NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

2 Ovaj diplomski rad obranjen je dana u sastavu: pred ispitnim povjerenstvom., predsjednik 2., član 3., član Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom. Potpisi članova povjerenstva:

3 Ovaj diplomski rad posvećujem svojim roditeljima, bratu i dečku koji su me uvijek ohrabrivali i podržavali tijekom mog obrazovanja. Na tome sam im jako zahvalna.

4 Sadržaj Sadržaj iv Uvod Nizovi i redovi realnih brojeva 2. Definicija i osnovna svojstva nizova realnih brojeva Redovi realnih brojeva Nizovi funkcija 2 2. Konvergencija po točkama Uniformna konvergencija Redovi funkcija Definicija i osnovni pojmovi Testovi uniformne konvergencije redova funkcija Svojstva redova funkcija Redovi potencija Definicija i radijus konvergencije Svojstva redova potencija Aritmetičke operacije s redovima potencija Taylorovi redovi Bibliografija 49 iv

5 Uvod Nizovi i redovi te njihova konvergencija jedno su od najvažnijih područja matematičke analize s mnogim primjenama u ostalim područjima matematike. Kada se spominju nizovi i redovi, najčešće se govori o nizovima i redovima realnih brojeva. Medutim, vrlo koristan koncept u analizi su nizovi i redovi funkcija. Upravo zbog toga, cilj ovog rada je detaljnije proučiti nizove i redove funkcija. Dakle, proučit ćemo konvergenciju te svojstva nizova i redova složenijih oblika, funkcija, čiju je definiciju 923. godine dao Edouard Jean- Baptiste. Nizovima i redovima bavili su se već i stari Grci pokušavajući riješiti neke praktične probleme kao što je izračunavanje površine kruga. Budući da do konačnog rješenja nisu mogli doći u konačno mnogo koraka u matematiku su uveli pojmove konvergencije i limesa niza. Definiciju limesa funkcija, kao i oznake lim i lim x x0, postavio je Weierstrass. Sve do razvoja derivabilnog računa nije bilo značajnijih rezultata o konvergenciji i limesu niza, a definiciju konvergencije kakvu poznajemo danas možemo zahvaliti matematičarima 9. stoljeća Gaussu, Bolzanu i posebice Cauchyju. Augustin Louis Cauchy prvi je precizno proučio pojam konvergencije odnosno limesa i tako opravdao otprije poznate koncepte derivacija, integrala, neprekidnih funkcija i redova. Ovaj rad prvenstveno se bavi nizovima i redovima funkcija te njihovim svojstvima, a naročito konvergencijom kao najvažnijim svojstvom. Kako bi teoremi i primjeri vezani uz nizove i redove funkcija bili u potpunosti razumljivi, najprije navodimo osnovne definicije i teoreme o nizovima i redovima realnih brojeva. Nakon toga slijedi poglavlje Nizovi funkcija u kojem su detaljnije, kroz nekoliko primjera, proučene dvije vrste konvergencije, konvergencija po točkama i uniformna konvergencija. Nadalje, navodimo neke važnije testove uniformne konvergencije redova funkcija kao i neka svojstva redova funkcija. Na kraju se bavimo specijalnim oblicima redova funkcija, redovima potencija. Dana je definicija te osnovni pojmovi i svojstva vezani uz radijus konvergencija, kao i svojstva i aritmetičke operacije s redovima potencija. Takoder, definirani su i Taylorovi redovi, koji omogućuju računanje vrijednosti elementarnih funkcija. Zahvaljujem se mentorici dr. sc. Ljiljani Arambašić za pomoć pri pisanju ovog diplomskog rada.

6 Poglavlje Nizovi i redovi realnih brojeva. Definicija i osnovna svojstva nizova realnih brojeva Niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Niz obično pišemo kao (a n ), gdje je a n = a(n) za n N. Kažemo da je a n n-ti član niza, n N. Umjesto (a n ) ponekad ćemo pisati (a n ) n N ili (a n ) n. Definicija... Neka je (a n ) niz u R. Kažemo da je niz (a n ): (a) rastući, ako je a n a n+ za sve n N, (b) strogo rastući, ako je a n < a n+ za sve n N, (c) padajući, ako je a n a n+ za sve n N, (d) strogo padajući, ako je a n > a n+ za sve n N, (e) monoton, ako je rastući ili padajući, (f) strogo monoton, ako je strogo rastući ili strogo padajući, (h) ograničen odozgo, ako postoji M R tako da je a n M za svaki n N, (i) ograničen odozdo, ako postoji m R tako da je a n m za sve n N, (j) ograničen, ako je ograničen odozdo i odozgo, tj. ako postoje realni brojevi m i M takvi da je m a n M za svaki n. Za niz b : N R kažemo da je podniz niza a : N R, ako postoji strogo rastući niz p u N takav da je b = a p, odnosno b n = a pn za sve n N. 2

7 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 3 Kažemo da niz (a n ) realnih brojeva konvergira ili teži prema realnom broju a ako za svaki ε > 0 postoji prirodan broj n 0 takav da za svaki n n 0 vrijedi a n a ε, a + ε. Broj a zovemo granična vrijednost ili limes niza (a n ) i pišemo a = lim n a n. (.) Prema tome, kakvu god proizvoljnu simetričnu okolinu a ε, a + ε izaberemo oko broja a, postojat će n 0 N tako da se svi članovi niza nakon a n0 nalaze u toj okolini. Dakle, svi članovi niza (a n ), osim možda konačno mnogo članova, nalazit će se u okolini a ε, a + ε. Simbolički, konvergenciju niza možemo zapisati i na sljedeći način: ( ε > 0) ( N N) ( n N) (n > N) = ( a n a < ε). Za niz (a n ) koji ima limes a R kažemo da je konvergentan. U protivnom, niz je divergentan. Na primjer, niz a n = n je konvergentan i njegov limes je, dok je niz n+ a n = ( ) n divergentan. U sljedećim tvrdnjama prisjetit ćemo se osnovnih svojstava konvergentnih nizova. Teorem..2. (a) Svaki konvergentan niz u R ima samo jednu graničnu vrijednost. (b) Svaki konvergentan niz u R je ograničen. Obrat ne vrijedi. (c) Svaki ograničen i monoton niz u R je konvergentan. (d) Svaki podniz konvergentnog niza u R i sam je konvergentan i ima istu graničnu vrijednost kao i niz. (e) Ako su (a n ) i (b n ) konvergentni nizovi, te ako postoji n 0 N tako da je a n b n za svaki n n 0 tada je lim n a n lim n b n. (f) (Teorem o sendviču) Ako su nizovi (a n ), (b n ) i (c n ) takvi da je a n c n b n za svaki n N veći od nekog n 0 N te ako vrijedi lim n a n = lim n b n = L tada je niz (c n ) konvergentan i vrijedi lim n c n = L. Uočimo da ograničenost niza nije dovoljna za konvergenciju niza. Pogledajmo, na primjer, gore spomenuti niz a n = ( ) n. Taj niz je ograničen s i, no nije konvergentan. Nadalje, monotonost nije nužna za konvergenciju niza. Na primjer, niz zadan s ( )n n konvergira k 0, ali nije monoton. Nakon što smo definirali što je to konvergentan niz, vidjet ćemo koji su nužni i dovoljni uvjeti za konvergenciju niza. Sljedeća karakterizacija je korisna jer omogućuje ispitivanje konvergencije niza i u situaciji kada ne znamo kandidata za limes. Prisjetimo se najprije definicije Cauchyjevog niza.

