NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA"

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

2 Ovaj diplomski rad obranjen je dana u sastavu: pred ispitnim povjerenstvom., predsjednik 2., član 3., član Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom. Potpisi članova povjerenstva:

3 Ovaj diplomski rad posvećujem svojim roditeljima, bratu i dečku koji su me uvijek ohrabrivali i podržavali tijekom mog obrazovanja. Na tome sam im jako zahvalna.

4 Sadržaj Sadržaj iv Uvod Nizovi i redovi realnih brojeva 2. Definicija i osnovna svojstva nizova realnih brojeva Redovi realnih brojeva Nizovi funkcija 2 2. Konvergencija po točkama Uniformna konvergencija Redovi funkcija Definicija i osnovni pojmovi Testovi uniformne konvergencije redova funkcija Svojstva redova funkcija Redovi potencija Definicija i radijus konvergencije Svojstva redova potencija Aritmetičke operacije s redovima potencija Taylorovi redovi Bibliografija 49 iv

5 Uvod Nizovi i redovi te njihova konvergencija jedno su od najvažnijih područja matematičke analize s mnogim primjenama u ostalim područjima matematike. Kada se spominju nizovi i redovi, najčešće se govori o nizovima i redovima realnih brojeva. Medutim, vrlo koristan koncept u analizi su nizovi i redovi funkcija. Upravo zbog toga, cilj ovog rada je detaljnije proučiti nizove i redove funkcija. Dakle, proučit ćemo konvergenciju te svojstva nizova i redova složenijih oblika, funkcija, čiju je definiciju 923. godine dao Edouard Jean- Baptiste. Nizovima i redovima bavili su se već i stari Grci pokušavajući riješiti neke praktične probleme kao što je izračunavanje površine kruga. Budući da do konačnog rješenja nisu mogli doći u konačno mnogo koraka u matematiku su uveli pojmove konvergencije i limesa niza. Definiciju limesa funkcija, kao i oznake lim i lim x x0, postavio je Weierstrass. Sve do razvoja derivabilnog računa nije bilo značajnijih rezultata o konvergenciji i limesu niza, a definiciju konvergencije kakvu poznajemo danas možemo zahvaliti matematičarima 9. stoljeća Gaussu, Bolzanu i posebice Cauchyju. Augustin Louis Cauchy prvi je precizno proučio pojam konvergencije odnosno limesa i tako opravdao otprije poznate koncepte derivacija, integrala, neprekidnih funkcija i redova. Ovaj rad prvenstveno se bavi nizovima i redovima funkcija te njihovim svojstvima, a naročito konvergencijom kao najvažnijim svojstvom. Kako bi teoremi i primjeri vezani uz nizove i redove funkcija bili u potpunosti razumljivi, najprije navodimo osnovne definicije i teoreme o nizovima i redovima realnih brojeva. Nakon toga slijedi poglavlje Nizovi funkcija u kojem su detaljnije, kroz nekoliko primjera, proučene dvije vrste konvergencije, konvergencija po točkama i uniformna konvergencija. Nadalje, navodimo neke važnije testove uniformne konvergencije redova funkcija kao i neka svojstva redova funkcija. Na kraju se bavimo specijalnim oblicima redova funkcija, redovima potencija. Dana je definicija te osnovni pojmovi i svojstva vezani uz radijus konvergencija, kao i svojstva i aritmetičke operacije s redovima potencija. Takoder, definirani su i Taylorovi redovi, koji omogućuju računanje vrijednosti elementarnih funkcija. Zahvaljujem se mentorici dr. sc. Ljiljani Arambašić za pomoć pri pisanju ovog diplomskog rada.

6 Poglavlje Nizovi i redovi realnih brojeva. Definicija i osnovna svojstva nizova realnih brojeva Niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Niz obično pišemo kao (a n ), gdje je a n = a(n) za n N. Kažemo da je a n n-ti član niza, n N. Umjesto (a n ) ponekad ćemo pisati (a n ) n N ili (a n ) n. Definicija... Neka je (a n ) niz u R. Kažemo da je niz (a n ): (a) rastući, ako je a n a n+ za sve n N, (b) strogo rastući, ako je a n < a n+ za sve n N, (c) padajući, ako je a n a n+ za sve n N, (d) strogo padajući, ako je a n > a n+ za sve n N, (e) monoton, ako je rastući ili padajući, (f) strogo monoton, ako je strogo rastući ili strogo padajući, (h) ograničen odozgo, ako postoji M R tako da je a n M za svaki n N, (i) ograničen odozdo, ako postoji m R tako da je a n m za sve n N, (j) ograničen, ako je ograničen odozdo i odozgo, tj. ako postoje realni brojevi m i M takvi da je m a n M za svaki n. Za niz b : N R kažemo da je podniz niza a : N R, ako postoji strogo rastući niz p u N takav da je b = a p, odnosno b n = a pn za sve n N. 2

7 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 3 Kažemo da niz (a n ) realnih brojeva konvergira ili teži prema realnom broju a ako za svaki ε > 0 postoji prirodan broj n 0 takav da za svaki n n 0 vrijedi a n a ε, a + ε. Broj a zovemo granična vrijednost ili limes niza (a n ) i pišemo a = lim n a n. (.) Prema tome, kakvu god proizvoljnu simetričnu okolinu a ε, a + ε izaberemo oko broja a, postojat će n 0 N tako da se svi članovi niza nakon a n0 nalaze u toj okolini. Dakle, svi članovi niza (a n ), osim možda konačno mnogo članova, nalazit će se u okolini a ε, a + ε. Simbolički, konvergenciju niza možemo zapisati i na sljedeći način: ( ε > 0) ( N N) ( n N) (n > N) = ( a n a < ε). Za niz (a n ) koji ima limes a R kažemo da je konvergentan. U protivnom, niz je divergentan. Na primjer, niz a n = n je konvergentan i njegov limes je, dok je niz n+ a n = ( ) n divergentan. U sljedećim tvrdnjama prisjetit ćemo se osnovnih svojstava konvergentnih nizova. Teorem..2. (a) Svaki konvergentan niz u R ima samo jednu graničnu vrijednost. (b) Svaki konvergentan niz u R je ograničen. Obrat ne vrijedi. (c) Svaki ograničen i monoton niz u R je konvergentan. (d) Svaki podniz konvergentnog niza u R i sam je konvergentan i ima istu graničnu vrijednost kao i niz. (e) Ako su (a n ) i (b n ) konvergentni nizovi, te ako postoji n 0 N tako da je a n b n za svaki n n 0 tada je lim n a n lim n b n. (f) (Teorem o sendviču) Ako su nizovi (a n ), (b n ) i (c n ) takvi da je a n c n b n za svaki n N veći od nekog n 0 N te ako vrijedi lim n a n = lim n b n = L tada je niz (c n ) konvergentan i vrijedi lim n c n = L. Uočimo da ograničenost niza nije dovoljna za konvergenciju niza. Pogledajmo, na primjer, gore spomenuti niz a n = ( ) n. Taj niz je ograničen s i, no nije konvergentan. Nadalje, monotonost nije nužna za konvergenciju niza. Na primjer, niz zadan s ( )n n konvergira k 0, ali nije monoton. Nakon što smo definirali što je to konvergentan niz, vidjet ćemo koji su nužni i dovoljni uvjeti za konvergenciju niza. Sljedeća karakterizacija je korisna jer omogućuje ispitivanje konvergencije niza i u situaciji kada ne znamo kandidata za limes. Prisjetimo se najprije definicije Cauchyjevog niza.

