A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B
|
|
- Elijah Ethan Cook
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica koja se u pogledu istinitosti podvrgava načelu isključenog trećeg, tj. ona je ili istinita ili neistinita, ali ne i oboje. Najvažnije vrste matematičkih sudova su aksiomi, postulati i teoremi. Prije nego što opišemo ove sudove recimo nešto o operacijama sa sudovima. Osnovne logičke operacije sa sudovima su: negacija ( ), disjunkcija ( ), konjunkcija ( ). Tablice istinosti ovih operacija su: A A A B A B A B A B Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija ( ), čije tablice istinitosti su: A B A B A B Kažemo da su dva složena suda X i Y ekvivalentna ako im se pripadne tablice istinitosti podudaraju, ili ako je sud X Y tautologija. Primjer. Pokažimo da su izjave (A B) i A B ekvivalentne. A B A B (A B) B A B (A B) (A B) 1
2 Aksiom (praistina) je osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koja se smatra istinitom i ne dokazuje se. Pojam i naziv nastaju u starogrčkoj matematici. Primjeri aksioma: Cjelina je veća od dijela. Ako se jednakim stvarima dodaju jednake stvari i cjeline su jednake. V. aksiom o paralelama: Točkom izvan pravca može se povući jedinstven pravac paralelan s tim pravcem. Arhimedov aksiom: Za svaka dva pozitivna realna broja a i b postoji prirodan broj n takav da je na > b. Aksiom izbora (Zermelov aksiom): Neka je zadano beskonačno nepraznih skupova koji su medusobno disjunktni. Tada postoji skup čiji su elementi po jedan element iz svakog od zadanih skupova. Postulat je polazna tvrdnja koja se takoder uzima bez dokaza. Postulat obično izražava neki uvjet koji treba zadovoljavati neki pojam ili neki odnos medu pojmovima. Danas često u matematici izjednačavamo aksiome i postulate, pa često govorimo na primjer o aksiomima površine ili o postulatima površine. Primjeri: Pojam grupe Neka je G neprazan skup, te neka je : G G G binarna operacija na G. Uredeni par (G, ) nazivamo grupa ako vrijede sljedeća svojstva: G1. Za sve elemente a, b, c iz G vrijedi (a b) c = a (b c). G2. Postoji element e G takav da za svaki a G vrijedi a e = e a = a. G3. Za svaki a G postoji element a G takav da je a a = a a = e. Pojam površine Neka je P skup svih poligona u ravnini uključujući i prazan skup. Površina na skupu P je preslikavanje p : P R koje ima sljedeća svojstva: P1. p(p ) 0 za svaki poligon P P. 2
3 P2. Ako je poligon P zbroj poligona P 1 i P 2 onda je p(p )=p(p 1 )+ p(p 2 ). P3. Ako su poligoni P 1 i P 2 sukladni tada su brojevi p(p 1 )ip(p 2 ) jednaki. P4. Postoji bar jedan kvadrat K kojemu je duljina stranice jednaka jedan takav da je p(k) =1. Pojam metrike Neka je V vektorski prostor. Funkciju d : V V R nazivamo metrika ako zadovoljava ova svojstva: M1. Za svaki a V je d(a, a) 0. d(a, a) = 0 akko a =0. M2. Za sve a, b V vrijedi d(a, b) =d(b, a). M3. Za sve a, b, c V vrijedi d(a, b)+d(b, c) d(a, c). U izgradnji neke matematičke teorije iz aksioma i definicija logičkim rasudivanjem izvodimo teoreme. Teorem (poučak, stavak) je matematička izjava čija se istinitost utvrduje dokazom. Obično se misli na istinitu izjavu, iako nije isključeno da je izjava lažna. U formulaciji teorema razlikuju se dva dijela: pretpostavka (uvjet, hipoteza) P i tvrdnja (zaključak, posljedica, teza) Q. Pretpostavka je jedna ili više izjava koje se smatraju istinitima, a tvrdnja je izjava koju treba dokazati. Ponekad učenici imaju poteškoća s odredivanjem što je pretpostavka, a što tvrdnja teorema, a samim tim imaju probleme i pri dokazivanju tog teorema. Stoga nastavnik treba pri obradi teorema uložiti dodatni napor pri rasvjetljavanju tih bitnih dijelova teorema, razlažući ga, pa čak i preformulirajući ga. Dakle, teorem kao sud ima oblik implikacije: P Q. Čitamo: P implicira Q, P povlači Q ili Ako je P, tada je Q, P je dovoljan uvjet za Q, Q je nuždan uvjet za P. Primjer. U sljedećim teoremima istaknimo pretpostavku i tvrdnju teorema. 1. Dijagonale romba su okomite. P: Četverokut je romb. Q: Dijagonale romba su okomite. 3
4 2. Umnožak dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je paran broj. P: Brojevi su uzastopni prirodni brojevi. Q: Umnožak im je paran. 3. U svakom trokutu nasuprot dviju stranica jednakih duljina leže jednaki kutovi. P: U trokutu dvije su stranice jednakih duljina. Q: Kutovi nasuprot tih stranica su jednaki. 4. Zbroj kutova u trokutu je 180. P: Dani (promatrani) poligon je trokut. Q: Zbroj kutova mu je Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi. P: Dani kut je obodni kut nad promjerom. Q: Dani kut je pravi kut je iracionalan broj. P: Broj je 2. Q: Taj je broj iracionalan. 7. Dijagonale paralelograma se raspolavljaju. P: Promatrani lik je paralelogram. Q: Dijagonale mu se raspolavljaju. 8. Dokažite da se broj ne može predstaviti u obliku razlike kvadrata dva prirodna broja. P: a i b su brojevi takvi da je a 2 b 2 = Q: Brojevi a i b nisu prirodni. 9. Svaki se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x x 1 )(x x 2 ) gdje su x 1,x 2 rješenja kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c =0. P: x 1,x 2 su rješenja kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c =0. Q: Kvadratni se trinom ax 2 +bx+c može napisati u obliku a(x x 1 )(x x 2 ). 4
5 Mnogo je lakše otkriti strukturu teorema ako je dan u formi Ako je..., tada je... Teoreme iz prethodnog primjera zapišimo u tom obliku. 1. Ako je dani četverokut romb, onda su njegove dijagonale okomite. 2. Ako su dani uzastopni prirodni brojevi, tada im je umnožak paran. 3. Ako su u trokutu dvije su stranice jednakih duljina, tada su kutovi nasuprot tih stranica jednaki. 4. Ako je dani lik trokut, tada mu je zbroj kutova Ako je kut obodni kut nad promjerom kružnice, tada je dani kut pravi. 6. Ako je promatrani broj 2, tada je on iracionalan broj. 7. Ako je dani lik paralelogram, tada mu se dijagonale raspolavljaju. 8. Ako su a i b brojevi takvi da je a 2 b 2 = , tada brojevi a i b nisu prirodni. 9. Ako su x 1,x 2 rješenja kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c =0, tada se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x x 1 )(x x 2 ). Uz svaki teorem oblika P Q vezujemo izjavu oblika Q P,koju nazivamo obratom teorema. Treba napomenuti da obrat teorema ne mora biti istinita tvrdnja. No, ako je i obrat teorema teorem, tj. istinita tvrdnja, tada ta dva teorema vrlo često zapisujemo kao izjavu oblika P Q i čitamo P je ako i samo ako je Q. Primjer. Teoremima pod rednim brojevima 1. do 5. iz prethodnog primjera napišimo obrat teorema i odredimo istinitost tog obrata. 1. Ako su dijagonale četverokuta okomite, tada je on romb. Ova izjava nije istinita. Protuprimjer je deltoid koji nema sukladne stranice. 2. Ako je umnožak dva prirodna broja paran, tada su ti brojevi uzastopni prirodni brojevi. Ova izjava nije istinita. Protuprimjer su brojevi 4 i Ako su dva kuta trokuta jednaki, tada su i stranice nasuprot njih jednakih duljina. Ovo je istinita tvrdnja. 5
