Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku"

Transcription

1 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016.

2 Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad mentorica: izv.prof.dr.sc. Mihaela Ribičić Penava Osijek, 2016.

3 Sadržaj 1. Uvod 4 2. Definicija i svojstva ortogonalnih polinoma Tročlana rekurzija i Christoffel-Darbouxova formula Još neki načini definiranja ortogonalnih polinoma Čebiševljevi polinomi prve vrste Ortogonalnost Čebiševljevih polinoma prve vrste Rekurzivna relacija Čebiševljev problem Čebiševljevi polinomi druge vrste Rekurzivna relacija Laguerrovi polinomi Ortogonalnost Laguerrovih polinoma Rekurzivna relacija Laguerrovih polinoma Hermiteovi polinomi Legendreovi polinomi Primjene ortogonalnih polinoma Gaussove kvadraturne formule Zaključak Sažetak Summary Životopis 39 3

4 1. Uvod Čebiševljevi polinomi prve vrste, Čebiševljevi polinomi druge vrste, Laguerrovi polinomi, Hermiteovi polinomi i Legendreovi polinomi pripadaju skupu ortogonalnih polinoma. Za dva polinoma reći ćemo da su ortogonalna ako je njihov skalarni produkt jednak nuli. Ortogonalni polinomi prvi put se pojavljuju krajem devetnaestog stoljeća kada je P. L. Chebyshev proučavao verižne razlomke. Zbog niza dobrih svojstava, imaju veliku primjenu u raznim granama numeričke matematike, npr. kod Gaussovih kvadraturnih formula koriste se ortogonalni polinomi. Upravo ovih pet tipova ortogonalnih polinoma, navedenih na početku, nazivamo klasični ortogonalni polinomi. Nastali su rješavanjem diferencijalih jednadžbi drugog reda. Definirat ćemo svaki od njih, navesti osnovna svojstva i nabrojati prvih nekoliko polinoma svake vrste. 4

5 2. Definicija i svojstva ortogonalnih polinoma Definicija 1. Za dva polinoma u i v reći ćemo da su ortogonalni na segmentu [a, b] ako je njihov skalarni produkt, u odnosu na težinsku funkciju w, w (x) 0 na [a, b], jednak nuli tj. u, v = b a w (x) u (x) v (x) dx = 0. (1) Na sličan način kažemo da je niz polinoma u 0, u 1, u 2,..., gdje je u k polinom stupnja k, k N 0, ortogonalan na segmentu [a, b] ako je u m, u n = b a w (x) u m (x) u n (x) dx = 0 (2) za svako m n, m, n N 0, gdje je w pripadna težinska funkcija. U nastavku ćemo od zadanog niza polinoma u 0, u 1,..., u n, n N 0, konstruirati ortogonalni niz polinoma, ali prvo ćemo objasniti kako se računa norma polinoma. Neka je dan otvoren interval a, b i na njemu težinska funkcija w. Normu polinoma v računamo na sljedeći način: b v = a w (x) v (x) 2 dx. (3) Neka je u 0, u 1, u 2,... niz polinoma na otvorenom intervalu a, b takav da su svi polinomi medusobno linearno nezavisni i integrabilni. Nadalje, neka je b d 0 = u 0 = u 0 (x) 2 dx a p 0 (x) = u 0(x) d 0 5

6 tako da je p 0 = 1. Neka je a 1,0 = u 1, p 0 = b P 1 (x) = u 1 (x) a 1,0 p 0 (x), b a u 1 (x) p 0 (x) dx, Tada je d 1 = P 1 = p 1 (x) = P 1(x) d 1. a P 1 (x) 2 dx, b a b a P 1 (x) p 0 (x) dx = p 1 (x)p 0 (x) dx = b a b a p 1 = 1. (u 1 (x) a 1,0 p 0 (x)) p 0 (x) dx = 0, P 1 (x) P 1 p 0(x)dx = 1 P 1 b a P 1 (x) p 0 (x) dx = 0, Općenito, neka su polinomi p 2, p 3,... uzastopno definirani na sljedeći način a n,k = u n, p k = b a n 1 P n (x) = u n (x) a n,k p k (x), k=0 b u n (x) p k (x) dx, k {0, 1,..., n 1} d n = P n = p n (x) = P n (x) d n. a P n (x) 2 dx, Metodom matematičke indukcije nije teško pokazati da je svaki polinom p n ortogonalan na polinome p 0, p 1,..., p n 1 te da je svaki polinom normaliziran 1. U ovom radu nećemo dokazivati tu tvrdnju. Polinome koji su ortogonalni i normalizirani nazivamo ortonormiranim polinomima. Opisani postupak za konstrukciju ortogonalnog niza polinoma iz danog niza polinoma poznat je pod nazivom Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. 1 Norma polinoma jednaka je jedan. 6

7 Primjer 1. Primjenom Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije, konstruirajte ortonormirani skup polinoma za skup polinoma {1, x, x 2 } na intervalu 2, 2. Neka je 2 d 0 = 1 = 1 2 dx = 2, 2 Nadalje, tako da je p 0 (x) = p 0 = (p 0 (x)) 2 dx = 2 2 a 1,0 = x, p 0 = 2 2 x 1 dx = 0, 2 ( ) 1 2 dx = 1 2 P 1 (x) = x a 1,0 p 0 (x) = x 0 p 0 (x) = x, 2 d 1 = x = x dx = 2 3, p 1 (x) = x 3 = 4 x p 1 (x) p 0 (x) dx = 0, 2 p 1 = (p 1 (x)) 2 dx = 1. 2 Još nam preostaje izračunati p 2. Neka je a 2,0 = x 2, p 0 = a 2,1 = x 2, p 1 = x 2 dx = 8 3, 3 x 2 xdx = 0, 4 P 2 (x) = x 2 a 2,0 p 0 (x) a 2,1 p 1 (x) = x 2 4 3, d 2 = x = 2 p 2 (x) = x = ( x 2 4 ) dx = , ( x 2 4 ) 3 7