8 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 4 Kažemo da je niz (a n ) realnih brojeva Cauchyjev niz ako za svaki ε > 0 postoji prirodan broj n ε takav da za sve n, m N, n, m > n ε vrijedi a n a m < ε. (.2) Teorem..3. Niz realnih brojeva je konvergentan ako i samo ako je Cauchyjev. Dokaz. Neka je (a n ) konvergentan niz i a = lim n a n, to jest, ( ( ε > 0) ( n ε N) ( n N) (n > n ε ) = Tada za sve n, m > n ε vrijedi ( a n a < ε 2 a n a m a n a + a a m < ε 2 + ε 2 = ε, )). (.3) Dakle uvjet (.3) je nužan. Obratno, neka je (a n ) Cauchyjev niz. Pokažimo najprije da je taj niz ograničen. Iz (.2) za ε = slijedi da postoji n N takav da za sve n, m > n vrijedi a n a m <, odakle, za n > n imamo a n an a n + + an +. Označimo li M = max { a,..., an, + an + }, tada je a n M za sve n N. Neka je ( a pn ) konvergentan podniz od (an ) i a = lim n a pn. Pokažimo da vrijedi a = lim n a n. Uzmimo proizvoljan ε > 0. Iz konvergencije podniza ( ) a pn slijedi da postoji n ε N takav da je (( ) ( apn n > n ε = a ε )) <. 2 Budući da je niz (a n ) Cauchyjev, postoji n ε N takav da (( ) ( n, m > n ε = a n a m < ε )). 2 Ako je n ε = max { n ε, n ε} tada za n > nε, zbog p n n slijedi to jest, a = lim n a n. a n a an a pn + apn a < ε 2 + ε 2 = ε, Augustin Louis Cauchy (Pariz, 2. kolovoza Sceaux, 23. svibnja 857.), francuski matematičar. Bio je jedan od prvih koji je matematički strogo zasnovao i razvijao infinitezimalni račun.

9 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 5.2 Redovi realnih brojeva Neka je zadan niz (a n ) realnih brojeva. sljedeći način Pomoću niza (a n ) definiramo novi niz (s n ) na s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3. Općenito, n-ti član niza (s n ) definiramo kao zboj prvih n članova niza a n, odnosno s n = a + a 2 + a a n. Uredeni par nizova brojeva ((a n ), (s n )) nazivamo redom brojeva. Broj a n zovemo općim ili n-tim članom reda, dok s n nazivamo n-tom parcijalnom sumom reda. Umjesto zapisa reda kao uredenog para nizova ((a n ), (s n )), češće koristimo oznaku a n ili a + + a n + a n+ +. Primjer.2.. Navedimo nekoliko primjera: (a) Neka je dan niz a n = n prirodnih brojeva. Pripadni red je n = n +. (b) Neka je dan niz s općim članom a n = n. Pripadni red je n = n (c) Neka je dan niz s općim članom a n = ( ) n. Pripadni red je ( ) n = ( ) n +. Definirajući red brojeva a n zapravo smo članove niza (a n ) povezali znakom zbrajanja. Primijetimo da se ovdje radi o zbrajanju beskonačno mnogo članova nekog niza. Upravo zbog toga, promatramo niz parcijalnih suma (s n ) čije članove dobivamo zbrajajući prvih n članova niza. Kažemo da je red a n konvergentan ako je konvergentan niz njegovih parcijalnih suma (s n ), tj. ako postoji s = lim n s n. Ako je red konvergentan, onda broj s = lim n s n nazivamo zbrojem ili sumom reda i pišemo s = a n. (.4)

10 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 6 Za red a n kažemo da je divergentan ako je divergentan niz njegovih parcijalnih suma (s n ). Kažemo da red a n divergira prema ako je lim n s n = i pišemo a n =, dok red a n divergira prema ako je lim n s n = i pišemo a n =. Primjer.2.2. Ispitajmo konvergenciju nekoliko danih redova:. Provjerimo konvergenciju reda. n(n+2) Prikažimo opći član reda a n = kao zbroj parcijalnih razlomaka: n(n+2) Slijedi da je n (n + 2) n (n + 2) = A n + B n + 2. = A(n + 2) + Bn n(n + 2) = (A + B)n + 2A, n(n + 2) pa dobivamo da je A + B = 0 i 2A =, čije rješenje je A =, B =. Dakle, opći 2 2 član možemo zapisati kao a n = n(n + 2) = ( 2 n ). (.5) n + 2 Zbrajanjem prvih n članova niza (a n ) dobivamo s n = ( n + ) = 3 n (n + ) 2(n + 2). Sada je ( ) 3 lim s n = lim n n 4 2(n + ) = 3 2(n + 2) 4 i zaključujemo da red konvergira i da je = 3. n(n+2) 4 2. Za red ( ) n vrijedi 0, ako je n paran, s n =, ako je n neparan. (.6) Budući da je niz (s n ) parcijalnih suma divergentan, slijedi da je i red ( ) n divergentan. Navedimo jedan jednostavni kriterij pomoću kojeg možemo utvrditi da neki red ne konvergira.

11 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 7 Teorem.2.3. Nužan uvjet konvergencije reda a n je lim n a n = 0. Dokaz. Neka je a n konvergentan i neka je s njegova suma, te (s n ) pripadni niz parcijalnih suma. Tada je lim n s n = s i, takoder, lim n s n = s. Kako je a n = s n s n, tada je lim a n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = s s = 0. n n n n Prethodni uvjet nije i dovoljan za konvergenciju reda, to jest, ako za neki red vrijedi lim n a n = 0, to još uvijek ne znači da je on konvergentan. Sljedeći teorem upravo nam daje jedan takav primjer. Teorem.2.4. Harmonijski red n divergira. Dokaz. Promotrimo parcijalne sume s 2 k, k N. Vrijedi ( ) ( s 2 k = ) ( ) 8 ( ) ( k ) 2 ( ) ( k > ) ( ) 8 ( ) ( ) k 2 k = = + k 2. Prema tome, s 2 k > + k 2 za svaki k N, pa harmonijski red divergira. = 0. Pri- Očito, harmonijski niz zadovoljava nužan uvjet konvergencije, tj. lim n n sjetimo se nekoliko poznatih redova.. Geometrijski red je red a n čiji članovi čine geometrijski niz (a n ), to jest, takav da postoji q R \ {0} tako da je a n+ = a n q za svaki n N. Proučimo konvergenciju geometrijskog reda. Suma prvih n članova geometrijskog niza (a n ) iznosi q a n, ako je q ; q s n = na, ako je q =.

12 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 8 Kako je lim n q n = 0 za q <, to je lim s q n n = lim a n n q = a q. (.7) Za q > i za q niz (q n ) je divergentan, pa je stoga i (s n ) divergentan. Za q = vrijedi lim n s n = lim n na što je jednako ili (ovisno o a n ), pa je i u tom slučaju geometrijski red a n divergentan. 2. Poopćeni harmonijski red je red oblika n p, pri čemu je p R. U slučaju p = dobivamo harmonijski red. Pokazuje se da poopćeni harmonijski red konvergira kada je p >, a divergira za p. U daljnjem tekstu navest ćemo nekoliko kriterija pomoću kojih možemo ispitati konvergenciju redova s pozitivnim članovima. Pritom, za red a n kažemo da je red s pozitivnim članovima ako je a n 0 za svaki n N. Teorem.2.5. (Kriterij usporedivanja redova) Neka su a n i b n redovi s pozitivnim članovima, te neka postoji realan broj c > 0 tako da je a n cb n za svaki n N. Tada vrijedi:. Ako red b n konvergira, onda konvergira i red a n te vrijedi a n c b n. 2. Ako red a n divergira, onda divergira i red b n. Teorem.2.6. Neka su a n i b n redovi sa strogo pozitivnim članovima i neka a postoji lim n n b n 0. Tada ili oba reda konvergiraju ili oba divergiraju. Teorem.2.7. (Leibnizov kriterij) Neka je (a n ) niz pozitivnih realnih brojeva takvih da (a) postoji m N takav da je a n+ < a n za sve n m, (b) lim n a n = 0. Tada red ( ) n a n konvergira. Teorem.2.8. (D Alembertov kriterij). Neka je a n red sa strogo pozitivnim članovima, te neka je a n+ lim = q. (.8) n a n. Ako je q <, red a n je konvergentan.

