A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

Size: px
Start display at page:

Download "A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B"

Transcription

1 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica koja se u pogledu istinitosti podvrgava načelu isključenog trećeg, tj. ona je ili istinita ili neistinita, ali ne i oboje. Najvažnije vrste matematičkih sudova su aksiomi, postulati i teoremi. Prije nego što opišemo ove sudove recimo nešto o operacijama sa sudovima. Osnovne logičke operacije sa sudovima su: negacija ( ), disjunkcija ( ), konjunkcija ( ). Tablice istinosti ovih operacija su: A A A B A B A B A B Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija ( ), čije tablice istinitosti su: A B A B A B Kažemo da su dva složena suda X i Y ekvivalentna ako im se pripadne tablice istinitosti podudaraju, ili ako je sud X Y tautologija. Primjer. Pokažimo da su izjave (A B) i A B ekvivalentne. A B A B (A B) B A B (A B) (A B) 1

2 Aksiom (praistina) je osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koja se smatra istinitom i ne dokazuje se. Pojam i naziv nastaju u starogrčkoj matematici. Primjeri aksioma: Cjelina je veća od dijela. Ako se jednakim stvarima dodaju jednake stvari i cjeline su jednake. V. aksiom o paralelama: Točkom izvan pravca može se povući jedinstven pravac paralelan s tim pravcem. Arhimedov aksiom: Za svaka dva pozitivna realna broja a i b postoji prirodan broj n takav da je na > b. Aksiom izbora (Zermelov aksiom): Neka je zadano beskonačno nepraznih skupova koji su medusobno disjunktni. Tada postoji skup čiji su elementi po jedan element iz svakog od zadanih skupova. Postulat je polazna tvrdnja koja se takoder uzima bez dokaza. Postulat obično izražava neki uvjet koji treba zadovoljavati neki pojam ili neki odnos medu pojmovima. Danas često u matematici izjednačavamo aksiome i postulate, pa često govorimo na primjer o aksiomima površine ili o postulatima površine. Primjeri: Pojam grupe Neka je G neprazan skup, te neka je : G G G binarna operacija na G. Uredeni par (G, ) nazivamo grupa ako vrijede sljedeća svojstva: G1. Za sve elemente a, b, c iz G vrijedi (a b) c = a (b c). G2. Postoji element e G takav da za svaki a G vrijedi a e = e a = a. G3. Za svaki a G postoji element a G takav da je a a = a a = e. Pojam površine Neka je P skup svih poligona u ravnini uključujući i prazan skup. Površina na skupu P je preslikavanje p : P R koje ima sljedeća svojstva: P1. p(p ) 0 za svaki poligon P P. 2

3 P2. Ako je poligon P zbroj poligona P 1 i P 2 onda je p(p )=p(p 1 )+ p(p 2 ). P3. Ako su poligoni P 1 i P 2 sukladni tada su brojevi p(p 1 )ip(p 2 ) jednaki. P4. Postoji bar jedan kvadrat K kojemu je duljina stranice jednaka jedan takav da je p(k) =1. Pojam metrike Neka je V vektorski prostor. Funkciju d : V V R nazivamo metrika ako zadovoljava ova svojstva: M1. Za svaki a V je d(a, a) 0. d(a, a) = 0 akko a =0. M2. Za sve a, b V vrijedi d(a, b) =d(b, a). M3. Za sve a, b, c V vrijedi d(a, b)+d(b, c) d(a, c). U izgradnji neke matematičke teorije iz aksioma i definicija logičkim rasudivanjem izvodimo teoreme. Teorem (poučak, stavak) je matematička izjava čija se istinitost utvrduje dokazom. Obično se misli na istinitu izjavu, iako nije isključeno da je izjava lažna. U formulaciji teorema razlikuju se dva dijela: pretpostavka (uvjet, hipoteza) P i tvrdnja (zaključak, posljedica, teza) Q. Pretpostavka je jedna ili više izjava koje se smatraju istinitima, a tvrdnja je izjava koju treba dokazati. Ponekad učenici imaju poteškoća s odredivanjem što je pretpostavka, a što tvrdnja teorema, a samim tim imaju probleme i pri dokazivanju tog teorema. Stoga nastavnik treba pri obradi teorema uložiti dodatni napor pri rasvjetljavanju tih bitnih dijelova teorema, razlažući ga, pa čak i preformulirajući ga. Dakle, teorem kao sud ima oblik implikacije: P Q. Čitamo: P implicira Q, P povlači Q ili Ako je P, tada je Q, P je dovoljan uvjet za Q, Q je nuždan uvjet za P. Primjer. U sljedećim teoremima istaknimo pretpostavku i tvrdnju teorema. 1. Dijagonale romba su okomite. P: Četverokut je romb. Q: Dijagonale romba su okomite. 3