8 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 4 Kažemo da je niz (a n ) realnih brojeva Cauchyjev niz ako za svaki ε > 0 postoji prirodan broj n ε takav da za sve n, m N, n, m > n ε vrijedi a n a m < ε. (.2) Teorem..3. Niz realnih brojeva je konvergentan ako i samo ako je Cauchyjev. Dokaz. Neka je (a n ) konvergentan niz i a = lim n a n, to jest, ( ( ε > 0) ( n ε N) ( n N) (n > n ε ) = Tada za sve n, m > n ε vrijedi ( a n a < ε 2 a n a m a n a + a a m < ε 2 + ε 2 = ε, )). (.3) Dakle uvjet (.3) je nužan. Obratno, neka je (a n ) Cauchyjev niz. Pokažimo najprije da je taj niz ograničen. Iz (.2) za ε = slijedi da postoji n N takav da za sve n, m > n vrijedi a n a m <, odakle, za n > n imamo a n an a n + + an +. Označimo li M = max { a,..., an, + an + }, tada je a n M za sve n N. Neka je ( a pn ) konvergentan podniz od (an ) i a = lim n a pn. Pokažimo da vrijedi a = lim n a n. Uzmimo proizvoljan ε > 0. Iz konvergencije podniza ( ) a pn slijedi da postoji n ε N takav da je (( ) ( apn n > n ε = a ε )) <. 2 Budući da je niz (a n ) Cauchyjev, postoji n ε N takav da (( ) ( n, m > n ε = a n a m < ε )). 2 Ako je n ε = max { n ε, n ε} tada za n > nε, zbog p n n slijedi to jest, a = lim n a n. a n a an a pn + apn a < ε 2 + ε 2 = ε, Augustin Louis Cauchy (Pariz, 2. kolovoza Sceaux, 23. svibnja 857.), francuski matematičar. Bio je jedan od prvih koji je matematički strogo zasnovao i razvijao infinitezimalni račun.

9 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 5.2 Redovi realnih brojeva Neka je zadan niz (a n ) realnih brojeva. sljedeći način Pomoću niza (a n ) definiramo novi niz (s n ) na s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3. Općenito, n-ti član niza (s n ) definiramo kao zboj prvih n članova niza a n, odnosno s n = a + a 2 + a a n. Uredeni par nizova brojeva ((a n ), (s n )) nazivamo redom brojeva. Broj a n zovemo općim ili n-tim članom reda, dok s n nazivamo n-tom parcijalnom sumom reda. Umjesto zapisa reda kao uredenog para nizova ((a n ), (s n )), češće koristimo oznaku a n ili a + + a n + a n+ +. Primjer.2.. Navedimo nekoliko primjera: (a) Neka je dan niz a n = n prirodnih brojeva. Pripadni red je n = n +. (b) Neka je dan niz s općim članom a n = n. Pripadni red je n = n (c) Neka je dan niz s općim članom a n = ( ) n. Pripadni red je ( ) n = ( ) n +. Definirajući red brojeva a n zapravo smo članove niza (a n ) povezali znakom zbrajanja. Primijetimo da se ovdje radi o zbrajanju beskonačno mnogo članova nekog niza. Upravo zbog toga, promatramo niz parcijalnih suma (s n ) čije članove dobivamo zbrajajući prvih n članova niza. Kažemo da je red a n konvergentan ako je konvergentan niz njegovih parcijalnih suma (s n ), tj. ako postoji s = lim n s n. Ako je red konvergentan, onda broj s = lim n s n nazivamo zbrojem ili sumom reda i pišemo s = a n. (.4)

10 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 6 Za red a n kažemo da je divergentan ako je divergentan niz njegovih parcijalnih suma (s n ). Kažemo da red a n divergira prema ako je lim n s n = i pišemo a n =, dok red a n divergira prema ako je lim n s n = i pišemo a n =. Primjer.2.2. Ispitajmo konvergenciju nekoliko danih redova:. Provjerimo konvergenciju reda. n(n+2) Prikažimo opći član reda a n = kao zbroj parcijalnih razlomaka: n(n+2) Slijedi da je n (n + 2) n (n + 2) = A n + B n + 2. = A(n + 2) + Bn n(n + 2) = (A + B)n + 2A, n(n + 2) pa dobivamo da je A + B = 0 i 2A =, čije rješenje je A =, B =. Dakle, opći 2 2 član možemo zapisati kao a n = n(n + 2) = ( 2 n ). (.5) n + 2 Zbrajanjem prvih n članova niza (a n ) dobivamo s n = ( n + ) = 3 n (n + ) 2(n + 2). Sada je ( ) 3 lim s n = lim n n 4 2(n + ) = 3 2(n + 2) 4 i zaključujemo da red konvergira i da je = 3. n(n+2) 4 2. Za red ( ) n vrijedi 0, ako je n paran, s n =, ako je n neparan. (.6) Budući da je niz (s n ) parcijalnih suma divergentan, slijedi da je i red ( ) n divergentan. Navedimo jedan jednostavni kriterij pomoću kojeg možemo utvrditi da neki red ne konvergira.

11 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 7 Teorem.2.3. Nužan uvjet konvergencije reda a n je lim n a n = 0. Dokaz. Neka je a n konvergentan i neka je s njegova suma, te (s n ) pripadni niz parcijalnih suma. Tada je lim n s n = s i, takoder, lim n s n = s. Kako je a n = s n s n, tada je lim a n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = s s = 0. n n n n Prethodni uvjet nije i dovoljan za konvergenciju reda, to jest, ako za neki red vrijedi lim n a n = 0, to još uvijek ne znači da je on konvergentan. Sljedeći teorem upravo nam daje jedan takav primjer. Teorem.2.4. Harmonijski red n divergira. Dokaz. Promotrimo parcijalne sume s 2 k, k N. Vrijedi ( ) ( s 2 k = ) ( ) 8 ( ) ( k ) 2 ( ) ( k > ) ( ) 8 ( ) ( ) k 2 k = = + k 2. Prema tome, s 2 k > + k 2 za svaki k N, pa harmonijski red divergira. = 0. Pri- Očito, harmonijski niz zadovoljava nužan uvjet konvergencije, tj. lim n n sjetimo se nekoliko poznatih redova.. Geometrijski red je red a n čiji članovi čine geometrijski niz (a n ), to jest, takav da postoji q R \ {0} tako da je a n+ = a n q za svaki n N. Proučimo konvergenciju geometrijskog reda. Suma prvih n članova geometrijskog niza (a n ) iznosi q a n, ako je q ; q s n = na, ako je q =.

12 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 8 Kako je lim n q n = 0 za q <, to je lim s q n n = lim a n n q = a q. (.7) Za q > i za q niz (q n ) je divergentan, pa je stoga i (s n ) divergentan. Za q = vrijedi lim n s n = lim n na što je jednako ili (ovisno o a n ), pa je i u tom slučaju geometrijski red a n divergentan. 2. Poopćeni harmonijski red je red oblika n p, pri čemu je p R. U slučaju p = dobivamo harmonijski red. Pokazuje se da poopćeni harmonijski red konvergira kada je p >, a divergira za p. U daljnjem tekstu navest ćemo nekoliko kriterija pomoću kojih možemo ispitati konvergenciju redova s pozitivnim članovima. Pritom, za red a n kažemo da je red s pozitivnim članovima ako je a n 0 za svaki n N. Teorem.2.5. (Kriterij usporedivanja redova) Neka su a n i b n redovi s pozitivnim članovima, te neka postoji realan broj c > 0 tako da je a n cb n za svaki n N. Tada vrijedi:. Ako red b n konvergira, onda konvergira i red a n te vrijedi a n c b n. 2. Ako red a n divergira, onda divergira i red b n. Teorem.2.6. Neka su a n i b n redovi sa strogo pozitivnim članovima i neka a postoji lim n n b n 0. Tada ili oba reda konvergiraju ili oba divergiraju. Teorem.2.7. (Leibnizov kriterij) Neka je (a n ) niz pozitivnih realnih brojeva takvih da (a) postoji m N takav da je a n+ < a n za sve n m, (b) lim n a n = 0. Tada red ( ) n a n konvergira. Teorem.2.8. (D Alembertov kriterij). Neka je a n red sa strogo pozitivnim članovima, te neka je a n+ lim = q. (.8) n a n. Ako je q <, red a n je konvergentan.

