β ij za sve (i, j), tj ako su istog tipa i imaju jednake odgovarajuće elemente Ako je matrica A tipa (n, n), odnosno ako ima jednak broj redaka i stupaca, kažemo da je A kvadratna matrica Glavnu dijagonalu matrice čine elementi kojima je indeks retka jednak indeksu stupca, tj elementi α ii, za i = 1, 2, Kvadratne matrice koje imaju sve elemente izvan dijagonale jednake nuli, tj α ij = 0 za sve i j zovemo dijagonalnim matricama Jedinična matrica I je dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jedinice Matricu kojoj su svi elementi jednaki nuli nazivamo nulmatricom i označavamo s 0 bez obzira na tip matrice Transponirana matrica matrice A = [α ij ] reda (m, n) je matrica A T = [β ij ] reda (n, m) takva da je β ij = α ji za sve i = 1,, n i j = 1,, m Transponirana matrica se od polazne dobije zamjenom stupaca s retcima, tj svaki k-ti redak matrice A je k-ti stupac matrice A T Transponirana stupčana matrica se naziva redčana matrica ili vektor redak Za svaku 2

6 matricu A vrijedi (A T ) T = A Adjungirana matrica matrice A = [α ij ] reda (m, n) je matrica A = [γ ij ] reda (n, m) takva da je γ ij = α ji za sve i = 1,, n i j = 1,, m Ako je matrica A realna matrica, onda je njoj adjungirana matrica jednaka transponiranoj matrici matrice A Za matrice A = [α ij ] i B = [β ij ] reda (m, n) zbroj A + B je matrica C = [γ ij ] reda (m, n) za koju vrijedi γ ij = α ij + β ij za sve (i, j) Umnožak matrice A = [α ij ] reda (m, n) skalarom λ F je matrica B = [β ij ] reda (m, n) za koju vrijedi β ij = λα ij za sve (i, j) Umnožak matrica definiramo za ulančane matrice Za matrice A i B kažemo da su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B Neka su A = [α ij ] reda (m, n) i B = [β ij ] reda (n, p) dvije ulančane matrice Umnožak AB je matrica C = [γ ij ] reda (m, p) za koju je γ ij = n k=1 α ikβ kj Neka su x i y kompleksni vektori reda n (matrice tipa (n, 1)), odnosno x 1 y 1 x 2 y 2 x = x n, y = Euklidski skalarni umnožak vektora x i y se računa ovako: (x y) = n i=1 x iy i Vrlo su bitna ova dva svojstva: (λx y) = λ(x y) i (x λy) = λ(x y) što se zove homogenost u prvoj varijabli i antihomogenost u drugoj varijabli Ako su x i y realni vektori, tada je (x y) = n i=1 x iy i = x T y i vrijedi homogenost u obje varijable Za vektore kažemo da su ortogonalni ako je njihov skalarni umnožak jednak 0 Za kvadratnu matricu A reda n kažnemo da je invertibilna ili regularna ako postoji matrica B reda n tako da vrijedi AB = BA = I, gdje je I jedinična matrica reda n Ako matrica nije regularna, kažemo da je singularna Matricu B tad zovemo inverz matrice A i označavamo s A 1 Ako su matrice A i B istog reda invertibilne, onda je i njihov umnožak invertibilna matrica za koju vrijedi (AB) 1 = B 1 A 1 Slično se i transponira umnožak, tj za sve ulančane matrice A i B vrijedi (AB) T = B T A T Za matricu A reda n kažemo da je ortogonalna ako vrijedi AA T = A T A = I Svaka ortogonalna matrica je regularna i vrijedi A 1 = A T Za svaku ortogonalnu matricu A = [α ij ] reda n za svaki i, j = 1, 2,, n vrijedi: { n n 1, ako i = j, α ik α jk = δ ij i α ki α kj = δ ij, gdje je δ ij = 0, ako i j k=1 k=1 pa se kaže da retci i stupci ortogonalne matrice čine ortonormirani sustav Vrlo su značajne dvije relacije kvadratnih matrica Neka su A i B kvadratne matrice istog reda n Kažemo da je matrica A slična matrici B (A B) ako postoji regularna matrica T reda n tako da vrijedi B = T 1 AT Kažemo da je matrica A kongruentna matrici B (A = B) ako postoji regularna matrica T reda n tako da vrijedi B = T T AT Kažemo da je A ortogonalno kongruentna s B ako je T ortogonalna Sličnost i kongruentnost su relacije ekvivalencije Sve ortogonalno kongruentne matrice su slične, no obratno ne vrijedi y n 3