4 2. Umnožak dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je paran broj. P: Brojevi su uzastopni prirodni brojevi. Q: Umnožak im je paran. 3. U svakom trokutu nasuprot dviju stranica jednakih duljina leže jednaki kutovi. P: U trokutu dvije su stranice jednakih duljina. Q: Kutovi nasuprot tih stranica su jednaki. 4. Zbroj kutova u trokutu je 180. P: Dani (promatrani) poligon je trokut. Q: Zbroj kutova mu je Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi. P: Dani kut je obodni kut nad promjerom. Q: Dani kut je pravi kut je iracionalan broj. P: Broj je 2. Q: Taj je broj iracionalan. 7. Dijagonale paralelograma se raspolavljaju. P: Promatrani lik je paralelogram. Q: Dijagonale mu se raspolavljaju. 8. Dokažite da se broj ne može predstaviti u obliku razlike kvadrata dva prirodna broja. P: a i b su brojevi takvi da je a 2 b 2 = Q: Brojevi a i b nisu prirodni. 9. Svaki se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x x 1 )(x x 2 ) gdje su x 1,x 2 rješenja kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c =0. P: x 1,x 2 su rješenja kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c =0. Q: Kvadratni se trinom ax 2 +bx+c može napisati u obliku a(x x 1 )(x x 2 ). 4

5 Mnogo je lakše otkriti strukturu teorema ako je dan u formi Ako je..., tada je... Teoreme iz prethodnog primjera zapišimo u tom obliku. 1. Ako je dani četverokut romb, onda su njegove dijagonale okomite. 2. Ako su dani uzastopni prirodni brojevi, tada im je umnožak paran. 3. Ako su u trokutu dvije su stranice jednakih duljina, tada su kutovi nasuprot tih stranica jednaki. 4. Ako je dani lik trokut, tada mu je zbroj kutova Ako je kut obodni kut nad promjerom kružnice, tada je dani kut pravi. 6. Ako je promatrani broj 2, tada je on iracionalan broj. 7. Ako je dani lik paralelogram, tada mu se dijagonale raspolavljaju. 8. Ako su a i b brojevi takvi da je a 2 b 2 = , tada brojevi a i b nisu prirodni. 9. Ako su x 1,x 2 rješenja kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c =0, tada se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x x 1 )(x x 2 ). Uz svaki teorem oblika P Q vezujemo izjavu oblika Q P,koju nazivamo obratom teorema. Treba napomenuti da obrat teorema ne mora biti istinita tvrdnja. No, ako je i obrat teorema teorem, tj. istinita tvrdnja, tada ta dva teorema vrlo često zapisujemo kao izjavu oblika P Q i čitamo P je ako i samo ako je Q. Primjer. Teoremima pod rednim brojevima 1. do 5. iz prethodnog primjera napišimo obrat teorema i odredimo istinitost tog obrata. 1. Ako su dijagonale četverokuta okomite, tada je on romb. Ova izjava nije istinita. Protuprimjer je deltoid koji nema sukladne stranice. 2. Ako je umnožak dva prirodna broja paran, tada su ti brojevi uzastopni prirodni brojevi. Ova izjava nije istinita. Protuprimjer su brojevi 4 i Ako su dva kuta trokuta jednaki, tada su i stranice nasuprot njih jednakih duljina. Ovo je istinita tvrdnja. 5