8 tako da je p 2 (x) p 0 (x) dx = 0, p 2 (x) p 1 (x) dx = 0, 2 p 2 = (p 2 (x)) 2 dx = 1. 2 Dobili smo novi ortonormirani skup { 1 3 2, 4 x, ( x 2 4 3) }. (4) Sljedeći teorem govori nam o jedinstvenosti ortonomiranog niza na proizvoljnom segmentu [a, b]. Teorem 1. Za svaki proizvoljno izabrani segment [a, b] i težinsku funkciju w, w(x) 0 na [a, b], postoji samo jedan, s točnošću do na predznak, ortonormirani niz polinoma p 0, p 1, p 2, p 3,... U dokazu ovog teorema, koji nećemo dokazivati, koristi se Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije, a zainteresirani ga mogu pogledati u [3]. U sljedećim teoremima iskazana su samo neka svojstva ortogonalnih polinoma, a detaljnije o svojstvima može se pogledati u [1], [3], [6] i [8]. Teorem 2. Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b], te neka je w, w (x) 0, pripadna težinska funkcija. Ako je f polinom stupnja m, tada vrijedi f(x) = m i=0 f, p i p i, p i p i(x). Dokaz: Neka je f proizvoljan polinom stupnja m, za neki m N 0. Budući da je skup {1, x, x 2,..., x m } (5) 8

9 baza vektorskog prostora P m 2, tada f možemo zapisati u obliku sljedeće linearne kombinacije f(x) = m b i x i. i=0 Sada ćemo, koristeći Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije i metodu matematičke indukcije, dokazati da se skup monoma (5) može prikazati pomoću ortogonalnih polinoma. Za ortogonalni polinom nultog stupnja nužno je da je konstanta različita od nule, tj. p 0 (x) = a 0,0, a 0,0 0, što znači da se prvi monom 1 može zapisati kao 1 = 1 a 0,0 p 0 (x). Za polinome stupnja jedan, iz Gram-Schmitovog postupka ortogonalizacije sustava polinoma {1, x} dobivamo tj. vrijedi p 1 (x) = a 1,1 x + a 1,0 p 0 (x), a 1,1 0, x = 1 a 1,1 [p 1 (x) a 1,0 p 0 (x)]. Nastavljajući ovaj postupak u Gram-Schmidtovom procesu na { 1, x, x 2, x 3,..., x m} dobivamo p m (x) = a m,m x m + a m,m 1 p m 1 (x) + + a m,0 p 0 (x), a m,m 0, gdje su p 0, p 1, p 2,..., p m 1 dobiveni Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije iz { 1, x, x 2,..., x m 1}, odakle slijedi x m = 1 a m,m [p m (x) a m,m 1 p m 1 (x) a m,0 p 0 (x)]. Budući da se f može prikazati kao linearna kombinacija skupa monoma (5), a pokazali smo da (5) možemo prikazati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih 2 Skup svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog m. 9

10 polinoma, odatle slijedi da i f možemo prikazati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih polinoma, tj. f(x) = m c i p i (x). i=0 Još nam preostaje odrediti koeficijente c i. Ako skalarno pomnožimo polinom f sa polinomom p m dobivamo f, p m = m c i p i, p m = c m p m, p m i=0 zbog ortogonalnosti polinoma p i i p m za i m. Odatle odmah slijedi da je jer je p m 2 = p m, p m > 0. c m = f, p m p m, p m Preostale koeficijente c i, i {0, 1,..., n 1}, dobijemo na analogan način ako polinom f pomnožimo sa ortogonalnim polinomom p i. Prethodni teorem daje nam jedno vrlo bitno svojstvo ortogonalnih polinoma, a to je da svaki polinom stupnja m možemo zapisati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih polinoma {p 0, p 1,..., p m }, za m N 0. Ako bismo razvoj polinoma f stupnja m napisali tako da suma ide do + onda bi svi dodatni koeficijenti c i, za i > m, bili jednaki nula, tj. c i = 0 za svaki i > m. To nam govori sljedeći korolar. Korolar 1. Neka je f polinom stupnja manjeg ili jednakog m 1. Tada je f, p m = 0, (6) tj. p m je okomit na f. Dakle ortogonalni polinom stupnja m, p m, je okomit na sve polinome stupnja strogo manjeg od m. 10

11 Dokaz: Prema prethodnom teoremu polinom f možemo zapisati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih polinoma stupnja manjeg ili jednakog m 1, tj. f(x) = m 1 i=0 c i p i (x). Množenjem prethodne jednakosti s w (x) p m (x), zatim integriranjem dobivamo f, p m = m 1 i=0 c i p i, p m = 0 jer općenito vrijedi p n, p m = 0, za sve n m. Teorem 3. Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w (x) 0 na [a, b]. Tada svaki polinom p n ima točno n različitih, jednostrukih realnih nultočaka na intervalu a, b. Dokaz teorema može se pogledati u [6]. Ortogonalni polinomi mogu se prikazati pomoću rekurzivne relacije, funkcija izvodnica 3, Rodrigueosve formule i kao rješenja diferencijalnih jednadžbi. Prvo ćemo navesti općenite oblike za sve navedeno, a kasnije ćemo točno napisati kako glase rekurzivne relacije, funkcije izvodnice, Rodriguesove formule te diferencijalne jednadžbe za svaku vrstu ortogonalnih polinoma Tročlana rekurzija i Christoffel-Darbouxova formula Neka je zadana familija ortogonalnih polinoma {p n, n N 0 }, na segmentu [a, b] i neka su prva dva koeficijenta polinoma p n jednaki p n (x) = A n x n + B n x n 1 +, A n 0. Polinom p n možemo zapisati na sljedeći način p n (x) = A n (x x n,1 ) (x x n,2 ) (x x n,3 ) (x x n,n ), 3 Za svaki niz (c n) kompleksnih brojeva možemo definirati funkciju f(z) = c 0 + c 1z + c 2z 2 + = c nz n n=0 koju nazivamo funckija izvodnica niza (c n). 11

