Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme"

Transcription

1 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014

2 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Voditelj: docdrsc D Marković Osijek, 2014

3 Sažetak Matrice su koristan alat u linearnoj algebri Bitnu klasu matrica čine simetrične matrice Imaju zanimljiva spektralna svojstva poput realnih svojstvenih vrijednosti i ortogonalnih svojstvenih vektora koji omogućavaju posebni tip dijagonalizacije Kvadratne forme su polinomi koji se na jedinstven način mogu povezati sa simetričnim matricama Pomoću simetričnih matrica se mogu odrediti mnoga svojstva kvadratnih formi i obratno Kvadratne forme su često korisne u karakterizacijama simetričnih matrica Kvadratne forme se mogu transformirati da bi računanje s njima bilo jednostavnije Matrična norma je mjera matrica koja je čest alat u numeričkoj linearnoj algebri Postoji mnogo vrsta matričnih normi, no sve su povezane nejednakostima Ključne riječi matrice, simetrične matrice, dijagonalizacija, kvadratne forme, definitnost, matrične norme Abstract Matrices are useful tool in linear algebra Symmetric matrices are important class of matrices They have interesting spectral characteristics, such as real eigenvalues and orthogonal eigenvectors which allow a special type of diagonalization Quadratic forms are polynomials which can in a unique way be connected with symmetric matrices By using symmetric matrices, a lot of characteristics of quadratic forms can be determined Also, quadratic forms are useful in characterization of symmetric matrices Quadratic forms can be transformed so that calculations would be easier to perform Matrix norm is a measure of matrices which is often used tool in numerical linear algebra There are many types of matrix norms, but they are all connected with inequalities Key words matrices, symmetric matrices, diagonalization, quadratic forms, definiteness, matrix norms

4 Uvod Veliki dio linearne algebre bavi se matricama Mnoge druge grane matematike koriste matrice u rješavanju matematičkih problema No, matrice su koristan alat i u mnogim područjima drugih znanosti, a koriste se čak i u modernim tehnologijama Cilj je ovog rada opisati nekoliko pojmova vezanih uz matrice To su prvo simetrične matrice, koje su najučestalija klasa matrica u primjeni Zatim kvadratne forme koje imaju primjenu u algebri, analizi, topologiji, geometriji Treći pojam su matrične norme koji su bitan alat u numeričkoj matematici U prvom poglavlju se uvode osnovne definicije i tvrdnje matrične algebre potrebne za sljedeća poglavlja Tu se definira pojam matrice i vektora i uvode oznake Definiraju se osnovni tipovi matrica, operacije s matricama i vektorima te dvije značajne relacije ekvivalencije matrica Na kraju poglavlja se navode osnovna matrična svojstva: determinanta, trag, rang te svojstvene vrijednosti Tema drugog poglavlja su realne simetrične matrice, njihova svojstva te dijagonalizacija simetričnih matrica U trećem poglavlju se definira pojam kvadratne forme te se razmatra veza kvadratnih formi i simetričnih matrica Opisuju se transformacije i dijagonalizacija kvadratnih formi i bitno svojstvo kvadratnih formi - definitnost U zadnjem poglavlju se definiraju matrične norme, navode se najznačajniji primjeri matričnih normi i njihova svojstva 1

5 1 Matrice U ovom poglavlju se uvode osnovni pojmovi matrične algebre te osnovni rezultati potrebni u daljnjem radu koristeći se definicijama i tvrdnjama iz [1], [2] i [7] Definicija 1 Neka je F polje te m i n prirodni brojevi Svako preslikavanje A: {1, 2,, m} {1, 2,, n} F nazivamo matrica tipa (m, n) nad poljem F Matricu A zapisujemo kao tablicu od m redaka i n stupaca: α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n A = α m1 α m2 α mn gdje je α ij vrijednost funkcije A u paru (i, j) Navedimo neke oznake koje će se koristiti S F n je označen skup svih uredenih n-torki elemenata polja F S F m n je označen skup svih matrica tipa (m, n) s elementima iz polja F U radu s matricama uredenu n-torku, odnosno vektor (a 1, a 2,, a n ) identificiramo sa stupčanom matricom a 1 a 2 a n koja se zove i vektor stupac S A = [α ij ] kraće je svojim elementima označena matrica, a element koji se nalazi na presjeku i-tog retka i j-tog stupca uz α ij označavamo i s (A) ij Za dvije matrice A = [α ij ] F m n i B = [β ij ] F p r kažemo da su jednake ako m = p, n = r i α ij = β ij za sve (i, j), tj ako su istog tipa i imaju jednake odgovarajuće elemente Ako je matrica A tipa (n, n), odnosno ako ima jednak broj redaka i stupaca, kažemo da je A kvadratna matrica Glavnu dijagonalu matrice čine elementi kojima je indeks retka jednak indeksu stupca, tj elementi α ii, za i = 1, 2, Kvadratne matrice koje imaju sve elemente izvan dijagonale jednake nuli, tj α ij = 0 za sve i j zovemo dijagonalnim matricama Jedinična matrica I je dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jedinice Matricu kojoj su svi elementi jednaki nuli nazivamo nulmatricom i označavamo s 0 bez obzira na tip matrice Transponirana matrica matrice A = [α ij ] reda (m, n) je matrica A T = [β ij ] reda (n, m) takva da je β ij = α ji za sve i = 1,, n i j = 1,, m Transponirana matrica se od polazne dobije zamjenom stupaca s retcima, tj svaki k-ti redak matrice A je k-ti stupac matrice A T Transponirana stupčana matrica se naziva redčana matrica ili vektor redak Za svaku 2