13 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 9 2. Ako je q >, red a n je divergentan. Teorem.2.9. (Cauchyjev kriterij) Neka je a n red sa strogo pozitivnim članovima, te neka je lim n. Ako je q <, red a n je konvergentan. 2. Ako je q >, red a n je divergentan. n an = q. (.9) Teorem.2.0. (Raabeov kriterij) Neka je a n red sa strogo pozitivnim članovima, te neka je ( ) lim n an = q. (.0) n a n+. Ako je q >, red a n je konvergentan. 2. Ako je q <, red a n je divergentan. Primjer.2.. Ispitajmo konvergenciju sljedećih redova uz pomoć prethodno navedenih kriterija.. Iz primjera.2.2 () znamo da je red konvergentan i da njegova suma n(n+2) iznosi 3. Sada ćemo vidjeti da se konvergencija ovog reda može ispitati usporedujući 4 ga s poopćenim harmonijskim redom. Opći član danog reda je a n =. Za velike vrijednosti broja n, broj n + 2 se n(n+2) ponaša slično kao i broj n. Stoga za velike n-ove vrijedi n(n + 2) n n = n. 2 Dakle, konvergenciju danog reda mogli bismo utvrditi usporedujući ga s poopćenim harmonijskim redom za koji znamo da konvergira. Opći član ovog reda je n 2 b n =. Uočimo da je n 2 a n = n(n + 2) < n 2 = b n, n N, (.) iz čega, zbog konvergencije reda b n, po teoremu o usporedivanju redova, slijedi da je dani red konvergentan. n(n+2)

14 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 0 2. Za red n3 2 n računamo a n+ lim n a n = lim n (n+) n (n + ) 3 n+ = lim n 3 n n 3 2 n+ 2 n = 2 lim n ( + n )3 = 2 <. Prema tome, red konvergira prema D Alembertovom kriteriju. Do istog rezultata dolazimo primjenom Cauchyjevog kriterija. Zaista, lim n n n an = lim n n 3 2 n = lim n pa red konvergira i prema Cauchyjevom kriteriju. ( n n) 3 2 = 2 <, (.2) Prethodni kriteriji su se odnosili na redove s pozitivnim članovima. Zbog pozitivnosti njihovih članova, bitno je naglasiti da je niz parcijalnih suma redova s pozitivnim članovima rastući niz. Za njihovu konvergenciju dovoljno je pokazati da je taj niz omeden. No, ako promatramo niz čiji svi članovi nisu pozitivni, situacija je složenija. Pretpostavimo da dani red ima beskonačno mnogo pozitivnih i beskonačno mnogo negativnih članova. Uz svaki takav red povezujemo red čiji su članovi jednaki apsolutnim vrijednostima članova zadanog niza. Dakle, zadanom redu a n pridružen je red apsolutnih vrijednosti a n. Želimo ispitati odnos konvergencije tih dvaju redova. Ako red a n konvergira, tada kažemo da red a n apsolutno konvergira. Primjer takvog red je red jer je ( ) n 2 = n ( )n = 2 n 2 n = 2 = 2. Teorem.2.2. Ako red a n konvergira, tada red a n konvergira. Dokaz. Neka je s k k-ta parcijalna suma reda a n. Prema nejednakosti trokuta, za svaki k N vrijedi k k k a n s k = a n a n. (.3) Kako ( k a n ) konvergira po pretpostavci, prema teoremu o sendviču slijedi da i (s k) k k konvergira.

15 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA Obrat prethodnog teorema ne vrijedi. Na primjer, ( ) n konvergira, ali n divergira. Ako red n a n konvergira, ali red a n divergira, tada kažemo da red a n uvjetno konvergira.

16 Poglavlje 2 Nizovi funkcija Osim nizova realnih brojeva koje smo definirali u prethodnom poglavlju, možemo promatrati i nizove funkcija. U ovom slučaju moći ćemo promatrati nekoliko vrsta konvergencije, a to su konvergencija po točkama i uniformna konvergencija. Neka je S R. Označimo s R S skup svih funkcija iz S u R. Niz funkcija je svaka funkcija f : N R S pri čemu je f (n) = f n : S R. Funkcija f n je n-ti član niza. Niz funkcija označavamo s ( f n ) ili f, f 2, f 3,..., f n, Konvergencija po točkama Konvergencija po točkama (koja se često naziva i obična konvergencija) definira konvergenciju funkcija u smislu konvergencije funkcijskih vrijednosti u svakoj pojedinoj točki danog skupa. Neka je S R. Ako je ( f n ) niz funkcija na S i ako niz brojeva ( f n (x)) konvergira za svaki x iz nekog podskupa A od S, tada kažemo da niz funkcija ( f n ) konvergira po točkama (ili obično) na A prema funkciji f definiranoj kao f (x) = lim n f n (x), x A. (2.) Primjer 2... Na sljedećoj slici promotrimo grafove funkcija f n (x) = x n e nx, x 0, n. 2

17 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 3 Standardnom provjerom se pokaže da je f n (x) e n za svaki x 0 odakle je lim n f n (x) = 0 za svaki x 0. U tom je slučaju funkcija kojoj niz funkcija konvergira po točkama jednaka nuli na [0,. Primjer Ispitajmo konvergenciju sljedećih nekoliko nizova funkcija:. Funkcije f n (x) = ( nx ) n 2 n+, n definiraju niz na D = (, ]. Lako se vidi da je, ako je x < 0, lim f n(x) =, ako je x = 0, n 0, ako je 0 < x. Stoga, ( f n ) konvergira po točkama na S = [0, ] prema funkciji definiranoj s, ako je x = 0, f (x) = 0, ako je 0 < x. 2. Neka je ( f n ) niz funkcija na R definiranih s f n (x) = nx. Tada je lim n f n (x) = lim n nx = za svaki x > 0, pa ovaj niz ne konvergira. 3. Neka je ( f n ) niz funkcija na R definiranih s f n (x) = x. Ovaj niz konvergira po točkama n x prema nulfunkciji na R jer je lim n f n (x) = lim n = 0 za svaki x R. n Iz sljedećeg primjera zaključujemo da konvergencija po točkama ne čuva neprekidnost. Primjer Niz funkcija definiranih s f n (x) = x 2n konvergira po točkama funkciji f : [, ] R na [, ], gdje je, ako je x = ili x =, f (x) = 0, inače. Pogledajmo sljedeću sliku.

18 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 4 Kako bismo vidjeli da je to doista tako, uzmimo najprije x (, ). Tada je 0 x 2 <. Budući da je x 2n 0 = ( x 2 ) n 0 kada n, stoga je limn f n (x) = 0. Kada je x = ili x =, tada je x 2n = za sve n i lim f n (x) =. Očito su sve funkcije f n neprekidne, dok f ima prekide u i. U sljedećem primjeru pokažimo da konvergencija po točkama ne čuva omedenost. Primjer Neka je f n : (0, ) R funkcija definirana s f n (x) = vrijedi lim f n(x) = lim = n n x + x. n n. Tada za x 0 nx+ Dakle, niz ( f n ) konvergira po točkama prema funkciji f : (0, ) R definiranoj s f (x) = x. Budući da je f n (x) < n za svaki x (0, ), to je svaka funkcija f n omedena na (0, ), no funkcija f nije. Sljedeća napomena daje nam alternativnu definiciju konvergencije niza funkcija po točkama, a slijedi direktno iz definicije konvergencije nizova realnih brojeva. Napomena Neka su f n : S R, n N, i f : S R funkcije. Tada niz ( f n ) konvergira po točkama prema funkciji f ako i samo ako za svaki x S i svaki ε > 0 postoji N N tako da je f n (x) f (x) < ε, n N. (2.2) 2.2 Uniformna konvergencija Definicija Neka su f n : S R, n N, i f : S R funkcije. Kažemo da niz funkcija ( f n ) konvergira uniformno prema funkciji f ako za svaki ε > 0 postoji N N tako da je f n (x) f (x) < ε, x S, n N. (2.3) Sljedeća slika geometrijski interpretira izraz f n (x) f (x) < ε na segmentu [a, b].