12 gdje su x n,i, i = 1, 2,..., n, n N, nultočke ortogonalnih polinoma p n. Definiramo sljedeće konstante pri čemu je α n R i b n R +. α n = A n+1 A n, b n = p n, p n > 0, (7) Vrijedi sljedeći teorem poznat pod nazivom Tročlana rekurzija. Teorem 4. (Tročlana rekurzija) Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0 na [a, b]. Tada za n 1 vrijedi sljedeća relacija gdje su β n i γ n definirani kao Dokaz: Promotrimo polinom p n+1 (x) = (α n x + β n ) p n (x) γ n p n 1 (x), (8) β n = α n ( B n+1 B n ), γ n = A n+1a n 1 b n A n+1 A n A 2. (9) n b n 1 L(x) = p n+1 (x) α n xp n (x) = (A n+1 x n+1 + B n+1 x n + ) A n+1 x(a n x n + B n x n 1 + ) A ( n = B n+1 A ) n+1b n x n +. A n Stupanj polinoma L je manji ili jednak n. Prema Teoremu 2., polinom L možemo zapisati kao linearnu kombinaciju ortogonalnih polinoma stupnja manjeg ili jednakog n. Dakle, L(x) = λ n p n (x) + λ n 1 p n 1 (x) + λ 0 p 0 (x) pri čemu su λ i, i = 0, 1,..., n, konstante. Opet prema Teoremu 2., konstante λ i možemo izračunati Vrijede sljedeće dvije stvari: λ i = L, p i p i, p i = 1 b i ( p n+1, p i α n xp n, p i ). p n+1, p i = 0 za sve i n, 12

13 xp n, p i = b a w(x)p n (x)xp i (x)dx = 0, za i n 2. Prema tome možemo zaključiti da je stupanj polinoma xp i (x) manji ili jednak n 1. Uzevši u obzir ta dva rezultata, dobivamo λ i = 0 za 0 i n 2. Odatle slijedi da je L(x) = λ n p n (x) + λ n 1 p n 1 (x) p n+1 (x) = (α n x + λ n )p n (x) + λ n 1 p n 1 (x). Preostaje nam još odrediti koliki su koeficijenti λ n 1 i λ n. Ako iz prve od predhodne dvije jednakosti usporedimo vodeći koeficijent polinoma L s vodećim koeficijentom polinoma s desne strane onda dobivamo izraz kojem je jednaka konstanta λ n. Teorem 5. (Christoffel-Darbouxova formula) Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0 na [a, b]. Tada vrijedi sljedeća formula n k=0 p k (x)p k (y) b k = p n+1(x)p n (y) p n (x)p n+1 (y) α n b n (x y) (10) gdje su α n i b n definirane jednako kao u Tročlanoj rekurziji (7). Formula (10) se naziva Christoffel-Darbouxova formula. Prvi ju je izveo Christoffel samo za Legendreove polinome. Poopćenje za ortogonalne polinome sa proizvoljnom težinskom funkcijom dao je Darboux. Dokaz ovog teorema je vrlo jednostavan. Temelji se na manipulaciji Tročlane rekurzije pa ćemo ga izostaviti, a zainteresirani ga mogu pogledat u [3]. Detaljnije o Christoffel-Darbouxovoj formuli može se pogledati u [8] Još neki načini definiranja ortogonalnih polinoma Funkcije izvodnice Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s 13

14 težinskom funkcijom w, w(x) 0. Opći oblik funkcija izvodnica za ortogonalne polinome je g(x, t) = a i p i (x)t i, i=0 gdje je (a i ) niz realnih brojeva. Diferencijalna jednadžba Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0. Karakteritično za sve ortogonalne polinome je to što zadovoljavaju diferecijalnu jednadžbu g 2 (x)y + g 1 (x)y + g 0 (x)y = 0, (11) gdje su g 0, g 1 i g 2 polinomi različiti za svaku vrstu ortogonalnih polinoma. Kasnije ćemo navesti koliko iznose g 0, g 1 i g 2 za svaku vrstu ortogonalnih polinoma, tj. reći ćemo kako glasi njihova diferencijalna jednadžba. Rodriguesova formula Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0. Tada vrijedi sljedeća formula p n (x) = d n 1 e n w(x) dx {w(x)[g(x)]n }, (12) gdje su broj e n i polinom g različiti za svaku vrstu ortogonalnih polinoma. Formula (12) se naziva Rodriguesiva formula za ortogonalne polinome. Naziv je dobila po matematičaru, Olindeu Rodriguesu, koji ju je prvi dokazao. Kada budemo obradivali vrste polinoma, za svaku vrstu navest ćemo kako glasi njegova Rodriguesova formula. 14