6 matricu A vrijedi (A T ) T = A Adjungirana matrica matrice A = [α ij ] reda (m, n) je matrica A = [γ ij ] reda (n, m) takva da je γ ij = α ji za sve i = 1,, n i j = 1,, m Ako je matrica A realna matrica, onda je njoj adjungirana matrica jednaka transponiranoj matrici matrice A Za matrice A = [α ij ] i B = [β ij ] reda (m, n) zbroj A + B je matrica C = [γ ij ] reda (m, n) za koju vrijedi γ ij = α ij + β ij za sve (i, j) Umnožak matrice A = [α ij ] reda (m, n) skalarom λ F je matrica B = [β ij ] reda (m, n) za koju vrijedi β ij = λα ij za sve (i, j) Umnožak matrica definiramo za ulančane matrice Za matrice A i B kažemo da su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B Neka su A = [α ij ] reda (m, n) i B = [β ij ] reda (n, p) dvije ulančane matrice Umnožak AB je matrica C = [γ ij ] reda (m, p) za koju je γ ij = n k=1 α ikβ kj Neka su x i y kompleksni vektori reda n (matrice tipa (n, 1)), odnosno x 1 y 1 x 2 y 2 x = x n, y = Euklidski skalarni umnožak vektora x i y se računa ovako: (x y) = n i=1 x iy i Vrlo su bitna ova dva svojstva: (λx y) = λ(x y) i (x λy) = λ(x y) što se zove homogenost u prvoj varijabli i antihomogenost u drugoj varijabli Ako su x i y realni vektori, tada je (x y) = n i=1 x iy i = x T y i vrijedi homogenost u obje varijable Za vektore kažemo da su ortogonalni ako je njihov skalarni umnožak jednak 0 Za kvadratnu matricu A reda n kažnemo da je invertibilna ili regularna ako postoji matrica B reda n tako da vrijedi AB = BA = I, gdje je I jedinična matrica reda n Ako matrica nije regularna, kažemo da je singularna Matricu B tad zovemo inverz matrice A i označavamo s A 1 Ako su matrice A i B istog reda invertibilne, onda je i njihov umnožak invertibilna matrica za koju vrijedi (AB) 1 = B 1 A 1 Slično se i transponira umnožak, tj za sve ulančane matrice A i B vrijedi (AB) T = B T A T Za matricu A reda n kažemo da je ortogonalna ako vrijedi AA T = A T A = I Svaka ortogonalna matrica je regularna i vrijedi A 1 = A T Za svaku ortogonalnu matricu A = [α ij ] reda n za svaki i, j = 1, 2,, n vrijedi: { n n 1, ako i = j, α ik α jk = δ ij i α ki α kj = δ ij, gdje je δ ij = 0, ako i j k=1 k=1 pa se kaže da retci i stupci ortogonalne matrice čine ortonormirani sustav Vrlo su značajne dvije relacije kvadratnih matrica Neka su A i B kvadratne matrice istog reda n Kažemo da je matrica A slična matrici B (A B) ako postoji regularna matrica T reda n tako da vrijedi B = T 1 AT Kažemo da je matrica A kongruentna matrici B (A = B) ako postoji regularna matrica T reda n tako da vrijedi B = T T AT Kažemo da je A ortogonalno kongruentna s B ako je T ortogonalna Sličnost i kongruentnost su relacije ekvivalencije Sve ortogonalno kongruentne matrice su slične, no obratno ne vrijedi y n 3

7 Determinanta je funkcija koja kvadratnoj matrici pridružuje skalar Neka je A = [α ij ] reda n, n 2 Po Laplaceovom razvoju se računa se ovako: det A = n α ij ( 1) i+j det(a ij ), i = 1,, n ili j=1 det A = n α ij ( 1) i+j det(a ij ), j = 1,, n, i=1 gdje je A ij matrica nastala od matrice A uklanjanjem i-tog retka i j-tog stupca Svaka matrica i njoj transponirana matrica imaju jednake determinante Matrica je regularna ako i samo ako je joj je determinanta različita od nule Za svake dvije matrice istog reda vrijedi: det(ab) = det A det B Trag matrice je funkcija koja matrici pridružuje zbroj elemenata na glavnoj dijagonali: tr A = n i=1 α ii Ako su k N, a 1, a 2,, a k zadani vektori i µ 1, µ 2,, µ k skalari, onda je a = k i=1 µ ka k = µ 1 a 1 +µ 2 a 2 + +µ k a k vektor istog reda koju zovemo linearna kombinacija vektora a 1,, a k s koeficijentima µ 1, µ k Kažemo da su vektori a 1, a 2,, a k linerno nezavisni ako iz k i=1 µ ka k = 0 slijedi µ 1 = µ 2 = = µ k = 0 Broj linearno nezavisnih stupaca matrice se naziva rang matrice Broj linearno nezavisnih stupaca matrice jednak je broju linearno nezavisnih redaka te matrice Kvadratna matrica A reda n je regularna ako i samo ako joj je rang jednak n Neka je A kvadratna matrica reda n Za broj λ kažemo da je svojstvena vrijednost matrice A ako postoji vektor x 0 takav da je Ax = λx Vektor x zovemo svojstveni vektor matrice A, a skup svih svojstvenih vrijednosti matrice A se zove spektar matrice A Ako je x svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti λ, onda je i svaki njemu kolinearan vektor µx, gdje je µ 0, takoder svojstveni vektor pridružen toj svojstvenoj vrijednosti Skup {x: Ax = λx} naziva se svojstveni potprostor matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ Polinom P (λ) = det(a λi) nazivamo svojstveni polinom, a jednadžbu P (λ) = det(a λi) = 0 svojstvenom jednadžbom Rješenja te jednadžbe su svojstvene vrijednosti matrice A 4

8 2 Simetrične matrice Ovo poglavlje se bavi svojstvima simetričnih matrica, a pri tome se koriste definicije i tvrdnje iz [5], [7], [8] te [9] Definicija 2 Za matricu A kažemo da je simetrična ako je A T = A Budući da je broj redaka matrice A jednak broju stupaca matrice A T koje su u ovom slučaju jednake matrice, zaključujemo da je simetrična matrica nužno kvadratna matrica Neka je A = [α ij ] R n n simetrična matrica Za njene elemente tada vrijedi: α ij = α ji 1 i, j n, dakle svi su elementi simetrično rasporedeni s obzirom na glavnu dijagonalu, tj svi izvandijagonalni elementi se pojavljuju u paru Simetrične matrice čine aditivnu grupu, što znači da je zbroj dvije simetrične matrice istog reda ponovno simetrična matrica tog reda Takoder, ako simetričnu matricu pomnožimo skalarom, rezultat će opet biti simetrična matrica No, umnožak dviju simetričnih matrica općenito ne mora biti simetrična matrica Propozicija 1 Za dvije simetrične matrice A i B R n n, umnožak AB je simetrična matrica ako i samo ako A i B komutiraju Dokaz: Neka je AB simetrična matrica Tada je: AB = (AB) T = B T A T = BA što znači da A i B komutiraju Pretpostavimo sad da A i B komutiraju Tada je: što znači da je AB simetrična matrica AB = BA = B T A T = (AB) T Koristeći svojstva transponiranja može se pokazati da je za svaku kvadratnu matrticu B reda n matrica B + B T simetrična Takoder, za bilo koju matricu C tipa (m, n) CC T je simetrična matrica reda m, a C T C je simetrična matrica reda n Propozicija 2 Matrica A reda n je simetrična ako i samo ako za svaki x, y R n vrijedi (Ax y) = (x Ay) Dokaz: Neka je A simetrična matrica Tada je: (x Ay) = x T Ay = x T A T y = (Ax) T y = (Ax y) Obratno, neka vrijedi (Ax y) = (x Ay) x, y R n Tada je: (x Ay) = (Ax y) = (Ax) T y = x T A T y = (x A T y) 5