7 Determinanta je funkcija koja kvadratnoj matrici pridružuje skalar Neka je A = [α ij ] reda n, n 2 Po Laplaceovom razvoju se računa se ovako: det A = n α ij ( 1) i+j det(a ij ), i = 1,, n ili j=1 det A = n α ij ( 1) i+j det(a ij ), j = 1,, n, i=1 gdje je A ij matrica nastala od matrice A uklanjanjem i-tog retka i j-tog stupca Svaka matrica i njoj transponirana matrica imaju jednake determinante Matrica je regularna ako i samo ako je joj je determinanta različita od nule Za svake dvije matrice istog reda vrijedi: det(ab) = det A det B Trag matrice je funkcija koja matrici pridružuje zbroj elemenata na glavnoj dijagonali: tr A = n i=1 α ii Ako su k N, a 1, a 2,, a k zadani vektori i µ 1, µ 2,, µ k skalari, onda je a = k i=1 µ ka k = µ 1 a 1 +µ 2 a 2 + +µ k a k vektor istog reda koju zovemo linearna kombinacija vektora a 1,, a k s koeficijentima µ 1, µ k Kažemo da su vektori a 1, a 2,, a k linerno nezavisni ako iz k i=1 µ ka k = 0 slijedi µ 1 = µ 2 = = µ k = 0 Broj linearno nezavisnih stupaca matrice se naziva rang matrice Broj linearno nezavisnih stupaca matrice jednak je broju linearno nezavisnih redaka te matrice Kvadratna matrica A reda n je regularna ako i samo ako joj je rang jednak n Neka je A kvadratna matrica reda n Za broj λ kažemo da je svojstvena vrijednost matrice A ako postoji vektor x 0 takav da je Ax = λx Vektor x zovemo svojstveni vektor matrice A, a skup svih svojstvenih vrijednosti matrice A se zove spektar matrice A Ako je x svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti λ, onda je i svaki njemu kolinearan vektor µx, gdje je µ 0, takoder svojstveni vektor pridružen toj svojstvenoj vrijednosti Skup {x: Ax = λx} naziva se svojstveni potprostor matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ Polinom P (λ) = det(a λi) nazivamo svojstveni polinom, a jednadžbu P (λ) = det(a λi) = 0 svojstvenom jednadžbom Rješenja te jednadžbe su svojstvene vrijednosti matrice A 4

8 2 Simetrične matrice Ovo poglavlje se bavi svojstvima simetričnih matrica, a pri tome se koriste definicije i tvrdnje iz [5], [7], [8] te [9] Definicija 2 Za matricu A kažemo da je simetrična ako je A T = A Budući da je broj redaka matrice A jednak broju stupaca matrice A T koje su u ovom slučaju jednake matrice, zaključujemo da je simetrična matrica nužno kvadratna matrica Neka je A = [α ij ] R n n simetrična matrica Za njene elemente tada vrijedi: α ij = α ji 1 i, j n, dakle svi su elementi simetrično rasporedeni s obzirom na glavnu dijagonalu, tj svi izvandijagonalni elementi se pojavljuju u paru Simetrične matrice čine aditivnu grupu, što znači da je zbroj dvije simetrične matrice istog reda ponovno simetrična matrica tog reda Takoder, ako simetričnu matricu pomnožimo skalarom, rezultat će opet biti simetrična matrica No, umnožak dviju simetričnih matrica općenito ne mora biti simetrična matrica Propozicija 1 Za dvije simetrične matrice A i B R n n, umnožak AB je simetrična matrica ako i samo ako A i B komutiraju Dokaz: Neka je AB simetrična matrica Tada je: AB = (AB) T = B T A T = BA što znači da A i B komutiraju Pretpostavimo sad da A i B komutiraju Tada je: što znači da je AB simetrična matrica AB = BA = B T A T = (AB) T Koristeći svojstva transponiranja može se pokazati da je za svaku kvadratnu matrticu B reda n matrica B + B T simetrična Takoder, za bilo koju matricu C tipa (m, n) CC T je simetrična matrica reda m, a C T C je simetrična matrica reda n Propozicija 2 Matrica A reda n je simetrična ako i samo ako za svaki x, y R n vrijedi (Ax y) = (x Ay) Dokaz: Neka je A simetrična matrica Tada je: (x Ay) = x T Ay = x T A T y = (Ax) T y = (Ax y) Obratno, neka vrijedi (Ax y) = (x Ay) x, y R n Tada je: (x Ay) = (Ax y) = (Ax) T y = x T A T y = (x A T y) 5