15 3. Čebiševljevi polinomi prve vrste Čebiševljevi polinomi prve vrste posebna su vrsta ortogonalnih polinoma. Najčešće se označavaju s T n, n N 0. Čebiševljev polinom prve vrste n-tog stupnja, T n, jedno je rješenje Čebiševljeve diferencijalne jednadžbe (1 x 2 )y xy + n 2 y = 0. (13) Čebiševljevi polinomi prve vrste definirani su uz identitet T n (cos θ) = cos (nθ). (14) Uvodeći supstituciju x = cos θ dobivamo T n (x) = cos (n arccos(x)), (15) x [ 1, 1], što daje eksplicitnu formulu za računanje Čebiševljevih polinoma prve vrste. Izvod formule (14) dosta je dugačak i složen pa ju nećemo izvoditi u ovom radu. Zainteresirani izvod mogu vidjeti u [1]. Prvih sedam Čebiševljevih polinoma prve vrste su T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T 2 (x) = 2x 2 1, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x 2 + 1, T 5 (x) = 16x 5 20x 3 + 5x, T 6 (x) = 32x 6 48x x 2 1. Čebiševljevi polinomi prve vrste mogu se prikazati pomoću funkcija izvodnica 1 t 2 g 1 (t, x) = 1 2xt + t 2 = T 0 (x) + 2 T n (x)t n n=1 15

16 i gdje su x 1 i t < 1. 1 xt g 2 (t, x) = 1 2xt + t 2 = T n (x)t n, n=0 Rodriguesova formula za Čebiševljeve polinome prve vrste glasi T n (x) = ( 1)n π (1 x 2 ) 2 ( d n n 1 ) n 2! dx n [ (1 x 2 ) n 3.1. Ortogonalnost Čebiševljevih polinoma prve vrste Čebiševljevi polinomi prve vrste su ortogonalni na segmentu [ 1, 1] s obzirom na težinsku funkciju w (x) = 1 1 x 2, 1 ] 2. tj., 1 1 T m (x) T n (x) dx = 1 x 2 0, m n, π 2, m = n 0, π, m = n = 0. Za dokaz ove tvrdnje potrebno je izračunati gdje su m, n Z. I = π 0 cos (mt) cos (nt) dt, (16) Prvo ćemo upotrijebiti trigonometrijsku formulu za transformaciju umnoška u zbroj 4 i tada dobivamo I = 1 [ π π ] cos ((m + n) t) dt + cos ((m n) t) dt. (17) Ako pretpostavimo da je m n tada je I = 1 [ 1 1 sin((m + n)π) 2 m + n m + n sin ] 1 sin((m n)π) m n m n sin 0. 4 cos x cos y = 1 [cos (x + y) + cos (x y)] 2 16

17 Kako su m, n Z, tada su m + n i m n takoder cijeli brojevi. Osim toga, znamo da je sin kπ = 0, za svaki k Z, pa je konačno rješenje integrala (16) nula za m n. Pretpostavimo da je m = n = 0. Tada je izraz (16) I = π 0 cos 0 cos 0 dt = π 0 dt = π. Promotrimo još treći slučaj kada je m = n 0. Tada je (17) jednak I = π 0 cos (mt) cos (mt) dt = 1 2 π 0 cos (2mt) dt = π 2. Ako uvedemo supstituciju t = arccos x tada je integral (16) postaje 1 1 T m (x) T n (x) dx, 1 x 2 čime smo dokazali ortogonalnost Čebiševljevih polinoma prve vrste. Prema Teoremu 3. Čebiševljevi polinomi prve vrste imaju n različitih realnih nultočki ( ) 2k 1 π x k = cos, k = 1,..., n (18) n 2 koje leže na intervalu 1, 1. Detaljnije o tome može se pogledati u [3] i [5] Rekurzivna relacija Budući da vrijedi cos (n + 1) α + cos (n 1) α = cos (nα + α) + cos (nα α) = cos nα cos α sin nα sin α + cos nα cos α + sin n sin α = 2 cos nα cos α i ako uvedemo supstituciju α = arccos x, tada dobijamo cos ((n + 1) arccos x) + cos ((n 1) arccos x) = 2 cos (n arccos x) cos (arccos x). 17

18 Prethodni izraz daje nam rekurzivnu relaciju Čebiševljevih polinoma prva vrste koji glasi T n+1 (x) 2xT n (x) + T n 1 (x) = 0, (19) uz početne uvjete T 0 (x) = 1 i T 1 (x) = x Čebiševljev problem godine Čebiševljev je postavio sljedeći problem: Odredite realne koeficijente a 1, a 2,..., a n tako da izraz bude minimalan. max 1 x 1 x n + a 1 x n a n 1 x + a n (20) Do rješenja ovog problema došao je godine. Rješenje je glasilo da je jedini polinom x n + a 1 x n a n 1 x + a n sa realnim koeficijentima za koji je izraz (20) minimalan upravo 2 n+1 T n, gdje je T n n-ti Čebiševljev polinom prve vrste. Dokaz ovog rješenja može se pronaći u [1]. 18

19 Slika 1: Prvih pet Čebiševljevih polinoma prve vrste Još detalja vezanih za [1], [3], [7], [8] i [9]. Čebiševljeve polinome prve vrste može se pronaći u 19