9 odakle slijedi da je A = A T, odnosno da je A simetrična matrica Za kvadratnu matricu kažemo da je dijagonalizabilna ako je slična nekoj dijagonalnoj matrici, tj ako postoji regularna matrica T takva da je T 1 AT = D, gdje je D dijagonalna matrica Za matricu T tada kažemo da dijagonalizira matricu A Neke kvadratne matrice se mogu dijagonalizirati, a neke ne mogu Sve simetrične matrice imaju svojstvo dijagonalizabilnosti, i to na specifičan način U slučaju simetričnih matrica postoje ortogonalne matrice koje ih dijagonaliziraju pa zato kažemo da su simetrične matrice ortogonalno dijagonalizabilne No prije potpunog iskaza i dokaza tog najznačajnijeg svojstva simetričnih matrica, ispitat ćemo uvjete i svojstva dijagonalizacije na općim kvadratnim matricama Može li se neka kvadratna matrica dijagonalizirati ili ne ovisi o njezinim svojstvenim vrijednostima i svojstvenim vektorima Budući da su svojstvene vrijednosti realnih kvadratnih matrica nultočke svojstvenog polinoma koji općenito ne mora imati sve realne nultočke, svojstvene vrijednosti i komponente svojstvenih vektora mogu biti kompleksni brojevi Zato dijagonalizaciju u općem obliku promotrimo nad poljem kompleksnih brojeva Neka je A kompleksna ili realna kvadratna matrica reda n Pretpostavimo da je A dijagonalizabilna matrica, odnosno da postoje regularna matrica T i dijagonalna matrica D tako da je T 1 AT = D Stupce matrice T označimo s v 1,, v n, a dijagonalne elemente matrice D s λ 1,, λ n Iz T 1 AT = D slijedi AT = T D AT = A [ v 1 v 2 v n ] = [ Av1 Av 2 Av n ] λ T D = [ ] 0 λ 2 0 v 1 v 2 v n = [ ] λ 1 v 1 λ 2 v 2 λ n v n 0 0 λ n Izjednačavanjem matrica AT i T D po stupcima slijede jednakosti: Av 1 = λ 1 v 1, Av 2 = λ 2 v 2,, Av n = λ n v n Matrica T mora biti regularna, tj punog ranga pa zato stupci v 1,, v n moraju biti linearno nezavisni, što podrazumijeva da nisu nulstupci pa slijedi da su λ 1,, λ n svojstvene vrijednosti, a v 1,, v n odgovarajući svojstveni vektori matrice A U slučaju da matrica A nema n linearno nezavisnih svojstvenih vektora, ne bi se mogla konstruirati matrica T koja je regularna pa u tom slučaju dijagonalizacija matrice A nije moguća To daje zaključak: Propozicija 3 Kvadratna matrica reda n je dijagonalizabilna ako i samo ako ima n linearno nezavisnih svojstvenih vektora Svojstvene vrijednosti matrice A mogu se izračunati kao nultočke svojstvenog polinoma det(a λi) Svojstveni polinom je polinom stupnja n pa nad poljem C ima n ne nužno različitih nultočki Kratnost svojstvene vrijednosti kao nultočke svojstvenog polinoma nazivamo algebarska kratnost Ako su sve svojstvene vrijednosti različite, odnosno kratnosti 1, onda su svojstveni vektori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima linearno nezavisni Inače, k-struka svojstvena vrijednost dovodi do sustava jednadžbi koji ima beskonačno mnogo rješenja odredenih pomoću parametara kojih je od 1 do k Broj tih parametara reprezentira geometrijsku kratnost svojstvene vrijednosti koju definiramo kao dimenziju svojstvenog potprostora odredenog tom svojstvenom vrijednosti Ako je geometrijska kratnost 6

10 neke svojstvene vrijednosti manja od njene algebarske kratnosti, ne može se pronaći dovoljno linearno nezavisnih svojstvenih vektora pridruženih toj svojstvenoj vrijednosti pa se ne može formirati regularna matrica T koja će dijagonalizirati matricu A Ako su pak algebarska i geometrijska kratnost svake svojstvene vrijednosti jednake, dobit ćemo ukupno n linearno nezavisnih svojstvenih vektora koji čine stupce matrice T Poredak stupaca nije bitan, ali utječe na poredak dijagonalnih elemenata matrice D Stoga dijagonalizacija, ako je moguća, nije nužno jedinstvena Iz navedenog je jasno da su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori od iznimnog značaja za dijagonalizaciju matrica Zato sljedeća svojstva imaju bitnu ulogu u specifičnosti dijagonalizacije simetričnih matrica Sljedeće propozicije i teorem su prema [5] Propozicija 4 Svojstvene vrijednosti realne simetrične matrice su realne Dokaz: Neka je x svojstveni vektor simetrične matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ Tada je: λ(x x) = (λx x) = (Ax x) = (x Ax) = (x λx) = λ(x x) pa je (λ λ)(x x) = 0, a x 0 pa je (x x) > 0 pa slijedi da je λ = λ što znači da je λ R Dakle simetrična matrica ima n ne nužno različitih realnih svojstvenih vrijednosti pa su i komponente svojstvenih vektora takoder realni brojevi Osim toga vrijedi i sljedeća propozicija Propozicija 5 Svojstveni vektori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima realne simetrične matrice su ortogonalni Dokaz: Neka su x i y svojstveni vektori simetrične matrice A pridruženi svojstvenim vrijednostima λ i µ, λ µ Ax = λx, Ay = µy, x, y 0 Tada je: λ(x y) = (λx y) = (Ax y) = (x Ay) = (x µy) = µ(x y) = µ(x y) pa je (λ µ)(x y) = 0, a kako je λ µ slijedi (x y) = 0, tj x i y su ortogonalni Teorem 1 Za svaku simetričnu matricu A R n n postoji ortogonalna matrica C R n n takva da je λ C T 0 λ 2 0 AC = D = 0 0 λ n gdje su λ 1,, λ n svojstvene vrijednosti matrice A Dokaz: Dokaz ide matematičkom indukcijom po redu matrice A Za matricu reda 1 se nema što dokazati Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za matricu reda n 1 Neka je A R n n simetrična matrica i x 1 normirani svojstveni vektor matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ 1 R Dopunimo ga do ortonormirane baze {x 1, x 2,, x n } prostora R n Matrica V = [ ] x 1 x 2 x n je ortogonalna i vrijedi V T AV = x T 1 x T 2 A [ ] x 1 x 2 x n = x T 1 x T 2 [ ] Ax1 Ax 2 Ax n = x T n x T n 7