9 odakle slijedi da je A = A T, odnosno da je A simetrična matrica Za kvadratnu matricu kažemo da je dijagonalizabilna ako je slična nekoj dijagonalnoj matrici, tj ako postoji regularna matrica T takva da je T 1 AT = D, gdje je D dijagonalna matrica Za matricu T tada kažemo da dijagonalizira matricu A Neke kvadratne matrice se mogu dijagonalizirati, a neke ne mogu Sve simetrične matrice imaju svojstvo dijagonalizabilnosti, i to na specifičan način U slučaju simetričnih matrica postoje ortogonalne matrice koje ih dijagonaliziraju pa zato kažemo da su simetrične matrice ortogonalno dijagonalizabilne No prije potpunog iskaza i dokaza tog najznačajnijeg svojstva simetričnih matrica, ispitat ćemo uvjete i svojstva dijagonalizacije na općim kvadratnim matricama Može li se neka kvadratna matrica dijagonalizirati ili ne ovisi o njezinim svojstvenim vrijednostima i svojstvenim vektorima Budući da su svojstvene vrijednosti realnih kvadratnih matrica nultočke svojstvenog polinoma koji općenito ne mora imati sve realne nultočke, svojstvene vrijednosti i komponente svojstvenih vektora mogu biti kompleksni brojevi Zato dijagonalizaciju u općem obliku promotrimo nad poljem kompleksnih brojeva Neka je A kompleksna ili realna kvadratna matrica reda n Pretpostavimo da je A dijagonalizabilna matrica, odnosno da postoje regularna matrica T i dijagonalna matrica D tako da je T 1 AT = D Stupce matrice T označimo s v 1,, v n, a dijagonalne elemente matrice D s λ 1,, λ n Iz T 1 AT = D slijedi AT = T D AT = A [ v 1 v 2 v n ] = [ Av1 Av 2 Av n ] λ T D = [ ] 0 λ 2 0 v 1 v 2 v n = [ ] λ 1 v 1 λ 2 v 2 λ n v n 0 0 λ n Izjednačavanjem matrica AT i T D po stupcima slijede jednakosti: Av 1 = λ 1 v 1, Av 2 = λ 2 v 2,, Av n = λ n v n Matrica T mora biti regularna, tj punog ranga pa zato stupci v 1,, v n moraju biti linearno nezavisni, što podrazumijeva da nisu nulstupci pa slijedi da su λ 1,, λ n svojstvene vrijednosti, a v 1,, v n odgovarajući svojstveni vektori matrice A U slučaju da matrica A nema n linearno nezavisnih svojstvenih vektora, ne bi se mogla konstruirati matrica T koja je regularna pa u tom slučaju dijagonalizacija matrice A nije moguća To daje zaključak: Propozicija 3 Kvadratna matrica reda n je dijagonalizabilna ako i samo ako ima n linearno nezavisnih svojstvenih vektora Svojstvene vrijednosti matrice A mogu se izračunati kao nultočke svojstvenog polinoma det(a λi) Svojstveni polinom je polinom stupnja n pa nad poljem C ima n ne nužno različitih nultočki Kratnost svojstvene vrijednosti kao nultočke svojstvenog polinoma nazivamo algebarska kratnost Ako su sve svojstvene vrijednosti različite, odnosno kratnosti 1, onda su svojstveni vektori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima linearno nezavisni Inače, k-struka svojstvena vrijednost dovodi do sustava jednadžbi koji ima beskonačno mnogo rješenja odredenih pomoću parametara kojih je od 1 do k Broj tih parametara reprezentira geometrijsku kratnost svojstvene vrijednosti koju definiramo kao dimenziju svojstvenog potprostora odredenog tom svojstvenom vrijednosti Ako je geometrijska kratnost 6