13 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 9 2. Ako je q >, red a n je divergentan. Teorem.2.9. (Cauchyjev kriterij) Neka je a n red sa strogo pozitivnim članovima, te neka je lim n. Ako je q <, red a n je konvergentan. 2. Ako je q >, red a n je divergentan. n an = q. (.9) Teorem.2.0. (Raabeov kriterij) Neka je a n red sa strogo pozitivnim članovima, te neka je ( ) lim n an = q. (.0) n a n+. Ako je q >, red a n je konvergentan. 2. Ako je q <, red a n je divergentan. Primjer.2.. Ispitajmo konvergenciju sljedećih redova uz pomoć prethodno navedenih kriterija.. Iz primjera.2.2 () znamo da je red konvergentan i da njegova suma n(n+2) iznosi 3. Sada ćemo vidjeti da se konvergencija ovog reda može ispitati usporedujući 4 ga s poopćenim harmonijskim redom. Opći član danog reda je a n =. Za velike vrijednosti broja n, broj n + 2 se n(n+2) ponaša slično kao i broj n. Stoga za velike n-ove vrijedi n(n + 2) n n = n. 2 Dakle, konvergenciju danog reda mogli bismo utvrditi usporedujući ga s poopćenim harmonijskim redom za koji znamo da konvergira. Opći član ovog reda je n 2 b n =. Uočimo da je n 2 a n = n(n + 2) < n 2 = b n, n N, (.) iz čega, zbog konvergencije reda b n, po teoremu o usporedivanju redova, slijedi da je dani red konvergentan. n(n+2)

14 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA 0 2. Za red n3 2 n računamo a n+ lim n a n = lim n (n+) n (n + ) 3 n+ = lim n 3 n n 3 2 n+ 2 n = 2 lim n ( + n )3 = 2 <. Prema tome, red konvergira prema D Alembertovom kriteriju. Do istog rezultata dolazimo primjenom Cauchyjevog kriterija. Zaista, lim n n n an = lim n n 3 2 n = lim n pa red konvergira i prema Cauchyjevom kriteriju. ( n n) 3 2 = 2 <, (.2) Prethodni kriteriji su se odnosili na redove s pozitivnim članovima. Zbog pozitivnosti njihovih članova, bitno je naglasiti da je niz parcijalnih suma redova s pozitivnim članovima rastući niz. Za njihovu konvergenciju dovoljno je pokazati da je taj niz omeden. No, ako promatramo niz čiji svi članovi nisu pozitivni, situacija je složenija. Pretpostavimo da dani red ima beskonačno mnogo pozitivnih i beskonačno mnogo negativnih članova. Uz svaki takav red povezujemo red čiji su članovi jednaki apsolutnim vrijednostima članova zadanog niza. Dakle, zadanom redu a n pridružen je red apsolutnih vrijednosti a n. Želimo ispitati odnos konvergencije tih dvaju redova. Ako red a n konvergira, tada kažemo da red a n apsolutno konvergira. Primjer takvog red je red jer je ( ) n 2 = n ( )n = 2 n 2 n = 2 = 2. Teorem.2.2. Ako red a n konvergira, tada red a n konvergira. Dokaz. Neka je s k k-ta parcijalna suma reda a n. Prema nejednakosti trokuta, za svaki k N vrijedi k k k a n s k = a n a n. (.3) Kako ( k a n ) konvergira po pretpostavci, prema teoremu o sendviču slijedi da i (s k) k k konvergira.

15 POGLAVLJE. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA Obrat prethodnog teorema ne vrijedi. Na primjer, ( ) n konvergira, ali n divergira. Ako red n a n konvergira, ali red a n divergira, tada kažemo da red a n uvjetno konvergira.

16 Poglavlje 2 Nizovi funkcija Osim nizova realnih brojeva koje smo definirali u prethodnom poglavlju, možemo promatrati i nizove funkcija. U ovom slučaju moći ćemo promatrati nekoliko vrsta konvergencije, a to su konvergencija po točkama i uniformna konvergencija. Neka je S R. Označimo s R S skup svih funkcija iz S u R. Niz funkcija je svaka funkcija f : N R S pri čemu je f (n) = f n : S R. Funkcija f n je n-ti član niza. Niz funkcija označavamo s ( f n ) ili f, f 2, f 3,..., f n, Konvergencija po točkama Konvergencija po točkama (koja se često naziva i obična konvergencija) definira konvergenciju funkcija u smislu konvergencije funkcijskih vrijednosti u svakoj pojedinoj točki danog skupa. Neka je S R. Ako je ( f n ) niz funkcija na S i ako niz brojeva ( f n (x)) konvergira za svaki x iz nekog podskupa A od S, tada kažemo da niz funkcija ( f n ) konvergira po točkama (ili obično) na A prema funkciji f definiranoj kao f (x) = lim n f n (x), x A. (2.) Primjer 2... Na sljedećoj slici promotrimo grafove funkcija f n (x) = x n e nx, x 0, n. 2

17 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 3 Standardnom provjerom se pokaže da je f n (x) e n za svaki x 0 odakle je lim n f n (x) = 0 za svaki x 0. U tom je slučaju funkcija kojoj niz funkcija konvergira po točkama jednaka nuli na [0,. Primjer Ispitajmo konvergenciju sljedećih nekoliko nizova funkcija:. Funkcije f n (x) = ( nx ) n 2 n+, n definiraju niz na D = (, ]. Lako se vidi da je, ako je x < 0, lim f n(x) =, ako je x = 0, n 0, ako je 0 < x. Stoga, ( f n ) konvergira po točkama na S = [0, ] prema funkciji definiranoj s, ako je x = 0, f (x) = 0, ako je 0 < x. 2. Neka je ( f n ) niz funkcija na R definiranih s f n (x) = nx. Tada je lim n f n (x) = lim n nx = za svaki x > 0, pa ovaj niz ne konvergira. 3. Neka je ( f n ) niz funkcija na R definiranih s f n (x) = x. Ovaj niz konvergira po točkama n x prema nulfunkciji na R jer je lim n f n (x) = lim n = 0 za svaki x R. n Iz sljedećeg primjera zaključujemo da konvergencija po točkama ne čuva neprekidnost. Primjer Niz funkcija definiranih s f n (x) = x 2n konvergira po točkama funkciji f : [, ] R na [, ], gdje je, ako je x = ili x =, f (x) = 0, inače. Pogledajmo sljedeću sliku.

18 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 4 Kako bismo vidjeli da je to doista tako, uzmimo najprije x (, ). Tada je 0 x 2 <. Budući da je x 2n 0 = ( x 2 ) n 0 kada n, stoga je limn f n (x) = 0. Kada je x = ili x =, tada je x 2n = za sve n i lim f n (x) =. Očito su sve funkcije f n neprekidne, dok f ima prekide u i. U sljedećem primjeru pokažimo da konvergencija po točkama ne čuva omedenost. Primjer Neka je f n : (0, ) R funkcija definirana s f n (x) = vrijedi lim f n(x) = lim = n n x + x. n n. Tada za x 0 nx+ Dakle, niz ( f n ) konvergira po točkama prema funkciji f : (0, ) R definiranoj s f (x) = x. Budući da je f n (x) < n za svaki x (0, ), to je svaka funkcija f n omedena na (0, ), no funkcija f nije. Sljedeća napomena daje nam alternativnu definiciju konvergencije niza funkcija po točkama, a slijedi direktno iz definicije konvergencije nizova realnih brojeva. Napomena Neka su f n : S R, n N, i f : S R funkcije. Tada niz ( f n ) konvergira po točkama prema funkciji f ako i samo ako za svaki x S i svaki ε > 0 postoji N N tako da je f n (x) f (x) < ε, n N. (2.2) 2.2 Uniformna konvergencija Definicija Neka su f n : S R, n N, i f : S R funkcije. Kažemo da niz funkcija ( f n ) konvergira uniformno prema funkciji f ako za svaki ε > 0 postoji N N tako da je f n (x) f (x) < ε, x S, n N. (2.3) Sljedeća slika geometrijski interpretira izraz f n (x) f (x) < ε na segmentu [a, b].