6 4. Ako je zbroj kutova u poligonu jednak 180, taj je poligon trokut. Ovo je istinita tvrdnja. 5. Ako je dan pravi kut, tada je on obodni kut nad promjerom kružnice. Istinita tvrdnja. Izjavu oblika Q P nazivamo kontrapozicija teorema P Q. Sudovi Q P i P Q su medusobno ekvivalentni, što ima velikog značaja pri dokazivanju teorema. Naime, kao što ćemo vidjeti na sljedećem predavanju, umjesto da direktno dokazujemo teorem P Q, ponekad je lakše dokazati kontrapoziciju tog teorema, pa budući da su to logički ekvivalentne izjave, time je dokazan i teorem. Primjer. Pokažimo da su izjave P Q i Q P ekvivalentne. P Q P Q P Q Q P (P Q) ( Q P ) Primjer. Teoremima pod rednim brojevima 1. do 5. izrecimo kontrapozicije. 1. Ako dijagonale četverokuta nisu okomite, tada on nije romb. 2. Ako umnožak dva prirodna broja nije paran, tada ti brojevi nisu uzastopni prirodni brojevi. 3. Ako dva kuta trokuta nisu jednaki tada ni stranice nasuprot njih nisu jednakih duljina. 4. Ako zbroj kutova u poligonu nije jednak 180, tada taj poligon nije trokut. 5. Ako dani kut nije pravi kut, tada on nije obodni kut nad promjerom neke kružnice. 6
7 I konačno, možemo promatrati i obrat kontrapozicije, tj. sud oblika P Q, koji je logički ekvivalentan obratu teorema. Primjer. Teoremima pod rednim brojevima 1. do 5. izrecimo kontrapozicije. 1. Ako četverokut nije romb, tada mu dijagonale nisu okomite. 2. Ako dani prirodni brojevi nisu uzastopni, tada im umnožak nije paran. 3. Ako u trokutu dvije stranice nisu jednakih duljina, tada niti kutovi nasuprot njih nisu jednakih veličina. 4. Ako poligon nije trokut, tada mu zbroj kutova nije Ako kut nije obodni kut nad promjerom, tada taj kut nije pravi. Obrada poučka zahtijeva posebnu pozornost nastavnika matematike. Pravilna obrada poučka omogućuje brži razvoj matematičkog mišljenja učenika i bolje razumijevanje matematike. Pri obradi poučka nastavnik mora obratiti pažnju na precizno formuliranje poučka i eventualno preformuliranje istog, na jasno razlikovanje pretpostavke i tvrdnje te na njihovu ulogu u gradnji poučka, na obrat poučka i njegovu formulaciju. 2 DOKAZI Dokaz teorema P Q u nekoj teoriji je takav konačan niz tvrdnji Q 1,Q 2,...,Q n te teorije u kojem je svaka tvrdnja ili aksiom ili je dobivena iz prethodno dokazanih tvrdnji tog niza po nekom pravilu zaključivanja, te posljednja tvrdnja niza je tvrdnja Q. Dokazivanje poučaka ima svoje mjesto u nastavi matematike. Naime, učeći dokazivati tvrdnje, učenik uči rasudivati, što je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike. Učenik koji se u daljnjem životu i ne ce baviti matematikom kao znanošću, mora znati rasudivati u svakodnevnom životu. Razlikujemo dvije vrste dokaza: direktni i indirektni dokazi. 2.1 Direktni dokazi Kod direktnog dokaza neke tvrdnje Q polazimo od pretpostavke P, primjenom aksioma, definicija i ranije dokazanih teorema, nizom pravilnog zaključivanja dolazimo do tvrdnje Q. 7