19 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 5 Razlika izmedu konvergencije po točkama i uniformne konvergencije je u tome što kod konvergencije po točkama konvergencija funkcije f n prema f može varirati po brzini u svakoj od točaka skupa S. Kod uniformne konvergencije je brzina približno jednaka u svim točkama skupa S. Navedimo sljedeću očitu tvrdnju. Propozicija Ako niz funkcija ( f n ) konvergira uniformno prema funkciji f, onda konvergira i po točkama prema f. Obrat ne vrijedi. Primjer Pogledajmo funkcije zadane s f n (x) = x 2n,x [, ]. U primjeru vidjeli smo da niz funkcija ( f n ) konvergira po točkama na [, ]. Pokažimo da ovaj niz ne konvergira uniformno. Pretpostavimo da niz ( f n ) konvergira uniformno. Kako ( f n ) konvergira po točkama prema nulfunkciji, to je i f, uniformni limes od f n, jednak nulfunkciji. Tada za ε = 3 postoji N N takav da je x 2n = x 2n 0 < za sve x (, ) i sve n > N. Posebno, za 3 x n = 2n, n > N vrijedi ( ) 2n <, n > N. 2n 3 ( Kako je lim n 2n 2n) = e, slijedi <, što je kontradikcija. e 3 Za omedene funkcije koristiti ćemo malo apstraktniji način kako bismo definirali uniformnu konvergenciju. Za takve funkcije uvodimo pojam uniformne norme. Neka je f : S R omedena funkcija. Uniformna norma od f se definira kao f = sup { f (x) : x S }.

20 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 6 Lema Ako su g, h : S R tada vrijedi Dokaz. Po definiciji uniformne norme slijedi Slično, g + h g + h i gh g h. (2.4) g + h = sup { g(x) + h(x) : x S } sup { g(x) + h(x) : x S } sup { g(x) : x S } + sup { h(x) : x S } = g + h. gh = sup { g(x)h(x) : x S } sup { g(x) h(x) : x S } sup { g(x) : x S } sup { h(x) : x S } = g h. Definiciju 2.2. sada možemo iskazati i u terminima uniformne norme: niz omedenih funkcija f n : S R konvergira uniformno prema funkciji f : S R ako je lim f n f = 0. (2.5) n Drugim riječima, ( f n ) konvergira uniformno prema f na skupu S ako za svaki ε > 0 postoji broj N N tako da je f n f < ε, n N. (2.6) Primjer Neka je f n : [0, ] R definirana s f n (x) = konvergira uniformno prema f (x) = x. Zaista, nx+sin nx2 n. Tvrdimo da ( f n ) f n f = sup { f n (x) f (x) : x [0, ]} { nx + sin nx 2 } = sup x n : x [0, ] { sin nx 2 } = sup n : x [0, ] { } sup : x [0, ] n = n

21 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 7 Budući da je lim n n = 0, slijedi lim n f n f = 0. Primjer Niz funkcija definiranih s f n (x) = x n e nx, n konvergira uniformno prema f = 0 na [0,. Kao što smo vidjeli u primjeru 2.. imamo f n f = f n = e n, pa je f n f < ε ako je n > log ε. Za takve vrijednosti n, graf od y = f n (x), 0 x <, leži u pruzi ε y ε, x 0 što prikazuje i sljedeća slika. Sljedeća definicija i teorem omogućuju nam da ispitamo uniformnu konvergenciju bez da odredujemo limes funkcije, analogno kao što smo imali kod Cauchyjevog kriterija konvergencije nizova realnih brojeva. Definicija Niz funkcija ( f n ), f n : S R, je uniformno Cauchyjev na S ako za svaki ε > 0 postoji N N tako da je f m (x) f n (x) < ε, x S, m, n > N. (2.7) Teorem Niz funkcija ( f n ), f n : S R, konvergira uniformno na S ako i samo ako je taj niz uniformno Cauchyjev na S. Dokaz. Pretpostavimo da ( f n ) konvergira uniformno prema f na S. Za ε > 0 postoji N N tako da je f n (x) f (x) < ε, x S, n > N. 2 Ako je m, n > N tada za svaki x S vrijedi f m (x) f n (x) f m (x) f (x) + f (x) f n (x) < ε 2 + ε 2 = ε, (2.8) iz čega slijedi da je ( f n ) uniformno Cauchyjev. Obrnuto, pretpostavimo da je ( f n ) uniformno Cauchyjev niz. Tada je niz realnih brojeva ( f n (x)) Cauchyjev za svaki x R, pa je zato i konvergentan.

22 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 8 Definiramo f : S R s f (x) = lim n f n (x). Tada ( f n ) konvergira po točkama prema f. Kako bismo dokazali da ( f n ) konvergira uniformno prema f, uzmimo ε > 0. Kako je ( f n ) uniformno Cauchyjev možemo uzeti N N tako da je f m (x) f n (x) < ε, x S, m, n > N. 2 Neka je n > N. Tada za svaki m > N i sve x S vrijedi f n (x) f (x) f n (x) f m (x) + f m (x) f (x) < ε 2 + f m(x) f (x). Budući da niz ( f m (x)) konvergira prema f (x), za svaki x postoji neki m x > N takav da je Sada za sve n > N vrijedi f mx (x) f (x) < ε 2. f n (x) f (x) < ε 2 + fmx (x) f (x) < ε. (2.9) Zbog proizvoljnosti od x S slijedi da ( f n ) konvergira uniformno prema f. Sada ćemo pokazati da uniformna konvergencija niza funkcija, za razliku od konvergencije po točkama, čuva neprekidnost i omedenost. Takoder, vidjet ćemo što vrijedi za svojstva integrabilnosti i derivabilnosti. Teorem Pretpostavimo da je f n : S R, n N, niz omedenih funkcija na S takvih da niz ( f n ) konvergira uniformno prema funkciji f na S. Tada je funkcija f : S R omedena na S. Dokaz. Neka je ε =. Budući da ( f n ) uniformno konvergira k f na S, postoji N N tako da je f n (x) f (x) <, x S, n > N. Uzmimo neki n > N. Tada, budući da je f n omedena, postoji konstanta M n 0 tako da je f n (x) M n, x S. Iz toga slijedi f (x) f (x) f n (x) + f n (x) < + M n, x S, (2.0) što znači da je i f omedena na S. Prethodni rezultat možemo koristiti i ovako: ako niz omedenih funkcija konvergira po točkama k neomedenoj funkciji, tada taj niz ne konvergira uniformno.