20 4. Čebiševljevi polinomi druge vrste Rješenje diferencijalne jednadžbe (1 x 2 )y 3xy + n(n + 2)y = 0 (21) je upravo n-ti Čebiševljev polinom druge vrste, U n, za kojeg vrijedi x 1, 1 i n N 0. U n (x) = sin ((n + 1) arccos(x)), (22) sin (arccos(x)) Čebiševljevi polinomi druge vrste ortogonalni su na segmentu [ 1, 1] s težinskom funkcijom tj., 1 1 w (x) = 1 x 2, U m (x) U n (x) { 0, m n, 1 x 2 dx = (23) π 2, m = n 0. Dokaz ortogonalnosti analogan je onom za Čebiševljeve polinome prve vrste, samo se ovdje kreće od integrala I = π stoga ga nećemo napraviti u ovom radu. 0 sin (mt) sin (nt) dt, Prvih sedam Čebiševljevih polinoma druge vrste su U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x, U 2 (x) = 4x 2 1, U 3 (x) = 8x 3 4x, U 4 (x) = 16x 4 12x 2 + 1, U 5 (x) = 32x 5 32x 3 + 6x, U 6 (x) = 64x 6 80x x 2 1. Funkcija izvodnica za Čebiševljeve polinome druge vrste je 1 g(t, x) = 1 2xt + t 2 = U n (x)t n, n=0 20

21 za x < 1 i t < 1, a Rodriguesova formula glasi U n (x) = ( 1) n (n + 1) π 2 n+1 ( n + 1 2)! (1 x 2 ) 1 2 d n dx n [ (1 x 2 ) n+ 1 ] Rekurzivna relacija Krećemo od identiteta sin (n + 1) α + sin (n 1) α = 2 sin nα cos α. Zatim uvodimo supstituciju α = arccos x i dobivamo rekurzivnu relaciju za Čebiševljeve polinome druge vrste U n+1 (x) 2xU n (x) + U n 1 (x) = 0 (24) uz početne uvjete U 0 (x) = 1 i U 1 (x) = 2x. Slika 2: Prvih pet Čebiševljevih polinoma druge vrste 21

22 Čebiševljevi polinomi prve i druge vrste povezani su sljedećim relacijama T n (x) = U n (x) xu n 1 (x), T n (x) = xu n 1 (x) U n 2 (x), T n (x) = 1 2 (U n(x) U n 2 (x)), U n 1 (x) = 1 1 x 2 [xt n(x) T n+1 (x)]. Još detalja o Čebiševljevim polinomima druge vrste može se pronaći u [1], [3], [7], [8] i [9]. 22

23 5. Laguerrovi polinomi Sljedeći na redu su Laguerrovi polinomi. Najčešće se označavaju s L n, n N 0. Laguerrovi polinomi mogu se definirati kao n ( 1) k ( ) n L n (x) = x k. (25) k! k Za njih vrijedi formula čiji se dokaz može pronaći u [1]. k=0 Prvih sedam Laguerrovih polinoma su L 0 (x) = 1, L n (x) = e x dn dx n ( x n e x), (26) L 1 (x) = x + 1, L 2 (x) = 1 ( x 2 4x + 2 ), 2 L 3 (x) = 1 ( x 3 + 9x 2 18x + 6 ), 6 L 4 (x) = 1 ( x 4 16x x 2 96x + 24 ), 24 L 5 (x) = L 6 (x) = ( x x 4 200x x 2 600x 120 ), ( x 6 36x x x x x ) Ortogonalnost Laguerrovih polinoma Laguerrovi polinomi ortogonalni su na intervalu [0, s težinskom funkcijom Promotrimo integral I = + 0 w (x) = e x. e x L m (x) L n (x) dx. (27) Pretpostavimo da je m n tada izraz (27) možemo zapisati koristeći formulu (26) kao I = + 0 L m (x) dn dx n ( x n e x) dx. (28) 23

24 U računanju ovog integrala koristit ćemo metodu parcijalne integracije 5. Neka je I = Tada je I = Izraz + 0 L m (x) dn dx n ( x n e x) dx = [L m (x) dn 1 ( x n dx n 1 e x) ] x + x=0 u = L m (x) dv = dn ( x n dx n e x) dx. + 0 dl m (x) dx d n 1 dx n 1 ( x n e x) dx. L m (x) dn 1 ( x n dx n 1 e x) = { ( ) } = ( 1) n n 1 e x L m (x) (x n ) + (x n ) + ( 1) n (x n ) (n 1) 1 teži ka nuli kada x +. Kada je x = 0 prethodni izraz takoder je jednak nuli pa je + I = 0 dl m (x) dx d n 1 dx n 1 ( x n e x) dx. Primjenimo li m 1 puta parcijalnu integraciju na posljednji izraz dobivamo da je I = ( 1) m + 0 d m L m (x) dx m d n m dx n m ( x n e x) dx. (29) Ako je m < n tada na posljednji izraz ponovo treba primjeniti metodu parcijalne integracije. Tada se dobiva I = ( 1) m [ d m L m (x) dx m ( 1) m d n m 1 dx n m 1 ( x n e x) d m+1 L m (x) dx m+1 d n m 1 ] x + x=0 + dx n m 1 ( x n e x) dx. Izraz u zagradi u predhodnom integralu jednak je nuli za x = 0 i x +. Osim toga i drugi dio tog izraza jednak je nuli jer je 5 u dv = u v v du d m+1 L m (x) dx m+1 = 0. 24

25 U slučaju da je m = n tada izraz (28) iznosi I = ( 1) n + = n! = 0 + x n e x dn Ln (x) dx n dx x n e x dx 0 [ n!e x ( x n + nx n 1 + n (n 1) x n n! ] x + x=0 = (n!) 2. Ovime smo pokazali ortogonalnost Laguerrovih polinoma na intervalu [0, + uz težinsku funkciju w (x) = e x, tj. pokazali smo da vrijedi + 0 e x L m (x) L n (x) dx = { 0, m n, (n!) 2, m = n Rekurzivna relacija Laguerrovih polinoma Laguerrovi polinomi zadovoljavaju sljedeću rekurzivnu relaciju (n + 1) L n+1 (x) ( x + 2n 1) L n (x) + nl n 1 (x) = 0 (30) uz početne uvjete L 0 (x) = 1 i L 1 = x + 1, čiji se dokaz može vidjeti u [3]. 25