8 Navedimo direktne dokaze nekoliko teorema školske matematike. Primjer. Dokažimo teorem: Dijagonale romba su okomite. Dokaz. Pretpostavka ovog teorema je da je promatrani četverokut romb. Definicija romba glasi: romb je paralelogram jednakih stranica. Budući da je romb paralelogram i za njega vrijedi svojstvo da mu se dijagonale raspolavljaju. Nacrtajmo romb ABCD i točku presjeka dijagonala označimo sa S. Promatramo trokute ABS i BCS. Imaju zajedničku stranicu SB, a za ostale stranice vrijedi: AB = BC (romb ima sukladne stranice), AS = SC (dijagonale mu se raspolavljaju. Dakle, prema teoremu S-S-S, trokuti ABS i BCS su sukladni, pa su i kutovi ASB i BSC sukladni. Budući da su to susjedni (suplementni) kutovi, slijedi da se radi o pravim kutovima. Dakle, AC BD, što je i trebalo dokazati. Primjer. Dokažimo teorem: Umnožak dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je paran broj. Dokaz. Pretpostavka teorema je: Promatrani prirodni brojevi su uzastopni. Neka su a i a + 1 dva uzastopna prirodna broja. Pri dokazu koristimo metodu razlikovanja slučajeva. 1. Neka je a paran broj. Tada je a oblika a =2k, k N. Tada je umnožak a(a + 1) jednak a(a +1)=2k(2k + 1), što je očito djeljivo s 2, jer je oblika 2m, gdje je m = k(2k + 1) prirodan broj. 2. Neka je a neparan broj, tj. oblika a = 2k 1, k N. Tada je a(a + 1) = (2k 1)(2k) =2k(2k 1), što je opet paran broj. Primjer. Dokažimo teorem: Ako su u trokutu dvije stranice jednakih duljina, tada nasuprot njih leže sukladni kutovi. Dokaz. Pretpostavimo da su u trokutu ABC stranice AC i BC jednakih duljina. Spustimo iz vrha C visinu na stranicu AB i označimo nožište visine s D. Tada trokuti ADC i BCD imaju jednu zajedničku stranicu DC, stranice AC i BC su sukladne, te kutovi uz vrh D su pravi, tj. sukladni. Prema 4. teoremu o sukladnosti trokuta, ta su dva trokuta sukladna, pa su im sukladni i svi kutovi, a specijalno i kutovi CAB i CBA, što je i trebalo dokazati. Primjer. Dokažimo teorem: Zbroj kutova u trokutu jednak je
9 Dokaz. Neka je dan trokut ABC. Točkom C povucimo paralelu DE s pravcem AB. Postojanje i jedinstvenost ove paralele dana je aksiomima euklidske geometrije. Pravac AC je transverzala (presječnica) paralelnih pravaca AB i DC, pa su prema teoremu o kutovima uz transverzalu kutovi CAB i DCA sukladni, tj. α = DCA. Iz istog razloga vrijedi i β = BCE. Sad je 180 = DCE = DCA + ACB + BCE = α + γ + β. Primjer. Dokažimo Pitagorin teorem: U pravokutnom trokutu ABC s pravim kutom pri vrhu C vrijedi c 2 = a 2 + b 2. Dokaz 1. Neka je ABC dani pravokutni trokut, te neka je CD visina na hipotenuzu. Duljinu odsječka AD na hipotenuzi označimo s p, a odsječka DB s q. Prema Euklidovom poučku vrijedi: a = cp, b = cq. Kvadriranjem tih jednakosti i zbrajanjem dobivamo a 2 + b 2 = cp + cq = c(p + q) =c 2. Dokaz 2. Nacrtajmo kvadrat MNPQ stranice duljine a+b, te na njegovim stranicama MN, NP, PQ, QM točke E,F,G,H redom, tako da je ME = NF = PG = QH = a. Trokuti HME, ENF, FPG i GQE su sukladni trokutu ABC (dvije stranice su im duge a i b, te kut izmedu njih je pravi). Četverokut EFGH je kvadrat jer ima sve četiri stranice duge c, a i kutevi su mu pravi ( HEF = 180 HEM FEN =90 ). Izračunamo li površinu kvadrata MNPQ na dva načina dobivamo (a + b) 2 = c 2 +4 ab 2, a2 +2ab + b 2 = c 2 +2ab, a 2 + b 2 = c 2, što je i trebalo dokazati. Primjer. (AG nejednakost) Za pozitivne brojeve a i b vrijedi a + b ab 2. Dokaz. Vrijedi (a b) 2 0, pa kvadriranjem binoma i daljnjim transformiranjem dobivamo ovaj niz nejednakosti a 2 2ab+b 2 0, a 2 +2ab+b 2 4ab, (a + b) 2 4ab, a + b 2 ab, ab a+b 2. 9