23 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 9 Primjer Niz funkcija f n : (0, ) R iz primjera 2..3 definiran s f n (x) = n nx+ ne konvergira uniformno na (0, ). Svaka funkcija f n je omedena na (0, ), ali funkcija f (x) =, kojoj niz funkcija konvergira po točkama, nije omedena. x No, niz ( f n ) konvergira uniformno prema f na svakom intervalu [a, ) gdje je 0 < a <. Zaista, za sve n N vrijedi f n (x) f (x) = n nx + x = x(nx + ) < nx 2 na. 2 Sada, za proizvoljan ε > 0 izaberemo N = a 2 ε i vrijedi f n(x) f (x) < ε za svaki x [a, ) ako je n > N, što dokazuje da niz ( f n ) konvergira uniformno prema f na [a, ). Očuvanje neprekidnosti jedno je od bitnih svojstava uniformne konvergencije, o čemu govori sljedeći teorem. Teorem Ako niz neprekidnih funkcija f n : S R, n N, konvergira uniformno na S R prema f : S R, tada je i f neprekidna funkcija na S. Dokaz. Uzmimo c S i ε > 0. Tada za svaki n N vrijedi f (x) f (c) f (x) f n (x) + f n (x) f n (c) + f n (c) f (c). Iz uniformne konvergencije od ( f n ) slijedi da postoji n 0 N tako da je fn0 (x) f (x) < ε 3 za sve x S i tada imamo f (x) f (c) < fn0 (x) f n0 (c) + 2ε 3. (2.) Budući da je f n0 neprekidna u c, postoji δ > 0 tako da je fn0 (x) f n0 (c) < ε za sve x S 3 za koje je x c < δ, što povlači da je f (x) f (c) < ε ako x c < δ i x S. Time smo dokazali da je f neprekidna u c, a zbog proizvoljnosti od c slijedi da je f neprekidna na S. Teorem Neka su dane funkcije f n : [a, b] R, n N. Pretpostavimo da su sve funkcije f n integrabilne na [a, b], te da niz funkcija ( f n ) konvergira uniformno prema funkciji f koja je integrabilna na intervalu [a, b]. Tada vrijedi Dokaz. Kako je b a b a f n (x)dx b f (x)dx = lim f n (x)dx. (2.2) n a b a b f (x)dx f n (x) f (x) dx a (b a) f n f i lim n f n f = 0, slijedi tvrdnja teorema.

24 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 20 Uniformna konvergencija derivabilnih funkcija, općenito ne implicira ništa o konvergenciji njihovih derivacija ili derivabilnosti njihovih limesa. To je upravo zbog toga što vrijednosti dviju funkcija mogu biti blizu jedna drugoj, dok su vrijednosti njihovih derivacija udaljene. Stoga bismo trebali postaviti jake uvjete na nizove funkcija i njihovih derivacija kako bismo dokazali da uniformna konvergencija od f n prema f povlači uniformnu konvergenciju od f n prema f. Sljedeći primjer pokazuje da limes derivacija ne mora biti jednak derivaciji limesa čak i ako niz derivabilnih funkcija konvergira uniformno i njihove derivacije konveriraju po točkama. Primjer Promotrimo niz funkcija ( f n ), f n : R R, definiranih s f n (x) = x + nx 2. (2.3) Tada niz ( f n ) konvergira uniformno prema 0 na R. Kako bismo to pokazali napišimo f n (x) = ( ) n x = ( t ) n, gdje je t = n x. n + nx 2 + t 2 Iz ( t) 2 0 slijedi 2t + t 2, odakle je Koristeći tu nejednakost dobivamo da je t + t, t R. 2 2 f n (x) 2, x R. (2.4) n Sada, za proizvoljni ε > 0, izaberemo N = /(4ε 2 ). Tada je f n (x) < ε za svaki x R ako je n > N, što dokazuje da ( f n ) konvergira uniformno prema 0 na R. Svaka funkcija f n je derivabilna i vrijedi f n(x) = nx2 ( + nx 2 ). (2.5) 2 Iz toga slijedi da niz funkcija ( f n) konvergira po točkama prema g kada n, gdje je g(x) = 0 ako je x 0 i g(x) = ako je x = 0. Konvergencija nije uniformna jer g ima prekid u 0. Medutim, korisne rezultate možemo dobiti ako postrožimo pretpostavke i zahtijevamo da derivacije konvergiraju uniformno, a ne samo po točkama. Teorem Pretpostavimo da je ( f n ) niz derivabilnih funkcija f n : (a, b) R koji konvergira po točkama prema funkciji f te neka niz ( f n) konvergira uniformno prema funkciji g za neke f, g : (a, b) R. Tada je funkcija f derivabilna na (a, b) i f = g.

25 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 2 Dokaz. Neka je c (a, b) i ε > 0 proizvoljan. Kako bismo dokazali da je f (c) = g(c), moramo procijeniti razliku kvocijenta od f u točkama od razlike kvocijenta od f n : f (x) f (c) g(c) x c f (x) f (c) f n(x) f n (c) x c x c + f n (x) f n (c) f x c n(c) + f n (c) g(c) gdje je x (a, b) i x c. Želimo da svaki pribrojnik s desne strane nejednakosti bude manji od ε/3. To je jednostavno za drugi pribrojnik (jer je f n derivabilna u c) i za treći pribrojnik (jer f n(c) g(c) kada n ). Kako bismo procijenili prvi pribrojnik, koristit ćemo teorem srednje vrijednosti. Kako je f m f n derivabilna, teorem srednje vrijednosti povlači da postoji η izmedu c i x tako da je f m (x) f m (c) f n(x) f n (c) = ( f m f n )(x) ( f m f n )(c) = f x c x c x c m(η) f n(η), odakle slijedi f m (x) f m (c) f n(x) f n (c) x c x c f m f n. Kako ( f n) konvergira uniformno, konvergencija je uniformno Cauchyjeva. Stoga, postoji N N tako da je f m f n < ε 3, m, n > N, što povlači da je f m (x) f m (c) f n(x) f n (c) x c x c < ε 3, m, n > N (2.6) Ako pustimo limes kada m te ako iskoristimo činjenicu da ( f m ) konvergira po točkama prema f, dobivamo da je f (x) f (c) f n(x) f n (c) x c x c ε 3, n > N. (2.7) Nadalje, kako ( f n) konvergira prema g, postoji N 2 N tako da je f n(c) g(c) ε < 3, n > N 2. (2.8) Uzmimo neki n > max{n, N 2 }. Derivabilnost od f n povlači da postoji δ > 0 tako da je f n (x) f n (x) f x c n(c) < ε ako je 0 < x c < δ. (2.9) 3 Iz nejednakosti (2.7), (2.8) i (2.9) slijedi f (x) f (c) g(c) x c < ε ako je 0 < x c < δ, što dokazuje da je f derivabilna u c i da je f (c) = g(c).

26 Poglavlje 3 Redovi funkcija 3. Definicija i osnovni pojmovi Neka je ( f n ) n niz funkcija definiranih na S. Red funkcija f n je uredeni par nizova funkcija (( f n ), (S n )), gdje je S n (x) = f (x) + f 2 (x) + + f n (x), x S. Funkcije S n, n N, nazivamo parcijalnim sumama. Red funkcija uobičajeno označavamo s f n (x) = f (x) + f 2 (x) + + f k (x) +. (3.) Za svaki pojedini x 0 S dobivamo pripadni red brojeva f n (x 0 ). Primjer 3... Neka je zadan niz funkcija f : 0, R, n N formulom f n (x) = ln n x, n N. Ovim nizom definiran je red funkcija f n (x) = ln n x, x 0,. (3.2) Za konkretni x dobivamo red realnih brojeva. Na primjer, za x = 2 dobivamo red f n (2) = ln n 2. (3.3) U prvom poglavlju definirali smo sumu reda realnih brojeva kao limes niza njegovih parcijalnih suma. Istu definiciju možemo primijeniti i na redove funkcija, iz čega slijedi sljedeća definicija. Definicija Neka je ( f n ) niz funkcija f n : S R i neka je (S n ) niz parcijalnih suma S n : S R. Tada red funkcija f n 22