19 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 5 Razlika izmedu konvergencije po točkama i uniformne konvergencije je u tome što kod konvergencije po točkama konvergencija funkcije f n prema f može varirati po brzini u svakoj od točaka skupa S. Kod uniformne konvergencije je brzina približno jednaka u svim točkama skupa S. Navedimo sljedeću očitu tvrdnju. Propozicija Ako niz funkcija ( f n ) konvergira uniformno prema funkciji f, onda konvergira i po točkama prema f. Obrat ne vrijedi. Primjer Pogledajmo funkcije zadane s f n (x) = x 2n,x [, ]. U primjeru vidjeli smo da niz funkcija ( f n ) konvergira po točkama na [, ]. Pokažimo da ovaj niz ne konvergira uniformno. Pretpostavimo da niz ( f n ) konvergira uniformno. Kako ( f n ) konvergira po točkama prema nulfunkciji, to je i f, uniformni limes od f n, jednak nulfunkciji. Tada za ε = 3 postoji N N takav da je x 2n = x 2n 0 < za sve x (, ) i sve n > N. Posebno, za 3 x n = 2n, n > N vrijedi ( ) 2n <, n > N. 2n 3 ( Kako je lim n 2n 2n) = e, slijedi <, što je kontradikcija. e 3 Za omedene funkcije koristiti ćemo malo apstraktniji način kako bismo definirali uniformnu konvergenciju. Za takve funkcije uvodimo pojam uniformne norme. Neka je f : S R omedena funkcija. Uniformna norma od f se definira kao f = sup { f (x) : x S }.

20 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 6 Lema Ako su g, h : S R tada vrijedi Dokaz. Po definiciji uniformne norme slijedi Slično, g + h g + h i gh g h. (2.4) g + h = sup { g(x) + h(x) : x S } sup { g(x) + h(x) : x S } sup { g(x) : x S } + sup { h(x) : x S } = g + h. gh = sup { g(x)h(x) : x S } sup { g(x) h(x) : x S } sup { g(x) : x S } sup { h(x) : x S } = g h. Definiciju 2.2. sada možemo iskazati i u terminima uniformne norme: niz omedenih funkcija f n : S R konvergira uniformno prema funkciji f : S R ako je lim f n f = 0. (2.5) n Drugim riječima, ( f n ) konvergira uniformno prema f na skupu S ako za svaki ε > 0 postoji broj N N tako da je f n f < ε, n N. (2.6) Primjer Neka je f n : [0, ] R definirana s f n (x) = konvergira uniformno prema f (x) = x. Zaista, nx+sin nx2 n. Tvrdimo da ( f n ) f n f = sup { f n (x) f (x) : x [0, ]} { nx + sin nx 2 } = sup x n : x [0, ] { sin nx 2 } = sup n : x [0, ] { } sup : x [0, ] n = n

21 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 7 Budući da je lim n n = 0, slijedi lim n f n f = 0. Primjer Niz funkcija definiranih s f n (x) = x n e nx, n konvergira uniformno prema f = 0 na [0,. Kao što smo vidjeli u primjeru 2.. imamo f n f = f n = e n, pa je f n f < ε ako je n > log ε. Za takve vrijednosti n, graf od y = f n (x), 0 x <, leži u pruzi ε y ε, x 0 što prikazuje i sljedeća slika. Sljedeća definicija i teorem omogućuju nam da ispitamo uniformnu konvergenciju bez da odredujemo limes funkcije, analogno kao što smo imali kod Cauchyjevog kriterija konvergencije nizova realnih brojeva. Definicija Niz funkcija ( f n ), f n : S R, je uniformno Cauchyjev na S ako za svaki ε > 0 postoji N N tako da je f m (x) f n (x) < ε, x S, m, n > N. (2.7) Teorem Niz funkcija ( f n ), f n : S R, konvergira uniformno na S ako i samo ako je taj niz uniformno Cauchyjev na S. Dokaz. Pretpostavimo da ( f n ) konvergira uniformno prema f na S. Za ε > 0 postoji N N tako da je f n (x) f (x) < ε, x S, n > N. 2 Ako je m, n > N tada za svaki x S vrijedi f m (x) f n (x) f m (x) f (x) + f (x) f n (x) < ε 2 + ε 2 = ε, (2.8) iz čega slijedi da je ( f n ) uniformno Cauchyjev. Obrnuto, pretpostavimo da je ( f n ) uniformno Cauchyjev niz. Tada je niz realnih brojeva ( f n (x)) Cauchyjev za svaki x R, pa je zato i konvergentan.

22 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 8 Definiramo f : S R s f (x) = lim n f n (x). Tada ( f n ) konvergira po točkama prema f. Kako bismo dokazali da ( f n ) konvergira uniformno prema f, uzmimo ε > 0. Kako je ( f n ) uniformno Cauchyjev možemo uzeti N N tako da je f m (x) f n (x) < ε, x S, m, n > N. 2 Neka je n > N. Tada za svaki m > N i sve x S vrijedi f n (x) f (x) f n (x) f m (x) + f m (x) f (x) < ε 2 + f m(x) f (x). Budući da niz ( f m (x)) konvergira prema f (x), za svaki x postoji neki m x > N takav da je Sada za sve n > N vrijedi f mx (x) f (x) < ε 2. f n (x) f (x) < ε 2 + fmx (x) f (x) < ε. (2.9) Zbog proizvoljnosti od x S slijedi da ( f n ) konvergira uniformno prema f. Sada ćemo pokazati da uniformna konvergencija niza funkcija, za razliku od konvergencije po točkama, čuva neprekidnost i omedenost. Takoder, vidjet ćemo što vrijedi za svojstva integrabilnosti i derivabilnosti. Teorem Pretpostavimo da je f n : S R, n N, niz omedenih funkcija na S takvih da niz ( f n ) konvergira uniformno prema funkciji f na S. Tada je funkcija f : S R omedena na S. Dokaz. Neka je ε =. Budući da ( f n ) uniformno konvergira k f na S, postoji N N tako da je f n (x) f (x) <, x S, n > N. Uzmimo neki n > N. Tada, budući da je f n omedena, postoji konstanta M n 0 tako da je f n (x) M n, x S. Iz toga slijedi f (x) f (x) f n (x) + f n (x) < + M n, x S, (2.0) što znači da je i f omedena na S. Prethodni rezultat možemo koristiti i ovako: ako niz omedenih funkcija konvergira po točkama k neomedenoj funkciji, tada taj niz ne konvergira uniformno.