11 = x T 1 x T 2 x T n λ 1 β 12 β 1n [ ] 0 β 22 β 2n λ1 x 1 Ax 2 Ax n = 0 β n2 β nn V T AV je simetrična pa je β 12 = β 13 = = β 1n = 0 Tada je [ ] V T λ1 0 AV = 0 B gdje je β 22 β 2n B = β n2 β nn simetrična matrica reda n 1 pa se može primijeniti pretpostavka indukcije, tj postoji ortogonalna matrica W reda n 1 takva da je W T BW dijagonalna matrica Matrica C dana s [ ] 1 0 C = V 0 W je ortogonalna matrica i vrijedi: = [ W T ] [ λ1 0 0 B C T AC = ] [ W [ W T ] = što dokazuje tvrdnju teorema za svaki n N ] V T AV [ W [ λ1 0 0 W T BW Vrijedi i obrat prethodnog teorema, tj prema [8] vrijedi: ] = λ ] λ 2 0 = 0 0 λ n Teorem 2 Kvadratna matrica A je ortogonalno dijagonalizabilna ako i samo ako je A simerična matrica Dokaz: Neka je C ortogonalna matrica Tada je C T C = CC T = I Neka je C T AC = D, gdje je D dijagonalna Množeći taj izraz s C T zdesna i s C slijeva dobijemo (CC T )A(CC T ) = CDC T, odakle je A = CDC T Vrijedi: A T = (CDC T ) T = (C T ) T D T C T = CDC T = A pa je A simetična Postupak odredivanja ortogonalne matrice C koja dijagonalizira matricu A počinje pronalaženjem svojstvenih vrijednosti pomoću svojstvenog polinoma Ako su svojstvene vrijednosti različite, po propoziciji 5 svojstveni vektori pridruženi tim svojsvenim vrijednostima su ortogonalni te se od njih može konstruirati matrica koja je ortogonalna i ona dijagonalizira matricu A Ukoliko sve svojstvene vrijednosti nisu različite, mogu se pronaći ortogonalni vektori, no potrebno je ortogonalizirati linearno nezavisne vektore pridružene svojstvenim vrijednostima kratnosti veće od 1 nekim postupkom ortogonalizacije, poput Gram-Schmidtovog 8

12 3 Kvadratne forme Homogeni polinomi nazivaju se forme Za polinom kažemo da je homogen ako su svi njegovi nenul članovi istog stupnja Forme klasificiramo po stupnju i po broju varijabli Forme prvog stupnja nazivaju se linearne, drugog kvadratne, trećeg kubne i tako dalje, a njih u slučaju jedne varijable nazivamo unarnim, u slučaju dvije binarnim, u slučaju tri ternarnim itd Koeficijenti formi su elementi nekog polja F koje će u ovom poglavlju biti polje realnih brojeva Tema ovog poglavlja su realne kvadratne forme u n varijabli te se koriste definicije i tvrdnje iz [5], [6] i [8] Primjer 1 Ternarna kvadratna forma izgleda ovako: Q 1 (x 1, x 2, x 3 ) = ax bx cx dx 1 x 2 + ex 1 x 3 + fx 2 x 3 Za dvije kvadratne forme kažemo da su jednake ako za svaki izbor vrijednosti varijabli poprimaju istu vrijednost Kvadratna forma u n varijabli se može zapisati na više načina Njen opći oblik je: Q(x 1, x 2,, x n ) = n i=1 n a ij x i x j, gdje su a ij R za sve i, j = 1,, n j=1 Kvadratnu formu se takoder može zadati u matričnom obliku: Q(x) = x T Ax, gdje je x stupčana matrica, odnosno vektor stupac, čiji su elementi varijable, tj x 1 x 2 x =, x n a A = [α ij ] kvadratna matrica reda n Raspišemo li matrični oblik kvadratne forme Q, izgleda ovako: α 11 α 12 α 1n x 1 Q(x) = x T Ax = [ ] α 21 α 22 α 2n x 2 x 1 x 2 x n α n1 α n2 α nn x n Izmnožimo li matrice, dobije se kvadratna formu Q u općem obliku: Q(x) = α 11 x (α 12 + α 21 )x 1 x (α 1n + α n1 )x 1 x n + α 22 x (α 23 + α 32 )x 2 x (α 2n + α n2 )x 2 x n + + α nn x 2 n 9

13 Svakoj matrici A reda n se može pridružiti jedinstvena kvadratna forma tako da je Q(x) = x T Ax No, ako želimo proizvoljnoj kvadratnoj formi pridružiti matricu, to se može na više načina Odnosno, svakoj kvadratnoj formi Q(x 1, x 2,, x n ) = n n i=1 j=1 a ijx i x j se može pridružiti familija matrica B = [β ij ] reda n koje imaju svojstvo da je β ii = a ii, β ij + β ji = a ij + a ji za sve i, j = 1,, n Medu tim matricama postoji jedinstvena matrica koja zadovoljava sljedeći uvjet: β ij = β ji = 1 2 (a ij + a ji ) i ta je matrica simetrična Prema tome, svakoj kvadratnoj formi pridružena je jedinstvena simerična matrica A reda n takva da je Q(x) = x T Ax Tu matricu A zovemo matrica kvadratne forme Q Na taj se način mnoge definicije i svojstva simetričnih matrica prenose na kvadratne forme Tako se rang kvadratne forme definira kao rang pripadne matrice Posebno, za kvadratnu formu kažemo da je regularna ako je njezina matrica regularna matrica Takoder, za kvadratne forme možemo reći da su jednake ako i samo ako imaju istu matricu Kvadratne forme se sastoje od kvadatnih članova oblika a ii x 2 i te članova oblika a ij x i x j (i j) koje zovemo mješovitim članovima kvadratne forme Za kvadratnu formu kažemo da je dijagonalna ako je oblika n D(x) = δ i x 2 i, i=1 tj ako nema mješovitih članova Zove se dijagonalna jer je njoj pripadna matrica dijagonalna matrica Računanje s dijagonalnim kvadratnim formama i odredivanje njihovih svojstava poput ranga i definitnosti znatno je jednostavnije Stoga je osnovni problem teorije formi danu formu transformirati u novu koja je jednostavnijeg oblika, poput dijagonalne, ali zadržava osnovna svojstva polazne forme Transformacije kvadratnih formi postižu se zamjenom varijabli Ako su s x 1, x 2,, x n označene stare varijable, a s y 1, y 2,, y n označimo nove varijable, tada su jednadžbe transformacije varijabli dane s: x i = τ i1 y 1 + τ i2 y τ in y n, i = 1,, n Matricu T = [τ ij ] zovemo matrica tranformacije Da bi se nove varijable mogle izraziti pomoću starih, matrica T mora biti regularna Tada je x = T y i y = T 1 x Neka je kvadratna forma Q(x) s matricom A i kvadratna forma dobivena transformacijom T P (y) s matricom B Tada vrijedi: Q(x) = x T Ax = (T y) T A(T y) = (y T T T )A(T y) = y T (T T AT )y = y T By = P (y) Ako postoji transformacija koja prevodi kvadratnu formu Q(x) u kvadratnu formu P (y), kažemo da su te dvije forme kongruentne Iz B = T T AT slijedi da su pripadne matrice kongruentne matrice Ako je matrica T ortogonalna, tada su A i B ortogonalno kongruentne matrice pa kažemo da su i Q(x) i P (y) ortogonalno kongruentne forme Dakle, dvije forme su (ortogonalno) kongruentne ako i samo ako su njihove pripadne matrice (ortogonalno) kongruentne 10