6 4. Ako je zbroj kutova u poligonu jednak 180, taj je poligon trokut. Ovo je istinita tvrdnja. 5. Ako je dan pravi kut, tada je on obodni kut nad promjerom kružnice. Istinita tvrdnja. Izjavu oblika Q P nazivamo kontrapozicija teorema P Q. Sudovi Q P i P Q su medusobno ekvivalentni, što ima velikog značaja pri dokazivanju teorema. Naime, kao što ćemo vidjeti na sljedećem predavanju, umjesto da direktno dokazujemo teorem P Q, ponekad je lakše dokazati kontrapoziciju tog teorema, pa budući da su to logički ekvivalentne izjave, time je dokazan i teorem. Primjer. Pokažimo da su izjave P Q i Q P ekvivalentne. P Q P Q P Q Q P (P Q) ( Q P ) Primjer. Teoremima pod rednim brojevima 1. do 5. izrecimo kontrapozicije. 1. Ako dijagonale četverokuta nisu okomite, tada on nije romb. 2. Ako umnožak dva prirodna broja nije paran, tada ti brojevi nisu uzastopni prirodni brojevi. 3. Ako dva kuta trokuta nisu jednaki tada ni stranice nasuprot njih nisu jednakih duljina. 4. Ako zbroj kutova u poligonu nije jednak 180, tada taj poligon nije trokut. 5. Ako dani kut nije pravi kut, tada on nije obodni kut nad promjerom neke kružnice. 6

7 I konačno, možemo promatrati i obrat kontrapozicije, tj. sud oblika P Q, koji je logički ekvivalentan obratu teorema. Primjer. Teoremima pod rednim brojevima 1. do 5. izrecimo kontrapozicije. 1. Ako četverokut nije romb, tada mu dijagonale nisu okomite. 2. Ako dani prirodni brojevi nisu uzastopni, tada im umnožak nije paran. 3. Ako u trokutu dvije stranice nisu jednakih duljina, tada niti kutovi nasuprot njih nisu jednakih veličina. 4. Ako poligon nije trokut, tada mu zbroj kutova nije Ako kut nije obodni kut nad promjerom, tada taj kut nije pravi. Obrada poučka zahtijeva posebnu pozornost nastavnika matematike. Pravilna obrada poučka omogućuje brži razvoj matematičkog mišljenja učenika i bolje razumijevanje matematike. Pri obradi poučka nastavnik mora obratiti pažnju na precizno formuliranje poučka i eventualno preformuliranje istog, na jasno razlikovanje pretpostavke i tvrdnje te na njihovu ulogu u gradnji poučka, na obrat poučka i njegovu formulaciju. 2 DOKAZI Dokaz teorema P Q u nekoj teoriji je takav konačan niz tvrdnji Q 1,Q 2,...,Q n te teorije u kojem je svaka tvrdnja ili aksiom ili je dobivena iz prethodno dokazanih tvrdnji tog niza po nekom pravilu zaključivanja, te posljednja tvrdnja niza je tvrdnja Q. Dokazivanje poučaka ima svoje mjesto u nastavi matematike. Naime, učeći dokazivati tvrdnje, učenik uči rasudivati, što je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike. Učenik koji se u daljnjem životu i ne ce baviti matematikom kao znanošću, mora znati rasudivati u svakodnevnom životu. Razlikujemo dvije vrste dokaza: direktni i indirektni dokazi. 2.1 Direktni dokazi Kod direktnog dokaza neke tvrdnje Q polazimo od pretpostavke P, primjenom aksioma, definicija i ranije dokazanih teorema, nizom pravilnog zaključivanja dolazimo do tvrdnje Q. 7