26 Slika 3: Prvih pet Laguerrovih polinoma Izmedu ostalog, n-ti Laguerrov polinom, L n, rješenje je diferencijalne jednadžbe xy + (1 x) y + ny = 0. (31) Laguerrove polinome možemo zapisati pomoću sljedeće funkcije izvodnice g(x, t) = e xt 1 t 1 t = 1 + ( x + 1)t + = L n (x)t n, n=0 a Rodriguesova formula glasi ( ) ( 1 2 x2 2x + 1 t x3 + 3 ) 2 x2 3x + 1 t 3 + L n (x) = ex d n ( x n n! dx n e x). Još detaljnije o svojstvima Laguerrovih polinoma može se pogledati u [1], [3], [8] i [9]. 26

27 6. Hermiteovi polinomi Hermiteovi polinomi takoder pripadaju skupu ortogonalnih polinoma. Najčešće se označavaju s H n, n N 0. Hermiteovi polinomi su ortogonalni na intervalu, + obzirom na težinsku funkciju w (x) = e x2. Za njih vrijedi + { 0, m n, e x2 H m (x) H n (x) dx = 2 n n! π, m = n. Dokaz ove ortogonalnosti vrlo je sličan onom za Laguerrove polinome tako da ga nećemo dokazivati u ovom radu, a zainteresirani ga mogu proučiti u [3]. Hermiteovi polinomi zadovoljavaju rekurzivnu relaciju H n+1 (x) 2xH n (x) + 2nH n 1 (x) = 0 (32) uz početne uvjete H 0 (x) = 1 i H 1 (x) = 2x. Prvih sedam Hermiteovih polinoma su H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 2, H 3 (x) = 8x 3 12x, H 4 (x) = 16x 4 48x , H 5 (x) = 32x 5 160x x, H 6 (x) = 64x 6 480x x N-ti Hermiteov polinom, H n, rješenje je diferencijalne jednadžbe y 2xy + 2ny = 0. (33) Hermiteovi polinomi se takoder mogu prikazati pomoću funkcije izvodnice na sljedeći način H g(x, t) = e 2xt t2 n (x)t n =. n! n=0 27

28 Rodrigeuseova formula za Hermiteove polinome glasi H n (x) = 1 ( 1) n e x2 d n [ dx n e x2]. Bez poteškoće mogu se provjeriti relacije, H 2n (x) = ( 1) n 2 2n L 1 2 n (x 2 ) H 2n+1 (x) = ( 1) n 2 2n+1 xl 1 2 n (x 2 ), koja povezuje Hermiteove i Laguerreove polinome. Slika 4: Prvih pet Hermiteovih polinoma Detaljnije o Hermiteovim polinomima može se pogledati u [1], [3], [8] i [9]. 28

29 7. Legendreovi polinomi Posljednja vrsta ortogonalnih polinoma, u ovom diplomskom radu, su Legendreovi polinomi. Obično se označavaju s P n, n N 0. Dobili su naziv Legendrovi polinomi jer je n-ti Legendreov polinom, P n, rješenje Legendreove diferencijalne jednadžbe ( 1 x 2 ) y 2xy + n (n + 1) y = 0. (34) Legendreovi polinomi ortogonalni su na segmentu [ 1, 1] obzirom na težinsku funkciju tj. 1 1 w (x) = 1, P m (x) P n (x) dx = { 0, m n, 2 2n+1, m = n. Dokaz ortogonalnosti dosta je dugačak pa ga nećemo izvoditi u ovom radu,a može se pogledati u [3]. Oni zadovoljavaju sljedeću rekurzivnu relaciju (n + 1) P n+1 (x) (2n + 1) xp n (x) + np n 1 (x) = 0, (35) uz početne uvjete P 0 (x) = 1 i P 1 (x) = x. Prvih sedam Legendreovih polinoma su P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 1 ( 3x 2 1 ), 2 P 3 (x) = 1 ( 5x 3 3x ), 2 P 4 (x) = 1 ( 35x 4 30x ), 8 P 5 (x) = 1 ( 63x 5 70x x ), 8 P 6 (x) = 1 ( 231x 6 315x x 2 5 )

30 Kao svi dosad navedeni ortogonalni polinomi tako se i Legendreovi polinomi mogu zapisati pomoću funkcije izvodnice g(t, x) = ( 1 2xt + t 2) 1 2 = P n (x)t n, n=0 te i za njih vrijedi sljedeća Rodriguesova formula d n P n (x) = 1 ( x 2 2 n n! dx n 1 ) n. Slika 5: Prvih pet Legendreovih polinoma Više o Legendreovim polinomima može se vidjeti u [1], [3], [8] i [9]. 30