27 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 23 (a) konvergira po točkama k funkciji S : S R, ako niz (S n ) konvergira po točkama k S na S, (b) konvergira uniformno k funkciji S na S, ako niz (S n ) konvergira uniformno k S na S. Primjer Geometrijski red ima parcijalnu sumu x n = + x + x 2 + x 3 + (3.4) S n (x) = n k=0 x k = xn+, x. (3.5) x Ako je x < tada lim n S n (x) =. Ako je x, tada (S x n(x)) n divergira. Odavde slijedi da x n = konvergira po točkama na (, ). x Kako funkcija x nije omedena na (, ), iz teorema 2.4. slijedi da konvergencija nije uniformna. No, red konvergira uniformno na [ r, r] za svaki 0 r <. Kako x bismo to pokazali uzmimo x r. Tada je S n(x) x = x n+ x rn+ r. r Kako je lim n+ n = 0, za proizvoljni ε > 0 postoji N N, ovisan samo o ε i r, tako da r 0 rn+ < ε za svaki n > N. Iz toga slijedi da je r n x k x < ε, x [ r, r], n > N, k=0 što dokazuje da red konvergira uniformno na [ r, r]. 3.2 Testovi uniformne konvergencije redova funkcija Cauchyjev test uniformne konvergencije Teorem Neka je ( f n ), f n : S R niz funkcija. Red f n konvergira uniformno na S ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji N N tako da je n f k (x) < ε, x S, n > m > N. (3.6) k=m+

28 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 24 Dokaz. Neka je S n (x) = n f k (x) = f (x) + f 2 (x) + + f n (x). k= Prema Cauchyjevom kriteriju uniformne konvergencije niz (S n ), a onda i red f n, konvergira uniformno ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji N N tako da je S n (x) S m (x) < ε, x S, n, m > N. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je n > m. Tada je S n (x) S m (x) = f m+ (x) + f m+2 (x) + + f n (x) = iz čega slijedi tvrdnja teorema. n k=m+ f k (x), (3.7) Teorem 3.2. dovodi nas odmah do sljedećeg vrlo važnog testa za uniformnu konvergenciju redova funkcija. Weierstrassov test uniformne konvergencije Teorem Neka je ( f n ), f n : S R, niz funkcija takav da za svaki n N postoji konstanta M n 0 tako da je f n (x) M n za svaki x S, pri čemu je M n <. Tada f n konvergira uniformno na S. Dokaz. Neka je ε > 0. Promatrajući red brojeva M n kao red konstantnih funkcija, prema prethodnom teoremu postoji N N tako da vrijedi n M k < ε, n > m > N. k=m+ Tada za sve n > m > N, vrijedi n f k (x) k=m+ n k=m+ f k (x) n k=m+ M k < ε, x S. (3.8) Prema teoremu slijedi da f n konvergira uniformno na S. Primjer U primjeru 3..3 proučavali smo geometrijski red x n. Ako je x r gdje je 0 r <, tada je x n r n, r n <. (3.9) Po Weierstrassovom kriteriju, gdje je M n = r n, slijedi da geometrijski red konvergira uniformno na [ r, r].

29 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 25 Primjer Neka su funkcije f n : R R definirane kao f n (x) =. Označimo x 2 +n 2 M n =. Tada n 2 M n < i f n (x) < M n, x R. Prema Weierstrassovom kriteriju red x 2 +n 2 konvergira uniformno. Kažemo da red funkcija f n konvergira apsolutno na S ako f n konvergira po točkama na S, a ako f n konvergira uniformno tada kažemo da red funkcija f n konvergira apsolutno uniformno. Pritom je f (x) = f (x), x S. Sljedeći teorem se odnosi na redove koji konvergiraju unifomno, ali možda ne i apsolutno uniformno. Dirichletov test uniformne konvergencije Teorem Neka su zadane funkcije f n, g n : S R, n N. Ako niz ( f n ) konvergira uniformno prema 0 na S, te ( f n+ f n ) konvergira apsolutno uniformno na S i ako postoji M > 0 tako da je tada red f n g n konvergira uniformno na S. g + g g n M, n, (3.0) Dokaz. Neka je G n = g + g g n i neka je parcijalna suma od f n g n dana s Supstitucijom g = G i g n = G n G n u (3.) dobivamo što možemo zapisati i kao Označimo li, H n = f g + f 2 g f n g n. (3.) H n = f G + f 2 (G 2 G ) + + f n (G n G n ), H n = ( f f 2 )G + ( f 2 f 3 )G ( f n f n )G n + f n G n. J n = ( f f 2 )G + ( f 2 f 3 )G ( f n f n )G n. (3.2) imamo H n = J n + f n G n, n. (3.3)

30 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 26 Tada je (J n ) niz parcijalnih suma reda ( f j f j+ )G j. (3.4) j= Iz (3.0) i definicije od G j imamo m [ f j (x) f j+ (x) ] m G j (x) M f j (x) f j+ (x), x S, pa je j=n j=n j=n m m ( f j f j+ )G j M f j f j+. Pretpostavimo da je ε > 0. Kako j=( f j f j+ ) konvergira apsolutno uniformno na S, tada postoji N tako da je desna strana zadnje nejednakosti manja od ε ako je m n N. Tada isto vrijedi i za lijevu stranu, pa prema Cauchyjevom kriteriju uniformne konvergencije slijedi da red u (3.4) konvergira uniformno na S. Sada trebamo još pokazati da (J n ), definiran u (3.2), konvergira prema J na S.Vraćajući se na (3.3) vidimo da je H n J = J n J + f n G n. Sada iz leme i (3.0) slijedi da je H n J J n J + f n G n J n J + M f n. Kako nizovi (J n J) i ( f n ) konvergiraju uniformno prema 0 na S, slijedi da je j=n lim H n J = 0. n Dakle, (H n ) konvergira uniformno na S. Korolar Neka su zadane funkcije f n, g n : S R, n N. Ako je f n+ (x) f n (x), x S, n, te ako niz ( f n ) konvergira uniformno prema 0 na S i vrijedi g + g g n M, n, za neku konstantu M, tada red f n g n konvergira uniformno na S. Dokaz. Kako bismo primijenili prethodni teorem, treba provjeriti da ( f n+ f n ) konvergira apsolutno uniformno. Zbog f n+ (x) f n (x), x S, n N je f n+ f n = f n f n+ i m m f n+ f n = ( f n f n+ ) = f f m+, za sve m N. Kako niz ( f n ) uniformno konvergira k 0, to ( f n+ f n ) apsolutno uniformno konvergira k f.

31 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 27 Primjer Red zadovoljava pretpostavke prethodnog korolara na (, ), gdje je ( ) n n + x 2 (3.5) f n (x) = n + x, g 2 n = ( ) n. Dakle, red konvergira uniformno na (, ). Taj rezultat ne bismo mogli dobiti pomoću Weierstrassovog kriterija, budući da je 3.3 Svojstva redova funkcija = za svaki x. n+x 2 Sljedeće rezultate dobivamo primjenom ranije proučenih svojstava niza funkcija (neprekidnost, derivabilnost i integrabilnost) na niz parcijalnih suma reda funkcija. Teorem (Neprekidnost) Ako su sve funkcije f n, n N, neprekidne na intervalu [a, b] i ako red f n konvergira uniformno prema funkciji f na [a, b], onda je f neprekidna funkcija. Dokaz. Prema pretpostavci, sve funkcije f n su neprekidne na intervalu [a, b], pa su prema tome i parcijalne sume takoder neprekidne funkcije kao konačni zbrojevi neprekidnih funkcija. Nadalje, iz pretpostavke o uniformnoj konvergenciji slijedi da ostaci reda mogu biti po volji mali (neovisno o x), ako uzmemo dovoljno veliku parcijalnu sumu. Dakle, neka je zadan ε > 0. Imamo f (x) = f 0 (x) + f (x) + + f n (x) + = S n (x) + R n (x), (3.6) f (x + h) f (x) = S n (x + h) + R n (x + h) S n (x) R n (x). Kako su S n neprekidne funkcije na segmentu [a, b], one su i uniformno neprekidne. Zato za zadani ε postoji δ(ε) > 0 takav da je S n (x + h) S n (x) < ε 3 za h < δ. (3.7) Zbog uniformne konvergencije slijedi R n (x + h) < ε 3 za h < δ i posebno R n(x) < ε 3. Prema tome, za svaki ε > 0 postoji prirodan broj n 0 tako da za svaki n > n 0 i sve x, x + h [a, b] vrijedi: to jest f (x + h) f (x) S n (x + h) S n (x) + R n (x + h) + R n (x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, što upravo povlači neprekidnost funkcije f. f (x + h) f (x) < ε, za h < δ, (3.8)