8 Navedimo direktne dokaze nekoliko teorema školske matematike. Primjer. Dokažimo teorem: Dijagonale romba su okomite. Dokaz. Pretpostavka ovog teorema je da je promatrani četverokut romb. Definicija romba glasi: romb je paralelogram jednakih stranica. Budući da je romb paralelogram i za njega vrijedi svojstvo da mu se dijagonale raspolavljaju. Nacrtajmo romb ABCD i točku presjeka dijagonala označimo sa S. Promatramo trokute ABS i BCS. Imaju zajedničku stranicu SB, a za ostale stranice vrijedi: AB = BC (romb ima sukladne stranice), AS = SC (dijagonale mu se raspolavljaju. Dakle, prema teoremu S-S-S, trokuti ABS i BCS su sukladni, pa su i kutovi ASB i BSC sukladni. Budući da su to susjedni (suplementni) kutovi, slijedi da se radi o pravim kutovima. Dakle, AC BD, što je i trebalo dokazati. Primjer. Dokažimo teorem: Umnožak dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je paran broj. Dokaz. Pretpostavka teorema je: Promatrani prirodni brojevi su uzastopni. Neka su a i a + 1 dva uzastopna prirodna broja. Pri dokazu koristimo metodu razlikovanja slučajeva. 1. Neka je a paran broj. Tada je a oblika a =2k, k N. Tada je umnožak a(a + 1) jednak a(a +1)=2k(2k + 1), što je očito djeljivo s 2, jer je oblika 2m, gdje je m = k(2k + 1) prirodan broj. 2. Neka je a neparan broj, tj. oblika a = 2k 1, k N. Tada je a(a + 1) = (2k 1)(2k) =2k(2k 1), što je opet paran broj. Primjer. Dokažimo teorem: Ako su u trokutu dvije stranice jednakih duljina, tada nasuprot njih leže sukladni kutovi. Dokaz. Pretpostavimo da su u trokutu ABC stranice AC i BC jednakih duljina. Spustimo iz vrha C visinu na stranicu AB i označimo nožište visine s D. Tada trokuti ADC i BCD imaju jednu zajedničku stranicu DC, stranice AC i BC su sukladne, te kutovi uz vrh D su pravi, tj. sukladni. Prema 4. teoremu o sukladnosti trokuta, ta su dva trokuta sukladna, pa su im sukladni i svi kutovi, a specijalno i kutovi CAB i CBA, što je i trebalo dokazati. Primjer. Dokažimo teorem: Zbroj kutova u trokutu jednak je

9 Dokaz. Neka je dan trokut ABC. Točkom C povucimo paralelu DE s pravcem AB. Postojanje i jedinstvenost ove paralele dana je aksiomima euklidske geometrije. Pravac AC je transverzala (presječnica) paralelnih pravaca AB i DC, pa su prema teoremu o kutovima uz transverzalu kutovi CAB i DCA sukladni, tj. α = DCA. Iz istog razloga vrijedi i β = BCE. Sad je 180 = DCE = DCA + ACB + BCE = α + γ + β. Primjer. Dokažimo Pitagorin teorem: U pravokutnom trokutu ABC s pravim kutom pri vrhu C vrijedi c 2 = a 2 + b 2. Dokaz 1. Neka je ABC dani pravokutni trokut, te neka je CD visina na hipotenuzu. Duljinu odsječka AD na hipotenuzi označimo s p, a odsječka DB s q. Prema Euklidovom poučku vrijedi: a = cp, b = cq. Kvadriranjem tih jednakosti i zbrajanjem dobivamo a 2 + b 2 = cp + cq = c(p + q) =c 2. Dokaz 2. Nacrtajmo kvadrat MNPQ stranice duljine a+b, te na njegovim stranicama MN, NP, PQ, QM točke E,F,G,H redom, tako da je ME = NF = PG = QH = a. Trokuti HME, ENF, FPG i GQE su sukladni trokutu ABC (dvije stranice su im duge a i b, te kut izmedu njih je pravi). Četverokut EFGH je kvadrat jer ima sve četiri stranice duge c, a i kutevi su mu pravi ( HEF = 180 HEM FEN =90 ). Izračunamo li površinu kvadrata MNPQ na dva načina dobivamo (a + b) 2 = c 2 +4 ab 2, a2 +2ab + b 2 = c 2 +2ab, a 2 + b 2 = c 2, što je i trebalo dokazati. Primjer. (AG nejednakost) Za pozitivne brojeve a i b vrijedi a + b ab 2. Dokaz. Vrijedi (a b) 2 0, pa kvadriranjem binoma i daljnjim transformiranjem dobivamo ovaj niz nejednakosti a 2 2ab+b 2 0, a 2 +2ab+b 2 4ab, (a + b) 2 4ab, a + b 2 ab, ab a+b 2. 9