14 Teorem 3 Svaka je kvadratna forma ortogonalno kongruentna s nekom dijagonalnom formom Dokaz: Neka je A matrice dane kvadratne forme Kako je A simetrična, postoji ortogonalna matrica T takva da je D = T 1 AT, odnosno D = T T AT jer je T 1 = T T To znači da je matrica D ortogonalno kongruentna s matricom A Matricom D je očito jednoznačno odredena neka dijagonalna forma koja je ortogonalno kongruentna s polaznom Za dijagonalnu formu koja je kongruentna danoj kvadratnoj formi kaže se da je kanonski oblik te forme Budući da kongruentne matrice imaju isti rang, kongruentne forme takoder imaju isti rang Vrlo značajna klasifikacija kvadratnih formi je s obzirom na njihovu definitnost Definicija 3 Za kvadratnu formu Q s matricom A kažemo da je: (a) pozitivno semidefinitna ako je x T Ax 0 x R n, (b) pozitivno definitna ako je x T Ax > 0 x 0, tj ako je pozitivno semidefinitna i x T Ax = 0 x = 0, (c) negativno semidefinitna ako je x T Ax 0 x R n, (d) negativno definitna ako je x T Ax < 0 x 0, tj x T Ax = 0 x = 0 ako je negativno semidefinitna i Analogna definicija se uvodi za simetričnu matricu pridruženu kvadratnoj formi Kongruentne forme su iste definitnosti Najjednostavnije je odrediti definitnost dijagonalne kvadratne forme jer njoj defnitnost ovisi samo o predznaku dijagonalnih elemenata pripadne matrice Budući da svaka kvadratna forma ima kanonski oblik, tj kongruentna je s nekom dijagonalnom formom koja na dijagonali ima svojstvene vrijednosti matrice polazne forme, možemo zaključiti sljedeću vezu izmedu definitnosti kvadratne forme i svojstvenih vrijednosti pripadne matrice čiji dokaz se može naći u [5] Teorem 4 Kvadratna forma Q s matricom A je: (a) pozitivno semidefinitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A nenegativne, (b) pozitivno definitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A pozitvne, (c) negativno semidefinitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A nepozitivne, (d) negativno definitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A negativne U sljedećoj propoziciji je dana karakterizacija regularnosti simetrične matrice Propozicija 6 Ako je simetrična matrica A definitna (pozitivno ili negativno), onda je i regularna Dokaz: Ukoliko je A singularna matrica, postoji x 0 tako da je Ax = 0 Tada je Q(x) = x T Ax = 0 što je protivno definiciji definitnosti matrice 11

15 4 Matrične norme Matrična norma je mjera veličine matrice koja ne ovisi o broju redaka ni stupaca matrice To je pozitivan realan broj koji nam može reći je li neka matrica blizu singularne što utječe na stabilnost i točnost aproksimacijskih izračuna pa stoga matrične norme imaju veliku primjenu Ovo se poglavlje temelji na definicijama i tvrdnjama iz [3] i [4] Neka je F polje realnih ili kompleksnih brojeva Prije definicije matrične norme potrebna je definicija vektorske norme Definicija 4 Vektorska norma na F n je preslikavanje : F n R koje zadovoljava sljedeća svojstva: 1 x > 0 x F n i x = 0 x = 0 2 αx = α x α F, x F n 3 x + y x + y x, y F n Najčešći primjeri vektorskih normi su p-norme za 1 p < dane s: x p = p n i=1 x i p x F n od kojih se najviše koriste x 2 = n i=1 x i 2 x F n, x 1 = n i=1 x i x F n te -norma dana izrazom x = max 1 i n x i Matrične norme su generalizacija vektorskih normi Zato je definicija vrlo slična Definicija 5 Matrična norma na F m n je preslikavanje : F m n R koje zadovoljava sljedeća svojstva: 1 A > 0 A F m n i A = 0 A = 0 2 αa = α A α F, A F m n 3 A + B A + B A, B F m n Postoji mnogo funkcija koje zadovoljavaju ta tri svojstva, no najčešće se koriste norme koje su nastale tako da su se vektorskim p-normama inducirale odgovarajuće matrične p-norme Definicija 6 Neka su zadane vektorske norme α na F n i β norma αβ na F m n definira se s: na F m Inducirana A αβ = max x 0 Ax β x α 12

16 Inducirana norma zadovoljava svojstva 1, 2 i 3 definicije matrične norme Za normu induciranu vektorskom normom se još kaže da je operatorska Može se na ekvivalentan način definirati ovako: A αβ = max Ax β x α=1 što je jednako Ay β za neki y F n s jediničnom normom Izraz kojim je zadana neka vektorska ili matrična norma zapravo odreduje familiju normi jer su ovisno o redu vektora ili tipu matrice definirane različite funkcije Bez obzira na red vektora ili tip matrice, sve vektorske norme i njima inducirane matrične norme označavaju se jednako, npr s p su označene sve vektorske i matrične p-norme Matrične 1-normu i -normu je jednostavno odrediti Karakterizacija 2-norme znatno je kompliciranija pa se u primjeni često aproksimira Matrična 1-norma dana je izrazom: A 1 = max x 0 Ax 1 x 1 = max 1 j n m α ij i=1 A = [α ij ] F m n 1-norma matrice jednaka je najvećem zbroju apsulutnih vrijednosti elemenata po stupcima Matrična 2-norma dana je izrazom: A 2 = max x 0 Ax 2 x 2 = λ max (A A) gdje je A adjungirana matrica matrice A, a λ max (A A) najveća svojstvena vrijednost matrice Zbog povezanosti sa svojstvenim vrijednostima, 2-norma se zove i spektralna norma Matrična -norma dana je izrazom: A = max x 0 Ax x = max 1 i m n α ij j=1 A = [α ij ] F m n Slično 1-normi -norma matrice jednaka je najvećem zbroju apsulutnih vrijednosti elemenata po retcima Za sve vektorske norme i njima inducirane matrične norme vrijedi: Ax A x To svojstvo se naziva kompatibilnost matrične i vektorske norme Za A F m n i x F n, Ax F m te ova nejednakost povezuje tri različite norme No, nisu sve matrične norme inducirane nekom vektorskom normom Najbolji primjer je tzv Frobeniusova norma koja je za svaku matricu A F m n dana izrazom: m n A F = α ij 2 i=1 j=1 13