10 Primjer. (Obrat Pitagorina poučka) Ako u trokutu ABC vrijedi c 2 = a 2 + b 2, tada je trokut pravokutan s pravim kutom pri vrhu C. Dokaz. Promotrimo trokut A B C s pravim kutom pri vrhu C i za kojeg je a = a i b = b. Tada prema Pitagorinom teoremu vrijedi c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = c 2, tj. c = c. No to znači da su trokuti ABC i A B C sukladni (SSS teorem), pa je i trokut ABC pravokutan s pravim kutom pri vrhu C. 2.2 Indirektni dokazi Indirektni dokaz tvrdnje P Q sastoji se u nastojanju da se dokaže da suprotna tvrdnja Q nije istinita. Medu indirektnim dokazima dva su koja se vrlo često primjenjuju: dokaz po kontrapoziciji i dokaz svodenjem na kontradikciju. Dokaz po kontrapoziciji zasniva se na ekvivalenciji sudova P Q i Q P. Dakle, u dokazu po kontrapoziciji, pretpostavljamo da vrijedi tvrdnja Q, te nizom logičkih koraka dolazimo do istinitosti tvrdnje P. Evo nekoliko primjera iz školske matematike dokaza po kontrapoziciji. Primjer. Ako je a 2 paran broj, tada je i broj a paran. Dokaz. Pretpostavka P teorema glasi: Broj a 2 je paran. Tvrdnja Q teorema glasi: Broj a je paran. Pretpostavimo da vrijedi Q: Broj a nije paran. Treba dokazati da vrijedi P : Broj a 2 nije paran. Ako a nije paran, tada je on oblika a =2k 1, k N. Tada je a 2 =4k 2 4k + 1 = 2(2k 2 2k) + 1, tj. a 2 je neparan, što je i trebalo dokazati. Primjer. Ako je τ temeljni period funkcije f, tada je τ, a>0, temeljni a period funkcije g(x) = f(ax). Dokaz. P: Broj τ je temeljni period funkcije f. Q: Broj τ, a>0, temeljni je period funkcije g(x) =f(ax). a Prvo direktnim dokazom dokažimo da je τ, a>0, period funkcije g(x) = a f(ax). g(x + τ a )=f(a(x + τ )) = f(ax + τ) =f(ax). a Dokazom po kontrapoziciji pokazat ćemo da je τ a najmanji period. Pret- 10
11 postavimo da τ a nije temeljni period, tj. da postoji period T,0<T <τ a. Tada vrijedi 0 < at < τizaat vrijedi f(x + at )=f(a( x a + T )) = g(x a + T )=g(x a )=f(x), tj. at je period i za funkciju f i uz to je at < τ. Dakle, proizlazi da τ nije najmanji period za f, što je upravo negacija pretpostavke P. Primjer. Dokažimo da je funkcija f : R R, f(x) =3x + 7 injekcija. Dokaz. Treba dokazati da za svaka dva različita broja x 1,x 2 vrijedi f(x 1 ) f(x 2 ). Ovdje je P: Brojevi x 1 i x 2 su različiti. Tvrdnja Q glasi: f(x 1 ) f(x 2 ). Pretpostavimo da je f(x 1 )=f(x 2 ). Tada je 3x 1 +7 = 3x 2 +7, 3x 1 =3x 2, x 1 = x 2. Dakle, iz Q dobili smo P, čime je početna tvrdnja dokazana po kontrapoziciji. Ako pretpostavka teorema ima oblik konjunkcije P = P 1 P 2, tada je kontrapozicija oblika (P 1 Q) P 2 ili (P 2 Q) P 1. Primjer. Dokažimo ekvivalenciju tvrdnji (P 1 P 2 ) Q i(p 1 Q) P 2. P 1 P 2 Q P 1 P 2 (P 1 P 2 ) Q P 1 Q P 2 (P 1 Q) P 2 Ukoliko teorem dokazujemo koristeći prethodnu ekvivalenciju, kažemo da dokazujemo po proširenoj kontrapoziciji. Evo i primjera takve vrste dokaza. Primjer. Neka se pravci a i b sijeku u točki T. Ako pravac c siječe i pravac a i pravac b, a nije komplanaran s njima, tada on prolazi točkom T. Dokaz. P 1 : Pravci a i b su ukršteni i pravac c siječe i pravac a i pravac b. P 2 : Pravac c nije komplanaran s pravcima a i b. 11