10 neke svojstvene vrijednosti manja od njene algebarske kratnosti, ne može se pronaći dovoljno linearno nezavisnih svojstvenih vektora pridruženih toj svojstvenoj vrijednosti pa se ne može formirati regularna matrica T koja će dijagonalizirati matricu A Ako su pak algebarska i geometrijska kratnost svake svojstvene vrijednosti jednake, dobit ćemo ukupno n linearno nezavisnih svojstvenih vektora koji čine stupce matrice T Poredak stupaca nije bitan, ali utječe na poredak dijagonalnih elemenata matrice D Stoga dijagonalizacija, ako je moguća, nije nužno jedinstvena Iz navedenog je jasno da su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori od iznimnog značaja za dijagonalizaciju matrica Zato sljedeća svojstva imaju bitnu ulogu u specifičnosti dijagonalizacije simetričnih matrica Sljedeće propozicije i teorem su prema [5] Propozicija 4 Svojstvene vrijednosti realne simetrične matrice su realne Dokaz: Neka je x svojstveni vektor simetrične matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ Tada je: λ(x x) = (λx x) = (Ax x) = (x Ax) = (x λx) = λ(x x) pa je (λ λ)(x x) = 0, a x 0 pa je (x x) > 0 pa slijedi da je λ = λ što znači da je λ R Dakle simetrična matrica ima n ne nužno različitih realnih svojstvenih vrijednosti pa su i komponente svojstvenih vektora takoder realni brojevi Osim toga vrijedi i sljedeća propozicija Propozicija 5 Svojstveni vektori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima realne simetrične matrice su ortogonalni Dokaz: Neka su x i y svojstveni vektori simetrične matrice A pridruženi svojstvenim vrijednostima λ i µ, λ µ Ax = λx, Ay = µy, x, y 0 Tada je: λ(x y) = (λx y) = (Ax y) = (x Ay) = (x µy) = µ(x y) = µ(x y) pa je (λ µ)(x y) = 0, a kako je λ µ slijedi (x y) = 0, tj x i y su ortogonalni Teorem 1 Za svaku simetričnu matricu A R n n postoji ortogonalna matrica C R n n takva da je λ C T 0 λ 2 0 AC = D = 0 0 λ n gdje su λ 1,, λ n svojstvene vrijednosti matrice A Dokaz: Dokaz ide matematičkom indukcijom po redu matrice A Za matricu reda 1 se nema što dokazati Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za matricu reda n 1 Neka je A R n n simetrična matrica i x 1 normirani svojstveni vektor matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ 1 R Dopunimo ga do ortonormirane baze {x 1, x 2,, x n } prostora R n Matrica V = [ ] x 1 x 2 x n je ortogonalna i vrijedi V T AV = x T 1 x T 2 A [ ] x 1 x 2 x n = x T 1 x T 2 [ ] Ax1 Ax 2 Ax n = x T n x T n 7

11 = x T 1 x T 2 x T n λ 1 β 12 β 1n [ ] 0 β 22 β 2n λ1 x 1 Ax 2 Ax n = 0 β n2 β nn V T AV je simetrična pa je β 12 = β 13 = = β 1n = 0 Tada je [ ] V T λ1 0 AV = 0 B gdje je β 22 β 2n B = β n2 β nn simetrična matrica reda n 1 pa se može primijeniti pretpostavka indukcije, tj postoji ortogonalna matrica W reda n 1 takva da je W T BW dijagonalna matrica Matrica C dana s [ ] 1 0 C = V 0 W je ortogonalna matrica i vrijedi: = [ W T ] [ λ1 0 0 B C T AC = ] [ W [ W T ] = što dokazuje tvrdnju teorema za svaki n N ] V T AV [ W [ λ1 0 0 W T BW Vrijedi i obrat prethodnog teorema, tj prema [8] vrijedi: ] = λ ] λ 2 0 = 0 0 λ n Teorem 2 Kvadratna matrica A je ortogonalno dijagonalizabilna ako i samo ako je A simerična matrica Dokaz: Neka je C ortogonalna matrica Tada je C T C = CC T = I Neka je C T AC = D, gdje je D dijagonalna Množeći taj izraz s C T zdesna i s C slijeva dobijemo (CC T )A(CC T ) = CDC T, odakle je A = CDC T Vrijedi: A T = (CDC T ) T = (C T ) T D T C T = CDC T = A pa je A simetična Postupak odredivanja ortogonalne matrice C koja dijagonalizira matricu A počinje pronalaženjem svojstvenih vrijednosti pomoću svojstvenog polinoma Ako su svojstvene vrijednosti različite, po propoziciji 5 svojstveni vektori pridruženi tim svojsvenim vrijednostima su ortogonalni te se od njih može konstruirati matrica koja je ortogonalna i ona dijagonalizira matricu A Ukoliko sve svojstvene vrijednosti nisu različite, mogu se pronaći ortogonalni vektori, no potrebno je ortogonalizirati linearno nezavisne vektore pridružene svojstvenim vrijednostima kratnosti veće od 1 nekim postupkom ortogonalizacije, poput Gram-Schmidtovog 8