17 Dakle, norma matrice jednaka je korijenu zbroja kvadrata apsolutnih vrijednosti svih elemenata matrice Frobeniusova norma matrice A tipa (m, n) jednaka je vektorskoj 2-normi vektora reda mn koji se dobije preslagivanjem svih elemenata matrice u jedan vektor Za svaku matricu A F m n vrijedi: A F = tr(a A) Frobeniousova norma je takoder kompatibilna s vektorskom 2-normom, tj A F m n i x F n vrijedi: Ax 2 A F x 2 Definicija 7 Za matričnu normu kažemo da je konzistentna ako za sve ulančane matrice A i B vrijedi: AB A B Ako A i B nisu kvadratne matrice istog reda, norme od A, B i AB nisu definirane na istom prostoru pa poput kompatibilnosti ova nejednakost povezuje različite norme Konzistentnost vrijedi za većinu matričnih normi uključujući p-norme, -normu, te Frobeniusovu normu pa se stoga često ubraja medu osnovna svojstva matričnih normi iz definicije No, ne zadovoljavaju sve matrične norme svojstvo konzistentnosti Primjer takve norme je tzv max norma koja je za A = [α ij ] F m n dana s: A = max i=1m j=1n α ij Ta je norma generalizacija vektorske -norme jer obje daju kao rezultat najveći element po apsolutnoj vrijednosti Definicija 8 Neka su α i β matrične norme definirane na istom prostoru F m n Kažemo da je norma β ekvivalentna s normom α ako postoje c, C R tako da A F m n vrijedi: c A β A α C A β Ekvivalentnost normi je relacija ekvivalencije i sve su norme medusobno ekvivalentne To znači da za svake dvije norme α i β na F m n postoji C M R tako da α C M β Konstante C M su dane u sljedećoj tablici preuzete iz [4] α β 1 2 F 1 1 m m m m 2 n 1 m 1 mn n n 1 n n F n rang(a) m 1 mn Tablica 1 Pomoću te tablice se za svake dvije norme α i β na F m n mogu odrediti konstante c i C iz prethodne definicije Tako je pripadni C jednak C M za α β, a pripadni c je jednak recipročnoj vrijednosti od C M za β α 14

18 Bibliografija [1] V Bahovec, N Erjavec, Uvod u ekonometrijsku analizu, Element, 2009 [2] D Bakić, Linearna algebra, Školska knjiga, 2008 [3] D W Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1996 [4] Z Drmač, V Hari, M Marušić, M Rogina, S Singer, S Singer, Numerička matematika, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 2008 [5] I Gjenero, Linearna algebra, Hrvatska zajednica računovoda i financijskih djelatnika, Zagreb, 2000 [6] K Horvatić, Linearna algebra, Golden marketing - Tehnička knjiga, Zagreb, 2004 [7] S Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1985, [8] D C Lay, Linear algebra and its applications, Pearson Education, Inc, 2012 [9] kolovoz,

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Sveučilišni studijski centar za stručne studije. Zavod za matematiku i fiziku. Uvod u Matlab. Verzija 1.1

Sveučilišni studijski centar za stručne studije. Zavod za matematiku i fiziku. Uvod u Matlab. Verzija 1.1 Sveučilišni studijski centar za stručne studije Zavod za matematiku i fiziku Uvod u Matlab Verzija 1.1 Karmen Rivier, Arijana Burazin Mišura 1.11.2008 Uvod Matlab je interaktivni sistem namijenjen izvođenju

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

A matrix is a rectangular array of. objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. is called the size of the matrix, and

A matrix is a rectangular array of. objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. is called the size of the matrix, and Section 5.5. Matrices and Vectors A matrix is a rectangular array of objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. A matrix with m rows and n columns is called an m n matrix.

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

Quadratic forms. Here. Thus symmetric matrices are diagonalizable, and the diagonalization can be performed by means of an orthogonal matrix.

Quadratic forms. Here. Thus symmetric matrices are diagonalizable, and the diagonalization can be performed by means of an orthogonal matrix. Quadratic forms 1. Symmetric matrices An n n matrix (a ij ) n ij=1 with entries on R is called symmetric if A T, that is, if a ij = a ji for all 1 i, j n. We denote by S n (R) the set of all n n symmetric

More information

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Professional paper Accepted 23.11.2007. TATIANA OLEJNÍKOVÁ Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix ABSTRACT The paper describes cyclical surfaces created

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Pojam funkcije u nastavi matematike... Uvod Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Mirjana Marjanović Matić 1 Matematika se u školi predaje od davnina pa vjerujemo kako bi se svi složili da

More information

Systems of Algebraic Equations and Systems of Differential Equations

Systems of Algebraic Equations and Systems of Differential Equations Systems of Algebraic Equations and Systems of Differential Equations Topics: 2 by 2 systems of linear equations Matrix expression; Ax = b Solving 2 by 2 homogeneous systems Functions defined on matrices

More information

Matrix Algebra, part 2

Matrix Algebra, part 2 Matrix Algebra, part 2 Ming-Ching Luoh 2005.9.12 1 / 38 Diagonalization and Spectral Decomposition of a Matrix Optimization 2 / 38 Diagonalization and Spectral Decomposition of a Matrix Also called Eigenvalues

More information

ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI

ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 569 ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI Zagreb, studeni

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

MATRIX ALGEBRA. or x = (x 1,..., x n ) R n. y 1 y 2. x 2. x m. y m. y = cos θ 1 = x 1 L x. sin θ 1 = x 2. cos θ 2 = y 1 L y.

MATRIX ALGEBRA. or x = (x 1,..., x n ) R n. y 1 y 2. x 2. x m. y m. y = cos θ 1 = x 1 L x. sin θ 1 = x 2. cos θ 2 = y 1 L y. as Basics Vectors MATRIX ALGEBRA An array of n real numbers x, x,, x n is called a vector and it is written x = x x n or x = x,, x n R n prime operation=transposing a column to a row Basic vector operations

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

Math 443 Differential Geometry Spring Handout 3: Bilinear and Quadratic Forms This handout should be read just before Chapter 4 of the textbook.

Math 443 Differential Geometry Spring Handout 3: Bilinear and Quadratic Forms This handout should be read just before Chapter 4 of the textbook. Math 443 Differential Geometry Spring 2013 Handout 3: Bilinear and Quadratic Forms This handout should be read just before Chapter 4 of the textbook. Endomorphisms of a Vector Space This handout discusses

More information

PRIMJENA METODE PCA NAD SKUPOM SLIKA ZNAKOVA

PRIMJENA METODE PCA NAD SKUPOM SLIKA ZNAKOVA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVRŠNI RAD br. 81 PRIMJENA METODE PCA NAD SKUPOM SLIKA ZNAKOVA Ivana Sučić Zagreb, srpanj 009 Sadržaj 1. Uvod... 1. Normalizacija slika znakova....1.