32 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 28 Teorem (Derivabilnost) Pretpostavimo da su sve funkcije f n : (a, b) R derivabilne tako da red f n konvergira po točkama prema funkciji f i red f n konvergira uniformno prema funkciji g za neke f, g : (a, b) R. Tada je funkcija f derivabilna na (a, b) i vrijedi f (x) = f n(x). (3.9) Dokaz. Definiramo s k = k f n, k N. Tada je (s k ) niz derivabilnih funkcija na (a, b) koji po točkama konvergira prema funkciji f i (s k ) konvergira uniformno prema funkciji g. Prema teoremu je funkcija f derivabilna na (a, b) i vrijedi f = g, odnosno f (x) = g(x) = lim s k (x) = lim k k k f n(x) = f n(x), x (a, b). U situaciji kao u prethodnom teoremu kažemo da red f n možemo derivirati član po član na (a, b). Primjer Red E(x) = x n n! = + x + x2 2! + x3 3! + (3.20) konvergira uniformno na svakom intervalu [ r, r] prema Weierstrassovom kriteriju, jer je x n rn, x r i n! n! rn <. Deriviranjem desne strane od (3.20) član po član dobivamo n! red x n (n )! = x n n!, (3.2) koji je isti kao i red (3.20). Dakle, red (3.2) je isto uniformno konvergentan na [ r, r] za svaki r, pa se zaista može derivirati član po član i vrijedi E (x) = E(x), x R. Rezultat nije iznenadujući jer red (3.20) definira eksponencijalnu funkciju e x. Teorem (Integrabilnost) Neka su dane funkcije f n : [a, b] R, n N. Pretpostavimo da su sve funkcije f n integrabilne na [a, b] i da red f n konvergira uniformno na [a, b] prema funkciji f koja je integrabilna na [a, b]. Tada vrijedi b a f (x)dx = b a f n (x)dx. (3.22)

33 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 29 Dokaz. Definiramo s k = k f n, k N. Tada su sve funkcije s k integrabilne na [a, b] i niz funkcija (s k ) konvergira uniformno prema funkciji f. Prema teoremu slijedi b a b b k f (x)dx = lim s k (x)dx = lim f n (x)dx k a k a k b = lim f n (x)dx = f n (x)dx. k a Kažemo da red f n možemo integrirati član po član na cijelom [a, b]. Primjer Znamo da je = x x n, < x <. Red konvergira uniformno i funkcija kojoj konvergira je integrabilna na svakom zatvorenom intervalu [a, b] (, ). Dakle, b dx b x = x n dx, (3.23) pa je Stavimo li a = 0 i b = x dobivamo a ln( a) ln( b) = ln( x) = a b n+ a n+. n + x n+, < x <. (3.24) n +

34 Poglavlje 4 Redovi potencija 4. Definicija i radijus konvergencije Redovi potencija su specijalni oblici redova funkcija. Mogli bismo reći da su to relativno jednostavni redovi jer su funkcije koje se pojavljuju u tim redovima oblika f n (x) = a n (x c) n, a n R. (4.) Definicija 4... Neka je (a n ) niz realnih brojeva i neka je c R. Red potencija oko c s koeficijentima a n je red oblika a n (x c) n. (4.2) Pogledajmo primjer reda potencija oko 0: (n!)x n = + x + 2x 2 + 6x x 4 + i jedan primjer reda potencija oko : ( ) n+ (x ) n = (x ) n 2 (x )2 + 3 (x )3 4 (x )4 +. Sljedeći teorem daje nam odgovor na pitanje o konvergenciji redova potencija, štoviše daje motivaciju za uvodenje pojma radijusa konvergencije reda potencija. Teorem Neka je a n (x c) n (4.3) 30

35 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 3 red potencija. Tada postoji 0 R tako da dani red konvergira apsolutno za x c < R i divergira za x c > R. Štoviše, ako je 0 ρ < R, tada red potencija konvergira uniformno na intervalu x c ρ i suma reda je neprekidna funkcija na x c < R. Dokaz. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je c = 0 (inače, zamijenimo x s x c). Pretpostavimo da red potencija a n x n 0 (4.4) konvergira za neki x 0 R, x 0 0. Tada njegov opći član teži u 0, pa je omeden, to jest, postoji M 0 tako da je an x n 0 M za sve n N. Ako je x < x 0, tada je a n x n = an x n 0 x n x 0 Mr n gdje je r = x x 0 <. Usporedimo li red potencija s konvergentnim redom Mr n, vidimo da je a n x n apsolutno konvergentan. Stoga, ako je red potencija konvergentan za neki x 0 R, tada on konvergira apsolutno za svaki x R takav da je x < x 0. Neka je R = sup x 0 : a n x n konvergira. (4.5) Ako je R = 0, tada red konvergira samo za x = 0. Ako je R > 0, tada red konvergira apsolutno za svaki x R, x < R, jer konvergira za neki x 0 R takav da je x < x 0 < R. Štoviše, iz definicije od R slijedi da red divergira za svaki x R gdje je x > R. Ako je R =, tada red konvergira za svaki x R. Na kraju, neka je 0 ρ R i pretpostavimo da je x ρ. Uzmimo σ > 0 tako da je ρ < σ < R. Tada a n σ n konvergira, pa postoji M > 0 takav da je a n σ n M za sve n N i stoga je a n x n = a n σ n x n σ a n σ n ρ n σ Mr n, n N, (4.6) gdje je r = ρ/σ <. Kako je Mr n <, tada Weierstrassov test uniformne konvergencije povlači da red konvergira uniformno na x ρ, pa je suma neprekidna na x ρ. Kako to vrijedi za svaki 0 ρ < R, suma je neprekidna na x < R. Sljedeća definicija sada ima smisla za svaki red potencija. Definicija Radijus konvergencije reda potencija a n (x c) n (4.7) je broj R [0, ] takav da red (4.7) konvergira za x c < R i divergira za x c > R.

36 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 32 Teorem 4..2 ne opisuje što se dogada u rubnim točkama x = c ± R. Može se dogoditi da red potencija konvergira ili divergira u tim točkama. Stoga, svaki od sljedećih intervala može biti interval konvergencije (c R, c + R), (c r, c + R], [c R, c + R), [c R, c + R]. D Alembertov kriterij daje nam jednostavan, ali koristan način za računanje radijusa konvergencije, o čemu govori sljedeći teorem, premda se ne može primijeniti na svaki red potencija. Teorem Pretpostavimo da je a n 0, n N, te da niz ( ) a n a n+ konvergira ili teži u. n Označimo a n R = lim n [0, ]. (4.8) Tada red potencija ima radijus konvergencije R. a n+ a n (x c) n Dokaz. Neka je r = lim a n+ (x c) n+ n a n (x c) n = x c lim a n+ n a n. (4.9) Iz D Alembertovog kriterija, red potencija konvergira ako 0 r <, tj. x c < R, te divergira ako je < r, tj. x c > R, iz čega slijedi tvrdnja teorema. Cauchyjev kriterij daje nam izraz za radijus konvergencije općenitog reda potencija. Teorem (Hadamard) Radijus konvergencije R reda potencija a n (x c) n dan je s R =, (4.0) /n lim sup a n pri čemu je R = 0 ako je nazivnik u (4.0) jednak, a R = ukoliko je nazivnik u (4.0) jednak 0. Dokaz. Neka je r = lim sup a n (x c) n /n = x c lim sup a n /n. Prema Cauchyjevom kriteriju, red konvergira ako je 0 r < i divergira ako je < r, tj. x c > R, iz čega slijedi tvrdnja teorema.