12 3 Kvadratne forme Homogeni polinomi nazivaju se forme Za polinom kažemo da je homogen ako su svi njegovi nenul članovi istog stupnja Forme klasificiramo po stupnju i po broju varijabli Forme prvog stupnja nazivaju se linearne, drugog kvadratne, trećeg kubne i tako dalje, a njih u slučaju jedne varijable nazivamo unarnim, u slučaju dvije binarnim, u slučaju tri ternarnim itd Koeficijenti formi su elementi nekog polja F koje će u ovom poglavlju biti polje realnih brojeva Tema ovog poglavlja su realne kvadratne forme u n varijabli te se koriste definicije i tvrdnje iz [5], [6] i [8] Primjer 1 Ternarna kvadratna forma izgleda ovako: Q 1 (x 1, x 2, x 3 ) = ax bx cx dx 1 x 2 + ex 1 x 3 + fx 2 x 3 Za dvije kvadratne forme kažemo da su jednake ako za svaki izbor vrijednosti varijabli poprimaju istu vrijednost Kvadratna forma u n varijabli se može zapisati na više načina Njen opći oblik je: Q(x 1, x 2,, x n ) = n i=1 n a ij x i x j, gdje su a ij R za sve i, j = 1,, n j=1 Kvadratnu formu se takoder može zadati u matričnom obliku: Q(x) = x T Ax, gdje je x stupčana matrica, odnosno vektor stupac, čiji su elementi varijable, tj x 1 x 2 x =, x n a A = [α ij ] kvadratna matrica reda n Raspišemo li matrični oblik kvadratne forme Q, izgleda ovako: α 11 α 12 α 1n x 1 Q(x) = x T Ax = [ ] α 21 α 22 α 2n x 2 x 1 x 2 x n α n1 α n2 α nn x n Izmnožimo li matrice, dobije se kvadratna formu Q u općem obliku: Q(x) = α 11 x (α 12 + α 21 )x 1 x (α 1n + α n1 )x 1 x n + α 22 x (α 23 + α 32 )x 2 x (α 2n + α n2 )x 2 x n + + α nn x 2 n 9

13 Svakoj matrici A reda n se može pridružiti jedinstvena kvadratna forma tako da je Q(x) = x T Ax No, ako želimo proizvoljnoj kvadratnoj formi pridružiti matricu, to se može na više načina Odnosno, svakoj kvadratnoj formi Q(x 1, x 2,, x n ) = n n i=1 j=1 a ijx i x j se može pridružiti familija matrica B = [β ij ] reda n koje imaju svojstvo da je β ii = a ii, β ij + β ji = a ij + a ji za sve i, j = 1,, n Medu tim matricama postoji jedinstvena matrica koja zadovoljava sljedeći uvjet: β ij = β ji = 1 2 (a ij + a ji ) i ta je matrica simetrična Prema tome, svakoj kvadratnoj formi pridružena je jedinstvena simerična matrica A reda n takva da je Q(x) = x T Ax Tu matricu A zovemo matrica kvadratne forme Q Na taj se način mnoge definicije i svojstva simetričnih matrica prenose na kvadratne forme Tako se rang kvadratne forme definira kao rang pripadne matrice Posebno, za kvadratnu formu kažemo da je regularna ako je njezina matrica regularna matrica Takoder, za kvadratne forme možemo reći da su jednake ako i samo ako imaju istu matricu Kvadratne forme se sastoje od kvadatnih članova oblika a ii x 2 i te članova oblika a ij x i x j (i j) koje zovemo mješovitim članovima kvadratne forme Za kvadratnu formu kažemo da je dijagonalna ako je oblika n D(x) = δ i x 2 i, i=1 tj ako nema mješovitih članova Zove se dijagonalna jer je njoj pripadna matrica dijagonalna matrica Računanje s dijagonalnim kvadratnim formama i odredivanje njihovih svojstava poput ranga i definitnosti znatno je jednostavnije Stoga je osnovni problem teorije formi danu formu transformirati u novu koja je jednostavnijeg oblika, poput dijagonalne, ali zadržava osnovna svojstva polazne forme Transformacije kvadratnih formi postižu se zamjenom varijabli Ako su s x 1, x 2,, x n označene stare varijable, a s y 1, y 2,, y n označimo nove varijable, tada su jednadžbe transformacije varijabli dane s: x i = τ i1 y 1 + τ i2 y τ in y n, i = 1,, n Matricu T = [τ ij ] zovemo matrica tranformacije Da bi se nove varijable mogle izraziti pomoću starih, matrica T mora biti regularna Tada je x = T y i y = T 1 x Neka je kvadratna forma Q(x) s matricom A i kvadratna forma dobivena transformacijom T P (y) s matricom B Tada vrijedi: Q(x) = x T Ax = (T y) T A(T y) = (y T T T )A(T y) = y T (T T AT )y = y T By = P (y) Ako postoji transformacija koja prevodi kvadratnu formu Q(x) u kvadratnu formu P (y), kažemo da su te dvije forme kongruentne Iz B = T T AT slijedi da su pripadne matrice kongruentne matrice Ako je matrica T ortogonalna, tada su A i B ortogonalno kongruentne matrice pa kažemo da su i Q(x) i P (y) ortogonalno kongruentne forme Dakle, dvije forme su (ortogonalno) kongruentne ako i samo ako su njihove pripadne matrice (ortogonalno) kongruentne 10