More information

Symmetric matrices and dot products

Symmetric matrices and dot products Symmetric matrices and dot products Proposition An n n matrix A is symmetric iff, for all x, y in R n, (Ax) y = x (Ay). Proof. If A is symmetric, then (Ax) y = x T A T y = x T Ay = x (Ay). If equality

More information

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Anto Čabraja PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb,

More information

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni

More information

Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra

Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra 2.3 Composition Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra 2.3 Composition of Linear Transformations Jiwen He Department of Mathematics, University of Houston jiwenhe@math.uh.edu math.uh.edu/ jiwenhe/math4377

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

Chapter 7 Iterative Techniques in Matrix Algebra

Chapter 7 Iterative Techniques in Matrix Algebra Chapter 7 Iterative Techniques in Matrix Algebra Per-Olof Persson persson@berkeley.edu Department of Mathematics University of California, Berkeley Math 128B Numerical Analysis Vector Norms Definition

More information

VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE

VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Almeida Hasić VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE Diplomski rad Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI

More information

Ir O D = D = ( ) Section 2.6 Example 1. (Bottom of page 119) dim(v ) = dim(l(v, W )) = dim(v ) dim(f ) = dim(v )

Ir O D = D = ( ) Section 2.6 Example 1. (Bottom of page 119) dim(v ) = dim(l(v, W )) = dim(v ) dim(f ) = dim(v ) Section 3.2 Theorem 3.6. Let A be an m n matrix of rank r. Then r m, r n, and, by means of a finite number of elementary row and column operations, A can be transformed into the matrix ( ) Ir O D = 1 O

More information

1. General Vector Spaces

1. General Vector Spaces 1.1. Vector space axioms. 1. General Vector Spaces Definition 1.1. Let V be a nonempty set of objects on which the operations of addition and scalar multiplication are defined. By addition we mean a rule

More information

22m:033 Notes: 7.1 Diagonalization of Symmetric Matrices

22m:033 Notes: 7.1 Diagonalization of Symmetric Matrices m:33 Notes: 7. Diagonalization of Symmetric Matrices Dennis Roseman University of Iowa Iowa City, IA http://www.math.uiowa.edu/ roseman May 3, Symmetric matrices Definition. A symmetric matrix is a matrix

More information

IMPORTANT DEFINITIONS AND THEOREMS REFERENCE SHEET

IMPORTANT DEFINITIONS AND THEOREMS REFERENCE SHEET IMPORTANT DEFINITIONS AND THEOREMS REFERENCE SHEET This is a (not quite comprehensive) list of definitions and theorems given in Math 1553. Pay particular attention to the ones in red. Study Tip For each

More information

Linear Algebra review Powers of a diagonalizable matrix Spectral decomposition

Linear Algebra review Powers of a diagonalizable matrix Spectral decomposition Linear Algebra review Powers of a diagonalizable matrix Spectral decomposition Prof. Tesler Math 283 Fall 2016 Also see the separate version of this with Matlab and R commands. Prof. Tesler Diagonalizing

More information

UOPŠTENI INVERZI PROIZVODA OPERATORA

UOPŠTENI INVERZI PROIZVODA OPERATORA UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nebojša Č. Dinčić UOPŠTENI INVERZI PROIZVODA OPERATORA Doktorska disertacija Niš, 2011. PODACI O AUTORU Nebojša Dinčić

More information

ICS 6N Computational Linear Algebra Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization

ICS 6N Computational Linear Algebra Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization ICS 6N Computational Linear Algebra Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization Xiaohui Xie University of California, Irvine xhx@uci.edu Xiaohui Xie (UCI) ICS 6N 1 / 21 Symmetric matrices An n n

More information

2. Matrix Algebra and Random Vectors

2. Matrix Algebra and Random Vectors 2. Matrix Algebra and Random Vectors 2.1 Introduction Multivariate data can be conveniently display as array of numbers. In general, a rectangular array of numbers with, for instance, n rows and p columns

More information

PREDAVANJA. Igor Vujović. Split, 2016.

PREDAVANJA. Igor Vujović. Split, 2016. SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU TEHNIČKI PROGRAMSKI PAKETI PREDAVANJA Igor Vujović Split, 2016. PREDGOVOR Danas se smatra da tehnički obrazovana osoba mora imati određena znanja iz programiranja

More information

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog

More information

IMPORTANT DEFINITIONS AND THEOREMS REFERENCE SHEET

IMPORTANT DEFINITIONS AND THEOREMS REFERENCE SHEET IMPORTANT DEFINITIONS AND THEOREMS REFERENCE SHEET This is a (not quite comprehensive) list of definitions and theorems given in Math 1553. Pay particular attention to the ones in red. Study Tip For each

More information

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad

More information

Basic Concepts in Matrix Algebra

Basic Concepts in Matrix Algebra Basic Concepts in Matrix Algebra An column array of p elements is called a vector of dimension p and is written as x p 1 = x 1 x 2. x p. The transpose of the column vector x p 1 is row vector x = [x 1

More information

AN ELEMENTARY PROOF OF THE SPECTRAL RADIUS FORMULA FOR MATRICES

AN ELEMENTARY PROOF OF THE SPECTRAL RADIUS FORMULA FOR MATRICES AN ELEMENTARY PROOF OF THE SPECTRAL RADIUS FORMULA FOR MATRICES JOEL A. TROPP Abstract. We present an elementary proof that the spectral radius of a matrix A may be obtained using the formula ρ(a) lim

More information

A choice of norm in discrete approximation

A choice of norm in discrete approximation 147 A choice of norm in discrete approximation Tomislav Marošević Abstract. We consider the problem of choice of norms in discrete approximation. First, we describe properties of the standard l 1, l 2

More information

Linear Algebra Practice Problems

Linear Algebra Practice Problems Linear Algebra Practice Problems Math 24 Calculus III Summer 25, Session II. Determine whether the given set is a vector space. If not, give at least one axiom that is not satisfied. Unless otherwise stated,

More information

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research

More information

JUST THE MATHS UNIT NUMBER 9.8. MATRICES 8 (Characteristic properties) & (Similarity transformations) A.J.Hobson

JUST THE MATHS UNIT NUMBER 9.8. MATRICES 8 (Characteristic properties) & (Similarity transformations) A.J.Hobson JUST THE MATHS UNIT NUMBER 9.8 MATRICES 8 (Characteristic properties) & (Similarity transformations) by A.J.Hobson 9.8. Properties of eigenvalues and eigenvectors 9.8. Similar matrices 9.8.3 Exercises

More information

Def. The euclidian distance between two points x = (x 1,...,x p ) t and y = (y 1,...,y p ) t in the p-dimensional space R p is defined as

Def. The euclidian distance between two points x = (x 1,...,x p ) t and y = (y 1,...,y p ) t in the p-dimensional space R p is defined as MAHALANOBIS DISTANCE Def. The euclidian distance between two points x = (x 1,...,x p ) t and y = (y 1,...,y p ) t in the p-dimensional space R p is defined as d E (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + +(x p y p ) 2

More information

Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad-

Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad- UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad- Mentor: dr Nevena Pušić