10 Primjer. (Obrat Pitagorina poučka) Ako u trokutu ABC vrijedi c 2 = a 2 + b 2, tada je trokut pravokutan s pravim kutom pri vrhu C. Dokaz. Promotrimo trokut A B C s pravim kutom pri vrhu C i za kojeg je a = a i b = b. Tada prema Pitagorinom teoremu vrijedi c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = c 2, tj. c = c. No to znači da su trokuti ABC i A B C sukladni (SSS teorem), pa je i trokut ABC pravokutan s pravim kutom pri vrhu C. 2.2 Indirektni dokazi Indirektni dokaz tvrdnje P Q sastoji se u nastojanju da se dokaže da suprotna tvrdnja Q nije istinita. Medu indirektnim dokazima dva su koja se vrlo često primjenjuju: dokaz po kontrapoziciji i dokaz svodenjem na kontradikciju. Dokaz po kontrapoziciji zasniva se na ekvivalenciji sudova P Q i Q P. Dakle, u dokazu po kontrapoziciji, pretpostavljamo da vrijedi tvrdnja Q, te nizom logičkih koraka dolazimo do istinitosti tvrdnje P. Evo nekoliko primjera iz školske matematike dokaza po kontrapoziciji. Primjer. Ako je a 2 paran broj, tada je i broj a paran. Dokaz. Pretpostavka P teorema glasi: Broj a 2 je paran. Tvrdnja Q teorema glasi: Broj a je paran. Pretpostavimo da vrijedi Q: Broj a nije paran. Treba dokazati da vrijedi P : Broj a 2 nije paran. Ako a nije paran, tada je on oblika a =2k 1, k N. Tada je a 2 =4k 2 4k + 1 = 2(2k 2 2k) + 1, tj. a 2 je neparan, što je i trebalo dokazati. Primjer. Ako je τ temeljni period funkcije f, tada je τ, a>0, temeljni a period funkcije g(x) = f(ax). Dokaz. P: Broj τ je temeljni period funkcije f. Q: Broj τ, a>0, temeljni je period funkcije g(x) =f(ax). a Prvo direktnim dokazom dokažimo da je τ, a>0, period funkcije g(x) = a f(ax). g(x + τ a )=f(a(x + τ )) = f(ax + τ) =f(ax). a Dokazom po kontrapoziciji pokazat ćemo da je τ a najmanji period. Pret- 10

11 postavimo da τ a nije temeljni period, tj. da postoji period T,0<T <τ a. Tada vrijedi 0 < at < τizaat vrijedi f(x + at )=f(a( x a + T )) = g(x a + T )=g(x a )=f(x), tj. at je period i za funkciju f i uz to je at < τ. Dakle, proizlazi da τ nije najmanji period za f, što je upravo negacija pretpostavke P. Primjer. Dokažimo da je funkcija f : R R, f(x) =3x + 7 injekcija. Dokaz. Treba dokazati da za svaka dva različita broja x 1,x 2 vrijedi f(x 1 ) f(x 2 ). Ovdje je P: Brojevi x 1 i x 2 su različiti. Tvrdnja Q glasi: f(x 1 ) f(x 2 ). Pretpostavimo da je f(x 1 )=f(x 2 ). Tada je 3x 1 +7 = 3x 2 +7, 3x 1 =3x 2, x 1 = x 2. Dakle, iz Q dobili smo P, čime je početna tvrdnja dokazana po kontrapoziciji. Ako pretpostavka teorema ima oblik konjunkcije P = P 1 P 2, tada je kontrapozicija oblika (P 1 Q) P 2 ili (P 2 Q) P 1. Primjer. Dokažimo ekvivalenciju tvrdnji (P 1 P 2 ) Q i(p 1 Q) P 2. P 1 P 2 Q P 1 P 2 (P 1 P 2 ) Q P 1 Q P 2 (P 1 Q) P 2 Ukoliko teorem dokazujemo koristeći prethodnu ekvivalenciju, kažemo da dokazujemo po proširenoj kontrapoziciji. Evo i primjera takve vrste dokaza. Primjer. Neka se pravci a i b sijeku u točki T. Ako pravac c siječe i pravac a i pravac b, a nije komplanaran s njima, tada on prolazi točkom T. Dokaz. P 1 : Pravci a i b su ukršteni i pravac c siječe i pravac a i pravac b. P 2 : Pravac c nije komplanaran s pravcima a i b. 11