14 Teorem 3 Svaka je kvadratna forma ortogonalno kongruentna s nekom dijagonalnom formom Dokaz: Neka je A matrice dane kvadratne forme Kako je A simetrična, postoji ortogonalna matrica T takva da je D = T 1 AT, odnosno D = T T AT jer je T 1 = T T To znači da je matrica D ortogonalno kongruentna s matricom A Matricom D je očito jednoznačno odredena neka dijagonalna forma koja je ortogonalno kongruentna s polaznom Za dijagonalnu formu koja je kongruentna danoj kvadratnoj formi kaže se da je kanonski oblik te forme Budući da kongruentne matrice imaju isti rang, kongruentne forme takoder imaju isti rang Vrlo značajna klasifikacija kvadratnih formi je s obzirom na njihovu definitnost Definicija 3 Za kvadratnu formu Q s matricom A kažemo da je: (a) pozitivno semidefinitna ako je x T Ax 0 x R n, (b) pozitivno definitna ako je x T Ax > 0 x 0, tj ako je pozitivno semidefinitna i x T Ax = 0 x = 0, (c) negativno semidefinitna ako je x T Ax 0 x R n, (d) negativno definitna ako je x T Ax < 0 x 0, tj x T Ax = 0 x = 0 ako je negativno semidefinitna i Analogna definicija se uvodi za simetričnu matricu pridruženu kvadratnoj formi Kongruentne forme su iste definitnosti Najjednostavnije je odrediti definitnost dijagonalne kvadratne forme jer njoj defnitnost ovisi samo o predznaku dijagonalnih elemenata pripadne matrice Budući da svaka kvadratna forma ima kanonski oblik, tj kongruentna je s nekom dijagonalnom formom koja na dijagonali ima svojstvene vrijednosti matrice polazne forme, možemo zaključiti sljedeću vezu izmedu definitnosti kvadratne forme i svojstvenih vrijednosti pripadne matrice čiji dokaz se može naći u [5] Teorem 4 Kvadratna forma Q s matricom A je: (a) pozitivno semidefinitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A nenegativne, (b) pozitivno definitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A pozitvne, (c) negativno semidefinitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A nepozitivne, (d) negativno definitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A negativne U sljedećoj propoziciji je dana karakterizacija regularnosti simetrične matrice Propozicija 6 Ako je simetrična matrica A definitna (pozitivno ili negativno), onda je i regularna Dokaz: Ukoliko je A singularna matrica, postoji x 0 tako da je Ax = 0 Tada je Q(x) = x T Ax = 0 što je protivno definiciji definitnosti matrice 11

15 4 Matrične norme Matrična norma je mjera veličine matrice koja ne ovisi o broju redaka ni stupaca matrice To je pozitivan realan broj koji nam može reći je li neka matrica blizu singularne što utječe na stabilnost i točnost aproksimacijskih izračuna pa stoga matrične norme imaju veliku primjenu Ovo se poglavlje temelji na definicijama i tvrdnjama iz [3] i [4] Neka je F polje realnih ili kompleksnih brojeva Prije definicije matrične norme potrebna je definicija vektorske norme Definicija 4 Vektorska norma na F n je preslikavanje : F n R koje zadovoljava sljedeća svojstva: 1 x > 0 x F n i x = 0 x = 0 2 αx = α x α F, x F n 3 x + y x + y x, y F n Najčešći primjeri vektorskih normi su p-norme za 1 p < dane s: x p = p n i=1 x i p x F n od kojih se najviše koriste x 2 = n i=1 x i 2 x F n, x 1 = n i=1 x i x F n te -norma dana izrazom x = max 1 i n x i Matrične norme su generalizacija vektorskih normi Zato je definicija vrlo slična Definicija 5 Matrična norma na F m n je preslikavanje : F m n R koje zadovoljava sljedeća svojstva: 1 A > 0 A F m n i A = 0 A = 0 2 αa = α A α F, A F m n 3 A + B A + B A, B F m n Postoji mnogo funkcija koje zadovoljavaju ta tri svojstva, no najčešće se koriste norme koje su nastale tako da su se vektorskim p-normama inducirale odgovarajuće matrične p-norme Definicija 6 Neka su zadane vektorske norme α na F n i β norma αβ na F m n definira se s: na F m Inducirana A αβ = max x 0 Ax β x α 12