More information

1 Positive definiteness and semidefiniteness

1 Positive definiteness and semidefiniteness Positive definiteness and semidefiniteness Zdeněk Dvořák May 9, 205 For integers a, b, and c, let D(a, b, c) be the diagonal matrix with + for i =,..., a, D i,i = for i = a +,..., a + b,. 0 for i = a +

More information

Chapter 3. Matrices. 3.1 Matrices

Chapter 3. Matrices. 3.1 Matrices 40 Chapter 3 Matrices 3.1 Matrices Definition 3.1 Matrix) A matrix A is a rectangular array of m n real numbers {a ij } written as a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... a m1 a m2 a mn The array has m rows

More information

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZGREU PRIRODOSLOVNO MTEMTIČKI FKULTET MTEMTIČKI ODSJEK Ivana Major Šomodi SLIČNOST I HOMOTETIJ Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc Sanja Varošanec Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python

Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Vladimir Milić Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Zagreb, 19. siječnja 2017. Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb,

More information

Math Linear Algebra Final Exam Review Sheet

Math Linear Algebra Final Exam Review Sheet Math 15-1 Linear Algebra Final Exam Review Sheet Vector Operations Vector addition is a component-wise operation. Two vectors v and w may be added together as long as they contain the same number n of

More information

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Sadržaj današnjeg predavanja 1. Kratki sadržaj kolegija. 2. Literatura. 3. Kratka povijest nastanka teorije skupova. 4. Osnovne napomene na početku kolegija.

More information

Linear Algebra in Actuarial Science: Slides to the lecture

Linear Algebra in Actuarial Science: Slides to the lecture Linear Algebra in Actuarial Science: Slides to the lecture Fall Semester 2010/2011 Linear Algebra is a Tool-Box Linear Equation Systems Discretization of differential equations: solving linear equations

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute

More information

Spectral radius, symmetric and positive matrices

Spectral radius, symmetric and positive matrices Spectral radius, symmetric and positive matrices Zdeněk Dvořák April 28, 2016 1 Spectral radius Definition 1. The spectral radius of a square matrix A is ρ(a) = max{ λ : λ is an eigenvalue of A}. For an

More information

Linear algebra II Homework #1 solutions A = This means that every eigenvector with eigenvalue λ = 1 must have the form

Linear algebra II Homework #1 solutions A = This means that every eigenvector with eigenvalue λ = 1 must have the form Linear algebra II Homework # solutions. Find the eigenvalues and the eigenvectors of the matrix 4 6 A =. 5 Since tra = 9 and deta = = 8, the characteristic polynomial is f(λ) = λ (tra)λ+deta = λ 9λ+8 =

More information

Mathematical Methods wk 2: Linear Operators

Mathematical Methods wk 2: Linear Operators John Magorrian, magog@thphysoxacuk These are work-in-progress notes for the second-year course on mathematical methods The most up-to-date version is available from http://www-thphysphysicsoxacuk/people/johnmagorrian/mm

More information

RESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS

RESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS Nenad, VARDA, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, I. Lučića 5, 10000 Zagreb Nastia, DEGIULI, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval

More information

Linear Algebra Primer

Linear Algebra Primer Linear Algebra Primer David Doria daviddoria@gmail.com Wednesday 3 rd December, 2008 Contents Why is it called Linear Algebra? 4 2 What is a Matrix? 4 2. Input and Output.....................................

More information

Math Camp Lecture 4: Linear Algebra. Xiao Yu Wang. Aug 2010 MIT. Xiao Yu Wang (MIT) Math Camp /10 1 / 88

Math Camp Lecture 4: Linear Algebra. Xiao Yu Wang. Aug 2010 MIT. Xiao Yu Wang (MIT) Math Camp /10 1 / 88 Math Camp 2010 Lecture 4: Linear Algebra Xiao Yu Wang MIT Aug 2010 Xiao Yu Wang (MIT) Math Camp 2010 08/10 1 / 88 Linear Algebra Game Plan Vector Spaces Linear Transformations and Matrices Determinant

More information

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Chapter1 Matrices and Determinants 11 INTRODUCTION Matrix means an arrangement or array Matrices (plural of matrix) were introduced by Cayley in 1860 A matrix A is rectangular array of m n numbers (or

More information

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja optimizacija Tihana Strmečki, Ivana Božić i Bojan Kovačić Tehničko veleučilište u Zagrebu,

More information

LECTURE VI: SELF-ADJOINT AND UNITARY OPERATORS MAT FALL 2006 PRINCETON UNIVERSITY

LECTURE VI: SELF-ADJOINT AND UNITARY OPERATORS MAT FALL 2006 PRINCETON UNIVERSITY LECTURE VI: SELF-ADJOINT AND UNITARY OPERATORS MAT 204 - FALL 2006 PRINCETON UNIVERSITY ALFONSO SORRENTINO 1 Adjoint of a linear operator Note: In these notes, V will denote a n-dimensional euclidean vector

More information

Optimization Theory. A Concise Introduction. Jiongmin Yong

Optimization Theory. A Concise Introduction. Jiongmin Yong October 11, 017 16:5 ws-book9x6 Book Title Optimization Theory 017-08-Lecture Notes page 1 1 Optimization Theory A Concise Introduction Jiongmin Yong Optimization Theory 017-08-Lecture Notes page Optimization

More information

University of East Sarajevo Mathematical Society of the Republic of Srpska. PROCEEDINGS Trebinje, June 2014

University of East Sarajevo Mathematical Society of the Republic of Srpska. PROCEEDINGS Trebinje, June 2014 Redakcija Prof. dr Milenko Pikula, Univerzitet u Istočnom Sarajevu, BiH Prof. dr Žarko Mijajlović, Matematički fakultet Beograd, Republika Srbija Akademik prof. dr Svjetlana Terzić, Univerzitet Crne Gore,

More information

Introduction. Vectors and Matrices. Vectors [1] Vectors [2]

Introduction. Vectors and Matrices. Vectors [1] Vectors [2] Introduction Vectors and Matrices Dr. TGI Fernando 1 2 Data is frequently arranged in arrays, that is, sets whose elements are indexed by one or more subscripts. Vector - one dimensional array Matrix -

More information

c c c c c c c c c c a 3x3 matrix C= has a determinant determined by

c c c c c c c c c c a 3x3 matrix C= has a determinant determined by Linear Algebra Determinants and Eigenvalues Introduction: Many important geometric and algebraic properties of square matrices are associated with a single real number revealed by what s known as the determinant.

More information

Introduction to Matrices

Introduction to Matrices 214 Analysis and Design of Feedback Control Systems Introduction to Matrices Derek Rowell October 2002 Modern system dynamics is based upon a matrix representation of the dynamic equations governing the

More information

Mathematical Foundations

Mathematical Foundations Chapter 1 Mathematical Foundations 1.1 Big-O Notations In the description of algorithmic complexity, we often have to use the order notations, often in terms of big O and small o. Loosely speaking, for

More information