37 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 33 Primjer Promotrimo geometrijski red x n. (4.) Kako je c = 0 i a n = za sve n Z +, prema Hadamardovoj formuli (4.0) slijedi da je R = lim sup n an = lim sup n =. Stoga red (4.) konvergira apsolutno uniformno na intervalu, prema funkciji x, tj. vrijedi x x n =, x,. (4.2) x Kako u rubnim točkama intervala, red (4.) ne konvergira jer opći član ne teži prema 0, zaključujemo da je njegov interval konvergencije,. a Napomena Ukoliko postoji lim n+ n a n [0, + ], tada postoji lim n n an [0, + ] i vrijedi lim a n+ n a n = lim n an. n U tom slučaju je lim n a n a n+ = a lim n+ = n a n lim n n an, pa radijus konvergencije R reda potencija a n (x c) n možemo računati koristeći formulu a n R = lim n. (4.3) Kroz sljedećih nekoliko primjera proučit ćemo nekoliko redova potencija i njihove radijuse konvergencije. a n+ Primjer Za red xn je a n! n =, n 0. Zato je n! a n a n+ = n! (n+)! = (n + )! n! = n + (4.4) kada n. Dakle, radijus konvergencije je R =, odnosno red xn n! konvergira za svaki x. Ovim redom definirana je eksponencijalna funkcija exp : R R.

38 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA Promotrimo red (n!) 2 (x (2n)! )n. Tada je a n a n+ = (n!) 2 (2n)! ((n+)!) 2 (2(n+))! = (n!)2 (2n + 2)! (2n + )(2n + 2) = = 4n2 + 6n + 2 (2n)! ((n + )!) 2 (n + ) 2 n 2 + 2n + 4 kada n. Prema (4.3) radijus konvergencije reda (n!) 2 (2n)! (x )n (4.5) jednak je R = 4. Stoga red potencija (4.5) konvergira apsolutno uniformno na intervalu 3, 5. U rubnim točkama intervala 3, 5 imamo redove ( ) n (n!)2 4 n za x = 3, (4.6) (2n)! odnosno, (n!) 2 4 n (2n)! za x = 5, (4.7) koji divergiraju, jer je (n!) 2 4 n, n Z +, (2n)! pa nije zadovoljen nužan uvjet konvergencije reda. Dakle, interval konvergencije reda (4.5) je interval 3, Prema Hadamardovoj formuli radijus konvergencije R reda potencija ( 2n n 3n+2) (x ) n iznosi R = lim sup n an = lim sup 2n = 3 2. (4.8) ( 2n Stoga red potencija n 3n+2) (x ) n konvergira apsolutno uniformno na intervalu, U rubnim točkama intervala, riječ je o redovima ( 3 ( ) n 2 2n ) n za x = 3n 2 2, (4.9) odnosno, 3n+2 ( 3 2 2n ) n za x = 5 3n 2 2, (4.20) koji divergiraju budući da nije zadovoljen nužan uvjet konvergencije reda. Dakle, intreval konvergencije danog reda potencija je 2, 5 2.

39 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA Svojstva redova potencija Za početak, možemo promatrati derivabilnost redova potencija. Suma reda potencija f (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + je beskonačno derivabilna unutar intervala konvergencije i njezina derivacija f (x) = a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3 + je dobivena deriviranjem član po član. Kako bismo to dokazali, prvo ćemo pokazati da red dobiven deriviranjem polaznog reda član po član ima isti radijus konvergencije kao i polazni red potencija. Teorem Pretpostavimo da red potencija a n (x c) n (4.2) ima radijus konvergencija R. Tada red potencija ima takoder radijus konvergencije R. na n (x c) n (4.22) Dokaz. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je c = 0 i x < R. Uzmimo ρ takav da je x < ρ < R. Za r = x vrijedi r 0,. Kako bismo usporedili članove reda potencija ρ (4.22) s članovima polaznog reda, zapisat ćemo njihove apsolutne vrijednosti na sljedeći način: na n x n ( ) n n x = a n ρ n = nrn a n ρ n. (4.23) ρ ρ ρ Iz D Alembertovog kriterija slijedi da red nr n konvergira jer je (n + )r n lim n nr n Zato je niz (nr n ) n omeden s nekim M. Slijedi da je = lim( + )r = r <. n n na n x n M ρ a nρ n, n N. (4.24)

40 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 36 Red a n ρ n konvergira za ρ < R, pa iz testa usporedivanja slijedi da red na n x n konvergira apsolutno za x < ρ. Time smo pokazali da je radijus konvergencije reda (4.22) barem R. Pretpostavimo da je radijus konvergencije reda (4.22) veći od R. Tada postoji x takav da je x > R i da red na n x n konvergira. Iz na n x n x a nx n, n N slijedi da a n x n konvergira. To znači da x, x > R takav da a n x n konvergira, što je nemoguće. Slijedi da je radijus konvergencije od (4.22) jednak R. Teorem Pretpostavimo da red potencija a n (x c) n ima radijus konvergencije R > 0 i neka je f (x) = a n (x c) n, x c R, c + R. Tada je f derivabilna na x c R, c + R i vrijedi f (x) = na n (x c) n. (4.25) Dokaz. Red potencija dobiven deriviranjem član po član je konvergentan za x c R, c + R prema prethodnom teoremu. Označimo njegovu suma s g(x) = na n (x c) n. (4.26) Neka je 0 < ρ < R. Prema teoremu 4.2. redovi potencija za f i g konvergiraju uniformno za x c < ρ. Nadalje, f je derivabilna za x c < ρ i f = g. Kako to vrijedi za svaki 0 ρ < R, slijedi da je f derivabilna za x c < R i f = g, iz čega slijedi tvrdnja teorema. Teorem Red potencija f (x) = a n (x c) n, s pozitivnim radijusom konvergencije R, ima derivaciju svakog reda na cijelom području svoje konvergencije. Derivacije svakog reda dobivene su uzastopnim deriviranjem član po član, odnosno vrijedi da je f (k) (x) = n(n ) (n k + )a n (x c) n k. (4.27) n=k Radijus konvergencije tako dobivenog reda takoder je jednak R.

41 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 37 Dokaz. Tvrdnju teorema dokazujemo principom matematičke indukcije. Prema prethodnom teoremu, tvrdnja vrijedi za k =. Pretpostavimo sada da vrijedi za neki k. Promijenimo li indeks sumacije, izraz iz tvrdnje teorema možemo zapisati i kao f (k) (x) = (n + k)(n + k ) (n + )a n+k (x c) n, x c < R. (4.28) Definiramo b n = (n + k)(n + k ) (n + )a n+k, n N. Tada je f (k) (x) = b n (x c) n, x c < R. (4.29) Tako dobiveni red možemo derivirati član po član, pa dobivamo f (k+) (x) = nb n (x c) n, x c < R. (4.30) Supstitucijom b n slijedi da je f (k+) (x) = (n + k)(n + k ) (n + )na n+k (x c) n, x c < R. Promijenimo li indeks sumacije, vrijedi f (k+) (x) = n(n ) (n k)a n (x c) n k, x c < R, (4.3) n=k+ čime smo dokazali da tvrdnja teorema vrijedi i za k +, pa vrijedi za svaki k. Teorem Ako red potencija f (x) = a n (x c) n (4.32) ima radijus konvergencije R > 0, tada f ima derivacije svakog reda na x c < R i vrijedi a n = f (n) (c). (4.33) n!