16 Inducirana norma zadovoljava svojstva 1, 2 i 3 definicije matrične norme Za normu induciranu vektorskom normom se još kaže da je operatorska Može se na ekvivalentan način definirati ovako: A αβ = max Ax β x α=1 što je jednako Ay β za neki y F n s jediničnom normom Izraz kojim je zadana neka vektorska ili matrična norma zapravo odreduje familiju normi jer su ovisno o redu vektora ili tipu matrice definirane različite funkcije Bez obzira na red vektora ili tip matrice, sve vektorske norme i njima inducirane matrične norme označavaju se jednako, npr s p su označene sve vektorske i matrične p-norme Matrične 1-normu i -normu je jednostavno odrediti Karakterizacija 2-norme znatno je kompliciranija pa se u primjeni često aproksimira Matrična 1-norma dana je izrazom: A 1 = max x 0 Ax 1 x 1 = max 1 j n m α ij i=1 A = [α ij ] F m n 1-norma matrice jednaka je najvećem zbroju apsulutnih vrijednosti elemenata po stupcima Matrična 2-norma dana je izrazom: A 2 = max x 0 Ax 2 x 2 = λ max (A A) gdje je A adjungirana matrica matrice A, a λ max (A A) najveća svojstvena vrijednost matrice Zbog povezanosti sa svojstvenim vrijednostima, 2-norma se zove i spektralna norma Matrična -norma dana je izrazom: A = max x 0 Ax x = max 1 i m n α ij j=1 A = [α ij ] F m n Slično 1-normi -norma matrice jednaka je najvećem zbroju apsulutnih vrijednosti elemenata po retcima Za sve vektorske norme i njima inducirane matrične norme vrijedi: Ax A x To svojstvo se naziva kompatibilnost matrične i vektorske norme Za A F m n i x F n, Ax F m te ova nejednakost povezuje tri različite norme No, nisu sve matrične norme inducirane nekom vektorskom normom Najbolji primjer je tzv Frobeniusova norma koja je za svaku matricu A F m n dana izrazom: m n A F = α ij 2 i=1 j=1 13

17 Dakle, norma matrice jednaka je korijenu zbroja kvadrata apsolutnih vrijednosti svih elemenata matrice Frobeniusova norma matrice A tipa (m, n) jednaka je vektorskoj 2-normi vektora reda mn koji se dobije preslagivanjem svih elemenata matrice u jedan vektor Za svaku matricu A F m n vrijedi: A F = tr(a A) Frobeniousova norma je takoder kompatibilna s vektorskom 2-normom, tj A F m n i x F n vrijedi: Ax 2 A F x 2 Definicija 7 Za matričnu normu kažemo da je konzistentna ako za sve ulančane matrice A i B vrijedi: AB A B Ako A i B nisu kvadratne matrice istog reda, norme od A, B i AB nisu definirane na istom prostoru pa poput kompatibilnosti ova nejednakost povezuje različite norme Konzistentnost vrijedi za većinu matričnih normi uključujući p-norme, -normu, te Frobeniusovu normu pa se stoga često ubraja medu osnovna svojstva matričnih normi iz definicije No, ne zadovoljavaju sve matrične norme svojstvo konzistentnosti Primjer takve norme je tzv max norma koja je za A = [α ij ] F m n dana s: A = max i=1m j=1n α ij Ta je norma generalizacija vektorske -norme jer obje daju kao rezultat najveći element po apsolutnoj vrijednosti Definicija 8 Neka su α i β matrične norme definirane na istom prostoru F m n Kažemo da je norma β ekvivalentna s normom α ako postoje c, C R tako da A F m n vrijedi: c A β A α C A β Ekvivalentnost normi je relacija ekvivalencije i sve su norme medusobno ekvivalentne To znači da za svake dvije norme α i β na F m n postoji C M R tako da α C M β Konstante C M su dane u sljedećoj tablici preuzete iz [4] α β 1 2 F 1 1 m m m m 2 n 1 m 1 mn n n 1 n n F n rang(a) m 1 mn Tablica 1 Pomoću te tablice se za svake dvije norme α i β na F m n mogu odrediti konstante c i C iz prethodne definicije Tako je pripadni C jednak C M za α β, a pripadni c je jednak recipročnoj vrijednosti od C M za β α 14