23 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 9 Primjer Niz funkcija f n : (0, ) R iz primjera 2..3 definiran s f n (x) = n nx+ ne konvergira uniformno na (0, ). Svaka funkcija f n je omedena na (0, ), ali funkcija f (x) =, kojoj niz funkcija konvergira po točkama, nije omedena. x No, niz ( f n ) konvergira uniformno prema f na svakom intervalu [a, ) gdje je 0 < a <. Zaista, za sve n N vrijedi f n (x) f (x) = n nx + x = x(nx + ) < nx 2 na. 2 Sada, za proizvoljan ε > 0 izaberemo N = a 2 ε i vrijedi f n(x) f (x) < ε za svaki x [a, ) ako je n > N, što dokazuje da niz ( f n ) konvergira uniformno prema f na [a, ). Očuvanje neprekidnosti jedno je od bitnih svojstava uniformne konvergencije, o čemu govori sljedeći teorem. Teorem Ako niz neprekidnih funkcija f n : S R, n N, konvergira uniformno na S R prema f : S R, tada je i f neprekidna funkcija na S. Dokaz. Uzmimo c S i ε > 0. Tada za svaki n N vrijedi f (x) f (c) f (x) f n (x) + f n (x) f n (c) + f n (c) f (c). Iz uniformne konvergencije od ( f n ) slijedi da postoji n 0 N tako da je fn0 (x) f (x) < ε 3 za sve x S i tada imamo f (x) f (c) < fn0 (x) f n0 (c) + 2ε 3. (2.) Budući da je f n0 neprekidna u c, postoji δ > 0 tako da je fn0 (x) f n0 (c) < ε za sve x S 3 za koje je x c < δ, što povlači da je f (x) f (c) < ε ako x c < δ i x S. Time smo dokazali da je f neprekidna u c, a zbog proizvoljnosti od c slijedi da je f neprekidna na S. Teorem Neka su dane funkcije f n : [a, b] R, n N. Pretpostavimo da su sve funkcije f n integrabilne na [a, b], te da niz funkcija ( f n ) konvergira uniformno prema funkciji f koja je integrabilna na intervalu [a, b]. Tada vrijedi Dokaz. Kako je b a b a f n (x)dx b f (x)dx = lim f n (x)dx. (2.2) n a b a b f (x)dx f n (x) f (x) dx a (b a) f n f i lim n f n f = 0, slijedi tvrdnja teorema.

24 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 20 Uniformna konvergencija derivabilnih funkcija, općenito ne implicira ništa o konvergenciji njihovih derivacija ili derivabilnosti njihovih limesa. To je upravo zbog toga što vrijednosti dviju funkcija mogu biti blizu jedna drugoj, dok su vrijednosti njihovih derivacija udaljene. Stoga bismo trebali postaviti jake uvjete na nizove funkcija i njihovih derivacija kako bismo dokazali da uniformna konvergencija od f n prema f povlači uniformnu konvergenciju od f n prema f. Sljedeći primjer pokazuje da limes derivacija ne mora biti jednak derivaciji limesa čak i ako niz derivabilnih funkcija konvergira uniformno i njihove derivacije konveriraju po točkama. Primjer Promotrimo niz funkcija ( f n ), f n : R R, definiranih s f n (x) = x + nx 2. (2.3) Tada niz ( f n ) konvergira uniformno prema 0 na R. Kako bismo to pokazali napišimo f n (x) = ( ) n x = ( t ) n, gdje je t = n x. n + nx 2 + t 2 Iz ( t) 2 0 slijedi 2t + t 2, odakle je Koristeći tu nejednakost dobivamo da je t + t, t R. 2 2 f n (x) 2, x R. (2.4) n Sada, za proizvoljni ε > 0, izaberemo N = /(4ε 2 ). Tada je f n (x) < ε za svaki x R ako je n > N, što dokazuje da ( f n ) konvergira uniformno prema 0 na R. Svaka funkcija f n je derivabilna i vrijedi f n(x) = nx2 ( + nx 2 ). (2.5) 2 Iz toga slijedi da niz funkcija ( f n) konvergira po točkama prema g kada n, gdje je g(x) = 0 ako je x 0 i g(x) = ako je x = 0. Konvergencija nije uniformna jer g ima prekid u 0. Medutim, korisne rezultate možemo dobiti ako postrožimo pretpostavke i zahtijevamo da derivacije konvergiraju uniformno, a ne samo po točkama. Teorem Pretpostavimo da je ( f n ) niz derivabilnih funkcija f n : (a, b) R koji konvergira po točkama prema funkciji f te neka niz ( f n) konvergira uniformno prema funkciji g za neke f, g : (a, b) R. Tada je funkcija f derivabilna na (a, b) i f = g.

25 POGLAVLJE 2. NIZOVI FUNKCIJA 2 Dokaz. Neka je c (a, b) i ε > 0 proizvoljan. Kako bismo dokazali da je f (c) = g(c), moramo procijeniti razliku kvocijenta od f u točkama od razlike kvocijenta od f n : f (x) f (c) g(c) x c f (x) f (c) f n(x) f n (c) x c x c + f n (x) f n (c) f x c n(c) + f n (c) g(c) gdje je x (a, b) i x c. Želimo da svaki pribrojnik s desne strane nejednakosti bude manji od ε/3. To je jednostavno za drugi pribrojnik (jer je f n derivabilna u c) i za treći pribrojnik (jer f n(c) g(c) kada n ). Kako bismo procijenili prvi pribrojnik, koristit ćemo teorem srednje vrijednosti. Kako je f m f n derivabilna, teorem srednje vrijednosti povlači da postoji η izmedu c i x tako da je f m (x) f m (c) f n(x) f n (c) = ( f m f n )(x) ( f m f n )(c) = f x c x c x c m(η) f n(η), odakle slijedi f m (x) f m (c) f n(x) f n (c) x c x c f m f n. Kako ( f n) konvergira uniformno, konvergencija je uniformno Cauchyjeva. Stoga, postoji N N tako da je f m f n < ε 3, m, n > N, što povlači da je f m (x) f m (c) f n(x) f n (c) x c x c < ε 3, m, n > N (2.6) Ako pustimo limes kada m te ako iskoristimo činjenicu da ( f m ) konvergira po točkama prema f, dobivamo da je f (x) f (c) f n(x) f n (c) x c x c ε 3, n > N. (2.7) Nadalje, kako ( f n) konvergira prema g, postoji N 2 N tako da je f n(c) g(c) ε < 3, n > N 2. (2.8) Uzmimo neki n > max{n, N 2 }. Derivabilnost od f n povlači da postoji δ > 0 tako da je f n (x) f n (x) f x c n(c) < ε ako je 0 < x c < δ. (2.9) 3 Iz nejednakosti (2.7), (2.8) i (2.9) slijedi f (x) f (c) g(c) x c < ε ako je 0 < x c < δ, što dokazuje da je f derivabilna u c i da je f (c) = g(c).

26 Poglavlje 3 Redovi funkcija 3. Definicija i osnovni pojmovi Neka je ( f n ) n niz funkcija definiranih na S. Red funkcija f n je uredeni par nizova funkcija (( f n ), (S n )), gdje je S n (x) = f (x) + f 2 (x) + + f n (x), x S. Funkcije S n, n N, nazivamo parcijalnim sumama. Red funkcija uobičajeno označavamo s f n (x) = f (x) + f 2 (x) + + f k (x) +. (3.) Za svaki pojedini x 0 S dobivamo pripadni red brojeva f n (x 0 ). Primjer 3... Neka je zadan niz funkcija f : 0, R, n N formulom f n (x) = ln n x, n N. Ovim nizom definiran je red funkcija f n (x) = ln n x, x 0,. (3.2) Za konkretni x dobivamo red realnih brojeva. Na primjer, za x = 2 dobivamo red f n (2) = ln n 2. (3.3) U prvom poglavlju definirali smo sumu reda realnih brojeva kao limes niza njegovih parcijalnih suma. Istu definiciju možemo primijeniti i na redove funkcija, iz čega slijedi sljedeća definicija. Definicija Neka je ( f n ) niz funkcija f n : S R i neka je (S n ) niz parcijalnih suma S n : S R. Tada red funkcija f n 22