12 Q: Pravac c prolazi točkom T. Pretpostavimo P 1 i Q. Označimo s M i N presjek pravca c s pravcima a i b respektivno. Točke M,N,T su različite. Pravac c ne prolazi točkom T, pa se ni M niti N ne mogu podudarati s točkom T. Takoder i točke M i N su medusobno različite jer kad bi bile jednake to bi značilo da je to točka presjeka sva tri pravca, specijalno, to bi bio presjek pravaca a i b, tj. radilo bi se o točki T, a upravo smo u prethodnoj rečenici obrazložili da se ni M niti N ne mogu podudarati s točkom T. Uz to te su točke i nekolinearne, jer c = MN i T c. Dakle, te tri različite nekolinearne točke odreduju jednu ravninu π kojoj pripadaju pravci a, b, c. Drugim riječima, c je komplanaran s pravcima a i b. Time smo dobili P 2. Dakle, po proširenoj kontrapoziciji, vrijedi tvrdnja dana u primjeru. Primjer. Dokažimo obrat Pitagorina poučka: Ako u trokutu ABC vrijedi c 2 = a 2 + b 2, tada je kut pri vrhu C pravi kut. Dokaz. Pretpostavimo da kut C nije pravi kut. Tada je ili šiljasti ili tupi. Ako je C šiljasti tada visina iz vrha A na stranicu BC ima nožište D upravo na toj stranici. Označimo CD = x, x>0. Tada koristeći Pitagorin poučak u trokutima ACD i DB dobivamo Komparacijom dobivamo h 2 a = b2 x 2, h 2 a = c2 (a x) 2. b 2 x 2 = c 2 (a x) 2, tj. c 2 = a 2 + b 2 2ax < a 2 + b 2, što je u suprotnosti s pretpostavkom poučka. Ako je C tupi kut, tada analognim postupkom dobivamo da je c 2 > a 2 + b 2, što je takoder u suprotnosti s pretpostavkom poučka. Dakle, u oba slučaja dobivamo negaciju pretpostavke da je c 2 = a 2 + b 2, pa je obrat Pitagorina poučka dokazan po kontrapoziciji. Dokaz svodenjem na kontradikciju (reductio ad absurdum) zasniva se na ekvivalencijama sudova P Q i(p Q) (A A) ili P Q i (P Q) F, gdje je s F označen neistinit (false) sud. Dakle, u dokazu po kontrapoziciji, pretpostavljamo da vrijedi tvrdnja P Q, te nizom logičkih koraka dolazimo do neke tvrdnje koja je lažna ili do situacije da istovremeno vrijede i neka tvrdnja A i njezina negacija A. 12