18 Bibliografija [1] V Bahovec, N Erjavec, Uvod u ekonometrijsku analizu, Element, 2009 [2] D Bakić, Linearna algebra, Školska knjiga, 2008 [3] D W Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1996 [4] Z Drmač, V Hari, M Marušić, M Rogina, S Singer, S Singer, Numerička matematika, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 2008 [5] I Gjenero, Linearna algebra, Hrvatska zajednica računovoda i financijskih djelatnika, Zagreb, 2000 [6] K Horvatić, Linearna algebra, Golden marketing - Tehnička knjiga, Zagreb, 2004 [7] S Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1985, [8] D C Lay, Linear algebra and its applications, Pearson Education, Inc, 2012 [9] kolovoz,

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath

CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 18 = 519 (2014): 125-143 CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath Abstract. This paper gives a complete classification

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke

Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke Promjene programa preddiplomskih studija zbog Engleskog jezika struke Preddiplomski studij Matematika 3. semestar Prije promjene Poslije promjene Obvezni predmeti P+V+S ECTS Obvezni predmeti P+V+S ECTS

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Racionalne Diofantove šestorke

Racionalne Diofantove šestorke Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan

More information

KONAČNE GEOMETRIJE. Predavanja. Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet. Matematički odsjek. Juraj Šiftar Vedran Krčadinac

KONAČNE GEOMETRIJE. Predavanja. Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet. Matematički odsjek. Juraj Šiftar Vedran Krčadinac Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek KONAČNE GEOMETRIJE Predavanja Juraj Šiftar Vedran Krčadinac Akademska godina 2012./2013. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Dizajni 7 3 Izomorfizam

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Fraktalno Brownovo gibanje

Fraktalno Brownovo gibanje Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

MATEMATIČKI ALATI ZA REDUKCIJU DIMENZIONALNOSTI SIGNALA

MATEMATIČKI ALATI ZA REDUKCIJU DIMENZIONALNOSTI SIGNALA UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Srd an Lazendić MATEMATIČKI ALATI ZA REDUKCIJU DIMENZIONALNOSTI SIGNALA - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Natalija Tvrdy Vektori u nastavi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Periodi i oblici titranja uobičajenih okvirnih AB građevina

Periodi i oblici titranja uobičajenih okvirnih AB građevina DOI: https://doi.org/10.1456/jce.1774.016 Građevinar /018 Primljen / Received: 30.7.016. Ispravljen / Corrected: 19..017. Prihvaćen / Accepted: 8..017. Dostupno online / Available online: 10.3.018. Periodi

More information

Razni načini zadavanja vjerojatnosti

Razni načini zadavanja vjerojatnosti Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Knowledge Discovery and Data Mining 1 (VO) ( )

Knowledge Discovery and Data Mining 1 (VO) ( ) Knowledge Discovery and Data Mining 1 (VO) (707.003) Review of Linear Algebra Denis Helic KTI, TU Graz Oct 9, 2014 Denis Helic (KTI, TU Graz) KDDM1 Oct 9, 2014 1 / 74 Big picture: KDDM Probability Theory

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

CS 246 Review of Linear Algebra 01/17/19

CS 246 Review of Linear Algebra 01/17/19 1 Linear algebra In this section we will discuss vectors and matrices. We denote the (i, j)th entry of a matrix A as A ij, and the ith entry of a vector as v i. 1.1 Vectors and vector operations A vector

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

Sveučilišni studijski centar za stručne studije. Zavod za matematiku i fiziku. Uvod u Matlab. Verzija 1.1

Sveučilišni studijski centar za stručne studije. Zavod za matematiku i fiziku. Uvod u Matlab. Verzija 1.1 Sveučilišni studijski centar za stručne studije Zavod za matematiku i fiziku Uvod u Matlab Verzija 1.1 Karmen Rivier, Arijana Burazin Mišura 1.11.2008 Uvod Matlab je interaktivni sistem namijenjen izvođenju

More information