27 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 23 (a) konvergira po točkama k funkciji S : S R, ako niz (S n ) konvergira po točkama k S na S, (b) konvergira uniformno k funkciji S na S, ako niz (S n ) konvergira uniformno k S na S. Primjer Geometrijski red ima parcijalnu sumu x n = + x + x 2 + x 3 + (3.4) S n (x) = n k=0 x k = xn+, x. (3.5) x Ako je x < tada lim n S n (x) =. Ako je x, tada (S x n(x)) n divergira. Odavde slijedi da x n = konvergira po točkama na (, ). x Kako funkcija x nije omedena na (, ), iz teorema 2.4. slijedi da konvergencija nije uniformna. No, red konvergira uniformno na [ r, r] za svaki 0 r <. Kako x bismo to pokazali uzmimo x r. Tada je S n(x) x = x n+ x rn+ r. r Kako je lim n+ n = 0, za proizvoljni ε > 0 postoji N N, ovisan samo o ε i r, tako da r 0 rn+ < ε za svaki n > N. Iz toga slijedi da je r n x k x < ε, x [ r, r], n > N, k=0 što dokazuje da red konvergira uniformno na [ r, r]. 3.2 Testovi uniformne konvergencije redova funkcija Cauchyjev test uniformne konvergencije Teorem Neka je ( f n ), f n : S R niz funkcija. Red f n konvergira uniformno na S ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji N N tako da je n f k (x) < ε, x S, n > m > N. (3.6) k=m+

28 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 24 Dokaz. Neka je S n (x) = n f k (x) = f (x) + f 2 (x) + + f n (x). k= Prema Cauchyjevom kriteriju uniformne konvergencije niz (S n ), a onda i red f n, konvergira uniformno ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji N N tako da je S n (x) S m (x) < ε, x S, n, m > N. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je n > m. Tada je S n (x) S m (x) = f m+ (x) + f m+2 (x) + + f n (x) = iz čega slijedi tvrdnja teorema. n k=m+ f k (x), (3.7) Teorem 3.2. dovodi nas odmah do sljedećeg vrlo važnog testa za uniformnu konvergenciju redova funkcija. Weierstrassov test uniformne konvergencije Teorem Neka je ( f n ), f n : S R, niz funkcija takav da za svaki n N postoji konstanta M n 0 tako da je f n (x) M n za svaki x S, pri čemu je M n <. Tada f n konvergira uniformno na S. Dokaz. Neka je ε > 0. Promatrajući red brojeva M n kao red konstantnih funkcija, prema prethodnom teoremu postoji N N tako da vrijedi n M k < ε, n > m > N. k=m+ Tada za sve n > m > N, vrijedi n f k (x) k=m+ n k=m+ f k (x) n k=m+ M k < ε, x S. (3.8) Prema teoremu slijedi da f n konvergira uniformno na S. Primjer U primjeru 3..3 proučavali smo geometrijski red x n. Ako je x r gdje je 0 r <, tada je x n r n, r n <. (3.9) Po Weierstrassovom kriteriju, gdje je M n = r n, slijedi da geometrijski red konvergira uniformno na [ r, r].

29 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 25 Primjer Neka su funkcije f n : R R definirane kao f n (x) =. Označimo x 2 +n 2 M n =. Tada n 2 M n < i f n (x) < M n, x R. Prema Weierstrassovom kriteriju red x 2 +n 2 konvergira uniformno. Kažemo da red funkcija f n konvergira apsolutno na S ako f n konvergira po točkama na S, a ako f n konvergira uniformno tada kažemo da red funkcija f n konvergira apsolutno uniformno. Pritom je f (x) = f (x), x S. Sljedeći teorem se odnosi na redove koji konvergiraju unifomno, ali možda ne i apsolutno uniformno. Dirichletov test uniformne konvergencije Teorem Neka su zadane funkcije f n, g n : S R, n N. Ako niz ( f n ) konvergira uniformno prema 0 na S, te ( f n+ f n ) konvergira apsolutno uniformno na S i ako postoji M > 0 tako da je tada red f n g n konvergira uniformno na S. g + g g n M, n, (3.0) Dokaz. Neka je G n = g + g g n i neka je parcijalna suma od f n g n dana s Supstitucijom g = G i g n = G n G n u (3.) dobivamo što možemo zapisati i kao Označimo li, H n = f g + f 2 g f n g n. (3.) H n = f G + f 2 (G 2 G ) + + f n (G n G n ), H n = ( f f 2 )G + ( f 2 f 3 )G ( f n f n )G n + f n G n. J n = ( f f 2 )G + ( f 2 f 3 )G ( f n f n )G n. (3.2) imamo H n = J n + f n G n, n. (3.3)

30 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 26 Tada je (J n ) niz parcijalnih suma reda ( f j f j+ )G j. (3.4) j= Iz (3.0) i definicije od G j imamo m [ f j (x) f j+ (x) ] m G j (x) M f j (x) f j+ (x), x S, pa je j=n j=n j=n m m ( f j f j+ )G j M f j f j+. Pretpostavimo da je ε > 0. Kako j=( f j f j+ ) konvergira apsolutno uniformno na S, tada postoji N tako da je desna strana zadnje nejednakosti manja od ε ako je m n N. Tada isto vrijedi i za lijevu stranu, pa prema Cauchyjevom kriteriju uniformne konvergencije slijedi da red u (3.4) konvergira uniformno na S. Sada trebamo još pokazati da (J n ), definiran u (3.2), konvergira prema J na S.Vraćajući se na (3.3) vidimo da je H n J = J n J + f n G n. Sada iz leme i (3.0) slijedi da je H n J J n J + f n G n J n J + M f n. Kako nizovi (J n J) i ( f n ) konvergiraju uniformno prema 0 na S, slijedi da je j=n lim H n J = 0. n Dakle, (H n ) konvergira uniformno na S. Korolar Neka su zadane funkcije f n, g n : S R, n N. Ako je f n+ (x) f n (x), x S, n, te ako niz ( f n ) konvergira uniformno prema 0 na S i vrijedi g + g g n M, n, za neku konstantu M, tada red f n g n konvergira uniformno na S. Dokaz. Kako bismo primijenili prethodni teorem, treba provjeriti da ( f n+ f n ) konvergira apsolutno uniformno. Zbog f n+ (x) f n (x), x S, n N je f n+ f n = f n f n+ i m m f n+ f n = ( f n f n+ ) = f f m+, za sve m N. Kako niz ( f n ) uniformno konvergira k 0, to ( f n+ f n ) apsolutno uniformno konvergira k f.

31 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 27 Primjer Red zadovoljava pretpostavke prethodnog korolara na (, ), gdje je ( ) n n + x 2 (3.5) f n (x) = n + x, g 2 n = ( ) n. Dakle, red konvergira uniformno na (, ). Taj rezultat ne bismo mogli dobiti pomoću Weierstrassovog kriterija, budući da je 3.3 Svojstva redova funkcija = za svaki x. n+x 2 Sljedeće rezultate dobivamo primjenom ranije proučenih svojstava niza funkcija (neprekidnost, derivabilnost i integrabilnost) na niz parcijalnih suma reda funkcija. Teorem (Neprekidnost) Ako su sve funkcije f n, n N, neprekidne na intervalu [a, b] i ako red f n konvergira uniformno prema funkciji f na [a, b], onda je f neprekidna funkcija. Dokaz. Prema pretpostavci, sve funkcije f n su neprekidne na intervalu [a, b], pa su prema tome i parcijalne sume takoder neprekidne funkcije kao konačni zbrojevi neprekidnih funkcija. Nadalje, iz pretpostavke o uniformnoj konvergenciji slijedi da ostaci reda mogu biti po volji mali (neovisno o x), ako uzmemo dovoljno veliku parcijalnu sumu. Dakle, neka je zadan ε > 0. Imamo f (x) = f 0 (x) + f (x) + + f n (x) + = S n (x) + R n (x), (3.6) f (x + h) f (x) = S n (x + h) + R n (x + h) S n (x) R n (x). Kako su S n neprekidne funkcije na segmentu [a, b], one su i uniformno neprekidne. Zato za zadani ε postoji δ(ε) > 0 takav da je S n (x + h) S n (x) < ε 3 za h < δ. (3.7) Zbog uniformne konvergencije slijedi R n (x + h) < ε 3 za h < δ i posebno R n(x) < ε 3. Prema tome, za svaki ε > 0 postoji prirodan broj n 0 tako da za svaki n > n 0 i sve x, x + h [a, b] vrijedi: to jest f (x + h) f (x) S n (x + h) S n (x) + R n (x + h) + R n (x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, što upravo povlači neprekidnost funkcije f. f (x + h) f (x) < ε, za h < δ, (3.8)