12 Q: Pravac c prolazi točkom T. Pretpostavimo P 1 i Q. Označimo s M i N presjek pravca c s pravcima a i b respektivno. Točke M,N,T su različite. Pravac c ne prolazi točkom T, pa se ni M niti N ne mogu podudarati s točkom T. Takoder i točke M i N su medusobno različite jer kad bi bile jednake to bi značilo da je to točka presjeka sva tri pravca, specijalno, to bi bio presjek pravaca a i b, tj. radilo bi se o točki T, a upravo smo u prethodnoj rečenici obrazložili da se ni M niti N ne mogu podudarati s točkom T. Uz to te su točke i nekolinearne, jer c = MN i T c. Dakle, te tri različite nekolinearne točke odreduju jednu ravninu π kojoj pripadaju pravci a, b, c. Drugim riječima, c je komplanaran s pravcima a i b. Time smo dobili P 2. Dakle, po proširenoj kontrapoziciji, vrijedi tvrdnja dana u primjeru. Primjer. Dokažimo obrat Pitagorina poučka: Ako u trokutu ABC vrijedi c 2 = a 2 + b 2, tada je kut pri vrhu C pravi kut. Dokaz. Pretpostavimo da kut C nije pravi kut. Tada je ili šiljasti ili tupi. Ako je C šiljasti tada visina iz vrha A na stranicu BC ima nožište D upravo na toj stranici. Označimo CD = x, x>0. Tada koristeći Pitagorin poučak u trokutima ACD i DB dobivamo Komparacijom dobivamo h 2 a = b2 x 2, h 2 a = c2 (a x) 2. b 2 x 2 = c 2 (a x) 2, tj. c 2 = a 2 + b 2 2ax < a 2 + b 2, što je u suprotnosti s pretpostavkom poučka. Ako je C tupi kut, tada analognim postupkom dobivamo da je c 2 > a 2 + b 2, što je takoder u suprotnosti s pretpostavkom poučka. Dakle, u oba slučaja dobivamo negaciju pretpostavke da je c 2 = a 2 + b 2, pa je obrat Pitagorina poučka dokazan po kontrapoziciji. Dokaz svodenjem na kontradikciju (reductio ad absurdum) zasniva se na ekvivalencijama sudova P Q i(p Q) (A A) ili P Q i (P Q) F, gdje je s F označen neistinit (false) sud. Dakle, u dokazu po kontrapoziciji, pretpostavljamo da vrijedi tvrdnja P Q, te nizom logičkih koraka dolazimo do neke tvrdnje koja je lažna ili do situacije da istovremeno vrijede i neka tvrdnja A i njezina negacija A. 12
13 Prvo dokažimo gore spomenute ekvivalencije. Budući da je A A lažan sud, dovoljno će biti provjeriti je li tvrdnja (P Q) ((P Q) F ) tautologija. P Q P Q F Q P Q (P Q) F (P Q) ((P Q) F ) Primjer. Ako je a = p 1 p 2...p k umnožak različitih prostih brojeva, tada je a iracionalan broj. (Elezović, Matematika 2, 2. razred gimnazije). Dokaz. Ovo je generalizacija poznate tvrdnje da 2 nije racionalan broj. Pretpostavimo da je a = p 1 p 2...p k umnožak različitih prostih brojeva, te da je a racionalan broj (to je sud P Q). Tada postoje prirodni brojevi m i n takvi da je m a = n i da je M(m, n) = 1. Ulogu tvrdnje A iz gornje opisane ekvivalencije imat će upravo tvrdnja da je M(m, n) =1. Tada je n 2 = am 2, tj. n 2 p 1 p 2...p k = m 2. Prost broj p 1 dijeli lijevu stranu identiteta, pa dijeli i desnu, tj. p 1 dijeli broj m 2, odakle slijedi da dijeli i m (dokažite!). Dakle, m je oblika m = p 1 t. Sada je n 2 p 1 p 2...p k = p 2 1 t2, što nakon dijeljenja s p 1 poprima oblik n 2 p 2...p k = p 1 t 2. Sad zaključujemo da p 1 dijeli desnu stranu jednakosti, pa dijeli i lijevu, a