13 Prvo dokažimo gore spomenute ekvivalencije. Budući da je A A lažan sud, dovoljno će biti provjeriti je li tvrdnja (P Q) ((P Q) F ) tautologija. P Q P Q F Q P Q (P Q) F (P Q) ((P Q) F ) Primjer. Ako je a = p 1 p 2...p k umnožak različitih prostih brojeva, tada je a iracionalan broj. (Elezović, Matematika 2, 2. razred gimnazije). Dokaz. Ovo je generalizacija poznate tvrdnje da 2 nije racionalan broj. Pretpostavimo da je a = p 1 p 2...p k umnožak različitih prostih brojeva, te da je a racionalan broj (to je sud P Q). Tada postoje prirodni brojevi m i n takvi da je m a = n i da je M(m, n) = 1. Ulogu tvrdnje A iz gornje opisane ekvivalencije imat će upravo tvrdnja da je M(m, n) =1. Tada je n 2 = am 2, tj. n 2 p 1 p 2...p k = m 2. Prost broj p 1 dijeli lijevu stranu identiteta, pa dijeli i desnu, tj. p 1 dijeli broj m 2, odakle slijedi da dijeli i m (dokažite!). Dakle, m je oblika m = p 1 t. Sada je n 2 p 1 p 2...p k = p 2 1 t2, što nakon dijeljenja s p 1 poprima oblik n 2 p 2...p k = p 1 t 2. Sad zaključujemo da p 1 dijeli desnu stranu jednakosti, pa dijeli i lijevu, a budući da su p i medusobno različiti prosti brojevi slijedi da p 1 dijeli n 2, tj. p 1 dijeli n. Dakle, mjera brojeva m i n je barem p 1 > 1, tj. dobili smo da istovremeno vrijedi i negacija tvrdnje da je M(m, n) = 1. Drugim riječima, dobili smo kontradikciju. Dakle, suprotna tvrdnja Q nije istinita, te je istinita tvrdnja Q. Primjer. Dokažimo da se broj ne može predstaviti u obliku razlike kvadrata dva prirodna broja. Dokaz. Pretpostavimo da vrijedi Q, tj. da postoje dva prirodna broja a i b takvi da je a 2 b 2 = Tada je = (a b)(a + b). Budući da 2 dijeli broj , slijedi da 2 dijeli i umnožak (a b)(a+b). Budući da je 2 prost broj, on dijeli ili broj a b ili broj a + b. Brojevi a b i a + b su brojevi iste parnosti (ili oba parna ili oba neparna), pa su dakle, u ovom slučaju oba 13

14 parni. No to znači da je umnožak (a b)(a + b) djeljiv s 4. Sad slijedi da je i broj djeljiv s 4, a to je neistinita tvrdnja. Dakle, dokazali smo da iz P Q slijedi F : Broj 4 dijeli , dakle, vrijedi P Q. Primjer. Skup prostih brojeva je beskonačan. Dokaz. Pretpostavimo suprotno da je skup prostih brojeva konačan, te ga zapišimo u obliku P = {2, 3, 5, 7,...,p} gdje je p najveći prosti broj. Promatrajmo broj q = p +1. Broj q je veći od p, pajeq složen broj (tvrdnja A). Ali očito je da q nije djeljiv ni s jednim prostim brojem iz skupa P (pri dijeljenju sa svakim od njih ostatak je 1), pa je dakle, broj q prost broj. Dakle, istovremeno vrijedi i negacija tvrdnje A. Time smo došli u kontradikciju. Primjer. (AG nejednakost) Za pozitivne brojeve a i b vrijedi Dokaz. Pretpostavimo da vrijedi ab a + b 2. ab > a + b 2. Tada bi dobili a + b 2 ab < 0, ( a b) 2 < 0 što je lažna izreka. Dakle, ovo je oblik kontradikcije (P Q) F. Primjer. (Obrat Pitagorina poučka) Ako u trokutu ABC vrijedi c 2 = a 2 + b 2, tada je trokut pravokutan s pravim kutom pri vrhu C. Dokaz po kontradikciji. Pretpostavimo da kut ACB nije pravi kut. Tada je ili šiljasti ili tupi. Ako je ACB < 90, tada je h a b, tj. x>0 gdje je x udaljenost od vrha C do nožišta visine h a. Tada imamo h 2 = b 2 x 2, h 2 = c 2 (a x) 2 pa izjednačavanjem lijevih strana dobivamo b 2 x 2 = c 2 (a x) 2. 14