32 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 28 Teorem (Derivabilnost) Pretpostavimo da su sve funkcije f n : (a, b) R derivabilne tako da red f n konvergira po točkama prema funkciji f i red f n konvergira uniformno prema funkciji g za neke f, g : (a, b) R. Tada je funkcija f derivabilna na (a, b) i vrijedi f (x) = f n(x). (3.9) Dokaz. Definiramo s k = k f n, k N. Tada je (s k ) niz derivabilnih funkcija na (a, b) koji po točkama konvergira prema funkciji f i (s k ) konvergira uniformno prema funkciji g. Prema teoremu je funkcija f derivabilna na (a, b) i vrijedi f = g, odnosno f (x) = g(x) = lim s k (x) = lim k k k f n(x) = f n(x), x (a, b). U situaciji kao u prethodnom teoremu kažemo da red f n možemo derivirati član po član na (a, b). Primjer Red E(x) = x n n! = + x + x2 2! + x3 3! + (3.20) konvergira uniformno na svakom intervalu [ r, r] prema Weierstrassovom kriteriju, jer je x n rn, x r i n! n! rn <. Deriviranjem desne strane od (3.20) član po član dobivamo n! red x n (n )! = x n n!, (3.2) koji je isti kao i red (3.20). Dakle, red (3.2) je isto uniformno konvergentan na [ r, r] za svaki r, pa se zaista može derivirati član po član i vrijedi E (x) = E(x), x R. Rezultat nije iznenadujući jer red (3.20) definira eksponencijalnu funkciju e x. Teorem (Integrabilnost) Neka su dane funkcije f n : [a, b] R, n N. Pretpostavimo da su sve funkcije f n integrabilne na [a, b] i da red f n konvergira uniformno na [a, b] prema funkciji f koja je integrabilna na [a, b]. Tada vrijedi b a f (x)dx = b a f n (x)dx. (3.22)

33 POGLAVLJE 3. REDOVI FUNKCIJA 29 Dokaz. Definiramo s k = k f n, k N. Tada su sve funkcije s k integrabilne na [a, b] i niz funkcija (s k ) konvergira uniformno prema funkciji f. Prema teoremu slijedi b a b b k f (x)dx = lim s k (x)dx = lim f n (x)dx k a k a k b = lim f n (x)dx = f n (x)dx. k a Kažemo da red f n možemo integrirati član po član na cijelom [a, b]. Primjer Znamo da je = x x n, < x <. Red konvergira uniformno i funkcija kojoj konvergira je integrabilna na svakom zatvorenom intervalu [a, b] (, ). Dakle, b dx b x = x n dx, (3.23) pa je Stavimo li a = 0 i b = x dobivamo a ln( a) ln( b) = ln( x) = a b n+ a n+. n + x n+, < x <. (3.24) n +

34 Poglavlje 4 Redovi potencija 4. Definicija i radijus konvergencije Redovi potencija su specijalni oblici redova funkcija. Mogli bismo reći da su to relativno jednostavni redovi jer su funkcije koje se pojavljuju u tim redovima oblika f n (x) = a n (x c) n, a n R. (4.) Definicija 4... Neka je (a n ) niz realnih brojeva i neka je c R. Red potencija oko c s koeficijentima a n je red oblika a n (x c) n. (4.2) Pogledajmo primjer reda potencija oko 0: (n!)x n = + x + 2x 2 + 6x x 4 + i jedan primjer reda potencija oko : ( ) n+ (x ) n = (x ) n 2 (x )2 + 3 (x )3 4 (x )4 +. Sljedeći teorem daje nam odgovor na pitanje o konvergenciji redova potencija, štoviše daje motivaciju za uvodenje pojma radijusa konvergencije reda potencija. Teorem Neka je a n (x c) n (4.3) 30

35 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 3 red potencija. Tada postoji 0 R tako da dani red konvergira apsolutno za x c < R i divergira za x c > R. Štoviše, ako je 0 ρ < R, tada red potencija konvergira uniformno na intervalu x c ρ i suma reda je neprekidna funkcija na x c < R. Dokaz. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je c = 0 (inače, zamijenimo x s x c). Pretpostavimo da red potencija a n x n 0 (4.4) konvergira za neki x 0 R, x 0 0. Tada njegov opći član teži u 0, pa je omeden, to jest, postoji M 0 tako da je an x n 0 M za sve n N. Ako je x < x 0, tada je a n x n = an x n 0 x n x 0 Mr n gdje je r = x x 0 <. Usporedimo li red potencija s konvergentnim redom Mr n, vidimo da je a n x n apsolutno konvergentan. Stoga, ako je red potencija konvergentan za neki x 0 R, tada on konvergira apsolutno za svaki x R takav da je x < x 0. Neka je R = sup x 0 : a n x n konvergira. (4.5) Ako je R = 0, tada red konvergira samo za x = 0. Ako je R > 0, tada red konvergira apsolutno za svaki x R, x < R, jer konvergira za neki x 0 R takav da je x < x 0 < R. Štoviše, iz definicije od R slijedi da red divergira za svaki x R gdje je x > R. Ako je R =, tada red konvergira za svaki x R. Na kraju, neka je 0 ρ R i pretpostavimo da je x ρ. Uzmimo σ > 0 tako da je ρ < σ < R. Tada a n σ n konvergira, pa postoji M > 0 takav da je a n σ n M za sve n N i stoga je a n x n = a n σ n x n σ a n σ n ρ n σ Mr n, n N, (4.6) gdje je r = ρ/σ <. Kako je Mr n <, tada Weierstrassov test uniformne konvergencije povlači da red konvergira uniformno na x ρ, pa je suma neprekidna na x ρ. Kako to vrijedi za svaki 0 ρ < R, suma je neprekidna na x < R. Sljedeća definicija sada ima smisla za svaki red potencija. Definicija Radijus konvergencije reda potencija a n (x c) n (4.7) je broj R [0, ] takav da red (4.7) konvergira za x c < R i divergira za x c > R.

36 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 32 Teorem 4..2 ne opisuje što se dogada u rubnim točkama x = c ± R. Može se dogoditi da red potencija konvergira ili divergira u tim točkama. Stoga, svaki od sljedećih intervala može biti interval konvergencije (c R, c + R), (c r, c + R], [c R, c + R), [c R, c + R]. D Alembertov kriterij daje nam jednostavan, ali koristan način za računanje radijusa konvergencije, o čemu govori sljedeći teorem, premda se ne može primijeniti na svaki red potencija. Teorem Pretpostavimo da je a n 0, n N, te da niz ( ) a n a n+ konvergira ili teži u. n Označimo a n R = lim n [0, ]. (4.8) Tada red potencija ima radijus konvergencije R. a n+ a n (x c) n Dokaz. Neka je r = lim a n+ (x c) n+ n a n (x c) n = x c lim a n+ n a n. (4.9) Iz D Alembertovog kriterija, red potencija konvergira ako 0 r <, tj. x c < R, te divergira ako je < r, tj. x c > R, iz čega slijedi tvrdnja teorema. Cauchyjev kriterij daje nam izraz za radijus konvergencije općenitog reda potencija. Teorem (Hadamard) Radijus konvergencije R reda potencija a n (x c) n dan je s R =, (4.0) /n lim sup a n pri čemu je R = 0 ako je nazivnik u (4.0) jednak, a R = ukoliko je nazivnik u (4.0) jednak 0. Dokaz. Neka je r = lim sup a n (x c) n /n = x c lim sup a n /n. Prema Cauchyjevom kriteriju, red konvergira ako je 0 r < i divergira ako je < r, tj. x c > R, iz čega slijedi tvrdnja teorema.