budući da su p i medusobno različiti prosti brojevi slijedi da p 1 dijeli n 2, tj. p 1 dijeli n. Dakle, mjera brojeva m i n je barem p 1 > 1, tj. dobili smo da istovremeno vrijedi i negacija tvrdnje da je M(m, n) = 1. Drugim riječima, dobili smo kontradikciju. Dakle, suprotna tvrdnja Q nije istinita, te je istinita tvrdnja Q. Primjer. Dokažimo da se broj ne može predstaviti u obliku razlike kvadrata dva prirodna broja. Dokaz. Pretpostavimo da vrijedi Q, tj. da postoje dva prirodna broja a i b takvi da je a 2 b 2 = Tada je = (a b)(a + b). Budući da 2 dijeli broj , slijedi da 2 dijeli i umnožak (a b)(a+b). Budući da je 2 prost broj, on dijeli ili broj a b ili broj a + b. Brojevi a b i a + b su brojevi iste parnosti (ili oba parna ili oba neparna), pa su dakle, u ovom slučaju oba 13
14 parni. No to znači da je umnožak (a b)(a + b) djeljiv s 4. Sad slijedi da je i broj djeljiv s 4, a to je neistinita tvrdnja. Dakle, dokazali smo da iz P Q slijedi F : Broj 4 dijeli , dakle, vrijedi P Q. Primjer. Skup prostih brojeva je beskonačan. Dokaz. Pretpostavimo suprotno da je skup prostih brojeva konačan, te ga zapišimo u obliku P = {2, 3, 5, 7,...,p} gdje je p najveći prosti broj. Promatrajmo broj q = p +1. Broj q je veći od p, pajeq složen broj (tvrdnja A). Ali očito je da q nije djeljiv ni s jednim prostim brojem iz skupa P (pri dijeljenju sa svakim od njih ostatak je 1), pa je dakle, broj q prost broj. Dakle, istovremeno vrijedi i negacija tvrdnje A. Time smo došli u kontradikciju. Primjer. (AG nejednakost) Za pozitivne brojeve a i b vrijedi Dokaz. Pretpostavimo da vrijedi ab a + b 2. ab > a + b 2. Tada bi dobili a + b 2 ab < 0, ( a b) 2 < 0 što je lažna izreka. Dakle, ovo je oblik kontradikcije (P Q) F. Primjer. (Obrat Pitagorina poučka) Ako u trokutu ABC vrijedi c 2 = a 2 + b 2, tada je trokut pravokutan s pravim kutom pri vrhu C. Dokaz po kontradikciji. Pretpostavimo da kut ACB nije pravi kut. Tada je ili šiljasti ili tupi. Ako je ACB < 90, tada je h a b, tj. x>0 gdje je x udaljenost od vrha C do nožišta visine h a. Tada imamo h 2 = b 2 x 2, h 2 = c 2 (a x) 2 pa izjednačavanjem lijevih strana dobivamo b 2 x 2 = c 2 (a x) 2. 14
15 Nakon kvadriranja binoma i korištenja relacije c 2 = a 2 + b 2 dobivamo ovo: b 2 x 2 = c 2 a 2 +2ax x 2, 2ax = 0, pa je x = 0 što je u kontradikciji s x>0. Analogno se dokazuje i u slučaju kad je kut tupi. Literatura: Z. Kurnik, Poučak ili teorem, MIŠ 8, (2000), Z. Kurnik, Dokaz, MIŠ 9, (2000), M. Vuković, Indirektni dokazi, MFL, br. 172,
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationSLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZGREU PRIRODOSLOVNO MTEMTIČKI FKULTET MTEMTIČKI ODSJEK Ivana Major Šomodi SLIČNOST I HOMOTETIJ Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc Sanja Varošanec Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationFEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski
More informationOSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE
SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationNeeuklidska geometrija
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ivana Lukanović Neeuklidska geometrija Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationOSNOVE GEOMETRIJE. Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014.