15 Nakon kvadriranja binoma i korištenja relacije c 2 = a 2 + b 2 dobivamo ovo: b 2 x 2 = c 2 a 2 +2ax x 2, 2ax = 0, pa je x = 0 što je u kontradikciji s x>0. Analogno se dokazuje i u slučaju kad je kut tupi. Literatura: Z. Kurnik, Poučak ili teorem, MIŠ 8, (2000), Z. Kurnik, Dokaz, MIŠ 9, (2000), M. Vuković, Indirektni dokazi, MFL, br. 172,

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZGREU PRIRODOSLOVNO MTEMTIČKI FKULTET MTEMTIČKI ODSJEK Ivana Major Šomodi SLIČNOST I HOMOTETIJ Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc Sanja Varošanec Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Neeuklidska geometrija

Neeuklidska geometrija Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ivana Lukanović Neeuklidska geometrija Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

OSNOVE GEOMETRIJE. Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014.

OSNOVE GEOMETRIJE. Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014. OSNOVE GEOMETRIJE Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014. i ii Sadrµzaj PREDGOVOR OZNAKE v vii 1 POVIJESNI PREGLED 1 1.1 EUKLID I NJEGOVI ELEMENTI................ 1 1.2 SADRµZAJ PRVE KNJIGE

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Afine transformacije ravnine

Afine transformacije ravnine 1/ 7 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 12 http://emathhr/ Afine transformacije ravnine Harun Šiljak Sadržaj: 1 Uvod 2 Primjeri riješenih zadataka 3 Zadaci za samostalan rad Literatura

More information

Konstrukcije ravnalom i šestarom

Konstrukcije ravnalom i šestarom Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Emanuela Vrban Konstrukcije ravnalom i šestarom Diplomski rad Osijek, 2013. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Erdös-Mordellova nejednakost

Erdös-Mordellova nejednakost Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

Harmoniteti. Matija Bucić, Domagoj Ćevid. 20. lipnja 2016.

Harmoniteti. Matija Bucić, Domagoj Ćevid. 20. lipnja 2016. Harmoniteti Matija Bucić, Domagoj Ćevid 20. lipnja 2016. 1 Uvod Harmoniteti su jedan od veoma korisnih alata koje jedan olimpijac treba znati. To je posebna konfiguracija točaka ili pravaca koja se pojavljuje

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Dokazi Pitagorina teorema

Dokazi Pitagorina teorema Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ružica Čeme Dokazi Pitagorina teorema Diplomski rad Osijek, 014. Sveučilište J.J. Strossmayera

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Natalija Tvrdy Vektori u nastavi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Dokazi na matematičkim natjecanjima

Dokazi na matematičkim natjecanjima 1 / 31 Dokazi na matematičkim natjecanjima Azra Tafro Stručno-metodičke večeri Nastavne sekcije HMD-a Zagreb, PMF-MO, 5. prosinca 2018. 2 / 31 Motivacija Dokaži... = najveći neprijatelj prosječnog učenika.

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections

Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Original Scientific Paper Received: 24-1 1-201 7 Accepted: 06-01 -201 8 Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Miljenko LAPAI NE University of Zagreb, Faculty of Geodesy, Kačićeva

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

NAPREDNE TEME IZ GEOMETRIJE PROSTORA U NASTAVI MATEMATIKE

NAPREDNE TEME IZ GEOMETRIJE PROSTORA U NASTAVI MATEMATIKE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Mihaela Bahun NAPREDNE TEME IZ GEOMETRIJE PROSTORA U NASTAVI MATEMATIKE Diplomski rad Zagreb, 014. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Matematičari starog vijeka

Matematičari starog vijeka Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Antun Vidić Matematičari starog vijeka Diplomski rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Sadržaj današnjeg predavanja 1. Kratki sadržaj kolegija. 2. Literatura. 3. Kratka povijest nastanka teorije skupova. 4. Osnovne napomene na početku kolegija.

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Racionalne Diofantove šestorke

Racionalne Diofantove šestorke Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Problem četiri boje. Four colors problem

Problem četiri boje. Four colors problem Osječki matematički list 10(2010), 21 29 21 Problem četiri boje Iva Gregurić, Antoaneta Klobučar Sažetak. U ovom članku pokušat ćemo približiti učenicima srednjih škola jedan od zanimljivijih problema

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information