37 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 33 Primjer Promotrimo geometrijski red x n. (4.) Kako je c = 0 i a n = za sve n Z +, prema Hadamardovoj formuli (4.0) slijedi da je R = lim sup n an = lim sup n =. Stoga red (4.) konvergira apsolutno uniformno na intervalu, prema funkciji x, tj. vrijedi x x n =, x,. (4.2) x Kako u rubnim točkama intervala, red (4.) ne konvergira jer opći član ne teži prema 0, zaključujemo da je njegov interval konvergencije,. a Napomena Ukoliko postoji lim n+ n a n [0, + ], tada postoji lim n n an [0, + ] i vrijedi lim a n+ n a n = lim n an. n U tom slučaju je lim n a n a n+ = a lim n+ = n a n lim n n an, pa radijus konvergencije R reda potencija a n (x c) n možemo računati koristeći formulu a n R = lim n. (4.3) Kroz sljedećih nekoliko primjera proučit ćemo nekoliko redova potencija i njihove radijuse konvergencije. a n+ Primjer Za red xn je a n! n =, n 0. Zato je n! a n a n+ = n! (n+)! = (n + )! n! = n + (4.4) kada n. Dakle, radijus konvergencije je R =, odnosno red xn n! konvergira za svaki x. Ovim redom definirana je eksponencijalna funkcija exp : R R.

38 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA Promotrimo red (n!) 2 (x (2n)! )n. Tada je a n a n+ = (n!) 2 (2n)! ((n+)!) 2 (2(n+))! = (n!)2 (2n + 2)! (2n + )(2n + 2) = = 4n2 + 6n + 2 (2n)! ((n + )!) 2 (n + ) 2 n 2 + 2n + 4 kada n. Prema (4.3) radijus konvergencije reda (n!) 2 (2n)! (x )n (4.5) jednak je R = 4. Stoga red potencija (4.5) konvergira apsolutno uniformno na intervalu 3, 5. U rubnim točkama intervala 3, 5 imamo redove ( ) n (n!)2 4 n za x = 3, (4.6) (2n)! odnosno, (n!) 2 4 n (2n)! za x = 5, (4.7) koji divergiraju, jer je (n!) 2 4 n, n Z +, (2n)! pa nije zadovoljen nužan uvjet konvergencije reda. Dakle, interval konvergencije reda (4.5) je interval 3, Prema Hadamardovoj formuli radijus konvergencije R reda potencija ( 2n n 3n+2) (x ) n iznosi R = lim sup n an = lim sup 2n = 3 2. (4.8) ( 2n Stoga red potencija n 3n+2) (x ) n konvergira apsolutno uniformno na intervalu, U rubnim točkama intervala, riječ je o redovima ( 3 ( ) n 2 2n ) n za x = 3n 2 2, (4.9) odnosno, 3n+2 ( 3 2 2n ) n za x = 5 3n 2 2, (4.20) koji divergiraju budući da nije zadovoljen nužan uvjet konvergencije reda. Dakle, intreval konvergencije danog reda potencija je 2, 5 2.

39 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA Svojstva redova potencija Za početak, možemo promatrati derivabilnost redova potencija. Suma reda potencija f (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + je beskonačno derivabilna unutar intervala konvergencije i njezina derivacija f (x) = a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3 + je dobivena deriviranjem član po član. Kako bismo to dokazali, prvo ćemo pokazati da red dobiven deriviranjem polaznog reda član po član ima isti radijus konvergencije kao i polazni red potencija. Teorem Pretpostavimo da red potencija a n (x c) n (4.2) ima radijus konvergencija R. Tada red potencija ima takoder radijus konvergencije R. na n (x c) n (4.22) Dokaz. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je c = 0 i x < R. Uzmimo ρ takav da je x < ρ < R. Za r = x vrijedi r 0,. Kako bismo usporedili članove reda potencija ρ (4.22) s članovima polaznog reda, zapisat ćemo njihove apsolutne vrijednosti na sljedeći način: na n x n ( ) n n x = a n ρ n = nrn a n ρ n. (4.23) ρ ρ ρ Iz D Alembertovog kriterija slijedi da red nr n konvergira jer je (n + )r n lim n nr n Zato je niz (nr n ) n omeden s nekim M. Slijedi da je = lim( + )r = r <. n n na n x n M ρ a nρ n, n N. (4.24)

40 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 36 Red a n ρ n konvergira za ρ < R, pa iz testa usporedivanja slijedi da red na n x n konvergira apsolutno za x < ρ. Time smo pokazali da je radijus konvergencije reda (4.22) barem R. Pretpostavimo da je radijus konvergencije reda (4.22) veći od R. Tada postoji x takav da je x > R i da red na n x n konvergira. Iz na n x n x a nx n, n N slijedi da a n x n konvergira. To znači da x, x > R takav da a n x n konvergira, što je nemoguće. Slijedi da je radijus konvergencije od (4.22) jednak R. Teorem Pretpostavimo da red potencija a n (x c) n ima radijus konvergencije R > 0 i neka je f (x) = a n (x c) n, x c R, c + R. Tada je f derivabilna na x c R, c + R i vrijedi f (x) = na n (x c) n. (4.25) Dokaz. Red potencija dobiven deriviranjem član po član je konvergentan za x c R, c + R prema prethodnom teoremu. Označimo njegovu suma s g(x) = na n (x c) n. (4.26) Neka je 0 < ρ < R. Prema teoremu 4.2. redovi potencija za f i g konvergiraju uniformno za x c < ρ. Nadalje, f je derivabilna za x c < ρ i f = g. Kako to vrijedi za svaki 0 ρ < R, slijedi da je f derivabilna za x c < R i f = g, iz čega slijedi tvrdnja teorema. Teorem Red potencija f (x) = a n (x c) n, s pozitivnim radijusom konvergencije R, ima derivaciju svakog reda na cijelom području svoje konvergencije. Derivacije svakog reda dobivene su uzastopnim deriviranjem član po član, odnosno vrijedi da je f (k) (x) = n(n ) (n k + )a n (x c) n k. (4.27) n=k Radijus konvergencije tako dobivenog reda takoder je jednak R.

41 POGLAVLJE 4. REDOVI POTENCIJA 37 Dokaz. Tvrdnju teorema dokazujemo principom matematičke indukcije. Prema prethodnom teoremu, tvrdnja vrijedi za k =. Pretpostavimo sada da vrijedi za neki k. Promijenimo li indeks sumacije, izraz iz tvrdnje teorema možemo zapisati i kao f (k) (x) = (n + k)(n + k ) (n + )a n+k (x c) n, x c < R. (4.28) Definiramo b n = (n + k)(n + k ) (n + )a n+k, n N. Tada je f (k) (x) = b n (x c) n, x c < R. (4.29) Tako dobiveni red možemo derivirati član po član, pa dobivamo f (k+) (x) = nb n (x c) n, x c < R. (4.30) Supstitucijom b n slijedi da je f (k+) (x) = (n + k)(n + k ) (n + )na n+k (x c) n, x c < R. Promijenimo li indeks sumacije, vrijedi f (k+) (x) = n(n ) (n k)a n (x c) n k, x c < R, (4.3) n=k+ čime smo dokazali da tvrdnja teorema vrijedi i za k +, pa vrijedi za svaki k. Teorem Ako red potencija f (x) = a n (x c) n (4.32) ima radijus konvergencije R > 0, tada f ima derivacije svakog reda na x c < R i vrijedi a n = f (n) (c). (4.33) n!

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

STACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE

STACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Daniel Stojanović STACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc.siniša Slijepčević Zagreb, lipanj,

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Fraktalno Brownovo gibanje

Fraktalno Brownovo gibanje Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

Razni načini zadavanja vjerojatnosti

Razni načini zadavanja vjerojatnosti Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

SHEME DIGITALNOG POTPISA

SHEME DIGITALNOG POTPISA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Jelena Hunjadi SHEME DIGITALNOG POTPISA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, 2016. Ovaj diplomski

More information

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem 61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information