OSNOVE GEOMETRIJE Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014. i ii Sadrµzaj PREDGOVOR OZNAKE v vii 1 POVIJESNI PREGLED 1 1.1 EUKLID I NJEGOVI ELEMENTI................ 1 1.2 SADRµZAJ PRVE KNJIGE
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationAfine transformacije ravnine
1/ 7 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 12 http://emathhr/ Afine transformacije ravnine Harun Šiljak Sadržaj: 1 Uvod 2 Primjeri riješenih zadataka 3 Zadaci za samostalan rad Literatura
More informationKonstrukcije ravnalom i šestarom
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Emanuela Vrban Konstrukcije ravnalom i šestarom Diplomski rad Osijek, 2013. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationErdös-Mordellova nejednakost
Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationHarmoniteti. Matija Bucić, Domagoj Ćevid. 20. lipnja 2016.
Harmoniteti Matija Bucić, Domagoj Ćevid 20. lipnja 2016. 1 Uvod Harmoniteti su jedan od veoma korisnih alata koje jedan olimpijac treba znati. To je posebna konfiguracija točaka ili pravaca koja se pojavljuje
More informationPOOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar
More informationNEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationDokazi Pitagorina teorema
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ružica Čeme Dokazi Pitagorina teorema Diplomski rad Osijek, 014. Sveučilište J.J. Strossmayera
More informationBanach Tarskijev paradoks
Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Natalija Tvrdy Vektori u nastavi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationDokazi na matematičkim natjecanjima
1 / 31 Dokazi na matematičkim natjecanjima Azra Tafro Stručno-metodičke večeri Nastavne sekcije HMD-a Zagreb, PMF-MO, 5. prosinca 2018. 2 / 31 Motivacija Dokaži... = najveći neprijatelj prosječnog učenika.
More informationNekoliko kombinatornih dokaza
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationStandard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections
Original Scientific Paper Received: 24-1 1-201 7 Accepted: 06-01 -201 8 Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Miljenko LAPAI NE University of Zagreb, Faculty of Geodesy, Kačićeva
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More information1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University
Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup
More informationHamiltonov ciklus i Eulerova tura
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationPOLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.
More informationNAPREDNE TEME IZ GEOMETRIJE PROSTORA U NASTAVI MATEMATIKE
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Mihaela Bahun NAPREDNE TEME IZ GEOMETRIJE PROSTORA U NASTAVI MATEMATIKE Diplomski rad Zagreb, 014. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationMatematičari starog vijeka
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Antun Vidić Matematičari starog vijeka Diplomski rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationHarmonijski brojevi. Uvod
MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo
More informationPrvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005
Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Sadržaj današnjeg predavanja 1. Kratki sadržaj kolegija. 2. Literatura. 3. Kratka povijest nastanka teorije skupova. 4. Osnovne napomene na početku kolegija.
More informationKsenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008
1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI
More informationRacionalne Diofantove šestorke
Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationLogika višeg reda i sustav Isabelle
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički
More informationU čemu je snaga suvremene algebre?
1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:
More informationProblem četiri boje. Four colors problem
Osječki matematički list 10(2010), 21 29 21 Problem četiri boje Iva Gregurić, Antoaneta Klobučar Sažetak. U ovom članku pokušat ćemo približiti učenicima srednjih škola jedan od zanimljivijih problema
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationDr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.
Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
More information