31 8. Primjene ortogonalnih polinoma 8.1. Gaussove kvadraturne formule Neka je dana neprekidna funkcija f : [a, b] R, te neka je F njena primitivna funkcija. Tada Riemanov integral na segmentu [a, b] možemo izračunati primjenom Newton-Leibnizove formule I(f) = b a f(x)dx = F (b) F (a). Kod integriranja se može dogoditi da primitivnu funkciju F nije moguće dobiti elementarnim metodama ili da je podintegralna funkcija poznata samo u konačno mnogo točaka. Dakle, jedino što nam preostaje je približno računanje takvih integrala. Osnovna ideja je izračunavanje integrala I(f) korištenjem vrijednosti funkcije f na nekom konačnom skupu točaka. Opća formula je I(f) = b a w(x)f(x)dx = n λ j f(x j ) + E (36) pri čemu su λ j težinski koeficijenti, x j čvorovi integracije i E pripadni ostatak. Formule oblika (36) nazivaju se kvadraturne formule. j=1 U ovom radu proučavat ćemo Gaussove kvadraturne formule. One se koriste kako bi se postigao maksimalan stupanj egzaknosti formule. Reći ćemo da je kvadraturna formula stupnja egzaknosti m ako je ostatak E = 0 za sve polinome stupnja manjeg ili jednakog m. Osnovna ideja je da za čvorove uzmemo nultočke ortogonalnih polinoma, a težinske koeficijente λ j računamo kao λ j = b a w(x)l j (x)dx, (37) pri čemu je l j Lagrangeov interpolacijski polinom 6. Dokaz ove formule može se pogledati u [5]. Pokazat ćemo da postoji jednostavniji način računanja težinskih koeficijenata, λ j, pomoću ortogonalnih polinoma. 6 l i = n j=1, j i x x j x i x j 31

32 Neka je {p n, n N 0 }, familija ortogonalnih polinoma na segmentu [a, b] s težinskom funkcijom w, w(x) 0, te neka su α n i b n definirani kao u Tročlanoj rekurziji (7). Ako u Christoffel-Darbouxovom identitetu (10) uvedemo supstituciju y = x j gdje je x j nultočka ortogonalnog polinoma p n, tada dobivamo n 1 k=0 p k (x)p k (x j ) b k = p n(x)p n+1 (x j ) α n b n (x x j ). (38) Zatim prethodnu jednakost pomnožimo s w(x)p 0 (x). Zbog ortogonalnosti dobivamo p 0 (x j ) b 0 b 0 = p n+1(x j ) α n b n b a w(x) p 0(x)p n (x) x x j dx. (39) Iz definicije Lagrangeovog interpolacijskog polinoma dobivamo l j (x) = p n (x) (x x j )p n(x j ). (40) Koristeći (37), (40) i činjenicu da je p 0 konstanta, (39) možemo zapisati kao Dakle, 1 = p n+1(x j ) α n b n b = p n+1(x j )p n(x j ) α n b n a = p n+1(x j )p n(x j ) λ j. α n b n λ j = a w(x) p n(x) dx x x j b w(x)l j (x)dx A n+1 b n A n p n+1 (x j )p n(x j ), (41) za j = 1, 2,..., n, što je puno lakše izračunati nego koristeći izraz (37). Ostatak E se računa kao gdje je η a, b. E = Detaljnije o formuli (42) može se pogledati u [5]. Gauss-Čebiševljeva kvadraturna formula je oblika x 2 f(x)dx = b n A 2 n(2n)! f (2n) (η), (42) n λ j f(x j ) + E, (43) j=1 32

33 gdje su x j nultočke polinoma T n, težinski koeficijenti i ostatak za η 1, 1. π λ j = T n(x j )T n+1 (x j ) E = 2π 2 2n (2n)! f (2n) (η), Gauss-Laguerrova kvadraturna formula je 0 e x f(x)dx = n λ j f(x j ) + E, j=1 gdje su x j nultočke polinoma L n, težinski koeficijenti i ostatak za η 0,. λ j = (n!) 2 L n(x j )L n+1 (x j ) E = (n!)2 (2n)! f (2n) (η), Gauss-Hermiteova kvadraturna formula je + e x2 f(x)dx = n λ j f(x j ) + E, j=1 gdje su x j nultočke polinoma H n, težinski koeficijenti i ostatak za η, +. λ j = 2n+1 n! π H n(x j )H n+1 (x j ) E = n! π 2 n (2n)! f (2n) (η), Gauss-Legendreova kvadraturna formula je 1 1 f(x)dx = n λ j f(x j ) + E, j=1 33

34 gdje su x j nultočke polinoma P n, težinski koeficijenti i ostatak za η 1, 1. λ j = 2 (n + 1)P n+1 (x j )P n(x j ) E = 22n+1 (n!) 4 (2n + 1)[(2n)!] 3 f (2n) (η), Detaljnije o kvadraturnim formulama može se pogledati u [5]. Još o primjenama ortogonalnih polinoma može se pogledati u [4], [5], [6] i [8]. 34

35 9. Zaključak U radu smo naveli neka osnovna svojstva ortogonalnih polinoma. Pokazali smo da od zadanog skupa polinoma, pomoću Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije, možemo dobiti ortonormirani skup polinoma. Dokazali smo da se svaki polinom može zapisati kao linearna kombinacija ortogonalnih polinoma. Obradili smo pet vrsta klasičnih ortogonalnih polinoma: Čebiševljevi polinomi prve i druge vrste, Laguerrovi polinomi, Hermiteovi polinomi i Legendreovi polinomi. Navedeni polinomi mogu se zapisati pomoću rekurzivne relacije, funckija izvodnica, Rodriguesove formule i kao rješenja diferencijalnih jednadžbi. Osim toga, obradili smo primjenu ortogonalnih polinoma na Gaussove kvadraturne formule. 35

36 Literatura [1] M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Function, Dover Publications, New York, [2] R. El Attar, Special Functions and Orthogonal Polynomials, Lulu Press, USA, [3] D. Ž. Doković, D. S. Mitrović, Specijalne funkcije, Gradevinska knjiga, Beograd, [4] V. I. Krylov, Approximate Calculation and Integrals, Dover Publication, INC, [5] P. Rabinowitz, A. Raltoson, A first course in numerical analysis, Dover Publications, New York, [6] M. Rogina, S. Singer, S. Singer, Numerička matematika, Sveučilište u Zagrebu, PMF-Matematički odjel, Zagreb, 2008., (javno dostupno: [7] R. Scitovski, Numerička matematika, Sveučilište u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, [8] G. Szego, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, Rhoe Island, [9] The world of Matematical equations, Special Functions and Orthogonal Polynomials, (javno dostupno: 36

37 10. Sažetak Ortogonalni polinomi su posebna vrsta polinoma koji su otrkiveni prilikom rješavanja odredenih diferecijalnih jednadžbi. Cilj ovog diplomskog rada je dati pregled klasičnih ortogonalnih polinoma kao što su: Čebiševljevi polinomi prve i druge vrste, Laguerrovi polinomi, Hermiteovi polinomi i Legendreovi polinomi. Osim definicija, za sve ortogonalne polinome navedene su pripadne funkcije izvodnice i rekurzivne relacije. Završni dio rada posvećen je primjenama ortogonalnih polinoma kod približnog računanja odredenih integrala, odnosno kod Gaussovih kvadraturnih formula koje imaju veliku primjenu u numeričkoj matematici. Ključne riječi. Ortogonalni polinomi, Čebiševljevi polinomi prve vrste, Čebiševljevi polinomi druge vrste, Laguerrovi polinomi, Hermiteovi polinomi, Legendreovi polinomi, Gaussove kvadraturne formule. 37

38 11. Summary Orthogonal polynomials are special type of polynomials which are discovered by solving determinate differencial equations. As a main point of this masters thesis is to represent classical orthogonal polynomials like: Chebyshev Polynomials of the First Kind, Chebyshev Polynomials of the Second Kind, Laguerre Polynomials, Hermite Polynomials and Legendre Polynomials. For this orthogonal polynomials are listed related generating functions and recurrence relations, apart from definitions. Concluding part of this masters thesis is to dedicate application of orthogonal polynomials at approximation calculating definite integral, apropos Gaussian quadrature formulas which have big application in numerical mathematics. Key words. Orthogonal polynomials, Chebyshev Polynomials of the First Kind, Chebyshev Polynomials of the Second Kind, Hermite Polynomials, Laguerre Polynomials, Legendre Polynomials, Gaussian quadrature formulas. 38

39 12. Životopis Rodena sam 13. prosinca godine u Osijeku, Hrvatska. Godine završila sam Osnovnu školu Miroslava Krleže, Čepin. Iste godine upisala sam III. Gimnaziju Osijek (prirodoslovno-matematički program). Srednju školu završila sam godine kada sam upisala Nastavnički studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku Sveučilišta u Osijeku. Osim toga, od godine aktivna sam članica Kulturno umjetničkog društva Ivan Kapistran Adamović iz Čepina. Od sam odbojkaški sudac, a godine položila sam za nacionalnog suca. 39

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Mario Berljafa, Sara Muhvić, Melkior Ornik Računanje Gaussovih integracijskih formula za sažimajuću bazu Zagreb, 2011. Ovaj rad izraden je na Zavodu

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Keywords: anticline, numerical integration, trapezoidal rule, Simpson s rule

Keywords: anticline, numerical integration, trapezoidal rule, Simpson s rule Application of Simpson s and trapezoidal formulas for volume calculation of subsurface structures - recommendations 2 nd Croatian congress on geomathematics and geological terminology, 28 Original scientific

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem 61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA

ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija

O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija Denis Benčec, Bojan Kovačić Sažetak U nastavi matematičkih predmeta na veleučilištima, samostalnim

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

Erdös-Mordellova nejednakost

Erdös-Mordellova nejednakost Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

REVIEW OF GAMMA FUNCTIONS IN ACCUMULATED FATIGUE DAMAGE ASSESSMENT OF SHIP STRUCTURES

REVIEW OF GAMMA FUNCTIONS IN ACCUMULATED FATIGUE DAMAGE ASSESSMENT OF SHIP STRUCTURES Joško PAUNOV, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Zagreb, Ivana Lučića 5, H-10000 Zagreb, Croatia, jparunov@fsb.hr Maro ĆOAK, Faculty of Mechanical Engineering and Naval

More information

Razni načini zadavanja vjerojatnosti

Razni načini zadavanja vjerojatnosti Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI

FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU Preddiplomski sveučilišni studij fizike FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI Završni rad Anton Aladenić Osijek, 2014. SVEUČILIŠTE JOSIPA

More information

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora

More information

SIMBOLIČKO IZRAČUNAVANJE HANKELOVIH DETERMINANTI I GENERALISANIH INVERZA MATRICA

SIMBOLIČKO IZRAČUNAVANJE HANKELOVIH DETERMINANTI I GENERALISANIH INVERZA MATRICA Univerzitet u Nišu Prirodno-Matematički fakultet Marko D. Petković SIMBOLIČKO IZRAČUNAVANJE HANKELOVIH DETERMINANTI I GENERALISANIH INVERZA MATRICA Doktorska disertacija Niš, Jun 2008 Mogućnost simboličkog

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5

A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5 Goranka Štimac Rončević 1 Original scientific paper Branimir Rončević 2 UDC 534-16 Ante Skoblar 3 Sanjin Braut 4 A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa:

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa: NEKE NUMERIČKE KARAKTERISTIKE 4-POLITOPA VLADIMIR TELEBAK Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Banjoj Luci Ul. Mladena Stojanovića 2 Banja Luka, Republika Srpska e-pošta: vladotelebak@yahoo.com

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information